sobolev空间的建立

sobolev嵌入定理概述及解释说明1. 引言1.1 概述：Sobolev嵌入定理是数学分析领域的一个重要结果，它描述了函数在不同强度和光滑度条件下的嵌入关系。

具体来说，该定理关注的是函数空间中的积分指标和偏导数指标之间的关系。

通过该定理，我们可以研究函数在更高阶导数下的性质，并将其应用于许多数学和物理问题的解决。

1.2 文章结构：本文将对Sobolev嵌入定理进行概述及解释说明。

首先，我们将介绍定理的基本概念和背景知识，包括其历史发展和相关定义。

随后，我们将详细探讨Sobolev 空间及其性质，为读者提供对该定理所涉及的函数空间有更加全面深入的认识。

接着，我们将介绍一些关于证明Sobolev嵌入定理的方法与技巧，包括Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式的应用、逼近理论以及欧几里得域和流形上证明该定理时常用的技巧等。

然后，我们会探讨一些应用与拓展领域,例如偏微分方程解的存在性和唯一性结果的应用、函数空间与调和分析中的应用以及数值计算中的应用与算法发展。

最后，我们将总结文章并对未来关于Sobolev 嵌入定理研究方向进行展望。

1.3 目的：本文的目标是系统介绍和解释Sobolev嵌入定理，使读者了解该定理在数学分析领域中的重要性和广泛应用。

通过本文，读者可以深入理解Sobolev空间及其性质，掌握证明该定理的方法与技巧，并对其在偏微分方程、函数空间与调和分析以及数值计算等领域中的应用有更加全面深入的认识。

同时，我们也希望通过本文对未来关于Sobolev嵌入定理研究方向进行展望，激发读者进一步深入探索该领域并作出新的研究贡献。

2. Sobolev嵌入定理:2.1 定理介绍Sobolev嵌入定理是数学分析领域中的一个重要结果，它描述了函数在Sobolev 空间中的嵌入关系。

具体来说，该定理给出了当函数在某个Sobolev空间中具有一定的偏导数次数时，它也同时属于其他更高阶的函数空间。

Sobolev 空间一、定义：(一)弱导数的定义：设)(1Ω∈loc L u ，对于给定的重指标α，称为u 的α阶弱导数，如果存在函数)(1Ω∈loc L v ，使得对于）（Ω∈∀∞C ϕ成立 ⎰⎰ΩΩ-=dx uD vdx ϕϕαα||)1(.并记u D v α=.(二)Sobolev 空间的定义：对p ≥1,m 是非负整数，定义Sobolev 空间{}m L u D u L Wp p pm ≤Ω∈Ω=Ω∆||),(|)()(,αα{}m L u D L u u p p ≤Ω∈Ω∈=||),(),(|αα. 在)(,Ωp m W 中引入范数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞<≤==Ω∞≤≤ΩΩ≤Ω∑⎰∑p u D p u D dx u D umm pp p p mp p m ,max 1,)()||(,||||1,1||,,αααααα下面证明)(,Ωp m W 按范数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞<≤==Ω∞≤≤ΩΩ≤Ω∑⎰∑p u D p u D dx u D umm pp p p mp p m ,max 1,)()||(,||||1,1||,,αααααα是赋范空间. (i )非负性：当∞<≤p 1时，任意的)(,Ω∈pm Wu ，则0)||(||1,≥=⎰∑Ω≤mpppm dx u D uαα，且0,=pm u⇔0)||(||1=⎰∑Ω≤mppdx u D αα⇔0=u D α对任意m ≤||α均成立⇔0=u ；当∞=p 时，任意的)(,Ω∈p m W u ，则0m ax ||,≥=∞≤uD umpm αα，且0,=pm u⇔0m ax ||=≤u D mαα⇔0=u D α对任意m ≤||α均成立⇔0=u ；(ii )齐次性：当∞<≤p 1时，任意)(,Ω∈p m W u ，K ∈β，有==⎰∑Ω≤mppdx u D u ||1)|)(|(ααββ=⎰∑Ω≤mppdx u D ||1)||(ααβu β；当∞=p 时，任意)(,Ω∈p m W u ，K ∈β，有==≤)(m ax ||u D u mββαα=≤u D mααβ||m ax u β；(iii )三角不等式性：当∞<≤p 1时，任意)(,Ω∈p m W u ，)(,Ω∈p m W v ，有=+=+⎰∑Ω≤mppdx v u D v u ||1)|)(|(αα⎰∑Ω≤+mppp dx v D u D ||1)|||(|(ααα+≤⎰∑Ω≤mppdx u D ||1)||(αα=⎰∑Ω≤mppdx v D ||1)||(αα+u v ；当∞=p 时，任意)(,Ω∈p m W u ，)(,Ω∈p m W v ，有=+=+≤)(m ax ||v u D v u mαα≤+≤v D u D mααα||m ax +≤u D mαα||max =≤v D mαα||max +u v .所以，Sobolev 空间)(,Ωp m W 是一个赋范空间. 二、Sobolev 空间的主要性质：（一）完备性：)(,Ωp m W 是Banach 空间. 证明 只要证明)(,Ωp m W 是完备的. 任取)(,Ωp m W 中的Cauchy 序列{}j f ，则),(0,∞→→-j k f f pm j k .而∑≤-=-mpp L j k pm jk pf f D f f ||1,))((αα∑≤-=mppL j k p f D f D ||1))(ααα ⇒ ),(0∞→→-j k f D f D pL jk αα.即{})|(|m f D j ≤αα是)(Ωp L 中的Cauch 列，由)(Ωp L 的完备性知，存在)|)(|(m L g p≤Ω∈αα，使得∞→→j g f D pL j ,αα.在弱收敛的意义下，ααg f D j →，即对任意)111)((=+Ω∈qp L p ϕ，有 ⎰⎰ΩΩ∞→→)(j dx g dx f D j ϕϕαα.特别对任意)(0Ω∈∞C ϕ，有 ⎰⎰ΩΩ∞→→)(j dx g dx f D j ϕϕαα.这是因为⎰⎰ΩΩ→||dx g dx f D j ϕϕαα⎰Ω⋅-≤dx g f D j ||||ϕαα0→⋅-≤qpL L j g f D ϕαα(应用Holder 不等式）令0=α得⎰⎰⎰ΩΩ∆Ω=→dx f dx g dx f j ϕϕϕ0.其中)(0Ω∈∞C ϕ. 在利用弱导数的定义得，对于任意∞→Ω∈∞j C ),(0ϕ时有⎰⎰ΩΩ⋅-=dx D f dx f D j j ϕϕααα)1(⎰⎰ΩΩ⋅=⋅-→dx f D dx D f ϕϕααα||)1(.即当∞→j 时，j f D α在)(Ωp L 内弱收敛于f D α，记成))((Ω−−−→−p j L f D f D αα弱收敛由极限的唯一性，得)(Ω∈=p L g f D αα )|(|m ≤α 且))((Ω→p j L f D f D αα )(∞→j .这就说明，若{}j f 是)(,Ωp m W 中的Cauchy 序列，则必存在)(,Ω∈p m W f ，使得))((,Ω→p m j W f f )(∞→j .即，)(,Ωp m W 是完备的. 从而)(,Ωp m W 是Banach 空间.（二）可分性：当∞<≤p 1时，)(,Ωp m W 是可分的.证明 只要证明当∞<≤p 1时，Q p L ))((Ω是可分的，也就是说Q p L ))((Ω中存在稠密的可列集.事实上，对每个正整数k ，作⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>Ω∂Ω∈=Ωk x k x dist x x k ||,1),(,|.设P 表示所有有理数多项式全体，{}P f f P kk ∈=Ω|χ，k k P P ∞==1~ ，则P ~在)(Ωp L 中稠密. 事实上，对)(Ω∈p L f ，任意的0>ε，由)(0ΩC 在)(Ωp L 中稠密知，存在)(0Ω∈C g ，使得2)(ε<-Ωp L gf .另外容易看出，)()(010k k C C Ω=Ω∞= .故g 属于某个)(0m C Ω，利用weierstrass 定理知，m P 在)(0m C Ω中稠密，也就是说，存在m P h ∈，使得pm h g 1||2||-Ω<-ε，m x Ω∈∀.因为m Ω有界，故有⎰ΩΩ-=-ppL h g h g p 1)()||(||||2)||(1ε<-=⎰Ωmpp h g故ε<-Ω)(||||p L h f .其中，k k P P h ∞==∈1~.这就说明P ~在)(Ωp L 中稠密，且P ~是一个可列集，因而P P P P Q ~~~~1⨯⨯⨯=∏ 是Q p L ))((Ω可列的稠密集，即)1())((∞<≤Ωp L Q p 是可分的，从而)(,Ωp m W 也是可分的.(三)自反性:设∞<<p 1，则)(,Ωp m W 是自反空间. 三、Sobolev 空间的嵌入定理： (一)设Ω具有锥性质k Ω表示Ω与n R 中一上k 维平面的交集，n k ≤≤1，m 为正整数，j 为非负整数，∞<≤p 1，则有下列嵌入关系情形A 假设n mp <且n k mp n ≤<-则)()(,ΩΩq p m L W ，mp n npq p -≤≤ )()(,,ΩΩ+q j p m j W W ，mp n npq p -≤≤ )()(,,k q j p m j W W ΩΩ+ ，mpn kpq p -≤≤. 情形B 假设n mp =，则对n k ≤≤1，有)()(,,k q j p m j W W ΩΩ+ ，∞<≤q p .特别)()(,ΩΩq p m L W ，∞<≤q p .若1=p ，则n m =，这时当∞=q 时，上两式仍成立. 情形C 假设n mp >，则)()(,ΩΩ+j B p m j C W .(二)设Ω具有强局部Lipschitz 性质 情形C ' 假设p m n mp )1(->>，则)()(,,ΩΩ+αj p m j C W ，pn m -≤<α0. 情形C '' 假设p m n )1(-=，则)()(,,ΩΩ+αj p m j C W ，10≤<α.若1,1-==m n p ，则上式对1=α也成立. 四、建立Sobolev 空间的意义：随着科技的不断发展，在工程中提出了许多形式各样的偏微分方程，其中有相当一部分在古典理论上是不存在解的. 但实际背景表明，它们是存在唯一解的，这时，偏微分广义解的提出，很大程度上解决了这一数学与实际相冲突的问题. 广义解的另一优点是，它把偏微分方程的解的唯一性问题，分解成某个Sobolev 空间中广义解的存在与广义解的正则性两个问题来研究，解决了一些新的偏微分方程定解问题，特别是在非线性偏微分方程中，由于直接寻找古典解是相当困难的，而寻找弱解则相对容易，进而确定弱解的正则性后就获得古典解.在偏微分方程的数值计算中，现在比较流行的方法，如有限元法和有限体积法，它们的理论基础就是广义函数与Sobolev 空间. 它们都是利用守恒原理，在偏微分方程两边与某个区域进行积分，再进行一定的简化，将其等价的化为一个变分问题，再在某个Sobolev 空间中求解这个变分问题，其实我们求出来的变分问题的解就是其对应的偏微分方程的古典解.综上所述，广义微商及Sobolev 空间的建立，很大程度上促进了偏微分方程理论及其数值解理论的发展，在偏微分方程发展中揭开了新的一页.。

变指数Sobolev空间在椭圆型微分方程中的应用随着自然科学和工程技术中许多非线性问题的不断出现, Sobolev空间表现出了其应用范围的局限性.例如,对一类具有变指数增长性条件的非线性问题的研究.具有变指数增长性条件的非线性问题是一个新兴的研究课题.在对这类非线性问题进行研究时,变指数Lebesgue空间及Sobolev空间发挥着重要的作用.在本文中,我们主要以变指数Sobolev空间W1,p(x)(?)为背景,研究了一类具变分结构的椭圆型p(x)-Laplace方程(组)及半变分不等式,其中? ? RN.由于指数p(x)为函数, p(x)-Laplace算子较之p-Laplace具有更为复杂的非线性性.例如, p(x)-Laplace算子是非齐次的.这就使得在常指数情形下使用的研究方法对于变指数情形不再适用.在本文中,我们先在较为宽松的增长条件下对能量泛函的性质进行了讨论,然后结合变分的方法研究了此类p(x)-Laplace非线性问题的解.本文的主要内容如下:1.对一类具有次临界增长阶的p(x)-Laplace方程弱解的研究.首先,我们通过求与p(x)-Laplace方程相关的能量泛函φ的全球极小值点,得到了φ的一个非平凡临界点u0∈W1,p(x)(RN),从而得到了方程在RN上非平凡弱解的存在性.然后,基于一类对称的山路定理,我们得到了泛函φ的一列能量值趋于无穷的临界点{un} ? W1,p(x)(RN),进而得到了方程在RN上弱解的多重性.最后,通过上下解的方法,我们在有界域?上得到了方程弱解的一个分支结果.2.对一类具有次临界增长阶的p(x)-Laplace方程组弱解的研究.我们主要基于一类强不定泛函的临界点定理,得到了与方程组相关的能量泛函I的一列能量值趋于无穷的临界点{(un, vn)} ? W01 ,p(x)(?)×W01 ,p(x)(?),进而得到了此方程组Dirichlet边值问题在有界域?上弱解的多重性.3.对一类具有临界指数的p(x)-Laplace方程弱解的研究.首先,推广了Sobolev空间上的一类集中紧致性原理,我们在变指数Sobolev空间W1,p(x)(RN)上建立了集中紧致性原理.然后基于此集中紧致性原理,并结合对称的山路定理,我们得到了泛函φ的一列径向对称且能量值趋于无穷的临界点{un} ? W1,p(x)(RN),从而得到了方程在RN上弱解的多重性.4.对一类具有次临界增长阶的p(x)-Laplace半变分不等式的研究.在这部分中,主要基于一类不可微泛函的临界点理论,我们对与半变分问题相关的局部Lipschitz连续泛函φ的临界点进行了研究.进而分别在?为RN的有界及无界域的情况下,证明了此不等式至少有一个非平凡的解u0∈W01 ,p(x)(?).本文所得的结论是相应的p-Laplace问题结论的推广.另外,从本文结论的证明过程中,我们也可以看出具变指数增长性条件的非线性问题与常指数情况的不同.。

龙源期刊网 索伯列夫空间的性质作者：周建锋王宇来源：《科学导报·学术》2019年第44期摘要：介绍了广义函数的导数，引入了索伯列夫空间的有关概念，讨论了索伯列夫空间的一些性质，应用泛函分析方法，给出了这些性质的证明。

關键词：广义函数;弱导数;索伯列夫空间;完备性;可分性;自反性中图分类号：O175.2;文献标志码：A1 引言前苏联著名数学家索伯列夫在研究偏微分方程理论中系统地应用了泛函分析方法，引进的一类泛函空间被称为索伯列夫空间，已成为研究非线性偏微分方程的有力工具，在微分方程、理学、计算数学、物理学等近代理论研究中被广泛的应用。

本文我们将介绍索伯列夫空间的有关概念，讨论索伯列夫空间的一些性质，并给出这些性质的证明.设是中的开集，是一非负整数，向量如果它的每一个分量都是非负整数，就称是一重指数（指标），并记称为重指数的长度.记用，表示阶微分算子， .于是 . 表示由定义在上所有连续且具有阶连续偏导数的函数组成的集合，简记为，令 = ，中的函数本身或某些阶的偏导数可以在上无界. 表示由且它和它的偏导数在上有界的全体函数组成的集合，若是中的有界区域，则空间是Banach空间.为了使泛函分析方法能够应用于偏微分方程，就必须扩充导数的概念，索伯列夫建立的广义函数理论把每个函数都看成广义函数，每个广义函数都是无穷次可导的，广义函数实质上是定义在一类性质很好的函数组成单位基本空间上的线性泛函。

在）中定义收敛性就能以它为定义域定义线性泛函，而且可以使它成为完备的空间。

2 广义函数及其导数定义1.1; Ω）（或; 称在（或）中收敛于，如果满足下列条件：（1）存在K; Ω（或），使得与都包含在中，即; ; ;，…对于任意重指数，函数序列在K上一致收敛，对于任意重指数，有;.在给定上述收敛后，就称（或（）为基本函数空间（或简称为基本空间） .上述收敛记为（在（或在）中）.由此可见，基本空间（或（）与（或）所含有元素相同，并且定义有上述收敛性. （或）中的元素成为基本函数或试验函数.设（或），（，由公式可知，成立等式如果是一重指数，（或），重复使用次公式推出因此把广义函数的阶广义导数用以下方式来定义定义1.2 广义函数的阶广义导数（或）.易证泛函具有可加性和连续性且具有一致收敛性，故是（或D（R ）上的线性泛函。

齐次Sobolev空间和齐次Besov空间的一些注记严兆英;王术【摘要】A bstract:Sobolev Space and Besov space plays an important role in the learning of partial differential,the application of its corresponding spaces are gradually noticed.This paper discussed on the equivalent definition of homogeneous Besov Space and the main theorem in the homogeneous Sobolev space.The equivalent definition of the homogeneous Besov space was given concrete proof process.Make out a more detailed proof of some theorems that given in homogeneous Sobolev space,which used the method of decomposition in the ring.These theorems with the methods of their proof play an significant role in differential equations as well as other courses.%Sobolev空间和Besov空间在偏微分的学习中占有重要地位,与其对应的齐次空间知识的应用也逐渐得到重视.在这里研究齐次Sobolev空间内的主要定理以及齐次Besov空间等价定义.就齐次Besov空间的等价定义给出具体证明过程；对于齐次Sobolev空间中给出的一些定理,利用环上分解的方法做出详细的证明.这些定理以及相关的证明方法对偏微分方程以及其他研究都有很大意义.【期刊名称】《哈尔滨商业大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(029)003【总页数】4页(P362-365)【关键词】齐次空间;等价定义;环上分解;范数估计【作者】严兆英;王术【作者单位】北京工业大学应用数理学院北京 100124;北京工业大学应用数理学院北京 100124【正文语种】中文【中图分类】O175.21 引言在偏微分方程的学习中，我们不断的接触到各种空间，从基本的复范线性空间到Banach空间再到Lp空间以及Hilbert空间等.随着知识层面的加深，例如在MHD或者ETM等物理模型的数学建模研究中，为了讨论问题的需要，引入了Soblev空间和Besov空间，由于学习的深入展开对其齐次空间的研究.本文主要就齐次Besov空间的等价定义给出具体证明过程，对齐次Sobolev空间中给出的一些定理，利用环上分解的方法做出比较详细的证明.本文中用到的相关定义以及定理:Sobolev空间[1]与齐次Sobolev空间定义 :对于某个给定的p≥1，f有范数‖f‖k，p=广义Sobolev空间:广义齐次Sobolev空间:Besov空间与齐次 Besov空间[2]定义:函数φ的定义[2]:存在一个函数φ∈Φ(IRn)，使suppφ ={ζ|2-1≤|ζ|≤2};函数φk和Ψ 的定义[2]:Fφk(ζ)= φ(2-kζ)(k=0，±1，±2，…)这里Φ是缓增分布)连续模的定义:这里是m阶微分算子.函数 f的相关范数估计定理[2]:设f∈Φ'，假设φk*f∈Lp，那么有(1≤p≤∞ ;s∈R)1) ‖Jsφk*f‖p≤C2sk‖φk*f‖p(k≥1);2)‖Jsφk*f‖p≤C2sk‖φk*f‖p;3)‖Jsφk*f‖p≤C‖Ψ*f‖p这里常数C与p和k无关.2 齐次空间注记1)给出齐次Besov空间等价定义的证明;2)利用环形分解以及K插值理论给出了齐次Sobolev空间中，插值定理的证明. 定理1[2] 齐次Besov空间等价范定义:假设s＞0，且设m和n是整数，使得m+n＞N且0≤N＜ s.那么，当1≤p≤∞，1≤q≤∞时定理2[2]齐次Sobolev空间插值定理:如果1≤p，q≤∞ ，0 ＜θ＜ 1 我们有其中s=(1- θ)s0+ θs1)定理1的证明:由Fourier变换及其逆变换[3]公式有这里已知 Mp 定义，sup‖f‖p=1‖(F-1ρ)*f‖p 有界，则ρ^∈Mp，那么显然同样对所有的因为|m2mk)2Nk‖φk*f‖Lp，那么得到由于i(s-N)+N=i(s-N)+Nk+sk-sk=(i-k)(s-k)+sk，得到那么显然有定义子列中ak=2sk‖φk*f‖Lp，则假设n≥2，存在函数xj∈(IRn)(1≤j≤n)当suppφ ={ζ|2－1≤|ζ|≤2} 时满足n)，从而有这里ρkj= ρ(2－kej)，ej是ζj轴方向的单位向量，那么由齐次 Besov空间范数定义通过(Ⅰ)(Ⅱ)的证明得到，所以有定理 2 的证明:在这里f属于齐次空间，0不属于它的支集，所以不能像普通意义下直接证明，要将f进行环形分解，即设1).由于支集的存在这里只有有限项，对上式左右同时取Lp范数，则由于是有限项相加，算子I的位置可以调换.即其中即利用 Young不等式[4]若要证明原包含关系成立即证明也就转化为不妨设 s0＜ s1，则有 t-θ，t-1是递减函数，K(t，f)是递增函数，则对后面的函数进行缩放，得到由于均是有界正数，则下面证明其中:由于可以被控制，那么有即取一个.齐次空间中由于定义那么需要对函数f做环形分解，去掉f的支集.令由的定义只与相邻三项相关，‖φl*f‖Lp要满足其取本文给出了两个定理的详尽证明，在讨论与这些空间相关的偏微分问题的解答时也能够更加直观参考文献:[1] 陈恕行.现代偏微分方程导论[M].北京:科学出版社，2005.[2] JORAN B，JORGEN L.Interplation Spaces An Introduction[M].New York:Springer Verlag，1976.[3] 张恭庆，林源渠.泛函分析讲义:上册[M].北京:北京大学出版社，2004.[4] KESAVAN S.Topics in functional analysis and applications[M].[S.l.]:New Age International(L)Ltd，Publishers.2003.。