离散数学模拟题及答案(1)学习资料
- 格式:doc
- 大小:84.50 KB
- 文档页数:4
一、填空
1.不能再分解的命题称为____________,至少包含一个联结词的命题称为____________。2.一个命题公式A(P, Q, R)为真的所有真值指派是000, 001, 010, 100,则其主析取范式是__________________,其主合取范式是_________________。
3.设A={a,b,c},B={b,c,d,e},C={b,c},则( A ⋃ ⊕=____________。4.幂集P(P(∅)) =________________。
5.设A为任意集合,请填入适当运算符,使式子A________A=∅;A________A’=∅成立。6.设A={0,1,2,3,6},R={〈x,y〉|x≠y∧(x,y∈A)∧y≡x(mod 3)},则D(R)=____________,R(R)=____________。
7.称集合S是给定非空集合A的覆盖:若S={S1,S2,…,S n},其中S i⊆A,S i≠Ø,i=1,2,…,n,且______ _____;进一步若_____ _______,则S是集合A的划分。8.两个重言式的析取是____ ____式,一个重言式和一个永假式的合取式是式。9.公式┐(P∨Q) ←→(P∧Q)的主析取范式是。
10. 已知Π={{a}{b,c}}是A={a,b,c}的一个划分,由Π决定的A上的一个等价关系
是。
二、证明及求解
1.求命题公式(P→Q)→(Q∨P)的主析取范式。
2.推理证明题
1)⌝P∨Q,⌝Q∨R,R→S⇒P→S。
2) (∀x)(P(x)→Q(y)∧R(x)),(∃x)P(x)⇒Q(y)∧(∃x)(P(x)∧R(x))
x)},S={〈x,y〉|x,y∈A∧(x=y+2)}。3.设A={0,1,2,3},R={〈x,y〉|x,y∈A∧(y=x+1∨y=
2
试求R S R。
4.证明:R是传递的⇔R*R⊆R。
5.设R是A上的二元关系,S={| 存在c∈A,使∈R,且
6.若f:A→B和g:B→C是双射,则(g f)-1=f-1 g-1。
7.符号化下列命题,并证明结论的有效性。
只要今天天气不好,就一定有考生不能提前进入考场,当且仅当所有考生提前进入考场,考试才能准时进行。所以,如果考试准时进行,那么天气就好。
8.画出集合S={1,2,3,4,5,6}在偏序关系“整除”下的哈斯图,并讨论:
1)写出{1,2,3,4,5,6}的最大(小)元和极大(小)元;
2)分别写出{2,3,6}和{2,3,5}的上(下)界、上(下)确界。
9. 设R是A={1,2,3,4,5}上的二元关系,R={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>},求r(R)、s(R)和t(R),并作出它们及R的关系图。
参考答案
一、填空
1.原子命题;复合命题
2.0m ∨1m ∨2m ∨4m ;3M ∧5M ∧6M ∧7M
3.{a,d,e}
4.{∅,{∅}}
5.⊕;∩
6.{0,3,6};{0,3,6}
7.S 1∪S 2∪…∪S n =S ; S i ∩S j =∅,1≤i 8.重言;永假 9.0m ∨1m 10. {,,, 二、证明及求解 1.解:(⌝p →q)→( ⌝q ∨p)⇔⌝(⌝p →q)∨(p ∨⌝q) ⇔⌝(p ∨q)∨(p ∨⌝q) ⇔(⌝p ∧⌝q)∨(p ∨⌝q) ⇔(⌝p ∨p ∨⌝q)∧(⌝q ∨p ∨⌝q) ⇔(p ∨⌝q) ⇔M1 ⇔m0∨m2∨m3 2.1)证明: (1)P 附加前提 (2)⌝P ∨Q P (3)Q T(1)(2),I (4)⌝Q ∨R P (5)R T(3)(4),I (6)R →S P (7)S T(5)(6),I (8)P →S CP 2) 证明 (1)∃xP(x) P (2)P(a) ES(1) (3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)) P (4)P(a)→Q(y)∧R(a) US(3) (5)Q(y)∧R(a) T(2)(4),I (6)Q(y) T(5),I (7)R(a) T(5),I (8)P(a)∧R(a) T(2)(7),I (9)∃x(P(x)∧R(x)) EG(8) (10)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x)) T(6)(9),I 3.解: R={<0,1>,<1,2>,<2,3>,<0,0>,<2,1>},S={<2,0>,<3,1>}, R S={<1,0>,<2,1>}, R S R={<1,1>,<1,0>,<2,2>} 4.证明若R是传递的,则 反之,若R*R⊆R,则对任意的x、y、z∈A,如果xRz且zRy,则 5.证明由R是A上的等价关系,知∈R,故存在a∈A,使∈R,且 ∈R,故∈S。若∈S,则存在c∈A,使∈R,且 是等价关系。 6.证明:1)因为f:A→B和g:B→C均是双射,故f-1和g-1均存在,且f-1:B→A,g-1:C→B,所以f-1 g-1:C→A。 由f和g是双射,可知g f也是双射,故(g f)-1存在且(g f)-1:C→A。 D(f-1 g-1)=D(g f)-1=C 2) 对任意c∈C⇒存在唯一b∈B,使得g(b)=c⇒存在唯一a∈A,使得f(a)=b,故 (f-1 g-1)(c)= (f-1(g-1(c))=f-1(b)=a 但(g f)(a)=g(f(a))=g(b)=c 故(g f)-1(c)=a 因此对任意c∈C有:(g f)-1(c)= (f-1 g-1)(c)