2014届中考数学第一轮基础课件(第13讲_反比例函数)

初中数学复习精品讲义 第十七章 反比例函数知识网络结构图二．知识概念1。

反比例函数：形如y ＝x k （k 为常数，k ≠0)的函数称为反比例函数。

其他形式xy=k 1-=kx y xk y 1= 2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形.有两条对称轴：直线y=x 和 y=-x.对称中心是:原点3.性质：当k ＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而减小; 当k ＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而增大。

4。

|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积. 在学习反比例函数时，教师可让学生对比之前所学习的一次函数启发学生进行对比性学习。

在做题时，培养和养成数形结合的思想。

专题总结及应用专题1 反比例函数的概念【专题解读】函数k y x=(k ≠0)叫做反比例函数，也可以写成xy =k （k ≠0）或y =kx -1(k ≠0），它的自变量的取值范围是x ≠0的所有实数，因为反比例函数ky x =（k ≠0）只有一个常数k ，所以求反比例函数表达式也就是求k ,要注意两点：(1）（k ≠0)；若k y x=写成y =kx -1是，x 的指数是-1.例1 判断下列各式是否表示y 是x 的反比例函数，若是，指出比例系数k 的值；若不是，指出是什么函数.（1）8;y x =- (2)1;9xy = (3)43;y x =- （4）1;7y x =-（5）6.7y x=-分析 判断y 是否是x 的反比例函数，关键是根据的比例函数的定义，观察两个变量x ，y 之间能否写成ky x=（k 为常数，k ≠0）的形式。

专题2 反比例函数图象的位置与系数的关系【专题解读】 反比例函数ky x=的图象是由两个分支组成的双曲线，图象的位置与比例系数k 的关系有如下两种情况：（1)0k >⇔双曲线的两个分支在第一、三象限⇔在第一象限内，y 随x 的增大而减小. (2）0k <⇔双曲线的两个分支在第二、四象限⇔在第一象限内,y 随x 的增大而增大.例2 函数y ax a =-+与(0)ay a x-=≠在同一坐标系中的图象可能是（如图17-36所示)【解题策略】 解答本题也可以从选项出发来考虑a 的情况.例如A 项,由函数y ax a =-+的可判断a ＞0,由函数ay x-=的图象可判断a ＞0，由此可判断A 项正确,再例如B 项，由函数y ax a =-+的增减性质可判断—a ＜0,即a ＞0，但由函数的图象与y 轴的交点位置可判断a ＜0，与前面得到的a ＞0相矛盾，故B 不正确,类似地，也可判断C ，D 两个选项不正确.专题3 反反函数的图象【专题解读】 如图17-37所示，若点A (x ，y ）为反比例函数ky x=图象上的任意一点，过A 作AB ⊥x轴于B ，作AC ⊥y 轴于C ，则S △AOB =S △AOC =12S 矩形ABOC =1||2k .例3 如图17—38所示，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，过P作x 轴的垂线交双曲线1y x=于点Q ,连续OQ ，当点P 沿x 轴正方向运动时，Rt △QOP 的面积 （ ）A ．逐渐增大B ．逐渐减小C ．保持不变D ．无法确定【解题策略】 掌握比例系数k 的几何意义，即｜k |= S 矩形AOPQ =2 S △OPQ 是这类问题的解题关键。

中考数学专题复习第十三讲反比例函数【基础知识回顾】一、反比例函数的概念：一般地：互数y （k是常数，k≠0）叫做反比例函数【名师提醒：1、在反比例函数关系式中：k≠0、x≠0、y≠02、反比例函数的另一种表达式为y= （k是常数，k≠0）3、反比例函数解析式可写成xy= k（k≠0）它表明反比例函数中自变量x 与其对应函数值y之积，总等于】二、反比例函数的同象和性质：1、反比例函数y=kx（k≠0）的同象是它有两个分支，关于对称2、反比例函数y=kx（k≠0）当k>0时它的同象位于象限，在每一个象限内y随x的增大而当k<0时，它的同象位于象限，在每一个象限内，y随x的增大而【名师提醒：1、在反比例函数y=kx中，因为x≠0，y≠0所以双曲线与坐标轴无限接近，但永不与x轴y轴2、在反比例函数y随x的变化情况中一定注明在每一个象限内】3、反比例函数中比例系数k的几何意义：反曲线y=kx（k≠0）上任意一点向两坐标轴作垂线→两线与坐标轴围成的形面积，即如图： AOBP=S△AOP=【名师提醒：k的几何意义往常与前边提示中所谈到的xy=k联系起来理解和应用】三、反比例函数解析式的确定因为反比例函数y=kx（k≠0）中只有一个被定系数所以求反比例函数关系式只需知道一组对应的x、y值或一个点的坐标即可，步骤同一次函数解析式的求法一、反比例函数的应用二、解反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用同象找出解决问题的方案，这里要特别注意自变量的【重点考点例析】考点一：反比例函数的同象和性质例1 （2012•张家界）当a≠0时，函数y=ax+1与函数ayx在同一坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．思路分析：分a＞0和a＜0两种情况讨论，分析出两函数图象所在象限，再在四个选项中找到正确图象．解：当a＞0时，y=ax+1过一、二、三象限，y=ayx=过一、三象限；当a＜0时，y=ax+1过一、二、四象限，y=ayx=过二、四象限；故选C．点评：本题考查了一次函数与二次函数的图象和性质，解题的关键是明确在同一a值的前提下图象能共存．例2 （2012•佳木斯）在平面直角坐标系中，反比例函数22a ayx-+ =图象的两个分支分别在（）A．第一、三象限 B．第二、四象限C．第一、二象限 D．第三、四象限思路分析：把a2-a+2配方并根据非负数的性质判断出是恒大于0的代数式，再根据反比例函数的性质解答．解：a2-a+2，=a2-a+14-14+2，=（a-12）2+7 4 ，∵（a-12）2≥0，∴（a-12）2+7 4 ＞0，∴反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限．故选A．点评：本题考查了反比例函数图象的性质，先判断出a2-a+2的正负情况是解题的关键，对于反比例函数kyx=（k≠0）：（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．例3 （2012•台州）点（-1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数6yx=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2思路分析：先根据反比例函数的解析式判断出此函数图象所在的象限，再根据各点的坐标判断出各点所在的象限，根据函数图象在各象限内点的坐标特点解答．解：∵函数6yx=中k=6＞0，∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，∵-1＜0，∴点（-1，y1）在第三象限，∴y1＜0，∵0＜2＜3，∴（2，y2），（3，y3）在第一象限，∴y2＞y3＞0，∴y2＞y3＞y1．故选D．点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出函数图象所在象限是解答此题的关键．对应训练1．（2012•毕节地区）一次函数y=x+m（m≠0）与反比例函数myx=的图象在同一平面直角坐标系中是（）A． B． C． D．1．C2．（2012•内江）函数1y xx=的图象在（）A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限2．A2x中x≥0，1x中x≠0，故x＞0，此时y＞0，则函数在第一象限．故选A．3．（2012•佛山）若A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函数2yx=的图象上，且0＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系是y1 y2．3．＞考点二：反比例函数解析式的确定例4 （2012•哈尔滨）如果反比例函数1kyx-=的图象经过点（-1，-2），则k的值是（）A．2 B．-2 C．-3 D．3思路分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征，将（-1，-2）代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值．解答：解：根据题意，得-2=11k--，即2=k-1，解得k=3．故选D．点评：此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点．对应训练4．（2012•广元）已知关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2有唯一的实数解，且反比例函数1b yx+ =的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（）A．3yx=- B．1yx= C．2yx= D．2yx=-4．D4．分析：关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2有唯一的实数解，则判别式等于0，据此即可求得b的值，然后根据反比例函数1byx+=的图象在每个象限内y随x的增大而增大，则比例系数1+b＜0，则b的值可以确定，从而确定函数的解析式．解：关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2化成一般形式是：2x2+（2-2b）x+（b2-1）=0，△=（2-2b）2-8（b2-1）=-4（b+3）（b-1）=0，解得：b=-3或1．∵反比例函数1byx+=的图象在每个象限内y随x的增大而增大，∴1+b＜0 ∴b＜-1，∴b=-3．则反比例函数的解析式是：y=13yx-=，即2yx=-．故选D．考点三：反比例函数k的几何意义例5 （2012•铁岭）如图，点A在双曲线4yx=上，点B在双曲线kyx=（k≠0）上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为（）A．12 B．10 C．8 D．6思路分析：先根据反比例函数的图象在第一象限判断出k的符号，再延长线段BA，交y轴于点E，由于AB∥x轴，所以AE⊥y轴，故四边形AEOD是矩形，由于点A在双曲线4yx=上，所以S矩形AEOD=4，同理可得S矩形OCBE=k，由S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD即可得出k的值．解：∵双曲线kyx=（k≠0）上在第一象限，∴k＞0，延长线段BA，交y轴于点E，∵AB∥x轴，∴AE⊥y轴，∴四边形AEOD是矩形，∵点A在双曲线4yx=上，∴S矩形AEOD=4，同理S矩形OCBE=k，∵S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD=k-4=8，∴k=12．故选A．点评：本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即反比例函数kyx=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．对应训练5．（2012•株洲）如图，直线x=t（t＞0）与反比例函数21,y yx x-==的图象分别交于B、C两点，A为y轴上的任意一点，则△ABC的面积为（）A．3 B．3 2 tC．32D．不能确定5．C5．解：把x=t分别代入21,y yx x-==，得21,y yt t==-，所以B（t，2t）、C（t，1t-），所以BC=2t-（1t-）=3t．∵A为y轴上的任意一点，∴点A到直线BC的距离为t，∴△ABC的面积=133 22tt⨯⨯=．故选C．考点四：反比例函数与一次函数的综合运用例6 （2012•岳阳）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数22yx=的图象交于A、B 两点，过点作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AO、BO，下列说法正确的是（）A．点A和点B关于原点对称B．当x＜1时，y1＞y2C．S△AOC=S△BODD．当x＞0时，y1、y2都随x的增大而增大思路分析：求出两函数式组成的方程组的解，即可得出A、B的坐标，即可判断A；根据图象的特点即可判断B；根据A、B的坐标和三角形的面积公式求出另三角形的面积，即可判断C；根据图形的特点即可判断D．解：A、12y xyx=+⎧⎪⎨=⎪⎩①②，∵把①代入②得：x+1=2x，解得：x1=-2，x2=1，代入①得：y1=-1，y2=2，∴B（-2，-1），A（1，2），∴A、B不关于原点对称，故本选项错误；B、当-2＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，故本选项错误；C、∵S△AOC=12×1×2=1，S△BOD=12×|-2|×|-1|=1，∴S△BOD=S△AOC，故本选项正确；D、当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本选项错误；故选C．点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生观察图象的能力，能把图象的特点和语言有机结合起来是解此题的关键，题目比较典型，是一道具有一定代表性的题目．对应训练6．（2012•达州）一次函数y1=kx+b（k≠0）与反比例函数y2=mx(m≠0)，在同一直角坐标系中的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．-2＜x＜0或x＞1 B．x＜-2或0＜x＜1 C．x＞1 D．-2＜x＜16．A6．解：由函数图象可知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=mx(m≠0)的交点坐标为（1，4），（-2，-2），由函数图象可知，当-2＜x＜0或x＞1时，y1在y2的上方，∴当y1＞y2时x的取值范围是-2＜x＜0或x＞1．故选A．【聚焦山东中考】1．（2012•青岛）点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都是反比例函数3yx-=的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y31．A1．解：∵反比例函数y=-3 x 中，k=-3＜0，∴此函数图象在二四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，∵x1＜x2＜0＜x3，∴y3＜0，y3＜0＜y1＜y2，∴y3＜y1＜y2．故选A．2．（2012•菏泽）反比例函数2yx=的两个点（x1，y1）、（x2，y2），且x1＞x2，则下式关系成立的是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1=y2 D．不能确定2．D3．（2012•滨州）下列函数：①y=2x-1；②y=5x-；③y=x2+8x-2；④y=22x；⑤y=12x；⑥y=ax中，y是x的反比例函数的有（填序号）。

第13讲:反比例函数一、复习目标1、理解反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的解析式，能画出反比例函数的图象2、能够将反比例函数有关的实际应用题转化为函数问题二、课时安排1课时三、复习重难点1、反比例函数图象与性质2、反比例函数图象、性质的应用四、教学过程（一）知识梳理反比例函数的图象与性质·PN＝|y|·|x|＝（二）题型、技巧归纳考点1：反比例函数的概念技巧归纳：判断点是否在反比例函数图象上的方法有两种：一是口算选项中点的横坐标与纵坐标乘积是否都等于比例系数，二是将选项中点的坐标诸个代入反比例函数关系式，看能否使等式成立．考点2：反比例函数的图象与性质技巧归纳：1、比较反比例函数值的大小，在同一个象限内根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定．2、过反比例函数y ＝kx的图象上的某点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积就等于|k |，故而常过图象上某点向坐标轴作一条或两条垂线，引出三角形或矩形的面积来解决问题．考点3反比例函数的应用技巧归纳：先根据双曲线上点C 的坐标求出m 的值，从而确定点C 的坐标，再将点C 的坐标代入一次函数关系式中确定n 的值，在求出两个函数关系式后结合条件可求出三角形的面积．过反比例函数y ＝k x的图象上的某点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积就等于|k |，故而常过图象上某点向坐标轴作一条或两条垂线，引出三角形或矩形的面积来解决问题．（三）典例精讲例1 某反比例函数的图象经过(－1,6)，则下列各点中，此函数图象也经过的点是( ) A ．(－3,2) B ．(3,2) C ．(2,3) D ．(6,1)[解析] 设反比例函数的关系式为y ＝kx，把点(－1，6)代入可求出k ＝－6，所以反比例函数的关系式为y ＝－6x，故此函数也经过点(－3，2)，答案选A.例2在反比例函数y ＝k x (k <0)的图象上有两点()－1，y 1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，y 2，则y 1－y 2的值是( ) A ．负数 B ．非正数C ．正数D ．不能确定 [解析] 反比例函数y ＝kx ：当k ＜0时，该函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大．又∵点(－1，y 1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，y 2均位于第二象限，－1＜－14， ∴y 1＜y 2，∴y 1－y 2＜0，即y 1－y 2的值是负数，故选A.例3 如图点A ，B 在反比例函数y ＝ (k>0，x>0)的图象上，过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，延长线段AB 交x 轴于点C ，若OM ＝MN ＝NC ，△AOC 的面积为6，则k 的值为________．[解析] ∵S △AOC ＝6，OM ＝MN ＝NC ＝13OC ，∴S △OAC ＝12×OC×AM，S △AOM ＝12×OM×AM＝13 S △OAC ＝2＝12|k|.又∵反比例函数的图象在第一象限，k ＞0，则k ＝4.例4 如图13－2，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x ＋n 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与双曲线y ＝4y x=在第一象限内交于点C (1，m )． (1)求m 和n 的值；(2)过x 轴上的点D (3,0)作平行于y 轴的直线l ，分别与直线AB 和双曲线y ＝ 交于点P 、Q ，求△APQ 的面积．解：(1) ∵点C(1，m)在双曲线y ＝4x上，∴m ＝4，将点C(1，4)代入y ＝2x ＋n 中，得n ＝2；(2)在y ＝2x ＋2中，令y ＝0，得x ＝－1，即A(－1，0)．将x ＝3代入y ＝2x ＋2和y ＝4x，得点P(3，8)，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，43，∴PQ ＝8－43＝203.又∵AD ＝3－(－1)＝4，∴△APQ 的面积＝12×4×203＝403. （四）归纳小结本部分内容要求熟练掌握反比例函数的求法，能画出反比例函数的图象，能够将反比例函数有关的实际应用题转化为函数问题（五）随堂检测1、已知点A(－2，y 1)、B(1，y 2)和C(2，y 3)都在反比例函数ky x= (k<0)的图象上，那么y 1、y 2和y 3的大小关系如何？2、已知反比例函数7y x=-图象上三个点的坐标分别是A(－2，y 1)、B(－1，y 2)、C(2，y 3)，能正确反映y 1、y 2、y 3的大小关系的是( )A ．y 1>y 2>y 3B ．y 1>y 3>y 2C ．y 2>y 1>y 3D ．y 2>y 3>y 13、已知反比例函数y=（k 为常数，k≠0）的图象经过点A （2，3）． （Ⅰ）求这个函数的解析式；（Ⅱ）判断点B （﹣1，6），C （3，2）是否在这个函数的图象上，并说明理由； （Ⅲ）当﹣3＜x ＜﹣1时，求y 的取值范围．4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数y=kx 的图象与反比例函数y=的图象有一个交点A （m ，2）．（1）求m 的值；（2）求正比例函数y=kx 的解析式；（3）试判断点B（2，3）是否在正比例函数图象上，并说明理由．五、板书设计反比例函数六、作业布置反比例函数课时作业七、教学反思借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。