高考数学二轮复习专题突破资料：专题一函数问题(文科)

(6)若求出2x －的范围，再求函数的最值，同样得分．1．已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间上的单调性．解：(1)f(x)＝4cos ωxsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π4＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋ 2＝2sin ＋.因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，所以＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin ＋.若0≤x≤，则≤2x＋≤.当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减．类型二 学会审题[例2] 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x ＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ＝，求cos 的值．审题路线图(1)条件：f x 图象上相邻两个最高点距离为π(2)条件：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝343．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(2b,1)，n ＝(2a －c ，cos C)，且m∥n.(1)若b2＝ac ，试判断△ABC 的形状；(2)求y ＝1－的值域．解：(1)由已知，m∥n，则2bcos C ＝2a －c ，由正弦定理，得2sin Bcos C ＝2sin(B ＋C)－sin C ，即2sin Bcos C ＝2sin Bcos C ＋2cos Bsin C －sin C ， 在△ABC 中，sin C≠0，因而2cos B ＝1，则B ＝.又b2＝ac ，b2＝a2＋c2－2accos B ，因而ac ＝a2＋c2－2accos ，即(a －c)2＝0，所以a ＝c ，△ABC 为等边三角形．(2)y ＝1－2cos 2A 1＋tan A＝1－2cos2A －sin2A1＋sin A cos A＝1－2cos A(cos A －sin A)＝sin 2A －cos 2A＝sin ，由已知条件B ＝知A∈.所以，2A －∈.因而所求函数的值域为(－1，]．4．已知函数f(x)＝2sinsin ，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)在△ABC 中，若A ＝，c ＝2，且锐角C 满足f ＝，求△ABC 的面积S.解：(1)由题意得，。

2022高考数学二轮复习讲义 专题一 第1讲 函数的图象与性质【要点提炼】考点一 函数的概念与表示 1．复合函数的定义域(1)若f(x)的定义域为[m ，n]，则在f(g(x))中，m ≤g(x)≤n ，从中解得x 的范围即为f(g(x))的定义域．(2)若f(g(x))的定义域为[m ，n]，则由m ≤x ≤n 确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域． 2．分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．【热点突破】【典例1】 (1)若函数f(x)＝log 2(x －1)＋2－x ，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的定义域为( )A ．(1,2]B ．(2,4]C ．[1,2)D ．[2,4)(2)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，4x，x>0，则满足f(x)＋f(x －1)≥2的x 的取值范围是________．【拓展练习】(1)已知实数a<0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2a ，x<1，－x ，x ≥1，若f(1－a)≥f(1＋a)，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，－1] C ．[－1,0)D ．(－∞，0)(2)(多选)设函数f(x)的定义域为D ，如果对任意的x ∈D ，存在y ∈D ，使得f(x)＝－f(y)成立，则称函数f(x)为“H 函数”．下列为“H 函数”的是( )A ．y ＝sin xcos xB ．y ＝ln x ＋e xC ．y ＝2xD ．y ＝x 2－2x【要点提炼】考点二 函数的性质 1．函数的奇偶性(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有： f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)； f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)． 2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法． 3．函数图象的对称中心或对称轴(1)若函数f(x)满足关系式f(a ＋x)＝2b －f(a －x)，则函数y ＝f(x)的图象关于点(a ，b)对称．(2)若函数f(x)满足关系式f(a ＋x)＝f(b －x)，则函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．【热点突破】考向1 单调性与奇偶性【典例2】 (1)(2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R 上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x －1)≥0的x 的取值范围是( ) A ．[－1,1]∪[3，＋∞) B ．[－3，－1]∪[0,1] C ．[－1,0]∪[1，＋∞)D ．[－1,0]∪[1,3](2)设函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－πx ＋x ＋e2x 2＋e2的最大值为M ，最小值为N ，则(M ＋N －1)2 021的值为________．考向2 奇偶性与周期性【典例3】(1)定义在R 上的奇函数f(x)满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f(x)，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f(x)＝()12log 1x -，则f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32内是( ) A ．减函数且f(x)>0 B ．减函数且f(x)<0 C ．增函数且f(x)>0D ．增函数且f(x)<0(2)已知定义在R 上的函数f(x)满足：函数y ＝f(x －1)的图象关于点(1,0)对称，且x ≥0时恒有f(x ＋2)＝f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)＝e x－1，则f(2 020)＋f(－2 021)＝________. 【拓展练习】 (1)(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于( ) A ．－50 B ．0 C ．2 D ．50(2)(多选)关于函数f(x)＝x ＋sin x ，下列说法正确的是( ) A ．f(x)是奇函数 B ．f(x)是周期函数C ．f(x)有零点D ．f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增【要点提炼】考点三 函数的图象1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．【热点突破】考向1 函数图象的识别【典例4】 (1)(2020·衡水模拟)函数f(x)＝x ·ln |x|的图象可能是( )(2)已知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是( )A ．f(x)＝1－ex1＋e x ·sin xB ．f(x)＝e x－1e x ＋1·sin xC ．f(x)＝1－ex 1＋e x ·cos xD ．f(x)＝e x－1e x ＋1·cos x考向2 函数图象的变换及应用【典例5】 (1)若函数y ＝f(x)的图象如图所示，则函数y ＝－f(x ＋1)的图象大致为( )(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤0，－x 2－3x ，x>0，若不等式|f(x)|≥mx －2恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．[3－22，3＋22]B ．[0,3－22]C ．(3－22，3＋22)D ．[0,3＋22]【拓展练习3】 (1)(2020·天津市大港第一中学模拟)函数y ＝2|x|sin 2x 的图象可能是( )(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≤0，ln x ＋1，x>0，若存在x 0∈R 使得f(x 0)≤ax 0－1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞)B ．[－3,0]C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－3]∪(0，＋∞)专题突破一、单项选择题1．函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg x ＋1的定义域为( )A ．(－1,3]B ．(－1,0)∪(0,3]C ．[－1,3]D ．[－1,0)∪(0,3]2．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 21－x ，x<0，22x －1，x ≥0，则f(－3)＋f(log 23)等于( )A.112B.132C.152D ．103．设函数f(x)＝4x23|x|，则函数f(x)的图象大致为( )4．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －a|，x ≤1，x ＋1，x>1，若f(1)是f(x)的最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,2)B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[1，＋∞)5．(2020·抚顺模拟)定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x ＋2)＝f(x)，当x ∈[－1,0]时，f(x)＝－x －2，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6>f ⎝⎛⎭⎪⎫cos π6 B ．f(sin 3)<f(cos 3)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 4π3D ．f(2 020)>f(2 019) 6．定义新运算：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a<b 时，ab ＝b 2.则函数f(x)＝(1x)x －(2x)，x ∈[－2,2]的最大值为( )A ．－1B ．1C ．6D ．127．(2020·全国Ⅱ)设函数f(x)＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|，则f(x)( )A ．是偶函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞单调递增B ．是奇函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12单调递减C ．是偶函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12单调递增D ．是奇函数，且在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12单调递减 8．已知函数f(x)(x ∈R )满足f(x)＝f(2－x)，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f(x)图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则i 等于( ) A ．0 B ．m C ．2m D ．4m 二、多项选择题9．若函数f(x)，g(x)分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足f(x)＋2g(x)＝e x，则( ) A ．f(x)＝e x＋e－x2B ．g(x)＝e x －e－x2C ．f(－2)<g(－1)D ．g(－1)<f(－3)10．(2020·福州质检)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋32x ，x ≥0，x 2－32x ，x<0，则( )A ．f(x)是偶函数B ．f(x)在[0，＋∞)上单调递增C ．f(x)在(－∞，0)上单调递增D ．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≥f(1)，则－1≤a ≤111．符号[x]表示不超过x 的最大整数，如[3.14]＝3，[－1.6]＝－2，定义函数f(x)＝x －[x]，则下列命题正确的是( ) A ．f(－0.8)＝0.2B ．当1≤x<2时，f(x)＝x －1C ．函数f(x)的定义域为R ，值域为[0,1)D ．函数f(x)是增函数、奇函数12．已知函数f(x)的定义域为R ，且f(x ＋1)是偶函数，f(x －1)是奇函数，则下列说法正确的是( ) A ．f(7)＝0B ．f(x)的一个周期为8C ．f(x)图象的一个对称中心为(3,0)D ．f(x)图象的一条对称轴为直线x ＝2 019 三、填空题13．(2020·江苏)已知y ＝f(x)是奇函数，当x ≥0时，f(x)＝23x ，则f(－8)的值是________． 14．已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x ＋2)＝－1f x，当x ∈(0,2]时，f(x)＝2x ＋1，则f(2 020)＋f(2 021)的值为________．15．对于函数y ＝f(x)，若存在x 0使f(x 0)＋f(－x 0)＝0，则称点(x 0，f(x 0))是曲线f(x)的“优美点”．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x<0，kx ＋2，x ≥0，若曲线f(x)存在“优美点”，则实数k 的取值范围是________________．16．(2020·全国Ⅲ)关于函数f(x)＝sin x ＋1sin x 有如下四个命题：①f(x)的图象关于y 轴对称； ②f(x)的图象关于原点对称；③f(x)的图象关于直线x ＝π2对称； ④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是________．。

2022高考数学二轮复习讲义专题一 第2讲 基本初等函数、函数与方程【要点提炼】考点一 基本初等函数的图象与性质1．指数函数y ＝a x(a>0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x(a>0，a ≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象的异同． 2．幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．【热点突破】【典例】1 (1)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x 2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)( ) A ．有最小值－1，最大值1 B ．有最大值1，无最小值 C ．有最小值－1，无最大值 D ．有最大值－1，无最小值(2)已知函数f(x)＝e x＋2(x<0)与g(x)＝ln(x ＋a)＋2的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1eB ．(－∞，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，eD.⎝⎛⎭⎪⎫－e ，1e 【拓展训练】1 (1)函数f(x)＝ln(x 2＋2)－e x －1的大致图象可能是( )(2)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－12的解集是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，－1] C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)【要点提炼】考点二 函数的零点 判断函数零点个数的方法： (1)利用零点存在性定理判断法． (2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y ＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．考向1 函数零点的判断【典例】2 (1)(2020·长沙调研)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧xe x，x ≤0，2－|x －1|，x>0，若函数g(x)＝f(x)－m 有两个不同的零点x 1，x 2，则x 1＋x 2等于( )A ．2B ．2或2＋1eC ．2或3D ．2或3或2＋1e(2)设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f(x ＋2)＝f(2－x)，当x ∈[－2,0]时，f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1，则关于x 的方程f(x)－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【特点突破】考向2 求参数的值或取值范围 【典例】3 (1)已知关于x 的方程9－|x －2|－4·3－|x －2|－a ＝0有实数根，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x>a ，x 2＋6x ＋3，x ≤a ，若函数g(x)＝f(x)－2x 恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为____________________．【拓展训练】2 (1)已知偶函数y ＝f(x)(x ∈R )满足f(x)＝x 2－3x(x ≥0)，若函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，－1x，x<0，则y ＝f(x)－g(x)的零点个数为( )A ．1B ．3C ．2D ．4(2)(多选)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2a ，x<0，x 2－ax ，x ≥0，若关于x 的方程f(f(x))＝0有8个不同的实根，则a 的值可能为( ) A ．－6 B ．8 C ．9 D ．12专题训练一、单项选择题1．(2020·全国Ⅰ)设alog 34＝2，则4－a等于( )A.116B.19C.18D.162．函数f(x)＝ln x ＋2x －6的零点一定位于区间( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5)3．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax 和g(x)＝log a (x ＋2)(a>0且a ≠1)的大致图象可能为( )4．(2020·广东省揭阳三中模拟)已知a ，b ，c 满足4a ＝6，b ＝12log 4，c 3＝35，则( )A ．a<b<cB ．b<c<aC ．c<a<bD ．c<b<a5．(2020·全国Ⅲ)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病典例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)＝K1＋e－0.23t －53，其中K 为最大确诊病典例数．当I(t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( ) A ．60 B ．63 C ．66 D ．696．(2020·泉州模拟)若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( )A ．1<a<2B ．0<a<2，a ≠1C ．0<a<1D ．a ≥27．(2020·太原质检)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x>0，－2x 2＋4x ＋1，x ≤0(e 为自然对数的底数)，若函数g(x)＝f(x)＋kx 恰好有两个零点，则实数k 等于( ) A ．－2e B ．e C ．－e D ．2e 8．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，x ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x|＋1，x ≠0，若关于x 的方程2f 2(x)－(2a ＋3)f(x)＋3a ＝0有五个不同的解，则a 的取值范围是( )A ．(1,2)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 二、多项选择题9．(2020·临沂模拟)若10a ＝4,10b＝25，则( ) A ．a ＋b ＝2 B ．b －a ＝1 C ．ab>8lg 22D ．b －a>lg 610．已知函数f(x)＝log a (x ＋1)，g(x)＝log a (1－x)，a>0，a ≠1，则( ) A ．函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1,1) B ．函数f(x)＋g(x)的图象关于y 轴对称 C ．函数f(x)＋g(x)在定义域上有最小值0 D ．函数f(x)－g(x)在区间(0,1)上是减函数11．(2020·淄博模拟)已知函数y ＝f(x)是R 上的奇函数，对于任意x ∈R ，都有f(x ＋4)＝f(x)＋f(2)成立．当x ∈[0,2)时，f(x)＝2x－1.给出下列结论，其中正确的是( )A ．f(2)＝0B ．点(4,0)是函数y ＝f(x)图象的一个对称中心C ．函数y ＝f(x)在区间[－6，－2]上单调递增D ．函数y ＝f(x)在区间[－6,6]上有3个零点 12．对于函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x ∈[0，2]，12f x －2，x ∈2，＋∞，则下列结论正确的是( )A ．任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤1B ．函数y ＝f(x)在[4,5]上单调递增C ．函数y ＝f(x)－ln(x －1)有3个零点D ．若关于x 的方程f(x)＝m(m<0)恰有3个不同的实根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝132三、填空题13．(2019·全国Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－e ax.若f(ln 2)＝8，则a ＝________.14．已知函数f(x)＝|lg x|，若f(a)＝f(b)(a ≠b)，则函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋22x ＋5，x ≤0，ax 2＋2bx，x>0的最小值为________．15．定义在R 上的奇函数f(x)，当x ≥0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x x ＋1，x ∈[0，1，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞，则函数F(x)＝f(x)－1π的所有零点之和为________．16．对于函数f(x)与g(x)，若存在λ∈{x ∈R |f(x)＝0}，μ∈{x ∈R |g(x)＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f(x)与g(x)互为“零点密切函数”，现已知函数f(x)＝ex －2＋x －3与g(x)＝x 2－ax －x ＋4互为“零点密切函数”，则实数a 的取值范围是________．。

专题03函数的应用(讲学案)求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理•增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力.1函数的零点与方程的根(1) 函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)= 0的实数x叫做函数f(x)的零点.(2) 函数的零点与方程根的关系函数F(x) = f(x) —g(x)的零点就是方程f(x)= g(x)的根，即函数y = f(x)的图象与函数y = g(x)的图象交点的横坐标.(3) 零点存在性定理如果函数y= f(x)在区间［a, b］上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a) • f(b)<0，那么，函数y=f (x)在区间(a, b)内有零点，即存在c€(a, b)使得f(c) = 0,这个c也就是方程f(x) = 0的根.注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.(4) 二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解.2. 应用函数模型解决实际问题的一般程序读题建模求解反馈文字语言? 数学语言? 数学应用? 检验作答与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.3. 在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f(x),g(x)，即把方程写成f(x) = g(x)的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系考点一函数的零点判断x1例1、⑴函数f(x) = e x+ 2X-2的零点所在的区间是()A. 0, 1B. 1, 1C. (1,2) D . (2,3)「log i x, x>0,(2)已知偶函数y = f (x), x € R满足:f(x) = x2- 3x(x》0)，若函数g(x) = 1 则y=f (x)I-X，x<0，—g(x)的零点个数为()A. 1 B . 3 C . 2 D . 4【答案】(1)B (2)B【解析】⑴"閃=己十》(b・"瑚E K上单调递増，又盘二证-謂—殳①夬1)二叶|>0零点在区间G，J上.(2游出函数用>与群0的图象如图所示，易知两个国数图象有3个不同的交点，所以函数y二用)-gW 有扌个零点'故选E【方法技巧】函数零点的求法(1) 判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理•当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断.(2) 已知函数的零点个数求解参数范围，可以利用数形结合思想转化为函数图象交点个数；也可以利用函数方程思想，构造关于参数的方程或不等式进行求解.(3) 对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.【变式探究】设f(x)= In x + x—2,则函数f(x)的零点所在的区间为()A. (0,1) B . (1,2) C . (2,3) D . (3,4)【解析】选 B 法一：T f(1) = In 1 + 1 —2=—1<0,f(2) = In 2>0 ,••• f(1) • f(2)<0 ,•••函数f (x) = In x+ x —2的图象是连续的，•••函数f (x )的零点所在的区间是(1,2) 法二：函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x ) = In x ,h ( x ) =- x + 2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知 f (x )的零点所在的区间为(1,2).考点二、二次函数的零点2例 2、已知函数 f (x ) = x + ax + 2, a € R(1)若不等式f (x ) <0的解集为［1,2］，求不等式f (x ) > 1-x 2的解集；⑵ 若函数g (x ) = f (x ) + x + 1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a 的取值范围.【解析】⑴因为不等式金述0的解集为［1刀，所以Q —矢于罡用)=£—女乜由X 归F 得舁— ％】—珀2,解得磐或立】，所以不等式金阁—0的解集为"寺戎°I 护_24冷「a + 5>0, 2a +11>0, —8<a < - 4,a <- 2 6或a >2 6,所以实数a 的取值范围是(一5, - 2 6). 【方法技巧】解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式； (2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组.【变式探究】已知f (x ) = x 2 + (a 2- 1)x + (a -2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围.2 2解：设方程 x + (a -1) x + ( a - 2) = 0 的两根分别为 X 1, X 2(X 1<X 2)，则(x — 1)(X 2— 1)<0 ,即卩 X 1X 2—(X 1 +X 2)+ 1<0,由根与系数的关系，得 (a — 2) + (a 2- 1) + 1<0,2即 a + a — 2<0,.. — 2<a <1. 故实数a 的取值范围为(一2,1). 考点三、函数的实际应用数炎尸X+QC+ $在区间(切上有两个不同的零点,则S解得—5<a <-2 6.例3、【2016高考四川文科】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入 .若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资 金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：Ig1.12=0.05 , Ig1.3=0.11, Ig2=0.30）（A ）2018 年 （B ） 2019 年 （C ）2020 年 （D ）2021 年 【答案】B【解析】设从2015年开始第算年该公司全年投入的研炭资金开始超过加0万元》由已知得130x （1+ 12%）^ >200 二 1一12门〉誥，两边取常用对数得（川-1血1 1221吕誥..，科一12吨:［丫；3=°卷口二3&…用乏厂故从2019年开始，i 亥公司全年投入的研发资金开始超过200万元,故选B.【方法技巧】解决函数实际应用题的两个关键点（1）认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问 题归纳为相应的数学问题.（2）要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中 的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解.【变式探究】某汽车销售公司在 A , B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润（单位：万元）为y 1= 4.1 x — 0.1 x 2,在B 地的销售利润（单位：万元）为y 2= 2x ，其中x 为销售量（单位：辆），若该公司在两 地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是（ ）A. 10.5万元B . 11万元 C. 43万元 D . 43.025万元【解析】选C 设公司在A 地销售该品牌的汽车 x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车（16 — x ）辆，所以可 x € N,所以当x = 10或11时，总利润取得最大值 43万元.【举一反三】（2016 •四川卷）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg 1.12 〜0.05，lg 1.3 〜0.11，lg 2 〜0.30） A. 2018 年 B . 2019 年 C. 2020 年 D . 2021 年 【答案】B2 2得利润 y = 4.1 x — 0.1 x + 2(16 — x ) =— 0.1 x + 2.1 x + 32=— 0.1 21 2x —+ 0.1 X214 2-+ 32.因为 x € [0,16]且【解析】建立不爭式求解.设2015年后的第矗年，该公司全年投入的研发资金幵始超过200万元，由好0(1+12%户吃0仍得1-1肚磊两边取对数，得丛釜警邛等严=苓二厨…：从如9年开始，该公司全年投入的 研发资金幵始超过2如万元*1.【2017北京，文8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物(A ) 1033(B ) 1053(C ) 1073 (D) 1093【答案】D质的原子总数N 约为1080-则下列各数中与M最接近的是(参考数据：Ig3〜0.48 )【解析】设3361*声，两边取对数,3613361g x=© 乔二 s-Ig10 80=361 Ig3 -80 =93.28 ,所以x = 1093.28，即M最接近1093，故选D. N2.【2017江苏,14】设f(x)是定义在R且周期为1的函数，在区间2I x D[0,1)上，f(x)二, ,其中集[x, x更D,【答案】8【解析】由于,n・N*，则方程f(x)-lgx=0的解的个数是—▲f x • 0,1，则需考虑1 <x <10的情况,在此范围内，x Q且x D时，设x=q,p,q・N ,p_2，且p,q互质，Pn *若lgx • Q ,则由Igx 三［0,1，可设lgx ,m, n ・N,m_2，且m,n 互质，m因此10m= q，则10n i q，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lgx「一Q ,因此不可能与每个周期内血D 对应的部分相等, 只需考虑炉与每个周期ND 的咅吩的交鼠画出函数團象，團中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期xfP 的部分, 且尤=1处(Igx)" =1= —^― < I ,则在X = I 附近仅有一个交点*JOD IO L G IO因此方程/(x)-lgx = Q 的解的个数为S.2f(a -1) f(2a ) w 0,则实数a 的取值范围是▲1【答案】[-1,—]21【解析】因为f -x = -x 3 • 2x •飞-e x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，e因为 f'x =3x 2 -2 e x e 」_3x 2-2 2.e x e "0，所以数f x 在R 上单调递增, 又 f a -1f 2a 2 < 0，即 f 2a 2 乞 f 1 -a ，所以 2a 2 乞 1 一a ，即 2a 2 a -1 乞 0，1_1 1 解得-1乞a ，故实数a 的取值范围为-1, • 21 2」1. 【2016高考山东文数】若函数 y = f (X )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相 垂直，则称y = f(x)具有T 性质.下列函数中具有 T 性质的是()(A ) y =sinx ( B ) y=lnx(C ) y =e x( D ) y =x 3【答案】A【解析】当y 二si nx 时，y = cosx , cos0 cos 二--1，所以在函数y 二si nx 图象存在两点使条件成 立，故A 正确；函数y=|nx,y =e x , y=x 3的导数值均非负，不符合题意，故选A._ 32. 【2016高考山东文数】已知函数 f( x )的定义域为R.当x v 0时，f( x )=x -1 ;当-1 w x w 1时，f(- x )=1 1 1—f( x );当 x >—时，f(x + —)=f(x ——)•则 f(6)=()222e若(A ) -2 (D ) 2【答案】D【解析】当兀时'=所以当时，函数才(对是周期为1的周期函数，Jafj£tJL茎所以/(6) = /(I),又因为当一 1M G 时*(一力二-/(x),所以/(I) = -/(-1) = -［(-1)3-1］ = 2 , 故选D-3.【2016高考四川文科】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：Ig1.12=0.05 , Ig1.3=0.11, Ig2=0.30)(A)2018 年 (B) 2019 年 (C)2020 年 (D)2021 年 【答案】B【解析】设从2015年开始第n 年该公司全年投入的研发资金开始超过 200万元，由已知得130 汇(1 +12% 汀>200; 1.12心》200130 '两边取常用对数得(n- 1)lg1.12 _lg 空，.n-1 _© 2 _ lg1.3=空 竺二3.8,. n_5，故从130Ig1.12 0.052019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.X20. 【2016高考北京文数】函数 f(x)=」^(x^2)的最大值为X_1【答案】21【解析】f(x ) =1 •—1，1 =2，即最大值为2.x T21. 【2016高考天津文数】已知函数f(x)=x(4a -3)x 3a,x :：0(a .0且 a = 1)在R 上单调递减，且1 log a (x+1)+1,x^0x关于x 的方程I f (x)|=2 -—恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是3【答案】［丄2)3 3【解析】由函数f (x)在R 上单调递减得—4a — K00£av13aX1二［兰a 兰3，又方程| f (x) |=22 3 4 3恰有两个不相等的实数解，所以 3a ：：：2,解得a< -，因此a 的取值范围是［丄,2).33 3(B ) -1(C ) 022. 【2016高考上海文科】1 已知 a •二R ,函数 f(x)=log 2( a). x(1) 当a =1时，解不等式f (x)>i ； (2)若关于x 的方程f (x)+iog 2(x 2)=0的解集中恰有一个元素，求a 的值;1 一 一(3)设a >0,若对任意L ［ ,1］，函数f (x)在区间［t,t 1］上的最大值与最小值的差不超过1,求a2的取值范围【答案】(1) {x|0<xv1}. (2) a=0 或一£ . ( 3) .j,邑: 【解析】⑴由+ 得£ + H 解得xe(O t l)r< 1 、(2〉log -+盘 +log 1(x 3)=0有且仅有一解 \x 丿等价于(-十口］< = 1有且仅有一解，等价于a^ + x-l =0有且仅有一解. k x 丿 当日寸，x=l,符合题意,当° H 0时』Z J = 1 + 4£7 = O> a ――—・4综上,灯=0或一［・4(3〉当0<珂<花时』—++所以與对在(O 3-HJD )±M 调递减.函数几力在区间［如+1］上的最犬值与最小值分别为fit} , /(f + 1)・因为a 0，所以函数y 二at — a 1 t -1在区间 -,1上单调递增，IL 2”1 3 13 1^ 2f t -f t 1 Rog ?(1^ ( 1 I t 丿 ®2l t +1+ a *1 即 at 2+(a +1)t —1色0，对任意 t €所以t 时，y有最小值一a ，由一a 0,得a亠一.2 4 2 4 2 3故a的取值范围为Z, •::.：3丿1. 【2015高考安徽，文14】在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x —a|-1的图像只有一个交点，则a的值为1【答案】-丄222.【2015高考湖北，文13】函数f (x) =2sin xsin(x+ -x2的零点个数为 ______________________ .【答案】2.【解析】函数/W=2snjcsn(x + ^)-jr:的零点个数等价于方程2Ssin(x碍d =0的根的个如即fflS4^W = 2sinjfsifi(i +^)-2sinjicoffl =sin2x与的图像交点个数于是'分别画出其国数图像如下图所示，由图可知；函数与城莺的图像有2个交点一3.【2015高考湖南，文14】若函数f(x) =|2x _2|_b 有两个零点，则实数b 的取值范围是 【答案】0 ::: b :：: 2【解析】由函数/(x) =| 2= -2 |-b 有两个零点，可得|21-2|=^有两个不尊的根，从而可得函数 $二|才一2|函数y=b 的團象有两个交点，结合函数的團象可得，Q<b<2｝故答案为：0<b<2，若 f (f (；)) =4，则 b =()6【答案】D1bS ，故选D.5. 【2015高考上海，文21】(本小题14分)本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.衆",-1I 2x ,x 却(A ) 1( B )(C ) 3(D)4【解析】由题意, 5555f(5)=3 --^2-b ，由 f(f(6)"4得，5 b ：： 1 2 53( b) _ b = 4 2--^12，解得%22 =44.【2015高考山东，文10】设函数如图，A, B,C 三地有直道相通， AB =5千米，AC =3千米，BC =4千米.现甲、乙两警员同时从 A地出发匀速前往 B 地，经过t 小时，他们之间的距离为 f(t)(单位：千米).甲的路线是 AB ，速度为5千 米/小时，乙的路线是 ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设时乙到达C 地.(1)求t i 与f (t i )的值;(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是 3千米•当tjt 乞1时，求f (t)的表达式，并判断f(t)在［叩］上得最大值是否超过 3?说明理由.【答案】(1)3h ，1 千米；(2)超过了 3千米.8 8/厂* 315【解析】勺=—— =-h, 此时甲运动到点尸，则AP = ^=-~干米』 吃 **所以才01)= PC = J AC 2+ AP 1-2AC AP cos A ==(2)当/寸，乙在切上的0轧 设甲在尸点,所“J2月二“+伽一册=7—込 PB = AB-AP = 5-5t f 所決/X0 =PQ = ^QB 2-hPB 2-2OB PB s 汀二 J(7-8?)1 +(5-501 -2(7-80(5-5r)x^ = 725?-42r+18 ,7 当§ 时，乙在月点不动，设此时甲在P 点,所次/X0 = PB = AB- AP = 5-5/,J25t 2 —42t +18, 所以f (t)=;7 ” 5 —5t,— 21 L8吋!書千米.33 '41所以当 t <1时，f （t ）・[O,…]，故f （t ）的最大值超过了 3千米.8 86. 【2015高考四川，文8】某食品的保鲜时间 y （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系^e kx b （ ^2.718...为自然对数的底数，k,b 为常数）.若该食品在0 C 的保鲜时间是192小时，在22 C的保鲜时间是48小时，则该食品在 33 C 的保鲜时间是（）【答案】C24（小时）1f (x ) = x 2 + e x — 2( x <0)与g ( x ) = x 2+ ln( x + a )的图像上存在关于 y 轴对 称的点，贝U a 的取值范围是（）A. （ —g,却 B . （—g,曲 「士'呵D.（一念，士）【答案】B【解析】依题意，设存在氏-盹的團像上，则如,琦6朮）的图像上，则有詁+严—尹 沖+10（胸+0），解得即a —ee 刑一卜耐脚>0）丿可得盘€〈一口 &）.2. (2014 •天津卷)已知函数 f (x ) = | x 2+ 3x | , x € R.若方程f (x ) — a | x — 1| = 0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为【答案】(0,1) U (9 ,+^) 【解析】在同一坐标系内分别作出y = f （x ）与y = a |x — 1|的图像如图所示.当 y = a | x — 1|与y = f （x ）—ax + a = — x — 3x , 2 22的图像相切时，由* 整理得 x + (3 — a )x + a = 0，^UA= (3 — a ) — 4a = a — 10a + 9= 0,a >0, 解得a = 1或a = 9.故当y = a | x — 1|与y = f （x ）的图像有四个交点时，0<a <1或a >9.(A )16小时B ）20小时（C ）24小时D ）21小时【解析】由题意, 192 二 e b48 二 e 22k b192 二 e b 得1 I 11ke 2是当x = 33时,33k + b11k 3b13! = (e ) • e = (一)x 192 =1 . （2014 •湖南卷）已知函数 C._ 3 23. (2014 •浙江卷)已知函数 f (x ) = x + ax + bx + c ,且 0<f ( — 1) = f ( — 2) = f ( — 3) < 3,贝 U ( )A. c w 3 B . 3<c < 6 C. 6<c w 9 D .少9 【答案】C-l + a-b+c=-^+4a-2tr+c ? -8+4cr- 2b+c-~27^9a-3b + c— l + 3a —b —Q f a —6fb 19-5a+f>=0二故选Uin n |4. _____________________________________________________________________________________ (2014 •全国卷)若函数f (x ) = cos 2x + a sin x 在区间 g 是减函数，则a 的取值范围是 ___________________________【答案】(—3 2]2 2【解析】f (x ) = cos 2 x + a sin x =— 2sin x + a sin x + 1,令 sin x = t ，贝U f (x ) =— 2t + at + 1.因为 x € -6,y ，所以 t € 2, 1，所以 f (x ) =— 2t 2+ at + 1, t € 1, 1 .因为 f (x ) = cos 2 x + a sin x 在区间 着,n 是减函数，所以f (x )=—2t 2+at +1在区间<,1上是减函数，又对称轴为彳w 2，所以 a € ( —3, 2].【解析】由=>则金）二卫+血+11工十6而故X-6+卫,1-1所示，则下列函数图像正确的是（ ）图1-1【解析】由函数尸1。

高考数学二轮复习专题汇总1专题一：集合、函数、导数与不等式。

此专题函数和导数以及应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。

每年高考中导数所占的比重都非常大，一般情况是在客观题中考查导数的几何意义和导数的计算，属于容易题;二是在解答题中进行综合考查，主要考查用导数研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等，此题具有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合。

2专题二：数列、推理与证明。

数列由旧高考中的压轴题变成了新高考中的中档题，主要考查等差等比数列的通项与求和，与不等式的简单综合问题是近年来的热门问题。

3专题三：三角函数、平面向量和解三角形。

平面向量和三角函数的图像与性质、恒等变换是重点。

近几年高考中三角函数内容的难度和比重有所降低，但仍保留一个选择题、一个填空题和一个解答题的题量，难度都不大，但是解三角形的内容应用性较强，将解三角形的知识与实际问题结合起来将是今后命题的一个热点。

平面向量具有几何与代数形式的“双重性”，是一个重要的知识交汇点，它与三角函数、解析几何都可以整合。

4专题四：立体几何。

注重几何体的三视图、空间点线面的关系及空间角的计算，用空间向量解决点线面的问题是重点。

5专题五：解析几何。

直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题是命题的主旋律。

近几年高考中圆锥曲线问题具有两大特色：一是融“综合性、开放性、探索性”为一体;二是向量关系的引入、三角变换的渗透和导数工具的使用。

我们在注重基础的同时，要兼顾直线与圆锥曲线综合问题的强化训练，尤其是推理、运算变形能力的训练。

6专题六：概率与统计、算法与复数。

要求具有较高的阅读理解和分析问题、解决问题的能力。

高考对算法的考查集中在程序框图，主要通过数列求和、求积设计问题。

高考数学二轮复习策略1.加强思维训练，规范答题过程解题一定要非常规范，俗语说：“不怕难题不得分，就怕每题都扣分”，所以大家要形成良好的思维品质和学习习惯，务必将解题过程写得层次分明结构完整。

微重点2函数的公切线问题函数的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养．考点一求两函数的公切线例1(2023·湘潭模拟)已知直线l 是曲线y ＝e x －1与y ＝ln x ＋1的公切线，则直线l 的方程为__________．答案y ＝e x －1或y ＝x解析设直线l 与曲线y ＝e x －1相切于点P (a ，e a －1)，与曲线y ＝ln x ＋1相切于点Q (b ，ln b＋1)，则e a＝1b ＝ln b －e a ＋2b －a，整理得(a －1)(e a －1)＝0，解得a ＝1或a ＝0，当a ＝1时，l 的方程为y ＝e x －1；当a ＝0时，l 的方程为y ＝x .规律方法求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．跟踪演练1(2023·南平模拟)已知曲线y ＝a ln x 和曲线y ＝x 2有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l ，则直线l 的方程为__________．答案2e x －y －e ＝0解析设曲线g (x )＝a ln x 和曲线f (x )＝x 2在公共点(x 0，y 0)处的切线相同，则f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝ax，由题意知f (x 0)＝g (x 0)，f ′(x 0)＝g ′(x 0)，x 0＝a x 0，20＝a ln x 0，解得a ＝2e ，x 0＝e ，故切点为(e ，e)，切线斜率k ＝f ′(x 0)＝2e ，所以切线方程为y －e ＝2e(x －e)，即2e x －y －e ＝0.考点二与公切线有关的求值问题例2(2023·德阳模拟)已知曲线y ＝e x 在点(x 1，y 1)处的切线与曲线y ＝ln x 在点(x 2，y 2)处的切线相同，则(x 1＋1)(x 2－1)等于()A ．－1B ．－2C ．1D ．2答案B解析根据常用函数的导数可知y ＝e x ⇒y ′＝e x ，y ＝ln x ⇒y ′＝1x，则两函数在点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)处的切线分别为y －y 1＝1e x(x －x 1)，y －y 2＝1x 2(x －x 2)，化简得y ＝1e xx ＋(1－x 1)1e x，y ＝1x 2x ＋ln x 2－1，由题意可得112121e (1)e ln 1x x x x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，，化简得x 1x 2＋x 2－x 1＋1＝0⇒(x 1＋1)(x 2－1)＝－2.规律方法利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程．跟踪演练2已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，若经过点A (0，－1)存在一条直线l与f (x )的图象和g (x )的图象都相切，则a 等于()A ．0B ．－1C ．3D ．－1或3答案D解析设直线l 与f (x )＝x ln x 相切的切点为(m ，m ln m )，由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝1＋ln x ，可得切线的斜率为1＋ln m ，则切线方程为y －m ln m ＝(1＋ln m )(x －m )，将A(0，－1)代入切线方程可得－1－m ln m＝(1＋ln m)(0－m)，解得m＝1，则切线l的方程为y＝x－1，＝x－1，＝x2＋ax，可得x2＋(a－1)x＋1＝0，由Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3.考点三判断公切线条数例3(2023·广州模拟)曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝ln x公切线的条数是() A．0B．1C．2D．3答案C解析设公切线与y＝x2的切点为(x1，x21)，与y＝ln x的切点为(x2，ln x2)，y＝x2的导数为y′＝2x，y＝ln x的导数为y′＝1x，则在切点(x1，x21)处的切线方程为y－x21＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x21，则在切点(x2，ln x2)处的切线方程为y－ln x2＝1x2(x－x2)，即y＝1x2x＋ln x2－1，x1＝1x2，21＝1－ln x2，整理得到x21－ln x1＝1＋ln2，令f(x)＝x2－ln x，x∈(0，＋∞)，则f′(x)＝2x－1x＝2x2－1x，f′(x)>0⇒x>22；f′(x)<0⇒0<x<22，∴f(x)f(x)min＝f＝12＋12ln2<1＋ln2，即函数f(x)与y＝1＋ln2的图象如图所示，由图可知，函数f (x )的图象与直线y ＝1＋ln 2有两个交点，则方程x 21－ln x 1＝1＋ln 2有两个不相等的正根，即曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝ln x 公切线的条数是2.规律方法运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况．跟踪演练3已知函数f (x )＝x 2－4x ＋4，g (x )＝x －1，则f (x )和g (x )的公切线的条数为()A ．3B ．2C ．1D ．0答案A解析设公切线与f (x )和g (x )分别相切于点(m ，f (m ))，(n ，g (n ))，f ′(x )＝2x －4，g ′(x )＝－x －2，g ′(n )＝f ′(m )＝g (n )－f (m )n －m，解得m ＝－n －22＋2，代入化简得8n 3－8n 2＋1＝0，构造函数h (x )＝8x 3－8x 2＋1，h ′(x )＝8x (3x －2)，则h (x )在(－∞，0)23，＋∞在0，23h (0)>0，极小值h 23<0，故函数h (x )的图象和x 轴有3个交点，方程8n 3－8n 2＋1＝0有三个解，故公切线有3条．考点四求参数的取值范围例4(2023·保定模拟)若曲线f (x )＝kx(k <0)与g (x )＝e x 有三条公切线，则k 的取值范围为()A.－1e ，0B.－∞，－1e C.－2e ，0 D.－∞，－2e答案A解析设公切线为l ，P (x 1，y 1)是l 与f (x )的切点，由f (x )＝kx，得f ′(x )＝－kx 2，设Q (x 2，y 2)是l 与g (x )的切点，由g (x )＝e x ，得g ′(x )＝e x ，所以l 的方程为y －y 1＝－kx 21(x －x 1)，因为y 1＝kx 1，整理得y ＝－k x 21x ＋2k x 1，同理y －y 2＝2e x(x －x 2)，因为y 2＝2e x，整理得y ＝2e xx ＋2e x(1－x 2)，依题意，可得222121e 2e (1)x x k x k x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，消去x 1，得4k ＝－2e x(x 2－1)2，由题意此方程有三个不相等的实根，设h (x )＝－e x (x －1)2，即直线y ＝4k 与曲线h (x )有三个不同的交点，因为h ′(x )＝e x (1－x 2)，令h ′(x )＝0，则x ＝±1，当x <－1或x >1时，h ′(x )<0；当－1<x <1时，h ′(x )>0，所以h (x )有极小值为h (－1)＝－4e －1，h (x )有极大值为h (1)＝0，因为h (x )＝－e x (x －1)2，e x >0，(x －1)2≥0，所以h (x )≤0，当x 趋近于－∞时，h (x )趋近于0；当x 趋近于＋∞时，h (x )趋近于－∞，故h (x )的大致图象如图．所以当－4e －1<4k <0，即－1e <k <0时，直线y ＝4k 与曲线h (x )有三个交点．规律方法利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k 的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解．跟踪演练4(2023·桂林模拟)若曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝e xa(a >0)存在公切线，则实数a的取值范围是()A ．(0,1)，e 24C.e 24，2 D.e 24，＋∞答案D解析y ＝x 2在点(m ，m 2)处的切线斜率为2m ，y ＝e xa (a >0)处的切线斜率为e na ，如果两个曲线存在公切线，那么2m ＝e n a .又由斜率公式得到2m ＝m 2－e na m －n，由此得到m ＝2n －2，则4n －4＝e na有解，则y ＝4x －4，y ＝e xa的图象有公共点．当直线y ＝4x －4与曲线y ＝e x a 相切时，设切点为(s ，t )，则e s a ＝4，且t ＝4s －4＝e sa ，可得t ＝4，s ＝2，即有切点(2,4)，a ＝e 24，故a 的取值范围是a ≥e 24.专题强化练1．已知直线l 为曲线y ＝x ＋1＋ln x 在A (1,2)处的切线，若l 与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1也相切，则a 等于()A ．0B ．－4C ．4D ．0或4答案C解析因为y ＝x ＋1＋ln x ，所以y ′＝1＋1x，所以y ′|x ＝1＝2，所以曲线y ＝x ＋1＋ln x 在A (1,2)处的切线方程为y －2＝2x －2，即y ＝2x .由于切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，＝ax2＋(a＋2)x＋1，＝2x，得ax2＋ax＋1＝0，当a＝0时，1＝0，不成立；又a≠0，两线相切有一切点，所以Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4或a＝0(舍去)．2．(2023·保定模拟)若直线y＝3x＋m是曲线y＝x3(x>0)与曲线y＝－x2＋nx－6(x>0)的公切线，则m＋n等于()A．4B．5C．6D．8答案B解析设直线y＝3x＋m与曲线y＝x3(x>0)相切于点(a，a3)，与曲线y＝－x2＋nx－6(x>0)相切于点(b,3b＋m)，对于函数y＝x3(x>0)，y′＝3x2，则3a2＝3(a>0)，解得a＝1，所以13＝3＋m，即m＝－2.对于函数y＝－x2＋nx－6(x>0)，y′＝－2x＋n，则－2b＋n＝3(b>0)，又－b2＋nb－6＝3b－2，所以－b2＋b(3＋2b)－6＝3b－2，又b>0，所以b＝2，n＝7.所以m＋n＝－2＋7＝5.3．已知曲线C1：y＝x3，曲线C2：y＝cos x－1与直线l：y＝0，则()A．l与C1，C2均相切B．l与C1，C2均不相切C．l与C1相切，l与C2不相切D．l与C1不相切，l与C2相切答案A解析设曲线C1：y＝x3在点A(x0，y0)处的切线的斜率为0，则3x20＝0，y0＝x30，所以x0＝0，y0＝0，切线方程为y＝0，设曲线C2：y＝cos x－1在点B(x1，y1)处的切线的斜率为0，则－sin x1＝0，y1＝cos x1－1，所以x1＝2kπ，y1＝0或x1＝2kπ＋π，y1＝－2，取x 1＝0，y 1＝0可得切线方程为y ＝0，所以l 与C 1，C 2均相切．4．对于三次函数f (x )，若曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线与曲线y ＝xf (x )在点(1,2)处的切线重合，则f ′(2)等于()A ．－34B ．－14C ．－4D ．14答案B解析设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，∵f (0)＝d ＝0，∴f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，∴f ′(0)＝c ＝2－01－0＝2，设g (x )＝xf (x )，则g (1)＝f (1)＝a ＋b ＋2＝2，即a ＋b ＝0，①又∵g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(1)＝f (1)＋f ′(1)＝2，∴f ′(1)＝0，即3a ＋2b ＋2＝0，②由①②可得a ＝－2，b ＝2，c ＝2，∴f ′(2)＝－14.5．与曲线f (x )＝x 3－x 和y ＝x 2＋14均相切的直线l 有()A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案C解析由f ′(x )＝3x 2－1，所以y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))处的切线方程为y －(x 31－x 1)＝(3x 21－1)(x －x 1)，整理得y ＝(3x 21－1)x －2x 31.设g (x )＝x 2＋14，直线l 与g (x )的图象相切于点(x 2，g (x 2))，因为g ′(x )＝2x ，所以切线方程为y 222x 2(x －x 2)，整理得y ＝2x 2x －x 22＋14，x 21－1＝2x 2，2x 31＝－x 22＋14，(*)整理得－2x31－14＝94x41－2x31－32x21＝x214(9x21－8x1－6)＝0，当9x21－8x1－6＝0时，Δ＝82＋4×9×6>0，方程有两个非零实数根，x1＝0也满足方程，故x1有3个解，所以方程组(*)有3组解，故满足题中条件的直线l有3条．6．若存在斜率为3a(a>0)的直线l与曲线f(x)＝12x2＋2ax－2b与g(x)＝3a2·ln x都相切，则实数b的取值范围为()A.233,e4⎤- ⎥⎦⎛⎝∞ B.234,e3⎤- ⎥⎦⎛⎝∞C.232e3⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，∞ D.233e2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，∞答案A解析设直线l与f(x)，g(x)的切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为f(x)＝12x2＋2ax－2b，g(x)＝3a2·ln x，所以f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝3a2 x，因为直线l与f(x)，g(x)都相切，所以x1＋2a＝3a2x2＝3a，解得x1＝x2＝a，则两切点重合，即f(a)＝g(a)，12a2＋2a2－2b＝3a2·ln a，2b＝52a2－3a2·ln a，设h(a)＝522－3a2·ln a(a>0)，则h′(a)＝2a－6a ln a＝2a(1－3ln a)，当0<a<13e时，h′(a)>0，h(a)单调递增；当a>13e时，h′(a)<0，h(a)单调递减，则h(a)max＝13 (e) h＝221333 5e3e ln e 2-⋅＝233e 2，因为当a→＋∞时，h(a)→－∞，所以2b≤233e 2，即b≤233e 4，所以实数b的取值范围为233,e4⎤- ⎥⎦⎛⎝∞.7．(2023·嘉兴模拟)已知直线l与曲线C1：y＝x2和C2：y＝－1x均相切，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为________．答案2解析由已知得C1，C2的导函数分别为y′＝2x，y′＝1 x2，设C1，C2上的切点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则有y1－y2x1－x2＝2x1＝1x22＝x21＋1x2x1－x2，1＝2，y1＝4，2＝12，y2＝－2，故l：y＝4x－4与坐标轴的交点坐标分别为(1,0)，(0，－4)，围成的三角形面积为12×1×4＝2.8．已知曲线C1：y＝e x＋a和曲线C2：y＝ln(x＋b)＋a2(a，b∈R)，若存在斜率为1的直线与C1，C2同时相切，则b的最大值为________．答案9 4解析令f(x)＝e x＋a，g(x)＝ln(x＋b)＋a2，则f′(x)＝e x，g′(x)＝1x＋b，设斜率为1的切线在C1，C2上的切点横坐标分别为x1，x2，由题知1e x ＝1x 2＋b＝1，∴x 1＝0，x 2＝1－b ，两点处的切线方程分别为y －(1＋a )＝x 和y －a 2＝x －(1－b )，故a ＋1＝a 2－1＋b ，即b ＝2＋a －a 2＋94≤94.所以b 的最大值为94.9．请你举出与函数f (x )＝e 2x －1在(0,0)处具有相同切线的一个函数：________.答案y ＝x 2＋2x (答案不唯一)解析由题意得f ′(x )＝2e 2x ，故f ′(0)＝2e 0＝2，故函数f (x )＝e 2x －1在原点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ；故可考虑如函数g (x )＝ax 2＋bx 的形式，此时g ′(x )＝2ax ＋b ，故g ′(0)＝b ＝2，取a ＝1，此时g (x )＝x 2＋2x .10．若函数f (x )＝ln x ＋ax 与函数g (x )＝x 2的图象有两条公切线，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，1)解析设公切线与函数f (x )，g (x )分别切于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则过A ，B 的切线分别为y ＋ln x 1－1，y ＝2x 2x －x 22，a ＝2x 2，x 1－1＝－x 22，由ln x 1－1＝－x 22得x 1＝221e x -，代入1x 1＋a ＝2x 2得a ＝2x 2－221e x -，依题意知y ＝a 与y ＝2x －21ex -有两个不同的交点，令φ(x )＝2x －21e x -，∵φ′(x )＝2－2x 21e x -，令φ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(－∞，1)时，φ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，∴φ(x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；∴φ(x )max ＝φ(1)＝1，又x →－∞时，φ(x )→－∞；x→＋∞时，φ(x)→－∞，故a<1.。

专题1 函数（文科）一、考点回顾1.理解函数的概念，了解映射的概念.2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法.3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数.4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质.5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.二、经典例题剖析考点一：函数的性质与图象函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是：1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解．函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x＋a)＝f(a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求．函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。