二次根式勾股定理四边形与一次函数综合测试题(二)9

总复习题（二次根式、平行四边形、一次函数）一．选择题1．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（）A．x≥0B．x≠1C．x＞0 D．x≥0且x≠1 2．在一次数学测验中，甲、乙、丙、丁四位同学的分数分别是90、x、90、70，若这四个同学得分的众数与平均数恰好相等，则他们得分的中位数是（）A．100 B．90 C．80 D．703．下列计算正确的是（）A．2+3＝5 B．÷＝2 C．5×5＝5D．＝24．在菱形ABCD中，∠A＝110°，E、F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD，垂足为P，则∠EPF＝（）A．35°B．45°C．50°D．55°5．关于函数y＝﹣2x+1，下列结论正确的是（）A．图象必经过（﹣2，1）B．y随x的增大而增大C．图象经过第一、二、三象限D．当x＞时，y＜06．如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，交AC 于点F，且∠BCD＝60°，BC＝2CD，连结OE．下列结论：①OE∥AB；②S平行四边形ABCD＝BD•CD；③AO＝2BO；④S△DOF＝2S△EOF．其中成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y＝x+k的图象大致是（）A．B．C．D．8．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5．过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE 的长是（）A．1.6 B．2.5 C．3 D．3.49．如图，已知直线y1＝k1x+m和直线y2＝k2x+n交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式（k1﹣k2）x＞﹣m+n的解是（）A．x＞2 B．x＞﹣1 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣110．如图所示，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，正方形DEFG边长也为2，且AC与DE在同一直线上，△ABC从C点与D点重合开始，沿直线DE向右平移，直到点A与点E重合为止，设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题11．已知直角三角形的两边x，y的长满足|x﹣4|+＝0，则第三边的长为．12．已知x2﹣3x+1＝0，则＝．13．如图，在▱ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E，F，CE＝2，DF＝1，∠EBF ＝60°，则▱ABCD的周长为．14．小华5次射击的成绩如下：（单位：环）5，9，7，10，9．其方差为3.2，如果他再射击1次，命中8环，那么他的射击成绩的方差．（填“变大”、“变小”或“不变”）15．一次函数y＝ax+b在直角坐标系中的图象如图所示，则化简a﹣b﹣|a+b|的是．16．如图，在菱形ABCD中，边AB＝5，E，F分别在BC和AD上，若DF＝1，BE＝3，且此时BF＝DE，则BF的长为17．一次函数y＝x+m和y＝nx﹣4都过点A（，），且与y轴分别交于B、C两点，则△ABC面积S＝．18．某校规定学生的期末学科成绩由三部分组成，将课堂、作业和考试三项得分按1：3：6的权重确定每个人的期末成绩．小明同学本学期数学这三项得分分别是：课堂98分，作业95分，考试85分，那么小明的数学期末成绩是分．19．如图，已知直线l：y＝x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l 的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为．20．如图，在等边△ABC的外侧作正方形ABDE，AD与CE交于F，则∠ABF的度数为．三．解答题21．计算：（1）（3﹣2+）÷2（2）（﹣2）0﹣+|1﹣|+22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，且AD＝4，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求CE的长；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．23．小明的爸爸和妈妈上山游玩，爸爸步行，妈妈乘坐缆车，相约在山顶缆车的终点会合．已知爸爸步行的路程是缆车所经线路长的2.5倍，妈妈在爸爸出发后50分钟才坐上缆车，缆车的平均速度为每分钟180米．图中的折线反映了爸爸行走的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系．（1）爸爸行走的总路程是米，他途中休息了分钟；（2）当0≤x≤30时，y与x之间的函数关系式是；（3）爸爸休息之后行走的速度是每分钟米；（4）当妈妈到达缆车终点时，爸爸离缆车终点的路程是米．24．已知直线l1：y1＝2x+3与直线l2：y2＝kx﹣1交于A点，A点横坐标为﹣1，且直线l1与x轴交于B点，与y轴交于D点，直线l2与y轴交于C点．（1）求出A、B、C、D点坐标；（2）求出直线l2的解析式；（2）连结BC，求出S△ABC．25．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．26．甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山上升的速度是每分钟米，乙在A地时距地面的高度b为米．（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式．（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？参考答案一．选择题1．D．2．B．3．B．4．A．5．D．6．C．7．B．8．D．9．B．10．A．二．填空题11．5或．12．7．13．20．14．变小．15．﹣2b．16．．17．．18．89.3．19．（0，256）．20．15°．三．解答题21．解：（1）原式＝（6﹣+4）÷2＝÷2＝；（2）原式＝1﹣3+﹣1+﹣＝﹣2．22．（1）解：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB∴AC∥DE，又∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形．∴CE＝AD∵AD＝4∴CE＝4；（2）解：四边形BECD是菱形，理由：∵D为AB中点，∴AD＝BD又由（1）得CE＝AD，∴BD＝CE，又∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD∴四边形BECD是菱形．23．故答案为：y＝70x；（3）爸爸休息之后行走的速度是（3600﹣2100）÷（80﹣50）＝50米/分钟，故答案为：50．（4）妈妈到达缆车终点的时间为：（分），爸爸迟到80﹣50﹣8＝22（分），终点时，爸爸离缆车终点的路程为：22×50＝1100（米），故答案为：1100．24．解：（1）把x＝﹣1代入y1＝2x+3，得：y＝1，即A（﹣1，1），对于y1＝2x+3，令x＝0，得到y＝3；令y＝0，得到x＝﹣1.5，∴B（﹣1.5，0），D（0，3），把A（﹣1，1）代入y2＝kx﹣1得：k＝﹣2，即y2＝﹣2x﹣1，令x＝0，得到y＝﹣1，即C（0，﹣1）；（2）把A（﹣1，1）代入y2＝kx﹣1得：k＝﹣2，则y2＝﹣2x﹣1；（3）连接BC，设直线l2与x轴交于点E，如图所示，对于y2＝﹣2x﹣1，令y＝0，得到x＝﹣0.5，即OE＝0.5，∴BE＝OB﹣OE＝1.5﹣0.5＝1，则S△ABC＝S△ABE+S△BCE＝×1×1+×1×1＝1．25．（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF＝180°，∴∠ECF＝90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF＝＝10，∴OC＝OE＝EF＝5；（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：连接AE、AF，如图所示：当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．26．解：（1）（300﹣100）÷20＝10（米/分钟），b＝15÷1×2＝30．故答案为：10；30．（2）当0≤x≤2时，y＝15x；当x≥2时，y＝30+10×3（x﹣2）＝30x﹣30．当y＝30x﹣30＝300时，x＝11．∴乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝．（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y ＝10x+100（0≤x≤20）．当10x+100﹣（30x﹣30）＝50时，解得：x＝4；当30x﹣30﹣（10x+100）＝50时，解得：x＝9；当300﹣（10x+100）＝50时，解得：x＝15．答：登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．。

《二次根式》和《勾股定理》综合测试A一、选择（每小题3分，共36分）1．使有意义的x的取值范围是（）A. x≥1B. x≥0C. x＞1D. x≠12．下列二次根式中能与合并的二次根式是（）A. B. C. D.3．以下列各组数为边长的三角形是直角三角形的是（）A. 1、2、3B. 9、12、15C. 1、1、D. 6、7、84．如果，那么x取值范围是（）A. x≤2B. x＜2C. x≥2D. x＞25．若是正整数，最小的整数n是（）A. 6B. 3C. 48D. 26．下列运算和化简，不正确的是（）A. =0.5B.C.D.7．计算﹣的结果正确的是（）A. B. C. D. 08.如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（）A. 12B. 13C. 144D. 1949．如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m，公园到医院的距离为400m，若公园到超市的距离为500m，则公园在医院的（）A. 北偏东75°的方向上B. 北偏东65°的方向上C. 北偏东55°的方向上D. 无法确定10．设，则代数式a2+2a﹣10的值为（）A. B. C. ﹣3 D. ﹣411．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵树高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A. 8米B. 10米C. 12米D. 14米12．如图：一个长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体盒子能容下的最长木棒长为（）A. 11cmB. 12cmC. 13cmD. 14cm二、填空（每小题3分，共18分）13．要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．14．化简：= ．15．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是．16．计算：（+）2﹣= ．17．有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为．18．如图所示，在高为3m，斜坡长为5m的楼梯表面铺地毯，至少需要地毯米．三、解答（8个小题，共66分）19．（6分）计算：（1）；（2）﹣6+2．20．（8分）图①和图②均是边长为1的正方形网络，按要求用实线画出顶点在格点上的图形．（1）在图①中画出一个等腰三角形ABC，使其腰长是；（2）在图②中画出一个正方形ABCD，使其面积是5．21．（8分）计算：5+﹣×+÷．22．（8分）已知：如图，在△ABC，BC=2，S△ABC=3，∠ABC=135°，求AC、AB的长．23．（8分）某居民小区有一块长方形绿地，先进行如下改造：将长方形的长减少米，宽增加米，得到一块正方形绿地，它的面积是原长方形绿地的2倍，求改造后的正方形绿地的边长是多少米？（结果精确到1米）24．（9分）已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积．25.（9分）阅读下列解题过程：，，请回答下列回题：（1）观察上面的解答过程，请直接写出= ；（2）根据上面的解法，请化简：．26.（10分）已知：如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC=8m，BC=6m．现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD的周长．（1）在图1中，当AB=AD=10m时，△ABD的周长为；（2）在图2中，当BA=BD=10m时，△ABD的周长为；（3）在图3中，当DA=DB时，求△ABD的周长．参考答案一、1. A 2.C 3.B 4.A 5.B 6.D 7.A 8.C 9.B 10.D 11.B 12.C二、13. x＞3 14.-1 15.76 16.5 17.或3 18.7三、19. 解：（1）原式=3×5÷＝15÷＝15．（2）原式=2=220.解：（1）、（2）如图所示：21.解：原式=+﹣+3÷=2﹣1+3=2+2．22.解：如图，过点A作AD⊥BC交CB的延长线于D，在△ABC中，∵S△ABC=3，BC=2，∴AD===3，∵∠ABC=135°，∴∠ABD=180°﹣135°=45°，∴AB=AD=3，BD=AD=3，在Rt△ADC中，CD=2+3=5，由勾股定理得，AC===．23.解：设改造后正方形绿地的边长为a米，则改造前长方形绿地的长为（a+）米，宽为（a﹣）米，由题意得，a2=2（a+）（a﹣），整理，得a2=68，a=2（取正）.答：改造后正方形绿地的边长为2米．24.解：如图，连接AC．∵∠ABC=90°，AB=1，BC=2，∴AC==，在△ACD中，AC2+CD2=5+4=9=AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S四边形ABCD=AB•BC+AC•CD，=×1×2+××2，=1+．故四边形ABCD的面积为1+．25.解：（1）=﹣；（2）+++…++，=﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣，=﹣1，=10﹣1，=9．26.解：（1）如图1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，∴DC==6（m），则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．故答案为：32m；（2）如图2，当BA=BD=10m时，则DC=BD﹣BC=10﹣6=4（m），故AD==4（m），则△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4+10=（20+4）m；故答案为：（20+4）m；（3）如图3，∵DA=DB，∴设DC=xm，则AD=（6+x）m，∴DC2+AC2=AD2，即x2+82=（6+x）2，解得；x=，∵AC=8m，BC=6m，∴AB=10m，∴△ABD的周长为：AD+BD+AB=2（+6）+10=（m）．。

二次根式、勾股定理综合测试题（分数：120分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列各组数能构成勾股数的是( )A. 2，√3，√7B. 12，16，20C. 13，14，15D. 32，42，522. 如图，在等边△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，且BD =AE ，AD 与CE 交于点F ，作CM ⊥AD ，垂足为M ，下列结论不正确的是( )A. AD =CEB. MF =12CF C. ∠BEC =∠CDA D. AM =CM3. △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，下列命题中是假命题是( )A. 若a 2=b 2，则a =bB. 若a 2=(b +c)(b −c)，则△ABC 是直角三角形C. 若a:b:c =3:4:5，则∠C =90∘D. 若∠A:∠B:∠C =2:3:5，则△ABC 是直角三角形4. 如图，△ABC 中，∠BAC =90∘，∠ABC =30∘，以AB ，AC 为边向形外分别作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，若AC =2，则BE 长为( ) A. 6 B. 2√7 C. √26 D. 55. 如图，在△ABC 中，∠C =90∘，AC =6，BC =8，点P 为斜边AB 上一动点，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，连结EF ，若点M 是线段EF 的中点，则PM 的最小值为( )A. 1.2B. 2.4C. 2.5D. 4.86. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，N ，P ，G 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点M ，F ，Q 都在对角线BD 上，且四边形MNPQ 和AEFG 均为正方形，则S 正方形MNPQ S 正方形AEFG的值等于A. 34B. 45C. 89 D. 17. 如图，已知PA =PB =PC =2，∠BPC =120∘，PA//BC ，以AB ，PB 为边作平行四边形ABPD ，连接CD ，则CD 的长为A. 2√2B. 2√3C. √3+1D. √6−18. 已知，x +y =−5，xy =3，则x √yx +y √xy 的结果是( )A. 2√3B. −2√3C. 3√2D. −3√29. 把代数式(a −1)√11−a中的a −1移到根号内，那么这个代数式等于( )A. −√1−aB. √a−1C. √1−aD. −√a−110.若0<a<1，a+1a =6，则代数式√a−1√a的值为()A. ±2B. −2C. ±4D. 4二、填空题（本大题共8小题，共24分）11.若y=√x2−4+√4−x2+12−x+2，则x+y的值为______ ．12.计算：(2√2−3)2015×(−2√2−3)2016=______ ．13.若a、b为实数，且b=√a2−1+√1−a2a+7+4，则a+b的值为_________．14.观察下列各式：1√2+1=√2−1，1√3+√2=√3−√2，12+√3=2−√3…请利用你发现的规律计算：(1√3+√2+12+√3+1√5+2+⋯+1√2016+√2015)×(√2016+√2)=______．15.如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为V p=2cm/s，V Q=1cm/s，当点P 到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t=______ s时，△PBQ为直角三角形．16.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，∠ABC=45∘，∠BAC=75∘，CD=5cm，则BF=______ ．17.如图，已知Rt△ABE中∠A=90∘，∠B=60∘，BE=10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE=30∘，则CD长度的取值范围是______．18.如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC//OA交OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，若∠AOB=60∘，OC=4，则PD=_____．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19.探索题阅读下列解题过程：（4+4=8分）1√5+√4=1×(√5−√4)(√5+√4)(√5−√4)=√5−√4(√5)2−(√4)2=√5−√4=√5−21√6+√5=1×(√6−√5)(√6+√5)(√6−√5)=√6−√5(√6)2−(√5)2=√6−√5请回答下列问题：(1)观察上面的解题过程，请直接写出1√n−√n−1的结果为______；(2)利用上面所提供的解法，请化简：11+√2+1√2+√3+1√3+√4+⋯+1√98+√99+1√99+√100．20.如图：在等腰直角三角形中，AB=AC，点D是斜边BC上的中点，点E、F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF。

《二次根式》全章复习【知识网络】【要点梳理】知识点一、二次根式的相关概念和性质1. 二次根式 形如a ()0a ≥的式子叫做二次根式，如130.0202，，，等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义.2.二次根式的性质 （1）；（2）； （3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2()a =（0a ≥），如222112(2);();()33x x ===（0x ≥）.（2）2a 中a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，2a 一定有意义.（3）化简2a 时，先将它化成a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（4）2a 与2()a 的异同；不同点：2a 中a 可以取任何实数，而2()a 中的a 必须取非负数；2a =a ，2()a =a （0a ≥）.；相同点：被开方数都是非负数，当a 取非负数时，2a =2()a . 3. 最简二次根式1）被开方数是整数或整式； 2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如222,,3,ab x a b +等都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如2与8，由于8=22，2与8显然是同类二次根式. 知识点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法(0,0)a b ab a b ⨯=≥≥积的算术平方根化简公式：(0,0)ab a b a b =⨯≥≥二次根式的除法(0,0)a aa b b b=≥>商的算术平方根化简公式：(0,0)a a a b b b=≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如a b c d ac bd ⋅=.（2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如(4)(9)49-⨯-≠-⨯-. 2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-. 【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2)；【解析】(1) 要使在实数范围内有意义， 则必有 ∴当时，在实数范围内有意义；(2) 要使在实数范围内有意义，则必有∴当时，在实数范围内有意义；【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥时a 才是二次根式. 举一反三： 【变式】已知，求的值.【答案】根据二次根式的意义有 将代入已知等式得2.把根号外的因式移到根号内，得( ). A ．B ．C ．D ．【解析】由二次根式的意义知x ＜0，则.【总结升华】在利用二次根式性质化简时，要注意其符号，要明确a 是非负数，反过来将根号外的因式移到根号内时，也必须向里移非负数。

第16章二次根式小卷测试（一）1、下列的式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D．2、若，则（）A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤33、若有意义，则m能取的最小整数值是（）A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=34、小明的作业本上有以下四题：①②③；④．做错的题是（）A．①B．②C．③D．④5、若有意义，则x的取值范围是．6、已知a、b为两个连续的整数，且，则a+b=．7、当x=时，二次根式取最小值，其最小值为．8、化简：（1）=___________；（2）=____________；（3）=________；（4）=____________；9、计算：（1）=___________；（2）=____________；（3）=___________；（4）6﹣2=____________；第17章勾股定理小卷测试（二）1、下面三组数中是勾股数的一组是（）A．6，7，8 B．21，28，35 C．1.5，2，2.5 D．5，8，132、一直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边与斜边长的和是49cm，则斜边的长（）A．18cm B．20cm C．24cm D．25cm3、在△ABC中，∠C=90°，若AB=5，则AB2+AC2+BC2=（）A．10 B．15 C．30 D．504、在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为（）A．14 B．14或4 C．8 D．4或85、直角三角形有一条直角边的长为11，另外两边的长也是正整数，则此三角形的周长为（）A．120 B．121 C．132 D．1236、在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=．7、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB=．8、在△ABC中，∠C=90°，若c=10，a：b=3：4，则ab=．9、△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm．则AC= cm．10、如图所示的一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，这块地的面积为．第十八章 平行四边形小卷测试（三）1、已知一个平行四边形两邻边的长分别为10和6,那么它的周长为( ).A. 16B. 60C.32D. 302、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）A.每一条对角线平分一组对角B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直3、若四边形的两条对角线相等则顺次连接该四边形各边中点所得的四边形是（ ）A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形4、平行四边形ABCD 中, ∠A:∠B:∠C:∠D 的值可以是( )A. 4:3:3:4B. 7:5:5:7C. 4:3:2:1D. 7:5:7:55、 菱形的两条对角线长分别为6㎝和8㎝,则这个菱形的面积为( )A .482cm B.224cm C.212cm D.182cm6、如图,平行四边形ABCD 的对角线交于点O,且AB=5,△OCD 的周长为23,则平行四边形A BCD 的两条对角线的和是( )A.18B.28C.36D.467、如图,在平行四边形ABCD 中,已知∠ODA=90°,AC=10cm,BD=6cm,则AD 的长为( ) A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm8、如图,在周长为20cm 的▱ABCD 中,AB ≠AD,AC,BD 相交于点O,OE ⊥BD 交AD 于E,则△ABE 的周长为( )A.4 cmB.6 cmC.8 cmD.10 cm9、矩形的一边长是3.6㎝, 两条对角线的夹角为60º,则矩形对角线长是＿＿；10、等腰梯形两条对角线互相垂直,一条对角线长为6㎝,则这个梯形的面积为 .11、在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形.你添加的条件是 .(写出一种即可)F D C B A O E D CB A D B A O DC A第十八章 平行四边形小卷测试（四）1、如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A.AB=DC ，AD=BCB.AB ∥DC ，AD ∥BCC.AB ∥DC ，AD=BCD.AB ∥DC ，AB=DC2、如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，下列结论中不一定成立的是（ ）A.AB ∥DCB.AC=BDC.AC ⊥BDD.OA=OC3、顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是（ ）A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形4、如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC.若AC=4，则四边形OCED 的周长为（ ）A.4B.6C.8D.105、如图，将一个边长分别为4,8的矩形纸片ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EF 的长为（ ）6、如图，正方形ABCD 的边长为8，点M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上一动点，则DN+MN 的最小值为（ ）7、在平行四边形ABCD 中,∠BAD=150°,AB=8cm,BC=10cm,则平行四边形ABCD 的面积______；8、如图，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去.则第n 个正方形的边长为________.。

二次根式习题课一、 二次根式知识点基础 1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠422()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．33、化简：21a -+的结果为（ ）A 、4—2aB 、0C 、2a —4D 、44、若32<<a ）A. 52a -B. 12a -C. 25a -D. 21a - 5、化简6151+的结果为（ ） A ．3011 B ．33030 C ．30330 D ．1130 6、若m<0，则332||m m m ++= 。

7、1112-=-•+x x x 成立的条件是 。

8x 的值是________。

9、当a =______1取值最小值_______ 。

10、若1a b -+互为相反数，则()2005_____________a b -=。

二 知识点提升 1.已知254245222+-----=xx x x y ，则=+22y x ___________________。

2.若y x ，为有理数，且42112=+-+-y x x ，则xy 的值为___________。

3.已知200911+-+-=x x y ，则=+y x _______________________。

4、化简()2232144--+-x x x 的结果是__________________。

5、已知0<a ，则()22a a -等于________________。

6、已知a<b ，化简二次根式ba 3-的正确结果是________________。

7、化简： 625①- ②627-8、已知实数a 满足 ，求a -20052的值9、计算：①3)154276485(÷+- ② x xx x 3)1246(÷-10、阅读下面问题：12)12)(12()12(1211-=-+-⨯=+；;23)23)(23(23231-=-+-=+25)25)(25(25251-=-+-=+。

《勾股定理》与《二次根式》综合测试题A卷(100分)一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）．1．使x－3有意义的x的取值范围是(C)A．x＞3 B．x＜3 C．x≥3 D．x≠3分析：根据被开方数是非负数解之．解：由题意，得x－3≥0，解得x≥3．2．在－38，3，0.6·，π，3.10这六个数中，无理数有(A)A．2个B．3个C．4个D．6个分析：根据无理数的定义进行判断．解：－38，3，0．6·，π，3.10这六个数，无理数为3，π．判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．3．有下列说法：(1)－3是9的平方根；(2)7是(－7)2的算术平方根；(3)27的立方根是±3；(4)1的平方根是±1；(5)0没有算术平方根．其中正确的有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个分析：根据平方根与立方根的定义即可求出答案．解：(1)－3是81的平方根，(1)正确；(2)7是(－7)2的算术平方根，(2)正确；(3)27的立方根是3，(3)错误；(4)1的平方根是±1，(4)正确；(5)0的算术平方根是0，(5)错误．4．估计31－2的值应在(B)A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间分析：估算出31在5和6之间，即可解答．解：∵5＜31＜6，∴3＜31－2＜4．5．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是(D)A．b2－c2＝a2B．a︰b︰c＝3︰4︰5C．∠C＝∠A－∠B D．∠A︰∠B︰∠C＝9︰12︰15分析：根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各个选项分别进行计算即可．解：b2－c2＝a2，则b2＝a2＋c2，∴△ABC是直角三角形；a︰b︰c＝3︰4︰5，设a＝3x，b＝4x，c＝5x，a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形；∠C＝∠A－∠B，则∠B＝∠A＋∠C，∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形；∠A︰∠B︰∠C＝9︰12︰15，设∠A，∠B，∠C分别为9x，12x，15x，则9x＋12x＋15x＝180°，解得，x＝5°，则∠A，∠B，∠C分别为45°，60°，75°，∴△ABC不是直角三角形．6．若a，b为实数，且|a＋1|＋b－1＝0，则－(－ab)2020的值是(C)A．1 B．2020 C．－1 D．－2020分析：根据绝对值和算术平方根的非负性求出a，b的值，再代入求出即可．解：∵|a＋1|＋b－1＝0，∴a＋1＝0，b－1＝0，∴a＝－1，b＝1，∴－(－ab)2020＝－[－(－1)×1)]2020＝－1．7．当x＝3＋1时，式子x2－2x＋2的值为(C)A．3＋2 B．5 C ．4 D．3分析：根据完全平方公式以及二次根式的运算法则即可求出答案．解：当x＝3＋1时，x－1＝3，∴原式＝x2－2x＋1＋1＝(x－1)2＋1＝3＋1＝4．8．如图所示，数轴上表示3，13的对应点分别为C，B，点C是AB的中点，则点A表示的数是(C)A．－13 B．3－13 C．6－13 D．13－3分析：点C是AB的中点，设A表示的数是c，则13－3＝3－c，即可求得c的值．解：点C是AB的中点，设A表示的数是c，则13－3＝3－c，解得：c＝6－13．9．如图，是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，则(a＋b)2的值为(C)A．13 B．19 C．25 D．169分析：根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和，从而不难求得(a＋b)2的值．解：(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝大正方形的面积＋四个直角三角形的面积和＝13＋(13－1)＝25．10．如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是(C)A．B．C．D．分析：过C作CD⊥AB于D，依据AB＝6，AC＝8，可得CD≤8，进而得到当CD与AC重合时，CD最长为8，此时，∠BAC＝90°，△ABC的面积最大．解：如图，过C作CD⊥AB于D，∵AB＝6，AC＝8，∴CD≤8，∴当CD与AC重合时，CD最长为8，此时，∠BAC＝90°，△ABC的面积最大，∴BC＝62＋82＝10，∴四个三角形中面积最大的三角形的三边长分别为6，8，10．二．填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）．11．（1）8的算术平方根是22，（2）3－0.064＝－0.4．12．如图，在数轴上点A表示的实数是－5．分析：根据勾股定理，可得圆的半径，根据圆的性质，可得答案．66861286108688解：如图，由勾股定理，得OB ＝OC 2＋BC 2＝12＋22＝5， 由圆的性质，得OA ＝OB ＝5， ∴点A 表示的实数是－5．13．若最简二次根式1＋a 与4－2a 是同类二次根式，则a ＝ 1 ．分析：直接利用最简二次根式以及同类二次根式的性质得出关于a 的等式求出答案． 解：∵最简二次根式1＋a 与4－2a 能进行加法运算， ∴1＋a ＝4－2a ，解得：a ＝1．14．直角三角形两条直角边的长分别为5，12，则斜边长为 13 ，斜边上的高为6013． 分析：可先用勾股定理求出斜边长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可． 解：由勾股定理可得：AB 2＝52＋122，则AB ＝13， 直角三角形面积S ＝12×5×12＝12×13×CD ，可得：斜边的高CD ＝6013．15．已知a ＝3－2，b ＝3＋2，求a 2＋b 2的值为 10 ． 分析：把已知条件代入求值．解：原式＝(3－2)2＋(3＋2)2＝5－26＋5＋26＝10． 三．解答题(本大题共5个大题，共50分)． 16．（16分）计算 (1)12－613＋48；(2)2320×(－1348)÷223． (3)2|1－6|＋(3＋2)(2－3)＋(3－2)2＋(－2π)0． 解：(1)原式＝23－23＋43＝43； (2)原式＝－(23×13)20×48×38＝－29360＝－29×610＝－4310；(3)原式＝26－2＋4－3＋3－26＋2＋1＝5．17．（8分）已知5a －1的算术平方根是3，3a ＋b －1的立方根为2． （1）求a 与b 的值； （2）求2a ＋4b 的平方根．解：(1)由题意，得5a －1＝32，3a ＋b －1＝23， 解得a ＝2，b ＝3．(2)∵2a ＋4b ＝2×2＋4×3＝16， ∴2a ＋4b 的平方根±16＝±4．18．（8分）已知2＋3的小数部分为m ，2－3的小数部分为n ，求3(m ＋n )2020的值． 解：∵1＜3＜4，∴1＜3＜2．∴m ＝2＋3－3＝3－1，n ＝2－3－0＝2－3， ∴(m ＋n )2020＝12020＝1，∴3(m ＋n )2020＝1．19．（8分）定义：如图，点M ，N 把线段AB 分割成AM ，MN ，NB ，若以AM ，MN ，NB 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M ，N 是线段AB 的勾股分割点．（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长．解：（1）是．理由：∵AM2+BN2＝1.52+22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，∴AM2+NB2＝MN2，∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，∴点M、N是线段AB的勾股分割点．（2）设BN＝x，则MN＝24－AM－BN＝18－x，①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，即（18－x）2＝x2+36，解得x＝8；②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．即x2＝36+（18－x）2，解得x＝10，综上所述，BN＝8或10．20．（10分）已知△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，在△ADE中，若AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC，求证：CD＝BE；（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE＝∠BAC＝60°，且CD垂直平分AE，AD＝3，CD＝4，求BD的长；（3）如图3，在△ADE中，当BD垂直平分AE于H，且∠BAC＝2∠ADB时，试探究CD2，BD2，AH2之间的数量关系，并证明．（1）如图1，证明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAE＝∠BAC+∠CAE，即∠DAC＝∠BAE．在△ACD与△ABE中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AE ，∠DAC ＝∠BAE ，AC ＝AB ，∴△ACD ≌△ABE （SAS ）， ∴CD ＝BE ； （2）连接BE ，∵CD 垂直平分AE ，∴AD ＝DE ， ∵∠DAE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形， ∴∠CDA ＝12∠ADE ＝12×60°＝30°，∵△ABE ≌△ACD ，∴BE ＝CD ＝4，∠BEA ＝∠CDA ＝30°， ∴BE ⊥DE ，DE ＝AD ＝3， ∴BD ＝5；（3）如图，过B 作BF ⊥BD ，且BF ＝AE ，连接DF ， 则四边形ABFE 是平行四边形， ∴AB ＝EF ，设∠AEF ＝x ，∠AED ＝y ， 则∠FED ＝x +y ，∠BAE ＝180°－x ，∠EAD ＝∠AED ＝y ，∠BAC ＝2∠ADB ＝180°－2y ，∠CAD ＝360°－∠BAC －∠BAE －∠EAD ＝360°－（180°－2y ）－（180°－x ）－y ＝x +y ， ∴∠FED ＝∠CAD ， 在△ACD 和△EFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝FE ，∠FED ＝∠CAD ，AD ＝ED ，∴△ACD ≌△EFD （SAS ）， ∴CD ＝DF ， 而BD 2+BF 2＝DF 2， ∴CD 2＝BD 2+4AH 2．B 卷(50分)一、选择题(每小题4分，共20分)21．已知一个正数的两个平方根分别为2m－6和3＋m，则这个正数是16，326m＋1＝3．分析：根据题意得出方程2m－6＋3＋m＝0，求出m，最后，再代入计算即可．解：∵一个正数的两个平方根分别为2m－6和3＋m，∴2m－6＋3＋m＝0，解得：m＝1，∴这个正数为(2m－6)2＝16，326m＋1＝327＝3．22．构造如图所示的图形推算可得5＋1＞10 (填“＞”或“＜”或“＝”)．（其中∠C＝90°，BC＝3，D在BC上，且BD＝AC＝1．）解：∵∠C＝90°，BC＝3，BD＝AC＝1，∴CD＝2，AD＝DC2＋AC2＝5，AB＝AC2＋BC2＝10，∴BD＋AD＝5＋1，又∵△ABD中，AD＋BD＞AB，∴5＋1＞10．23．在实数范围内，若y＝｜x｜－2＋2－｜x｜2－x－3x＋1，则y2020＋x的个位数字是9．解：由题意可得：|x|－2＝0，2－x≠0，解得：x＝－2，则y＝7，∵71＝7，72＝49，73＝343；74＝2401；75＝16807，∴个位数每4个一循环，∵2020÷4＝505，∴y2020的个位数字是：1，∴y2018＋x的个位数字是：9．24．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝3－1．解：如图，过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B＝45°，∴BC＝2AB＝2，BF＝AF＝22AB＝1，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD＝BC＝2，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝AD2－AF2＝3，∴CD＝BF＋DF－BC＝1＋3－2＝3－1．25．若117－122的整数部分为a，小数部分为b，那么a2－ab＋b2的值为47－182．解：117－122＝117－272＝1(3－22)2＝13－22＝3＋22(3－22)(3＋22)＝3＋22，∵1＜2＜2，∴2＜22＜4，∴5＜3＋22＜7，∴a＝5，b＝3＋22－5＝22－2，∴a2－ab＋b2＝52－5(22－2)＋(22－2)2＝25－102＋10＋8－82＋4＝47－182．二、解答题(共30分)26．(8分)已知12＋1＝2－1(2＋1)(2－1)＝2－1，13＋2＝3－2(3＋2)(3－2)＝3－2，…，（1）从计算结果中找出一般规律：1n＋1＋n＝；（2）比较大小：32－1719－32（填“＞”、“＝”或“＝”）；（3）若实数x，y满足(x＋x2＋2020)(y＋y2＋2020)＝2020，求x2－3xy－4y2的值．解：（1）n＋1－n；（2）＞；（3）∵(x＋x2＋2020)(y＋y2＋2020)＝2020，∴(x＋x2＋2020)(y＋y2＋2020)(x－x2＋2020)＝2020(x－x2＋2020)，(x＋x2＋2020)(y＋y2＋2020)(y－y2＋2020)＝2020(y－y2＋2020)，∴(y＋y2＋2020)[x2－(x2＋2020)]＝2020(x－x2＋2020)，(x＋x2＋2020)[(y2－(y2＋2020)]＝2020(y－y2＋2020)，∴－2020(y＋y2＋2020)＝2020(x－x2＋2020)，－2020(x＋x2＋2020)＝2020(y－y2＋2020)，∴－y－y2＋2020＝x－x2＋2020，－x－x2＋2020＝y－y2＋2020，∴－y－x＝x＋y，∴y＝－x．∴原式＝x2＋3x2－4(－x)2＝0．27．(10分) 勾股定理的证明：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，得S梯形ABCD＝12a（a+b），S△EBC＝12b（a－b），S四边形AECD＝12c2，探究这三个图形面积之间的关系，得12a（a+b）＝12b（a－b）+12c2，化简，可得到勾股定理a2＋b2＝c2．勾股定理的运用：（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD ⊥AB ，BC ⊥AB ，垂足分别为A 、B ，AD ＝25千米，BC ＝16千米，则两个村庄的距离为 41 千米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若AB ＝40千米，AD ＝24千米，BC ＝16千米，要在AB 上建造一个供应站P ，使得PC ＝PD ，请用尺规作图在图2中作出P 点的位置并求出AP 的距离．知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式x 2＋9+(16－x )2＋81的最小值（0＜x ＜16）． 解：【证明】 S 梯形ABCD ＝12a （a +b ），S △EBC ＝12b （a －b ），S 四边形AECD ＝12c 2，则它们满足的关系式为：12a （a +b ）＝12b （a －b ）+12c 2故答案为：12a （a +b ），12b （a －b ），12c 2，12a （a +b ）＝12b （a －b ）+12c 2．【运用】（1）如图2①，连接CD ，作CE ⊥AD 于点E ， ∵AD ⊥AB ，BC ⊥AB ， ∴BC ＝AE ，CE ＝AB ，∴DE ＝AD －AE ＝25－16＝9千米，∴CD ＝DE 2＋CE 2＝92＋402＝41（千米）， ∴两个村庄相距41千米． 故答案为：41． （2）如图2②所示：设AP ＝x 千米，则BP ＝（40－x ）千米， 在Rt △ADP 中，DP 2＝AP 2+AD 2＝x 2+242， 在Rt △BPC 中，CP 2＝BP 2+BC 2＝（40－x ）2+162， ∵PC ＝PD ，∴x 2+242＝（40－x ）2+162， 解得x ＝16， 即AP ＝16千米． 【知识迁移】：如图3，代数式x 2＋9+(16－x )2＋81的最小值为：(9＋3)2＋162＝20．28．(12分)定义：如图（1）△ABC 中，M 是BC 的中点，P 是射线MA 上的点，设APPM ＝k ，若∠BPC ＝90°，则称k 为勾股比．（1）如图（1），过B 、C 分别作中线AM 的垂线，垂足为E 、D ．求证：CD ＝BE ． （2）①如图（2），当k ＝1，且AB ＝AC 时，AB 2+AC 2＝ 2.5 BC 2（填一个恰当的数）．②如图（1），当k ＝1，△ABC 为锐角三角形，且AB ≠AC 时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由；③对任意锐角或钝角三角形，如图（1）、（3），请用含勾股比k 的表达式直接表示AB 2+AC 2与BC 2的关系（写出锐角或钝角三角形中的一个即可）． （1）证明：∵M 是BC 的中点， ∴BM ＝CM ，∵BE ⊥AM 于E ，CD ⊥AM 于D ， ∴∠E ＝∠CDM ＝90°， 在△BME 和△CMD 中，，∴△BME ≌△CMD （AAS ）， ∴CD ＝BE ；（2）①AB 2+AC 2＝2.5BC 2． 理由如下：∵AM 是△ABC 的中线， ∴PM ＝BM ＝CM ＝12BC ，∵k ＝1，∴AP ＝PM ， ∴AM ＝2PM ＝BC ，在Rt △ABM 中，AB 2＝AM 2+BM 2＝BC 2+14BC 2＝54BC 2，在Rt △ACM 中，AC 2＝AM 2+CM 2＝BC 2+14BC 2＝54BC 2，∴AB 2+AC 2＝54BC 2+54BC 2＝2.5BC 2；即AB 2+AC 2＝2.5BC 2；②结论仍然成立．设EM ＝DM ＝a ，则AE ＝AM +a ，AD ＝AM －a ，在Rt △ABE 中，AB 2＝AE 2+BE 2＝（AM +a ）2+BE 2＝AM 2+2AM •a +a 2+BE 2， 在Rt △ACD 中，AC 2＝AD 2+CD 2＝（AM －a ）2+CD 2＝AM 2－2AM •a +a 2+CD 2， ∴AB 2+AC 2＝2AM 2+（a 2+BE 2）+（a 2+CD 2）， ∵BE ⊥AM 于E ，CD ⊥AM 于D ， ∴∠E ＝∠CDM ＝90°，∴a 2+BE 2＝BM 2＝14BC 2，a 2+CD 2＝CM 2＝14BC 2，∴AB 2+AC 2＝2AM 2+12BC 2，∵APPM＝1，∴AP ＝PM ， ∵∠BPC ＝90°，AM 是△ABC 的中线，∴PM ＝12BC ，若△ABC 是锐角三角形，则AM ＝AP +PM ＝PM +PM ＝（1+1）PM ＝BC ， ∴AB 2+AC 2＝2×BC 2+12BC 2＝52BC 2，即AB 2+AC 2＝2.5BC 2；③结论：锐角三角形：AB 2+AC 2＝k 2＋2k ＋22BC 2，钝角三角形：AB 2+AC 2＝k 2－2k ＋22BC 2，理由如下：设EM ＝DM ＝a ，则AE ＝AM +a ，AD ＝AM －a ，在Rt △ABE 中，AB 2＝AE 2+BE 2＝（AM +a ）2+BE 2＝AM 2+2AM •a +a 2+BE 2， 在Rt △ACD 中，AC 2＝AD 2+CD 2＝（AM －a ）2+CD 2＝AM 2－2AM •a +a 2+CD 2， ∴AB 2+AC 2＝2AM 2+（a 2+BE 2）+（a 2+CD 2）， ∵BE ⊥AM 于E ，CD ⊥AM 于D ， ∴∠E ＝∠CDM ＝90°，∴a 2+BE 2＝BM 2＝14BC 2，a 2+CD 2＝CM 2＝14BC 2，∴AB 2+AC 2＝2AM 2+12BC 2，∵APPM＝k ，∴AP ＝kPM ， ∵∠BPC ＝90°，AM 是△ABC 的中线，∴PM ＝12BC ，若△ABC 是锐角三角形，则AM ＝AP +PM ＝kPM +PM ＝（k +1）PM ＝k ＋12BC ，第 1 页 共 10 页 ∴AB 2+AC 2＝2×（k ＋12BC ）2+12BC 2＝k 2＋2k ＋22BC 2， 即AB 2+AC 2＝k 2＋2k ＋22BC 2； 若△ABC 是钝角三角形，则AM ＝PM －AP ＝PM －kPM ＝（1－k ）PM ＝1－k 2BC ， AB 2+AC 2＝2×（1－k 2BC ）2+12BC 2＝k 2－2k ＋22BC 2， 即AB 2+AC 2＝k 2－2k ＋22BC 2．。