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第二十三章旋转23.1 图形的旋转第1课时认识图形的旋转出示目标1.了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念.2.了解旋转对应点的概念及应用它们解决一些实际问题.3.通过观察具体实例认识旋转，探索它的基本性质.4.了解图形旋转的特征，并能根据这些特征绘制旋转后的几何图形.预习导学1知识准备(学生活动)请同学们完成下面各题.1.将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形.2.如图，已知△ABC和直线l，请你画出△ABC关于l的对称图形△A′B′C′.3.圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其他的吗？(是；是；等腰梯形、长方形、正多边形等.)点拨：(1)平移的有关概念及性质.(2)如何画一个图形关于一条直线(对称轴)的对称图形并口述它有哪些性质.(3)什么叫轴对称图形.自学指导：自学教材内容，思考和完成教材上的练习.观察：让学生看转动的钟表和风车等.(1)上面情景中的转动现象，有什么共同的特征？(指针、风车叶片分别绕中间轴旋转)(2)钟表的指针、秋千在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢？(形状、大小不变，位置发生变化)问题：①从3时到5时，时针转动了多少度？(60°)②风车每片叶轮转到与下一片原来的位置重合时，风车旋转了多少度？(90°)③以上现象有什么共同特点？(物体绕固定点旋转)思考：在数学中如何定义旋转？探究把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.合作探究1活动1 小组讨论例1 如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形.(1)这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？(2)请画出旋转中心和旋转角.(3)经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置？点拨：(1)可以看做是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到的.(2)画图略.(3)点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H.这个旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，但旋转角和对应点都是不唯一的.例2 如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，点E在AB上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点A；旋转的度数是45°.活动1 小组讨论例3 如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形.点拨：关键是确定△ADE三个顶点的对应点的位置.活动2 跟踪训练1.如图，AD=DC=BC，∠ADC=∠DCB=90°，BP=BQ，∠PBQ=90°.①此图能否旋转某一部分得到一个正方形？②若能，指出由哪一部分旋转而得到的？并说明理由.③它的旋转角多大？并指出它们的对应点.解：①能.②由△BCQ绕B点旋转得到.理由：连结AB，易证四边形ABCD为正方形.再证△ABP≌△CBQ.可知△QCB可绕B点旋转与△ABP重合，从而得到正方形ABCD.③90°.点C对应点A，点Q对应点P.2.如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系.解：∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形，∴AB=AD，AK=AM，且∠BAD=∠KAM为旋转角且为90°.∴△ADM是以A为旋转中心，∠BAD为旋转角由△ABK旋转而成的.∴BK=DM.课堂小结1.旋转及其旋转中心、旋转角的概念.2.旋转的对应点及其它们的应用.3.本节课要掌握：(1)旋转的基本性质.(2)旋转变换与平移、轴对称两种变换有哪些共性与区别.第2课时旋转作图出示目标1.理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果.2.掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案.预习导学自学指导自学教材第61页.完成下列问题.1.回顾思考(1)各对应点到旋转中心的距离有何关系呢？(2)各对应点与旋转中心所连线段的夹角与旋转角有何关系？(3)两个图形是旋转前后的图形，它们全等吗？2.学生独立完成作图题.如图，△ABC绕B点旋转后，O点是A点的对应点，作出△ABC旋转后的三角形.点拨：要作出△ABC旋转后的三角形，应找出三方面的关系:①旋转中心B；②旋转角∠ABO；③C点旋转后的对应点C′.探究从上面的作图题中，我们知道，作图应满足三要素:旋转中心、旋转角、对应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来.因此，下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究.把一个图案以O 点为中心进行旋转，选择不同的旋转中心，不同的旋转角，会出现不同的效果图形.1.旋转中心不变，改变旋转角.2.3.旋转角不变，改变旋转中心.我们可以设计成如下图美丽的图案.因此，从以上的画图中，我们可以得到旋转中心不变、改变旋转角与旋转角不变、改变旋转中心会产生不同的效果，所以我们可以经过旋转设计出美丽的图案.活动1 小组讨论例1 如图所示，图①沿逆时针方向旋转90°可得到图⑤.图①按顺时针方向至少旋转180度可得图③.例2 如图所示，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点P 是△ABC 内的一点，且AP=3，将△ABP 绕点A 旋转后与△ACP ′重合，求PP ′的长.点拨：依题意，AP 绕点A 旋转90°时得AP ′=AP=3，则△APP ′是等腰直角三角形. 所以PP ′=223332+=. 解题的关键是确定AP 与AP ′垂直且相等.课堂小练一、选择题1.下面的图形中必须由“基本图形”既平移又旋转而形成的图形是( )A. B.C. D.2.如图，在正方形网格中，将△ABC顺时针旋转后得到△A'B′C′，则下列4个点中能作为旋转中心的是( )A.点PB.点QC.点RD.点S3.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的是( )A.∠BCB′=∠ACA′B.∠ACB=2∠BC.∠B′CA=∠B′ACD.B′C平分∠BB′A′4.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=25°，则∠BAA′的度数是( )A.55°B.60°C.65°D.70°5.如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A(﹣2，5)的对应点A′的坐标是( )A.(2，5)B.(5，2)C.(2，﹣5)D.(5，﹣2)6.如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是( )A.60°B.90°C.120°D.150°7.如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是( )A.10°B.20°C.50°D.70°8.如图，将三角尺ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕B点按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于（）A．120° B．90° C．60° D．30°二、填空题9.一个正n边形绕它的中心至少旋转18°才能与原来的图形完全重合，则n的值为.10.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为.11.在方格纸上建立如图所示的平面直角坐标系，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°得△A′B′O，则点A的对应点A′的坐标为_ _.12.时钟6点到9点，时针转动了＿＿度.13.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD= 度.14.如图所示，△ABC中，∠BAC=33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为 .三、解答题15.如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，点E是菱形ABCD内一点，连结CE绕点C顺时针旋转110°，得到线段CF，连结BE，DF，若∠E=86°，求∠F的度数.参考答案16.答案为：D17.答案为：A；18.答案为：C.19.答案为：C.20.答案为：B.21.答案为：D.22.答案为：B.23.A24.答案为：20.25.答案为：15°.26.答案为：(2，3)27.答案为：90º28.答案为：30.29.答案为：17°.30.解：∵菱形ABCD，∴BC=CD，∠BCD=∠A=110°，由旋转的性质知，CE=CF，∠ECF=∠BCD=110°，∴∠BCE=∠DCF=110°﹣∠DCE，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF，∴∠F=∠E=86°.。
第二十三章—旋转一、旋转变换1、旋转的定义把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转。
点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P＇,那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
2、旋转的性质（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（旋转中心就是各对应点所连线段的垂直平分线的交点。
）（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
（3）旋转前、后的图形全等。
3、作旋转后的图形的一般步骤（1）明确三个条件：旋转中心，旋转方向，旋转角度；（2）确定关键点，作出关键点旋转后的对应点；（3）顺次连结。
4、欣赏较复杂旋转图形图形是由什么基本图形，以哪个点为中心，按哪个方向（顺时针或逆时针）旋转多少度，连续旋转几次，便得到美丽的图案。
5、有关图形旋转的一些计算题和证明题例题练习1.将叶片图案旋转180°后，得到的图形是( )2.如图，在等腰直角△ABC中，B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则等于（）A.60°B.105°C.120°D.135°3.如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在位置，A点落在位置，若，则的度数是()A.50°B.60°C.70°D.80°4.数学来源于生活,下列生活中的运动属于旋转的是 ( )A.国旗上升的过程B.球场上滚动的足球C.工作中的风力发电机叶片D.传输带运输东西5.如图,将方格纸中的图形绕点O逆时针旋转90°后得到的图形是 ( )6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=30°,点D、E分别为AB、AC上的点,且DE∥BC.将△ADE绕点A逆时针旋转至点B、A、E在同一条直线上,连接BD、EC.下列结论:①△ADE的旋转角为120°;②BD=EC;③BE=AD+AC;④DE⊥AC.其中正确的为( )A.②③B.②③④C.①②③D.①②③④7.如图,将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE,且点D恰好在AC上,∠BAE=∠CDE=136°,则∠C的度数是（）8.如图,以锐角△ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF,连接BE、CF.(1)求证:△FAC≌△BAE;(2)图中可以通过旋转△BAE而得到△FAC,请你说出旋转中心、旋转方向和旋转角的度数.9.如图,四边形ABCD是正方形,点E是边BC上的动点(不与B,C重合),将线段AE 绕点E顺时针旋转90°得到线段EF,连接AF,EF、AF分别与CD交于点M、N,连接EN,作FG⊥BC交BC的延长线于点G.(1)求证:BE=CG;(2)若BE=2,DN=3,求EN的长.二、中心对称图形1、中心对称的定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
九年级上册数学《第二十三章23.1 图形的旋转》课后练习一、单项选择题1．如图，在平面直角坐标系中，将点P(2,3) 绕原点O顺时针旋转90°获得点P，则P的坐标为（）A．(3,2)B． (3, 1)C．(2,3)D．(3, 2)2．如图，在同一平面内，将△ ABC 绕点 A 逆时针旋转50°到△AB′ C的′地点，使得 C′C∥ AB ，则∠ CAB 等于（）A ．50°B． 60°C． 65°D． 70°3．如图，四边形ABCD 是边长为 5 的正方形， E 是DC 上一点，DE1，将ADE绕着点 A 顺时针旋转到与ABF重合，则EF（）A．41B．42C．52D．2134．如图，△ A′ B′是C由′△ ABC 经过平移获得的，△ A′ B′还C可′以看作是△ ABC经过如何的图形变化获得？以下结论：① 1 次旋转；② 1 次旋转和 1 次轴对称；③ 2 次旋转；④ 2 次轴对称．此中全部正确结论的序号是（）A ．①④B ． ②③C ． ②④D ． ③④5．在平面直角坐标系中，以原点为对称中心，把点A （ 3， 4）逆时针旋转90°，获得点 B ，则点B 的坐标为（）A ．（4， -3）B ．（ -4， 3）C ．（ -3， 4）D ．（ -3， -4）二、填空题6．在以下图的方格纸 (1 格长为 1 个单位长度 )中， △ABC 的极点都在格点上，将△ ABC绕点O 按顺时针方向旋转获得△ A'B'C' ，使各极点仍在格点上，则其旋转角的度数是____________ ．．7．如图， 已知ABC 是等腰三角形， AB AC , BAC45 ,点 D 在 AC 边上，将 ABD绕点 A 逆时针旋转 45°获得 ACD ' ，且点 D ′、D 、B 三点在同一条直线上，则ABD 的度数是 _____．8．如图将 △ ABC 绕点 C 逆时针旋转获得△AB C ，此中点 A 与 A 是对应点，点 B ′与 B 是对应点，点B ′AC上，连结 A B ，若ACB 45 ， AC 3 ， BC 2 ，则 A B的落在边长为 __________．9．如图，在菱形ABCD 中，AB 2 , BAD 60，将菱形 ABCD 绕点 A 逆时针方向旋转，对应获得菱形AEFG ，点E在AC上，EF与CD交于点 P ，则DP的长是 _____．10．如图，将Rt ABC的斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转090获得 AE，直角边AC绕点 A 逆时针旋转090 获得AF，连结EF．若AB=3，，且 B ，AC=2则 EF = _____．11．如图，等边三角形ABC 内有一点 P，分別连结 AP 、 BP、 CP，若AP6， BP8 ，CP 10 ．则 S ABP S BPC＝_______．12．如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为 (10)，，以OA1为直角边作Rt OA1 A2，并使AOA ＝60 12，再以OA 为直角边作2Rt OA A ，并使23A OA＝6023，再以OA 为直角3边作 Rt OA3 A4，并使A3OA4＝60按此规律进行下去，则点A2019的坐标为_______．13．如图，将绕直角极点 C 顺时针旋转，获得，连结AD ，若，则______．三、解答题14． (1)问题发现如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ ACB=90° ,B,C,D在一条直线上.填空 :线段AD,BE之间的关系为.(2) 拓展研究如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ ACB= ∠ DCE=90° ,请判断AD,BE的关系 ,并说明原因.(3) 解决问题如图 3,线段 PA=3,点 B 是线段 PA 外一点 ,PB=5, 连结 AB, 将 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°获得线段AC, 跟着点 B 的地点的变化 ,直接写出 PC 的范围 .15．如图 1，ABC 中，CA CB,ACB, D 为ABC内一点，将CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角获得CBE ，点A, D的对应点分别为点B, E ，且 A, D, E 三点在同向来线上．（ 1）填空：CDE（用含的代数式表示）；（ 2）如图 2，若60，请补全图形，再过点C作CF AE 于点F，而后研究线段CF , AE, BE 之间的数目关系，并证明你的结论；（3）若90 , AC 5 2 ，且点G知足AGB 90 , BG 6，直接写出点 C 到 AG 的距离．16．如图，在△ ABC 和△ADE 中，点 E 在 BC 边上，∠ BAC ＝∠ DAE ，∠ B＝∠ D， AB ＝AD ．（1）试说明△ ABC ≌△ ADE ；（2）假如∠ AEC ＝ 75°，将△ ADE 绕点 A 旋转一个锐角后与△ ABC 重合，求这个旋转角的大小．17．如图，在Rt △ABC 中，∠ C=90°， AB=10 ，AC=8 ．线段 AD 由线段 AB 绕点 A 按逆时针方向旋转90°获得，△ EFG 由△ ABC 沿 CB 方向平移获得，且直线EF 过点 D．（1）求∠BDF 的大小；（2）求 CG 的长．18．请仔细阅读下边的数学小研究系列，达成所提出的问题：研究1：如图1，在等腰直角三角形ABC中，，，将边AB绕点B 顺时针旋转获得线段BD，连结求证：的面积为提示：过点 D 作BC 边上的高 DE，可证≌研究2：如图2，在一般的中，，，将边AB 绕点B 顺时针旋转获得线段BD ，连结请用含 a 的式子表示的面积，并说明原因．研究 3：如图 3，在等腰三角形ABC 中，获得线段BD ，连结尝试究用含 a 的式子表示，，将边AB绕点B顺时针旋转的面积，要有研究过程．19．如图 1，矩形 ABCD 中， E 是 AD 的中点，以点 E 直角极点的直角三角形EFG 的两边EF，EG 分别过点 B ， C，∠ F＝ 30°.（ 1）求证： BE＝CE（ 2）将△ EFG 绕点 E 按顺时针方向旋转，当旋转到EF与 AD重合时停止转动.若EF，EG分别与AB，BC订交于点M，N.（如图2）①求证：△ BEM ≌△ CEN ；②若 AB ＝ 2，求△ BMN 面积的最大值；③当旋转停止时，点 B 恰幸亏 FG 上（如图3），求 sin∠ EBG 的值 .答案1． D2．C 3．D 4．D 5．B6． 90°7． 22.5 °8．139．31 10．|13|11．2416 322017 ,22017 313．12．14．解（ 1）结论： AD=BE ，AD ⊥BE．原因：如图 1 中，∵△ ACB 与△ DCE 均为等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ ACB= ∠ ACD=90°，在 Rt△ ACD 和 Rt△BCE 中AC＝BCACD＝BCECD＝CE∴△ ACD ≌△ BCE （ SAS），∴AD=BE ，∠ EBC=∠ CAD延伸 BE交AD于点 F，∵BC⊥AD ，∴∠ EBC+∠ CEB=90°，∵∠ CEB=AEF ，∴∠ EAD+ ∠ AEF=90°，∴∠ AFE=90°，即 AD ⊥BE ．∴AD=BE ， AD ⊥ BE ．故答案为 AD=BE ， AD ⊥BE ．（ 2）结论： AD=BE ， AD ⊥ BE ．原因：如图 2 中，设 AD 交 BE 于 H，AD 交 BC 于 O．∵△ ACB 与△ DCE 均为等腰直角三角形，∴AC=BC ， CE=CD ，∠ ACB= ∠ECD=90°，∴ACD= ∠ BCE ，在 Rt△ ACD 和 Rt△BCE 中AC＝BCACD＝BCE ，CD＝CE∴△ ACD ≌△ BCE （ SAS），∴AD=BE ，∠CAD= ∠CBE ，∵∠ CAO+ ∠ AOC=90°，∠ AOC= ∠BOH ，∴∠ BOH+ ∠ OBH=90°，∴∠ OHB=90°，∴AD ⊥BE，∴AD=BE ，AD ⊥BE．（3）如图 3 中，作 AE ⊥ AP，使得 AE=PA ，则易证△ APE ≌△ ACP ，∴ PC=BE ，，图 3-1 中，当 P、 E、 B 共线时， BE 最小，最小值 =PB-PE=5-3 2，图 3-2 中，当 P、 E、 B 共线时， BE 最大，最大值 =PB+PE=5+3 2∴5-3 2 ≤BE≤5+32，即 5-3 2 ≤PC≤5+32．15．解：（1）将CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角获得 CBE ACD BCE ， DCE aCD CECDE 1802故答案为：1802（2）AE BE23CF 3原因以下：如图，将CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角60 获得CBE ACD BCEAD BE,CD CE,DCE60CDE是等边三角形，且CF DEDF EF3 CF3AE AD DF EF2 3AE BE CF3（ 3）如图，当点G 在AB上方时，过点C作CE AG 于点 E ，ACB90, AC BC52CAB ABC45,AB10ACB90AGB点C，点G ，点 B ，点 A 四点共圆AGC ABC45 ,且CE AGAGC ECG 45CE GEAB10,GB6, AGB 90AG AB2GB28AC2 AE2 CE2 ，(52) 2(8CE) 2CE 2CE 7 （不合题意舍去），CE1若点 G在AB的下方，过点C作CF AG，同理可得： CF7点C到 AG的距离为1或7．16.解：（ 1）、∵∠ BAC= ∠DAE ， AB=AD ，∠ B=∠ D，∴△ ABD ≌△ ADE.（ 2）、∵△ ABC ≌△ ADE ，∴ AC 与 AE 是一组对应边，∴∠ CAE的旋转角，∵ AE=AC ，∠AEC=75°，∴∠ ACE= ∠ AEC=75°，∴∠ CAE=180° —75°—75°=30°17．解（ 1）∵线段 AD 是由线段AB 绕点 A 按逆时针方向旋转90°获得，∴∠ DAB=90°， AD=AB=10 ，∴∠ ABD=45°，∵△ EFG 是△ ABC 沿 CB 方向平移获得，∴AB ∥ EF，∴∠ BDF= ∠ ABD=45°；（2）由平移的性质得， AE ∥ CG， AB ∥ EF，∴∠ DEA= ∠ DFC= ∠ABC ，∠ ADE+ ∠ DAB=180°，∵∠ DAB=90°，∴∠ ADE=90°，∵∠ ACB=90°，∴∠ ADE= ∠ ACB ，∴△ ADE ∽△ ACB ，∴，∵AB=8 ， AB=AD=10 ，∴ AE=12.5 ，由平移的性质得， CG=AE=12.5 ．18．解如图1，过点D作交CB的延伸线于E，，由旋转知，，，，，，在和中，，≌，，；的面积为，原因：如图2，过点 D 作 BC 的垂线，与BC 的延伸线交于点E，，线段AB绕点，B 顺时针旋转，获得线段BE ，，，，在和中，，≌，，，如图；3，过点 A 作与 F，过点 D 作的延伸线于点E，，，，，，，线段 BD 是由线段 AB 旋转获得的，，在和中，，≌，，，的面积为．19．解（ 1）证明：如图 1 中，∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB=DC ，∠A= ∠D=90°，∵E 是 AD 中点，∴AE=DE ，∴△ BAE ≌△ CDE ，∴BE=CE ．（2）①解：如图 2 中，由（ 1）可知，△ EBC 是等腰直角三角形，∴∠ EBC=∠ ECB=45°，∵∠ ABC= ∠ BCD=90°，∴∠ EBM= ∠ ECN=45°，∵∠ MEN= ∠ BEC=90°，∴∠ BEM= ∠ CEN，∵EB=EC ，∴△ BEM ≌△ CEN ；②∵△ BEM ≌△ CEN ，∴BM=CN ，设 BM=CN=x ，则 BN=4-x ，2∴S△BMN =?x（ 4-x ） =-（x-2）+2，∵—＜ 0，∴ x=2 时，△ BMN 的面积最大，最大值为2．③解：如图 3 中，作 EH⊥ BG 于 H ．设 NG=m ，则 BG=2m ， BN=EN=m，EB= m．∴ EG=m+ m= （ 1+）m，∵S△BEG= ?EG?BN= ?BG?EH，∴ EH==m，在 Rt△ EBH 中， sin∠ EBH=．。
