砚山县第三高级中学2021届高三年级期中模拟测试卷理科数学

2021年高三第三次模拟考试数学理试题 Word版含答案精华教考中心 xx年5月班级姓名考号分数一、选择题：(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.)1. 已知集合, , 则（）A． B. C. D.2. 复数的虚部为（）A． B. C. D.3. 设，则大小关系为（）A. B. C. D.4. 已知命题：,使得,命题：,,下列结论正确的是（）A．命题“”是真命题 B. 命题“”是真命题C. 命题“”是真命题D. 命题“”是真命题5．将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）6.一排个座位坐了个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A． B． C．D．7．在中，内角,,的对边分别是，若，，则角大小为（）A． B. C. D.8．设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为（）A．1 B. C. D.二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分)。

9. 若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，则该抛物线方程为___．10. 在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为________.11.设等比数列的公比为，前项和为，则 .12. 如图所示，在平行四边形中，，垂足为，且，则______.13. 设，且满足，则的最小值为___ ；若又满足，则的取值范围是_______.14．如图，在正方体中，分别是棱，，的中点，点在四边形的四边及其内部运动，则当只需满足条件________时，就有；当只需满足条件________时，就有∥平面．三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求函数的值域．16．(本小题满分13分)为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取件和件，测量产品中的微量元素的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的件产品的测量数据：编号 1 2 3 4 5169 178 166 175 18075 80 77 70 81（1）已知甲厂生产的产品共有件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素满足，且时,该产品为优等品。

2021年高三上学期期中数学（理）试题含答案一、选择题（每小题5分，共40分）1、设集合，，，则（）A、B、C、D、2、已知，则“”是“”的（）A、充分非必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既非充分也非必要条件3、已知，，，则等于（）A、B、C、D、4、要得到函数的图像，只需要将函数的图像（）A、向左平移个单位B、向右平移个单位C、向左平移个单位D、向右平移个单位5、若的三个内角，，满足，则（）A、一定是锐角三角形B、一定是直角三角形C、一定是钝角三角形D、可能是锐角或者钝角三角形6、设，满足约束条件，则目标函数的取值范围为（）A、B、C、D、7、如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，为线段的中点，则（）A、B、C、D、8、已知点，曲线：恒过定点，为曲线上的动点且的最小值为，则（）A、B、C、D、二、填空题（没小题5分，共30分）9、写出命题：，的否定。

10、函数的单调减区间为。

11、已知正数，满足，则的最小值为。

12、已知向量，，若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是。

13、已知，，且，，则的大小为。

14、如图，正方形的边长为，为的中点，射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至，在旋转的过程中，记为（），所经过的在正方形内的区域（阴影部分）的面积，那么对于函数有以下三个结论：①；②任意，都有；③任意，，且，都有；其中所有正确结论的序号是。

三、解答题（共80分）15、在中，角，，的对边分别为，，，且满足，（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值。

16、已知向量，，函数，.（1）求函数的单调增区间；（2）将函数图像向下平移个单位，再向左平移个单位得到函数的图像，试写出的解析式并做出它在上的图像。

17、某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖金中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止。

2021年高三上学期第三次模拟考试数学（理）试题含答案一.选择题（每题5分，共60分）1. 已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是（）A.2B.4C.8D.12．已知全集U=R，集合A={x | x2 -x-6≤0}，B={x|>0}，那么集合A (C U B）=（）A．{x|-2≤x<4}B．{x|x≤3或x≥4} C．{x|-2≤x≤0} D．{x|0≤x≤3}3．下列有关命题的叙述错误．．的是（）A．若p是q的必要条件，则p是q的允分条件B．若p且q为假命题，则p，q均为假命题C．命题“∈R，x2－x>0”的否定是“x∈R，x2－x <0”D．“x>2”是“”的充分不必要条件4．设等差数列{a n}前n项和为S n，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取最小值时，n等于()A．6 B．7 C．8 D．95．设=（1，-2），=（a，－1），=（－b，0），a>0，b>0，O为坐标原点．若A，B，C三点共线，则的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．86．设等比数列的公比，前n项和为，则（）A. 2B. 4C.D.7. 已知复数，函数图象的一个对称中心是（）A. （）B. （）C.（）D.（）8. 在中，内角所对的边长分别是,若，则的形状为（）A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、等腰或直角三角形10. 已知实数3ba-成等比数列的极大值点坐标为（b,c）则等d且曲线=c,y,,3,xx于（）A．2 B．1 C．—1 D．—211.已知，实数a、b、c满足＜0，且0＜a＜b＜c，若实数是函数的一个零点，那么下列不等式中，不可能．．．成立的是（）A．＜a B．＞b C．＜c D．＞c12.已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )<－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)>(x －1)f (x 2－1)的解集是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)二、填空题(每小题5分，共20分)13.不等式x 2－2x <0表示的平面区域与抛物线y 2＝4x 围成的封闭区域的面积为____．14.已知O (0,0)，M (1,)，N (0,1)，Q (2,3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________．15.已知点A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，若AC →·BC→＝－1，则1＋tan α2sin 2α＋sin2α的值为_______．16. 若实数a ，b ，c 满足2a ＋2b ＝2a ＋b,2a ＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c ，则c 的最大值是________．三．解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17. 已知函数2()2cos )f x x x =--.（1）求的最小正周期；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.18.中内角的对边分别为，向量且（1）求锐角的大小；（2）如果，求的面积的最大值．19.设数列的前项和为，且；数列为等差数列，且.(1)求数列的通项公式；(2)若(1,2,3),n n n n c a b n T =⋅=…为数列的前项和，求证：.20. 设函数f (x )＝23＋1x (x >0)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f ⎝⎛⎭⎫1a n －1，n ∈N *，且n ≥2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，设S n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n a n ＋1，若S n ≥3t 恒成立，求实数t 的取值范围．21.已知函数．（1）若曲线过点P (1,－1)，求曲线在点P 处的切线方程；（2）若对恒成立,求实数m 的取值范围;22.已知函数f (x )＝ax ＋x ln x ，且图象在点⎝⎛⎭⎪⎫1e ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 处的切线斜率为1(e 为自然对数的底数)．(1)求实数a 的值；(2)设g (x )＝f (x )－x x －1，求g (x )的单调区间； (3)当m >n >1(m ，n ∈Z)时，证明：m n n m>n m .xx 高三三模理科数学答案一.选择题（每小题5分，共60分） CDBADC DCCADD二.填空题（每小题5分，共20分）13. 1632; 14. 4; 15. -9/5; 16. _2-log 23.三.解答题(17小题10分，18—22每小题12分，共70分)17. 解：（1）2()2cos )f x x x =--222(3sin cos cos )x x x x =-+-22(12sin 2)x x =-+-所以 的周期为.（2）当时， ，所以当时，函数取得最小值………………11分当时，函数取得最大值.18. 解：（1） B B B 2cos 3)12cos 2(sin 22-=-∴ 即又为锐角（2） 由余弦定理得即.又 代入上式得（当且仅当 时等号成立）.343sin 21≤==∆ac B ac S ABC （当且仅当 时等号成立）. 19. 解.（1）由11111222,1,22,,3n n b S n b S S b b =-==-==令则又所以 2122111222(),9222,2()213n n n n n n n n n b b b b n b S b b S S b b b ---=-+=≥=--=--=-=则当时，由可得即{}12112333n n n b b b ==⋅所以是以为首项，为公比的等比数列，于是. （2）数列为等差数列，公差751()3,312n d a a a n =-==-可得 从而2323123111112[258(31)],3333111112[ 25(34)(31)]333332111112[3333(31)]3333333n n n n n n n n T n T n n d T n ++∴=⋅+⋅+⋅++-⋅=⋅+⋅++-⋅+-⋅∴=⋅+⋅+⋅++⋅---⋅……… 从而.20. 解：(1)由a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1可得，a n －a n －1＝23，n ∈N *，n ≥2.所以{a n }是等差数列，又因为a 1＝1，所以a n ＝1＋(n －1)×23＝2n ＋13，n ∈N *.(2)S n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n a n ＋1，n ∈N *.因为a n ＝2n ＋13， 所以a n ＋1＝2n ＋33，所以1a n a n ＋1＝9(2n ＋1)(2n ＋3)＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. 所以S n ＝92⎝⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝3n 2n ＋3，n ∈N *. 由S n ≥3t 得t,又{}递增，所以n=1时，（）min=,所以t ≤.21.解：（1）过点，.，.过点的切线方程为.（2）恒成立，即恒成立，又定义域为，恒成立.设，当x=e 时，当时，为单调增函数当时，为单调减函数.当时，恒成立.22.解：(1)f (x )＝ax ＋x ln x ，f ′(x )＝a ＋1＋ln x ，依题意f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝a ＝1，所以a ＝1. (2)因为g (x )＝f (x )－x x －1＝x ln x x －1， 所以g ′(x )＝x －1－ln x(x －1)2.设φ(x )＝x －1－ln x ，则φ′(x )＝1－1x .当x >1时，φ′(x )＝1－1x >0，φ(x )是增函数，对任意x >1，φ(x )>φ(1)＝0，即当x >1时，g ′(x )>0，故g (x )在(1，＋∞)上为增函数．当0<x<1时，φ′(x)＝1－1x<0，φ(x)是减函数，对任意x∈(0,1)，φ(x)>φ(1)＝0，即当0<x<1时，g′(x)>0，故g(x)在(0,1)上为增函数．所以g(x)的递增区间为(0,1)，(1，＋∞)．(3)证明：要证mnnm>nm，即证ln nm－ln mn>ln n－ln m，即n－1n ln m>m－1m ln n，m ln mm－1>n ln nn－1.(*)因为m>n>1，由(2)知，g(m)>g(n)，故(*)式成立，所以mnnm>nm.。

2021年高三上学期第三次模拟数学试卷（理科）含解析一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分）.1．设集合A={a，a2，﹣2}，B={2，4}，A∩B={4}，则a=（）A．2 B．﹣2 C．4 D．2．在复平面内，复数z=（1+2i）2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设平面向量，，均为非零向量，则“•（﹣）=0”是“=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．等差数列{an }的前n项和为Sn，a3=5，S6=36，则a6=（）A．9 B．10 C．11 D．125．已知命题p：函数y=2﹣a x+1（a＞0，a≠1）恒过定点（﹣1，1）：命题q：若函数f（x﹣1）为偶函数，则f（x）的图象关于直线x=1对称．下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．¬p∧¬q C．¬p∧q D．p∧¬q6．已知P（x，y）是不等式组表示的平面区域内的一点，A（1，2），O为坐标原点，则•的最大值（）A．2 B．3 C．5 D．67．为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位8．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角9．设=（）A．B．C．D．210．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=2x．若在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，2）D．（1，2）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．在正项等比数列{a n}中，前n项和为=．12．已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，则球O的表面积等于．13．设=．14．在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．15．已知，动点P满足，且λμ≥0，|λ+μ|≤1，点P所在平面区域的面积为．三、解答题（本题满分75分）16．已知函数（1）求函数的单调递增区间（2）在，求三角形的面积S△AB C．17．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|．（1）证明：﹣3≤f（x）≤3；（2）求不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，AP=，AB=AD=1，BC=2，．（I）求证：平面PAC⊥平面PDE（II）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值．19．数列{a n}中，a1=3，a n+1=2a n+2．（I）求证：{a n+2}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（II）设，求和S n=b1+b2+…+b n，并证明：．20．已知函数f（x）=（x+1）|lnx|．（I）讨论函数f（x）的单调性；（II）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≥a（x﹣1）恒成立，求a的范围．21．设函数．（I）求函数y=f（x）的最大值；（II）对于任意的正整数n，求证：（III）当﹣1＜a＜b时，成立，求实数m的最小值．xx学年山东师大附中高三（上）第三次模拟数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分）.1．设集合A={a，a2，﹣2}，B={2，4}，A∩B={4}，则a=（）A．2 B．﹣2 C．4 D．【考点】交集及其运算．【分析】由A，B，以及两集合的交集，确定出a的值即可．【解答】解：∵A={a，a2，﹣2}，B={2，4}，A∩B={4}，∴a=4或a2=4，即a=2或﹣2，当a=2时，A={2，4，﹣2}，B={2，4}，此时A∩B={2，4}，不合题意；当a=﹣2时，A={﹣2，4，﹣2}，与集合互异性矛盾，舍去，则a=4，故选：C．2．在复平面内，复数z=（1+2i）2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，得到复数z对应点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵z=（1+2i）2=1+4i+（2i）2=﹣3+4i，∴复数z=（1+2i）2对应的点的坐标为（﹣3，4），位于第二象限．故选：B．3．设平面向量，，均为非零向量，则“•（﹣）=0”是“=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据向量的数量积关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若=，则•（﹣）=0成立，必要性成立，若•（﹣）=0得•=•，则=不一定成立，充分性不成立．故“•（﹣）=0”是“=”的必要而不充分条件，故选：B．4．等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=5，S6=36，则a6=（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】等差数列的性质．【分析】由等差数列可得×6=36，从而求得a4=7，从而求得．【解答】解：∵S6=×6=36，a3=5，∴a4=7，∴a6=a4+（6﹣4）×（7﹣5）=11，故选：C．5．已知命题p：函数y=2﹣a x+1（a＞0，a≠1）恒过定点（﹣1，1）：命题q：若函数f（x﹣1）为偶函数，则f（x）的图象关于直线x=1对称．下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．¬p∧¬q C．¬p∧q D．p∧¬q【考点】复合命题的真假．【分析】复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再进一步进行判断，则答案可求．【解答】解：函数y=2﹣a x+1的图象可看作把y=a x的图象先沿轴反折，再左移1各单位，最后向上平移2各单位得到，而y=a x的图象恒过（0，1），∴函数y=2﹣a x+1恒过（﹣1，1）点，∴命题p假，则￢p真．函数f（x﹣1）为偶函数，则其对称轴为x=0，而函数f（x）的图象是把y=f （x﹣1）向左平移了1各单位，∴f（x）的图象关于直线x=﹣1对称，∴命题q假，则命题￢q真．综上可知，命题￢p∧￢q为真命题．故选：B．6．已知P（x，y）是不等式组表示的平面区域内的一点，A（1，2），O为坐标原点，则•的最大值（）A．2 B．3 C．5 D．6【考点】简单线性规划．【分析】设z=•=x+2y，作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=•，则z=x+2y，即y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B（0，3），y=﹣x+z的截距最大，此时z 最大．代入z=x+2y=0+2×3=6．即•的最大值最大值为6．故选：D7．为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可．【解答】解：函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x=的图象向右平移个单位，得到y==的图象．故选：A．8．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【考点】直线与平面垂直的性质．【分析】根据SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证AC⊥SB，根据线面平行的判定定理易证AB∥平面SCD，根据直线与平面所成角的定义，可以找出∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC 与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果．【解答】解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，∴连接BD，则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；∵SD⊥底面ABCD，∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的，而△SAO≌△CSO，∴∠ASO=∠CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，而这两个角显然不相等，故D不正确；故选D．9．设=（）A．B．C．D．2【考点】数列与向量的综合．【分析】运用三角函数的诱导公式，化简向量，，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．【解答】解：=（cos，sin+cos）=（cos，﹣sin+cos）=（，），=（cos，sin+cos）=（cos0，sin0+cos0）=（1，1），即有•=×1+×1=﹣．故选：B．10．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=2x．若在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，2）D．（1，2）【考点】抽象函数及其应用．【分析】由f（x+2）=f（x），得到函数的周期是2，利用函数的周期性和奇偶性作出函数f（x）的图象，由ax+2a﹣f（x）=0等价为f（x）=a（x+2），利用数形结合即可得到结论．【解答】解：若在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，等价为f（x）=a（x+2）有四个不相等的实数根，即函数y=f（x）和g（x）=a（x+2），有四个不相同的交点，∵f（x+2）=f（x），∴函数的周期是2，当﹣1≤x≤0时，0≤﹣x≤1，此时f（﹣x）=﹣2x，∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=﹣2x=f（x），即f（x）=﹣2x，﹣1≤x≤0，作出函数f（x）和g（x）的图象，当g（x）经过A（1，2）时，两个图象有3个交点，此时g（1）=3a=，解得a=当g（x）经过B（3，2）时，两个图象有5个交点，此时g（3）=5a=2，解得a=，要使在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则，故选：A二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．在正项等比数列{a n}中，前n项和为=．【考点】等比数列的性质．【分析】利用等比数列的性质列出方程组，求出首项和公比，即可求出S5的值．【解答】解：∵正项等比数列{a n}中，前n项和为S n，a5=，a6+a7=3，∴，解得q=2，a1=，∴S5===．故答案为：．12．已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，则球O的表面积等于4π．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由已知中S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，易S、A、B、C四点均为长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体对角线，可得球O的直径（半径），代入球的表面积公式即可得到答案．【解答】解：∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴四面体S﹣ABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径∵SA=AB=1，BC=，∴2R==2∴球O的表面积S=4•πR2=4π故答案为：4π13．设=．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的化简求值．【分析】由三角函数公式化简可得sin（α﹣β）=sin（﹣α），由角的范围和正弦函数的单调性可得．【解答】解：∵α，β∈（0，），且tanα=，∴=，∴sinαcosβ=cosα+cosαsinβ，∴sinαcosβ﹣cosαsinβ=cosα，∴sin（α﹣β）=cosα=sin（﹣α），∵α，β∈（0，），∴α﹣β∈（﹣，），∴﹣α∈（0，），∵函数y=sinx在x∈（﹣，）单调递增，∴由sin（α﹣β）=sin（﹣α）可得α﹣β=﹣α，变形可得2α﹣β=故答案为：．14．在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．【考点】余弦定理的应用．【分析】利用已知条件求出A，C，然后利用正弦定理求出AC即可．【解答】解：由题意以及正弦定理可知：，即，∠ADB=45°，A=180°﹣120°﹣45°，可得A=30°，则C=30°，三角形ABC是等腰三角形，AC=2=．故答案为：．15．已知，动点P满足，且λμ≥0，|λ+μ|≤1，点P所在平面区域的面积为5．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据条件可以求出，可分别以线段AB，AC所在直线为λ轴，μ轴，建立坐标系，然后以向量为一组基底，可得到P（λ，μ），根据条件λ，μ≥0时便有0≤λ+μ≤1，这样便可得到对应的P点所在区域为△ABC及其内部，并可求出S△AB C，而λ，μ≤0，﹣1≤λ+μ≤0时便可得到对应的点P所在区域面积等于S△AB C，这样即可求出点P所在平面区域的面积．【解答】解：，；∴；∴；如图，分别以边AB，AC所在的直线为λ轴，μ轴建立如图所示坐标系：以向量为一组基底，则P点的坐标为P（λ，μ）；若λ≥0，μ≥0，则0≤λ+μ≤1，对应的P点所在区域为图中阴影部分所示；；同理，λ≤0，μ≤0时，﹣1≤λ+μ≤0，此时点P所在区域面积应等于；∴点P所在平面区域的面积为5．故答案为：5．三、解答题（本题满分75分）16．已知函数（1）求函数的单调递增区间（2）在，求三角形的面积S△AB C．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性．【分析】（1）利用二倍角公式化简得f（x）=sin（2x+）+，结合正弦函数的单调区间列出不等式解出；（2）根据f（A）=1解出A，代入向量的数量积公式解出AB•AC，代入面积公式．【解答】解：（1）=，令∴f（x）的单调增区间为．（2），，∴．∵=AB•AC•cosA=4，∴AB•AC=8，∴．17．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|．（1）证明：﹣3≤f（x）≤3；（2）求不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过对x的范围分类讨论将函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|中的绝对值符号去掉，转化为分段函数，即可解决；（2）结合（1）对x分x≤2，2＜x＜5与x≥5三种情况讨论解决即可．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|=．当2＜x＜5时，﹣3＜2x﹣7＜3．所以﹣3≤f（x）≤3．（2）由（1）可知，当x≤2时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5﹣≤x＜5}；当x≥5时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5≤x≤6}．综上，不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5﹣≤x≤6}．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，AP=，AB=AD=1，BC=2，．（I）求证：平面PAC⊥平面PDE（II）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面PAC⊥平面PDE．（2）求出平面PDE的法向量，利用向师法能求出直线PC与平面PDE所成角的正弦值．【解答】证明：（1）∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，又AB⊥AD，建立空间直角坐标系，则，，，∴DE⊥AC，PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DE，∴DE⊥平面PAC，DE⊂平面PDE，∴平面PAC⊥平面PDE．解：（2）设平面PDE的法向量为，，则，设直线PC与平面PDE所成角为θ，，∴直线PC与平面PDE所成角的正弦值为．19．数列{a n}中，a1=3，a n+1=2a n+2．（I）求证：{a n+2}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（II）设，求和S n=b1+b2+…+b n，并证明：．【考点】数列的求和；等比关系的确定．【分析】（Ⅰ）把原数列递推式变形，可得{a n+2}是等比数列，求出其通项公式后可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）把数列{a n}的通项公式代入，整理后利用错位相减法求S n=b1+b2+…+b n，然后放缩得答案．【解答】（Ⅰ）证明：由a n+1=2a n+2，得a n+1+2=2（a n+2），∵a1+2=5≠0，∴，∴{a n+2}是首项为5，公比为2的等比数列，则，∴；（Ⅱ）解：，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣①﹣﹣﹣﹣﹣﹣②①﹣②得：．∴；∵，∴{S n}单调递增，则，∴．20．已知函数f（x）=（x+1）|lnx|．（I）讨论函数f（x）的单调性；（II）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≥a（x﹣1）恒成立，求a的范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I）通过x≥1与0＜x＜1，化简函数的表达式，求出函数的导数，判断导数的符号，推出函数的单调性．（II）利用x≥1，转化f（x）≥a（x﹣1）为（x+1）lnx﹣a（x﹣1）≥0，构造函数g（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1），求出函数的导数，利用（I）的结果，推出a的范围．【解答】解：（I）当，f（x）在（1，+∞）上递增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，，f′（x）在（0，1）递增，f′（x）＜f′（1）=﹣2＜0，f（x）在（0，1）上递减所以f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）x≥1，f（x）=（x+1）lnx，f（x）≥a（x﹣1）⇔（x+1）lnx﹣a（x﹣1）≥0设由（I）知，g′（x）在（1，+∞）上递增，g′（x）≥g′（1）=2﹣a若2﹣a≥0，即a≤2，g′（x）≥0，g（x）在[1，+∞）上递增，∴g（x）≥g（1）=0，所以不等式成立﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若a＞2，存在x0∈（1，+∞），使得g′（x0）=0，当x∈[1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）是减函数，∴g（x）＜g（1）=0，这与题设矛盾﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上所述，a≤2．21．设函数．（I）求函数y=f（x）的最大值；（II）对于任意的正整数n，求证：（III）当﹣1＜a＜b时，成立，求实数m的最小值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的证明；比较法．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，求得单调区间和极值，也为最值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知≤，令x=n可得＜，即为＜=﹣，运用累加法，即可得证；（Ⅲ）由题意可得f（b）﹣mb＜f（a）﹣ma，即有函数上是减函数，求出导数h′（x）≤0在（﹣1，0）恒成立，求出导数，可得最大值，即可得到所求m的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数为，当x＜0，f'（x）＞0，f（x）递增；x＞0，f'（x）＜0，f（x）递减．即有x=0处取得最大值，即f（x）≤f（0）=1，∴f（x）ma x=1；（Ⅱ）证明：由（1）知，，，则；（Ⅲ）当，即函数上是减函数，，，当x∈（﹣1，1），u′（x）＜0，u（x）递减；x∈（1，+∞），u′（x）＞0，u（x）递增．则，u（x）＜u（﹣1）=e，所以m≥e，即m的最小值为e．xx年7月3日25183 625F 扟31350 7A76 究>40642 9EC2 黂-s, ld23759 5CCF 峏22781 58FD 壽33582 832E 茮33136 8170 腰%。

2021年高三数学第三次模拟考试试题理（含解析）【试卷综析】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.【题文】1.已知集合,若，则（）A．【知识点】交集及其运算．A1【答案解析】B 解析：∵集合M={3，log2a}，N={a，b}，M∩N={0}，∴log2a=0，解得a=1，∴b=0，∴M∪N={0，1，2}．故选：B．【思路点拨】由已知得log2a=0，解得a=1，从而b=0，由此能求出M∪N．【题文】2.等差数列的前 n项和为，若,则( )A. -2B.0C.2D.4【知识点】等差数列的前n项和．D2【答案解析】A 解析：∵等差数列{an}的前n项和为{Sn}，S8﹣S4=36，a6=2a4，∴，解得a1=﹣2，d=2．故选：A．【思路点拨】等差数列{an}的前n项和为{Sn}，由已知得，由此能求出结果．【题文】3．设随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），若P(ξ＞c)=, 则P(ξ＞4-c)等于A. B.2 C. 1- D. 1-2【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．I3【答案解析】B 解析：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），对称轴是：μ=2，又4﹣c与c关于μ=2对称，由正态曲线的对称性得：∴p（ξ＞4﹣c）=1﹣p（ξ＞c）=1﹣a．故选B．【思路点拨】根据随机变量X服从正态分布N（2，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的特点，得到p（ξ＞4﹣c）=1﹣p（ξ＞c），得到结果．【题文】4.如图，网格纸上的正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）（A） 30 （B） 50 （C） 75 （D） 150【知识点】由三视图求面积、体积．G2【答案解析】B 解析：该几何体是四棱锥，其底面面积S=5×6=30，高h=5，则其体积V=S×h=30×5=50．故选B．【思路点拨】由三视图可知：该几何体是四棱锥．【题文】5.一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点（不在同一侧面或同一底面内）的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可以是（）等腰三角形 (B)等腰梯形（C)五边形 (D)正六边形【知识点】棱柱的结构特征．G7【答案解析】D 解析：如图，由图可知，截面ABC为等腰三角形，选项A可能，截面ABEF为等腰梯形，选项B可能，截面ADE为五边形，选项C都有可能，选项D不可能，故选D．【思路点拨】由题意作出简图分析．【题文】6．函数在区间的最大值为（）(A)1 (B) (C) (D)2【知识点】复合三角函数的单调性． C3 B3【答案解析】C 解析：f（x）=cos2x+sinxcosx==．∵x∈[，]，∴2x+∈．∴．∴函数f（x）=cos2x+sinxcosx在区间[，]的最大值为．故选：C．【思路点拨】利用三角函数倍角公式化简，然后结合已知x的范围求得原函数值域，则答案可求．【题文】7．设f(x)是定义在R上的奇函数，其f(x)=f(x-2),若f(x)在区间单调递减，则（）(A) f(x)在区间单调递增 (B) f(x)在区间单调递增(C) f(x)在区间单调递减 (D) f(x)在区间单调递减【知识点】奇偶性与单调性的综合．B4 B3【答案解析】D 解析：由f（x）=f（x﹣2），则函数的周期是2，若f（x）在区间[2，3]单调递减，则f（x）在区间[0，1]上单调递减，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）在区间[﹣1，0]上单调递减，且f（x）在区间[1，2]上单调递减，故选：D【思路点拨】根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论．【题文】8.双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为( )(A) (B) (C) (D)【知识点】双曲线的简单性质．H6【答案解析】B 解析：如图在Rt△MF1F2中，∠MF1F2=30°，F1F2=2c∴，∴∴，故选B．【思路点拨】先在Rt△MF1F2中，利用∠MF1F2和F1F2求得MF1和MF2，进而根据双曲线的定义求得a，最后根据a和c求得离心率．【题文】9.已知外接圆的半径为，且．，从圆内随机取一个点，若点取自内的概率恰为，则的形状为( )(A)直角三角形 (B)等边三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰直角三角形【知识点】几何概型．K3【答案解析】B 解析：∵•=﹣，圆的半径为1，∴cos∠AOB=﹣，又0＜∠AOB＜π，故∠AOB=，又△AOB为等腰三角形，故AB=，从圆O内随机取一个点，取自△ABC内的概率为，即=，∴S，设BC=a，AC=b．∵C=，∴，得ab=3，…①由AB2=a2+b2﹣2abcosC=3，得a2+b2﹣ab=3，a2+b2=6…②联立①②解得a=b=．∴△ABC为等边三角形．故选：B．【思路点拨】根据向量的数量积求得∠AOB=，进而求得AB的长度，利用几何概型的概率公式求出三角形ABC的面积，利用三角形的面积公式即可求出三角形各边的长度即可得到结论．【题文】10.已知数列满足，，则A. 143B. 156C. 168D. 195【知识点】数列递推式． D1【答案解析】C 解析：由an+1=an+2+1，得，∴，又a1=0，∴{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，则，∴．则a13=169﹣1=168．故选：C．【思路点拨】把已知的数列递推式变形，得到{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，求出其通项公式后得到an，则a13可求．【题文】11.用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（）A．432 B．288 C．216 D．144【知识点】排列、组合及简单计数问题．J1 J2【答案解析】B解析：从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有•=6种．先排3个奇数：①若1排在左端，方法有种；则将“整体”和另一个偶数中选出一个插在1的左边，方法有种，另一个偶数插在2个奇数形成的3个空中，方法有种，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×××=72种．②若1排在右端，同理求得满足条件的六位数也有72种，③若1排在中间，方法有种，则将“整体”和另一个偶数插入3个奇数形成的4个空中，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6××=144种．综上，满足条件的六位数共有 72+72+144=288种，故选B．【思路点拨】从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有•=6种．先排3个奇数：分1在左边、1在右边、1在中间三种情况，分别用插空法求得结果，再把这3个结果相加，即得所求．【题文】12.函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A． B. C． D．【知识点】指数函数单调性的应用；函数单调性的性质．B3 B6【答案解析】C 解析：当a＞0时，y=在（﹣∞，]上为减函数，在[，+∞）上为增函数，且y=＞0恒成立若函数在区间[0，1]上单调递增，则y=在[0，1]上单调递增则≤0解得a∈（0，1]当a=0时，在区间[0，1]上单调递增，满足条件当a＜0时，在R单调递增，令=0，则x=ln则在（0，ln]为减函数，在[ln，+∞）上为增函数则ln≤0，解得a≥﹣1综上，实数a的取值范围是[﹣1，1]，故选C【思路点拨】结合对勾函数，指数函数单调性及单调性的性质，分别讨论a＞0，a=0，a＜0时，实数a的取值范围，综合讨论结果可得答案．【题文】第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【题文】13.甲、乙、丙、丁四人商量去看电影.甲说：乙去我才去；乙说：丙去我才去；丙说：甲不去我就不去；丁说：乙不去我就不去。

2021届高三上学期期中考试理科数学试题一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合，则等于（ ）A. B. C.D.2．已知复数12z i =+，且复数12,z z 在复平面内对应的点关于实轴对称，则12z z =( ) A ．1i +B ．3455i + C ．3455i - D ．413i +3．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”B ．已知()y f x =是R 上的可导函数，则“()00f x '=”是“x 0是函数()y f x =的极值点”的必要不充分条件C ．命题“存在x ∈R ，使得210x x ++<”的否定是：“对任意x ∈R ，均有210x x ++<”D ．命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”的逆否命题为真命题 4．已知函数2()3cos cos f x x x x =+，则（ ） A ．()f x 的图象关于直线6x π=对称B ．()f x 的最大值为2C ．()f x 的最小值为1-D ．()f x 的图象关于点(,0)12π-对称5．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力单位：N ，位移单位：m)作用力下，沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处做的功是( )． A ．925 J B ．850 J C ．825 J D ．800 J 6．如果'()f x 是二次函数，且'()f x 的图象开口向上，顶点坐标为3)，那么曲线()y f x =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（ ） A ．(0,]3πB ．[,)32ππC ．2(,]23ππD ．[,)3ππ7．已知()()sin (0,0,,)2f x A x A x R πωϕωϕ=+>><∈在一个周期内的图像如图所示，则()y f x =的图像可由函数cos y x =的图像（纵坐标不变）（ ）得到．A ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移6π单位 B ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π单位C ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π单位D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，，再向左平移12π单位 8．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）A.与的定义域都是B.为奇函数，为偶函数C.的值域为，的值域为 D.与都不是周期函数9．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模sin a b a b θ⨯=⋅⋅，若()()3,1,1,3a b =--=，则a b ⨯=（ ）A ．2B ．3C ．23D ．410．如图，可导函数()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程为()y g x =，设()()()h x g x f x =-，)'(h x 为()h x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ） A ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极大值点 B ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极小值点 C ．0'()0h x ≠，0x 不是()h x 的极值点 D ．0'()0h x ≠，0x 是()h x 是的极值点11．已知函数()()f x x ∈R 满足，若函数与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅ 则1()mi i i x y =+=∑ （ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m12．设a 为常数，函数()()2ln 1f x x x ax =--，给出以下结论：（1）若2a e -=，则()f x 存在唯一零点 （2）若1a >，则()0f x <（3）若()f x 有两个极值点12,x x ，则1212ln ln 1x x x x e-<- 其中正确结论的个数是（ ） A.3B.2C.1D.0二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知一个扇形的周长为，则当该扇形的半径__________时，面积最大. 14．如图，在直角三角形ABC 中，2AB =，60B ∠=，AD BC ⊥，垂足为D ，则AB AD ⋅的值为_____15．已知角3πα+的始边是x 轴非负半轴．其终边经过点34(,)55P --，则sin α的值为__________．16．下列是有关ABC ∆的几个命题，①若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC ∆是锐角三角形；②若sin2sin2A B =，则ABC ∆是等腰三角形；③若()0AB AC BC +⋅=，则ABC ∆是等腰三角形；④若 cos sin A B =，则ABC ∆是直角三角形； 其中所有正确命题的序号是_______三、解答题（共70分。

砚山县第三高级中学2021学年高三数学12月月考试卷（理）一、单选题1．设集合{}210A x x =-<，{}2,xB y y x A ==∈，则A B =（ ）A ．()0,1B ．()1,2-C ．()1,+∞D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭2．若复数z 满足：(1)2z i ⋅+=，则||z =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．23．已知向量,a b ，2a =，()()cos ,sin b R ααα=∈，若223a b +=，则a 与b 夹角是（ ）A ．56πB ．23πC ．3πD ．6π4．函数()()23ln 1x f x x +=的大致图象是A ．B ．C ．D ．5．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳（biē nào）.如图，网格纸上小正方形的边长1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑表面积为（ ） A ．6 B ．21C ．27D ．546．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足12AD DC =，E 为BD 的中点，则CE =（）A ．5163BA BC -B ．1536BA BC -C ．1536BA BC +D ．5163BA BC +7．0.618被公认为是最具有审美意义的比例数字，是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.他认为底与腰之比为黄金分割比51510.618⎛⎫--≈ ⎪ ⎪⎝⎭的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36°的等腰三角形，例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的，如图，在其中一个黄金ABC 中，黄金分割比为BCAC.根据以上信息，计算sin1674︒=（ ） A ．35+-B ．51+-C ．251-- D ．45+-8．若点(2,0)P 到双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．22D ．239．函数y ＝f(x)的导函数y ＝f′(x)的图象如图所示，给出下列命题： ①－3是函数y ＝f(x)的极值点； ②－1是函数y ＝f(x)的最小值点； ③y ＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增； ④y ＝f(x)在x ＝0处切线的斜率小于零． 以上正确命题的序号是( ) A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④10．已知直线l 、m 与平面α、β，l α⊂，m β⊂，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//l m ，则必有//αβB ．若l m ⊥，则必有αβ⊥C ．若l β⊥，则必有αβ⊥D ．若αβ⊥，则必有m α⊥11．已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1a =，3a b c ++=，且3sin cos sin cos c A B a B C a +=，则ABC 的面积为（ ） A ．34或334B ．334 C ．233D ．3412．已知函数2()22x xf x x -=++，若不等式()2(1)2f ax f x-<+对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()23,2- B ．()2,23-C ．()23,23-D ．(2,2)-第II 卷（非选择题）二、填空题13．若x ，y 满足约束条件101024x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则32x y +的最大值为______14．若命题“2,10x x kx ∀∈-+>R ”是真命题，则k 的取值范围是________15．()10212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数为__________． 16．已知三棱锥D ABC -的所有顶点都在球O 的表面上，AD ⊥平面ABC ，23AC =，2BC =，cos 3sin ACB ACB ∠=∠，4=AD ，则球O 的表面积为___________.三、解答题17．在正项等比数列{n a }中，11a =且3542,,3a a a 成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列{n b }满足n nnb a =，求数列{n b }的前n 项和n S ．18．改革开放以来，中国快递行业持续快速发展，快递业务量从上世纪80年代的153万件提升到2018年的507.1亿件，快递行业的发展也给我们的生活带来了很大便利.已知某市某快递点的收费标准为:首重(重量小于等于1kg )收费10元，续重5元/kg (不足1kg 按1kg 算). (如:一个包裹重量为2.5,kg 则需支付首付10元，续重10元，一共20元快递费用)（1）若你有三件礼物,,A B C 重量分别为0.4 1.2 1.9kg kg kg ，，，要将三个礼物分成两个包裹寄出(如:,A B 合为一个包裹，C 一个包裹)，那么如何分配礼物，使得你花费的快递费最少？（2）为了解该快递点2019年的揽件情况，在2019年内随机抽查了30天的日揽收包裹数(单位:件)，得到如下表格: 包裹数(单位:件) (0]100， ]100(200， ](200300， ]300(400，天数(天) 8 12 8 2现用这30天的日揽收包裹数估计该快递点2019年的日揽收包裏数.若从2019年任取4天，记这4天中日揽收包裹数超过200件的天数为随机变量,X 求X 的分布列和期望19．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD//QA ，12QA AB PD ==. （1）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ；（2）求平面PBQ 和平面PBC 所成锐二面角的余弦值.20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．21．已知函数f （x ）313x =-ax +a ，a ∈R ． （Ⅰ）当a ＝1时，求曲线y ＝f （x ）在点（0，1）处的切线方程； （Ⅱ）求函数y ＝f （x ）的单调区间；（Ⅲ）当x ∈（0，2）时，比较f （x ）与|1|a --的大小．22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为6cos 1sin x ty t=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 204πρθ⎛⎫--= ⎪⎝⎭． （1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点P 是圆C 上任一点，求点P 到直线l 距离的最小值．23．已知函数()1=-f x x .（1）解不等式()(1)4f x f x ++≥；（2）当0x ≠，x ∈R 时，证明：1()()2f x f x-+≥.参考答案1．D 【分析】先由一元二次不等式的解法求得集合A ，再根据指数函数的值域求得集合B ，利用集合的交集运算可得选项. 【详解】因为{}()(){}()210+1101,1A x x x x x =-<=-<=-，又11x -<<时，1112222x -=<<，所以{}12,22xB y y x A ⎛⎫==∈= ⎪⎝⎭，， 所以AB =1,12⎛⎫⎪⎝⎭，故选：D. 2．B 【分析】根据复数满足的等式化简变形，结合复数除法运算即可化简得z ，根据复数模的定义及运算即可求解. 【详解】复数z 满足(1)2z i ⋅+=， 则21iz =+， 由复数除法运算化简可得()()()2121111i z i i i i -===-++-，由复数模的定义及运算可得z ==故选：B. 【点睛】本题考查了复数模的定义，复数的除法运算，属于基础题. 3．C 【分析】首先根据b 的坐标计算b ，根据223a b +=得到1a b =，再代入夹角公式计算即可.【详解】2cos 1b α==，222(2)4412a b a a b b +=++=，即44412a b ++=，解得1a b =. 设a 与b 夹角为θ，则1cos 2a b a bθ==， 又因为0θπ<<，所以3πθ=.【点睛】本题主要考查平面向量的夹角的计算，同时考查了平面向量的模长，属于中档题. 4．A 【分析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断. 【详解】由题意可知函数()f x 为奇函数，可排除B 选项； 当x 0<时，()0f x ＜，可排除D 选项； 当x 1=时，()12f ln =，当x 3=时，ln10ln10(3),ln 22727f =>， 即()()1?3f f ＞，可排除C 选项， 故选A 【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题． 5．C 【分析】结合三视图,还原直观图,计算表面积,即可. 【详解】结合三视图,还原直观图为已知3,4,3AB BC CD ===,则该四面体1111272222S AB BC AC CD AB BD BC CD =⋅+⋅+⋅+⋅=,故选C. 【点睛】本道题考查了三视图还原直观图,难度中等. 6．B 【分析】根据E 为中点，首先易得1122CE CB CD =+，再通过向量加法以及向量的减法和12AD DC=即可得到结果. 【详解】 如图所示：因为E 为BD 的中点，所以1122CE CB CD =+，又12AD DC =，23CD CA =∴， 12CE CB =∴12111115()23232336CA CB CA CB BA BC BA BC +⨯=+=+-=-，故选B ．【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，对向量加法和减法的运用较为灵活，属于基础题． 7．B 【分析】利用正弦定理及正弦的二倍角公式求得1cos364︒=，然后由诱导公式求解． 【详解】在ABC 中，由正弦定理可得sin sin36sin36sin sin722sin36cos36BC BAC AC ABC ∠︒︒===∠︒︒︒12cos36==︒∴cos36︒==()()sin1674sin 4360234sin 234sin 18054︒=⨯︒+︒=︒=︒+︒=()sin 54sin 9036cos36-︒=-︒-︒=-︒=. 故选：B.． 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理和正弦的二倍角公式，考查诱导公式．本题考查关键是利用正弦定理把三角函数值与黄金分割比联系起来，得1cos364︒=． 8．A 【解析】试题分析：双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -==得a b =，所以c ==，ce a==A ． 考点：双曲线的性质． 9．C 【详解】试题分析：根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．根据导函数图象可知：当x ∈（-∞，-3）时，f'（x ）＜0，在x ∈（-3，1）时，()0f x '≥ ∴函数y=f （x ）在（-∞，-3）上单调递减，在（-3，1）上单调递增，故③正确； 则-3是函数y=f （x ）的极小值点，故①正确；∵在（-3，1）上单调递增∴-1不是函数y=f （x ）的最小值点，故②不正确； ∵函数y=f （x ）在x=0处的导数大于0∴切线的斜率大于零，故④不正确. 故选C.考点：利用导数研究曲线上某点切线斜率；函数的单调性与导数的关系；函数极值的判定. 10．C 【分析】根据空间点、直线、平面之间的位置关系，结合线线、线面平行垂直的判定和性质，对四个选项逐一判断可得答案. 【详解】解：A .如图所示，设⋂=c αβ，//l c ，//m c 满足条件//l m ，但是α与β不平行，故A 不正确；B .假设//αβ，n β⊂，//n l ，n m ⊥，则满足条件l m ⊥，但是α与β不垂直，故B 不正确；C .若l α⊂，l β⊥，根据面面垂直的判定定理可得αβ⊥，故C 正确；D .设⋂=c αβ，若//l c ，//m c ，虽然αβ⊥，但是可有//m α，故D 不正确， 综上可知：只有C 正确. 故选：C.【点睛】本题考查空间点、直线、平面之间的位置关系，以及线线、线面平行垂直的判定和性质，考查对命题的判断和推理证明思想，属于基础题. 11．D 【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式化简条件得出sinA 的值，利用余弦定理计算bc ，代入面积公式即可求出三角形的面积. 【详解】sin cos sin cos c A B a B C +=，sin sin cos sin sin cos C A B A B C A ∴+=sin 0A ≠sin Ccos sin cos B B C ∴+=即sin()sin 2B C A +==3A π∴=或23A π=， 若23A π=，则,a b a c >>，故2a b c >+，与1,2a b c =+=矛盾，3A π∴=由余弦定理得22222cos ()31a b c bc A b c bc =+-=+-=1bc =∴11sin 122S bc A ∴==⨯=故选：D 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题. 12．D先利用定义确定函数()f x 为偶函数，再利用单调性证明()f x 在[)0,+∞上为增函数，所以不等式()2(1)2f ax f x-<+化简为212ax x-<+，转化为22212x ax x --<-<+在R 上恒成立，求出a 的取值范围.【详解】函数2()22x x f x x -=++的定义域为R ，且2()22()xx f x x f x -=-=++，所以()f x 为偶函数.又当0x ≥时, 2()g x x =是增函数，任取[)12,0,x x ∈+∞，且12x x >，()112212()()2222xx x x h x h x ---=++-()()121212121212121112122221222222x x x x x x x x x x x x x x +++⎛⎫-⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝=-=--⎭- 120x x >>，12120,22210x x x x +∴-->>，12()()0h x h x ∴->所以()22-=+x xh x 在[)0,+∞上是增函数，即()y f x =在[)0,+∞上是增函数.所以不等式()2(1)2f ax f x-<+对任意x ∈R 恒成立，转化为212ax x-<+，即22212x ax x --<-<+，从而转化为210x ax ++>和230x ax -+>在R 上恒成立①若210x ax ++>在R 上恒成立，则240a ∆=-<，解得22a -<<；②若230x ax -+>在R 上恒成立，，则2120a ∆=-<，解得a -<< 综上所述，实数a 的取值范围是(2,2)-. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是： （1）把不等式转化为[][]()()f g x f h x >的模型；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别. 13．13先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，32z x y =+表示直线在y 轴上截距，只需求出直线在y 轴上的截距最小值即可. 【详解】约束条件所表示的线性区域，如图所示， 又由题意知：32z x y =+表示直线在y 轴上截距2410x y x y -=⎧⎨--=⎩ 得()3,2A ，1024x y x y +-=⎧⎨-=⎩得52,33C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，32z x y =+在点()3,2A 处取得最大值，所以32x y +的最大值为13.故答案为：13【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题. 14．(2,2)- 【分析】由题可知，不等式210x kx -+>恒成立，从而可得∆<0，即可求出答案. 【详解】∵命题“2,10x x kx ∀∈-+>R ”是真命题，∴对R x ∀∈，不等式210x kx -+>恒成立， ∴()240k --<，解得22k -<<. 故k 的取值范围是(2,2)-.故答案为：(2,2)-. 15．30- 【分析】先求得101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式，再根据乘法分配律，求得6x 的系数. 【详解】101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()10110210101r r r r r rC x x C x ---⋅⋅-=-⋅⋅. 10243r r -=⇒=，10262r r -=⇒=，根据乘法分配律可知，()10212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，含6x 的项为()()()32234266610101211209030x C x C x x x ⋅-⋅⋅+⋅-⋅⋅=-+⋅=-.所以6x 的系数为30-. 故答案为：30- 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用，属于基础题. 16．32π 【分析】首先绘出三棱锥D ABC -的图像，然后根据cos ACB ACB ∠=∠得出π6ACB ∠=，根据余弦定理求出2AB =以及120ABC ∠=︒，再然后设ABC 外接圆的半径为r 以及球O 的半径为R ，根据正弦定理得出2r ，最后在O OA '△中得出2222h R +=，在OMD 中得出222(4)2h R -+=，联立后求出28R =，即可得出结果. 【详解】如图，绘出三棱锥D ABC -的图像：因为cos 3sin ACB ACB ∠=∠，得3tan 3ACB ∠=， 因为0ACB π<∠<，所以π6ACB ∠=， 因为23AC =2BC =，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，代入得23124223242AB =+-⨯⨯=，解得2AB =， 所以ABC 为等腰三角形，且120ABC ∠=︒，设ABC 外接圆的半径为r ，球O 的半径为R ，232r =，解得2r ，设ABC 的外心为O '，OO h '=，过O 作OM AD ⊥，则在O OA '△中，2222h R +=，在OMD 中，222(4)2h R -+=，联立()222222242h R h R⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得28R =，球O 的表面积为2432S R ππ==， 故答案为32π. 【点睛】本题考查球的表面积的求法，主要考查球与三棱锥相接的相关性质，考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查数形结合思想，考查计算能力，是中档题. 17．（1）12n n a ；（2）1242n n n S -+=-. 【分析】（1）根据已知条件11a =且3542,,3a a a 可解得公比，再代入通项公式即可得到； （2）利用错位相减法可求得n S . 【详解】（1）设正项等比数列{a n }的公比为q (0)q >，∵53412231a a a a =+⎧⎨=⎩∴42311112231a a a a q q q ⎧=+⎨=⎩，所以22320q q --= ∴q ＝2，12q =-(舍去) 所以1112n n n a a q --==；（2）∵12n n n n nb a -==， ∴01211232222n n n S -++++=，① 121112122222n n n n nS --=++++，② ①﹣②得211111122222n n n n S -=++++-＝112112n --=12212222n n n nn +⎛⎫--=- ⎪⎝⎭， ∴1242n n n S -+=-. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的求法，考查了等差中项，考查了利用错位相减法求和，本题属于基础题.18．（1）, A B 一个包裹，C 一个包裹时花费的运费最少，为30元；（2）详见解析. 【分析】（1）根据题意分类讨论进行求解即可；（2）先求出每日揽包裹数超过200件的概率，然后运用二项分布的性质进行求解即可. 【详解】（1） ,A B 一个包裹，C 一个包裹时，需花费151530+=(元)， A C ，一个包裹，B 一个包裹时，需花费201535+=(元)，B C ，一个包裹，A 一个包裹时，需花费251035+=(元)，综上，, A B 一个包裹，C 一个包裹时花费的运费最少，为30元. （2）由题意知，每日揽包裹数超过200件的概率为13X可取10,1,2,3,4,4,3X B⎛⎫⎪⎝⎭，()()44120,1,23,3,,43kkkP X k C k-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭==则X的分布列为X01234P16813281827881181 ()14433E X=⨯=所以这4天中日揽收包裹数超过200件的天数期望为4 3 .【点睛】本题考查了分类讨论思想，考查了二项分布的性质，考查了离散型随机变量分布列和数学期望，考查了数学运算能力.19．（1）证明见解析；（2）15 5.【分析】（1）以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴，射线DP为y轴的正半轴，射线DC为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz-，写出各点坐标，计算PQ DQ PQ DC⋅=⋅=，得线线垂直，从而有线面垂直；（2）求出平面PBQ和平面PBC的法向量，由法向量夹角余弦得二面角余弦（注意正负）．【详解】（1）证明：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴，射线DP为y轴的正半轴，射线DC为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz-，依题意有(1,1,0),(0,0,1),(0,2,0)Q C P ， 则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0)DQ DC PQ ===-，所以0PQ DQ PQ DC ⋅=⋅=，即,PQ DQ PQ DC ⊥⊥， 故PQ ⊥平面DCQ . 又PQ ⊂平面PQC ， 所以平面PQC ⊥平面DCQ .（2）解：由（1）有(1,0,1),(1,0,0),(1,2,1)B CB BP ==--， 设(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量，则0,0,n CB n BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,20,x x y z =⎧⎨-+-=⎩，取1y =，则2z =，(0,1,2)n =.设平面PBQ 的法向量为()111,,m x y z =，则0,0,m BP m PQ ⎧⋅=⎨⋅=⎩即1111120,0,x y z x y -+-=⎧⎨-=⎩，取11x =，则111y z ==，(1,1,1)m =，所以cos ,||||3m n mn m n ⋅<>===⋅，故平面PBQ 和平面PBC . 【点睛】本题考查证明面面垂直，考查求二面角，解题方法是空间向量法，即建立空间直角坐标系后，用向量的数量积证明线线垂直，得线面垂直，再得面面垂直，用二面角两个面的法向量的夹角来求二面角．20．（1）22163x y +=；（2）详见解析. 【分析】(1)由题意得到关于a ,b ,c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.(2)设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到m,k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置. 【详解】(1)由题意可得：22222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2)设点()()1122,,,M x y N x y .因为AM ⊥AN ，∴·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=,① 当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+,如图1. 代入椭圆方程消去y 并整理得：()22212k4260xkmx m +++-=,2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++ ②, 根据1122,y kx m y kx m =+=+,代入①整理可得：()()()()221212k 1x 2140x km k x x m ++--++-+=将②代入，()()()22222264k 121401212m km km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭， 整理化简得()()231210k m k m +++-=,∵2,1A （）不在直线MN 上，∴210k m +-≠，∴23101k m k ++=≠，， 于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以直线过定点直线过定点21,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭. 当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -,如图2.代入()()()()121222110x x y y --+--=得()2212210x y -+-=,结合2211163x y +=,解得()1122,3x x ==舍,此时直线MN 过点21,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭,由于AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 中点Q 满足QD 为定值（AE 2212142212333⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭）. 由于()21,32,13,A E ⎛⎫-⎪⎝⎭，故由中点坐标公式可得41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得|DQ|为定值. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题，关键是第二问中证明直线MN 经过定点，并求得定点的坐标,属综合题，难度较大.21．（Ⅰ）10x y +-=；（Ⅱ）答案见解析；（Ⅲ）()|1|f x a >--. 【分析】（I ）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程； （II ）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a 进行分类讨论即可求解； （III ）结合（II ）中对单调性的讨论，可求f （x ）的最值，进而可比较大小． 【详解】解：（Ⅰ）当1a =时，31()13f x x x =-+， 因为2()1f x x '=-，所以(0)1f '=-，所以曲线()y f x =在点（0，1）处的切线方程为()110y x -=-⨯-，即10x y +-=． （II ）()f x 定义域为R ． 因为2()f x x a '=-，①当a ＝0时，()0f x '≥恒成立，所以函数()f x 在R 上单调递增， ②当a ＜0时，()0f x '>恒成立，所以函数()f x 在R 上单调递增．③当a ＞0时，令()0f x '=，则x =x =所以当()0f x '>时，x <x >当()0f x '<时，x <<所以函数()f x 在(,-∞和)+∞上单调递增，在(上单调递减，综上可知，当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递增；当a ＞0时，函数()f x 在(,-∞和)+∞上单调递增，在(上单调递减．（III ）由（Ⅱ）可知，（1）当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递增， 所以当(0,2)x ∈时，min ()(0)f x f a >=，因为|1|(1)1a a a --=--=-，所以()|1|f x a >--，（2）当a ＞0时，函数()f x 在(,-∞和)+∞上单调递增，在(上单调递减．①当01<≤，即01a <≤时，|1|0a --≤．所以当(0,2)x ∈时，函数()f x 在上单调递减，2)上单调递增，min ()10f x f a ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，所以()|1|f x a >--．②当12，即1＜a ＜4时，|1|10a a --=-<．由上可知，min ()1f x f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为()1121a a a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，设2()21,(14)3g x x x =--<<．因为()20g x '=，所以()g x 在(1,4)上单调递增． 所以()()1103g x g =＞＞．所以()11210a a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭＞所以()|1|f x a >--，2≥，即4a ≥时，|1|10a a --=-<．因为函数()f x 在上单调递减， 所以当(0,2)x ∈时，min 8()(2)13f x f a a ==->-． 所以()|1|f x a >--．综上可知，(0,2)x ∈时，()|1|f x a >--. 【点睛】本题考查利用导数求切线方程，考查利用导数求函数单调区间，考查利用导数比较大小，属于较难题.22．（1）圆C 的普通方程为()()22611x y +++=；直线l 的直角坐标方程为20x y -+=；（21-． 【分析】（1）在圆C 的参数方程中消去参数t ，可得出圆C 的普通方程，将直线l 的极坐标方程变形为cos sin 20ρθρθ-+=，进而可得出直线l 的直角坐标方程；（2）设点P 的坐标为()6cos ,1sin t t -+-+，利用点到直线的距离公式以及正弦函数的有界性可求出结果． 【详解】（1）由6cos 1sin x t y t=-+⎧⎨=-+⎩消去参数t ，得()()22611x y +++=，所以圆C 的普通方程为()()22611x y +++=．由sin 04πρθ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-=， 所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=． （2）设点P 的坐标为()6cos ,1sin t t -+-+， 则点P 到直线l的距离为d ==sin 24t π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 当sin 14t π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，d取最小值，min 12d =-． 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题型． 23．（1）35,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意，代入得到不等式14x x -+≥ ，分类讨论，即可求解不等式的解集； （2）根据绝对值的三角不等式，以及基本不等式，即可作出证明. 【详解】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

2021年高三上学期期中数学模拟试卷（理科）含解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）B）∪A等1．集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={y|y=2x，x＞0}，R是实数集，则（∁R于（）A．R B．（﹣∞，0）∪1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，1]∪（2，+∞）2．已知，若共线，则实数x=（）A．B．C．1 D．23．函数的定义域是（）A．B．C．D．4．已知角α的终边经过点P（﹣1，2）），则的值是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣5．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A． m B． m C． m D． m6．已知等比数列{an }中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则=（）A．1+ B．1﹣C．3+2 D．3﹣27．△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）A． B． C． D．8．下列命题错误的是（）A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”B．若命题，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0C．若向量满足，则与的夹角为钝角D．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件9．已知函数，则y=f（x）的图象大致为（）A． B．C．D．10．若不等式≤a≤在t∈（0，2]上恒成立，则a的取值范围是（）A．[，1]B．[，1] C．[，]D．[，2]二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．对任意x∈R，|x+1|+|x+3|≥a恒成立，则实数a的取值范围为．12．函数的图象，其部分图象如图所示，则f（x）=．13．已知函数f（x）=lnx+x﹣3的零点在区间（n，n+1）（n∈Z）内，则n=．14．若x，y满足约束条件．则的最大值为．15．有下列命题：①的图象关于直线x=对称；②y=的图象关于点（﹣1，1）对称；③关于x的方程ax2﹣2x+a=0有且仅有一个实根，则a=±1；④满足条件AC=，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有一个．其中真命题的序号是．三、解答题：本大题6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知命题p：f（x）在R上为偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，且有f（2a2+a+1）＜f（2a2﹣2a+3）成立；命题q：不等式x2+2ax+2a≤0有解，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcosC=a﹣c．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=1，求a+c的最大值．18．已知等差数列{a n}满足：a5=11，a2+a6=18．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n•，求数列{b n}的前n项和S n．19．已知向量（ω＞0），函数f （x）=，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．20．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．21．已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．xx学年山东省潍坊市昌乐二中高三（上）期中数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={y|y=2x，x＞0}，R是实数集，则（∁R B）∪A等于（）A．R B．（﹣∞，0）∪1，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞，1]∪（2，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】化简A、B，求出∁R B，再计算（∁R B）∪A．【解答】解：∵A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＜0或x＞2}=（﹣∞，0）∪（2，+∞），B={y|y=2x，x＞0}={y|y＞1}，∴∁R B={y|y≤1}=（﹣∞，1]，∴（∁R B）∪A=（﹣∞，1]∪（2，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了集合之间的基本运算问题，解题时应按照集合之间的运算法则进行计算即可，是基础题．2．已知，若共线，则实数x=（）A． B． C．1 D．2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题．【分析】利用向量共线时，坐标之间的关系，我们可以建立方程就可求实数x的值【解答】解：∵，∴∵与共线，∴1×1﹣2×（1﹣x）=0∴x=故选B．【点评】向量共线时坐标之间的关系，与向量垂直时坐标之间的关系是我们解决向量共线、垂直的一种方法．3．函数的定义域是（）A． B． C． D．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数的及诶小时可得可得，解方程组求得x的范围，即为所求．【解答】解：由函数，可得．解得﹣＜x＜2，故选B．【点评】本题主要考查求函数的定义域的方法，属于基础题．4．已知角α的终边经过点P（﹣1，2）），则的值是（）A．3 B．﹣3 C． D．﹣【考点】两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的求值．【分析】先根据题意求得tanα的值，进而利用正切的两角和公式求得答案．【解答】解：由题意知tanα=﹣2，∴===﹣，故选：D．【点评】本题主要考查了两角和与差的正切函数公式的应用．属于基础题．5．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A．m B．m C．m D．m【考点】解三角形的实际应用．【专题】计算题；应用题．【分析】依题意在A，B，C三点构成的三角形中利用正弦定理，根据AC，∠ACB，B的值求得AB【解答】解：由正弦定理得，∴，故A，B两点的距离为50m，故选A【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生对基础知识的综合应用．6．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则=（）A．1+ B．1﹣C．3+2 D．3﹣2【考点】等差数列的性质；等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】先根据等差中项的性质可知得2×（）=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q，代入中即可求得答案．【解答】解：依题意可得2×（）=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1±，∵各项都是正数∴q＞0，q=1+∴==3+2故选C【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了学生综合分析的能力和对基础知识的理解．7．△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）A． B． C． D．【考点】平面向量的综合题．【分析】由题意可得，CA⊥CB，CD⊥AB，由射影定理可得，AC2=AD•AB可求AD，进而可求，从而可求与的关系，进而可求【解答】解：∵•=0，∴CA⊥CB∵CD⊥AB∵||=1，||=2∴AB=由射影定理可得，AC2=AD•AB∴∴∴==故选D【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理的应用，向量的基本运算的应用，向量的数量积的性质的应用．8．下列命题错误的是（）A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”B．若命题，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0C．若向量满足，则与的夹角为钝角D．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；分析法；简易逻辑．【分析】A．利用逆否命题的定义及其实数的性质即可判断出；B．利用￢p的定义即可判断出；C．由于，则与的夹角为钝角或为平角，即可判断出正误；D．△ABC中，利用正弦定理可得sinA＞sinB=a＞b⇔A＞B，即可判断出正误．【解答】解：A．“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”，正确；B．命题，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，正确；C．向量满足，则与的夹角为钝角或为平角，因此不正确；D．△ABC中，sinA＞sinB=a＞b⇔A＞B，因此正确．故选：C．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、向量的夹角公式、正弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．已知函数，则y=f（x）的图象大致为（）A． B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．【解答】解：令g（x）=x﹣lnx﹣1，则，由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x=1时，函数g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0，于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选A．【点评】本题考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的定义域以及函数的图形的判断，考查分析问题解决问题的能力．10．若不等式≤a≤在t∈（0，2]上恒成立，则a的取值范围是（）A．[，1]B．[，1] C．[，]D．[，2]【考点】函数最值的应用．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由基本不等式，算出函数y=在区间（0，2]上为增函数，得到t=2时，的最大值为；根据二次函数的性质，算出t=2时的最小值为1．由此可得原不等式恒成立时，a的取值范围是[，1]．【解答】解：∵函数y==+，在t∈（0，2]上为减函数∴当t=2时，的最小值为1；又∵≤=，当且仅当t=3时等号成立∴函数y=在区间（0，2]上为增函数可得t=2时，的最大值为∵不等式≤a≤在t∈（0，2]上恒成立，∴（）max≤a≤（）min，即≤a≤1可得a的取值范围是[，1]【点评】本题给出不等式恒成立，求参数a的取值范围．着重考查了基本不等式、函数的单调性、函数最值的求法和不等式恒成立的处理等知识，属于中档题．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．对任意x∈R，|x+1|+|x+3|≥a恒成立，则实数a的取值范围为（﹣∞，2]．【考点】函数恒成立问题．【专题】转化思想；构造法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】设f（x）=|x+1|+|x+3|，由绝对值不等式的性质，可得|x+1|+|x+3|≥|（x+1）﹣（x+3）|=2，即有f（x）的最小值为2，再由恒成立思想即为a≤f（x）=|x+1|+|x+3|的最小值，可得a的范围．【解答】解：设f（x）=|x+1|+|x+3|，由绝对值不等式的性质，可得|x+1|+|x+3|≥|（x+1）﹣（x+3）|=2，当且仅当（x+1）（x+3）≤0，即﹣3≤x≤﹣1时，取得等号．则f（x）的最小值为2，由任意x∈R，|x+1|+|x+3|≥a恒成立，即为a≤f（x）=|x+1|+|x+3|的最小值，则a≤2．故答案为：（﹣∞，2]．【点评】本题考查函数恒成立问题的解法，注意运用构造函数法，由绝对值不等式的性质求得最值，属于中档题．12．函数的图象，其部分图象如图所示，则f（x）=2sin（x﹣）．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：由函数f（x）的图象可得A=2，=•=﹣，求得ω=1，在根据五点法作图可得1×+φ=0，求得φ=﹣，故f（x）=2sin（x﹣），故答案为：．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．13．已知函数f（x）=lnx+x﹣3的零点在区间（n，n+1）（n∈Z）内，则n=2．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】先判断该函数为增函数，再确定f（2）和f（3）的符号，进而得出函数的零点所在的区间．【解答】解：f（x）=lnx+x﹣3的定义域为（0，+∞），且f（x）在定义域上单调递增，又∵f（2）=ln2+2﹣3=1﹣ln2＜0，且f（3）=ln3＞0，∴f（2）•f（3）＜0，因此，函数f（x）的零点在区间（2，3）内，所以，n=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了函数零点的判定定理，涉及对数函数的单调性和数值大小的比较，属于基础题．14．若x，y满足约束条件．则的最大值为3．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），则k OA==3，即的最大值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．有下列命题：①的图象关于直线x=对称；②y=的图象关于点（﹣1，1）对称；③关于x的方程ax2﹣2x+a=0有且仅有一个实根，则a=±1；④满足条件AC=，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有一个．其中真命题的序号是①④．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型；函数的性质及应用；推理和证明．【分析】化简函数的解析式，结合余弦函数的对称性，可判断①；分析出函数对称中心坐标，可判断②；根据一元一次方程也只有一个实根，可判断③；判断三角形解的个数，可判断④．【解答】解：① =（cos2x﹣sin2x）=cos2x，当x=时，y取最小值，故函数的图象关于直线x=对称，故正确；②y==+1的图象由y=的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，故关于点（1，1）对称，故错误；③关于x的方程ax2﹣2x+a=0有且仅有一个实根，则a=±1，或a=0，故错误；④AC=，∠B=60°，AB=1时，sin∠C=且∠C＜∠B，此时三角形只有一解，故正确．故正确的命题有：①④，故答案为：①④【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的对称性，类一元二次方程根的个数，解三角形等知识点，难度中档．三、解答题：本大题6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知命题p：f（x）在R上为偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，且有f（2a2+a+1）＜f（2a2﹣2a+3）成立；命题q：不等式x2+2ax+2a≤0有解，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】假设p真，由偶函数的性质可得f（x）在（0，+∞）上递减，f（2a2+a+1）＜f（2a2﹣2a+3），可得2a2+a+1＞2a2﹣2a+3，解不等式可得a的范围；假设q真，可得判别式不小于0，解不等式可得a的范围；再由“p或q”是假命题，可得p假q假，可得不等式组，解得a的范围即可．【解答】解：若p真，有2a2+a+1=2（a+）2+＞0，2a2﹣2a+3=2（a﹣）2+＞0，由f（x）在R上为偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，可得f（x）在（0，+∞）上递减，由f（2a2+a+1）＜f（2a2﹣2a+3），可得2a2+a+1＞2a2﹣2a+3，解得a＞；若q真，不等式x2+2ax+2a≤0有解即为△≥0，即有4a2﹣8a≥0，解得a≥2或a≤0．由命题“p或q”是假命题，可得p假q假，即有，解得0＜a≤．则实数a的取值范围是（0，]．【点评】本题主要考查命题的真假和运用，考查函数的性质和运用，考查不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcosC=a﹣c．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=1，求a+c的最大值．【考点】余弦定理的应用．【专题】方程思想；综合法；解三角形；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用余弦定理化简整理，再由特殊角的三角函数值，即可得到所求角B；（Ⅱ）运用余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，结合基本不等式即可得到a+c的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴b2﹣c2=a2﹣ac∴b2=a2+c2﹣ac，∴，又∵；（Ⅱ）∵b2=a2+c2﹣2accosB，∴1=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac，∵当且仅当a=c时等号成立，∴，即a+c≤2．即有a+c的最大值为2．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查运用基本不等式求最值的方法，以及运算化简能力，属于中档题．18．已知等差数列{a n}满足：a5=11，a2+a6=18．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n•，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由b n=a n•=（2+1）•，利用错位相减法能求出数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列的首项为a1，公差为d，∵a5=11，a2+a6=18，∴，解得a1=3，d=2，∴a n=2n+1．（2）b n=a n•=（2+1）•，∴+…+（2n+1）•，①∴=+…+，②①﹣②，得：=++…+﹣（2n+1）•=+﹣（2n+1）=，∴S n=5﹣．【点评】本题考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．19．已知向量（ω＞0），函数f （x）=，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调增区间．（2）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用张弦函数的定义域和值域，求得g（x）的值域．【解答】解：（1）f（x））==2cosωx（sinωx﹣cosωx）﹣2+3=sin2ωx﹣cos2ωx=，∵，∴．令，求得f（x）的增区间为．（2）将函数f（x）的图象先向左平移个单位，得到y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）的图象；然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）=sin（4x+）的图象，故，∵，、∴，故函数g（x）的值域是．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的单调性、定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．20．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）可设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），写出a，h与x的关系式，并注明x的取值范围．再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S关于x的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；（2）利用体积公式表示出包装盒容积V关于x的函数解析式，最后利用导数知识求出何时它取得的最大值即可．【解答】解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=x，h=（30﹣x），0＜x＜30．（1）S=4ah=8x（30﹣x）=﹣8（x﹣15）2+1800，∴当x=15时，S取最大值．（2）V=a2h=2（﹣x3+30x2），V′=6x（20﹣x），由V′=0得x=20，当x∈（0，20）时，V′＞0；当x∈（20，30）时，V′＜0；∴当x=20时，包装盒容积V（cm3）最大，此时，．即此时包装盒的高与底面边长的比值是．【点评】考查函数模型的选择与应用，考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力．属于基础题．21．已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．【考点】数学归纳法；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）可先求f′（x），从而判断f（x）在x∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x），可得，若f（x）存在单调递减区间，需h′（x）＜0有正数解．从而转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．通过对a分a=0，a＜0与当a＞0三种情况讨论解得a的取值范围；（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，⇒，再构造函数，令，有，从而，问题可解决；（法二）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒，成立；设当n=k时，，再去证明n=k+1时，即可（需用好归纳假设）．【解答】解：（I），定义域为（0，+∞）．∵，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．当x≥1时，f（x）≥f（1）=1；（Ⅱ）∵，∵若f（x）存在单调递减区间，∴f′（x）＜0有正数解．即ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．①当a=0时，明显成立．②当a＜0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a为开口向下的抛物线，ax2+2（a﹣1）x+a＜0总有x＞0的解；③当a＞0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a开口向上的抛物线，即方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有正根．因为x1x2=1＞0，所以方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有两正根．，解得．综合①②③知：．（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，∴．∵，∴．（法二）当n=1时，ln（n+1）=ln2．∵3ln2=ln8＞1，∴，即n=1时命题成立．设当n=k时，命题成立，即．∴n=k+1时，．根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，则有，即n=k+1时命题也成立．因此，由数学归纳法可知不等式成立．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及数学归纳法，难点之一在于（Ⅱ）中通过求h′（x）后，转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解的问题，再用分类讨论思想来解精品文档决；难点之二在于（Ⅲ）中法一通过构造函数，用放缩法证得结论，法二通过数学归纳法，其中也有构造函数的思想，属于难题．t35551 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砚山县第三高级中学2020--2021学年下学期期中考试理科数学试卷（试卷满分：150分，测试时间：120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合2{|42},{|4}M x x N x x =∈-=＜＜＜Z ,则M N 等于（ ） A ．(1,1)- B ．()1,2- C ．{}1,1,2-D ．{}1,0,1- 2．已知复数(12)(2)z i i =+-，i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数为（ ） A ．43i - B ．43i + C ．3i - D ．3i3．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2x f x m =+（m 为常数），则2(log 5)f -的值为（ ）A ．4B ．-4C ．6D ．-64．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到6sin 的近似值为（ ）A ．30πB ．60πC ．90π D ．180π 5．设等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，22-=a ，165-=a ，则=6S （ ）A ．﹣63B ．63C ．﹣31D ．31 6．如图是一容量为100的样本的质量的频率分布直方图，则由图可估计样本质量的中位数为( )A ．11B ．11.5C ．12D ．12.57．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积是( )A ．4πB ．6πC ．7πD ．12π8．已知角α的终边经过点()21-，，则cos 2=α ( ) A ．35 B ．15 C ．35 D ．459．设0.3 1.63313,log ,()103a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c << B ．b c a <<C ．c b a <<D ．b a c << 10．在平行四边开ABCD 中，()2,4AC =-，()2,2BD =，则(AB AD ⋅= ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．411．如图，已知棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -，,,E F G 分别为1,,AB CD AD 的中点，则异面直线1AG 与EF 所成角的余弦值为（ ） A ．0 B ．1010C ．22D ．1 12．已知函数2()3sin cos cos f x x x x =+，则( )A ．()f x 的图象关于直线6x π=对称 B ．()f x 的最大值为2 C ．()f x 的最小值为1-D ．()f x 的图象关于点(,0)12π-对称 二、填空题(每小题5分，共20分)13．右图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为_____________.14．函数()ln x f x e x =⋅在点()()1,1f 处的切线方程为 ．15．已知实数x 、y 满足0044x y x y ≥≥+≥⎧⎪⎨⎪⎩，则z x y =+的最小值等于 _________.16．在平面直角坐标系中，已知点P是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，1260F PF ︒∠=，且213PF PF =，则双曲线的离心率为_________.三、解答题：共70分。

2021年高三第三次模拟考数学（理）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集，集合，集合，则图中阴影部（A）（B）（C）（D）2．已知i为虚数单位，则（A）（B）（C）（D）3．已知是第四象限角，且，则（A）（B）（C）（D）4．已知实数满足，则目标函数的最大值为（A ）-4 （B ）1 （C ）2 （D ）35. 已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，若P (ξ>3)＝0.023，则P (－1≤ξ≤3)等于 （A ）0.977（B ）0.954（C ）0.628（D ）0.4776．等于 （A ）（B ）（C ）（D ）7．现有三个函数：①，②，③的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是 （A ）①②③（B ）③①②（C ）②①③（D ）③②①8．已知执行如下左图所示的程序框图，输出的，则判断框内的条件可以是 （A ）（B ） （C ） （D ）OyxOyxOyx开始k=1 S =1S = 3S +2k = k +1 否输出S 结束是（第9题图）（第8题图）9．一个几何体的三视图如上右图，则其表面积为（A）20 （B）18 （C）（D）10．边长为4的正方形ABCD的中心为O，以O为圆心，1为半径作圆，点M是圆O上的任意一点，点N是边AB、BC、CD上的任意一点（含端点），则的取值范围是（A）（B）（C）（D）11．已知边长为1的等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，若A、B、C、D、E在同一球面上，则此球的体积为（A）（B）（C）（D）12．若存在直线l与曲线和曲线都相切，则称曲线和曲线为“相关曲线”，有下列四个命题：①有且只有两条直线l使得曲线和曲线为“相关曲线”；②曲线和曲线是“相关曲线”；③当时，曲线和曲线一定不是“相关曲线”；④必存在正数使得曲线和曲线为“相关曲线”.其中正确命题的个数为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答.二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分。

三中2021届高三年级第三次模拟考试制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日数学〔理科〕试卷考前须知：1.本套试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部.2.在答题之前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号填写上在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.在在考试完毕之后以后，将本试题和答题卡一起交回.一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1.集合{1,2,3,4}A =，{}2,B x x n n A ==∈，那么A B =〔 〕A. {1,2}B. {1,4}C. {1,2,3,4}D. {2,3}【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合B ，由此能求出A B ．【详解】集合{1A =，2，3，4}，2{|B x x n ==，}{1n A ∈=，4，9，16}， {1AB ∴=，4}．应选：B ．【点睛】此题考察交集的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.91i 1i+=- 〔 〕 A. 1- B. i -C. 1D. i【答案】D 【解析】按照复数的运算规那么进展运算即可.【详解】921i 1(1)1i 12i i i i +++===--.应选：D【点睛】此题考察复数的根本运算，属于根底题. 3.,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 410πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，那么tan θ=〔 〕 A. 2 B.43C. 3D.125【答案】A 【解析】 【分析】由同角三角函数的根本关系计算可得cos 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭、tan 4πθ⎛⎫+⎪⎝⎭，再根据两角差的正切公式计算可得.【详解】解：因为,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以3,424πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又sin 410πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以cos 410πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，那么tan 34πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以tan tan3144tan tan 244131tan tan44ππθππθθππθ⎛⎫+- ⎪--⎛⎫⎝⎭=+-=== ⎪-⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭. 应选：A【点睛】此题考察三角恒等变换，考察运算求解才能，属于根底题.4.在直角梯形ABCD 中，//BC AD ，AB AD ⊥，4AB =，2BC =，4=AD ，假设P 为CD 的中点，那么PA PB ⋅的值是〔 〕A. 5-B. 4-C. 4D. 5【答案】D 【解析】由题意可知5cos 5PDA ∠=，由()()2PA PB PD BC PD CB ⋅=-⋅-+，再利用两个向量的数量积的定义，运算求解即可.【详解】解：由题意可知，2DA CB =，PD PC =-，2214252PD PC ==+=. ∴tan 2PDA ∠=，5cos 5PDA ∠=. //BC AD ，∴BCD PDA π∠=-∠，∴()()()()2PA PB PD DA PC CB PD CB PD CB ⋅=+⋅+=+⋅-+()222525cos 24PD PD CB CB PDA π=--⋅+=--⨯⨯-∠+⨯5525855⎛⎫=--⨯⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭.应选：D.【点睛】此题考察两个向量的加减法法那么，以及几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题. 5.?算数书?竹简于上世纪八十年代在江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖〞的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一〞.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为〔 〕 A.227B.15750C.289D.337115【答案】C 【解析】将圆锥的体积用两种方式表达，即213V r h π==23(2)112r h π，解出π即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，那么213V r h π=，又2233(2)112112V L h r h π≈=， 故23(2)112r h π213r h π≈，所以，11228369π≈=. 应选：C.【点睛】此题利用古代数学问题考察圆锥体积计算的实际应用，考察学生的运算求解才能、创新才能.6.等差数列{}n a 的公差为3，前n 项和为n S ，且1a ，2a ，6a 成等比数列，那么6S =〔 〕 A. 51 B. 54 C. 68 D. 96【答案】A 【解析】 【分析】根据1a ，2a ，6a 成等比数列，列出方程解出1a ，再利用等差数列求和公式，即求出6S ． 【详解】因为1a ，2a ，6a 成等比数列，所以2216a a a =，即2111(3)(53)a a a +=+⨯，解得11a =所以665613512S ⨯=⨯+⨯=． 应选：A.【点睛】此题主要考察等比中项及等差数列前n 项和公式，属于根底题． 7.以下说法正确的选项是〔 〕A. 命题“00x ∃≤，002sin x x ≤〞的否认形式是“0x ∀>，2sin x x >〞B. 假设平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥那么//αβC. 随机变量ξ服从正态分布()21,N σ〔0σ>〕，假设(01)0.4P ξ<<=，那么(0)0.8P ξ>=D. 设x 是实数，“0x <〞是“11x<〞的充分不必要条件 【答案】D【分析】由特称命题的否认是全称命题可判断选项A ；,αβ可能相交，可判断B 选项；利用正态分布的性质可判断选项C ；11x<⇒0x <或者1x >，利用集合间的包含关系可判断选项D. 【详解】命题“00x ∃≤，002sin x x ≤〞的否认形式是“0x ∀≤，2sin x x >〞，故A 错误；αγ⊥，βγ⊥，那么,αβ可能相交，故B 错误；假设(01)0.4P ξ<<=，那么(12)0.4P ξ<<=，所以10.40.4(0)0.12P ξ--<==，故(0)0.9P ξ>=，所以C 错误；由11x<，得0x <或者1x >，故“0x <〞是“11x<〞的充分不必要条件，D 正确. 应选：D.【点睛】此题考察命题的真假判断，涉及到特称命题的否认、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容易题.8.甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假玩耍某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨〞是“甲在原始森林〞的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．假设以上语句都正确，那么玩耍千丈瀑布景点的同学是〔 〕 A. 甲 B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D 【解析】 【分析】根据演绎推理进展判断．【详解】由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此玩耍千丈瀑布景点的同学是丁． 应选：D ．【点睛】此题考察演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题根底．9.函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωω=+ϕ>><ϕ<π的局部图像如下图，给出以下四个结论：①()f x 的最小正周期为2π； ②()f x 的最小值为4-； ③(),0π是()f x 的一个对称中心；④函数()f x 在区间25,312⎛⎫-π-π ⎪⎝⎭上单调递增.其中正确结论的个数是〔 〕 A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】B 【解析】 【分析】通过图像可得函数的周期，过点,12A π⎛⎫⎪⎝⎭，()0,2列方程可得解析式为()4sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的图像和性质逐一判断.【详解】由图象知函数()f x 的最小正周期为23122T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，那么4ω=， 即()()sin 4f x A x =+ϕ， 又由12f A π⎛⎫=⎪⎝⎭，得sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由0ϕπ<<可知6π=ϕ，从而()sin 46f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又(0)2f =，可得sin 26A π=， 所以4A =， 从而()4sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，易判断①②正确， 而()0f π≠，所以③错误， 又由242,262k x k k Z ππππ-≤+≤π+∈， 得()f x 的增区间为,,26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 可知当1k =-时，25,312⎛⎫-π- ⎪π⎝⎭是()f x 的一个增区间，④正确. 应选：B.【点睛】此题主要考察利用三角函数局部图象求解析式和三角函数的根本性质，考察运算求解才能，是根底题.10.函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是〔 〕 A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果. 【详解】当1x >时，()1ln()f x x x=-，由1,y y x x =-=在()1,+∞递增， 所以1t x x=-在()1,+∞递增又ln y t =是增函数，所以()1ln()f x x x=-在()1,+∞递增，故排除B 、C 当1x ≤时()cos xf x eπ=，假设()0,1x ∈，那么()0,x ππ∈所以cos t x π=在()0,1递减，而ty e =是增函数 所以()cos xf x e π=在()0,1递减，所以A 正确，D 错误应选：A【点睛】此题考察详细函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题.11.P 为双曲线C ：22221x y a b-=〔0a >，0b >〕左支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，M 为虚轴的一个端点，假设2||MP PF +的最小值为12F F ，那么C 的离心率为〔 〕B. 2+D.4【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可得21||||2MP PF MP PF a +=++，又11||MP PF MF +≥ 即可得到关于e 的方程，解得.【详解】解：21||||2MP PF MP PF a+=++1222MF a a c +==，22a c =，化简得222850c ac a -+=，即22850e e -+=，解得42e =或者42e =，所以42e +=. 应选：C【点睛】此题考察双曲线的离心率，考察化归与转化的数学思想. 12.函数()ln(f x x =+满足对于任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln (2)()x f x x a f x ++≤成立，那么实数a 的取值范围为〔 〕 A. ln 2[8,)2-+∞ B. ln 25[8,2ln 2]24--- C. ln 2(,8]2-∞- D. 5(,2ln 2]4-∞--【答案】C 【解析】 【分析】由函数()ln(f x x =在定义域单调递增，原不等式成立可转化为()2211max2maxln 2x x x a x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，通过研究函数的最值建立不等式求解即可得a 的取值范围.【详解】由函数()ln(f x x =在定义域单调递增，对于任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln (2)()x f x x a f x ++≤成立， 即任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln 2x x x a x ++≤成立， 即满足()2211max2maxln 2x x x ax ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，令2111()2g x x x a =++，对称轴方程为11x =-，在11[,2]2x ∈可得1max ()(2)=8g x g a =+ 令222ln ()x h x x =， 求导可得22221ln ()x h x x -'=， 2()0h x '=，可得2x e =，在()20,x e ∈，2()0h x '>，2()h x 单调递增，所以在21[,2]2x ∈，2max ln 2()(2)2h x h ==， 即ln 282a +≤，解得ln 282a ≤-， 应选C .【点睛】此题为函数与导数的综合应用题，考察函数的单调性、导数的应用等知识点，解题的关键是将含有量词的不等式转化为求函数最值问题，再借助导数和函数的性质求解最值建立不等式即可，属于中等题.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分. 13.(2x -1)7=a o +a 1x + a 2x 2+…+a 7x 7，那么a 2=____. 【答案】84- 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式即可得结果.【详解】解：(2x -1)7的展开式通式为：()()71721rrr r T C x -+=-当=5r 时，()()2552672184T C x x =-=-，那么284a =-. 故答案为：84-【点睛】此题考察求二项展开式指定项的系数，是根底题.14.f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时，3()f x x x =-，那么函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为________．【答案】7 【解析】当02x ≤<时，3()00,1f x x x x =-=⇒=，所以函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点横坐标为0,1,2,3,4,5,6 一共7个点睛：对于方程解的个数(或者函数零点个数)问题，可利用函数的值域或者最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．15.椭圆C ：22162x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，如图AB 是过1F 且垂直于长轴的弦，那么2ABF 的内切圆半径是________.【答案】23【解析】 【分析】设2ABF 内切圆的半径为r ，由椭圆方程分析可得a ，b ，c 的值，由勾股定理分析可得222116AF AF -=，12226AF AF a +==1AF 和2AF 的值，计算可得2ABF 的面积与周长，由内切圆的性质计算可得内切圆半径.【详解】解：设2ABF 内切圆的半径为r ，由椭圆的方程22162x y +=，其中6a =2b =222c a b -，1224F F c ==.因为AB 是过1F 且垂直于长轴的弦，那么有222116AF AF -=，122AF AF a +==解得1AF =，2AF =2ABF 的周长22l AF BF AB =++==面积121142233S AB F F =⨯⨯=⨯=，由内切圆的性质可知，有123r ⨯=，解得23r =. 故2ABF 内切圆的半径为23. 故答案为：23. 【点睛】此题考察椭圆的几何性质，利用三角形面积公式进展转化是解题关键，属于中档题. 16.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．acosB ＝bcosA ，6A π∠=，边BC上的中线长为4．那么c ＝_____；AB BC ⋅=_____．【答案】967-【解析】 【分析】由正弦定理得sinAcosB ＝sinBcosA ，计算可得B ＝A 6π=，由正弦定理可得c =，再结合余弦定理，可求解c ,a ,从而可求解.AB BC ⋅【详解】由acosB ＝bcosA ，及正弦定理得sinAcosB ＝sinBcosA ， 所以sin 〔A ﹣B 〕＝0， 故B ＝A 6π=，所以由正弦定理可得c =， 由余弦定理得16＝c 2+〔2a 〕2﹣2c •2a •cos 6π，解得c =；可得a =，可得AB BC ⋅=-accosB 967727=-=-．故答案为：7，967-．【点睛】此题考察了正弦、余弦定理的综合应用，考察了学生综合分析，转化化归，数学运算的才能，属于中档题.三、解答题:(本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤)17.等比数列{}n a 〔其中n *∈N 〕，前n 项和记为n S ，满足：3716S =，且212log 1log n n a a +=-+()1求数列{}n a 的通项公式；()2求数列{}log n n a a ⋅，n *∈N 的前n 项和nT.【答案】()1112n n a +=；()213322n n n T ++=-. 【解析】 【分析】()1设等比数列{}n a 的公比为q ，然后根据对数的运算可得q 的值，再根据等比数列求和公式可得首项1a 的值，即可得到数列{}n a 的通项公式；()2设2log n n n b a a =⋅，然后根据()1题的结果可得{}n b 的通项公式，然后根据通项公式的特点可用错位相减法求出前n 项和n T .【详解】解：()1由题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，212log 1log n n a a +=-+，∴12122log log log 1n n n na a a a ++-==-，∴112n n a q a +==．由3716S =，得31127116121a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣=-⎦，解得114a =． ∴数列{}n a 的通项公式为112n n a +=． ()2由题意，设2log n n n b a a =⋅，那么112n n n b ++=-． ∴ 12231231222n n n n b b T b ++⎛⎫++=-+++⎪⎝+⎭＝， 故231231222n n n T ++-=+++，312212222n n n T n n +++-=+++. 两式相减，可得31221111332222242n n n n T n n +++++-=+++-=-．∴13322n n n T ++=-．【点睛】此题考察等比数列的性质应用，错位相减法求和的方法，考察转化思想，数学运算才能，属于中档题.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点〔1〕证明：BE DC ⊥；〔2〕假设F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求锐二面角F AB P --的余弦值. 【答案】〔1〕证明见详解；〔2310【解析】 【分析】〔1〕以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明BE DC ⊥；〔2〕设(,,)F a b c ，由BF AC ⊥，求出113,,222F ⎛⎫⎪⎭⎝，求出平面ABF 的法向量和平面ABP的法向量，利用向量法能求出二面角F AB P --的余弦值.【详解】证明：〔1〕∵在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，B 〔1，0，0〕，P 〔0，0，2〕，C 〔2，2，0〕，E 〔1，1，1〕，D 〔0，2，0〕，(0,1,1)BE =，(2,0,0)DC =，0BE DC ∴⋅=，∴BE DC ⊥；〔2〕∵F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥， ∴设(,,)F a b c ，,[0,1]PF PC λλ=∈，那么(,,2)(2,2,2),(2,2,22)a b c F λλλλλλ-=-∴-， (21,2,22),(2,2,0)BF AC λλλ∴=--=， ∵BF AC ⊥，2(21)220BF AC λλ∴⋅=-+⋅=， 解得1113,,,4222F λ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭， 113(1,0,0),,,222AB AF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，设平面ABF 的法向量(,,)n x y z =，那么0113222n AB x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取1z =，得(0,3,1)n =-，平面ABP 的一个法向量(0,1,0)m =， 设二面角F AB P --的平面角为θ， 那么||cos 10||||103m n m n θ⋅===⋅，∴二面角F AB P --【点睛】此题考察线线垂直的证明，考察二面角的余弦值的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，是中档题.19.十八大以来，HYHY 提出要在2021年实现全面脱贫，为了实现这一目的，国家对“新农合〞〔新型农村医疗〕推出了新政，各级财政进步了对“新农合〞的补助HY ．进步了各项报销的比例，其中门诊报销比例如下： 表1：新农合门诊报销比例根据以往的数据统计，李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下： 表2：李村一个结算年度门诊就诊情况统计表假如一个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲、三甲门诊平均费用分别为50元、100元、200元、500元．假设李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次． 〔Ⅰ〕李村在这个结算年度内去三甲门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，从去三甲门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的概率是多少？ 〔Ⅱ〕假如将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率，求李村这个结算年度每人次用于门诊实付费用〔报销后个人应承当局部〕X 的分布列与期望． 【答案】〔Ⅰ〕316495； 〔Ⅱ〕X 的发分布列为：期望61EX =． 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕由表2可得去各个门诊的人次比例可得2000人中各个门诊的人数，即可知道去三甲的总人数，又有60岁所占的百分比可得60岁以上的人数，进而求出任选2人60岁以上的概率；〔Ⅱ〕由去各门诊结算的平均费用及表1所报的百分比可得随机变量的可能取值，再由概率可得X 的分布列，进而求出概率．【详解】解：〔Ⅰ〕由表2可得李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次，分别去村卫生室、镇卫生院、二甲、三甲人数为200070%1400⨯=，200010%200⨯=，200015%300⨯=，20005%100⨯=，而三甲门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，所以去三甲门诊就诊的人次中，60岁以上的人数为：10080%80⨯=人，设从去三甲门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的事件记为A ，那么()2802100316495C P A C ==；〔Ⅱ〕由题意可得随机变量X 的可能取值为：50500.620-⨯=，1001000.460-⨯=，2002000.3140-⨯=，5005000.2400-⨯=，(20)0.7p X ==，(60)0.1P X ==，(140)0.15P X ==，(400)0.05P X ==，所以X 的发分布列为：所以可得期望200.7600.11400.154000.0561EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】此题主要考察互斥事件、随机事件的概率计算公式、分布列及其数学期望、组合计算公式，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．20.在直角坐标系xOy 中，点()1,0P 、Q (x ，y )，假设以线段PQ 为直径的圆与y 轴相切.〔1〕求点Q 的轨迹C 的方程；〔2〕假设C 上存在两动点A B ，〔A ，B 在x 轴异侧〕满足32⋅=OA OB ，且PAB △的周长为22AB +，求AB 的值.【答案】〔1〕24y x =；〔2〕48AB =【解析】 【分析】〔1〕设(),Q x y 122+=⨯x ，化简后可得轨迹C 的方程.〔2〕设直线:AB x my n =+，联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理化简32⋅=OA OB 并求得8n =，结合焦半径公式及弦长公式可求m 的值及AB 的长. 【详解】〔1〕设(),Q x y ，那么圆心的坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭， 因为以线段PQ 为直径的圆与y 轴相切，122+=⨯x ， 化简得C 的方程为24y x =.(2)由题意0AB k ≠，设直线:AB x my n =+， 联立24y x =得2440y my n --=， 设()()1122,,A B x y x y ， 〔其中120y y <〕 所以124y y m +=，124y y n ⋅=-，且0n >，因为32⋅=OA OB ，所以22121212123216⋅=+=+=y y OA OB x x y y y y ，2432n n -=，所以()()840n n -+=，故8n =或者4n =- 〔舍〕， 直线:8AB x my =+，因为PAB ∆的周长为22AB + 所以22PA PB AB AB ++=+ 即2PA PB AB +=+，因为()21212218418PA PB x x m y y m +=++=++=+.又12AB y =-==所以24182m +=，解得m =±所以48AB ===.【点睛】此题考察曲线方程以及抛物线中的弦长计算，还涉及到向量的数量积.一般地，抛物线中的弦长问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或者y 的一元二次方程，再把等式化为关于两个的交点横坐标或者纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或者1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程.此题属于中档题.21.函数2()cos 2a f x x x =+〔a ∈R 〕，()f x '是()f x 的导数. 〔1〕当1a =时，令()()ln h x f x x x '=-+，()h x '为()h x 的导数.证明：()h x '在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭存在唯一的极小值点； 〔2〕函数42(2)3y f x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围. 【答案】〔1〕见解析；〔2〕1a ≤ 【解析】 【分析】〔1〕设1()()cos g x h x x x '==-，'21()sin g x x x -=+，注意到'()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单增，再利用零点存在性定理即可解决；〔2〕函数42(2)3y f x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，那么'0y ≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，即342sin 203ax x x --≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，构造函数34()2sin 23m x ax x x =--，求导讨论()m x 的最值即可.【详解】〔1〕由，'()sin f x x x =-，所以()ln sin h x x x =-， 设'1()()cos g x h x x x ==-，'21()sin g x x x-=+， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()g x 单调递增，而(1)0g '<，'02g π⎛⎫>⎪⎝⎭，且'()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上图象连续不断.所以'()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点α，当(0,)x α∈时，'()0g x <；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()0g x >； ∴()g x 在(0,)α单调递减，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故()g x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的极小值点，即()h x '在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的极小值点； 〔2〕设()sin k x x x =-，[)0,x ∈+∞，()1cos 0k x x '=-≥， ∴()k x 在[)0,+∞单调递增，()(0)0k x k ≥=， 即sin x x ≥，从而sin 22x x ≤， 因为函数42(2)3y f x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ∴34()2sin 203m x ax x x =--≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立， 令'2()22cos24()m x a x x p x =--=， ∵sin 22x x ≤，∴'()4sin 280p x x x =-≤，'()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，''max ()(0)22m x m a ==-， 当1a ≤时，'()0m x ≤，那么()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()(0)0m x m ≤=，符合题意. 当1a >时，'()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， '(0)220m a =->所以一定存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 当00x x ≤<时，()0m x '>，()m x 在[)00,x 上单调递增，()0(0)0m x m >=与题意不符，舍去.综上，a 的取值范围是1a ≤【点睛】此题考察利用导数研究函数的极值点、不等式恒成立问题，在处理恒成立问题时，通常是构造函数，转化成函数的最值来处理，此题是一道较难的题.请考生在22，23，题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分．做答时，需要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．选修4-4：坐标系与参数方程22.曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是: 2 2x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔t 是参数〕. ()1假设直线l 与曲线C 相交于A 、B两点，且AB =m 值.()2设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围.【答案】()11m =或者3m =；()22⎡-+⎣.【解析】【分析】()1把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心到直线的间隔 求出m 值； ()2把曲线C 的普通方程化为参数方程，利用三角恒等变换求出x y +的取值范围.【详解】解：()1曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=化为直角坐标方程为：2240x y x +-=，直线l 的直角坐标方程为：y x m =-.∴圆心到直线l 的间隔〔弦心距〕2d ==圆心()2,0到直线y x m =-的间隔 为2=, ∴21m -=∴1m =或者3m =.()2曲线C 的方程可化为()2224x y -+=，其参数方程为： 22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩〔θ为参数〕 (),M x y 为曲线C 上任意一点，24x y πθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ x y ∴+的取值范围是2⎡-+⎣. 【点睛】此题考察参数方程与极坐标的应用，属于中档题.选修4—5；不等式选讲.23.函数()2121f x x x =-++，记不等式()4f x <的解集为M .〔1〕求M ；〔2〕设,a b M ∈，证明：10ab a b --+>.【答案】〔1〕{}|11x x -<<；〔2〕证明见解析【解析】【分析】〔1〕利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此解不等式求得不等式的解集M . 〔2〕将不等式坐标因式分解，结合〔1〕的结论证得不等式成立.【详解】〔1〕解：()14,2112,2214,2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，由()4f x <，解得11x -<<，故{}|11M x x =-<<.〔2〕证明：因为,a b M ∈，所以1a <，1b <， 所以()()()1110ab a b a b -++=-->， 所以10ab a b --+>.【点睛】本小题主要考察绝对值不等式的解法，考察不等式的证明，属于根底题.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。

2021年高三第三次模拟考试word版（数学理）注意事项：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。

参考公式：球的表面积公式球的体积公式第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．已知复数为纯虚数，则实数m的值为（）A．1 B．-1 C．4 D．-42．命题：“”的否定为（）A．B．C．D．3．已知数列为等差数列，其前n项和，且等于（）A．25 B．27 C．50 D．544．根据下面频率分布直方图估计样本数据的中位数，众数分别为（）A．12.5，12.5B ．13，12.5C ．12.5，13D ．14，12.55．已知函数24()2,()log ,()log xf x xg x x xh x x x =+=+=+的零点依次为a ，b ，c ，则（ ）A ．a<b<cB ．c<b<aC ．a<c<bD ．b<a<c6．已知M 是曲线上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均不小于的锐角，则实数a的取值范围是 （ ） A ． B ． C ． D ． 7．已知的值为 （ ） A ．-8 B ．8 C ． D ．8．已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆）， 根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是 （ ） A ． B ． C ． D ．9．如图所示程序框图，若输出的结果y 的值为1，则输入的 x 的值的集合为 （ ） A ．{3} B ．{2，3} C ．{} D ．10．已知，则二项式展开式中的系数为 （ ） A ．10 B ．-10 C ．80 D ．-80 11．函数在[-2，2]上的最大值为2，则a 的范围是 （ ） A ． B ． C ． D ．12．已知动点P 在直线上，动点Q 在直线上，线段PQ 中点满足不等式，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．[10，34]第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题后的横线上。

2021年高三第三次模拟试题 数学理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）A.2B.1C.-2D.-12.已知命题，命题。

若命题是真命题，则实数的取值范围是（ ）A.或B.或C.D.3.设全集(2),{|(0.2)1},{|1(1}x x U R A x B x y n x -====-＞，则( )A. B. C. D.4.在平行四边形中，为一条对角线，，则=（ ）A.（2,4）B.（3,5）（1,1）C.（-1，-1）D.（-2，-4）5.设，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A.b ＞c ＞aB.a ＞b ＞cC.c ＞a ＞bD.a ＞c ＞b6.若，则（ ）A. B. C. D.7.若几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. B.C. D.8.下列命题中错误的是（ ）A.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C.如果平面平面，平面平面，，那么平面D.如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面9.等比数列中，，则=（ ）A. B. C. D.10.已知a 为实数，函数的导函数是偶函数，则曲线在原点处的切线方程是（ ）A. B. C. D.11.将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再把所得函数图像向右平行移动个单位长度，得到的函数图像的一个对称中心是（ ）A. B. C. D.12.设与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的，都有，则称和在上是“密切函数”，称为“密切区间”。

设与在上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是（ ）A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13.函数的定义域为___________________14.已知，若，则=___________________15.函数在区间上的最大值是___________________16.给出下列四个命题：③，则函数的值域为；④是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件。

数学高三年级期中考试模拟试卷(理科)以下是查字典数学网为大家整理的2021数学高三年级期中考试模拟试卷(文科)，其中包括了选择题、非选择题，解答题，希望大家不要漏答，供大家学习参考!(考试时间120分钟总分值150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两局部第一局部(选择题共40分)一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，选出契合标题要求的一项.(1)双数在复平面内对应的点位于(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限(2)集合，集合，那么(A) (B) (C) (D)(3)平面向量，满足，，那么与的夹角为(A) (B) (C) (D)(4)如图，设区域，向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等能够的，那么点落入到阴影区域的概率为(A) (B)(C) (D)(5)在中，，，那么(A)充沛不用要条件 (B)必要不充沛条件(C)充要条件 (D)既不充沛也不用要条件(6)执行如下图的顺序框图,输入的S值为(A) (B)(C) (D)(7)函数 .以下命题：①函数的图象关于原点对称; ②函数是周期函数;③当时,函数取最大值;④函数的图象与函数的图象没有公共点，其中正确命题的序号是(A) ①③ (B)②③ (C) ①④ (D)②④(8)直线与圆交于不同的两点，，且，其中是坐标原点，那么实数的取值范围是(A) (B)(C) (D)第二局部(非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.把答案填在答题卡上.(9)在各项均为正数的等比数列中，，，那么该数列的前4项和为 .(10)在极坐标系中，为曲线上的点，为曲线上的点，那长度的最小值是 .(11)某三棱锥的三视图如下图，那么这个三棱锥的体积为 ;外表积为 .(12)双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是，那么 ;此双曲线的离心率为 .(13)有标号区分为1,2,3的白色卡片3张，标号区分为1,2,3的蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内(如图).假定颜色相反的卡片在同一行，那么不同的放法种数为 .(用数字作答)(14)如图，在四棱锥中，底面 .底面为梯形，，∥ , ， .假定点是线段上的动点，那么满足的点的个数是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解容许写出文字说明，演算步骤或证明进程.(15)(本小题总分值13分)函数， .(Ⅰ)求的值及函数的最小正周期;(Ⅱ)求函数在上的单调减区间.(16)(本小题总分值13分)某单位从一所学校招收某类特殊人才.对位曾经选拔入围的先生停止运动协调才干和逻辑思想才干的测试，其测试结果如下表：普通良好优秀普通良好优秀例如，表中运动协调才干良好且逻辑思想才干普通的先生有人.由于局部数据丧失，只知道从这位参与测试的先生中随机抽取一位，抽到运动协调才干或逻辑思想才干优秀的先生的概率为 .(I)求，的值;(II)从参与测试的位先生中恣意抽取位，求其中至少有一位运动协调才干或逻辑思维才干优秀的先生的概率;(III)从参与测试的位先生中恣意抽取位，设运动协调才干或逻辑思想才干优秀的学生人数为，求随机变量的散布列及其数学希冀 .(17)(本小题总分值14分)如图，四棱锥的底面为正方形，正面底面 . 为等腰直角三角形，且 . ，区分为底边和侧棱的中点.(Ⅰ)求证：∥平面 ;(Ⅱ)求证：平面 ;(Ⅲ)求二面角的余弦值.(18)(本小题总分值13分)函数， .(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)假定函数在区间的最小值为，求的值.(19)(本小题总分值14分)椭圆经过点，离心率为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)直线与椭圆交于两点，点是椭圆的右顶点.直线与直线区分与轴交于点，试问以线段为直径的圆能否过轴上的定点?假定是，求出定点坐标;假定不是，说明理由.(20)(本小题总分值13分)从中这个数中取 ( ， )个数组成递增等差数列，一切能够的递增等差数列的个数记为 .(Ⅰ)当时，写出一切能够的递增等差数列及的值; (Ⅱ)求 ;(Ⅲ)求证： .北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案(理工类) 2021.3一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B A B A B D C D二、填空题题号 9 10 11 12 13 14答案22三、解答题15. (本小题总分值13分)解：显然，函数的最小正周期为 . 8分(Ⅱ)令得又由于，所以 .函数在上的单调减区间为 . 13分16. (本小题总分值13分)解：(I)设事情：从位先生中随机抽取一位，抽到运动协调才干或逻辑思想才干优秀的先生.由题意可知，运动协调才干或逻辑思想才干优秀的先生共有人.那么 .解得 .所以 . 4分(II)设事情：从人中恣意抽取人，至少有一位运动协调才干或逻辑思想才干优秀的先生.由题意可知，至少有一项才干测试优秀的先生共有人.那么 . 7分(III) 的能够取值为，， .位先生中运动协调才干或逻辑思想才干优秀的先生人数为人.所以，所以的散布列为0 1 2所以， . 13分17. (本小题总分值14分)(Ⅰ)证明：取的中点，衔接， .由于，区分是，的中点，所以是△ 的中位线.所以∥ ，且 .又由于是的中点，且底面为正方形，所以，且∥ .所以∥ ，且 .所以四边形是平行四边形.所以∥ .又平面，平面，所以平面 . 4分(Ⅱ)证明：由于平面平面，，且平面平面，所以平面 .所以， .又由于为正方形，所以，所以两两垂直.以点为原点，区分以为轴，树立空间直角坐标系(如图).由题意易知，设，那么由于，，，且，所以， .又由于，相交于，所以平面 . 9分(Ⅲ)易得， .设平面的法向量为，那么所以即令，那么 .由(Ⅱ)可知平面的法向量是，所以 .由图可知，二面角的大小为锐角，所以二面角的余弦值为 . 14分18. (本小题总分值13分)解：函数的定义域是， .(Ⅰ)(1)当时，，故函数在上单调递减.(2)当时，恒成立，所以函数在上单调递减.(3)当时，令，又由于，解得 .①当时，，所以函数在单调递减.②当时，，所以函数在单调递增.综上所述，当时，函数的单调减区间是，当时，函数的单调减区间是，单调增区间为 .7分(Ⅱ)(1)当时，由(Ⅰ)可知，在上单调递减，所以的最小值为，解得，舍去.(2)当时，由(Ⅰ)可知，①当，即时，函数在上单调递增，所以函数的最小值为，解得 .②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为，解得，舍去.③当，即时，函数在上单调递减，所以函数的最小值为，得，舍去.综上所述， . 13分19. (本小题总分值14分)解：(Ⅰ)由题意得，解得， .所以椭圆的方程是 . 4分(Ⅱ)以线段为直径的圆过轴上的定点.由得 .设，那么有， .又由于点是椭圆的右顶点，所以点 .由题意可知直线的方程为，故点 .直线的方程为，故点 .假定以线段为直径的圆过轴上的定点，那么等价于恒成立.又由于，，所以恒成立.又由于所以 .解得 .故以线段为直径的圆过轴上的定点 . 14分20. (本小题总分值13分)解：(Ⅰ)契合要求的递增等差数列为1，2，3;2，3，4;3，4，5;1，3，5，共4个.所以 . 3分(Ⅱ)设满足条件的一个等差数列首项为，公差为， . ，，的能够取值为 .关于给定的，，当区分取时，可得递增等差数列个(如：时，，当区分取时，可得递增等差数列91个： ; ; ; ，其它同理).所以当取时，可得契合要求的等差数列的个数为：. 8分(Ⅲ)设等差数列首项为，公差为，记的整数局部是，那么，即 .的能够取值为，关于给定的，，当区分取时，可得递增等差数列个. 所以当取时，得契合要求的等差数列的个数易证 .又由于，，所以 .所以即 . 13分以上就是2021数学高三年级期中考试模拟试卷(文科)的全部内容，希望同窗们做好练习。