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河北工业大学硕士学位论文一类连续时间风险模型的破产概率的估计与逼近姓名：***申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：***20040601河北工业大学硕士学位论文一类连续时间风险模型的破产概率的估计与逼近摘要本文利用经典风险模型的思想，对索赔到达时间间隔服从亏时几何分布的连续时间风险模型做了进一步的研究，应用关键更新定理（格点分布的情形），得到了破产概率的Ｌｕｎｄｂｅｒｇ界，Ｃｒａｍ６ｒ—Ｌｕｎｄｂｅｒｇ逼近以及有限时间破产概率的Ｌｕｎｄｂｅｒｇ不等式。
本文共三章，第一章是奠定本论文基础的相关知识，包括逐段决定马尔可夫过程的一些基本概念、更新方程与关键更新定理的内容以及经典风险模型的介绍，主要取自１２］２、【８】和１９］９．第二章介绍了该风险模型在索赔额分布为一般分布下的破产概率的一般表达式及相关定理，内容来自【６１，第三章是本文的主体，求得了该模型的破产概率的Ｌｕｎｄｂｅｒｇ界，Ｃｒａｍ６ｒ．Ｌｕｎｄｂｅｒｇ逼近以及有限时间破产概率的Ｌｕｎｄｂｅｒｇ不等式．关键字：破产概率，Ｌｕｎｄｂｅｒｇ界，Ｃｒａｍ６ｒ—Ｌｕｎｄｂｅｒｇ逼近，有限时间的Ｌｕｎｄｂｅｒｇ不等式ＢｏＵＮＤＳＡＮＤＡＰＰＲｏＸＩＭＡＴＩＯＮＳＴＯＴＨＥＲＵＩＮＰＲｏＢＡＢＩＬＩＴＹｏＦＡＣｏＮＴＩＮＵＯＵＳ—ＴＩＭＥＲＩＳＫＭｏＤＥＬＡＢＳＴＲＡＣＴＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｕｓｅｔｈｅｉｄｅａｏｆｔｈｅｃｌａｓｓｉｃａｌｒｉｓｋｍｏｄｅｌａｎｄｃｏｎｓｉｄｅｒａｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ—ｔｉｍｅｒｉｓｋｍｏｄｅｌｗｉｔｈｉｎｔｅｒ—ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅｔｉｍｅｓｆｏｌｌｏｗｉｎｇｔｈｅｄｅｆｉｃｉｔ—ｔｉｍｅｇｅｏｍｅｔｒｉｃｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎＢｙａｎａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｋｅｙｒｅｎｅｗａｌｔｈｅｏｒｅｍｉｎｔｈｅｃａｓｅｏｆｔｈｅ１ａｔｔｉｃｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｗｅｄｅｒｉｖｅＬｕｎｄｂｅｒｇｂｏｕｎｄｓ．Ｃｒａｍ６ｒ—Ｌｕｎｄｂｅｒｇａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓｔｏｔｈｅｒｕｉｎｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙａｎｄｆｉｎｉｔｅ－ｈｏｒｉｚｏｎＬｕｎｄｂｅｒｇｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｃｏｎｓｉｓｔｓｏｆｔｈｒｅｅｃｈａｐｔｅｒｓ．Ｔｈｅｆｉｒｓｔｏｎｅｉｓｔｈｅｐｒｅｐａｒａｔｏｒｙｋｎｏｗｌｅｄｇｅｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇｔｈｅｂａｓｉｃｃｏｎｃｅｐｔｓｏｆｔｈｅｐｉｅｃｅ－ｗｉｓｅｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃＭａｒｋｏｖｐｒｏｃｅｓｓｅｓ（ＰＤＭＰ），ｔｈｅｒｅｎｅｗａｌｅｑｕａｔｉｏｎ，ｔｈｅｋｅｙｒｅｎｅｗａｌｔｈｅｏｒｅｍａｎｄｓｏｍｅｒｅｓｕｌｔｓａｂｏｕｔｔｈｅｃｌａｓｓｉｃａｌｒｉｓｋｍｏｄｅｌ，ｗｈｉｃｈｃｏｍｅｆｒｏｍ【２］｛ＩＳｌａｎｄ［９］．Ｔｈｅｓｅｃｏｎｄｏｎｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓａｂｏｕｔｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｒｕｉｎｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｉｎａｋｉｎｄｏｆｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ—ｔｉｍｅｒｉｓｋｍｏｄｅｌｗｉｔｈｔｈｅｄｅｆｉｃｉｔ—ｔｉｍｅｇｅｏｍｅｔｒｉｃｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｉｎｔｅｒ—ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅｔｉｍｅｓ，ｉｎｗｈｉｃｈｃｌａｉｍｓｉｚｅｓａｒｅｄｉｓｃｒｅｔｌｙｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ．Ｔｈｅｓｅｃｏｍｅｆｒｏｍ［６】ＴｈｅｍａｉｎｂｏｄｙｏｆｔｈｉｓｐａｐｅｒｉｓｔｈｅｔｈｉｒｄｏｎｅｗｈｅｒｅｗｅｄｅｒｉｖｅＬｕｎｄｂｅｒｇｂｏｕｎｄｓｊＣｒａｍ∈ｒ—Ｌｕｎｄｂｅｒｇａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓｔｏｔｈｅｒｕｉｎｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙａｎｄｆｉｎｉｔｅ－ｈｏｒｉｚｏｎＬｕｎｄｂｅｒｇｉｎｅｑｕａｌ—ｉｔｉｅｓＫＥＹＷＯＲＤＳ：Ｒｕｉｎｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ，Ｌｕｎｄｂｅｒｇｂｏｕｎｄｓ，Ｃｒａｍ６ｒ—Ｌｕｎｄｂｅｒｇａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓ，Ｆｉｎｉｔｅ—ｈｏｒｉｚｏｎＬｕｎｄｂｅｒｇｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ符号说明事件Ａ的示性函数飓Ｅ上的Ｂｏｒｅｌ口一代数定义于豫＋取值Ｒ的左极右连函数空间状态空间数学期望条件数学期望Ｅ（ＸＫ（Ａ））分布函数卷积尾函数随机变量Ｕ的母函数随机变量ｕ的矩生成函数口～代数概率空间概率测度非负整数集实数集非负实数集［０，。
模拟试题一一、 是非题（共7分，每题1分） 1．设A ,B ,C 为随机事件，则A 与C B A ⋃⋃是互不相容的. （ ）2．)(x F 是正态随机变量的分布函数，则)(1)(x F x F -≠-. （ ）3．若随机变量X 与Y 独立，它们取1与1-的概率均为5.0，则Y X =. （ ）4．等边三角形域上二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布. （ ） 5. 样本均值的平方2X 不是总体期望平方2μ的无偏估计. （ ）6．在给定的置信度α-1下，被估参数的置信区间不一定惟一. （ ） 7．在参数的假设检验中，拒绝域的形式是根据备择假设1H 而确定的. （ ）二、选择题（15分，每题3分）（1）设A B⊂，则下面正确的等式是。
（ａ）)(1)(A P AB P -=； （ｂ）)()()(A P B P A B P -=-；（ｃ）)()|(B P A B P =； （ｄ）)()|(A P B A P =（2）离散型随机变量X 的概率分布为k A k X P λ==)(( ,2,1=k )的充要条件是。
（ａ）1)1(-+=A λ且0>A ； （ｂ）λ-=1A 且10<<λ；（ｃ）11-=-λA 且1<λ； （ｄ）0>A 且10<<λ.（3）设10个电子管的寿命i X (10~1=i )独立同分布，且A X D i =)((10~1=i )，则10个电子管的平均寿命Y 的方差=)(Y D.（ａ）A ； （ｂ）A 1.0； （ｃ）A 2.0； （ｄ）A 10.（4）设),,,(21nX X X 为总体)1,0(~N X 的一个样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则有 。
（ａ）)1,0(~N X ； （ｂ）)1,0(~N X n ；（ｃ）)1(~/-n t S X ； （ｄ）)1,1(~/)1(2221--∑=n F X X n ni i .（5）设),,,(21nX X X 为总体),(2σμN (μ已知)的一个样本，X 为样本均值，则在总体方差2σ的下列估计量中，为无偏估计量的是 。
经典风险理论破产概率的统一表述摘要本文主要的研究经典风险模型中有限时间内破产概率的统一表达式;N M)N Jt)引入并讨论风险模型其中'⑴与乂(/)不独立分本文共四章。
第一章主要介绍了风险理论的背景和发展脉络。
第二章 介绍经典风险模型的主要研究成果，介绍了索赔量的分布以及在重尾分布情 形下的破产概率的研究现状_简述了本文研究的主要问题。
第三章给出了经 典风险模型有限时间内破产概率的统一表达式•第四章引入如下风险模型：U(t)^u-^X Xi-L Y j，其中分别表示保险公司保费收入与索赔M户1的次数，x t t巧分别表示每次保费收入与索赔量，{%(/):/之0}是强度为;I 的Poisson过程，给定/2 0，A T2(0是取自于y(r)的二项分布随机变量，即假 定当时，乂(/) D B(k，P)，其中/;是发生索赔的概率•假设 X l9X2t^X n M a d的，也是i_i.d , Y t □F(y),且认1，义2广々与{«，•••}相互独立，l-F(y)^F{y)GRp^S f在以上的假设条件下，本文讨论了模型的简单性质。
关键词：经典风险模型；Poisson；破产概率；过程重尾分布；正规变化函数作者：马树建指导老师：王晓谦（副教授）The Unity Expression of Ruin ProbabilitiesIn the Classical Risk TheoryAbstractIn this dissertation we mainly study the following contents.We obtain the unity expression of ruin probability in the finite time for the the classical risk th e o ry* w e alsostudy the model £/(/) = 2, ^ - ^»where N^t) is dependent with N2(t)•This dissertation includes four chapters. First, we introduce the development of the risk theory. A brief review of the theory of ruin, the main questions and the results disscued in the paper are given in the second chapter. In the third ,we mainly give the unity expression of ruin probability in the finite time for the classical risk theoty* In the last chapter w e study a kind of ruin probabilities with heavy tail-For the model M) 妙*- 1Y t §where '⑴stands for the number of premium rate and J V2(?) stands for the claim number until time t Nx(t)is dependent with N2(t) .In this paper,we assum e the following: {Nx(t);/ > 0}is a Poisson process with intensity 又,J V2(0 □B(k9p)s X vX23- Xn and Y vY2,^Y n are U.d，{Xt>X2f^}is dependent with {《,匕…}, F(y) e ' .we discuss the simple nature of this model.Keywords: Classical risk model; Poisson; Ruin probabilities; Heavy tail process;Regular variation functionWritten by Ma ShujianSupervised by Prof W ang Xiaoqian第一早刖吕在人类社会发展历史上，人们无时无刻不在和不同的风险、不确定性现象以 及它们所带来的后果进行长时间的斗争。
2021年5月第30卷第2期中央民族大学学报（自然科学版）Journal of MUC( Natural Sciences Edition)May, 2021Vol. 30 No. 2随机利率下基于蒙特卡洛算法的巨灾保险破产概率模拟巢文\钱晓涛2(1.福建工程学院管理学院，福州350118; 2.阳光学院基础教研部，福州350015)摘要：巨灾保险是分散巨灾风险的一种重要手段，而破产概率则是评估保险公司巨灾风险偿付能力的一个关键数量指标。
在利率服从C1R随机利率模型且巨灾索赔服从对数正态分布的假设下，本文采用经典更新风险模型描述保险公司盈余过程，并应用蒙特卡洛算法估计保险公司经营巨灾风险的破产概率，利用Mat-l a b软件进行了模拟，所得结果验证了基于蒙特卡洛算法估计随机利率下巨灾保险破产概率方案的有效性和可行性。
关键词：巨灾保险；随机利率；蒙特卡洛算法；破产概率中图分类号：0211.9 文献标识码：A文章编号=1005-8036(2021) 02-0047-05我国是世界上受自然灾害影响最严重的国家之一。
随着经济水平的发展，巨灾造成的经济损失呈 现明显上升趋势。
然而，由于国内整体上巨灾风险防范意识薄弱，再加上巨灾风险分散技术的限制，巨灾保险在分散巨灾风险时的作用非常有限，造成我国巨灾保险供给缺口严重。
建立完善的巨灾保险制 度是实现分散巨灾风险，促进巨灾保险供给的重要渠道[1<。
保险公司作为巨灾保险制度的主要支柱，其破产概率是分析保险公司经营巨灾风险能力的一个重要数量指标。
由巨灾引起的“大索赔”需要用重尾分布来刻画，这导致巨灾保险的破产概率不具有显式表达式。
目前，已经有许多学者研究了“大索赔”下破产概率的渐近结果〜8],蒙特卡洛算法也被应用到巨灾保险 破产概率和再保险定价的模拟中纵观上述研究，大部分都局限在巨灾索赔服从正则变化尾分布的范围，或者未考虑利率因素尤其是随机利率。
鉴于此，本文应用蒙特卡洛算法模拟随机利率下巨灾保 险的破产概率，其中巨灾索赔服从非正则变化尾分布，所得结果可以为保险公司稳定经营巨灾风险进一 步提供技术支持。
离散时间保险风险模型的破产问题离散时间保险风险模型是一种用于评估保险公司破产风险的数学模型。
破产问题是保险行业中一个重要的课题，因为保险公司破产对保险合同的持有人和经济市场都有严重的影响。
离散时间保险风险模型通过考虑不同的因素来评估保险公司的破产风险。
这些因素包括保险公司的资本状况、保单的支付流量、赔付率、评级评估以及市场因素等。
模型通过将这些因素纳入考虑，可以帮助预测和评估保险公司破产的可能性。
在离散时间保险风险模型中，保险公司的资本状况是一个重要的指标。
保险公司的资本状况决定了其承担风险的能力。
如果保险公司的资本降低到一个危险水平以下，即可能导致破产的水平，那么保险公司就面临破产风险。
另一个重要的指标是保单的支付流量。
保险公司从保单持有人那里收取保费，并承诺在需要时支付赔偿。
如果保险公司没有足够的资金来支付赔偿，就有可能破产。
赔付率也是离散时间保险风险模型中的一个重要指标。
赔付率表示保险公司在一定时间内支付给保单持有人的赔偿金额与保费收入的比率。
赔付率越高，说明保险公司面临的赔偿风险越大，增加了其破产的可能性。
评级评估是另一个影响保险公司破产风险的因素。
评级机构对保险公司进行评级，根据其资本状况、经营状况和偿付能力进行评估。
如果评级低于市场预期或者评级机构降低评级，那么保险公司的破产风险就会增加。
最后，市场因素也会对保险公司的破产风险产生影响。
例如，经济衰退、金融危机或者行业竞争加剧等因素都可能对保险公司的盈利能力和资本状况造成负面影响，增加其破产的可能性。
综上所述，离散时间保险风险模型通过综合考虑保险公司的资本状况、保单的支付流量、赔付率、评级评估和市场因素等多个因素，可以帮助评估保险公司的破产风险。
这有助于保险公司更好地管理其风险和资本，以保障保险合同的持有人的权益，并维护金融市场的稳定。
离散时间保险风险模型的破产问题是保险行业中一项重要的研究领域，尤其在金融危机以及经济不稳定时期更显重要。
第26卷 第3期2009年9月经 济 数 学MA T H EMA TICS IN ECONOMICSVol.26,No.3Sep12009实时定期人寿保险的破产模型及破产概率的计算3沈贤龙,万 中,尹 伟,梁文冬(中南大学数学科学与计算技术学院,湖南长沙 410083) 摘 要 研究定期人寿保险中破产风险问题.建立了该类问题的数学模型,并分析其结构特征,推导破产概率的计算公式,并设计其计算方法.同以往模型相比,新模型的建立考虑了初始准备金的利息积累和任何时刻的新投保人的加入,采用了新的分组方式.这种新模型更加真实地刻画了实际过程,保证了传统模型中常用的某些假设得到了满足.关键词 定期人寿保险;破产风险;概率计算;准备金中图分类号 O211.5 文献标识码:A近年来,人寿保险中破产风险问题的研究备受相关领域的学者和保险公司管理层的关注,其研究进展可参看[1-5,8-9]及其后的参考文献.本文研究定期人寿保险中破产风险问题.我们将建立该类问题的数学模型,并分析其结构特征,推导破产概率的计算公式,设计其计算方法.同以往模型,如[9]不同,该模型的建立一是考虑了初始准备金的利息积累,给出了新的破产临界值,二是考虑了每年新投保人的加入,三是采用了新的分组方式.因此,这种新模型能够更加真实地刻画实际过程,使传统模型中常用的某些假设得到满足.11定期人寿保险中的基本计算公式我们考虑T年期定期保险合同,其保费于每年年初缴付,赔付于年末进行.如果我们对T年期定期人寿保险中被保险人,即投保人按年龄分组,则在任意一年,j岁的投保人即属于第j组.假设极限年龄为m岁,则j的取值范围是j∈{1,2,…,m}这样,当下年度原本j岁的人变为j+1岁时,他就不再属于第j组而是被划分到第j+1组.比如说,一名30岁的新投保人在初始时刻其所在组别为30,投保后第二年他属于第31组,第三年属于第32组,依次递推,直至投保人死亡或合同到期.记第k年年初时第j组的投保人人数为n k(j),第j组(即j岁)的投保人在一年内的死亡概率记为q j(q j的取值可以参见经验生命表).对同一经验生命表,按上述分组方式知对每个j 来说,q j恒为常数.当然,投保人在一年内的生存概率p j=1-q j亦为常数.对T年期定期寿险保单来说,我们可以忽略投保人对保险的喜好、通货膨胀率和利率等3收稿日期:2008212228基金项目:教育部新世纪优秀人才支持计划(NCET-07-0864);国家自然科学基金(60804037)作者简介:沈贤龙(1984—),男,湖南浏阳人,硕士生E2mail:shenxianlong1984@第3期沈贤龙,万 中等:实时定期人寿保险的破产模型及破产概率的计算因素,则按照依年龄分组的原则,不妨假设第j 组每年收到的新保单的数量与保单到期的数量之差为常数a j .若记d k (j )为第k 年内第j 组被保险人的死亡人数,则如下关系式n k (j )=n k-1(j -1)-d k-1(j -1)+a j(1)成立.式(1)给出了第k 年年初时各组投保人人数与上年度年初时投保人人数和被保险人的死亡人数之间的关系.设N k 是第k 年年初投保人的总数,则N k =∑mj =1nk(j ). 不难证明如下命题成立.命题1 如果N k 是第k 年年初投保人的总数,则有如下递推关系式N 1=∑mj =1n1(j ),N k =N k-1-∑mj =1(dk-1(j ))+∑mj =1aj(2) 假设第j 组的被保险人每年所交的保费为c j ,j =1,2,…,m ,保险期内每个被保险人死亡时的赔付额为b,第k 年的利率是i k .记u k (j )为第j 组在第k 年年初时的准备金,U k 表示第k 年年初时的准备金.则对给定的u 1(j ),j =1,2,…,m ,有如下计算公式:u k+1(j )=(u k (j )+n k (j )c j )(1+i k )-bd k (j ),U k =∑mj =1uk(j ),U k+1=U k +∑mj =1nk(j )c j (i +i k )-b∑mj =1dk(j ).(3)21定期人寿保险破产模型及概率首先引入如下破产的概念.定义1 对任意的t >0,设c >0为单位时间内的保费收入率,S t 为到时刻t 保险公司支付的理赔总额,U 1为保险公司的初始准备金,则称R t =U 1+ct -S t 为时刻t 时的盈余.如果R t <0,则称该保险公司破产.称下确界T =inf {t ,|R t <0}为破产发生时刻.定义2 称实值函数Ψt (・,・)→[0,1],Ψt (x ,y )=P{T <t}为对应初始准备金x 和初始时刻的投保人数y ,t 年内公司破产的概率,其中P{・}表示某种概率测度.以下定理给出了定期人寿保险公司破产概率的计算方法.定理1 在定期人寿保险模型中(T 年期保单),如果初始准备金为U 1=∑mj =1u1(j ),其中u 1(j )是第j 组的初始准备金,第一年年初投保人总数为—9—经 济 数 学第26卷N 1=∑mj =1n1(j ),其中n 1(j )是初始年年初时第j 组的投保人人数.那么,保险公司到第t 年年末的破产概率为:Ψt (U 1,N 1)=∑mj =1∑n 1(j )k >d 31(j )n 1(j )c j∑m j =1n1(j )c jC k n 1(j )q k j p n 1(j )-kj +∑mj =1∑d 31(j )k =1n 1(j )c j∑m j =1n1(j )c jC kn 1(j )q kj p n 1(j )-kj Ψt-1(U 2,N 2),(4)其中d 31(j )=(n 1(j )c j +u 1(j ))(1+i 1)b (j =1,2,…,m ),d 31=∑mj =1d31(j ),L 1=∑mj =1d1(j ),d 1(j )∈{0,1,…,d 31(j )},U 2=U 1+∑mj =1n j (j )cj(1+i 1)-L 1b,N 2=N 1+∑mj =1aj-L 1. 证明 被保险人在一年内可能死亡也可能存活,只有两种可能结果,因此各年死亡或存活可视为Bernoulli 概型.若年初被保险人数为n ,则为n 重Bernoulli 概型.因为死亡概率与年龄密切相关,所以模型的建立是按被保险人的年龄分组.虽然每组的破产概率之和并不等于总破产概率之和(因为一组破产可能由其他组盈余来弥补),但是,我们可以考虑总破产概是各组破产概率加权求和.又因为决定破产与否的关键因素是净资产值的盈亏状况,所以该权重的取值为各组收取的保费占总保费的比例.我们先考虑第一年的情形.第一年年末的时候,保险公司由于要支付赔偿金,可能导致公司破产也可能不导致公司破产.我们研究其临界状态,即第一年年初所收取的保费与初始准备金之和恰好等于第一年年末需要支付的赔偿金.描述第j 组临界状态的表达式为(n 1(j )c j +u j )(1+i 1)=bd 31(j ),(j =1,2,…,m ).由此可得d 31(j )=(n 1(j )c j +u 1(j ))(1+i 1)b,(j =1,2,…,m ).令d 31=∑mj =1d31(j ).因为对给定的n 1(j ),j =1,2,…,m ,在第一年内的死亡人数服从参数为B (n 1(j ),q j )的二项分布,而第j 组的权重,即n 1(j )个被保险人所收的保费占总保费的比例为—01—第3期沈贤龙,万 中等:实时定期人寿保险的破产模型及破产概率的计算n 1(j )c j∑m j =1n1(j )c j,所以到第一年年末发生破产的概率为Ψ1(U 1,N 1)=∑mj =1∑n 1(j )k >d 31(j )n 1(j )c j∑m j =1n1(j )c jC k n 1(j )q k j p n 1(j )-k j .若第一年年末未发生破产,记L 1=∑mj =1d1(j ),d 1(j )∈{0,1,…,d 31(j )},则第二年年初还未收取第二年的保费时的准备金为U 2=(U 1+∑mj =1n1(j )c j )(1+i 1)-L 1b. 可以看出,L 1∈{0,1,…,d 31}. 接下来考虑第t (t >1)年的临界状态.记d 3t (j )为恰好导致第j 组在第t 年末发生破产时的临界死亡人数,则d 3t (j )=(n t (j )c j +u t (j ))(1+i t )b,j =1,2,…,m.令d 3t=∑mj =1d3t(j ). 如果第t 年年末破产,那么第t +1年年初还未收取当年保费时的准备金为U t+1=U t +∑mj =1n t (j )cj(1+i t )-L t b ,L t ∈{0,1,…,d 3t },其中,L t =∑mj =1d t (j ),d t (j )∈{0,1,…,d 3t (j )}. 我们可以推得第2年年末破产概率为:Ψ2(U 1,N 1)=∑mj =1∑n 1(j )k >d 31(j )n 1(j )c j∑m j =1n1(j )c jC k n 1(j )q k j p n 1(j )-kj +∑mj =1∑d 31(j )k =1n 1(j )c j∑m j =1n1(j )c jC kn 1(j )q kj p n 1(j )-kj Ψ1(U 2,N 2).(5)其中U 2=(U 1+∑mj =1n 1(j )c j )(1+i 1)-L 1b,N 2=N 1+∑m j =1a j -L 1,L 1=∑mj =1d 1(j )且与和式中的k ,j 均有关,Ψ1(U 2,N 2)表示准备金为U 2,被保险人总数为N 2的第一年年内破产的概率.类似于第二年的推导过程,可以得到到第t 年年末的破产概率的计算方法:—11—经 济 数 学第26卷Ψt (U 1,N 1)=∑mj =1∑n 1(j )k >d 31(j )n 1(j )c j∑m j =1n1(j )c jC k n 1(j )q k j p n 1(j )-kj +∑mj =1∑d 31(j )k =1n 1(j )c j∑m j =1n1(j )c jC kn 1(j )q kj p n 1(j )-kj Ψt-1(U 2,N 2).(6)其中,Ψt -1(U 2,N 2)表示准备金为U 2,被保险人总数为N 2在t -1年内破产的概率.证毕.注 Ψ1的计算不能直接利用Ψt -1递推,这是因为Ψt -1(U 1,N 1)和Ψt -1(U 2,N 2)的参数U 、N 不同.不过,Ψt -1(U 2,N 2)的计算公式与Ψt -1(U 1,N 1)的计算公式类似.我们有Ψt-1(U 2,N 2)=∑mj =1∑n 2(j )k >d 32(j )n 2(j )c j∑m j =1n2(j )c jC k n 2(j )q k j p n 2(j )-kj +∑mj =1∑d 32(j )k =1n 2(j )c j∑m j =1n2(j )c jC kn 2(j )q kj p n 2(j )-kj Ψt-2(U 3,N 3).(7)其中,Ψt -2(U 3,N 3)的计算公式与Ψt -2(U 1,N 1)的计算公式类似,依此类推.31近似计算方法由泊松定理,我们可得到原破产概率的的近似表达式.令λk (j )=n k (j )q j ,则得到如下结论.定理2 在定期人寿保险模型中(T 年期保单),设初始准备金为U 1=∑mj =1u1(j ),第一年年初被保险人的总数为N 1=∑mj =1n1(j ),其他变量均满足模型假设的条件,则保险公司到第t年年末的破产概率为Ψt (U 1,N 1)=∑mj =1∑n 1(j )k >d 31(j )n 1(j )c j ∑mj =1n 1(j )c jλ1(j )kk !e λ1(j )+∑mj =1∑d 31(j )k =1n 1(j )c j ∑mj =1n 1(j )c jλ1(j )kk !e λ1(j )Ψt-1(U 2,N 2).其中U 2=(U 1+∑mj =1n1(j )c j )(1+i 1)-L 1b,(L 1∈{0,1,…,d 31},N 2=N 1+∑mj =1aj-L 1,L 1=∑mj =1d 1(j ),d 1(j )∈{0,1,…,d 31(j )}.—21—第3期沈贤龙,万 中等:实时定期人寿保险的破产模型及破产概率的计算41结 论本文改进了以往定期人寿保险模型,推导破产概率的计算公式,设计其计算方法.同以往模型,新模型考虑了初始准备金的利息积累和每年新投保人的加入等因素.通过采用新的分组方式,新模型克服了以往模型中随年龄增长投保人在一年内的死亡概率不同带来的计算上的困难.参考文献[1] ANDERSEN L ,BRO T H ER TON 2RA TCL IFFE R.Exact exotics[J ].Risk ,1996,9(10):85-89.[2] BERNARD C ,L E COU R TOIS O ,QU IT TARD 2PINON F.Market value of life insurance contract s under stochasticinterest rates and default risk[J ].Insurance :Mat hematics and Economics ,2005,36:499-516.[3] BERNARD C ,L E COU R TOIS O ,QU IT TARD 2PINON F.A st udy of mutual insurance for bank deposit s[J ].TheGeneva Risk and Insurance Review ,2005,30(2):129-146.[4] BRIYS E ,DE VARENN E F.Life insurance in a contingent claim framework :pricing and regulatory implications[J ].The Geneva Papers on Riskand Insurance Theory ,1994,19:53-72.[5] BRIYS E ,DE VARENN E F.On t he risk of insurance liabilities :Debunking some common pitfalls[J ].The Journal ofRisk and Insurance ,1997,64(4):673-694.[6] COSTABIL E M.A combinatorial approach for pricing Parisian options[J ].Decisions in Economics and Finance ,2002,25(2):111-125.[7] FRANCOIS P ,MORELL EC E.Capital structure and asset prices :Some effect s of bankruptcy procedures[J ].Journalof Business ,2004,77(2):387-412.[8] 高建伟,邱宛华.定期人寿保险中的破产模型[J ].系统工程理论与实践,2002,22(5):66-70.[9] 林祥.关于“定期人寿保险中的破产模型”的注记[J ].系统工程理论与实践,2005(4):141-144.REA LTIME MODE L F OR BANKRUPT C Y PR OCE DURE IN TERM L IFE INSURANCE AN D COMPUTATIONOF BANKRUPTCY PROBABIL ITYSH EN G Xian 2long ,WAN Zhong ,YIN Wei ,L IAN G Wen 2dong(School of M athematics S ciences and Com putational Technolog y ,Cent ral S outh Universit y ,Changsha ,H unan 410083) Abstract This paper studyied a class of bankruptcy risk problems in term life insurance.We construc 2ted a realtime model for this kind of real problems ,analyzed the structural features of this model ,obtained the formula for calculating the bankruptcy probability ,and designed its computational pared with the existing models ,some important aspects were taken into consideration in the new formulation ,such as the ac 2cumulating interest of initial reserve ,the entry of new customers at any time ,and the design of new grouping fashion.Since the new model more realistically describes the practical process ,some assumptions in the con 2ventional models are easily satisfied.K eyw ords term life insurance ;bankruptcy risk ;probability computation ;reserve—31—。
几类风险模型中的破产概率研究摘要风险理论是近代应用数学的一个重要分支，主要应用于保险、金融、证券投资以及风险管理等领域，它借助于概率论与随机过程理论构造数学模型，来描述各种风险业务过程。
如今，风险理论已经成为保险精算学的一个重要分支，在保险理论与实践中具有十分重要的作用。
对保险公司破产概率的研究不仅可以为保险公司的决策者提供参考，指导其健康发展，同时对稳定整个金融市场也有很重要的作用。
本文在经典的破产理论上，研究了其相应的破产概率。
全文共分为5章，具体安排如下：第l章主要介绍了破产概率的概述，一研究动机和目前国内外研究的一些现状和一些预备知识。
第2章介绍风险理论的一些重要知识和破产理论的基本原理，其中简述了保险风险模型的两个经典模型(包括短期个别风险模型和短期聚合模型)并介绍了它们在保险中的应用。
第3章研究了带干扰的双复合泊松风险模型的破产问题，在双复合泊松风险模型的基础上考虑了干扰项，运用教方法得出了破产概率满足的Lundberg不等式和一般公式，并给出了不破产概率满足的积分表示。
第4章研究了考虑含有正、负风险和风险过程的破产概率问题，并且将保费收入推广为一个随机过程，给出该风险过程的破产概率所满足的积分方程和指数不等式，研究正风险和类与负风险和类之间的相关性对破产概率的影响，并对具体实例给出数值比较结果。
第5章全文总结。
关键词：调节系数；双复合Poisson过程；破产概率；负风险。
目录摘要-------------------------------------------------1第1章绪论---------------------------------61.1 破产理论概述-----------------------------61.2研究动机和目的----------------------------81.3破产理论的研究现状------------------------111.4 预备知识---------------------------------14第2章风险理论---------------------------------------202．1短期个别风险模型---------------------------202．2短期聚合风险模型---------------------------222．3破产理论-----------------------------------272．4本章小结-----------------------------------29第3章带干扰的双复合泊松风险模型---------------------303.1模型的建立----------------------------------303.2预备引理------------------------------------303.3 主要结果-----------------------------------333.4 预备知识-----------------------------------35第4章同时含有正、负风险过程的风险模型---------------364．1 同时含有正、负风险过程的风险模型及其主要性质---------------36 4.1.1模型介绍-------------------------------364．1．2 模型的主要性质----------------------374．2 模型的破产概率---------------------------394．2．1模型的最终破产概率------------------394．3本章小结----------------------------------41第5章总结------------------------------------------43参考文献----------------------------------------------44第1章绪论1.1破产理论概述在金融数学和保险数学的范畴内，破产理论是风险理论的核心内容。
