天津市武清区2020届高三数学第一次模拟考试试题 (无答案,2020武清一模)

天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一次调研测试参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合{}12A x x =-<<，}{101B =-，，，则A B =▲． 【答案】}{01，2． 若复数2i z a =+(i 为虚数单位，a ∈R )满足||3z =，则a 的值为▲．【答案】3． 从1234，，，这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是▲．【答案】564．根据下图所示的伪代码，可知输出的结果S 为▲．【答案】145． 为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了10000户家庭的月消费金额（单位：元），所有数据均在区间[04500]，上，其频率分布直方图如下图所示，则被调查的10000户家庭中，有▲户月消费额在1000元以下． 【答案】7506n S ．若2S 7程为y =，则该双曲线的方程为▲． 【答案】2221x y -=消费/元（第5题）8．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱1B B 的中点，则三棱锥1B ADE -的体积为 ▲．【答案】1129． 若函数()0()(2)0x x b x f x ax x x -⎧=⎨+⎩，≥，，＜( )a b ∈R ，为奇函数，则()f a b +的值为▲．【答案】1-10．已知1sin()63x π+=，则25sin()sin ()63x x ππ-+-的值为 ▲ ．【答案】5911．在平面直角坐标系xOy 中，点(10)(40)A B ，，，．若直线0x y m -+=上存在点P 使得12PA PB =，则实数m 的取值范围是 ▲ ．【答案】[- 12．已知边长为6的正三角形ABC ，12BD BC =，13AE AC =，AD 与BE 交于点P ，则PB PD ⋅的 值为 ▲ ．【答案】27413．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线2(0)y x x =>和3(0)y x x =>均相切，切点分别为 11()A x y ，和22()B x y ，，则12x x 的值为 ▲ ． 【答案】4314．已知函数2()23()f x ax +b a b =∈R ，．若对于任意[11]x ∈-，，都有()1f x ≤成立，则ab 的最大值是 ▲ ． 【答案】124二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，()()a b c a b c ab +-++＝．（1）求角C 的大小；（2）若2cos 2c=a B b=，，求△ABC 的面积．【解】（1）在△ABC 中，由(a +b －c )(a +b +c )＝ab ，得222122a b c ab +-=-，即cos C ＝12-． (3)分因为0＜C ＜π，所以C ＝23π．……………………………………………………………6分 （2）（法一）因为c ＝2a cos B ，由正弦定理，得sin C ＝2sin A cos B ，…………………………………………………………………………8分 因为A +B +C ＝π，所以sin C ＝sin(A +B )，所以sin(A +B )＝2sin A cos B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0，………10分 又－3π＜A －B ＜3π， 所以A －B ＝0，即A ＝B ，所以a ＝b ＝2．………………………………………………12分 所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin 23π＝ 3．………………………14分（法二）由2cos c a B =及余弦定理，得22222a c b c a ac+-=⨯，…………………………8分化简得a b =， (12)分所以，△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin 23π＝3．………………………14分16．(本小题满分14分)如图，在直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，点E 是A 1C 1的中点． 求证：（1）BE ⊥AC ； （2）BE ∥平面ACD 1．【证明】（1）在直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中， 连结BD 交AC 于点F ，连结B 1D 1交A 1C 1于点E ．因为四边形ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ． 因为ABCD –A 1B 1C 1D 1为直棱柱，所以BB 1⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，所以，BB 1⊥AC ．………………………………………………………………………3分（第16题）C 1D 1 ABC DA 1B 1EF又BD∩BB1＝B，BD⊂平面B1BDD1，BB1⊂平面B1BDD1，所以AC⊥平面B1BDD1．………………………………………………………………5分而BE⊂平面B1BDD1，所以BE⊥AC．………………………………………………7分（通过证明等腰三角形A1BC1，得BE⊥A1C1，再由AC∥A1C1得BE⊥AC，可得7分）（2）连结D1F，因为四棱柱ABCD–A1B1C1D1为直棱柱，所以四边形B1BDD1为矩形．又E，F分别是B1D1，BD的中点，所以BF＝D1E，且BF∥D1E．…………………………………………………………9分所以四边形BED1F是平行四边形．所以BE∥D1F．…………………………………………………………………………11分又D1F⊂平面ACD1，BE⊄平面ACD1，所以BE∥平面ACD1．………………………………………………………………14分17．(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>过点A(2，1)，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线:(0)l y kx m k=+≠与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且AB AC⊥，求直线l的方程．【解】（1）由条件知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>离心率为cea==所以222214b ac a=-=．又点A(2，1)在椭圆22221(0)x ya ba b+=>>上，所以22411a b+=，……………………………………………………………………………2分解得2282ab⎧=⎪⎨=⎪⎩，．所以，所求椭圆的方程为22182x y +=． ………………………………………………4分 （2）将(0)y kx m k =+≠代入椭圆方程，得224()80x kx m ++-=， 整理，得222(14)8480k x mkx m +++-=．① 由线段BC 被y 轴平分，得28014B C mkx x k +=-=+，因为0k ≠，所以0m =． …………………………………………………………………8分 因为当0m =时，B C ，关于原点对称，设()()B x kx C x kx --，，，， 由方程①，得22814x k =+，又因为AB AC ⊥，A (2，1)，所以22(2)(2)(1)(1)5(1)AB AC x x kx kx k x ⋅=---+---=-+228(1)5014k k +=-=+， 所以12k =±．………………………………………………………………………………12分由于12k =时，直线12y x =过点A (2，1)，故12k =不符合题设． 所以，此时直线l 的方程为12y x =-． …………………………………………………14分18．(本小题满分16分)如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O 1为圆心，半径为 1 km 的半圆面．公路l 经过点O ，且与直径OA 垂直．现计划修建一条与半圆相切的公路PQ （点P 在直径OA 的延长线上，点Q 在公路l 上），T 为切点． （1）按下列要求建立函数关系：①设∠OPQ =α(rad)，将△OPQ 的面积S 表示为α的函数； ②设OQ = t (km)，将△OPQ 的面积S 表示为t 的函数．（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求△OPQ 的面积S 的最小值． 【解】（1）①由题设知，在Rt △O 1PT 中， ∠OPT =α，O 1T =1， 所以O 1P 1sin =α． 又OO 1=1，所以OP 11sin =+α． 在Rt △OPQ 中，（第18题）l 111sin tan (1)tan sin cos OQ OP ααααα+==+=．…3分 所以，Rt △OPQ 的面积为2(1sin )π(0)sin 22ααα+=<<． …………………………………………………………5分（取值范围不写或不正确扣1分）②由题设知，OQ =QT = t ，O 1T =1，且Rt △POQ ∽Rt △PTO 1， 所以1OP TP OQ TO =，即OP t = 化简，得222(1)1t OP=t t >-．………………………………………………………………8分 所以，Rt △OPQ 的面积为232212(1)211t t =t t t t ⋅=>--．…………………………………………………………10分 （取值范围不写或不正确扣1分）（2）选用（1）中①的函数关系2(1sin )π(0)sin 22S ααα+=<<． 222(1sin )(2sin 1)(0)(sin 2)2αααα+-π=<<．………………………………………………13分由222(1sin )(2sin 1)0(0)(sin 2)2S =αααα+-π'=<<，得6=απ．列表所以，当6=απ时，△OPQ 的面积S的最小值为2π(1sin )6πsin 26+⨯（）km 2）．………16分（2）选用（1）中②的函数关系32(1)1t S t t =>-． 1)t =>……………………………………………………………13分由0(1)S t '==>，得 列表所以，当t=OPQ的面积S的最小值为km2）．…………16分19．(本小题满分16分)已知函数()()f x a x a=+∈R．（1）求()f x的单调区间；（2）试求()f x的零点个数，并证明你的结论．【解】（1）由函数f(x)＝a ln x(a∈R)，得f ′(x)2)x+．…………………………2分因此，函数f(x)的单调增区间为(e-2，+∞)，单调减区间为(0，e-2)．……………………5分（2）由（1）可知，f min(x)＝f(e-2)＝a－2e-1．………………………………………………6分（i）当a＞2e-1时，由f(x)≥f(e-2)＝a－2e-1＞0，得函数f(x)的零点个数为0．…………8分（ii）当a＝2e-1时，因f(x)在(e-2，+∞)上是单调增，在(0，e-2)上单调减，故x∈(0，e-2)∪(e-2，+∞)时，f(x)＞f(e-2)＝0．此时，函数f(x)的零点个数为1．……………………………………………………10分（iii）当a＜2e-1时，f min(x)＝f(e-2)＝a－2e-1＜0．①a≤0时，因为当x∈(0，e-2]时，f(x)＝a ln x＜a≤0，所以，函数f(x)在区间(0，e-2]上无零点；另一方面，因为f(x)在[e-2，+∞)单调递增，且f(e-2)＝a－2e-1＜0，又e-2a∈(e-2，+∞)，且f(e-2a)＝a(1－2e-a)>0，此时，函数f(x)在(e-2，+∞)上有且只有一个零点．所以，当a≤0时，函数f(x)零点个数为1．………………………………………13分②0＜a＜2e-1时，因为f (x )在[e -2，+∞)上单调递增，且f (1)＝a ＞0，f (e -2)＝a －2e -1＜0， 所以，函数f (x )在区间(e -2，+∞)有且只有1个零点；另一方面，因为f (x )在(0，e -2]上是单调递减，且f (e -2)＝a －2e -1＜0 又4e a -∈(0，e -2)，且f ( )4e a -＝a －24e aa ＞a －242()a a＝0，（当0x >时，2e x x >成立） 此时，函数f (x )在(0，e -2)上有且只有1个零点． 所以，当0＜a ＜2e -1时，函数f (x )零点个数为2．综上所述，当a ＞2e -1时，f (x )的零点个数为0；当a ＝2e -1，或a ≤0时，f (x )的零点个数为1； 当0＜a ＜2e -1时，f (x )的零点个数为2．………………………………………16分 20．(本小题满分16分)若数列{a n }中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n }为“等比源数列”． （1）已知数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n －1．①求{a n }的通项公式；②试判断{a n }是否为“等比源数列”，并证明你的结论． （2）已知数列{a n }为等差数列，且a 1≠0，a n ∈Z ()n *∈N ． 求证：{a n }为“等比源数列”．【解】（1）①由a n +1＝2a n －1，得a n +1－1＝2(a n －1)，且a 1－1＝1，所以数列{a n －1}是首项为1，公比为2的等比数列．……………………………………2分 所以a n －1=2n-1．所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n-1+1．………………………………………………4分 ②数列{a n }不是“等比源数列”．用反证法证明如下：假设数列{a n }是“等比源数列”，则存在三项a m ，a n ，a k (m ＜n ＜k )按一定次序排列构成等比数列．因为a n ＝2n -1+1，所以a m ＜a n ＜a k ．……………………………………………………7分 所以a n 2＝a m ·a k ，得 (2n -1+1)2＝(2m -1+1)(2k -1+1)，即22n -m -1+2n -m +1－2k -1－2k -m ＝1． 又m ＜n ＜k ，m ，n ，k ∈N *，所以2n －m －1≥1，n －m +1≥1，k －1≥1，k －m ≥1．所以22n -m -1+2n -m +1－2k -1－2k -m 为偶数，与22n -m -1+2n -m +1－2k -1－2k -m ＝1矛盾． 所以，数列{a n }中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列．综上可得，数列{a n }不是“等比源数列”．…………………………………………10分（2）不妨设等差数列{a n }的公差d ≥0．当d ＝0时，等差数列{a n }为非零常数数列，数列{a n }为“等比源数列”． 当d ＞0时，因为a n ∈Z ，则d ≥1，且d ∈Z ，所以数列{a n }中必有一项a m ＞0．为了使得{a n }为“等比源数列”，只需要{a n }中存在第n 项，第k 项(m ＜n ＜k )，使得a n 2＝a m a k 成立，即[a m +(n －m )d ]2＝a m [a m +(k －m )d ]，即(n －m )［2a m +(n －m )d ］＝a m (k －m )成立．…13分 当n ＝a m +m ，k ＝2a m +a m d +m 时，上式成立．所以{a n }中存在a m ，a n ，a k 成等比数列． 所以，数列{a n }为“等比源数列”．……………………………………………………16分数学Ⅱ（附加题）参考答案及评分建议21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，圆O 的直径10AB=，C 为圆上一点，6BC=．过C 作圆O 的切线l ，AD ⊥l 于点D ，且交圆O 于点E ，求DE 的长．【解】因为圆O 的直径为AB ，C 为圆上一点，所以908ACB AC ∠=︒===，．因为直线l 为圆O 的切线， 所以DCA CBA ∠=∠． 所以Rt △ABC ∽Rt △ACD ，所以AB AC BCAC AD DC==．……………………………………5分 又因为10AB=，6BC=所以2325AC AD AB ==，245AC BC DC AB ⋅==． 由2DC DE DA =⋅，得2224()1853255DC DE DA ===．………………………………………10分 B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵1022⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求逆矩阵1-M 的特征值． ABCDEOl（第21_A 题）【解】设1a b c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M，则110102201a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦MM ， 所以2222ab ac bd ⎡⎤=⎢⎥++⎣⎦1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以1022022 1.a b a c b d =⎧⎪=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，，，解得1011.2a b c d =⎧⎪=⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩，，，所以110112M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦．……………………………………5分 1-M 的特征多项式11()(1)()01212f λλλλλ-==--=-，所以1λ=或12．所以，矩阵M 的逆矩阵1-M 的特征值为1或12．……………………………………………10分 C ．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知点(2)4A π，，圆C的方程为ρθ=(圆心为点C )，求直线AC 的极坐标方程．【解法一】以极点为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ．圆C的平面直角坐标方程为22x y +=，即22(8x y +-=，圆心(0C ． A的直角坐标为．……………………………………………………………………4分直线AC的斜率1AC k ==-．所以，直线AC的直角坐标方程为y x =-+8分极坐标方程为(cos sin )ρθθ+=sin()24ρθπ+=．…………………………10分【解法二】在直线AC 上任取一点()M ρθ，，不妨设点M 在线段AC 上．由于圆心为)2C π，，OAC OAM OCM S S S ∆∆∆=+，……………………………………………4分所以1112sin 2sin()sin()242422ρθρθπππ⨯=⨯⨯-+⨯⨯-，即(cos sin )ρθθ+=化简，得直线AC 的极坐标方程为sin()24ρθπ+=． ………………………………………10分D ．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知00a b ≥，≥，求证：6644()a b ab a b ++≥． 【证明】6644()a b ab a b +-+55()()a a b a b b =---………………………………………………………………………2分 55()()a b a b =--…………………………………………………………………………4分 2432234()()a b a a b a b ab b =-++++………………………………………………………8分又00a b ≥，≥，所以6644()0a b ab a b +-+≥，即6644()a b ab a b ++≥．……………10分 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，1AB =，2AD AS ==，P 是棱SD 上一点，且12SP PD =．（1）求直线AB 与CP 所成角的余弦值； （2）求二面角A PC D --的余弦值．【解】（1）如图，分别以AB AD AS ，，为x y z ，，轴建立空间直角坐标系． 则(000)(100)(120)(020)(002).A B C D S ，，，，，，，，，，，，，， 设000()P x y z ，，，由13SP SD =，得0001(2)(022)3x y z -=-，，，，， 00024033x y z ∴===，，，点P 坐标为24(0)33，，．44(1)33CP =--，，，(100)AB =，，，………………2分设直线AB 与CP 所成的角为α，则cos α=4分 （2）设平面APC 的一个法向量为111()m x y z =，，， 所以111120240.33m AC x y =m AP y z ⎧⋅=+⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令12y =-，则1141x z ==，，(421)m =-，，．……………………………………………6分 设平面SCD 的一个法向量为222()n x y z =，，，由于(100)(022)DC DS ==-，，，，，， 所以2220220n DC x n DS y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令21y =，则21z =，(011)n =，，．……………………8分 设二面角A PC D --的大小为θ，由于cos m n <=，， 所以，由向量m n ，的方向，得42cos cos m n =θ=-<>，…………………………10分 23．已知函数0()(sin cos )f x x x x =+，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．（1）求12()()f x f x ，的表达式；（2）写出()n f x 的表达式，并用数学归纳法证明． 【解】（1）因为()n f x 为1()n f x -的导数， 所以10() ()f x f x '=(sin cos )(cos sin )x x x x x =++-(1)cos (1)(sin )x x x x =++--，…………………………………………………2分同理，2()(2)sin (2)cos f x x x x x =-+--．………………………………………………4分 （2）由（1）得32() ()(3)cos (3)sin f x f x =x x x x '=-++-，……………………………………5分把123()()()f x f x f x ，，分别改写为 1()(1)sin()(1)cos()22f x x x x x ππ=+++-+,222()(2)sin()(2)cos()22f x x x x x ππ=+++-+, 333()(3)sin()(3)cos()22f x x x x x ππ=+++-+, 猜测()()sin()()2n n f x x n x x n π=+++-cos()2n x π+（ ）*．……………………………7分下面用数学归纳法证明上述等式．（i ）当1n =时，由（1）知，等式（ ）*成立； （ii ）假设当n k =时，等式（ ）*成立，即()()k f x x k =+sin()()cos()22k k x x k x ππ++-+． 则当1n k =+时，即当1n k =+时，等式（ ）*成立． 综上所述，当n *∈N 时，()()sin()()2n n f x x n x x n π=+++-cos()2n x π+成立．……10分。

天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学一模试卷理科创作人：百里公地创作日期：202X.04.01审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|﹣1＜1﹣x＜1}，B={x|x2＜1}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜2}2．设复数z=a+4i（a∈R），且（2﹣i）z为纯虚数，则a=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣23．如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A． B．C． D．4．已知函数f（x）满足，则函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为（）A．0 B．9 C．18 D．275．已知F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，点F到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为（）A．2B． C． D．26．的展开式中，x3的系数为（）A．120 B．160 C．100 D．807．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．48+8πB．96+8πC．96+16πD．48+16π8．已知曲线，则下列结论正确的是（）A．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称B．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称C．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称D．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称9．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A．n是偶数，n≥100 B．n是奇数，n≥100C．n是偶数，n＞100 D．n是奇数，n＞10010．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=，且2bsinB+2csinC=bc+a．则△ABC的面积的最大值为（）A．B．C．D．11．已知抛物线C：y2=x，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B分别为切点，则的最小值为（）A．B．C．D．12．设函数，若互不相等的实数a，b，c，d满足f （a）=f（b）=f（c）=f（d），则2a+2b+2c+2d的取值范围是（）A．B．（98，146）C．D．（98，266）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知单位向量，的夹角为30°，则|﹣|=．14．设x，y 满足约束条件，则z=x+y的最大值为．15．已知sin10°+mcos10°=2cos140°，则m=．16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12.00分）已知公差不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12.00分）“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：10000以上步数/步0～30003001～60006001～80008001～10000127155男生人数/人03791女性人数/人规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．（1）以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，记X表示随机抽取3人中被系统评为“积极性”的人数，求P（X≤2）和X 的数学期望．（2）为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）．其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人，“懈怠性”的有2人，从中任意选取3人，记选到“积极性”的人数为x；其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有2人，从中任意选取2人，记选到“积极性”的人数为y；求x ＞y的概率．19．（12.00分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，得到如下的立体图形．（1）证明：平面AEFD⊥平面EBCF；（2）若BD⊥EC，求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．20．（12.00分）已知椭圆的离心率为，且C过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且满足（其中O为坐标原点）．证明：直线l的斜率为定值．21．（12.00分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（lnx﹣x+1）．（1）讨论f（x）的导函数f'（x）零点的个数；（2）若函数f（x）的最小值为﹣e，求a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣2）2+（y﹣4）2=20，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2：θ=．（1）求C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标系方程；（2）若直线C3的极坐标方程为θ=，设C2与C1的交点为O、M，C3与C1的交点为O、N，求△OMN的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=3|x﹣a|+|3x+1|，g（x）=|4x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式g（x）＜6的解集；（2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1）和g（x2）互为相反数，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|﹣1＜1﹣x＜1}，B={x|x2＜1}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜2}【分析】解不等式得出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|﹣1＜1﹣x＜1}={x|0＜x＜2}，B={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，则A∩B={x|0＜x＜1}．故选：B．【点评】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．2．设复数z=a+4i（a∈R），且（2﹣i）z为纯虚数，则a=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2【分析】把z=a+4i（a∈R）代入（2﹣i）z，利用复数代数形式的乘法运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵z=a+4i（a∈R），且（2﹣i）z=（2﹣i）（a+4i）=（2a+4）+（8﹣a）i为纯虚数，∴，解得a=﹣2．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A． B．C． D．【分析】根据几何概型的定义分别求出满足条件的面积，作商即可．【解答】解：由题意此点取自黑色部分的概率是：P==，故选：A．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．4．已知函数f（x）满足，则函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为（）A．0 B．9 C．18 D．27【分析】根据题意，分析可得函数的解析式，求出其导数f′（x）=24x2﹣6，计算可得f′（1）的值，结合导数的几何意义分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足，则f（x）=8x3﹣6x，其导数f′（x）=24x2﹣6，则有f′（1）=24﹣6=18，即函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为18；故选：C．【点评】本题考查利用导数求函数切线的方程，注意先求出函数的解析式．5．已知F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，点F到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为（）A．2B． C． D．2【分析】根据题意，由双曲线的几何性质，分析可得b=2a，进而可得c==a，由双曲线的离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为2a，则b=2a，则c==a，则双曲线C的离心率e==，故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点到渐近线的距离为b．6．的展开式中，x3的系数为（）A．120 B．160 C．100 D．80【分析】利用多项式乘以多项式展开，然后分别求出两项中含有x3的项得答案．【解答】解：=，∵x（1+2x）5的展开式中含x3的项为，的展开式中含x3的项为．∴的展开式中，x3的系数为40+80=120．故选：A．【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．7．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．48+8πB．96+8πC．96+16πD．48+16π【分析】由三视图可得，该几何体是长方体截去两个半圆柱，即可求解表面积．【解答】解：由题意，该几何体是长方体截去两个半圆柱，∴表面积为：4×6×2+2（4×6﹣4π）+2×2π×4=96+8π，故选：B．【点评】本题考查了圆柱和长方体的三视图，结构特征，面积计算，属于基础题．8．已知曲线，则下列结论正确的是（）A．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称B．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称C．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称D．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称【分析】直接利用三角函数的图象平移逐一核对四个选项得答案．【解答】解：把C向左平移个单位长度，可得函数解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）=cos2x，得到的曲线关于y轴对称，故A错误；把C向右平移个单位长度，可得函数解析式为y=sin[2（x﹣）﹣]=sin（2x﹣）=﹣cos2x，得到的曲线关于y轴对称，故B正确；把C向左平移个单位长度，可得函数解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），取x=0，得y=，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y轴对称，故C错误；把C向右平移个单位长度，可得函数解析式为y=sin[2（x﹣）﹣]=sin （2x﹣），取x=0，得y=﹣，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y轴对称，故D错误．∴正确的结论是B．故选：B．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象变换，考查y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，是基础题．9．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A．n是偶数，n≥100 B．n是奇数，n≥100C．n是偶数，n＞100 D．n是奇数，n＞100【分析】模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，判断即可．【解答】解：n=1，s=0，n=2，s=2，n=3，s=4，…，n=99，s=，n=100，s=，n=101＞100，结束循环，故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=，且2bsinB+2csinC=bc+a．则△ABC的面积的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由正弦定理和余弦定理即可求出a=，再由余弦定理可得：b2+c2=3+bc，利用基本不等式可求bc≤3，根据三角形面积公式即可得解．【解答】解：根据正弦定理可得===，∴sinB=，sinC=，∵2bsinB+2csinC=bc+a，∴+=bc+a，∴b2+c2=abc+a2，∴b2+c2﹣a2=abc，∴==cosA=∴a=，∴3=b2+c2﹣bc，可得：b2+c2=3+bc，∵b2+c2≥2bc（当且仅当b=c时，等号成立），∴2bc≤3+bc，解得bc≤3，=bcsinA=bc≤∴S△ABC故选：C．【点评】本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．11．已知抛物线C：y2=x，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B分别为切点，则的最小值为（）A．B．C．D．【分析】设切线MA的方程为x=ty+m，代入抛物线方程得y2﹣ty﹣m=0，由直线与抛物线相切可得△=t2+4m=0，分别求出A，B，M的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出【解答】解：设切线MA的方程为x=ty+m，代入抛物线方程得y2﹣ty﹣m=0，由直线与抛物线相切可得△=t2+4m=0，则A（，），B（，﹣），将点A的坐标代入x=ty+m，得m=﹣，∴M（﹣，0），∴=（，）•（，﹣）=﹣=（t2﹣）2﹣，则当t2=，即t=±时，的最小值为﹣故选：C．【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，以及向量的数量积和二次函数的性质，属于中档题12．设函数，若互不相等的实数a，b，c，d满足f （a）=f（b）=f（c）=f（d），则2a+2b+2c+2d的取值范围是（）A．B．（98，146）C．D．（98，266）【分析】不妨设a＜b＜c＜d，利用f（a）=f（b）=f（c）=f（d），结合图象可得c的范围，且2a+2b=2，c+d=11，将所求式子转化为c的函数，运用对勾函数的单调性，即可得到所求范围．【解答】解：画出函数f（x）的图象，由x≤2时，f（x）=|2x+1﹣2|，可得2﹣2a+1=2b+1﹣2，可化为2a+2b=2，当x＞2时，f（x）=x2﹣11x+30，可得c+d=11，令x2﹣11x+30=2，解得x=4或7，由图象可得存在a，b，c，d使得f（a）=f（b）=f（c）=f（d），可得4＜c＜5，即有16＜2c＜32，则2a+2b+2c+2d=2+2c+2d=2+2c+，设t=2c，则t+在（16，32）递减，可得g（t）=t+∈（96，144），则2+2c+的范围是（98，146）．故选：B．【点评】本题考查代数式取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知单位向量，的夹角为30°，则|﹣|=1．【分析】根据单位向量的夹角为30°即可求出的值，从而可求出的值，进而得出的值．【解答】解：单位向量的夹角为30°；∴，；∴=；∴．故答案为：1．【点评】考查向量数量积的运算，以及单位向量的概念．14．设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为2．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图，则z=x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由解得A（4，﹣2），所以z=x+y 的最大值为：2．故答案为：2．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，判断目标函数的最优解是解题的关键．15．已知sin10°+mcos10°=2cos140°，则m=﹣．【分析】由题意可得m=，再利用三角恒等变换求得它的值．【解答】解：由题意可得m=====﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查三角恒等变换，属于中档题．16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为．【分析】根据题意，设正方形ABCD的边长为x，E，F，G，H重合，得到一个正四棱锥，四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，即可求解x，从而求解四棱锥的外接球的体积．【解答】解：连接OE交AB与I，E，F，G，H重合为P，得到一个正四棱锥，设正方形ABCD的边长为x．则OI=，IE=6﹣．由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，可得，解得：x=4．设外接球的球心为Q，半径为R，可得OC=，OP=，．∴．该四棱锥的外接球的体积V=．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是球的体积，其中根据已知求出半径是解答的关键．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12.00分）已知公差不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）公差d不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．可得=a3•a11，即（5+5d）2=（5+2d）（5+10d），解得：d．（2）=（2n+3）•3n﹣1．利用错位相减法即可得出．【解答】解：（1）公差d不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．∴=a3•a11，即（5+5d）2=（5+2d）（5+10d），化为：d2﹣2d=0，解得：d=2．∴a n=5+2（n﹣1）=2n+3．（2）=（2n+3）•3n﹣1．∴数列{b n}的前n项和S n=5+7×3+9×32+……+（2n+3）•3n﹣1．∴3S n=5×3+7×32+……+（2n+1）×3n﹣1+（2n+3）×3n，∴﹣2S n=5+2（3+32+……+3n﹣1）﹣（2n+3）×3n=5+2×﹣（2n+3）×3n，解得S n=（n+1）3n﹣1．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12.00分）“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：步数/步0～30003001～60006001～80008001～10000以上10000127155男生人数/人03791女性人数/人规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．（1）以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，记X表示随机抽取3人中被系统评为“积极性”的人数，求P（X≤2）和X 的数学期望．（2）为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）．其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人，“懈怠性”的有2人，从中任意选取3人，记选到“积极性”的人数为x；其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有2人，从中任意选取2人，记选到“积极性”的人数为y；求x ＞y的概率．【分析】（1）由题意得被系统评为“积极性”的概率为=，X～B（3，），由此能求出P（X≤2）和X的数学期望．（2）“x＞y“包含“x=3，y=2“，“x=3，y=1“，“x=3，y=0“，“x=2，y=1“，“x=2，y=0“，“x=1，y=0“，分别求出相应的概率，由此能求出P（x＞y）．【解答】解：（1）由题意得被系统评为“积极性”的概率为=，X～B（3，），∴P（X≤2）=1﹣（）3=，X的数学期望E（X）=3×=．（2）“x＞y“包含“x=3，y=2“，“x=3，y=1“，“x=3，y=0“，“x=2，y=1“，“x=2，y=0“，“x=1，y=0“，P（x=3，y=2）==，P（x=3，y=1）==，P（x=3，y=0）=×=，P（x=2，y=1）=×=，P（x=2，y=0）=×=，P（x=1，y=0）=×=，∴P（x＞y）=．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随时机变量的数学期望的求法，考查二项分布、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．（12.00分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，得到如下的立体图形．（1）证明：平面AEFD⊥平面EBCF；（2）若BD⊥EC，求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．【分析】（1）根据AE⊥EF，AE⊥CF可得AE⊥平面BCFE，故而平面AEFD⊥平面EBCF；（2）建立空间坐标系，根据BD⊥EC求出AE，求出平面BDF和平面BCD的法向量即可得出二面角的余弦值．【解答】（1）证明：∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，E，F分别为线段AB，DC的中点，∴EF∥AD，∴AE⊥EF，又AE⊥CF，且EF∩CF=F，∴AE⊥平面EBCF，∵AE⊂平面AEFD，∴平面AEFD⊥平面EBCF．（2）解：由（1）可得EA，EB，EF两两垂直，故以E为原点建立空间直角坐标系，（如图）设AE=m，则E（0，0，0），A（0，0，m），B（m，0，0），F（0，3，0），C（m，4，0），D（0，2，m），∴=（﹣m，2，m），，∵DB⊥EC，∴﹣m2+8=0，∴m=2．∴=（﹣2，2，2），，，设面DBF的法向量为，则，即，令y=4可得：=（3，4，），同理可得平面CDB的法向量为，∴cos＜＞===．由图形可知二面角F﹣BD﹣C为锐角，∴二面角F﹣BD﹣C的余弦值为．【点评】本题考查了面面垂直的判定，二面角的计算与空间向量的应用，属于中档题．20．（12.00分）已知椭圆的离心率为，且C过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且满足（其中O为坐标原点）．证明：直线l的斜率为定值．【分析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程、a，b，c的关系，解方程可得a，b，即可得到所求椭圆方程；（2）由题意可设直线l的方程为y=kx+m，（m≠0），P，Q的坐标为（x1，y1），（x2，y2），联立椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及三角形的面积公式，化简整理，解方程可得直线的斜率，即可得证．【解答】解：（1）由题意可得=，+=1，a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1，c=，故椭圆C的方程为+y2=1；（2）证明：由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+m，（m≠0），P，Q的坐标为（x1，y1），（x2，y2），令x=0，可得y=m，即|MO|=|m|，令y=0，可得x=﹣，即|NO|=||，=|MO|•|y1|，S△QMO=|MO|•|y2|，则S△PMOS△PNO=|MO|•|x1|，S△QNO=|NO|•|x2|，由，可得=，即有﹣2=﹣2，可得=，即=（）2=k2，由y=kx+m代入椭圆+y2=1，可得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，则△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＞0，即为1+4k2﹣m2＞0，x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2•+km（﹣）+m2=，可得=k2•，即有4k2=1（m≠0），可得k=﹣（舍去），则直线l的斜率为定值．【点评】本题考查椭圆方程和性质，主要是离心率和基本量的关系，考查直线方程和椭圆方程联立，运用判别式和韦达定理，同时考查三角形的面积的求法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．21．（12.00分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（lnx﹣x+1）．（1）讨论f（x）的导函数f'（x）零点的个数；（2）若函数f（x）的最小值为﹣e，求a的取值范围．【分析】（1）令f′（x）=0可得x=1或xe x﹣a=0，讨论a的范围得出方程xe x﹣a=0的根的情况，从而得出结论；（2）讨论a的范围，分别得出f（x）的最小值，从而得出结论．【解答】解：（1）f′（x）=（x﹣1）e x+a（﹣1）=（x＞0），令g（x）=xe x﹣a（x＞0），g′（x）=（x+1）e x＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）＞g（0）=﹣a．∴当a≤0或a=e时，f′（x）=0只有1个零点，当0＜a＜e或a＞e时，f″（x）有两个零点．（2）当a≤0时，xe x﹣a＞0，则f（x）在x=1处取得最小值f（1）=﹣e，当a＞0时，y=xe x﹣a在（0，+∞）上单调递增，则必存在正数x0，使得x0e﹣a=0，若a＞e，则x0＞1，故函数f（x）在（0，1）和（x0，+∞）上单调递增，在（1，x0）上单调递减，又f（1）=﹣e，不符合题意；若0＜a＜e时，则0＜x0＜1，设正数b=e∈（0，1），则f（b）=（b﹣2）e b+a（lnb﹣b+1）＜aln（e﹣b+1）=a（﹣）=﹣e ﹣ab＜﹣e，不符合题意．综上，a的取值范围是（﹣∞，0]．【点评】本题考查了函数单调性判断与最值计算，考查函数零点个数与单调性的关系，属于中档题．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程][选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=3|x﹣a|+|3x+1|，g（x）=|4x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式g（x）＜6的解集；（2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1）和g（x2）互为相反数，求a的取值范围．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为{y|y=f（x），x∈R}∩{y|y=﹣g（x），x∈R}≠∅，求出f（x）的最小值和g（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）g（x）=|4x﹣1|﹣|x+2|．g（x）=，不等式g（x）＜6，x≤﹣2时，4x﹣1﹣x﹣2＜6，解得：x＞﹣1，不等式无解；﹣2＜x＜时，1﹣4x﹣x﹣2＜6，解得：﹣＜x＜，x≥时，4x﹣1﹣x﹣2＜6，解得：3＞x，综上，不等式的解集是（﹣，3）；（2）因为存在x1∈R，存在x2∈R，使得f（x1）=﹣g（x2）成立，所以{y|y=f（x），x∈R}∩{y|y=﹣g（x），x∈R}≠∅，又f（x）=3|x﹣a|+|3x+1|≥|（3x﹣3a）﹣（3x+1）|=|3a+1|，故g（x）的最小值是﹣，可知﹣g（x）max=，所以|3a+1|≤，解得﹣≤a≤，所以实数a的取值范围为[﹣，]．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，绝对值不等式的解法问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣2）2+（y﹣4）2=20，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2：θ=．（1）求C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标系方程；（2）若直线C3的极坐标方程为θ=，设C2与C1的交点为O、M，C3与C1的交点为O、N，求△OMN的面积．【分析】（1）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，整理即可；（2）别将θ=，θ=代入ρ=4cosθ+8sinθ，求出得ρ1，ρ2的值，从而求出三角形的面积．【解答】解：（1）∵圆C1的普通方程为x2+y2﹣4x﹣8y=0，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入方程得ρ2﹣4ρcosθ﹣8ρsinθ=0，故C1的极坐标方程是ρ=4cosθ+8sinθ，C2的平面直角坐标系方程是y=x；（2）分别将θ=，θ=代入ρ=4cosθ+8sinθ，得ρ1=2+4，ρ2=4+2，则△OMN的面积为×（2+4）×（4+2）×sin（﹣）=8+5．【点评】本题考查了极坐标和直角坐标的转化，考查代入求值问题，是一道中档题．创作人：百里公地创作日期：202X.04.01审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校。

杨村三中2020学年度高三年级第一次月考文科数学试题一选择题(每题5分，共8题）1.设集合，则 ( )（A）（B）（C）（D）2.已知，，是一个等比数列的前三项，则的值为（）A． -4或-1 B． -4 C． -1 D． 4或13.设，则“”是“”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件4执行如图所示的算法框图,输出的结果是()A.5B.6C.7D.85.设,则的大小顺序是( )A． B． C． D．6.函数的图像可以由函数的图像经过A．向右平移个单位长度得到 B．向右平移个单位长度得到C．向左平移个单位长度得到 D．向左平移个单位长度得到7.若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8.若曲线y=与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．二填空题（每题5分，共6题）9.在锐角中，，，的面积为， __________．10.已知函数，则11.已知各项都为正数的等比数列，公比q=2，若存在两项，使得，则的最小值为．12.直线过点且到点和点的距离相等，则直线的方程为_____________13.函数的单调递增区间为__________.14.已知，函数，若对于任意，恒成立，则的取值范围是_____________三解答题15（13分）.已知，，分别为三个内角，，的对边，且.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，的面积为，求的值.16（13分）．已知,.（Ⅰ）当时，求；（Ⅱ）若,求实数的取值范围.17（13分）.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值。

18（13分）.正项等差数列中，已知，，且，，构成等比数列的前三项. （1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.19（14分）.已知曲线在点处的切线的斜率为1．（1）若函数f（x）的图象在上为减函数，求的取值范围；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．20（14分）.设各项均为正数的数列的前项和为，若构成等比数列，且：（1）证明：；（2）求数列的通项公式；（3）求证：对任意正整数，有答案一选择题（每题5分，共8题）1.B2.B3.B4.C5.D6.A7.C8.D 二填空题（每题5分，共6题）9.2 10. 2+e 11. 12.或 13.14.15.（13分）（6分）（Ⅰ）由已知及正弦定理得，因为，所以，即又，，所以.（7分）（Ⅱ）由已知，由余弦定理得，即，即，又所以.16.（13分）（5分）（Ⅰ）由题得，所以a=1时，（8分）（Ⅱ）由,知若,解得,即;若,解集为;若,解得，即由分别求得,或,或17.（13分）（6分）（Ⅰ）因为f（x）=4cosxsin（x+）-1=4cosx（sinx+cosx）-1=sin2x+2cos2x-1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），所以f（x）的最小正周期为π，由2x+=kπ得：其图象的对称中心的坐标为：；（7分）（Ⅱ）由，可得，从而可求求f（x）在区间上的最大值和最小值因为，故，于是，当2x+=，即x=时，f（x）取得最大值2；当2x+=-，即x=-时，f（x）取得最小值-118.（13分）（6分）（1）设等差数列的公差为，则由已知得：，即，又，解得或（舍去），，所以，又，，所以，所以.（7分）（2）因为，，两式相减得，则.19.（14分）（6分）（1）因为，由题可知，，（8分）（2）令当，即，，在上递减，则符合．当时，在递增，，矛盾，当时，且，矛盾，综上a的取值范围是．20.（14分）（3分）（1）在中，令则；又数列各项均为正数，（5分）（2）时，时，两式相减得：故数列从第二项起是公差为2的等差数列而构成等比数列，又，（6分）（3）。

武清区2020学年度第一次模拟考试试卷高三语文说明：本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间150分钟，第I卷l页至5页，第Ⅱ卷6页至l2页。

答卷前，考生务必将自己的姓名，准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案填写在答题卡上，答在试卷上无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利!第I卷 (选择题共36分)注意事项：1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后。

再选涂其他答案标号。

2、本卷共l2小题．每小题3分，36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

一、(15分，每题3分)1、下列再组词语中，读音正确、没有错别字的一组是A、朱拓(tà) 长歌当(dàng)哭艰苦坚苦卓绝B、愀（qiāo）然文采斐(fěi)然急流激流勇退C、喋（dié）血百舸(kě)争流渊源渊远流长D、浸渍(zì) 蓊蓊(wěng)郁郁灼见真知卓见2、下列各句中，加点的成语使用恰当的一句是A、在几千年的中华文明中，“孝道”代代相传，不绝如缕．．．．，因此对当今的广大青少年进行“孝”的教育是非常必要的。

B、在向高考冲刺的紧张阶段，备考复习缺乏通盘考虑，目无全牛．．．．，顾此失彼，这是许多高三同学复习收获不大的重要原因。

C、7.23甬温线特别重大铁路变通事故，再次暴露了安全责任落实不到位、安全管理不严格等问题，人们对这场本不该发生的事件痛不欲生．．．．。

D、目前的李双江之子无照驾车打人事件，与河北大学李启铭交通肇事案如出一辙．．．．，网民均认为事件发生的根本原因在于父母溺爱、管教无方，以及同阶层玩伴间相互影响。

3、依次填入下列横线处的词语，恰当的项是香溪河上的宝坪村，是王昭君的故乡，这个看着并不起眼的，却孕育了一代绝色佳人。

是清澈如玉的香溪河水的，才使得昭君有了倾国倾城之貌和的心灵。

天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学一模试卷理科创作人：百里公地创作日期：202X.04.01审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|﹣2≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3≥0}，则M∩N等于( )A．[﹣1，1]B．[1，2）C．[﹣2，﹣1]D．[1，2）2．设、是两个非零向量，则“∥”是“•=||•||”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为( )A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2[来源:学。

科。

网Z。

X。

X。

K]4．已知数列ln3，ln7，ln11，ln15，…，则2ln5+ln3是该数列的( )A．第16项B．第17项C．第18项D．第19项5．已知函数f（x）是R上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=x2﹣x+1，则f（﹣）+f的值为( )A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．26．如图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为，则它的正视图为( )A．B．C．D．7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc﹣a2=0，则=( )A．﹣B．C．﹣D．8．如图，面积为8的平行四边形OABC，对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E，某指数函数y=a x（a＞0，且a≠1），经过点E，B，则a=( )A．B．C．2 D．39．设F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A是其右支上一点，连接AF1交双曲线的左支于点B，若|AB|=|AF2|，且∠BAF2=60°，则该双曲线的离心率为( ) A．B．C．2﹣1 D．10．由无理数引发的数学危机已知延续带19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴金德分割．试判断，对于任一戴金德分割（M，N），下列选项中不可能恒成立的是( )A．M没有最大元素，N有一个最小元素B．M没有最大元素，N也没有最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M有一个最大元素，N没有最小元素二、填空题：考生只需作答5小题，每小题5分，共25分．11．已知平面向量=（1，2），=（1，k2﹣1），若⊥，则k=__________．12．已知x+2y+3z=2，则x2+y2+z2的最小值是__________．13．如图，一桥拱的形状为抛物线，该抛物线拱的高为h=6m，宽为b=24m，则该抛物线拱的面积为__________m2．14．若以曲线y=f（x）上任意一点M（x1，y1）为切点作切线l1，曲线上总存在异于M的点N（x2，y2），以点N为切点做切线L2，且l1∥l2，则称曲线y=f（x）具有“可平行性”，现有下列命题：①偶函数的图象都具有“可平行性”；②函数y=sinx的图象具有“可平行性”；③三次函数f（x）=x3﹣x2+ax+b具有“可平行性”，且对应的两切点M（x1，y1），N（x2，y2）的横坐标满足x1+x2=；④要使得分段函数f（x）=的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m=1．其中的真命题是__________（写出所有命题的序号）．一、选考题：只选一题作答．（选修4-1：几何证明选讲）15．如图，已知图中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=，AF=2BF．若CE与圆相切，且CE=，则BE=__________．[来源:]一、选修4-4：坐标系参数方程16．在平面直角坐标系中，曲线C的方程为（θ为参数），在以此坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=1，则直线l与曲线C的公共点共有__________个．三、解答题：共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=1+2sinxcosx﹣2sin2x，x∈R．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=3，b=，f（A）=1，求角C．18．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=7，a2为整数，当且仅当n=4时，S n取得最大值．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（9﹣a n）•2n﹣1，求数列{b n}的前n项和为T n．19．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？20．如图，三棱柱ABC﹣A1B2C3的底面是边长为4正三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=2，M为A1B1的中点．（Ⅰ）求证：MC⊥AB；（Ⅱ）在棱CC1上是否存在点P，使得MC⊥平面ABP？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．（Ⅲ）若点P为CC1的中点，求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．21．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1上的任意一点到点A（﹣1，0），B（1，0）的距离之和为2．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设椭圆C2：x2+=1，若斜率为k的直线OM交椭圆C2于点M，垂直于OM的直线ON交曲线C1于点N．（i）求证：|MN|的最小值为；（ii）问：是否存在以原点为圆心且与直线MN相切的圆？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）=lnx+．（1）求曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线方程；（2）若g（x）=f（x）﹣+ax2﹣2x有两个不同的极值点．其极小值为M，试比较2M与﹣3的大小，并说明理由；（3）设q＞p＞2，求证：当x∈（p，q）时，＞．宜昌市高考数学一模试卷理科一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|﹣2≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3≥0}，则M∩N等于( )A．[﹣1，1]B．[1，2）C．[﹣2，﹣1]D．[1，2）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．解答：解：由N中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≤﹣1或x≥3，即N=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵M=[﹣2，2），∴M∩N=[﹣2，﹣1]，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．设、是两个非零向量，则“∥”是“•=||•||”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据向量数量积的意义以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若•=||•||cos＜，＞=||•||，即cos＜，＞=1，故＜，＞=0，即∥且方向相同，即必要性成立，若＜，＞=π，满足∥但•=||•||cos＜，＞=﹣||•||，即充分性不成立，故“∥”是“•=||•||”成立的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量数量积与向量夹角之间的关系是解决本题的关键．3．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为( )A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据条件画出可行域，设z=y﹣2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距最小，只需求出直线z=y﹣2x，过可行域内的点B（5，3）时的最小值，从而得到z最小值即可．解答：解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线y﹣2x=0经过点A（5，3）时，y﹣2x最小，最小值为：﹣7，则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7．故选A．点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．4．已知数列ln3，ln7，ln11，ln15，…，则2ln5+ln3是该数列的( )A．第16项B．第17项C．第18项D．第19项考点：数列的概念及简单表示法．专题：等差数列与等比数列．分析：由数列3，7，11，15，…，可知此数列的通项公式可得a n=3+4（n﹣1）=4n﹣1．令2ln5+ln3=ln（4n﹣1），解出即可．解答：解：由数列3，7，11，15，…，可知此数列的通项公式可得a n=3+4（n﹣1）=4n﹣1．令2ln5+ln3=ln（4n﹣1），∴75=4n﹣1，解得n=19．∴2ln5+ln3是该数列的第19选．故选：D．点评：本题考查了等差数列的通项公式、对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．5．已知函数f（x）是R上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=x2﹣x+1，则f（﹣）+f的值为( )A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：对f，运用f（x+2）=f（x），即为f（1），对于f（﹣），先由偶函数的定义，再由f（x+2）=f（x），可得f（0），再由当x∈[0，2）时，f（x）=x2﹣x+1，计算即可得到．解答：解：若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），则f=f（2×1007+1）=f（1），由于函数f（x）是R上的偶函数，则f（﹣x）=f（x），即有f（﹣）=f=f（2×1007）=f（0），当x∈[0，2）时，f（x）=x2﹣x+1，则f（0）=1，f（1）=1，即有f（﹣）+f=2．故选D．点评：本题考查函数的奇偶性和周期性的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．6．如图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为，则它的正视图为( )A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：探究型；空间位置关系与距离．分析：由几何体的侧视图和俯视图，可知几何体为组合体，上方为棱锥，下方为正方体，棱锥顶点在底面上的射影为正方形一边上的中点，由此可得结论．解答：解：由几何体的侧视图和俯视图，可知几何体为组合体，上方为棱锥，下方为正方体由俯视图可得，棱锥顶点在底面上的射影为正方形一边上的中点，顶点到正方体上底面的距离为1由此可知B满足条件故选B．点评：本题考查三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题．7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc﹣a2=0，则=( )A．﹣B．C．﹣D．考点：余弦定理；正弦定理．分析：由b2+c2+bc﹣a2=0，利用余弦定理可得cosA==﹣，A=120°．再利用正弦定理可得==，化简即可得出．解答：解：∵b2+c2+bc﹣a2=0，∴cosA==﹣，∴A=120°．由正弦定理可得====．故选：B．点评：本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、两角和差的正弦余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．如图，面积为8的平行四边形OABC，对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E，某指数函数y=a x（a＞0，且a≠1），经过点E，B，则a=( )A．B．C．2 D．3考点：指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：首先设点E（t，a t），则点B坐标为（2t，2a t），又因为2a t=a2t，所以a t=2；然后根据平行四边形的面积是8，求出t的值，代入a t=2，求出a的值即可．解答：解：设点E（t，a t），则点B坐标为（2t，2a t），又因为2a t=a2t，所以a t=2；因为平行四边形OABC的面积=OC×AC=a t×2t=4t，又平行四边形OABC的面积为8所以4t=8，t=2，所以．故选：A．点评：本题主要考查了指数函数的图象和性质，属于基础题．9．设F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A是其右支上一点，连接AF1交双曲线的左支于点B，若|AB|=|AF2|，且∠BAF2=60°，则该双曲线的离心率为( ) A．B．C．2﹣1 D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得△BAF2为等边三角形，设AF2=t，则AB=BF2=t，再由双曲线的定义，求得t=4a，再由余弦定理可得a，c的关系，结合离心率公式即可计算得到．解答：解：若|AB|=|AF2|，且∠BAF2=60°，则△BAF2为等边三角形，设AF2=t，则AB=BF2=t，由双曲线的定义可得，AF1﹣AF2=2a，BF2﹣BF1=2a，AF1=AB+BF1，即有t+2a=2t﹣2a，解得，t=4a，AF1=6a，AF2=4a，F1F2=2c，由余弦定理可得，F1F22=AF12+AF22﹣2AF1•AF2cos60°，即有4c2=36a2+16a2﹣2×6a×4a×，即为4c2=28a2，则有e==．故选D．点评：本题考查双曲线的离心率的求法，考查双曲线的定义的运用，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．10．由无理数引发的数学危机已知延续带19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴金德分割．试判断，对于任一戴金德分割（M，N），下列选项中不可能恒成立的是( )A．M没有最大元素，N有一个最小元素B．M没有最大元素，N也没有最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M有一个最大元素，N没有最小元素考点：子集与真子集．专题：计算题；集合．分析：由题意依次举例对四个命题判断，从而确定答案．解答：解：若M={x∈Q|x＜0}，N={x∈Q|x≥0}；则M没有最大元素，N有一个最小元素0；故A正确；若M={x∈Q|x＜}，N={x∈Q|x≥}；则M没有最大元素，N也没有最小元素；故B正确；若M={x∈Q|x≤0}，N={x∈Q|x＞0}；M有一个最大元素，N没有最小元素，故D正确；M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能，故C不正确；故选C．点评：本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，属于基础题．二、填空题：考生只需作答5小题，每小题5分，共25分．11．已知平面向量=（1，2），=（1，k2﹣1），若⊥，则k=．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量垂直的条件：数量积为0，由数量积的坐标表示，解方程即可得到k．解答：解：平面向量=（1，2），=（1，k2﹣1），若⊥，则=0，即1+2（k2﹣1）=0，解得，k=．故答案为：．点评：本题考查平面向量垂直的条件：数量积为0，考查运算能力，属于基础题．12．已知x+2y+3z=2，则x2+y2+z2的最小值是．[来源:学,科,网Z,X,X,K]考点：二维形式的柯西不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由条件利用柯西不等式（12+22+32）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2，求得x2+y2+z2的最小值．解答：解：12+22+32=14，∴由柯西不等式可得（12+22+32）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2=4，∴x2+y2+z2≥=，即x2+y2+z2的最小值是，故答案为：．点评：本题主要考查了函数的最值，以及柯西不等式的应用，解题的关键是利用柯西不等式（12+22+32）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2，进行解决．13．如图，一桥拱的形状为抛物线，该抛物线拱的高为h=6m，宽为b=24m，则该抛物线拱的面积为96m2．考点：抛物线的应用．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：建立坐标系，设抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0），则将（12，﹣6）代入可得p=12，y=﹣，该抛物线拱的面积为2（12×6﹣），即可得出结论．解答：解：由题意，建立如图所示的坐标系，设抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0），则将（12，﹣6）代入可得p=12，∴y=﹣，∴该抛物线拱的面积为2（12×6﹣）=2（72﹣24）=96m2，故答案为：96．点评：解决该试题的关键是利用定积分表示出抛物线拱的面积，然后借助于定积分得到结论．14．若以曲线y=f（x）上任意一点M（x1，y1）为切点作切线l1，曲线上总存在异于M的点N（x2，y2），以点N为切点做切线L2，且l1∥l2，则称曲线y=f（x）具有“可平行性”，现有下列命题：①偶函数的图象都具有“可平行性”；②函数y=sinx的图象具有“可平行性”；③三次函数f（x）=x3﹣x2+ax+b具有“可平行性”，且对应的两切点M（x1，y1），N（x2，y2）的横坐标满足x1+x2=；④要使得分段函数f（x）=的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m=1．其中的真命题是②④（写出所有命题的序号）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：分别求出函数导数，根据导数的几何意义求出对应的切线斜率，结合曲线y=f（x）具有“可平行性”，即可得到结论．解答：解：①函数y=1满足是偶函数，函数的导数y′=0恒成立，此时，任意两点的切线都是重合的，故①不符号题意．②由y′=cosx和三角函数的周期性知，cosx=a（﹣1≤a≤1）的解有无穷多个，符合题意．③三次函数f（x）=x3﹣x2+ax+b，则f′（x）=3x2﹣2x+a，方程3x2﹣2x+a﹣m=0在判别式△=（﹣2）2﹣12（a﹣m）≤0时不满足方程y′=a（a是导数值）至少有两个根．命题③错误；④函数y=e x﹣1（x＜0），y′=e x∈（0，1），函数y=x+，y′=1﹣，则由1﹣∈（0，1），得∈（0，1），∴x＞1，则m=1．故要使得分段函数f（x）的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m=1，④正确．∴正确的命题是②④．故答案为：②④点评：本题考查了导数的几何意义，关键是将定义正确转化为：曲线上至少存在两个不同的点，对应的导数值相等，综合性较强，考查了转化思想．一、选考题：只选一题作答．（选修4-1：几何证明选讲）15．如图，已知图中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=，AF=2BF．若CE与圆相切，且CE=，则BE=．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：由相交弦定理得DF•FC=AF•BF，由此解得AF=2，BF=1，AB=3，由切割线定理得CE2=BE•AE，由此能求出BE的长．解答：解：∵两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，∴DF•FC=AF•BF，∵DF=CF=，AF=2BF，∴2BF2=2，解得AF=2，BF=1，AB=3，∵CE与圆相切，且CE=，∴CE2=BE•AE，∴（）2=BE（3+BE），解得BE=，或BE=﹣（舍）．故答案为：．点评：本题考查与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题时要注意相交弦定理和切割线定理的合理运用．一、选修4-4：坐标系参数方程16．在平面直角坐标系中，曲线C的方程为（θ为参数），在以此坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=1，则直线l与曲线C的公共点共有1个．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆．分析：由曲线C的方程（θ为参数），消去参数化为x2+y2=1，可得圆心C，半径r．由直线l的极坐标方程ρsin（θ+）=1，展开为=1，化为y+x﹣=0．再利用点到直线的距离公式可得圆心到直线l的距离d，再与半径r比较大小即可．解答：解：由曲线C的方程（θ为参数），消去参数化为x2+y2=1，可得圆心C（0，0），半径r=1．由直线l的极坐标方程ρsin（θ+）=1，展开为=1，化为y+x ﹣=0．∴圆心C到直线l的距离d==1=r．因此直线l与⊙C相切，有且只有一个公共点．故答案为：1．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与曲线的交点判断、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三、解答题：共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=1+2sinxcosx﹣2sin2x，x∈R．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=3，b=，f（A）=1，求角C．考点：正弦定理；正弦函数的图象．专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（1）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，以及正弦函数的单调增区间，解不等式即可得到所求区间；（2）由特殊角的三角函数值，求出A，再由正弦定理，求得B，再由三角形的内角和定理，可得C．解答：解：（1）f（x）=1+2sinxcosx﹣2sin2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，则函数的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）f（A）=1，即为2sin（2A+）=1，即sin（2A+）=，由于A为三角形的内角，则2A+=，即A=，由正弦定理得sinB===，由于a＞b，则A＞B，则B=，则C=π﹣﹣=．点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查正弦函数的单调区间，考查正弦定理及运用，考查运算能力，属于中档题．18．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=7，a2为整数，当且仅当n=4时，S n取得最大值．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（9﹣a n）•2n﹣1，求数列{b n}的前n项和为T n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．[来源:学#科#网Z#X#X#K]分析：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由于当且仅当n=4时，S n取得最大值．可得a4＞0，a5＜0．解得，由于a2为整数，可得d为整数，即可得出．（2）b n=（9﹣a n）•2n﹣1=n•2n．利用“错位相减法”、等比数列的前n选和公式即可得出．解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵当且仅当n=4时，S n取得最大值．[来源:学|科|网Z|X|X|K]∴a4＞0，a5＜0．∴，解得，∵a2为整数，∴d为整数，∴d=﹣2．∴a n=7+（n﹣1）×（﹣2）=9﹣2n．（2）b n=（9﹣a n）•2n﹣1=2n•2n﹣1=n•2n．∴T n=1×2+2×22+3×23+…+n•2n，2T n=22+2×23+3×24+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1，∴﹣T n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=﹣n×2n+1=（1﹣n）×2n+1﹣2，∴T n=（n﹣1）×2n+1+2．点评：本题考查了等差数列的通项公式及其性质、“错位相减法”、等比数列的前n选和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．专题：计算题；应用题．分析：（1）根据题意可列出10（1000﹣x）（1+0.2x%）≥10×1000，进而解不等式求得x 的范围，确定问题的答案．（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得求a的范围．解答：解：（1）由题意得：10（1000﹣x）（1+0.2x%）≥10×1000，即x2﹣500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，则（1+0.2x%）所以，所以ax≤，即a≤恒成立，因为，当且仅当，即x=500时等号成立．所以a≤5，又a＞0，所以0＜a≤5，即a的取值范围为（0，5]．点评：本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用．考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力．[来源:学+科+网Z+X+X+K]20．如图，三棱柱ABC﹣A1B2C3的底面是边长为4正三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=2，M为A1B1的中点．（Ⅰ）求证：MC⊥AB；（Ⅱ）在棱CC1上是否存在点P，使得MC⊥平面ABP？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．（Ⅲ）若点P为CC1的中点，求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）取AB中点O，连接OM，OC，证明AB⊥平面OMC，可得MC⊥AB；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，设P（0，2，t）（0≤t≤2），要使直线MC⊥平面ABP，只要•=0，•=0，即可得出结论；（Ⅲ）若点P为CC1的中点，求出平面PAC的一个法向量、平面PAB的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．解答：（I）证明：取AB中点O，连接OM，OC．∵M为A1B1中点，∴MO∥A1A，又A1A⊥平面ABC，∴MO⊥平面ABC，∴MO⊥AB∵△ABC为正三角形，∴AB⊥CO又MO∩CO=O，∴AB⊥平面OMC又∵MC⊂平面OMC∴AB⊥MC（II）解：以O为原点，建立空间直角坐标系．如图．依题意O（0，0，0），A（﹣2，0，0）B（2，0，0），C（0，2，0），M（0，0，2）．设P（0，2，t）（0≤t≤2），则=（0，2，﹣2），=（4，0，0），=（0，2，t）．要使直线MC⊥平面ABP，只要•=0，•=0，即12﹣2t=0，解得t=．∴P的坐标为（0，2，）．∴当P为线段CC1的中点时，MC⊥平面ABP（Ⅲ）解：取线段AC的中点D，则D（﹣1，，0），易知DB⊥平面A1ACC1，故=（3，﹣，0）为平面PAC的一个法向量．…．又由（II）知=（0，2，﹣2）为平面PAB的一个法向量．设二面角B﹣AP﹣C的平面角为α，则cosα=||=．∴二面角B﹣AP﹣C 的余弦值为．点评：本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．21．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1上的任意一点到点A（﹣1，0），B（1，0）的距离之和为2．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设椭圆C2：x2+=1，若斜率为k的直线OM交椭圆C2于点M，垂直于OM的直线ON交曲线C1于点N．（i）求证：|MN|的最小值为；（ii）问：是否存在以原点为圆心且与直线MN相切的圆？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由椭圆定义可知曲线C1的轨迹是椭圆，设C1的方程为，由已知条件知2a=2，c=1，由此能求出曲线的方程．（Ⅱ）（ⅰ）当k=0，M为C2长轴端点，N为C1短轴的端点，|MN|=设直线OM：y=kx，代入x2+=1，得（2+3k）x2=2，由此能求出|MN|的最小值．（ⅱ）存在以原点为圆心且与直线MN相切的圆．设Rt△MON斜边上的高为h，当k=0时，h=，当k≠0时，|OM|•|ON|=，由此能推导出存在以原点为圆心，半径为且与直线MN相切的圆，并能求出圆的方程．解答：满分．（Ⅰ）解：由椭圆定义可知曲线C1的轨迹是椭圆，[来源:学。

创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一次模拟试题高三数学理科创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂址重创作单位： 博恒中英学校第I 卷 选择题（共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项，直接涂在答题卡上。

1.已知集合{}{}2,0,250,,,M a N x x x x MN a ==-<∈≠∅Z 如果则等于（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）12或（D ）25 2.如果(1,)a k =，(,4),b k =那么“∥b ”是“2k =-”的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件3.如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于,B C 两点，3,1PA PB ==，则ABC ∠=( ) （A ）70︒（B ）60︒ （C ）45︒ （D ）30︒4.在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1,3).若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是 （ ） （A ）(2,)3π-（B ）4(2,)3π （C ）(1,)3π-（D ）4(2,)3π-5.执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为 （ ） （A ）5 （B ）6 （C ）7是（D ）8 否6.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<--=0,120,12)(22x x x x x x x f ，则对任意R ∈21,x x ，若120x x <<，下列不等式成立的是( )（A ）12()()0f x f x +< （B ）12()()0f x f x +>创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01（C ）12()()0f x f x ->（D ）12()()0f x f x -<7.直线3y kx =+与圆()()42122=++-y x 相交于N M ,两点，若23MN ≥k 的取值范围是( ) （A ）12(,)5-∞-（B ）12(,]5-∞-（C ）12(,)5-∞ （D ）12(,]5-∞ 8.如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ,D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动，则OC OB ⋅的最大 值是（ ） （A ）2 （B ）12+（C ）π （D ）4第II 卷 非选择题(共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分。

卜人入州八九几市潮王学校武清区二零二零—二零二壹第一次模拟考试试卷高三数学(理科)本卷须知：1、选择题在选出答案以后，请用铅笔将答题卡上对应题目之答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

2、请用黑色墨水的钢笔或者签字笔解答填空题、解答题。

一、选择题(本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分。

每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的)1、假设i 为虚数单位，那么复数121i i-+-等于() A 、1122i +B 、3122i -+C 、1322i +D 、3322i -+2、在101(x 的二项展开式中，二项式系数最大的项的项数是〔〕 A 、5B 、6C 、7D 、5或者73、“2121x (,),x x ∀∈>+〞的否认为()A 、2000121x (,),x x ∃∈≤+B 、2000121x (,),x x ∃∈<+ C 、2121x (,),x x ∀∉>+D 、2121x (,),x x ∀∉≤+4、己知数列{n a }是等比数列，其前n 项和为n S ，假设112313a ,S S S =++=，那么10S 的值是() A 、171B 、-171 C 、341D 、-3415、抛物线24y x =的准线与双曲线2222100x y (a ,b )a b -=>>的两条渐近线相交得二交点，假设二变点间的间隔为4，那么该双曲线的离心率为()A 、5B 、52C 、17D 、172 6、假设执行如下列图的程序框图，输入正整数n ，m ，满足n m ≥，那么输出的p 等于()A 、1m n C -B 、1m n A -C 、m n CD 、m n A7、ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，外接圆半径为l ，且满足2tan A c b tan B b -=，那么ABC ∆面积的最大值为() A 、32B 、34C 、332D 、334 8、函数2210102log x ,x f (x )|x x |,x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，假设函数F(x )f (x )a =-有三个不同的零点，那么实数a 的取值范围是()A 、[0，116]B 、1(0]16,- C 、{0}D 、{0,116} 二、填空题(本大题一一共6小题．每小蘑s 分．一共30分，把答案填在题中横线上)9、150辆汽车正在经过某一雷达区，这些汽车行进的时速频率分布直方图如下列图，那么时速超过60kn/h 的汽车数量约为辆。

天津市武清区天和城实验中学2024-2025学年高三第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3A =，{}2|220B x x x =--<，则A B =I （ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}1,2,3D ．∅2．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，其终边经过点(1,2)P ，则sin α=（ ）A B C ．2D ．123．将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位得到函数()g x 的图象，则“38πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知向量a →，b →满足||1a →=，||2b →=，||2a b →→-=，则|+|a b →→=（ ）A ．1BC D 5．OAB △，点P 在边AB 上，3AB AP =u u u r u u u r ，设,OA a OB b ==u u u r u u u r r r ，则OP =u u u r（ ）A ．1233a b +r rB ．2133a b +rrC ．1233a b -r rD ．2133a b -r r6．设2log 0.3a =，12log 0.4b =，0.30.4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．c a b >>C ．b c a <<D ．a c b <<7．在等差数列{}n a 中，24a =，且1a ，3a ，9a ，构成等比数列，则公差d =（ ） A ．0或2B ．2C ．0D ．0或2-8．若函数()2ln f x x x ax =+-在其定义域内单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．(-∞C ．(],2-∞D ．[)1,+∞9．已知函数()3223f x ax x b =-+在x =1处取得极小值1，则()f x 在区间[]1,2-上的最大值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题10．若复数z 满足(34i 7i )z +=+⋅，则z 对应的点位于第象限. 11．()()1,2,3,5a b ==r ，向量a r 在b r方向上的投影.12．已知向量()2,1a =--r ，(),1b λ=r ，则a r 与b r的夹角θ为钝角时，λ的取值范围为.13．在ABC V 中，已知3AB =，2AC =，120BAC ∠=︒，D 为边BC 的中点.若BE AD ⊥，垂足为E ，则BE AC ⋅u u u r u u u r的值为.14．已知函数()2cos 2f x x x -，若将()f x 的图象向左平行移动π6个单位长度后得到()g x 的图象，则把2cos2y x =的图象向右至少平行移动个单位可得到()g x 的图象．15．已知函数())cos cos f x x x x =+.下列结论正确的是.①()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭；②π6f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③()f x 在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；④把函数cos 2y x =的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度后，再向上平移12个单位长度，可得到()f x 的图象.三、解答题16．已知(1,2),(3,5)a b ==r r.(1)若()//(24)ka b a b +-r r r r，求k ；(2)若()(24)ka b a b +⊥-r r r r，求k .17．如图所示，平行四边形ABCD 中，AB a =u u u rr，AD b =u u u rr，23BM BC =，14AN AB =，试用向量a r，b r 来表示DN u u u r ，AM u u u u r ．18．设函数2()cos sin 3f x x x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，x R ∈.（1）求f (x )的最小正周期和对称中心； （2）若函数f (x )的图像向左平移4π个单位得到函数g (x )的图像，求函数g (x )在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.19．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()2cos cos a B C =. (1)求角B 的大小；(2)若2c a b +=，求ABC V 的面积；(3)若b =，求()sin A B +2.20．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知21011,40a S ==． (1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和n T ．21．已知函数()276ln 10f x x x x =-++．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； (2)求()f x 的单调区间和极小值．22．已知函数()32392f x x x x =-++-，求：(1)函数y =f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程； (2)()f x 的单调递减区间；f x的极大值和极小值．(3)求()。

2020届天津市武清区高三下学期第一次月考数学理科试题一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 1.若},13|{},2|||{<∈=<∈=x R x B x R x A 则B A ⋂=（ ） A ． (-2，2) B ． (-2，-1) C ． (-2，0) D ．(0，2)2.已知y ,x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-305x y x y x ，则y x z 42+=的最小值是( )A.－6B.5C.38D.－103. 执行如图所示的程序框图，若输出的n=6，则输入整数p 的最小值是（ ）A ．17B ． 16C ．18D ． 194. 已知圆22:()1C x a y -+=，直线:1l x =；则：13''''22a ≤≤是''C 上恰有不同四点到l 的距离为12”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.将函数sin()cos()22y x x ϕϕ=++的图象沿x 轴向右平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能．．．是（ ） A ．54π-B ．4π-C ．34πD ．4π6. 已知0a >，1a ≠，0.60.4a a <，设0.6log 0.6a m =，0.4log 0.6a n =，0.6log 0.4a p =，则（ ） A.p n m >> B.p m n >> C.n m p >> D.m p n >>7. 在ABC △中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ， b ，c ，若sin 3cos 0b A a B -=，且2b ac =，则a cb+的值为（ ） A ．22B ．2C ．2D ．48.已知点A 是抛物线241x y =的对称轴与准线的交点，点B 为该抛物线的焦点，点P 在该抛物线上且满足||||PA m PB =，当m 取最小值时，点P 恰好在以A,B 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为( ) A.215+ B.212+ C. 15- D. 12+二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9. 若复数2(4)(2)z a a i =-++为纯虚数，则复数iia -+1在复平面上对应的点位于第____象限. 10．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 .11. 若22nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 .12．在极坐标系中，圆1C 的方程为22cos()4πρθ=--，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为2cos 2sin x m y m θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，0m ≠），若圆1C 与2C 外切，则实数m 的值为 .13．在平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点，AE 与BD 交于点M ，2=AB ,1=AD ，且61-=⋅MB MA ，则AD AB ⋅= ．14.已知函数()f x 的定义域为[)1,+∞，且1|23|,12(),11(),222 x x f x f x x --≤<⎧⎪=⎨≥⎪⎩则函数2()3y xf x =-在区间 ()12017，上的零点个数为 .三、解答题：（本大题共6小题，共80分．）15．（本题满分13分）已知函数ππ1()cos()cos()sin cos 334f x x x x x =+--+（Ⅰ求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间]2,0[π上的最大值和最小值.P MD CBA16.（本题满分13分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．（I ）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（II ）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．17（本题满分13分）在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ∆为等边三角形,221===CD AD AB ，AB AD ⊥,//AB CD ,点M 是PC 的中点．（I ）求证://MB 平面PAD ；（II ）求二面角P BC D --的余弦值；（III ）在线段PB 上是否存在点N ，使得DN ⊥平面PBC ？若存在,请求出PNPB的值；若不存在,请说明理由.18．（本题满分13分）已知{}n a 是各项为不同的正数的等差数列，124lg ,lg ,lg a a a 成等差数列，又na b n 21=,⋅⋅⋅=3,2,1n ． （Ⅰ）证明：{}n b 为等比数列； （Ⅱ）如果数列{}n b 前3项的和为247，求数列{}n a 的首项和公差； （Ⅲ）在（II ）的条件下，令n S 为数列{}n n b a 6的前n 项和，求n S ．19. （本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率21=e ，左顶点为)0,4(-A ，过点A 作斜率为)0(≠k k 的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E . （Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的)0(≠k k 都有EQ OP ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由;（Ⅲ）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求||||||OM AE AD +的最小值.20.（本题满分14分）已知函数()ln (1)f x x a x =--，()x g x e =．(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 设()(1)()h x f x g x =++，当0x ≥时，()1h x ≥，求实数a 的取值范围；(Ⅲ) 当0a ≠时，过原点分别作曲线()y f x =与()y g x =的切线1l ，2l ，已知两切线的斜率互为倒数，证明：211e e a e e --<<．x2020届天津市武清区高三下学期第一次月考数学理科试题参考答案一、选择题： CABB DBCD 二、填空题9．一10 .12 11. 180 12. ± 13. 4314. 11三、解答题15解：（Ⅰ）ππ11()cos()cos()sin 23324f x x x x =+--+Q --------1分1111(cos )(cos )sin 22224x x x x x =--+----------2分 221311cos sin sin 24424x x x =--+1cos 233cos 211sin 28824x x x +-=--+---3分 1(cos 2sin 2)2x x =-24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭------------------5分 函数)(x f 的最小正周期为 T π=，-------------------6分 （II ）因为)(x f 在区间]83,0[π上是减函数，在区间]2,83[ππ上是增函数，------------10分 21)0(=f ，22)83(-=πf ，21)2(-=πf ，所以)(x f 在区间]2,0[π上的最大值为21， 最小值为22-. ------------13分 16.解： ：（1）设事件A 为“两手所取的球不同色”， 则()23334321993⨯+⨯+⨯P A =-=⨯ ……5分（2）依题意，X 的可能取值为0，1，2．左手所取的两球颜色相同的概率为22223429C C C 5C 18++= 右手所取的两球颜色相同的概率为22233329C C C 1C 4++=()511331301118418424⎛⎫⎛⎫P X ==--=⨯=⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()5151711118418418⎛⎫⎛⎫P X ==⨯-+-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()515218472P X ==⨯= ……11分 所以X 的分布列为：……12分()13751901224187236E X =⨯+⨯+⨯=……13分 17.解： （Ⅰ）证明:取PD 中点H ,连结,MH AH .因为 M 为PC 中点 , 所以 1//,2HM CD HM CD =. 因为1//,2AB CD AB CD =. 所以//AB HM 且AB HM =.所以四边形ABMH 为平行四边形, 所以 //BM AH .因为 BM PAD ⊄平面,AH ⊂平面PAD, 所以//BM 平面PAD . …………………………..4分（Ⅱ） 取AD 中点O ,连结.PO 因为 PA PD =,所以PO AD ⊥.因为 平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD I 平面ABCD AD =,PO⊂平面PAD ,所以PO ABCD ⊥平面. 取BC 中点K ,连结OK ,则//.OK AB 以O 为原点,如图建立空间直角坐标系, 设2,AB =则 (1,0,0),(1,2,0),(1,4,0),(1,0,0),A B C D P --(2,2,0),(1,2,BC PB =-=uu u r uu r.平面BCD 的法向量OP =uu u r,设平面PBC 的法向量(,,)n x y z =u r ,由0,0,BC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r u r uu r u r 得220,20.x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1x =，则n =u r. cos ,||||OP n OP n OP n ⋅<>==uu u r ruu u r u r uu u r u r .由图可知，二面角P BC D --是锐二面角， 所以二面角P BC D --…………………………..9分 （Ⅲ） 不存在.设点(,,)N x y z ,且 ,[0,1]PNPBλλ=∈ , 则,PN PB λ=u u u r u u u r所以(,,(1,2,x y z λ=.则,2,.x y z λλ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以(,2)N λλ, (1,2)DN λλ=+uuu r.若 DN PBC ⊥平面,则//DN n uuu r u r ,即12λλ+==，此方程无解, 所以在线段PB 上不存在点N ,使得DN PBC ⊥平面. …………………………..13分18．解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由124lg ,lg ,lg a a a 成等差数列得2142lg lg lg a a a =+，所以2214a a a =所以2111()(3)a d a a d +=+，所以21d a d = 因为0d ≠，所以1d a = 2分 ∴12(21)2n nna a d d =+-=，则12n nb d = ∴112n n b b +=且1102b d =≠ ∴{}n b 为等比数列 4分（Ⅱ）依条件可得12311117()24824b b b d ++=++=，解得3d =，所以13a d == 7分 （Ⅲ）由（2）得3(1)33n a n n =+-=，111()3232nn nb ==⋅⋅ 9分166()2n n n a b n ∴=⋅12111116[()2()(1)()()]2222n n n S n n -∴=+⋅++-⋅+⋅L231111116[()2()(1)()()]22222n n n S n n +∴=+⋅++-⋅+⋅L 作差得2311111116[()()()()]222222n n n S n +∴=++++-⋅L 1111(1())111226[()]66()6()122212n n n n n n ++-=-=--- 111111212()12()123(2)()222n n n n S n n +-∴=--=-+⋅ 13分．19. 解：（Ⅰ）因为左顶点为(40)A -，，所以4a =，又12e =，所以2c =.…………………2分 又因为22212b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为2211612x y +=. ………………………………………4分（Ⅱ）直线l 的方程为(4)y k x =+，由2211612(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消元得，22[(4)]11612x k x ++=.化简得，22(4)[(43)1612)]0x k x k +++-=，所以14x =-，222161243k x k -+=+. ……………………………………………………5分当22161243k x k -+=+时，222161224(4)4343k k y k k k -+=+=++， 所以222161224,4343()D k k k k -+++.因为点P 为AD 的中点，所以P 的坐标为2221612,4343()k kk k -++，则3(0)4OP k k k-=≠.…………………………………………………………………………7分直线l 的方程为(4)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,4)k ， 假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠，使得OP EQ ⊥，则1OP EQ k k =-，即3414n k k m--⋅=-恒成立， 所以(412)30m k n +-=恒成立，所以412030m n +=⎧⎨-=⎩，，即30m n =-⎧⎨=⎩，，因此定点Q 的坐标为(3,0)-. …………………………………………9分 （Ⅲ）因为OM l P ，所以OM 的方程可设为y kx =，由2211612x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得M点的横坐标为x =10分由OM l P ，得MA D M AE A D x x x x x x x x OM AE AD 2||||||-=-+-=+2==…………………………………………………12分=+≥=即k =时取等号，所以当k =时，||||||OM AE AD +的最小值为 …………………………14分 20. 解：(Ⅰ)依题意，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对()f x 求导，得11()axf x a x x-'=-=． (1)若0a ≤，对一切0x >有()0f x '>，函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞． (2)若0a >，当1(0,)x a ∈时，()0f x '>；当1(,)x a∈+∞时，()0f x '<．所以函数()f x 的单调递增区间是1(0,)a ，单调递减区间是1(,)a+∞． ……… 4分(Ⅱ) ()(1)()ln(1)xh x f x g x x ax e =++=+-+，1()1x h x e a x '=+-+． (1)当2a ≤时，因为1x e x ≥+，所以11()12011x h x e a x a a x x '=+-≥++-≥-≥++，()h x 在[)0,+∞上递增，()(0)1h x h ≥=恒成立，符合题意． ……… 6分(2)当2a >时，因为2221(1)1()0(1)(1)x xx e h x e x x +-''=-=≥++，所以()h x '在[)0,+∞上递增，且(0)20h a '=-<，则存在0(0,)x ∈+∞，使得(0)0h '=．所以()h x 在0(0,)x 上递减，在0(,)x +∞上递增，又0()(0)1h x h <=，所以()1h x ≥不恒成立，不合题意．综合(1),(2)可知，所求实数a 的取值范围是(],2-∞． ……… 9分 (Ⅲ) 设切线2l 的方程为2y k x =，切点为22(,)x y ，则22xy e =，22222()x y k g x e x '===，所以21x =，2y e =，则22x k e e ==． ……… 10分 由题意知，切线1l 的斜率为1211k k e==，1l 的方程为11y k x x e ==．设1l 与曲线()y f x =的切点为11(,)x y ，则1111111()y k f x a x e x '==-==， 所以1111x y ax e ==-，111a x e=-． 又因为111ln (1)y x a x =--，消去1y 和a 后，整理得1111ln 10x x e-+-=． ……… 12分 令11()ln 10m x x x e =-+-=，则22111)('x x x x x m -=-=，()m x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．若1(0,1)x ∈，因为11()20m e ee =-+->，1(1)0m e =-<，所以11(,1)x e∈， 而111a x e=-在11(,1)x e ∈上单调递减，所以211e e a e e --<<． 若1(1,)x ∈+∞，因为()m x 在(1,)+∞上单调递增，且()0m e =，则1x e =， 所以1110a x e=-=（舍去）． 综上可知，211e e a e e --<<． ……… 14分。

2020年天津市第一次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）1. 设全集U＝{x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。

其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C ．D ．或5. 已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ） A ． B ．C ．D ．7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（ ）A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4C π=，则=AB （ ）B. 5C. D.11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

武清一模高三数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1的图像经过点（1，6），则f(0)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项a10的值为：A. 19B. 20C. 21D. 223. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则z在复平面内的对应点的轨迹是：A. 实轴B. 虚轴C. 单位圆D. 双曲线4. 若等比数列{an}的首项a1 = 1，公比q = 2，则前n项和S_n的值为：A. 2^n - 1B. 2^nC. 2^(n+1) - 1D. 2^(n+1)5. 函数y = log_2(x+1)在区间[-1, 1]上的值域为：A. (0, 1]B. [0, 1]C. (0, 2]D. [0, 2]6. 若直线y = kx + 1与圆x^2 + y^2 = 1相切，则k的值为：A. ±1B. ±2C. ±1/2D. ±1/47. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且f(1) = 3，f(2) = 7，则a的值为：A. 1B. 2C. 3D. 48. 若函数y = e^x + 1在区间[0, 1]上单调递增，则e的值为：A. 1B. 2C. 3D. 49. 在直角坐标系中，点A(1, 2)关于直线y = x的对称点为：A. (2, 1)B. (1, 2)C. (-2, -1)D. (-1, -2)10. 若等差数列{an}的前n项和为S_n，且S_5 = 45，S_10 = 100，则数列的公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。

）11. 函数y = x^3 - 3x在区间[-2, 2]上的极值点为_________。