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概率论第七章 参数估计

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概率论第七章 第1节

概率论第七章 第1节

根据样本概率最大原则，m的估计值为3。
最大似然估计法原理
一般地，不仿设总体X是离散型分布X～p(x,θ)，如果 X1,X2,…,Xn是来自这个总体的一个随机样本，x1,x2,…,xn 是这个随机样本的样本值，则这个样本发生的概率为：
记这个概率为θ的函数：
16
最大似然估计法原理
如果在一次抽样中样本值x1,x2,…,xn出现了，我们就认为 它之所以出现是因为它发生的概率最大导致的。因此我们 就选择能使这个概率最大的那个θ作为θ的估计值，这就 是极大似然估计法。 “样本值概率最大原则”
矩估计法理论依据
命题2：设总体X的l=1,2,…,k阶矩存在即E(Xl)=μk,则l阶样 本矩A1,A2,…,Ak的连续函数g(A1,A2,…,Ak)也依概率收敛于总 体矩的连续函数即
根据这两个命题，我们使用如下方法来进行矩估计： (1)用样本矩A1,A2,…,Ak来估计总体矩； (2)用样本矩的连续函数g(A1,A2,…,Ak)来估计总体矩的连续 函数g(μ1,μ2,…,μk)。
砍掉充分小的dxi,记这 个概率为θ的函数：
30
连续型总体中参数 θ的似然函数!
最大似然估计值 最大似然估计量
怎样求最大值点？
基于此通常先取对数，再求最大值点。
化成求 对数似 然函数 的最大 值点!
如果对数似然函数二阶可导，并且概率 密度函数是单峰函数，则驻点就是最大 值点!通过求一阶导数能得驻点：
第七章 参数估计
1、什么是参数估计？ 当总体的分布类型已知，但其中仍有未知参数。比如总体 X服从参数μ,σ2的正态分布，但μ,σ2未知。但是我们 能根据来自总体X的一个简单随机样本X1,X2,…,Xn通过适 当的方法对这些未知参数进行估计，得到它的一个近似值 或近似区间。 2、参数估计有哪些形式？ (1)点估计：矩估计法、极大似然估计法。 (2)区间估计：正态总体下区间估计法。

概率论与数理统计第7章

概率论与数理统计第7章

x 0 , x 0 ,x 1 ,x 2 ,
,x n 为 总 体 X
的 一 个 样 本 ,则 未 知 参 数 的 矩 估 计 ˆ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
这个例子所作的推断已经体现了极大似然法 的基本思想 .
最大似然估计原理：
设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，样 本的联合密度(连续型）或联合分布律 (离散型)为
f (x1,x2,… ,xn ; ) .
当给定样本X1,X2,…Xn时，定义似然函数为：
L() f (x1, x2 ,…, xn; )
得
pˆ1Βιβλιοθήκη nn i 1xix
即为 p 的最大似然估计值 .
从而 p 的最大似然估计量为
p ˆ(X1,
1n ,Xn)ni1Xi X
求最大似然估计(MLE)的一般步骤是：
(1) 由总体分布导出样本的联合分布率(或联 合密度);
(2) 把样本联合分布率 ( 或联合密度 ) 中自变
量看成已知常数,而把参数 看作自变量,得到似然 函数L();
要求：领会
2.2 估计量的有效性、相合性， 要求：领会
3.区间估计
3.1 置信区间的概念，
要求：领会
3.2 求单个正态总体均值和方差的置信区间，要求：简单应用
参数估计
现在我们来介绍一类重要的统计推断问题
参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体 的某些参数或者参数的某些函数.
估计新生儿的体重
1 p
n
pxi (1p)1xi
i1
n
n
xi
n xi
pi1 (1p) i1
n
n
xi
n xi
L(p)pi1 (1p) i1

概率论与数理统计复习7章

概率论与数理统计复习7章

( n − 1) S 2 ( n − 1) S 2 = 1 − α 即P 2 <σ2 < 2 χα 2 ( n − 1) χ1−α 2 ( n − 1) ( n − 1) S 2 ( n − 1) S 2 置信区间为： 2 , χα 2 ( n − 1) χ12−α 2 ( n − 1)
则有：E ( X v ) = µv (θ1 , θ 2 ,⋯ , θ k ) 其v阶样本矩是：Av = 1 ∑ X iv n i =1
n
估计的未知参数，假定总体X 的k阶原点矩E ( X k ) 存在，
µ θ , θ ,⋯ , θ = A k 1 1 1 2 µ2 θ1, θ 2 ,⋯ , θ k = A2 用样本矩作为总体矩的估计，即令： ⋮ µ θ , θ ,⋯ , θ = A k k k 1 2 ɵ ɵ ˆ 解此方程即得 (θ1 , θ 2 ,⋯ , θ k )的一个矩估计量 θ 1 , θ 2 ,⋯ , θ k
+∞
−∞
xf ( x ) dx = ∫ θ x θ dx =
1 0
令E ( X ) = X ⇒
θ +1
θ
ˆ = X ⇒θ =
( )
X 1− X
θ +1
2
θ
7.2极大似然估计法
极大似然估计法： 设总体X 的概率密度为f ( x,θ ) (或分布率p( x,θ )),θ = (θ1 ,θ 2 ,⋯ ,θ k ) 为 未知参数，θ ∈ Θ, Θ为参数空间，即θ的取值范围。设 ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) 是 样本 ( X 1 , X 2 ,⋯ , X n )的一个观察值：
i =1 n

概率论与数理统计第7章参数估计PPT课件

概率论与数理统计第7章参数估计PPT课件
5
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，

概率论参数估计

概率论参数估计
2
2
2 设 ~ b(1 p), X1, X2,L Xn是 自 的 个 本 、 X , , 来 X 一 样 ， 试 参 p的 大 然 计 。 求 数 最 似 估 量
3、设总体X在[a，b]上服从均匀分布，a、b未 x , 知， 1, x2,L xn 是来自X的一个样本值，试求a、 b的最大似然估计量。
估计量的优良性准则 在介绍估计量优良性的准则之前， 在介绍估计量优良性的准则之前，我 们必须强调指出： 们必须强调指出： 评价一个估计量的好坏， 评价一个估计量的好坏，不能仅仅依 据一次试验的结果， 据一次试验的结果，而必须由多次试验结 果来衡量 . 这是因为估计量是样本的函数，是随机 这是因为估计量是样本的函数， 因此，由不同的观测结果， 变量 . 因此，由不同的观测结果，就会求得 不同的参数估计值. 因此一个好的估计，应 不同的参数估计值 因此一个好的估计， 在多次试验中体现出优良性 .
P X = x}= p(x,θ), θ ∈Θ {
的样本， 设X1，X2，…，Xn是来自 的样本，则X1， ， 是来自X的样本 ， ， ， X2，…，Xn的联合分布律为 ， ， 的联合分布律为
∏p(x ;θ)
i i= 1
n
样本X ， ， ， 取得观察值x ， ， ， 样本 1，X2，…，Xn取得观察值 1，x2，…，xn的概 率为
L(θ) = L(x1, x2,L xn;θ) =∏p(xi ;θ), θ ∈Θ ,
i= 1
n
称为样本的似然函数 （2）连续型 ） 若总体X属连续型 属连续型， 若总体 属连续型，其概率密度为
f (x;θ), θ ∈Θ θ为待估参数
是来自X的样本 设X1，X2，…，Xn是来自 的样本，则X1， ， ， ， 是来自 的样本， ， X2，…，Xn的联合密度为 ， ， 的联合密度为

概率论 第七章 参数估计

概率论 第七章 参数估计

L( ) max L( )
称^为
的极大似然估计（MLE）.
求极大似然估计(MLE)的一般步骤是：
(1) 由总体分布导出样本的联合概率分布 (或联合密度);
(2) 把样本联合概率分布(或联合密度)中自变 量看成已知常数,而把参数 看作自变量, 得到似然函数L( );
(3) 求似然函数L( ) 的最大值点(常常转化 为求ln L( )的最大值点) ，即 的MLE;
1. 将待估参数表示为总体矩的连续函数 2. 用样本矩替代总体矩，从而得到待估参
数的估计量。
四. 最大似然估计（极大似然法）
在总体分布类型已知条件下使用的一种 参数估计方法 .
首先由德国数学家高斯在1821年提出。 英国统计学家费歇1922年重新发现此
方法，并首先研究了此方法的一些性质 .
例：某位同学与一位猎人一起外出打猎.一只 野兔从前方窜过 . 一声枪响，野兔应声倒下 .
p值 P(Y=0) P(Y=1) P( Y=2) P(Y=3) 0.7 0.027 0.189 0.441 0.343 0.3 0.343 0.441 0.189 0.027
应如何估计p?
若：只知0<p<1, 实测记录是 Y=k
(0 ≤ k≤ n), 如何估计p 呢?
注意到
P(Y k) Cnk pk (1 p)nk = f (p)
第七章 参数估计
参数估计是利用从总体抽样得到的信息 估计总体的某些参数或参数的某些函数.
仅估 计一 个或 几个 参数.
估计新生儿的体重
估计废品率
估计降雨量
估计湖中鱼数
…
…
参数估计问题的一般提法:
设总体的分布函数为 F(x, )，其中为未 知参数 (可以是向量).从该总体抽样，得样本

概率论与数理统计-参数估计


第七章 参数估计
例：
引言
设总体 X 是服从参数为 的指数分布，其中参数
未 知 ，
0 ．X1 ,,
X
是总体
n
X
的一个样本，
我们的任务是根据样本，来估计 的取值，从
而估计总体的分布．
这 是 一 个 参 数 估 计 问 题．
第七章 参数估计
§1 点估计 §2 估计量的评选标准 §3 区间估计
第七章 参数估计 §1 点估计
2
令
A1
A2
, (
2
1)
.
第七章 参数估计
例6(续）
解此方程组，得
§1 点估计
ˆ
A1 2 A2 A12
,
ˆ
A2
A1 A12
.
ˆ X 2 ,
即
B2
ˆ X .
B2
其中 B2
1 n
n i 1
Xi X
2 为样本的二阶中心矩．
第七章 参数估计（第二十二讲） 三、 极大似然法
§1 点估计
1
第七章 参数估计
例6(续）
EX 2 x 2 f
x dx x 2
x 1e x dx
0
§1 点估计
2 2 x ( e 2)1 x dx
2 0 2
2 2
1 2
1
2
因此有
EX
,
EX
2
1 .
⑵ 在不引起混淆的情况下，我们统称估计量
与估计值为未知参数 的估计．
第七章 参数估计
二、 矩估计法
§1 点估计
设X为连续型随机变量，其概率密度为
f ( x;1 ,, k ), X为离散型随机变量，其分布列为

《概率论与数理统计》7


未知参数 , ,, 的函数.分别令
12
k
L(1,,k ) 0,(i 1,2,...,k)
或令
i
ln L(1,,k ) 0,(i 1,2,...,k)
i
由此方程组可解得参数 i 的极大似然估计值 ˆi.
例5 设X~b(1,p), X1, X2 , …,Xn是来自X的一个样本,
求参数 p 的最大似然估计量.
解 E( X ) ，E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2 2 2
由矩估计法,
【注】
X
1
n
n i 1
X
2 i
2
2
ˆ X ,
ˆ
2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
对任何总体,总体均值与方差的矩估计量都不变．
➢常见分布的参数矩估计量
(1)若总体X~b(1, p), 则未知参数 p 的矩估计量为
7-1
第七章
参数估计
统计 推断
的 基本 问题
7-2
参数估 计问题
(第七章）
点估计 区间估 计
假设检 验问题 (第八章）
什么是参数估计？
参数是刻画总体某方面概率特性的数量.
当此数量未知时,从总体抽出一个样本， 用某种方法对这个未知参数进行估计就 是参数估计.
例如，X ~N ( , 2),
若, 2未知, 通过构造样本的函数, 给出
k = k(A1, A2 , …, A k)
用i 作为i的估计量------矩估计量.
例1 设总体X服从[a，b]上的均匀分布，a，b未知，
X1, X2 , …,Xn为来自总体X的样本,试求a，b的 矩估计量．
解 E(X ) a b , D(X ) (b a)2

自考概率论课件_第七章_参数估计.ppt1


2 2 例3 设总体 X 的均值 及方差 都存在, 且有 0, 2 但 , 均为未知, 又设 X1 , X 2 ,, X n 是来自 X 的样 2 本, 试求 , 的矩估计量. 解 1 E ( X ) , 总体一阶原点矩 2 2 2 2 总体二阶 2 E ( X ) D( X ) [ E ( X )] ,
x ˆ 1 . x 1
为求的极大似然估计,先 易求得似然函数为
L( ) ( xi
i 1 n ( 1)
) xi i 1
n n
( 1)
,
ln L( ) n ln ( 1) xi ,
d ln L( ) n n xi 0. d i 1
以 A1 , A2 代替 1 , 2 , 得到 a , b 的矩估计量分别为
3 2 ˆ A1 3( A2 A ) X (Xi X ) , a n i 1
2 1
n
n 3 2 2 ˆ b A1 3( A2 A1 ) X (Xi X ) . n i 1
§7.1
参数的点估计
一、点估计的一般定义及步骤
设总体X～F(x,θ),θ是未知参数,(X1,X2,…,Xn)是 取自总体X的样本,适当选取一个统计量
ˆ 去估计参数θ, 称 ˆ为θ的估计量或把 ˆ 用 叫做 θ的点估计.
ˆ =ˆ(X1,X2,…,Xn)
二、获取点估计的两种方法
1.矩估计法 2.极大似然估计法
以 A1 , A2 代替 1 , 2 , 得到 a , b 的矩估计量分别为
3 2 ˆ A1 3( A2 A ) X (Xi X ) , a n i 1

参数估计


根据“概率越大的事件越可能发生”的实际推断原理，应选3/4作为p的估计值。
若p的可供选择的估计值有许多，仍应选择发生概率最大的 就是极大似然估计的思想。
作为p的估计，这p
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极大似然估计的原理(教材p180-181)
设总体X的概率密度函数族为f(x； ) (或概率分布函数族为P(X=x)=p(x ； ) )， 。
矩估计的缺陷：当总体分布类型已知时，未能充分利用总体分布提供的信息。
Exceltek Electronics (HK) Ltd Confidential
二、极大似然估计
引例：罐中有许多白球和黑球，已知两色球的比例为3：1，但不知哪种颜色的球多。 今有放回连抽两球均取出黑球，问：罐中黑球多还是白球多？
第七章 参数估计
引言 参数估计：当总体的某些参数未知(一般要求分布类型已知)时，从样本出发构造适当 的统计量，作为未知参数的估计量。当取得一组观察值后，以相应的统计量的观察 值作为未知参数的估计值，并讨论估计值对真值进行估计的可靠性。
参数估计方法是处理实际问题时最常用的方法。
预备概念：当总体X中含有未知参数 (可以是向量)时，可用 F(x； )来表示X的分布函数，当取不同的值，就会得到不同的分布函数。我们 称所有可能取值的集合为参数空间，记为。把{F(x； )， }称为X的分布 函数族。
的极大似然估计。
便是
D(X )
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第三节 点估计量的评选标准 问题：1. 哪种估计是最好的估计？
2. 评价“好”的标准是什么？ 建立评价标准的原则：估计量在某种意义下与待估参数的真值最接近。
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第七章 参数估计§7.1一、 选择题1．θ为总体X 的未知参数，θ的估计量是^θ，则有（ B ） （A ）^θ是一个数，近似等于θ；（B ）^θ是一个随机变量；（C ）^θ是一个统计量且θθ=)(^E ；（D ）当n 越大，^θ的值可任意靠近θ。

说明：),,,(ˆˆ21n X X X θθ=为统计量，当然是随机变量，但不一定有θθ=)(^E ，而),,,(ˆˆ21nx x x θθ=为估计值，是数，不是随机变量；当n 越大，^θ的值可任意靠近θ这话也有问题：n ^θ是θ的一致估计量，即n ^θ是依概率收敛于θ，而不是θθ=∞→nn ˆlim 。

2．设总体X 服从参数为λ的指数分布，则λ的矩估计和极大似然估计分别为（ C ）（A ）矩估计x =λ^，极大似然估计x =λ^； （B ）矩估计x1^=λ，极大似然估计x =λ^；（C ）矩估计x 1^=λ，极大似然估计x1^=λ； （D ）矩估计x =λ^，极大似然估计x1^=λ。

解：极大似然估计为⎩⎨⎧≥=-其他,00,)(x e x f x λλ，⎩⎨⎧≥=-。

x e x f i x i i 其他,00,),(λλλ，[]xx n x n x n L x n L ee xf L n i i Lni i ni i ni ix n n i x n i i ni ii 111ˆ0ln ))(ln(ln ))(ln(),()(1111111==∴=-='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-='-=∑===∑∑∑∑∏∏====-=-==λλλλλλλλλλλλλλ矩法为：XX X X E 1ˆ1,)(=⇒==λλ二、填空题1．设总体X 服从均匀分布],0[θU ，取容量为6的样本值：1.3,1.7,0.6,2.2,0.3,1.1,则θ的矩估计为2.4 ,极大似然估为2.2 . 说明：4.22.16/)1.13.02.26.07.13.1(,2)(^=⇒=+++++==θθx X E{}2.21.1,3.0,2.2,6.0,7.1,3.1max ^==θ2.设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本,2)(,)(σμ==X D X E ,总体均值μ的无偏差估计为X ,总体方差2σ的无偏估计这2S .三、对某一距离进行五次独立测量，得下列的结果（单位：米）2781，2836，2807，2763，2858．已知测量仪没有系统误差，试用矩法估计这一距离的真值和方差。

解：∑===≈51281951i i x x μ，∑==-=≈512^228.1206][51i i i x x σσ四、设总体X ～)(λE ，概率密度函数为⎩⎨⎧≥=-。

x e x f x 其他,00,)(λλ（1） 求λ的矩估计； （2） 求λ的极大似然估计。

解：（1）λλμλλλ1|)()(0000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--====⎰⎰⎰+∞-∞+-+∞-+∞dx e xe dx e x dx x xf X E x x x得xx 1,1^^^=⇒==λλμ （2）似然函数当),,2,1(0n i x i =>有∑==-ni ix neL 1)(λλλ，∑=-=ni ix n L 1ln )(ln λλλ，xxnx n d L d ni ini i 10)(ln 1^1==⇒=-=∑∑==λλλλ 五、设总体X 服从均匀分布],0[θU ，取容量为6的样本值：1.3, 1.7, 0.6,2.2, 0.3, 1.1,求θ的矩估计。

解：4.22.16/)1.13.02.26.07.13.1(,2)(^=⇒=+++++==θθx X E§7.2一、 设^1θ及2^θ是θ的两个独立的无偏差估计量，假定)(2)(2^1^θθD D =，求常数1C 及2C ，使2^21^1^θθθC C +=为θ的无偏估计，并使)(^θD 达到最小。

解：由于,)(,)(^2^1θθθθ==E E ,)()()()(2122^11^22^11^θθθθθθθ=+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C C E C E C C C E E 则21C C +=1，又由)(2)(2^1^θθD D =知^2θ比^1θ有效，由2221^2^222^221^2^222^121^2^22^11^2^2)()()(2)()()()()()(C C D D C D C D D C D C D C C D D D +=+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=θθθθθθθθθθθ=32)31(31)1(2212121+-=-+C C C ，所以当32,3121==C C 时)()(^2^θθD D 最小，)(^θD 也最小。

二、设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本,值，又设2)(,)(σμ==X D X E ，求总体均值μ，总体方差2σ的无偏差估计。

解：由∑∑======n i n i i i n n X E n X n E X E 111)(1)1()(μμ知μ的无偏差估计为X ，又因=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑∑==n i i n i iX nE X E n X n X n E S E 1221222)()(1111)( []{}()[]{}⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=∑∑==n i n i i n n n X E X D n X E X D n 1222212211)()()()(11μσμσ[]22)1(11σσ=--=n n ，知2S 是2σ的无偏差估计 §7.3一、 填空题1．设正态总体)9.0,(2μN 的一个容量为9的样本均值5=x ，则参数μ的置信度为0.95的置们区间为 (4.412,5.588) .说明：2σ已知，05.0=α，96.1025.0=z （查找975.0)(025.0=Φz 可得） 置们区间为)588.5,412.4(96.199.05,96.199.05=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-2. 设正态总体),(2σμN ,2σ未知,则μ的置信区间的长度L)1(22-n t n Sα . 说明:)1(2)1(2)1()1(2222-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+n t n S n t n S n t n S X n t n S X αααα 二、已知某地幼儿的身高服从正态分布，现从该地一幼儿园的大班抽查了9名幼儿，测得身高（单位：cm ）分别为115，120，131，109，115，115，105，110.设大班幼儿身高总体的标准差cm 7=σ,在05.0=α下,求总均值μ的置信区间. 解:2σ 已知,9=n ,96.1025.0=z ,1159/)110105115115109131120115(=+++++++=x置信区间为:)57.119,43.110()96.197115,96.197115(=+-三、为了估计产品使用寿命的均值μ和标准差σ，测试了10件产品，求得20,1500==S x 若已知产品使用寿命服从正态分布),(2σμN ，求μ，2σ的置信度为0.95的置信区间.解:μ的置信区间为)31.1514,69.1485()9(10201500),9(10201500025.0025.0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-t t 其中)9(025.0t =2.26222σ置信区间为()3333.1333,2246.189700.23600,)023.193600)9(3600,)9(3600)1()1(,)1()1(2975.02025.02212222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----χχχχααn S n n S n 四、从大批电了管中随机抽取100只,抽取的电子管的平均寿命为1000小时,可以认为电子管寿命服从正态分布,已知均方差40=σ小时,以置度0.95求出整批电子管平均寿命的置信区间.解：设X 表示电子管寿命，则有X ～)40,(2μN ,100=n ， 05.0=α1000=x ,96.1025.0=z ,则故总体均值μ的置信区间为:()84,1007,16.99296.1100401000,96.1100401000=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 五、两位化验员A 、B 独立对某种聚合物含氯量用相同的方法各作10次测定.其测定值的样本方差分别为,6065.0,5419.022==B A S S 设22,B A σσ分别为A 、B 所测定值总体的方差，并设总体设正态，求方差比22/BA σσ的置信度为0.95的置信区间.解:21,μμ未知,则22/BA σσ的置信度为0.95的置信区间为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)9,9(16065.05419.0,)9,9(16065.05419.0)1,1(1,)1,1(1975.0025.021*********F F n n F S S n n F S S B A B A αα=)601.3,222.0(03.46065.05419.0,)03.416065.05419.0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 六、设有两个正态总体),(21σμN ，),(22σμN 中分别取容量为10和12的样本，两样本相互独立，经计算得24,20==y x ，又两样本的标准差,6,521==S S 求21μμ-置们度0.95的置信区间.解:22221σσσ==未知, 21μμ-置们度0.95的置信区间为()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+±-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+±-121101572.5)21210(242011)2(025.021212t n n S n n t y x W α=()126.1,126.9- 其中572.5206115925=⨯+⨯=W S。