2011数学建模期末试卷(天津商业大学)

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）
D题天然肠衣搭配问题
天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。

肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。

传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。

原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。

表1是几种常见成品的规格，长度单位为米，∞表示没有上限，但实际长度小于26米。

表1 成品规格表
为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表。

表2为某批次原料描述。

根据以上成品和原料描述，设计一个原料搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进行生产。

公司对搭配方案有以下具体要求：
(1) 对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；
(2) 对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；
(3) 为提高原料使用率，总长度允许有± 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；
(4) 某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。

如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；
(5) 为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。

请建立上述问题的数学模型，给出求解方法，并对表1、表2给出的实际数据进行求解，给出搭配方案。

2011年天津商业大学（资产评估硕士）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 论述题 2. 名词解释3. 简答题 4. 辨析题 5. 计算题论述题1．阐述国内生产总值(GDP)的内涵与核算范围及其与国民生产总值(GNP)的关系，并对GDP这一指标进行评价。

正确答案：(1)国内生产总值(GDP)指的是一国或地区一定时期(通常为一年)运用生产要素所生产的全部最终产品的市场价值。

指的是一国范围内生产的最终产品，是一个地域概念；而国民生产总值(GNP)指的是一国或地区国民所拥有的全部生产要素所生产的最终产品的市场价值，是一个国民概念。

例如，一个在美国工作的日本人，他获得的收入，就应该计入日本的GNP和美国的GDP。

(2)目前大部分国家都采用GDP为国民收入的核算。

在1991年11月之前，美国均是用GNP作为对经济总产出的基本测量指标。

后来改用GDP，原因是大多国家都用GDP。

同时，由于国外净收入数据不足，GDP则较易衡量，再加上GDP相对于GNP来说是国内就业潜力的更好衡量指标(本国使用外资时解决的是本国就业问题)。

当然，对美国来说，GDP和GNP的差异较小，二者使用差别并不大。

(3)两者之间的关系可以表示如下：GNP=GDP+(本国居民从外国获得的收入-外国居民从本国获得的收入)。

GDP指一个国家(地区)领土范围内，本国(地区)居民和外国居民在一定时期内所生产和提供的最终使用的产品和劳务的价值。

GDP一般通过支出法和收入法两种方法进行核算。

用支出法计算的国内生产总值等于消费、投资、政府支出和净出口之和；用收入法计算的国内生产总值等于工资、利息、租金、利润、间接税和企业转移支付和折旧之和。

GDP是一国范围内生产的最终产品的市场价值，因此是一个地域概念，而与此相联系的国民生产总值(GNP)则是一个国民概念，是指某国国民所拥有的全部生产要素所生产的最终产品的市场价值。

目前我国计算GDP是用第一产业增加值、第二产业增加值和第三产业增加值三者之和求得。

2011-2012第一学期《数学建模》选修课试题卷一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)1．模型模型指为了某种特定目的将原型的某一部分信息简化、压缩、提炼而构造成的原型替代物。

如地图、苯分子图.2．数学模型由数字、字母、或其他数学符号组成的，描述现实对象（原型）数量规律的数学结构。

具体地说，数学模型也可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构称之为数学模型.如概率的功利化定义.3．抽象模型通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接存储在大脑中的模型称之谓思维模型.如汽车司机对方向盘的操作.二、简答题（每小题满分8分，共24分）1．模型的分类按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类.形象模型：直观模型、物理模型、分子结构模型等;抽象模型：思维模型、符号模型、数学模型等。

2．数学建模的基本步骤1）建模准备：确立建模课题的过程；2）建模假设：根据建模的目的对原型进行抽象、简化。

有目的性原则、简明性原则、真实性原则和全面性原则；3）构造模型：在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻划实际问题的数学模型.；4）模型求解：构造数学模型之后，方法和算法，并借助计算机完成对模型的求解；5）模型分析：根据建模的目的要求，对模型求解的数字结果，或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等。

；6）模型检验：模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对模型进行检验，看它是否符合客观实际；7）模型应用：模型应用是数学建模的宗旨，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用.3．数学模型的作用数学模型的根本作用在于它将客观原型化繁为简、化难为易，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题。

2011年天津工业大学“创新杯”数学建模竞赛赛题要求：1.在A、B、C题中选择一题；2.按以下格式加封面，在答卷中不得出现班级、姓名等；3.如不愿意参加假期培训（—）和全国大学生数学建模竞赛的必须在封面声明，不愿自费参加竞赛的同学也请在封面声明；4.参赛选手务必于2011年6月13日11时之前将纸质版论文上交，老校区同学交到主楼A座606，新校区同学交到第一公共教学楼B区314。

编号：（同学不得填写）-------------------------------------------------------------------编号：队员姓名：队员一：__________________ 班级：___________学号：___________ 队员二：___________________班级：___________学号：___________队员三：___________________班级：___________学号：___________ (附：不愿意参加假期培训（—）和全国大学生数学建模竞赛)A题：一种汽车比赛的最优策略汽车运动是当前世界上一项重要的体育项目。

这项运动比传统的体育项目更具综合性，尤其涉及科学技术的各个方面。

数学物理科学在这个项目中自然十分重要。

当然，汽车运动的比赛项目也十分丰富。

其中的速度赛和节油赛就是两项基本比赛。

有人设计了如下的两个比赛项目：项目1：给汽车加一定量的燃油，在一定的路面及其风速环境下汽车行驶路程最远。

项目2：给汽车加一定量的燃油，在一定的路面及其风速环境下，在确定的比赛路段内，汽车行驶时间最短。

上述两个比赛项目的要点是比赛者应设计自己的最优比赛策略，既是给出定量燃油的消耗速率v(t), 尽量使上述两个项目达到最优效果。

既是得到尽量好的比赛成绩。

请在合理的路面阻力和其他阻力假设下建立数学模型，并求出上述两个问题(项目)的最优策略，既是定量燃油的最优消耗律v(t)函数。

数学建模期末试题及答案1. 题目描述这是一份数学建模期末试题，包含多个问题，旨在考察学生对数学建模的理解和应用能力。

以下是试题的具体描述及答案解析。

2. 问题一某城市的交通流量与时间呈周期性变化，根据历史数据，可以得到一个交通流量函数，如下所示：\[f(t) = 100 + 50\sin(\frac{2\pi}{24}t)\]其中，t表示时间（小时），f(t)表示交通流量。

请回答以下问题：a) 请解释一下该函数的含义。

b) 根据该函数，该城市的最大交通流量是多少？c) 在哪个时间段，该城市的交通流量较低？【解析】a) 该函数表示交通流量f(t)随时间t的变化规律。

通过观察函数，可以发现交通流量与时间的关系是周期性变化，每24小时一个周期。

函数中的sin函数表示交通流量在周期内的变化，振幅为50，即交通流量的最大值与最小值之差为50。

基准流量为100，表示在交通最不繁忙的时刻，流量为100辆。

b) 最大交通流量为基准流量100辆与振幅50辆之和，即150辆。

c) 交通流量较低的时间段为振幅为负值的时刻，即最小值出现的时间段。

3. 问题二某学校的图书馆借书规则如下：- 学生每次最多可以借5本书，每本书的借阅期限为30天。

- 学生可以在借阅期限结束后进行续借，每次续借可以延长借阅期限30天。

请回答以下问题：a) 一个学生在10天内连续借了3次书，分别是2本、3本和4本，请写出该学生在每次借书后的总借书数。

b) 如果一个学生借了5本书，每本都是在借阅期限后进行续借，借了10年，最后一次续借后，该学生一共续借了几次书？【解析】a) 总的借书数为每次借书的累加和。

学生第一次借2本，总共借书数为2本；第二次借3本，总共借书数为2 + 3 = 5本；第三次借4本，总共借书数为5 + 4 = 9本。

b) 学生每本书借阅期限为30天，10年为3650天，每次借书续借可以延长借阅期限30天。

因此，学生续借次数为10年÷30天= 121次。

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A题城市表层土壤重金属污染分析随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。

对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。

按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。

现对某城市城区土壤地质环境进行调查。

为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。

应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。

另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。

附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。

现要求你们通过数学建模来完成以下任务：(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。

(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。

(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。

(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？B题交巡警服务平台的设置与调度“有困难找警察”，是家喻户晓的一句流行语。

警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。

为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。

每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。

城市学院2010—2011学年第二学期《数学建模》课程考试试题（开卷）年级：09级 专业:机械1班 学号：20940501115 姓名：李明泽1． 游泳队员分配问题某游泳队拟选用 甲,乙，丙,丁四名游泳队员组成一个4*100m 混合泳接力队，参加今年的锦标赛。

他们的100m 自由泳，蛙泳，蝶泳，仰泳的成绩如下表所示。

问 甲，乙,丙,丁 四名队员各自游什么姿势，才最有可能取得最好成绩。

请建立数学模型，并写出用Lingo 软件的求解程序。

解：引入0-1变量Xij ，若选择队员i 参加泳姿j 的比赛,记Xij=1，否则记Xij=0根据组成接力队的要求，Xij 应该满足两个约束条件：第一， 每人最多且只能入选4种泳姿之一，即对于i=1234；应有Xij=1；第二， 每种泳姿必须有一人且只能有一人入选，即对于j=1234；应有Xij=1当队员i 入选泳姿j 是，CijXij 表示他的成绩,否则CijXij=0。

于是接力赛成绩可表示为Z=∑∑==4141j i CijXij ，这就是改问题的目标函数。

综上，这个问题的0-1规划模型可写作Min Z= Z=∑∑==4141j i CijXij ;S ．t ．∑=41j Xjy =1,i=1,2，3,4; ∑=41i Xjy =1，i=1,2，3，4将题目给数据代入这一模型，并输入LIGDO ：Min =56＊x11+74＊x12+61＊x13+63*x14+63*x21+69＊x22+65＊x23+71*x24+57＊x31+77＊x32+63＊x33+67*x34+55＊x41+76＊x42+62＊x43+62＊x44；x11+x12+x13+x14=1;x21+x22+x23+x24=1；x31+x32+x33+x34=1;x41+x42+x43+x44=1；x11+x21+x31+x41=1；x12+x22+x32+x42=1；x13+x23+x33+x43=1；x14+x24+x34+x44=1;＠bin（x11）;＠bin（x12）;@bin(x13)；@bin(x14)；＠bin（x21）;@bin(x22);＠bin（x23)；＠bin(x24）;＠bin(x31）;＠bin（x32）；@bin(x33);@bin(x34）；@bin(x41)；@bin（x42）;@bin(x43）;@bin(x44)；求解可以得到最优解如下：2．钢筋切割问题设某种规格的钢筋原材料每根长10m，求解如下优化问题：1) 现需要该种钢筋长度为4m的28根，长度为1.8m的33根，问至少需要购买原材料几根？如何切割？2）如需要该种钢筋长度为4m的28根，长度为1.8m的33根, 长度为3。

2005-2006学年第二学期（A ）全院工科专业《高等数学》(下)(课程)试卷一、（每小题6分，共60分）1、设),2sin(y x z -=求dz yz x z ,,∂∂∂∂.2、设),,(xy y x f z -=其中f 具有二阶连续偏导数，求.2y x z ∂∂∂3、计算二重积分σd y x D⎰⎰+22，其中D 为圆域222a y x ≤+.4、计算三重积分,)(222dV z y x ++⎰⎰⎰Ω其中Ω为球体2222a z y x ≤++.5、计算对弧长的曲线积分,122ds xxL⎰+其中L 为曲线x y ln =从1=x 到e x =的一段弧.6、计算对坐标的曲面积分,)()()(4232dxdy x z dzdx z y dydz y x +++-++⎰⎰∑其中∑为圆柱体10,122≤≤≤+z y x 的外侧表面.7、判别正项级数∑∞=1!3n nnnn 的收敛性.8、已知函数)(x f 以π2为周期，且πππ<≤-+=x x x f ,)(，其傅里叶级数的和函数记为),(x s 计算).2(),(ππs s 9、求微分方程02=+'x y y 满足30==x y的特解10、求微分方程1312222+=++'x xy x x y 的通解.二、（本题满分8分）设有平面区域10,10:≤≤≤≤y x D ， 1、 计算二重积分σd y x y x D)(22-⎰⎰；2、 设函数),(y x f 在D 上连续，试给出一个),(y x f 所满足的一般条件，使得0),(=⎰⎰σd y x f D.三、（本题满分8分）已知幂级数∑∞=-11n n nx .1、 求其收敛域；2、利用逐项积分法，求其和函数).(x s四、（本题满分8分）1、证明对坐标的曲线积分⎰-+-Ldy x y dx y x )4()2(在全平面上与路径无关；2、计算⎰-+-Ldy x y dx y x )4()2(，其中 L 为曲线x ey xx 2sin2π-=从0=x 到1=x 的一段弧.五、（本题满分8分） 1、求齐次方程02=+'-''y y y 的通解； 2、求非齐次方程x e y y y -=+'-''2的一个特解； 3、求非齐次方程x e y y y -=+'-''2的通解.六、（本题满分8分）已知曲面方程34222=++z y x . 1、 试求其在第一卦限内的点),,(c b a 处的切平面方程； 2、 求该切平面与三坐标面所围立体的体积),,(c b a V 3、 求),,(c b a V 的最小值.2005-2006学年第二学期（B ）全院工科专业《高等数学》(下)(课程)试卷一、（每小题6分，共60分）1、 设),,(2xy y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求.2yx z ∂∂∂.2、 求)2sin(y x z -=在点（0，0）处的梯度及沿梯度方向的方向导数3、 计算二重积分σd xx D⎰⎰sin ，其中D 为1,,0===x x y y 所围区域.4、 计算三重积分,zdV ⎰⎰⎰Ω其中Ω为球体1,22=+=z y x z 所围区域.5、计算对弧长的曲线积分,12ds ey Lx⎰+其中L 为曲线x e y =从0=x 到1=x 的一段弧.6、计算对坐标的曲面积分,222dxdy zx dzdx yz dydz xy ++⎰⎰∑其中∑为球面2222a z y x =++的外侧.7、 判别正项级数∑∞=++1)2)(1(1n n n n 的收敛性.8、 已知函数ππ<≤-=x x x f ,)(的为傅里叶级数∑∞=---12)12()12cos(42n n x n ππ，求级数∑∞=-12)12(1n n 的和.9、求微分方程2212x y x x y =+-'的通解.10、求微分方程023=+'-''y y y 满足4,30='===x x y y的特解.二、（本题满分8分）设有平面区域1:22≤+y x D ， 1、计算二重积分σyd x y D)(22+⎰⎰；2、设函数),(y x f 在D 上连续，试给出一个),(y x f 所满足的一般条件，使得0),(=⎰⎰σd y x f D.三、（本题满分8分）1、将函数x y arctan =展开成x 的幂级数；2、求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.四、（本题满分8分）1、证明对坐标的曲线积分⎰+-Lxxydy e dx x y e cos )2sin (在全平面上与路径无关；2、计算⎰+-Lxx ydy e dx x y e cos )2sin (，其中 L 为曲线21x y -=从0=x 到1=x 的一段弧.五、（本题满分8分）1、 设),(1x y y =)(2x y y =为二阶非齐次线性方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的两个解，证明)()(12x y x y y -=为对应的齐次方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解； 2、已知x xe y x xe y xe y xxxsin ,cos ,+=+==为方程是)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的三个解，试求其通解.2006-2007学年第二学期全院工科专业《高等数学》(下)(课程)试卷一、（每小题6分，共60分） 1、设2(,)y z f x y x=，其中f 具有连续二阶偏导数，求xy z2、求32z xy u =在点M （1，1，1）沿从M 到N （2，3，-1）的方向的方向导数.3、计算二重积分σd y D⎰⎰,其中D 为2,x y x y ==所围区域.4.计算三重积分,)(222dV z y x ++⎰⎰⎰Ω其中Ω为球体1222≤++z y x .5、 计算对弧长的曲线积分,12ds xy L⎰+其中L 为曲线x y ln =从1=x 到e x =的一段弧.6、计算对坐标的曲面积分,)3()2()(432dxdy x z dzdx z y dydz y x +++-++⎰⎰∑其中∑为圆柱体10,122≤≤≤+z y x 的外侧表面.7、 判别正项级数∑∞=1!3n nn 的收敛性.8、 已知函数)(x f 以π2为周期，且πππ<≤-+=x x x x f ,)(2，其傅里叶级数的和函数记为),(x s 计算).2(),(ππs s 9、求微分方程02=+'x y y 满足30==x y 的特解.10、求微分方程x xy y 3=+'的通解.二、（本题满分8分）已知幂级数∑∞=-11n n nx .1、 求其收敛域；2、利用逐项积分法，求其和函数).(x s三、（本题满分8分）1、 证明曲线积分dy my y e dx mx y e xLx)cos ()sin (-++⎰在全平面上与路径无关；2、计算dy my y e dx mx y e xLx )cos ()sin (-++⎰，其中 L 为曲线2x ax y -=从0=x 到)0(>=a a x 的一段弧.四、（本题满分10分） 1、求齐次方程02=+'-''y y y 的通解；2、证明2x y =为非齐次方程2422+-=+'-''x x y y y 的一个特解；3、试给出非齐次方程2422+-=+'-''x x y y y 的通解.五、（本题满分8分）欲制作一个体积为的V 无盖长方体形水箱，试设计其长宽高，使其用料最少. 六、（本题满分6分）证明：⎰⎰⎰----=-ban xan bady y f y b n dy y f y x dx )()(11)()(122007-2008年第二学期（A ）全院工科专业《高等数学》(下)(课程)试卷一、（本大题共5小题，每小题7分，共35分） 1、求过点M （0,0，1）且垂直于平面的直线的方程. 2、设 )32sin(y x z -=，求yx z ∂∂∂2.3、 设D: ,0,222>≤+a a y x 求⎰⎰+Ddxdy y x 22.4、计算对坐标的曲面积分,zdxdy ydzdx dydz x ++⎰⎰∑其中∑为圆柱体30,922≤≤≤+z y x 的外侧表面.5、已知幂级数∑∞=--11)1(n nn x n.试求其收敛区间.二（本大题共4小题，每小题7分，共28分）1.设),2,1,3(--=a),1,2,1(-=b 求，b a ⨯b a ∙2.求32z xy u =在点M （1，1，1）沿从M 到N （2，3，-1）的方向的方向导数. 3计算对坐标的曲线积分dy y x dx x xy L)()2(22++-⎰,其中L 是由抛物线2x y =和2y x =所围区域的正向边界.4、判别正项级数∑∞=+111n na的收敛性（)0>a .三、（本大题共4小题，每小题7分，共21分）1、求旋转抛物面122-+=y x z 在点（2，1，4）处的切平面及法线方程. 2、 已知)(x f 在],[b a 上连续，证明：⎰⎰⎰-=baxabadx x b x f dy y f dx ))(()(.3、计算对弧长的曲线积分,ds y L⎰其中L 为抛物线2x y = 从点O （0，0）到B （1，1）之间的一段弧.四、（本题满分8分）欲制造一个体积为V 的无盖长方体形 水池，试设计水池的尺寸，使其表面积最小.五、（本题满分8分）已知函数)(x f 以π2为周期，且ππ<≤-=x x x f ,)(，其傅里叶级数∑∞=++10sin cos 2n n nnx b nx aa 的和函数记为),(x s 试利用定积分表示其傅里叶系数，并给出)0(),(s s π的值.2007-2008学年第二学期（B ）全院工科专业《高等数学》(下)(课程)试卷一、（每小题6分，共60分）1、设),2,1,2(--=a),1,2,1(-=b 求，b a +2.b a ∙2、求过点M （0,0，1）且垂直于平面0532=-+-z y x 的直线的方程.3、设)32sin(y x z +=，求xy z ,.dz4、 求32z xy u =在点M （1，1，1）沿从M 到N （2，3，-1）的方向的方向导数.5、求旋转抛物面122-+=y x z 在点（2，1，4）处的切平面及法线方程.6、计算二重积分：（1）σd xy D⎰⎰,其中D 为2,1,===x y x y 所围区域（2）设D:,0,222>≤+a a y x 求⎰⎰+Ddxdy y x 22.7、 计算对弧长的曲线积分,ds y L⎰其中L 为抛物线2x y = 从点O （0，0）到B （1，1）之间的一段弧.8、计算对坐标的曲线积分dy y x dx x xy L)()2(22++-⎰,其中L 是由抛物线2x y =和x y =2所围区域的正向边界.9、计算对坐标的曲面积分,zdxdy ydzdx dydz x ++⎰⎰∑其中∑为圆柱体30,922≤≤≤+z y x 的外侧表面.10、判别正项级数∑∞=+111n na的收敛性.二、（本题满分8分）已知幂级数∑∞=-11n n nx .1、求其收敛域；2、利用逐项积分法，求其和函数).(x s三、（本题满分8分）1、证明曲线积分dy my y e dx mx y e xLx)cos ()sin (-++⎰在全平面上与路径无关；2、计算dy my y e dx mx y e xLx )cos ()sin (-++⎰，其中 L 为曲线2x ax y -=从0=x 到)0(>=a a x 的一段弧.四、（本题满分10分）1、已知幂级数∑∞=--11)1(n nn nx.求其收敛区间.2、已知函数)(x f 以π2为周期，且πππ<≤-+=x x x x f ,)(2，其傅里叶级数的和函数记为),(x s 计算).2(),(ππs s五、（本题满分8分）欲制造一个体积为V 的无盖长方体形水池，应如何设计水池的尺寸，使其表面积最小.六、（本题满分6分）已知)(x f 在],[b a 上连续，证明：⎰⎰⎰-=baxabadx x b x f dy y f dx ))(()(高等数学（下）期末考试题目总结第一大题的题目：1、求过点M （0,0，1）且平行于平面,0532=---z y x 又与直线11112-+=-=z y x 垂直的直线方程.２、 已知A(1,0,1),B(2,1,3),C(3,-1,0),求三角形ABC 的面积及其所在平面方程.３、设),2,1,3(--=a),1,2,1(-=b 求，b a ⨯b a ∙ ４、设)2,32(y x y x f z +-=，求dz .５、求xyz u =在点M （5，1，2）处的梯度及沿从M 到N （9，4，14）的方向的方向导数. ６、求旋转抛物面122-+=y x z 在点（2，1，4）处的切平面及法线方程 ７、求xy y x y x f 3),(33-+=的极值８、计算二重积分计算⎰⎰Ddxdy yy sin ，其中D 由x y x y ==,2围成.９、设D: ,0,222≥≤+x y y x 求⎰⎰+Ddxdy y x 22１０、求dV e y x z]1)[(++⎰⎰⎰Ω.其中1:22≤≤+Ωz yx11、求过点M （0,0，1）且垂直于平面0532=-+-z y x 的直线的方程.12、设)32sin(y x z -=，求yx z ∂∂∂2.13、 设D: ,0,222>≤+a a y x 求⎰⎰+Ddxdy y x 2214、计算对坐标的曲面积分,zdxdy ydzdx dydz x ++⎰⎰∑其中∑为圆柱体30,922≤≤≤+z y x 的外侧表面.15、已知幂级数∑∞=--11)1(n nn x n.试求其收敛区间.16、设),2,1,3(--=a),1,2,1(-=b 求，b a ⨯b a ∙17、求32z xy u =在点M （1，1，1）沿从M 到N （2，3，-1）的方向的方向导数. 18、计算对坐标的曲线积分dy y x dx x xy L)()2(22++-⎰,其中L 是由抛物线2x y =和2y x =所围区域的正向边界.19、判别正项级数∑∞=+111n na的收敛性（)0>a .20、求旋转抛物面122-+=y x z 在点（2，1，4）处的切平面及法线方程. 21、 已知)(x f 在],[b a 上连续，证明：⎰⎰⎰-=baxabadx x b x f dy y f dx ))(()(.22、计算对弧长的曲线积分,ds y L⎰其中L 为抛物线2x y = 从点O （0，0）到B （1，1）之间的一段弧.23、设),2,1,2(--=a),1,2,1(-=b 求，b a +2.b a ∙24、求过点M （0,0，1）且垂直于平面0532=-+-z y x 的直线的方程. 25、设)32sin(y x z +=，求xy z ,.dz26、 求32z xy u =在点M （1，1，1）沿从M 到N （2，3，-1）的方向的方向导数 27、求旋转抛物面122-+=y x z 在点（2，1，4）处的切平面及法线方程. 28、计算二重积分σd xy D⎰⎰,其中D 为2,1,===x y x y 所围区域.设D: ,0,222>≤+a a y x 求⎰⎰+Ddxdy y x 22.29、计算曲线积分,ds y L⎰其中L 为2x y = 从点O （0，0）到B （1，1）之间的一段弧.30、计算对坐标的曲线积分dy y x dx x xy L)()2(22++-⎰,其中L 是由抛物线2x y =和x y =2所围区域的正向边界.31、计算对坐标的曲面积分,zdxdy ydzdx dydz x ++⎰⎰∑其中∑为圆柱体30,922≤≤≤+z y x 的外侧表面..32、判别正项级数∑∞=+111n na的收敛性. 11.已知幂级数∑∞=--11)1(n nn nx.求其收敛区间.33、已知函数)(x f 以π2为周期，且πππ<≤-+=x x x x f ,)(2，其傅里叶级数的和函数记为),(x s 计算).2(),(ππs s 34、设2(,)y z f x y x=，其中f 具有连续二阶偏导数，求xy z .35、求32z xy u =在点M （1，1，1）沿从M 到N （2，3，-1）的方向的方向导数.36、计算二重积分σd y D⎰⎰,其中D 为2,x y x y ==所围区域.37、计算三重积分,)(222dV z y x ++⎰⎰⎰Ω其中Ω为球体1222≤++z y x .38、计算对弧长的曲线积分,12ds xy L⎰+其中L 为曲线x y ln =从1=x 到e x =的一段弧.39、计算对坐标的曲面积分,)3()2()(432dxdy x z dzdx z y dydz y x +++-++⎰⎰∑其中∑为圆柱体10,122≤≤≤+z y x 的外侧表面.40、已知函数)(x f 以π2为周期，且πππ<≤-+=x x x x f ,)(2，其傅里叶级数的和函数记为),(x s 计算).2(),(ππs s41、设),,(2xy y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求.2y x z ∂∂∂.42、求)2sin(y x z -=在点（0，0）处的梯度及沿梯度方向的方向导数43、计算二重积分σd xx D⎰⎰sin ，其中D 为1,,0===x x y y 所围区域.44、计算三重积分,zdV ⎰⎰⎰Ω其中Ω为球体1,22=+=z y x z 所围区域.45、计算对弧长的曲线积分,12ds ey Lx⎰+其中L 为曲线x e y =从0=x 到1=x 的一段弧.46、计算对坐标的曲面积分,222dxdy zx dzdx yz dydz xy ++⎰⎰∑其中∑为球面2222a z y x =++的外侧.47、判别正项级数∑∞=++1)2)(1(1n n n n 的收敛性.48、知函数ππ<≤-=x x x f ,)(的为傅里叶级数∑∞=---12)12()12cos(42n n x n ππ，求级数∑∞=-12)12(1n n 的和.49、设),2sin(y x z -=求dz yz x z ,,∂∂∂∂.50、设),,(xy y x f z -=其中f 具有二阶连续偏导数，求.2y x z ∂∂∂51、计算二重积分σd y x D⎰⎰+22，其中D 为圆域222a y x ≤+.52、计算三重积分,)(222dV z y x ++⎰⎰⎰Ω其中Ω为球体2222a z y x ≤++.53、计算对弧长的曲线积分,122ds xxL⎰+其中L 为曲线x y ln =从1=x 到e x =的一段弧.54、计算对坐标的曲面积分,)()()(4232dxdy x z dzdx z y dydz y x +++-++⎰⎰∑其中∑为圆柱体10,122≤≤≤+z y x 的外侧表面.55、判别正项级数∑∞=1!3n nnnn 的收敛性.56、已知函数)(x f 以π2为周期，且πππ<≤-+=x x x f ,)(，其傅里叶级数的和函数记为),(x s 计算).2(),(ππs s57、判别正项级数∑∞=1!3n nn 的收敛性.第二大题题目：一、已知曲面方程34222=++z y x1、试求其在第一卦限内的点),,(c b a 处的切平面方程；2、求该切平面与三坐标面所围立体的体积),,(c b a V ；3.求),,(c b a V 的最小值.二、已知幂级数∑∞=-11n n nx 、：1、求其收敛域；2、利用逐项积分法，求其和函数).(x s三、设有平面区域1:22≤+y x D ：1、计算二重积分σyd x y D)(22+⎰⎰；2、设函数),(y x f 在D 上连续，试给出一个),(y x f 所满足的一般条件，使得0),(=⎰⎰σd y x f D.四、1、证明对坐标的曲线积分⎰+-Lxxydy e dx x y e cos )2sin (在全平面上与路径无关；2、计算⎰+-Lx x ydy e dx x y e cos )2sin (，其中 L 为21x y -=从0=x 到1=x 的一段弧。

数学建模试题一、传染病模型医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。

社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。

一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S 类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I 类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S 类成员；R 类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。

要求：请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？二、一阶常微分方程模型—人口模型与预测 下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（0=t ），1016540=N 万人，200000=m N 万人。

要求：（1）建立中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。

（2）建立中国人口的Logistic 模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。

（3）利用MATLAB 图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。

（4）利用MATLAB 图形，画出两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。

【注】常微分方程一阶初值问题的MATLAB 库函数为：ode45。

语法为：[t,Y] =ode45(odefun,tspan,y0)三、高阶常微分方程模型—饿狼追兔问题现有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西100米处，假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子。

已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。

要求：（1）建立狼的运动轨迹微分模型。

（2）画出兔子与狼的运动轨迹图形。

2011-2012第二学期10级《概率统计基础》期末试题参考答案及评分标准一、计算下列各题1. ( 本题15分 )设随机事件A 、B 满足：6.0)(=A P ，4.0)(=B P ,（1）若B A ⊇，求)(B A P因为B A ⊇,所以A B A = ……………………………………………………………………………1分 因此6.0)()(==A P B A P ……………………………………………………………………………2分 （2）若A 、B 相互独立，求)(B A P因为A 、B 相互独立,所以24.0)()()(==B P A P AB P ………………………………………………2分 因此76.024.04.06.0)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P …………………………………1分 （3）若5.0)|(=B A P ，求)(B A P因为5.0)|(=B A P ,所以2.0)()|()(==B P B A P AB P ……………………………………………2分 因此8.02.04.06.0)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P ……………………………………1分 （4）若2.0)(=B A P ，求)(B A P因为2.0)(=B A P ,所以2.0)()()(=-=B A P B P AB P ……………………………………………2分 因此8.02.04.06.0)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P ……………………………………1分 （5）若A 、B 互不相容，求)(B A P因为A 、B 相不相容,所以φ=AB ………………………………………………………………………1分 因此104.06.0)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P …………………………………………2分 2. ( 本题8分 ) 某高校数学专业06级三（061、062、063）个班学生人数比为30:34:36，三个班英语四级的通过率分别为40%、50%和25%。

《数学建模》期末考试试卷 班级 姓名 学号一、（15分）以色列的某社区联盟，其农业生产受农田面积和灌溉配水量的限制，其资料如表1所示，适合该地区种植的农作物有甜菜、棉花和栗子，其每英亩的期望净收益、用水量及可种植的最大面积如表2所示。

表1 农田面积和灌溉配水量 表2 农作物期望净收益、用水量试问，该社区联盟应如何安排这三种农作物的生产，方使总的收益最大？建立线性规划问题的数学模型并写出用LINGO 求解的程序。

二、（15分）用单纯形方法求解线性规划问题。

⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥≤++≤++++=000242126042..61314S max 321321321321x x x x x x x x x t s x x x ；；三、（15分）上海红星建筑构配件厂是红星集团属下之制造建材设备的专业厂家。

其主要产品有４种，分别用代号A 、B 、C 、D 表示，生产A 、B 、C 、D 四种产品主要经过冲压、成形、装配和喷漆四个阶段。

根据工艺要求及成本核算，单位产品所需要的加工时间、利润以及可供使用的总工时如下表所示：在现有资源的条件下如何安排生产，可获得利润最大？现设置上述问题的决策变量如下：1234,,,x x x x 分别表示A 、B 、C 、D 型产品的日产量，则可建立线性规划模型如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+++≤+++≤+++≤++++++=0,,,300048462000552424005284480..81169max 432143214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x z 利用LINGO10.0软件进行求解，得求解结果如下：Global optimal solution found at iteration: 4Objective value: 4450.000 Variable Value Reduced Cost X1 400.0000 0.000000 X2 0.000000 0.5000000 X3 70.00000 0.000000 X4 10.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 4450.000 1.000000 2 0.000000 2.500000 3 610.0000 0.000000 4 0.000000 0.5000000 5 0.000000 0.7500000（1）指出问题的最优解并给出原应用问题的答案；（2）写出线性规划问题的对偶线性规划问题，并指出对偶问题的最优解；（3）灵敏度分析结果如下：Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient RangesCurrent Allowable AllowableVariable Coefficient Increase Decrease X1 9.000000 0.5000000 0.1666667 X2 6.000000 0.5000000 INFINITY X3 11.00000 0.3333333 1.000000 X4 8.000000 1.000000 1.000000 Righthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 480.0000 20.00000 80.000003 2400.000 INFINITY 610.00004 2000.000 400.0000 20.000005 3000.000 40.00000 280.0000对灵敏度分析结果进行分析 四、（15分）（1）叙述层次分析法的步骤。

数学建模及应用试题汇总1.假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功能的计算器，你也会出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。

2.建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。

3. 一根长度为 l 的金属杆被水平地夹在两端垂直的支架上，一端的温度恒为T1，另一端温度恒为 T2，（ T1、 T2 为常数， T1> T2）。

金属杆横截面积为A，截面的边界长度为B，它完全暴露在空气中，空气温度为T3，（T3< T2，T3 为常数），导热系数为α，试求金属杆上的温度分布T(x)，（设金属杆的导热率为λ）4. 甲乙两队进行一场抢答竞赛，竞赛规则规定：开始时每队各记 2 分，抢答题开始后，如甲取胜则甲加 1 分而乙减 1 分，反之则乙加 1 分甲减 1 分 ,(每题必需决出胜负)。

规则还规定，当其中一方的得分达到 4 分时，竞赛结束。

现希望知道：（1）甲队获胜的概率有多大？（2）竞赛从开始到结束，平均转移的次数为多少？（3）甲获得 1、 2、 3 分的平均次数是多少？5.由于指派问题的特殊性，又存在着由匈牙利数学家提出的更为简便的解法——匈牙利算法。

当系数矩阵为下式，求解指派问题。

16 15 19 22C 17 21 19 18 24 22 18 17 17 19 22 166. 在遥远的地方有一位酋长，他想把三个女儿嫁出去。

假定三个女儿为A、B、C，三位求婚者为 X、 Y、 Z。

每位求婚者对A、 B、 C 愿出的财礼数视其对她们的喜欢程度而定：A B Cx 3 5 26y 27 10 28z 1 4 77.问酋长应如何嫁女，才能获得最多的财礼（从总体上讲，他的女婿最喜欢他的女儿。

某工程按正常速度施工时，若无坏天气影响可确保在30 天内按期完工。

但根据天气预报，15 天后天气肯定变坏。

有40%的可能会出现阴雨天气而不影响工期，在50%的可能会遇到小风暴而使工期推迟15 天，另有10%的可能会遇到大风暴而使工期推迟20 天。

1．〔10分〕表达数学建模根本步骤，并简要说明每一步根本要求。

(1)模型打算：首先要理解问题实际背景，明确题目要求，搜集各种必要信息。

(2)模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题做出必要、合理假设，使问题主要特征凸现出来，忽视问题次要方面。

(3)模型构成：依据所做假设以及事物之间联络，构造各种量之间关系，把问题化为数学问题，留意要尽量采纳简洁数学工具。

4)模型求解：利用数学方法来求解上一步所得到数学问题，此时往往还要作出进一步简化或假设。

(5)模型分析：对所得到解答进展分析，特殊要留意当数据改变时所得结果是否稳定。

(6)模型检验：分析所得结果实际意义，与实际状况进展比较，看是否符合实际，假如不够志向，应当修改、补充假设，或重新建模，不断完善。

(7)模型应用：所建立模型必需在实际应用中才能产生效益，在应用中不断改进和完善。

2．〔10分〕试建立不允许缺货消费销售存贮模型。

设消费速率为常数k ，销售速率为常数r ，k r <。

在每个消费周期T 内，开始一段时间〔00T t ≤≤〕 边消费边销售，后一段时间〔T t T ≤≤0〕只销售不 消费，存贮量)(t q 改变如下图。

设每次消费开工费为1c ，每件产品单位时间存贮费为2c ，以总费用最小为准那么确定最优周期T ，并探讨k r <<和k r ≈状况。

单位时间总费用k T r k r c T c T c 2)()(21-+=，使)(T c 到达最小最优周期)(2T 21*r k r c k c -＝。

当k r <<时，r c c 21*2T ＝，相当于不考虑消费状况；当k r ≈时，∞→*T ，因为产量被售量抵消，无法形成贮存量。

3．〔10分〕设)(t x 表示时刻t 人口，试说明阻滞增长〔Logistic 〕模型⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(x x x x x r dtdxm中涉及全部变量、参数，并用完可能简洁语言表述清晰该模型建模思想。

2011年 天津市大学数学竞赛试题参考解答 (理工类)一. 填空题（本题15分，每小题3分）: 1. 设()f x 是连续函数, 且0()lim41cos x f x x →=-, 则01()lim 1x xf x x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭2e .2. 设223()2x f x ax b x +=++- , 若 lim ()0,x f x →∞= 则 a =2,- b =4.- 3. 1e ln d x x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰ e ln .x x C +4. 设(,)f x y 是连续函数, 且(,)(,)d d ,Df x y xy f x y x y =+⎰⎰其中D 由x 轴、y 轴以及直线1x y +=围成, 则(,)f x y =1.12xy +5. 椭球面22221x y z ++=平行于平面20x y z -+=的切平面方程为20x y z -++= 和20.x y z -+-=二. 选择题（本题15分，每小题3分）:1. 设()(2)ln(1),f x x x =+- 则()f x 在0x =处(A) (0)2f '=-, (B) (0)0f '=, (C) (0)2f '=, (D) 不可导. 答: (A)2. 设函数()y f x =具有二阶导数, 且满足方程sin e 0.x y y '''+-=已知0()0,f x '=则(A) ()f x 在0x 的某个邻域中单调增加, (B) ()f x 在0x 的某个邻域中单调增少, (C) ()f x 在0x 处取得极小值, (D) ()f x 在0x 处取得极大值.答: ( C)3. 图中曲线段的方程为()y f x =, 函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数, 则积分()d a x f x x '⎰表示(A) 直角三角形AOB 的面积, (B) 直角三角形AOC 的面积(C) 曲边三角形AOB 的面积, (D) 曲边三角形AOC 的面积 答: (D)4. 设在区间 [,]a b 上的函数()0,f x > 且 ()0,f x '< ()0.f x ''> 令 1()d ,b aS f x x =⎰2()(),S f b b a =- 31[()()](),2S f a f b b a =+- 则(A) 123,S S S << (B) 312,S S S << (C) 213,S S S << (D) 231.S S S <<答: (C )5. 设 曲面22{(,,)|,01},x y z z x y z ∑==+≤≤取上侧为正, 1∑是 ∑在 0x ≥的部分, 则曲面积分(A) d d 0,x y z ∑=⎰⎰ (B) 1d d 2d d .z x y z x y ∑∑=⎰⎰⎰⎰(C) 122d d 2d d ,y y z y y z ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (D) 122d d 2d d ,x y z x y z ∑∑=⎰⎰⎰⎰答: (B)三. (6分) 设函数 ()202[(1)()d ]d 0sin 00xt t u u t ,x ,f x x,x .ϕ⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩⎰⎰ 其中函数ϕ处处连续. 讨论()f x 在0x =处的连续性及可导性.解 222[(1)()d ]d (1)()d lim ()limlim2x x x x t x t u u tx u uf x xxϕϕ→→→--==⎰⎰⎰220()d ()d limlim22x x x x x u uu ux x ϕϕ→→=-⎰⎰202()0lim0(0)2x x x f ϕ→⋅=-== 因此, ()f x 在0x =处连续.200300[(1)()d ]d ()(0)lim lim xx x t t u u t f x f x xϕ→→--=⎰⎰ 2020(1)()d lim 3x x x u u x ϕ→-=⎰ 22002200()d ()d 11lim lim 33x x x x x u u u u x xϕϕ→→=-⎰⎰ 1(0)3ϕ=- 因此, ()f x 在0x =处可导, 且 1(0)(0).3f ϕ'=-四. (6分) 设函数()x x t =由方程cos 0t x x +=确定, 又函数()y y x =由方程2e 1y xy --=确定,求复合函数(())y y x t =的导数d d .t y t=解 方程cos 0t x x +=两边对t 求导 d d cos sin 0.d d x x x t x t t -⋅+=当 t=0时, x=0, 故00d cos 1.d sin 1t t x x xt t x ====--=方程2e 1y xy --= 两边对x 求导 2d d e 0.d d y y yy x x x-⋅--⋅= 当 0x =时,2,y = 故 022d 2.d ex y y x y y xx==-==-=因此,00d d d .d d d 2t x t y yxt xt ====⋅=- 五. (6分) 设函数()f x 在(,)-∞+∞上二阶可导，且0()lim0x f x x→=，记10()()x f xt dt ϕ'=⎰，求)(x ϕ的导数，并讨论)(x ϕ'在0x =处的连续性.解 由已知的极限知(0)0,(0)0,f f '== 从而有 10(0)(0)d 0.f t ϕ'==⎰当 0x ≠时, 1100011()()()()d()()d ,x f x x f x t dt f x t x t f u u x x x ϕ'''====⎰⎰⎰从而有 (),0()0,0.f x x x xx ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩因为()lim ()lim0(0),x x f x x xϕϕ→→===所以, ()x ϕ在0x =处连续. 当 0x ≠时, 2()()(),xf x f x x xϕ'-'=在0x =处, 由(0)0,ϕ= 有 200()(0)()()1(0)limlimlim (0)22x x x x f x f x f xx x ϕϕϕ→→→'-'''====所以,2()(),0()1(0),0.2xf x f x x x x f x ϕ'-⎧≠⎪⎪'=⎨⎪''=⎪⎩而200000()()()()lim ()limlim lim lim2x x x x x f x f x f x f x x x x x xϕ→→→→→''''=-=- 001()1()(0)1lim lim (0)(0),222x x f x f x f f x x ϕ→→'''-'''====故 ()x ϕ'在0x =处连续.六. (7分) 设函数()y y x =在(,)-∞+∞上可导, 且满足: 22,(0)0.y x y y '=+=(Ⅰ) 研究()y x 在区间(0,)+∞的单调性和曲线()y y x =的凹凸性.(Ⅱ) 求极限 30()lim.x y x x →解 (Ⅰ) 当0x >时, 有220,y x y '=+>故 ()y x 在区间(0,)+∞单调增加. 从而当0x >时, 22y x y '=+也单调增加. 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸.(或当0x >时, 可得222222()0.y x y y x y x y '''=+⋅=++> 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸. ) (Ⅱ) 由题设知, (0)(0)0.y y '== 应用洛必达法则22322000()()lim lim lim 33x x x y x y x x y x x x →→→'+==[]22011111lim (0).33333x y y x →⎛⎫'=+=+= ⎪⎝⎭七. (7分) 设()f x 在[0,1]上具有连续导数, 且0()1,(0)0.f x f '<≤= 试证211300()d ][()]d .f x x f x x ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰证 令 2300()()d [()]d ,x xF x f t t f t t ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 则 ()F x 在 [0,1]连续, 且对 (0,1)x ∈,30()2()()d [()]xF x f x f t t f x '=-⎰20()2()d ().x f x f t t f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰又由题设知, 当(0,1)x ∈时, ()0.f x > 令20()2()d (),x g x f t t f x =-⎰则()g x 在[0,1]上连续, 且()2()[1()]0,(0,1),g x f x f x x ''=-≥∈故有()(0)0(0,1).g x g x ≥=∈ 因此()0,(0,1),F x x '≥∈于是()F x 在[0,1]上单调增加, ()(0)0,[0,1].F x F x ≥=∈ 取1x =, 即得211300(1)()d [()]d 0.F f t t f t t ⎡⎤=-≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 所证结论成立.八. (7分) 设函数()y f x =具有二阶导数, 且()0.f x ''> 直线a L 是曲线()y f x =上任意一点(,())a f a 处的切线, 其中[0,1].a ∈ 记直线a L 与曲线()y f x =以及直线0,1x x ==所围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为().V a 试问a 为何值时()V a 取得最小值. 解 切线a L 的方程为 ()()(),y f a f a x a '-=- 即 ()()().y f a x af a f a ''=-+ 于是10()2[()()()()]d V a x f x f a x af a f a x π''=-+-⎰10112()d ()()().322a xf x x f a f a f a π⎡⎤''=-+-⎢⎥⎣⎦⎰可见, ()V a 在[0,1]连续, 在(0,1)可导. 令1()2[()()]()(32)0323a V a f a f a f a a ππ'''''''=-+=-=, 由于 ()0,f a ''> ()V a 在(0,1)内有唯一的驻点2.3a =并且, 当 2(0,)3a ∈时, ()0V a '<; 当2(,1)3a ∈时, ()0,V a '> 因此, ()V a 在23a =处取得最小值. 九. (7分) 计算(sin )d (cos 1)d ,Ly y x x y y -+-⎰其中L 为从点(0,0)O 沿圆周222x y x +=在第一象限部分到点(1,1)A 的路径.解 令 sin ,cos 1,P y y Q x y =-=- 则cos (cos 1) 1.Q P y y x y∂∂-=--=∂∂ 取点(1,0).B 作有向直线段,OB 其方程为 0(y x =从0变到1).a作有向直线段,BA 其方程为 1(x y =从0变到1). 由曲线L 、有向直线段AB 和BO 形成的闭曲线记为0L (沿顺时针方向), 0L 所围成的区域记为D , 则(sin )d (cos 1)d Ly y x x y y -+-⎰()((sin )d (cos 1)d )AB BOL y y x x y y =---+-⎰⎰⎰d (sin )d (cos 1)d DBAy y x x y y σ=-+-+-⎰⎰⎰(sin )d (cos 1)d OBy y x x y y +-+-⎰11(cos 1)d 04y y π=-+-+⎰ 1sin1 1.4π=-+- 十. (8分) 设（1）有向闭曲线Γ是由圆锥螺线 OA ：θθθθθ===z y x ,sin ,cos ，（θ从0变到2π）和有向直线段 AO 构成， 其中()0,0,0O ， ()2,0,2A ππ；（2）闭曲线Γ将其所在的圆锥面z =∑是其中的有界部分.（Ⅰ）如果()x z F -=,1, 表示一力场，求F沿Γ所做的功W ；（Ⅱ）如果()x z F -=,1,表示流体的流速，求流体通过∑流向上侧的流量. (单位从略）解（Ⅰ）作有向直线段,AO 其方程为 ⎩⎨⎧==xz y 0(x 从 2π变到0).所求F沿Γ所做的功为d d d W z x y x z Γ=+-⎰()(d d d )OAAOz x y x z =++-⎰⎰()20cos sin sin cos cos d πθθθθθθθθθθ=-++-⎡⎤⎣⎦⎰()02d x x x π+-⎰220(cos sin )d0πθθθθθ=-+⎰24π=.（Ⅱ）Γ所在的圆锥面方程为z = ∑上任一点处向上的一个法向量为(,,1)x y n z z =--=∑在xOy 面上的投影区域为D , 在极坐标系下表示为: 0,02.r θθπ≤≤≤≤故所求流体通过∑流向上侧的流量为d d d d d d ()()d d x y z y z z x x x y z z z x x y ∑∑⎡⎤Φ=+-=⋅-+--⎣⎦⎰⎰⎰⎰ d d x x x y ∑⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰ ()200d 2cos sin d r r r πθθθθ=-+⎰⎰ 22302cos sin d 32πθθθθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰26π-=. x注: (Ⅰ)的另一解法 应用Stokes 公式， 可得 W 2d d 2d d y z x z x y ∑∑==-⎰⎰⎰⎰2d x y∑=⎰⎰22200sin 2d d sin d r r r rπθπθθθθθ=-⋅=-⎰⎰⎰ 24π=.十一. (8分) 设函数(,)u u x y =在心形线:1cos L r θ=+所围闭区域D 上具有二阶连续偏导数, n 是在曲线L 上的点处指向曲线外侧的法向量(简称外法向), un∂∂是(,)u x y 沿L 的外法向的方向导数, L 取逆时针方向. (Ⅰ) 证明:d d d .LLu u u s x y ny x∂∂∂=-+∂∂∂⎰⎰ (Ⅱ) 若222221,u ux y y x y∂∂+=-+∂∂ 求d L u s n ∂∂⎰的值.(Ⅰ) 证 由方向导数的定义d (cos sin )d .LLuu us s nx y αα∂∂∂=+∂∂∂⎰⎰其中, α是n 相对于 x 轴正向的转角.设1α是 L 的切向量τ相对于x 轴正向的转角, 则1,2παα=+或 1.2παα=-故11d (sin cos )d .LL u u us s nx y αα∂∂∂=-∂∂∂⎰⎰d d .Lu u x y y x ∂∂=-+∂∂⎰(Ⅱ) 解 应用格林公式22222d ()d d (1)d d D D Lu u us x y x y y x yn x y ∂∂∂=+=-+∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰由对称性1cos 00d 1d d 2d d D L us x y x r rn πθ+∂==∂⎰⎰⎰⎰⎰203(1cos )d .2πθθπ=+=⎰十二.(8分) 设圆222x y y +=含于椭圆22221x y a b+=的内部, 且圆与椭圆相切于两点(即在这两点处圆与椭圆都有公共切线).(Ⅰ) 求 a 与b 满足的等式; (Ⅱ) 求a 与b 的值, 使椭圆的面积最小.解 (Ⅰ) 根据条件可知, 切点不在y 轴上. 否则圆与椭圆只可能相切于一点. 设圆与椭圆相切于点00(,)x y , 则00(,)x y 既满足椭圆方程又满足圆方程, 且在00(,)x y 处椭圆的切线斜率等于圆的切线斜率, 即2002001b x xa y y -=--. 注意到00,x ≠ 因此, 点00(,)x y 应满足2200222200022001(1)2(2)1(3)1x y a b x y y b a y y ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩由(1)和(2)式, 得222200220.b a y y a b--+= (4)由 (3) 式得 2022.b y b a=- 代入(4) 式 2242222222220.()b a b b a b b a b a-⋅-+=-- 化简得 2222,b a b a=- 或 22420.a b a b --= (5) (Ⅱ) 按题意, 需求椭圆面积S ab π=在约束条件 (5) 下的最小值.构造函数2242(,,)().L a b ab a b a b λλ=+-- 令2322242(24)0(6)(22)0(7)0(8)a b L b ab a L a a b b L a b a b λλλ⎧=+-=⎪=+-=⎨⎪=--=⎩ (6) ·a − (7)·b , 并注意到 0λ≠, 可得 242b a =. 代入(8) 式得 644220a a a --=, 故a =从而22b == 由此问题的实际可知, 符合条件的椭圆面积的最小值存在,因此当22a b ==时, 此椭圆的面积最小.。

2011年 天津市大学数学竞赛试题参考解答(理工类)一. 填空题（本题15分，每小题3分）: 1. 设()f x 是连续函数, 且0()lim41cos x f x x →=-, 则01()lim 1x f x x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 2e .2. 设223()2x f x ax b x +=++- , 若 l i m ()0x f x →∞= 则 a =2,-b =4.-3.1e ln d x x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰e l n .xx C +4. 设(,)f x y 是连续函数, 且(,)(,)d d ,Df x y xy f x y x y =+⎰⎰其中D 由x 轴、y 轴以及直线1x y +=围成, 则(,)f x y =1.12xy +5. 椭球面22221x y z ++=平行于平面20x y z -+=的切平面方程为20x y z -++= 和20.x y z -+-=二. 选择题（本题15分，每小题3分）:1. 设()(2)ln(1),f x x x =+- 则()f x 在0x =处(A) (0)2f '=-, (B) (0)0f '=, (C) (0)2f '=, (D) 不可导. 答: (A)2. 设函数()y f x =具有二阶导数, 且满足方程sin e 0.x y y '''+-=已知0()0,f x '=则(A) ()f x 在0x 的某个邻域中单调增加, (B) ()f x 在0x 的某个邻域中单调增少,(C) ()f x 在0x 处取得极小值, (D) ()f x 在0x 处取得极大值. 答: ( C)3. 图中曲线段的方程为()y f x =, 函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数, 则积分()d a x f x x '⎰表示(A) 直角三角形AOB 的面积, (B) 直角三角形(C) 曲边三角形AOB 的面积, (D) 曲边三角形 答: (D)4. 设在区间 [,]a b 上的函数()0,f x > 且 ()0,f x '< ()0.f x ''> 令1()d ,b aS f x x=⎰2()(),S f b b a =- 31[()()](),2S f a f b b a =+- 则 (A) 123,S S S << (B) 312,S S S << (C) 213,S S S << (D)231.S S S <<答: (C )5. 设 曲面22{(,,)|,01},x y z z x y z ∑==+≤≤取上侧为正, 1∑是 ∑在 0x ≥的部分, 则曲面积分 (A)d d 0,x y z ∑=⎰⎰(B)1d d 2d d .z x y z x y∑∑=⎰⎰⎰⎰(C)122d d 2d d ,y y z y y z ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (D)122d d 2d d ,x y z x y z ∑∑=⎰⎰⎰⎰答: (B)三. (6分) 设函数 ()2002[(1)()d ]d 0sin 00xt t u u t,x ,f x x,x .ϕ⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩⎰⎰ 其中函数ϕ处处连续. 讨论()f x 在0x =处的连续性及可导性.解 222[(1)()d ]d (1)()d lim ()limlim2x x x x t x t u u tx u uf x xxϕϕ→→→--==⎰⎰⎰22()d ()d limlim22x x x x x u uu uxxϕϕ→→=-⎰⎰202()0l i m0(0)2x x x f ϕ→⋅=-== 因此, ()f x 在0x =处连续.200300[(1)()d ]d ()(0)lim limxx x t t u u t f x f x x ϕ→→--=⎰⎰ 220(1)()d lim 3x x x u u x ϕ→-=⎰ 22002200()d ()d 11lim lim 33x x x x x u u u u x xϕϕ→→=-⎰⎰ 1(0)3ϕ=-因此, ()f x 在0x =处可导, 且 1(0)(0).3f ϕ'=-四. (6分) 设函数()x x t =由方程cos 0t x x +=确定, 又函数()y y x =由方程2e 1y xy --=确定, 求复合函数(())y y x t =的导数d d .t yt=解 方程cos 0t x x +=两边对t 求导d d cos sin 0.d d x xx t x t t -⋅+=当 t=0时, x=0, 故00d c o s1.d sin 1t t x x x t t x ====--=方程2e 1y xy --= 两边对x 求导 2d d e0.d d y y yy x x x-⋅--⋅= 当 0x =时,2,y = 故 022d 2.d ex y y x y y xx==-==-=因此,00d d d .d d d 2t x t y yxt xt ====⋅=-五. (6分) 设函数()f x 在(,)-∞+∞上二阶可导，且0()lim0x f x x→=，记10()()x f xt d t ϕ'=⎰，求)(x ϕ的导数，并讨论)(x ϕ'在0x =处的连续性. 解 由已知的极限知(0)0,(0)0,f f '== 从而有 10(0)(0)d 0.f t ϕ'==⎰当 0x ≠时, 1100011()()()()d()()d ,x f x x f x t dt f x t x t f u u x x x ϕ'''====⎰⎰⎰从而有(),0()0,0.f x x x xx ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩因为()lim ()lim0(0),x x f x x xϕϕ→→===所以, ()x ϕ在0x =处连续. 当 0x ≠时, 2()()(),xf x f x x x ϕ'-'=在0x =处, 由(0)0,ϕ= 有 200()(0)()()1(0)limlimlim (0)22x x x x f x f x f xx x ϕϕϕ→→→'-'''==== 所以,2()(),0()1(0),0.2xf x f x x x x f x ϕ'-⎧≠⎪⎪'=⎨⎪''=⎪⎩而200000()()()()l i m()l i m l i m l i m l i m 2x x x x x f x f x f x f x x x xx xϕ→→→→→''''=-=-001()1()(0)1lim lim (0)(0),222x x f x f x f f x x ϕ→→'''-'''==== 故 ()x ϕ'在0x =处连续.六. (7分) 设函数()y y x =在(,)-∞+∞上可导, 且满足: 22,(0)0.y x y y '=+=(Ⅰ) 研究()y x 在区间(0,)+∞的单调性和曲线()y y x =的凹凸性.(Ⅱ) 求极限 30()lim.x y x x →解 (Ⅰ) 当0x >时, 有220,y x y '=+>故 ()y x 在区间(0,)+∞单调增加. 从而当0x >时, 22y x y '=+也单调增加. 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸. (或当0x >时, 可得222222()0.y x y y x y x y '''=+⋅=++> 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸. )(Ⅱ) 由题设知, (0)(0)0.y y '== 应用洛必达法则22322000()()lim lim lim 33x x x y x y x x y x x x→→→'+==[]22011111l i m (0).33333x y y x →⎛⎫'=+=+= ⎪⎝⎭ 七. (7分) 设()f x 在[0,1]上具有连续导数, 且0()1,(0)0.f x f '<≤= 试证211300()d ][()]d .f x x f x x ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰证 令 2300()()d [()]d ,x xF x f t t f t t ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰则 ()F x 在 [0,1]连续, 且对(0,1)x ∈,30()2()()d [()]xF x f x f t tf x '=-⎰2()2()d ().x f x f t tf x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰又由题设知, 当(0,1)x ∈时, ()0.f x > 令20()2()d (),x g x f t t f x =-⎰则()g x 在[0,1]上连续, 且()2()[1()]0,(g x f x f x x ''=-≥∈ 故有()(0)0(0,1).g x g x ≥=∈因此()0,(0,1F x x '≥∈ 于是()F x 在[0,1]上单调增加, ()(0)0,[0,1].F x F x ≥=∈ 取1x =, 即得211300(1)()d [()]d 0.F f t t f t t ⎡⎤=-≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰所证结论成立.八. (7分) 设函数()y f x =具有二阶导数, 且()0.f x ''> 直线a L 是曲线()y f x =上任意一点(,())a f a 处的切线, 其中[0,1].a ∈ 记直线a L 与曲线()y f x =以及直线0,1x x ==所围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为().V a 试问a 为何值时()V a 取得最小值.解 切线a L 的方程为 ()()()y f a f a x a '-=- 即()()()y f a x a f a f a''=-+ 于是10()2[()()()()]d V a x f x f a x a f a f a xπ''=-+-⎰10112()d ()()().322a xf x x f a f a f a π⎡⎤''=-+-⎢⎥⎣⎦⎰可见, ()V a 在[0,1]连续, 在(0,1)可导. 令1()2[()()]()(32)0323aV a f a f a f a a ππ'''''''=-+=-=,a由于 ()0,f a ''> ()V a 在(0,1)内有唯一的驻点2.3a = 并且, 当 2(0,)3a ∈时, ()0V a '<; 当2(,1)3a ∈时, ()0,V a '> 因此,()V a 在23a =处取得最小值.九. (7分) 计算(sin )d (cos 1)d ,Ly y x x y y -+-⎰其中L 为从点(0,0)O 沿圆周222xy x+=在第一象限部分到点(1,1)A 的路径.解 令 sin ,cos 1,P y y Q x y =-=- 则c o s (c o s 1)1.Q Py y x y∂∂-=--=∂∂ 取点(1,0).B 作有向直线段,OB 其方程为 0(y x =从0变到1).作有向直线段,BA 其方程为 1(x y =从0变到1). 由曲线L 、有向直线段AB 和BO 形成的闭曲线记为0L (沿顺时针方向), 0L 所围成的区域记为D , 则(s i n )d (c o s1Ly y x x y y-+-⎰()((s i n )d (c o s 1)d )A BB OL y yx x y y =---+-⎰⎰⎰d (s i n )d (c o s 1)dDB Ay yx x y y σ=-+-+-⎰⎰⎰ (s i n )d (c o s 1)dy y x x y y +-+-⎰101(c o s 1)d 04y y π=-+-+⎰1s i n 11.4π=-+- 十. (8分) 设（1）有向闭曲线Γ是由圆锥螺线 OA：θθθθθ===z y x ,sin ,cos ，（θ从0变到2π）和有向直线段 AO 构成， 其中()0,0,0O ， ()2,0,2A ππ； （2）闭曲线Γ将其所在的圆锥面z =∑是其中的有界部分.（Ⅰ）如果()x z F -=,1, 表示一力场，求F沿Γ所做的功W ；（Ⅱ）如果()x z F -=,1,表示流体的流速，求流体通过∑流向上侧的流量. (单位从略）解（Ⅰ）作有向直线段,AO 其方程为 ⎩⎨⎧==xz y 0(x 从 2π变到0). 所求F沿Γ所做的功为d d d W z x y x z Γ=+-⎰()(d d d )OA Oz x y x z =++-⎰⎰()20cos sin sin cos cos d πθθθθθθθθθθ=-++-⎡⎤⎣⎦⎰()02d x x x π+-⎰220(cos sin )d 0πθθθθθ=-+⎰24π=.（Ⅱ）Γ所在的圆锥面方程为z =∑上任一点处向上的一个法向量为(,,1)x y n z z =--=∑在xOy 面上的投影区域为D , 0,02.r θθπ≤≤≤≤故所求流体通过∑流向上侧的流量为d d d d d d ()()d d x y z y z z x x x y z z z x x y ∑∑⎡⎤Φ=+-=⋅-+--⎣⎦⎰⎰⎰⎰ d d x x x y ∑⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰ ()20d 2cos sin d r r r πθθθθ=-+⎰⎰22302cos sin d 32πθθθθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰26π-=.注: (Ⅰ)的另一解法 应用Stokes 公式， 可得 W 2d d 2d d y z x z x y ∑∑==-⎰⎰⎰⎰2d x y∑=⎰⎰22200sin 2d d sin d r r r rπθπθθθθθ=-⋅=-⎰⎰⎰ 24π=.x十一. (8分) 设函数(,)u u x y =在心形线:1cos L r θ=+所围闭区域D 上具有二阶连续偏导数, n 是在曲线L 上的点处指向曲线外侧的法向量(简称外法向), un ∂∂是(,)u x y 沿L 的外法向的方向导数, L 取逆时针方向.(Ⅰ) 证明:d d d .L L u u us x y n y x∂∂∂=-+∂∂∂⎰⎰(Ⅱ) 若222221,u ux y y x y∂∂+=-+∂∂ 求d L u s n ∂∂⎰ 的值. (Ⅰ) 证 由方向导数的定义d (c o s s i n )d .L L u u us s n x yαα∂∂∂=+∂∂∂⎰⎰其中, α是n相对于 x 轴正向的转角.设1α是 L 的切向量τ 相对于x 轴正向的转角, 则1,2παα=+ 或 1.2παα=-故11d (sin cos )d .L L u u us s n x y αα∂∂∂=-∂∂∂⎰⎰d d .Lu ux y y x ∂∂=-+∂∂⎰(Ⅱ) 解 应用格林公式22222d ()d d (1)d d D D L u u us x y x y y x yn x y ∂∂∂=+=-+∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰由对称性1cos 00d 1d d 2d d D L us x y x r rn πθ+∂==∂⎰⎰⎰⎰⎰203(1c o s )d .2πθθπ=+=⎰十二.(8分) 设圆222x y y +=含于椭圆22221x y a b+=的内部, 且圆与椭圆相切于两点(即在这两点处圆与椭圆都有公共切线).(Ⅰ) 求 a 与b 满足的等式; (Ⅱ) 求a 与b 的值, 使椭圆的面积最小.解 (Ⅰ) 根据条件可知, 切点不在y 轴上. 否则圆与椭圆只可能相切于一点. 设圆与椭圆相切于点00(,)x y , 则00(,)x y 既满足椭圆方程又满足圆方程, 且在00(,)x y 处椭圆的切线斜率等于圆的切线斜率, 即2002001b x xa y y -=--. 注意到00,x ≠因此, 点00(,)x y 应满足2200222200022001(1)2(2)1(3)1x y a b x y y b a y y ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩由(1)和(2)式, 得222200220.b a y y a b--+= (4)由 (3) 式得 2022.b y b a =- 代入(4) 式2242222222220.()b a b b a b b a b a-⋅-+=-- 化简得 2222,b a b a=- 或 22420.a b a b --= (5) (Ⅱ) 按题意, 需求椭圆面积S ab π=在约束条件 (5) 下的最小值. 构造函数2242(,,)().L a b ab a b a b λλ=+-- 令2322242(24)0(6)(22)0(7)0(8)a b L b ab a L a a b b L a b a b λλλ⎧=+-=⎪=+-=⎨⎪=--=⎩(6) ·a − (7)·b , 并注意到 0λ≠, 可得 242b a =. 代入 (8) 式得 644220a a a --=,故 a = 从而 2b == 由此问题的实际可知, 符合条件的椭圆面积的最小值存在, 因此当a b ==时,此椭圆的面积最小.。