《轴对称的应用》热点专题高分特训(含答案)

轴对称的应用（人教版）试卷简介:本套试卷主要检测同学们对前期重点训练的内容——折叠问题及最短路径问题的掌握情况，强化对折叠问题、轴对称最短路径问题解决方法的理解.一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，将长方形ABCD沿EF折叠，点C落在点，点D落在点处．若∠EFC=119°，则为( )A.58°B.45°C.60°D.42°答案：A解题思路：由折叠可得：，∵∠EFB+∠EFC=180°，∠EFC=119°，∴，∠EFB=61°，∴．故选A．试题难度：三颗星知识点：折叠问题2.如图，把长方形ABCD折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处．若∠FED=120°，且DE=2，则边BC的长为( )A.4B.6C.8D.10答案：B解题思路：由折叠可知，DE=GE=2，∠G=90°，∠GAF=∠C=90°，∠CFE=∠EFA，在长方形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，∴∠FED+∠CFE=180°，∵∠FED=120°，∴∠CFE=60°∴∠EFA=60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠GAE=30°，在Rt△AGE中，∠GAE=30°，则AE=2GE=4，∴AD=AE+DE=6，∴BC=6．故选B．试题难度：三颗星知识点：折叠问题3.如图，△ABC的周长为15cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC 边于点D，交AC边于点E，连接AD．若AE=2cm，则△ABD的周长是( )A.13cmB.12cmC.11cmD.10cm答案：C解题思路：由折叠可知：AE=EC=2，AD=CD，∴AC=4，∵△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，又∵AB+BC+AC=15，∴AB+BC=11（cm）．故选C．试题难度：三颗星知识点：折叠问题4.如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，将△ADC沿AD所在直线折叠，点C恰好落在BC 的中点E处，则∠B等于( )A.25°B.30°C.45°D.60°答案：B解题思路：由折叠可知，AC=AE，在Rt△ABC中，E为斜边BC的中点，∴AE=BE=CE，∴AC=AE=EC，∴△AEC是等边三角形，∴∠C=60°，∴∠B=30°．故选B．试题难度：三颗星知识点：折叠问题5.如图，在三角形纸片ABC中，AC=BC．把△ABC沿着AC翻折，点B落在点D处，连接BD．若∠BAC=40°，则∠CBD的度数为( )A.9°B.10°C.15°D.20°答案：B解题思路：∵AC=BC，∠BAC=40°，∵∠ABC=∠BAC=40°，由折叠可得：∠CAD=∠BAC=40°，AB=AD，∴∠BAD=80°，∠ABD=∠ADB=50°，∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=10°．故选B．试题难度：三颗星知识点：折叠问题6.如图，在△ABC中，∠A=30°，沿BE将此三角形对折，又沿再一次对折，点C落在BE上的点处，此时，则原三角形中∠ABC的度数为( )A.60°B.65°C.70°D.75°答案：D解题思路：解：∵△ABC沿BE对折，∴，再沿对折一次，点C落在BE上的点处，∴，，∴，设∠CBD=x，则∠ABC=3x，在△ABC中，∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-30°-3x=150°-3x，在△BCD中，∠C=180°-∠CBD-∠CDB=180°-x-80°=100°-x，∴150°-3x=100°-x，解得x=25°，∴∠ABC=3x=3×25°=75°．故选D．试题难度：三颗星知识点：折叠问题7.如图，点D，E分别在等边△ABC的边AB，BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在处，，分别交边AC于点F，G．若∠BDE=50°，则∠CGE的度数为( )A.60°B.70°C.80°D.90°答案：C解题思路：1．思路点拨：①求∠CGE的度数，可以放到△CGE中，结合已知条件，只需求∠CEG即可．②求∠CEG的度数，需借助折叠的处理思路，借助折叠进行角度的转移．2．解题过程：如图，在△BDE中，∠B=60°，∠BDE=50°，∴∠1=180°-50°-60°=70°．由折叠的性质可知，∠2=∠1=70°，∴∠CEG=180°-140°=40°，∴∠CGE=180°-60°-40°=80°．故选C试题难度：三颗星知识点：折叠问题8.如图，将等腰△ABC沿DE折叠，使顶角顶点A落在其底角平分线的交点F处．若BF=DF，则∠C的度数是( )A.80°B.75°C.72°D.60°答案：C解题思路：1．思路点拨：①遇到折叠问题，要考虑借助折叠转移边和角；②遇到等腰三角形，要考虑等腰三角形的性质，等边对等角、等角对等边以及等腰三角形的“三线合一”．2．解题思路：如图，连接CF，AF．∵点F是底角平分线的交点，∴∠FCB=∠FBC∴点F是△ABC角平分线的交点，设∠1=∠2=x，则∠ACB=∠ABC=2x，∴∠BAC=180°-4x，∴∠3=90°-2x由折叠的性质可知，AD=DF∴∠3=∠4=90°-2x∴∠5=∠3+∠4=180°-4x∵BF=DF∴∠2=∠5即x=180°-4x，解得x=36°，∴∠C=2x=72°，选C3．易错点：①对等腰三角形的性质不清楚，不能想到“三线合一”，进而连接AF；②不能借助折叠来转移边，借助等边对等角进行边和角的转移．试题难度：三颗星知识点：折叠问题9.如图，在等腰△ABC中，AB=BC，∠B=120°，M，N分别是AB，BC边上的中点．若三角形ABC的边AC上的高为1，点P是边AC上的动点，则MP+NP的长度最小为( )A.1B.2C.3D.4答案：B解题思路：作点M关于AC的对称点，连接交AC于点P，则点P即为所求；如图所示，连接，MP，BP∵点和点M关于AC对称∴，，又∵PA=PA∴，∴，，又∵AB=BC∴∠BAC=∠C∴又∵M，N分别为AB，BC边上的中点∴AM=NC即，又∵∴，∴AP=PC∴BP为AC边上的高又∵在Rt△ABP中，∠BAP=30°∴，又∵∠ABP=60°．∴△BMP为等边三角形，∴MP=BP=1，同理：NP=1，∴MP+NP的最短长度为2．故选B．试题难度：三颗星知识点：轴对称—最短路径问题10.如图，等腰△ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF交AB边于点F，若点D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为( )A.6B.8C.10D.12答案：C解题思路：如图，连接AD．∵EF垂直平分AC，∴AM=CM∴△CDM的周长为CD+DM+CM=CD+DM+AM=CD+AD ∵D是BC边的中点∴AD⊥BC∵，∴AD=8∵CD=2∴△CDM的周长为:8+2=10，选C．试题难度：三颗星知识点：轴对称—最短路径问题。

专题05 轴对称重难点题型分类-高分必刷题（解析版）专题简介：本份资料包含《轴对称》这一章除各类压轴题之外的六种主流题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含的题型有：轴对称图形、垂直平分线的性质与判定、尺规作图、最短路径问题、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定。

适合于培训机构的老师给学生作培训时使用或者学生考前刷题时使用。

题型一轴对称图形1．（2021·湖南）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；B．不是轴对称图形，故B不符合题意；C．不是轴对称图形，故C不符合题意；D．是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．2．（2021·辽宁）若点M(2，a)和点N(a+b，3)关于y轴对称，则a、b的值为（）A．a=3，b=－5 B．a=－3，b=5 C．a=3，b=5 D．a=－3，b=1【详解】解：根据题意，点M(2，a)和点N(a+b，3)关于y轴对称，则a+b=-2，a=3,解得b=-5,故选：A．3.如图，是小亮在镜中看到身后墙上的时钟，此时时钟的实际时刻是（）A．3：55B．8：05C．3：05D．8：55【详解】解：根据平面镜成像原理可知，镜中的像与原图象之间实际上只是进行了左右对换，由轴对称知识可知，只要将其进行左可翻折，即可得到原图象，实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点，分针指向11实际对应点为1，故此时的实际时刻是：8点5分．故选：B．4．（2022·浙江）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若55∠-∠的值为（）EFG∠=︒，则21A．35︒B．40︒C．45︒D．55︒【详解】解：四边形ABCD是长方形，∴AD BC，∴55∠=∠=︒，由折叠的性质得：DEF EFG55∠=∠=︒，118070GEF DEF∴∠=︒-∠-∠=︒，又∵AD BC，21801110∴∠=︒-∠=︒，GEF DEF∴∠-∠=︒-︒=︒，故选：B．211107040题型二垂直平分线的性质与判定1. 垂直平分线的定义经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）．2. 垂直平分线的性质垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.．3.垂直平分线的判定到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．5．（2015·湖北）如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（）A．8 B．9 C．10 D．11【详解】解：∵ED是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵△BDC的周长=DB+BC+CD，∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．故选C．6.（2017·湖北）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为()A．30°B．45°C．50°D．75°【详解】∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故选B．7．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠P AQ的度数是（）A．20°B．40°C．50°D．60°【解答】解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝70°，∴∠P AQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°故选：B．8．（2021·宁夏）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC长．【详解】解：（1）∵DE垂直平分AC，∴CE＝AE，∴∠ECD＝∠A＝36°；（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∴∠BEC＝∠A+∠ECD＝72°，∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5．9．（2021·北京）如图所示，AD是ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，∠=∠．连结AF，求证：BAF ACF【详解】证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠F AD＝∠ADF，∵∠F AD＝∠F AC＋∠CAD，∠ADF＝∠B＋∠DAB，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠CAD，∴∠F AC＝∠B，∴∠BAC＋∠F AC＝∠B＋∠BAC，即∠BAF＝∠ACF．10．（2021·山东）已知：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AP与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PM⊥AC于点M，PN⊥AB交AB延长线于点N，连接PB，PC．求证：BN=CM．【详解】解：证明：∵AP是∠BAC的平分线，PM⊥AC，PN⊥AB，∴PM=PN，∵PQ是线段BC的垂直平分线，∴PB=PC，在Rt△PBN和Rt△PCM中，PB PCPM PN=⎧⎨=⎩，∴Rt△PBN≌Rt△PCM（HL），∴BN=CM．11．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．【解答】（1）证明：连接BP、CP，∵点P在BC的垂直平分线上，∴BP＝CP，∵AP是∠DAC的平分线，∴DP＝EP，在Rt△BDP和Rt△CEP中，，∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），∴BD＝CE；（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，，∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），∴AD＝AE，∵AB＝6cm，AC＝10cm，∴6+AD＝10﹣AE，即6+AD＝10﹣AD，解得AD＝2cm．12．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线D交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．（1）证明：BM＝CN；（2）当∠BAC＝70°时，求∠DCB的度数．【解答】（1）证明：连接BD，如图所示：∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，∵DE垂直平分线BC，∴DB＝DC，在Rt△DMB和Rt△DNC中，，∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），∴BM＝CN；（2）解：由（1）得：∠BDM＝∠CDN，∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，在Rt△DMA和Rt△DNA中，，∴Rt△DMA≌Rt△DNA（HL），∴∠ADM＝∠ADN，∵∠BAC ＝70°，∴∠MDN＝110°，∠ADM＝∠ADN＝55°，∵∠BDM＝∠CDN，∴∠BDC＝∠MDN＝110°，∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴∠EDC＝BDC＝55°，∴∠DCB＝90°﹣∠EDC＝35°，∴∠DCB＝35°．13．（2022·广东）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．【详解】（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=50°，∴∠EAD=12∠BAC=25°，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-25°=65°；（2）∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，DE=DC，∴点A在线段CE的垂直平分线上，点D在线段CE的垂直平分线上，∴直线AD是线段CE的垂直平分线.14．（2019·广东）如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：（1）∠ECD=∠EDC；（2）OC=OD；（3）OE是线段CD的垂直平分线．【详解】证明：（1）∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，∴ED=EC，即△CDE为等腰三角形，∴∠ECD=∠EDC；（2）∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴∠DOE=∠COE，∠ODE=∠OCE=90°，OE=OE，∴△OED≌△OEC（AAS），∴OC=OD；（3）∵OC=OD，且DE=EC，∴OE是线段CD的垂直平分线．题型三尺规作图15．（2022·辽宁）已知在ABC中，点D为线段BC边上一点，则按照顺序，线段AD分别是ABC的（）A．①中线，②角平分线，③高线B．①高线，②中线，③角平分线C．①角平分线，②高线，③中线D．①高线，②角平分线，③中线【详解】解：①由作图方法可知，AD是BC边上的垂线，即AD为△ABC的高；②由作图方法可知AD 是∠BAC的角平分线；③由作图方法可知D在BC的垂直平分线上，即AD是BC的中线；故选D．16．（2022·山东）如图，在ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若ABC的周长为12，5AB ，则ADC的周长为（）A．10 B．9 C．8 D．7【详解】根据题意可知MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD．∵△ABC的周长为12，∴AB+BC+AC=12．∵AB=5，∴BC+AC=7，即AC+CD+BD=7，∴AC+CD+AD=7，所以△ADC的周长为7．17．（2022·福建）如图，已知△ABC．(1)求作BC边上高AD，交BC于点D，∠BAC的平分线AE，交BC于点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．(2)若∠B＝35°，∠C＝65°，求∠DAE的度数．【答案】（1）解：如图，线段AD，线段AE即为所求．（2）解：∵∠CAB=180°-∠B-∠C=80°，AE平分∠CAB，∴∠CAE=12∠CAB=40°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°-∠C=25°，∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=15°．18．按要求完成下列作图，不要求写作法，只保留作图痕迹．（1）已知：线段AB，作出线段AB的垂直平分线MN．（2）已知：∠AOB，作出∠AOB的平分线OC．【解答】解：（1）如图（1），MN为所作；（2）如图（2），OC为所作；19．（2020·北京）如图，已知∠BAC及两点M、N．求作：点P，使得PM＝PN，且P到∠BAC两边的距离相等．【详解】解：作∠BAC平分线，再作线段MN的垂直平分线EF交于点P，如图，点P即为所求．理由：过点P作PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H，连接PM，PN，∵AP平分∠BAC，∴PG=PH，∵EF垂直平分MN，∴PM=PN．题型四最短路径问题=，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，20.（青竹湖）如图，在△ABC中，AB AC则下列线段的长度等于BP EP+最小值的是（）A.BCB.CEC.ADD.AC【解答】解：B点的对称点为C，再连接E,C，故选：B．21．已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△P AB的周长取最小值时，∠APB的度数是（）A．40°B．100°C．140°D．50°【解答】解：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接P A、PB，此时△P AB周长的最小值等于P′P″．由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°，∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣80°）÷2＝50°，又∵∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP′O＝50°，∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝100°．故选：B．22．（2020·北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O(0，0)，A(－1，2)，B(2，1)．(1)在图中画出△AOB关于y轴对称的△A1OB1，并直接写出点A1和点B1的坐标；（不写画法，保留画图痕迹）(2)在x轴上画出点P，使得P A+PB的值最小．（1）解：如图所示，即为所求，由图形知，()112，A ，()121B -，； （2）解：如图，作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接AB '，与x 轴的交点，即为点P ，23．（北雅）阅读下列一段文字：已知在平面内两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2、y 2），其两点间的距离P 1P 2＝问题解决：已知A （1，5），B （7，3）（1）试求A 、B 两点的距离；（2）在x 轴上找一点P （不求坐标，画出图形即可），使P A +PB 的长度最短，求出P A +PB 的最短长度．（3）在x 轴上有一点M ，在y 轴上有一点N ，连接A 、N 、M 、B 得四边形ANMB ，若四边形ANMB 的周长最短，请找到点M 、N （不求坐标，画出图形即可），求出四边形ANMB 的最小周长．【解答】解：（1）∵A （1，5）、B （7，3），∴AB ＝＝＝2，即A 、B 两点的距离为：2； （2）如右图1所示，作点A 关于x 轴的对称点A ′，∵A （1，5）、B （7，3），∴A ′（1，﹣5），∴A ′B ＝＝10，即P A +PB 的最短长度是10；（3）作点A 关于y 轴的对称点A ′，作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接A ′B ′于y 轴交于点N ，与x 轴交于点M ，如图2所示，∵A （1，5）、B （7，3），∴A ′（﹣1，5），B ′（7，﹣3），∴AB ＝2， A ′B ′＝＝8，∴四边形ANMB 的最小周长是8+2．题型五 等腰三角形的性质与判定1.定义：两条边相等的三角形是等腰三角形。

专题线段的垂直平分线的应用类型1线段的垂直平分线的性质在求线段长中的应用1．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为F，G，已知△ADE的周长为12 cm，则BC＝12_cm．2．如图，AB比AC长3 cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，△ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长．解：∵△ACD的周长是14 cm，∴AD＋DC＋AC＝14 cm.又∵DE是BC的垂直平分线，∴BD＝DC.∴AD＋DC＝AD＋BD＝AB.∴AB＋AC＝14 cm.∵AB比AC长3 cm，∴AB－AC＝3 cm.∴AB＝8.5 cm，AC＝5.5 cm.3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE.∵E是CD的中点，∴DE＝CE.又∵∠AED＝∠FEC，∴△ADE≌△FCE(ASA)．∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.又∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线．∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.类型2线段垂直平分线的性质在实际问题中的应用4．如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？解：连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线DE，GF，两直线交于点M，则点M就是所要确定的购物中心的位置，如图．类型3线段的垂直平分线的性质在判定两线段位置关系中的应用5．如图，OE，OF分别是△ABC中AB，AC边的中垂线(即垂直平分线)，∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，试判定OI与BC的位置关系，并给出证明．解：OI ⊥BC.证明：连接AO ，延长OI 交BC 于点M. ∵OE ，OF 分别为AB ，AC 的中垂线， ∴OA ＝OB ，OA ＝OC.∴OB ＝OC.又∵BI ，CI 分别为∠OBC ，∠OCB 的平分线， ∴点I 必在∠BOC 的平分线上． ∴∠BOI ＝∠COI. 在△BOM 和△COM 中，⎩⎨⎧OB ＝OC ，∠BOM ＝∠COM ，OM ＝OM ，∴△BOM ≌△COM(SAS )． ∴∠BMO ＝∠CMO.又∵∠BMO ＋∠CMO ＝180°. ∴∠BMO ＝∠CMO ＝90°. ∴OI ⊥BC.专题轴对称变换的应用类型1轴对称图形的展开与折叠1．(绥化中考)把一张正方形纸片如图①，图②对折两次后，再如图③挖去一个三角形小孔，则展开后的图形是(C)类型2翻折式的轴对称变换2．(娄底中考)将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB＝7，BC＝6，则△BCD的周长为13．3．(潜江中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝26°，求∠CDE的度数．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，∴∠B＝64°.∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，且∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠CED＝∠B＝64°.∴∠CDE＝180°－∠ECD－∠CED＝71°.4．(枣庄中考改编)如图，△ABC的面积为6，AC＝3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C 落在直线AD上的C′处，P为直线AD上的一点，求线段BP的最短长度．解：过点B 作BM ⊥AD 于点M ，由题意可知△ABC ≌△ABC′， ∴S △ABC ＝S △ABC′＝6.∵S △ABC ′＝12AC′·BM ＝6，AC ′＝AC ＝3，∴BM ＝4.根据垂线段最短可知BM ≤BP ，∴BP ≥4. ∴BP 的最短长度为4.类型3 轴对称变换与坐标5．已知点M(2a －b ，5＋a)，N(2b －1，－a ＋b)．(1)若点M ，N 关于x 轴对称，求a 、b 的值； (2)若点M ，N 关于y 轴对称，求(4a ＋b)2 017的值． 解：(1)∵M ，N 关于x 轴对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝2b －1，5＋a －a ＋b ＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8，b ＝－5.(2)∵M ，N 关于y 轴对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＋2b －1＝0，5＋a ＝－a ＋b. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∴(4a ＋b)2 017＝－1.6．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)，直线m 为横坐标都为2的点组成的一条直线．(1)作出△ABC关于直线m对称的△A1B1C1；(2)直接写出A1，B1，C1的坐标；(3)求出△A1B1C1的面积．解：(1)如图所示．(2)A1(5，5)，B1(5，0)，C1(8，3)．(3)△A1B1C1的面积为7.5.专题 与等腰三角形的性质与判定相关的证明类型1 证明线段或角的数量关系1．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，E ，F 分别是AB ，AC 上的点，且AE ＝AF ，求证：DE ＝DF.证明：连接AD.∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴∠EAD ＝∠FAD. 在△AED 和△AFD 中，⎩⎨⎧AE ＝AF ，∠EAD ＝∠FAD ，AD ＝AD ，∴△AED ≌△AFD(SAS )． ∴DE ＝DF.2．已知，如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 和BE 交于H ，且BE ＝AE.求证：AH ＝2BD.证明：∵AD ⊥BC ，BE ⊥AC ， ∴∠BEC ＝∠ADB ＝90°. ∴∠EBC ＝∠EAH. ∵BE ＝AE ， ∴△AHE ≌△BCE. ∴AH ＝BC.∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴BC ＝2BD. ∴AH ＝2BD.3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为AC 的中点，AE ⊥BD 于F ，交BC 于E ，求证：∠ADB ＝∠CDE.证明：过点C 作CG ⊥AC 交AE 的延长线于G ，则CG ∥AB ，∴∠BAF ＝∠G. 又∵AF ⊥BD ，AC ⊥CG ，∴∠BAF ＋∠ABF ＝90°，∠CAG ＋∠G ＝90°. ∴∠ABF ＝∠CAG. 在△ABD 和△CAG 中，⎩⎨⎧∠ABF ＝∠CAG ，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠ACG ＝90°，∴△ABD ≌△CAG(ASA )． ∴AD ＝CG ，∠ADB ＝∠G. 又∵D 为AC 中点，∴AD ＝CD. ∴CD ＝CG.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB. 又∵AB ∥CG ，∴∠ABC ＝∠GCE. ∴∠ACB ＝∠GCE. ∴△CDE ≌△CGE(SAS )． ∴∠CDE ＝∠G. ∴∠ADB ＝∠CDE.4．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC，求证：AB＋BD＝AC.证明：延长CB至E，使BE＝BA，则∠BAE＝∠E.又∵∠ABC＝2∠C＝2∠E，∴∠E＝∠C.∴AE＝AC.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∵∠BAE＝∠E，∠E＝∠C，∴∠BAE＝∠C.又∵∠EAD＝∠BAE＋∠BAD，∠EDA＝∠C＋∠DAC，∴∠EAD＝∠EDA.∴AE＝DE.∴AC＝DE＝BE＋BD＝AB＋BD.类型2证明线段的位置关系5．如图，点C是线段AB上任意一点(点C与点A，B不重合)，分别以AC，BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N，连接MN.求证：(1)△ACM≌△DCN；(2)MN∥AB.证明：(1)∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE＝60°.∵∠ACD＋∠DCE＋∠ECB＝180°，∴∠DCE ＝60°.∴∠ACE ＝∠DCB ＝120°. 在△ACE 和△DCB 中，⎩⎨⎧AC ＝DC ，∠ACE ＝∠DCB ，CE ＝CB ，∴△ACE ≌△DCB(SAS )． ∴∠EAC ＝∠BDC. 在△ACM 和△DCN 中，⎩⎨⎧∠MAC ＝∠NDC ，AC ＝DC ，∠ACM ＝∠DCN ＝60°，∴△ACM ≌△DCN(ASA )． (2)由(1)知△ACM ≌△DCN ， ∴CM ＝CN.又∵∠MCN ＝60°，∴△CNM 为等边三角形，∠NMC ＝60°. ∴∠NMC ＝∠ACM ＝60°. ∴MN ∥AB.6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E ，F 分别在边BC ，AB ，AC 上，且BD ＝CF ，BE ＝CD ，G 是EF 的中点，求证：DG ⊥EF.证明：连接ED ，FD.∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C.在△BDE 和△CFD 中，⎩⎨⎧BD ＝CF ，∠B ＝∠C ，BE ＝CD ，∴△BDE ≌△CFD(SAS )． ∴DE ＝DF.又∵G 是EF 的中点， ∴DG ⊥EF.类型3 判断三角形的形状7．已知：如图，OA 平分∠BAC ，∠1＝∠2.求证：△ABC 是等腰三角形．证明：过点O 作OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，则△BOD 和△COE 都是直角三角形． ∵OA 平分∠BAC ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ， ∴OD ＝OE. ∵∠1＝∠2， ∴OB ＝OC.∴Rt △BOD ≌Rt △COE(HL )． ∴∠ABO ＝∠ACO. ∴∠ABC ＝∠ACB. ∴AB ＝AC.∴△ABC 是等腰三角形．8．已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点．(1)如图1，E ，F 分别是AB ，AC 上的点，且BE ＝AF ，试判断△DEF 的形状，并说明理由； (2)如图2，若E ，F 分别为AB ，CA 的延长线上的点，仍有BE ＝AF.请判断△DEF 是否仍具有(1)中的形状，并说明理由．解：(1)△DEF为等腰直角三角形．理由：连接AD，易证△BDE≌△ADF，∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF.又∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠ADB＝90°. ∴△DEF为等腰直角三角形．(2)是，理由略．专题运用分类讨论求解等腰三角形相关的多解问题类型1针对腰长和底边长进行分类方法归纳：在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目中的条件没有指明已知的这条边是腰长还是底边长时，就要分类讨论，按腰和底边两种情况分类．若涉及边的长度，应运用三角形的三边关系进行辨别取舍．1．(武汉中考)平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是(A)A．5 B．6 C．7 D．82．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有(B)A．7个B．6个C．5个D．4个3．若实数x，y满足|x－5|＋y－10＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为25．类型2针对顶角和底角进行分类方法归纳：对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论．在分类时要注意：三角形的内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等．4．等腰三角形有一个角为52°，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？解：①若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上的高与底边的夹角为26°；②若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38°. 故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°.5．如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半，求该等腰三角形各内角的度数．解：设∠A ，∠B ，∠C 是该等腰三角形的三个内角，且∠A ＝12∠B.设∠A ＝x °，则∠B ＝2x °.①若∠B 是顶角，则∠A ，∠C 是底角，于是有∠C ＝∠A ＝x °. ∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴x ＋2x ＋x ＝180. 解得x ＝45，故∠A ＝∠C ＝45°，∠B ＝90°； ②若∠B 是底角，∵∠A ≠∠B ， ∴∠A 是顶角，∠C ＝∠B ＝2x °.∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴x ＋2x ＋2x ＝180. 解得x ＝36，故∠A ＝36°，∠B ＝∠C ＝72°.综上所述，等腰三角形的各内角分别为45°、45°、90°或36°、72°、72°.类型3 针对锐角、直角和钝角三角形进行分类方法归纳：根据等腰三角形顶角的大小可以将其分为锐角、直角或钝角三角形．不同的三角形其高、中线、垂直平分线的交点位置均不同，比如锐角三角形腰上的高的交点在这个三角形的内部；直角三角形腰上的高的交点为两直角边的交点；钝角三角形腰上的高的交点在这个三角形的外部，因此在解答时需要分类讨论．6．已知△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交成50°的角，求底角的度数．解：由题意可判断该三角形不可能是直角三角形，可能是锐角三角形或钝角三角形，故分两种情况讨论：①如图1，垂直平分线DE 与腰AC 相交，且∠AED ＝50°，则∠A ＝40°，所以∠B ＝∠C ＝70°；②如图2，垂直平分线DE 与腰AC 的反向延长线相交，且∠AED ＝50°，则∠EAD ＝40°，∠BAC ＝140°，所以∠B ＝∠C ＝20°.综上可知，等腰三角形的底角为70°或20°.7．一个等腰三角形一边上的高等于另一边的一半，则等腰三角形底角的度数是多少？解：设∠A 为顶角，则∠ABC 、∠ACB 为底角． (1)若∠A 为锐角，如图1，作BD ⊥AC 于点D ， 根据题意有BD ＝12AB ，∠BDA ＝90°，∴∠A ＝30°，∠ABC ＝∠ACB ＝75°；(2)若∠A 为直角，根据题意“等腰三角形一边上的高等于另一边的一半”，这种情况无解； (3)若∠A 为钝角，有三种情况：①如图2，作AD ⊥BC 于点D ， 根据题意有AD ＝12AB ，∠ADB ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝30°；②如图3，作BD ⊥CA 的延长线于点D ， 根据题意有BD ＝12BC ，∠ADB ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝30°；③如图4，作BD ⊥CA 的延长线于点D ， 根据题意有BD ＝12AB ，∠ADB ＝90°，∴∠BAD ＝30°，∠ABC ＝∠ACB ＝15°.综上所述，等腰三角形底角的度数是75°、30°或15°.8．AC 为等腰△ABD 的腰BD 上的高，且∠CAB ＝60°.求这个三角形各内角的度数．解：①如图1，高AC 在△ABD 的内部， 因为∠CAB ＝60°，∠ACB ＝90°， 所以∠B ＝30°.因为BA ＝BD ，所以∠BAD ＝∠D ＝75°； ②如图2，高AC 在△ABD 的外部， 因为∠CAB ＝60°，∠ACB ＝90°， 所以∠ABC ＝30°. 所以∠ABD ＝150°.因为BA ＝BD ，所以∠BAD ＝∠D ＝15°； ③如图3，高AC 在△ABD 的外部， 因为∠CAB ＝60°，∠ACB ＝90°， 所以∠B ＝30°.因为DA＝DB，所以∠BAD＝∠B＝30°.所以∠ADB＝120°.综上所述，这个三角形各内角的度数分别为30°，75°，75°或150°，15°，15°或120°，30°，30°.复习轴对称01基础题知识点1轴对称与轴对称图形1．(赤峰中考)下列图标是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的，其中是轴对称图形的是①②③④(填序号)．2．图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？它共有几条对称轴？解：1和3，是，两条．知识点2线段的垂直平分线3．(遂宁中考)如图，在△ABC中，AC＝4 cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7 cm，则BC的长为(C)A．1 cmB．2 cmC．3 cmD．4 cm知识点3画轴对称图形4．请作出图中四边形ABCD关于直线a的轴对称图形，要求：不写作法，但必须保留作图痕迹．解：如图所示：四边形A′B′C′D′即为所求．知识点4等腰三角形5．(荆门中考改编)如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知BD＝4，则BC的长为(C)A．5B．6C．8D．106．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线，则图中的等腰三角形有(A)A．5个B．4个C．3个D．2个知识点5等边三角形7．如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为(D) A．15°B．30°C．45°D．60°8．(义乌中考)由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18 cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是18cm.知识点6含30°角的直角三角形的性质9．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，则CD＝3．10．如图，△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD，若AD＝2 cm，则△ABC的周长为12cm.知识点7最短路径问题11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP＋BP的最小值是(B)A．3B．4C．5D．602中档题12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝75°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为(A)A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°13．(雅安中考)如图所示，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，若DE＝2，则EC＝8．14．如图，在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(3，1)，C(－2，－1)．(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)△A1B1C1的面积为4.5．解：如图所示：△A1B1C1即为所求．15．如图所示，MP和NQ分别垂直平分AB和AC.(1)若△APQ的周长为12，求BC的长；(2)∠BAC＝105°，求∠PAQ的度数．解：(1)∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴AP＝BP，AQ＝CQ.∴△APQ的周长为AP＋PQ＋AQ＝BP＋PQ＋CQ＝BC.∵△APQ的周长为12，∴BC ＝12.(2)∵AP ＝BP ，AQ ＝CQ ，∴∠B ＝∠BAP ，∠C ＝∠CAQ.∵∠BAC ＝105°，∴∠BAP ＋∠CAQ ＝∠B ＋∠C ＝180°－∠BAC ＝180°－105°＝75°.∴∠PAQ ＝∠BAC －(∠BAP ＋∠CAQ)＝105°－75°＝30°.03 综合题16．如图，在等边△ABC 中，点E 为边AB 上任意一点，点D 在边CB 的延长线上，且ED ＝EC.(1)当点E 为AB 的中点时(如图1)，则有AE ＝DB(填“＞”“＜”或“＝”)；(2)猜想AE 与DB 的数量关系，并证明你的猜想．解：当点E 为AB 上任意一点时，AE 与DB 的大小关系不会改变．理由如下：过E 作EF ∥BC 交AC 于F ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠A ＝60°，AB ＝AC ＝BC.∴∠AEF ＝∠ABC ＝60°，∠AFE ＝∠ACB ＝60°，即∠AEF ＝∠AFE ＝∠A ＝60°.∴△AEF 是等边三角形．∴AE ＝EF ＝AF.∵∠ABC ＝∠ACB ＝∠AFE ＝60°，∴∠DBE ＝∠EFC ＝120°，∠D ＋∠BED ＝∠FCE ＋∠ECD ＝60°.∵DE ＝EC ，∴∠D ＝∠ECD.∴∠BED ＝∠ECF.在△DEB 和△ECF 中，⎩⎨⎧∠DEB ＝∠ECF ，∠DBE ＝∠EFC ，DE ＝EC ，∴△DEB ≌△ECF(AAS )．∴BD ＝EF ＝AE ，即AE ＝BD.。

中考数学复习《轴对称》专题训练-带含有参考答案一、选择题1．下列交通标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．点P关于x轴对称点M的坐标为（4，﹣5），那么点P关于y轴对称点N的坐标为（）A．（﹣4，5）B．（4，5）C．（﹣4，﹣5）D．（﹣5，4）3．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，线段AB 的顶点均在格点上．在图中画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N均为格点，这样的线段能画（）条．A．2 B．3 C．5 D．64．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线AB=5cm，BC=8cm，则△ABD的周长为（）A．10cm B．13cm C．15cm D．16cm5．等腰三角形的周长为11，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为（）A．3B．5C．4或5D．3或56．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且BD=12cm，则AC的长是（）A．12cm B．6cm C．4cm D．6√3cm7．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F，若FG=3，ED=6，则EB+DC的值为（）A．7 B．8 C．9 D．108．如图，已知ΔABC是正三角形，D是BC边上任意一点，过点D作DF⊥AC于点F，ED⊥BC交AB于点E，则∠EDF等于（）A．50°B．65°C．60°D．75°二、填空题9．某车标是一个轴对称图形，有条对称轴.10．在平面直角坐标系中，点M（a，3）与点N（5，b）关于y轴对称，则a﹣b＝．11．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC于点D，交AB于点E．若AE=3，△ADC的周长为8，则△ABC的周长为．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，∠A＝36°，则图中等腰三角形的个数是．13．如图，在△ABC中AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=6，BC的长是.三、解答题14．图①、图②均是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上．请用无刻度的直尺按下列要求在网格中作图．（1）在图①中，连接AC，以线段AC为腰作一个等腰直角三角形ACD；（2）在图②中确定一个格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形．使其为轴对称图形．15．如图，在中，的垂直平分线分别交线段，于点M，P，的垂直平分线分别交线段，于点N，Q．（1）如图，当时，求的度数；（2）当时，求的度数．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(-1，5)，B(-1，0)，C(-4，3)．（1）求出△ABC的面积．（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．（3）写出点△A1B1C1的坐标．17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在△ABC的三条边上，且BF=CD，BD=CE．（1）求证：△DFE是等腰三角形；（2）若∠A=56°，求∠EDF的度数．18．如图，在△ABC中AB=AC，点D在△ABC内BD=BC，∠DBC=60°点E在△ABC外∠BCE=150°，∠ABE=60° .（1）求∠ADB的度数；（2）判断△ABE的形状并加以证明；（3）连接DE，若DE⊥BD，DE=8求AD的长.参考答案1．B2．A3．C4．B5．D6．B7．C8．C9．310．﹣811．1412．313．1814．（1）解：如图①所示（2）解：如图②所示15．（1）解：∵、分别是的垂直平分线∴∵∴∵∴∴（2）解：∵分别是的垂直平分线∴∴∴当P点在Q点右侧时，如图：∵∴∵∴．当P点在Q点左侧时∵∴∵∴．综上或．16．（1）解：S△ABC= 12×5×3=152（或7.5）（平方单位）（2）解：如图．（3）解：A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）. 17．（1）证明：∵AB=AC∴∠B=∠C在△FBD与△DCE中{BF＝CD∠B＝∠CBD＝CE∴△FBD≌△DCE．∴DF=ED，即△DEF是等腰三角形（2）解：∵AB=AC，∠A=56°∴∠B=∠C= 12(180°−56°)＝62°．∴∠EDF=∠B=62°．18．（1）解：∵BD=BC，∠DBC=60°∴△DBC是等边三角形，∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°在△ADB和△ADC中{AB=ACAD=ADDB=DC∴△ADB≌△ADC，∴∠ADB=∠ADC，∴∠ADB= 12（360°﹣60°）=150°.（2）解：结论：△ABE是等边三角形.理由：∵∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABD=∠CBE在△ABD和△EBC中{AB=EB∠ADB=∠BCE=150°∠ABD=∠CBE∴△ABD≌△EBC ∴AB=BE，∵∠ABE=60°，∴△ABE是等边三角形.（3）解：连接DE.∵∠BCE=150°，∠DCB=60°，∴∠DCE=90°，∵∠EDB=90°，∠BDC=60°∴∠EDC=30°，∴EC= 12DE=4，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC=4.。

专题12 轴对称30大高频考点一．生活中轴对称1．如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是点．2．数的运算中含有一些有趣的对称形式，如12×231＝132×21，按照此等式的形式填空：12×462＝×；×891＝×81．二．轴对称图形的辨析3．在“线段、角、直角三角形、等边三角形”这四个图形中，对称轴最多的图形是．4．如图，在3×3的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有个．5．线段是轴对称图形，它的对称轴是；角是轴对称图形，它的对称轴是．三．镜面对称6．有两面可绕一立轴转动的立式镜，我站在这两面镜手前的一个点上，这个点位于镜面夹角的角平分面上．若两镜面的夹角为50°，我将可以看到自己的镜像数为（）A．10B．8C．6D．4四．剪纸类7．将一个正方形纸片对折后对折再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）A．B．C．D．8．如图，从△ABC的纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE．若∠1+∠2＝230°，则∠C＝（）A．230°B．130°C．50°D．110°五．设计轴对称图案9．如图是5个小正方形纸片拼成的图形，现将其中一个小正方形纸片平移，使它与原图中剩下的小正方形纸片有一条或两条边重合后拼成一个轴对称图形，在拼出的所有不同位置的轴对称图形中，全等的图形共有（）A．0对B．1对C．2对D．3对六．轴对称的性质10．如图，点P为∠AOB内部任意一点，点P与点P1关于OA对称，点P与点P2关于OB对称，OP＝4，∠AOB＝45°，则△OP1P2的面积为．11．如图，把一张长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D′落在∠BAC的内部，若∠CAE＝2∠BAD′，且∠CAD′＝n，则∠DAE的度数为（用含n的式子表示）．七．：轴对称与最值12．如图，AD，BE在AB的同侧，AD＝4，BE＝4，AB＝8，点C为AB的中点，若∠DCE＝120°，则DE的最大值是．13．如图，点C，D在AB的同侧，AC＝5，AB＝10√2，BD＝10，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是．14．如图，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AB＝4，D为BC上一动点，过D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，连接EF，则EF的最小值为．15．如图，在锐角△ABC中，∠A＝30°，BC＝3，S△ABC＝8，点P是边BC上的一动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别是M，N，连接MN，则MN的最小值为．八．作图：轴对称的变换16．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，△A′B′C′和△ABC 关于直线l成轴对称，其中A′点的对应为A点．（1）请画出△A′B′C′，并标出相应的字母；（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△A′B′C′的面积．17．如图，在平面直角坐标系的网格中，其最小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上．（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A'B'C'，并写出△A'B'C'三个顶点的坐标；（2）判断△A'B'C'的形状，并简单加以说明．九．角平分线的性质18．如图，已知△ABC的周长是18，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3，则△ABC的面积是．19．如图，OP平分∠MON，P A⊥ON于点A，P A＝3，点Q是射线OM上一个动点，若PQ＝m，则m的取值范围是．20．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是30、40、50，∠ABC和∠ACB的角平分线交于O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5十．角平分的性质与面积21．如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB ＝20，则△AOB的面积是．22．如图，已知△ABC的周长是18，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是．23．已知点O是△ABC的三个内角平分线的交点，若△ABC的周长为24cm，面积为36cm2，则点O 到AB的距离为cm．十一．角平分线的判定24．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离相等（即OF＝OD＝OE），若∠BAC＝80°，则∠BOC（）A．110°B．120°C．130°D．140°25．东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的距离相等，且使得S△ABH ＝S△BCH，则凉亭H是（）A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点十二．垂直平分线的性质26．如右图：AB比AC长3cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，△ACD的周长是14cm，则AB＝cm．27．如图，在△ABC中，AB、AC的中垂线GF、DE分别交BC于点F、E，连接AE、AF，∠B+∠C＝50°，那么∠F AE的度数是（）A．80°B．70°C．60°D．50°十三．垂直平分线的判定28．如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．（1）若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；（2）求证：EF垂直平分AD．十四．角平分线与垂直平分线的融合29．如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论．十五．等腰三角形的性质30．如图，△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝48°，点O为△ABC内一点，∠OAB＝12°，∠OBC＝18°，则∠ACO+∠AOB＝（）A．190°B．195°C．200°D．210°31．求证：等腰三角形两底角的平分线相等．32．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．十六．等腰三角形的判定33．如图，已知△ABC，CD平分它的外角∠BCE，AB∥CD，证明：△ABC为等腰三角形．34．如图，在△ABC中，∠A＝60°．BE，CF交于点P，且分别平分∠ABC，∠ACB．（1）求∠BPC的度数；（2）连接EF，求证：△EFP是等腰三角形．十七．格点等腰三角形35．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点；已知A，B是两格点，若C点也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有个．36．如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点（OM＜ON），∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是．十八．图形的存在性之等腰37．如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠A＝100°，点P在△ABC的三边上运动，当△P AC成为等腰三角形时，其顶角的度数是．38．在△ABC中，∠A＝40°，当∠C＝时，△ABC为等腰三角形．39．如图，等边△ABC的边长为12cm，M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边顺时针运动，点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N两点同时停止运动，则当M，N运动时间t＝s时，△AMN为等腰三角形．十九．等腰三角形的性质与判定综合40．如图，点D在等边△ABC的外部，连接AD、CD，AD＝CD，过点D作DE∥AB交AC于点F，交BC于点E．（1）判断△CEF的形状，并说明理由；（2）连接BD，若BC＝10，CF＝4，求DE的长．41．在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED．（1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE；（2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明．二十．等边三角形的性质42．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，CE＝CD，（1）求证：DB＝DE．（2）在图中过D作DF⊥BE交BE于F，若CF＝4，求△ABC的周长．二十一．等边三角性的判定43．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB．（1）求∠C的度数；（2）求证：△ADE是等边三角形．二十二．等边三角性的判定与性质的综合运用44．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．45．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．（1）求证：AE＝2CE；（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．二十三．含30°角的直角三角形46．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，边AB的垂直平分线交边BC于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF．求证：AC＝DF．（说明：此题的证明过程需要批注理由）二十四．直角三角形斜中线的运用47．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103﹣104页的部分内容．如图24.2.1，画Rt△ABC，并画出斜边AB上的中线CD，量一量，看看CD与AB有什么关系．相信你与你的同伴一定会发现，CD恰好是AB的一半．下面让我们用演绎推理证明这一猜想．已知：如图24.2.2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，求证：CD=12AB．定理证明：请根据教材图24.2.2的提示，结合图①完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明．定理应用：（1）如图②，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D（点D在BC上），CE是AB边上的中线，DG垂直平分CE．求证：∠B＝2∠BCE；（2）在（1）条件下，若BF⊥AC于点F，连接DE、EF、FD．当△DEF是等边三角形，且BD ＝3时，△DEF的周长为．48．如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一点（不与A、B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中点，请判断△P AE的形状，并说明理由．二十五．新定义49．定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2＝2c2，则称△ABC为“方倍三角形”．（1）对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是．A．①一定是“方倍三角形”B．②一定是“方倍三角形”C．①②都一定是“方倍三角形”D．①②都一定不是“方倍三角形”（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB=√3，则该三角形的面积为；（3）如图，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP 进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD．若△ABD为“方倍三角形”，且AP=√2，求△PDC 的面积．二十六．尺规作图50．如图，在△ABC中，∠C＝90°．（1）过点B作∠ABC的平分线交AC于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）；（2）若CD＝3，AB+BC＝16，求△ABC的面积．51．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）二十七．规律类52．如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；…，根据以上操作，若操作2022次，得到小正方形的个数是（）A．6065B．6066C．6067D．606853．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E；…按此做法继续下去，则第2022个三角形中以A2022为顶点的内角度数是（）A ．（12）2019•75°B ．（12）2020•75°C ．（12）2021•75°D ．（12）2022•75° 二十八．坐标中的轴对称54．已知点M （a ，﹣3），点N （﹣2，b ）关于y 轴对称，则（a +b ）2022的值（ ）A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．355．平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （1，4），B （3，4），C （3，﹣1）．（1）试在平面直角坐标系中，标出A 、B 、C 三点；（2）求△ABC 的面积．（3）若△A 1B 1C 1与△ABC 关于x 轴对称，写出A 1、B 1、C 1的坐标．二十九．三线合一的妙用56．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的角平分线交BC 于点D ，DE ⊥AC 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，DE ＝3，则CF 的长为（ ）A ．4B ．6C ．9D ．1257．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）求证：BE＝CE．三十．角平分与平行、垂直的巧妙融合58．如图，在△ABC中，过点B作△ABC的角平分线AD的垂线，垂足为F，FG∥AB交AC于点G，若AB＝4，则线段FG的长为．59．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG＝5，ED＝9，求EB+DC＝．60．如图，已知S△ABC＝24m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC m2．。

中考数学总复习《轴对称》专项测试卷-附有参考答案（测试时间60分钟满分100分）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（共8题，共40分）1.在平面直角坐标系中，点P(−2,3)关于x轴对称的点的坐标为( )A．(−2,−3)B．(2,−3)C．(−3,2)D．(3,−2) 2.下列四个图案中，不是轴对称图案的是( )A．B．C．D．3.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是( )A．中B．国C．加D．油4.点P(m,−2)与点P1(−4,n)关于x轴对称，则m，n的值分别为( )A．m=4，n=−2B．m=−4，n=2C．m=−4，n=−2D．m=4，n=25.若等腰三角形的周长为30cm，一边为14cm，则腰长为( )A．2cm B．8cmC．8cm或2cm D．14cm或8cm6.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线AC=8cm，且△ABD的周长为14cm则△ABC的周长为( )A．15cm B．18cm C．22cm D．25cm7.在Rt△ABC中∠ABC=90∘，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是( )A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC8.若等腰三角形的一个内角为80∘，则这个等腰三角形的顶角为( )A．80∘B．50∘C．80∘或50∘D．80∘或20∘二、填空题（共5题，共15分）9.如图，等边△ABC，B点在坐标原点，C点的坐标为(4,0)，点A关于x轴对称点Aʹ的坐标为．10.如图，已知△ABC是等边三角形，D是AC边上的任意一点，点B，C，E在同一条直线上，且CE=CD，则∠E=度．11.如图，在△ABC中AB=AC=5，BC=6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于1AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，2交AD于点E，则DE的长为．12.如图，长方形纸条ABCD中AB∥CD，AD∥BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90∘．将长方形纸条沿直线EF折叠，点A落在Aʹ处，点D落在Dʹ处，AʹE交CD于点G．若∠AEF=α，则∠AʹGC=（用含α的式子表示）．13.在平面直角坐标系中，点A的坐标是(−1,2)．作点A关于y轴的对称点，得到点Aʹ，再将点Aʹ向下平移4个单位长度，得到点Aʺ，则点Aʺ的坐标是（，）．三、解答题（共3题，共45分）14.如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN过点O交AB于点M，交AC于点N，且MN∥BC，BM=6，CN=7．求MN的长．15.如图，在△ABC中AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE= CF，BD=CE．(1) 求证：△DEF为等腰三角形；(2) 当∠A=50∘时，求∠DEF的度数．16.如图，△ABC为等边三角形，D为△ABC内一点，且∠ABD=∠DAC，过点C作AD 的平行线，交BD的延长线于点E，BD=EC连接AE．(1) 求证：△ABD≌△ACE；(2) 求证：△ADE为等边三角形．参考答案1. 【答案】A2. 【答案】C3. 【答案】A4. 【答案】B5. 【答案】D6. 【答案】C7. 【答案】C8. 【答案】D9. 【答案】63∘或27∘10. 【答案】3011. 【答案】7812. 【答案】180∘−2α13. 【答案】1；−214. 【答案】∵BO平分∠ABC∴∠ABO=∠CBO∵MN∥BC∴∠CBO=∠BOM∴∠ABO=∠BOM∴BM=OM同理可得：∠ACO=∠CON∴CN=ON∴MN=OM+ON=BM+CN=6+7=13．15. 【答案】(1) ∵AB=AC∴∠B=∠C在△BDE和△CEF中{BD=CE,∠B=∠C, BE=CF,∴△BDE≌△CEF(SAS)∴DE=EF∴△DEF为等腰三角形；(2) ∵△BDE≌△CEF∴∠BDE=∠CEF∴∠BED+∠CEF=∠BED+∠BDE∵∠B+(∠BED+∠BDE)=180∘∠DEF+(∠BED+∠BDE)=180∘∴∠B=∠DEF．∵∠A=50∘AB=AC∴∠B=12(180∘−50∘)=65∘∴∠DEF=65∘．16. 【答案】(1) ∵△ABC是等边三角形∴AB=AC∠BAC=∠ACB=60∘∵AD∥CE∴∠DAC=∠ACE，且∠ABD=∠DAC∴∠ACE=∠ABD，且AB=AC BD=CE∴△ABD≌△ACE(SAS)．(2) ∵△ABD≌△ACE∴AD=AE∠BAD=∠CAE∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=60∘∴∠CAE+∠DAC=∠DAE=60∘，且AD=AE∴△ADE是等边三角形．。

人教版八年级上第13章轴对称热门考点整合应用训练含答案名师点金：本章内容在中考试题中一直占有重要的地位，属必考内容，多以选择题，填空题的形式显现，其考查内容要紧有轴对称和轴对称图形的识不，最短距离咨询题，与翻折有关的运算和证明题等．21*cnjy*com两个概念概念1：轴对称图形1．【2016·赤峰】下列图形是由我们熟悉的一些差不多数学图形组成的，其中是轴对称图形的是________．(填序号)(第1题)2．【2016·北京】甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是()概念2：轴对称3．观看图①～④中的左右两个图形，它们是否成轴对称？如果是，请画出其对称轴．(第3题)五个性质性质1：轴对称的性质4．如图，将四边形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的点F处．若△AFD的周长为24 cm，△ECF的周长为8 cm，求四边形纸片ABCD的周长．(第4题)性质2：等腰三角形的性质(第5题)5. 如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC.若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的度数是()A．100°B．80°C．70°D．50°性质3：等边三角形的性质6．如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，试讲明：BD＋CD ＝AD.(第6题)性质4：线段垂直平分线的性质7．如图，直线PG为△ABC的边BC的垂直平分线，∠PBC＝错误!∠A，BP，CP的延长线分不交AC，AB于点D，E.试讲明：BE＝CD.【版权所有：21教育】(第7题)性质5：含30°角的直角三角形的性质8．如图，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠A＝60°，作DC∥AB，且∠DBC＝∠BDC，DC与BC交于点C，CD＝4.【出处：21教育名师】求：(1)∠CBD的度数；(2)AB的长．(第8题)三个判定判定1：等腰三角形的判定9．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，AE∶EM∶MB＝1∶2∶1，AD∶DN∶NC＝1∶2∶1，连接MD，NE交于点O，求证：△OMN是等腰三角形．(第9题)判定2：等边三角形的判定10．如图，设在一个宽度AB＝a的小巷内，一个梯子的长度为b，梯子的脚位于P点，将该梯子的顶端放于一面墙上的Q点时，Q点离地面的高为c，梯子与地面的夹角为45°，将梯子顶端放于另一面墙上的R点时，离地面的高度为d，现在梯子与地面的夹角为75°，则d＝a，什么缘故？(第10题)判定3：线段垂直平分线的判定11．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，EF交AD于点M，试讲明：AD垂直平分EF.2·1·c·n·j·y(第11题)两个应用应用1：线段垂直平分线的应用12．如图，A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学的咨询题，打算新建一所小学，要使学校到三个村庄距离相等，请你在图中确定学校的位置．(第12题)应用2：最短与最长路径的应用13．如图，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A，B的距离之差最大，并讲明理由．(第13题)两种思想思想1：方程思想14．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，在△ABC外部分不作等边三角形ADB和等边三角形ACE.若∠DAE＝∠DBC，求△ABC三个内角的度数．【来源：21·世纪·教育·网】(第14题)思想2：分类思想15．在等腰三角形ABC中，∠A比∠B的2倍少50°，求∠B的度数．答案：1．①②③④2．D3．解：题图①②③中的左右两个图形成轴对称，题图④中的左右两个图形不成轴对称．题图①②③中成轴对称的两个图形的对称轴如图所示．2 1教育网(第3题)4．解：由题意可知，△ABE和△AFE关于直线AE成轴对称，因此A B＝AF，BE＝FE.因为△AFD的周长为24 cm，△ECF的周长为8 cm，即AD＋DF＋AF＝24 cm，FC＋CE＋FE＝8 cm，因此四边形纸片ABCD的周长为AD＋DC＋BC＋AB＝AD＋DF＋FC ＋CE＋BE＋AB＝(AD＋DF＋AF)＋(FC＋CE＋FE)＝24＋8＝32(cm)．21·c n·jy·com5．A点拨：(方法一)因为DA＝DB，因此∠DBA＝∠DAB＝20°.因为DA＝DC，因此∠DCA＝∠DAC＝3 0°.在△ABC中，有∠DBC＋∠DCB＝180°－2×20°－2×30°＝80°.因此∠BDC＝180°－(∠DBC＋∠DCB)＝180°－80°＝100°.21·世纪*教育网(方法二)在△ADB中，由方法一可得∠ADB＝180°－2×20°＝180°－40°＝140°.同理∠ADC＝180°－2×30°＝120°.因此∠BDC＝360°－140°－120°＝100°.故选A.6．解：因为△ABC ，△BDE 均为等边三角形，因此BE ＝BD ＝DE ，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠EBD ＝60°. 因此∠ABE ＋∠EBC ＝∠DBC ＋∠EBC. 因此∠ABE ＝∠DBC.在△ABE 和△CBD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBD ，BE ＝BD ， 因此△ABE≌△CBD(SAS)．因此AE ＝CD. 又因为AD ＝AE ＋ED ，ED ＝BD ，因此BD ＋CD ＝AD.7．解：如图，在BD 上截取BE ′，使BE ′＝CE ，连接CE ′. 因为直线PG 为BC 的垂直平分线， 因此PB ＝PC.(第7题)因此∠PBC ＝∠PCB ，PE ′＝PE. 又因为∠BPE ＝∠CPE ′， 因此△BPE ≌△CPE ′(SAS)． 因此BE ＝CE ′，∠EBP ＝∠E ′CP.因为∠CDE ′＝∠A ＋∠ABP ，∠CE ′D ＝∠E ′BC ＋∠BCE ′＝2∠P BC ＋∠E ′CP ＝∠A ＋∠E ′CP ，www-2-1-cnjy-com因此∠CDE ′＝∠CE ′D.因此CD ＝CE ′.因此BE ＝CD. 8．解：(1)在Rt △ADB 中，∵∠A ＝60°，∠ADB ＝90°， ∴∠ABD ＝30°.∵AB ∥CD ，∴∠CDB ＝∠ABD ＝30°. 又∵∠DBC ＝∠BDC ， ∴∠CBD ＝∠CDB ＝30°.(第8题)(2)如图，过点C 作CM ⊥BD 于点M ，交AB 于点E ，连接DE ，∵∠DBC ＝∠BDC ，∴BC ＝CD ，又∵CM ⊥BD ，∴DM ＝MB.∴CE 为线段BD 的垂直平分线，∴DE ＝EB ，∴∠EDB ＝∠EBD ＝30°.∵∠CDM ＝30°，∠CMD ＝90°，∴CM ＝12CD ＝12×4＝2.又∵∠EBM ＝∠CBM ＝30°，∠EMB ＝∠CMB ＝90°，BM ＝BM ， ∴△EBM ≌△CBM ，∴EM ＝CM ＝2. ∵∠EDM ＝30°，∠EMD ＝90°， ∴DE ＝2EM ＝4.∵∠DEA ＝∠EDB ＋∠EBD ＝60°，∠A ＝60°，∴∠DEA ＝∠A. ∴AD ＝DE ＝4.又∵∠ADB ＝90°，∠ABD ＝30°， ∴AB ＝2AD ＝8.点拨：含30°角的直角三角形的性质常与直角三角形的两个锐角互余同时运用，此性质是求线段长度和证明线段倍分咨询题的重要依据．2-1-c-n-j-y9．证明：在△ABC 中，因为AB ＝AC ，且AE ∶EM ∶MB ＝1∶2∶1，AD ∶DN ∶NC ＝1∶2∶1，21*cnjy*com因此AD ＝14AC ，AE ＝14AB ＝14AC ， 因此AE ＝AD.同理AM ＝AN. 在△ADM 与△AEN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AE ，∠MAD ＝∠NAE ，AM ＝AN ，因此△ADM ≌△AEN ， 因此∠AMD ＝∠ANE.又因为AM ＝AN ，因此∠AMN ＝∠ANM ，因此∠AMN －∠AMD ＝∠ANM －∠ANE ，即∠OMN ＝∠ONM ， 因此OM ＝ON ，因此△OMN 是等腰三角形． 10．解：连接RQ ，RB ，设BR 与PQ 交于点M. ∵∠RPA ＝75°，∠QPB ＝45°，∴∠RPQ＝180°－75°－45°＝60°.又∵PR＝PQ，∴△PRQ为等边三角形．∴RP＝RQ.在Rt△BPQ中，∵∠BPQ＝45°，∴∠BQP＝90°－45°＝45°，∴∠BPQ＝∠BQP，∴BP＝BQ.∴点R，B在PQ的垂直平分线上，∴BM⊥PQ.在Rt△BMP中，∵∠BPQ＝45°，∴∠RBA＝45°.在Rt△RAB中，∵∠ARB＝90°－∠RBA＝45°，∴∠ARB＝∠RBA，∴AR＝AB，即d＝a.点拨：若两个点到线段两端点的距离相等，则这两点确定的直线是该线段的垂直平分线．11．解：因为AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，因此DE＝DF.因此点D在线段EF的垂直平分线上．因为∠FAD＝∠EAD，∠AFD＝∠AED＝90°，AD＝AD，因此△AFD≌△AED.因此AF＝AE.因此点A在线段EF的垂直平分线上．∴按照两点确定一条直线可知，AD即为EF的垂直平分线，即AD垂直平分EF.12．解：作法：(1)连接AB，BC；(2)分不作AB，BC的垂直平分线交于点P，则点P确实是所要确定的学校的位置，如图．(第12题)点拨：三角形三边的垂直平分线交于一点，同时这点到三个顶点的距离相等．找三角形中到三个顶点距离相等的点的方法确实是找任意两边的垂直平分线的交点．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，因此l为线段AA′的垂直平分线．则有CA＝CA′，因此CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，因此C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A′－C′B＜A′B，因此C′A－C′B＜CA－CB.(第13题)14．解：因为△ADB和△ACE差不多上等边三角形，因此∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝60°＋∠BAC＋60°＝12 0°＋∠BAC，∠DBC＝60°＋∠ABC.【来源：21cnj*y.co*m】又因为∠DAE＝∠DBC，因此120°＋∠BAC＝60°＋∠ABC，即∠ABC＝60°＋∠BAC.又因为△ABC是等腰三角形，因此∠ACB＝∠ABC＝60°＋∠BAC.设∠BAC＝x°，因为∠BAC＋2∠ABC＝180°，则x＋2(x＋60)＝180，解得x＝20.因此∠ACB＝∠ABC＝60°＋∠BAC＝60°＋20°＝80°.因此△ABC三个内角的度数分不为20°，80°，80°.15．解：设∠B＝x°.因为∠A比∠B的2倍少50°，因此∠A＝2x°－50°.因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，因此∠C＝180°－(2x°－50°)－x°＝230°－3x°.当AB＝AC时(如图①)，现在有∠B＝∠C，则x＝230－3x.解得x＝57. 5.当AB＝BC时(如图②)，现在有∠A＝∠C，则2x－50＝230－3x.解得x＝56.当AC＝BC时(如图③)，现在有∠A＝∠B，则2x－50＝x.解得x＝50.综上所述，∠B为57.5°或56°或50°.点拨：本题要求的是等腰三角形的内角，这类咨询题通常要分类讨论．如何样讨论是解题的重点和难点．本题巧妙地采纳设未知数的方法，使得三个角都能用含未知数的式子来表示，再按照等腰三角形顶角、底角的情形进行分类．21教育名师原创作品(第15题)。

轴对称性质的应用（人教版）试卷简介:本套试卷主要检测同学们对轴对称的应用——折叠问题，剪纸问题及最短路径问题的掌握情况，重点训练折叠问题、轴对称最短路径问题的解决方法。

一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=37°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，点B恰好落在AC边上的点B′处，则∠ADB′的度数为( )A.15°B.16°C.23°D.25°答案：B解题思路：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=37°，∴∠B=53°．由折叠可知，．又∵，∴．故选B．试题难度：三颗星知识点：折叠问题2.如图，将长方形ABCD沿AC折叠，点B落在点E处，CE交AD于点F．若长方形ABCD的周长为20cm，则△AEF的周长为( )A.20cmB.15cmC.12cmD.10cm答案：D解题思路：由折叠可知：AE=AB，BC=EC，∠ACB=∠ACE，在长方形ABCD中，AD∥BC，∴∠ACB=∠CAD，∴∠CAD=∠ACE，∴AF=FC，∴EA+EF+AF=AB+EF+FC=AB+EC=AB+BC．∵长方形ABCD的周长为20cm，∴AB+BC=10cm，即△AEF的周长为10cm．故选D．试题难度：三颗星知识点：折叠问题3.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，BC=8，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在处，连接，则的长为( )A.6B.4C.3D.2答案：C解题思路：∵AD是△ABC的中线，且BC=8，∴BD=DC=4．由折叠可知，，，，∴为等边三角形，∴．故选C．试题难度：三颗星知识点：折叠问题4.如图1，P点在三角形纸片ABC的BC边上．将点A折至点P时，出现折线BD，其中点D 在AC边上，如图2所示．若△ABC的面积为8，△DBC的面积为5，则BP与PC的长度之比为( )A.3:2B.5:3C.3:5D.13:8答案：A解题思路：1．思路点拨：①已知面积求线段之间的比值，往往考虑借助等底（等高）模型转移面积．②折叠变换是全等变换，全等三角形面积相等．2．解题过程：由题意可得，，由折叠性质可知，△ABD≌△PBD，∴，∴，∴．故选A．试题难度：三颗星知识点：折叠问题5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB 于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为( )A.4cmB.3cmC.2cmD.1cm答案：C解题思路：1．思路点拨：见到垂直平分线要考虑垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，故想到连接AM，AN，出现等腰三角形．2．解题过程：如图，连接AM，AN．∵ME，NF分别为AB，AC的垂直平分线，∴AM=BM，AN=CN，∴∠1=∠B，∠2=∠C．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，即∠1=∠2=∠B=∠C=30°，∴∠3=120°-30°-30°=60°，∠4=2∠B=60°，∴△AMN为等边三角形，∴MN=AM=AN，∴MN=BM=CN=2cm．故选C．3．易错点：①不能结构化思考，对于见到垂直平分线要想到什么不清楚；②能作出辅助线，但不知道借助等腰三角形进行边和角的互转．试题难度：三颗星知识点：垂直平分线的性质6.如图1，在长方形ABCD中，点E在AD边上，且BE=2AE．分别以BE，CE为折线，将A，D向BC的方向折过去，如图2所示．若，则∠BCE的度数为( )A.30°B.32.5°C.35°D.37.5°答案：D解题思路：1．思路点拨：遇到折叠问题首先要理解折叠变换是一种全等变换，利用折叠可以转移边、转移角．通常的思考角度是：先找折痕；折痕两侧的图形是全等图形，由此进行转移和表达；最后结合条件建方程求解．2．解题过程：在Rt△ABE中，BE=2AE，∴∠ABE=30°，∠AEB=60°．由折叠的性质可知，，，∵∠AEB=60°，，∴，∴，∴，．∵AD∥BC，∴∠BCE=∠DEC=37.5°．故选D．3．易错点：①不能发现含30°角的直角三角形；②利用折叠转移角度之后，不能借助平行和所求目标建立联系．试题难度：三颗星知识点：折叠问题7.将一张正方形纸片按图1、图2所示的方式依次对折后，再沿图3中的虚线裁剪，得到图4，最后将图4中的纸片打开铺平，所得到的图案是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：此题可利用动手操作进行解决，严格按照题中顺序折叠和裁剪，可知答案为B．也可利用还原法，根据轴对称的性质解题．也可寻找对称轴（折痕所在直线即为对称轴）．故选B．试题难度：三颗星知识点：剪纸问题8.如图是一台球桌面的示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，再经桌边反弹，最后进入球洞的序号是( )A.①B.②C.⑤D.⑥答案：A解题思路：如图，∴最后进入①号球洞．故选A．试题难度：三颗星知识点：线段垂直平分线的性质9.如图，已知正方形ABCD的面积为64，△ABE是等边三角形，且点E在正方形ABCD内．若在对角线AC上存在一点P，使PD+PE的值最小，则这个最小值为( )A.6B.8C.9D.12答案：B解题思路：由于点B与点D关于AC对称，则BE与AC的交点即为PD+PE的值最小时所对应的点P．此时PD+PE=BE，而BE是等边三角形ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为64，可求出AB的长，从而得出结果．如图，BE与AC交于点P，连接BD．∵点B与点D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE，此时PD+PE的值最小．∵正方形ABCD的面积为64，∴AB=8．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=8．故所求最小值为8．故选B．试题难度：三颗星知识点：轴对称—最短路径问题10.如图，已知牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD．若点A到CD中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，所走的最短路程为( )A.750米B.1000米C.1500米D.2000米答案：B解题思路：作出点A关于河岸的对称点，连接，交河岸于点M，则牧童从A处把牛牵到河边M处饮水再回家，此时所走的路程最短，即为的长．如图，∵AC=BD，∴．∵A，B到河岸的距离分别为AC和BD，∴AC⊥CD，BD⊥CD，∴．又∵，∴，∴CM=DM，，∴M为CD的中点．由于A到CD中点的距离为500米，所以到M的距离为500米，则米．故所走的最短路程为1000米．试题难度：三颗星知识点：轴对称—最短路径问题。

专题04 轴对称问题的三种考法类型一、函数中的最值问题（和最小，差最大问题）例1．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴交于点A 、与y 轴交于点B ，且∠ABO ＝45°，A （－6，0），直线BC 与直线AB 关于y 轴对称.(1)求△ABC 的面积；(2)如图2，D 为OA 延长线上一动点，以BD 为直角边，D 为直角顶点，作等腰直角△BDE ，求证：AB ⊥AE ；(3)如图3，点E 是y 轴正半轴上一点，且∠OAE ＝30°，AF 平分∠OAE ，点M 是射线AF 上一动点，点N 是线段AO 上一动点，判断是否存在这样的点M ，N ，使OM ＋NM 的值最小？若存在，请写出其最小值，并加以说明.【答案】（1）36；（2）证明见解析；（3）3，理由见解析.【详解】解：（1）由已知条件得： AC=12，OB=6，∴1126362ABC S =´´=V （2）过E 作EF ⊥x 轴于点F ，延长EA 交y 轴于点H,∵△BDE 是等腰直角三角形，∴DE=DB, ∠BDE=90°,∴EDF BDO 90ÐÐ+=°∵BOD 90Ð=°∴BDO DBO 90ÐÐ+=°∴EDF DBOÐÐ=∵EF x ^轴，∴DEF BDO@V V ∴DF=BO=AO,EF=OD∴AF=EF∴EAF OAH OAB 45ÐÐÐ===°∴∠BAE ＝90°（3）由已知条件可在线段OA 上任取一点N,再在AE 作关于OF 的对称点N ¢,当点N 运动时，´ON 最短为点O 到直线AE 的距离,即点O 到直线AE 的垂线段的长，∵OAE 30Ð=°，OA=6，∴OM+ON=3【变式训练1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点(0,6)B ，AB AC =，AB AC ^，30BAO Ð=°．（1）如图①，若点D 为AB 的中点，求OD 的长；（2）如图②，若点E 在x 轴上，且45OEB Ð=°，求ACE Ð的度数；（3）如图③，设BF 平分ABO Ð交x 轴于点P ，点M 是射线BF 上一动点，点N 是射线PA 上一动点，OM MN -的最大值为m ，判断是否存在这样点M ，N ，使m 的值最小？若存在，请在答题卷上作出点M ，N ，并直接写出作法和m 的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）6；（2）15°；（3）存在，图见解析，3【详解】解：（1）30BAO Ð=°Q ，90AOB Ð=°,22612AB OB \==´=，又∵点D 为AB 的中点，∴162OD AB ==；（2）45OEB Ð=°Q ，90EOB Ð=°，∴45OBE Ð=°,EOB \V 是等腰直角三角形，OE OB \=，过点C 作CG x ^轴于点G ，∵,AB AC AB AC =^,∴ABC V 是等腰直角三角形，∵90CAB Ð=°,∴90CAG BAO Ð+Ð=°，∵90CAG ACG Ð+Ð=°,∴BAO ACG Ð=Ð,∵90CGA AOB Ð=Ð=°,AC AB =,\CGA AOB △≌△，CG AO \=，GA OB =，30BAO ACG Ð=Ð=°，GE GA AE \=+=OE AE AO CG +==，CGE \△是等腰直角三角形，即45ECG Ð=°，∵30ACG Ð=°,15ACE ECG ACG \Ð=Ð-Ð=°；（3）存在点M ，N ；作点O 关于BF 的对称点D ，过点D 作DN x ^轴于点N ，并与射线BF 交于点M ，连接,OD OM ,则BF 垂直平分OD ，∴OM DM =,BO BD =,∴OM MN MD MN DN -=-=,当D ，N ，M 在一条直线上时，m 最小，最小值为DN 的长度，∵30BAO Ð=°,∴12OB AB BD ==,∴D 为AB 的中点，∵,DN AO BO AO ^^,∴//DN BO ,∴132DN OB ==,∴3m OM MN DM MN DN =-=-==．故m 的最小值为3．【变式训练2】在平面直角坐标系中，B(2，，以OB 为一边作等边△OAB （点A 在x 轴正半轴上）．（1）若点C 是y 轴上任意一点，连接AC ，在直线AC 上方以AC 为一边作等边△ACD ．①如图1，当点D 落在第二象限时，连接BD ，求证：AB ⊥BD ；②若△ABD 是等腰三角形，求点C 的坐标；（2）如图2，若FB 是OA 边上的中线，点M 是FB 一动点，点N 是OB 一动点，且OM+NM 的值最小，请在图2中画出点M 、N 的位置，并求出OM+NM 的最小值．【答案】（1）①见解析；②点C 的坐标为(0，﹣4)或(0，4)；（2）【详解】解：（1）①证明：∵△OAB 和△ACD 是等边三角形，∴BO ＝AO ＝AB ，AC ＝AD ，∠OAB ＝∠CAD ＝60°，∴∠BAD ＝∠OAC ，在△ABD 和△AOC 中，AB AO BAD OAC AD AC =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△AOC （SAS ），∴∠ABD ＝∠AOC ＝90°，∴AB ⊥BD ；②解：存在两种情况：当点D 落在第二象限时，如图1所示：作BM ⊥OA 于M ，∵B （2，，∴OM ＝2，BM ＝∵△OAB 是等边三角形，∴AO ＝2OM ＝4，同①得：△ABD ≌△AOC （SAS ），∴BD ＝OC ，∠ABD ＝∠OAC ＝90°，若△ABD 是等腰三角形，则BD ＝AB ，∴OC ＝AB ＝OA ＝4，∴C （0，﹣4）；当点D 落在第一象限时，如图1﹣1所示：作BM ⊥OA 于M ，∵B （2，，∴OM ＝2，BM ＝∵△OAB 是等边三角形，∴AO ＝2OM ＝4，同①得：△ABD ≌△AOC （SAS ），∴BD ＝OC ，∠ABD ＝∠OAC ＝90°，若△ABD 是等腰三角形，则BD ＝AB ，∴OC ＝AB ＝OA ＝4，∴C （0，4）；综上所述，若△ABD 是等腰三角形，点C 的坐标为（0，﹣4）或（0，4）；（2）解：作ON'⊥AB 于N'，作MN ⊥OB 于N ，如图2所示：∵△OAB 是等边三角形，ON'⊥AB ，FB 是OA 边上的中线，∴AN'＝12AB ＝2，BF ⊥OA ，BF 平分∠ABO ，∵ON'⊥AB ，MN ⊥OB ，∴MN ＝MN'，∴N'和N 关于BF 对称，此时OM+MN 的值最小，∴OM+MN ＝OM+MN'＝ON ，∵ON ∴OM+MN ＝即OM+NM 的最小值为【变式训练3】如图，在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点(0,6)B ，AB AC =，AB AC ^，30BAO Ð=°．（1）如图①，若点D 为AB 的中点，求OD 的长；（2）如图②，若点E 在x 轴上，且45OEB Ð=°，求ACE Ð的度数；（3）如图③，设BF 平分ABO Ð交x 轴于点P ，点M 是射线BF 上一动点，点N 是射线PA 上一动点，OM MN -的最大值为m ，判断是否存在这样点M ，N ，使m 的值最小？若存在，请在答题卷上作出点M ，N ，并直接写出作法和m 的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）6；（2）15°；（3）存在，图见解析，3【详解】解：（1）30BAO Ð=°Q ，90AOB Ð=°,22612AB OB \==´=，又∵点D 为AB 的中点，∴162OD AB ==；（2）45OEB Ð=°Q ，90EOB Ð=°，∴45OBE Ð=°,EOB \V 是等腰直角三角形，OE OB \=，过点C 作CG x ^轴于点G ，∵,AB AC AB AC =^,∴ABC V 是等腰直角三角形，∵90CAB Ð=°,∴90CAG BAO Ð+Ð=°，∵90CAG ACG Ð+Ð=°,∴BAO ACG Ð=Ð,∵90CGA AOB Ð=Ð=°,AC AB =,\CGA AOB △≌△，CG AO \=，GA OB =，30BAO ACG Ð=Ð=°，GE GA AE \=+=OE AE AO CG +==，CGE \△是等腰直角三角形，即45ECG Ð=°，∵30ACG Ð=°,15ACE ECG ACG \Ð=Ð-Ð=°；（3）存在点M ，N ；作点O 关于BF 的对称点D ，过点D 作DN x ^轴于点N ，并与射线BF 交于点M ，连接,OD OM ,则BF 垂直平分OD ，∴OM DM =,BO BD =,∴OM MN MD MN DN -=-=,当D ，N ，M 在一条直线上时，m 最小，最小值为DN 的长度，∵30BAO Ð=°,∴12OB AB BD ==,∴D 为AB 的中点，∵,DN AO BO AO ^^,∴//DN BO ,∴132DN OB ==,∴3m OM MN DM MN DN =-=-==．故m 的最小值为3．类型二、几何图形中的最短路径问题例．已知点P 在MON Ð内．（1）如图1，点P 关于射线OM 的对称点是G ，点P 关于射线ON 的对称点是H ，连接OG 、OH 、OP .①若50MON Ð=°，则GOH Ð=______；②若5PO =，连接GH ，请说明当MON Ð为多少度时，10GH =；（2）如图2，若60MON Ð=°，A 、B 分别是射线OM 、ON 上的任意一点，当PAB △的周长最小时，求APB Ð的度数．【答案】（1）①100°；②当90MON Ð=°时，10GH =；（2）60APB Ð=°．【详解】（1）①∵点P 关于射线OM 的对称点是G ，点P 关于射线ON 的对称点是H ，∴OG =OP ，OM ⊥GP ，∴OM 平分∠POG ，同理可得ON 平分∠POH ，∴∠GOH =2∠MON =2×50°=100°，故答案为：100°；②5OG OP OH ===Q ，10GH =，G \、O 、H 三点其线，1802GOH MON \Ð=°=Ð，90MON \Ð=°，当90MON Ð=°时，10GH =；（2）如图所示：分别作点P 关于OM 、ON 的对称点P ¢、P ¢¢，连接OP ，OP ¢、OP ¢¢、P P ¢¢¢，P P ¢¢¢交OM 、ON 于点A 、B ，则AP AP ¢=，BP BP ¢¢=，此时PAB 周长的最小值等于P P ¢¢¢的长.由轴对称性质可得，OP OP OP ¢¢¢==，P OA POA ¢Ð=Ð，P OB POB ¢¢Ð=Ð，2260120P OP MON ¢¢¢\Ð=Ð=´°=°，()180120230OP P OP P ¢¢¢¢¢¢\Ð=Ð=°-°¸=°，由轴对称性质可得30APO OP A ¢Ð=Ð=°，30BPO OP B ¢¢Ð=Ð=°303060APB \Ð=°+°=°．【变式训练1】如图，将边长为的正三角形纸片按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕（如图①），点为其交点.（1）探求与的数量关系，并说明理由；（2）如图②，若分别为上的动点.①当的长度取得最小值时，求的长度；②如图③，若点在线段上，，则的最小值= .【答案】（1）AO=2OD ，理由见解析；（2）．【详解】（1）AO=2OD ，理由：∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，∴AO=OB ，∵BD=CD ，∴AD ⊥BC ，∴∠BDO=90°，∴OB=2OD ，∴OA=2OD ；（2）如图②，作点D 关于BE 的对称点D′，过D′作D′N ⊥BC 于N 交BE 于P ，则此时PN+PD 的长度取得最小值，∵BE 垂直平分DD′，∴BD=BD′，∵∠ABC=60°，∴△BDD′是等边三角形，∴BN=12BD=32，∵∠PBN=30°，∴BN PB =∴（3）如图③，作Q 关于BC 的对称点Q′，作D 关于BE 的对称点D′，连接Q′D′，即为QN+NP+PD 的最小值．根据轴对称的定义可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，∴△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，∴∠D′BQ′=90°，∴在Rt △D′BQ′中，=．∴QN+NP+PD 的最小值，【变式训练2】如图，等边ABC D （三边相等，三个内角都是60°的三角形）的边长为10cm ，动点D 和动点E 同时出发，分别以每秒1cm 的速度由A 向B 和由C 向A 运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为t ，010t <£，DC 和BE 交于点F ．（1）在运动过程中，CD 与BE 始终相等吗？请说明理由；（2）连接DE ，求t 为何值时，//DE BC ；（3）若BM AC ^于点M ，点P 为BM 上的点，且使PD PE +最短．当7t =时，PD PE +的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．【答案】（1）CD 与BE 始终相等；（2）5；（3）7【详解】解：（1）由已知可得AD =t ，EC =t ，∴AD =CE ，∵△ABC 是等边三角形∴∠A =∠ACB =60°，BC =AC ，∴△ADC ≌△CEB （SAS ），∴BE =CD ，∴CD 与BE 始终相等；（2）∵DE ∥BC ，∴AD =AE ，∵AB =AC =10，∴t =10-t ，∴t =5；（3）∵BM ⊥AC ，∴BM 平分∠ABC ，作D 点关于BM 的对称点D '交BC 于点D '，连接D 'E ，交BM 于点P ，∵DP =D 'P ，∴DP +PE =D 'P +PE =D 'E ，∵t =7，∴AE =BD =BD ′=3，AD =CE =7，∴CD ′=7，又∠C =60°，∴△CD ′E 为等边三角形，∴D 'E =CD ′=7，∴PD +PE 的最小值为7．【变式训练3】如图1，已知直线l 的同侧有两个点A 、B ，在直线l 上找一点P ，使P 点到A 、B 两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线l 的对称点，对称点与另一点的连线与直线l 的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题.（1）如图2，在平面直角坐标系内，点A 的坐标为()1,1，点B 的坐标为()4,3，动点P 在x 轴上，求PA PB +的最小值；（2）如图3，在锐角三角形ABC 中，6AB =，60BAC Ð=°，BAC Ð的角平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值为______.（3）如图4，30AOB Ð=°，5OC =，12OD =，点E ，F 分别是射线OA ，OB 上的动点，则CF EF DE ++的最小值为__________.【答案】（1）5；（2）（3）13.【详解】解：（1）作点A 关于x 轴的对称点'A ，连接'A B ，PA PB +的最小值即为'A B 的长，构造以'A B 为斜边的直角三角形'(1,1),(1,1)A A \-Q(4,3)B Q ，'413,314AC BC \=-==+=在'Rt A BC D 中，由勾股定理得'22'2AC BC A B += ，即'5A B == ，所以PA PB +的最小值为5.（2）作BH AC ^于点H ，交AD 与点'M ，过点'M 作''M N AB ^于点'N ，则BM MN +的最小值为'''BM M N +，AD Q 平分BAC Ð，BH AC ^，''M N AB ^ ，'''M N M H \=，'''''BM M N BM M H BH \+=+= 在Rt ABH D 中， 60BAC °Ð=Q ，30ABH °\Ð=，116322AH AB \==´=由勾股定理得222AH BH AB +=，BH \==='''BM M N BH \+==所以BM MN +的最小值为（3）作点C 关于OB 的对称点'C ，作点D 关于OA 的对称点'D ， 连接''C D 分别交OA 、OB 于点'',E F ，连接'',OC OD ，则CF EF DE ++的最小值为''C D 的长.由对称可得OA 垂直平分'DD ，OB 垂直平分'CC ，''''12,30,5,30OD OD AOD AOB OC OC C OD AOB °°\==Ð=Ð===Ð=Ð=''''90D OC AOD AOB C OD °\Ð=Ð+Ð+Ð=在''Rt D OC D 中由勾股定理得'2'2''2OC OD C D +=''13C D \===所以CF EF DE ++的最小值为13.【变式训练4】已知：如图，V ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝45°，E 是AC 上的一点，∠ABE ＝13∠ABC ，过点C 作CD ⊥AB 于D ，交BE 于点P ．(1)直接写出图中除V ABC 外的所有等腰三角形；(2)求证：BD ＝12PC ；(3)点H 、G 分别为AC 、BC 边上的动点，当V DHG 周长取取小值时，求∠HDG 的度数．【答案】(1)△ADC ，△CPE ，△BCE 都是等腰三角形，理由见解析；(2)见解析；(3)45°【解析】(1)解：△ADC ，△CPE ，△BCE 都是等腰三角形，理由如下：∵AB=AC，∠A=45°，∴∠ABC = ∠ACB =12(180°-45°)=67.5°，∵∠ABE＝13∠ABC，∴∠ABE = 22.5°，∴∠CBE=45°，∴∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，∴∠BEC=∠ACB，∴BC=BE，即△BCE为等腰三角形，∵CD⊥AB，∴∠ADC = ∠CDB = 90°，∴∠ACD = 90°–∠A = 45°∴∠A=∠ACD=45°，∴DA= DC，∴△ADC是等腰三角形，∵∠CPE = ∠BPD = 90°–∠ABE=67.5°，∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，∠CEP =67.5°，∴∠CPE = ∠CEB = 67.5°，∴CP=CE，∴△CPE是等腰三角形，综上所述，除V ABC外的所有等腰三角形有△ADC，△CPE，△BCE；(2)证明：如图，在线段AD上取点H，使DH=DB，连接CH，∵DH=DB，CD⊥AB，∴BC=CH，∴∠BHC=∠ABC=67.5°，∵∠BEC=∠ACB=67.5°，∴∠BHC=∠ABC=∠BEC=∠ACB，∵BC=CB，∴△BCH≌△CBE，∴BH=CE，∵CE=CP，∴BH=CP，∴1122BD BH PC==；(3)解：如图，作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的周长最小，∵∠ABC =67.5°，CD ⊥AB ，∴∠BCD =90°-∠ABC =22.5°，∵DM ⊥CB ，∴∠CDM =90°-∠BCD =90°-22.5°=67.5°，∵DA =DC ，DF ⊥AC ，∴∠CDF =12∠CDA =45°，∴∠MDF =45°+67.5°=112.5°，∴∠M +∠F =180°-112.5°=67.5°，∵GD =GM ，HF =HD ，∴∠M =∠GDM ，∠F =∠HDF ，∵∠DGH =∠M +∠GDM =2∠M ，∠DHG =∠F +∠HDF =2∠F ，∴∠DGH +∠DHG =2(∠M +∠F )=135°，∴∠GDH =180°-(∠DGH +∠DHG )=45°．类型三、最短路径问题的实际应用例1.如图1，直线a b ，表示一条河的两岸，且a b ∥现在要在这条河上建一座桥，桥的长度等于河宽度且桥与河岸垂直．使村庄A 经桥过河到村庄B 现在由小明、小红两位同学在图2设计两种：小明：作AD a ^，交a b ，于点D ，点C ．在CD 处建桥．路径是---A C D B ．小红：作AD a ^，交a b ，于点D ，点C ；把CD 平移至BE ，连AE ，交b 于G ，作GF a ^于F ．在FG 处建桥．路径是A G F B ---．（1）在图2中，问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由．（2）假设新桥就按小红的设计在FG 处实施建造了，上游还有一座旧桥，早上10点某小船从旧桥下到新桥下，到达后立即返回，在两桥之间不停地来回行驶，船的航行方向和水流方向与桥保持垂直船在静水每小时14千米，水流每小时2千米，第二天早上6点时小明发现船在两桥之间（未到两桥）且离旧桥40千米处行驶求这两桥之间的距离．【答案】（1）小红设计的路径更短一些，原因见解析；（2）两桥之间的距离为60千米或80017千米或80千米；【详解】解：（1）小红设计的路径更短一些；理由如下：连接CE ，∵DC BE P ，且DC BE =，∴DCBE 为平行四边形，可得BE CD =，小红走的路线是：AG GF FB AE BE ++=+，小明走的路线是：AC CD BD AC BE CE ++=++，∵在三角形ACE 中，AC CE AE +>，,所以小明的路线比小红的要长，即：小红设计的路径更短一些；（2）设小船一共走了n 次完整的来回，两桥之间距离为s 千米，由题可得顺流所需时间为14216s s =+，逆流所需要的时间是14212s s =-，所以一个完整来回所需时间为7161248s s s +=，n 次完整的来回所需时间为：748ns ；∵小船早上10点出发，第二天早上6点发现，∴小船行驶了20小时；①若小明发现小船时，船是从旧桥到新桥的，则依题意可得：740204816ns +=，化简可得：ns 120=，∵n 为整数，且s 40>，∴260n s =ìí=î，即：两桥之间的距离为60千米；②若小明发现小船时，船是从新桥到旧桥的，则依题意可得：74020481612ns s ++=，化简可得：7ns 3s 800+=，∵n 为整数，且s 40>，∴280017n s =ìïí=ïî，或180n s =ìí=î；即：两桥之间的距离为80017千米或80千米；综上可得：两桥之间的距离为60千米或80017千米或80千米；【变式训练1】（1）如图1，A ，B 是直线l 同旁的两个定点，请在直线l 上确定一点P ，使得PA PB +最小；（2）如图2，已知45AOB Ð=°，P 是AOB Ð内一点，10PO =．请在OA 上找一点Q ，OB 上找一点R ，使得PQR V 的周长最小，画出图形并求出这个最小值．【答案】（1）画图见详解；（2）画图见详解，【详解】解：（1）过点A 作AO l ^，并在AO 上截取OA OA ¢=，连接A B ¢交l 于点P ，由“两点之间线段最短”可知此时PA PB +最小．故点P 即为所求，如图：（2）作出点P 关于OA 、OB 的对称点P ¢、P ¢¢，连接OP ¢、OP ¢¢．此时PQR V 的周长最小，如图：根据对称性可得出：P OB BOP ¢¢Ð=Ð，POA AOP ¢Ð=Ð，10OP OP OP ¢¢¢===∵45AOB Ð=°∴90P OP ¢¢¢Ð=°∴P P ¢¢¢==∴PQR V 的周长最小值为．【变式训练2】阅读下列材料，解决提出的问题：最短路径问题:如图（1），点A ，B 分别是直线l 异侧的两个点，如何在直线l 上找到一个点C ，使得点C 到点A ，点B 的距离和最短？我们只需连接AB ，与直线l 相交于一点，可知这个交点即为所求．如图（2），如果点A ，B 分别是直线l 同侧的两个点，如何在l 上找到一个点C ，使得这个点到点A 、点B 的距离和最短？我们可以利用轴对称的性质，作出点B 关于的对称点B ，这时对于直线l 上的任一点C ，都保持CB ＝CB ，从而把问题（2）变为问题（1）．因此，线段AB 与直线l 的交点C 的位置即为所求．为了说明点C 的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C ′，连接AC ′，BC ′，B ′C ′．因为AB′≤AC′+C′B′，∴AC +CB ＜AC '+C ′B ，即AC +BC 最小．任务：数学思考（1）材料中划线部分的依据是 ．（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是 ．（填字母代号即可）A ．转化思想B ．分类讨论思想C．整体思想迁移应用（3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，点P为A C边上的动点，点D为AB边上的动点，若AB＝8cm，则BP+DP的最小值为 cm．【答案】（1）两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边；（2）A；（3）4【详解】（1）材料中划线部分的依据是两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边；故答案为两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边；（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是转化的思想，故答案为A．（3）如图（3）中，作点B关于点C的对称点B′，连接AB′．作BH⊥AB′于H．作点D关于AC的对称点D′，则PD＝PD′，∴PB+PD＝PB+PD′，根据垂线段最短可知，当点D′与H重合，B，P，D′共线时，PB+PD的最小值＝线段BH的长，∵BC＝CB′，AC⊥BB′，∴AB＝AB′，∴∠BAC＝∠CAB′＝15°，∴∠BAH＝30°，在Rt△ABH中，∵AB＝8cm，∠BAH＝30°，∴BH＝12AB＝4cm，∴PB+PD的最小值为4cm．故答案为4．。

轴对称例1.如图是由两个等边三角形组成的图形，它是轴对称图形吗？如果不是，请移动其中一个三角形，使它与另一个三角形一起组成轴对称图形，有几种移法？（至少画四种，相同类型的算一种），怎样移动才能使所构成的图形具有尽可能多的对称轴？解：不是。

有以下几种移动方法（如图所示），其中，第3个图的对称轴最多。

例2. 如图所示，C是线段AB的垂直平分线上的一点，垂足为D，则下列结论中正确的有（）A.AD＝BD；②AC＝BC；③∠A＝∠B；④∠ACD＝∠BCD；⑤∠ADC＝∠BDC＝90°A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个分析：由垂直平分线的定义可以直接得出①和⑤；由垂直平分线的性质可得出②；由△ADC≌△BDC可得到③和④。

解：D例3. 写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标。

（－2，3），（1，－2），（－2，－4），（0，2）。

例4.（2007年烟台）生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：例5. 如图所示，已知线段AB，画出线段AB关于直线l的对称图形。

解：（1）画出点A关于直线l的对称点A'；（2）画出点B关于直线l的对称点B'：（3）连结A'B'，则线段A'B'即为所求。

例6.要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）。

修在河边什么地方，可使所用水管最短？解：设张村为点A，李庄为点B，张村和李庄这一侧的河岸为直线l。

（1）作点B关于直线l的对称点，（2）连结，交直线l于点C，点C就是所求的水泵站的位置。

（如图所示）1. 下列说法错误的是（）A. 关于某直线对称的两个图形一定能完全重合B. 全等的两个三角形一定关于某直线对称C. 轴对称图形的对称轴至少有一条D. 线段是轴对称图形2. 轴对称图形的对称轴是（）A. 直线B. 线段C. 射线D. 以上都有可能3. 下面各组点关于y轴对称的是（）A. （0，10）与（0，－10）B. （－3，－2）与（3，－2）C. （－3，－2）与（3，2）D. （－3，－2）与（－3，2）*4. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. 一条线段B. 两条相交直线C. 有公共端点的两条相等的线段D. 有公共端点的两条不相等的线段5. （2007年河南）如图，ΔABC与ΔA'B'C'关于直线l对称，则∠B的度数为（）A. 30°B. 50°C. 90°D. 100°6. （2008年江苏苏州）下列图形中，是轴对称图形的是（）*7. （2008年武汉）如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若∠AFC＋∠BCF ＝150°，则∠AFE＋∠BCD的大小是（）A. 150°B. 300°C. 210°D. 330°**8. （2008年全国数学竞赛浙江预赛）如图，直线l1与直线l2相交，∠α＝60°，点P在∠α内（不在l1，l2上）。

轴对称的应用(人教版)一、单选题(共12道，每道8分)1.在平面直角坐标系中，点P(-3，2)关于x轴的对称点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：关于x轴、y轴对称的点的坐标2.已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果与△ABC关于y轴对称，那么点A的对应点的坐标为( )A.(-4，2)B.(-4，-2)C.(4，-2)D.(4，2)答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：关于x轴、y轴对称的点的坐标3.已知点P(a+1，2a-3)关于原点的对称点在第一象限，则a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：关于原点对称的点的坐标4.如图所示，一种成左右对称的机器零件，直线MN恰好是其对称轴，其中∠EAB=120°，∠C=45°，∠AEF=60°，则∠BFC的度数是( )A.90°B.85°C.80°D.75°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称实际应用5.如图1，长方形ABCD中，点E在AD边上，AD∥BC，∠A=∠D=90°，∠BEA=60°．现分别以BE，CE为折线，将A，D向BC的方向折过去，图2为对折后各点在同一平面上的位置图．若，则∠BCE的度数为( )A.30°B.32.5°C.35°D.37.5°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称实际应用6.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是( )A.M点B.N点C.P点D.Q点答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线的性质7.如图，A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个超市，使它到三个小区的距离相等，则超市应建在( )A.AB，BC的两条高线的交点处B.AB，BC两条边垂直平分线的交点处C.AB，BC两边中线的交点处D.∠A，∠B两内角平分线的交点处答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：线段垂直平分线的性质8.如图，P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA，OB的对称点，连接，则下列结论正确的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称实际应用9.亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：如图所示，军官从军营C出发先到河边（河流用AB表示）饮马，再去同侧的D地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗？下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：奶站问题10.如图，直线是一条河，P，Q是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站M，向P，Q 两地铺设管道供水，现有如下四种修建方案，要使管道最省，应选择方案( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：奶站问题11.（接上题）如果要求水泵站到P，Q两村庄的距离相等，应选择方案( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称实际应用12.如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河处流边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是( )A.沿AM—MN—NA路线行走B.沿AM—MN路线行走（M，A，N在同一条直线上）C.沿AM—MN—NA路线行走D.沿AM—MN—NA路线行走答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称实际应用。

第十四章轴对称【课标要求】【知识梳理】掌握这部分内容，首先弄明白轴对称及轴对称图形之间的区别与联系；以及中心对称与中心对称图形之间的区别与联系。

知道哪些图形是轴对称图形，哪些图形是中心对称图形，中考中常以填空、选择形式出现。

【能力训练】一、填空题1 .轴对称图形的对称轴是一条____________________ 。

2 .等腰三角形的一个内角为110，则其它两个内角为_____________________ 度。

3 .写出6个是轴对称图形的英文字母： ____________________________________ —。

4 .写出五个具有轴对称性质的汉字：_____ _____________________________ 。

5 .等腰三角形有_________________条对称轴;五角星有_____________________ 条对称轴；角的对称轴是这个角的______________________ ;。

6 .平面上不重合的两点的对称轴是______________________ ，线段是轴对称图形，它有__________________条对称轴。

7 .一个等腰三角形有两边分别为4和8厘米，则周长是___________ —__________ 厘米。

&举出生活中具有轴对称性质的事物（至少三个）O9 .若AC 是等腰心ABC 的高，贝U AC 也是 _____________________________________ ，还是 ________。

10 .等边三角形的周长是30厘米，一边上的高是 8厘米，则三角形的面积为 _____________O、选择题1. 下列图形中，不是轴对称图形的是 A .等边三角形C .不等边三角形A . 3个B . 4个C . 5个D . 6个3 .下列说法中，正确的是（）A .关于某直线对称的两个三角形是全等三角形B .全等三角形是关于某直线对称的C .两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧D .有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称4 .在线段、两条相交直线、等腰三角形和圆四个图形中，是轴对称图形的个数是A . 1 个B . 2 个C . 4 个D .5. 如图，DE 是 ABC 中AC 边的垂直平分线，若 AB=10厘米，则ABC 的周长为（ ）厘米A . 16B . 28C . 26D . 18 6.下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. 有两条边相等的三角形B. 有一个角为 60的Rt 丄C. 有一个角为 60的等腰三角形D . 一个内角为 40，一个内角为100的三角形 7.当你看到镜子中的你在用右手往左梳理你的头发时，实际上你是（）A .右手往左梳B .右手往右梳C .左手往左梳D .左手往右梳&下列说法正确的是（ ）A .等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合（ ）B .等腰直角三角形 D .线段B .顶角相等的两个等腰三角形全等C .等腰三角形一边不可以是另一边的二倍D .等腰三角形的两个底角相等1找出下列图形的所有的对称轴，并 画出来。

轴对称的应用（人教版）一、单选题(共11道，每道9分)1.已知点A（a，2013）与点B（2014，b）关于y轴对称，则a+b的值为( )A.-1B.1C.2D.3答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：关于x轴、y轴对称的点的坐标2.已知点P（a+2，2a-5）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：关于x轴、y轴对称的点的坐标3.将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：①动手操作，严格按照图中的顺序先向上再向右对折，从左边剪去一个直角三角形，展开得到结论．故选B．②利用还原的方法解题，由图3还原得到，再次还原得到，即为图形.故选B试题难度：三颗星知识点：剪纸问题4.将一张正方形纸片，按如图1，图2，沿虚线对折两次，然后沿图3中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：①动手操作，严格按照图中的顺序先向右再向下对折，从左上方角剪去一个直角三角形，展开得到结论．故选B．②利用还原的方法解题，由图3还原得到，再次还原得到，即为图形.故选B试题难度：三颗星知识点：剪纸问题5.如图，正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形，下列判断错误的是( )A. B.BC∥B′C′C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称的性质6.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A<∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM 沿CM所在直线折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A的度数是( )A.30°B.40°C.50°D.60°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：等边三角形的判定及性质7.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，∠B=50°，∠A=26°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点是点，则的度数是( )A.145°B.152°C.158°D.160°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称的性质8.如图，点P在∠AOB内，M，N分别是点P关于OA，OB的对称点，线段MN分别交OA，OB于点E，F．若△PEF的周长为15cm，则MN的长为( )A.10cmB.12cmC.15cmD.18cm答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称的性质9.如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段QR的长为( )A.4.5cmB.5.5cmC.6.5cmD.7cm答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称的性质10.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD=4，点E，F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是( )A.6B.12C.24D.30答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称的性质11.如图，直线l是四边形ABCD的对称轴．若AD∥BC，则下列结论：①AB∥CD；②AB=BC；③AB⊥BC；④AO=OC．其中正确的是( )A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称的性质。

轴对称的应用专项训练（三）（人教版）一、单选题(共7道，每道14分)1.如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，AE平分∠BAC，若∠C=90°，则∠B的度数为( )A.20°B.25°C.30°D.40°答案：C解题思路：由DE垂直平分AB，可得AE=BE，所以∠B=∠EAB；由AE平分∠BAC，可得∠CAE=∠EAB，所以∠B=∠EAB=∠CAE；因为∠C=90°，所以∠B+∠EAB+∠CAE=90°，因此∠B=30°．故选C．试题难度：三颗星知识点：线段垂直平分线的性质2.如图，已知PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA=PB．若∠MON=50°，∠OPC=30°，则∠PCA=( )A.30°B.50°C.55°D.80°答案：C解题思路：由PA⊥OM，PB⊥ON，且PA=PB，可得OP平分∠MON；由∠MON=50°，所以；∠PCA可以看作△POC的一个外角，所以∠PCA=∠POC+∠OPC=30°+25°=55°．故选C．试题难度：三颗星知识点：角平分线相关定理3.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接EF，EF与AD交于点G，下列说法不一定正确的是( )A.DE=DFB.AE=AFC.AD⊥EFD.EG=AG答案：D解题思路：如图，因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，所以DE=DF，A选项正确；利用HL可以证明Rt△AED≌Rt△AFD，则AE=AF，因为AD平分∠BAC，结合等腰三角形三线合一，可得AD⊥EF，B，C选项正确．故选D．试题难度：三颗星知识点：角平分线相关定理4.图1为一张三角形纸片ABC，点P在BC上．将点A折至点P时，出现折线BD，其中点D 在AC上，如图2所示．若△ABC的面积为80，△DBC的面积为50，则BP与PC的长度比为( )A.3:2B.5:3C.3:5D.13:8答案：A解题思路：由题意可得；由折叠性质可知，△ABD≌△PBD，可得，所以，即BP:PC==30:20=3:2．故选A．试题难度：三颗星知识点：轴对称的应用—折叠问题5.如图，裁剪师傅将一块长方形布料ABCD沿着AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若∠BAF=60°，则∠AEF的度数为( )A.45°B.60°C.65°D.75°答案：D解题思路：因为∠BAD=90°，∠BAF=60°，所以∠DAF=30°，由折叠性质，∠DAE=∠EAF=15°，∠AEF=∠AED=90°-15°=75°．故选D．试题难度：三颗星知识点：轴对称的性质6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AC=AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=CD；③；④△ABD一定是等边三角形．请写出正确结论的序号是( )A.①②B.①③C.②④D.①②③答案：D解题思路：①由AB=AC=AD，AC平分∠DAB，可得AC垂直平分BD，①正确；②由①可知BC=CD，②正确；③在Rt△BCE中，∠ACB=90°-∠DBC，在等腰三角形ABC中，∠BAC=180°-2∠ACB=180°-2（90°-∠DBC）=2∠DBC，即，③正确；④△ABD是等腰三角形，但不一定是等边三角形，而且根据题中条件也推导不出△ABD是等边三角形，④错误．正确的为①②③．故选D．试题难度：三颗星知识点：垂直平分线相关定理7.如图，在△ABC中，∠A=30°，沿BE将此三角形对折，又沿再一次对折，点C落在BE上的点处，此时，则原三角形中∠ABC的度数为( )A.70°B.72°C.75°D.78°答案：B解题思路：由△ABC沿BE对折，可得；再沿对折一次，点C落在BE上的点处，可得，，所以；设∠CBD=x，则∠ABC=3x，在△ABC中，∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-30°-3x=150°-3x；在△BCD中，∠C=180°-∠CBD-∠CDB=180°-x-78°=102°-x；所以150°-3x=102°-x，解得x=24°，所以∠ABC=3x=3×24°=72°．故选B．试题难度：三颗星知识点：轴对称的应用—折叠问题。

(轴对称的性质与角平分线)专项高分特训(含解析)【一】单项选择题〔共12道，每道8分〕1、如图是一个图形的一半，其中的虚线是这个图案的对称轴，那么这个图案的另一半是〔〕A、B、C、D、答案：A解题思路：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴、由题可知，图中的虚线是对称轴，所以这个图案的另一半与是相互重合的，A正确、应选A、试题难度：三颗星知识点：轴对称图形2、如图，将正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在CD边上的点E处，折痕为MN，连接AE，交MN于点O、那么以下说法错误的选项是〔〕A、AE⊥MNB、AM＝EMC、∠BNO＝∠FNOD、∠OEF＝90°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称图形的性质3、如图，先将正方形ABCD对折，折痕为EF，将这个正方形展平后，再分别将A，B折叠到折痕EF上，使点A，B都与折痕EF上的点G重合，折痕分别为MD，NC、那么以下说法错误的选项是〔〕A、∠MGD＝90°B、∠DGF＝∠MGEC、DG＝CGD、∠BCN＝∠GCN答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称图形的性质4、将一块正方形纸片，按如下图的方式对折两次后，在得到的小正方形的左下角挖去一个小三角形，最后将正方形纸片展开，得到的图案是〔〕A、B、C、D、答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称图形的性质5、把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF、假设∠CDF＝38°，那么∠EFD的度数是〔〕A、72°B、64°C、48°D、52°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称图形的性质6、将一张正方形的纸片，按如下图的方式对折两次后，那么相邻两条折痕〔虚线〕间的夹角为〔〕A、45°B、30°C、22、5°D、25°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称图形的性质7、如图，△ABC的周长为30CM，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC于D，交AC于E，连接AD，假设AE＝4CM，那么△ABD的周长是〔〕CM、A、26B、22C、18D、16答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称图形的性质8、如下图，D是∠AOB平分线上的一点，DE⊥OA，DF⊥OB，垂足分别是E，F、以下结论不一定成立的是〔〕A、DE＝DFB、OE＝OFC、∠ODE＝∠ODFD、OD＝DE＋DF答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质9、如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D，连接CD、以下结论不一定成立的是〔〕A、∠ECD＝∠EDCB、OC＝ODC、△OCD是等边三角形D、OE是线段CD垂直平分线答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质10、如图，△ABC中，，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，假设DE＝1、5CM，BD＝3CM，那么BC＝〔〕A、3CMB、7、5CMC、6CMD、4、5CM答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线的性质11、如下图，在RT△ABC中，，AC＝BC＝，AB＝，AD在∠BAC的平分线上，交BC于点D，DE⊥AB于点E，那么△DBE的周长为〔〕A、B、C、D、无法计算答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质12、∠AOB平分线上一点P到OA的距离为7，Q是OB上任一点，那么〔〕A、B、C、D、答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：垂线段最短。