福建省三明市第一中学2019届高三数学上学期半期考复习卷2文

2018—2019学年三明一中高三半期考复习卷2（文科数学）

（三角函数、解三角形、平面向量综合应用）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知角α的终边经过点P(－3,4)，则tan 2α＝( )

A.247

B.83

C．－83

D．－247

2．若函数y＝cosωx(ω∈N*)的一个对称中心是π6，0，则ω的最小值为( )

A．2 B．3 C．6 D．9

3．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝13，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )

A．4 B．－4 C.94 D．－94

4．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝( )

A.14 B.12 C．1 D．2

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若直线bx＋ycosA＋cosB＝0与ax＋ycosB＋cosA＝0平行，则△ABC一定是( )

A．锐角三角形 B．等腰三角形

C．直角三角形 D．等腰或者直角三角形

6．在△ABC中，D是AB中点，点E在AC上，AE→＝16AC→，若AB→＝a，BC→＝b，则DE→＝( )

A.16a－13b B．－16a＋13b C.13a－16b D．－13a＋16b

7．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°.若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝( )

A.32 B．2－3 C.3－1 D.22

8．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( )

A.32 B.332 C.3＋62 D.3＋394

9．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π2)的图象的一个对称中心为(3π8，0)，则函数f(x)的单调递减区间是( )

A．[2kπ－3π8，2kπ＋π8](k∈Z) B．[2kπ＋π8，2kπ＋5π8](k∈Z)

C．[kπ－3π8，kπ＋π8](k∈Z) D．[kπ＋π8，kπ＋5π8](k∈Z)

10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是( )

A．3 B.932 C.332 D．33

11．如图是函数f(x)＝sin 2x和函数g(x)的部分图象，则g(x)的图象可能是由f(x)的图象( )

A．向右平移2π3个单位得到的 B．向右平移π3个单位得到的

C．向右平移7π12个单位得到的 D．向右平移π6个单位得到的

12．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF→·BC→的值为( )

A．－58 B.18 C.14 D.118

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．

13．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝35，cos B＝513，b＝3，则c＝________.

14．已知平面向量a，b满足|b|＝1，且a与b－a的夹角为120°，则a的模的取值范围为________．

15．对任意x、y∈R，恒有sinx＋cosy＝2sin(x＋y2＋π4)cos(x－y2－π4)，则sin13π24cos5π24等于__________．

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B－bcos A＝12c，当tan(A－B)取最大值时，角C的值为________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

(2)设实数t满足(AB→－tOC→)·OC→＝0，求t的值．

18.已知函数f(x)＝sinπ2－xsin x－3cos2x.

(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在[π6，2π3]上的单调性．

19．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行．若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．

(1)求渔船甲的速度；

(2)求sin α的值．

20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝3，cos2A－cos2B＝3sin Acos A－3sin Bcos B.

(1)求角C的大小；(2)若sin A＝45，求△ABC的面积．

21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a3cos A＝csin C.

(1)求A的大小； (2)若a＝6，求b＋c的取值范围．

22．已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点(π12，3)和点(2π3，－2)．

(1)求m，n的值；

(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．

2018—2019学年三明一中高三半期考复习卷2（文科数学）参考答案

1．A 因为tan α＝－43，所以tan 2α＝2tan

α1－tan2α＝2×－431－－432＝247，故选A.

2．B ∵y＝cos ωx的一个对称中心是π6，0，∴cos π6ω＝0，π6ω＝kπ＋π2，k∈Z，

∴ω＝6k＋3，k∈Z，∵ω∈N*，∴ωmin＝3.

3．B

解析：因为n⊥(tm＋n)，所以tm·n＋n2＝0，所以m·n＝－n2t，又4|m|＝3|n|，

所以cos〈m，n〉＝m·n|m|·|n|＝4m·n3|n|2＝－43t＝13，所以t＝－4.故选B.

4．B 由题意得a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)×4－3×2＝0，所以λ＝12.

5．C 解法一：由两直线平行可得bcosB－acosA＝0，由正弦定理可知sinBcosB－sinAcosA＝0，即12sin2A＝12sin2B，又A、B∈(0，π)，且A＋B∈(0，π)，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝π2.若A＝B，则a＝b，cosA＝cosB，此时两直线重合，不符合题意，舍去，故A＋B＝π2，则△ABC是直角三角形，故选C.

解法二：由两直线平行可得bcosB－acosA＝0，由余弦定理，

得a·b2＋c2－a22bc＝b·a2＋c2－b22ac，所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，所以c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2.若a＝b，则两直线重合，不符合题意，故a2＋b2＝c2，则△ABC是直角三角形，故选C.

6．D DE→＝DA→＋AE→＝－12AB→＋16AC→

＝－12AB→＋16(AB→＋BC→)＝－13AB→＋16BC→＝－13a＋16b.

7．C 由正弦定理可知，在△ABC中，

BC＝AB·sin∠BACsin ∠ACB＝100sin 15°sin45°－15°＝50(6－2)．

在△BCD中，sin∠BDC＝BC·sin∠CBDCD＝506－2·sin 45°50＝3－1.由题图知，cos θ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝3－1.

8．B 设AC＝b，BC＝a，AB＝c，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得7＝4＋c2－2c，解得c＝3.设BC边上的高为h，则S△ABC＝12acsin

B＝12ah，∴h＝csin

B＝332.

9．D

由题可得sin(2×3π8＋φ)＝0，又0<φ<π2，所以φ＝π4，所以f(x)＝sin(2x＋π4)，由π2＋2kπ≤2x＋π4≤3π2＋2kπ(k∈Z)，得f(x)的单调递减区间是[kπ＋π8，kπ＋5π8](k∈Z)．

10．C ∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①

∵C＝π3，∴c2＝a2＋b2－2abcosπ3＝a2＋b2－ab.②

由①②，得－ab＋6＝0，即ab＝6.

∴S△ABC＝12absin C＝12×6×32＝332.

11．B 由题意可得，在函数f(x)＝sin 2x的图象上，(π8，y)关于对称轴x＝π4对称的点为(3π8，y)，而17π24－3π8＝π3，故g(x)的图象可能是由f(x)的图象向右平移π3个单位得到的．

12．B 建立平面直角坐标系，如图．

则B－12，0，C12，0，

A0，32，所以BC→＝(1,0)．

易知DE＝12AC，则EF＝14AC＝14，

因为∠FEC＝60°，所以点F的坐标为18，－38，

所以AF→＝18，－538，

所以AF→·BC→＝18，－538·(1,0)＝18.

故选B.

疑难突破 若利用公式a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉求解十分困难，则可以考虑建立平面直角坐标系，利用坐标运算求解．确定点F的坐标是解题的关键．

13.145

解析：由cos A＝35，cos B＝513，得sin A＝45，sin B＝1213.

∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝45×513＋513×1213＝5665.∵b＝3，由正弦定理bsin B＝csin C，得c＝bsin Csin B＝3×56651213＝145.