2016年安徽高考理科数学试题及答案(Word版)

理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,。

在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。

1。

已知集合{}02M x R x =∈<<，{}ln 0N x R x =∈>,则MN =()A ．[1,2)B ．(1,2)C ．(0,)+∞D ．(0,1)2.复数331i i++在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3。

对于任意一个定义域是R 的函数()f x ,设1()()()2f x f x f x +-=，2()()()2f x f x f x --=，则一定有( ）A ．1()f x ,2()fx 都是奇函数 B ．1()f x ，2()fx 都是偶函数C ．1()f x 是奇函数，2()fx 是偶函数 D ．1()f x 是偶函数,2()fx 是奇函数4.边长为1的正三角形ABC 中,,D E 分别是,BC AC 的中点，则AD BE •=( ） A ．38- B ．38C ．33D 335.双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线之间的夹角为060,且C 过点(1,1)，则a =(）A ．32B ．6 C ．23 D 66。

某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加,则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率为（ ）A ．12B ．13C ．16D ．147。

若函数()sin()f x x ωϕ=+（0,2πωϕ><）的图象过点(1,0)，且图象的一条对称轴为2x =,则ω的最小值是（ ） A ．2π B ．π C ．2 D ．48。

某几何体的三视图如图所示，正（主）视图是一个正方形，俯视图是一个正三角形和半圆,则该几何体的体积为（ ) A ．33π+B ．233π+C ．233π+D ．2233π+9.二项式26()xx y ++的展开式中72x y 的项的系数为( ）A ．120B ．80C ．60D ．5010.祖暅原理也就是“等积原理”,它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的，祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等,已知，两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都为h ），其中：三棱锥的底面是正三角形(边长为a ），四棱锥的底面是有一个角为060的菱形（边长为b ）,圆锥的体积为V ，现用平行于这两个平行平面的平面去截三个几何体,如果截得的三个截面的面积总相等，那么，下列关系式正确的是( ） A．a h =,b h= B．a h =,b h=C．a =b = D．a =b = 11。

绝密★启封并使用完毕前试题类型：A 2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试题卷共5页，24题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1）设集合2{|430}A x xx =-+<，{|230}B x x =->，则AB =（A ）3(3,)2--(B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3(,3)2【答案】D考点：集合运算（2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +(A)1 (B)2 (C 3 （D)2【答案】B 【解析】试题分析：因为(1)=1+,i x yi +所以=1+,=1,1,||=|1+|2,x xi yi x y x x yi i +==+=所以故故选B.考点：复数运算（3）已知等差数列{}na 前9项的和为27，10=8a，则100=a（A ）100 (B ）99 （C ）98 (D)97 【答案】C 【解析】试题分析：由已知，1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.考点：等差数列及其运算(4）某公司的班车在7：30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A)错误! (B ）错误! （C ）错误!(D ）错误! 【答案】B考点：几何概型（5)已知方程错误!–错误!=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）（–1，3） （B ）（–1，错误!） （C ）（0，3） （D)（0,错误!）【答案】A【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以2234mn m n ++-=，解得：21m =，因为方程22113x y n n -=+-表示双曲线,所以1030n n +>⎧⎨->⎩,解得13n n >-⎧⎨<⎩，所以n 的取值范围是()1,3-，故选A ．考点：双曲线的性质(6)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是错误!,则它的表面积是（A)17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A 【解析】试题分析:由三视图知:该几何体是78个球，设球的半径为R ，则37428V R 833ππ=⨯=，解得R 2=，所以它的表面积是22734221784πππ⨯⨯+⨯⨯=，故选A ．考点：三视图及球的表面积与体积（7）函数y =2x 2–e |x ｜在［–2，2］的图像大致为（A ） （B ）（C ） （D ）【答案】D考点:函数图像与性质（8)若101a b c >><<，，则 （A ）cc ab <（B ）cc abba <（C ）log log ba a cbc <（D ）loglog ab c c <【答案】C考点：指数函数与对数函数的性质(9）执行右面的程序框图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ,y 的值满足（A ）2y x =（B ）3y x =(C ）4y x =（D ）5y x =【答案】C 【解析】试题分析：当0,1,1x y n ===时，110,1112x y -=+=⨯=，不满足2236x y +≥；2112,0,21222n x y -==+==⨯=，不满足2236x y +≥；13133,,236222n x y -==+==⨯=，满足2236xy +≥;输出3,62x y ==,则输出的,x y 的值满足4y x =,故选C 。

2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ）．A ．3(3,)2--B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)22．设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（ ）．A ．1BC D ．23．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （ ）．A ．100B ．99C ．98D ．974．某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）． A ．13B ．12C ．23D ．345．已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）．A ．(1,3)-B -1（C ．0,3（）D ．0（ 6．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（ ）． A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π7．函数2||-=2x y x e 在[]-2,2的图像大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．8．若1a b >>，01c <<，则（ ）． A ．c c a b <B ．c c ab ba <C ．log log b a a c b c <D ．log log a b c c <9.执行右面的程序图，如果输入的0x =，1y =,1n =则输出x ，y 的值满足（ ）．A ．2y x =B ．3y x =C ．4y x =D ．5y x =10．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的标准线于D 、E 两点.已知AB =，DE =C 的焦点到准线的距离为（ ）．A ．2B ．4C ．6D ．811．平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，α∥平面11CB D ，αI 平面ABCD m =，αI平面11ABA B n =，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）．A B C D ．1312．已知函数()sin()(0f x x+ωϕω=>，)2πϕ≤，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调，则ω的最大值为（ ）． A ．11B ．9C ．7D ．5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分13．设向量)=(1a m ，，=2(1)b ，，且222=a b a b++，则m =__________．14．5(2x +的展开式中，3x 的系数是__________．（用数字填写答案） 15．设等比数列满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a ⋯的最大值为__________．16．某高科技企业生产产品A 和产品B ,需要甲、乙两种新型材料。

2016安徽高考数学
2016年安徽高考数学试卷共分为卷一和卷二，卷一为选择题，共60分；卷二为非选择题，共40分。

下面是2016年安徽高考数学试卷的部分内容：
卷一选择题（共60分）：
1. 若函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+5，则f(x)的对称轴为（）
A. x=-1
B. x=1
C. x=2
D. x=3
2. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图像经过点(1,4)，则a+b+c的值为（）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
3. 若直线y=2x+k与曲线y=x^2交于两个不同的点，则k的取值范围是（）
A. k≤1
B. 1<k≤2
C. 2<k≤3
D. k>3
卷二非选择题（共40分）：
1. 已知函数f(x)=x^3-2x^2+ax+b，其中a、b为常数，且f(-1)=0，f(1)=4，则a+b的值为多少？
2. 设集合A={x | 2x-3>0}，集合B={x | x-1<4}，则集合A∪B的取值范围是？
3. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图像经过点(0,1)，斜率为2，则a、b、
c的值分别是多少？
这是部分内容，2016年安徽高考数学试卷的具体内容可以在相关的教育部门或网站上进行查询。

2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共24题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用墨色笔迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）)1,3(-（B ）)3,1(-（C ）),1(+∞（D ）（2）已知集合，，则（A ）（B ）（C ）（D ）（3）已知向量，且，则m =（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 （4）圆的圆心到直线的距离为1，则a=（A ）34-（B ）43- （C ）3 （D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π （7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）x =62k ππ- (k ∈Z ) （B ）x=62ππ+k (k ∈Z ) （C ）x=122k ππ- (k ∈Z ) （D ）x =122k ππ+ (k ∈Z ) （8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图,执行该程序框图，若输入的x =2，n =2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(4π–α)= 53，则sin 2α= （A ）257（B ）51（C ）51- （D ）257- （10）从区间随机抽取2n 个数,，…，，，，…，，构成n 个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为（A ） （B ） （C ） （D ）（11）已知F 1，F 2是双曲线E 的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与 轴垂直，sin,则E 的离心率为（A ） （B ） （C ） （D ）2（12）已知函数))((R x x f ∈满足)(2)(x f x f -=-,若函数xx y 1+=与)(x f y =图像的交点为)(1,1y x ,),(22y x ···，（m m y x ,），则=+∑=mi i iy x1)(（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

绝密 ★ 启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国1卷)数学(理科）注意事项： 1。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页。

2。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3。

全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一. 选择题:本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1)设集合{}2430A x x x =-+< ，{}230x x ->,则A B =（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ (B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（D)3,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题，一般以基础题形式出现，属得分题。

解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算，如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算，常借助数轴进行运算。

(2）设(1i)1i x y +=+，其中x ,y 实数,则i =x y + (A ）1 （B 2 （3 （D ）2 【答案】B 【解析】试题分析：因为(1)=1+,x i yi +所以=1+,=1,1,||=|1+|2,x xi yi x y x x yi i +==+=故选B 。

考点:复数运算【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现，属得分题。

高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等，复数的几何意义，共轭复数，复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大，但容易出现运算错误，特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性。

(3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =，则100a = (A ）100 （B ）99 （C ）98 （D)97 【答案】C 【解析】试题分析：由已知，1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C 。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）理科数学注意事项:1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑.2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效.3、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5、 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。

设集合{}2430A x x x =-+<,{}230x x ->，则AB =(A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D ）3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭2。

设yi x i +=+1)1(，其中y x ,是实数，则=+yi x （A)1（B ）2(C ）3（D ）23.已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100a = (A ）100 （B ）99 (C ）98 （D ）974。

某公司的班车在7：00，8：00，8:30发车，小明在7:50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 (A)错误! （B)错误! （C ）错误! （D ）错误!5.已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是（A ）()1,3- （B）(- （C ）()0,3 （D）(6。

2262016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（Ⅰ）参考答案第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题 （60分） 1—12 DBCBA ADCCB AB 第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．2- 14．10 15．64 16．216000三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分为12分） 解：（I ）由已知及正弦定理得， ()2cosC sin cos sin cos sinC A B+B A =， 即()2cosCsin sinC A+B =．∴2sinCcosC sinC =．可得1cosC 2=，所以C 3π=． （II）由已知，1sin C 2ab =．又C 3π=，所以6ab =．由已知及余弦定理得， 222cosC 7a b ab +-=．∴2213a b +=，从而()225a b +=．∴C ∆AB的周长为5．18．（本小题满分为12分） 解：（I ）由已知可得F DF A ⊥，F F A ⊥E ，所以F A ⊥平面FDC E ． 又F A ⊂平面F ABE ，∴平面F ABE ⊥平面FDC E ．（II ）过D 作DG F ⊥E ，垂足为G ，由（I ）知DG ⊥平面F ABE ．以G 为坐标原点，GF 的方向为x 轴正方向，GF 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -． 由（I ）知DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角，故DF 60∠E =，则DF 2=，DG =可得()1,4,0A ，()3,4,0B -，()3,0,0E -，(D ．由已知，//F AB E ，所以//AB 平面FDC E ． 又平面CD AB 平面FDC DC E =， ∴//CD AB ，CD//F E ． 由//F BE A ，可得BE ⊥平面FDC E ，∴C F ∠E 为二面角C F -BE-的平面角，C F60∠E =．从而可得(C -．∴(C E =，()0,4,0EB =，(C 3,A =--，()4,0,0AB =-．设(),,n x y z =是平面C B E 的法向量，则C 00n n ⎧⋅E =⎪⎨⋅EB =⎪⎩，即040x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴可取(3,0,n =． 设m 是平面CD AB 的法向量，则C 0m m ⎧⋅A =⎪⎨⋅AB =⎪⎩， 同理可取()0,3,4m =．则219cos ,19n m n m n m ⋅==-∴二面角C E -B -A 的余弦值为19-． 19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而04.02.02.0)16(=⨯==X P ；22716.04.02.02)17(=⨯⨯==X P ；24.04.04.02.02.02)18(=⨯+⨯⨯==X P ； 24.02.04.022.02.02)19(=⨯⨯+⨯⨯==X P ； 2.02.02.04.02.02)20(=⨯+⨯⨯==X P ； 08.02.02.02)21(=⨯⨯==X P ； 04.02.02.0)22(=⨯==X P . 所以X 的分布列为（Ⅱ）由（Ⅰ）知44.0)18(=≤X P ，68.0)19(=≤X P ，故n 的最小值为19. （Ⅲ）记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）. 当19=n 时，192000.68(19200500)0.2EY =⨯⨯+⨯+⨯(192002500)0.08+⨯+⨯⨯+(192003500)0.044040⨯+⨯⨯=； 当20=n 时，202000.88(202002500)0.08EY =⨯⨯+⨯+⨯⨯(202002500)0.044080+⨯+⨯⨯=. 可知当19=n 时所需费用的期望值小于20=n 时所需费用的期望值，故应选19=n .20.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为||||AC AD =，AC EB //，∴ADC ACD EBD ∠=∠=∠， ∴||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ，从而4||=AD ，所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：13422=+y x （0≠y ）. （Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ，),(11y x M ，),(22y x N . 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k .则3482221+=+k k x x ，341242221+-=k k x x . ∴34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN .过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m ：)1(1--=x ky ，A 到m 的距离为122+k ， ∴1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ .∴四边形MPNQ 的面积341112||||212++==k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(.当l 与x 轴垂直时，其方程为1=x ，3||=MN ，8||=PQ ，四边形MPNQ 的面积为12.综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()(1)2(1)x f x x e a x '=-+-(1)(2)x x e a =-+．（i ）设0a =，则()(2)xf x x e =-，()f x 只有一个零点． （ii ）设0a >，则当(,1)x ∈-∞时，'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >．∴()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．又(1)f e =-，(2)f a =，取b 满足0b <且ln2ab <，则 223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->，228∴()f x 存在两个零点．（iii ）设0a <，由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-．若2ea ≥-，则ln(2)1a -≤，∴当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，因此()f x 在(1,)+∞上单调递增． 又当1x ≤时，()0f x <， ∴()f x 不存在两个零点．若2ea <-，则ln(2)1a ->，∴当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <； 当(ln(2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >． ∴()f x 在(1,ln(2))a -单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增． 又当1x ≤时，()0f x <， ∴()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0,)+∞． （Ⅱ）不妨设12x x <，由（Ⅰ）知 12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞，22(,1)x -∈-∞，()f x 在(,1)-∞上单调递减，∴122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<． 由于222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-，而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=，∴222222(2)(2)x x f x x e x e --=---．设2()(2)xx g x xex e -=---，则2'()(1)()x x g x x e e -=--．∴当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =， ∴当1x >时，()0g x <． 从而22()(2)0g x f x =-<，∴122x x +<．请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 解：（Ⅰ）设E 是AB 的中点，连结OE ， ∵,120OA OB AOB =∠=︒， ∴OE AB ⊥，60AOE ∠=︒． 在Rt AOE ∆中，12OE AO =，即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径， ∴直线AB 与⊙O 相切．（Ⅱ）∵2OA OD =，∴O 不是,,,A B C D 四点所在圆的圆心，设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心，作直线'OO ．由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上，又'O 在线段AB 的垂直平分线上， ∴'OO AB ⊥．同理可证，'OO CD ⊥． ∴//AB CD ． 23．（本小题满分10分）解：（I ）由cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩ （t 均为参数）消去参数t 得1C 的普通方程为 ()2221x y a +-= ①∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆． 方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==，∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程（II ）24cos C ρθ=：，两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，224x y x ∴+=，即()2224x y -+= ②3C ：化为普通方程为2y x =．229由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ．①—②得：24210x y a -+-=，即为3C ，∴210a -=∴1a =或1a =-（舍去）．24．（本小题满分10分）解：（I ）()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥()y f x =如图所示：（II ）由⑴及()1f x >得当1x -≤时，由41x ->，解得5x >或3x <， 1x -∴≤；当312x -<<时，由321x ->，解得1x >或13x <，113x -<<∴或312x <<．当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <，332x <∴≤或5x >． 综上，13x <或13x <<或5x >， ()1f x >∴的解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，．2302016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（Ⅱ）参考答案 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题 （60分）1—12 ACDAB CBCDC AB第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题13.211314.②③④ 15.1和3 16.1ln2-三.解答题17.（本题满分12分） 解：（I ）设{}n a 的公差为d ，72874S a ==，∴44a =，∴4113a ad -==，∴1(1)n a a n d n =+-=． ∴[][]11lg lg10b a ===， [][]1111lg lg111b a ===， [][]101101101lg lg 2b a ===．（II ）记{}n b 的前n 项和为n T ，则 1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+．当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，；当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，； 当2lg 3n a <≤时， 100101999n =⋅⋅⋅，，，； 当lg 3n a =时，1000n =．∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=． 18.（本题满分12分） 解：（I ）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ，()1()1(0.300.15)0.55P A P A =-=-+=． （II ）设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ，()0.100.053()()0.5511P AB P B A P A +===．（Ⅲ）设本年度所交保费为随机变量X ．平均保费0.850.300.15 1.250.20EX a a =⨯++⨯1.50.20 1.750.1020.05a a a +⨯+⨯+⨯0.2550.150.250.3a a a a =+++0.1750.1 1.23a a a ++=，∴平均保费与基本保费比值为1.23． 19.（本小题满分12分）解：（I ）证明：∵54AE CF ==，∴AE CF AD CD =，∴EF AC ∥．∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC BD ⊥，∴EF BD ⊥， ∴EF DH ⊥，∴EF D H '⊥． ∵6AC =，∴3AO =； 又5AB =，AO OB ⊥，∴4OB =，∴1AEOH OD AO=⋅=， ∴3DH D H '==，∴222'OD OH D H '=+，∴'D H OH ⊥．又∵OH EF H =I ，∴'D H ⊥面ABCD ． （II ）建立如图坐标系H xyz -． ()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，， ()430AB =uu u r ，，，()'133AD =-uuur，，，()060AC =uuu r，，，设面'ABD 法向量()1n x y z =，，u r，由1100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩得430330x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，取345x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴()1345n =-u r ，，． 同理可得面'AD C 的法向量 ()2301n =u u r，，，∴1212cosn nn nθ⋅==u r u u ru r u u r，∴sinθ．20.（本小题满分12分）解：（I）当4t=时，椭圆E的方程为22143x y+=，A点坐标为()20-，．由已知条件及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为4π，直线AM的方程为2y x=+．将2x y=-代入22143x y+=，并整理得27120y y-=，解得0y=或127y=，∴1127y=．∴AMN△的面积为11212144227749AMNS∆=⨯⨯⨯=．（II）由已知条件知，3,0,(t k A>>，直线AM的方程为(y k x=．联立(2213x yty k x⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理，得()222223230tk x x t k t+++-=，解得x=x=∴AM=+=由已知条件知，直线AN的方程为(1y xk=-，∴同理可得AN=．由2AM AN=得22233ktk k t=++，即23632k ktk-=-．∵椭圆E的焦点在x轴，所以3t>，即236332k kk->-，整理得()()23122k kk+-<-2k<．21．（本小题满分12分）解：（I）()f x的定义域为()()22,-∞--+∞，．()()()22224ee222xxx xf xx x x⎛⎫-' ⎪=+=⎪+++⎝⎭．∵当x∈()()22,-∞--+∞，时，()0f x'>，∴()f x在()()22,-∞--+∞，和上单调递增，∴0x>时，()2e0=12xxfx->-+，∴()2e20xx x-++>．（II）()()()24e2ex xa x x ax ag xx----'=()4e2e2x xx x ax ax-++=()322e2xxx axx-⎛⎫+⋅+⎪+⎝⎭=，[)01a∈，．由（I）知，当0x>时，()2e2xxf xx-=⋅+的值域为()1-+∞，，只有唯一解使得2e2ttat-⋅=-+，(]02t∈，．当(0,)x t∈时()0g x'<，()g x单调减；当(,)x t∈+∞时()0g x'>，()g x单调增．()()()222e1ee1e22t tt ttta t th at t t-++⋅-++===+．记()e2tk tt=+．231232在(]0,2t ∈时，()()()2e 102t t k t t +'=>+，∴()k t 单调递增，∴()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，．请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 22．（本小题满分10分） 解：（I ）∵DF EC ⊥, ∴,DEF CDF ∆~∆∴GDF DEF FCB ∠=∠=∠，DF DE DGCF CD CB ==， ∴,DGF CBF ∆~∆由此可得,DGF CBF ∠=∠由此0180,CGF CBF ∠+∠= ∴,,,B C G F 四点共圆.（II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥.连结GB .由G 为Rt DFC ∆斜边CD 的中点，知GF GC =,故,Rt BCG Rt BFG ∆~∆ ∴四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍，即111221.222GCB S S ∆==⨯⨯⨯=23．（本小题满分10分）解：（I ）由c o s ,s i nx y ρθρθ==可得C的极坐标方程212cos 110.ρρθ++= （II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈ 由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-= 12||||AB ρρ=-==由||AB =得23cos ,tan 8αα==，所以l 的斜率为3或3-.24．（本小题满分10分）解：（I ）12,,211()1,,2212,.2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-，∴112x -<≤-；当1122x -<<时，()2f x <恒成立；当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <， ∴112x ≤<.综上可得，()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.（II ）由（I ）知，当,a b M ∈时， 11,11a b -<<-<<，∴222222()(1)1a b ab a b a b +-+=+-- 22(1)(1)0a b =--<， ∴|||1|.a b ab +<+2332016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（Ⅲ）参考答案 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题（60分）1—12 DCADA ABCBB A C第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题：本大题共3小题，每小题5分 13．32 14．32π 15．21y x =-- 16．4 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意得1111a S a λ==+，∴1≠λ，λ-=111a ，01≠a .由n n a S λ+=1，111+++=n n a S λ得 n n n a a a λλ-=++11，即n n a a λλ=-+)1(1.由01≠a ，0≠λ得0≠n a ， ∴11n n a a λλ+=-. ∴}{n a 是首项为λ-11，公比为1-λλ的等比数列， ∴1)1(11---=n n a λλλ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S )1(1--=λλ， 由32315=S 得3231)1(15=--λλ，即=-5)1(λλ321，解得1λ=-．18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得4=t ，28)(712=-∑=i i t t ，55.0)(712=-∑=i iy y，=40.1749.32 2.89=-⨯=，99.0646.2255.089.2≈⨯⨯≈r .因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.（Ⅱ）由331.1732.9≈=y 及（Ⅰ）得103.02889.2)())((ˆ71271≈=---=∑∑==i ii i it ty y t tb， 92.04103.0331.1ˆˆ≈⨯-≈-=t b y a. ∴y 关于t 的回归方程为： t y10.092.0ˆ+=. 将2016年对应的9=t 代入回归方程得：82.1910.092.0ˆ=⨯+=y. ∴预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得232==AD AM . 取BP 的中点T ，连接TN AT ,. 由N 为PC 中点知BC TN //，221==BC TN .又BC AD //，∴TN AM ，四边形AMNT 为平行四边形，∴AT MN //.∵⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，∴//MN 平面PAB .（Ⅱ）取BC 的中点E ，连结AE . 由AC AB =得BC AE ⊥，从而 AD AE ⊥，且5)2(2222=-=-=BC AB BE AB AE .234以A 为坐标原点，AE 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，由题意知，)4,0,0(P ，)0,2,0(M ，)0,2,5(C ，)2,1,25(N ， (0,2,4)PM =-，)2,1,25(-=PN ，)2,1,25(=AN .设(,,)n x y z =为平面PMN 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PN n PM n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-0225042z y x z x ， 可取(0,2,1)n =，∴2558|||||,cos |==><AN n AN n . 20．解：由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且221(,0),(,),(,),222a b A B b P a - 11(,),(,)222a b Q b R +--.记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b a aba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=. ∴FQ AR ∥.（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则1111222ABF S b a FD b a x ∆=-=--，2PQF a bS ∆-=.由题设可得221211ba x ab -=--，∴01=x （舍去），11=x .设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y b a =+2，所以)1(12≠-=x x y .当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.∴所求轨迹方程为12-=x y . 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）'()2sin 2(1)sin f x a x a x =---． （Ⅱ）当1a ≥时，'|()||sin 2(1)(cos 1)|f x a x a x =+-+2(1)a a ≤+-32a =-(0)f = ∴32A a =-．当01a <<时，将()f x 变形为2()2c o s (1)c o s 1f x a x a x =+--． 令2()2(1)1g t at a t =+--，则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值， (1)g a -=，(1)32g a =-，且当14a t a -=时，()g t 取得极小值，极小值为221(1)61()1488a a a a g a a a --++=--=-． 令1114a a--<<，解得13a <-（舍去），15a >．235（ⅰ）当105a <≤时，()g t 在(1,1)-内无极值点，|(1)|g a -=，|(1)|23g a =-，|(1)||(1)|g g -<，所以23A a =-．（ⅱ）当115a <<时，由(1)(1)2(1)0g g a --=->，知1(1)(1)()4ag g g a-->>．又1(1)(17)|()||(1)|048a a a g g a a --+--=>，∴2161|()|48a a a A g a a-++==． 综上，2123,05611,18532,1a a a a A a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩． （Ⅲ）由（Ⅰ）得'|()||2sin 2(1)sin |f x a x a x =--- 2|1|a a ≤+-.当105a <≤时，'|()|1242(23)2f x a a a A ≤+≤-<-=. 当115a <<时，131884a A a =++≥， ∴'|()|12f x a A ≤+<. 当1a ≥时，'|()|31642f x a a A ≤-≤-=，∴'|()|2f x A ≤.22.（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）连结BC PB ,，则,BFD PBA BPD ∠=∠+∠ PCD PCB BCD ∠=∠+∠.∵AP BP =，∴PCB PBA ∠=∠， 又BCD BPD ∠=∠， ∴PCD BFD ∠=∠.又180PFD BFD ∠+∠=， 2PFB PCD ∠=∠，∴1803=∠PCD ， ∴ 60=∠PCD .（Ⅱ）∵BFD PCD ∠=∠， ∴ 180=∠+∠EFD PCD ，由此知E F D C ,,,四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，∴G 就是过E F D C ,,,四点的圆的圆心， ∴G 在CD 的垂直平分线上， ∴CD OG ⊥.23.（本小题满分10分）解：（I ）1C 的普通方程为2213x y +=， 2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（Ⅱ）由题意，可设点P的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()d α=sin()2|3πα=+-.当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22.24.（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+. 解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤. ∴()6f x ≤的解集为236 {|13}x x -≤≤.（Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++- |212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+， 当12x =时等号成立， ∴当x R ∈时，()()3f xg x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① 当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥.∴a 的取值范围是[2,)+∞.。