二项式定理测试题

精选全文完整版（可编辑修改）二项式定理高考题(含答案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2二项式定理 高考真题一、选择题1.（2012·四川高考理科·Ｔ1）相同7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ D ）（A ）42 （B ）35 （C ）28 （D ）212.（2011·福建卷理科·Ｔ6）(1+2x )5的展开式中，x 2的系数等于（ B ）（A ）80 （B ）40 （C ）20 （D ）103.（2012·天津高考理科·Ｔ5）在5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，x 的系数为 （ D ） (A)10 (B)-10(C)40 (D)-40 4.（2011.天津高考理科.T5）在6的二项展开式中，2x 的系数为 （ C ）（A ）154- （B ）154（C ）38- （D ）38 5.（2012·重庆高考理科·Ｔ4）821⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中常数项为( B ) (A)1635 (B)835 (C)435 (D)105 6.（2012·重庆高考文科·Ｔ4）5)31(x -的展开式中3x 的系数为( A )(A)270- (B)90- (C)90 (D)2707. (2013·大纲版全国卷高考理科·T7)()()8411++x y 的展开式中22x y 的系数是 ( D )A.56B.84C.112D.1688.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ D ） （A ）-40 （B ）-20 （C ）20（D ）409. (2011·重庆高考理科·T4)n x )31(+(其中n N ∈且6≥n )的展开式中5x 与6x 的系数相等,则=n ( B ) (A)6 (B)7 (C)8(D)93 10．（2011·陕西高考理科·T4）6(42)x x --（x ∈R ）展开式中的常数项是 （C ）（A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20二、填空题11. （2013·天津高考理科·Ｔ10）6x ⎛- ⎝ 的二项展开式中的常数项为 15 . 12.（2011·湖北高考理科·T11）18x ⎛ ⎝的展开式中含15x 的项的系数为 17 .13.（2011·全国高考理科·Ｔ13）20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为 0 .14.（2011·四川高考文科·Ｔ13）91)x +（的展开式中3x 的系数是 84 （用数字作答）.15.(2011·重庆高考文科·T11)6)21(x +的展开式中4x 的系数是 240 . 16.（2011·安徽高考理科·Ｔ12）设2121221021)1x a x a x a a x ++++=- （，则1110a a += 0 .17.（2011·广东高考理科·Ｔ10）72()x x x-的展开式中，4x 的系数是___84___ (用数字作答)18.（2011·山东高考理科·Ｔ14）若62x x ⎛- ⎝⎭的展开式的常数项为60，则常数a 的值为 4 .19.（2012·大纲版全国卷高考理科·Ｔ15）若n xx )1(+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为__56_____. 20.（2013·安徽高考理科·Ｔ11）若8⎛+ ⎝x 的展开式中4x 的系数为7，则实数a ____12_____。

—第1页—高二数学“二项式定理”同步训练（一）参考答案班级 姓名 学号一．选择填空题1．()()()()()=+++++---2012112019120205lg 5lg 2lg 5lg 2lg 2lg r r r C C （ A ）A ．1B ．()207lgC ．202D ．20102．在()5223++x x 的展开式中x 的系数为 （ B ）A ．160B ．240C ．360D ．800 3．若二项式231(3)2nx x-（n N *∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ B ）A ．4 B. 5 C. 6 D. 84． 3)2||1|(|-+x x 展开式中的常数项的值是 ( A )A ．–20B ．20C ．–15D ．-28 5．在(1)n x +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)n x -等于 （ D ）A ．0B ．pqC ．22p q +D ．22p q -6．若(1-2x)5的展开式中，第2项小于第1项，且不小于第3项，则x 的取值范围是 ( B ) A ．x ＜-101B ．-101＜x ≤0 C ．-41≤x ＜101 D ．-41≤x ≤07. 已知()nx 21+的展开式中所有系数之和等于729，那么这个展开式中3x 项的系数是( C ) A ．56 B ．80 C ．160 D ．180 8. 由100)233(+x 展开所得的x 的多项式中系数为有理数共有 ( A ) A ．51项 B ．17项 C ．16项 D ．15项9．（1-x ）2n-1展开式中，二项式系数最大的项 （ D ） A ．第1n -项B ．第n 项C ．第1n -项与第1n +项D ．第n 项与第1n +项10. ()1021x +的展开式中系数最大的项是 （ D ） A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．第8项二．填空题11．)()4511x -展开式中4x 的系数为 45 ，各项系数之和为 0 ．12. 多项式12233()(1)(1)(1)(1)n nn n n n f x C x C x C x C x =-+-+-++- （6n >）的展开式中，6x 的系数为 1 ．13. ()()()()44321111x x x x ++++ 的展开式中x 的系数是______ 990 ．14. 5522105)2(x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=-，则=++++420531a a a a a a 122121-．三．解答题15．若()nx x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-11log 5的展开式中各奇数项二项式系数之和为32，中间项为2 500，求x ． 解：∵各奇数项的二项式系数之和为1232n -=∴6n =∴中间项为2500)(20)()1(log3)1(log336455===--x x x x C T∴5(log 1)33]5x-=5log15555(log 1)1(log 1)log 2x x x x -=-=-=∴∴∴ 25555(log )log20log 1log 21255x xx x xx --==-===∴∴∴或或 16．已知)0,()1()(*212≠∈+++m N n mx m x n n 与的展开式中含n x 项的系数相等，求实数m 的取值范围.解： 21()n x m ++的展开式的通项为1r T +则：21121r n rr r n T C xm +-++=⋅ ∴由已知可得：21n r n +-= ∴1r n =+此展开式中n x 的系数为1121n n n C m +++ 又∵21)n m x +（的展开式中n x 的系数为2n n n C m ⋅∴由已知可得：11212n n n nn n C m C m +++=即：212n n n n C m C +⋅= ∴111(1)21221n m n n +==+++，m 为n 的减函数∵n N *∈∴12m >又当1n =时， m ax 23m =∴1223m <≤∴所求m 的取值范围为：12(,]2317．求（2x-1）5的展开式中： （1）各项系数之和；（2）各项的二项式系数之和；（3）偶数项的二项式系数之和； （4）各项系数的绝对值之和；（5）奇次项系数之和．—第3页—18．已知nxx x )1(3+展开式中前三项系数之和为37．（1）求x 的整数次幂的项； （2）求展开式中二项式系数最大的二项式系数．解：由已知可得：37210=++n n n C C C ，即：(1)12n n n -++=37∴2720n n +-=8=∴n 或9-=n （舍去）．（1）7211861881(rrrrr r T C C x--+==，r ∴必为6的倍数，且08,r ≤≤06r ∴=或x ∴的整数次幂的项为x T x T 28,7121==．（2）由8=n 知展开式共9项，最大的项式系数为5658=C ．19. 若某一等差数列的首项为112225113nn nn C A ----，公差为m x x)5225(32-的常数项，其中m 是7777－15除以19的余数，则此数列前多少项的和最大？并求出这个最大值． 解：由已知得： 1125{22113n n n n -≤-≤-，∴111375n ≤≤n N ∈又 12100n a ∴=∴=，首项注意到45)176(777777-==+=d m ，进而知公差，可得，从而等差数列的通项公式是：n a n 4104-=，设其前k 项之和最大，则)1(410404104{<+-≥-k k ，解得k=25或k=26， 故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大，13002625==S S ．。

二项式定理一、选择题(本大题共41小题，共41分)1. 的展开式x 2的系数是()A. -6B. -3C. 0D. 32. 把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是()A. 135B. -135C.D.3. 若C n1x+C n2x 2+…+C n n x n能被7整除，则x，n的值可能为()A. x=4，n=3B. x=4，n=4C. x=5，n=4D. x=6，n=54. 若(1+x)+(1+x) 2+…+(1+x) n=a 0+a 1(1-x)+a 2(1-x) 2+…+a n(1-x) n则a 0-a 1+a 2-…+(-1) n a n等于()A. B. C. D.5. 设A=3 7+C 72•3 5+C 74•3 3+C 76•3，B=C 71•3 6+C 73•3 4+C 75•3 2+1，则A-B=()A. 128B. 129C. 4 7D. 06. 已知关于x的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为()A. 1B. ±1C. 2D. ±27. 若( x 2-2x+3) n=a 2n x 2n+a 2n-1x 2n-1+…+a 1x+a 0，则a 2n+a 2n-2+…+a 4+a 2+a 0=()A. 2 nB. 3 nC. (6 n+2 n)D. (6 n-2 n)8. 二项式的展开式的常数项为第()项．A. 17B. 18C. 19D. 209. 若(1-x) n=1+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n(n∈N *)，且a 1：a 3=1：7，则a 5等于()A. 35B. -35C. 56D. -5610. 设a∈Z，且0≤a≤13，若51 2012+a能被13整除，则a=()A. 0B. 1C. 11D. 1211. 展开式中不含x 4项的系数的和为()A. -1B. 0C. 1D. 212. (x 2+2)( ) 5的展开式的常数项是()A. -3B. -2C. 2D. 313. 若，则a 0=()A. 1B. 32C. -1D. -3214. 已知( ) n的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是()A. -1B. 1C. -45D. 4515. 在的展开式中，x的幂的指数是整数的有()A. 3项B. 4项C. 5项D. 6项16. 已知(x- ) 8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是()A. 2 8B. 3 8C. 1或3 8D. 1或2 817. 若(x 2+1)(x-3) 9=a 0+a 1(x-2)+a 2(x-2) 2+a 3(x-2) 3+…+a n(x-2) n，则a 1+a 2+…+a 11的值为()A. 0B. -5C. 5D. 25518. 在(x+y) n的展开式中，若第七项系数最大，则n的值可能等于()A. 13，14B. 14，15C. 12，13D. 11，12，1319. (1+ax+by) n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为()A. a=2，b=-1，n=5B. a=-2，b=-1，n=6C. a=-1，b=2，n=6D. a=1，b=2，n=520. 在( ) n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为()A. -7B. 7C. -28D. 2821. 设a= (1-3x 2)dx+4，则二项式(x 2+ ) 6展开式中不含x 3项的系数和是()A. -160B. 160C. 161D. -16122. 若二项式中所有项的系数之和为a，所有项的系数的绝对值之和为b，则的最小值为( )A. 2B.C.D.23. 设函数,则当时, 表达式的展开式中常数项为()A. -15B. 20C. -20D. 1524. 设m为正整数，(x＋y) 2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y) 2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝( )A. 5B. 6C. 7D. 825. 设的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M-N=240，则展开式中x的系数为()A. -150B. 150C. 300D. -30026. 二项式(x 2- ) 11的展开式中，系数最大的项为( )A. 第五项B. 第六项C. 第七项D. 第六和第七项27. 设(2x-1) 10=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 10x 10，则a 1+a 3+a 5+a 7+a 9的值()A. B. C. D. -28. “a=2”是“(x-a) 6的展开式的第三项是60x 4”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件29. 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()A. －40B. －20C. 20D. 4030. (1－x) 4(1－) 3的展开式中x2的系数是()A. －6B. －3C. 0D. 331. 若(1-2x) 2 009=a 0+a 1x+…+a 2 009x 2 009,则的值为( )A. 2B. 0C. -1D. -232. (1＋x) 8(1＋y) 4的展开式中x2y2的系数是()．A. 56B. 84C. 112D. 16833. 在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有（）A. 4项B. 5项C. 6项D. 7项34. 在(1+ x) 5+(1+ x) 6+(1+ x) 7的展开式中，x4的系数等于（）A. 22B. 25C. 52D. 5535. 令a n为(1+x) n+1的展开式中含x n-1项的系数，则数列{ }的前n项和为()A. B. C. D.36. 在(1+x) 5+(1+x) 6+(1+x) 7的展开式中，含x 4项的系数是首项为-2，公差为3的等差数列的()A. 第13项B. 第18项C. 第11项D. 第20项37. 把1+(1+x)+(1+x) 2+…+(1+x) n展开成关于x的多项式，其各项系数和为a n，则等于()A. B. C. 1 D. 238. 若变量a，b满足约束条件，n=2a+3b，则n取最小值时，二项展开式中的常数项为()A. -80B. 80C. 40D. -2039. 若多项式(1+x) m=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a m x m满足：a 1+2a 2+3a 3+…+ma m=80，则的值是()A. B. C. D.40. 若，则log 2(a 1+a 3+…+a 11)等于()A. 2 7B. 2 8C. 7D. 841. 已知a= [(sin ) 2- ]dx：，则(ax+ ) 9展开式中，关于x的一次项的系数为()A. -B.C. -D.二、填空题(本大题共5小题，共25分)42. 若二项式的展开式中二项式系数之和是1024，常数项为90，则展开式中第5项为________．43. 设，则中奇数个数为个.44. 若，则的值为 .45. 二项式的展开式中含的项的系数是．46. 若(2 x－3) 5= a0+ a1x+ a2x2+ a3x3+ a4x4+ a5x5，则a1+2 a2+3 a3+4 a4+5 a5等于___________．三、解答题(本大题共3小题，共30.0分)47. 已知二项式(1)当n=4时，写出该二项式的展开式；(2)若展开式的前三项的二项式系数的和等于79，则展开式中第几项的二项式系数最大？48. （本小题满分10分）已知数列通项公式为，其中为常数，且，．等式，其中为实常数．（1）若，求的值；（2）若，且，求实数的值．49. (本小题14分)已知的展开式的系数和大992。

二项式定理练习题一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在()103x -的展开式中,6x 的系数为（ )A ．610C 27-B ．410C 27 C ．610C 9-D ．410C 92． 已知a 4b ,0b a =>+， ()n b a +的展开式按a 的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整数n 等于（ ）A ．4B ．9C ．10D ．113．已知（n a a )132+的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2,则n 是 （ ）A ．10B ．11C ．12D ．13 4．5310被8除的余数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．7 5． (1。

05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（ ) A ．1.23 B ．1。

24C ．1。

33D ．1.346．二项式n4x 1x 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+ （n ∈N)的展开式中,前三项的系数依次成等差数列,则此展开式有理项的项数是（ ) A ．1B ．2C ．3D ．47．设(3x 31+x 21）n 展开式的各项系数之和为t ，其二项式系数之和为h ，若t+h=272，则展开式的x 2项的系数是( )A ．21B ．1C ．2D ．38．在62)1(x x -+的展开式中5x 的系数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79．nx x)(5131+展开式中所有奇数项系数之和等于1024,则所有项的系数中最大的值是（ ） A ．330 B ．462 C ．680 D ．790 10．54)1()1(-+x x 的展开式中，4x 的系数为（ ）A ．－40B ．10C ．40D ．4511．二项式（1+sinx)n的展开式中,末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为25，则x 在［0，2π]内的值为（ )A ．6π或3πB ．6π或65πC ．3π或32πD ．3π或65π12．在（1+x )5+(1+x ）6+（1+x ）7的展开式中，含x 4项的系数是等差数列 a n =3n －5的 ( ）A ．第2项B ．第11项C ．第20项D ．第24项二、填空题：本大题满分16分,每小题4分,各题只要求直接写出结果.13．92)21(xx -展开式中9x 的系数是 。

选修2-3 1.3.1 二项式定理一、选择题1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是()A．2n B．2n＋1C．2n－1 D．2(n＋1)[答案] B2．(x－y)n的二项展开式中，第r项的系数是() A．C r n B．C r＋1nC．C r－1n D．(－1)r－1C r－1n[答案] D3．在(x－3)10的展开式中，x6的系数是()A．－27C610B．27C410C．－9C610D．9C410[答案] D[解析]∵T r＋1＝C r10x10－r(－3)r.令10－r＝6，解得r＝4.∴系数为(－3)4C410＝9C410.4．(2018·全国Ⅰ理，5)(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中x的系数是()A．－4 B．－2C．2 D．4[答案] C[解析](1＋2x)3(1－3x)5＝(1＋6x＋12x＋8x x)(1－3x)5，故(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中含x的项为1×C35(－3x)3＋12x C 05＝－10x ＋12x ＝2x ，所以x 的系数为2.5．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋1x 2n(n ∈N *)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( )A ．3B ．5C ．8D ．10[答案] B [解析]T r ＋1＝C r n (2x 3)n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2r ＝2n －r ·C r nx 3n －5r. 令3n －5r ＝0，∵0≤r ≤n ，r 、n ∈Z . ∴n 的最小值为5.6．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中x 5的系数是( ) A ．－297 B ．－252 C ．297D ．207[答案] D[解析] x 5应是(1＋x )10中含x 5项与含x 2项．∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207.7．(2018·北京)在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 的展开式中，常数项为15，则n 的一个值可以是( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] D [解析] 通项T r ＋1＝C r 10(x 2)n －r (－1x)r ＝(－1)r C r nx 2n －3r，常数项是15，则2n ＝3r ，且C r n ＝15，验证n ＝6时，r ＝4合题意，故选D.8．(2018·陕西理，4)(x ＋a x )5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于( )A ．－1 B.12 C ．1D ．2[答案] D[解析] C r 5·x r (a x )5－r＝C r 5·a 5－r x 2r －5，令2r －5＝3，∴r ＝4， 由C 45·a ＝10，得a ＝2. 9．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是( )A.112＜x ＜15 B.16＜x ＜15 C.112＜x ＜23 D.16＜x ＜25[答案] A[解析] 由⎩⎨⎧T 2>T 1T 2>T 3得⎩⎨⎧C 162x >1C 162x >C 26(2x )2∴112＜x ＜15. 10．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有( ) A ．4项 B ．5项 C ．6项 D ．7项[答案] A [解析]T r ＋1＝C r 20(32x )20－r ⎝⎛⎭⎪⎫－12r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22r ·(32)20－r C r 20·x 20－r，∵系数为有理数， ∴(2)r 与220－r 3均为有理数，∴r 能被2整除，且20－r 能被3整除，故r 为偶数，20－r 是3的倍数，0≤r ≤20. ∴r ＝2,8,14,20. 二、填空题11．(1＋x ＋x 2)·(1－x )10的展开式中，x 5的系数为____________． [答案] －16212．(1＋x )2(1－x )5的展开式中x 3的系数为________． [答案] 5[解析] 解法一：先变形(1＋x )2(1－x )5＝(1－x )3·(1－x 2)2＝(1－x )3(1＋x 4－2x 2)，展开式中x 3的系数为－1＋(－2)·C 13(－1)＝5；解法二：C 35(－1)3＋C 12·C 25(－1)2＋C 22C 15(－1)＝5. 13．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的二项展开式中x 3的系数为52，则a ＝________(用数字作答)．[答案] 2 [解析]C 36(x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax 3＝20a 3x 3＝52x 3，∴a ＝2.14．(2018·辽宁理，13)(1＋x ＋x 2)(x －1x )6的展开式中的常数项为________．[答案] －5[解析] (1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6＋x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6， ∴要找出⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 6中的常数项，1x 项的系数，1x 2项的系数，T r ＋1＝C r6x 6－r (－1)r x －r ＝C r6(－1)r x 6－2r ，令6－2r ＝0，∴r ＝3，令6－2r ＝－1，无解． 令6－2r ＝－2，∴r ＝4.∴常数项为－C 36＋C 46＝－5.三、解答题15．求二项式(a ＋2b )4的展开式． [解析] 根据二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n n 得(a ＋2b )4＝C 04a 4＋C 14a 3(2b )＋C 24a 2(2b )2＋C 34a (2b )3＋C 44(2b )4＝a 4＋8a 3b ＋24a 2b 2＋32ab 3＋16b 4.16．m 、n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数．[解析] 由题设m ＋n ＝19，∵m ，n ∈N *.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ＝18，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝17，…，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18n ＝1. x 2的系数C 2m ＋C 2n ＝12(m 2－m )＋12(n 2－n )＝m 2－19m ＋171.∴当m ＝9或10时，x 2的系数取最小值81，此时x 7的系数为C 79＋C 710＝156.17．已知在(3x －123x )n 的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． [解析](1)T r ＋1＝C r n ·(3x )n －r·(－123x)r＝C rn ·(x 13)n －r ·(－12·x －13)r＝(－12)r ·C r n ·x n －2r 3. ∵第6项为常数项，∴r ＝5时有n －2r3＝0，∴n ＝10. (2)令n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝2， ∴所求的系数为C 210(－12)2＝454.(3)根据通项公式，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧10－2r 3∈Z0≤r ≤10r ∈Z令10－2r3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ， 即r ＝10－3k 2＝5－32k .∵r ∈Z ，∴k 应为偶数，∴k 可取2,0，－2， ∴r ＝2,5,8，∴第3项、第6项与第9项为有理项． 它们分别为C 210·(－12)2·x 2，C 510(－12)5，C 810·(－12)8·x －2.18．若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最大的项．[解析] 通项为：T r ＋1＝C rn ·(x )n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x r .由已知条件知：C 0n ＋C 2n ·122＝2C 1n ·12，解得：n ＝8.记第r 项的系数为t r ，设第k 项系数最大，则有： t k ≥t k ＋1且t k ≥t k －1.又t r ＝C r －18·2－r ＋1，于是有： ⎩⎪⎨⎪⎧C k －18·2－k ＋1≥C k 8·2－k C k －18·2－k ＋1≥C k －28·2－k ＋2 即⎩⎪⎨⎪⎧8！(k －1)！·(9－k )！×2≥8！k ！(8－k )！，8！(k －1)！·(9－k )！≥8！(k －2)！·(10－k )！×2.∴⎩⎨⎧29－k≥1k ，1k －1≥210－k .解得3≤k ≤4.∴系数最大项为第3项T 3＝7·x 35和第4项T 4＝7·x 74.。

⼆项式定理训练题（含答案）⼆项式定理训练题⼀、单选题（共4题；共8分）1.若⼆项式的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x项的系数为（）A. 1B. 5C. 10D. 202.已知⼆项式的展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5，则的系数为（）A. 14B.C. 240D.3.若，则的值为（）A. B. C. D.4.在（x2﹣x﹣2）5的展开式中，x3的系数为（）A. ﹣40B. 160C. 120D. 200⼆、填空题（共13题；共15分）5.⼆项式的展开式中常数项为________.6.展开式中常数项为________.7.的展开式中，x3的系数为________．8.已知的展开式中各项系数和为2，则其展开式中常数项是________.9.的⼆项展开式中，含项的系数为________．10.若，则的展开式的第4项的系数为________.（⽤数字作答）11.⼆项式的展开式的各项系数之和为________，的系数为________．12.已知的展开式中的系数为108，则实数________.13.的展开式中，的系数是20，则________.14.展开式中的系数是15，则展开式的常数项为________，展开式中有理项的⼆项式系数和为________.15.在的展开式中，的系数是________.16.的展开式中的系数为________.17.在的展开式中，的系数为15，则实数________．三、解答题（共3题；共25分）18.已知展开式中各项系数和⽐它的⼆项式系数和⼤992，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求其展开式中的有理项．19.设.（1）求；（2）求及关于的表达式.20.已知⼆项式的⼆项展开式中所有奇数项的⼆项式系数之和为128.（1）求的展开式中的常数项；（2）在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x) 的展开式中，求项的系数.(结果⽤数字作答)答案解析部分⼀、单选题1.【答案】C【解析】【解答】由令得，解得，⼆项式展开式的通项公式为，令，解得，故展开式中含x项的系数为.故答案为：C.【分析】令，结合展开式中各项的系数和为234列⽅程，求得n的值，再利⽤⼆项式展开式的通项公式，即可求得含x项的系数.2.【答案】C【解析】【解答】⼆项展开式的第项的通项公式为由展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5，可得：.解得：.所以令，解得：，所以的系数为故答案为：C【分析】由⼆项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5可得：，令展开式通项中x的指数为3，即可求得，问题得解．3.【答案】C【解析】【解答】展开式的通项为：，故，，根据对称性知：.故答案为：C.【分析】计算，根据⼆项式系数的对称性即可得到答案.4.【答案】C【解析】【解答】∵（x2﹣x﹣2）5＝（x+1）5（x﹣2）5，∴x3的系数为.故答案为：C.【分析】先把（x2﹣x﹣2）5变形为（x+1）5（x﹣2）5，再利⽤⼆项式定理中的通项公式求出结果.⼆、填空题5.【答案】60【解析】【解答】⼆项式的展开式的通项公式为,令，解得，所以该⼆项式展开式中常数项为，故答案为：60。

二项式定理一、求展开式中特定项1、在30的展开式中，x 的幂指数是整数的共有（ ）A ．4项 B ．5项 C ．6项 D ．7项【答案】C【解析】()r r rrr r x C x x C T 6515303303011--+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=，30......2,1,0=r ，若要是幂指数是整数，所以=r 0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ． 3、若2531()x x +展开式中的常数项为 ．（用数字作答）【答案】10【解】由题意得，令1x =，可得展示式中各项的系数的和为32，所以232n =，解得5n =，所以2531()x x +展开式的通项为10515r r r T C x -+=，当2r =时，常数项为2510C =，4、二项式82x的展开式中的常数项为 ．【答案】112【解析】由二项式通项可得，3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T （r=0,1,,8）,显然当2=r 时，1123=T ，故二项式展开式中的常数项为112.5、41(23)x x--的展开式中常数项等于________．【答案】14．【解析】因为41(2)(13)x x--中4(13)x -的展开式通项为4C (3)r r x -，当第一项取2时，04C 1=，此时的展开式中常数为2；当第一项取1x-时，14C (3)12x -=-，此时的展开式中常数为12；所以原式的展开式中常数项等于14，故应填14．6、设20sin 12cos 2x a x dx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰，则()622x ⎛-⋅+ ⎝的展开式中常数项是 ．【答案】332=-332()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ⎛⎫=-+=+=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰，6(=6的展开式的通项为663166((1)2r r rr r r r r T C C x ---+==-⋅⋅，所以所求常数项为3633565566(1)22(1)2T C C --=-⋅⋅+-⋅332=-．二、求特定项系数或系数和7、8()x -的展开式中62x y 项的系数是（ ）A ．56B ．56-C ．28D ．28-【答案】A【解析】由通式r r r y x C )2(88--，令2=r ，则展开式中62x y 项的系数是56)2(228=-C ．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是 ．【答案】15【解】()61x +的通项16r rr T C x +=，令2r =可得2615C =．则()61x x +中3x 的系数为15.9、在6(1)(2)x x -⋅-的展开式中含3x 的项的系数是 ．【解析】6(1)(2)x x -⋅-的展开式中3x 项由336)(2x C -和226)(x -x C -⋅）（两部分组成，所以3x 的项的系数为552-2636-=-C C ．10、已知dx x n 16e 1⎰=，那么nxx （3-展开式中含2x 项的系数为 ．【答案】135【解析】根据题意，66e111ln |6e n dx x x=⎰==，则n x x ）（3-中，由二项式定理的通项公式1r n r rr n T C a b -+=，可设含2x 项的项是616(3)r r r r T C x -+=-，可知2r =，所以系数为269135C ⨯=．11、已知()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L ，则8a 等于（ ）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为1010(1)(21)x x +=-+-，所以8a 等于8210(2)454180.C -=⨯=选Ｄ．12、在二项式1)2nx -的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则=n ________；展开式中的第4项＝_______．【答案】8，1937x -．【解析】由二项式定理展开通项公式21()(2)33111()()22n r n r r r r r rr nn T C x x C x -++=-⋅=-，由题意得，当且仅当4n =时，rn C 取最大值，∴8n =，第4项为1193)333381()72C x x +-=-．13、如果7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，那么017a a a +++ 的值等于（ ）（A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2【解析】令1x =，代入二项式7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，得70127(12)1a a a a -=++++=- ，令0x =，代入二项式7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，得70(10)1a -==，所以12711a a a ++++=- ，即1272a a a +++=- ，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1，15、（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于 【答案】0解：在（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0，所以展开式中所有项的系数和等于0.16、在*3)()n n N ∈的展开式中，所有项的系数和为32-，则1x 的系数等于．【答案】270-【解析】当1=x 时，()322--=n，解得5=n ，那么含x1的项就是()x x C 1270313225-=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯，所以系数是-270.17、设0(sin cos )k x x dx π=-⎰，若8822108)1(x a x a x a a kx ++++=- ，则1238a a a a +++⋅⋅⋅+= ．【答案】0.【解析】由0(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--⎰(cos sin )(cos 0sin 0)2ππ=-----=，令1x =得：80128(121)a a a a -⨯=++++ ，即01281a a a a ++++= 再令0x =得：80128(120)000a a a a -⨯=+⨯+⨯++⨯ ，即01a =所以12380a a a a +++⋅⋅⋅+=18、设（5x﹣）n 的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M﹣N=240，则展开式中x 的系数为 .【答案】150解：由于（5x﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x 无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由二项式系数和为N=2n ，且M﹣N=240，可得 4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0.解得 2n =16，或 2n =﹣15（舍去），∴n=4.（5x﹣）n 的展开式的通项公式为 T r+1=？（5x ）4﹣r ？（﹣1）r ？=（﹣1）r？54﹣r ？．令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x 的系数为 （﹣1）r？54﹣r =1×6×25=150，19、设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ，则178a a a +++= ．【答案】255【解析】178a a a +++= 87654321a a a a a a a a +-+-+-+-，所以令1-=x ，得到=82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-，所以2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a 三、求参数问题20、若n的展开式中第四项为常数项，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为2533333342)21()(---==n nn nxC xx C T ，第四项为常数，则必有025=-n ，即5=n ，所以正确选项为B.21、二项式)()1(*N n x n ∈+的展开式中2x 的系数为15，则=n （ ）A 、5 B 、 6 C 、8 D 、10【答案】B【解析】二项式)()1(*N n x n ∈+的展开式中的通项为k n kn k x C T -+⋅=1，令2=-k n ，得2-=n k ，所以2x 的系数为152)1(22=-==-n n C C n n n ，解得6=n ；故选B ．22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵4r+14T =C r r r a x -，∴当43r -=，即1r =时，133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=．23、若()()411x ax ++的展开式中2x 的系数为10，则实数a =（ ）A1 B ．53-或1 C ．2或53- D． 【答案】B．【解析】由题意得4(1)ax +的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式14r r rr T C a x +=，∴22144101C a C a a +=⇒=或53-，故选B ．24、设23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++⋅⋅⋅++2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，当012254n a a a a +++⋅⋅⋅+=时，n 等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C． 【解析】令1x =，则可得2312(21)22222225418721n nn n n +-+++⋅⋅⋅+==-=⇒+=⇒=-，故选C ．四、其他相关问题25、20152015除以8的余数为( )【答案】7【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数．试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+？20162013﹣20162012+…+？2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，。

一．选择题（共19小题）1．（ax+y）5的展开式中x2y3项的系数等于80，则实数a＝（）A．2B．±2C．D．±2．的展开式中x3的系数为（）A．5B．﹣5C．15D．﹣153．已知二项式（x+）n的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中含x3项的系数是（）A．1B．C．D．34．（x﹣1）5展开式中x4项系数为（）A．5B．﹣5C．10D．﹣105．的展开式中常数项为（）A．﹣240B．﹣160C．240D．1606．（1+x）5展开式中x2的系数为（）A．﹣10B．﹣20C．20D．107．的展开式中含x5项的系数是（）A．﹣112B．112C．﹣28D．288．的展开式中x3的系数为（）A．﹣160B．﹣64C．64D．1609．二项式的展开式中的常数项是（）A．﹣15B．15C．20D．﹣2010．若的展开式中常数项为240，则正整数n的值为（）A．6B．7C．8D．911．（x﹣1）10的展开式的第6项的系数是（）A．B．C．D．12．展开式中的常数项是（）A．﹣160B．﹣140C．160D．14013．（x﹣2y﹣1）5的展开式中含x2y2的项的系数为（）A．﹣120B．60C．﹣60D．3014．若的展开式中第4项是常数项，则n的值为（）A．14B．16C．18D．2015．设n为正整数，（2x2+）n的展开式中存在常数项，则n的最小值为（）A．2B．3C．4D．516．在（2x+1）4的展开式中，x2的系数为（）A．6B．12C．24D．3617．在的展开式中，的系数为（）A．﹣30B．﹣20C．﹣10D．3018．的展开式中，x2的系数等于（）A．﹣45B．﹣10C．10D．4519．（x+2y）（x﹣y）5的展开式中x2y4的系数为（）A．﹣15B．5C．﹣20D．25二．填空题（共10小题）20．已知（a+x）（1+x）6的展开式中x2的系数为21，则a＝．21．展开式中所有奇数项的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为.（用数字作答）22．（x﹣2y+1）5展开式中含x2y项的系数为．23．的展开式中项的系数为．24．的展开式中，常数项为（用数字作答）．25．（x﹣1）（x+2）8的展开式中x8的系数为（用数字作答）．26．在的展开式中，xy7的系数为．27．（x2﹣y）（）6的展开式中，其中不含x的项为．28．在的展开式中，常数项等于．（用数字作答）29．（x2+y+3）6中x4y的系数为（用数字作答）．。

二项式定理测试题及答案二项式定理测试题一、选择题1.(x-1)的10次方的展开式的第6项的系数是（）．A。

C10B。

-C10C。

C10D。

-C102.(2x+x)的展开式中x的3次方的系数是（）．A。

6B。

12C。

24D。

483.(1-x的3次方)(1+x)的10次方的展开式中x的5次方的系数是（）．A。

-297B。

-252C。

297D。

2074.(Ax+B)的展开式中，各项都含有x的奇次幂，则n（）．A。

必为偶数B。

必为奇数C。

奇偶数均可D。

不存在这样的正整数5.二项式的展开式中二项式系数最大的项为（）．A。

第6项B。

第5、6项C。

第7项D。

第6、7项6.设(2+x) = a + a1/x + a2/x的10次方 + a10/x的10次方，则(a+a2+a4+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2的值是（）A。

1B。

-1C。

0D。

(2-1)7.把(x-1)的9次方按x降幂排列，系数最大的项是（）A。

第四项和第五项B。

第五项C。

第五项和第六项D。

第六项8.若(3x-4)的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（）A。

-540B。

-162C。

162D。

540二、填空题9.9192被100除所得的余数为92.+3Cn+5Cn+n+(2n+1)Cn=2n+3Cn。

11.在(x2+x-1)的7次方(2x+1)的4次方的展开式中，奇数项的系数的和为0.12.(x+4)的展开式中系数最大的项为C4.三、解答题13.(3x+4)的展开式为：81x的4次方+108x的3次方+54x 的2次方+12x+1.14.已知二项式(3x-1/3)：1) 展开式第四项的二项式系数为35.2) 展开式第四项的系数为-80/27.15.在(5x-2y)的20次方的展开式中，系数最大的项是C10*(5x)的10次方*(-2y)的10次方，系数最小的项是C20*(-2y)的20次方。

2.由题意可得，4-r+r=3，解得r=2.因此，223x的系数为C4-2=6，乘以2得到答案为12.3.展开(1-x)(1+x)，得到1-x^2.展开式中含x项的系数为-1，因此，1-x^2中含x项的系数为0.而1-x^2=(1+x)-(x^2)，因此，含x项的系数为1，含x^2项的系数为-1.因此，x项系数为-C10=-207.4.展开式中的一般项为Tr+1=C(Ax)^r+1，其中A=5，x=-1.要使展开式中含有x^10，必须使n为奇数。

二项式定理精选题23道一．选择题（共6小题） 1．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为()A ．10B ．20C ．30D ．602．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为()A ．15B ．20C ．30D ．353．已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A ．122B ．112C ．102D ．924．5()(2)xy x y +-的展开式中的33x y 系数为()A ．80-B ．40-C ．40D ．805．252()x x +的展开式中4x 的系数为()A ．10B ．20C ．40D ．806．24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为()A ．12B ．16C ．20D ．24二．多选题（共1小题） 7．已知2((0)na x a+>的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是( )A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256B ．展开式中第6项的系数最大C ．展开式中存在常数项D ．展开式中含15x 项的系数为45 三．填空题（共12小题） 8．4()(1)ax x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=．9．5(2x+的展开式中，3x 的系数是 ．（用数字填写答案）10．已知多项式32543212345(1)(2)xx x a x a x a x a x a ++=+++++，则4a =，5a =．11．在5(x -的展开式中，2x 的系数为 ．12．831(2)8xx-的展开式中的常数项为 ．13．在二项式9)x +展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是 ．14．281()x x -的展开式中7x 的系数为 .（用数字作答）15．已知二项式5(2x +，则展开式中3x 的系数为 ．16．若1()nx x+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为 ． 17．二项展开式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x+=+++++，则4a =，123a a a ++=．18．在61()4x x-的展开式中，2x 的系数为 ．19．2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 ．四．解答题（共4小题）20．已知在n的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 项的系数； （3）求展开式中所有的有理项．21．在二项式1(2)2nx +的展开式中．（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数的和等于79，求展开式中系数最大的项．22．已知7270127(12)x a a x a x a x-=+++⋯+，求：（1）1237a a a a +++⋯+；（2）1357a a a a +++； （3）0246a a a a +++；（4）0127||||||||a a a a +++⋯+．23．设二项展开式21*1)()n nC n N -=∈的整数部分为n A ，小数部分为n B ．（1）计算11C B ，22C B 的值； （2）求n n C B ．二项式定理精选题23道参考答案与试题解析一．选择题（共6小题） 1．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为()A ．10B ．20C ．30D ．60【分析】利用展开式的通项，即可得出结论． 【解答】解：25()x x y ++的展开式的通项为2515()r rrr T C x x y-+=+，令2r =，则23()x x +的通项为23633()k k kkkC x x C x--=，令65k -=，则1k=，25()x x y ∴++的展开式中，52x y 的系数为215330C C =．故选：C ．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键． 2．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为()A ．15B ．20C ．30D ．35【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可． 【解答】解：621(1)(1)x x ++展开式中：若221(1)(1)xx-+=+提供常数项1，则6(1)x +提供含有2x 的项，可得展开式中2x 的系数：若21(1)x+提供2x -项，则6(1)x +提供含有4x 的项，可得展开式中2x 的系数：由6(1)x +通项公式可得6r r C x ．可知2r =时，可得展开式中2x 的系数为2615C =． 可知4r=时，可得展开式中2x 的系数为4615C =． 621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为：151530+=．故选：C ．【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．3．已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A ．122B ．112C ．102D ．92【分析】直接利用二项式定理求出n ，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可． 【解答】解：已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得37n nC C =，可得3710n=+=．10(1)x +的展开式中奇数项的二项式系数和为：1091222⨯=．故选：D ．【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力． 4．5()(2)xy x y +-的展开式中的33x y 系数为()A ．80-B ．40-C ．40D ．80【分析】5(2)xy -的展开式的通项公式：555155(2)()2(1)rrr rr r rrr T C x y C xy---+=-=-．令52r -=，3r=，解得3r=．令53r -=，2r=，解得2r=．即可得出．【解答】解：5(2)x y -的展开式的通项公式：555155(2)()2(1)rrrrr r rrr T C x y C xy---+=-=-．令52r -=，3r =，解得3r =． 令53r -=，2r=，解得2r=．5()(2)x y x y ∴+-的展开式中的33x y 系数23332552(1)2140C C =⨯-+⨯⨯=．故选：C ．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5．252()x x +的展开式中4x 的系数为()A ．10B ．20C ．40D ．80【分析】由二项式定理得252()x x +的展开式的通项为：251031552()()2rrr r r rr T C x C xx--+==，由1034r -=，解得2r=，由此能求出252()x x +的展开式中4x 的系数．【解答】解：由二项式定理得252()x x +的展开式的通项为：251031552()()2r rr r r rr T C x C xx--+==，由1034r -=，解得2r =，252()xx∴+的展开式中4x 的系数为225240C =．故选：C ．【点评】本题考查二项展开式中4x 的系数的求法，考查二项式定理、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 6．24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为()A ．12B ．16C ．20D ．24【分析】利用二项式定理、排列组合的性质直接求解． 【解答】解：24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为：3311133414311121112C C C C ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=．故选：A ．【点评】本题考查展开式中3x 的系数的求法，考查二项式定理、排列组合的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 二．多选题（共1小题） 7．已知2((0)na x a+>的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是( )A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256B ．展开式中第6项的系数最大C ．展开式中存在常数项D ．展开式中含15x 项的系数为45 【分析】由题意得，46n nC C =，再由组合数的性质，求出10n=，再令1x=结合展开式的各项系数之和为1024求出a ，利用二项式的展开式的性质即可判断四个选项． 【解答】解：因为2((0)na x a+>的展开式中第5项与第七项的二项式系数相等，∴4610n n C C n =⇒=，展开式的各项系数之和为1024，10(1)1024a ∴+=，0a >， 1a ∴=，原二项式为：210(x+；其展开式的通项公式为：520210211010()rr rr rr T C x C x--+=⋅⋅=，展开式中奇数项的二项式系数和为：110245122⨯=；故A 错，因为本题中二项式系数和项的系数一样，且展开式有11项，故展开式中第6项的系数最大，B对，令520082r r -=⇒=，即展开式中存在常数项，C 对， 令5201522r r -=⇒=，21045C =，D 对．故选：B C D ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题目也是易错题目． 三．填空题（共12小题） 8．4()(1)ax x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=3 ．【分析】给展开式中的x 分别赋值1，1-，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案． 【解答】解：设4250125()()(1)f x a x x a a x a x a x=++=+++⋯+，令1x =，则0125a a a a f+++⋯+=（1）16(1)a=+，①令1x=-，则0125(1)0a a a a f -+-⋯-=-=．②①-②得，1352()16(1)a a a a ++=+，所以23216(1)a ⨯=+，所以3a=．故答案为：3．【点评】本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减．9．5(2x+的展开式中，3x 的系数是 10 ．（用数字填写答案）【分析】利用二项展开式的通项公式求出第1r +项，令x 的指数为3，求出r ，即可求出展开式中3x 的系数．【解答】解：5(2x +的展开式中，通项公式为：5552155(2)2r r rr rrr T x C x---+==ð，令532r -=，解得4r=3x∴的系数45210C =．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．已知多项式32543212345(1)(2)xx x a x a x a x a x a ++=+++++，则4a =16 ，5a =．【分析】利用二项式定理的展开式，求解x 的系数就是两个多项式的展开式中x 与常数乘积之和，5a 就是常数的乘积． 【解答】解：多项式32543212345(1)(2)xx x a x a x a x a x a ++=+++++，3(1)x +中，x 的系数是：3，常数是1；2(2)x+中x 的系数是4，常数是4，4341416a =⨯+⨯=；5144a =⨯=．故答案为：16；4．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题． 11．在5(x-的展开式中，2x 的系数为52．【分析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为2求得r 值，则答案可求． 【解答】解：5(x-的二项展开式的通项为103521551(()2rr rrr rr T C xC x--+=⋅⋅-=-⋅⋅．由10322r-=，得2r=．2x∴的系数为22515()22C -⋅=．故答案为：52．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．12．831(2)8xx-的展开式中的常数项为 28 ．【分析】本题可根据二项式的展开式的通项进行计算，然后令x 的指数为0即可得到r 的值，代入r 的值即可算出常数项． 【解答】解：由题意，可知： 此二项式的展开式的通项为：888188833111(2)()2()()(1)288rrr r rrrr r r r T C x C xC xx---+=-=-=-8484rrx--．∴当840r -=，即2r=时，1r T +为常数项．此时22218(1)2T C +=-84228-⨯=．故答案为：28．【点评】本题主要考查二项式的展开式的通项，通过通项中未知数的指数为0可算出常数项．本题属基础题．13．在二项式9)x +展开式中，常数项是1系数为有理数的项的个数是 ．【分析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为0求得常数项；再由2的指数为整数求得系数为有理数的项的个数．【解答】解：二项式9)x 的展开式的通项为9921992rrrrr rr T C xC x--+==．由0r =，得常数项是11T =当1r=，3，5，7，9时，系数为有理数，∴系数为有理数的项的个数是5个．故答案为：15．【点评】本题考查二项式定理及其应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题． 14．281()x x -的展开式中7x 的系数为56- .（用数字作答）【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：281631881()()(1)r rrr r rr T x xx--+=-=-痧，令1637r -=，解得3r =．281()xx∴-的展开式中7x 的系数为338(1)56-=-ð．故答案为：56-．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．已知二项式5(2x +，则展开式中3x 的系数为 10 ．【分析】由41435(2)10C x x=，可得到答案．【解答】解：41435(2)10C x x=，所以展开式中3x 的系数为10．故答案为：10．【点评】本题考查利用二项式定理求特定项的系数，属于基础题． 16．若1()nx x+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为56 ．【分析】根据第2项与第7项的系数相等建立等式，求出n 的值，根据通项可求满足条件的系数【解答】解：由题意可得，26n nC C =8n ∴=展开式的通项8821881()rrr r rr T C x C xx--+==令822r -=-可得5r=此时系数为5856C =故答案为：56【点评】本题主要考查了二项式系数的性质，以及系数的求解，解题的关键是根据二项式定理写出通项公式，同时考查了计算能力． 17．二项展开式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x+=+++++，则4a =80 ，123a a a ++=．【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求解即可． 【解答】解：52345012345(12)x a a x a xa x a xa x+=+++++，则4445280a C =⋅=．1223123555222a a a C C C ++=⨯+⨯+3130=．故答案为：80；130．【点评】本题考查二项式定理的应用，只有二项式定理系数以及项的系数的区别，是基本知识的考查．18．在61()4xx-的展开式中，2x 的系数为1516．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于2，求出r 的值，即可求得2x 的系数． 【解答】解：61()4x x-的展开式的通项公式为66216611()()()44r rrrr rr T C x C xx--+=-=-，令622r -=，解得2r=，∴展开式中2x 的系数为261151616C ⨯=，故答案为：1516．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 19．2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 3 ．【分析】把所给的二项式展开，观察分析可得展开式中的常数项的值． 【解答】解：而项式2521235555521864111111(2)(1)(2)(xxC CC C Cxxxxxx+-=+⋅⋅-⋅+， 故它的展开式的常数项为4523C -=，故答案为 3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．四．解答题（共4小题）20．已知在1n的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 项的系数； （3）求展开式中所有的有理项．【分析】（1）由二项式定理，可得n-的展开式的通项，又由题意，可得当5r=时，x的指数为0，即203n r -=，解可得n 的值，（2）由（1）可得，其通项为10231101()2rr rr T C x-+=-，令x 的指数为2，可得10223r-=，解可得r 的值，将其代入通项即可得答案；（3）由（1）可得，其通项为10231101()2rr rr T C x-+=-，令x 的指数为整数，可得当2r=，5，8时，是有理项，代入通项可得答案．【解答】解：（1）根据题意，可得n-的展开式的通项为112333111()()()22n rrn rrr rr n n T C x x C x---+=-=-，又由第6项为常数项，则当5r =时，203n r -=，即1003n -=，解可得10n=，（2）由（1）可得，10231101()2rr rr T C x-+=-，令10223r-=，可得2r=，所以含2x 项的系数为2210145()24C -=，（3）由（1）可得，10231101()2rrrr T C x-+=-，若1r T +为有理项，则有1023rZ-∈，且010r 剟，分析可得当2r=，5，8时，1023r-为整数，则展开式中的有理项分别为22456345,,48256x x--．【点评】本题考查二项式定理的应用，解题时要区分有理项与常数项，关键是根据二项式定理，写出其展开式的通项． 21．在二项式1(2)2nx +的展开式中．（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数的和等于79，求展开式中系数最大的项． 【分析】（1）第1k+项的二项式系数为k n C ，由题意可得关于n 的方程，求出n ．而二项式系数最大的项为中间项，n 为奇数时，中间两项二项式系数相等；n 为偶数时，中间只有一项．（2）由展开式前三项的二项式系数和等于79，可得关于n 的方程，求出n ．而求展开式中系数最大的项时，可通过解不等式组求得，假设1k T +项的系数最大，1k T +项的系数为k r ，则有11k k k k r r r r +-⎧⎨⎩……【解答】解：（1）4652n n nC C C +=，221980n n ∴-+=，7n ∴=或14n=．当7n=时，展开式中二项式系数最大的项是4T 和5T ，4T ∴的系数3471()22C =3352=，5T 的系数4371()22C =470=．当14n=时，展开式中二项式系数最大的项是8T ．8T ∴的系数77141()22C =73432=．（2）由01279n n n C C C ++=，可得12n=，设1k T +项的系数最大．12121211(2)()(14)22x x +=+，∴1112121112124444k k k k k kk k C C C C --++⎧⎪⎨⎪⎩……9.410.4k ∴剟，10k ∴=，∴展开式中系数最大的项为11T ．121011121()42T C =10101016896xx=．【点评】本题考查二项展开式中二项式系数和与系数和问题，难度较大，易出错．要正确区分这两个概念． 22．已知7270127(12)x a a x a x a x-=+++⋯+，求：（1）1237a a a a +++⋯+；（2）1357a a a a +++； （3）0246a a a a +++；（4）0127||||||||a a a a +++⋯+．【分析】（1）根据所给的等式可得常数项01a =，在所给的等式中，令1x =可得012371a a a a a ++++⋯+=-，从而求得1237a a a a +++⋯+的值．（2）在所给的等式中，分别令1x=、1x=-，可得2个等式，化简这2个等式即可求得1357a a a a +++的值．（3）用①加上②再除以2可得0246a a a a +++的值．（4）在7(12)x +中，令1x=，可得0127||||||||a a a a +++⋯+的值．【解答】解：（1）已知7270127(12)x a a x a x a x-=+++⋯+，∴常数项01a =．在所给的等式中，令1x=可得012371a a a a a ++++⋯+=-，12372a a a a ∴+++⋯+=-．（2）在所给的等式中，令1x =可得012371a a a a a ++++⋯+=-①，令1x=-可得712373a a a a a -+-+⋯-=②，用①减去②再除以2可得13571094a a a a +++=-．（3）用①加上②再除以2可得02461093a a a a +++=．（4）在7(12)x +中，令1x=，可得7127||||||||32187a a a a +++⋯+==．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于中档题．23．设二项展开式21*1)()n nC n N -=∈的整数部分为n A ，小数部分为n B ．（1）计算11C B ，22C B 的值； （2）求n n C B ．【分析】（1）将n 分别用1，2 代替求出1C ，2C ，利用多项式的乘法展开，求出1C ，2C 的小数部分1B ，2B ，求出11C B ，22C B 的值．（2）利用二项式定理表示出n C ，再利用二项式定理表示出211)n -，两个式子相减得到展开式的整数部分和小数部分，求出n n C B 的值．【解答】解：（1）因为211)n n C -=，所以11C =+，12A =，11B =，所以112C B =；又321)10C =+=+，其整数部分220A =，小数部分210B =-，所以228C B =．（2）因为210211222221212121211)n n n n n n n n n n C C C C C ---------=+=++⋯+①而2121122221212121211)n n n n n n n n n C C C C ---------=-+⋯+-②①-②得：2121122324212121211)1)2()n n n n n n n n C C C ---------=++⋯+而211)1n -<-<，所以21211)1)n n n A --=--，211)n nB -=所以2121211)1)2n n n n nC B ---=+-=．【点评】解决二项式的有关问题一般利用二项式定理；解决二项展开式的通项问题常利用的工具是二项展开式的通项公式．。