百师联盟2020届高三开学摸底大联考山东卷数学试题

………○………学校:_______………○………绝密★启用前2020届百师联盟高三开学摸底大联考全国卷数学（文)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题)请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．若复数122iz=-，21z i=+，则12zz=（）A．2i B．2i-C．22i-D．22i+2．已知集合{|31}A x x=-<„，集合(){}2|lg2B x y x==-，则A B=U（）A．[B．(C．[-D．(-3．某商场开展转转盘抽奖活动，每抽奖一次转动一次转盘（转盘如图），经测量可知一等奖，二等奖和三等奖所在扇形区域的圆心角分别为20︒，50︒和60︒，则抽奖一次中一等奖的概率为（）A．1336B．1736C．1936D．1184．已知实数,x y满足2,2,0,yx yx⎧⎪+⎨⎪⎩„……则x y-的最小值为（）A．0 B．2 C．2-D．1○…………外…………○…………………○…※※请※※※※在※※装※※订○…………内…………○…………………○…5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，12,F F 为其左、右焦点，12F F =B 为短轴的一个端点，三角形1BF O （O 为坐标原点），则椭圆的长轴长为（ ） A ．4 B ．8 C D ．1 6．函数()212()log 68f x x x =--+的单调递增区间为（ ） A ．(4,)+∞ B ．(,2)-∞ C ．(3,)+∞ D ．(3,4) 7．元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米量为（ ） A ．1升 B ．32升 C ．23升 D ．43升8．如图，在梯形ABCD 中，2BC AD =，DE EC =，设BA a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，则BE =u u u r （ ）A ．1124a b +r rB ．1536a b +r rC ．2233a b +r rD ．1324a b +r r9．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．3B ．2020C ．3030D ．101010．在一次考试后，为了分析成绩，从1、2、3班中抽取了3名同学（每班一人），记这三名同学为、、A B C ，已知来自2班的同学比B 成绩低，A 与来自2班的同学成绩不同，C 的成绩比来自3班的同学高.由此判断，下列推断正确的为（ ） A ．A 来自1班 B ．B 来自1班 C ．C 来自3班 D ．A 来自2班 11．已知函数(2)y f x =-的图像关于直线2x =对称，在(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增.若()ln34a f =，13e b f ⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，1ln c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（其中e 为自然对数的底，π为圆周率），则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．c b a >> 12．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD ，异面直线AC 与PD ） A ．48π B ．12π C ．36π D ．9π 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．命题:p x ∀，(0,1)y ∈，2x y +<的否定为______. 14．已知()sin (0,10)3f x A x A πωω⎛⎫=+≠< ⎪⎝⎭在12x π=时取得最大值，则ω=_____. 15．已知数列{}n a ，其前n 项和2n S n n =+，设n a n b =，则数列{}n b 的前10项和等于______. 16．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，12,F F 为其左、右焦点，线段2F A 垂直直线b y x a =，垂足为点A ，与双曲线交于点B ，若2F B BA =u u u u r u u u r ，则该双曲线的离心率为______. 三、解答题订…………○……※※答※※题※※订…………○……现采用分层抽样的方法从中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中有1人月支付金额超过3000元的概率. 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 20．已知圆22:()(1)13()C x a y a -+-=∈R ，点()3,3P 在圆内，在过点P 所作的圆的所有弦中，弦长最小值为. （1）求实数a 的值； （2）若点M 为圆外的动点，过点M 向圆C 所作的两条切线始终互相垂直，求点M 的轨迹方程. 21．函数21()ln ,a f x x a R x a =++∈. （1）讨论函数f (x )的单调性； （2）设()2a g x x =+，当a >0时，证明：()()0f x g x -≥恒成立. 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的倾斜角为4π，且过点(5,)M a ，曲线C 的参数方程为4cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）当曲线C 上的点到直线l 的最大距离为l 的直角坐标方程. 23．已知函数()|1||2|f x x x =+--. （1）求不等式()1f x <-的解集； （2）若()|1|f x a -„的解集为实数集R ，求实数a 的取值范围.参考答案1．B【解析】【分析】直接利用复数的除法计算得解.【详解】 由题得12(22)(1)42(1)(1)2z i i i i z i i ---===-+-. 故选：B【点睛】本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．D【解析】【分析】先化简集合B,再求A B U 得解.【详解】由题得(B =，因为{|31}A x x =-<…，所以(A B =-U .故选：D【点睛】本题主要考查对数函数的定义域的求法，考查集合的并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．D【解析】【分析】直接利用几何概型的概率公式求解.【详解】由几何概型的概率公式得抽奖一次中一等奖的概率20136018P ︒==︒. 故选：D【点睛】 本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 4．C【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合求x y -的最小值.【详解】由题得不等式组对应的可行域如图所示，设,z x y y x z =-∴=-，它表示斜率为1，纵截距为-z 的直线系，当直线经过点A(0,2)时，直线的纵截距-z 最大，z 最小.所以min 022=-=-z .故选：C【点睛】本题主要考查线性规划，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 5．B【解析】【分析】先根据已知求出b ，c, 再求出a 得解.【详解】由题得c =12bc =222c a b =-，解得b =4a =，所以长轴长为8.故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 6．A【解析】【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性原理求解.【详解】由题得函数()f x 定义域为(,2)(4,)-∞⋃+∞，函数268(4u x x x =-+>或2x <）的增区间为(4,)+∞， 函数12log v u =在定义域内是减函数，k v =-在定义域内是减函数， 由复合函数的单调性得()f x 的单调递增区间为(4,)+∞.故选：A【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．B【解析】【分析】由题意得12676a a a a +++=，由等差数列的性质即可直接得解.【详解】设竹子自下而上的各节容米量分别为1a ，2a …7a ，则有12676a a a a +++=，由等差数列的性质可得17423a a a +==，所以432a =． 故选：B .【点睛】本题考查了等差数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题.8．D【解析】【分析】取BC 中点F ，再利用向量的线性运算求解即可.【详解】取BC 中点F ，则1113122242BE BC CE BC FA BC BA BC BC BA ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 1324a b =+r r . 故选：D【点睛】本题主要考查向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 9．C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得10a =，23a =，32a =-，45a =，54a =-，67a =⋯可知12343a a a a +=+=⋯=，当2020i =时，101033030S =⨯=． 故选：C ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题． 10．B 【解析】 【分析】由题分析得B 不是来自2班，A 不是来自2班，C 来自2班，再进一步分析得解. 【详解】由题得，B 不是来自2班，A 不是来自2班，所以C 来自2班，又B 的成绩比来自2班的同学高，C 的成绩比来自3班的同学高， 所以B 不能来自3班，只能来自1班. 故选：B 【点睛】本题主要考查推理证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11．A 【解析】 【分析】由题得函数()f x 的图像关于y 轴对称，且(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，再求出ln344>，1013e⎛⎫<< ⎪⎝⎭，12ln 1π-<<-，即得解.【详解】因为函数(2)y f x =-的图像关于直线2x =对称，所以函数()f x 的图像关于y 轴对称，且(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，又ln31>，所以ln344>，1013e⎛⎫<< ⎪⎝⎭，因为2e e π<<， 所以12ln1π-<<-，因为1013e⎛⎫<< ⎪⎝⎭， 所以ln3114ln 3eπ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，所以a c b >>. 故选：A 【点睛】本题主要考查函数的图象和性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 12．D 【解析】 【分析】如图，将其补成长方体.设PA x =，连接1B C ，利用余弦定理求出x=1,再求出几何体外接球的半径，即得解. 【详解】如图，将其补成长方体.设PA x =，连接1B C ， 则异面直线AC 与PD 所成的角就是1ACB ∠或其补角.则221cos ACB ∠==所以1x =，32=， 所以棱锥外接球的表面积为23492ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】本题主要考查余弦定理和几何体外接球的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13．00,(0,1)∃∈x y ，002x y +…【解析】 【分析】直接利用全称命题的否定得解. 【详解】因为命题:p x ∀，(0,1)y ∈，2x y +<是全称命题，所以它的否定为00,(0,1)∃∈x y ，002x y +…. 故答案为：00,(0,1)∃∈x y ，002x y +…. 【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题. 14．2 【解析】 【分析】 由图像得1232k πππωπ⨯+=+，k Z ∈，解之得解.【详解】 由图像得1232k πππωπ⨯+=+，k Z ∈.解得122k ω=+，k Z ∈，10ω<，所以2ω=.故答案为：2 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15．10231024【解析】 【分析】先求出2n a n =，12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再利用等比数列的求和公式求解. 【详解】当n =1时，11==2a S .2211(1)(1)2(1)n n n a S S n n n n n ++=-=+++--=+，所以2n a n =，(2)n ≥,适合n =1. 所以2n a n =.所以12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以数列{}n b 是一个以12为首项，以12为公比的等比数列， 所以{}n b 的前10项和为10101112211023112102412⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-=-. 故答案为：10231024【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查等比数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16【解析】 【分析】先求出2,a ab A c c ⎛⎫⎪⎝⎭，22,22c a ab B cc ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将点B 坐标代入双曲线方程得222c a =，即得解. 【详解】由题得2F A 所在的直线方程为()ay x c b =--，与直线b y x a =的交点为2,a ab A c c ⎛⎫⎪⎝⎭. 因为2F B BA =u u u u r u u u r，所以B 为线段2F A 的中点，所以22,22c a ab B cc ⎛⎫+⎪⎝⎭， 将点B 坐标代入双曲线方程得()2222222222244ac a b b a a b c c+⨯-⨯=所以222c a =，所以ce a==【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，考查双曲线离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 17．（1）35；（2）1225+【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化简()222210cos 6cos 3b B ab C b c a=++-得3cos 5B =；（2）由正弦定理得165AD =，再求出sin BAD ∠=ADC V 的面积. 【详解】（1）由()222210cos 6cos 3b B ab C b c a =++-得()222210cos 6cos 3cb B abc C c b c a=++-.所以()22235cos 3cos 2c b c a b B a C bc+-=+.所以5cos 3cos 3cos b B a C c A =+.所以5sin cos 3sin cos 3sin cos B B A C C A =+. 所以5sin cos 3sin()3sin B B A C B =+= 所以3cos 5B =. （2）由（1）得4sin 5B =，所以sin sin AD AB B ADB=∠，即24152AD =得165AD =.又3sin sin 610BAD B π+⎛⎫∠=+= ⎪⎝⎭.所以124sin 225ABD S AB AD BAD +=⨯⨯∠=V .所以12ADC ABD S S ==V V 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18．（1）见解析；（2）17【解析】 【分析】（1）取AD 中点M ，连接,PM MN ，先证明平面//PMN 平面FDC ，//PN 平面FDC 即得证；（2）设棱锥A BDF -的高为h ，求出43A BDF F ABD V V --==，再解方程114333A BDF BDF V S h h -=⨯⨯==V 得解.【详解】（1）取AD 中点M ，连接,PM MN ， 因为,P N 分别为,BC AF 的中点，所以//MN FD ，因为MN ⊄平面FDC,FD ⊂平面FDC, 所以//MN 平面FDC .由题得//PM CD ，因为PM ⊄平面FDC,CD ⊂平面FDC, 所以//PM 平面FDC .因为,MN PM ⊂平面MNP,MN PN N ⋂=, 由面面平行的判定定理得平面//PMN 平面FDC ， 又PN ⊂平面PMN ，所以//PN 平面FDC .（2）由ABCD 是直角梯形，90ADC DAB ∠=∠=︒，2AB AD ==，BC =，得3CD =，又平面PCD ⊥平面ABCD ，FC CD ⊥，FC ⊥平面ABCD .1111422232323A BDF F ABD V V AB AD FC --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=.设棱锥A BDF -的高为h ，FD =BD =3FB =，所以222cos 26BD FB FD DBF BD FB +-∠==⨯⨯.所以sin 6DBF ∠==，11sin 322BDF S BD FB DBF =⨯⨯⨯∠=⨯=V 114333A BDF BDF V S h h -=⨯⨯==V .得h =.所以棱锥A BDF -的高为17. 【点睛】本题主要考查直线平面位置关系的证明，考查点到平面距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握和计算水平.19．（1）表格见解析，有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关；（2）13【解析】（1）完成列联表，再利用独立性检验计算判断得解；（2）利用古典概型的概率公式求这2人中有1人月支付金额超过3000元的概率. 【详解】（1）列联表如图：220024002400120013.18710.828701*********K ⨯⨯==≈>⨯⨯⨯.所以有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关. （2）由（1）得10x =，所以在抽取的6人中，月支付金额在[100,2000]的有3人，记为123,,A A A ；在(2000,3000)的为2人，记为12,B B ；3000以上的为1人，记为C .则从6人中抽取两人，共有()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()1,A C ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()2,A C ，()31,A B ，()32,A B ，()3,A C ，()12,B B ，()1,B C ()2,B C 15种取法.其中共有()1,A C ，()2,A C ，()3,A C ，()1,B C ，()2,B C 5种符合条件， 所以51153P ==. 【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算和独立性检验，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．（1）2或4；（2）22(2)(1)26x y -+-=或22(4)(1)26x y -+-=.【解析】(1)由题点P 与圆心的连线与弦垂直,即点P 为弦的中点时,过点P 的弦长最短.再根据垂径定理求解实数a 的值即可.(2)根据圆的性质可得点M 的轨迹为(),1a 为圆心,,再根据(1)中的两种情况求解即可. 【详解】（1）由圆22:()(1)13()C x a y a -+-=∈R得到圆心坐标为(),0a 点()3,3P 在圆内,<解得06a <<,由圆的弦的性质可知,点P 与圆心的连线与弦垂直, 即点P 为弦的中点时,过点P 的弦长最短在过点P 所作的圆的所有弦中,弦长最小值为.=解得2a =或4,（符合06a <<）.（2）由（1）可知,2a =或4a =时,因为过点M 向圆C 作的两条切线总互相垂直,所以由圆的切线的性质可知两条切线和垂直于切线的两条半径构成的四边形为正方形,,所以,点M 的轨迹为(),1a 为圆心, 所以点M 的轨迹方程为22(2)(1)26x y -+-=或22(4)(1)26x y -+-=.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,包括垂径定理以及轨迹方程的求解,属于中等题型. 21．（1）答案见解析；（2）证明见解析； 【解析】（1）由题意可知0x >，22122()a x af x x x x -'=-=，再对a 分情况讨论，分别分析函数()f x 的单调性；（2）要证()()0f x g x -…，只需证120a lnx x a ++-…，设1()2a h x lnx x a=++-，利用导数得到()h x 在x a =时取得极小值，所以()()11min h x h a lna a ==+-，再令()11m a lna a=+-，利用导数得到()m a 在1a =时取得极小值，所以最小值为()10m =，从而得出当0a >时，()0h x …恒成立，即()()0f x g x -…恒成立． 【详解】解：（1）由题意可知0x >，22122()a x af x x x x -'=-=， ①当0a „时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增， ②当0a >时，i ．当02x a <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,2)a 上单调递减，ii ．当2x a =时，()0f x '=，iii ．当2x a >时，()0f x '>，所以()f x 在(2,)a +∞上单调递增；（2）要证()()0f x g x -…，所以只需证120a lnx x a++-…， 设1()2a h x lnx x a =++-，则221()a x a h x x x x-'=-=， 当(0,)x a ∈时，()0h x '<；当x a =时，()0h x '=；当(,)x a ∈+∞时，()0h x '>，()h x ∴在x a =时取得极小值，即为最小值()()11min h x h a lna a==+-，令()11m a lna a =+-，则()22111a m a a a a-'=-=， 当(0,1)a ∈时，()0m a '<；当1a =时，()0m a '=；当(1,)∈+∞a 时，()0m a '>，()m a ∴在1a =时取得极小值，即最小值为()10m =，∴当0a >时，()0h x …恒成立，即()()0f x g x -…恒成立． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，属于中档题．22．（1）221169x y +=；（2）50x y -+=或50x y --=. 【解析】【分析】（1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】解：（1）由4cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）得cos ,4sin .3x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以2222sin cos 43x y θθ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以曲线C 的直角坐标方程为221169x y +=. （2）直线l 的方程为5y a x -=-，即50x y a -+-=.设曲线C 上任一点(4cos ,3sin )M θθ，则点M 到直线l 的距离d ==3tan 4ϕ=）. ①当5a ->0时，max d ==10a =. ②当50a -<时，max d ===0a = 综合①②可知直线l 的直角坐标方程为50x y -+=或50x y --=.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题．23．（1）(,0)-∞；（2）(,2][4,)-∞-⋃+∞.【解析】【分析】（1）将()f x 写为分段函数的形式，然后根据()1f x <-，分别解不等式即可；（2）由（1）知()3max f x =，然后根据()|1|f x a -„的解集为实数集R ，可得()|1|max f x a -„，再解关于a 的不等式即可．【详解】（1）由题可得3,1,()21,12,3,2,x f x x x x --⎧⎪=--<<⎨⎪⎩„…()1f x <-Q ，1x ∴<-或12211x x -<<⎧⎨-<-⎩， 1x ∴<-或10x -<„，0x ∴<，所以不等式的解集为(,0)-∞.（2）由（1）可得()3max f x =若()|1|f x a -„的解集为R ，只需|1|3a -…. 解得2a -„或4a …， 所以实数a 的取值范围为(,2][4,)-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题．。

2020届百师联盟高三开学摸底大联考山东卷数学试题一、单选题1．已知集合{}|31A x x =-<≤，集合{}2|2B x y x ==-，则A B =U （ ）A ．2,1⎡⎤-⎣⎦B ．(2,1⎤-⎦C ．3,2⎡⎤-⎣⎦D ．(3,2⎤-⎦【答案】D【解析】由题意{}|22B x x =-≤≤，再由集合并集的概念直接计算即可得解.【详解】由题意{}{}{}22|2|20|22B x y xx x x x ==-=-≥=-≤≤，所以{}{}{}(|31|3|2223,2x x A B x x x x ⎤⋃=--<≤=-<≤=≤≤⋃-⎦．故选：D. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法和集合并集的运算，属于基础题. 2．函数()1sin f x x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】由函数()f x 的性质对比各选项图象的特征，逐项排除即可得解. 【详解】Q 由()()()11sin sin f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=---=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()1sin f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数，排除选项B ，C ；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x >，排除选项D ．故选：A. 【点睛】本题考查了函数图象的识别，关键是验证各选项的差异，属于基础题.3．已知圆锥的底面半径为1，过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥截成上下两部分，在原来圆锥的表面上任取一点A ，则点A 在圆锥上半部分的概率为（ ） A ．16B ．23C ．12D ．15【答案】A【解析】由题意计算出圆锥侧面积和底面积，再计算出圆锥上半部分的面积，根据几何概型概率的求解即可得解. 【详解】2=，∴该圆锥侧面积为12222ππ⨯⨯=，底面积为21ππ⨯=，圆锥上半部分的面积为1121222ππ⨯⨯⨯=，∴所求概率1226p πππ==+．故选：A. 【点睛】本题考查了圆锥的特征和几何概型概率的求解，属于基础题.4．已知P 为圆()2211x y ++=上任一点，A ，B 为直线l ：3470x y +-=上的两个动点，且3AB =，则PAB ∆面积的最大值为（ ）A ．9B ．92C ．3D ．32【答案】B【解析】计算出圆上点到直线的最远距离为3，利用面积公式即可得解. 【详解】由题意知圆()2211x y ++=的圆心为()1,0-，半径为1，3725--==，所以圆上的点到直线的最大距离为213+=， 所以PAB S ∆的最大值为193322⨯⨯=． 故选：B. 【点睛】本题考查了圆上点到直线距离最值的求解，考查了转化化归思想，属于基础题. 5．元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米量为（ ） A ．1升 B ．32升 C ．23升 D ．43升 【答案】B【解析】由题意得12676a a a a +++=，由等差数列的性质即可直接得解. 【详解】设竹子自下而上的各节容米量分别为1a ，2a …7a ，则有12676a a a a +++=，由等差数列的性质可得17423a a a +==，所以432a =． 故选：B. 【点睛】本题考查了等差数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题.6．已知偶函数()f x 在[)0,+∞上减函数，若31log 10a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 4b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.53c f -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c a b <<【答案】C【解析】由偶函数的性质可得()331log log 1010f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()133log 4log 4f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，比较3log 10、3log 4、0.53-的大小后，根据函数的单调性即可得解. 【详解】Q ()f x 为偶函数，在[)0,+∞上为减函数，∴()33311log log log 101010f f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()11333log 4log 4log 4f f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由函数3xy =的单调性可得0.500331-<<=，由函数3log y x =的单调性可得331log 4log 10<<，∴0.533031log 4log 10-<<<<， ∴()1330.51log 4l 3og 10f f f -⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝>⎭⎝⎭即a b c <<. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数奇偶性和单调性的应用，考查了指数和对数式的大小比较，属于中档题. 7．()()5102221x x xx +-+的展开式中，含7x 项的系数为（ ）A ．100B ．300C ．500D ．110【答案】A【解析】转化条件得()()()()510520222211x xxx x x x +-+=+-，则可写出其通项公式()()30115201kr k r k r k T T C C x-+++=-，通过分别给r 、k 赋值令23r k +=，即可得解.【详解】 由题意()()()()510520222211x xx x x x x +-+=+-，则其通项公式为：()()()()5302201152052011rkkr k rr k k r k r k T T Cx x C x C C x --+-++=⋅-=-， 其中05r ≤≤，020k ≤≤，则23r k +=，所以可取3r =，20k =，此时()20320520110C C -=； 4r =，19k =，此时()194195201100C C -=-；=5r ，18k =，此时()185185201190C C -=； 所以7x 项的系数为10100190100-+=． 故选：A. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了计算能力和分类讨论思想，属于中档题. 8．若tan 2α=，则2sin 2cos αα+=（ ） A ．1 B ．-1C ．2D ．-2【答案】A【解析】由题意2222cos 2sin cos cos sin 2sin cos ααααααα++=+，利用商数关系即可得解. 【详解】由题意2222cos 2sin cos cos sin 2sin cos ααααααα++=+2212tan 1221tan 121αα++⨯===++. 故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数的以值求值，考查了商数关系和平方关系的应用，属于基础题.9．双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，1F ，2F 为其左､右焦点，线段2F A 垂直直线by x a=，垂足为点A ，与C 交于点B ，若2F B BA =u u u u r u u u r ，则C 的离心率为（ ）A ．B ．2C ．3D【答案】A【解析】由题意()2,0F c ，2F A 所在的直线方程为()ay x c b =--，求出点2,a ab A c c ⎛⎫⎪⎝⎭，进而求得22,22c a ab B c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入双曲线的方程化简后得222c a =，利用e =得解. 【详解】 由题意()2,0F c ，Q 线段2F A 垂直直线by x a =，∴2F A a k b=-，∴2F A 所在的直线方程为()a y x c b =--，与直线by x a =的交点为2,a ab A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，Q 2F B BA =u u u u r u u u r，∴B 为线段2F A 的中点， ∴22,22c a ab B c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入双曲线方程得()2222222222244a c a b b a a b c c+⨯-⨯=，得222c a =，∴222c e a==． 故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线离心率的求解，考查了计算能力，属于中档题.10．如图，棱长为2的正方体1111ABCDA B C D ﹣中，点E 、F 分别为AB 、11A B 的中点，则三棱锥F ECD ﹣的外接球体积为（ ）A ．414π B ．43π C ．414164D ．414148【答案】D【解析】三棱锥F ECD -的外接球即为三棱柱11FC D ECD -的外接球，三棱柱外接球的球心为MN 的中点设为点O ，利用勾股定理解得半径得到答案. 【详解】如图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，连接11,FC FD ， 三棱锥F ECD -的外接球即为三棱柱11FC D ECD -的外接球，在ECD V 中，取CD 中点H ，连接EH ，则EH 为边CD 的垂直平分线， 所以ECD V 的外心在EH 上，设为点M ，同理可得11FC D △的外心N ， 连接MN ，则三棱柱外接球的球心为MN 的中点设为点O ，由图可得，2222EM CM CH MH ==+，又2,1MH EM CH -＝＝，可得54EM CM ==，所以2222514OC MO CM ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，解得414OC =， 所以344141413448V π⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：D .【点睛】本题考查了三棱锥外接球问题，转化为三棱柱的外接球是解题的关键.二、多选题11．已知i 为虚数单位，则下面命题正确的是（ ） A ．若复数3i z =+，则131010i z =-． B ．复数z 满足21z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则()2221x y +-=． C ．若复数1z ，2z 满足21z z =，则120z z ≥． D ．复数13z i =-的虚部是3． 【答案】ABC【解析】直接运算可判断A ；由复数的几何意义和复数模的概念可判断B ；由共轭复数的概念，运算后可判断C ；由复数虚部的概念可判断D ；即可得解. 【详解】由()()11333i 3i 3i 1010i i z -===-++-，故A 正确； 由z 在复平面内对应的点为(),x y ，则()221z i x y i -=+-=，即1=，则()2221x y +-=，故B 正确；设复数1z a bi =+，则2z a bi =-，所以()()21220a bi a b z bi z a +-=+=≥，故C 正确；复数13z i =-的虚部是-3，故D 不正确. 故选：A 、B 、C 【点睛】本题综合考查了复数的相关问题，属于基础题. 12．下面四个结论正确的是（ ）A ．向量(),0,0a b a b ≠≠r r r r ，若a b ⊥r r，则0a b ⋅=r r ．B ．若空间四个点P ，A ，B ，C ，1344PC PA PB =+u u u r u u u r u u u r，则A ，B ，C 三点共线．C ．已知向量()1,1,a x =r ，()3,,9b x =-r ，若310x <，则,a b r r 为钝角．D ．任意向量a r ，b r ，c r满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r ．【答案】AB【解析】由向量垂直的充要条件可判断A ；由题意11334444PC PA PB PC -=-u u ur u u u r u u u r u u u r ，即可判断B ；举出反例可判断C ；由向量的数量积运算不满足结合律可判断D.即可得解. 【详解】由向量垂直的充要条件可得A 正确；Q 1344PC PA PB =+u u u r u u u r u u u r ，∴11334444PC PA PB PC -=-u u ur u u u r u u u r u u u r 即3AC CB =u u u r u u u r ，∴A ，B ，C 三点共线，故B 正确；当3x =-时，两个向量共线，夹角为π，故C 错误； 由于向量的数量积运算不满足结合律，故D 错误． 故选：A 、B 【点睛】本题考查了向量垂直的判定、利用向量证明点共线和向量数量积的应用，属于基础题. 13．在下列命题中正确命题是（ ）A ．长方体的长､宽､高分别为a ､b ､c ，则长方体外接球的表面积为()222a b cπ++B ．函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象的一个对称中心为点5,024π⎛⎫⎪⎝⎭C ．若函数()f x 在R 上满足()()1f x f x +=-，则()f x 是周期为2的函数D ．m ，n 表示两条不同直线，α，β表示两个不同平面．若m α⊥，//n β且αβ⊥，则//m n 【答案】AC【解析】由长方体外接球的半径可判断A ；代入524x π=判断y 的值即可判断B ；由()()()111f x f x f x ++=-+=可判断C ；由线面和面面位置关系可判断D ；即可得解. 【详解】长方体外接球的半径r =()2222222444a b c a S c r b πππ+++==+=⋅，故A 正确；当524x π=，sin 4sin 132y x ππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，所以5,024π⎛⎫ ⎪⎝⎭不是对称中心，故B 错误； 由函数()f x 在R 上满足()()1f x f x +=-，则()()()111f x f x f x ++=-+=即()()2f x f x +=，则()f x 是周期为2的函数，故C 正确；若m α⊥，//n β且αβ⊥，m ，n 不一定平行，也可以异面及相交，故D 错误. 故选：A 、C 【点睛】本题综合考查了长方体外接球的性质、三角函数对称中心的求解、函数周期性的判断和线面、面面位置关系的应用，属于中档题.三、填空题14．在一次考试后，为了分析成绩，从1，2，3班中抽取了3名同学(每班一人)，记这三名同学为A ､B ､C ，已知来自2班的同学比B 成绩低，A 与来自2班的同学成绩不同，C 的成绩比来自3班的同学高．由此判断，来自1班的同学为______． 【答案】B【解析】由题意先确定C 来自2班，再根据“来自2班的同学比B 成绩低，C 的成绩比来自3班的同学高”，即可得解. 【详解】由题，B 不是来自2班，A 不是来自2班，所以C 来自2班， 又B 的成绩比来自2班的同学高，C 的成绩比来自3班的同学高， 所以B 不能来自3班，只能来自1班. 故答案为：B. 【点睛】本题考查了简单的逻辑推理的应用，属于基础题.15．设函数()()322f x x ax a x =+++．若()f x 的图像关于原点()0,0对称，则曲线()y f x =在点()1,3处的切线方程为______．【答案】520x y --=【解析】由()f x 的图像关于原点()0,0对称可得0a =，由导数的几何意义可知切线的斜率为()15f '=，求得()13f =后利用点斜式即可得解. 【详解】由题知()f x 为奇函数，可得()()11f f =--即233a +=，则0a =，∴()32f x x x =+，()232'=+f x x ， ∴()1325f '=+=，()13f =，∴切线方程为()351y x -=-即520x y --=．故答案为：520x y --=. 【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用和导数几何意义的应用，属于基础题.16．已知函数()2312log f x x x =-，且()()321f a f -≥，则实数a 的取值范围为______．【答案】[)1,1,3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦【解析】由题意()f x 为偶函数且在()0,∞+上单调递增，转化条件得321a -≥，解不等式即可得解. 【详解】由题可得()()()22331122log log f x x x x x f x -=---=-=，∴()f x 为偶函数，又 当()0,x ∈+∞时，()2233122log log f x x x x x =-=+∴()f x 在()0,∞+上单调递增，∴()()321321f a f a -≥⇔-≥，解得13a ≤或1a ≥． 故答案为：[)1,1,3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了函数奇偶性和单调性的综合应用，考查了含绝对值不等式的解法和转化化归思想，属于中档题.17．()()2sin sin f x x x x =，则()f x 的最小正周期是______，在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是______． 【答案】π 2【解析】化简得()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用2T πω=即可得周期；由,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦可得2,626x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，即可求得()f x 的最大值；即可得解. 【详解】 由题意()()1cos 22sin sin 222sin 2126x f x x x x x x π-⎛⎫==⨯+=-+ ⎪⎝⎭， ∴()f x 最小正周期为22T ππ==， 当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,626x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴当266x ππ-=时，()f x 取最大值()max 12122f x =⨯+=． 故答案为：π，2. 【点睛】本题考查了三角恒等变换的应用和三角函数图象的应用，属于中档题.四、解答题18．在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin sin a c A c A B b B -++=．（1）求B ；（2）若8a c +=，三角形的面积ABC S ∆=b ． 【答案】（1）3π．（2）4 【解析】（1）由题意结合正弦定理得222a c b ac +-=，再由余弦定理可得1cos 2B =，即可得解；（2）由（1）结合三角形面积公式可得16ac =，则利用余弦定理可得()22222cos 3b a c ac B a c ac =+-=+-，计算即可得解.【详解】（1）由()()sin sin sin a c A c A B b B -++=得()sin sin sin a c A c C b B -+=， 由正弦定理得()22a c a cb -⨯+=即222ac b ac +-=，∴222122a cb ac +-=，∴1cos 2B =，由()0,B π∈可得3B π=．（2）由（1）知3B π=，则1sin 2ABC S ac B ∆==16ac =， 又 8a c +=，∴()22222cos 316b a c ac B a c ac =+-=+-=， 解得4b =． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题.19．已知数列{}n a 满足11a =，()()*131n n na n a n N +=+∈．（1）证明数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列并求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）证明见解析，13n n a n -=⋅．（2）()21314n nn S -⨯+=【解析】（1）对递推公式变形得131n n a a n n +=⋅+，由111a =即可证明数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，求出数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式后即可得{}n a 的通项公式；（2）由13n n a n -=⋅，利用错位相减法即可直接得解.【详解】（1）Q ()131n n na n a +=+，∴131n n a an n+=⋅+， 设nn a b n=，∴13n n b b +=．又11a =，∴11b =， ∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为3的等比数列，∴13n nn a nb -==，13n n a n -=⋅． （2）()01221132333133n n n S n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L ①()12313332333133n n n S n n -=++⨯+⨯++-⨯+⨯L ②①-②得，121213333n nn S n --=+++-⨯L ，()21313312444nn n n n n S -⨯+⨯=-+=． 【点睛】本题考查了等比数列的证明和数列通项的求解，考查了错位相减法求数列前n 项和的应用，属于中档题.20．如图所示的多面体的底面ABCD 为直角梯形，四边形DCFE 为矩形，且DE BC ⊥，AD DC ⊥，AD AB ⊥，122AB AD DE CD ====，M ，N ，P 分别为EF ，BF ，BC 的中点．（1）求证：BC ⊥平面MNP ；（2）求直线MN 与平面BCF 所成角的余弦值． 【答案】（1）答案见解析．（2【解析】（1）先证明PN ^平面ABCD ，可得PN BC ⊥，取CD 中点H ，利用等腰三角形的性质可得HP BC ⊥，由线面垂直的判定即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标后，再求出平面BCF 的一个法向量n r和直线MN 的方向向量MN u u u u r，求出两向量夹角的余弦值后利用平方关系即可得解.【详解】（1）证明：Q P ，N 分别为BC ，BF 的中点，∴////PN CF DE ，Q 四边形EDCF 为矩形，∴DE CD ⊥，又Q DE BC ⊥，BC CD C ⋂=，BC ，CD ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥平面ABCD ，∴PN ^平面ABCD ，∴PN BC ⊥，取CD 中点H ，连接PH ，BH ，MH ，则////MH CF PN ，∴点M ，N ，P ，H 同在平面MNP 内．在BHC ∆中，2BH AD ==，2CH CD AB =-=，P 为BC 中点，∴HP BC ⊥，又Q PN HP P ⋂=，PN ，HP ⊂平面MNP ，∴BC ⊥平面MNP ．（2）由（1）知AD ，DE ，CD 三条直线两两垂直且交于点D ，以D 为原点，DA ，DC ，DE 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图．则()2,2,0B ，()0,4,0C ，()0,0,2E ，()0,4,2F ，Q M ，N 分别为EF ，BF 中点，可得()0,2,2M ，()1,3,1N ，∴()2,2,2BF =-u u u r ，()2,2,0BC =-u u u r ，()1,1,1MN =-u u u u r，设平面BCF 的一个法向量为(),,n m n p =r ，则00n BC n BF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即2202220m n m n p -+=⎧⎨-++=⎩，令1m =，可得1n =，0p =，∴()1,1,0n =r ，所以cos ,3n MN n MN n MN⋅==r u u u u rr u u u u r r u u u u r ．所以MN 与平面BCF=.【点睛】本题考查了线面垂直的判定和利用空间向量求线面角，属于中档题.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率3e =1F ，短轴的两个顶点分别为1B ､2B ，且11122F B F B ⋅=u u u u r u u u u r． （1）求椭圆C 的标准方程．（2）若过左顶点A 作椭圆的两条弦AM ､AN ，且0AM AN ⋅=uuu r uuu r，求证：直线MN 与x 轴的交点为定点．【答案】（1）2214x y +=．（2）答案见解析 【解析】（1）由题意32c a =、222c b -=、222c a b =-，解方程组求出24a =，21b =，即可得解；（2）设直线AM 方程为()2y k x =+，联立方程组得222284,1414k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，222284,44k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，则直线MN 的方程为222245284444k k k y x k k k ⎛⎫--+=- ⎪+-+⎝⎭，令0y =得65x =-，即可得证.【详解】（1）设()1,0F c -，()10,B b ，()20,B b -，由题意，32c a =① ()()221112,,2F B F B c b c b c b ⋅=⋅-=-=u u u u r u u u u r②又222c a b =-③由①②③得：24a =，21b =，所以椭圆方程为：2214x y +=．（2）证明：由题可知：()0,2A -，直线AM ，AN 斜率存在且不为零，设直线AM 斜率为k ，则直线AN 斜率为1k-， 设直线AM 方程为()2y k x =+，与椭圆方程联立得()222440y k x x y ⎧=+⎨+-=⎩，得：()222214161640k x k x k +++-= ① 方程①的一根为-2，设(),M M M x y ，则22164214M k x k --=+，得222814M k x k-=+， 所以()2M M y k x =+，得2414M ky k=+， 得222284,1414k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可得(将k 换为1k -)得222284,44k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 则()3222242244202014428281616144MN k kk k k k k k k k k k ++++==-----++()()()2222011611k k k k +=--+ 2544k k -=-， 所以直线MN 的方程为222245284444k k k y x k k k ⎛⎫--+=- ⎪+-+⎝⎭，令0y =，则()()()2222221612862445454k k k x k k k ----=+=+++()()22646554k k -+==-+． 所以，直线MN 与x 轴的交点为定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了椭圆方程的求解，考查了与椭圆相关的定点问题，考查了计算能力，属于中档题.22．函数()()ln 1f x x a x a R =-+∈． （1）试讨论函数()f x 的单调性； （2）若3a =，证明：()()1f x ef x -≥(e 为自然对数的底数)．【答案】（1）答案见解析．（2）答案见解析【解析】（1）求导得()af x x x'-=，根据0a ≤、0a >分类讨论，求出()0f x '<与()0f x '>的解集即可得解；（2）令3ln x x t -=，求导得[)33ln3,t ∈-+∞，令()1th t e t =--，求导得()h t 在0t =时取得极小值，即为最小值，可得()()00h t h ≥=，即可得证.【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()1a x a f x x x'-=-=， ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+单调递增． ②当0a >时，()0,x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当(),x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增．综上，当0a ≤时()f x 在()0,∞+单调递增；当0a >时，()0,x a ∈时，()f x 单调递减，当(),x a ∈+∞时，()f x 单调递增． （2）3a =，()()()()110f x f x ef x ef x --≥⇔-≥，即()3ln 3ln 10x x e x x ----≥，设3ln x x t -=，则()3310x x x t x--='>=， 当03x <<时，0t '<，当3x =时，0t '=，当3x >时，0t '>，所以t 在3x =时取得极小值，即为最小值33ln3-， 所以[)33ln3,t ∈-+∞.令()1th t e t =--，[)33ln3,t ∈-+∞，则()1th t e '=-，当()33ln3,0t ∈-时，()0h t '<，当0t =时，()0h t '=， 当()0,t ∈+∞时，()0h t '>，所以()h t 在0t =时取得极小值，即为最小值． 所以()()00h t h ≥=即1t e t ≥+， 所以()()1f x ef x -≥恒成立．【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性和证明不等式，考查了换元法的应用，属于中档题.23．自2017年起，全国各省市陆续实施了新高考，许多省市采用了“33+”的选科模式，即：考生除必考的语､数､外三科外，再从物理､化学､生物､历史､地理､政治六个学科中，任意选取三科参加高考，为了调查新高考中考生的选科情况，某地调查小组对某中学进行了一次调查，研究考生选择化学与选择物理是否有关．已知在调查数据中，选物理的考生与不选物理的考生人数相同，其中选物理且选化学的人数占选物理人数的45，在不选物理的考生中，选化学与不选化学的人数比为1:9．（1）若在此次调查中，选物理未选化学的考生有100人，将选物理且选化学的人数占选化学总人数的比作为概率，从该中学选化学的考生中随机抽取4人，记这4人中选物理且选择化学的考生人数为Y，求Y的分布列(用排列数､组合数表示即可)和数学期望．（2）若研究得到在犯错误概率不超过0．01的前提下，认为选化学与选物理有关，则选物理且选化学的人数至少有多少？(单位：百人，精确到0．01)附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．【答案】（1）分布列见解析，数学期望为329．（2）至少537人．【解析】（1）分别计算出选物理且选化学和选化学不选物理的人数，利用超几何分布的性质即可得分布列和期望，即可得解；（2）设选物理又选化学的人数为x，列出联表，计算出2245 198K x=，令2 6.635K≥解不等式即可得解.【详解】（1）由题意列联表如图：所以()45044500P X C C ==，()134005044501C C C P X ==，()224005044502C C C P X ==， ()314005044503C C C P X ==，()440044504P X C C ==， 则分布列为由题意选物理且选化学的人数占选化学总人数的比为89，且Y 符合超几何分布， 所以()832499E Y =⨯=． （2）设选物理又选化学的人数为x ，则列联表如下：所以：22225912452832559111984488x x x K x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭==⨯⨯⨯．在犯错误概率不超过0.01的前提下，则2 6.635K ≥，即2456.635198x ≥， 即： 5.37x ≥．所以选物理又选化学的人数至少有5.37(百人)，即至少537人．【点睛】本题考查了超几何分布的应用，考查了相关性检验的应用，考查了计算能力，属于中档题.。

百师联盟2020届高三开学考试摸底大联考全国卷数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|31A x x =-<≤,集合{|B x y ==,则A B =（ ）A. ⎡⎤⎣⎦B. (⎤⎦C. ⎡-⎣D. (-【答案】D【解析】由题意{|B x x =≤≤,再由集合并集的概念直接计算即可得解.【详解】由题意{{}{2||20|B x y x x x x ===-≥=≤≤,所以{{}{(|31|3|x x A B x x x x ⋃=-<≤=-<≤=≤≤⋃-．故选：D.2.已知命题:,(0,1)∀∈P x y ,2x y +<,则命题 P 的否定为（ ）A. ,(0,1)∀∈x y ,2x y +≥B. ,(0,1)∀∉x y ,2x y +≥C. 00,(0,1)∃∉x y ,002+≥x yD. 00,(0,1)∃∈x y ,002+≥x y【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题,可直接得出结果.【详解】命题:,(0,1)∀∈P x y ,2x y +<的否定为“00,(0,1)∃∈x y ,002+≥x y ”．故选D3.已知实数,x y 满足2,2,10,y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩则32x y +的最大值为( )A. 7B. 5C. 4D. 92【答案】A【解析】 画出已知约束条件对应的可行域,求出直接,代入目标函数,得到结果．【详解】解：实数x ,y 满足2210y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩对应的可行域如下图所示：由210y x y =⎧⎨-+=⎩解得(1,2)A ,32z x y =+经过可行域的A 时, 目标函数取得最大值．当1x =,2y =时,327z x y =+=,故32z x y =+的最大值为7,故选：A ．4.某商场开展转转盘抽奖活动,每抽奖一次转动一次转盘（转盘如图）,经测量可知一等奖,二等奖和三等奖所在扇形区域的圆心角分别为20︒,50︒和60︒,则抽奖一次中一等奖的概率为( )。

2020年2020届山东省高三高考模拟考试数学试卷★祝考试顺利★ (解析版)一、单项选择题：1.已知集合{1,2}A =-,{|1}B x ax ==,若B A ⊆,则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为（ ）A. 11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. 11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C. 10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭D. 11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】分B 为空集和B 不为空集两种情况讨论,分别求出a 的范围,即可得出结果. 【详解】因为集合{1,2}A =-,{|1}B x ax ==,B A ⊆, 若B 为空集,则方程1ax =无解,解得0a =； 若B 不为空集,则0a ≠；由1ax =解得1x a=,所以11a =-或12a =,解得1a =-或12a =,综上,由实数a 的所有可能的取值组成的集合为11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.故选D2.若1iz i =-+（其中i 是虚数单位）,则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D分析：变形1iz i =-+,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z 的坐标即可得结论. 详解：由i 1i z =-+, 得()()21i i 1i 1i i iz -+--+===+-,1z i =- ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为()1,1-,位于第四象限,故选D.3.函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数,图象关于y 轴对称,排除D ；根据()0,1x ∈时,()0f x <,排除,A C ,从而得到正确选项. 【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠,且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数,关于y 轴对称,排除D ；当()0,1x ∈时,220x x -+>,ln 0x <,可知()0f x <,排除,A C . 本题正确选项：B4.《九章算术⋅衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关,关税共计100钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（ ） A. 甲付的税钱最多 B. 乙、丙两人付的税钱超过甲 C. 乙应出的税钱约为32 D. 丙付的税钱最少【答案】B 【解析】通过阅读可以知道,A D 说法的正确性,通过计算可以知道,B C 说法的正确性.【详解】甲付的税钱最多、丙付的税钱最少,可知,A D 正确:乙、丙两人付的税钱占总税钱的3511002<不超过甲。

山东省2020届高三普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题2020.2注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必将自己的姓名、准考证号涂写清楚.2．第Ⅰ卷，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{1,2}A =-，{|1}B x ax ==，若B A ⊆，则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为A. 11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭ B. 11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C. 11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ D. 10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭2.若1iz i =+（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3．已知函数()(22)ln ||x x f x x -=+的图象大致为4.《九章算术·衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱，要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是A.甲付的税钱最多B.乙、丙两人付的税钱超过甲C.乙应出的税钱约为32D.丙付的税钱最少 5. 若()2sin 753α︒+=，则()cos 302α︒-=A. 59-B. 49-C. 59D. 496.甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁 7.若a ，b ，c ，满足23a =，2log 5b =，32c =，则A. c a b <<B. b c a <<C. a b c <<D. c b a <<8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若12||3||MF MF =，则双曲线的离心率为A.3B.2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下表是某电器销售公司2019年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中正确的是A. 该公司2019年度冰箱类电器营销亏损B. 该公司2019年度小家电类电器营业收入和净利润相同C. 该公司2019年度净利润主要由空调类电器销售提供D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2019年度空调类电器销售净利润占比将会降低10.已知函数sin ,4()cos ,4x x f x x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则下列结论正确的是A. ()f x 不是周期函数B. ()f x 奇函数C. ()f x 的图象关于直线4x π=对称D. ()f x 在52x π=处取得最大值 11.设A,B 是抛物线2y x =上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是 A. 若OA OB ⊥，则||||2OA OB ≥ B. 若OA OB ⊥，直线AB 过定点(1,0) C. 若OA OB ⊥， O 到直线AB 的距离不大于1 D. 若直线AB 过抛物线的焦点F ，且1||3AF =，则||1BF = 12.如图，矩形中，为的中点，将沿直线翻折成，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是 A.存在某个位置，使得；B.翻折过程中，的长是定值；C.若，则；D.若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知两个单位向量,a b r r 的夹角为30o ，(1)c ma m b =+-r r r，0b c ⋅=r r，则m =______．14.已知曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点2,6)，则该双曲线的离心率为 .15．若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为__________．16. 已知函数()22,,x x af x x x a ⎧≤=⎨>⎩，①若1a =，则不等式()2f x ≤的解集为__________；②若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是__________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10分）在①()222316 3c S b a =+-；②5cos 45b C c a +=，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,设ABC V 的面积为S ,已知 . (1)求tan B 的值;(2)若42,10S a ==,求b 的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18. （12分）已知在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，12AB BC CD AD ===，G 是PB 的中点，PAD ∆是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD . （Ⅰ）求证：CD ⊥平面GAC ； （Ⅱ）求二面角P AG C --的余弦值.19.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a a =-()*n ∈N ，数列{}n b 满足16b =，14n n nb S a =++()*n ∈N . （I ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12n T <.20．（12分）某销售公司在当地A 、B 两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足食品厂以每件250元补货，若销售有剩余食品厂以每件150回收.现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了A 、B 两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据：销售件数89 10 11以这些数据的频数代替两家超市的食品销售件数的概率，记X 表示这两家超市每日共销售食品件数，n 表示销售公司每日共需购进食品的件数.（1）求X 的分布列；（2）以销售食品利润的期望为决策依据，在19n =与n 20=之中选其一，应选哪个？21. （12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，椭圆C 截直线1y =所得的线段的长度为.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，点D 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，若OA OB OD +=uu r uur uuu r，判定四边形OADB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.22.（12分）已知函数2()2ln ()f x x ax x a R =-+∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，当a ≥()()21f x f x -的最大值.高三数学模拟题二参考答案一、CDBB ABAC二、9.ACD 10.AC 11.ACD 12.BD三、13. 4+ 14. 2 15. 8π 16. (1). (-∞ (2). (,2)(4,)-∞⋃+∞ 17.解: 17.解: (1)选择条件①.由題意得()2228 3acsin B a c b =+-.即2224sin 32a c b B ac+-=g整理可得344 cosB sinB sin B -=，…………4分 又 0sin B >.所以 0cos B >,所以sin 3cos 4B tan B B ==.…………5分 选择条件②.因为5cos 45b C c a +=，由正弦定理得，5sin cos 4sin 5sin B C C A +=，5sin cos 4sin 5sin()B C C B C +=+，即sin (45cos )0C B -=，…………3分在ABC V 中，sin 0C ≠，所以4cos 5B =，3sin 5B ==,所以3tan 4B =.…………5分(2)由3 4tan B =，得35sin B =,又42, 10S a ==， 则1131042225S acsin B c ==⨯⨯=,解得14c =.…………7分 将42, 10,14S a c ===代入()222261636c S c a =++-中，得()2222614164231410b ⨯=⨯++-，解得b =…………10分18.（Ⅰ）证明：取AD 的中点为O ，连结OP ，OC ，OB ，设OB 交AC 于H ，连结GH .因为//AD BC ，12AB BC CD AD ===， 四边形ABCO 与四边形OBCD 均为菱形，OB AC ∴⊥，//OB CD ，CD AC ⊥，…………2分因为PAD V 为等边三角形，O 为AD 中点，PO AD ∴⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =.PO ⊂平面PAD 且PO AD ⊥，PO ∴⊥平面ABCD ，…………4分因为CD ⊂平面ABCD ，PO CD ∴⊥，因为H ，G 分别为OB ， PB 的中点， //GH PO ∴，GH CD ∴⊥.………………5分又因为GH AC H ⋂= ，,AC GH ⊂平面GAC ，CD \^平面GAC .…………6分（Ⅱ）取BC 的中点为E ，以O 为空间坐标原点，分别以,,OE OD OP uu u r uuu r uur的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -. 设4=AD ，则()0,0,23P ，()0,2,0A -，()3,1,0C，()0,2,0D ，31,,32G ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝(0,2,23)AP =u u u r ，33(,,3)2AG =uuu r ，…………8分设平面PAG 的一法向量(),,n x y z →=.由00n AP n AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uuu r 2230333022y z x y z ⎧+=⎪⇒⎨++=⎪⎩3y z x z ⎧=-⎪⇒⎨=⎪⎩.令1z =，则(1,3,1)n =-r .由（Ⅰ）可知，平面AGC的一个法向量(,0)CD =u u u r，…………10分cos ,||||n CD n CD n CD ⋅<>==r uu u rr uu u r r uu ur ∴二面角P AG C --的平面角的余弦值为.…………12分19.解析：（I ）由12n n S a a =-， 当2n ≥时，1112n n S a a --=-， 两式相减得12n n a a -=，…………3分 因为14n n nb S a =++， 所以11164a a =++，解得11a =，……4分 所以数列{}n a 是公比为2，11a =的等比数列，{}n a 的通项公式为12n n a -=.…………6分（Ⅱ）由1221nn n S a a =-=-，得11232nn n b -=++，……7分 即()()11122121n nn n b --=++1112121n n -=-++，………………9分 所以011211111111212121212121n n n T --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 1112212n =-<+. ……………………12分 20.解：（1）由已知一家超市销售食品件数8,9,10,11的概率分别为12115555，，， .X 取值为16，17，18，19，20，21，22. ………………1分()111165525P X ==⨯=，()1241725525P X ==⨯⨯=；()22116182555525P X ==⨯+⨯⨯=； ()121161922555525P X ==⨯⨯+⨯⨯=；()11215202555525P X ==⨯+⨯⨯=； ()1122125525P X ==⨯⨯=()111225525P X ==⨯=，………………5分所以X 的分布列为………………6分（2） 当19n =时，记1Y 为A B ，销售该食品利润，则1Y 的分布列为()11466521145016001750190019502000205025252525252525E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1822=. ………………9分当20n =时，记2Y 为,A B 销售该食品利润，则2Y 的分布列为()21466521140015501700185020002050210025252525252525E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1804=.因为()()12E Y E Y > ，故应选19n =. ………………12分21. 解：(Ⅰ)由22222211c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩,解得2,a b c ===………………3分得椭圆C 的方程为22142x y +=. ………………4分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =-或1x =， 此时四边形OADB．………………5分当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y kx m =+，联立椭圆方程22142y kx mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ()222124240k x kmx m ⇒+++-= ()228420k m∆=+->，2121222424,1212km m x x x x k k--+==++ , ………………7分 ()121222212m y y k x x m k +=++=+AB =,点O 到直线AB的距离是d =………………9分由OA OB OD +=uu r uur uuu r 得，2242,1212D Dkm mx y k k -==++， 因为点D 在曲线C 上，所以有2222421212142km m k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得22122k m +=，………………11分由题意四边形OADB 为平行四边形，所以四边形OADB 的面积为OADBS AB d===由22122k m+=得OADBS故四边形OADB．………………12分22.解：（1）由2()2lnf x x ax x=-+得2()2f x x ax'=-+；因为0x>，所以224xx+≥；因此，当4a≤时，2()20f x x ax'=-+≥在(0,)+∞上恒成立，所以()f x在(0,)+∞上单调递增；………………2分当4a>时，由2()20f x x ax'=-+>得2220x ax-+>，解得x>或4ax<<；由2()20f x x ax'=-+<得44a ax<<所以()f x在⎛⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增；在⎝⎭上单调递减；………………4分综上，当4a≤时，()f x在(0,)+∞上单调递增；当4a>时，()f x在⎛⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增；在44a a⎛⎫-⎪⎪⎝⎭上单调递减.………………5分（2）若()f x有两个极值点()1212,x x x x<，由（1）可得，12,x x是方程2220x ax-+=的两不等实根，所以122ax x+=，121x x=，………………6分因此()()2221222111(2ln)(2ln)f x f x x ax x x ax x-=-+--+222222211212122222211212()()2ln 2ln 2ln x x x x x x x x x x x x x x x -++=-+=-+=+-，…7分 令22t x =，则2222222111()()2ln 2ln f x f x t t x x x t-=-+=-+； 由（1）可知2x =，当a ≥2x =≥=， 所以[)22,e t x ∈=+∞，………………10分 令1()2ln g t t t t=-+，[),t e ∈+∞， 则222221221(1)()10t t t g t t t t t-+-'=--+=-=-<在[),t e ∈+∞上恒成立； 所以1()2ln g t t t t=-+在[),t e ∈+∞上单调递减， 故max 1()()2g t g e e e==-+. 即()()21f x f x -的最大值为12e e -+.………………12分。

百师联盟2020届全国高三开学摸底大联考全国卷理科数学试题理科数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间120分钟，满分150分.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|31}A x x =-<„，集合{|B x y ==，则A B ⋃=（ ）A．[ B．( C．[- D．(-2.已知命题:,(0,1)P x y ∀∈，2x y +<，则命题P 的否定为（ ） A ．,(0,1)x y ∀∈，2x y +… B ．,(0,1)x y ∀∉，2x y +…C ．00,(0,1)x y ∃∉，002x y +…D ．00,(0,1)x y ∃∈，002x y +…3.已知实数,x y 满足2,2,10,y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩„…„则32x y +的最大值为（ ） A ．7B ．5C ．4D ．924.某商场开展转转盘抽奖活动，每抽奖一次转动一次转盘（转盘如图），经测量可知一等奖，二等奖和三等奖所在扇形区域的圆心角分别为20︒，50︒和60︒，则抽奖一次中一等奖的概率为（ ）A ．1336 B ．1736 C ．1936D ．595.已知P 为圆22(1)1x y ++=上任一点，,A B 为直线3470x y +-=上的两个动点，且||3AB =，则PAB △面积的最大值为（ ）A ．9B ．92C ．3D ．326.元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米量为（ ） A ．1升 B ．23升 C ．32升 D ．43升 7.如图，在梯形ABCD 中，2BC AD =，DE EC =，设BA a =u u u r ，BC b =u u u r ，则BE =u u u r（ ）A ．1124a b + B ．1536a b +C ．2233a b + D ．1324a b + 8.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．3B ．2020C ．3030D ．10109.()()5102221x xxx +-+的展开式中，含7x 项的系数为（ ）A ．100B ．300C ．500D ．11010.已知函数()sin 0)f x x x ωωω=+->在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有三个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．1014,33⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1014,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．144,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．144,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.如图，四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，90BAD ADC ∠=∠=︒，23AB CD =，E 为PC 上靠近点C 的三等分点，则三棱锥B CDE -与四棱锥P ABCD -的体积比为（ ）A ．19 B ．15 C ．16 D ．1312.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，12,F F 为其左右焦点，线段2F A 垂直直线b y x a=，垂足为点A ，与双曲线交于点B ，若2F B BA =u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为（ ）A B ．2C ．3D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若复数2221iz i-=++，则||z =_____. 14.在一次考试后，为了分析成绩，从1、2、3班中抽取了3名同学（每班一人），记这三名同学为A B C 、、，已知来自2班的同学比B 成绩低，A 与来自2班的同学成绩不同，C 的成绩比来自3班的同学高.由此判断，来自1班的同学为______.15.数列{}n a 中，其前n 项和为n S 且221nn n S a =-+，则10S =_____.16.若函数1()e xf x x b a=--在其定义域上的最小值为0，则2a b 最小值为_____.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC △中，三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()sin sin()sin a c A c A B b B -++=. （1）求B ；（2）若8a c +=，三角形的面积ABC S =△b .18.如图所示的多面体的底面ABCD 为直角梯形，四边形DCFE 为矩形，且DE BC ⊥，AD DC ⊥，又AD AB ⊥，122AB AD DE CD ====，,,M N P 分别为,,EF BF BC 的中点.（1）求证：BC ⊥平面MNP ；（2）求直线MN 与平面BCF 所成角的余弦值..19.移动支付（支付宝支付，微信支付等）开创了新的支付方式，使电子货币开始普及，为了了解习惯使用移动支付方式是否与年龄有关，对某地200人进行了问卷调查，得到数据如下：60岁以上的人群中，习惯使用移动支付的人数为30人；60岁及以下的人群中，不习惯使用移动支付的人数为40人.已知在全部200人中，随机抽取一人，抽到习惯使用移动支付的人的概率为0.6.（1）完成如下的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关，并说明理由.（2）在习惯使用移动支付的60岁以上的人群中，每月移动支付的金额如下表：现采用分层抽样的方法从中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人，记4人中每月移动支付金额超过3000元的人数为Y ，求Y 的分布列及数学期望.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20.函数2()ln 6()a f x a x x a x=--∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若0a >，证明：当(0,2]x ∈时，()0f x <恒成立.21.已知2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e =，椭圆的左焦点为1F ，短轴的两个端点分别为12,B B ，且11122F B F B ⋅=u u u u r u u u u r.（1）求C 的标准方程；（2）若过左顶点A 作椭圆的两条弦,AM AN ，且0AM AN ⋅=u u u u r u u u r，求证：直线MN 与x 轴的交点为定点.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题．．．．作答.如果多做，则按所做第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的倾斜角为4π，且过点(5,)M a ，曲线C 的参数方程为4cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）当曲线C 上的点到直线l 的最大距离为l 的直角坐标方程. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|1||2|f x x x =+--. （1）求不等式()1f x <-的解集；（2）若()|1|f x a -„的解集为实数集R ，求实数a 的取值范围.百师联盟2020届全国高三开学摸底大联考 全国卷理科数学答案及评分意见1.D【解析】[B =，所以(A B ⋃=-.2.D 【解析】由全称命题,()x M p x ∀∈的否定为x M ∃∈，()P x ⌝可得00,(0,1)x y ∃∈，002x y +…. 3.A 【解析】由可行域可知，过点(1,2)时，32x y +取得最大值7.4.C 【解析】概率20502601936036P ︒+︒+⨯︒==︒.5.B 【解析】圆心到直线的距离为|37|25--=，所以圆上的点到直线的最大距离为213+=，所以PABS △的最大值为193322⨯⨯=. 6.B 【解析】设竹子自下而上的各节容米量分别为127,a a a L ，则有12676a a a a +++=，由等差数列的性质可得17423a a a +==，所以432a =. 7.D 【解析】取BC 中点F ，则1111322224BE BC CE BC FA BC BA BC BA BC⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1324a b =+. 8.C 【解析】10a =，23a =，32a =-，45a =，54a =-，67a =…可知12343a a a a +=+==L 当2020i =时，101033030S =⨯=.9.A 【解析】30()11520(1)krkr k r k T T C C x-+++=-，其中05r 剟，020k 剟，，则23r k +=，所以可取3r =，20k =或4r =，19k =或5r =，18k =，分别代入求和得7x 项得系数为100.10.D 【解析】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有三个根，则3sin x πω⎛⎫+=⎪⎝⎭有且仅有三个根，则233x k ππωπ+=+或223k ππ+.k ∈Z .需2223233πωπππππ++<+…解得144,3ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 11.B 【解析】设四棱锥P ABCD -的高为h ，则三棱锥B CDEE -的高为13h ，2AB a =，则3CD a =，所以11532p ABCD V a AD h -=⨯⨯⨯⨯，1113323B CDE V a AD h -=⨯⨯⨯⨯，所以15B CDE P ABCD V V --=12.A 【解析】2F A 所在的直线方程为()a y x c b =--，与直线by x a =的交点为2,a ab A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 为线段FA 的中点，所以22,22c a ab B c c ⎛⎫+⎪⎝⎭，代入双曲线方程得()2222222222244a c a b b a a b c c+⨯-⨯=得222c a =，所以ce a==13. 【解析】(2)(1)222(1)(1)i i z i i i --=+=-+-，所以||z =14.B 【解析】由题，B 不是来自2班，A 不是来自2班，所以C 来自2班，又B 的成绩比来自2班的同学高，C 的成绩比来自3班的同学高，所以B 不能来自3班，只能来自1班. 15.9217 【解析】11121a S a ==-，得11a =， 又11112222nn n n n n n S S a a a ++++-==-+-，即11222n n n n a a ++-=-得111222n n n n a a ++-=. 所以2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项12为公差的等差数列，即11(1)2222n na n n =+-⨯=， 所以122n n a n =⨯由错位相减法可得109217S =. 16.21e-【解析】由题，0x x e b a --…恒成立，可转化为直线1y x b a =+与曲线xy e =相切. 设切点坐标为()00,x x e ，则0001,1.x x e x b a e a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得0201x x a b e -=，令1()e t t h t -=，则2()e tt h t -'=可得当2t =时，()h t 取得最小值21e-. 17. 【解析】（1）由()sin sin()sin a c A c A B b B -++=， 得()sin sin sin a c A C c b B -+=. 由正弦定理得22()a c a c b -⨯+=，即222122a cb ac +-=. 所以1cos 2B =，又因为(0,)B π∈ 所以3B π=.（2）由（1）知3B π=，1sin 2ABC S ac B ==△16ac =， 又8a c +=，解得4a =，4c =，所以：2222cos 16b a c ac B =+-=，得4b =. 18.【解析】（1）证明：因为,P N 分别为,BC BF 的中点，所以PN CF P ，因为四边形EDCF 为矩形，所以DE CD ⊥ 又因为DE BC ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ，所以PN BC ⊥ 取CD 中点H ，连接,,PH BH MH ，则MH CF PN P P ，所以点,,,M N P H 同在平面MNP 内.在BHC △中，2BH AD ==，2CH CD AB =-=，90BHC ∠=︒，P 为BC 中点， 所以HP BC ⊥又因为PN 交HP 于点P ，所以BC ⊥平面MNP .（2）由（1）知,,AD DE CD 三条直线两两垂直且交于点D ，以D 为原点，,,DA DC DE 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.则(2,2,0)B ，(0,4,0)C ，(0,4,2)F ，因为,M N 分别为,EF BF 中点，可得(0,2,2)M ，(1,3,1)N ，设平面BCF 的法向量为(,,)m x y z =u r ，则0,0.n BF n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r即220,2220.x y x y z -+=⎧⎨-++=⎩ 令1x =，可得1y =，0z =，所以(1,1,0)n =r.所以cos ,||||n MN n MN n MN ⋅〈〉==r u u u u rr u u u u r r u u u u r .所以MN 与平面BCF3=. 19.【解析】 （1）列联表如图：220024002400120013.18710.828701*********K ⨯⨯==≈>⨯⨯⨯.所以有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关.（2）由（1）得30x =，所以在抽取的9人中，月支付金额在[100,1000]的有1人，在(1000,2000]的为2人，在(2000,3000]的为3人，3000以上的为3人，则46495(0)42C P Y C ===，31634910(1)21C C P Y C ===，2263495(2)14C C P Y C ===. 1363491(3)21C C P Y C ===， 所以分布列为510514()0123422114213E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=. 所以Y 的数学期望为43. 20.【解析】（1）222226()6a a x ax a f x x x x-++'=+-=. 令()0f x '=，得2260x ax a -++=， 解得12a x =，23a x =-. ①当0a =时，()60f x '=-<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减.②当0a >，02a >，03a -<，()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. ③当0a <时，02a <，03a ->，()f x 在0,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）当0a >时，由（1）得()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减. ①当22a <，即04a <<时，()f x 在(0,2]的最大值 max ()ln 5ln 5222a a a f x f a a a ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为04a <<，所以ln ln 2ln 12a e <<=. 所以ln 502a a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭， ②当22a …，即4a …时，()f x 在(0,2]内单调递增. max ()(2)ln 2122a f x f a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭. 因为4a …，ln 2ln 12a e <=<. 所以ln 202a a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以ln 21202a a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭. 综合①②可知当(0,2]x ∈时，()0f x <恒成立.21.【解析】（1）设1(,0)F c -，1(0,)B b ，2(0,)B b -，由题意2c a =，① 1112(,)(,)2F B F B c b c b ⋅=⋅-=u u u u r u u u u r ，②又222c a b =-，③由①②③得24a =，21b =，所以椭圆方程为2214x y +=. （2）由题可知，(0,2)A -，直线,AM AN 斜率存在且不为零，设直线AM 斜率为k ， 则直线AN 斜率为1k-. 设直线AM 方程为(2)y k x =+，与椭圆方程联立得22(2),440.y k x x y =+⎧⎨+-=⎩得()222214161640k x k x k +++-=.① 方程①的一根为2-，设(),M M M x y ， 则22164214M k x k --=+，得222814M k x k -=+， 所以()2M M y k x =+，得2414M k y k =+ 得222284,1414k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 同理可得（将k 换为1k -）得222284,44k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 则()()()()232222242222442012020514428284416161611144MN k k k k k k k k k k k k k k k k k k +++-++====-------+-++. 所以直线MN 的方程为222245284444k k k y x k k k ⎛⎫--+=- ⎪+-+⎝⎭. 令0y =，则()()()()()222222221616428624645545454k k k k x k k k k --+---=+===-++++. 所以，直线MN 与x 轴的交点为定点6,05⎛⎫-⎪⎝⎭. 22.【解析】（1）由4cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.得cos ,4sin .3x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以2222sin cos 43x y θθ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以曲线C 的直角坐标方程为221169x y +=. （2）直线l 的方程为5y a x -=-，即50x y a -+-=.设曲线C 上任一点(4cos ,3sin )M θθ，则点M 到直线l 的距离d ==3tan 4ϕ=）. ①当50a ->时，max d ==，解得10a =. ②当50a -<时，max d ===0a = 综合①②可知直线l 的直角坐标方程为50x y -+=或50x y --=.23.【解析】（1）由题可得3,1,()21,12,3,2,x f x x x x --⎧⎪=--<<⎨⎪⎩„…31,1,()1211,1 2.x f x x x -<--⎧<-⇔⎨-<--<<⎩„ 解得0x <，所以不等式的解集为(,0)-∞.（2）由（1）可得若()|1|f x a -„的解集为R ，只需|1|3a -….解得2a -„或4a …，-∞-⋃+∞.所以实数a的取值范围为(,2][4,)。

6.3综合拔高练五年高考练考点二项展开式的特定项、项的系数、二项式系数1.(2020北京,3,4分,)在(√x-2)5的展开式中,x2的系数为( )A.-5B.5C.-10D.102.(2020课标全国Ⅰ理,8,5分,)(x+y 2x)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为( )A.5B.10C.15D.203.(2019课标全国Ⅲ,4,5分,)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为( )A.12B.16C.20D.244.(2018课标全国Ⅲ,5,5分,)(x2+2x )5的展开式中x4的系数为( )A.10B.20C.40D.805.(2017课标全国Ⅰ,6,5分,)(1+1x2)(1+x)6展开式中x2的系数为( ) A.15 B.20 C.30 D.356.(2020课标全国Ⅲ理,14,5分,)(x2+2x )6的展开式中常数项是(用数字作答).7.(2020浙江,12,6分,)二项展开式(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a4= ,a1+a3+a5= .8.(2019浙江,13,6分,)在二项式(√2+x)9的展开式中,常数项是,系数为有理数的项的个数是.9.(2019江苏,22,10分,)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n,n≥4,n∈N*,已知a32=2a2a4.(1)求n的值;(2)设(1+√3)n=a+b√3,其中a,b∈N*,求a2-3b2的值.三年模拟练应用实践1.(2020河南名校高三3月线上联合考试,)已知(2x2-1x )n(n∈N*)的展开式中各项的二项式系数之和为128,则其展开式中x2的系数为( )A.280B.-280C.35D.-352.(2020山东百师联盟高三开学摸底大联考,)(x2+x)5(x2-2x+1)10的展开式中,含x7项的系数为( )A.100B.300C.500D.1103.(2020山西长治高三下线上综合测试,)(2-3x)5x的展开式中x2的系数是.(用数字作答)4.(2020山东德州第一次模拟测试,)已知(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则a2= .5.(2020广东广州高三一模,)(3x2-2x-1)5的展开式中,x2的系数是. (用数字作答)6.(2020湖南长沙长郡中学高三教学质量统测,)(x2+2)(2x-1x )6的展开式中所有项的系数和为,常数项为.7.(2020河北石家庄实验中学高三下二模,)已知(1+2x)11=a0+a1x+a2x2+…+a10x10+a11x11,则a1-2a2+…-10a10+11a11= .迁移创新8.(2020辽宁大连第二十四中学高三上期中,)已知正项等比数列{a n}中,a3=3a1a2,a4=2563,用{x}表示实数x的小数部分,如{1.5}=0.5,{2.4}=0.4,记b n={a n},则数列{b n}的前15项的和S15为.9.(2020湖南衡阳八中高三下线上模拟,)已知函数f(x)=x(x-1)(x-2) (x)n+1)=a1x+a2x2+…+a n x n,g(x)=f(x)(x-n)=b1x+b2x2+…+b n+1x n+1,其中n∈N*,a i∈R(i=1,2,…,n),b i∈R(i=1,2,…,n+1),则a1+a2+…+a n= ,b1+nb2+n2b3+…+n n-1b n= .答案全解全析6.3综合拔高练五年高考练1.C (√x-2)5的展开式的通项是T r+1=C5r(√x)5-r(-2)r=(-2)r C5r x5-r2,令5-r2=2,解得r=1,因此x2的系数为(-2)1C51=-10,故选C.2.C 要求(x+y 2x)(x+y)5的展开式中x3y3的系数,只要分别求出(x+y)5的展开式中x2y3和x4y的系数再相加即可,由二项式定理可得(x+y)5的展开式中x2y3的系数为C53=10,x4y的系数为C51=5,故(x+y2x)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为10+5=15.故选C.3.A (1+x)4的展开式的通项为T k+1=C4k x k(k=0,1,2,3,4),故(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为C43+2C41=12.故选A.4.C (x2+2x )5的展开式的通项为T r+1=C5r·(x2)5-r·(2x-1)r=2r C5r x10-3r(r=0,1,2,…,5),令10-3r=4,得r=2,所以x4的系数为22×C52=40.故选C.5.C 对于(1+1x2)(1+x)6,若要得到含x2的项,可以在(1+1x2)中选取1,此时(1+x)6中要选取含x2的项,则系数为C62;当在(1+1x2)中选取1x2时,(1+x)6中要选取含x4的项,则系数为C64,所以展开式中x2的系数为C62+C64=30,故选C.6.答案240解析展开式的通项为T r+1=C6r(x2)6-r·(2x )r=2r C6r x12-3r,令12-3r=0,解得r=4,故常数项为24C64=240.7.答案80;122解析二项展开式的通项T r+1=C5r(2x)r=C5r·2r x r,∴a4=C54·24=80;a1+a3+a5=C51×2+C53×23+C55×25=10+80+32=1 22.8.答案 16√2;5解析 (√2+x)9的展开式的通项为T r+1=C 9r (√2)9-r x r=C 9r·29-r2·x r (r=0,1,2,…,9),令r=0,得常数项T 1=C 90×292×x 0=292=16√2,要使系数为有理数,则只需9-r 2∈Z,则r 必为奇数,满足条件的r 有1,3,5,7,9,故系数为有理数的项的个数是5.9.解析 (1)因为(1+x)n =C n 0+C n 1x+C n 2x 2+…+C n n x n,n≥4, 所以a 2=C n 2=n (n -1)2,a 3=C n 3=n (n -1)(n -2)6,a 4=C n 4=n (n -1)(n -2)(n -3)24.因为a 32=2a 2a 4,所以[n (n -1)(n -2)6]2=2×n (n -1)2×n (n -1)(n -2)(n -3)24,解得n=5.(2)由(1)知,n=5.(1+√3)n =(1+√3)5=C 50+C 51√3+C 52(√3)2+C 53(√3)3+C 54(√3)4+C 55(√3)5=a+b √3. 解法一:因为a,b∈N *,所以a=C 50+3C 52+9C 54=76,b=C 51+3C 53+9C 55=44,从而a 2-3b 2=762-3×442=-32.解法二:(1-√3)5=C 50+C 51(-√3)+C 52(-√3)2+C 53(-√3)3+C 54(-√3)4+C 55(-√3)5=C 50-C 51√3+C 52(√3)2-C 53(√3)3+C 54(√3)4-C 55(√3)5. 因为a,b∈N *,所以(1-√3)5=a-b √3.因此a 2-3b 2=(a+b √3)(a-b √3)=(1+√3)5×(1-√3)5=(-2)5=-32.三年模拟练1.A 由题意知2n =128,得n=7,∴(2x 2-1x )n =(2x 2-1x)7,其展开式的通项为T r+1=C 7r (2x 2)7-r ·(-1x)r =C 7r 27-r(-1)r x 14-3r ,令14-3r=2,得r=4,∴展开式中x2的系数为C74×23×(-1)4=280.故选A.'2.A (x2+x)5(x2-2x+1)10=(x2+x)5(x-1)20,其展开式的通项为C5r(x2)5-r x r·C20k x20-k(-1)k=(-1)k C5r C20k x30-(r+k),其中0≤r≤5,0≤k≤20,r,k∈N,令30-(r+k)=7,得r+k=23,所以可取r=3,k=20,此时含x7项的系数为(-1)20C53C2020=10;取r=4,k=19,此时含x7项的系数为(-1)19C54C2019=-100;取r=5,k=18,此时含x7项的系数为(-1)18C55C2018=190,所以含x7项的系数为10-100+190=100.故选A.3.答案-1 080解析由题意可知,(2-3x)5中x3的系数即为所求,因为(2-3x)5的展开式的通项为T r+1=C5r·25-r·(-3)r·x r,所以令r=3,此时C5r·25-r·(-3)r=C53×22×(-3)3=-1 080即为所求.4.答案-84解析(2x-1)7的展开式的通项为T r+1=C7r(2x)7-r(-1)r=C7r27-r(-1)r x7-r,令r=5,得T6=C7522(-1)5x2=-84x2,则a2=-84.5.答案-25解析(3x2-2x-1)5表示5个(3x2-2x-1)相乘,要得到含x2的项,只需从1个(3x2-2x-1)中取3x2,4个(3x2-2x-1)中取-1,或2个(3x2-2x-1)中取-2x,3个(3x2-2x-1)中取-1,所以x2的系数为C51×3×C44×(-1)4+C52×(-2)2×C33×(-1)3=-25.6.答案 3;-260解析 将x=1代入(x 2+2)(2x -1x)6中,得所有项的系数和为(1+2)(2-1)6=3.因为(2x -1x)6的展开式中含1x 2的项为C 64×(2x)2(-1x )4=60x2,常数项为C 63(2x)3×(-1x)3=-160,所以(x 2+2)(2x -1x )6的展开式中的常数项为60-2×160=-260.7.答案 22解析 等式(1+2x)11=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 10·x 10+a 11x 11两边同时对x 求导,得22(1+2x)10=a 1+2a 2x+…+10a 10x 9+11a 11x 10,令x=-1,得a 1-2a 2+…-10a 10+11a 11=22×(1-2)10=22. 8.答案 5解析 设等比数列{a n }的公比为q(q>0),由a 3=3a 1a 2得a 1q 2=3a 12q,易知a 1≠0,q≠0,所以q=3a 1,由a 4=2563得q 43=2563,解得q=4或q=-4(舍去),所以a 1=43,则a n =a 1q n-1=4n3.由4n 3=(3+1)n3=13(3n+C n 13n-1+…+3C n n -1+C n n )=3n-1+C n 13n-2+…+C n n -1+13,所以b n =13,则S 15=15×13=5.9.答案 0;-n n解析 由f(x)=x(x-1)(x-2)…(x -n+1)=a 1x+a 2x 2+…+a n x n 得,f(1)=a 1+a 2+…+a n =0. b 1x+b 2x 2+…+b n+1x n+1=g(x)=f(x)(x-n)=x(x-1)(x-2)…(x -n), 显然b n+1=1,∴b 1x+b 2x 2+…+b n x n =x(x-1)(x-2)…(x -n)-x n+1, 即b 1+b 2x+…+b n x n-1=(x-1)(x-2)…(x -n)-x n , 令x=n,得b 1+b 2n+…+b n n n-1=-n n , ∴b 1+nb 2+n 2b 3+…+n n-1b n =-n n .。

2020届百师联盟全国高三摸底大联考文科数学试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z 1＝2－2i ，z 2＝1＋i ，则12z z = A.2i B.－2i C.2－2i D.2＋2i2.已知集合{31}A x x =-<≤，集合2{lg(2)}B x y x ==-，则AB =A.[B.(C.[-D.(-3.某商场开展转转盘抽奖活动，每抽奖一次转动一次转盘(转盘如图)，经测量可知一等奖，二等奖和三等奖所在扇形的圆心角分别为20°，50°和60°，则抽奖一次中奖的概率为A.1336B.1736C.1936D.59 4.已知实数x ，y 满足220y x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则x －y 的最小值为A.0B.2C.－2D.15.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，F 1，F 2为其左右焦点，12F F =B 为短轴的一个端点，三角形BF 1O(O 为坐标原点)，则椭圆的长轴长为A.4B.8D.16.函数212()log (68)f x x x =--+的单调递增区间为A.(4，＋∞)B.(－∞，2)C.(3，＋∞)D.(3，4)7.元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹一七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米最为A.1升B.23升C.32升D.43升 8.如图，在梯形ABCD 中，BC ＝2AD ，DE ＝EC ，设,BA a BC b ==，则BE =A.1124a b +B.1536a b +C.2233a b +D.1324a b + 9.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为A.3B.2020C.3030D.101010.在一次考试后，为了分析成绩，从1、2、3班中抽取了3名同学(每班一人)，记这三名同学为A 、B 、C ，已知来自2班的同学比B 成绩低，A 与来自2班的同学成绩不同，C 的成绩比来自3班的同学高，由此判断，下来推断正确的为A.A 来自1班B.B 来自1班C.C 来自3班D.A 来自2班11.已知函数y ＝f(x －2)的图像关于直线x ＝2对称，在(0,)x ∈+∞时，f(x)单调递增。

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12020年秋季高三开学摸底考试（二）一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）1、（2020届山东省德州市高三上期末）已知复数z 满足13z i =-（其中i 为虚数单位），则zz=（ ） A ．132-+ B ．13i 22-- C ．132+ D ．132- 【答案】B 【解析】13z i =-+，()()22132z ∴=-+=，因此，13132z i z --==-. 故选：B.2、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设α，β为两个平面，则αβ∥的充要条件是（ ）A ．α内有无数条直线与β平行B ．α，β平行与同一个平面C ．α内有两条相交直线与β内两条相交直线平行D ．α，β垂直与同一个平面 【答案】C 【解析】对于A ，α内有无数条直线与β平行，可得α与β相交或α或β平行； 对于B ，α，β平行于同一条直线，可得α与β相交或α或β平行；原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2对于C，α内有两条相交直线与β内两条相交直线平行，可得α∥β；对于D，α，β垂直与同一个平面，可得α与β相交或α或β平行．故选：C．3、(北京市北大附中高三期末)某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程各至少选一门，则不同的选法共有（）．A．30种B．31种C．35种D．60种【答案】A【解析】由题意，7门课程选3门有37C种方法，若选择的课程均为A课程，有33C种方法，选择的课程均为B课程，有34C种方法，满足题意的选择方法有：333734351430C C C--=--=种.本题选择A选项.4、（2020届山东省潍坊市高三上期中）函数ln()xf x xx=-的大致图象为（）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，||||()()()ln x ln x f x x x f x x x--=--=--=--，则函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，D ， 当0x >且0x →，()f x →+∞，排除C . 故选：A.5、（2020届山东省德州市高三上期末）已知向量a ，b 满足1a =，2b =，()()313a b a b -⋅+=-，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C 【解析】原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4()()2232313a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=-，即21113a b ⋅-=-，得1a b ⋅=-，则1cos 2a b a bθ⋅==-⋅，0θπ≤≤，23πθ∴=. 故选：C.6、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若π1sin 34α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）．A ．78-B ．14-C ．14 D ．78【答案】A 【解析】2π2π2πππcos 2cos π2cos 2cos 22sin 133333ααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1721168=⨯-=-． 故选A ．7、（2020届山东省泰安市高三上期末）若()33log 21loga b ab +=+2+a b 的最小值为（ ）A ．6B ．83C ．3D ．163【答案】C 【解析】∵()33log 21loga b ab +=+∴()33log 21log a b ab +=+()3log 3ab =，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5∴23a b ab +=，且0a >，0b >，∴123a b+=， ∴()112223a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭122143b a a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭5233b a a b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭5233b a a b≥+⋅⋅3=， 当且仅当b aa b =且123a b+=即1a b ==时，等号成立； 故选：C ．8、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知在区间上有极值点，实数a 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】,由于函数在上有极值点，所以在上有零点.所以，解得.故选：D.二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）()21ln 2f x x a x =-()0,2()0,2()()2,00,2-()0,4()()4,00,4-2()a x a f x x x x -'=-=()f x (0,2)()f x '(0,2)02a a >⎧⎪<(0,4)a ∈原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！69、（2020届山东省潍坊市高三上期中）若x y ≥，则下列不等式中正确的是（ ） A ．22x y ≥ B ．2x yxy +≥C ．22x y ≥ D ．222x y xy +≥【答案】AD 【解析】对A ，由指数函数的单调性可知，当x y ≥，有22x y ≥，故A 正确； 对B ，当0,0,x y x y <<>时，2x yxy +≥B 错误； 对C ，当0x y ≥≥时，22x y ≥不成立，故C 错误；对D ，2222()0x y xy x y +-=-≥成立，从而有222x y xy +≥成立，故D 正确；故选：AD.10、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．π-是()f x 的一个周期B ．()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移3π得到 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()y f x =的图像关于直线1712x π=对称 【答案】ACD 【解析】()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π，故π-也是其周期，故A 正确；()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移6π得到，故B 错误；原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7()77()()sin sin 066323f f ππππππ⎛⎫+==-== ⎪⎝⎭，故C 正确； sin sin 17175()1262sin 132f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ =⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD11、（2020·枣庄市第三中学高二月考）对任意实数x ，有()923901239(23)1(1)(1)(1)x a a x a x a x a x -+-+-+-++-═.则下列结论成立的是（ ）A ．2144a =-B ．01a =C ．01291a a a a +++⋯+=D ．9012393a a a a a -+-+-=-【答案】ACD【解析】对任意实数x ，有()923901239(23)1(1)(1)(1)x a a x a x a x a x -+-+-+-++-=═[﹣1+2（x ﹣1）]9，∴a 229C =-⨯22＝﹣144，故A 正确；故令x ＝1，可得a 0＝﹣1，故B 不正确； 令x ＝2，可得a 0+a 1+a 2+…+a 9＝1，故C 正确；令x ＝0，可得a 0﹣a 1+a 2+…﹣a 9＝﹣39，故D 正确；故选：ACD .12、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数22,0()(2),0x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（ ）A ．(3)(2019)3f f -+=-B ．()f x 在区间[]4,5上是增函数原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8C ．若方程() 1f x k x =+恰有3个实根，则11,24k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭D ．若函数()y f x b =-在(,4)-∞上有6个零点(1,2,3,4,5,6)i x i =，则()61iii x f x =∑的取值范围是()0,6【答案】BCD 【解析】函数()f x 的图象如图所示：对A ，(3)963f -=-+=-，(2019)(1)(1)1f f f ==-=，所以(3)(2019)2f f -+=-，故A 错误； 对B ，由图象可知()f x 在区间[]4,5上是增函数，故B 正确；对C ，由图象可知11,24k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，直线() 1f x k x =+与函数图象恰有3个交点，故C 正确； 对D ，由图象可得，当函数()y f x b =-在(,4)-∞上有6个零点(1,2,3,4,5,6)i x i =，则01b <<，所以当0b →时，()610i i i x f x =→∑；当1b →时，()616i i i x f x =→∑，所以()61i i i x f x =∑的取值范围是()0,6，故D 正确. 故选：BCD.三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！913、（2020届山东省九校高三上学期联考）直线y x =与圆2240x x y -+=相交于A 、B 两点，则AB =__________. 【答案】2【解析】圆的标准方程为22(2)4x y -+=，圆心到直线的距离22d == 所以弦长：22422AB d =-=故答案为：2214、．（2020届山东省烟台市高三上期末）已知随机变量()21,XN σ，()110.4P X -<<=，则()3P X ≥=__________．【答案】0.1 【解析】因为随机变量X 服从正态分布()21,N σ,所以曲线关于1x =对称, 因为()110.4P X -<<=,所以()()()310.5110.1P X P X P X ≥=≤-=--<<= 故答案为：0.1原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1015、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知定义在R 上的函数满足(3)(3)f x f x -=-+，且()f x 图像关于1x =对称，当(1,2]x ∈时，2()log (21)f x x =+，则8252f ⎛⎫=⎪⎝⎭________. 【答案】-2 【解析】因为()f x 图像关于1x =对称，则()(2)f x f x =-，()(2)(31)(31)(4)(8)f x f x f x f x f x f x =-=--=-++=-+=+，故()f x 是以8为周期的周期函数，82511113851443131222222f f f f ff⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯++=+=++=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭23log (21)22=-⨯+=-故答案为：2-.16、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知数列{}n a 中，112a =，其前n 项和n S 满足()202n n n n S a S a n -+=≥，则2a =__________；2019S =__________.【答案】16-12020【解析】（1）由题：()202n n n n S a S a n -+=≥，令2n =，222222222211()0220,()S a S a a a a a ++=++-=-，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11得：231024a +=，所以216a =-； （2）由题()202n n n n S a S a n -+=≥，()12n n n a S S n --≥=()211()02n n n n n n S S S S S S n ---+=-≥-，化简得：()1102n n n n S S S S n ---+=≥，11111110,1,(2)n n n n n S S S S --+-=-=≥， 1{}nS 是一个以2为首项，1为公差的等差数列， 11n n S =+，11n S n =+，201912020S = 故答案为：(1). 16- (2). 12020四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分） 17、（2020届山东省潍坊市高三上期末）在①34asinC ccosA =;②252B Cbsin asinB +=这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知 ，32a =.(1)求sinA ;原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12(2)如图，M 为边AC 上一点，,2MC MB ABM π=∠=，求ABC 的面积【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】解:若选择条件①，则答案为:(1)在ABC 中，由正弦定理得34sinAsinC sinCcosA =， 因为sin 0C ≠，所以2234,916sinA cosA sin A cos A ==，所以22516sin A =，因为0sinA >，所以4=5sinA . (2)解法1:设BM MC m ==，易知45cos BMC cos BMA sinA ∠=-∠=-=-在BMC △中由余弦定理得:22418225m m ⎛⎫=-⋅-⎪⎝⎭，解得5m = 所以2113352252BMCSm sin BMC =∠=⨯⨯= 在Rt ABM 中，4,5,52sinA BM ABM π==∠=所以35AB =158ABMS =，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13所以31527288ABCS=+= 解法2:因为MB MC =，所以MBC C ∠=∠， 因为,2ABM π∠=所以2,222A C C A ππ∠+∠=∠=-∠，所以22sin C sin A cosA π⎛⎫⎪⎝⎭=-=因为A 为锐角，所以325sin C cosA ==又152sin sin sin 4b c a B C A ===所以152,b B =152,c C = 所以11152152445sin sin sin sin 2244542ABCSbc A B C C C π⎛⎫==⨯⨯⨯=+ ⎪⎝⎭454527sin cos sin 2448C C C === 若选择条件②，则答案为: (1)因为252B C bsinasinB +=，所以252Absin asinB π-=， 由正弦定理得252AsinBcossinAsinB =， 因为0sinB ≠，所以25,2A cossinA =5222A A A cos sin cos =， 因为02Acos≠，所以25A sin =，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14则25A cos=，所以4sin 2sin cos 225A A A ==. (2)同选择①18、（2020届山东省潍坊市高三上期中）如图，在棱长均为2的三棱柱111ABC A B C -中，平面1ACB ⊥平面11A ABB ，11AB A B =，O 为1AB 与1A B 的交点．（1）求证：1AB CO ⊥；（2）求平面11ACC A 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）13. 【解析】（1）因为四边形11A ABB 为菱形，所以11A B AB ⊥，又平面1ACB ⊥平面11A ABB ，平面1A CB 平面111A ABB A B =，所以1AB ⊥平面1A CB ，因为CO ⊂平面1A CB ，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15所以1AB CO ⊥.（2）因为11A B AB =，所以菱形11A ABB 为正方形，在Rt COA ∆中，222CO AC OA =-在COB ∆中，2CO OB ==2CB =，222CO OB CB +=，所以，CO OB ⊥，又1CO AB ⊥，11A B AB O ⋂=，所以，CO ⊥平面11A ABB ；以O 为坐标原点，以OA ，OB ，OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.()2,0,0A，()10,2,0A ，(2C ，()2,0B ，设平面11ACC A 的一个法向量为()1111,,n x y z =平面ABC 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则1111220,220,x x z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩ 令11x =，得()11,1,1=-n ，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！162222220,220,x x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 令21x =，得()21,1,1=n ，设平面11ACC A 与平面ABC 所成锐二面角为α，则21121cos 333α⋅===⨯n n n n ，所以平面11ACC A 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为13. 19、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：土地使用面积x （单位：亩）1 2 3 4 5管理时间y （单位：月）8 10 13 25 24并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:愿意参与管理 不愿意参与管理男性村民 150 50女性村民 50（1）求出相关系数r 的大小，并判断管理时间y 与土地使用面积x 是否线性相关？原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为x ,求x 的分布列及数学期望． 参考公式：1122111()()()()nii n nii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑22(),()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++．临界值表：20()P K k ≥0.100 0.050 0.025 0.010 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 10.82863525.2≈【答案】（1）线性相关；（2）有；（3）详见解析. 【解析】 (1)依题意：123458101325243,1655x y ++++++++====故51()()(2)(8)(1)(6)192847i x x y y =--=-⨯-÷-⨯-+⨯+⨯=∑552211()411410,()643698164254i i x x y y ==-=+++=-=++++=∑∑原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18则5155221111()()0.933102542635()()i i i x x y y r xx yy ===--===≈⨯--∑∑∑，故管理时间y 与土地使用面积x 线性相关． （2）依题意，完善表格如下：愿意参与管理 不愿意参与管理 总计男性村民 150 50 200女性村民 50 50 100总计 200 100 300计算得2k 的观测值为22300(150505050)3005000500018.7510.828200100200100200100200100k ⨯⨯-⨯⨯⨯===>⨯⨯⨯⨯⨯⨯故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．（3）依题意，x 的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为16， 故35125(0)(),6216P X===1235125(1)(),6672P X C ==⨯⨯=233332515(2)(11(3)62),721666P P X X C C ⎛⎫=== ⎪⎭⨯⎝==⨯=原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19故x 的分布列为X 0 1 2 3P125216 2572 572 1216则数学期望为12525511()012321672722162E X =⨯+⨯+⨯+⨯= （或由1(3,)6X B ~，得11()362E X =⨯= 20、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知数列{}{},n n a b 满足：1112,,2n n n n a a n b a n b ++=+-==. （1）证明数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n b 的通项； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）见证明；（2）n S 21222n n n++=-- 【解析】（1）证明：因为n n b a n -=，所以n n b a n =+．因为121n n a a n +=+- 所以()()112n n a n a n +++=+所以12n n b b +=．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20又12b =，所以{}n b 是首项为12b =，公比为2的等比数列，所以1222n nn b -=⨯=．（2）解：由（1）可得2nn n a b n n =-=-，所以()1232222n n S =++++ ()123n -++++()()2121122n n n -+=+-21222n n n++=--． 21、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知函数． (1)当时，设函数的最小值为，证明：； (2)若函数有两个极值点，证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】（1），令，解得，当时，，当时，，，，()xf x e ax =-0a >()f x ()g a ()1g a ≤()()212h x f x x =-()1212,x x x x <()()122h x h x +>()()0xf x e a a '=->()0f x '=ln x a =ln x a >()0f x '>ln x a <()0f x '<()()min ln ln f x f a a a a ∴==-()()ln 0g a a a a a ∴=->原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！21 令，则，令，解得，当时，，当时，，，，当时，；（2），，令，则，令，解得，当时，，当时，，，又函数有两个极值点，则，，且，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，，又，，，()()ln 0g x x x x x =->()ln g x x '=-()0g x '=1x =∴()0,1x ∈()0g x '>()1x ∈+∞，()0g x '<()()max 11g x g ∴==()1g x ∴≤∴0a >()1g a ≤()212x h x e ax x =--()x h x e a x '=--()x x e a x ϕ=--()1x x e ϕ'=-()0x ϕ'=0x =0x >()0x ϕ'>0x <()0x ϕ'<()()min 01x a ϕϕ∴==-()h x 10a -<1a ∴>120x x <<∴()1x x ∈-∞，()h x ()10x x ∈，()h x ∴()0x ∈-∞，()()1h x h x ≤()2,0x -∈-∞()()21h x h x ∴-≤()()()()22212222x x h x h x h x h x e e x -∴+≥-+=+-原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22令，则， 令，则， 在上单调递增，，在上单调递增，，，，即，．22、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率e 满足223220e e -+=，右顶点为A ，上顶点为B ，点C (0，－2)，过点C 作一条与y 轴不重合的直线l ，直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，直线BP ，BQ 分别交x 轴于点M ，N ；当直线l 经过点A 时，l 2．(1)求椭圆E 的方程；(2)证明：BOM BCN S S ∆∆⋅为定值．【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析 ()()20x x m x e e x x -=+-≥()12x x m x e x e '=--()()n x m x '=()120x xn x e e '=+-≥()n x ∴[)0,+∞()()()00m x n x n '∴=≥=()m x ∴[)0,+∞()()02m x m ∴≥=20x >()222222x x m x e e x -∴=+->()()222h x h x -+>()()122hx h x ∴+>原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！23 【解析】（1）由223220e e -+=解得22e =或2e =， ∴2a c =，又222a b c =+，2a b ∴=，又()0220AC k a --==-2a ∴=1b ∴=，∴椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）由题知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =-， 设()()1122,,,P x y Q x y ，由22212y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2221860k x kx +-+=，∴12122286,2121k x x x x k k +==++，()()22=84621k k --⨯⨯+=216240k ->232k ∴>，∴()121224421y y k x x k -+=+-=+，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 ()()121222y y kx kx =--()21212=24k x x k x x -++=224221k k -+， 直线BP 的方程为1111y y x x -=+，令0y =解得111x x y =-，则11,01x M y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭， 同理可得22,01x N y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，12123411BOM BCN x x S S y y ∴=--=()()()12121212123341141x x x x y y y y y y =---++=22226321444212121k k k k +-++++=12，BOM BON S S ∆∴为定值12．。