sobolev空间的建立

Ａｐｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈｅ Ｓ ｏ ｂｏ ｌ ｅ ｖ ｓ ｐａ ｃ ｅ ｅ ｑ ｕｉ ｖ ａ ｌ ｅ ｎ ｔ ｍｏ ｄ ｕ ｌ ｕｓ ｔ ｈｅ ｏ ｒ ｅ ｍ ｏ ｎ ｐａ ｒ ｔ ｉ ａ ｌ ｄ ｉ ｆｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｅ ｑｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
刘 娟 ， 一 ， 原 保 全
（ １ ． 河南理工大学 数学与信息科学学院， 河南 焦作 ４ ５ ４ ０ ０ ０ ； ２ ． 河南科技学院， 河南 新乡 ４ ５ ３ ０ ０ ３ ）
摘要 ： 给出了Ｓ ｏ ｂ ｏ ｌ ｅ ｖ 空间的等价模定理在偏微分方程理论中的应用， 解决了一个 Ｎ ｅ ｕ ｍ ａ ｎ ｎ 边值问题弱解的存
Ｘ ｉ ｎ ｘ ｉ ａ ｎ ｇ ４ ５ ３ ０ ０ ３ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
Ａｂｓ ｔ ｒ ａｃ ｔ ： Ａｎ ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ Ｓ ｏ ｂ ｏ ｌ ｅ ｖ ｓ ｐ ａ ｃ ｅ ｅ ｑ ｕ ｉ ｖ ａ ｌ ｅ ｎ ｔ ｍｏ ｄ ｕ ｌ ｕ ｓ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｙ ｏ ｆ ｐ ａ ｒ ｔ ｉ ａ ｌ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ
在性．
关 键词 ： Ｓ ｏ ｂ ｏ ｌ ｅ ｖ 空间； 弱解； 存在性 ； Ｎ ｅ ｕ ｍ ａ ｎ ｎ 边值问题
中图分 类号 ： Ｏ １ ８ ６ ． １ ２
文 献标 志码 ： Ａ
文 章编 号 ： １ ０ ０ ８ — ７ ５ １ ６ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ — ０ ０ ５ ６ — ０ ３
Ｌ ｉ ｐ ｓ ｃ ｈ ｉ ｔ ｚ 条件， 用 （ Ｑ ） 表示 Ｑ上全体不超 过 ｍ次 的多项 式 的组 成 的集 合， 显 然它是 Ｓ ｏ ｂ ｏ ｌ ｅ ｖ 空 间 （ Ｑ） （ １ ≤ Ｐ＜＋ ∞， ｋ∈Ｚ ） 的一个有 限维子空 间．

sobolev嵌入定理概述及解释说明1. 引言1.1 概述：Sobolev嵌入定理是数学分析领域的一个重要结果，它描述了函数在不同强度和光滑度条件下的嵌入关系。

具体来说，该定理关注的是函数空间中的积分指标和偏导数指标之间的关系。

通过该定理，我们可以研究函数在更高阶导数下的性质，并将其应用于许多数学和物理问题的解决。

1.2 文章结构：本文将对Sobolev嵌入定理进行概述及解释说明。

首先，我们将介绍定理的基本概念和背景知识，包括其历史发展和相关定义。

随后，我们将详细探讨Sobolev 空间及其性质，为读者提供对该定理所涉及的函数空间有更加全面深入的认识。

接着，我们将介绍一些关于证明Sobolev嵌入定理的方法与技巧，包括Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式的应用、逼近理论以及欧几里得域和流形上证明该定理时常用的技巧等。

然后，我们会探讨一些应用与拓展领域,例如偏微分方程解的存在性和唯一性结果的应用、函数空间与调和分析中的应用以及数值计算中的应用与算法发展。

最后，我们将总结文章并对未来关于Sobolev 嵌入定理研究方向进行展望。

1.3 目的：本文的目标是系统介绍和解释Sobolev嵌入定理，使读者了解该定理在数学分析领域中的重要性和广泛应用。

通过本文，读者可以深入理解Sobolev空间及其性质，掌握证明该定理的方法与技巧，并对其在偏微分方程、函数空间与调和分析以及数值计算等领域中的应用有更加全面深入的认识。

同时，我们也希望通过本文对未来关于Sobolev嵌入定理研究方向进行展望，激发读者进一步深入探索该领域并作出新的研究贡献。

2. Sobolev嵌入定理:2.1 定理介绍Sobolev嵌入定理是数学分析领域中的一个重要结果，它描述了函数在Sobolev 空间中的嵌入关系。

具体来说，该定理给出了当函数在某个Sobolev空间中具有一定的偏导数次数时，它也同时属于其他更高阶的函数空间。

Sobolev 空间一、定义：(一)弱导数的定义：设)(1Ω∈loc L u ，对于给定的重指标α，称为u 的α阶弱导数，如果存在函数)(1Ω∈loc L v ，使得对于）（Ω∈∀∞C ϕ成立 ⎰⎰ΩΩ-=dx uD vdx ϕϕαα||)1(.并记u D v α=.(二)Sobolev 空间的定义：对p ≥1,m 是非负整数，定义Sobolev 空间{}m L u D u L Wp p pm ≤Ω∈Ω=Ω∆||),(|)()(,αα{}m L u D L u u p p ≤Ω∈Ω∈=||),(),(|αα. 在)(,Ωp m W 中引入范数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞<≤==Ω∞≤≤ΩΩ≤Ω∑⎰∑p u D p u D dx u D umm pp p p mp p m ,max 1,)()||(,||||1,1||,,αααααα下面证明)(,Ωp m W 按范数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞<≤==Ω∞≤≤ΩΩ≤Ω∑⎰∑p u D p u D dx u D umm pp p p mp p m ,max 1,)()||(,||||1,1||,,αααααα是赋范空间. (i )非负性：当∞<≤p 1时，任意的)(,Ω∈pm Wu ，则0)||(||1,≥=⎰∑Ω≤mpppm dx u D uαα，且0,=pm u⇔0)||(||1=⎰∑Ω≤mppdx u D αα⇔0=u D α对任意m ≤||α均成立⇔0=u ；当∞=p 时，任意的)(,Ω∈p m W u ，则0m ax ||,≥=∞≤uD umpm αα，且0,=pm u⇔0m ax ||=≤u D mαα⇔0=u D α对任意m ≤||α均成立⇔0=u ；(ii )齐次性：当∞<≤p 1时，任意)(,Ω∈p m W u ，K ∈β，有==⎰∑Ω≤mppdx u D u ||1)|)(|(ααββ=⎰∑Ω≤mppdx u D ||1)||(ααβu β；当∞=p 时，任意)(,Ω∈p m W u ，K ∈β，有==≤)(m ax ||u D u mββαα=≤u D mααβ||m ax u β；(iii )三角不等式性：当∞<≤p 1时，任意)(,Ω∈p m W u ，)(,Ω∈p m W v ，有=+=+⎰∑Ω≤mppdx v u D v u ||1)|)(|(αα⎰∑Ω≤+mppp dx v D u D ||1)|||(|(ααα+≤⎰∑Ω≤mppdx u D ||1)||(αα=⎰∑Ω≤mppdx v D ||1)||(αα+u v ；当∞=p 时，任意)(,Ω∈p m W u ，)(,Ω∈p m W v ，有=+=+≤)(m ax ||v u D v u mαα≤+≤v D u D mααα||m ax +≤u D mαα||max =≤v D mαα||max +u v .所以，Sobolev 空间)(,Ωp m W 是一个赋范空间. 二、Sobolev 空间的主要性质：（一）完备性：)(,Ωp m W 是Banach 空间. 证明 只要证明)(,Ωp m W 是完备的. 任取)(,Ωp m W 中的Cauchy 序列{}j f ，则),(0,∞→→-j k f f pm j k .而∑≤-=-mpp L j k pm jk pf f D f f ||1,))((αα∑≤-=mppL j k p f D f D ||1))(ααα ⇒ ),(0∞→→-j k f D f D pL jk αα.即{})|(|m f D j ≤αα是)(Ωp L 中的Cauch 列，由)(Ωp L 的完备性知，存在)|)(|(m L g p≤Ω∈αα，使得∞→→j g f D pL j ,αα.在弱收敛的意义下，ααg f D j →，即对任意)111)((=+Ω∈qp L p ϕ，有 ⎰⎰ΩΩ∞→→)(j dx g dx f D j ϕϕαα.特别对任意)(0Ω∈∞C ϕ，有 ⎰⎰ΩΩ∞→→)(j dx g dx f D j ϕϕαα.这是因为⎰⎰ΩΩ→||dx g dx f D j ϕϕαα⎰Ω⋅-≤dx g f D j ||||ϕαα0→⋅-≤qpL L j g f D ϕαα(应用Holder 不等式）令0=α得⎰⎰⎰ΩΩ∆Ω=→dx f dx g dx f j ϕϕϕ0.其中)(0Ω∈∞C ϕ. 在利用弱导数的定义得，对于任意∞→Ω∈∞j C ),(0ϕ时有⎰⎰ΩΩ⋅-=dx D f dx f D j j ϕϕααα)1(⎰⎰ΩΩ⋅=⋅-→dx f D dx D f ϕϕααα||)1(.即当∞→j 时，j f D α在)(Ωp L 内弱收敛于f D α，记成))((Ω−−−→−p j L f D f D αα弱收敛由极限的唯一性，得)(Ω∈=p L g f D αα )|(|m ≤α 且))((Ω→p j L f D f D αα )(∞→j .这就说明，若{}j f 是)(,Ωp m W 中的Cauchy 序列，则必存在)(,Ω∈p m W f ，使得))((,Ω→p m j W f f )(∞→j .即，)(,Ωp m W 是完备的. 从而)(,Ωp m W 是Banach 空间.（二）可分性：当∞<≤p 1时，)(,Ωp m W 是可分的.证明 只要证明当∞<≤p 1时，Q p L ))((Ω是可分的，也就是说Q p L ))((Ω中存在稠密的可列集.事实上，对每个正整数k ，作⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>Ω∂Ω∈=Ωk x k x dist x x k ||,1),(,|.设P 表示所有有理数多项式全体，{}P f f P kk ∈=Ω|χ，k k P P ∞==1~ ，则P ~在)(Ωp L 中稠密. 事实上，对)(Ω∈p L f ，任意的0>ε，由)(0ΩC 在)(Ωp L 中稠密知，存在)(0Ω∈C g ，使得2)(ε<-Ωp L gf .另外容易看出，)()(010k k C C Ω=Ω∞= .故g 属于某个)(0m C Ω，利用weierstrass 定理知，m P 在)(0m C Ω中稠密，也就是说，存在m P h ∈，使得pm h g 1||2||-Ω<-ε，m x Ω∈∀.因为m Ω有界，故有⎰ΩΩ-=-ppL h g h g p 1)()||(||||2)||(1ε<-=⎰Ωmpp h g故ε<-Ω)(||||p L h f .其中，k k P P h ∞==∈1~.这就说明P ~在)(Ωp L 中稠密，且P ~是一个可列集，因而P P P P Q ~~~~1⨯⨯⨯=∏ 是Q p L ))((Ω可列的稠密集，即)1())((∞<≤Ωp L Q p 是可分的，从而)(,Ωp m W 也是可分的.(三)自反性:设∞<<p 1，则)(,Ωp m W 是自反空间. 三、Sobolev 空间的嵌入定理： (一)设Ω具有锥性质k Ω表示Ω与n R 中一上k 维平面的交集，n k ≤≤1，m 为正整数，j 为非负整数，∞<≤p 1，则有下列嵌入关系情形A 假设n mp <且n k mp n ≤<-则)()(,ΩΩq p m L W ，mp n npq p -≤≤ )()(,,ΩΩ+q j p m j W W ，mp n npq p -≤≤ )()(,,k q j p m j W W ΩΩ+ ，mpn kpq p -≤≤. 情形B 假设n mp =，则对n k ≤≤1，有)()(,,k q j p m j W W ΩΩ+ ，∞<≤q p .特别)()(,ΩΩq p m L W ，∞<≤q p .若1=p ，则n m =，这时当∞=q 时，上两式仍成立. 情形C 假设n mp >，则)()(,ΩΩ+j B p m j C W .(二)设Ω具有强局部Lipschitz 性质 情形C ' 假设p m n mp )1(->>，则)()(,,ΩΩ+αj p m j C W ，pn m -≤<α0. 情形C '' 假设p m n )1(-=，则)()(,,ΩΩ+αj p m j C W ，10≤<α.若1,1-==m n p ，则上式对1=α也成立. 四、建立Sobolev 空间的意义：随着科技的不断发展，在工程中提出了许多形式各样的偏微分方程，其中有相当一部分在古典理论上是不存在解的. 但实际背景表明，它们是存在唯一解的，这时，偏微分广义解的提出，很大程度上解决了这一数学与实际相冲突的问题. 广义解的另一优点是，它把偏微分方程的解的唯一性问题，分解成某个Sobolev 空间中广义解的存在与广义解的正则性两个问题来研究，解决了一些新的偏微分方程定解问题，特别是在非线性偏微分方程中，由于直接寻找古典解是相当困难的，而寻找弱解则相对容易，进而确定弱解的正则性后就获得古典解.在偏微分方程的数值计算中，现在比较流行的方法，如有限元法和有限体积法，它们的理论基础就是广义函数与Sobolev 空间. 它们都是利用守恒原理，在偏微分方程两边与某个区域进行积分，再进行一定的简化，将其等价的化为一个变分问题，再在某个Sobolev 空间中求解这个变分问题，其实我们求出来的变分问题的解就是其对应的偏微分方程的古典解.综上所述，广义微商及Sobolev 空间的建立，很大程度上促进了偏微分方程理论及其数值解理论的发展，在偏微分方程发展中揭开了新的一页.。

n N
),1 p , 满足 dxdy

N
Fn ( g ( x) g ( y ) ) x y
Np
N
则g W 1, p (
N
), 并且
n
lim

N
Fn ( g ( x) g ( y ) ) x y
Np
dxdy =K N，p
N

g ( x) dx
N
的关系 ................................................... 8
第三章 主要结果的导引.............................................. 11 第四章 定理 2、定理 3、定理 5 的证明................................. 16 4.1 定理 2、定理 3 的证明 .......................................................................... 16 4.1.1 一些有用的引理............................................................................ 16 4.1.2 定理 3 的证明................................................................................ 30 4.1.3 定理 2 的证明............................................................................... 36 4.2 定理 5 的证明 ......................................................................................... 37 第五章 公开问题.................................................... 55 参考文献........................................................... 56 附 谢 录............................................................ 57 辞........................................................... 73

变指数Sobolev空间在椭圆型微分方程中的应用随着自然科学和工程技术中许多非线性问题的不断出现, Sobolev空间表现出了其应用范围的局限性.例如,对一类具有变指数增长性条件的非线性问题的研究.具有变指数增长性条件的非线性问题是一个新兴的研究课题.在对这类非线性问题进行研究时,变指数Lebesgue空间及Sobolev空间发挥着重要的作用.在本文中,我们主要以变指数Sobolev空间W1,p(x)(?)为背景,研究了一类具变分结构的椭圆型p(x)-Laplace方程(组)及半变分不等式,其中? ? RN.由于指数p(x)为函数, p(x)-Laplace算子较之p-Laplace具有更为复杂的非线性性.例如, p(x)-Laplace算子是非齐次的.这就使得在常指数情形下使用的研究方法对于变指数情形不再适用.在本文中,我们先在较为宽松的增长条件下对能量泛函的性质进行了讨论,然后结合变分的方法研究了此类p(x)-Laplace非线性问题的解.本文的主要内容如下:1.对一类具有次临界增长阶的p(x)-Laplace方程弱解的研究.首先,我们通过求与p(x)-Laplace方程相关的能量泛函φ的全球极小值点,得到了φ的一个非平凡临界点u0∈W1,p(x)(RN),从而得到了方程在RN上非平凡弱解的存在性.然后,基于一类对称的山路定理,我们得到了泛函φ的一列能量值趋于无穷的临界点{un} ? W1,p(x)(RN),进而得到了方程在RN上弱解的多重性.最后,通过上下解的方法,我们在有界域?上得到了方程弱解的一个分支结果.2.对一类具有次临界增长阶的p(x)-Laplace方程组弱解的研究.我们主要基于一类强不定泛函的临界点定理,得到了与方程组相关的能量泛函I的一列能量值趋于无穷的临界点{(un, vn)} ? W01 ,p(x)(?)×W01 ,p(x)(?),进而得到了此方程组Dirichlet边值问题在有界域?上弱解的多重性.3.对一类具有临界指数的p(x)-Laplace方程弱解的研究.首先,推广了Sobolev空间上的一类集中紧致性原理,我们在变指数Sobolev空间W1,p(x)(RN)上建立了集中紧致性原理.然后基于此集中紧致性原理,并结合对称的山路定理,我们得到了泛函φ的一列径向对称且能量值趋于无穷的临界点{un} ? W1,p(x)(RN),从而得到了方程在RN上弱解的多重性.4.对一类具有次临界增长阶的p(x)-Laplace半变分不等式的研究.在这部分中,主要基于一类不可微泛函的临界点理论,我们对与半变分问题相关的局部Lipschitz连续泛函φ的临界点进行了研究.进而分别在?为RN的有界及无界域的情况下,证明了此不等式至少有一个非平凡的解u0∈W01 ,p(x)(?).本文所得的结论是相应的p-Laplace问题结论的推广.另外,从本文结论的证明过程中,我们也可以看出具变指数增长性条件的非线性问题与常指数情况的不同.。

土木工程
土木工程师利用索伯列夫空间来 分析和设计建筑结构的稳定性， 以及预测地震和其他自然灾害对
建筑物的影响。
计算机科学领域
图像处理
索伯列夫空间在图像处理中被广泛应用，用于图像压缩、去噪、 分割和特征提取等任务。
数据科学
在数据科学中，索伯列夫空间为数据降维、聚类和分类提供了有效 的工具，帮助研究人员更好地理解和分析大量数据。
THANK YOU
连通性
索伯列夫空间通常是连通 的，这意味着它们不能被 分割成两个不连接的部分 。
索伯列夫空间的重要性
理论物理
索伯列夫空间在理论物理中扮演 着重要的角色，它提供了一种描 述量子力学和相对论中出现的奇 异现象的工具。
微分方程
索伯列夫空间在微分方程中也扮 演着重要的角色，它提供了一种 更好地理解微分方程解的性质和 行为的方法。
边界的连通性
索伯列夫空间的边界是连通的，即从边界的任意一点出发， 通过连续的路径，都可以到达其他任意一点。
04
索伯列夫空间的应用 领域
物理学领域
量子力学
索伯列夫空间为量子力学提供了 数学框架，使得研究人员能够更 准确地描述微观粒子的状态，并
计算它们之间的相互作用。
相对论
索伯列夫空间在相对论中扮演了关 键角色，为描述和计算物体的运动 提供了精确的工具。
索伯列夫空间形成溯因
汇报人： 2023-11-22
contents
目录
• 索伯列夫空间的基本概念 • 索伯列夫空间的形成机制 • 索伯列夫空间的特征与规律 • 索伯列夫空间的应用领域 • 索伯列夫空间研究的未来展望 • 相关案例分析
01
索伯列夫空间的基本 概念
空间的定义

专家组长
专家2007年12月25日
表
课程名称：Sobolev空间
课程代码：011.562
英文名称：Sobolev Spaces
课程类型：√讲授课程□实践（实验、实习）课程□研讨课程□专题讲座□其它
考核方式：考试+研讨成绩(60+40)
教学方式：讲授
适用专业：基础数学,应用数学
适用层次：硕士□√博士□√
开课学期：春
总学时/讲授学时：48/48
教学大纲：（章节目录）
第一章预备知识:
1.泛函分析和实分析基本知识回顾.
2.嵌入和紧嵌入算子的定义,连续函数空间的嵌入定理.
3.广义函数基本知识回顾.
第二章Lp空间:
1.基本性质.
2.磨光篹子与光滑函数逼近.
3.相对紧集的特征.
4.一致凸和一致光滑性.
5.对偶空间的Riesz表示定理.
第三章Sobolev空间Wm, p(Ω):
1.Lions的迹空间与内插性质.
2.迹空间的算子半群表征.
3.迹定理与Ws, p(Ω)的定义,内在范数.
4.嵌入定理简介.
教材：
R. A.Adams.《Sobolev Spaces》, Academic Press, New York.
主要参考书：
[1] V. G. Maz’ja.《Sobolev Spaces》, Springer, New York.
[2] W. P. Ziemer.《Weakly Differentiable Functions: Sobolev Spaces and Functions of Bounded Variation》, Springer, New York.
该课程所属基层教学组织（教研室、系）专家小组意见：

龙源期刊网 索伯列夫空间的性质作者：周建锋王宇来源：《科学导报·学术》2019年第44期摘要：介绍了广义函数的导数，引入了索伯列夫空间的有关概念，讨论了索伯列夫空间的一些性质，应用泛函分析方法，给出了这些性质的证明。

關键词：广义函数;弱导数;索伯列夫空间;完备性;可分性;自反性中图分类号：O175.2;文献标志码：A1 引言前苏联著名数学家索伯列夫在研究偏微分方程理论中系统地应用了泛函分析方法，引进的一类泛函空间被称为索伯列夫空间，已成为研究非线性偏微分方程的有力工具，在微分方程、理学、计算数学、物理学等近代理论研究中被广泛的应用。

本文我们将介绍索伯列夫空间的有关概念，讨论索伯列夫空间的一些性质，并给出这些性质的证明.设是中的开集，是一非负整数，向量如果它的每一个分量都是非负整数，就称是一重指数（指标），并记称为重指数的长度.记用，表示阶微分算子， .于是 . 表示由定义在上所有连续且具有阶连续偏导数的函数组成的集合，简记为，令 = ，中的函数本身或某些阶的偏导数可以在上无界. 表示由且它和它的偏导数在上有界的全体函数组成的集合，若是中的有界区域，则空间是Banach空间.为了使泛函分析方法能够应用于偏微分方程，就必须扩充导数的概念，索伯列夫建立的广义函数理论把每个函数都看成广义函数，每个广义函数都是无穷次可导的，广义函数实质上是定义在一类性质很好的函数组成单位基本空间上的线性泛函。

在）中定义收敛性就能以它为定义域定义线性泛函，而且可以使它成为完备的空间。

2 广义函数及其导数定义1.1; Ω）（或; 称在（或）中收敛于，如果满足下列条件：（1）存在K; Ω（或），使得与都包含在中，即; ; ;，…对于任意重指数，函数序列在K上一致收敛，对于任意重指数，有;.在给定上述收敛后，就称（或（）为基本函数空间（或简称为基本空间） .上述收敛记为（在（或在）中）.由此可见，基本空间（或（）与（或）所含有元素相同，并且定义有上述收敛性. （或）中的元素成为基本函数或试验函数.设（或），（，由公式可知，成立等式如果是一重指数，（或），重复使用次公式推出因此把广义函数的阶广义导数用以下方式来定义定义1.2 广义函数的阶广义导数（或）.易证泛函具有可加性和连续性且具有一致收敛性，故是（或D（R ）上的线性泛函。

1 2 1 2
完备空间可以看成是一些好的经典函数空间的完备化. H m, p 是C 函数按范数 4.2 完备化得到的空间 H 0m, p 是Cc 函数按范数 4.2 完备化得到的空间
m
L 1 p
H m, p
,1 p , Lp ( )
p
H
m ,
max D u
特别的，p 2时，记H m,2为H m , 这时可引进内积， u, v m
D u , D v
m
L2
定理4.1：H m, p 为Banach空间. 根据H m, p 的定义，易知如下性质：
1.4 Sobolev空间
1.非负整指数Sobolev空间H m, p 定义4.1：设 R n是一给定的区域，对m 0,1 p 定义Sobolev空间H m, p 为满足条件D u Lp (), m的广义函数u全体所构成的集合，并装备以范数 u u D u m
函数的傅里叶变换
2. 函数1的傅里叶变换
1.3.3紧支集广义函数的Fourier变换

定理3.4：若T E( Rn ), 则T T , eix .
定义3.2 : 若函数a( x, ) C ( Rxn Rn ), 且对任意重指标，，有
x a ( x, ) C , (1 )

1 H 0, p =LP 2 若m1 m2 0, 则H m , p H m , p ，又若p1 p2 1, 且为 有界区域，则H m, p H m, p . 3 若u H m, p , m, 则D u H m , p

齐次Sobolev空间和齐次Besov空间的一些注记严兆英;王术【摘要】A bstract:Sobolev Space and Besov space plays an important role in the learning of partial differential,the application of its corresponding spaces are gradually noticed.This paper discussed on the equivalent definition of homogeneous Besov Space and the main theorem in the homogeneous Sobolev space.The equivalent definition of the homogeneous Besov space was given concrete proof process.Make out a more detailed proof of some theorems that given in homogeneous Sobolev space,which used the method of decomposition in the ring.These theorems with the methods of their proof play an significant role in differential equations as well as other courses.%Sobolev空间和Besov空间在偏微分的学习中占有重要地位,与其对应的齐次空间知识的应用也逐渐得到重视.在这里研究齐次Sobolev空间内的主要定理以及齐次Besov空间等价定义.就齐次Besov空间的等价定义给出具体证明过程；对于齐次Sobolev空间中给出的一些定理,利用环上分解的方法做出详细的证明.这些定理以及相关的证明方法对偏微分方程以及其他研究都有很大意义.【期刊名称】《哈尔滨商业大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(029)003【总页数】4页(P362-365)【关键词】齐次空间;等价定义;环上分解;范数估计【作者】严兆英;王术【作者单位】北京工业大学应用数理学院北京 100124;北京工业大学应用数理学院北京 100124【正文语种】中文【中图分类】O175.21 引言在偏微分方程的学习中，我们不断的接触到各种空间，从基本的复范线性空间到Banach空间再到Lp空间以及Hilbert空间等.随着知识层面的加深，例如在MHD或者ETM等物理模型的数学建模研究中，为了讨论问题的需要，引入了Soblev空间和Besov空间，由于学习的深入展开对其齐次空间的研究.本文主要就齐次Besov空间的等价定义给出具体证明过程，对齐次Sobolev空间中给出的一些定理，利用环上分解的方法做出比较详细的证明.本文中用到的相关定义以及定理:Sobolev空间[1]与齐次Sobolev空间定义 :对于某个给定的p≥1，f有范数‖f‖k，p=广义Sobolev空间:广义齐次Sobolev空间:Besov空间与齐次 Besov空间[2]定义:函数φ的定义[2]:存在一个函数φ∈Φ(IRn)，使suppφ ={ζ|2-1≤|ζ|≤2};函数φk和Ψ 的定义[2]:Fφk(ζ)= φ(2-kζ)(k=0，±1，±2，…)这里Φ是缓增分布)连续模的定义:这里是m阶微分算子.函数 f的相关范数估计定理[2]:设f∈Φ'，假设φk*f∈Lp，那么有(1≤p≤∞ ;s∈R)1) ‖Jsφk*f‖p≤C2sk‖φk*f‖p(k≥1);2)‖Jsφk*f‖p≤C2sk‖φk*f‖p;3)‖Jsφk*f‖p≤C‖Ψ*f‖p这里常数C与p和k无关.2 齐次空间注记1)给出齐次Besov空间等价定义的证明;2)利用环形分解以及K插值理论给出了齐次Sobolev空间中，插值定理的证明. 定理1[2] 齐次Besov空间等价范定义:假设s＞0，且设m和n是整数，使得m+n＞N且0≤N＜ s.那么，当1≤p≤∞，1≤q≤∞时定理2[2]齐次Sobolev空间插值定理:如果1≤p，q≤∞ ，0 ＜θ＜ 1 我们有其中s=(1- θ)s0+ θs1)定理1的证明:由Fourier变换及其逆变换[3]公式有这里已知 Mp 定义，sup‖f‖p=1‖(F-1ρ)*f‖p 有界，则ρ^∈Mp，那么显然同样对所有的因为|m2mk)2Nk‖φk*f‖Lp，那么得到由于i(s-N)+N=i(s-N)+Nk+sk-sk=(i-k)(s-k)+sk，得到那么显然有定义子列中ak=2sk‖φk*f‖Lp，则假设n≥2，存在函数xj∈(IRn)(1≤j≤n)当suppφ ={ζ|2－1≤|ζ|≤2} 时满足n)，从而有这里ρkj= ρ(2－kej)，ej是ζj轴方向的单位向量，那么由齐次 Besov空间范数定义通过(Ⅰ)(Ⅱ)的证明得到，所以有定理 2 的证明:在这里f属于齐次空间，0不属于它的支集，所以不能像普通意义下直接证明，要将f进行环形分解，即设1).由于支集的存在这里只有有限项，对上式左右同时取Lp范数，则由于是有限项相加，算子I的位置可以调换.即其中即利用 Young不等式[4]若要证明原包含关系成立即证明也就转化为不妨设 s0＜ s1，则有 t-θ，t-1是递减函数，K(t，f)是递增函数，则对后面的函数进行缩放，得到由于均是有界正数，则下面证明其中:由于可以被控制，那么有即取一个.齐次空间中由于定义那么需要对函数f做环形分解，去掉f的支集.令由的定义只与相邻三项相关，‖φl*f‖Lp要满足其取本文给出了两个定理的详尽证明，在讨论与这些空间相关的偏微分问题的解答时也能够更加直观参考文献:[1] 陈恕行.现代偏微分方程导论[M].北京:科学出版社，2005.[2] JORAN B，JORGEN L.Interplation Spaces An Introduction[M].New York:Springer Verlag，1976.[3] 张恭庆，林源渠.泛函分析讲义:上册[M].北京:北京大学出版社，2004.[4] KESAVAN S.Topics in functional analysis and applications[M].[S.l.]:New Age International(L)Ltd，Publishers.2003.。

sobolev空间对偶空间的元素表征Sobolev空间是用来表示空间中的函数，它主要用于解决分析和数学物理的一类动力学问题，比如椭圆型和非椭圆型偏微分方程，以及统计物理、量子力学和流体力学中的一些问题。

Sobolev空间也有一个对偶空间，它用来表示一类函数的积分表示。

对偶空间的主要作用是用来表示一类泛函的积分表示，这部分的理论描述了求取一般函数的元素，也为我们提供了一种快速求取某一函数值的方法。

因此，Sobolev空间的对偶空间的元素表征是用来表示一类函数的变化趋势的一种有效的方法。

在实际的应用中，使用对偶空间来表征函数的元素，可以更好地显示函数的变化趋势，从而更好地理解函数通过某种特定变换变化时产生的效果。

另一方面，使用Sobolev空间的对偶空间的表征还可以帮助我们在实际的计算中更快的计算函数的积分结果，这样就可以节省更多的时间。

总的来说，Sobolev空间的对偶空间的元素表征可以为我们提供一种有效表达函数变化趋势的方法，帮助我们更快速地求取所需要的结果。

广义函数和Sobolev空间的一些性质综述广义函数和Sobolev空间是近代分析的重要概念，其研究的逐步深入对于近代数学各个分支的发展均起到了极其重要的作用。

随着研究的深入，广义函数由最开始的被物理学家以不严密形式表示，到后来的说明线性双曲型方程哥西问题的解唯一性问题，再到后来用线性拓扑空间理论作为基础，得到了一系列的重要而具有深远意义的结论。

与此同时，sobolev空间的研究也取得了实质性的发展，其各种推广、嵌入定理、迹定理及各种插值公式已经成为偏微分方程理论必不可少的工具。

本文就广义函数和sobolev空间的性质及其应用以lax-milgram定理的研究为例展开讨论。

这是一篇读书报告，主要取材于[1]-[3].关键词：广义函数，sobolev空间，lax-milgram定理广义函数和Sobolev空间的一些性质综述第一章引言广义函数和Sobolev空间是近代分析的重要概念，它们的发展也直接促进了偏微分方程的研究。

本文将就广义函数和Sobolev空间进行综述，介绍一些基本性质及其应用。

1.1关于广义函数目前，在各个不同的数学分支的发展中，广义函数均得到日益广泛的传播，而以不严密形式来表示的广义函数，实际上早已为物理学家所采用。

J.Hadamant由于研究波动方程的基本解，曾经探讨发散的积分。

他的很多工作和M.Ricsz的一些工作都对广义函数理论的形成起了极其重要的作用。

1936年，索伯列夫首先引入广义函数，以一种明确而又是目前广泛采用的形式，说明了线性双曲型方程哥西问题的解唯一性问题。

另一方面，有另一些数学理论的发展也与广义函数理论也有紧密的联系，例如按幂式增长函数的傅里叶变换的C.Bochner理论。

这些傅里叶变换实际上也是广义函数。

在C.Bochner的理论中，这些广义函数的出现是为了表示连续函数的形式上的导数。

在1950至1951年间，随着L.Schwartz的专著“分布函数理论”的出版，广义函数理论更加系统化。

sobolev不等式证明Sobolev不等式是数学中的一种重要的不等式，它在偏微分方程、函数空间、概率论等领域中都有广泛的应用。

本文将详细介绍Sobolev不等式的定义、证明和应用。

一、Sobolev不等式的定义Sobolev不等式是指对于任意一个充分光滑的函数$f(x)$，都存在一个常数$C$，使得下面的不等式成立：$$\|f\|_{L^p(\mathbb{R}^n)} \leq C\|\nablaf\|_{L^q(\mathbb{R}^n)}$$其中$p>1$，$q$是$p$的共轭指数，即$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$。

$\|\cdot\|_{L^p}$和$\|\cdot\|_{L^q}$分别表示$L^p$和$L^q$范数。

二、证明为了证明Sobolev不等式，我们需要先引入一个引理：引理：对于任意一个充分光滑的函数$f(x)$，有如下估计：$$|f(x)| \leq C\left(\int_{\mathbb{R}^n} |\nablaf(y)|^2dy\right)^{\frac{1}{2}}$$其中$C$是一个与$f(x)$无关的常数。

证明：由Cauchy-Schwarz不等式可得：$$|f(x)| = \left|\int_{\mathbb{R}^n} f(x)\frac{\nabla f(y)}{\|\nabla f(y)\|}\cdot\frac{\nabla f(y)}{\|\nabla f(y)\|}dy\right|$$再利用Holder不等式，得到：$$|f(x)| \leq \left(\int_{\mathbb{R}^n} |\nablaf(y)|^2dy\right)^{\frac{1}{2}} \left(\int_{\mathbb{R}^n}|f(x)|^2\frac{1}{\|\nabla f(y)\|^2}dy\right)^{\frac{1}{2}}$$因为$\|\cdot\|$是$L^p$范数，所以$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$。

索伯列夫（Sobolev）空间嵌入定理与集中紧性原理摘要本文主要研究索伯列夫空间嵌入定理及其证明，和集中紧性原理，加深对泛函知识的理解。

关键词弱导数、Sobolev空间、嵌入定理、集中紧性原理Key words摘要...............................................................................................I Abstract .. (II)引言................................................................................................1 一、预备知识...................................................................................2 1.1 弱导数定义.................................................................................2 1.2 Sobolev 空间,()m p W ...................................................................2 1.3 引理..........................................................................................2 二、嵌入定理的证明与集中紧性原理......................................................5 2.1 嵌入定理的证明...........................................................................5 2.2 集中紧性原理............................................................................10 2.3 结论........................................................................................12 参考文献.. (13)索伯列夫空间理论是上世纪30年代初由苏联数学家S.L.Sobolev 发展起来的。

一、概述1.1 H的-1 Sobolev空间的介绍H的-1 Sobolev空间是泛函分析中的一个重要概念，它是用来描述在L2空间中不光滑函数的空间。

-1阶的Sobolev空间是用来描述那些不仅在普通意义下可微的函数，而且在广义意义下也可微的函数的空间。

在实际问题中，很多时候我们遇到的函数并不一定是处处可微的，因此需要使用Sobolev空间来描述这些不光滑的函数。

1.2 本文的主要内容本文将主要讨论H的-1 Sobolev空间诱导的内积和范数的性质及应用。

我们将从定义和性质入手，逐步展开对H的-1 Sobolev空间的内积和范数的深入讨论，最后探讨它们在实际问题中的应用。

二、H的-1 Sobolev空间的内积和范数的定义2.1 H的-1 Sobolev空间的内积定义H的-1 Sobolev空间的内积定义如下：对于任意的u、v∈H的-1 Sobolev空间，定义内积：(u,v)H-1 = ∫∫(∇u⋅∇v + uv)dxdy其中∇u和∇v分别表示u和v的梯度2.2 H的-1 Sobolev空间的范数定义H的-1 Sobolev空间的范数定义如下：对于任意的u∈H的-1 Sobolev空间，定义范数：||u||H-1 = (∫∫(∇u⋅∇u + u^2)dxdy)^(1/2)三、H的-1 Sobolev空间的内积和范数的性质3.1 内积的性质3.1.1 对称性：(u,v)H-1 = (v,u)H-13.1.2 非负性：(u,u)H-1 ≥0，且(u,u)H-1 =0当且仅当u=03.1.3 线性性：对于任意的u、v、w∈H的-1 Sobolev空间，以及任意的实数α、β，有(αu+βv,w)H-1 = α(u,w)H-1 + β(v,w)H-1 3.2 范数的性质3.2.1 非负性：||u||H-1 ≥0，且||u||H-1 =0当且仅当u=03.2.2 齐次性：对于任意的u∈H的-1 Sobolev空间，以及任意的实数α，有||αu||H-1 = |α| ||u||H-13.2.3 三角不等式：对于任意的u、v∈H的-1 Sobolev空间，有||u+v||H-1 ≤ ||u||H-1 + ||v||H-1四、H的-1 Sobolev空间的内积和范数的应用4.1 偏微分方程的解空间在求解某些偏微分方程的时候，常常需要将函数约束在特定的空间中，H的-1 Sobolev空间作为描述不光滑函数的空间，可以用来描述某些偏微分方程的解空间。

hanner不等式 sobolev空间
Hanner不等式是 Sobolev 空间的一种表现形式，其中 sobolev 空间是一种在研究偏微分方程（PDE）问题时常用的空间。

Sobolev 空间是包含所有满足特定条件的函数的空间，这些函数的弱偏导数也必须属于某个 Lebesgue 空间。

Hanner 不等式是在 Sobolev 空间中定义的不等式，用于描述该空间中函数的性质。

在实际应用中，Hanner 不等式可以用于研究 PDE 问题的解的存在性、唯一性和渐近行为，以及估计解的能量估计等方面。

它是 Sobolev 空间理论的重要组成部分，在数学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。

第六章 广义函数与Sobolev 空间简介函数是经典分析中的基本概念之一，然而这样的一个基本概念，在近代科学技术的发展中逐渐不够用了。

下面用几个例子加以说明。

例6.1（脉冲） 20世纪初，Heaviside 在解电路方程时，提出了一种运算方法，称之为算子演算。

这套算法要求对如下函数10()00x h x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ 求导数，并把导数记为()x δ。

但按照经典分析的理论，()h x 并不可导，因此()x δ不可能是普通意义下的函数，它除了作为一个记号进行形式演算外，在数学上是没有意义的。

但是，这个()x δ在实际中是没有意义的，又代表一种理想化的“瞬时”单位脉冲。

例6.2（Dirac 符号） 在微观世界中，把可观测到物质的状态用波函数来描述，最简单的波函数具有形式((,))i x e x λ∈-∞+∞，λ是实参数，并考虑如下形式的积分12i x e dx λπ+∞-∞⎰这种积分按Cauchy 积分来定义，即111sin lim lim 22n i x i x n n n n e dx e dx λλλπππλ+∞+-∞-→∞→∞==⎰⎰ 显然，这个极限在普通意义下不存在。

然而，物理学家认为这个极限是前面所提到的()x δ，并认为是Dirac 符号。

特别，在量子力学中，进一步发展了不少关于()x δ的运算法则，并广泛地使用。

例 6.3（广义微分） 在数学本身的发展中，也时常要求冲破经典分析中对一些基本运算使用范围所加的限制。

20世纪30年代，Sobolev 为了确定微分方程的存在性和惟一性问题，通过分部积分公式，推广了函数可微性的概念，建立了广义微商理论，形成了以他的名字命名的Sobolev 空间理论。

这标志着现代微分方程理论的诞生。

基于上述原因，扩充函数概念，为广义函数寻找坚实的数学基础，对数学家提出了新的挑战。

20世纪40年代，Schwartz 完成了这一艰巨的任务，创立了广义函数的系统理论，并因此于1950年获得数学最高奖——菲尔兹奖。