高考函数大题训练高三
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高考函数大题训练
一.解答题(共13小题)
1.已知函数f(x)=.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,﹣1)处的切线程;
(2)证明:当a≥1时,f(x)+e≥0.
2.设函数f(x)=[ax2﹣(4a+1)x+4a+3]e x.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求a;
(Ⅱ)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值围.
3.已知函数.
(1)当a≤0时,试求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在(0,1)有极值,试求a的取值围.
4.已知函数f(x)=ln(x+a)﹣x(a∈R),直线l:是曲线y=f(x)的一条切线.
(1)求a的值;
(2)设函数g(x)=xe x﹣2x﹣f(x﹣a)﹣a+2,证明:函数g(x)无零点.5.已知函数f(x)=ax﹣1﹣lnx(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的定义域的极值点的个数;
(2)若函数f(x)在x=1处取得极值,∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx﹣2恒成立,数b的最大值.
6.已知函数,a∈R.
(1)试讨论函数f(x)极值点个数;
(2)当﹣2<a<ln2﹣2时,函数f(x)在[1,+∞)上最小值记为g(a),求g (a)的取值围.
7.已知函数f(x)=lnx﹣ax,g(x)=x2﹣(2a+1)x+(a+1)lnx.
(1)当a=1时,求函数f(x)的极大值;
(2)当a≥1时,求证:程f(x)=g(x)有唯一实根.
8.已知函数f(x)=klnx﹣1+,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y 轴垂直.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)>ax 对0<x<1恒成立,数a的取值围.
9.函数f(x)=ax2﹣(1+a)x+lnx(a≥0).
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)当a=0时,程f(x)=mx在区间[1,e2]有唯一实数解,数m的取值围.10.已知函数f(x)=e x﹣ax﹣1(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当x>0时,f(x)≥x2恒成立,数a的取值围.
11.已知函数f(x)=2lnx﹣ax2(a∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;
(2)若函数f(x)的图象始终在函数g(x)=2x3图象的下,数a的取值围.12.已知函数f(x)=﹣ax+(a﹣1)lnx,其中a>2.
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)若对于任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,恒有,求a的取值围.13.已知函数f(x)=lnx﹣ax(a∈R).
(Ⅰ)若曲线y=f(x)与直线x﹣y﹣1﹣ln2=0相切,数a的值;(Ⅱ)若不等式(x+1)f(x)≤lnx﹣在定义域恒成立,数a的取值围.
高考函数大题训练
参考答案与试题解析
一.解答题(共13小题)
1.已知函数f(x)=.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,﹣1)处的切线程;
(2)证明:当a≥1时,f(x)+e≥0.
【解答】解:(1)=﹣.
∴f′(0)=2,即曲线y=f(x)在点(0,﹣1)处的切线斜率k=2,
∴曲线y=f(x)在点(0,﹣1)处的切线程程为y﹣(﹣1)=2x.
即2x﹣y﹣1=0为所求.
(2)证明:函数f(x)的定义域为:R,
可得=﹣.
令f′(x)=0,可得,
当x时,f′(x)<0,x时,f′(x)>0,x∈(2,+∞)时,f′(x)<0.
∴f(x)在(﹣),(2,+∞)递减,在(﹣,2)递增,
注意到a≥1时,函数g(x)=ax2+x﹣1在(2,+∞)单调递增,且g(2)=4a+1>0
函数g(x)的图象如下:
∵a≥1,∴,则≥﹣e,
∴f(x)≥﹣e,
∴当a≥1时,f(x)+e≥0.
2.设函数f(x)=[ax2﹣(4a+1)x+4a+3]e x.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求a;
(Ⅱ)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值围.
【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=[ax2﹣(4a+1)x+4a+3]e x的导数为
f′(x)=[ax2﹣(2a+1)x+2]e x.
由题意可得曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0,
可得(a﹣2a﹣1+2)e=0,
解得a=1;
(Ⅱ)f(x)的导数为f′(x)=[ax2﹣(2a+1)x+2]e x=(x﹣2)(ax﹣1)e x,若a=0则x<2时,f′(x)>0,f(x)递增;x>2,f′(x)<0,f(x)递减.x=2处f(x)取得极大值,不符题意;
若a>0,且a=,则f′(x)=(x﹣2)2e x≥0,f(x)递增,无极值;
若a>,则<2,f(x)在(,2)递减;在(2,+∞),(﹣∞,)递增,
可得f(x)在x=2处取得极小值;
若0<a<,则>2,f(x)在(2,)递减;在(,+∞),(﹣∞,2)递增,可得f(x)在x=2处取得极大值,不符题意;
若a<0,则<2,f(x)在(,2)递增;在(2,+∞),(﹣∞,)递减,可得f(x)在x=2处取得极大值,不符题意.
综上可得,a的围是(,+∞).
3.已知函数.
(1)当a≤0时,试求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在(0,1)有极值,试求a的取值围.
【解答】解:(1)求导,f′(x)=﹣a(1﹣)=,
当a≤0时,对于∀x∈(0,+∞),e x﹣ax>0恒成立,
∴f′(x)>0,x>1;
f′(x)<0,0<x<1,
∴单调增区间为(1,+∞),单调减区间为(0,1);
(2)若f(x)在(0,1)有极值,则f′(x)=0在x∈(0,1)有解,
令f′(x)=0,e x﹣ax=0,a=,
设g(x)=,x∈(0,1),则g′(x)=,
当x∈(0,1)时,g′(x)<0恒成立,
g(x)单调递减,又g(1)=e,
又当x→0时,g(x)→∞,即g(x)在(0,1)上的值域为(e,+∞),∴当a>e时,f′(x)=0,
设H(x)=e x﹣ax,则H′(x)=e x﹣a,x∈(0,1),