人教B版(2019)数学必修(第一册)：1.1.1 集合及其表示方法 学案

1.1.1 集合及其表示方法1、了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征;2、熟练力解元素与集合的"属于"和"不属于"关系;3、知道常用数集及其记法;4、掌握集合的几种表示方法；【教学重点】1、掌握集合、元素的基本概念2、学会用描述法表示集合3、正确用区间表示集合【教学难点】1、集合中元素的三个特征2、空集的理解3、记住几种常见的数集符号1．元素与集合的概念(1) 集合：把一些能够__________________ 对象汇聚在一起，就说由这些对象组成一个(2) 元素：组成集合的_______________ 都是这个集合的________ 。

(3) 集合通常用_____________________ 表示，集合的元素通常用______________________ 表示。

2．集合的元素具有以下特点： ____________ 、 ________ 、 _________ .3．元素与集合的关系(1) 如果a是集合A的元素，就说_________________ ，记作_________ .(2) 如果a不是集合A的元素，就说____________________ ，记作_________ .4．实数集、有理数集、整数集、正整数集、自然数集、分别用字母___________ 、 _______ 、_______ 、______ 、______ 来表示．5．集合的分类空集：不含任何元素，记作6.集合的表示方法 1 •列举法把集合中的元素 _____________________________ 出来，并写在 _____________ ，以此来表 示集合的方法称为列举法.2 •描述法一般地，如果属于集合 A 的任意一个元素 x 都具有性质p (x )，而不属于集合 A 的元素 都不具有这个性质，则性质 p (x )成为集合A 的一个 ______________________ •此时，集合 A 可以 用它的特征性质 p (x )表示为 ____________________ ，这种表示集合的方法，称为特征性质描述 法，简称为描述法。

1.1 集合1．1.1集合及其表示方法课程标准(1)通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．(2)针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．(3)在具体情境中，了解空集的含义．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一集合的概念在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类．把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)，组成集合的每个对象都是这个集合的元素．知识点二元素与集合的表示及关系1．元素与集合的符号表示表示{元素：通常用英文小写字母________表示．集合：通常用英文大写字母________表示．2．元素与集合的关系1．符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A ”这两种结果．2．∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．3．集合中元素的特征5．集合的分类：集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集．6．几种常见的数集及其记法：所有非负整数组成的集合，称为自然数集，记作N；在自然数集N中，去掉元素0之后的集合，称为正整数集，记作N*或N＋；所有整数组成的集合称为整数集，记作Z；所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；所有实数组成的集合称为实数集，记作R.知识点三集合的表示1．列举法：把集合中的元素________出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并用大括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做________．2．描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．状元随笔1．列举法表示集合时的5个关注点(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素是无序的．(5)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法表示集合时的3个关注点(1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等；(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；(3)不能出现未被说明的字母．知识点四区间及其表示1．区间的几何表示R____________，“∞”读作“无穷大”；“－∞”读作“负无穷大”；“＋∞”读作“正无穷大”．3．无穷大的几何表示状元随笔(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．基础自测1．下列能构成集合的是( )A．中央电视台著名节目主持人B．我市跑得快的汽车C．上海市所有的中学生D．香港的高楼2．集合{x∈N*|x－3＜2}的另一种表示法是( )A．{0，1，2，3，4}B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}3．若1∈{a，a＋1，a2}，则a的值是( )A．0B．1C．－1D．0或1或－14．用区间表示下列集合：≤x＜5}＝________；(1){x|−12(2){x|x＜1或2＜x≤3}＝________．课堂探究·素养提升——强化创新性题型1 集合的概念[经典例题]例1 下列对象能构成集合的是( )①援助武汉抗击新型冠状病毒肺炎疫情的优秀医护人员；构成集合的元素具有确定性．②所有的钝角三角形；③2019年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数；⑤我校所有聪明的学生．A．①②④B．②⑤C．③④⑤D．②③④方法归纳判断一组对象组成集合的依据判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．跟踪训练1 下列各项中，不可以组成集合的是( )A．所有的正数B．等于2的数C．接近于0的数D．不等于0的偶数题型2 元素与集合的关系[经典例题]例2 (1)下列关系中，正确的有( )①1∈R；②√2∉Q；③|－3|∈N；④|－√3|∈Q.2A．1个B．2个C．3个D．4个(2)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是( )A．0B．1C．2D．3a分类处理：①a＝0，a＝1，a＝2；②a＝3，a＝4.还讨论吗？方法归纳判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可．此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．跟踪训练2 (1)下列说法正确的是( )A.0∉NB．√2∈QC．π∉RD．√4∈ZN自然数集；Z整数集；Q有理数集；R实数集．∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．(2)集合A中的元素x满足63−x题型3 集合的表示——列举法[教材P7例题1]例3 用列举法表示下列集合：找准元素，列举法是把集合中所有元素一一列举出来．(1)方程x(x－1)＝0的所有解组成的集合A；(2)“Welcome”中的所有字母构成的集合．(3)2022年冬奥会的主办城市组成的集合.(4)函数y＝2x－1的图象与坐标轴交点组成的集合．方法归纳1．用列举法表示集合的三个步骤(1)求出集合的元素．(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)用“{ }”括起来． 2．在用列举法表示集合时的关注点(1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．(2)元素不重复，元素无顺序．如集合{1，2，3，4}与{2，1，4，3}表示同一集合． 跟踪训练3 用列举法表示下列集合： (1)方程组{2x −3y =14，3x +2y =8的解集；(2)由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (3)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根组成的集合．题型4 集合的表示——描述法[数学抽象、逻辑推理]例4 (1)用描述法表示平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B .状元随笔描述法注意元素的共同特征．(2)已知集合M＝{x|x＝3n，n∈Z}，N＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，P＝{x|x＝3n－1，n∈Z}，且a∈M，b∈N，c∈P，若d＝a－b＋c，则( )A．d∈M B．d∈NC．d∈P D．d∈M且d∈N(3)若集合A＝{x|mx2＋2x＋m＝0，m∈R}中有且只有一个元素，则m的取值集合是________．方法归纳1．描述法表示集合的两个步骤2．用描述法表示集合应注意的四点(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}可以写成{x|x<1}，而不能写成{x<1}．(2)所有描述的内容都要写在大括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进大括号内，即{x ∈Z|x＝2k，k∈Z}．(3)不能出现未被说明的字母．(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．3．解答集合表示方法综合题的策略(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．(2)若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键．教材反思列举法和描述法表示集合，关键是找准元素的特点，有限个元素一一列举，无限个元素的可以用描述法来表示集合，需要用一种适当方法表示．何谓“适当方法”，这就需要我们首先要准确把握列举法和描述法的优缺点，其次要弄清相应集合到底含有哪些元素．要弄清集合含有哪些元素，这就需要对集合进行等价转化．转化时应根据具体情景选择相应方法，如涉及方程组的解集，则应先解方程组．将集合的三种语言相互转化也有利于我们弄清楚集合中的元素．跟踪训练4 用适当的方法表示下列集合： (1)所有被5整除的数；(2)如图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合．(3)不等式组{3x −2≥1，2x −1<5的解集；(4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合．题型5 用区间表示集合[数学运算、直观想象] 例5 用区间表示下列集合：(1)3x －4<0的所有解组成的集合A ＝________； (2)2x ＋6≥0的所有解组成的集合B ＝________．方法归纳方程、不等式等知识与集合交汇问题的处理(1)准确理解集合中的元素，明确元素的特征性质．(2)解题时应注意方程、不等式等知识以及转化、分类与整合思想的综合应用． 跟踪训练5 用区间表示下列不等式，并在数轴上表示这些区间． (1)－2<x <5；(2)－3<x ≤4；(3)2≤x <5； (4)x ≤4；(5)x >－3；(6)x ≥－4.易错点 忽略集合中元素的互异性出错例 含有三个元素的集合{a ，ba ，1}，也可表示为集合{a 2，a ＋b ，0}，求a ，b 的值． 【错解】 ∵{a ，ba ，1}＝{a 2，a ＋b ，0}，∴{a +ba +1=a 2+(a +b )+0，a ·ba ·1=a 2·(a +b )·0， 解得{a =1，b =0或{a =−1，b =0.【正解】 ∵{a ，ba ，1}＝{a 2，a ＋b ，0}，∴{a +ba+1=a 2+(a +b )+0，a ·b a·1=a 2·(a +b )·0，解得{a =1，b =0或{a =−1，b =0.由集合中元素的互异性，得a ≠1. ∴a ＝－1，b ＝0. 【易错警示】1．1 集合1．1.1 集合及其表示方法新知初探·自主学习[教材要点]知识点二1．a，b，c，…A，B，C，…2．a∈A a∉A知识点三1．一一列举列举法知识点四2．(－∞，＋∞)[基础自测]1．解析：A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．答案：C2．解析：∵x－3<2，x∈N*，∴x<5，x∈N*，∴x＝1，2，3，4.故选B.答案：B3．解析：由已知条件1∈{a，a＋1，a2}知有三种情况，若a＝1，则a＋1＝2，a2a＝a2＝1，与集合元素的互异性相矛盾，故a≠1.若a＋1＝1，即a＝0，则a2＝0.与集合元素的互异性相矛盾，故a≠0.若a2＝1，即a＝±1，当a＝－1时，符合题意．综上知a＝－1.答案：C≤x<5} 4．解析：(1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则{x|－12＝[−1，5).2(2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x|x<1或2<x≤3}＝(－∞，1)∪(2，3].答案：(1)[−1，5)(2)(－∞，1)∪(2，3]2课堂探究·素养提升例1 【解析】 由集合中元素的确定性知，①中“优秀医护人员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合．【答案】 D跟踪训练1 解析：由于接近于0的数没有一个确定的标准，因此C 中的对象不能构成集合．故选C.答案：C例2 【解析】 (1)12是实数，√2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－√3|＝√3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)∵a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，若a ＝0，则4－a ＝4，此时A ＝{0，4}满足要求；若a ＝1，则4－a ＝3，此时A ＝{1，3}满足要求；若a ＝2，则4－a ＝2，此时A ＝{2}不满足要求．故有且只有2个元素的集合A 有2个，故选C.【答案】 (1)C (2)C跟踪训练2 解析：(1)A.N 为自然数集，0是自然数，故本选项错误；B.√2是无理数，Q 是有理数集合，√2∉Q ，故本选项错误；C.π是实数，即π∈R ，故本选项错误；D.√4＝2，2是正整数，则√4∈Z ，故本选项正确．故选D.(2)由63−x ∈N ，x ∈N 知x ≥0，63−x >0，且x ≠3，故0≤xx ∈N ，故x ＝0，1，2.当x ＝0时，63−0＝2∈N ，当x ＝1时，63−1＝3∈N ， 当x ＝2时，63−2＝6∈N .故集合A 中的元素为0，1，2.答案：(1)D (2)0，1，2例3 【解析】 (1)因为0和1是方程x (x －1)＝0的解，而且这个方程只有两个解，所以A ＝{0，1}．(2)由于“Welcome ”中包含的字母有W ，e ，l ，c ，o ，m ，共6个元素，因此可以用列举法表示为{W ，e ，l ，c ，o ，m}．(3)北京、张家口同为2022年冬奥会主办城市，因此可以用列举法表示为{北京，张家口}．(4)函数y ＝2x －1的图象与x 轴的交点为(12，0)，与y 轴的交点为(0，－1)，因此可以用列举法表示为{(0，−1)，(12，0)}.跟踪训练3 解析：(1)解方程组{2x −3y =14，3x +2y =8，得{x =4，y =−2，故解集可用描述法表示为{(x ，y)|{x =4，y =−2}，也可用列举法表示为{(4，－2)}． (2)小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3，5，7，11.可用列举法表示为{3，5，7，11}．(3)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}．例4 【解析】 (1)因为集合B 的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，因此B ＝{(x ，y )|x ＞0，y ＞0}．(2)由题意，设a ＝3k ，k ∈Z ，b ＝3y ＋1，y ∈Z ，c ＝3m －1，m ∈Z ，则d ＝3k －(3y ＋1)＋3m －1＝3(k －y ＋m )－2.令t ＝k －y ＋m ，则t ∈Z ，则d ＝3t －2＝3t －3＋1＝3(t －1)＋1，t ∈Z ，则d ∈N ，故选B.【解析】(3)当m ＝0时，方程mx 2＋2x ＋m ＝0为2x ＝0，解得x ＝0，A ＝{0}；当m ≠0时，若集合A 只有一个元素，则一元二次方程mx 2＋2x ＋m ＝0有两个相等实根，所以判别式Δ＝22－4m 2＝0，解得m ＝±1；综上，当m ＝0或m ＝±1时，集合A 只有一个元素．所以m 的值组成的集合是{－1，0，1}．【答案】 (1)见解析 (2)B (3){－1，0，1}跟踪训练4 解析：(1){x |x ＝5n ，n ∈Z }．(2){(x ，y)|−1≤x ≤32，−12≤y ≤1，且xy ≥0}. (3)由{3x −2≥1，2x −1<5，得{x ≥1，x <3，所以不等式组{3x −2≥1，2x −1<5的解集为[1，3)． (4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x ，y )，其中x ，y 满足y ＝x 2＋2x －10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2＋2x －10}．例5 【解析】 (1)因为3x －4<0，所以3x <4，即x <43，所以A ＝{x|x <43}，用区间表示为：A ＝(−∞，43).(2)因为2x ＋6≥0，所以2x ≥－6，即x ≥－3，所以B ＝{x |x ≥－3}，用区间表示为：B＝[－3，＋∞)．)(2)[－3，＋∞) 【答案】(1)(−∞，43跟踪训练5 答案：(1)(－2，5)．(2)(－3，4].(3)[2，5)．(4)(－∞，4].(5)(－3，＋∞)．(6)[－4，＋∞)．。

1．1 集合1．1。

1集合及其表示方法内容标准学科素养1。

通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系．数学抽象数学建模2.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题。

授课提示：对应学生用书第1页[教材提炼]知识点一元素与集合的概念1．集合：有一些能够确定的、不同的对象汇聚在一起，就说由这些对象构成一个集合．通常用英文大写字母A，B，C…表示．2．元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c…表示．3．空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅。

知识点二元素与集合的关系1．属于:如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作a属于A。

2．不属于:如果a不是集合A中的元素,就记作a∉A，读作a 不属于集合A。

3．无序性:集合中的元素,可以任意排列，与次序无关．知识点三集合元素的特点1．确定性：集合的元素必须是确定的．2．互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．知识点四集合的分类1．有限集:含有有限个元素的集合．2．无限集：含有无限个元素的集合．知识点五几种常见的数集号N＊知识点六集合的表示方法1．列举法把集合的所有元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内，这种表示集合的方法称为列举法．2．描述法(1)特征性质：一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x）称为集合A的一个特征性质．(2)描述法：用特征性质p(x）来表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称描述法．知识点七区间及其表示1．如果a<b，则有下表:定义名称符号数轴表示｛x|a≤x≤b｝闭区间[a,b］｛x｜a 〈x<b｝开区间（a，b){x|a≤x 〈b}半开半闭区间［a，b）{x｜a<x≤b}半开半闭区间(a，b]2.实数集R可以用区间表示为(－∞,＋∞），“∞"读作“无穷大”．如：符号［a,＋∞)（a，＋∞)(－∞,a］(－∞，a）定义｛x｜x≥a}{x|x〉a｝｛x|x≤a｝｛x｜x〈a}［自主检测]1．下列给出的对象中，能组成集合的是(）A．与定点A，B等距离的点B．高中学生中的游泳能手C．无限接近10的数D．非常长的河流答案:A2．若一个集合中的三个元素a，b,c是△ABC的三边长,则此三角形一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形答案：D3．下列结论中，不正确的是(）A．若a∈N，则错误!∉NB．若a∈Z，则a2∈ZC．若a∈Q，则|a|∈QD．若a∈R，则错误!∈R答案：A4．分别用描述法、列举法表示大于0小于6的自然数组成的集合．解析：描述法：｛x∈N｜0＜x＜6}，列举法：{1，2，3，4，5｝．授课提示:对应学生用书第2页探究一集合的概念［例1]下列对象中可以构成集合的是（)A．大苹果B．小橘子C．中学生D．著名的数学家[解析］选项正误原因A×大苹果到底以多重算大，标准不明确B×小橘子到底以多重算小，标准不明确C√中学生标准明确，故可构成集合Dד著名”的标准不明确[答案］C判断一个“全体"是否能构成一个集合，其关键是对标准的“确定性”的把握，即根据这个“标准”，可以明确判定一个对象是或者不是给定集合的元素．给出下列元素①学习成绩较好的同学；②方程x2－1＝0的解;③漂亮的花儿；④大气中直径较大的颗粒物．其中能组成集合的是(）A．②B．①③C．②④D．①②④答案:A探究二元素与集合的关系［例2］集合A中的元素x满足错误!∈N，x∈N，则集合A 中的元素为________．［解析]由错误!∈N,x∈N知x≥0，错误!＞0，且x≠3，故0≤x＜3.又x∈N，故x＝0,1,2。

教师锦囊教学建议1.关于集合的概念及空集集合是现代数学思想中的原始概念,是不定义概念,但可以描述.对于描述的集合初学者不易领会到位,可以分门别类地举一些实例说明.教材中对集合的描述是“所研究对象的全体”,它不但可以是数,也可以是方程、不等式,一定范围内的人或物也可作为元素.教材中对集合作了很粗略的分类:有限集与无限集.显然这是按集合内元素的个数分的类.用不同的标准显然有不同的分类.数学上常见的还有其他一些类别,如实数集R,自然数集N,不等式构成的集合,函数构成的集合,多边形(图形)构成的集合等等.其中空集是很重要的集合.在不同的集合中,空集就像自然数中的0,它既是有限集(无任何元素),又是任何集合的子集,要举例说明空集与一般集合的这种关系.2.关于集合中元素的特性集合中元素具有以下三个特性:确定性、互异性、无序性.其元素具备这样特征的一类对象的全体才叫集合.生活中模棱两可的表达不能作为集合的元素.如好人构成一个集合,难题构成一个集合,很大的数构成一个集合都是错误的,为此可结合例3及变式强调元素特征的应用. 相同元素在集合内只能出现一次(元素的互异性),但是算式作为元素的集合可以有{x+y,y+x},有序实数对(点)为元素的集合可以有{(1,2),(2,1)}等.因为这是不同的两个元素.备用习题1.下列所给对象不能构成集合的是( )A.平面内的所有点B.直角坐标系中Ⅰ、Ⅲ象限的角平分线上的所有点C.清华大学附中高一年级全体女生D.所有高大的树解析:由于选项D 中的对象含糊不清,所谓“高大”没有明确的客观标准,也就难以判断某些对象是否属于这个范畴,因而不符合集合的确定性.故选D.答案:D2.含有三个实数的集合可以表示为{a,ab ,1},也可以表示为{a 2,a+b,0},则a 2006+b 2006的值为( )A.0B.1C.-1D.±1解析:由已知a≠0,得ab =0. ∴b=0.由集合相等,可知a 2=1,即a=±1.又由集合中元素的互异性,得a≠1.∴a=-1.∴a 2006+b 2006=1.∴选B.答案:B3.集合P={1,a},a 2是集合P 中的元素,则a 可取的值有________个.解析:因为a 2是集合P 中的元素,所以a 2=1或a 2=a,解得a=1或-1或0.又由元素互异性,知a≠1,∴a=-1或0,即a 可取的值有2个.答案:24.求集合{a,12 a }中a 的取值范围.解析:由⎪⎩⎪⎨⎧-≠≠,12,1a a a 得a≠1且a≠-1且a≠2.。

§1．1集合1.1.1集合的含义与表示（第一课时）教学目标：1.理解集合的含义。

2.了解元素与集合的表示方法及相互关系。

3.熟记有关数集的专用符号。

4.培养学生认识事物的能力。

教学重点：集合含义教学难点：集合含义的理解教学方法：尝试指导法教学过程：引入问题（I）提出问题问题1：班级有20名男生，16名女生，问班级一共多少人？问题2：某次运动会上，班级有20人参加田赛，16人参加径赛，问一共多少人参加比赛？讨论问题：按小组讨论。

归纳总结：问题2已无法用学过的知识加以解释，这是与集合有关的问题，因此需用集合的语言加以描述（板书标题）。

复习问题问题3：在小学和初中我们学过哪些集合？（数集，点集）（如自然数的集合，有理x-<的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合，到一条线数的集合，不等式73段的两个端点距离相等的点的集合等等）。

（II）讲授新课通过以上实例，指出：（1）含义：一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称为集）。

说明：在初中几何中，点，线，面都是原始的，不定义的概念，同样集合也是原始的，不定义的概念，只可描述，不可定义。

（2）表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。

问题4：由此上述例中集合的元素分别是什么？（1）确定性：设A是一个给定的集合，a是某一具体的对象，则a或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种而且只有一种成立。

如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种)若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。

1.1.1集合及其表示方法(教师独具内容)课程标准：1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.3.在具体情境中，了解空集的含义.4.能正确使用区间表示一些数集．教学重点：1.集合概念的正确理解.2.元素的三性(确定性、互异性、无序性).3.元素与集合关系的判定.4.集合常用的两种表示方法(列举法、描述法).5.区间的概念．教学难点：1.对元素的确定性的理解.2.描述法表示集合.【情境导学】(教师独具内容)一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义．于是他请教一位数学家：“先生，您能告诉我，集合是什么吗？”由于集合是不定义的概念，数学家很难向那位渔民讲清楚．直到有一天，数学家来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，然后轻轻一拉，许多鱼虾在网中跳动．数学家非常激动，高兴地对渔民说：“这就是集合！”你能理解这位数学家的话吗？【知识导学】知识点一集合与元素的定义(1)集合：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)．(2)元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素．(3)表示：通常用英文大写字母A，B，C，…表示集合，用英文小写字母a，b，c，…表示集合中的元素．知识点二元素与集合的关系(1)“属于”：如果a是集合A的元素，就记作□01a∈A，读作“a属于A”．(2)“不属于”：如果a不是集合A的元素，就记作□02a∉A，读作“a不属于A”．知识点三空集一般地，我们把不含任何元素的集合称为□01空集(empty set)，记作□02∅.知识点四集合中元素的三个特性(1)确定性；(2)互异性；(3)无序性．知识点五集合的分类(1)有限集；(2)无限集．知识点六几个常用数集的固定字母表示知识点七集合的表示方法集合常见的表示方法有：□01自然语言、□02列举法、□03描述法、□04“区间”(以及后面将要学习的维恩图法和数轴表示法等直观表示方法)．(1)列举法：把集合中的元素□05一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法．(2)描述法：如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个□06特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．知识点八区间实数集R□01(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．我们可以把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合分别表示为□02[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)．可以看出，区间实质上是一类特殊数集(即由数轴某一段上所有点对应的实数组成的集合)的符号表示；例如，大于1且小于10的所有自然数组成的集合就不能用区间(1,10)表示.【新知拓展】1．元素和集合关系的判断(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．此时应先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应先明确已知集合的元素具有什么特征，即该集合中元素要满足哪些条件．2．集合的三个特性(1)描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明．(2)整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体．(3)广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物，甚至一个集合也可以是某集合的一个元素．3．使用列举法表示集合时需注意的几点(1)元素之间用“，”隔开；(2)元素不重复，满足元素的互异性；(3)元素无顺序，满足元素的无序性；(4)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)某校高一年级16岁以下的学生能构成集合．()(2)已知A是一个确定的集合，a是任一元素，要么a∈A，要么a∉A，二者必居其一且只居其一．()(3)对于数集A＝{1,2，x2}，若x∈A，则x＝0.()(4)对于区间[2a，a＋1]，必有a<0.()(5)集合{y|y＝x2，x∈R}与{s|s＝t2，t∈R}的元素完全相同．()答案(1)√(2)√(3)×(4)×(5)√2．做一做(1)下列所给的对象能组成集合的是()A．“金砖国家”成员国B．接近1的数C．著名的科学家D．漂亮的鲜花(2)用适当的符号(∈，∉)填空．0________∅，0________{0},0________N，－2________N*，13________Z，2________Q，π________R.(3)不等式2x－1≥3的解集可以用区间表示为________．答案(1)A(2)∉∈∈∉∉∉∈(3)[2，＋∞)题型一集合概念的理解例1下列所给的对象能构成集合的是________．①所有的正三角形；②高一数学必修第一册课本上的所有难题；③比较接近1的正数全体；④某校高一年级的全体女生；⑤平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点的集合；⑥参加2019年世乒赛的年轻运动员；⑦a，b，a，c.[解析]①能构成集合．其中的元素需满足三条边相等．②不能构成集合．因“难题”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合．③不能构成集合．因“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合．④能构成集合．其中的元素是“高一年级的全体女生”．⑤能构成集合．其中的元素是“到坐标原点的距离等于1的点”．⑥不能构成集合．因为“年轻”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合．⑦不能构成集合．因为两个a是重复的，不符合集合元素的互异性．[答案]①④⑤金版点睛判断一组对象能否构成集合的方法(1)关键：看是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象能按此标准确定它是不是给定集合的元素．(2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性．[跟踪训练1]判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)大于3的所有自然数组成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素；(4)出席2019年全国两会的所有参会代表组成一个集合．解(1)中的对象是确定的，互异的，所以可构成一个集合，故正确．(2)中的“高科技”标准是不确定的，所以不能构成集合，故错误．(3)中由于0.5＝12，不符合集合中元素的互异性，故错误．(4)中的对象是确定的，所以可以构成一个集合，故正确.题型二元素与集合关系的判断与应用例2(1)下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.A．1 B．2 C．3 D．4(2)集合A中的元素x满足66－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．[解析](1)∵π是实数，3是无理数，∴①②正确；∵N*表示正整数集，而0不是正整数，故③不正确；又|－4|＝4是正整数，故④不正确，∴正确的共有2个．(2)∵66－x∈N，x∈N，∴⎩⎪⎨⎪⎧66－x≥0，x≥0，即⎩⎨⎧6－x>0，x≥0，∴0≤x<6，∴x＝0,1,2,3,4,5.当x分别为0,3,4,5时，66－x相应的值分别为1,2,3,6，也是自然数，故填0,3,4,5. [答案](1)B(2)0,3,4,5金版点睛1.常用数集之间的关系2.确定集合中元素的三个注意点(1)判断集合中元素的个数时，注意集合中的元素必须满足互异性.(2)集合中的元素各不相同，也就是说集合中的元素一定要满足互异性.(3)若集合中的元素含有参数，要抓住集合中元素的互异性，采用分类讨论的方法进行研究.[跟踪训练2] (1)用符号“∈”或“∉”填空．①0________N *；②1________N ；③1.5________Z ；④22________Q ；⑤4＋5________R ；⑥若x 2＋1＝0，则x ________R .(2)设x ∈R ，集合A 中含有三个元素3，x ，x 2－2x .①求实数x 应满足的条件；②若－2∈A ，求实数x 的值．答案 (1)①∉ ②∈ ③∉ ④∉ ⑤∈ ⑥∉ (2)见解析解析 (1)①∵0不是正整数，∴0∉N *.②∵1是自然数，∴1∈N .③∵1.5是小数，不是整数，∴1.5∉Z .④∵22是无理数，∴22∉Q .⑤∵4＋5是无理数，无理数是实数，∴4＋5∈R .⑥∵满足x 2＋1＝0的实数不存在，∴x 为非实数，∴x ∉R .(2)①根据集合元素的互异性，可知⎩⎨⎧ x ≠3，x ≠x 2－2x ，x 2－2x ≠3，即x ≠0，且x ≠3且x ≠－1. ②∵x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，且－2∈A ，∴x ＝－2.题型三 集合中元素的特性例3 已知集合A 有三个元素：a －3,2a －1，a 2＋1，集合B 也有三个元素：0,1，x .(1)若－3∈A ，求a 的值；(2)若x 2∈B ，求实数x 的值．[解] (1)由－3∈A 且a 2＋1≥1，可知a －3＝－3或2a －1＝－3，当a －3＝－3时，a ＝0；当2a －1＝－3时，a ＝－1.经检验，0与－1都符合要求．得a ＝0或－1.(2)当x ＝0,1，－1时，都有x 2∈B ，但考虑到集合元素的互异性，x ≠0，x ≠1，故x ＝－1.金版点睛利用集合元素互异性求参数问题(1)根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．(也是本讲易错问题)(2)利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用．[跟踪训练3] 已知集合A 包含三个元素：a －2,2a 2＋5a,12，且－3∈A ，求a 的值．解 因为A 包含三个元素a －2,2a 2＋5a,12，且－3∈A ，所以a －2＝－3或2a 2＋5a ＝－3，解得a ＝－1或a ＝－32.当a ＝－1时，A 中三个元素为：－3，－3,12，不符合集合中元素的互异性，舍去．当a ＝－32时，A 中三个元素为：－72，－3,12，满足题意．故a ＝－32.题型四 集合的分类例4 下列各组对象能否构成集合？若能，请指出它们是有限集、无限集，还是空集．(1)非负奇数；(2)小于18的既是正奇数又是质数的数；(3)在平面直角坐标系中所有第三象限的点；(4)在实数范围内方程(x 2－1)(x 2＋2x ＋1)＝0的解集；(5)在实数范围内方程组⎩⎨⎧x 2－x ＋1＝0，x ＋y ＝1的解构成的集合． [解] (1)能构成集合，是无限集．(2)小于18的质数是2,3,5,7,11,13,17.只有2是偶数，其余的都是正奇数，所以能构成集合，是有限集．(3)第三象限的点的横坐标和纵坐标都小于0，能构成集合，是无限集．(4)能构成集合，注意集合中元素的互异性，集合中的元素是－1，1，是有限集．(5)由x 2－x ＋1＝0的判别式Δ＝－3<0，方程无实根，由此可知方程组⎩⎨⎧x 2－x ＋1＝0，x ＋y ＝1无解，能构成集合，是空集． 金版点睛集合的分类方法判断集合是有限集，还是无限集，关键在于弄清集合中元素的构成，从而确定集合中元素的个数．[跟踪训练4] 指出下列各组对象是否能组成集合，若能组成集合，则指出集合是有限集、无限集，还是空集．(1)平方等于1的数；(2)所有的矩形；(3)平面直角坐标系中第二象限的点；(4)被3除余数是1的正数；(5)平方后等于－3的实数；(6)15的正约数．解 (1)中对象能组成集合，它是一个有限集；(2)中对象能组成集合，它是一个无限集；(3)中对象能组成集合，它是一个无限集；(4)中对象能组成集合，它是一个无限集；(5)中对象能组成集合，它是一个空集；(6)中对象能组成集合，它是一个有限集.题型五 用列举法表示集合例5 用列举法表示下列集合：(1)方程x 2－4x ＋2＝0的所有实数根组成的集合； (2)不大于10的质数集；(3)一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图像的交点组成的集合．[解] (1)方程x 2－4x ＋2＝0的实数根为2， 故其实数根组成的集合为{2}．(2)不大于10的质数有2,3,5,7，故不大于10的质数集为{2,3,5,7}．(3)由⎩⎨⎧ y ＝x ，y ＝2x －1，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.故一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图像的交点组成的集合为{(1,1)}．金版点睛用列举法表示集合应注意的三点(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素． (2)集合中的元素一定要写全，但不能重复．(3)若集合中的元素是点，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素．[跟踪训练5] 用列举法表示下列集合：(1)不等式组⎩⎨⎧2x －6>0，1＋2x ≥3x －5的整数解组成的集合；(2)式子|a |a ＋|b |b (a ≠0，b ≠0)的所有值组成的集合． 解 (1)由⎩⎨⎧2x －6>0，1＋2x ≥3x －5得3<x ≤6，又x 为整数，故x 的取值为4,5,6，组成的集合为{4,5,6}． (2)∵a ≠0，b ≠0，∴a 与b 可能同号也可能异号，则： ①当a >0，b >0时，|a |a ＋|b |b ＝2； ②当a <0，b <0时，|a |a ＋|b |b ＝－2； ③当a >0，b <0或a <0，b >0时，|a |a ＋|b |b ＝0. 故所有值组成的集合为{－2,0,2}. 题型六 用描述法表示集合 例6 用描述法表示下列集合：(1)坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合； (2)所有被3除余1的整数的集合；(3)使y＝1x2＋x－6有意义的实数x的集合．[解](1)因为不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，所以坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}．(2)因为被3除余1的整数可表示为3n＋1，n∈Z，所以所有被3除余1的整数的集合为{x|x＝3n＋1，n∈Z}．(3)要使y＝1x2＋x－6有意义，则x2＋x－6≠0.由x2＋x－6＝0，得x1＝2，x2＝－3.所以使y＝1x2＋x－6有意义的实数x的集合为{x|x≠2且x≠－3，x∈R}．金版点睛用描述法表示集合的注意点(1)用描述法表示集合，首先应弄清集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．(2)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．[跟踪训练6]试用描述法表示下列集合：(1)方程x2－x－2＝0的解集；(2)大于－1且小于7的所有整数组成的集合．解(1)方程x2－x－2＝0的解可以用x表示，它满足的条件是x2－x－2＝0，因此，方程的解集用描述法表示为{x∈R|x2－x－2＝0}．(2)大于－1且小于7的整数可以用x表示，它满足的条件是x∈Z，且－1<x<7，因此，该集合用描述法表示为{x∈Z|－1<x<7}.题型七 列举法和描述法的综合运用例7 集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A .[解] ①当k ＝0时，原方程为16－8x ＝0， ∴x ＝2，此时A ＝{2}，符合题意． ②当k ≠0时，由集合A 中只有一个元素， ∴方程kx 2－8x ＋16＝0有两个相等实根． 即Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1，从而x 1＝x 2＝4， ∴集合A ＝{4}．综上所述，实数k 的值为0或1.当k ＝0时，A ＝{2}； 当k ＝1时，A ＝{4}．[条件探究] 把本例条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k 取值范围的集合．解 由题意可知方程kx 2－8x ＋16＝0有两个不等的实根．∴⎩⎨⎧k ≠0，Δ＝64－64k ＞0，解得k ＜1且k ≠0. ∴k 的取值范围的集合为{k |k ＜1且k ≠0}．金版点睛分类讨论思想在集合中的应用(1)①本题在求解过程中，常因忽略讨论k 是否为0而漏解．②由kx 2－8x ＋16＝0是否为一元二次方程而分k ＝0和k ≠0两种情况，注意做到不重不漏．(2)解答与集合描述法有关的问题时，明确集合中的代表元素及其共同特征是解题的切入点．[跟踪训练7] (1)设集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪62＋x ∈N . ①试判断元素1,2与集合B 的关系；②用列举法表示集合B .(2)已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，若A ＝{2,3}，求a ，b 的值． 解 (1)①当x ＝1时，62＋1＝2∈N . 当x ＝2时，62＋2＝32∉N .所以1∈B,2∉B . ②∵62＋x∈N ，x ∈N ，∴2＋x 只能取2,3,6， ∴x 只能取0,1,4.∴B ＝{0,1,4}．(2)由A ＝{2,3}知，方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为2,3，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧2＋3＝a ，2×3＝b ，因此a ＝5，b ＝6. 题型八 集合中的新定义问题例8 已知集合A ＝{1,2,4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．9[解析] 根据已知条件，列表如下：由上表可知，B 中的元素有9个，故选D. [答案] D 金版点睛本例借助表格语言，运用列举法求解.表格语言是常用的数学语言，表达问题清晰，明了；列举法是分析问题的重要的数学方法，通过“列举”直接解决问题或发现问题的规律，此方法通常配合图表(含树形图)使用.[跟踪训练8]定义A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B中的所有元素之和为()A．0 B．2C．3 D．6答案 D解析根据已知条件，列表如下：根据集合中元素的互异性，由上表可知A*B＝{0,2,4}，故集合A*B中所有元素之和为0＋2＋4＝6，故选D.1．下列所给的对象不能组成集合的是()A．我国古代的四大发明B．二元一次方程x＋y＝1的解C．我班年龄较小的同学D．平面内到定点距离等于定长的点答案 C解析C项中“年龄较小的同学”的标准不明确，不符合确定性．故选C.2．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A时，有6－a∈A，则a为() A．2 B．2或4C．4 D．0答案 B解析集合A中含有三个元素2,4,6，且当a∈A时，有6－a∈A.当a＝2∈A 时，6－a＝4∈A，∴a＝2符合题意；当a＝4∈A时，6－a＝2∈A，∴a＝4符合题意；当a＝6∈A时，6－a＝0∉A，综上所述，a＝2或4.故选B.3．由实数－a，a，|a|，a2所组成的集合最多含有的元素个数是()A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析对a进行分类讨论：①当a＝0时，四个数都为0，只含有一个元素；②当a≠0时，含有两个元素a，－a，所以集合中最多含有2个元素．故选B.4．用适当符号(∈，∉)填空．(1)(1,3)________{(x，y)|y＝2x＋1}；(2)2________{m|m＝2(n－1)，n∈Z}．答案(1)∈(2)∈解析(1)当x＝1时，y＝2×1＋1＝3，故(1,3)∈{(x，y)|y＝2x＋1}．(2)当n＝2∈Z时，m＝2×(2－1)＝2，故2∈{m|m＝2(n－1)，n∈Z}．5．设a∈R，关于x的方程(x－1)(x－a)＝0的解集为A，试分别用描述法和列举法表示集合A.解A＝{x|(x－1)(x－a)＝0}，当a＝1时，A＝{1}；当a≠1时，A＝{1，a}．。

人教版高中必修1(B版)1.1.1集合的概念教学设计一、教学目标1.理解集合的概念、元素和符号表示方法。

2.能够根据集合的定义和运算规则解决简单的集合问题。

3.培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。

二、教学重点和难点1.集合的概念、元素和符号表示方法。

2.集合的包含关系和运算规则。

三、教学内容1. 集合的引入教师用故事引入集合的概念，如小明家有3个苹果，4个橘子和2个葡萄，这些水果可以构成一个集合，集合的元素就是这些水果。

然后教师引领学生发现集合可以用花括号{}表示，如集合{苹果，橘子，葡萄}。

2. 集合的定义教师引导学生从实际中发现集合的概念，如一所学校所有学生构成一个集合，或者全国所有男生和女生分别构成两个集合。

然后教师引导学生发现集合的定义：将一些确定的对象组成的整体叫做集合，其中的每一个对象都叫做集合的元素。

例如，{1，2，3，4}是一个集合，1，2，3，4是集合的元素。

3. 集合的符号表示法教师在黑板上写出集合的符号表示法，如集合A={1，2，3}，集合B={x|x是小于5的偶数}。

然后教师引导学生理解符号表示法的意义和用途。

4. 集合的包含关系教师引导学生发现集合的包含关系，如一个集合A包含另一个集合B，当且仅当A中所有的元素都属于B。

例如，{1，2，3}包含{1，2}和{}，但不包含{1，2，3，4}。

然后教师引导学生理解子集和真子集的概念。

5. 集合的运算规则教师引导学生发现集合的运算规则，包括集合的并、交、差和补等。

然后教师提供简单的例题，让学生应用集合的定义和运算规则解决问题。

四、教学方法1.演示法：用故事、图示等形式演示集合的概念和运算规则。

2.体验法：让学生通过实际操作，感受集合的定义和运算规则。

3.对话法：通过对话，引导学生理解集合的概念和运算规则。

4.问题导向法：提出问题，让学生应用集合的知识解决问题。

五、教学评价1.在教学过程中，教师要注意观察学生的学习情况，及时调整教学策略。