《复合函数的定义域》PPT课件

复合函数的定义域解说内容：复合函数的定义域求法解说步骤：第一步：函数见解及其定义域函数的见解：设是A, B非空数集，若是按某个确定的对应关系f，使关于会合 A 中的随意一个x ，在会合 B 中都有唯一确定的数 f ( x)和它对应，那么就称 f : A B 为会合 A 到会合 B 的函数，记作：y f (x), x A 。

其中x 叫自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的y 的值叫做函数值.第二步：复合函数的定义一般地：若 y f (u) ，又 u g( x) ，且 g( x) 值域与 f (u) 定义域的交集不空，则函数y f [ g (x)] 叫 x 的复合函数，其中 y f (u) 叫外层函数， u g( x) 叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量代替成另一个函数所得的新函数.比方 : f ( x)3x5, g( x)x 2 1 ；复合函数 f ( g( x)) 即把 f ( x) 里面的x 换成 g (x) ，f ( g(x))3g( x)53(x2 1)53x28问：函数 f (x) 和函数 f ( x 5)所表示的定义域可否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是求 x 的取值范围，这里x 和x5所属范围相同，致使它们定义域的范围就不相同了。

）第三步：介绍复合函数的定义域求法例 1. 已知f (x)的定义域为3,5 ，求函数 f (3x 2) 的定义域；解：由题意得3x533x2513x71x 733因此函数 f (3 x2) 的定义域为17.,3 3练 1.已知f (x)的定义域为(0，3]，求 f ( x 22x) 定义域。

解由于复合函数中内层函数值域必定包含于外层函数定义域中，即0 x2x 22x0x2，或 x 0 2x 32x33x 1x 2即 3 x 2 或 0 x 1故 f (x 22x) 的定义域为3, 2 0,1例 2. 若函数 f 3 2 x 的定义域为1,2 ，求函数 fx 的定义域解 :由题意得2 x 36 3x 942 3x 11因此函数 f (x) 的定义域为： 4,11例 3. 已知 f (x1) 的定义域为 [ 2，3) ，求 f x 2 的定义域。

2013-11方法交流一、复合函数的定义一般地：若y=f （u ），又u=g （x ），且g （x ）值域与f （u ）定义域的交集不空，则函数y=f ［g （x ）］叫x 的复合函数，其中y=f （u ）叫外层函数，u=g （x ）叫内层函数。

简言之，复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数。

例如：设函数f （x ）=2x +3g （x ）=3x -5，对于函数f [g （x ）]，若f （x ）的定义域为M ，则在复合函数f ［g （x ）］中，g （x ）∈M 。

复合函数的定义域，就是复合函数y=f ［g （x ）］中x 的取值范围。

x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为g （x ）的值域。

二、复合函数的定义域求法例1.已知f （x ）的定义域为（-3，5］，求函数f （3x -2）的定义域。

解：由题意得∵-3<x ≤5∴-3<3x-2≤5-1<3x ≤7∴-13<x ≤73所以，函数f （3x -2）的定义域为（-13，73］.例2.已知函数f （x ）定义域为是［a ，b ］，且a+b >0,求函数h （x ）=f （x+m ）+f （x-m ）（m >0）的定义域。

解：a ≤x+m ≤b a ≤x-m ≤b {⇒a-m ≤x ≤b-ma+m ≤x ≤b+m {，∵m >0，∴a-m <a+m b-m <b+m 又a-m <b+m要使函数h （x ）的定义域为非空集合，必须且只需a+m ≤b-m ，即0<m ≤b-a 2，这时函数h （x ）的定义域为［a+m ，b-m ］。

解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的。

若已知f （x ）的定义域为A ，则f ［g （x ）］的定义域就是不等式g （x ）∈A 的x 的集合；若已知f ［g （x ）］的定义域为A ，则f （x ）的定义域就是函数g （x ）（x ∈A ）的值域。

复合函数的定义域讲解内容：复合函数的定义域求法讲解步骤：第一步：函数概念及其定义域函数的概念：设是,A B 非空数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为集合A 到集合B 的函数，记作：(),y f x x A =∈。

其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值.第二步：复合函数的定义一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是 求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。

）第三步：介绍复合函数的定义域求法例1. 已知()f x 的定义域为](3,5-，求函数(32)f x -的定义域；解：由题意得35x -<≤Q3325x ∴-<-≤ 137x -<≤1733x ∴-<≤ 所以函数(32)f x -的定义域为17,33⎛⎤- ⎥⎝⎦. 练1.已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。

解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即⎩⎨⎧≤≤->-<⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+⇔≤+<13023202320222x x x x x x x x x ，或即23-<≤-x 或10≤<x故)2(2x x f +的定义域为[)(]1,02,3Y -- 例2. 若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域解:由题意得23x ∴-≤≤639x ∴-≤≤42311x ∴-≤+≤所以函数()f x 的定义域为：[]4,11-例3. 已知)1(+x f 的定义域为)32[，-，求()2-x f 的定义域。

复合函数(讲义)1.复合函数定义如果函数y=f(u)，u=g(x)，那么函数y=f(g(x))就被称为复合函数，其中f(u)是外层函数，g(x)是内层函数，u是中间变量。

2.复合函数定义域的求法①如果y=f(x)的定义域为[a,b]，那么复合函数y=f(g(x))的定义域即为不等式a≤g(x)≤b的解集；②如果y=f(g(x))的定义域为[a,b]，那么函数y=f(x)的定义域即为x∈[a,b]时g(x)的取值范围。

注：同一对应法则f下的范围相同，即f(u)、f(g(x))、f(h(x))三个函数中，u，g(x)，f(x)的范围相同。

3.复合函数的单调性口诀：同增异减。

已知函数y=f(g(x))，则求其单调区间的一般步骤如下：1）确定定义域；2）将复合函数y=f(g(x))分解成：y=f(u)，u=g(x)；3）分别确定这两个函数的单调区间。

4.复合函数的奇偶性口诀：有偶则偶，全奇为奇。

即：f(x)。

偶函数。

偶函数。

奇函数。

奇函数g(x)。

偶函数。

奇函数。

偶函数。

奇函数f(g(x))。

偶函数。

偶函数。

偶函数。

奇函数精讲精练】1.1）f(g(x))=2(3x-5)+3=6x-7，g(f(x))=3(2x+3)-5=6x+4 2）f(x+1)=(x+1)²+1= x²+2x+22.1）f(x²)，则x²≥0，即定义域为[0,+∞)f(x-2)，则x-2≥0，即定义域为[2,+∞)2）f(x+1)，则x+1∈[-2,1]，即定义域为[-3,0]f(2)，则2∈[-2,1]，即定义域为[-3,0]3）f(2x)，则2x∈[-1,+∞)，即定义域为[-1/2,+∞)f(log₂x)，则log₂x∈[-1,+∞)，即定义域为[1/2,+∞) 4）f(x)=log₃x，则定义域为(0,+∞)3.1）y=log₁⁄₂(x²+6x+13)，x²+6x+13>0，即x∈(-∞,-3]∪(-3,-2]∪(-2,+∞)，值域为(-∞,+∞)2）y=(f(x²)+f(2-x))/(2-x²)，x²≤2，即x∈[-√2,√2]，(2-x)²>0，即2-x≠0，即x≠2，值域为(-∞,a]∪[b,+∞)，其中a=f(2-√2)+f(√2-2)，b=f(2+√2)+f(-√2-2)3）y=log₂(4x²-1)，4x²-1>0，即x∈(-∞,-1/2)∪(1/2,+∞)，值域为(-∞,+∞)4.已知y=ax²/(x²+1)-11x²/(x²+4)，化简得y=-3x²(x²+1)/(x²+4)(x²+1)，x²+4>0，即x∈(-∞,-2)∪(-2,+∞)，x²+1>0，即x∈(-∞,+∞)，因此定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞)，值域为(-∞,0]1.函数f(x)=3x^2-18x+24在x∈[1,8]时有最小值8，则函数的最小值为8，求a的值。