高考数学一轮复习 函数及其表示教案

高三数学一轮复习函数及其表示1教案教材分析：以函数的概念与表示，分断函数及应用为重点，并注意新型概念与思维创新，高考以选择题、填空题为主出现。

学情分析：学生以C类为主，教学中注意基础知识的回顾与巩固。

教学目标：1.了解函数、映射的概念，会求一些简单的函数定义域和值域。

2.理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法。

3.了解简单的分断函数，并能简单应用。

教学重点、难点：会求一些简单的函数定义域和值域，了解简单的分断函数，并能简单应用。

教学流程：一、课堂提问——知识回顾1.映射的概念与判定方法C设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射，记作f:A→B。

2.函数的三要素及其表示法B①函数的三要素是定义域，值域，对应法则。

判断两个函数是否为相等函数只需判定两点: 定义域是否相同和对应法则是否相同。

函数的定义域：使f（x）有意义的自变量x的取值范围。

函数的值域：函数值的取值范围。

②函数的三种表示方法有解析法、图象法和列表法。

3.区间的概念C4.分段函数与复合函数B/A①如果一个函数在定义域的不同子集中因对应关系不同而用几个不同的式子来表示，这样的函数叫做分段函数.分段函数的求法是分别求出解析式再组合在一起，但要注意各区间之间的点不重复、无遗漏。

②如果y=f(u)，u=g(x)，那么函数y=f［g(x)］叫做复合函数，其中f(u)叫做外层函数，g(x)叫做内层函数。

二、课堂练习——习题讲练例1.判断下列对应是否是从集合A到集合B的映射：C(1)A=R,B={x|x>0}，f:x→|x|；(2)A=N,B=N f:x→|x-2|；(3)A={x|x>0},B=R，f:x→x2.[分析](1)0∈A，在法则f下，0→|0|=0B，故该对应不是从集合A到集合B的映射；(2)2∈A，在法则f下，2→|2-2|=0B，故该对应不是从集合A到集合B的映射；(3)对于任意x∈A，依法则f:x→x2∈B，故该对应是从集合A到集合B的映射.[小结]函数是特殊的映射，即从非空数集到非空数集的映射.练习1.下列从M到N的各对应法则中，哪些是映射？哪些是函数？哪些不是映射？为什么？B(1)M={直线A x+B y+C=0}，N=R，f1:求直线A x+B y+C=0的斜率;(2)M={直线A x+B y+C=0}，N={α|0≤α＜π}，f2:求直线A x+B y+C=0的倾斜角;(3)当M=N=R，f3:求M中每个元素的正切；(4)M=N={x|x≥0}，f4:求M中每个元素的算术平方根.解：(1)当B=0时，直线Ax+C=0的斜率不存在，此时N中不存在与之对应的元素，故f1不是从M到N的映射，也就不是函数了.(2)对于M 中任一元素Ax +By +C=0，该直线恒有唯一确定的倾斜角α，且α∈［0，π)，故f 2是从M 到N 的映射.但由于M 不是数集，从而f 2不是从M 到N 的函数.(3)由于M 中元素2k ππ+ (k ∈Z )的正切无意义，即它在N 中没有象，故f 3不是从M 到N 的映射，自然也不是函数.(4)对于M 中任一非负数，其算术平方根唯一且确定，故f 4是从M 到N 的映射，又M 、N 均为非空数集，所以f 4是从M 到N 的函数.例2.求下列函数的定义域C/B (1)2121y x =+ (2) 1y x x =-(3) 12y x =-(4) ()211x y x +=-+练习2.(1)已知函数()f x 的定义域是[]1,1-，求函数(21)f x -的定义域.C(2)已知函数(23)f x +的定义域是[)4,5-，求函数(23)f x -的定义域.B/A(3) 已知函数1()1f x x =+，求函数[]()f f x 的定义域.B/A例3.试判断以下各组函数是否表示相等函数？C/B(1) 1,y x x R =-∈与1,y x x N =-∈(2) y =与y =(3) 1y x =+与1y t =+练习3. 试判断以下各组函数是否表示相等函数？C/B (1) ()0()1,()1f x x g x =-=(2) ()1,()f x x g x =-=(3) ()22(),()1f x x g x x ==+(4) 22()1,()1f x x g u u =-=-例4.已知二次函数2()y a x b x c x R =++∈的部分对应值如下表:C/B(1) 求函数的解析式；(2) 求(3),(4)f f -；(3)求函数的定义域和值域；(4) 求不等式20a x b x c ++≤的解集.练习4.求例4中二次函数[)2,3,2y a x b x c x =++∈--的值域.C三、作业布置1.求函数y =的定义域.C2. 求函数2ln (2)x x y x x +-=-的定义域.C3. 若函数(1)f x +的定义域为[]0,1,求函数(22)x f -及函数0(2)(1)f x x -的定义域.B4.已知函数22()1x f x x =+,求111(1)(2)()(3)((4)()234f f f f f f f ++++++的值.C 5.函数()f x 的定义域是R,值域是[]1,2,求函数(21)f x -的定义域和值域. A四、板书设计。

2.1 函数及其表示考情分析考点新知①本节是函数部分的起始部分，以考查函数概念、三要素及表示法为主，同时考查学生在实际问题中的建模能力.②本节内容曾以多种题型出现在高考试题中，要求相对较低，但很重要，特别是函数的解析式仍会是2015年高考的重要题型．①理解函数的概念，了解构成函数的要素.②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.③了解简单的分段函数，并能简单应用.1. 函数的定义一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的一个元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B 的一个函数，通常记为y＝f(x)，x∈A．2. 函数的三要素函数的构成三要素为定义域、值域、对应法则．由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，我们就称这两个函数是同一函数．3. 函数的表示方法表示函数的常用方法有列表法、解析法、图象法．4. 分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析式，像这样的函数通常叫做分段函数．分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段上函数值集合的并集．5. 映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射．『备课札记』题型1函数的概念例1判断下列对应是否是从集合A到集合B的函数．(1) A＝B＝N*，对应法则f：x→y＝|x－3|，x∈A，y∈B；(2) A＝『0，＋∞)，B＝R，对应法则f：x→y，这里y2＝x，x∈A，y∈B；(3) A＝『1，8』，B＝『1，3』，对应法则f：x→y，这里y3＝x，x∈A，y∈B；(4) A＝{(x，y)|x、y∈R}，B＝R，对应法则：对任意(x，y)∈A，(x，y)→z＝x＋3y，z ∈B.『解析』(1) 对于A中的元素3，在f的作用下得到0，但0不属于B，即3在B中没有元素与之对应，所以不是函数．(2) 集合A中的一个正数在集合B中有两个元素与之对应，所以不是函数．(3) 由y3＝x，即y＝3x，因为A＝『1，8』，B＝『1，3』，对应法则f：x→y，符合函数对应．(4) 由于集合A不是数集，所以此对应法则不是函数．备选变式（教师专享）下列说法正确的是______________．(填序号)①函数是其定义域到值域的映射；②设A＝B＝R，对应法则f：x→y＝x－2＋1－x，x∈A，y∈B，满足条件的对应法则f构成从集合A到集合B的函数；③函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点有且只有1个；④映射f：{1，2，3}→{1，2，3，4}满足f(x)＝x，则这样的映射f共有1个．『答案』①④『解析』②中满足y＝x－2＋1－x的x值不存在，故对应法则f不能构成从集合A 到集合B的函数；③中函数y＝f(x)的定义域中若不含x＝1的值，则其图象与直线x＝1没有交点．题型2函数的解析式例2求下列各题中的函数f(x)的解析式．(1) 已知f(x＋2)＝x＋4x，求f(x)；(2) 已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lgx ，求f(x)；(3) 已知函数y ＝f(x)满足2f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2x ，x ∈R 且x≠0，求f(x)； (4) 已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x ＋1)＝f(x)＋2x ，求f(x)． 『解析』(1) (解法1)设t ＝x ＋2，则x ＝t －2，即x ＝(t －2)2， ∴ f(t)＝(t －2)2＋4(t －2)＝t 2－4， ∴ f(x)＝x 2－4(x≥2)．(解法2)∵ f(x ＋2)＝(x ＋2)2－4， ∴ f(x)＝x 2－4(x≥2)． (2) 设t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴ f(t)＝lg 2t －1，即f(x)＝lg 2x －1(x>1)．(3) 由2f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2x ，① 将x 换成1x ，则1x 换成x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f ()x ＝2x，② ①×2－②，得3f(x)＝4x －2x ，得f(x)＝43x －23x.(4) ∵ f(x)是二次函数，∴ 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．由f(0)＝1，得c ＝1. 由f(x ＋1)＝f(x)＋2x ，得a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1＝(ax 2＋bx ＋1)＋2x ， 整理，得(2a －2)x ＋(a ＋b)＝0，由恒等式原理，知⎩⎪⎨⎪⎧2a －2＝0，a ＋b ＝0⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1， ∴ f(x)＝x 2－x ＋1. 变式训练求下列函数f(x)的解析式．(1) 已知f(1－x)＝2x 2－x ＋1，求f(x)； (2) 已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x2，求f(x)；(3) 已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x －1，求f(x)；(4) 定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x ＋1)，求f(x)． 『解析』(1) (换元法)设t ＝1－x ，则x ＝1－t ， ∴ f(t)＝2(1－t)2－(1－t)＋1＝2t 2－3t ＋2， ∴ f(x)＝2x 2－3x ＋2.(2) (配凑法)∵ f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2， ∴ f(x)＝x 2＋2.(3) (待定系数法)∵ f(x)是一次函数， ∴ 设f(x)＝ax ＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax ＋b)＝a(ax ＋b)＋b ＝a 2x ＋ab ＋b. ∵ f(f(x))＝4x －1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，∴ f(x)＝2x －13或f(x)＝－2x ＋1.(4) (消去法)当x ∈(－1，1)时，有 2f(x)－f(－x)＝lg(x ＋1)，①以－x 代替x 得2f(－x)－f(x)＝lg(－x ＋1)，② 由①②消去f(－x)得，f(x)＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x)，x ∈(－1，1)．题型3 分段函数例3 已知实数a≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x<1，－x －2a ，x≥1.(1) 若a ＝－3，求f(10)，f(f(10))的值； (2) 若f(1－a)＝f(1＋a)，求a 的值．『解析』(1) 若a ＝－3，则f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x<1，－x ＋6，x≥1.所以f(10)＝－4，f(f(10))＝f(－4)＝－11. (2) 当a>0时，1－a<1，1＋a>1，所以2(1－a)＋a ＝－(1＋a)－2a ，解得a ＝－32，不合，舍去；当a<0时，1－a>1，1＋a<1，所以－(1－a)－2a ＝2(1＋a)＋a ，解得a ＝－34，符合．综上可知，a ＝－34.备选变式（教师专享）如图所示，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着折线BCDA 由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y.(1) 求y 与x 之间的函数关系式； (2) 画出y ＝f(x)的图象．『解析』(1)y ＝⎩⎨⎧2x ()0≤x≤4，8()4<x≤8，－2x ＋24()8<x≤12.(2)y ＝f ()x 的图象如图．1. 函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A 与B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射；而映射不一定是函数从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射不是函数．2. 函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量是否具有函数关系，只需要检验：① 定义域和对应法则是否给出；② 根据给出的对应法则，自变量在定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值．3. 函数解析式的求解方法通常有：配凑法，换元法，待定系数法及消去法．用换元法求解时要特别注意新元的范围，即所求函数的定义域；而消去法体现的方程思想，即根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．。

第二章 函数2.1 函数及其表示考纲要求1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单地应用．(1)函数的定义域、值域．在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，__________叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，__________叫做函数的值域，显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：__________、__________和__________．3．函数的表示方法表示函数的常用方法有__________、__________和__________．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因__________不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的__________，其值域等于各段函数的值域的__________，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．1．设f ，g 都是从A 到A则f (g (3))等于( )．A ．1B ．2C ．3D ．不存在2．集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数的是( )．A ．f ：x →y ＝12x B ．f ：x →y ＝13x C ．f ：x →y ＝23x D ．f ：x →y ＝x3．下列各函数中，表示同一个函数的是( )．A ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg xB ．f (x )＝lg x ＋1x －1，g (x )＝lg(x ＋1)－lg(x －1)C ．f (u )＝1＋u 1－u ，g (v )＝1＋v 1－vD ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2 4．(2012山东高考)函数f (x )＝1ln x ＋1＋4－x 2的定义域为( )． A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x >1，若f (x )＝2，则x 等于( )． A ．log 32B ．－2C ．log 32或－2D ．2一、求简单函数的定义域、值域【例1－1】(2012江苏高考)函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为__________．【例1－2】已知函数f (3－2x )的定义域为[－1,2]，求f (x )的定义域．【例1－3】求下列函数的值域：(1)y ＝x 2＋2x ，x ∈[0,3]； (2)y ＝212x -；(3)y ＝log 3x ＋log x 3－1.方法提炼1．求函数定义域的方法(1)函数给 出的方式确定定义域的方法 列表法 表中实数x 的集合图象法 图象在x 轴上的投影所覆盖的实数x 的集合解析法 使解析式有意义的实数x 的集合实际问题 有实际意义及使相应解析式有意义的x 的集合(2)①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．提醒：定义域必须写成集合或区间的形式．2．求值域的方法常见的求值域的方法有：①配方法；②换元法；③基本不等式法；④利用函数的单调性；⑤分离常数法；⑥数形结合法；⑦导数法等．3．若两个函数的定义域与值域相同，它们不一定是同一函数，如函数y ＝x 与y ＝x ＋1，其定义域与值域完全相同，但不是同一个函数；再如y ＝sin x 与y ＝cos x ，其定义域都为R ，值域都为[－1,1]，显然不是同一个函数．定义域和解析式相同的两个函数是同一个函数．4．分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集；最大(小)值是各段最大(小)值中最大(小)的；图象则是由各段上的图象合成的．请做演练巩固提升1,4二、求函数的解析式【例2－1】若函数f (x )＝x ax ＋b(a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，则f (x )＝__________.【例2－2】若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，求f (x )．【例2－3】已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x ＋x 2.(1)求x ＞0时，f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝2a 2＋a 有三个不同的解，求a 的取值范围．方法提炼函数解析式的求法：1．凑配法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；2．待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；3．换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；4．方程思想：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．提醒：因为函数的解析式相同、定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域，否则会导致错误．请做演练巩固提升2忽略分段函数中自变量的取值范围而致误【典例】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x >0，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，求关于x 的方程f (x )＝x 的解．错解：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c .因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ －22－2b ＋c ＝c ，－12－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝－2. 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －2，x ≤0，2，x >0. 当x ≤0时，由f (x )＝x 得x 2＋2x －2＝x 得x ＝－2或x ＝1.当x ＞0时，由f (x )＝x 得x ＝2.所以方程f (x )＝x 的解为：－2,1,2.分析：(1)条件中f (－2)，f (0)，f (－1)所适合的解析式是f (x )＝x 2＋bx ＋c ，所以可构建方程组求出b ，c 的值．(2)在方程f (x )＝x 中，f (x )用哪个解析式，要进行分类讨论．正解：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －22－2b ＋c ＝c ，－12－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝－2. ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2，x ≤0，2，x >0. 当x ≤0时，由f (x )＝x 得，x 2＋2x －2＝x ，得x ＝－2或x ＝1.由于x ＝1＞0，所以舍去．当x ＞0时，由f (x )＝x 得x ＝2，所以方程f (x )＝x 的解为－2,2.答题指导：1．对于分段函数问题，是高考的热点．在解决分段函数问题时，要注意自变量的限制条件．2．就本题而言，当x ≤0时，由f (x )＝x 得出两个x 值，但其中的x ＝1不符合要求，错解中没有舍去此值，因而导致了增解．分段函数问题分段求解，但一定注意各段的限制条件．1．已知函数f (x )＝12＋x＋(x －1)0的定义域为M ，g (x )＝ln(2－x )的值域为N ，则M ∩N ＝( )．A ．{x |x ＞－2}B ．{x |x ＜2}C ．{x |－2＜x ＜2}D ．{x |x ＞－2，且x ≠1}2．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝( )． A ．lg 1x B ．lg 1x －1C ．lg 2x －1D ．lg 1x －23．(2012陕西高考)设函数f (x )＝⎩⎨⎧ x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x <0，则f (f (－4))＝______.4．设g (x )是定义在R 上、以1为周期的函数．若函数f (x )＝x ＋g (x )在区间[0,1]上的值域为[－2,5]，则f (x )在区间[0,3]上的值域为__________．5．对a ，b ∈R ，记min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a <b ，b ，a ≥b ，函数f (x )＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫12x ，－|x －1|＋2(x ∈R )的最大值为________．参考答案基础梳理自测知识梳理1．数集 集合 任意 数x 都有唯一确定数f (x ) 任意 元素x 都有唯一确定 元素yf ：A →B f ：A →B2．(1)x 的取值范围A 函数值的集合{f (x )|x ∈A } (2)定义域 值域 对应关系3．解析法 列表法 图象法4．对应法则 并集 并集基础自测1．C 解析：由题中表格可知g (3)＝1，∴f (g (3))＝f (1)＝3.故选C.2．C 解析：依据函数的概念，集合A 中任一元素在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，选项C 不符合．3．C 解析：选项A 和B 定义域不同，选项D 对应法则不同．4．B 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ ln(x ＋1)≠0，x ＋1>0，4－x 2≥0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠0，x >－1，－2≤x ≤2，所以定义域为(－1,0)∪(0,2]．5．A 解析：当x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32；当x ＞1时，－x ＝2，∴x ＝－2(舍去)．∴x ＝log 32.考点探究突破【例1－1】(0，6] 解析：要使函数f (x )＝1－2log 6x 有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧1－2log 6x ≥0，x >0，解得0＜x ≤6，故f (x )的定义域为(0，6]． 【例1－2】解：用换元思想，令3－2x ＝t ，f (t )的定义域即为f (x )的定义域， ∴t ＝3－2x (x ∈[－1,2])．∴－1≤t ≤5.故f (x )的定义域为[－1,5]．【例1－3】解：(1)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，x ∈[0,3]，结合二次函数的图象，可知y ＝x 2＋2x 在区间[0,3]上是增函数，故当x ＝3时，y max ＝15；当x ＝0时，y min ＝0.故函数的值域为[0,15]．(2)令x 2－1＝t ，则t ≥－1，原函数化为y ＝2t ，t ∈[－1，＋∞)．结合y ＝2t 的单调性得y ＝2t ，t ∈[－1，＋∞)的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. (3)原函数即为y ＝log 3x ＋1log 3x－1. 当x ＞1时，log 3x ＞0，因此利用基本不等式得y ≥2－1＝1，当log 3x ＝1log 3x，即x ＝3时取“＝”； 当0＜x ＜1时，log 3x ＜0，因此log 3x ＋log x 3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－log 3x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1log 3x ≤－2， ∴log 3x ＋1log 3x－1≤－3， 当且仅当log 3x ＝1log 3x， 即x ＝13时取“＝”． 综上可知，y ＝log 3x ＋log x 3－1的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．【例2－1】2x x ＋2 解析：由f (2)＝1得22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2； 由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ， 变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0， 解此方程得x ＝0或x ＝1－b a ，又∵方程有唯一解，∴1－b a＝0，解得b ＝1， 代入2a ＋b ＝2得a ＝12， ∴f (x )＝2x x ＋2. 【例2－2】解：∵2f (x )－f (－x )＝x ＋1，用－x 去替换式子中的x ，得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1.即有⎩⎪⎨⎪⎧ 2f (x )－f (－x )＝x ＋1，2f (－x )－f (x )＝－x ＋1.解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x 3＋1. 【例2－3】解：(1)任取x ＞0，则－x ＜0，∴f (－x )＝－2x ＋(－x )2＝x 2－2x .∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝2x －x 2.故x ＞0时，f (x )＝2x －x 2.(2)∵方程f (x )＝2a 2＋a 有三个不同的解，∴－1＜2a 2＋a ＜1.∴－1＜a ＜12. 演练巩固提升1．D 解析：∵M ＝{x |x ＞－2，且x ≠1}，N ＝R ，∴M ∩N ＝M ＝{x |x ＞－2，且x ≠1}．2．C 解析：令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1， ∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1， 故选C.3．4 解析：∵f (－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16，∴f(f(－4))＝f(16)＝16＝4.4．[－2,7] 解析：设x1∈[0,1]，f(x1)＝x1＋g(x1)∈[－2,5]．∵函数g(x)是以1为周期的函数，∴当x2∈[1,2]时，f(x2)＝f(x1＋1)＝x1＋1＋g(x1)∈[－1,6]．当x3∈[2,3]时，f(x3)＝f(x1＋2)＝x1＋2＋g(x1)∈[0,7]．综上可知，当x∈[0,3]时，f(x)∈[－2,7]．5．1 解析：y＝f(x)是y＝12x与y＝－|x－1|＋2两者中的较小者，数形结合可知，函数的最大值为1.。

第一节函数及其表示[知识能否忆起]1．函数的概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A 到集合B的一个映射．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[小题能否全取]1．(教材习题改编)设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于()A．－2x＋1B．2x－1C．2x－3 D．2x＋7解析：选D f(x)＝g(x＋2)＝2(x＋2)＋3＝2x＋7.2．(·江西高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23D.139解析：选D f (3)＝23，f (f (3))＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139. 3．已知集合A ＝[0,8]，集合B ＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝18xB ．f ：x →y ＝14xC ．f ：x →y ＝12xD ．f ：x →y ＝x解析：选D 按照对应关系f ：x →y ＝x ，对A 中某些元素(如x ＝8)，B 中不存在元素与之对应．4．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝____________. 解析：令t ＝1x ，则x ＝1t .所以f (t )＝1t 2＋5t .故f (x )＝5x ＋1x 2(x ≠0)．答案：5x ＋1x2(x ≠0)5．(教材习题改编)若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (－1)＝________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3.即f (x )＝x 2－4x ＋3.所以f (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8. 答案：81.函数与映射的区别与联系(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A 与集合B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射．(2)映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数．2．定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数如函数y ＝x 与y ＝x ＋1，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数；再如函数y ＝sin x 与y ＝cos x ，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数．因此判断两个函数是否相同，关键是看定义域和对应关系是否相同．3．求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．函数的基本概念典题导入[例1] 有以下判断：(1)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；(2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； (3)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；(4)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．[自主解答] 对于(1)，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于(3)，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于(4)，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是(2)(3)． [答案] (2)(3)由题悟法两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函数．以题试法1．试判断以下各组函数是否表示同一函数．(1)y＝1，y＝x0；(2)y＝x－2·x＋2，y＝x2－4；(3)y＝x，y＝3t3；(4)y＝|x|，y＝(x)2.解：(1)y＝1的定义域为R，y＝x0的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，故它们不是同一函数．(2)y＝x－2·x＋2的定义域为{x|x≥2}．y＝x2－4的定义域为{x|x≥2，或x≤－2}，故它们不是同一函数．(3)y＝x，y＝3t3＝t，它们的定义域和对应关系都相同，故它们是同一函数．(4)y＝|x|的定义域为R，y＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，故它们不是同一函数．求函数的解析式典题导入[例2] (1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )． [自主解答] (1)由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)． (2)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．由题悟法函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式(如例(1))；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3))；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例(2))；(4)方程思想：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )(如A 级T6)．以题试法2．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．解：(1)法一：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)；代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)， 即f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又∵方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.分 段 函 数典题导入[例3] (·广州调研考试)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈(－∞，1)，x 2，x ∈[1，＋∞)，若f (x )>4，则x 的取值范围是______．[自主解答] 当x <1时，由f (x )>4，得2－x >4，即x <－2；当x ≥1时，由f (x )>4得x 2>4，所以x >2或x <－2， 由于x ≥1，所以x >2. 综上可得x <－2或x >2.[答案] (－∞，－2)∪(2，＋∞)若本例条件不变，试求f (f (－2))的值． 解：∵f (－2)＝22＝4， ∴f (f (－2))＝f (4)＝16.由题悟法求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．以题试法3.(·衡水模拟)已知f (x )的图象如图，则f (x )的解析式为________． 解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝⎛⎭⎫1，32和⎝⎛⎭⎫1，32，(2,0)分别代入， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎨⎧32x ，0≤x ≤1，3－32x ，1≤x ≤21．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2 B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100答案：D2．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析：选D 函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}．3．(·安徽高考)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析：选C 对于选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于选项B ，f (x )＝x －|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥0，2x ，x ＜0，当x ≥0时，f (2x )＝0＝2f (x )，当x ＜0时，f (2x )＝4x ＝2·2x ＝2f (x )，恒有f (2x )＝2f (x )；对于选项D ，f (2x )＝－2x ＝2(－x )＝2f (x )；对于选项C ，f (2x )＝2x ＋1＝2f (x )－1.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos (πx )，x >0，f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．1 C ．2D ．3解析：选D f ⎝⎛⎭⎫43＝12，f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫23＋2＝52，f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝3. 5．现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是( )解析：选C 从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快．6．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( )A ．x －1B ．x ＋1C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析：选B 由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1.① 将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1.② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3， 即f (x )＝x ＋1.7．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________. 解析：由f (1)＝f (2)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋p ＋q ＝0，22＋2p ＋q ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3，q ＝2.故f (x )＝x 2－3x ＋2.所以f (－1)＝(－1)2＋3＋2＝6. 答案：68．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x ＜2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)9．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的是________．解析：由函数的定义，对定义域内的每一个x 对应着唯一一个y ，据此排除①④，③中值域为{y |0≤y ≤3}不合题意．答案：②10．若函数f (x )＝xax ＋b (a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式．解：由f (2)＝1得22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba ，又因方程有唯一解，故1－ba ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，所以f (x )＝2x x ＋2. 11.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是 2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．解：当x ∈[0,30]时，设y ＝k 1x ＋b 1， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝0，30k 1＋b 1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝115，b 1＝0.即y ＝115x .当x ∈(30,40)时，y ＝2； 当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝110，b 2＝－2.即y ＝110x －2.综上，f (x )＝⎩⎨⎧115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈(30，40)，110x －2，x ∈[40，60].12．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解：(1)点A 表示无人乘车时收支差额为－20元，点B 表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价． (3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元．1．(·北京高考)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析：选D 因为组装第A 件产品用时15分钟， 所以cA＝15，① 所以必有4<A ，且c 4＝c2＝30.② 联立①②解得c ＝60，A ＝16.2．(·江西红色六校联考)具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.3．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )>2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有 a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x . ∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1>2x ＋5，即x 2－3x －4>0， 解得x >4或x <－1.故原不等式解集为{x |x >4，或x <－1}．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.解析：∵f (0)＝3×0＋2＝2，f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，∴a＝2.答案：22．若函数的定义域为{x|－3≤x≤6，且x≠4}，值域为{y|－2≤y≤4，且y≠0}，试在下图中画出满足条件的一个函数的图象．解：本题答案不唯一，函数图象可画为如图所示．3．已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x.(1)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；(2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，求函数f(x)的解析式．解：(1)因为对任意x∈R有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，所以f(f(2)－22＋2)＝f(2)－22＋2，又f(2)＝3，从而f(1)＝1.若f(0)＝a，则f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a.(2)因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，又有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，故对任意x∈R，有f(x)－x2＋x＝x0.在上式中令x＝x0，有f(x0)－x20＋x0＝x0.又因为f(x0)＝x0，所以x0－x20＝0，故x0＝0或x0＝1.若x0＝0，则f(x)＝x2－x，但方程x2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0.若x0＝1，则有f(x)＝x2－x＋1，易证该函数满足题设条件．综上，所求函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.。

高三数学一轮精品复习学案：函数及其表示【高考目标定位】一、考纲点击1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。

3．了解简单的分段函数，并能简单应用。

二、热点、难点提示1．本节是函数的起始部分，以考查函数的概念、三要素及表示法为主，同时函数的图象、分段函数的考查是热点，另外，实际问题中的建模能力偶尔也有所考查。

2．以多种题型出现在高考试题中，要求相对较低，但很重要，特别是函数的表达式、对应法则，仍是明年高考考查的重要内容。

【考纲知识梳理】一、函数与映射的概念注：函数与映射的区别：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。

二、函数的其他有关概念 （1）函数的定义域、值域在函数()y f x =，x A ∈中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值{()|}f x x A ∈的集合叫做函数的值域（2）一个函数的构成要素 定义域、值域和对应关系 （3）相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。

注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。

如果函数y=x 和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y=sinx 与y=cosx ，其定义域为R ，值域都为[-1，1]，显然不是相等函数。

因此凑数两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系）（4）函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、图象法和列表法。

（5）分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。

函数的概念与表示一、 知识梳理：（阅读教材必修1第15页—第26页） 1、 函数 （1）、函数的定义：（2）、构成函数的三要素：函数的定义含有三个要素，即定义域A ，值域C ，对应法则f ，当定义域A ，对应法则f 相同时，两个函数表示是同一个函数，解决一切函数问题必须认真确定函数的定义域，函数的定义域包含四种形式： 自然型；限制型；实际型；抽象型；（3）函数的表示方法：解析式法，图象法，列表法 2、 映射映射的定义： 函数与映射的关系：函数是特殊的映射 3、分段函数分段函数的理解：函数在它的定义域中对于自变量x 的不同取值上的对应关系不同，则可以用多个不同的解析式来表示该函数，这种形式的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是多个函数。

4、函数解析式求法求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等． 二、题型探究探究一：求函数的定义域 例1：1. 【15年新课标2文科改编】如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B ，本题在解题时，突破点可以抓住定义域。

2、函数y=253x x --的值域是{y|y≤0或y≥4},则此函数的定义域为________.解析:∵y≤0或y≥4,∴253x x --≤0或253x x --≥4.∴52≤x<3或3<x≤72.答案: 52≤x<3或3<x≤72. 探究二：求函数的解析式 例2．（1）.（15年新课标2文科）已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ．【答案】-2 【解析】试题分析：由()32f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=⇒=- .考点：函数解析式（2）.已知2(1)lg f x x+=，求()f x ；（3）.已知是定义在实数R 上的奇函数，当，,的解析式。

2.1 函数及其表示目标定位1. 了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解。

2．能根据函数的二要素判断两个函数是否为同一函数。

3．理解分段函数的意义。

4．掌握函数的三种表示方法。

知识梳理1. 设集合A是一个非空的数集，对A内任意数x，按照确定的法则f，都有，则这种对应关系叫做集合A的一个函数。

记作：。

2．确定一个函数只需两个要素：。

3．设A、B是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f，对A内任意一个元素x，在B 内，则称f是集合A到集合B的映射。

4．函数的三种表示方法是：。

课堂互动知识点1 函数的概念函数的定义有各种不同的形式，不管哪种形式其中最核心的内容都是“对于任意的一个数x，按照确定的法则f，都有惟一确定的数值y与它对应”，“惟一”是其中的关键字。

在处理有关函数的概念的问题时，必须切实把握“惟一”二字。

『例题1』下列各图象不能表示函数图象的是『分析』根据函数的定义，对于任意的一个数x，按照确定的法则f，都有惟一确定的数值y与它对应，而在D中对于的x可能有两个y值与它对应，所以D不能表示函数图象。

『答案』D『点评』在解决考查函数的概念的题目时，必须把握两点：一是定义域非空数集（当然值域也非空数集）；二是对于任意的一个数x，按照确定的法则f，都有惟一确定的数值y与它对应（必须是惟一的）。

巩固练习 以下四组函数中，表示同一函数的是A ．2)(|,|)(t t g x x f ==B ．22)()(,)(x x g x x f ==C ．1)(,11)(2+=--=x x g x x x f D ．1)(,11)(2-=-⋅+=x x g x x x f 知识点2 函数的表示法函数的表示方法是函数的外在表现形式，在三种形式中最重要的是解析法、图象法（这两种表示方法必须既要能读懂，又要能用它们熟练地表示函数），列表法在以前的考查中主要是能读懂列表法表示的函数和列表法画函数图象，一般不要求学生用列表的方法表示函数。

精品教案第十课时函数及其表示课前预习案考纲要求1.了解构成函数的要素；了解映射的概念；2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用；4.会求一些简单函数的定义域．基础知识梳理1.函数与映射的概念．函数映射两集合 A、 B 设 A、 B是两个非空设 A、 B 是两个非空对应关系如果按照某种确定的对应关系 f ，使如果按照某种确定的对应关系 f ，使f : A B 对于集合 A 中的一个数 x ，在对于集合 A 中的一个数 x ，在集集合 B中的和它合 B 中对应的 y 与之对应名称称为从集合A到集合 B的一称对应为从集合A到集合 B 个函数的一个映射记法y f ( x), x A 映射 f : A B2.函数的相关概念（ 1 ）函数的三要素是、和．（ 2 ）相等函数：如果两个函数的和完全一致，则这两个函数相等．3.函数的表示方法表示函数的常用方法有：、、．4. 分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数；分段函数的定义域等于各段函数的定义域的，其值域等于各段函数的值域的，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数．预习自测1.已知集合 M 1,1,2,4 ， N0,1,2 ，给出下列四个对应法则：① y x 2 ；② y x 1；③ y2x ；④ y log 2 | x | ，其中能构成从 M 到 N 的函数的是 （ ）A ．①B ．②C ．③D ．④2.下列各组函数中表示相等函数的是（ ）A ． f ( x) x 与 g( x) ( x )2B ． f ( x) | x | 与 g(x) 3x 3C ． f (x)x | x |与 g( x)x 2(x 0)D ． f (x)x 2 1 t 1(t 1)x 2 (x 0) x与 g(t )13.已知函数 f ( x)3x( x 0),log 2 x ( x 那么0),A ． 9B ． 9C ．f f ( 1)（）411 D ．99课堂探究案典型例题考点 1 函数的概念【典例 1 】下列四组函数中，表示相等函数的是（）A ． f ( x)x 1 ? x 1 与g( x)x 21．B x 2 1D ． C ． f (x)与 g( x) x 1f ( x)x 2 与 g( x) ( x )2f ( x) | x | 与 g(t )t 2【变式 1 】有以下判断： （ 1） f (x)| x | 1 x 0, x与 g (x)x表示同一函数；1 0.（ 2 ）函数 y f ( x) 的图象与直线 x 1 的交点最多有 1 个；（ 3 ） f (x)x 2 2x 1与 g(t)t 22t 1是同一函数；（ 4 ）若 f (x) | x 1|| x | ，则 f f ( 1)0．2其中正确判断的序号是．考点 2 函数的表示方法【典例 2 】已知函数 f ( x) ， g ( x) 分别由下表给出则 fg(1)；满足f g(x)g f ( x) 的 x 的值是．考点 3 求函数的定义域x 2 3x 4 ）【典例 3 】（1 ）函数的 y 的定义域为（xA ．4,1B ． 4,0C ． 0,1D ． 4,00,1（ 2 ）已知函数 f (2 x 1) 的定义域为 (0,1) ，则 f ( x) 的定义域是．【变式 2 】（1 ）（ 2011 江西）若 f ( x)1，则 f (x) 的定义域为（）log 1 (2 x 1)21 1 C ． (1 )D ． (0,)A ． (,0)B ． (,0],222（ 2 ）若函数 f (2 x ) 的定义域是1,1 ，则 f (log 2 x) 的定义域为．考点 4 分段函数21 x(x 1),则满足 f ( x) 2 的 x 的取值范围是（【典例 4 】设函数 f (x)log 2 x ( x 1), ）1A ． 1,2B ． 0,2C ． 1,D ． 0,x 2 bx c ( x 0), f (0) ， f ( 2)2 ，则关于【变式 3 】（ 1 ）设函数 f ( x) (x若 f ( 4)20).x 的方程 f ( x) x 的解的个数为（）A ． 1B ． 2C ．3D ． 4（ 2 ）已知函数f ( x)x 2 1 ( x 0), 则满足不等式 f (1 x 2 ) f (2 x) 的 x 的取值范围1 (x 0),是．当堂检测1. 设集合 A 和集合 B 都是实数集 R ，映射“ f : A B ”把集合 A 中元素 x 映射到集合 B 中的元素 x 3x 1 ，则在映射 f 下，象 1 的原象所成的集合是（）1B 、 0，-1，1C 、 0D 、 0，-1，-22. 给定映射 f ：（ x ， y ）→（x ， x ＋ y ），在映射 f 下象（ 2 ，3 ）的原象是（ a ， b ），则函数 f（ x ）＝ ax 2＋ bx 的顶点坐标是 ________。

§2.1函数的概念及其表示考试要求 1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理1．函数的概念给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．常用结论1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(×)(2)函数y ＝f (x )的图象可以是一条封闭曲线．(×)(3)y ＝x 0与y ＝1是同一个函数．(×)(4)函数f (x )－1，x ≥0，2，x <0的定义域为R .(√)教材改编题1．(多选)下列所给图象是函数图象的是()答案CD 解析A 中，当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；B 中，当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；CD 中，每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．2．下列各组函数表示同一个函数的是()A ．y ＝x －1与y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x －1与y ＝－1xC ．y ＝2x 2与y ＝2xD ．y ＝2x －1与v ＝2t －1答案D 解析y ＝x －1的定义域为R ，y ＝x 2－1x ＋1的定义域为{x |x ≠－1}，定义域不同，不是同一个函数，故选项A 不正确；y ＝x －1＝1x 与y ＝－1x的对应关系不同，不是同一个函数，故选项B 不正确；y ＝2x 2＝2|x |与y ＝2x 的对应关系不同，不是同一个函数，故选项C 不正确；y ＝2x －1与v ＝2t －1的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相同，所以是同一个函数，故选项D 正确．3．已知函数f (x )x ，x >0，x ，x ≤0，则函数f ()A ．3B ．－3 C.13D ．－13答案C解析由题意可知，f ln 13＝－ln 3，所以f f (－ln 3)＝e －ln 3＝13.题型一函数的定义域例1(1)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为()A ．(－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1)D ．(－1,1]答案C解析＋1>0，x 2－3x ＋4>0，解得－1<x <1，故定义域为(－1,1)．(2)已知函数f (x )的定义域为(－4，－2)，则函数g (x )＝f (x －1)＋x ＋2的定义域为________．答案[－2，－1)解析∵f (x )的定义域为(－4，－2)，要使g (x )＝f (x －1)＋x ＋2有意义，4<x －1<－2，＋2≥0，解得－2≤x <－1，∴函数g (x )的定义域为[－2，－1)．思维升华(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x 的取值集合；(2)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(3)若复合函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则函数f (x )的定义域为g (x )在[a ，b ]上的值域．跟踪训练1(1)函数f (x )＝1ln (x －1)＋3－x 的定义域为()A ．(1,3]B ．(1,2)∪(2,3]C ．(1,3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，3)答案B解析－1>0，－1≠1，－x ≥0，所以1<x <2或2<x ≤3，所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3]．(2)(2023·南阳检测)已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，则函数g (x )＝f (x －1)＋2x －1的定义域是()A ．{x |x >2或x <0}|12≤x <2C ．{x |x >2}|x ≥12答案B 解析要使f (x )＝lg 1－x 1＋x 有意义，则1－x 1＋x>0，即(1－x )(1＋x )>0，解得－1<x <1，所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．要使g (x )＝f (x －1)＋2x －1有意义，1<x －1<1，x －1≥0，解得12≤x <2，所以函数g (x )|12≤x <2题型二函数的解析式例2(1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，求f (x )的解析式；(2)已知f x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．(4)已知f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，求f (x )的解析式．解(1)(换元法)设1－sin x ＝t ，t ∈[0,2]，则sin x ＝1－t ，∵f (1－sin x )＝cos 2x ＝1－sin 2x ，∴f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]．即f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]．(2)(配凑法)∵f x 2＋1x2＝－2，∴f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(3)(待定系数法)∵f (x )是一次函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2x ＋17.即ax ＋(5a ＋b )＝2x ＋17，＝2，a ＋b ＝17，＝2，＝7.∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.思维升华函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．跟踪训练2(1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是() A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7C．f(x)＝x2＋2x－3D．f(x)＝x2＋6x－10答案A解析f(x－1)＝x2＋4x－5，设x－1＝t，x＝t＋1，则f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，故f(x)＝x2＋6x.(2)若f ＝x1－x，则f(x)＝________.答案1x－1(x≠0且x≠1)解析f(x)＝1x1－1x＝1x－1(x≠0且x≠1)．(3)已知函数f(x)满足f(x)＋2f3x，则f(2)等于()A．－3B．3C．－1D．1答案A解析f(x)＋2f3x，①则f2f(x)＝－3x，②联立①②解得f(x)＝－2x－x，则f(2)＝－22－2＝－3.题型三分段函数例3(1)已知函数f(x)x－1)，x>0，ln(x＋e)＋2，x≤0，则f(2024)的值为() A．－1B．0C．1D．2答案C解析因为f (x )x －1)，x >0，ln (x ＋e )＋2，x ≤0，所以f (2024)＝f (2023)＝f (2022)＝…＝f (1)，又f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝－ln(0＋e)＋2＝－1＋2＝1，所以f (2024)＝1.(2)已知函数f (x )x 2－3x ＋2，x <－1，x －3，x ≥－1，若f (a )＝4，则实数a 的值是________；若f (a )≥2，则实数a 的取值范围是________．答案－2或5[－3，－1)∪[4，＋∞)解析若f (a )＝4，<－1，a 2－3a ＋2＝4≥－1，a －3＝4，解得a ＝－2或a ＝5.若f (a )≥2，<－1，a 2－3a ＋2≥2≥－1，a －3≥2，解得－3≤a <－1或a ≥4，∴a 的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)．思维升华分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．跟踪训练3(1)已知函数f (x )＋2，x ≤0，＋1x ，x >0，若f (f (a ))＝2，则a 等于()A ．0或1B ．－1或1C ．0或－2D ．－2或－1答案D 解析令f (a )＝t ，则f (t )＝2，可得t ＝0或t ＝1，当t ＝0时，即f (a )＝0，显然a ≤0，因此a ＋2＝0⇒a ＝－2，当t ＝1时，即f (a )＝1，显然a ≤0，因此a ＋2＝1⇒a ＝－1，综上所述，a ＝－2或－1.(2)(2023·重庆质检)已知函数f (x )2x ，x >1，2－1，x ≤1，则f (x )<f (x ＋1)的解集为________．答案－12，＋∞解析当x ≤0时，x ＋1≤1，f (x )<f (x ＋1)等价于x 2－1<(x ＋1)2－1，解得－12<x ≤0；当0<x ≤1时，x ＋1>1，此时f (x )＝x 2－1≤0，f (x ＋1)＝log 2(x ＋1)>0，∴当0<x ≤1时，恒有f (x )<f (x ＋1)；当x >1时，x ＋1>2，f (x )<f (x ＋1)等价于log 2x <log 2(x ＋1)，此时也恒成立．综上，不等式f (x )<f (x ＋1)－12，＋课时精练1．函数f (x )＝lg(x －2)＋1x －3的定义域是()A ．(2，＋∞)B ．(2,3)C ．(3，＋∞)D ．(2,3)∪(3，＋∞)答案D 解析∵f (x )＝lg(x －2)＋1x －3，－2>0，－3≠0，解得x >2，且x ≠3，∴函数f (x )的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．2．(2023·北京模拟)已知集合A ＝{x |－2<x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤4}，则下列对应关系中是从集合A 到集合B 的函数是()A ．y ＝x ＋1B ．y ＝e xC ．y ＝x 2D ．y ＝|x |答案B 解析对于A ，当x ＝－1时，由y ＝x ＋1得y ＝0，但0∉B ，故A 错误；对于B ，因为从A ＝{x |－2<x ≤1}中任取一个元素，通过y ＝e x 在B ＝{x |0<x ≤4}中都有唯一的元素与之对应，故B 正确；对于C ，当x ＝0时，由y ＝x 2得y ＝0，但0∉B ，故C 错误；对于D ，当x ＝0时，由y ＝|x |得y ＝0，但0∉B ，故D 错误．3．已知f (x 3)＝lg x ，则f (10)的值为()A ．1 B.310 C.13 D.1310答案C 解析令x 3＝10，则x ＝1310，∴f (10)＝lg 1310＝13.4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h ，注水时间为t ，则下面选项中最符合h 关于t 的函数图象的是()答案A 解析水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，由图可知选项A 符合．5．函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为()－∞，32D.32，＋∞答案B解析设1－2x ＝t ，则t ≥0，x ＝1－t 22所以y ＝1＋1－t 22－t ＝12(－t 2－2t ＋3)＝－12(t ＋1)2＋2，因为t ≥0，所以y ≤32.所以函数y ＝1＋x －1－2x ∞，32.6．已知函数f (x )x 2＋2x ＋3，x ≤2，＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)，若函数f (x )的值域是(－∞，4]，则实数a 的取值范围是()B.22，C ．(1，2]D ．(1，2)答案B 解析当x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，当x ＝1时，f (x )＝－x 2＋2x ＋3取得最大值4，所以当x ≤2时，函数f (x )的值域是(－∞，4]，所以当x >2时，函数f (x )＝6＋log a x 的值域为(－∞，4]的子集，当a >1时，f (x )＝6＋log a x 在(2，＋∞)上单调递增，此时f (x )>f (2)＝6＋log a 2>6，不符合题意，当0<a <1时，f (x )＝6＋log a x 在(2，＋∞)上单调递减，此时f (x )<f (2)＝6＋log a 2≤4，即log a 2≤－2，所以a 2≥12，可得22≤a <1，所以实数a 的取值范围是22，7．(多选)下列四个函数，定义域和值域相同的是()A ．y ＝－x ＋1B ．133,0,1,0x x y x x⎧≤⎪=⎨⎪>⎩C ．y ＝ln|x |D ．y ＝2x －1x －2答案ABD 解析对A ，函数的定义域和值域都是R ；对B ，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R ；对C ，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R ；对D ，因为函数y ＝2x －1x －2＝2＋3x －2，所以函数的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．所以ABD 是定义域和值域相同的函数．8．(多选)函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”，则下列对应法则f 满足函数定义的有()A ．f (x 2)＝|x |B ．f (x 2)＝xC ．f (cos x )＝xD ．f (e x )＝x 答案AD 解析令t ＝x 2(t ≥0)，f (t )＝|±t |＝t ，故A 符合函数定义；令t ＝x 2(t ≥0)，f (t )＝±t ，设t ＝4，f (t )＝±2，一个自变量对应两个函数值，故B 不符合函数定义；设t ＝cos x ，当t ＝12时，x 可以取±π3等无数多个值，故C 不符合函数定义；令t ＝e x (t >0)，f (t )＝ln t ，故D 符合函数定义．9．已知函数f (x )x ，x <0，x －π)，x >0，则f ________.答案12解析由已知得f f f f f ＝12.10．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________.答案x 2－1(x ≥0)解析令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)．11．已知函数f (x )的定义域为[－2,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋1－2x 的定义域为__________．答案[－1,0]解析2≤2x ≤2，－2x ≥0，解得－1≤x ≤0，所以函数g (x )的定义域是[－1,0]．12．已知f (x )x ＋3，x >0，2－4，x ≤0，若f (a )＝5，则实数a 的值是__________；若f (f (a ))≤5，则实数a 的取值范围是__________．答案1或－3[－5，－1]解析①当a >0时，2a ＋3＝5，解得a ＝1；当a ≤0时，a 2－4＝5，解得a ＝－3或a ＝3(舍)．综上，a ＝1或－3.②设t ＝f (a )，由f (t )≤5得－3≤t ≤1.由－3≤f (a )≤1，解得－5≤a ≤－1.13．(2022·广州模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足，f (1－x )＋2f (x )＝x 2＋1，则f (1)等于()A ．－1B ．1C ．－13 D.13答案B解析∵定义在R 上的函数f (x )满足，f (1－x )＋2f (x )＝x 2＋1，∴当x ＝0时，f (1)＋2f (0)＝1，①当x ＝1时，f (0)＋2f (1)＝2，②②×2－①，得3f (1)＝3，解得f (1)＝1.14．(2023·南昌模拟)已知函数f (x )3，x ≤0，x >0，若f (a －3)＝f (a ＋2)，则f (a )等于()A ．2 B.2C ．1D ．0答案B解析作出函数f (x )的图象，如图所示．因为f (a －3)＝f (a ＋2)，且a －3<a ＋2，－3≤0，＋2>0，即－2<a ≤3，此时f (a －3)＝a －3＋3＝a ，f (a ＋2)＝a ＋2，所以a ＝a ＋2，即a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1(不满足a ＝a ＋2，舍去)，则f (a )＝ 2.15．∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中最大者，M(x)＝{|x|－1,1－x2}，若M(n)<1，则实数n 的取值范围是()A．(－2,2)B．(－2,0)∪(0,2)C．[－2,2]D．(－2，2)答案B解析当x≥0时，若x－1≥1－x2，则x≥1，当x<0时，若－x－1≥1－x2，则x≤－1，所以M(x)||－1，x≥1或x≤－1，1－x2，－1<x<1，若M(n)<1，则当－1<n<1时，1－n2<1⇒－n2<0⇒n≠0，即－1<n<0或0<n<1，当n≥1或n≤－1时，|n|－1<1，解得－2<n≤－1或1≤n<2，综上，－2<n<0或0<n<2.16．(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数F(x)＝1，x为有理数，0，x为无理数被称为狄利克雷函数．关于狄利克雷函数，下列说法正确的是() A．F(F(x))＝0B．对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立C．任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)对任意实数x均成立D．存在三个点A(x1，F(x1))，B(x2，F(x2))，C(x3，F(x3))，使得△ABC为等边三角形答案BD解析∵当x为有理数时，F(x)＝1，当x为无理数时，F(x)＝0，当x为有理数时，F(F(x))＝F(1)＝1，当x为无理数时，F(F(x))＝F(0)＝1，所以F(F(x))＝1恒成立，故A错误；因为有理数的相反数是有理数，无理数的相反数是无理数，所以对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立，故B正确；若x是有理数，T是有理数，则x＋T是有理数；若x是有理数，T是无理数，则x＋T是无理数；若x是无理数，则x＋T是无理数或有理数，所以任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)不恒成立，故C错误；取x1＝－33，x2＝0，x3＝33，可得F(x1)＝0，F(x2)＝1，F(x3)＝0，所以A－33，0，B(0,1)，C33，0△ABC为等边三角形，故D正确．。

第二章第一节函数及其表示教学目标：知识与技能：了解构成函数的要素，回求一些函数的定义域和值域了解映射的概念，了解分段函数，并能简单应用。

过程与方法：会根据实际情景，求函数的解析式，定义域和值域情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生函数的抽象定义。

教学重点：函数的定义域和值域了解映射的概念，了解分段函数，并能简单应用教学难点：求函数的解析式，定义域和值域及分段函数的应用教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.函数与映射的概念2.函数的定义域、值域、相等函数(1)定义域：在函数y=f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域(2)值域：函数值的集合叫做函数的值域.3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示方法表示函数的常用方法:图象法，列表法，解析式法4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.二．例题讲解【典例1】(1)(2013·山东高考)函数f(x)=的定义域为( )(A)(-3,0] (B)(-3,1] (C)(-∞,-3)∪(-3,0] (D)(-∞,-3)∪(-3,1](2)(2013·大纲版全国卷)已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x+1)的定义域为( ) (A)(-1,1) (B)(-1,-21 ) (C)(-1,0) (D)( 21 ,1) 【思路点拨】(1)根据解析式,构建使解析式有意义的不等式组求解即可.(2)要明确f(2x+1)中的x 与f(x)中x 的含义,从而构建不等式求解答案 A B【变式训练】(1)函数 的定义域是_______.(2)已知函数f(x)的定义域为［1,2］，则函数的定义域是________.答案：（1） (-3,0)∪(2,3) （2）【典例2】(1)已知 则f(x)的解析式可取为( )(A) (B) (C) (D)(2)已知f(x)是二次函数且f (0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,则f(x)=________.(3)已知f(x)+2f =x(x ≠0),f(x)=________.【思路点拨】(1)用换元法，令 求f(t),得f(x).(2)已知函数类型,用待定系数法求解.(3)用 代x,构造方程组求解.答案：（1）C (2) (3) (x ≠0)【变式训练】(1)求下列函数的解析式.①已知 求f(x);②2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求f(x).(2)已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式.答案（1）① f(x)= (x>1). ②（2）【典例3】(1)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟为已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是( )(A)75，25 (B)75,16 (C)60,25 (D)60,16(2)已知函数则f(x)-f(-x)＞-1的解集为( )(A)(-∞,-1)∪(1,+∞) (B)［-1, )∪(0,1］(C)(-∞,0)∪(1,+∞) (D)［-1, ］∪(0,1)答案 D B【互动探究】本例题(2)中条件不变,若f(a)+f(1)=0,试求a的值.答案 a=±1【变式训练】设函数f(x)= 若f(-2)=f(0),f(-1)=-3，则关于x的方程f(x)=x的解的个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4答案 B三．课堂练习与作业思考辨析，考点自测，知能巩固。