31用表格表示的变量间关系

第01讲用表格表示的变量间关系(3类热点题型讲练)1.从表格的数据中分清什么是变量，自变量、因变量以及因变量随自变量的变化情况.（重点）2.对表格所表达的两个变量关系的理解.（难点）知识点01常量与变量一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量．在变化过程中，数值始终不变的量叫做常量．知识点02自变量与因变量如果在一变化过程中含有两个变量，并且其中一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么主动变化的量是自变量，随着自变量变化而变化的量叫做因变量．区别自变量和因变量有以下三种方法：(1)看变化的先后顺序，自变量是先发生变化的量，因变量是后发生变化的量；(2)看变化的方式，自变量是一个主动变化的量，因变量是一个被动变化的量；(3)看因果关系，自变量是起因，因变量是结果．知识点03用表格表示的变量间关系把自变量x的一系列取值和因变量的对应值列成一个表格来表示变量之间的关系，像这种表示变量之间关系的方法叫做表格法．观察表格要分三步：一是通过表格确定自变量与因变量；二是纵向观察每一列，发现因变量与自变量的对应关系；三是分别横向观察两栏，从中发现因变量随自变量的变化呈现的变化趋势，题型01常量与变量【例题】（2022下·甘肃白银·七年级统考期末）刘老师到加油站加油，如图，这是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（）A．金额B．单价C．数量D．金额和数量【答案】B【分析】根据常量和变量的定义即可求解．【详解】解：∵常量是固定不变的量，变量是变化的量，∴单价是不变的量，而金额随着数量的变化而变化，故选：B．【点睛】本题考查常量和变量，正确理解常量与变量的定义是解题的关键．【变式训练】A．重量和金额B．单价和金额C．重量和单价D．重量、单价和金额【答案】A【分析】根据常量与变量的定义即可判断．【详解】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，单价9.98是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，∴变量是：重量和金额．故选：A．【点睛】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．题型02自变量与因变量题型03用表格表示的变量间关系【例题】（2023上·甘肃兰州·八年级校考期中）下表是某同学做的“观察水的沸腾”实验时所记录的数据：y与所挂物体质量1．（2023下·陕西西安·七年级校考期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度()cm的时间x在13分到20分时，y值逐渐减小，学生的接受能力逐步减弱【分析】（1）根据自变量与因变量的定义即可求解；（2）根据表格中数据即可求解；x=时，y的值最大是59.9，即可求解；（3）根据表格中13（4）根据表格中的数据即可求解．【详解】（1）解：上表反映了提出概念所用的时间x和对概念的接受能力y两个变量之间的关系；（2）解：由表中数据可知：当提出概念所用的时间是7min时，学生的接受能力是56.3；当提出概念所用的时间是17min时，学生的接受能力是58.3；故答案为：56.3，58.3；x=时，y的值最大，是59.9，（3）解：当13所以当提出概念所用时间为13分时，学生的接受能力最强；（4）解：由表中数据可知：当提出概念所用的时间x在2分到13分时，y值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当提出概念所用的时间x在13分到20分时，y值逐渐减小，学生的接受能力逐步减弱．【点睛】本题主要考查了变量及变量之间的关系，理解题意，分析出表格中的数据变化规律，是解题的关键．一、单选题1．（2023上·山西运城·八年级山西省运城中学校校考期中）假期小敏一家自驾游山西，爸爸开车到加油站加油，小敏发现加油机上的数据显示牌（如图）金额随着数量的变化而变化，则下列判断正确的是（）A．金额是自变量B．单价是自变量下列说法错误的是（(5)假设第二天持续下雨（基本与当天降水量一样），则第二天12时超警戒水位__米．【答案】(1)超警戒水位，时间，超警戒水位(2)25.4米(3)25.2米，26米(4)12，20(5) 1.5+【分析】（1）上表反映了超警戒水位与时间之间的关系，其中时间是自变量，超警戒水位是因变量；（2）由表格数据即可得；（3）观察表格，计算出0时水位，24时水位即可得；（4）借助表格，算出在4至8时，警戒水位上升，在8至12时，警戒水位上升，从12时到20时，在12至16时，警戒水位上升，在16至20时，警戒水位上升，在20至24时，警戒水位上升，即可得；（5）观察表格得，第一天12时超警戒水位0.5+米，24时警戒水位 1.0+米，假若第二天持续下雨（基本与第一天降水情况一样），则估计第二天12时超警戒水位 1.5+米．【详解】（1）解：上表反映了超警戒水位随着时间的变化而变化，其中时间是自变量，超警戒水位是因变量；（2）解：估计上午10时超警戒水位0.4米，则估计上午10时的水位是:250.425.4+=(米)，故答案为：25.4米；（3）解：0时水位：250.225.2+=（米）24时水位：25126+=（米），即从0时到24时，水位从25.2米上升到26米，故答案为：25.2米，26米；（4）解：观察表格得，在0至4时，警戒水位上升：()0.250.20.05+-+=（米），在4至8时，警戒水位上升：()0.350.250.1+-+=（米），在8至12时，警戒水位上升：()0.50.350.15+-+=（米），在12至16时，警戒水位上升：0.7(0.5)0.2+-+=（米），在16至20时，警戒水位上升：0.9(0.7)0.2+-+=（米），在20至24时，警戒水位上升： 1.0(0.9)0.1+-+=（米），即从12时到20时，水位上升的最快，故答案为：12，20；（5）解：观察表格得，第一天12时超警戒水位0.5+米，24时警戒水位 1.0+米，假若第二天持续下雨（基本与第一天降水情况一样），则估计第二天12时超警戒水位10.5 1.5++=(米)，∴气温每升高1℃，声音在空气中传播的速度就提高350.6÷=m /s ．故答案为：0.6．（3）解：根据题意：当0C =︒t 时，声音在空气中传播的速度为331m /s ，气温每升高1℃，声音在空气中传播的速度就提高0.6m /s ．∴声音在空气中的传播速度v ()m/s 与气温t （℃）的关系式可以表示为v =0.6y +331故答案为：v =0.6y +331．（4）解：当t =22℃时，v =220.6t+331=344.2⨯m /s ，344.251721⨯=m ，答：小乐与燃放烟花所在地大约相距1721m ．【点睛】本题考查了函数的表示方法，常量与变量，理解常量与变量的定义，求出函数的关系式是解题的关键．。

3.1 用表格表示的变量间关系课标与教材分析：课标要求：探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义。

教材分析：本节课是本章的起始课，与后面三个课时合起来分别呈现的是表示变量之间关系的三种方式——表格法、解析式法和图象法。

本章作为研究变量和函数的起始章节，重在让学生感受和体会生活中的“变量”。

同时，在第一课时还要教给学生用表格呈现实验中变量的数据的方法。

依据变量之间关系的数学表示（表格、解析式和图象）进行预测或推测已知中没有给出的量，也是研究变量之间关系的重要目标之一。

学情分析：1、学生已知道的：学生在七年级上册教材中学习了探索规律，并会从统计图中获取信息。

2、学生能自己解决的：感受和体会生活中的“变量”。

3、需要教师指导解决的：在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，从表格中获得变量之间关系的信息。

教学目标：1．经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，获得探索变量之间关系的体验，进一步发展符号感。

2．在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之间关系的例子。

3．学会用表格整理试验得出的数据，能从表格中获得变量之间关系的信息，并根据表格中的资料尝试对变化趋势进行初步的预测。

教学重点:在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，从表格中获得变量之间关系的信息。

教学难点：在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，从表格中获得变量之间关系的信息。

创新支点：通过活动让学生体会不同情境下的变量之间的关系。

教学评价：1、通过具体例子理解变量、自变量、因变量、常量这些概念，同时体会表格对于数据的整理和呈现起到的作用。

2、最佳小组综合评选。

教学方法：自主学习，合作交流教学媒体：电子黑板综合使用教学过程：第一环节：构建动场活动内容: 以地壳随时间推移而运动为例，让学生关注到我们生活在变化的世界中,很多东西都在发生变化,请学生列举一些日常生活中常见的发生变化的事物。

如:随年龄的增长，身高、体重都发生了变化；随着时间的变化汽车行驶的路程也在变化；烧一壶水10分钟水开了，时间和水温的变化；……第二环节：合作探究活动内容:1.儿童从出生到10岁的体重变化。

3.1用表格表示的变量间关系基础训练1.某人要在规定时间内加工100个零件,则工作效率y与时间t之间的关系中,下列说法正确的是()A.y,t和100都是变量B.100和y都是常量C.y和t是变量D.100和t都是常量2.下表是某报纸公布的世界人口数情况:年份19571974198719992010人口数30亿40亿50亿60亿70亿上表中的变量是()A.仅有一个,是年份B.仅有一个,是人口数C.有两个变量,一个是人口数,另一个是年份D.一个变量也没有3.某种报纸的价格是每份0.4元,买x份报纸的总价为y元,填写下表.份数/份价钱/元1234……在这个问题中,___________是常量;__________是变量.4.王老师开车去加油站加油,发现加油表如图所示.加油时,单价其数值固定不变,表示“数量”、金额”的量一直在变化,在数量2.45(升)金额16.66(元)单价6.80(元/升)这三个量中,是常量,是自变量,是因变量.5.在利用太阳能热水器来加热水的过程中,热水器里的水温随所晒时间的长短而变化,这个问题中因变量是()A.太阳光强弱B.水的温度C.所晒时间D.热水器6.一个圆柱的高h为10cm,当圆柱的底面半径r由小到大变化时,圆柱的体积V也发生了变化,在这个变化过程中()A.r是因变量,V是自变量B.r是自变量,V是因变量C.r是自变量,h是因变量D.h是自变量,V是因变量7.声音在空气中传播的速度y(m/s)(简称声速)与气温x(℃)的关系如下表所示.气温x/℃声速y/(m/s)3315334103371534020343上表中___________是自变量,__________是因变量.照此规律可以发现,当气温x为__________℃时,声速y达到346m/s.8.弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度y(cm)与所挂的物体的质量x(kg)间有下面的关系:x/kg012345y/cm1010.51111.51212.5下列说法不正确的是()A.x与y都是变量,且x是自变量,y是因变量B.弹簧不挂重物时的长度为0cmC.在弹性限度内,物体质量每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cmD.在弹性限度内,所挂物体质量为7kg时,弹簧长度为13.5cm9.某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时,主要依据的是下表的数据:鸭的质量/kg 烤制时间/min 0.51 1.52 2.53 3.54 406080100120140160180设烤鸭的质量为x kg,烤制时间为t min,估计当x=3.2时,t的值为()A.140B.138C.148D.16010.赵先生手中有一张记录他从出生到24岁期间的身高情况表(如下表所示):年龄x/岁03691215182124身高h/cm48100130140150158165170170.4对于赵先生从出生到24岁期间身高情况下列说法错误的是()A.赵先生的身高增长速度总体上先快后慢B.赵先生的身高在21岁以后基本不长了C.赵先生的身高从0岁到21岁平均每年约增高5.8cmD.赵先生的身高从0岁到24岁平均每年增高7.1cm提升训练11.父亲告诉小明:“距离地面越高,气温越低.”并给小明出示了下面的表格:距离地面高度/km012345气温/℃201482-4-10根据上表,父亲还给小明出了下面几个问题,你和小明一起回答.(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)如果用h表示距离地面的高度,用t表示温度,那么随着h的变化,t 是怎么变化的?(3)你知道距离地面6km的高空气温是多少吗?12.在烧水时,水温达到100℃就会沸腾,下表是某同学做“观察水的沸腾”试验时记录的数据:时间/min 温度/℃0302444586728101214…86100100100…(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)水的温度是如何随着时间的变化而变化的?(3)时间每推移2min,水的温度如何变化?(4)时间为8min时,水的温度为多少?你能得出时间为9min时水的温度吗?(5)根据表格,你认为时间为16min和18min时水的温度分别为多少?(6)为了节约能源,你认为应在什么时间停止烧水?13.心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:min)之间有如下关系(其中0≤x≤20):提出概念所257101213141720用时间x/min对概念的接47.853.556.35959.859.959.858.355受能力y(注:接受能力值越大,说明学生的接受能力越强)(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)当提出概念所用时间是10min时,学生的接受能力是多少?(3)根据表格中的数据,你认为提出概念所用时间为多少时,学生的接受能力最强?(4)从表格中可知,当提出概念所用时间x在什么范围内时,学生的接受能力逐步增强?当提出概念所用时间x在什么范围内时,学生的接受能力逐步降低?参考答案1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】0.4;0.8;1.2;1.6;0.4;x,y4.【答案】单价;数量;金额5.【答案】B解：所晒时间和水的温度都是变量,但水的温度随所晒时间的变化而变化,所以所晒时间是自变量,水的温度是因变量.6.【答案】B7.【答案】气温;声速;25解：气温是自变量,声速是因变量,气温每上升5℃,声速增加3m/s,而x=20时,y=343,所以当x=25时,y=346.8.【答案】B9.【答案】C10.【答案】D解：(170.4-48)÷24=5.1(cm),从0岁到24岁平均每年增高7.1cm是错误的.11.解:(1)反映了距离地面高度与气温之间的关系.距离地面高度是自变量,气温是因变量.(2)随着h的升高,t逐渐降低.(3)观察表格,可得距离地面高度每上升1km,气温下降6℃.当距离地面5km时,气温为-10℃,故当距离地面6km时,气温为-16℃.12.解:(1)上表反映了水的温度与时间的关系,时间是自变量,水的温度是因变量.(2)水的温度随着时间的增加而增加,到100℃时恒定.(3)时间每推移2min,水的温度增加14℃,到10min时恒定.(4)时间为8min时,水的温度是86℃,时间为9min时,水的温度是93℃.(5)根据表格,时间为16min和18min时水的温度均为100℃.(6)为了节约能源,应在第10min后停止烧水.13.解:(1)反映了提出概念所用的时间x和对概念的接受能力y两个变量之间的关系;其中x是自变量,y是因变量.(2)由表格可知,当提出概念所用时间是10min时,学生的接受能力是59.(3)由表格可知提出概念所用时间为13min时,学生的接受能力最强.(4)当x在2至13的范围内,学生的接受能力逐步增强;当x在13至20的范围内,学生的接受能力逐步降低.。

变量之间的关系【基础知识】知识网络自变量变量的概念因变量变量之间的关系 1.表格法2.关系式法变量的表达方法速度时间图象3.图象法路程时间图象知识点一、变量、自变量、因变量1、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。

2、如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。

3、自变量与因变量如何确定：（方法技巧）（1）自变量是先发生变化的量；因变量是后发生变化的量。

（2）自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。

（3）利用具体情境来体会两者的依存关系。

知识点二：变量的表示方法1.列表法1.定义：表格是采用数表相结合的形式，运用表格表示两个变量之间的关系，从中获取信息、研究不同量之间的关系。

（1）首先要明确表格中所列的是哪两个变量；（2）分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量；列表时一般第一行代表自变量，第二行代表因变量.（3）自变量从小到大的顺序列出，再分别求出对应的因变量的值。

结合实际情境理解它们之间的关系。

特点：优点：直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，缺点：具有局限性，只能表示因变量的一部分。

2.关系式法（又叫解析式法）1、定义：关系式（即解析式）是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，通常是用含有自变量（用字母表示）的代数式表示因变量（也用字母表示），这样的数学等量关系式叫做关系式。

2、本质：是数学等量关系式3.写法注意，必须将因变量单独写在等号的左边。

3、求关系式的方法：--（就是找等量关系）类型：（1）将自变量和因变量看作两个未知数，根据等量关系，并最终写成关系式的形式。

（2）根据表格中所列的数据相同的变化关系写出变量之间的关系式；（例如：y变化一样都和第一个比）（3）根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式；（4）根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。

注：有些表达式要分段写出（分类讨论思想），例如：分段收水费（煤气费、电话费）等.4、关系式的应用：（代入法）（1）利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值；代入法格式：当x= ，y=（2）同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值；当y= ，x=5.特点：优点：关系简洁，清楚、准确，知一变量可求另一变量。

专题08 用表格、关系式表示的变量间关系知识网络重难突破知识点一用表格表示的变量间关系1、常量与变量在某个变化过程中，保持同一数值的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量．2、自变量与因变量一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量．注意：区别：自变量是先发生变化或主动发生变化的量；因变量是后发生变化或随着自变量的变化而变化的量；联系：两者都是某一变化过程中的变量；两者因研究的侧重点或先后顺序不同可以相互转化．3、从表格中寻找变化规律（1）弄清表中所列的是哪两个量，即分清哪一个是自变量，哪一个是因变量；（2）结合现实情景理解两个变量之间的关系，是增加还是减少还是呈规律性的起伏变化．典例1（2018春•金牛区期末）小邢到单位附近的加油站加油，如图是小邢所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是()A．金额B．数量C．单价D．金额和数量【解答】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，故选：D．典例2（2018春•成华区期末）在弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得弹簧的长度()y cm与所挂物体的质量()x kg之间有如下表关系：x kg01234⋯()y cm1010.51111.512⋯()下列说法不正确的是()A．y随x的增大而增大B．所挂物体质量每增加1kg弹簧长度增加0.5cmC．所挂物体为7kg时，弹簧长度为13.5cmD．不挂重物时弹簧的长度为0cm【解答】解：A、y随x的增大而增大，正确；B、所挂物体质量每增加1kg弹簧长度增加0.5cm，正确；C、所挂物体为7kg时，弹簧长度为13.5cm，正确；D、不挂重物时，弹簧的长度为10cm，错误；故选：D．知识点二用关系式表示变量间关系1、用关系式表示两个变量间的关系表示自变量与因变量之间关系的数学式子叫作关系式．关系式是表示变量之间关系的另一种方法．注意:（1）关系式一般是用含自变量的代数式表示因变量的等式；（2）实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来；（3）有些问题中，自变量是有范围的，列关系式时要注明自变量的取值范围．2、利用关系式求值根据关系式求值实际上就是求代数式的值．注意：已知自变量的值利用关系式求因变量的值实质是求代数式的值，已知因变量的值利用关系式求自变量的值实质是解方程．典例1（2019春•锦江区期末）有一辆汽车储油50升，从某地出发后，每行驶1千米耗油0.12升，如果设剩余油量为y（升)，行驶的路程为x（千米），则y与x的关系式为．【解答】解：如果设剩余油量为y（升)，行驶的路程为x（千米），则y与x的关系式为500.12=-，y x故答案为：500.12=-．y x典例2（2018秋•成都期中）已知y与x的部分对应关系如下表：则可得y与x的一个关系式．【解答】解：由题可得，y的值等于x的值的3-倍，∴=-，3y x故答案为：3y x=-．典例3（2019春•郫都区期中）观察图象，解答问题：（1）把这样的2个圆环扣在一起并拉紧（如图2)，长度为多少？（2）若用x个这样的圆环相扣并拉紧，长度为y厘米，求y与x之间的关系式．【解答】解：（1）由图可知，把这样的2个圆环扣在一起并拉紧（如图2)，长度为：8(812)8614+-⨯=+=（厘米），即把这样的2个圆环扣在一起并拉紧（如图2)，长度为14厘米；（2）由题意可得，y x x=+-=+，86(1)62即y与x的函数关系式为62=+．y x巩固训练一、单选题（共5小题）1．（2019春•罗湖区期中）一本笔记本5元，买x本共付y元，则5和y分别是() A．常量，常量B．变量，变量C．常量，变量D．变量，常量【解答】解：一本笔记本5元，买x本共付y元，则5和y分别是常量，变量．故选：C．2．（2019春•通川区期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度()x kg之y cm与所挂的物体的质量()间有下面的关系：/x kg012345/y cm1010.51111.51212.5下列说法不正确的是()A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量B．弹簧不挂重物时的长度为0 cmC．物体质量每增加1 kg，弹簧长度y增加0.5 cmD ．所挂物体质量为7 kg 时，弹簧长度为13.5 cm【解答】解：A 、y 随x 的增加而增加，x 是自变量，y 是因变量，故A 选项正确；B 、弹簧不挂重物时的长度为10cm ，故B 选项错误；C 、物体质量每增加1kg ，弹簧长度y 增加0.5cm ，故C 选项正确；D 、由C 知，100.5y x =+，则当7x =时，13.5y =，即所挂物体质量为7kg 时，弹簧长度为13.5cm ，故D选项正确； 故选：B ．3．（2019春•太原期末）一种手持烟花，这种烟花每隔0.5秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径，爆炸时的高度均相同．皮皮小朋友发射出的第一发花弹的飞行高度h （米）随飞行时间t （秒）变化的规律如下表所示．下列这一变化的过程说法正确的是（ ）A ．飞行时间t 每增加0.5秒，飞行高度h 就增加5.5米B ．飞行时间t 每增加0.5秒，飞行高度h 就减少5.5米C ．估计飞行时间t 为5秒时，飞行高度h 为11.8米 D ．只要飞行时间t 超过1.5秒后该花弹爆炸，就视为合格【解答】解：从表格可以看到0秒到3秒的过程中，随着飞行时间的增加，飞行高度增加； 从3秒以后，随着飞行时间的增加，飞行高度减小； 因此，A 与B 选项不正确；从表格看到飞行高度在3秒左右是对称的，所以C 选项正确； 从已知中没有涉及合格的标准，所以D 不正确； 故选：C ．4．声音在空气中传播的速度与气温的关系如下表，根据表格分析下列说法错误的是（ ）A ．在这个变化过程中，气温是自变量，声速是因变量B ．声速随气温的升高而增大C ．声速v 与气温T 的关系式为330v T =+D ．气温每升高10C ︒，声速增加6/m s【解答】解：A 、在这个变化过程中，气温是自变量，声速是因变量，正确，不合题意；B 、声速随气温的升高而增大，正确，不合题意；C 、声速v 与气温T 的关系式为33305v T =+，故此选项错误，符合题意；D 、气温每升高10C ︒，声速增加6/m s ，正确，不合题意．故选：C ．5．（2017春•温江区期末）如表列出了一项实验的统计数据：它表示皮球从一定高度落下时，下落高度y 与弹跳高度x 的关系，能表示变量y 与x 之间的关系式为( ) A ．210y x =-B ．2y x =C ．25y x =+D ．5y x =+【解答】解：根据题意，设函数关系式为y kx b =+， 则30504580k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得：210k b =⎧⎨=-⎩，则210y x =-． 故选：A ．二、填空题（共5小题）6．（2018春•成华区期末）某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，其中 是自变量， 是因变量．【解答】解：根据题意知，公司的销售收入随销售量的变化而变化， 所以销售量是自变量，收入数为因变量． 故答案为：销售量，销售收入．7．（2018春•太原期中）地表以下岩层的温度(C)y ︒随着所处深度()x km 的变化而变化，在某个地点y 与x 之间有如下关系：/x km1 2 3 4 /C y ︒5590125160根据表格，估计地表以下岩层的温度为230C ︒时，岩层所处的深度为 km ． 【解答】解：设Y kx b =+， 则把(1,55)，(2,90)代入得： 55290k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：3520k b =⎧⎨=⎩，故3520Y k =+，则当230Y =时，2303520x =+， 解得：6x =， 故答案为：6． 故答案为：6y x =．8．（2018秋•新密市校级期中）米店买米，数量x （千克）与售价y （元)之间的关系如下表： /x 千克0.5 1 1.5 2⋯ /y 元 1.30.1+ 2.60.1+ 3.90.1+ 5.20.1+⋯则售价y 与数量x 之间的关系式是 ．【解答】解：售价y 与数量x 之间的关系式是 2.60.1y x =+， 故答案为： 2.60.1y x =+．9．（2018春•和平区校级期中）如图所示，一边靠校园院墙，另外三边用50m 长的篱笆，围起一个长方形场地，设垂直墙的边长为()x m ，则长方形场地面积2()y m 与x 的关系式为 ．【解答】解：由题意可得：(502)y x x =-， 即2250y x x =-+， 故答案为：2250y x x =-+．10．（2018春•铁西区校级期中）为了美化校园，学校计划修建6个完全相同的长方形花坛．如果每个花坛的一条边长为10米，另一条边长为x ，花坛总面积为S 平方米，那么S 与x 之间的关系式可表示为 ． 【解答】解：由题意，得 10660S x x ==，所以S 与x 之间的关系式可表示为60S x =． 故答案为：60S x =．三、解答题（共3小题）11．（2019春•昌图县期末）为了解某品牌轿车以80/km h 匀速行驶的耗油情况，进行了试验：该轿车油箱加满后，以80/km h 的速度匀速行驶，数据记录如下表：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？自变量、因变量各是什么？（2）油箱剩余油量Q （升)与轿车行驶的路程s （千米）之间的关系式是什么？（3）若小明将油箱加满后，驾驶该轿车以80/km h 的速度匀速从A 地驶往B 地，到达B 地时油箱剩余油量为5升，求两地之间的距离．【解答】解：（1）上表反映了轿车行驶的路程s （千米）和油箱剩余油量Q （升)之间的关系，其中轿车行驶的路程s （千米）是自变量，油箱剩余油量Q （升)是因变量； （2）由题可得，950100Q s =-； （3）将5Q =代入得，9550100s =-， 解得500s =，即两地之间相隔500千米．12．（2019春•大邑县期中）大坪山合作社向外地运送一批李子，由铁路运输每千克需运费0.6元；由公路运输，每千克需运费0.25元，运完这批李子还需其他费用800元．（1）该合作社运输的这批李子为xkg ，选择铁路运输时，所需费用为1y 元，选择公路运输时，所需费用为2y 元．请分别写出1y ，2y 与x 之间的关系式．（2）若合作社只支出运费1500元，则选用哪种运输方式运送的李子重量多？ 【解答】解：（1）由题意可得， 10.6y x =， 20.25800y x =+；（2）当1500y =时，15000.6x =，解得2500x =，即选择铁路运输时，运送的李子重量为2500千克； 15000.25800x =+，解得2800x =，即选择公路运输时，运送的李子重量为2800千克．所以选择公路运输运送的李子重量多．13．（2019春•济南期中）为了解某品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如表数据：（1）该轿车油箱的容量为 L ，行驶150km 时，油箱剩余油量为 L ； （2）根据上表的数据，写出油箱剩余油量()Q L 与轿车行驶的路程()s km 之间的表达式；（3）某人将油箱加满后，驾驶该轿车从A 地前往B 地，到达B 地时邮箱剩余油量为26L ，求A ，B 两地之间的距离．【解答】解：（1）由表格中的数据可知，该轿车油箱的容量为50L ，行驶150km 时，油箱剩余油量为：15050838()100L -⨯=． 故答案是：50；38；（2）由表格可知，开始油箱中的油为50L ，每行驶100km ，油量减少8L ，据此可得Q 与s 的关系式为500.08Q s =-；故答案是：500.08Q s =-；（3）令26Q =，得300s =．答：A，B两地之间的距离为300km．。

变量之间的关系撰稿：康红梅 责编：李爱国【学习目标】1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）；2．感受生活中存在的变量之间的依赖关系.3．能读懂以不同方式呈现的变量之间的关系.4. 能用适当的方式表示实际情境中变量之间的关系，并进行简单的预测.【要点梳理】要点一、变量、常量的概念在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值始终不变的量叫做常量. 要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，60s t =，速度60千米/时是常量，时间t 和里程s 为变量. t 是自变量，s 是因变量.要点二、用表格表示变量间关系借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况.要点诠释：表格可以清楚地列出一些自变量和因变量的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等.要点三、用关系式表示变量间关系关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法.利用关系式（如3y x =），我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值.要点诠释：关系式能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的变量之间都能列出关系式.要点四、用图象表示变量间关系图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观.用图象表达两个变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量.要点诠释：图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势，而且对于一些无法用关系式表达的变量，图象可以充当重要角色.【典型例题】类型一、常量、自变量与因变量1、对于圆的周长公式C=2πR，下列说法正确的是（ ）A ．π、R 是变量，2是常量B ．R 是变量，π是常量C ．C 是变量，π、R 是常量D ．C 、R 是变量，2、π是常量【思路点拨】常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量．【答案】D ；【解析】解：C 、R 是变量，2、π是常量．【总结升华】本题主要考查了常量，变量的定义，是需要识记的内容．举一反三：【变式】从空中落下一个物体，它降落的速度随时间的变化而变化，即落地前速度随时间的增大而逐渐增大，这个问题中自变量是（）A．物体 B．速度 C．时间 D．空气【答案】C.类型二、用表格表示变量间关系2、已知某易拉罐厂设计一种易拉罐，在设计过程中发现符合要求的易拉罐的底面半径与铝用量有如下关系：底面半径x（cm） 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0用铝量y（cm3） 6.9 6.0 5.6 5.5 5.7 6.0 6.5（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）当易拉罐底面半径为2.4cm时，易拉罐需要的用铝量是多少？（3）根据表格中的数据，你认为易拉罐的底面半径为多少时比较适宜？说说你的理由．（4）粗略说一说易拉罐底面半径对所需铝质量的影响．【思路点拨】（1）用铝量是随底面半径的变化而变化的，因而底面半径为自变量，用铝量为因变量；（2）根据表格可以直接得到；（3）选择用铝量最小的一个即可；（4）根据表格，说明随底面半径的增大，用铝量的变化即可．【答案与解析】解：（1）易拉罐底面半径和用铝量的关系，易拉罐底面半径为自变量，用铝量为因变量.（2）当底面半径为2.4cm时，易拉罐的用铝量为5.6cm3.（3）易拉罐底面半径为2.8cm时比较合适，因为此时用铝较少，成本低.（4）当易拉罐底面半径在1.6～2.8cm变化时，用铝量随半径的增大而减小，当易拉罐底面半径在2.8～4.0cm间变化时，用铝量随半径的增大而增大．【总结升华】根据表格理解：随底面半径的增大，用铝量的变化情况是关键．类型三、用关系式表示变量间关系3、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝10，设P为BC上任一点，点P不与点B、C重合，且CP＝x．若y表示△APB的面积．(1)求y与x之间的关系式；(2)求自变量x的取值范围．【答案与解析】解： (1)因为AC＝6，∠C＝90°，BC＝10，所以116103022ABC S AC BC ∆==⨯⨯=． 又116322APC S AC PC x x ∆==⨯⨯=， 所以303APB ABC APC y S S S x ∆∆∆==-=-，即303y x =-．(2)因为点P 不与点B 、C 重合，BC ＝10，所以0＜x ＜10．【总结升华】利用三角形面积公式找到变量之间的关系式，要把握点P 是一动点这个规律，结合图形观察到点P 移动到特殊点，便可求出自变量的取值范围．举一反三：【变式】 小明在劳动技术课中要制作一个周长为80cm 的等腰三角形．请你写出底边长y (cm )与腰长x (cm )的关系式，并求自变量x 的取值范围．【答案】解：由题意得，2x y +＝80,所以802y x =-，由于三角形两边之和大于第三边，且边长大于0，所以080202802x y x x x >⎧⎪=->⎨⎪>-⎩，解得2040x << 所以802,2040y x x =-<<.类型四、用图象表示变量间关系4、星期日晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离s （m ）与散步所用的时间t （min ）之间的关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂志，然后回家了．依据图象回答下列问题（1）公共阅报栏离小红家有______米，小红从家走到公共阅报栏用了______分钟；（2）小红在公共阅报栏看新闻一共用了______分钟；（3）邮亭离公共阅报栏有______米，小红从公共阅报栏到邮亭用了______分钟；（4）小红从邮亭走回家用了______分钟，平均速度是______米／分钟．【答案】（1）300，4；（2）6；（3）200，3；（4）5，100.【解析】由图象可知，0到4分钟，小红从家走到离家300米的报栏，4到10分钟，在公共报栏看新闻，10到13分钟从报栏走到200米外的邮亭，13到18分钟，从离家500米的邮亭返回家里.【总结升华】这个图象是由几条线段组成的折线，其中每条线段代表一个阶段的活动.这条线段左右端点的横坐标的差，对应相应活动所用的时间.举一反三：【变式】一列货运火车从南京站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一个车站停下，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次开始匀速行驶，可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是( )．【答案】B；。

3.1用表格表示的变量间关系题型1：常量和变量的辨识1.一本笔记本5元，买x本共付y元，则5和x分别是（）A．常量，变量B．变量，变量C．常量，常量D．变量，常量【变式1-2】分析并指出下列关系中的变量与常量：（1）球的表面积S cm2与球的半径R cm的关系式是S＝4πR2；（2）以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h米与小球运动的时间t秒之间的关系式是h＝v0t﹣4.9t2；（3）一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m与它下落的时间t s的关系式是h＝gt2（其中g取9.8m/s2）；（4）已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量W千克与所付款x元之间的关系式是x＝1.8W．自变量和因变量一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x，y并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量.自变量与因变量的联系与区别（1）联系∶二者都是某一变化过程中的变量，因研究的侧重点或先后顺序不同可以互相转化，如当路程一定时，若时间随速度的变化而变化，这时速度是自变量，时间是因变量;当速度一定时，若路程随时间的变化而变化，这时时间是自变量，路程是因变量.（2）区别∶自变量是在一定范围内主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而被动发生变化的量. 题型2：自变量和因变量的辨识2.正方形边长为5厘米，若边长减少x，则面积减少y．下列说法正确的是（）A．边长x是自变量，面积减少量y是因变量B．边长是自变量，面积是因变量C．上述关系式为y＝（5﹣x）2D．上述关系式为y＝52﹣（5﹣x）2【变式2-1】世纪花园居民小区收取电费的标准是0.6元/千瓦时，当用电量为x（单位：千瓦时）时，收取电费为y（单位：元）．在这个问题中，下列说法中正确的是（）A．x是自变量，0.6元/千瓦时是因变量B．0.6元/千瓦时是自变量，y是因变量C．y是自变量，x是因变量D．x是自变量，y是因变量，0.6元/千瓦时是常量【变式2-2】圆的周长公式C＝2πR中，下列说法正确的是（）A．π、R是自变量，2是常量B．C是因变量，R是自变量，2π为常量C．R为自变量，2π、C为常量D．C是自变量，R为因变量，2π为常量用表格表示变量间的关系1.借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况.2.用表格表示两个变量之间关系的步骤（1）确定各行、各列的栏目（一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量）;（2）写出栏目名称并根据问题内容写上单位;（3）在第一行列出自变量的各个变化取值，在第二行对应列出因变量的各个变化取值.一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量随自变量变化的趋势. 3. 用表格表示两个变量之间关系的优缺点（1）优点∶直观，可以直接从表格中找出自变量和因变量的对应值;（2）缺点∶具有局限性，只能部分反映两个变量之间的关系，因此要从这部分数据中得出两个变量之间的关系时，需要对表格中的数据进行分析.题型3：利用表格获取变量的值3.对于气温，有的地方用摄氏温度表示，有的地方用华氏温度表示，从温度计上可以看出，摄氏温度x（℃）与华氏温度y（℉）有如下对应的关系．下列说法不正确的是（）x/℃…﹣100102030…Y/℉…1432506886…A．摄氏温度x（℃）与华氏温度y（℉）都是变量，且摄氏温度（℃）是自变量，华氏温度（℉）是因变量B．随着摄氏温度x的逐渐升高，华氏温度y也逐渐升高C．摄氏温度每升高10℃，华氏温度升高18℉D．当摄氏温度为40℃，华氏温度为102℉题型4：利用表格分析变量的关系4.研究表明，当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系：上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）当氮肥的施用量是101kg/hm2（hm2是单位“公顷”的符号）时，土豆的产量是多少？如果不施氮肥呢？（3）根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？说说你的理由．（4）粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响．【变式4-1】植物呼吸作用受温度影响很大，观察如图，回答问题：（1）此图反映的自变量和因变量分别是什么？（2）温度在什么范围内时豌豆苗的呼吸强度逐渐变强？在什么范围内逐渐减弱？（3）要使豌豆呼吸作用最强，应控制在什么温度左右？要抑制豌豆的呼吸应控制在什么温度左右？．【变式4-2】已知某易拉罐厂设计一种易拉罐，在设计过程中发现符合要求的易拉罐的底面半径与铝用量有如下关系：上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）当易拉罐底面半径为2.4cm时，易拉罐需要的用铝量是多少？（3）根据表格中的数据，你认为易拉罐的底面半径为多少时比较适宜？说说你的理由．（4）粗略说一说易拉罐底面半径对所需铝质量的影响．题型5：利用表格进行规律探究5.一种手持烟花，这种烟花每隔0.5秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径，爆炸时的高度均相同．皮皮小朋友发射出的第一发花弹的飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律如下表所示．下列这一变化的过程说法正确的是（）A.飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就增加5.5米B.飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就减少5.5米C.估计飞行时间t为5秒时，飞行高度h为11.8米D.只要飞行时间t超过1.5秒后该花弹爆炸，就视为合格。