直线、平面平行的判定及其性质-测试题(有详解)

专题8.4 直线、平面平行的判定及性质1．（2021·山西高一期末）对于两个不同的平面α，β和三条不同的直线a ，b ，c .有以下几个命题： ①若//a b ，//b c ，则//a c ；②若//a α，//b α，则//a b ；③若//a b ，//b α，则//a α；④若//a α，//a β，则//αβ；⑤若//a α，//αβ，则//a β.则其中所有错误的命题是（ ）A ．③④⑤B ．②④⑤C ．②③④D ．②③④⑤【答案】D【解析】根据空间中直线平行的传递性，可判断①；根据线线、线面、面面之间的位置关系即可判断②③④⑤.【详解】解：因为//a b ，//b c ，根据空间中直线平行的传递性，得//a c ，故①正确；因为//a α，//b α，所以直线,a b 平行，异面，相交均有可能，故②错误；若//a b ，//b α，则//a α或a α⊂，故③错误；若//a α，//a β，则平面,αβ平行或相交，故④错误；若//a α，//αβ，则//a β或a β⊂，故⑤错误.所以错误的命题是②③④⑤.故选：D.2．（2021·江苏高一期末）已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）A ．若//m n ，//m α，则//n αB ．若αβ⊥，m β⊥，则//m αC ．若//m α，//m β，则//αβD ．若m α⊥，n α⊥，则//m n 【答案】D【解析】利用线面平行的性质定理可以得到判定A 错误的例子；利用面面垂直的性质定理可举出B 错误的例子；利练基础用线面平行的判定定理可以举出C 错误的例子；利用线面垂直的性质定理可知D 正确.【详解】若//m n ，//m α，则n 可能在α内，只要过m 作平面β与α相交，交线即可作为直线n ,故A 错误； 若αβ⊥，m β⊥，则m 可能在α内，只要m 在α内垂直于两平面α，β的交线即有m ⊥β，故B 错误； 若//m α，//m β，则α，β可能相交，只要m 不在α，β内，且平行于α，β的交线即可，故C 错误； 若m α⊥，n α⊥，根据线面垂直的性质定理可知//m n ，故D 正确；故选：D.3．（2020·湖北开学考试）已知平面//α平面β，直线m ⊂α，直线n ⊂β，下列结论中不正确的是（ ） A ．//m βB ．//n αC ．//m nD ．m 与n 不相交 【答案】C【解析】根据面面平行的的定义和性质知: 平面//α平面β，直线m ⊂α，直线n ⊂β，则//m β， //n α， m与n 不相交，故选:C.4．（2021·济南市历城第二中学开学考试）如图，四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别为AC ，PC 上的点，且//MN 平面PAD ，则( )A ．//MN PDB ．//MN PAC ．//MN AD D ．以上均有可能【答案】B【解析】 四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别为AC ，PC 上的点，且//MN 平面PAD ，MN ⊂平面PAC ，平面PAC 平面PAD PA =，由直线与平面平行的性质定理可得：//MN PA ．故选：B ．5．【多选题】（2021·宁波市北仑中学高一期中）下列命题正确的是（ ）A ．若两条平行直线中的一条直线与一个平面相交，则另一直线也与这个平面相交.B ．若两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，则另一直线也与这个平面平行.C ．过空间任意一点，可作一个平面与异面直线,a b 都平行.D ．若在空间内存在两条异面直线同时平行于平面,αβ，则//αβ.【答案】AD【解析】对A ，利用反证法判断即可；对B ，根据线面位置关系判断即可；对C ，若点在其中一条直线上，此时作不出一个平面；对D ，利用线面平行的性质定理及面面平行的判定定理判断即可.【详解】对A ，记//a b ，a 与α相交.假设另一直线b 与这个平面不相交，在平面α内作直线//c b ，则//a c ，但a 与α相交，故a 与c 不平行，这与//a c 矛盾，故A 正确；对B ，若两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，则另一直线也与这个平面平行或在这个平面内，故B 错误；对C ，当点在两条异面直线中的一条上时，没有平面与异面直线,a b 都平行，故C 错误；对D ，若//a α，//b α，//a β，b β//，如图过a 作平面γ分别交α,β于,c d ，过b 作平面δ分别交α,β于,m n ，根据线面平行的性质定理可得//a c ，//a d ，b //m ，//b n ，所以//c d ，//m n ，由面面平行的判定定理可得//αβ，故D 正确.故选：AD6．【多选题】（2021·广东湛江二十一中高一期中）已知m ，n ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面其中正确的命题是（ ）A ．//m n ，////c n c m ⇒B ．//m γ，////n m n γ⇒C ．//m c ，////c m αα⇒D ．m α⊄，n α，////m n m α⇒【答案】AD【解析】 对于A ：直接根据平行的传递性，可以判断；对于B ：由//m γ，//n γ，则m 、n 可以平行，相交，也会是异面直线即可判断；对于C ：由//m c ，//c α，则//m m αα⊆或即可判断；对于D ：根据线面平行的判定定理可以判断.【详解】对于A ：因为//m n ，//n c 由平行的传递性，可以得到//c m .故A 正确；对于B ：//m γ，//n γ，则m 、n 可以平行，相交，也会是异面直线.故B 错误；对于C ：//m c ，//c α，则//m m αα⊆或.故C 错误；对于D ：m α⊄，n α，//m n ，根据线面平行的判定定理可以得到//m α.故D 正确.故选：AD.7．【多选题】（2020·佛山市第四中学高二月考）下列命题正确的是（ ）A ．平行于同一直线的两条直线互相平行B ．垂直于同一平面的两个平面互相平行C ．若αβ，是两个平面，m n m αβ⊂⊂，，∥n β，∥α，则α∥βD ．若三棱锥A BCD -中，AB CD AC BD ⊥⊥，，则点B 在平面ACD 内的射影是ACD 的垂心【答案】AD【解析】由平行公理判断A ；由面面垂直判断B ；举特例判断C ；由逻辑推理可判断D.【详解】对于选项A ：由平行公理可知A 正确；对于选项B ：垂直于同一平面的两个平面互相平行或相交，故B 错误；对于选项C ：反例如图，故C 错误；对于选项D ：设点B 在平面ACD 内的射影是O ，连接BO ，则BO ⊥平面ACD ，又CD ⊂平面ACD ，所以BO CD ⊥，又AB CD ⊥，且BO AB B =，所以CD ⊥平面AOB ，又AO ⊂平面AOB ，所以CD AO ⊥. 同理可证AC DO ⊥，所以点O 是ACD △的垂心. 故D 正确.故选：AD.8．（2021·大连市第一中学高一月考）已知m ，n ，p 是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有下列命题：①//////m n m p p n ⎧⇒⎨⎩；②若//m α，//m β，则//αβ； ③m α⊂，//n α，则//m n ；④直线//m α，直线//n α，那么//m n ；⑤若//m α，βn//，//m n ，则//αβ；⑥若//αγ，//βγ，则//αβ．其中正确的说法为______（填序号）【答案】①⑥【解析】利用线线平行、线面平行、面面平行的判定和性质应用，逐一判断选项可得结论.【详解】解：对于①，根据平行的性质有：////m n p n ⎧⎨⎩，即//m p ，故①正确； 对于②，由//,//,m m αβ得//αβ或,αβ相交，故②错误；对于③，由,//,m n αα⊂得//m n ，或,m n 异面，故③错误；对于④，由直线//m α，直线//n α，可得//m n ，m n ，异面，m n ，相交，故④错误；对于⑤，由//,//,m n αβ//m n ，得//αβ或αβ，相交，故⑤错误；对于⑥，若////αγβγ，，由面面平行的传递性得//αβ，故⑥正确，故答案为：①⑥.9．（2020·云南省下关第一中学高二月考（文））如图，在正三棱锥P ABC -中，底面边长为6，侧棱长为5，G 、H 分别为PB 、PC 的中点.（1）求证：//GH 平面AB C ；（2）求正三棱锥P ABC -的表面积.【答案】（1）证明见解析；（2）36+【解析】（1）由于G 、H 分别为PB 、PC 的中点，所以由三角形中位线定理可得//GH BC ，再由线面平行的判定定理可证得结论；（2）由于正三棱锥的侧面是等腰三角形，所以利用等腰三角形的性质可求出侧面面积，底面是正三角形，利用面积公式可求出面积，从而可求出表面积【详解】解：（1）证明：因为G 、H 分别为PB 、PC 的中点，所以//GH BC ，又GH ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以//GH 平面AB C.（2）设BC 中点为D ，连接PD ，因为三棱锥P -ABC 是正三棱锥，所以PBC 是等腰三角形，所以PD BC ⊥，在Rt PBD △中又 132BD BC ==，PB =5 ，PD 4=，所以正三棱锥侧面积为13(64)362⨯⨯⨯=，底面积为166sin 23π⨯⨯⨯=所以正三棱锥P -ABC 的表面积为36+10.（2020·佛山市第四中学高二月考）如图在正方体 1111ABCD A B C D -中，M N P Q ，，，分别是11111111A D A B C D B C ，，，的中点，求证（1）MN ∥平面PQBD ；（2）平面AMN ∥平面PQBD .【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】（1）证得//MN PQ ，进而由线面平行的判定定理可证得结果；（2）由（1）可知，只需证明//AM 平面PQBD ，进而由面面平行的判定定理可证得结果.【详解】（1）连接11D B ，依题意知11//MN D B ，11//PQ D B ，所以//MN PQ ，又MN ⊄平面PQBD ，PQ ⊂平面PQBD ，所以//MN 平面PQBD .（2）连接MQ ，依题意可知//MQ AB ，且=MQ AB ，所以四边形MABQ 是平行四边形，则//AM BQ ， 又AM ⊄平面PQBD ，BQ ⊂平面PQBD ，所以//AM 平面PQBD .由（1）知//MN 平面PQBD ，且AM MN M ⋂=，故平面//AMN 平面PQBD .1.（2020·全国月考）设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，已知m α⊂，n ⊂α，则“//m β，βn//”是“//αβ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】充分性：已知m α⊂，n ⊂α，由于//m β，βn//，若//m n ，则α与β不一定平行，充分性不成立； 必要性：已知m α⊂，n ⊂α，若//αβ，由面面平行的性质可得//m β，βn//，必要性成立. 因此，“//m β，βn//”是“//αβ”的必要不充分条件.故选：B.2．（2021·山东高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为1DD ，1AA ，AB 的中点，P 为底面ABCD 上一动点，且直线1//D P 平面EFG ，则1D P 与平面ABCD 所成角的正切值的取值范围为（ ） A ．⎣⎦ B ．⎤⎥⎣⎦C ．⎡⎣D ．⎣⎦ 练提升【答案】B【解析】由题意知面EFG 在正方体1111ABCD A B C D -上的截面为EFGH 且H 为DC 中点，根据正方体、线面平行的性质，有P 在BC 上，即1D P 与平面ABCD 所成角为1DPD ∠，进而可求其正切值的范围.【详解】由题意，如上图示，面EFG 在正方体1111ABCD A B C D -上的截面为EFGH 且H 为DC 中点，∵1//D P 平面EFG ，而面11//A BCD 面EFG ，∴1D P ⊂面11A BCD ，又P 为底面ABCD 上一动点，则P 在BC 上，∴1D P 与平面ABCD 所成角为1DPD ∠，当P 与B 重合时，1DPD ∠最小，此时11tan DD DBD BD ∠== 当P 与C 重合时，1DPD ∠最大，此时11tan 1DD DCD CD ∠==；∴1tan DPD ∠∈. 故选：B3．（2021·江苏南京一中高一月考）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ､F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．线段11B D 上存在点E ､F 使得//AE BFB ．//EF 平面ABCDC ．AEF 的面积与BEF 的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积不为定值【答案】B【解析】利用异面直线的定义可判断A ；根据线面平行判定定理可判断B ；根据三角形的高不相等可判断C ；直接计算体积可判断D.【详解】线段11B D 上不存在点E ､F 使得//AE BF ，因为A 在平面11BDD B 平面外，E 在平面内，所以AE ，BF 是异面直线，所以A 不正确；连接BD ，几何体是正方体，所以//EF BD ，BD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，可知//EF 平面ABCD ，所以B 正确.B 到11B D 的距离为11BB =，A 到11B D 的距离大于上下底面中心的连线，则A 到11B D 的距离大于1，∴AEF 的面积大于BEF 的面积，故C 错误；A 到平面11BDDB BEF 的面积为定值， ∴三棱锥A BEF -的体积为定值，故D 不正确.故选：B.4．（2021·江西省分宜中学高二月考（理））点,M N 分别是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中棱1,BC CC 的中点，动点P 在正方形11BCC B (包括边界)内运动.若1//PA 面AMN ，则1PA 的长度范围是（ ）A ．B ．2⎡⎢⎣C ．⎤⎥⎣⎦D ．[2,3]【答案】B【解析】 如图，分别取111,BB B C 的中点,E F ，连接11,,EF A E A F ，则可证得平面1A EF ‖平面AMN ，从而可得点P 在EF 上，从而可求出1PA 的长度范围【详解】解：如图，分别取111,BB B C 的中点,E F ，连接11,,EF A E A F ，1,FM BC ，则EF ‖1BC ，因为,M N 是1,BC CC 的中点，所以MN ‖1BC ，所以EF ‖MN ，因为EF ⊄平面AMN ，MN ⊂平面AMN ，所以EF ‖平面AMN ，因为F 是11B C 的中点，M 是BC 的中点，所以FM ‖1BB ，1FM BB =，因为1AA ‖1BB ，11AA BB =，所以FM ‖1AA ，1FM AA =，所以四边形1FMAA 为平行四边形，所以1A F ‖AM ，，因为1⊄A F 平面AMN ，MA ⊂平面AMN ，所以1A F ‖平面AMN ，因为1A F EF F ⋂=，所以平面1A EF ‖平面AMN ，因为平面1A EF 平面AMN EF =，所以点P 在EF 上运动，使1//PA 面AMN ，因为1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以11A E A F EF =所以当点P 与E 或F 重合时，1PA 最长，当点P 在EF 的中点时，1PA 最短，1PA =，所以1PA 的长度范围是2⎡⎢⎣， 故选：B5．【多选题】（2021·江苏省镇江中学高一月考）下列四个正方体图形中，,A B 为正方体的两个顶点，,,M N P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AD【解析】对于A 通过线面平行判定定理即可判断；对于B 找到AB 与平面MNP 内某一直线相交即可；对于C 找到AB 平行线与平面MNP 内某一直线相交即可；对于D 通过线面平行判定定理即可判断.【详解】对于A ，如下图所示，根据正方体性质易证得//AB FN ,又因为MN ⊂平面MNP ，AB ⊄平面MNP ,所以//AB 平面MNP .故A 正确；对于B ，如下图所示，在平面ABMN 内，AB 与MN 相交，又因为MN ⊂平面MNP ，AB ⊄平面MNP ,所以AB 与平面MNP 相交，故B 错误；对于C ，如下图所示，易证//QM AB ,由于QM 与平面MNP 相交，则AB 与面MNP 相交.故C 错误；对于D ，如下图所示，由正方体性质易证得//AB CD ，由中位线定理知//MP CD ，所以//AB MP ,又因为MP ⊂平面MNP ，AB ⊄平面MNP ,所以//AB 平面MNP .故D 正确.故选:AD6．（2021·珠海市第二中学高一期中）已知正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为2，1O 是11A C 中点．（1）求证：平面11//AO D 平面1DBC ；（2）设1BB 的中点为M ，过A ､M ､1C 作一截面，交1DD 于点N ，求截面1AMC N 的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）连接AC ，BD ，若AC BD O =，连接1OC ，由平行四边形的性质及线面平行的判定易得1//AO 平面1DBC 、1//AD 平面1DBC ，根据面面平行的判定即可证平面11//AO D 平面1DBC ；（2）连接AM ，1C M ，设平面1AMC 与平面11AA D D 交于AN ，根据面面平行的性质可得四边形1AMC N 为平行四边形，结合正方体的性质易知四边形1AMC N 为菱形，再求出对角线MN 、1AC ，即可求截面的面积.【详解】（1）如图，连接AC ，BD ，若AC BD O =，连接1OC ，由11//AA CC ，11AA CC =，可得四边形11AAC C 为平行四边形，∴11//AC A C ，又11C O AO =，∴四边形11AOC O 为平行四边形，即11//AO C O ，而1AO ⊄平面1DBC ，1C O ⊂平面1DBC ， 1//AO ∴平面1DBC ，同理，11ABC D 是平行四边形，即11//AD BC ，而1AD ⊄平面1DBC ，1BC ⊂平面1DBC ，∴1//AD 平面1DBC ，而11AO AD A ⋂=，∴平面11//AO D 平面1DBC .（2）连接AM ，1C M ，平面1AMC 与平面11AA D D 交于AN ，由平面11//AA D D 平面11BB C C ，且平面1AMC 平面111BB C C C M =，平面1AMC 平面11AA D D AN =， 1//C M AN ∴，同理有1//AM C N ，即四边形1AMC N 为平行四边形，在Rt ABM 与11Rt C B M 中，易知1AM C M =，即四边形1AMC N 为菱形，故N 为1DD 的中点． ∵正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，MN ∴1AC =∴截面面积12S =⨯=7．（2021·福建高一期末）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为11A D ，11A B ，1BB ，11B C 的中点，点P 为线段1CC 上的动点，且1(01)CP CC λλ=≤≤.（1）是否存在λ使得//HP 平面EFG ，若存在，求出λ的值并给出证明过程；若不存在，请说明理由； （2）画出平面EFG 截该正方体所得的截面，并求出此截面的面积.【答案】（1）存在，1=2λ，证明见解析；（2）画图见解析； 【解析】（1）取11C D 中点K ，由面面平行的判定定理即可证明平面//HPK 平面EFG ，即可得到//HP 平面EFG 时λ的值.（2）画出截面，根据正六边形的性质即可求出截面的面积.【详解】解：（1）当1=2λ时，//HP 平面EFG . 取11C D 中点K ，连接HK ，PK ，11B D ，则//HK 11B D ，//EF 11B D ，如图所示：故//HK EF ，又HK ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ，//HK ∴平面EFG ，同理，//PK 平面EFG ，又HK =PK K ，HK PK ⊂，平面HPK ，故平面//HPK 平面EFG ，HP ⊂平面HPK ，//HP ∴平面EFG ；（2）平面EFG 截正方体1111ABCD A B C D -的截面为正六边形EFGRSRT ，如图所示：又正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，故正六边形EFGRSRT∴截面面积为：26=8．（2021·山东高一期末）如图，点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，DE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ，2AB BF DE ==，M 是线段EF 上一点，且2MF ME =．（1）证明：三棱锥M ACF -是正三棱锥；（2）试问在线段DF （不含端点）上是否存在一点N ，使得//CN 平面ABF ．若存在，请指出点N 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）根据正三棱锥的定义即可证明；（2）利用反证法，由//CD 平面ABF ，假设存在这样的点N ，使得//CN 平面ABF ，推出平面CDF //平面ABF ，与平面CDF 和平面ABF 是相交平面矛盾，即可求解.【详解】解：（1）证明：设22AB BF DE a ===，则AF FC AC ===∴AFC △是正三角形，如图所示：连接FO ，EO ，OD OB ==，∴OE =，OF =，3EF a =，在OEF 中，由222OE OF EF +=知：OE OF ⊥．又DE ⊥平面ABCD ，DE AC ∴⊥，∵AC BD ⊥，BD DE D ⋂=，∴AC ⊥平面DOE ，∴AC OE ⊥．又,AC OF ⊂平面ACF ，AC OF O ⋂=，∴OE ⊥平面ACF ，在线段OF 上取点G ，使得:1:2OG GF =，则点G 是AFC △的重心，也就是AFC △的中心，连接MG ，则MG//OE ，∴MG ⊥平面ACF ，∴三棱锥M ACF -是正三棱锥；（2）∵平面CDF 与平面ABF 有公共点F ，故平面CDF 与平面ABF 是相交平面，∵//CD AB ，CD ⊂/平面ABF ，AB平面ABF ，∴//CD 平面ABF ，假设存在这样的点N ，使得//CN 平面ABF ，∵点N 与点D 不重合，∴CD 与CN 是相交直线，又//CD 平面ABF ，//CN 平面ABF ，且CD ⊂平面CDF ，CN ⊂平面CDF ， ∴平面CDF //平面ABF ，这与平面CDF 和平面ABF 是相交平面矛盾，∴不存在一点N ，使得//CN 平面ABF ．9．（2019·河南高三月考（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，AB AD =，PA PD ⊥，AD CD ⊥，60BAD ∠=，M ，N 分别为AD ，PA 的中点．（Ⅰ）证明：平面BMN 平面PCD ；（Ⅱ）若6AD =，求三棱锥P BMN -的体积．【答案】（Ⅰ）证明见解析；【解析】（Ⅰ）连接BD ，∴AB AD =，60BAD ∠=，∴ABD ∆为正三角形. ∵M 为AD 的中点，∴BM AD ⊥.∵AD CD ⊥，,CD BM ⊂平面ABCD ，∴BM CD .又BM ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴BM ∥平面PCD . ∵M ，N 分别为AD ，PA 的中点，∴MN PD .又MN ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，∴MN ∥平面PCD . 又,BM MN ⊂平面BMN ，BMMN M =，∴平面BMN 平面PCD .（Ⅱ）在（Ⅰ）中已证BM AD ⊥.∵平面PAD ⊥平面ABCD ，BM ⊂平面ABCD ，∴BM ⊥平面PAD .又6AD =，60BAD ∠=，∴BM =在PAD ∆中，∵PA PD =，PA PD ⊥，∴2PA PD AD ===∵M ，N 分别为AD ，PA 的中点，∴PMN ∆的面积(211194424PMN PAD S S ∆∆==⨯⨯=，∴三棱锥P BMN -的体积13P BMN B PMN PMN V V S BM --∆==⋅1934=⨯⨯=.10．（2021·陕西高二期末（文））如图，正三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别为1CC 、11A B 的中点．（1）证明：1//C E 平面1ADB ；（2）若2AB =，1AA =1A 到平面1ADB 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】（1）本题可连接1A B 与1AB 交于点O ，连接OD 、OE ，然后根据三角形的中位线法则得出1//OE BB ，112OE BB =，根据D 是1CC 中点得出11//DC BB ，1112DC BB =，即可得出1//OD EC ，最后通过线面平行的判定即可得出结果； （2）本题可作11A HAB ，通过线面垂直以及面面垂直的判定得出平面1ADB ⊥平面11A B BA ，然后根据面面垂直的性质得出1A H ⊥平面1ADB ，则1A H 长即点1A 到平面1ADB 的距离，最后通过等面积法即可得出结果. 【详解】（1）如图，连接1A B 与1AB 交于点O ，连接OD 、OE ，因为三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱， 所以四边形11ABB A 是矩形，O 是1A B 中点， 因为E 是11A B 的中点，所以1//OE BB ，112OE BB =， 因为D 是1CC 中点，所以11//DC BB ，1112DC BB =， 故1//DC OE ，1DC OE ，四边形1OEC D 是平行四边形，1//OD EC ，因为OD ⊂平面1ADB ，1C E ⊄平面1ADB ，所以1//C E 平面1ADB . （2）如图，作11A HAB ，因为三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱，所以底面三角形是等边三角形，侧棱垂直于底面，易知111A B C E ⊥，11AA C E ，因为1111A B AA A ⋂=，所以1C E ⊥平面11A B BA ， 因为1//OD EC ，所以OD ⊥平面11A B BA ，因为OD ⊂平面1ADB ，所以平面1ADB ⊥平面11A B BA ， 因为平面1ADB 平面111A B BAAB ，11A HAB ，1A H ⊂平面11A B BA ，所以1A H ⊥平面1ADB ，1A H 长即点1A 到平面1ADB 的距离，2AB =，1AA =112A B =，1AB =根据等面积法易知，11111AA A B A HAB ，解得1263A H，故点1A 到平面1ADB .1．（2021·浙江高考真题）如图已知正方体，M ，N 分别是，的中点，则（ ）A ．直线与直线垂直，直线平面B ．直线与直线平行，直线平面C ．直线与直线相交，直线平面D ．直线与直线异面，直线平面 【答案】A 【解析】由正方体间的垂直、平行关系，可证平面，即可得出结论.1111ABCD A B C D -1A D 1D B 1A D 1D B //MN ABCD 1A D 1D B MN ⊥11BDD B 1A D 1D B //MN ABCD 1A D 1D B MN ⊥11BDD B 1//,MN AB A D ⊥1ABD 练真题【详解】连，在正方体中， M 是的中点，所以为中点， 又N 是的中点，所以，平面平面，所以平面.因为不垂直，所以不垂直则不垂直平面，所以选项B,D 不正确； 在正方体中，，平面，所以， ，所以平面， 平面，所以，且直线是异面直线， 所以选项C 错误，选项A 正确. 故选：A.2.（2018·浙江高考真题）已知直线,m n 和平面α，n ⊂α，则“//m n ”是“//m α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】1AD 1111ABCD A B C D -1A D M 1AD 1D B //MN AB MN ⊄,ABCD AB ⊂ABCD //MN ABCD AB BD MN BD MN 11BDD B 1111ABCD A B C D -11AD A D ⊥AB ⊥11AA D D 1AB A D ⊥1AD AB A ⋂=1A D ⊥1ABD 1D B ⊂1ABD 11A D D B ⊥11,A D D B从充分性和必要性两方面分别分析判断得解. 【详解】直线,m n 和平面α，n ⊂α，若//m n ，当m α⊂时，//m α显然不成立，故充分性不成立；当//m α时，如图所示，显然//m n 不成立，故必要性也不成立．所以“//m n ”是“//m α”的既不充分又不必要条件. 故选：D3.（北京高考真题（理））设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B ．4.（2017·全国高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 不平行与平面MNQ 的是（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于选项A，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知A不满足题意；对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意；对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；对于选项D，由于直线AB不平行与平面MNQ，满足题意.故答案为：D5．（2019·全国高考真题（文））如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．【答案】（1）见解析；（2.【解析】（1）连接ME，1B CM ，E 分别为1BB ，BC 中点 ME ∴为1B BC ∆的中位线1//ME B C ∴且112ME B C =又N 为1A D 中点，且11//A D B C 1//ND B C ∴且112ND B C =//ME ND ∴ ∴四边形MNDE 为平行四边形//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE //MN ∴平面1C DE（2）在菱形ABCD 中，E 为BC 中点，所以DE BC ⊥，根据题意有DE =1C E =，因为棱柱为直棱柱，所以有DE ⊥平面11BCC B ，所以1DE EC ⊥，所以112DEC S ∆=设点C 到平面1C DE 的距离为d ，根据题意有11C CDE C C DE V V --=，则有1111143232d ⨯=⨯⨯，解得17d ==，所以点C 到平面1C DE 的距离为17. 6.（2017·全国高考真题（文））四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,01,90.2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= （1）证明：直线//BC 平面PAD ;（2）若△PCD 面积为，求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】（1）在平面内，因为,所以又平面平面故平面（2）取的中点，连接由及得四边形为正方形，则.因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面，所以底面因为底面，所以,设，则，取的中点，连接，则,所以，因为的面积为，所以，解得（舍去），于是所以四棱锥的体积。

直线、平面平行的判定及其性质 测试题（有详解）A一、选择题1．下列条件中,能判断两个平面平行的是( )A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面2．E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是A ．0B ．1C ．2D ．33． 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（ ）A ．//,a b αα⊂B ．//,//a b ααC ．//,//a c b cD ．//,a b ααβ=4．若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则下列结论成立的是（ ）A ．α内的所有直线与m 异面B ．α内不存在与m 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与m 平行D ．α内的直线与m 都相交5．下列命题中，假命题的个数是（ ）① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行A ．4B ．3C ．2D ．16．已知空间四边形ABCD 中，,M N 分别是,AB CD 的中点，则下列判断正确的是（ ）A ．()12MN AC BC ≥+B ．()12MN AC BC ≤+ C ．()12MN AC BC =+ D ．()12MN AC BC <+ 二、填空题7．在四面体ABCD 中，M ，N 分别是面△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________.8．如下图所示，四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP 的图形的序号的是①②③④9．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1中点，则BD 1和平面ACE 位置关系是 ．三、解答题侧棱长是10.如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，D C A B B 1A 1C 13，D 是AC 的中点.求证：//1C B 平面BD A 1.11.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N ，G 分别是AA 1，CD ，CB ，CC 1的中点， 求证：（1）MN //B 1D 1 ；（2）AC 1//平面EB 1D 1 ；（3）平面EB 1D 1//平面BDG .B一、选择题1．α，β是两个不重合的平面，a ，b 是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是（ ）A ．α，β都平行于直线a ，bB ．α内有三个不共线点到β的距离相等C ．a ，b 是α内两条直线，且a ∥β，b ∥βD ．a ，b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β2．两条直线a ，b 满足a ∥b ，b α，则a 与平面α的关系是（ ）A ．a ∥αB ．a 与α相交C ．a 与α不相交D ．a α3．设,a b 表示直线，,αβ表示平面，P 是空间一点，下面命题中正确的是（ ）A ．a α⊄，则//a αB ．//a α，b α⊂，则//a bC ．//,,a b αβαβ⊂⊂，则//a bD ．,,//,//P a P a βααβ∈∈，则a β⊂4．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（ ）A.异面B.相交C.平行D.不能确定5.下列四个命题中，正确的是（ ）①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④6．a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则下列结论成立的是A ．过A 有且只有一个平面平行于a ，bB ．过A 至少有一个平面平行于a ，bC ．过A 有无数个平面平行于a ，bD ．过A 且平行a ，b 的平面可能不存在二、填空题7．a ，b ，ｃ为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：.⇒⎭⎬⎫;⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫αγγαβαγβγαααβαβαγγ∥∥∥⑥∥∥∥⑤∥∥∥④∥∥∥③∥∥∥②∥∥∥①a a a c a c c c b a b a b a c b c a ;;;;其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上）8．设平面α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，若AS =18，BS =9，CD =34，则CS =_____________.9．如图，正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，DD 1，DC 中点，N 是BC 中点，点M 在四边形EFGH及其内部运动，则M 满足 时，有MN ∥平面B 1BD D 1．三、解答题10.如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==,点E 在棱PC上． 问点E 在何处时，//PA EBD 平面，并加以证明.11.如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别为AB ，PD 上的点，且MB AM =NPDN ，求证：直线MN ∥平面PBC .C1.平面内两正方形ABCD 与ABEF ，点M ，N 分别在对角线AC ,FB 上，且AM:MC=FN:NB ，沿AB 折起，使得∠DAF =900(1)证明：折叠后MN//平面CBE ；（2）若AM:MC =2：3，在线段AB 上是否存在一点G ，使平面MGN //平面CBE ?若存在，试确定点G 的位置.2.设平面α∥平面β，AB 、CD 是两条异面直线，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，且A ，C ∈α，B ，D ∈β，求证：MN ∥平面α.AB C DE MNαβ参考答案AE PD C B A一、选择题1．D【提示】当l =⋂βα时，α内有无数多条直线与交线l 平行，同时这些直线也与平面β平行.故A ，B ，C 均是错误的2．C【提示】棱AC ，BD 与平面EFG 平行，共2条.3．C【提示】//,,a b αα⊂则//a b 或,a b 异面；所以A 错误；//,//,a b αα则//a b 或,a b 异面或,a b 相交，所以B 错误；//,,a b ααβ=则//a b 或,a b 异面，所以D 错误；//,//a c b c ，则//a b ，这是公理4，所以C 正确.4．B【提示】若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则直线m 于平面α相交，α内不存在与m 平行的直线.5．B【提示】②③④错误.②过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行，有无数多条直线与它平行.③过直线外一点有无数个平面和这条直线平行④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行或其中一条在平面上.6. D【提示】本题可利用空间中的平行关系，构造三角形的两边之和大于第三边.二、填空题7．平面ABC ，平面ABD【提示】连接AM 并延长，交CD 于E ，连结BN 并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由MA EM =NB EN =21得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .8. ①③【提示】对于①，面MNP//面AB,故AB//面MNP.对于③，MP//AB,故AB//面MNP,对于②④，过AB 找一个平面与平面MNP 相交，AB 与交线显然不平行，故②④不能推证AB//面MNP.9．平行【提示】连接BD 交AC 于O ，连OE ，∴OE ∥B D 1，OEC 平面ACE ，∴B D 1∥平面ACE.三、解答题10.证明：设1AB 与B A 1相交于点P ，连接PD ，则P 为1AB 中点，D 为AC 中点，∴PD//C B 1.又 PD ⊂平面B A 1D ，∴C B 1//平面B A 1 D11.证明：（1） M 、N 分别是CD 、CB 的中点，∴MN//BD又 BB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形.所以BD//B 1D 1.又MN//BD ，从而MN//B 1D 1（2）（法1）连A 1C 1，A 1C 1交B 1D 1与O 点四边形A 1B 1C 1D 1为平行四边形，则O 点是A 1C 1的中点E 是AA 1的中点，∴EO 是∆AA 1C 1的中位线，EO//AC 1.AC 1⊄面EB 1D 1 ，EO ⊂面EB 1D 1，所以AC 1//面EB 1D 1 （法2）作BB 1中点为H 点，连接AH 、C 1H ，E 、H 点为AA 1、BB 1中点，所以EH //C 1D 1，则四边形EHC 1D 1是平行四边形，所以ED 1//HC 1又因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AHAH ⋂HC 1=H ，∴面AHC 1//面EB 1D 1.而AC 1⊂面AHC 1，所以AC 1//面EB 1D 1（3）因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AH因为AD //HG ，则四边形ADGH 是平行四边形，所以DG//AH ，所以EB 1//DG又 BB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形. 所以BD//B 1D 1.BD ⋂DG=G ，∴面EB 1D 1//面BDGB一、选择题1．D【提示】A 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β；B 错，若A ，B ，C 三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；C 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β；D 正确.2．C【提示】若直线a ，b 满足a ∥b ，b α，则a ∥α 或a α3．D【提示】根据面面平行的性质定理可推证之.4．C【提示】设α∩β=l ，a ∥α，a ∥β，过直线a 作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ=b ，β∩γ=c ，则a ∥b 且a ∥c ，∴b ∥c .又b ⊂α，α∩β=l ，∴b ∥l .∴a ∥l .5．A【提示】6． D【提示】过点A 可作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′∩b ′=A ，∴a ′，b ′可确定一个平面，记为α.如果a ⊄α，b ⊄α，则a ∥α，b ∥α.由于平面α可能过直线a 、b 之一，因此，过A 且平行于a 、b 的平面可能不存在.二、填空题7.①④⑤⑥8.68或368 【提示】如图（1），由α∥β可知BD ∥AC ，∴SA SB =SC SD ，即189=SC SC 34-，∴SC =68.S S A A B B C C α α ββ(1)(2)D D如图（2），由α∥β知AC ∥BD ，∴SB SA =SD SC =SC CD SC -，即918=SCSC -34. ∴SC =368. 9．M ∈HF【提示】易证平面NHF ∥平面BD D 1 B 1，M 为两平面的公共点，应在交线HF 上.三、解答题 10．解：当E 为PC 中点时，//PA EBD 平面．证明：连接AC ，且AC BD O =，由于四边形ABCD 为正方形，∴O 为AC 的中点，又E 为中点，∴OE 为△ACP 的中位线， ∴//PA EO ，又PA EBD ⊄平面，∴//PA EBD 平面.11．证法一：过N 作NR ∥DC 交PC 于点R ，连接RB ，依题意得NR NR DC -=NP DN =MB AM =MB MB AB -=MBMB DC -⇒NR =MB .∵NR ∥DC ∥AB ，∴四边形MNRB 是平行四边形.∴MN ∥RB .又∵RB 平面PBC ，∴直线MN ∥平面PBC . 证法二：过N 作NQ ∥AD 交P A 于点Q ，连接QM ，∵MB AM =NPDN =QP AQ ，∴QM ∥PB .又NQ ∥AD ∥BC ，∴平面MQN ∥平面PBC .∴直线MN ∥平面PBC .C1.（1）证明：设直线AN 与BE 交与点H ，连接CH ，ANF ∆ ∽HNB ∆,∴NHAN NB FN =. 又NB FN MC AM =,则NH AN =MCAM ，∴MN//CH. 又CBE CBE MN 平面，平面⊂⊄CH ,∴MN//平面CBE.(2)解：存在，过M 作MG ⊥AB,垂足为G ，则MG//BC, ∴MG//平面CBE,又MN//平面CBE ，M MN MG =⋂,平面MGN//平面CBE.即G 在AB 线上，且AG:GB=AM:MC=2：32.证明：连接BC ，AD ，取BC 的中点E ，连接ME 、NE ，则ME 是△BAC 的中位线，故ME ∥AC. ME ⊄α，∴ME ∥α.O F A B CD PE同理可证，NE∥BD.又α∥β，设CB与DC确定的平面BCD与平面α交于直线CF，则CF∥BD，∴NE∥CF. 而NE⊄平面α，CF⊂α，∴NE∥α.又ME∩NE=E，∴平面MNE∥α，而MN⊂平面MNE，∴MN∥平面α.。

2.2. 直线、平面平行的判断及其性质直线与平面平行的判断知识梳理1、直线与平面平行的判判定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：aαbβ=> a∥ αa∥ b知能训练一．选择题1．已知 m，n 是两条不同样直线，α，β，γ是三个不同样平面，以下命题中正确的选项是（）A ．若 m∥ α， n ∥ α，则 m∥ n B ．若α⊥ γ，β⊥ γ，则α∥ βC．若 m ∥ α， m ∥ β，则α∥ β D ．若 m ⊥ α， n⊥ α，则 m ∥ n 2．若直线l 不平行于平面α，且l?α，则（）A ．α内存在直线与 l 异面B ．α内存在与 l 平行的直线C．α内存在唯一的直线与 l 平行D ．α内的直线与 l 都相交3．如图， M 是正方体 ABCD-A 1B 1C1D 1的棱 DD 1的中点，给出以下命题①过 M 点有且只有一条直线与直线AB 、 B 1C1都订交；②过 M 点有且只有一条直线与直线AB 、 B 1C1都垂直；③过 M 点有且只有一个平面与直线AB 、 B 1C1都订交；④过 M 点有且只有一个平面与直线AB 、 B 1C1都平行．其中真命题是（）A ．② ③ ④B ．① ③ ④C ．① ② ④D ．① ② ③4．正方体 ABCD-A 1B 1C1D 1中 M ，N ，Q 分别是棱 D 1C1， A 1D 1，BC 的中点． P在对角线 BD 1上，且BP＝BD1，给出下面四个命题：（1）MN ∥面 APC；（2）C1 Q∥面 APC；（3）A ，P， M 三点共线；（4）面 MNQ ∥面 APC．正确的序号为（）A ．（ 1 ）（ 2 ）B ．（ 1 ）（ 4 ）C．（ 2）（ 3 ） D ．（ 3 ）（ 4）5．在正方体ABCD-A 1B 1C1D 1的各个极点与各棱中点共20 个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A 1BC 1平行的直线共有（）A ． 12 条B ． 18 条C ． 21 条D ． 24 条6．直线 a∥平面α，P∈ α，那么过 P 且平行于 a 的直线（）A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在平面α内7．若是直线a∥平面α，那么直线 a 与平面α内的（）A ．一条直线不相交B ．两条直线不相交C ．无数条直线不相交D ．任意一条直线不相交8．如图在正方体ABCD-A 1B 1C1D 1中，与平面AB 1C 平行的直线是（）A ．DD 1B ．A 1 D 1C ．C 1D 1 D ．A 1 D9．如图，在三棱柱 ABC-A 1B1C1中，点 D 为 AC 的中点，点 D1是 A 1C1上的一点，若 BC 1∥平面 AB 1D 1，则等于（）A ． 1/2B ． 1C． 2 D ． 310．下面四个正方体图形中， A 、B 为正方体的两个极点，M、N 、 P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面 MNP 的图形是（）A ．①②B ．①④C．②③ D ．③④11．如图，正方体的棱长为1，线段 B′ D上′有两个动点 E ，F，EF= ，则以下结论中错误的选项是（）A ． AC ⊥ BEB ． EF ∥平面 ABCDC．三棱锥 A-BEF的体积为定值D ．异面直线 AE ， BF 所成的角为定值二．填空题12．如图，在正方体ABCD-A1B 1C1D 1 中，E，F，G，H，M分别是棱AD ，DD 1，D1A 1，A 1A ，AB的中点，点 N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N 只需满足条件时，就有MN ⊥ A1C1；当N 只需满足条件时，就有MN ∥平面 B 1D 1C．13．如图，正方体ABCD-A1B 1C1D 1 中，AB=2，点E 为 AD的中点，点 F 在 CD上，若EF ∥平面AB 1C，则线段EF的长度等于．三．解答题14．如图，在三棱柱 ABC-A 1B 1 C1中，侧棱 AA 1⊥底面 ABC ，AB ⊥ BC，D 为 AC的中点， AA 1=AB=2 ．（1）求证： AB 1∥平面 BC1D ；（2）若 BC=3 ，求三棱锥 D-BC 1C 的体积．平面与平面平行的判断知识梳理1、两个平面平行的判判定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

直线、平面平行的判定及其性质一、选择题1．若直线m⊂平面α，则条件甲：“直线l∥α”是条件乙：“l∥m”的( )．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 D2．若直线a∥直线b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是( )A．一定平行 B．不平行C．平行或相交 D．平行或在平面内解析直线在平面内的情况不能遗漏，所以正确选项为D.答案 D3．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()．A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α解析l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等；l与α斜交时，也只能有两个点到α距离相等．答案 D4．设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()．A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2解析对于选项A，不合题意；对于选项B，由于l1与l2是相交直线，而且由l1∥m可得l1∥α，同理可得l2∥α故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l1∥m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B；对于选项C，由于m，n不一定相交，故是必要非充分条件；对于选项D，由n∥l2可转化为n∥β，同选项C，故不符合题意，综上选B.答案 B5．已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2.直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3.那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析如图所示，由于α2∥α3，同时被第三个平面P1P3N所截，故有P2M∥P3N.再根据平行线截线段成比例易知选C.答案 C6．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()．A．①③B．②③C．①④D．②④解析对于图形①：平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP，对于图形④：AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP，图形②、③都不可以，故选C.答案 C二、填空题7．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．解析过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．答案 68．α、β、γ是三个平面，a、b是两条直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的题号填上)．解析 ①中，a ∥γ，a ⊂β，b ⊂β，β∩γ＝b ⇒a ∥b (线面平行的性质)．③中，b ∥β，b ⊂γ，a ⊂γ，β∩γ＝a ⇒a ∥b (线面平行的性质)．答案 ①③9．若m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________．①若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线；②若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线；③已知α、β互相平行，m 、n 互相平行，若m ∥α，则n ∥β；④若m 、n 在平面α内的射影互相平行，则m 、n 互相平行．解析 ①为假命题，②为真命题，在③中，n 可以平行于β，也可以在β内，故是假命题，在④中，m 、n 也可能异面，故为假命题．答案 ②10．对于平面α与平面β，有下列条件：①α、β都垂直于平面γ；②α、β都平行于平面γ；③α内不共线的三点到β的距离相等；④l ，m 为两条平行直线，且l ∥α，m ∥β；⑤l ，m 是异面直线，且l ∥α，m ∥α；l ∥β，m ∥β，则可判定平面α与平面β平行的条件是________(填正确结论的序号)．解析 由面面平行的判定定理及性质定理知，只有②⑤能判定α∥β.答案 ②⑤三、解答题11． 如图，在四面体A －BCD 中，F 、E 、H 分别是棱AB 、BD 、AC 的中点，G 为DE 的中点．证明：直线HG ∥平面CEF .证明 法一 如图，连接BH ，BH 与CF 交于K ，连接EK .∵F 、H 分别是AB 、AC 的中点，∴K 是△ABC 的重心，∴BK BH ＝23. 又据题设条件知，BE BG ＝23， ∴BK BH ＝BE BG，∴EK ∥GH . ∵EK ⊂平面CEF ，GH ⊄平面CEF ，∴直线HG ∥平面CEF .法二 如图，取CD 的中点N ，连接GN 、HN .∵G 为DE 的中点，∴GN ∥CE .∵CE ⊂平面CEF ，GN ⊄平面CEF ，∴GN ∥平面CEF .连接FH ，EN∵F 、E 、H 分别是棱AB 、BD 、AC 的中点，∴FH 綉12BC ，EN 綉12BC ，∴FH 綉EN ，∴四边形FHNE 为平行四边形，∴HN ∥EF .∵EF ⊂平面CEF ，HN ⊄平面CEF ，∴HN ∥平面CEF .HN ∩GN ＝N ，∴平面GHN ∥平面CEF .∵GH ⊂平面GHN ，∴直线HG ∥平面CEF .12． 如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点．(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；(2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F .证明 (1)∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2，∴BG 綉A 1E ，∴A 1G 綉BE .又同理，C 1F 綉B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平行四边形，∴FG 綉C 1B 1綉D 1A 1，∴四边形A 1GFD 1是平行四边形．∴A 1G 綉D 1F ，∴D 1F 綉EB ，故E 、B 、F 、D 1四点共面．(2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝32.又B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝23.又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°，∴△B 1HG ∽△CBF ，∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ，∴HG ∥FB .又由(1)知A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ，FB ∩BE ＝B ，∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .13．一个多面体的直观图及三视图如图所示：(其中M 、N 分别是AF 、BC 的中点)．(1)求证：MN ∥平面CDEF ；(2)求多面体A －CDEF 的体积．解 由三视图可知：AB ＝BC ＝BF ＝2，DE ＝CF ＝22，∠CBF ＝π2.(1)证明：取BF 的中点G ，连接MG 、NG ，由M 、N 分别为AF 、BC 的中点可得，NG ∥CF ，MG ∥EF ，∴平面MNG ∥平面CDEF ，又MN ⊂平面MNG ，∴MN ∥平面CDEF .(2)取DE 的中点H .∵AD ＝AE ，∴AH ⊥DE ，在直三棱柱ADE －BCF 中，平面ADE ⊥平面CDEF ，平面ADE ∩平面CDEF ＝DE .∴AH ⊥平面CDEF .∴多面体A －CDEF 是以AH 为高，以矩形CDEF 为底面的棱锥，在△ADE 中，AH ＝ 2.S 矩形CDEF ＝DE ·EF ＝42，∴棱锥A －CDEF 的体积为V ＝13·S 矩形CDEF ·AH ＝13×42×2＝83. 14．如图所示，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .(1)求证：AE ⊥BE ；(2)设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE .(1)证明 ∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE ，又AE ⊂平面ABE ，则AE ⊥BC .又∵BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ABE ，∴AE ⊥BF ，又BC ∩BF ＝B ，∴AE ⊥平面BCE ，又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .(2)解 在△ABE 中过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点，在△BEC 中过G 点作GN ∥BC 交EC 于N 点，连接MN ，则由比例关系易得CN ＝13CE . ∵MG ∥AE ，MG ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，∴MG ∥平面ADE .同理，GN ∥平面ADE .又∵GN ∩MG ＝G ，∴平面MGN ∥平面ADE .又MN ⊂平面MGN ，∴MN ∥平面ADE .∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点.。

直线与平面平行的判定与性质1.下列说法正确的是( )A.直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB.若直线a⊄α，则a∥αC.若直线a∥b,b⊂α,则a∥αD.若直线a∥b,b⊂α,直线a就平行于平面α内的无数条直线解析：∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α，从而排除A.∵直线a在平面α外，包括两种情况a∥α和a与α相交.∴a与α不一定平行，从而排除B.∵直线a∥b,b⊂α,则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，从面排除C.∵a∥b,b⊂α,那么∴a⊂α或a∥α.∴a与平面α内的无数条直线平行.答案：D2.在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB=CF∶FB=1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )A.平行B.相交C.在内D.不能确定解析：在平面ABC内.∵AE：EB=CF：FB=1：3，∴AC∥EF.可以证明AC⊄平面DEF.若AC⊂平面DEF，则AD⊂平面DEF，BC⊂平面DEF.由此可知ABCD为平面图形，这与ABCD是空间四边形矛盾，故AC⊄平面DEF.∵AC∥EF，EF⊂平面DEF.∴AC∥平面DEF.答案：A3.已知直线a与直线b垂直，a平行于平面α，则b与α的位置关系是( )A.b∥αB.b⊂αC.b与α相交D.以上都有可能答案：D4.已知直线a、b、c及平面α，它们具备下列哪组条件时，有b∥c成立( )A.b∥a且c∥αB.b⊥α，且c⊥αC.b、c和α所成的角相等D.b∥α且c∥α答案：B5.a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是( )A.过A有且只有一个平面平行于a,bB.过A至少有一个平面平行于a,bC.过A 有无数个平面平行于a,bD.过A 且平行a,b 的平面可能不存在解析：如当A 与a 确定的平面与b 平行时，过A 作与a,b 都平行的平面不存在.答案：D6.已知m 、n 表示两条直线，α、β、γ表示平面，下列命题中正确的个数是( )①若α∩γ=m,β∩γ=n,且m ∥n,则α∥β；②若m 、n 相交且都在α、β外，m ∥α,m ∥β,n ∥α,n ∥β,则α∥β;③若m ∥α,m ∥β,则α∥β;④若m ∥α,n ∥β,且m ∥n,则α∥β.A.1B.2C.3D.4解析：①仅满足m ⊂α,n ⊂β,m ∥n,不能得出α∥β,此命题不正确；②设m 、n 确定平面为γ，则有α∥γ,β∥γ,从而α∥β，此命题正确；③④均不满足两个平面平行的条件，故③④均不正确.答案：A7.已知平面α∥β,P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D ，且PA=6，AC=9，PD=8，则BD 的长为( )A.16B.24或524 C.14 D.20 解析：由α∥β得AB ∥CD.若P 在α、β的外侧，则有PD PB PC PA =，∴PB=516，BD=524；若P 在α、β之间，则有PDPB PC PA =，∴PB=16，BD=24.答案：B8.如果两直线a∥b，且a∥平面α,则b与α的位置关系( )A.相交B.b∥αC.b⊂αD.b∥α或b⊂α解析：由a∥b,且a∥α知b与α平行或b在α内.答案：D9.在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA 上的点，当BD平行于平面EFGH时，下面结论正确的是( )A.E、F、G、H一定是各边的中点B.G、H一定是CD、DA的中点C.BE∶EA=BF∶FC，且DH∶HA=DG∶GCD.AE∶EB=AH∶HD，且BF∶FC=DG∶GC答案：D10.设直线l、m，平面α、β，下列条件能得出α∥β的是( )A.l⊂α,m⊂α,且l∥β,m∥βB.l⊂α,m⊂β，且l∥mC.l⊥α,m⊥β,且l∥mD.l∥α,m∥β,且l∥m解析：由两个平面平行的判定定理知A、B、D不正确，对于C，由l∥m,m⊥β,∴l⊥β,∵l⊥а∴α∥β,故选C.答案：C11.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、a,过P、M、N的平面与棱CD B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP=3交于Q，则PQ=_________.解析：由线面平行的性质定理知MN ∥PQ(∵MN ∥平面AC ，PQ=平面PMN∩平面AC ，∴MN ∥PQ).易知DP=DQ=32a .故322322a a PQ =∙=. 答案：322a 12.过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的三顶点A 1、C 1、B 的平面与底面ABCD 所在平面的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是__________. 解析：因过A 1、C 1、B 的平面与底面A 1B 1C 1D 1的交线为A 1C 1，又正方体的两底面互相平行，则由两个平面平行的性质定理知l ∥A 1C 1. 答案：平行13.如果空间中若干点在同一平面内的射影在一条直线上，那么这些点在空间的位置是__________.答案：共线或在与已知平面垂直的平面内14.如果直线l 与平面α内的两条平行直线都垂直，则l 与平面α的位置关系是__________.答案：平行或垂直相交或斜交或在平面α内15.若直线a 和b 都与平面α平行，则a 和b 的位置关系是__________. 答案：相交或平行或异面16.如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、P 、Q 分别是BC 、C 1D 1、AD 1、BD 的中点.(1)求证：PQ ∥平面DCC 1D 1.(2)求PQ 的长.(3)求证：EF ∥平面BB 1D 1D.证明：(1)连结AC 、CD 1.∵P 、Q 分别为AD 1、AC 中点，∴PQ ∥CD 1.又CD 1⊂平面DCC 1D 1，∴PQ ∥平面DCC 1D 1.(2)解：由(1)中证明易知PQ=21D 1C=22a. (3)证明：取B 1D 1的中点O 1，连结BO 1、FO 1，则有FO 121B 1C 1,BE FO 1. ∴四边形BEFO 1是平行四边形.∴EF ∥BO 1.又EF ⊄平面BB 1D 1D ，BO 1⊂平面BB 1D 1D ，∴EF ∥平面BB 1D 1D.17.如图，线段PQ 分别交两个平行平面α、β于A 、B 两点，线段PD 分别交α、β于C 、D 两点，线段QF 分别交α、β于F 、E 两点，若PA=9，AB=12，BQ=12，△ACF 的面积为72，求△BDE 的面积.解析：平面QAF∩α=AF ，平面QAF∩β=BE ，又∵α∥β,∴AF ∥BE.同理可证：AC ∥BD ，∴∠FAC 与∠EBD 相等或互补，即sin ∠FAC=sin ∠EBD.由FA ∥BE ，得BE ：AF ：AF=QB ：QA=12：24=1：2，∴BE=21AF.由BD ∥AC ，得：AC ：BD=PA ：PB=9：21=3：7，∴BD=37AC.又∵△ACF 的面积为72，即1[]2AF·AC·sin ∠FAC=72.∴S △DBE =21BE·BD·sin ∠EBD =21·21AF·37AC·sin ∠FAC =2167 AF·AC·sin ∠FAC=67×72=84. ∴△BDE 的面积为84.18.已知a 、b 是异面直线，平面M 过a 且平行于b ，平面N 过b 且平行于a ，求证：平面M ∥平面N.解析：欲证面面平行，需证线面平行，即在一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面.证明：过a作平面使它交平面N于a′，∵a∥N，∴a∥a′.又a⊂平面M，a′⊄M，∴a′∥平面M.∵a和b是异面直线，∴a′和b相交，由a′∥平面M，b∥平面M，得平面M∥平面N. 19.如图是一块长方体形状的工件，现在要过BC和上表面内的一点P 将工件切开，应怎样画线?所画的线与工件的下底面是什么位置关系?解析：经过工件上表面内的点P和BC将工件切开，实际上是过BC 和点P作截面，所画的线就是切面与长方体工件表面的交线.解析：在面A1B1C1D1内过点P作直线EF∥B1C1交A1B1和C1D1分别于点E、F.连结BE、CF，则沿折线BCEF切开即可.所画的直线EF 与下底面平行，BE和CF都和下底面相交.20.如图，已知A1B1C1—ABC是正三棱柱，D是AC的中点.证明：AB1∥平面DBC1.证明：∵A1B1C1—ABC是正三棱柱，∴四边形B 1BCC 1是矩形.连结B 1C 交BC 1于E ，则E 是B 1C 的中点.连结DE.在△AB 1C 中，又D 为AC 中点，∴DE ∥AB 1又AB 1⊄平面DBC 1，DE ⊂平面DBC 1，∴AB 1∥平面DBC 1.21.在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，设M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、C 1D 1、B 1C 1的中点，求证：(1)E 、F 、B 、D 四点共面；(2)平面AMN ∥平面EFBD.证明：(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，由正方体性质知B 1D 1∥BD.∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点，∴EF21B 1D 1. ∴EF 21BD. ∴E 、F 、B 、D 四点共面.(2)连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、QO.∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点，∴MN ∥EF.而EF ⊂面EFBD.∴MN ∥面EFBD.∵PQ AO,∴四边形PAOQ 为平行四边形.∴PA ∥QO.而QO ⊂平面EFBD ，∴PA ∥平面EFBD ，且PA∩MN=P ，PA 、MN ⊂面AMN.∴平面AMN ∥平面EFBD.22.用平行于四面体ABCD 的一组对棱AB 、CD 的平面截此四面体，如图(1)求证：所得截面MNPQ 是平行四边形；(2)如果AB=CD=a.求证：四边形MNPQ 的周长为定值；解析：(1)∵AB ∥平面MNPQ.平面ABC∩平面MNPQ=MN.且AB ⊂平面ABC.∴由线面平行的性质定理知，AB ∥MN.同理可得PQ ∥AB.∴由平行公理可知MN ∥PQ.同理可得MQ ∥NP.∴截面四边形MNPQ 为平行四边形.(2)∵由(1)可知MN ∥AB.∴λ==AC MC AB MN . ∵MN=λAB=λa,MC=λAC.又∵MG ∥CD,∴CD MQ AC AM =.∴MQ=ACACAC CD AC MC AC λ-=∙-·CD=(1-λ)a, ∴MN+MQ=λa+(1-λ)a=a.∴平行四边形MNPQ 的周长2(MN+MQ)=2a 定值.23.如图所示，在两个底面对应边的比是1∶2的三棱台ABC —A 1B 1C 1中，BB 1∥截面A 1EDC 1，求截面A 1EDC 1截棱台ABC —A 1B 1C 1成两部分体积之比.解析：设三棱台的上、下底面的面积分别为S 1和S 2，高为h. ∵2111=AB B A ,∴4121=S S ,∴S 2=4S 1. ∴)(32211111S S S S hV C B A ABC ++=-三棱台37)44(311211h S S S S h=++=. ∵BB 1∥截面A 1EDC 1，BB 1⊂侧面BCC 1B 1，且侧面BCC 1B 1与截面交于C 1D ，∴BB 1∥C 1D.同理可证BB 1∥A 1E ，∴C 1D ∥A 1E. ∵两底面互相平行，∴A 1C 1∥DE.∴截面A 1EDC 1是平行四边形，∴A 1C 1=DE. 同样可以证明B 1C 1=BD ，A 1B 1=BE ， 即△A 1B 1C 1≌△BDE.∴多面体BDE-B 1C 1A 1是棱柱，且111S S S BD E C B A ==∆∆.∵三棱柱BDE-B 1C 1A 1的高等于三棱台ABC-A 1B 1C 1的高，等于h.∴h S V A C B BD E 1111=-三棱柱.∴三棱台被截面A 1EDC 1截得的另一部分的体积等于h S h S h S 1113437=-. ∴截面A 1EDC 1截三棱台成两部分的体积之比为4∶3.点评：本题以棱台为载体，讨论直线与平面、平面与平面的平行关系，其关键是证明多面体BDE-B 1C 1A 1为棱柱. 走近高考24.已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α,m ⊥β,则α∥β; ②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β; ③若m ⊂α,n ⊂β,m ∥n,则α∥β;④若m 、n 是异面直线，m ⊂α,m ∥β,n ⊂β,n ∥α,则α∥β. 其中真命题是( )A.①和②B.①和③C.③和④D.①和④解析：利用平面平行判定定理知①④正确.②α与β相交且均与γ垂直的情况也成立，③中α与β相交时，也能满足前提条件 答案：D25.给出下列四个命题①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线l1,l2与同一平面所成的角相等，则l1,l2互相平行.④若直线l1,l2是异面直线，则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析：①忽视两直线可以相交，②可以相交、平行，③l1、l2可以异面、相交，④与l1、l2都相交的两直线可以相交.答案：D26.过平行六面体ABCD—A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有( )A.4条B.6条C.8条D.12条解析：如图，与EF平行的有4条，与HF平行的有4条，四边形GHFE 的对角线与面BB1D1D平行，同等位置有4条，总共12条.答案：D27.如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交1BC.点，面CDE是等边三角形，棱EF2求证：FO∥平面CDE；解析：取CD中点M，连结OM.1BC,在矩形ABCD中，OM21BC,则EF OM.又EF2连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.∴FO∥EM.又∵FO⊄平面CDE，且EM⊂平面CDE，∴FO∥平面CDE.28.在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点.(1)求证AC⊥BC1;(2)求证AC1∥平面CDB1；(3)求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值.解析(1)∵直三棱柱ABC —A 1B 1C 1底面三边长AC=3，BC=4，AB=5， ∴AC ⊥BC.∵BC 1在平面ABC 内的射影为BC ， ∴AC ⊥BC 1.(2)设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE(如图)∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点， ∴DE ∥AC 1. ∵DE 平面CDB 1， AC1平面CDB 1. ∴AC 1∥平面CDB 1. (3)∵DE ∥AC 1，∴∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角.在△CED 中，ED=25211=AC ，CD=2521=AB ， CE=22211=CB ， ∴cos ∠CED=552252228=⨯⨯. ∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为552.。

平面平行的判定及其性质羄直线、1.2.薂下列命题中，正确命题的是④.；肇①若直线I上有无数个点不在平面：.内，则I // ：•芆②若直线I与平面「平行，则I与平面「内的任意一条直线都平行；莁③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线I与平面「平行，则I与平面:.内的任意一条直线都没有公共点3.4. 芀下列条件中，不能判断两个平面平行的是____________ （填序号）肇①一个平面内的一条直线平行于另一个平面蚆②一个平面内的两条直线平行于另一个平面膃③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面聿④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面答案①②③5.5. 腿对于平面和共面的直线m n,下列命题中假命题是________________ （填序号）肇①若mL用,m丄n,贝V n / 、丄薁②若mil :- , n // :•，贝V m// n膂③若m二：z , n// :•，贝U m// n芇④若m n与：•所成的角相等，则m// n 答案①②④7.6. 膄已知直线a, b,平面「，则以下三个命题：芃①若a // b, b二：乂，则a //⑶袁②若a // b, a //芒,贝U b //芒;莆③若 a // ：•, b // :-,则 a // b.薅其中真命题的个数是答案09.7. 羅直线a//平面M直线b M那么a// b是b〃M的条件.蚀A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要11.12.蒆能保证直线a与平面〉平行的条件是， a// b p bu a， a//b肆A. a 広a, b u a， c//a，a//b，a//c蒃C. b u a£a，C^b， D e b 且AC=BD葿D. b u 口，A^a，B13.14. 薆如果直线a平行于平面?,则 _________a平行 B.平面〉内无数条直线与a平行蒇A.平面?内有且只有一直线与a平行的直线 D.平面〉内的任意直线与直线a都平行膅C.平面〉内不存在与15.15. 蒂如果两直线a// b,且a//平面〉,则b与〉的位置关系__________蚆A.相交B. b〃° c.匕匚口D.b〃°或b u°17.16. 薄下列命题正确的个数是______19.17. 蚃（1）若直线I上有无数个点不在平面a内,则I // al与平面a平行,则l与平面a内的任意一直线平行芁（2）若直线，那么另一条也与这个平面平行蚆（3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行a和平面a内一直线b平行，则a // a羅（4 ）若一直线莄A.0个 B.1个 C.2个 D.3个21.22. 罿b是平面a外的一条直线，下列条件中可得出b/ a是肀A. b与a内的一条直线不相交 B. b与a内的两条直线不相交莅C.b与a内的无数条直线不相交 D.b与a内的所有直线不相交23.23. 螂已知两条相交直线a、b, a//平面a ,则b与a的位置关系肂A. b / a B.b与a相交 C.b」a D.b/ a或b与a相交25.24. 膀如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC, SGSAB上的高，D E、F分别是AC BC SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.螆解SG//平面DEF证明如下：薄方法一：三角形中位线连接CG交螁••• DE是厶ABC的中位线，芀••• DE// AB.腿在△ ACG中, D是AC的中点，羂且DH// AG薀• H为CG的中点.艿• FH是厶SCG的中位线，芄• FH// SG蚄又SG亿平面DEF FHU平面DEF,荿••• SG//平面DEF荿方法二：平面平行的性质蚅••• EF为厶SBC的中位线，• EF/ SB膂••• EF伉平面SAB SBu平面SAB莂• EF//平面SAB葿同理可证，DF//平面SAB EF A DF=F ,肆.••平面SAB/平面DEF,又SG二平面SAB • SG//平面DEF27.25. 袄如图所示，在正方体ABC—ABC1D1中，E、F、G H分别是BC CG、賺CD、A1A的中点.求证：蕿（1）BF/ HD;蒇（2）EG//平面BBDD;莁（3）平面BDF/平面BDH袀证明平行四边形的性质，平行线的传递性虿（1 ）如图所示，取BB的中点M易证四边形蚄又••• MC/ BF,「. BF/ HD.肃（2）取BD的中点0,连接E0, D0,贝U OE^蚈又DG& I DC• OE^ DG2蝿.••四边形OEGD是平行四边形，• GE// DO.肄又D 0-平面BB D D, • EG/平面BBD D.蒁（3）由（1）知DH// BF,又BD// BD, BD、HD =平面HBD, BF、BH 平面BDF,且BD A HD=D, DBA BF=B,「.平面BDF// 平面B D H.29.26. 螁如图所示，在三棱柱ABC-A i B C中，M N分别是BC和A i B i的中点. 衿求证：MN//平面AACC.蒅证明方法一：平行四边形的性质膃设AC中点为F,连接NF, FC,蒀••• N为A i B i中点,衿••• NF// BQ,且NF=^B C i,2祎又由棱柱性质知B i C i庄BC蚁又M是BC的中点，艿• NF MC羈.••四边形NFCM^平行四边形.芇• MIN/ CF,又CF 平面AA C i, MN二平面AA C ,• MIN/平面AAC C. 莃方法二：三角形中位线的性质节连接AM交C C于点P,连接A i P, 肇T M是BC的中点，且MC/ B i C i,莄• M是B i P的中点,肅又••• N为A B中点,肁• MN// A P,又 A PU 平面AA C , MW 平面AAC,：MIN/平面AACC.膈方法三：平面平行的性质 螅设BiG 中点为Q 连接NQ MQ ,薃•••M Q 是BG BG 的中点，袀•••MQ CG ,又 CGu 平面 AAGC, MQ 伉平面 AAGC, 芈•••MQ/平面 AA C i C.膆•••N 、Q 是A B i 、B i C 的中点,芅• NQ 二 AQ ,又 A i C 二平面 AAC C, NQ 二平面 AAC C, 蕿• NQ//平面 AA C i C.莈又••• MQ P NQB ,「.平面 MNQ 平面 AAC C, 薇又MN 二平面MNQ. MIN/平面AA C C.3 i .32.螂如图所示，正方体 ABC — A B i C D 中，侧面对角线 AB , BC 上分 别有两点 E , F ,且B E=C F. 蚁求证： EF //平面 ABCD 蒈方法一：平行四边形的性质螃过E 作ES// BB 交AB 于S,过F 作FT // BB 交BC 于 T ,蒄连接ST ,则-AE 更，且AB i B i B BC i C i C莀T B i E=C F , B A=CB,. AE=BF蒈•••旦,••• ES=FTB i B CC i膄又••• ES// B B// FT ,.四边形 EFTS 为平行四边形Bl ______ G袂•••EF// ST ,又 ST=平面 ABCD EFC ：平面 ABCD ： EF//平面 ABCD腿方法二：相似三角形的性质 薈连接BF 交BC 于点Q 连接AQ薅••• BQ // BC, • B 1L =圧BQ C 1B膂• EF // AQ 又 AQ=平面 ABCD EF 二平面 ABCD •- EF//平面 ABCD 蚇方法三：平面平行的性质 羆过E 作EG/ AB 交BB 于G,肂连接GF,则B 11史£ ,B 1A B 1B羁 TB i E=C i F , BA=CB ,螇••• C i E =B i G , • FG // B l C i // BC C 1B B i B 莇又 EG A FG P G , AB A BC=B ,螄.••平面 EFG/平面 ABCD 而EF 二平面EFG螀• EF//平面ABCD33.34.袇如图所示，在正方体 ABC — A B i C D 中，O 为底面ABCD 的中心,P 是DD 的中点，设薄T B i E=C i F , BiA=GB,B L E B ,FB 1D B i QQ是CC上的点，问：当点Q在什么位置时，平面DBQ// 平面PAO蒄解面面平行的判定节当Q为CC的中点时，A B葿平面 DBQ//平面PAO羇••• Q 为CG 的中点，P 为DD 的中点，••• QB// PA袅：P 、O 为 DD 、DB 的中点，• DB// PO羄又 PO P PA=P , DB A QB=B , 薂DB //平面PAO QB//平面 PAO 肇.••平面 DBQ//平面PAO芆直线与平面平行的性质定理35.EFGH 为空间四边形ABCD 勺一个截面，若截面为平行四边形芀(1)求证：AB//平面 EFGH CD//平面 EFGH肇(2)若AB=4, CD=6,求四边形EFGH 周长的取值范围 蚆(1)证明•••四边形EFGH 为平行四边形，• EF// HG膃•••HX 平面 ABD • EF//平面 ABD 聿•••EF 平面 ABC 平面 ABD A 平面 ABCAB腿• EF// AB. • AB//平面 EFGH 肇同理可证，CD//平面EFGH薁⑵ 解 设EF=x (O v x v 4)，由于四边形 EFGH 为平行四边形,膂•••CF=x 则 FG = B F = B C -C F =1- x .从而 F G=6- 1 2 3x . •••四边形 EFGH 的周长 CB 4 6 BC BC 4 21 =2(x+6-5)=12- x.又0v x v 4,则有8v l v 12, •四边形 EFGH 周长的取值范围是(8,212) 37.36.莁如图所示，四边形 AC38.芇如图所示，平面：• //平面［，点A € :. , C €「，点B € 1 , D € ［，点E , F 分别在线 段 AB CD 上，且 AE ： EB=CF ： FD薆••• AC// DH, •••四边形 ACDH 是平行四边形, 蒇在AH 上取一点 G,使AG ： GH=CF ： FD,膅又••• AE ： EB=CF ： FD, • GF// HD EG// BH 蒂又EG A GFG, •平面 EFG//平面-蚆•••EF 平面 EFG •- EF / l 综上,EF// I薄（2）解三角形中位线膄（1）求证：EF / -; :. / :,:.门平面 ACDHAC,蚃 如图所示，连接 AD,取AD 的中点 M 连接 ME MF.芁••• E , F 分别为AB, CD 的中点，蚆••• ME// BD, MF// AC,羅且 M ^Z BGB , MF=LAC=2,2 2莄•••/ EMF 为AC 与BD 所成的角（或其补角），罿EMF=60。

高一数学直线平面平行的判定及其性质试题答案及解析1. a∥，则a平行于内的(D)A．一条确定的直线B．任意一条直线C．所有直线D．无数多条平行线【答案】D【解析】略2.m、n是平面外的两条直线，在m∥的前提下，m∥n是n∥的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，则存在有。

而由可得，从而有。

反之则不一定成立，可能相交，平行或异面。

所以是的充分不必要条件，故选A3.直线a∥平面?，平面?内有n条直线相交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的() A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．不可能有【答案】B【解析】，则直线与平面的直线可能平行或异面。

则直线可能平面这n条互相相交的直线中的一条平行，与其余n-1条直线都异面，或与这n条互相相交的直线都异面。

故选B4. a和b是两条异面直线，下列结论正确的是()A．过不在a、b上的任意一点，可作一个平面与a、b都平行B．过不在a、b上的任意一点，可作一条直线与a、b都相交C．过不在a、b上的任意一点，可作一条直线与a、b都平行D．过a可以并且只可以作一个平面与b平行【答案】D【解析】经过空间任意一点不都可作唯一一个平面与两条已知异面直线都平行，有时会出现其中一条直线在所做的平面上，A不正确；在a任取一点M，在b上任取一点N，直线MN上的点才可作一条直线与a、b都相交。

其它的点不行，B不正确；若过不在a，b上的任意一点，有直线l∥a，l∥b，则a∥b，与a，b异面矛盾，C不正确；在a上任取一点M，则过点M且与直线b平行的直线唯一，则该直线与直线a所在平面与直线b 平行。

而两相交直线所确定的平面唯一，该平面唯一。

D正确，故选D5. a∥（判断对错） ( )【答案】错【解析】错误；6.三个平面两两相交不共线，求证三条直线交于一点或两两平行。

【答案】见解析【解析】证：设，，∴、（1）若（2）若∴、、交于一点7.、异面直线，为空间任一点，过作直线与、均相交，这样的直线可以作多少条。

高一数学直线平面平行的判定及其性质试题1.m、n是平面外的两条直线，在m∥的前提下，m∥n是n∥的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，则存在有。

而由可得，从而有。

反之则不一定成立，可能相交，平行或异面。

所以是的充分不必要条件，故选A2.直线a∥面，面内有n条互相平行的直线，那么这n条直线和直线a()A．全平行B．全异面C．全平行或全异面D．不全平行也不全异面【答案】C【解析】，则直线与平面的直线可能平行或异面。

若直线与平面这n条互相平行的直线中的一条平行，则与其余n-1条直线都平行。

若直线与平面这n条互相平行的直线中的一条异面，则与其余n-1条直线都异面。

故选C3.三个平面两两相交不共线，求证三条直线交于一点或两两平行。

【答案】见解析【解析】证：设，，∴、（1）若（2）若∴、、交于一点4.直线a∥平面a，点A∈a，则过点A且平行于直线a的直线（）A．只有一条，但不一定在平面a内B．只有一条，且在平面a内C．有无数条，但都不在平面a内D．有无数条，且都在平面a内【答案】B【解析】根据线面平行性质可知，平面内与直线共面的直线与直线平行。

而由公理可知，直线与点只能确定唯一的平面，从而该平面与平面的交线唯一，故选B5.若，则l与m的关系是（）A．；B．l与m异面；C．；D．【答案】D【解析】，则与平面内的直线不相交，即可能平行或异面，故选D6.过平面外一点只能引一条直线与这个平面平行. （判断对错）（）【答案】错误【解析】过平面外一点与该平面平行的直线有无数条，所以错误7.已知平行四边形ABCD与平行四边形ABEF共边AB，M、N分别在对角线AC、BF上，且AM∶AC＝FN∶FB．求证：MN∥平面ADF．【答案】见解析【解析】证明：如图作MP∥AB交AD于P，NQ∥AB交AF于Q，则MP∥NQ，由于所以MP＝NQ，又已证MP∥NQ，则MNQP是平行四边形，则MN∥PQ，又因为MN不在平面ADF上，PQ在平面ADF内，则MN∥平面ADF．8.若，，则下列说法正确的是（）A．过在平面内可作无数条直线与平行B．过在平面内仅可作一条直线与平行C．过在平面内可作两条直线与平行D．与的位置有关【答案】B【解析】此题考查线面的位置关系；如果过在平面内可以做两条直线与平行，根据平行公理知道这两条直线平行，这与两直线相交于A点相矛盾，所以选B9.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，A1A=AB=2，若棱AB上存在一点P，使得D1P⊥PC，则棱AD的长的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】连接，设，因为当位于端点时不成立，所以。

直线与平面平行的判定和性质年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共26题，题分合计130分)1.直线a //平面M ,直线b ⊂/M ,那么a //b 是b //M 的 条件. A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要2.已知l 、m 、n 为两两垂直且异面的三条直线，过l 作平面α与m 垂直，则直线n 与平面α的关系是A.n //αB.n //α或n ⊂αC.n ⊂α或n 不平行于αD.n ⊂α3.能保证直线a 与平面α平行的条件是A.b a b a //，，αα⊂⊄B.b a b //，α⊂C.c a b a c b //////，，，αα⊂D.b D b C a B a A b ∈∈∈∈⊂，，，，α且BD AC =4.如果直线a 平行于平面α,则A.平面α内有且只有一直线与a 平行B.平面α内无数条直线与a 平行C.平面α内不存在与a 平行的直线D.平面α内的任意直线与直线a 都平行5.如果两直线a ∥b ,且a ∥平面α,则b 与α的位置关系A.相交B.α//bC.α⊂bD.α//b 或α⊂b6.下列命题正确的个数是（1）若直线l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥α（2）若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一直线平行（3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行 （4）若一直线a 和平面α内一直线b 平行,则a ∥α A.0个 B.1个 C.2个 D.3个7.若直线a ⊥b ,且a ∥平面α,则直线b 与平面α的位置关系是A.b ⊂αB.b ∥αC.b ⊂α或b ∥αD.b 与α相交或b ∥α或b ⊂α都有可能8.已知α､β是两个不同的平面,在下列条件中,可判断平面α与平面β平行的是A.α､β都垂直于平面γB.a ､b 是α内两条直线,且a ∥β,b ∥βC.α内不共线的三个点到β的距离相等D.a ､b 为异面直线,且a ∥α,b ∥α,a ∥β,b ∥β9.下列命题正确的个数是①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行 ④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个10.b 是平面α外的一条直线，下列条件中可得出b ∥α是A.b 与α内的一条直线不相交B.b 与α内的两条直线不相交C.b 与α内的无数条直线不相交D.b 与α内的所有直线不相交11.已知直线l 1、l 2，平面α，l 1∥l 2,l 1∥α，则l 2与α的位置关系是A.l 2∥αB.l 2⊂αC.l 2∥α或l 2⊂αD.l 2与α相交12.已知两条相交直线a 、b ，a ∥平面α，则b 与α的位置关系A.b ∥αB.b 与α相交C.b ⊂αD.b ∥α或b 与α相交13.下列命题中正确的是①过一点，一定存在和两条异面直线都平行的平面②垂直于同一条直线的一条直线和一个平面平行③若两条直线没有公共点，则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平行 A.① B.③ C.①③ D.①②③14.a、b为平面M外的两条直线，在a∥M的前提下，a∥b是b∥M的A.充要条件B.充分条件C.必要条件D.以上情况都不15.α和β是两个不重合的平面,在下列条件中可判定平面α与β平行的是A.α､β都垂直于平面γB.α内不共线的三点到β的距离相等C.l,m是α平面内的直线,且l∥β,m∥βD.l､m是两条异面直线且l∥α,m∥α,m∥β,l∥β16.在空间中，下述命题正确的A.若直线a∥平面M，直线b⊥直线a，则直线b⊥平面MB.若平面M∥平面N，则平面M内任意一条直线a∥平面NC.若平面M与平面N的交线为a，平面M内的直线b⊥直线a，则直线b⊥平面ND.若平面N内的两条直线都平行于平面M，则平面N∥平面M17.设直线a在平面M内，则直线M平行于平面N是直线a平行于平面N的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件18.设a、b是平面α外的任意两条直线，则"a、b长相等"是"a、b在平面α内的射影长相等"的A.既不充分也不必要条件B.充分必要条件C.必要但不充分条件D.充分但不必要条件19.如果平面α和直线l满足l和α内两条平行直线垂直,则A.l αB.l∥αC.l与α相交D.以上都不对20.如果一条直线和一个平面平行，为了使夹在它们之间的两条线段的长相等，以下结论正确的是A.其充分条件是这两条线段平行B.其必要条件是这两条线段平行C.其充要条件是这两条线段平行D.其必要条件是这两条线段平行21.直线a∥平面α,平面α内有n条直线交于一点,那么这几条直线中与直线a平行的A.至少有一条B.至多有一条C.有且只有一条D.不可能有22.若直线m平面α,则“平面α∥平面β”是“直线m∥平面β”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件23.平行于同一个平面的两条直线的位置关系是A.平行B.相交C.异面D.平行或相交或异面24.下列四个命题中假命题的个数是①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行②两条直线没有公共点，则这两条直线平行③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行A.4B.3C.2D.125.如果一条直线和一个平面平行,为了使夹在它们之间的两条线段的长相等,以下结论正确的是A.其充分条件是这两条线段平行B.其必要条件是这两条线段平行C.其充要条件是这两条线段平行D.其必要条件是这两条线段平行26.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.任意一条直线都不相交D.无数条直线不相交二、填空题(共6题，题分合计25分)1.如图，空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD 上的点.且32==CD CG CB CF ,若BD =6 cm ，梯形EFGH 的面积为28 cm 2，则平行线EH 与FG 间的距离为_______.2.一条直线与平面α相交于点A ，在平面α内不过A 点的直线与这条直线所成角的最大值为_________.3.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与过点A 、E 、C 的平面的位置关系是__________.4.几何体ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为A 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝31a ，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝___________.5.如果两条直线a 与b 互相平行，且a ∥平面α，那么b 与α的位置关系是 ．6.直线a ∥平面α，直线b 、c 都在α 内且a ∥b ∥c ，若a 到b ， c 的距离分别为d 1、d 2，且d 1＞d 2，则直线a 到α 的距离d 的取值范围是___________.三、解答题(共12题，题分合计112分)1.求证:若直线l与平面α有一个公共点,且l平行于α内的一条直线,则l α..2.如图，P是△ABC所在平面外一点，M∈PB，试过AM作一平面平行于BC，并说明画法的理论依据Array3.设AB、CD为夹在两个平行平面α、β之间线段,且直线AB、CD为异面直线,М、P分别为AB、CD的中点,求证:MP ∥α.4.ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，(1)画出过A、C、B1的平面与下底面的交线l；(2)求l与直线AC的距离.5.正方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1分别有E、F，且B1E=C1F，求证：EF∥平面ABCD.6.平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面.7.设a、b是异面直线，自AB的中点O作平面α与a、ｂ分别平行，M、N分别是a、b上的任意两点，MN与α交于点P，求证：P是MN的中点.8.求证：如果一条直线和两个相交的平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行.9.α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a,若直线a∥直线b,你能得到什么结论?10.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF.求证：EF∥平面BB1C1C.11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM=DN.求证:MN∥平面AA1B1B.12.如图，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD＝a，AB＝b，CD⊥AB.(1)求证：EFGH是矩形.(2)点E在什么位置时，EFGH的面积最大.直线与平面平行的判定和性质答案一、选择题(共26题，合计130分)1.答案：A2.答案：A3.答案：A4.答案：B5.答案：D6.答案：A7.答案：D8.答案：B9.答案：B10.答案：D11.答案：C12.答案：D13.答案：B14.答案：B15.答案：D16.答案：B17.答案：A18.答案：A19.答案：D20.答案：A21.答案：B22.答案：A23.答案：D24.答案：A25.答案：A26.答案：C二、填空题(共6题，合计25分)1.答案：8 cm2.答案：90°3.答案：BD1∥平面AEC4.答案：a2 325.答案：b∥α或b α6.答案：) ,0(2 d三、解答题(共12题，合计112分)1.答案：见注释2.答案：见注释3.答案：见注释4.答案：. 26 a5.答案：见注释6.答案：见注释7.答案：见注释8.答案：见注释9.答案：见注释10.答案：见注释11.答案：见注释12.答案：（1）见注释（2）E为BD的中点时。

直线、平面平行的判定及性质(时间：45分钟 分值：100分)一、选择题1. [2013·湖北八校联考]对于平面α和共面的直线m ，n ，下列命题是真命题的是( ) A. 若m ，n 与α所成的角相等，则m ∥n B. 若m ∥α，n ∥α，则m ∥n C. 若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D. 若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n 答案：D解析：由m ⊂α，n ∥α可知m 与n 不相交，又m 与n 共面，故m ∥n .2. [2013·温州检测]已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中错误的是( )A. 若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βB. 若α∥γ，β∥γ，则α∥βC. 若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥βD. 若m ，n 是异面直线，m ⊂α，m ∥β，n ⊂β，n ∥α，则α∥β 答案：C解析：由线面垂直的性质可知A 正确；由两个平面平行的性质可知B 正确；由异面直线的性质易知D 也是正确的；对于选项C ，α，β可以相交、可以平行，故C 错误，选C.3. [2013·海口模拟]在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则( )A. BD ∥平面EFG ，且四边形EFGH 是平行四边形B. EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形C. HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是平行四边形D. EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是梯形 答案：B解析：如图，由题意，EF ∥BD ， 且EF ＝15BD .HG ∥BD ，且HG ＝12BD .∴EF ∥HG ，且EF ≠HG . ∴四边形EFGH 是梯形．又EF ∥平面BCD ，而EH 与平面ADC 不平行．故选B.4. [2013·北京模拟]给出下列关于互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β、γ的三个命题： ①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β； ②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数为( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0答案：C解析：①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的l 、m .②中l 与m 也可能异面．③中⎭⎪⎬⎪⎫l ∥γl ⊂ββ∩γ＝m ⇒l ∥m ， 同理l ∥n ，则m ∥n ，正确．5. 如图中四个正方体图形，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是()A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④答案：B解析：图①中，设PN中点为Q，连MQ，则AB∥MQ，所以AB∥平面MNP，图②，图③中，AB与平面MNP相交，图④中，AB∥NP，所以AB∥平面MNP.故应选B.6. 若α、β是两个相交平面，点A不在α内，也不在β内，则过点A且与α和β都平行的直线()A. 只有1条B. 只有2条C. 只有4条D. 有无数条答案：A解析：据题意如图，要使过点A的直线m与平面α平行，则据线面平行的性质定理得经过直线m的平面与平面α的交线n与直线m平行，同理可得经过直线m的平面与平面β的交线k与直线m平行，则推出n∥k，由线面平行可进一步推出直线n与直线k与两平面α与β的交线平行，即要满足条件的直线m只需过点A且与两平面交线平行即可，显然这样的直线有且只有一条．二、填空题7. [2013·长春月考]在四面体ABCD中，M、N分别为△ACD和△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．答案：面ABC、面ABD解析：如图，取CD的中点E，则AE过M，且AM＝2ME，BE过N，且BN＝2NE.连接MN，则AB∥MN，∴MN平行于平面ABC和平面ABD.8. 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是一直角梯形，AB ∥CD ，BA ⊥AD ，CD ＝2AB ，P A ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点，则BE 与平面P AD 的位置关系为________．答案：平行解析：取PD 的中点F ，连接EF ， 在△PCD 中，EF 綊12CD .又∵AB ∥CD 且CD ＝2AB ， ∴EF 綊AB ，∴四边形ABEF 是平行四边形， ∴EB ∥AF .又∵EB ⊄平面P AD ，AF ⊂平面P AD ， ∴BE ∥平面P AD .9. [2013·河北唐山]a ，b 是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________．答案：①或③解析：①中，a ∥γ，a ⊂β，b ⊂β，β∩γ＝b ⇒a ∥b (线面平行的性质)．③中，b ∥β，b ⊂γ，a ⊂γ，β∩γ＝a ⇒a ∥b (线面平行的性质)．三、解答题 10.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.证明：(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC.∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形．∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.11. [2013·连云港模拟]如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求三棱锥E－BCD的体积．解：(1)取BC中点G，连接AG，EG，因为E是B1C的中点，所以EG∥BB1，且EG＝12BB1.由直棱柱知，AA1綊BB1，而D是AA1的中点，所以EG綊AD，所以四边形EGAD是平行四边形，所以ED∥AG，又DE⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC.(2)因为AD∥BB1，所以AD∥平面BCE，所以V E－BCD＝V D－BCE＝V A－BCE＝V E－ABC，由(1)知，DE∥平面ABC，所以V E－ABC＝V D－ABC＝13AD·12BC·AG＝16×3×6×4＝12.12. [2013·辽宁模拟]如图，多面体ABFEDC的直观图及三视图如图所示，M，N分别为AF，BC的中点．(1)求证：MN∥平面CDEF；(2)求多面体A－CDEF的体积．解：由多面体ABFEDC的三视图知，三棱柱AED－BFC中，底面DAE是等腰直角三角形，DA＝AE＝2，DA⊥平面ABFE，四边形ABFE，ABCD都是边长为2的正方形．(1)证明：连结EB，则M是EB的中点．在△EBC中，MN∥EC，又EC⊂平面CDEF，MN⊄平面CDEF，∴MN∥平面CDEF.(2)∵DA⊥平面ABFE，EF⊂平面ABFE，∴EF⊥AD.又EF⊥AE，∴EF⊥平面ADE.∴四边形CDEF 是矩形，且侧面CDEF ⊥平面DAE . 取DE 的中点H ，连结AH ， ∵DA ⊥AE ，DA ＝AE ＝2，DE ＝2 2. ∴AH ＝2，且AH ⊥平面CDEF . ∴多面体A －CDEF 的体积 V ＝13S 四边形CDEF ·AH ＝13DE ·EF ·AH ＝83.。

直线、平面平行的判断及其性质测试题（有详解）A一、选择题1．以下条件中 , 能判断两个平面平行的是( )A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ;B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面2． E ， F ，G 分别是四周体ABCD 的棱 BC ， CD ，DA 的中点，则此四周体中与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是A ． 0B． 1C． 2 D ． 3 3． 直线 a ， b,c 及平面 ， ，使 a // b 建立的条件是（）A．a // , bB ． a // , b //C ． a // c ,b // cD ． a // , Ib 4．若直线 m 不平行于平面，且 m ，则以下结论建立的是（）A ．内的全部直线与异面B． 内不存在与平行的直线mm C ．内存在独一的直线与 平行D． 内的直线与都订交mm5．以下命题中，假命题的个数是（ ）① 一条直线平行于一个平面， 这条直线就和这个平面内的任何直线不订交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和 b 异面，则经过 b 存在唯一一个平面与平行A ． 4B ． 3 C． 2 D ． 16．已知空间四边形 ABCD 中， M , N 分别是 AB, CD 的中点，则以下判断正确的选项是（）A ．MN1 AC BCB． MN1 AC BC22 C ．MN1 AC BC D．MN1 AC BC22二、填空题7．在四周体ABCD中， M，N分别是面△ ACD，△ BCD的重心，则四周体的四个面中与MN平行的是 ________.8．以以下图所示，四个正方体中，A，B 为正方体的两个极点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB1C1图，正三棱柱ABC A1 B1C1的底面边长是2，侧棱长是3，D 是 AC的中点 . 求证：B1C //平面A1BD .C 1A1 B 1CDA B11.如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中， E，M，N，G分别是 AA1，CD，CB，CC1的中点，求证：（ 1）MNB一、选择题1．，β 是两个不重合的平面，a，b 是两条不一样直线，在以下条件下，可判断∥β 的是（）A．，β 都平行于直线a， bB．内有三个不共线点到β 的距离相等C． a，b 是内两条直线，且a∥β， b∥βD． a，b 是两条异面直线且a∥， b∥， a∥β，b∥β2．两条直线a， b 知足a∥ b， b，则 a 与平面的关系是（）A．a∥B．a 与订交C．a与不订交D．a3．设a, b表示直线，,表示平面，P 是空间一点，下边命题中正确的选项是（）A ．a，则 a //B． a //， b，则 a // bC ．// , a,b，则 a // bD ．P a, P, a // , // ，则 a4．一条直线若同时平行于两个订交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的地点关系是（）A. 异面B. 订交C. 平行D.不可以确立5. 以下四个命题中，正确的选项是（）①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③假如一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④假如一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行A．①③B．①②C．②③D．③④6．a，b是两条异面直线， A 是不在a， b上的点，则以下结论建立的是A．过 A 有且只有一个平面平行于a， bB．过 A 起码有一个平面平行于a，bC．过A有无数个平面平行于a， bD．过A且平行a，b的平面可能不存在二、填空题7． a， b，ｃ为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：① a∥c a∥ b; ②a∥a ∥ b; ③∥c∥ ;b∥ c b∥∥ c④∥ c a ∥ ;⑤∥∥⑥∥a∥∥a∥a∥ c此中正确的命题是________________. （将正确的序号都填上）8．设平面∥β，，∈，，∈β，直线AB与交于，A C B D CD S若 AS=18，BS=9， CD=34，则 CS=_____________.9．如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，DD1，DC中点，N 是BC中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M知足时，有MN∥平面B1BD D1．三、解答题10. 如图，在正四棱锥P ABCD中，PA AB a ,点E在棱PC上．问点E在哪处时，PA // 平面 EBD ，并加以证明 .PED CA B11.以以下图，设 P 为长方形 ABCD所在平面外一点， M，N分别为 AB，PD上的点，且AM=DN，MB NP求证：直线MN∥平面 PBC.C1. 平面内两正方形ABCD与 ABEF，点 M，N 分别在对角线AC, FB 上，且，沿 AB折起，使得∠0=90AM:MC=FN:NB DAF(1)证明：折叠后 MN2.设平面∥平面β，AB、CD是两条异面直线，M，N分别是 AB， CD的中点，且A， C∈，B，D∈ β，求证：MN∥平面.ACM NEDB参照答案A一、选择题1． D【提示】当l 时，内有无数多条直线与交线l 平行，同时这些直线也与平面平行. 故A， B， C 均是错误的2． C【提示】棱AC， BD与平面EFG平行，共2 条 .3． C【提示】 a //,b, 则a // b 或a,b异面；所以 A 错误； a //, b //, 则a // b 或a, b异面或 a, b订交，所以 B 错误；a //,I b, 则a // b 或a, b异面，所以 D 错误；a // c,b // c ，则 a // b ，这是公义4，所以C正确.4． B【提示】若直线不平行于平面，且m ，则直线于平面订交，内不存在与mm m平行的直线 .5． B【提示】②③④错误. ②过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行，有无数多条直线与它平行 . ③过直线外一点有无数个平面和这条直线平行④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行或此中一条在平面上.6. D【提示】此题可利用空间中的平行关系，结构三角形的两边之和大于第三边.二、填空题7．平面ABC，平面ABD【提示】连结AM并延伸，交 CD于 E，连结 BN并延伸交 CD于 F，由重心性质可知，E、F 重合为一点，且该点为CD的中点 E，由EM=EN=1得 MN∥AB.所以， MN∥平面 ABC且 MN∥MA NB 2平面 ABD.8.①③【提示】关于①，面MNP于③， MP9．平行【提示】连结BD交 AC于 O，连 OE，∴ OE∥ B D 1， OEC平面 ACE，∴ B D 1∥平面 ACE.三、解答题10.证明：设AB1与 A 1B 订交于点P，连结PD，则P为 AB 1中点，D 为 AC中点，PD B1C A 1B B1C A 1B 明：（1）M、N 分别是 CD、CB的中点，MN//所以BDMN1C1C1C1C1CAC1面EB1D1，EO面EB1D1，所以AC1// //AC1面 AHC1，所以AC1// ////所以 BD BD DG=G，面EB1D12． C【提示】若直线a，b 知足a∥b， b，则a∥或 a3． D【提示】依据面面平行的性质定理可推证之.4． C【提示】设∩β=l，a∥，a∥β，过直线 a 作与α、β 都订交的平面γ，记∩γ=b，β∩γ=c，则a∥ b 且a∥ c，∴ b∥ c.又 b，∩β=l，∴b∥l. ∴a∥l.5． A【提示】6．D【提示】过点记为. 假如A 可作直线 a ， ba′∥ a， b′∥ b，则，则 a∥，b∥a′∩ b′=A，∴ a′， b′可确立一个平面，. 因为平面可能过直线a、b 之一，所以，过 A 且平行于 a、 b 的平面可能不存在.二、填空题7. ①④⑤⑥或 683【提示】如图（1），由∥β 可知BD∥AC，∴SB=SD ，即9=SC 34，∴SC=68. SA SC18SCSBDDBSCACA如图（ 2），由∥ β知∥ ，(2)AC BD (1)∴ SA =SC =SC ，即 18=SC.SB SDCD SC9 34 SC∴SC =68.39．M HF【提示】易证平面 NHF ∥平面 BD D 1 B 1， M 为两平面的公共点，应在交线 HF 上 .PE三、解答题F10． 解：当E 为中点时，PA // 平面 EBD ． DCPCO证明 ：连结 AC ，且 AC I BDO ，因为四边形 ABCD 为正方形， AB∴O 为 AC 的中点，又 E 为中点，∴ OE 为△ ACP 的中位线，∴ PA// EO ，又 PA 平面 EBD ，∴ PA // 平面 EBD .11．证法一：过 N作 NR ∥DC 交 PC 于点 R ，连结 RB ，依题意得DC NR =DN =AM =AB MB =DC MBNR =MB . ∵ NR ∥ DC ∥ AB ，∴四边形 MNRB 是平NRNP MBMBMB行四边形 . ∴ MN ∥ RB . 又∵ RB 平面 PBC ，∴直线 MN ∥平面 PBC .证法二 ：过 N 作 NQ ∥ AD 交 PA 于点 Q ，连结 QM ，∵AM =DN =AQ，∴ QM ∥PB . 又 NQ ∥ AD ∥ BC ，MBNP QP∴平面 MQN ∥平面 PBC .∴直线 MN ∥平面 PBC .C1. （ 1）证明 ：设直线 AN 与 BE 交与点 H ，连结 CH ，ANF ∽HNB ,∴FNAN.NBNH又 AM FN ,则AN= AM，∴ MN又MN平面 CBE， CH平面 CBE ,∴MN(2)解：MC NB NH MC存在，过 M作 MG⊥ AB,垂足为 G，则 MGMN M 即 G在 AB线上，且AG:GB=AM:MC=2：MG32.证明：连结 BC， AD，取 BC的中点 E，连结 ME、NE，则 ME是△ BAC的中位线，故 ME∥ AC. ME，∴ ME∥ .同理可证， NE∥ BD.又∥β，设 CB与 DC确立的平面 BCD与平面交于直线 CF，则 CF∥BD，∴ NE∥ CF.而 NE 平面，CF，∴ NE∥ .又 ME∩NE=E，∴平面MNE∥，而 MN平面 MNE，∴ MN∥平面 .一、选择题1．以下条件中, 能判断两个平面平行的是( )A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面2．E，F，G分别是四周体ABCD的棱 BC， CD，DA的中点，则此四周体中与过E， F， G的截面平行的棱的条数是A． 0B． 1C． 2D． 3 3．直线a，b,c及平面，，使 a // b 建立的条件是（）A ．a // ,b B ．a // , b //C．a // c ,b //c D ．a // , I b4．若直线 不平行于平面，且m，则以下结论建立的是（）mA ． 内的全部直线与 m 异面B． 内不存在与 m 平行的直线C ．内存在独一的直线与m 平行 D ．内的直线与 m 都订交5．以下命题中，假命题的个数是（）① 一条直线平行于一个平面， 这条直线就和这个平面内的任何直线不订交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤a 和b 异面，则经过 b 存在唯一一个平面与平行A ． 4B ． 3 C． 2 D ． 16．已知空间四边形 ABCD 中， M , N 分别是 AB, CD 的中点，则以下判断正确的选项是（）A ．MN1 AC BCB． MN1 AC BC22 C ．MN1 AC BC D．MN1 AC BC22二、填空题7．在四周体 ABCD 中， M ，N 分别是面△ ACD ，△ BCD 的重心，则四周体的四个面中与MN 平行的是________.8．以以下图所示，四个正方体中，分别为其所在棱的中A ，B 为正方体的两个极点，点，能获得M ，N ，PAB1C 图，正三棱柱ABC ABC 的底面边长是111 12，侧棱长是3，D 是 AC 的中点 . 求证： B 1 C // 平面 A 1 BD .C 1A 1B1CDAB11.如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中， E，M，N，G分别是 AA1，CD，CB，CC1的中点，求证：（ 1）MNB一、选择题1．，β 是两个不重合的平面，a，b 是两条不一样直线，在以下条件下，可判断∥β 的是（）A．，β 都平行于直线a， bB．内有三个不共线点到β 的距离相等C． a，b 是内两条直线，且a∥β，b∥βD． a，b 是两条异面直线且a∥， b∥， a∥β，b∥β2．两条直线a， b 知足a∥ b， b，则 a 与平面的关系是（）A．a∥B．a 与订交C．a与不订交D．a3．设a, b表示直线，,表示平面，P 是空间一点，下边命题中正确的选项是）（A ．a，则 a //B． a //， b，则 a // bC ．// , a,b，则 a // bD ．P a, P, a // , // ，则 a4．一条直线若同时平行于两个订交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的地点关系是（）A. 异面B. 订交C. 平行D.不可以确立5. 以下四个命题中，正确的选项是（）①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③假如一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④假如一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行A．①③B．①②C．②③D．③④6．a，b是两条异面直线， A 是不在a， b上的点，则以下结论建立的是A．过A有且只有一个平面平行于a， bB．过A起码有一个平面平行于a，bC．过A有无数个平面平行于a， bD．过A且平行a，b的平面可能不存在二、填空题7． a， b，ｃ为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：① a∥c a∥ b; ②a∥a ∥ b; ③∥c∥ ;b∥ c b∥∥ c④∥ c a ∥ ; ⑤∥∥ ⑥∥a∥∥a∥a∥ c此中正确的命题是 ________________. （将正确的序号都填上）8．设平面∥β，A，C∈， B，D∈β，直线 AB与 CD交于S，若 AS=18，BS=9， CD=34，则 CS=_____________.9．如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱 CC1，C1D1，DD1，DC中点， N是 BC中点，点 M在四边形 EFGH及其内部运动，则 M知足时，有MN∥平面B1BD D1．三、解答题10. 如图，在正四棱锥P ABCD 中，PA AB a ,点E在棱PC 上．问点E 在哪处时，PA //平面 EBD，并加以证明.PED CA B11.以以下图，设 P 为长方形 ABCD所在平面外一点， M，N分别为 AB，PD上的点，且AM=DN，MB NP 求证：直线MN∥平面 PBC.CABEF，点M，N分别在对角线AC, FB 上，且1. 平面内两正方形ABCD与AM:MC=FN:NB，沿AB折起，使得∠ DAF=900(1)证明：折叠后 MN2.设平面∥平面β，AB、CD是两条异面直线，M，N分别是 AB， CD的中点，且A， C∈，B，D∈ β，求证：MN∥平面.ACM NEDB参照答案A一、选择题1． D【提示】当l 时，内有无数多条直线与交线l 平行，同时这些直线也与平面平行. 故A， B， C 均是错误的2． C【提示】棱AC， BD与平面EFG平行，共2 条 .3． C【提示】 a //,b, 则a // b 或a,b异面；所以 A 错误； a //, b //, 则a // b 或a, b异面或 a, b订交，所以 B 错误；a //,I b, 则a // b 或a, b异面，所以 D 错误；a // c,b // c ，则 a // b ，这是公义4，所以C正确.4． B【提示】若直线不平行于平面，且m ，则直线于平面订交，内不存在与mm m平行的直线 .5． B【提示】②③④错误. ②过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行，有无数多条直线与它平行 . ③过直线外一点有无数个平面和这条直线平行④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行或此中一条在平面上.6. D【提示】此题可利用空间中的平行关系，结构三角形的两边之和大于第三边.二、填空题7．平面ABC，平面ABD【提示】连结AM并延伸，交 CD于 E，连结 BN并延伸交 CD于 F，由重心性质可知，E、F 重合为一点，且该点为CD的中点 E，由EM=EN=1得 MN∥AB.所以， MN∥平面 ABC且 MN∥MA NB 2平面 ABD.8.①③【提示】关于①，面MNP于③， MP9．平行【提示】连结BD交 AC于 O，连 OE，∴ OE∥ B D 1， OEC平面 ACE，∴ B D 1∥平面 ACE.三、解答题10.证明：设AB1与 A 1B 订交于点P，连结PD，则P为 AB 1中点，D 为 AC中点，PD B1C A 1B B1C A 1B 明：（1）M、N 分别是 CD、CB的中点，MN//所以BDMN1C1C1C1C1CAC1面EB1D1，EO面EB1D1，所以AC1// //AC1面 AHC1，所以AC1// ////所以 BD BD DG=G，面EB1D12． C【提示】若直线a，b 知足a∥b， b，则a∥或 a3． D【提示】依据面面平行的性质定理可推证之.4． C【提示】设∩β=l，a∥，a∥β，过直线 a 作与α、β 都订交的平面γ，记∩γ=b，β∩γ=c，则a∥ b 且a∥ c，∴ b∥ c.又 b，∩β=l，∴b∥l. ∴a∥l.5． A【提示】6．D【提示】过点记为. 假如A 可作直线 a ， ba′∥ a， b′∥ b，则，则 a∥，b∥a′∩ b′=A，∴ a′， b′可确立一个平面，. 因为平面可能过直线a、b 之一，所以，过 A 且平行于 a、 b 的平面可能不存在.二、填空题7. ①④⑤⑥或 683【提示】如图（1），由∥β 可知BD∥AC，∴SB=SD ，即9=SC 34，∴SC=68. SA SC18SCSBDDBSCACA如图（ 2），由∥ β知∥ ，(2)AC BD (1)∴ SA =SC =SC ，即 18=SC.SB SDCD SC9 34 SC∴SC =68.39．M HF【提示】易证平面 NHF ∥平面 BD D 1 B 1， M 为两平面的公共点，应在交线 HF 上 .PE三、解答题F10． 解：当E 为中点时，PA // 平面 EBD ． DCPCO证明 ：连结 AC ，且 AC I BDO ，因为四边形 ABCD 为正方形， AB∴O 为 AC 的中点，又 E 为中点，∴ OE 为△ ACP 的中位线，∴ PA// EO ，又 PA 平面 EBD ，∴ PA // 平面 EBD .11．证法一：过 N作 NR ∥DC 交 PC 于点 R ，连结 RB ，依题意得DC NR =DN =AM =AB MB =DC MBNR =MB . ∵ NR ∥ DC ∥ AB ，∴四边形 MNRB 是平NRNP MBMBMB行四边形 . ∴ MN ∥ RB . 又∵ RB 平面 PBC ，∴直线 MN ∥平面 PBC .证法二 ：过 N 作 NQ ∥ AD 交 PA 于点 Q ，连结 QM ，∵AM =DN =AQ，∴ QM ∥PB . 又 NQ ∥ AD ∥ BC ，MBNP QP∴平面 MQN ∥平面 PBC .∴直线 MN ∥平面 PBC .C1. （ 1）证明 ：设直线 AN 与 BE 交与点 H ，连结 CH ，ANF ∽HNB ,∴FNAN.NBNH又 AM FN ,则AN= AM，∴ MN又MN平面 CBE， CH平面 CBE ,∴MN(2)解：MC NB NH MC存在，过 M作 MG⊥ AB,垂足为 G，则 MGMN M 即 G在 AB线上，且AG:GB=AM:MC=2：MG32.证明：连结 BC， AD，取 BC的中点 E，连结 ME、NE，则 ME是△ BAC的中位线，故 ME∥ AC. ME，∴ ME∥.同理可证， NE∥ BD.又∥β，设CB与 DC确立的平面 BCD与平面交于直线 CF，则 CF∥BD，∴ NE∥ CF.而NE 平面，CF，∴ NE∥ .又 ME∩NE=E，∴平面MNE∥，而 MN平面 MNE，∴ MN∥平面 .。

直线、平面平行的判定及其性质一、选择题（共60分）一、假设两个平面相互平行，那么别离在这两个平行平面内的直线( )A.平行B.异面C.相交D.平行或异面二、以下结论中，正确的有( )①若aα,那么a∥α②a∥平面α,bα那么a∥b③平面α∥平面β,aα,bβ,那么a∥b④平面α∥平面β,点P∈α,a∥β,且P∈a，那么aα个个个个3、在空间四边形ABCD中，E、F别离是AB和BC上的点，假设AE∶EB=CF∶FB=1∶3，那么对角线AC和平面DEF的位置关系是( )A.平行B.相交C.在内D.不能确信4、a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，那么以下结论成立的是( )A.过A有且只有一个平面平行于a,bB.过A至少有一个平面平行于a,bC.过A有无数个平面平行于a,bD.过A且平行a,b的平面可能不存在五、已知直线a与直线b垂直,a平行于平面α,那么b与α的位置关系是( )∥αα与α相交 D.以上都有可能六、以下命题中正确的命题的个数为( )①直线l平行于平面α内的无数条直线，那么l∥α;②假设直线a在平面α外，那么a∥α;③假设直线a∥b,直线bα,那么a∥α;④假设直线a∥b,b平面α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.7、以下命题正确的个数是( )(1)假设直线l上有无数个点不在α内，那么l∥α(2)假设直线l与平面α平行，l与平面α内的任意一直线平行(3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与那个平面平行(4)假设一直线a 和平面α内一直线b 平行，那么a ∥α个 个 个 个八、已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出以下四个命题：①假设m ⊥α,m ⊥β,那么α∥β;②若α⊥γ,β⊥γ,那么α∥β;③假设m α,n β,m ∥n,那么α∥β;④假设m 、n 是异面直线，mα,m ∥β,n β,n ∥α,那么α∥β. 其中真命题是( )A.①和②B.①和③C.③和④D.①和④九、长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为AA 1中点,F 为BB 1中点,与EF 平行的长方体的面有( )个 个 个 个10、关于不重合的两个平面α与β，给定以下条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l ，M ，使得l ∥α,l ∥β,M ∥α,M ∥β.其中能够判定两个平面α与β平行的条件有（ ）个 个 个 个1一、设m ，n 为两条直线，α，β为两个平面，那么以下四个命题中，正确的命题是 ( )A.假设m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β，那么α∥βB.假设m ∥α，m ∥n ，那么n ∥αC.假设m ∥α，n ∥α，那么m ∥nD.假设m,n 是两条异面直线，且βσββσσ////,//,//,//，则n m n m1二、已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，那么以下命题正确的选项是（ ）A.假设α⊥γ，α⊥β，那么γ∥βB.假设m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，那么α∥βC.假设α⊥β，m ⊥β，那么m ∥αD.假设m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，那么α∥β二、填空题 （共20分）13.在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 别离是棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是棱AD 上一点，AP=3a ,过P 、M 、N 的平面与棱CD 交于Q ，那么PQ=_________.14.假设直线a 和b 都与平面α平行，那么a 和b 的位置关系是__________. 15.太长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的任意两条棱的中点作直线，其中能够与平面ACC 1A 1平行的直线有_________条.16.已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β别离交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β别离交于B 、D 且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，那么BD的长为 .三、解答题 (17(10分)、1八、1九、20、2一、22（12分）)17. （10分）如图，已知P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 为PB 的中点，求证：PD //平面MAC ．18.(12分)如下图，已知P 、Q 是单位正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面A 1B 1BA 和面ABCD 的中心. 求证：PQ ∥平面BCC 1B 1.19. （12分）如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 别离是PA ，BD 上的点且PE EA BF FD ∶∶，求证：EF //平面PBC ．C D A B M P20．（12分）如以下图，F，H别离是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1，AA1的中点，求证：平面BDF∥平面B 1D1H.21.(12分)如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1，F别离是棱AD，AA1，AB的中点.求证：直线EE1∥平面FCC1.22．（12分）如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N别离是AB、PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAD；4，求异面直线PA与MN所成的角的大小．(2)假设MN＝BC＝4，PA＝3直线、平面平行的判定及其性质(答案)一、选择题一、假设两个平面相互平行，那么别离在这两个平行平面内的直线( D )A.平行B.异面C.相交D.平行或异面二、以下结论中，正确的有( A )①假设aα,那么a∥α②a∥平面α,bα那么a∥b③平面α∥平面β,aα,bβ,那么a∥b④平面α∥β,点P∈α,a∥β,且P∈a，那么aα个个个个解析：假设aα，那么a∥α或a与α相交，由此知①不正确假设a∥平面α,bα,那么a与b异面或a∥b，∴②不正确假设平面α∥β，aα，bβ，那么a∥b或a与b异面，∴③不正确由平面α∥β，点P∈α知过点P而平行平β的直线a必在平面α内，是正确的.证明如下：假设a α，过直线a作一面γ，使γ与平面α相交，那么γ与平面β必相交.设γ∩α=b,γ∩β=c,那么点P∈b.由面面平行性质知b∥c；由线面平行性质知a∥c,那么a∥b,这与a∩b=P矛盾，∴aα.故④正确.3、在空间四边形ABCD中，E、F别离是AB和BC上的点，假设AE∶EB=CF∶FB=1∶3，那么对角线AC和平面DEF的位置关系是( A )A.平行B.相交C.在内D.不能确信参考答案与解析:解析：在平面ABC内.∵AE：EB=CF：FB=1：3，∴AC∥EF.能够证明AC平面DEF.假设AC平面DEF，那么AD平面DEF，BC平面DEF.由此可知ABCD为平面图形，这与ABCD是空间四边形矛盾，故AC平面DEF.∵AC∥EF，EF平面DEF.∴AC∥平面DEF.要紧考察知识点:空间直线和平面[来源:学+科+网Z+X+X+K]4、a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，那么以下结论成立的是( D )A.过A有且只有一个平面平行于a,bB.过A至少有一个平面平行于a,bC.过A有无数个平面平行于a,bD.过A且平行a,b的平面可能不存在参考答案与解析:解析：如当A与a确信的平面与b平行时，过A作与a,b都平行的平面不存在. 答案：D要紧考察知识点:空间直线和平面[来源:学+科+网Z+X+X+K]五、已知直线a与直线b垂直,a平行于平面α,那么b与α的位置关系是( )∥αα与α相交 D.以上都有可能参考答案与解析:思路解析:a与b垂直,a与b的关系能够平行、相交、异面,a与α平行,因此b与α的位置能够平行、相交、或在α内,这三种位置关系都有可能.答案:D要紧考察知识点:空间直线和平面六、以下命题中正确的命题的个数为( A )①直线l平行于平面α内的无数条直线，那么l∥α;②假设直线a在平面α外，那么a∥α;③假设直线a∥b,直线bα,那么a∥α;④假设直线a∥b,b平面α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.参考答案与解析:解析：关于①,∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内(假设改成l与α内任何直线都平行，那么必有l∥α),∴①是假命题.关于②，∵直线a在平面α外，包括两种情形a∥α和a与α相交，∴a与α不必然平行，∴②为假命题.关于③,∵a∥b,bα,只能说明a与b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不必然平行于平面α.∴③也是假命题.关于④,∵a∥b,bα.那么aα,或a∥α.∴a能够与平面α内的无数条直线平行.∴④是真命题.综上，真命题的个数为1.答案：A要紧考察知识点:空间直线和平面7、以下命题正确的个数是( A )(1)假设直线l上有无数个点不在α内，那么l∥α(2)假设直线l与平面α平行，l与平面α内的任意一直线平行(3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与那个平面平行(4)假设一直线a和平面α内一直线b平行，那么a∥α个个个个参考答案与解析:解析：由直线和平面平行的判定定理知，没有正确命题.答案：A要紧考察知识点:空间直线和平面八、已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出以下四个命题：①假设m⊥α,m⊥β,那么α∥β;②若α⊥γ,β⊥γ,那么α∥β;③假设mα,nβ,m∥n,那么α∥β;④假设m、n是异面直线，mα,m∥β,nβ,n∥α,那么α∥β.其中真命题是( D )A.①和②B.①和③C.③和④D.①和④参考答案与解析:解析：利用平面平行判定定理知①④正确.②α与β相交且均与γ垂直的情形也成立，③中α与β相交时，也能知足前提条件答案：D要紧考察知识点:空间直线和平面九、长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1中点,F为BB1中点,与EF平行的长方体的面有( C )个个个个参考答案与解析:解析：面A1C1,面DC1,面AC共3个.答案：C要紧考察知识点:空间直线和平面10、关于不重合的两个平面α与β，给定以下条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，M，使得l∥α,l∥β,M∥α,M∥β.其中能够判定两个平面α与β平行的条件有（ B ）个个个个参考答案与解析:解析：取正方体相邻三个面为α、β、γ，易知α⊥γ，β⊥γ，可是α与β相交，不平行，故排除①，假设α与β相交，如下图，可在α内找到A、B、C三个点到平面β的距离相等，因此排除③.容易证明②④都是正确的.答案：B要紧考察知识点:空间直线和平面11.D12.D二、填空题13、在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 别离是棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是棱AD 上一点，AP=,过P 、M 、N 的平面与棱CD 交于Q ，那么PQ=_________. 参考答案与解析:解析：由线面平行的性质定理知MN ∥PQ(∵MN ∥平面AC ，PQ=平面PMN ∩平面AC ，∴MN ∥PQ).易知DP=DQ=.故. 答案：要紧考察知识点:空间直线和平面14、假设直线a 和b 都与平面α平行，那么a 和b 的位置关系是__________.参考答案与解析:相交或平行或异面要紧考察知识点:空间直线和平面15、616、52424或 三、解答题17.答案：证明：连接AC 、BD 交点为O ，连接MO ，那么MO 为BDP △的中位线，∴PD MO //． PD ⊄∵平面MAC ，MO ⊂平面MAC ，∴PD //平面MAC ．18.答案：19.答案：证明：连结AF 并延长交BC 于M ．连结PM ，C DAB MP OAD BC ∵//，BF MF FD FA=∴，又由已知PE BFEA FD=，PE MFEA FA=∴．由平面几何知识可得EF//PM，又EF PBC⊄，PM⊂平面PBC，∴EF//平面PBC．20．如以下图，F，H别离是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1，AA1的中点，求证：平面BDF∥平面B1D1H.证明：取DD1，中点E连AE、EF.∵E、F为DD1、CC1中点，∴EF∥CD.，EF=CD∴EF∥AB，EF=AB∴四边形EFBA为平行四边形．∴AE∥BF.又∵E、H别离为D1D、A1A中点，∴D1E∥HA，D1E=HA∴四边形HADD1为平行四边形．∴HD1∥AE∴HD1∥BF由正方体的性质易知B1D1∥BD，且已证BF∥D1H.∵B1D1⊄平面BDF，BD⊂平面BDF，∴B1D1∥平面BDF.连接HB，D1F，∵HD1⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，∴HD1∥平面BDF.又∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.21，答案：[证明] 因为F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，因此CD∥AF，CD=AF因此四边形AFCD为平行四边形，因此AD∥FC.又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，AD∩DD1＝D，AD⊂平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，因此平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1⊂平面ADD1A1，EE 1⊄平面FCC 1，因此EE 1∥平面FCC 1.22.答案：(1)取PD 的中点H ，连接AH ，NH ，∵N 是PC 的中点，∴NH =12DC .由M 是AB 的中点，且DC ∥AB ，∴NH ∥AM ，NH =AM 即四边形AMNH 为平行四边形．∴MN ∥AH,由MN ⊄平面PAD ，AH ⊂平面PAD ，∴MN ∥平面PAD .(2)连接AC 并取其中点O ，连接OM 、ON ，∴OM ∥12BC ，ON ∥12PA .，OM =12BC ，ON =12PA . ∴∠ONM 确实是异面直线PA 与MN 所成的角，由MN ＝BC ＝4，PA ＝43，得OM ＝2，ON ＝2 3.∴MO 2＋ON 2＝MN 2，∴∠ONM ＝30°，即异面直线PA 与MN 成30°的角．。

1直线、平面平行的判定及其性质(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题7分，共35分)1.给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为()A.3B.2C.1D.02.设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是()A.若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βB.若m∥α，m∥n，则n∥αC.若m∥α，n∥α，则m∥nD.若m，n为两条异面直线，且m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β3.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB.若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC.若α⊥β，m⊥β，则m∥αD.若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β4.平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是()A.AB∥CDB.AD∥CBC.AB与CD相交D.A，B，C，D四点共面5.设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()A.m∥β且l1∥αB.m∥l1且n∥l2C.m∥β且n∥βD.m∥β且n∥l2二、填空题(每小题6分，共24分)6.过长方体ABCD—A1B1C1D1的任意两条棱的中点作直线，其中能够与平面ACC1A1平行的直线有条.7.已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P 的直线n与α、β分别交于B、D且P A＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为.8.如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a 3，过 P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝ .9.如图所示，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件 时，有MN ∥平面B 1BDD 1.三、解答题(共41分)10.(13分)如图所示，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，求证：AE ∥平面DCF .11.(14分)如图所示，已知P 、Q 是单位正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面A 1B 1BA 和面ABCD 的中心.求证：PQ ∥平面BCC 1B 1.12.(14分)如图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，E 1，F 分别是棱AD ，AA 1，AB 的中点.求证：直线EE 1∥平面FCC 1.答案1.C2.D3.D4.D5.B6. 127. 24或2458.223a 9. M ∈线段HF10. 证明 方法一 由于AB ∥CD ，BE ∥CF ，故平面ABE ∥平面DCF .而直线AE 在平面ABE 内，根据线面平行的定义，知AE ∥平面DCF .方法二 如图所示，过点E 作直线EG ∥BC 交CF 于点G ，连接DG ，由于BE ∥CF ，故四边形BEGC 为平行四边形，从而EG 綊BC .又四边形ABCD 为矩形，故AD 綊BC .所以AD 綊EG .所以四边形AEGD 为平行四边形，所以AE ∥DG .由线面平行的判定定理，得AE ∥平面DCF .11. 证明 方法一 如图①取B 1B 中点E ，BC 中点F ，连接PE 、QF 、EF ，∵△A 1B 1B 中，P 、E 分别是A 1B 、B 1B 的中点，∴PE 綊12A 1B 1. 同理QF 綊12AB . 又A 1B 1綊AB ，∴PE 綊QF .∴四边形PEFQ 是平行四边形.∴PQ ∥EF .又PQ ⊄平面BCC 1B 1，EF ⊂平面BCC 1B 1，∴PQ ∥平面BCC 1B 1.方法二 如图②，连接AB 1，B 1C ，∵△AB 1C 中，P 、Q 分别是AB 1、AC 的中点，∴PQ ∥B 1C .又PQ ⊄平面BCC 1B 1，B 1C ⊂平面BCC 1B 1，∴PQ ∥平面BCC 1B 1.12. 证明在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，FF1，则四边形FCC1F1是平行四边形.因为AB＝2CD，且AB∥CD，所以CD綊A1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1∥A1D，又因为E、E1分别是棱AD、AA1的中点，所EE1∥A1D，所以CF1∥EE1，又为EE1⊄平面FCC1，CF1⊂平面FCC1，所以直线EE1∥平面FCC1.2直线、平面垂直的判定及其性质(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题7分，共35分)1.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中不正确的是（）A.若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB.若m∥n，m⊥α，则n⊥αC.若m⊥α，m⊥β，则α∥βD.若m⊥α，m⊂β，则α⊥β2.若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.A.0个B.1个C.2个D.3个其中正确的命题有()3.已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，那么使m∥α成立的一个充分条件是()A.m∥β，α∥βB.m⊥β，α⊥βC.m⊥n，n⊥α，m⊄αD.m上有不同的两个点到α的距离相等4.已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.其中真命题的序号是()A.①④B.②③C.②④D.①③5.设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中正确的是()A.若a∥α，b∥α，则a∥bB.若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βC.若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βD.若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b二、填空题(每小题6分，共24分)6.已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，l⊄α，则l⊥α.其中正确命题的序号是.7.设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直；④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.上面命题中，真命题的序号为(写出所有真命题的序号).8．如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．9．a、b表示直线，α、β、γ表示平面．①若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；②若a⊂α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a⊥b；④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内无数条直线；⑤若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β.上述五个命题中，正确命题的序号是________．三、解答题(共41分)10.(13分)若P为△ABC所在平面外一点，且P A⊥平面ABC，平面P AC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.11．(14分)(2010·江苏)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.(1)求证：PC⊥BC；(2)求点A到平面PBC的距离．12.(14分)(2010·南京二模)如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝BC＝1，A1B＝ 2.(1)求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；(2)如果D为AB中点，求证：BC1∥平面A1CD.答案1.A2.C3.C4.B5.C6.②③7. ①②8.①②③9.②⑤.10. 证明∵平面P AC⊥平面PBC，作AD⊥PC垂足为D，根据平面与平面垂直的性质定理知：AD⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，则BC⊥AD，又P A⊥平面ABC，则BC⊥P A，∴BC⊥平面P AC.∴BC⊥AC.11. (1)证明∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC.∵∠BCD＝90°，∴BC⊥CD.又PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD.而PC⊂平面PCD，∴PC⊥BC.(2)解如图，过点A作BC的平行线交CD的延长线于E，过点E作PC的垂线，垂足为F，则有AE∥平面PBC，∴点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离．∵BC⊥平面PCD，∴EF⊥BC.又EF⊥PC，BC∩PC＝C，∴EF⊥平面PBC.EF即为E到平面PBC的距离．又∵AE∥BC，AB∥CD.∴四边形ABCE为平行四边形．∴CE＝AB＝2.PD＝CD＝1，PD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PD⊥CD，∠PCD＝45°.∴EF＝2，即点A到平面PBC的距离为 2.12. 证明(1)因为∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝1，所以△A1AC为等边三角形.所以A1C＝1.因为BC＝1，A1B＝2，所以A1C2＋BC2＝A1B2.所以∠A1CB＝90°，即A1C⊥BC.因为BC⊥A1A，BC⊥A1C，AA1∩A1C＝A1，所以BC⊥平面ACC1A1.因为BC⊂平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面ACC1A1.(2)连接AC1交A1C于点O，连接OD.因为ACC1A1为平行四边形，所以O为AC1的中点.因为D为AB的中点，所以OD∥BC1.因为OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.。

直线与平面平行的判定与性质一、选择题1．已知直线a ∥平面α，直线b α，则a 与b 的关系为（ ）A ．相交B ．平行C ．异面D ．平行或异面2．平面α∩平面β＝a ，平面β∩平面γ＝b ，平面γ∩平面a ＝c ，若a ∥b ，则c 与a ，b 的位置关系是（ ）A ．c 与a ，b 都异面B ．c 与a ，b 都相交C ．c 至少与a ，b 中的一条相交D ．c 与a ，b 都平行3．给出下列四个命题：①如果a ，b 是两条直线，且a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面；②如果直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与平面α内的直线不是平行就是异面， ③如果直线a ∥α，b ∥α，则a ∥b④如果平面α∩平面β＝a ，若b ∥α，b ∥β，则a ∥b其中为真命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．A 、B 是不在直线l 上的两点，则过点A 、B 且与直线l 平行的平面的个数是 （ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．以上三种情况均有可能二、填空题5．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，∠A ＝60°，G 是重心，过G 的平面α与BC 平行，AB ∩α＝M ，AC ∩α＝N ，则MN ___________6．P 是边长为8的正方形ABCD 所在平面外的一点，且P A ＝PB ＝PC ＝PD ＝8，M 、N分别在P A 、BD 上，且53＝＝ND BN MA PM ，则MN ＝_________．7．三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线的位置关系为__________．三、解答题8．如图，两个全等正方形ABCD 与ABEF 所在平面相交于AB ，ME ∈AC ，NE ∈FB ，且AM ＝FN ，求证：MN ∥平面BCE ．9．求证：如果两个相交平面分别经过两条平行线中的一条，那么它们的交线和这两条平行线互相平行．10．已知E ，F ，G ，M 分别是四面体的棱AD ，CD ，BD ，BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG ．11．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，C 1D 1的中点，求证；EF ∥平面BB 1D 1D ．12．空间四边形ABCD 的对棱AD ，BC 成60°的角，且AD ＝BC ＝a ，平行于AD 与BC 的截面分别交AB ，AC ，CD ，BD 于E 、F 、G 、H ．（1）求证：四边形EFGH 为平行四边形；（2）E 在AB 的何处时截面EFGH 的面积最大?最大面积是多少?参考答案一、选择题1．D 2．D 3．B 4．D二、填空题 5．3392；6．19；7．两两平行或相交于一点．三、解答题8．证明：过M 在平面AC 内作直线AB 的平行线交于BC 于G ，过N 在平面AE 内作直线AB 的平行线交BE 于H ，连GH ，只要证明GH ∥MN 即可，事实上，∵MG ∥AB ，NH ∥AB ，∴MG ∥NH ． 又∵AB MG ＝AC MC ，FE NH ＝BF BN，且ABCD 和ABEF 是两个全等的正方形，AM ＝FN ，∴AC ＝BF ，MC ＝BN ，从而有AB MG ＝FE NH，∴MG ＝NH ，∴四边形MGHN 为平行四边形．∴MN ∥GH ．又∵GH ⊂平面BCE ，MN ⊄平面BCE ，∴MN ∥平面BCE ．9．证明：∵a ∥b ，b ⊂β，∴a ∥β．又∵a ⊂α，α∩β＝l ，∴a ∥l ．又∵a ∥b ，b ∥l ，∴a ∥b ∥l ．10．证明：连MD 交GF 于N ，连EN ．∵GF 为△BCD 的中位线，∴N 为MD 的中点．∵E 为AD 的中点，∴EN 为△AMD 的中位线，∴EN ∥AM ．∵AM ⊄平面EFG ，EN ⊂平面EFG ，∴AM ∥平面EFG ．11．证明：取D 1B 1的中点O ，连OF ，OB ．∵OF ∥＝21B 1C 1，BE ∥＝21B 1C 1， ∵OF ∥＝BE ，则OFEB 为平行四边形． ∴EF ∥BO ．∵EF ⊄平面BB 1D 1D ，BO ⊂平面BB 1D 1D ，∴EF ∥平面BB 1D 1D ．12．证明：（1）∵BC ∥平面EFGH ，BC ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面EFGH ＝EF ， ∴BC ∥EF ，同理BC ∥HC ，∴EF ∥HG ．同理可证EH ∥FG ，∴四边形EFGH 为平行四边形．解：（2）∵AD 与BC 成角为60°，∴∠HEF ＝60°（或120°），设AB AE＝x ， ∵BC EF ＝AB AE＝x ，BC ＝a ，∴EF ＝ax ，由AD EH ＝BA BE ＝11x－，得EH ＝（1－x ）a ．∴S 四边形EFGH ＝EF ·EH ·sin60°＝ax ·a （1－x ）·23＝223a ·x （1－x ）≤223a ·221）－＋（x x ＝283a ．当且仅当x ＝1－x ，即x ＝21时等号成立，即E 为AB 的中点时，截面EFGH 的面积最大为283a ．。

直线、平面平行的判定及其性质1. 下列命题中，正确命题的是 ④ 。

①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行； ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行;④若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点。

2. 下列条件中，不能判断两个平面平行的是 （填序号）。

①一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面 ③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 答案 ①②③3. 对于平面α和共面的直线m 、n,下列命题中假命题是 (填序号). ①若m ⊥α，m ⊥n,则n ∥α ②若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ③若m ⊂α，n ∥α,则m ∥n④若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n 答案 ①②④ 4. 已知直线a ，b,平面α,则以下三个命题： ①若a ∥b,b ⊂α,则a ∥α； ②若a ∥b ，a ∥α,则b ∥α; ③若a ∥α，b ∥α,则a ∥b 。

其中真命题的个数是 . 答案 05. 直线a //平面M ，直线b ⊂/M ,那么a //b 是b //M 的 条件。

A.充分而不必要 B.必要而不充分 C 。

充要 D 。

不充分也不必要6. 能保证直线a 与平面α平行的条件是 A 。

b a b a //，，αα⊂⊄ B 。

b a b //，α⊂ C.c a b a c b //////，，，αα⊂D 。

b D b C a B a A b ∈∈∈∈⊂，，，，α且BD AC =7. 如果直线a 平行于平面α,则A.平面α内有且只有一直线与a 平行B.平面α内无数条直线与a 平行C.平面α内不存在与a 平行的直线D.平面α内的任意直线与直线a 都平行8. 如果两直线a ∥b ,且a ∥平面α，则b 与α的位置关系A 。