概率的概念古典概型几何概型概率的公理化定义--精品PPT课件

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通过对摸球问题的探讨，你能总结出求古典概型 概率的方法和步骤吗？
想 一 想 ？
例2（掷骰子问题）：将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点数。 问：⑴两数之和是3的倍数的结果有多少种？ 两数之和是3的倍数的概率是多少？ ⑵两数之和不低于10的结果有多少种？ 两数之和不低于10的的概率是多少？
第
二 6 7 8 9 10 11 12
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。

当 n ＝ k 时，称n个元素的全排列．共有n！种。
例如：从3个元素取 出2个的排列总数有6种
P32 6
pnk n(n 1)(n 2)
(n k 1) n! (n k)!
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选讲部分
(4) 不同元素的重复排列
从n个不同的元索中，有放回地取k个元素进行的排
列，共有 nk 种（元素允许重复 1 k n）。
nH
1061 2048 6019 12012
f (H ) n的增大 1 .
2
f
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
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一、事件的频率
从上表中可以看出,出现 正面向上的频率 fnA
虽然随 n的不同而变动 ,但总的趋势是随着试验次 数的增加而逐渐稳定在0.5 这个数值上.
i 1
i 1
An 两两互斥 P( Ai ) P( Ai )
i 1
i 1
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三、概率的性质
性质3 若A, B为两个任意的随机事件，则 P( A B) P( A) P( AB).
证明 A ( A B) AB,又(A B) AB P( A) P( A B) P( AB) P(A B) P(A) P(AB)
性质4 若A, B为两个随机事件,A B,则
P( A) P(B), P(B A) P(B) P( A).
性质5 设 A 是 A的对立事件，则 P(A) 1 P(A).
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三、概率的性质
性质6 ( 加法公式) 对于任意两事件 A, B 有
P( A B) P( A) P(B) P( AB).
=
nA n

2
0
A B
表示事件A与事件B中至少有一个事件发生,称此事
件为事件A与事件B的和（并）事件,或记为A+B. 事件A1，A2，…An 的和记为 ,或A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An
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表示事件A与事件B同时发生, 称为事件A与事件B的 积（交）事件，记为AB。积事件AB是由A与B的公共
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例1.27 一张英语试卷，有10道选择填空题，每题有4 个选择答案，且其中只有一个是正确答案.某同学投机 取巧，随意填空，试问他至少填对6道的概率是多大？
解 设B=“他至少填对6道”.每答一道题有两个可能的 结果：A=“答对”及 =“答错”，P（A）=1/4，故 作10道题就是10重贝努里试验，n=10，所求概率为
定义1.2: 设事件A在n次重复试验中发生了k次, n很大时, 频率 稳定在某一数值p的附近波动,而随着试验次数 n的增加，波动的幅度越来越小，则称p为事件A发生的 概率，记为 P ( A) p
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2、概率的公理化定义
定义1.3
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概率的性质：
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解 设A1，A2，A3表示产品来自甲、乙、丙三个车间， B表示产品为“次品”的事件，易知A1，A2，A3是样本 空间Ω的一个划分，且有 P（A1）=0.45，P(A2)=0.35，P(A3)=0.2， P(B｜A1)=0.04，P(B｜A2)=0.02，P(B｜A3)=0.05.
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第三节 条件概率、全概率公式
1、条件概率的定义
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• 考察有两个小孩的家庭，其样本空间为{bb,bg,gb,gg} • （1）事件A=“家中至少有一个女孩“发生的概率？ • (2)若已知事件B=“家中至少有一个男孩”，再求事 件A发生的概率？ •

两直线平行的概率
总结词：基于角度
详细描述：两直线平行的概率可以通过比较两直线的角度来计算，如果两直线之间的角度为90度，则它们平行的概率为1，如 果角度不为90度，则概率为0。
投掷n次骰子出现k次的概率
总结词
基于组合和排列
详细描述
投掷n次骰子出现k次的概率可以通过组合和排列的知识来计 算，公式为 P(出现k次) = C(n, k) * (1/6)^k * (5/6)^(n-k)， 其中C(n, k)表示组合数，即从n个不同元素中取出k个元素的 组合数。
几何概率的未来发展
理论完善
随着研究的深入，几何概率的理 论体系将进一步完善，为相关领 域提供更精确的概率度量工具。
应用拓展
随着科技的进步和应用需求的增 加，几何概率将在更多领域得到 应用，如人工智能、大数据分析
等。
跨学科融合
几何概率将与其他学科领域进行 更深入的交叉融合，如数学、物 理学、生物学等，为解决复杂问
解释
如果两个事件不能同时发生，那 么它们发生的概率之和等于它们 各自发生的概率之和。
概率的乘法定理
概率的乘法定理
如果事件A和B是相互独立的，那么 $P(A cap B) = P(A) times P(B)$。
解释
如果一个事件的发生不影响另一个事 件的发生，那么这两个事件同时发生 的概率等于它们各自发生的概率的乘 积。
概率的完备性
概率的完备性
对于任何事件A，有$0 leq P(A) leq 1$。
解释
事件的概率值总是在0和1之间，其中 0表示事件不可能发生，1表示事件一 定会发生。
04 几何概率的实例分析
点在多边形内的概率
总结词：基于面积
详细描述：点在多边形内的概率可以通过多边形的面积和整个图形的面积来计算，公式为 P(点在多边 形内) = 多边形面积 / 图形总面积。

m?????若对于一随机试验每个样本点出现是等可能的样本空间所含的样本点个数为无穷多个且具有非零的有限的几何度量即则称这一随机试验是一几何概型的20义定义当随机试验的样本空间是某个区域并且任量意一点落在度量长度面积体积相同的子区域是等可能的则事件a的概率可定义为?mamap??说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时就归结为几何概率
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即
10 对于每一个事件B, 有 1 P(B | A) 0.
20 P(S | A) 1.
30 设B1 , B2 ,两两互不相容, 则
P( Bi | A) P(B i | A).
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
(1) P( | A) 0.
(2) 设B1 ,B2 ,, Bn两两互不相容,则
n
n
P( Bi | A) P(B i | A).
30
i1
i1
(3) P(B | A) 1 P(B | A).
(4) P(B C | A) P(B | A) P(C | A) - P(BC | A).
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
32
(二) 乘法公式: 由条件概率定义, 立即可得P(A) 0, 则有 P(AB) P(A)P(B | A).
注 当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无 条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.

P( AB) P( A) P( B) P( A B)
P( A) P( B) 1 0.3 —— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( AB) P( A) 0.6
—— 最大值
最大值在 P( A B) P( B) 时取得
三.几何概率
早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的. 把等可能推广到无限个样本点场合,人们 引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另 一方法——几何方法.
P( AB ) P( A) P( AB) 0.7 0.1 0.6 (2) P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.8
(1)
(3) P( A B) P( A B) 0.2
例2 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在 何条件下， P(AB) 取得最大(小)值？最大(小) 值是多少？ 解 P( A B) P( A) P( B) P( AB)
P ( Ai ) P ( Ai )
i 1 i 1 n n 1 i j n
P( A A )
i j
1 i j k n
P( A A A )
i j k
„ ( 1)
n1
P ( A1 A2 „ An )
例1 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能 答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王 (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率 解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题”

卧室 卧室
第3页/共28页
书房
第4页/共28页
问题:图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规 定当指针指向黄色区域时，甲获胜，否则乙获胜。 在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少？
(1)
(2)
第5页/共28页
问题: 甲获胜的概率与区域的位置有关吗？与图形的大 小有关吗?甲获胜的可能性是由什么决定的？
落在60°的终边上，任作一条
射线OA，则射线落在∠xOT内
的概率是__1__
y
6
第20页/共28页
练习：
1、在等腰直角△ABC中，在斜
边AB上任取一点M，
求AM的长小于AC的长的概率。
2 2
2、在等腰直角△ABC中，
过直角顶点C在∠ACB内部任作一
条射线CM,与线段AB交于点M,
面积为 S 11 1 事件A：父亲在离开家前能拿 到报纸
所构成的区域
0
6.5 7.5
A (x, y) | y x,6.5 x 7.5,7 y 8
即图中的阴影部分，面积为： 这是个几何概型，所以
SA
1
1 2
1 2
1 2
7 8
P( A) S A 7
第14页S/共28页 8
x(送报人到达的时间)
上均匀的刻上区间[0，1]上的诸数字，另
一半上均匀的刻上区间[1，3]的诸数字
（所有的数字均按大小排列，且0与3重
合）。旋转陀螺，求它停下时，其圆周上
触及桌面的刻度为于[0.5，1.5]上的概率
第12页/共28页
二、面积型：例2.假设你家订了一份报纸,送报人
可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离 开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在 离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?

练习
等可能概型
解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。
设 A= “ 取到的两只都是白球 ”，
B= “ 取到的两只球颜色相同 ”，
C= “ 取到的两只球中至少有一只是白球”。
有放回抽取:
42
4222
P(A) 62 0.444 P(B) 62 0.556
22 P(C)1P(C)1620.889
例(会面问题) 两人约定在早上8点至9点在某地会
面，先到者等15分钟离去。假定每人在1小时的任 何时刻到达都是等可能的，求两人会面的概率。
解：设两人的到达时刻分别为x和y,则
0 x 6,0 0 y 60
两人能会面的充要条件是
xy 15
如图，问题转化为平面区域：
{x ( ,y)0x 6,0 0 y 6}0
n! n 1 !.... n m !
4 随机取数问题
例4 从1到200这200个自然数中任取一个,
(1)求取到的数能被6整除的概率 (2)求取到的数能被8整除的概率 (3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率
解:N(S)=200, N(1)=[200/6]=33,
N(2)=[200/8]=25
频率的性质
(1) 0 fn(A) 1； (2) fn(S)＝1； fn( )=0 (3) 可加性：若AB＝ ，则
fn(AB)＝ fn(A) ＋fn(B).
实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，即可将 P(A)作为事件A的概率
四. 概率的公理化定义（数学定义）
练习
等可能概型
例 2 一口袋装有6只球,其中4只白球、2只红球。从 袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两种取球方 式：

概率的性质
性质1 P() 0
注意事项
但反过来，如果P（A）=0，未必有A=Φ 例如：
一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有[0 , 5) 上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周 与桌面接触处的刻度为2的概率等于0，但该事件有可 能发生。
性质2 P(Ā)=1- P(A) 证：因为 A∪Ā=Ω 且 A∩Ā=Φ 由定义中的规范性知 P(A∪Ā)=P(Ω)=1 又由完全可加性知 P(A∪Ā)= P(Ā)+P(A)=1 所以 P(Ā)=1- P(A)
• 概率的概念 • 古典概型 • 几何概型 • 概率的公理化定义
第一节 概率的概念
尽管随机事件有随机性，但在一次试验中 发生的可能性大小是客观存在的，而且是可以 度量的。
随机事件的频率Frequency
随机试验
抛掷一枚均匀的硬币
试验总次数n
将硬币抛掷n次
随机事件
A=“出现正面”
事件A出现次数m 出现正面m次
特点 有一个可度量的几何图形S 试验E看成在S中随机地投掷一点
事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中
P( A)
A 的几何度量 S的几何度量

L( A) L(S )
几何度量--------指长度、面积或体积
几何概型的计算
一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有[0 , 5) 上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周 与桌面接触处的刻度位于区间 [2 , 3] 上的概率。
古典概率的计算：正品率和次品率
设在100 件产品中，有 4 件次品，其余均为正 品．
这批产品的次品率
n＝ 100
mA＝4
任取3件，全是正品的概率
P( A) 4 0.04 100

（1≤ k≤ n)的不同排列总数为：
nn nnk
例如：从装有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张
第1张 第2张 第3张
1 2 34
n=4,k =3
1
1
1
2
2
2 共有4.4.4=43种可能取法
3
3
3
4
4
4
18
2、组合: 从n个不同元素取 k个
（1kn)的不同组合总数为：
Cnk
Pnk k!
n! (nk)!k!
SC I ENCE
问：在多大程度上认为这样的结果 是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？
21
解：七个字母的排列总数为7！
拼成英文单词SCIENCE 的情况数为
224
故该结果出现的概率为：
p4 1 0.00079 7! 1260
这个概率很小，这里算出的概率有如 下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试 验，则我们所关心的事件在1260次试验中 大约出现1次 .
设完成一件事有m个步骤，
第一个步骤有n1种方法，
第二个步骤有n2种方法, …；
第m个步骤有nm种方法,
则完成这件事共有
n1n2 nm
必须通过每一步骤, 才算完成这件事，
种不同的方法 .
14
例如，若一个男人有三顶帽子和两件 背心，问他可以有多少种打扮？
可以有 32 种打扮
15
加法原理和乘法原理是两个很重要 计数原理，它们不但可以直接解决不少 具体问题，同时也是推导下面常用排列 组合公式的基础 .
称这种试验模型为等可能概型 或古典概型.
8
二、古典概型中事件概率的计算
记 S e 1 ,e 2 , ,e n ;A i e i i 1 , ,n ,