直线的参数方程与应用举例

直线的参数方程及应用直线的参数方程及应用直线参数方程的标准式过点P(x,y)，倾斜角为α的直线l的参数方程是x = x + tcosαy = y + tsinα其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(x,y)为直线上的任意一点。

直线l上的点与对应的参数t是一一对应关系。

若P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2，则P1P2 = t2 - t1，|P1P2| = |t2 - t1|。

若P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3，则P1P2中点P3的参数为t3 = (t1 + t2)/2，|PP3| = |(t1 + t2)/2|。

若P为P1P2的中点，则t1 + t2 = 0，t1·t2 < 0.直线参数方程的一般式过点P(xb,y)，斜率为k = a的直线的参数方程是x = x + aty = y + bt其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xb,y)为直线上的任意一点。

直线的参数方程给定点P(xl,y)，倾斜角为α，求经过该点的直线l的参数方程。

直线l的参数方程为x = x + tcosαy = y + tsinα其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xl,y)为直线上的任意一点。

特别地，若直线l的倾斜角α = 90°，直线l的参数方程为x = x + ty = y其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xl,y)为直线上的任意一点。

2、直线的参数方程与标准形式如果直线的方向已知，那么可以使用参数方程来表示直线。

对于倾斜角为 $\alpha$，过点 $M(x,y)$ 的直线 $l$，其参数方程一般式为：begin{cases}x=x_M+t\cos\alpha \\y=y_M+t\sin\alphaend{cases}其中 $t$ 是参数，表示从点 $M$ 沿着直线 $l$ 方向前进的距离。

如果要将参数方程转化为标准形式，可以通过以下步骤：1.消去参数 $t$，得到 $y-y_M=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(x-x_M)$。

直线的参数方程及应用x = x0 + aty = y0 + bt其中(x0,y0)是直线上的一个固定点，a和b是表示直线方向的参数。

参数t的取值范围根据实际问题的情况来确定，可以是实数、整数或者其他范围。

1.直线与平面的交点在三维空间中，直线与平面的交点可以通过参数方程求解。

假设平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，直线的参数方程为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct将直线的参数方程代入平面的方程，可以得到一个关于参数t的二次方程：A(x0+at) + B(y0+bt) + C(z0+ct) + D = 0通过求解这个二次方程，可以得到直线与平面的交点坐标。

2.直线的斜率直线的斜率是表示直线的倾斜程度的一个重要指标，可以通过直线的参数方程求得。

考虑直线上两个点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，它们对应的参数分别为t1和t2、直线的斜率可以表示为：m=(y2-y1)/(x2-x1)=(y0+b*t2-y0-b*t1)/(x0+a*t2-x0-a*t1)=b/a因此，直线的斜率可以通过参数a和b的比值得到。

当a=0时，直线是垂直于x轴的；当b=0时，直线是垂直于y轴的。

3.直线的长度直线的长度可以通过参数方程和积分来求解。

考虑直线上两个点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，它们对应的参数分别为t1和t2、直线的长度可以表示为：L = ∫√((dx/dt)²+(dy/dt)²) dt (t=t1到t2)其中 dx/dt 和 dy/dt 分别是直线参数方程关于 t 的导数。

将直线的参数方程代入到上式中，化简可得：L = ∫√(a²+b²) dt (t=t1到t2)=√(a²+b²)*(t2-t1)因此，直线的长度可以通过直线参数方程中的参数a和b计算得到。

4.直线的切线和法线y = y0 + (dy/dt) * (t-t0)其中 dy/dt 是直线参数方程关于 t 的导数。

直线的参数方程及其应用举例直线是平面几何中的基本概念，它是由一点和一条在同一平面上延伸的无限长的路径所组成。

直线有多种表示方法，其中最常用的是参数方程。

直线的参数方程是将直线上的每个点都表示为一个参数的函数形式。

在世界上各个领域中，直线的参数方程都有重要的应用。

x=x₀+t*ay=y₀+t*b其中(x₀,y₀)是直线上的一点，(a,b)是直线的方向向量，t是参数。

1.几何图形构造：参数方程可以方便地绘制直线图形。

通过给定直线上的一点和方向向量，可以确定直线上的所有点并将其绘制出来。

这在计算机图形学中特别有用，用于构造直线段、射线、线段平移等各种图形。

2.线性插值：参数方程在计算机图形学中还可以实现线性插值的功能。

给定直线上的两个点A和B，可以用参数方程插值得到该直线上任意一点P的坐标。

这在图形渲染中常用于平滑曲线的生成和运动轨迹的计算。

3.射影变换：参数方程也被广泛应用于计算机视觉和计算几何中的射影变换。

在相机成像过程中，直线在二维图像上可能不再是直线，而是一个曲线。

通过参数方程将直线的三维参数化表示映射到二维图像上，可以更好地理解和分析图像中的直线形状和位置。

4.道路规划：在交通规划和导航系统中，直线的参数方程可以用于模拟道路和路径。

给定起点和终点的坐标，可以使用参数方程计算出这条道路上的其中一点的坐标。

这对于路径规划、导航引导和交通仿真都是非常有用的。

5.物理运动：参数方程也广泛用于物理运动的描述和模拟。

例如，在物理学中，直线的参数方程可以用来描述自由落体运动、斜抛运动等。

在工程领域，直线的参数方程用于描述机械装置的运动轨迹、机器人的路径规划等。

除了上述应用外，直线的参数方程还在数学的数值计算、曲线拟合、信号处理、经济学的需求曲线分析等领域中发挥着重要作用。

总结起来，直线的参数方程是一个非常有用的数学工具，广泛应用于几何图形构造、线性插值、射影变换、道路规划、物理运动等众多领域中。

参数方程的使用能够简化问题的表述、计算和分析，为解决实际问题提供了便利。

参数方程直线在数学中，直线是一种基本的几何图形，它是由无数个点组成的，这些点在同一条直线上。

直线可以用不同的方式表示，其中一种方式是使用参数方程。

参数方程是一种用参数表示函数的方式。

在直线的参数方程中，我们使用两个参数来表示直线上的点。

这两个参数通常被称为t和s。

t表示直线上的点在x轴上的位置，s表示直线上的点在y轴上的位置。

例如，如果我们想要表示一条直线，它从点(1,2)开始，向右倾斜45度，那么我们可以使用以下参数方程：x = 1 + ty = 2 + t在这个参数方程中，t表示直线上的点在x轴上的位置。

因此，当t=0时，我们得到的点是(1,2)。

当t=1时，我们得到的点是(2,3)。

当t=-1时，我们得到的点是(0,1)。

这个参数方程表示的直线是一条从点(1,2)开始，向右倾斜45度的直线。

参数方程直线的优点是它可以很容易地表示斜率。

斜率是直线上的两个点之间的垂直距离除以它们之间的水平距离。

在参数方程中，斜率可以表示为dy/dx。

因此，如果我们有以下参数方程：x = 1 + ty = 2 + 2t那么这条直线的斜率就是2。

这意味着这条直线向上倾斜，并且每向右移动一个单位，它向上移动两个单位。

在实际应用中，参数方程直线可以用于描述物体的运动轨迹。

例如，如果我们想要描述一个物体在空中飞行的轨迹，我们可以使用参数方程直线来表示它的位置。

这个参数方程可以包括物体的速度和加速度，从而更准确地描述物体的运动。

参数方程直线是一种非常有用的数学工具，它可以用于描述直线的位置、斜率和运动轨迹。

它在物理学、工程学和计算机图形学等领域中得到广泛应用。

直线参数方程x的几何意义应用直线是几何学中非常重要的概念，而直线的参数方程是一种用参数表示直线上的点的方法。

x的几何意义是指在直线上取不同的x值时对应的点在几何空间中的位置和性质。

下面介绍一些直线参数方程x的几何意义的应用。

1. 直线的位置：通过改变参数的取值范围，可以获得直线上的不同部分。

例如，在参数方程x=a*t中，通过改变参数a的值，可以获得直线上以不同点为起点的不同直线段。

当a为0时，直线上的点为起点；当a为正数时，直线上的点在起点之后，当a为负数时，直线上的点在起点之前。

2. 直线的方向：通过改变参数的变化规律，可以得到直线的不同方向。

例如，在参数方程x=cos(t)中，t表示一个角度，当t逐渐增大时，x的值在[-1,1]之间变化，对应的点在平面上画出一条正弦曲线，其中x值的变化取决于t的增大方向和速度。

这样的参数方程描述了一条直线的周期性运动。

3. 直线的长度：通过参数方程可以计算直线的长度。

例如，在参数方程x=2t中，t的取值范围为[0,1]，则对应的直线的长度为2。

这种方法可以应用于坐标轴上的线段，以及任意维度空间中的线段。

4. 直线的交点：通过求解直线的参数方程，可以确定直线的交点。

例如，给定两个直线的参数方程为x=a*t和y=b*t，通过解方程组可以得到直线的交点的值。

此外，通过参数方程可以判断两条直线是否平行或重合。

5. 直线的区域：直线的参数方程可以用来描述直线所围成的区域。

例如，给定一个参数方程为x=2t，y=3t，z=t的直线，通过改变参数的取值范围，可以在三维空间中画出一段直线，并得到这段直线所围成的区域。

直线参数方程x的几何意义应用非常广泛，以上只是其中的一些例子。

在实际问题中，我们可以利用直线参数方程来描述和分析直线的性质，从而解决具体的几何问题。

直线参数方程c的几何意义应用直线的参数方程c是描述直线上各点坐标的一种方式。

在几何学中，直线参数方程c的几何意义可以从多个角度来解释和应用。

1. 直线的方向和斜率直线参数方程c通常包含参数t，表示直线上的点在参数t变化时的位置。

通过观察参数t的系数，可以得出直线的方向和斜率。

例如，如果参数方程为 c: (x, y) = (a + bt, c + dt)，其中a、b、c 和d为常数，那么直线的斜率就是 b/d。

这个斜率可以告诉我们直线的倾斜方向和陡峭程度。

2. 直线的截距直线参数方程c还可以帮助我们计算直线和坐标轴的交点，从而得到直线的截距。

例如，如果参数方程为 c: (x, y) = (a + bt, c + dt)，那么当t为0时，直线与y轴交点的坐标为 (a, c)，而当t为0时，直线与x轴交点的坐标为 (a, c)。

3. 直线的长度和方向向量直线参数方程c可以帮助我们计算直线的长度和方向向量。

根据参数方程中的点坐标，我们可以使用距离公式来计算直线的长度。

例如，如果参数方程为 c: (x, y) = (a + bt, c + dt)，我们可以计算点A(a, c)和点B(a + b, c + d)之间的距离。

这个距离可以作为直线的长度。

同时，直线的方向向量可以通过参数方程的系数得到。

对于上述参数方程，直线的方向向量为 (b, d)。

4. 直线的平行和垂直关系直线参数方程c可以帮助我们判断两条直线之间的平行和垂直关系。

如果两条直线的参数方程分别为 c1: (x, y) = (a1 + b1t, c1 + d1t) 和 c2: (x, y) = (a2 + b2t, c2 + d2t)，那么这两条直线平行的条件是b1/b2 = d1/d2。

而这两条直线垂直的条件是 b1d2 - b2d1 = 0。

5. 直线与其他几何图形的关系直线参数方程c在几何学中还有许多其他的应用。

例如，我们可以使用参数方程来描述直线与平面的交点、直线与曲线的切点、直线与圆的交点等等。

备考指南解析几何中的长度（距离）问题通常较为复杂，且运算量较大.此时若巧妙地设出直线的参数方程，从其参数的几何意义入手，便能大大加快解题的速度，提升运算结果的准确率.过点P 0（x 0,y 0），倾斜角为α的直线参数方程为{x =x 0+t cos α,y =y 0+t sin α.(t 为参数)对任意参数为t ，直线上任意点M ，有t = P 0M ，当M 在P 0的上方时，t >0；当M 在P 0的下方时，t <0；当M 与P 0重合时，t =0,||P 0M =|t |.若已知直线上的点，我们便可引入参数，设出直线的参数方程，根据直线的参数方程中参数的几何意义进行求解，下面举例说明.例1.在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(-17,0),F 2(17,0),点M 满足||MF 1-||MF 2=2，记M 的轨迹为C .（1）求C 的轨迹方程；（2）设点T 在直线x =12上，过点T 的两条直线分别与C 交于A ,B 和P ,Q ，且||TA ∙||TB =|TP |∙|TQ |，求直线AB 的斜率和直线PQ 的斜率之和.解：（1）x 2-y 216=1(x ≥1)；(过程略）（2）设T æèöø12,m ，AB 倾斜角为α，PQ 的倾斜角为β，直线AB 参数方程为ìíîïïx =12+t cos α,y =m +t sin α,(t 为参数)①直线PQ 参数方程为ìíîïïx =12+t cos β,y =m +t sin β,(t 为参数)②将①代入x 2-y 216=1(x ≥1)得()16cos 2α-sin 2αt 2+()16cos α-2m sin αt -()m 2+12=0，由直线的参数方程中参数的几何意义，设||TA =|t 1|,||TB =|t 2|,结合图形可知，A ,B 均在点T 的同侧，所以||TA ∙||TB =t 1t 2=m 2+12sin 2α-16cos 2α，同理可得||TP ∙||TQ =m 2+12sin 2β-16cos 2β，由||TA ∙||TB =|TP |∙|TQ |得m 2+12sin 2α-16cos 2α=m 2+12sin 2β-16cos 2β，得sin 2α=sin 2β，又0<α<π,0<β<π，且α≠β所以α+β=π，tan α+tan β=0，即直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0.||TA 、||TB 、||TP 、|TQ |均是与点T 有关的距离，容易联想到直线的参数方程中参数的几何意义，于是设出直线AB 、PQ 的参数方程，利用直线参数方程中参数的几何意义来解题.这样能回避运用两点间距离公式、根与系数的关系、倾斜公式，讨论角的取值范围带来的繁琐运算.例2.已知抛物线C ：y 2=2px (p >0)的焦点为F ，直线y =4与y 轴交点为P ，与C 的交点为Q ，且||QF =54|PQ |.（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ,N 两点，且A ,M ,B ,N 四点在同一圆上，求l 的方程.解：（1）C 的方程为y 2=4x ；（过程略）（2）设l 的倾斜角为α，中点为P (x 0,y 0)，因为l ′与l 垂直，所以l ′的倾斜角为π2+α，设l 的方程为{x =x 0+t cos α,y =y 0+t sin α,(t 为参数)①l ′的方程为ìíîïïx =x 0+t cos (α+π2),y =y 0+t sin (α+π2),(t 为参数)②将①代入y 2=4x 得sin 2αt 2-4cos αt +y 20-4x 0=0，PA ,PB 对应的参数分别为t 1与t 2，则t 1t 2=y 20-4x 0sin 2α，得||PA ∙||PB =4x 0-y 20sin 2α，同理可得||PM ∙||PN =4x 0-y 20sin 2æèöøπ2+α=4x 0-y 20cos 2α，由A ,M ,B ,N 四点共圆得||PA ∙||PB =|PM |∙|PN |，所以4x 0-y 20sin 2α=4x 0-y 20cos 2α，又点P (x 0,y 0)不在l 上，所以4x 0-y 20≠0，可得sin 2α=cos 2α，所以tan 2α=1，即tan α=±1，又l 过点F （1,0），所以l 方程为x -y -1=0或x +y -1=0.本题若采用常规方法，需运用弦长公式及两点间的距离公式，运算量很大.由四点共圆可联想到圆中相交弦定理，得到||PA ∙||PB =|PM |∙|PN |，再利用直线的参数方程中参数的几何意义，建立关于P 点坐标以及α的关系式，便可求得直线的方程.综上所述，利用直线的参数方程中参数的几何意义，能有效地简化运算，提升解题的效率.在运用参数方程解题时一定要注意：（1）采用直线参数方程的标准形式（参数的系数的平方和为1）；（2）结合图形找到所求距离对应的参数.（作者单位：湖南省地质中学）涂应良53。

§2 直线和圆锥曲线的参数方程2.1 直线的参数方程 2.2 圆的参数方程1.直线的参数方程(1)经过点P (x 0，y 0)、倾斜角是α的直线的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)① 其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是从点P 到M 的位移，可以用有向线段PM→的数量来表示. (2)经过两个定点Q (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ(λ为参数，λ≠－1). 其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数λ的几何意义是动点M 分有向线段QP →的数量比QM MP .当λ＞0时，M 为内分点；当λ＜0且λ≠－1时，M 为外分点； 当λ＝0时，点M 与Q 重合. 2.圆的参数方程(1)圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(α为参数).参数α的几何意义是OP 与x 轴正方向的夹角.(2)去掉圆与x 轴负半轴交点，圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（1－k 2）r 1＋k 2，y ＝2kr 1＋k 2(k 为参数)参数k 的几何意义是直线AP 的斜率.【思维导图】【知能要点】 1.直线的参数方程. 2.直线的参数方程的应用. 3.圆的参数方程及应用.题型一 直线的参数方程直线的参数方程⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α (α为参数)中，α，x 0，y 0都是常数，对于同一直线，选取的参数不同，会得到不同的参数方程.对于直线普通方程y ＝2x ＋1，如果令x ＝t ，可得到参数方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝2t ＋1 (t 为参数)；如果令x ＝t2，可得到参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t ＋1(t 为参数).这样的参数方程中的t 不具有一定的几何意义，但是在实际应用中有时能够简化某些运算.例如，动点M 做匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为9和12，点M 从A 点(1，1)开始运动，求点M 的轨迹的参数方程.点M 的轨迹的参数方程可以直接写为⎩⎨⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t (t 为参数).【例1】 设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，点P 在直线上，且与点M 0(－4，0)的距离为2，若该直线的参数方程改写成⎩⎨⎧x ＝－4＋t ，y ＝t (t 为参数)，则在这个方程中点P 对应的t 值为________. 解析 由|PM 0|＝2知t ＝±2，代入第一个参数方程，得点P 的坐标分别为(－3，1)或(－5，－1)，再把点P 的坐标代入第二个参数方程可得t ＝1或t ＝－1. 答案 ±1【反思感悟】 直线参数方程的标准形式中的参数具有相应的几何意义，本题正是使用了其几何意义，简化了运算，这也正是直线参数方程标准式的优越性所在.1.已知直线l 的方程为3x －4y ＋1＝0，点P (1，1)在直线l 上，写出直线l 的参数方程，并求点P 到点M (5，4)和点N (－2，6)的距离.解 由直线方程3x －4y ＋1＝0可知，直线的斜率为34，设直线的倾斜角为α，则tan α＝34，sin α＝35，cos α＝45.又点P (1，1)在直线l 上，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝1＋35t(t 为参数). 因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M 在直线l 上. 由1＋45t ＝5，得t ＝5，即点P 到点M 的距离为5.因为点N 不在直线l 上，故根据两点之间的距离公式，可得|PN |＝（1＋2）2＋（1－6）2＝34.【例2】 已知直线l 经过点P (1，1)，倾斜角α＝π6， (1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积.解(1)直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t(t 是参数).(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2，则点A ，B 的坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t 1，1＋12t 1，B ⎝⎛⎭⎪⎫1＋32t 2，1＋12t 2.以直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4， 整理得到t 2＋(3＋1)t －2＝0.①因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2. 所以|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝|－2|＝2.【反思感悟】 本题P 到A 、B 两点的距离就是参数方程中t 的两个值，可以充分利用参数的几何意义.2.已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数).(1)分别求t ＝0，2，－2时对应的点M (x ，y )； (2)求直线l 的倾斜角；(3)求直线l 上的点M (－33，0)对应的参数t ，并说明t 的几何意义.解(1)由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t(t 为参数)知当t ＝0，2，－2时，分别对应直线l 上的点(－3，2)，(0，3)，(－23，1).(2)法一 化直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t(t 为参数)为普通方程为y －2＝33(x ＋3)，其中k ＝tan α＝33，0≤α<π. ∴直线l 的倾斜角α＝π6.法二由于直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6(t 为参数)，这是过点M 0(－3，2)，且倾斜角α＝π6的直线，故π6为所求. (3)由上述可知直线l 的单位方向向量 e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6，sin π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. ∵M 0(－3，2)，M (－33，0)，∴M 0M →＝(－23，－2)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12＝－4e ， ∴点M 对应的参数t ＝－4，几何意义为|M 0M →|＝4， 且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方).题型二 直线参数方程的应用利用直线的参数方程，可以求一些距离问题，特别是求直线上某一定点与曲线交点距离时使用参数的几何意义更为方便.【例3】 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫102，0作倾斜角为α的直线与曲线x 2＋12y 2＝1交于点M ，N ，求|PM |·|PN |的最小值及相应的α的值. 解设直线为⎩⎨⎧x ＝102＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入曲线并整理得(1＋11sin 2α)t 2＋(10cos α)t ＋32＝0. 则|PM |·|PN |＝|t 1t 2|＝321＋11sin 2 α.所以当sin 2 α＝1时，即α＝π2，|PM |·|PN |的最小值为18，此时α＝π2.【反思感悟】 利用直线的参数方程中参数的几何意义，将最值问题转化为三角函数的值域，利用三角函数的有界性解决.3.已知曲线的参数方程⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，求曲线上一点P 到直线⎩⎨⎧x ＝2－3t ，y ＝2＋2t(t 为参数)的最短距离. 解 P (3cos θ，2sin θ)直线：2x ＋3y －10＝0 d ＝|6cos θ＋6sin θ－10|13＝|62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－10|1362sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－10∈[－62－10，62－10]∴|62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－10|13∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－6213，10＋6213 ∴d min ＝10－6213.【例4】 如图所示，过不在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任一点P 作两条直线l 1，l 2分别交椭圆于A ，B 和C ，D 四点，若l 1，l 2的倾斜角为α，β且满足α＋β＝π.求证：A ，B ，C ，D 四点共圆. 证明 设P (x 0，y 0)，直线l 1：⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α (t 为参数)，直线l 2：⎩⎨⎧x ＝x 0＋p cos β，y ＝y 0＋p sin β (p 为参数)，分别代入椭圆方程得(b 2cos 2 α＋a 2sin 2 α)t 2＋2(b 2x 0cos α＋a 2y 0sin α)t ＋b 2x 20＋a 2y 20－a 2b 2＝0； (b 2cos 2 β＋a 2sin 2 β)p 2＋2(b 2x 0cos β＋a 2y 0sin β)p ＋b 2x 20＋a 2y 20－a 2b 2＝0.∵α＋β＝π，∴cos 2 α＝cos 2 β，sin 2 α＝sin 2 β，∴t 1t 2＝p 1p 2，即|P A |·|PB |＝|PC |·|PD |.由平面几何知识知，A ，B ，C ，D 四点共圆. 【反思感悟】 本题利用平面几何知识，要证四点A ，B ，C ，D 共圆，只需证|P A |·|PB |＝|PC |·|PD |，又转化为距离问题，利用参数的几何意义计算即可.4.直线l 通过P 0(－4，0)，倾斜角α＝π6，l 与圆x 2＋y 2＝7相交于A ，B 两点. (1)求弦长|AB |；(2)过P 0作圆的切线，求切线长； (3)求|P 0A |和|P 0B |的长； (4)求交点A ，B 的坐标.解 ∵直线l 通过P 0(－4，0)，倾斜角α＝π6， 所以可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝t 2，代入圆方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 2＝7，整理得t 2－43t ＋9＝0.(1)设A ，B 对应的参数分别为t 1和t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝43，t 1t 2＝9， ∴|AB |＝|t 2－t 1|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝2 3. (2)设过P 0的切线为P 0T ，切点为T ， 则|P 0T |2＝|P 0A |·|P 0B |＝|t 1t 2|＝9， ∴切线长|P 0T |＝3.(3)解方程t 2－43t ＋9＝0，得t 1＝33，t 2＝3， ∴|P 0A |＝33，|P 0B |＝ 3.(4)将t 1＝33，t 2＝3代入直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝t 2，得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，332，B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32. 题型三 圆的参数方程及其应用如果取半径绕原点O 逆时针旋转的转过的角度θ为参数，圆x 2＋y 2＝r 2对应的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ.同理，圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2对应的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数).圆的参数方程对于需要将圆上点的两个坐标分别表示，代入计算的问题比较方便. 【例5】 圆的直径AB 上有两点C 、D ，且|AB |＝10，|AC |＝|BD |＝4，P 为圆上一点，求|PC |＋|PD |的最大值.分析 本题应考虑数形结合的方法，因此需要先建立平面直角坐标系.将P 点坐标用圆的参数方程的形式表示出来，θ为参数，那么|PC |＋|PD |就可以用只含有θ的式子来表示，再利用三角函数等相关知识计算出最大值.解 以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中点为原点建立平面直角坐标系.因为|AB |＝10，所以圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数).因为|AC |＝|BD |＝4，所以C ，D 两点的坐标为C (－1，0)，D (1，0).因为点P 在圆上，所以可设点P 的坐标为(5cos θ，5sin θ). 所以|PC |＋|PD |＝（5cos θ＋1）2＋（5sin θ）2 ＋（5cos θ－1）2＋（5sin θ）2 ＝26＋10cos θ＋26－10cos θ ＝（26＋10cos θ＋26－10cos θ）2 ＝52＋2262－100cos 2 θ.当cos θ＝0时，(|PC |＋|PD |)max ＝52＋52＝226. ∴|PC |＋|PD |的最大值为226.【反思感悟】 解题时将所求式子和图形联系起来，利用圆的参数方程表示P 点坐标，结合三角函数的值域进行计算.5.已知实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2＝9，求x 2＋y 2的最大值和最小值.解 由已知，可把点(x ，y )视为圆(x －1)2＋(y －1)2＝9上的点，设⎩⎨⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数).则x 2＋y 2＝(1＋3cos θ)2＋(1＋3sin θ)2 ＝11＋6(sin θ＋cos θ)＝11＋62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，∴11－62≤x 2＋y 2≤11＋6 2. ∴x 2＋y 2的最大值为11＋62， 最小值为11－6 2.1.求直线l 1：⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－5＋3t (t 为参数)和直线l 2：x －y －23＝0的交点P 的坐标，及点P 与Q (1，－5)的距离.解 将⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－5＋3t 代入x －y －23＝0，得t ＝23，∴P (1＋23，1)，而Q (1，－5)， 得|PQ |＝（23）2＋62＝4 3.2.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数).(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.解 (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.3.已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上且长轴长为4，短轴长为2，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝m ＋2t (t 为参数).当m 为何值时，直线l 被椭圆截得的弦长为6？解 椭圆方程为y 24＋x 2＝1，化直线参数方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝m ＋2t 为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝55t ′，y ＝m ＋255t ′ (t ′为参数). 代入椭圆方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋255t ′2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫55t ′2＝4 ⇔8t ′2＋45mt ′＋5m 2－20＝0.当Δ＝80m 2－160m 2＋640＝640－80m 2>0， 即－22<m <22， 方程有两不等实根t ′1、t ′2，则弦长为|t ′1－t ′2|＝（t ′1＋t ′2）2－4t ′1t ′2＝640－80m 28，依题意知640－80m 28＝6，解得m ＝±455.[P 30思考交流]1.经过两点Q (1，1)，P (4，3)的直线的参数方程.如果应用共线向量的充要条件来求，方程及参数的含义分别是什么？答 在直线PQ 上任取一点M (x ，y )，PM→＝(x －1，y －1)，QM →＝(x －4，y －3)，∵P 、Q 、M 三点共线，∴PM→∥QM →，∴PM →＝tQM →，⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝t （x －4），y －1＝t （y －3），化简为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－4t 1－t，y ＝1－3t 1－t，此即为过P 、Q 两点的直线的参数方程.参数t 的含义是有向线段PM→、QM →的比值.2.比较直线的参数方程与普通方程体会各自的优势.答 直线的普通方程直观地反映了变量x、y 之间的关系，方程是唯一的. 直线的参数方程中反映了变量x 、y 分别随参数的变化而变化的规律.方程是不唯一的，随参数的选取而有所不同.[P 33思考交流]给定参数方程⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α其中a 、b 是常数. 讨论下列问题：(1)如果r 是常数，α是参数，那么参数方程表示的曲线是什么？(2)如果α是常数，r 是参数，那么参数方程表示的曲线是什么？答 (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝r cos α，y －b ＝r sin α=====消掉参数α>(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 其中r 为常数，表示以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝r cos α，y －b ＝r sin α=====消掉参数t >x －a y －b ＝tan α.整理得x －tan α·y ＋b ·tan α－a ＝0，其中a 、b 、tan α为常数.方程为过点(a ，b )，斜率为1tan α的直线.【规律方法总结】1.利用直线的参数方程⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(α为参数)中参数的几何意义，在解决直线与曲线交点问题时，可以方便地求出相应的距离.2.直线的参数方程有不同的形式，可以允许参数t 没有明显的几何意义，在直线与圆锥曲线的问题中，利用参数方程有时可以简化计算.一、选择题1.若直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t(t 为参数)，则直线的斜率为( ) A.23 B.－23C.32D.－32 解析 k ＝y －2x －1＝－3t 2t ＝－32. 答案 D2.曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( ) A.在直线y ＝2x 上B.在直线y ＝－2x 上C.在直线y ＝x －1上D.在直线y ＝x ＋1上解析 消去参数θ，将参数方程化为普通方程.曲线可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，其对称中心为圆心(－1，2)，该点在直线y ＝－2x 上，故选B.答案 B3.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t(t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为( )A.(3，－3)B.(－3，3)C.(3，－3)D.(3，－3)解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16， 得t 2－8t ＋12＝0，t 1＋t 2＝8，t 1＋t 22＝4， 中点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12×4，y ＝－33＋32×4，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－ 3. 答案 D4.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( ) A.14B.214C. 2D.2 2解析 直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －4，圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0.圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －4＝0的距离为d ＝22＝ 2.又圆C 的半径r ＝2，因此直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝2 2. 故选D.答案 D5.直线⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α (t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)相切，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6B.π4或5π6C.π3或2π3D.－π6或－5π6 解析 直线方程为y ＝tan α·x ，圆为：(x －4)2＋y 2＝4，利用图形可知直线的倾斜角为π6或56π.答案 A二、填空题6.在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t(t 为参数)的普通方程为________. 解析 ∵x ＝2＋22t ，∴22t ＝x －2，代入y ＝1＋22t ，得y ＝x －1，即x －y －1＝0.答案 x －y －1＝07.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________. 解析 直线为x ＋y －1＝0，圆心到直线的距离d ＝12＝22，弦长d ＝2 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝14. 答案 148.经过点P (1，0)，斜率为34的直线和抛物线y 2＝x 交于A 、B 两点，若线段AB 中点为M ，则M 的坐标为________.解析直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝35t (t 是参数)，代入抛物线方程得9t 2－20t －25＝0.∴中点M 的相应参数为t ＝12×209＝109.∴点M 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫179，23. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫179，23 9.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t (t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析 化极坐标方程为直角坐标方程，化参数方程为普通方程，联立直线l 和曲线C 的方程，求出交点A ，B 的坐标，利用两点间的距离公式求解.由ρ(sin θ－3cos θ)＝0，得ρsin θ＝3ρcos θ，则y ＝3x .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t ，得y 2－x 2＝4. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y 2－x 2＝4，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝322或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22，y ＝－322，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，322，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－322， 故|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－3222＝2 5. 答案 2 5三、解答题10.直线过点A (1，3)，且与向量(2，－4)共线.(1)写出该直线的参数方程；(2)求点P (－2，－1)到此直线的距离.解 (1)设直线上任意一点坐标为(x ，y )，则(x ，y )＝(1，3)＋t (2，－4). ∴直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝3－4t . (2)将参数方程化为普通方程为2x ＋y －5＝0，则|－4－1－5|5＝25， ∴点P (－2，－1)到此直线的距离是2 5.11.经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32，倾斜角为α的直线l 与圆x 2＋y 2＝25相交于B ，C 两点. (1)求弦BC 的长；(2)当A 恰为BC 的中点时，求直线BC 的方程；(3)当|BC |＝8时，求直线BC 的方程；(4)当α变化时，求动弦BC 的中点M 的轨迹方程.解 取AP ＝t 为参数(P 为l 上的动点)，则l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos α，y ＝－32＋t sin α，代入x 2＋y 2＝25，整理，得t 2－3(2cos α＋sin α)t －554＝0.∵Δ＝9(2cos α＋sin α)2＋55>0恒成立.∴方程必有相异两实根t 1，t 2，且t 1＋t 2＝3(2cos α＋sin α)，t 1·t 2＝－554.(1)|BC |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2 ＝9（2cos α＋sin α）2＋55.(2)∵A 为BC 中点，∴t 1＋t 2＝0，即2cos α＋sin α＝0，∴tan α＝－2.故直线BC 的方程为y ＋32＝－2(x ＋3)，即4x ＋2y ＋15＝0.(3)∵|BC |＝9（2cos α＋sin α）2＋55＝8， ∴(2cos α＋sin α)2＝1，∴cos α＝0或tan α＝－34.∴直线BC 的方程是x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0.(4)∵BC 的中点M 对应的参数是t ＝t 1＋t 22＝32(2cos α＋sin α)，∴点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32cos α（2cos α＋sin α），y ＝－32＋32sin α（2cos α＋sin α）(0≤α<π)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2α＋12sin 2α，y ＋34＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α－12cos 2α.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋342＝4516.即点M 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－34为圆心，以354为半径的圆.。

直线的标准参数方程直线是我们在数学中经常接触到的一种基本几何图形，它具有很多重要的性质和特点。

在平面几何中，直线可以通过不同的方式来描述，其中一种常见的描述方式就是参数方程。

在本文中，我们将讨论直线的标准参数方程及其相关知识。

首先，我们来了解一下什么是参数方程。

参数方程是一种用参数表示的函数方程，它可以用来描述一条曲线或者曲面。

在平面几何中，我们可以利用参数方程来描述直线的位置和方向。

对于直线来说，我们通常会用到两种参数方程，点向式参数方程和标准参数方程。

在这里，我们重点讨论标准参数方程。

假设直线上有一点P(x, y)，并且直线的方向向量为\vec{v}=(a, b)，其中a和b 不全为0。

那么，直线的标准参数方程可以表示为：\begin{cases}。

x=x_0+at \\。

y=y_0+bt。

\end{cases}。

其中(x_0, y_0)为直线上的一点，t为参数。

通过这个参数方程，我们可以得到直线上任意一点的坐标。

当参数t取不同的值时，我们可以得到直线上不同位置的点的坐标。

这就是参数方程的作用所在，它可以帮助我们描述直线上所有的点。

接下来，我们来看一个具体的例子。

假设直线L上有一点P(1, 2)，并且直线的方向向量为\vec{v}=(3, 4)。

那么，直线L的标准参数方程可以表示为：\begin{cases}。

x=1+3t \\。

y=2+4t。

\end{cases}。

通过这个参数方程，我们可以得到直线L上任意一点的坐标。

当参数t取不同的值时，我们可以得到直线L上不同位置的点的坐标。

这样，我们就可以用参数方程来描述直线L的位置和方向了。

除了上面讨论的直线的标准参数方程，我们还可以用其他方式来描述直线，比如点斜式方程、两点式方程等。

每种描述方式都有其独特的特点和适用范围。

在实际问题中，我们可以根据具体的情况选择合适的描述方式来描述直线。

总之，直线的标准参数方程是描述直线位置和方向的重要工具。

通过参数方程，我们可以方便地得到直线上任意一点的坐标，从而更好地理解和应用直线的相关知识。

直线的参数方程及其应用举例一条直线的参数方程由以下形式给出：x = x₀ + aty = y₀ + bt其中，(x₀,y₀)是直线上的一点，a和b是常数，t是参数。

在这个参数方程中，通过改变参数t的值，我们可以得到直线上的每一个点的坐标。

例如，考虑一个小车在直线上做匀速运动的例子。

假设小车的初始位置为(x₀,y₀)，它向右移动，速度为v。

那么小车的位置可以用参数方程来描述：x = x₀ + vty=y₀对于给定的t值，我们可以根据这个参数方程计算小车在其中一时刻的位置。

通过改变参数t的值，我们可以得到小车在线上的每一个点的坐标。

这个参数方程可以帮助我们分析小车的运动过程，比如计算其中一点的速度、加速度等。

x = r*cos(θ)y = r*sin(θ)其中，r是点到原点的距离。

这个参数方程描述了点在以原点为中心的圆上运动的轨迹。

通过改变参数θ的值，我们可以得到圆上的每一个点的坐标。

这个参数方程可以帮助我们分析旋转体的运动规律，比如计算旋转角速度、加速度等。

此外，直线的参数方程还可以用于表示平面内的曲线。

例如，椭圆的参数方程可以表示为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中，a和b分别是椭圆主轴和副轴的长度，t是参数。

通过改变参数t的值，我们可以得到椭圆上的每一个点的坐标。

这个参数方程描述了椭圆的形状和位置。

总结起来，直线的参数方程在几何学和物理学中有广泛的应用。

它可以用于描述物体的运动轨迹、旋转体的轨迹以及平面内的曲线等。

直线的参数方程可以帮助我们分析和理解各种物理现象和几何问题，从而推导出更多的结论和结果。

直线的参数方程及其应用x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中(x0,y0,z0)是直线上的一点，a、b、c是直线的方向向量的分量，t是参数。

这样，通过调整参数t的值，就可以得到直线上的所有点。

一、几何中直线的参数方程的应用：1.直线的方向向量：2.直线的长度：直线的长度可以通过参数方程中的两点之间的距离公式来计算。

假设起始点为(x0,y0,z0)，终止点为(x1,y1,z1)，直线的长度为L，则公式为L=√((x1-x0)^2+(y1-y0)^2+(z1-z0)^2)3.直线与平面的交点：如果有一个平面的参数方程a1x + b1y + c1z + d1 = 0，直线的参数方程为x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct。

将直线的参数方程代入平面方程，解方程组可以求得直线与平面的交点坐标。

二、物理中直线的参数方程的应用：1.运动学中的直线运动：物体在直线上进行匀速直线运动时，可以通过参数方程来描述物体的位置。

其中(t)表示时间，直线的方向向量(a,b,c)表示物体的运动方向和速度。

2.振动运动的直线模型：在物理的振动运动中，例如简谐振动，可以使用直线的参数方程来表示振动的轨迹。

参数t可以表示时间，(x0,y0,z0)表示振动的平衡位置，(a,b,c)表示振动的幅度和方向。

三、计算机图形学中直线的参数方程的应用：1.直线的绘制：在计算机图形学中，直线常常使用参数方程来绘制。

通过给定起点和终点的坐标，使用参数方程可以描绘出直线的轨迹。

2.直线的旋转：在计算机图形学的3D建模中，直线可以经过旋转来创建复杂的几何体。

旋转直线可以使用参数方程中的旋转矩阵来实现。

3.直线的相交：在计算机图形学中，判断两条直线是否相交是一个常见的需求。

可以通过比较两条直线的参数方程来判断它们是否相交。

4.直线的裁剪：在计算机图形学中，通过直线的参数方程可以实现直线的裁剪。

直线的参数方程在解题中的应用作者：吴燕来源：《考试周刊》2014年第11期在新课程标准下，苏教版《数学选修4-4》中安排了直线的参数方程，它是对《数学必修2》第二章平面解析几何初步中直线方程知识的进一步延伸，同时也为研究直线与圆、直线与圆锥曲线的问题提供了另一条途径.数学实践和学生体会表明：用直线的参数方程解决一些问题，有时更方便和简捷，本文通过具体的例子加以说明.一、计算问题利用直线参数方程x=x■+tcosαy=y■+tsinα（t为参数）中参数t的几何意义解决与距离、弦长、线段长、点的坐标有关的问题.例1：已知直线l过点P（2，0），斜率为■，直线l和抛物线y■=2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求：（1）|PM|；（2）M点的坐标.解：（1）设直线的倾斜角为α，依题意可得tanα=■，∴sinα=■，cosα=■，∴直线l的参数方程为x=2+■ty=■t（t为参数）（*）.∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y■=2x中，整理得8t■-15-50=0且Δ>0.设方程的两个根为t■，t■，∴t■+t■=■，t■t■=-■.由于M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得|PM|=|■| =■.（2）∵中点M所对应的参数为t■=■=■，将此值代入直线的参数方程（*），点M的坐标为x=2+■×■=■y=■×■=■，M（■，■）即为所求.一般地，直线x=x■+tcosαy=y■+tsinα（t为参数）与曲线y=f（x）交于A，B两点，对应的参数分别为t■、t■，则线段|AB|的中点M对应的参数t=■.由t的几何意义得|PA|+|PB|=|t■|+|t■|=t■+t■=3■.一般地，直线与二次曲线相交，用直线参数方程解题时，则有弦长为|t■-t■|；直线上的点P到两交点的距离和为|t■|+|t■|，距离涉及t的正负时要加以区分.因为，直线参数方程的标准方程中含有三角函数cosα，sinα（α是直线的倾斜角），所以，在解决直线与圆锥曲线有关问题时，可以将其转化为三角函数问题解决，体现了转化、化归的数学思想，达到数学知识的综合运用，在解高考数学试题时也有用武之地.下面我们以高考题为例加以说明.二、范围问题求参数的取值范围，是高考的热点和难点问题，由于求参数范围的方法众多，如何选择往往成为考生思考的难点.如果选择直线的参数方程，利用三角函数的值域求解，则比较简单.例2（2008年高考福建卷理科第21题）：如图，椭圆■+■=1（a>b>0）的一个焦点是F （1，0），O为坐标原点.（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，恒有|OA|■+|OB|■解：（Ⅰ）略，椭圆方程为■+■=1.（Ⅱ）设直线AB的参数方程为x=1+tcosθy=tsinθ（t为参数），代入■+■=1得（b■cos■θ+a■sin■θ）t■+2b■cosθt+b■-a■b■=0.设上述方程的两根为t■，t■，由韦达定理知：t■+t■=-■t■t■=■①根据t的几何意义，不妨设|FA|=t■，则|FB|=-t■，|AB|=t■-t■，又设A（1+t■cosθ，t■sinθ），B（1+t■cosθ，t■sinθ），∵|OA|■+|OB|■∴（1+t■cosθ）■+（t■sinθ）■+（1+t■cosθ）■+（t■sinθ）■化简得：1+（t■+t■）cosθ+t■t■1-■+■∴■显然有a■sin■θ-b■cos■θ+b■-a■b■即（a■+b■）sin■θ-a■b■∴■>sin■θ恒成立，∵sinθ∈[0，1]，∴■>1，②∵椭圆的一个焦点F（1，0），∴C=1，b■=a■-c■=a■-1③由②，③得a■因为a>0，b>0，所以a0，解得a>■或a■.本例在解题中，充分发挥了直线参数方程在解题中的优势（参数的几何意义、三角函数变换），由恒成立问题、三角函数的值域，巧妙地利用椭圆中a、b、c的关系实施转化，得到了关于a的二次不等式使问题获解，解题目标明确，思路清晰，方法可行.三、证明问题例3（2013年全国理科高考卷第21题）：已知双曲线C：■-■=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F■，F■，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为■.（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）设过F■的直线l与C的左、右两支分别相交于A，B两点，且|AF■|=|BF■|，证明：|AF■|，|AB|，|BF■|成等比数列.解：（Ⅰ）易得a=1，b=2■，c=3，双曲线方程为x■-■=1.（Ⅱ）如图，∵F■（3，0）∴设过F■的直线为x=3+tcosκy=tsinα（t为参数）其中|AF■|=-t■，|BF■|=-t■，|AB|=|AF■|-|BF■|=|AF■|+2a-|BF■|+2a=4a=4，即-t■+t■=4①将直线参数方程代入双曲线方程，得8（3+tcosθ）■-t■sin■θ=8，化简得（9cos■θ-1）t■+48cosθ·t+64=0.由韦达定理知，t■+t■=■，t■t■=■.由①式知|AB|=|t■-t■|=4，∴|AB|■=16②另一方面，（t■-t■）■=（t■+t■）■-4t■t■=（■）■-4×■=16，解得cos■θ=■.∴|AF■|·|BF■|=t■t■=■=16③由②③知，|AF■|·|BF■|=|AB|■，即|AF■|，|AB|，|BF■|成等比数列.该题的常规解题思路有两种：（1）涉及直线与圆锥曲线综合问题时，就是联立方程组用韦达定理求解，该思路清晰，但因其运算量较大，学生常常望而生畏.特别用该方法求|AF■|、|AF■|、|BF■|、|BF■|时还需用到两点间距离公式，无疑运算量又会增大.（2）涉及在求|AF■|、|AF■|、|BF■|、|BF■|时可以用双曲线的焦半径公式，但这又超出考试大纲的要求.而利用直线参数方程求解，简洁明快，是一种较好的选择.。