2019年赣南师范大学915数学教学论考研真题硕士研究生入学考试试题

考研数学2019完整版附参考答案仅供参考一、选择题：1－8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（ ）(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< .（2）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()d x f t t ⎰是（A ）连续的奇函数.（B ）连续的偶函数（C ）在0x =间断的奇函数（D ）在0x =间断的偶函数. （ ）（3）设函数()g x 可微，1()()e ,(1)1,(1)2g x h x h g +''===，则(1)g 等于（ ）（A ）ln 31-. （B ）ln3 1.--（C ）ln 2 1.--（D ）ln 2 1.-（4）函数212e e e xx x y C C x -=++满足的一个微分方程是 [ ]（A ）23e .xy y y x '''--= （B ）23e .xy y y '''--=（C ）23e .xy y y x '''+-=（D ）23e .xy y y '''+-=（5）设(,)f x y 为连续函数，则140d (cos ,sin )d f r r r r πθθθ⎰⎰等于（）（Ａ）0(,)d xx f x y y . （B ）0(,)d x f x y y .(C)(,)d yy f x y x . (D) 00(,)d y f x y x .（6）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（）(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.（7）设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 [ ](A) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关.（8）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（）（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）T C P AP =. （Ｄ）T C PAP =.一．填空题 （9）曲线4sin 52cos x xy x x+=- 的水平渐近线方程为（10）设函数2301sin d ,0(),0x t t x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续，则a = （11）广义积分22d (1)x xx +∞=+⎰. （12） 微分方程(1)y x y x-'=的通解是 （13）设函数()y y x =由方程1e yy x =-确定，则d d x y x==（14）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B .三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 试确定,,A B C 的值，使得23e (1)1()x Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小.（16）（本题满分10分）求 arcsin e d exxx ⎰. （17）（本题满分10分）设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥， 计算二重积分221d d .1Dxyx y x y +++⎰⎰ （18）（本题满分12分）设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<==（Ⅰ）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. （19）（本题满分10分） 证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（20）（本题满分12分）设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂. （I ）验证()()0f u f u u'''+=； （II ）若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式. （21）（本题满分12分）已知曲线L 的方程221,(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； （III ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积. （22）（本题满分9分） 已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩ 有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =；（Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解. （23）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T T121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解. (Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ.数学答案1. A 【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ∆>时，00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>，故应选(Ａ).【评注】 对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法.本题还可用拉格朗日定理求解：0000()()(),y f x x f x f x x x x ξξ'∆=+∆-=∆<<+∆因为()0f x ''>，所以()f x '单调增加，即0()()f f x ξ''>，又0x ∆>，则0()()d 0y f x f x x y ξ''∆=∆>∆=>，即0d y y <<∆.定义一般教科书均有，类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.165【例6.1】，P.193【１（３）】. 2. B 【分析】由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数()f x 去计算0()()d x F x f t t =⎰，然后选择正确选项.【详解】取,0()1,0x x f x x ≠⎧=⎨=⎩. 则当0x ≠时，()2220011()()d lim d lim 22x xF x f t t t t x x εεεε++→→===-=⎰⎰，而0(0)0lim ()x F F x →==，所以()F x 为连续的偶函数，则选项（Ｂ）正确，故选（Ｂ）.【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.符合题设条件的函数在多教科书上均可见到，完全类似例题见2006文登最新模拟试卷（数学三）（8）.3. C 【分析】题设条件1()()e g x h x +=两边对x 求导,再令1x =即可.【详解】1()()e g x h x +=两边对x 求导,得1()()e ()g x h x g x +''=.上式中令1x =，又(1)1,(1)2h g ''==，可得1(1)1(1)1(1)e (1)2e (1)ln21g g h g g ++''===⇒=--，故选（C ）.【评注】本题考查复合函数求导，属基本题型. 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第2节【例12】，《数学复习指南》理工类P.47【例2.4】，《数学题型集粹与练习题集》理工类P.1【典例精析】. 4. D 【分析】本题考查二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及非齐次方程的特解与对应齐次微分方程特征根的关系.故先从所给解分析出对应齐次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齐次项形式.【详解】由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为 121,2λλ==-.则对应的齐次微分方程的特征方程为 2(1)(2)0,20λλλλ-+=+-=即.故对应的齐次微分方程为20y y y '''+-=.又*e xy x =为原微分方程的一个特解，而1λ=为特征单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项应具有形式()e x f x C =（C 为常数）.所以综合比较四个选项，应选（D ）.【评注】对于由常系数非齐次线性微分方程的通解反求微分方程的问题，关键是要掌握对应齐次微分方程的特征根和对应特解的关系以及非齐次方程的特解形式..完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第7讲第2节【例9】和【例10】，《数学复习指南》P.156【例5.16】，《数学题型集粹与练习题集》（理工类）P.195（题型演练3），《考研数学过关基本题型》（理工类）P.126【例14】及练习.5. C 【分析】 本题考查将坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.【详解】 由题设可知积分区域D 如右图所示，显然是Y 型域，则原式0(,)d yy f x y x =.故选（Ｃ）.【评注】 本题为基本题型，关键是首先画出积分区域的图形.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第10讲第2节例4，《数学复习指南》（理工类）P.286【例10.6】，《考研数学过关基本题型》（理工类）P.93【例6】及练习.6. D 【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ（0λ是对应00,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ，则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩， 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .消去0λ，得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=, 整理得 000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.（因为(,)0y x y ϕ'≠）， 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选（Ｄ）.【评注】 本题考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法. 相关定理见《数学复习指南》（理工类）Ｐ.251定理1及Ｐ.253条件极值的求法.7. A 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】 记12(,,,)s B ααα=，则12(,,,)s A A A AB ααα=.所以，若向量组12,,,s ααα线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s ≤<，向量组12,,,s A A A ααα也线性相关，故应选(Ａ).【评注】 对于向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有无非零解进行讨论.8. B 【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得110110110110,010********1001001001B AC B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 而 1110010001P --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有1C PAP -=.故应选（Ｂ）.【评注】（１）每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵A 施行一个初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵.（２）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系. 完全类似例题及性质见《数学复习指南》（理工类）P.381【例2.19】，文登暑期辅导班《线性代数》第2讲例12.9. 【分析】 直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可.【详解】 4sin 14sin 1lim lim 2cos 52cos 55x x xx x x x x x x →∞→∞++==--. 故曲线的水平渐近线方程为 15y =.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在，为什么？完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》（理工类）P.180【例6.30】，【例6.31】.10. 【分析】本题为已知分段函数连续反求参数的问题.直接利用函数的连续性定义即可.【详解】 由题设知，函数()f x 在 0x =处连续，则 0lim ()(0)x f x f a →==，又因为 2203200sin d sin 1lim ()limlim 33xx x x t t x f x x x →→→===⎰. 所以 13a =. 【评注】遇到求分段函数在分段点的连续性问题，一般从定义入手.本题还考查了积分上限函数的求导，洛必达法则和等价无穷小代换等多个基本知识点，属基本题型.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第1讲第1节【例13】，《数学复习指南》（理工类）P.35【例1.51】.88年，89年，94年和03年均考过该类型的试题，本题属重点题型.11. 【分析】利用凑微分法和牛顿－莱布尼兹公式求解.【详解】222222200d 1d(1+)111111lim lim lim (1)2(1)21+21+22b b b b b x x x x x x b +∞→∞→∞→∞==-=-+=++⎰⎰. 【评注】 本题属基本题型，对广义积分，若奇点在积分域的边界，则可用牛顿－莱布尼兹公式求解，注意取极限.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第5讲第6节【例1】，《数学复习指南》（理工类）P.119【例3.74】.12 .【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】 原方程等价为d 11d y x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 两边积分得 1ln ln y x x C =-+，整理得e x y Cx -=.（1e C C =）【评注】 本题属基本题型.完全类似公式见《数学复习指南》（理工类）P.139.13. 【分析】本题为隐函数求导，可通过方程两边对x 求导（注意y 是x 的函数），一阶微分形式不变性和隐函数存在定理求解.【详解】 方法一：方程两边对x 求导，得e e y y y xy ''=--.又由原方程知，0,1x y ==时.代入上式得d e d x x yy x=='==-.方法二：方程两边微分，得d e d e d y y y x x y =--，代入0,1x y ==，得0d e d x yx==-.方法三：令(,)1e y F x y y x =-+，则()0,10,10,10,1ee,1e 1yy x y x y x y x y FF x xy========∂∂===+=∂∂，故0,10,1d e d x y x x y F y xF xy=====∂∂=-=-∂∂.【评注】 本题属基本题型.求方程确定的隐函数在某点处的导数或微分时，不必写出其导数或微分的一般式完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第2节【例14】，《数学复习指南》（理工类）P.50【例2.12】.14. 【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有 ()2B A E E -= 于是有4B A E -=，而11211A E -==-，所以2B =. 【评注】 本题关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示.类似题2005年考过.完全类似例题见文登暑期辅导班线性代数第1讲例6，《数学复习指南》（理工类）P.378【例2.12】15.【分析】题设方程右边为关于x 的多项式，要联想到e x 的泰勒级数展开式，比较x 的同次项系数，可得,,A B C 的值.【详解】将e x 的泰勒级数展开式233e 1()26xx x x o x =++++代入题设等式得 233231()[1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ⎡⎤++++++=++⎢⎥⎣⎦整理得233111(1)()1()226B B x B C x C o x Ax o x ⎛⎫⎛⎫+++++++++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭比较两边同次幂系数得11021026B AB C B C ⎧⎪+=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得 132316A B C ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩.【评注】题设条件中含有高阶无穷小形式的条件时，要想到用麦克劳林公式或泰勒公式求解.要熟练掌握常用函数的泰勒公式.相应公式见《数学复习指南》理工类P.124表格.16.【分析】题设积分中含反三角函数，利用分部积分法.【详解】arcsin e d arcsin e de e arcsin e e e x x x x x x xx x x --=-=-+⎰⎰⎰－e arcsin e x x x -=-+.令t =221ln(1),d d 21t x t x t t=-=--， 所以21111d d 1211x t t t t t ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭⎰⎰111ln 212t C t -=+=+.【评注】被积函数中为两种不同类型函数乘积且无法用凑微分法求解时，要想到用分部积分法计算；对含根式的积分，要想到分式有理化及根式代换.本题为基本题型，完全相似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第3讲第3节【例6】，《数学复习指南》理工类P.79【例3.21】.17. 【分析】 由于积分区域D 关于x 轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.【详解】 积分区域D 如右图所示.因为区域D 关于x 轴对称， 函数221(,)1f x y x y=++是变量y 的偶函数，函数22(,)1xyg x y x y =++是变量y 的奇函数.则112222220011ln 2d d 2d d 2d d 1112DD r x y x y r xy x y r ππθ===+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22d d 01Dxyx y x y =++⎰⎰， 故22222211ln 2d d d d d d 1112D D Dxy xy x y x y x y x y x y x y π+=+=++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 【评注】只要见到积分区域具有对称性的二重积分计算问题，就要想到考查被积函数或其代数和的每一部分是否具有奇偶性，以便简化计算.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第10讲第1节例1和例2，《数学复习指南》（理工类）P.284【例10.1】18. 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. （Ⅱ）的计算需利用（Ⅰ）的结果.【详解】 （Ⅰ）因为10x π<<，则210sin 1x x π<=≤<.可推得10sin 1,1,2,n n x x n π+<=≤<=，则数列{}n x 有界.于是1sin 1n nn nx x x x +=<，（因当0sin x x x ><时，）， 则有1n n x x +<，可见数列{}n x 单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim n n x →∞存在.设lim n n x l →∞=，在1si n n n x x +=两边令n →∞，得 sin l l =，解得0l =，即l i m 0n n x →∞=.（Ⅱ） 因 22111sin lim lim nn x x n n n n n n x x x x +→∞→∞⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由（Ⅰ）知该极限为1∞型， 令n tx =，则,0n t →∞→，而22sin 111111sin 1000sin sin sin lim lim 11lim 11tt t t t t t t t t t t t t t t -⋅-→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又 33233000()1sin sin 13!lim 1lim lim 6t t t t t o t tt t t t t t t →→→-+--⎛⎫-===- ⎪⎝⎭. （利用了sin x 的麦克劳林展开式）故 2211116sin lim lim e nn x x n n n n n n x x x x -+→∞→∞⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.19. 【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<，则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,s i n 0x x x π<<>时）， 故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.20利用复合函数偏导数计算方法求出2222,z z x y ∂∂∂∂代入22220z zx y∂∂+=∂∂即可得（I ）.按常规方法解（II ）即可.【详解】 （I ）设u =((z z f u f u x y ∂∂''==∂∂22()()zf u f ux∂'''=+∂()22322222()()x yf u f ux yx y'''=⋅+⋅++，()2223222222()()z y xf u f uy x yx y∂'''=⋅+⋅∂++.将2222,z zx y∂∂∂∂代入2222z zx y∂∂+=∂∂得()()0f uf uu'''+=.（II）令()f u p'=，则d dp p upu p u'+=⇒=-，两边积分得1ln ln lnp u C=-+，即1Cpu=，亦即1()Cf uu'=.由(1)1f'=可得11C=.所以有1()f uu'=，两边积分得2()lnf u u C=+，由(1)0f=可得20C=，故()lnf u u=.【评注】本题为基础题型，着重考查多元复合函数的偏导数的计算及可降阶方程的求解.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第8讲第1节【例8】，《数学复习指南》（理工类）P.336【例12.14】,P.337【例12.15】21. 【分析】（I）利用曲线凹凸的定义来判定；（II）先写出切线方程，然后利用(1,0)-在切线上；（III）利用定积分计算平面图形的面积.【详解】（I）因为dd d d422d2,421dd d d2dyx y y ttt txt t x t tt-==-⇒===-2223d d d12110,(0)dd d d2dy ytxx t x t t tt⎛⎫⎛⎫=⋅=-⋅=-<>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故曲线L当0t≥时是凸的.（II）由（I）知，切线方程为201(1)y xt⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，设2001x t=+，20004y t t=-，则220000241(2)t t t t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，即23200004(2)(2)t t t t -=-+整理得 20000020(1)(2)01,2(t t t t t +-=⇒-+=⇒=-舍去）.将01t =代入参数方程，得切点为（2，3），故切线方程为231(2)1y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即1y x =+.（III ）由题设可知，所求平面图形如下图所示，其中各点坐标为 (1,0),(2,0),(2,3),(1,0)A B C D -， 设L 的方程()x g y =， 则()30()(1)d Sg y y y =--⎡⎤⎣⎦⎰ 由参数方程可得2t =(221x =+.由于（2，3）在L 上，则(2()219x g y y ==+=--.于是(309(1)d S y y y ⎡⎤=----⎣⎦⎰30(102)d 4y y y =--⎰⎰()()3233208710433y y y =-+-=. 【评注】 本题为基本题型，第3问求平面图形的面积时，要将参数方程转化为直角坐标方程求解.完全类似例题和公式见《数学复习指南》（理工类）P.187【例6.40】. 22. 【分析】 （I ）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；（II ）利用初等变换求矩阵A 的秩确定参数,a b ，然后解方程组.【详解】 （I ） 设123,,ααα是方程组Ax β=的3个线性无关的解，其中111114351,1131A a b β-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则有 1213()0,()0A A αααα-=-=.则1213,αααα--是对应齐次线性方程组0Ax =的解，且线性无关.（否则，易推出123,,ααα线性相关，矛盾）.所以 ()2n r A -≥，即4()2()2r A r A -≥⇒≤. 又矩阵A 中有一个2阶子式111043=-≠，所以()2r A ≤. 因此 ()2r A =. （II ） 因为11111111111143510115011513013004245A a b a a b a a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又()2r A =，则42024503a ab a b -==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩. 对原方程组的增广矩阵A 施行初等行变换，111111024243511011532133100000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故原方程组与下面的方程组同解. 13423424253x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩.选34,x x 为自由变量，则134234334424253x x x x x x x x x x =-++⎧⎪=--⎪⎨=⎪⎪=⎩. 故所求通解为12242153100010x k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12,k k 为任意常数.【评注】 本题综合考查矩阵的秩，初等变换，方程组系数矩阵的秩和基础解系的关系以及方程组求解等多个知识点，特别是第一部分比较新颖. 这是考查综合思维能力的一种重要表现形式，今后类似问题将会越来越多.完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.427【例4.5】，P.431【例4.11】. 23. 解： 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q .【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T(1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.又由题设知120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=⋅=⋅，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交.取11βα=，()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭. 再将12,,αββ单位化，得1212312,,0ββαηηηαββ⎛⎛⎪====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 令[]123,,Q ηηη=，则1TQ Q -=，由A 是实对称矩阵必可相似对角化，得T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦.。

2019年硕士研究生入学考试数学一 试题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．设函数,0()ln ,0x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则0x =是()f x 的（ ）（A ）可导点，极值点 （B ）不可导的点，极值点（C ）可导点，非极值点 （D ）不可导点，非极值点 3．设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ）（A ）1n n u n ∞=∑ （B ）11(1)n n n u ∞=-∑ (C ）111n n n u u ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ （D ）2211()n n n u u ∞+=-∑4．设函数2(,)xQ x y y=，如果对于上半平面(0)y >内任意有向光滑封闭曲线C 都有 (,)(,)0CP x y dx Q x y dy +=⎰Ñ那么函数(,)P x y 可取为（ ）（A ）22x y y - （B ）221x y y - （C ）11x y- （D ）1x y -5．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是 （ ）（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222123y y y ---6．如图所示，有三张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程123(1,2,3)i i i i a x a y a z d i ++==组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则（ ）（A ）()2,()3r A r A == （B ）()2,()2r A r A == （C ）()1,()2r A r A == （D ）()1,()1r A r A ==7． 设,A B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是 （ ）（A ）()()()P A B P A P B =+U （B ） ()()()P AB P A P B = （C ）()()P AB P B A = （D ）()()P AB P AB =8．设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ．则{1}P X Y -<（ ） （A ）与μ无关，而与2σ有关 （B ）与μ有关，而与2σ无关 （C ）与μ，2σ都有关 （D ）与μ，2σ都无关二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．设函数()f u 可导，(sin sin )z f y x xy =-+，则11cos cos z z x x y y∂∂⋅+⋅=∂∂ ．10．微分方程2220yy y '--=满足条件(0)1y =的特解为y = ．11.幂级数1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑在(0,)+∞内的和函数()S x = . 看不清楚题目是1(1)(2)!n n n x n ∞=-∑还是0(1)(2)!n n n x n ∞=-∑，我以1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑给出解答． 12．设∑为曲面22244(0)x y z z ++=≥的上侧，则∑= ．13．设123(,,)A ααα=为三阶矩阵，若12,αα线性无关，且3122ααα=-+，则线性方程组0Ax =的通解为 ．14．设随机变量X 的概率密度为,02()20,xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，()F x 为其分布函数，()E X 其数学期望，则{()()1}P F X E X >-= ．三、解答题 15．（本题满分10分）设函数()y x 是微分方程22x y xy e-'+=满足条件(0)0y =的特解．（1）求()y x ；（2）求曲线()y y x =的凸凹区间及拐点．16．（本题满分10分）设,a b 为实数，函数222z ax by =++在点(3,4)处的方向导数中，沿方向34l i j=--v v v 的方向导数最大 ，最大值为10．（1）求常数,a b 之值；（2）求曲面222(0)z ax by z =++≥的面积． 17．（本题满分10分）求曲线sin (0)xy ex x -=≥与x 轴之间形成图形的面积．18．（本题满分10分）设1(0,1,2,)n a x n ==⎰L（1）证明：数列{}n a 单调减少，且21(2,3,)2n n n a a n n --==+L ；（2）求极限1lim n n n a a →∞-． 19．（本题满分10分）设Ω是由锥面222(2)(1)(01)x y z z +-=-≤≤与平面0z =围成的锥体，求Ω的形心坐标．20．（本题满分11分）设向量组1231112,3,123a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为3R 空间的一组基，111β⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标为1b c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求,,a b c 之值；（2）证明：23,,ααβ也为3R 空间的一组基，并求23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵．21．（本题满分11分）已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似．（1）求,x y 之值；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=．22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为：{1}P Y p =-=，{1}1P Y p ==-，(01)p <<．令Z XY =．（1）求Z 的概率密度；（2）p 为何值时，,X Z 不相关；（3）此时，,X Z 是否相互独立．23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为22()2,()0,x A e x f x x μσμσμ--⎧⎪≥=⎨⎪<⎩，其中μ是已知参数，σ是未知参数，A 是常数，12,,,n X X X L 是来自总体X 的简单随机样本． （1）求常数A 的值；（2）求2σ的最大似然估计量．2019年考研数学一真题解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】（C ）【详解】当0x →时，331tan ()3x x x o x =++，所以331tan ()3x x x o x -=-+，所以3k =． 2．设函数,0()ln ,0x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则0x =是()f x 的（ ）（A ）可导点，极值点 （B ）不可导的点，极值点 （C ）可导点，非极值点 （D ）不可导点，非极值点【答案】（B ）【详解】（1）01ln(00)lim ln lim 0,(00)lim 0,(0)01x x x x f x x f x x f x++-→→→-+===-===，所以函数在0x =处连续；（2）0ln (0)lim x x xf x++→'==-∞，所以函数在0x =处不可导；（3）当0x <时，2(),()20f x x f x x '=-=->，函数单调递增；当10x e<<时，()1ln 0f x x '=+<，函数单调减少，所以函数在0x =取得极大值．3．设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ）（A ）1n n u n ∞=∑ （B ）11(1)n n n u ∞=-∑ (C ）111n n n u u ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ （D ）2211()n n n u u ∞+=-∑【答案】（D ）【详解】设{}n u 是单调增加的有界数列，由单调有界定理知lim n n u →∞存在，记为lim n n u u →∞=；又设n ∀，满足n u M ≤，则221111()()2()n n n n n n n n u u u u u u M u u ++++-=+-≤-，且2210n n u u +-≥，则对于正项对于级数2211()n n n uu ∞+=-∑，前n 项和：221111111()2()2()22nnn k kk k n n k k S uu M u u M u u Mu Mu ++++===-≤-=-≤→∑∑也就是2211()n n n uu ∞+=-∑收敛．4．设函数2(,)xQ x y y=，如果对于上半平面(0)y >内任意有向光滑封闭曲线C 都有 (,)(,)0CP x y dx Q x y dy +=⎰Ñ那么函数(,)P x y 可取为（ ）（A ）22x y y - （B ）221x y y - （C ）11x y- （D ）1x y -【答案】（D ）【详解】显然，由积分与路径无关条件知21P Q y x y ∂∂≡=∂∂，也就是1(,)()P x y C x y=-+，其中()C x 是在(,)-∞+∞上处处可导的函数．只有（D ）满足．5．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是 （ ）（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222123y y y ---【答案】（C ）【详解】假设λ是矩阵A 的特征值，由条件22A A E +=可得220λλ+-=，也就是矩阵A 特征值只可能是1和2-．而1234A λλλ==，所以三个特征值只能是1231,2λλλ===-，根据惯性定理，二次型的规范型为222123y y y --．6．如图所示，有三张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程123(1,2,3)i i i i a x a y a z d i ++==组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则（ ）（A ）()2,()3r A r A == （B ）()2,()2r A r A == （C ）()1,()2r A r A == （D ）()1,()1r A r A == 【答案】（A ）【详解】(1)显然三个平面没有共同交点，也就是非齐次方程组无解，从而()()r A r A <； （2）从图上可看任何两个平面都不平行，所以()2r A ≥；7． 设,A B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是 （ ）（A ）()()()P A B P A P B =+U （B ） ()()()P AB P A P B =（C ）()()P AB P B A = （D ）()()P AB P AB =【答案】（C ）【详解】选项（A ）是,A B 互不相容；选项（B ）是,A B 独立，都不能得到()()P A P B =； 对于选项（C ），显然，由()()(),()()()P AB P A P AB P B A P B P AB =-=-，()()()()()()()()P AB P B A P A P AB P B P AB P A P B =⇔-=-⇔=8．设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ．则{1}P X Y -<（ ）（A ）与μ无关，而与2σ有关 （B ）与μ有关，而与2σ无关 （C ）与μ，2σ都有关 （D ）与μ，2σ都无关【答案】（A ）【详解】由于随机变量X 与Y 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ，则2~(0,2)X Y N σ-，从而{1}{11}21P X Y P X Y P -<=-≤-<=≤≤=Φ- 只与2σ有关．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．设函数()f u 可导，(sin sin )z f y x xy =-+，则11cos cos z zx x y y∂∂⋅+⋅=∂∂ ． 【答案】cos cos y xx y+解：cos (sin sin ),cos (sin sin )z zx f y x y y f y x x x y∂∂''=-⋅-+=⋅-+∂∂ 11cos cos cos cos z z y xx x y y x y∂∂⋅+⋅=+∂∂ 10．微分方程2220yy y '--=满足条件(0)1y =的特解为y = ．【答案】y =【详解】把方程变形2220yy y '--=得22()()20y y '--=，即222(2)22x d y dx y Ce y y +=⇒+=⇒=+由初始条件(0)1y =确定3C =，所以y =．11.幂级数1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑在(0,)+∞内的和函数()S x = . 看不清楚题目是1(1)(2)!n n n x n ∞=-∑还是0(1)(2)!n n n x n ∞=-∑，我以1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑给出解答． 【答案】1【详解】注意20(1)cos ,(,)(2)!n nn x x x n ∞=-=∈-∞+∞∑，从而有：110(1)(1)(1)11,(0,)(2)!(2)!(2)!n n n n nn n n n x x n n n ∞∞∞===---==-=∈+∞∑∑∑ 12．设∑为曲面22244(0)x y z z ++=≥的上侧，则∑= ．【答案】32.3【详解】显然曲面∑在xOy 平面的投影区域为22{(,)|4}xy D x y x y =+≤22220432dxdy dxdy 2sin 3x y y y d r dr πθθ∑∑+≤====⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 13．设123(,,)A ααα=为三阶矩阵，若12,αα线性无关，且3122ααα=-+，则线性方程组0Ax =的通解为 ．【答案】121x k -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，其中k 为任意常数．【详解】显然矩阵A 的秩()2r A =，从而齐次线性方程组0Ax =的基础解系中只含有一个解向量．由3122ααα=-+可知12320ααα-+-=也就是121x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭为方程组基础解系，通解为121x k -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，其中k 为任意常数．14．设随机变量X 的概率密度为,02()20,xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，()F x 为其分布函数，()E X 其数学期望，则{()()1}P F X E X >-= ．【答案】2.3【详解】20,01(){},0241,2x F x P X x x x x <⎧⎪⎪=≤=≤<⎨⎪≥⎪⎩，2204()23x E X dx ==⎰．012{()()1}{()}{133P F X E X P F X P X >-=>=>=-=三、解答题15．（本题满分10分）设函数()y x 是微分方程22x y xy e-'+=满足条件(0)0y =的特解．（1）求()y x ；（2）求曲线()y y x =的凸凹区间及拐点． 【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程． 先求解对应的线性齐次方程0y xy '+=的通解：22x y Ce -=，其中C 为任意常数；再用常数变易法求22x y xy e-'+=通解，设22()x y C x e-=为其解，代入方程，得2222(),()1x x C x eeC x --''==，1()1C x dx x C ==+⎰，也就是通解为：221()x y x C e-=+把初始条件(0)0y =代入，得10C =，从而得到22().x y x xe -=（2）2222232222(),()(1),()(3)(x x x x y x xey x ex y x x x ex x x e----'''==-=-=令()0y x ''=得1230,x x x ===．当x <0x <<时，0y ''<，是曲线的凸区间；当0x <<或x >0y ''>，是曲线的凹区间．曲线的拐点有三个，分别为3322()--．16．（本题满分10分）设,a b 为实数，函数222z ax by =++在点(3,4)处的方向导数中，沿方向34l i j=--v v v的方向导数最大 ，最大值为10．（1）求常数,a b 之值；（2）求曲面222(0)z ax by z =++≥的面积． 【详解】（1）222z ax by =++，则2,2z zax by x y∂∂==∂∂；所以函数在点(3,4)处的梯度为()(3,4)(3,4)|,6,8z z gradf a b x y ⎛⎫∂∂==⎪∂∂⎝⎭；gradf = 由条件可知梯度与34l i j =--v v v方向相同，且10gradf ==．也就得到683410a b⎧=⎪--=解出11a b =-⎧⎨=-⎩或11a b =⎧⎨=⎩（舍）．即11a b =-⎧⎨=-⎩．（2）22202133Sx y S dS d ππθ+≤====⎰⎰⎰⎰⎰． 17．（本题满分10分）求曲线sin (0)xy ex x -=≥与x 轴之间形成图形的面积．【详解】先求曲线与x 轴的交点：令sin 0x e x -=得,0,1,2,x k k π==L 当2(21)k x k ππ<<+时，sin 0xy e x -=>；当2(22)k x k πππ+<<+时，sin 0x y e x -=<．由不定积分1sin (sin cos )2x xe xdx e x x C --=-++⎰可得 2221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππ+---=+⎰，22221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππππ+----+=-+⎰所求面积为22202200220022220sin sin sin 11(1)(1)2211111(1)(1)22121k k xxx k k k k k k k k k k S exdx e xdx e xdxe e e e e e e e e e ππππππππππππππππππ∞∞+∞++---+==∞∞-----==-∞-----===-=++++=+=+=--∑∑⎰⎰⎰∑∑∑18．（本题满分10分）设1(0,1,2,)n a x n ==⎰L（1）证明：数列{}n a 单调减少，且21(2,3,)2n n n a a n n --==+L ；（2）求极限1lim n n n a a →∞-． 【详解】（1）证明：1n a x=⎰，110(0,1,2,)n n a x n ++==⎰L当(0,1)x ∈时，显然有1n nxx +<，1110(0n n n n a a x x ++-=-<⎰，所以数列{}n a 单调减少；先设220sin cos ,0,1,2,nn n I xdx dx n ππ===⎰⎰L则当2n ≥时，12222202sin sin cos (1)sin cos (1)()nn n n n n I xdx xd x n x xdxn I I πππ---==-=-=--⎰⎰⎰也就是得到22,0,1,1n n n I I n n ++==+L 令sin ,[0,]2x t t π=∈，则122222201sin cos sin sin 2nnn n n n n a xt tdt dt tdt I I I n πππ++===-=-=+⎰⎰⎰⎰ 同理，2211n n n n a I I I n --=-=-综合上述，可知对任意的正整数n ，均有212n n a n a n --=+，即21(2,3,)2n n n a a n n --==+L ； （2）由（1）的结论数列{}n a 单调减少，且21(2,3,)2n n n a a n n --==+L 2111111222n n n n n a n n n a a a n n a n ------=>⇒>>+++ 令n →∞，由夹逼准则，可知1lim1nn n a a →∞-=．19．（本题满分10分）设Ω是由锥面222(2)(1)(01)x y z z +-=-≤≤与平面0z =围成的锥体，求Ω的形心坐标．【详解】先计算四个三重积分：22211120(2)(1)1(1)3zD x y z dv dz dxdy dzdxdy z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211120(2)(1)(1)12zD x y z zdv zdz dxdy zdzdxdy z z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211(2)(1)0zD x y z xdv dz xdxdy dzxdxdy Ω+-≤-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211120(2)(1)22(1)3zD x y z ydv dz ydxdy dzydxdy z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 0xdvx dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，2ydvy dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，14zdvz dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．从而设形心坐标为1(,,)(0,2,)4x y z =． 注：其实本题如果明白本题中的立体是一个圆锥体，则由体积公式显然13dv πΩ=⎰⎰⎰，且由对称性，明显0x =，2y =．20．（本题满分11分）设向量组1231112,3,123a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为3R 空间的一组基，111β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标为1b c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求,,a b c 之值；（2）证明：23,,ααβ也为3R 空间的一组基，并求23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵．【详解】（1）由123b c βααα=++可得11231231b c b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解方程组，得32.2a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩且当3a =时，()123111111,,23301110123012ααα===≠，即123,,ααα线性无关，确实是3R 空间的一组基．（2）()23111111,,33100220231011ααβ==-=≠-，显然23,,ααβ线性无关，当然也为3R 空间的一组基． 设()()23123,,,,a P αβααα=，则从23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵为()()1123123111111011111110,,,,3312330.50.512330.501231123 1.50.501230.500P ααβααα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪===--=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21．（本题满分11分）已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似．（1）求,x y 之值；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=． 【详解】（1）由矩阵相似的必要条件可知：A BtrA trB⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2(24)241x y x y --+=-⎧⎨-+=+⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩．（2）解方程组221232(2)(2)(1)002E A λλλλλλλ+--=--=+-+=+得矩阵A 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-；分别求解线性方程组()0(1,2,3)i E A x i λ-==得到分属三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231112,1,2004ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()1123111,,212004P ξξξ-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭，则1P 可逆，且11212P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；同样的方法，可求得属于矩阵B 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231100,3,00014ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()2123110,,030001P ηηη-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则2P 可逆，且12212P BP -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；由前面111122P AP P BP --=，可知令112111212004P PP --⎛⎫⎪==-- ⎪⎪⎝⎭，就满足1P AP B -=． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为：{1}P Y p =-=，{1}1P Y p ==-，(01)p <<．令Z XY =．（1）求Z 的概率密度；（2）p 为何值时，,X Z 不相关；（3）此时，,X Z 是否相互独立．【详解】（1）显然X 的概率密度函数为,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩．先求Z XY =的分布函数：(){}{}{,1}{,1}(1){}{}1()(1())Z X X F z P Z z P XY z P X z Y P X z Y p P X z pP X z F z p F z =≤=≤=≤=+≥-=-=-≤+≥-=-+--（）再求Z XY =的概率密度：,0()(())()(1)()0,0(1),0z Z Z X X z pe z f z F z pf z p f z z p e z -⎧<⎪'==-+-==⎨⎪->⎩（2）显然()1,()1;()12E X D X E Y p ===-；由于随机变量,X Y 相互独立，所以()()()()12E Z E XY E X E Y p ===-；22()()()()24E XZ E X Y E X E Y p ===-；(,)()()()12COV X Z E XZ E X E Z p =-=-；要使,X Z 不相关，必须(,)()()()120COV X Z E XZ E X E Z p =-=-=，也就是0.5p =时,X Z 不相关； （3）,X Z 显然不相互独立，理由如下：设事件{1}A X =>，事件{1}B Z =<，则11(){1}x P A P X e dx e +∞--=>==⎰；11(){1}{1,1}{1,1}12P B P Z P X Y P X Y e -=<=>-=-+<==-；11(){1,1}{1,1}(1,}{1}{1}P AB P X Z P X XY P X Y P X P Y pe x -=><=><=><=>⋅=-=，当0.5p =时，显然()()()P AB P A P B ≠，也就是,X Z 显然不相互独立．23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为22()2,()0,x A e x f x x μσμσμ--⎧⎪≥=⎨⎪<⎩，其中μ是已知参数，σ是未知参数，A 是常数，12,,,n X X X L 是来自总体X 的简单随机样本． （1）求常数A 的值；（2）求2σ的最大似然估计量．【详解】（1）由()1f x dx +∞-∞=⎰可知222()201x Aedx ed μσμσ---+∞+∞===⎰⎰所以A =似然函数为212()22121,(,,;)(,)0,ni i X n n i n i n i A ex L X X X f x μσμσσσ=--=⎧∑⎪⎪≥==⎨⎪⎪⎩∏L 其他， 取对数，得22212211ln (,,,;)ln ln()()22nn ii n L X X X n A Xσσμσ==---∑L解方程221222221ln (,,,;)11()0()22()nn ii d L X X X n Xd σμσσσ==-+-=∑L ，得未知参数2σ的最大似然估计量为¶2211()n i i X n σμ==-∑．。