衍射 惠 菲原理

x 2 y 2 x y d 2d d
这时菲涅耳衍射就过渡到了夫琅和费衍射。 此时，得到夫琅和费衍射的计算公式：
exp ikd jk 2 2 y x E x, y exp x y E , exp jk dd jd d 2d d

dd

1 x 2 y 2 2 2 d E exp j exp jk exp j x d jd 2d d d 2 2 exp j exp j y d d d
波动具有两个基本性质：一方面，它是扰动的传播，一点的 扰动能够引起其它点的扰动，各点相互之间是有联系的。另 一方面，它具有时空周期性，能够相干迭加。 惠更斯原理中的“次波概念反映了上述前一基本性质，这是其 成功的地方。但“时空周期性”并没有反映。 惠更斯原理能够很好地解释光的直线传播，光的反射和折 射方向，也可以说明衍射的存在；但不能确定光波通过衍 射屏后沿不同方向传播的振幅，因而也就无法确定衍射图 样中的光强分布。 在惠更斯原理中，由于缺少对波动时空周期性和相干叠加 性的反映，从而对各次波如何叠加问题就不能给出令人满 意的回答。
4.1.5 一维孔径的衍射
1.一维孔径的菲涅耳衍射
假设衍射物只在ξ方向上限制入射光波，在η方向上均匀。这 样孔径∑上复振幅的分布可以表示为E（ξ）。
exp jkd ik x 2 y 2 E x, y E , exp jd 2d
当d大到使第三项以后各项对位相k · r的作用远小于π/2时， 第三项以后各项即可忽略。可只取前两项表示r：
1 x 2 y 2 r d 1 2 d 2
此为菲涅耳近似。
此条件看到的衍射现象为菲涅耳衍射，此时观察屏所处的区 域为菲涅耳衍射区。 将此r表达式代入傍轴近似后的基尔霍夫公式，得：
若入射波为垂直入射到孔径的平面波：
1 cos 2 D 2 2
D0 1
1 D 2 2
D 1
这说明菲涅耳假设D(π/2)=0是不正确的。
基尔霍夫衍射公式的旁轴近似
在一般的光学系统中，对成像起主要作用的是那些与光学 系统光轴夹角极小的傍轴光线。对于傍轴光线，下图所示的开 孔Σ的线度和观察屏上的考察范围都远小于开孔到观察屏的距 离，因此，下面的两个近似条件通常都成立：
光是一种电磁波，光波的衍射问题应该通过麦克斯韦的电磁 理论来求解。但是这种求解过程相当复杂，且多数不能获得 解析解。现代的光学教材多使用惠更斯－菲涅耳－基尔霍夫 标量场理论。 惠更斯原理： 1690年，惠更斯在其著作《论光》中提出假设：“波前上 的每一个面元都可以看作是一个次级扰动中心，它们能产 生球面子波”，并且：“后一时刻的波前的位置是所有这 些子波前的包络面。” 这里，“波前”可以理解为：光源在某一时刻发出的光波 所形成的波面（等相面）。“次级扰动中心可以看成是一 个点光源”，又称为“子波源”。
r d 2 x y
2

2 12

x y d 1 d d
2
2 12
考虑到
d x, y, ,
对于上式作二项式展开，得：
1 x 2 y 2 1 x 2 y 2 2 r d 1 2 d2 8 d2
1 x 2 y 2 x E ( ) exp j 2 d E x, y exp jk d jd 2d d y exp j2 d d
exp[ j ( kr 't )] KD ( ) E0d r'
P点的复振幅：
A' exp( jkr0 ) exp( jkr' ) E ( P) K ' D( ) r' d r0
Ω r0
S
ξ r‘
x
P
θ
Ω/
M
χ Π
∑
上式当中的积分面是球面Ω’ ，这样虽然E0是常数，但是对 球面积分也很复杂，为此可以选∑平面作为积分面，设在∑ 面上复振幅分布为B（ξ，η ），菲涅耳公式：
第四章 光的衍射
4.1 标量衍射理论基础
4.1.1 衍射问题概述 光的衍射是指光波在传播过程中遇到障碍物时，所发生的偏 离直线传播的现象。光的衍射，也可以叫光的绕射，即光可 绕过障碍物，传播到障碍物的几何阴影区域中，并在障碍物 后的观察屏上呈现出光强的不均匀分布。通常将观察屏上的 不均匀光强分布称为衍射图样。
1818年，在巴黎科学院举行的以解释衍射现象为内容的有奖竞 赛会上，年青的菲涅耳出人意料地取得了优胜，他吸收了惠更 斯提出的次波概念，用“次波相干迭加”的思想将所有衍射情 况引到统一的原理中来,这个原理就是惠更斯－菲涅耳原理。 惠更斯--菲涅耳原理 波前上任何一个未受阻挡的点都可以看作是一个频率（或波长） 与入射波相同的子波源；在其后任何地点的光振动，就是这些子 波叠加的结果。
exp jkd ik 2 2 E x, y E , exp 2d x y jd


dd
这就是菲涅耳衍射的计算公式。
2.夫琅和费近似与夫琅和费衍射 在菲涅耳衍射区更远的地方，放置观察屏，此时，
d x, y, ,
y1 Q x1 y
r
P
x
C
∑ K d
P0 E
4.1.4 菲涅耳衍射和夫琅和费衍射
距离近似——菲涅耳近似和夫琅和费近似 1.菲涅耳近似与菲涅耳衍射 对于具体的衍射问题，为了简化计算，还可作进一步近似： 为此取坐标系如图所示 η y ξ
M
r
P
x
d ∑ Π
η ξ
M
y
r
P
x
d ∑ 设M点坐标（ ξ, η)，P点坐标（ x, y)，则： Π
1 A exp( jkr0 ) exp( jkr) cos1 cos2 E ( P) d r0 j r 2
1 A exp( jkr0 ) exp( jkr) cos1 cos2 E ( P) d r0 j r 2
A exp( jkr0 ) / r0
表示光源S0发出的球面波在∑面上 的复振幅分布。
1
S
n
2
Q
∑
exp( jkr) / r
表示∑上任意Q点处的面元发出的球面子波对P点的贡献量。
P
(cos1 cos2 ) / 2
为方向因子。
1 A exp( jkr0 ) exp( jkr) cos1 cos2 E ( P) d r0 j r 2
可以看出此式和菲涅耳衍射积分公式基本相同。 不同的是，因子
1 exp i j 2
表明，子波源的振动位相超前于入射波900。这一点不是只凭 直觉所能想象得出来的。
基尔霍夫给出了倾斜因子的具体形式：
D( ) (cos1 cos2 ) / 2
①cosα≈1, 于是D(θ)≈1 ② r≈z1。
图
这样，积分公式可以简化为：
1 A exp( jkr0 ) exp( jkr) cos1 cos2 E ( P) jkr0 ) exp( jkr) E ( P) d r0 j d
且
x, y ,

2
这时如果下式成立：
k
2
2
2d

2 2 1 x 2 y 2 x 2 y 2 x y r d 1 d 2 2 d 2d d 2d
exp( jkr' ) E ( P) K D( ) B( , ) d r'
特别的，当入射光为平面波时B（ξ，η ）＝A，
exp( jkr' ) E ( P) KA D( ) d r'
4.1.3 基尔霍夫衍射积分公式
1818年菲涅耳提出了惠更斯－菲涅耳原理，并给出了菲涅耳衍 射积分公式。最初菲涅耳作的各项假设时，只凭朴素的直觉。 六十余年后，基尔霍夫（1882年）建立了一个严格的数学理 论，证明菲涅耳的设想基本上正确，只是菲涅耳给出的倾斜 因子不对，并对其进行了修正。 基尔霍夫理论，只适用于标量波的衍射，故又称标量衍射理论。 由亥姆霍兹－基尔霍夫定理和相应边界条件得到基尔霍夫衍 射积分公式：

1 x 2 y 2 x y a exp jk d jd 2d d d
考虑下图球面波经过孔径∑的衍射问题： Ω r0
S
ξ
x
P
θ
Ω/
M
∑
Π
在波前Ω上入射波的复振幅可表示为：
exp( jkr0 ) E0 A' r0
P点的光振动是Ω’上所有小面元发出的球面子波干涉叠加 的结果。
Ω r0
S
ξ
r‘ θ χ
x
P
Ω/
M
∑
Π
菲涅耳认为， Ω’上任一点M处小面元dσ发出的子波应该表示为：
s为点波源，∑为从S发出 的球面波在某时刻到达的 波面，P为波场中的某个 点。要问，波在P点引起 的振动如何？
由惠更斯—菲涅耳原理知：
应该把∑面分割成无穷多的面 元d ∑ ，把每个面元d ∑看成 发射次波的波源，从所有面元 发射的次波将在P点相遇。
一般说来，由各面元d ∑到P点的光程是不同的，从而在P点引 起的振动位相不同，P点的总振动就是这些次波在这里相干叠 加的结果。