高三数学必做题--数列放缩法(典型试题)

放缩法典型例题数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1) 求证：；(2)求证：解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得∴所以，，所以（2）因为，所以，所以；2．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；（2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜．解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，．当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是．（2）∵，，，∴公比．∴．．∴．3．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．4．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．j（1）求a4、a5，并写出a n的表达式；（2）令，证明，n=1,2,….（2）因为，所以.又因为，所以=.综上，.注：常用放缩的结论：（1）（2）．在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论、为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论为等比数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论为裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．。

(1) 求数列 4的通项公式；1 a a 1(2) 若a ，设b n n 丄，且数列b n 的前n 项和为「，求证：人3 1 a n 1 a n i 3n 1 a2、已知数列 q 的前n 项和s n -，且a 1 1.2(1) 求数列耳的通项公式；(2) 令b n ln a n ，是否存在k (k 2,k N)，使得b k 、b k 1、b k 2成等比数列.若存在, 值；若不存在，请说明理由.3、已知a n 是等差数列，a 2 3, a 3 5.⑴求数列a n 的通项公式;4、设数列a n 的前n 项和为S n ,且满足a 1 2, a . 1⑵对一切正整数n ，设b n n (1) n a n a n 1，求数列 b n 的前n 项和S n .求出所有符合条件的 k 2S n 2 n 1,2,3L(1)求 a 2 ；(2)数列a n 的通项公式;5、对于任意的n € N*，数列｛a n ｝满足 (I )求数列｛a n ｝的通项公式；(n )求证：对于 n 》2,—— a ? a a i 1 a 2 2 , a n n-1.2 L n1 2 1 2 1 2 1L 2 1 Ja n 12n26、已知各项均为正数的数列 ｛a n ｝的前n 项和为S n 满足4S n a n 2a n •(3)设 b n an 1S n i S n,求证: b i b 2 b n(1)求a i 的值;(2)求｛a .｝的通项公式;1(1)求证：数列｛」｝是等差数列;a n 12(2)求证：丄色更鱼Ln 1 a 2 a 3 a °(3)求证: 1 ~2 a i 1 ~2a 2 a n^,n N 27、已知数列耳满足a 12，a n 1a n 细11 0，" N 8已知首项大于0的等差数列 a n ｝的公差d 1，且二 a n a n 1(1) 求数列a n｝的通项公式；1 n ( 1)n 1(2) 若数列b n｝满足：bi 1, b2 ,幕b n，其中n 2.n a n①求数列b n｝的通项b n ；②是否存在实数，使得数列｛b n｝为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19、已知数列耳的前n项和为S n，且S n n a n 1, n N ，其中a1 1 .2(1)求数列a n的通项公式；(2)若b n ，数列b n的前n项和为「，求证：「3 n1 2 4。

2015年度高二数学理科模拟考试卷试卷副标题1.(本小题满分14分)设数列｛a n｝满足：a i=1, a n+i=3a n, n€ N.设S n为数列｛b n｝的前n 项和，已知b" 0, 2b n- b1=S?S, n€ N*.(I)求数列｛a n｝, ｛b n｝的通项公式；(n)设C n=b n?log s a n,求数列｛c n｝的前n项和T n；* 1 1 13(川)证明：对任意n € N且n>2, 有--------- + ----------- + + ------------- v—.a2 b2 a s b s a. b n 22 .(本小题满分12分)已知数列｛a n｝的前n项和为S n ,且ai 2@ 8,a s 24 , ｛a n 1 2a n｝为等比数列.(I)求证：｛》｝是等差数列；1 一(n)求的取值范围.S n3. (本小题满分14分)已知S n为数列a n的前n项和，S. na n 3n(n 1)( n N*),且a211.(1)求a1的值；(2)求数列a n的前n项和S n；(3)设数列｛b n｝满足b n/—，求证：b1 b2 L b n2~2 .VS n 34. (本小题满分12分)已知数列｛a n｝是等比数列，首项a1 1，公比q 0 ,其前n项和为S n,且S a1, S3 a3, S> a2成等差数列.(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)若数列｛b n｝满足a n 1 (^)anbn, T n为数列｛g｝的前n项和，若T n m恒成立，2求m的最大值.5 .(本小题满分16分)设各项均为正数的数列a n的前n项和为S n，满足a n+12=4S n + 4n 3，且a 2,a 5,a i 4恰好是等比数列 b n 的前三项.(1)求数列 a n 、 b n 的通项公式；*3 (2)记数列b n 的前n 项和为T n ，若对任意的n N ,仃n —)k 3n 2求实数k 的取值范围.(2)证明：日2 a 22a n 2 -4a n S n 2n 1 .6 •已知数列 a n 满足a n 0, a 11 a n 1a n32a n a n 1 n 2,n(1)求证:是等差数列;7 .(本小题满分14分)已知数列a n 的前n 项之和为S n ( n),且满足(1)求证：数列 a n 2是等比数列，并求数列a n 的通项公式;(2)求证:2a 1 a ?1 2 a ?a 31n2a n a n 16恒成立,参考答案 1. (I) &=3n -1. b n =2n -1. (H) T n =( n - 2)2n +2.(川)见解析【解析】 试题分析： (I)由已知｛a n ｝是公比为3，首项a 1=1的等比数列； 讨论知，｛b n ｝是公比为2,首项b i =1的等比数列•得到它们通项公式. (H)已有 C n =b n ?log 3a n =2n -1log 33n - 1=(n - 1)2n -",故利用"错位相减法”求和 (川)由 a n b nn 2 n 2、 2(3 2 ) 故可利用 “放缩法” 1 + + + v a 2 b 2 a 3 b 3 a nb n 1 1 1 + + + — 30 31 3" 2 1 、 歼)v 32 . • a n+1 =3a n , — {a n }是公比为 3, n -1= 3(1 -2试题解析：(I) •••通项公式为a n =3" '. 2 •/ 2b n - b 1=S?S n ,.・.当 n=1 时，2b 1 - b 1=S?S , S 1=b 1, b 1 丰 0, • b 1=1.3 ••当 n > 1 时，b n = Si — S - 1=2b n — 2b n - 1 ,.• b n =2b n• {b "}是公比为2，首项b 1=1 •通项公式为b n =2"-1. (H) C n =b n ?log 3a n =2" 1log 33" T n =0?20+1?21+2?22+ +(n— 2)2' 2T n =0?2 +1?2 +2?2 + +(n — 2)2 " '+(n — 1) 2 ①-②得：-T n =0?20+21+22+23+ +2 "-1 — (n — 1)2 =2"— 2— (n - 1)2" = — 2 — (n — 2)2" n • T n =( n — 2)2 +2. 的等比数列, 一 1 n =(n - 1)2 -2+(n - 1)2-n-1 , . 5 -1 -1 10首项 (川)— a na 1=1的等比数列,分= 1 = 1b " = 3n1 2" 1=3 3" 2 2"1 3" 2 2(3" 2 2" 2) 1 +—— a 2 b 2 a 3 1 1 + + — b 3 a n b n 31 1 3n 2 =3(1 2 考点： 1 、 3 nr )v 3n 1 21.数列的通项; 142.等比数列及其通项公式；3.数列的求和、“错位相减法”2. (I)见解析；(H)1 1S"(0,1]【解析】试题分析：（I ）由｛a n12a n ｝为等比数列可得 a n12务 4 2n 1，两边同除 2n 1得【解析】数列，再利用等差数列的通项公式可得数列a n 的通项公式，进而即可得数列 a n 的前n 项2 j ____和S n ； （3）先将b n 放缩，化简，利用裂项法，即可证明 b a L b n\3n 2 . 3 试题解析：（1）解：由 S 2 a h a 2 2a 2 3 2（2 1）和a 211 可得a 1 5 2分（2）解法1：当n 2时，由a n S * S n 1 得 a n na n 3n(n 1) (n 1)a n 1 3(n 1)(n 2)a n 12* 1 是等差数列；（n ）典型的用错位相减法求解,Q a n2nS n 2S n1 22 23 3 24S n(n 1)2n2，当1时,S n1 S n(n 1)2n｛S n ｝从第1项开始递增，试题解析：（ I)a 2 2印 4 , a 32a 2 8, a .1 2a n2* 1a n 1a nn 1 n2 2分是以1为首项, 公差d 1的等差数列2S n分考点: Q a n1 221时, 2n S n 2 22 3 23 L n2n23242n1..②，由①-②得S n(n 1)2nS n 1S n(n n 11)20 , ｛S n ｝从第1项开始递增，丄S*1 (0,-]12等差数列的定义、 错位相减法求数列的和 3. (1) 5； (2) S n23n 2n ； （3）证明见解析.试题分析：（1）令n2即可求出a 1的值；（2）先利用a nS nS n 1n 2）转化为等差a 1，故2&3n 2 42） 2J3n 2 3 3命题得证 14 分考点：1、等差数列的通项公式； 2、等差数列的前n 项和公式；3、数列的求和；4、不等式 的证明.n 114. (1) a n — ； (2) m 的最大值 1.2【解析】试题分析：⑴等比数列基本量的求解是等比数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在 于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前 n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换的思想简化运算过程； （2）解题时要善于类比要能正确区分等差、等比的性质，不要把两者的性质搞混了； （ 3） 一般地，如 果数列a n 是等差数列，b n 是等比数列，求数列a nb n 的前n 项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列(n 1)a n (n 1)a n 16( n 1)a n a n 16(n2,n N )•••数列{a n }是首项ai 5，公 差为 6的等差数列二 a n a 1 6(n 1) 6n 17 分…S nn(a 1 a n )勺22n8分2［解法2 :当n 2时，由 S nna n 3n(n 1)n(S n S n 1) 3n(n可得（n11)S n nS n 13n(n 1)S n Sn 13 6分nn 1•数列 ｛主｝是首项色5,公 •差为 3的等差数列n 1S n5 3(n 1) 3n2, 即S n 3n 2 2n8分］1)（3）证明:1、3n 22 2,3n 2、3n 1 一3n 2io2( .. 3n 2 、. 3n 1)2 ■ ------ ； ------ --- ------- > -------- = — ( 2 v3n(；3n 2+ ,3n 1)( .3n 2 -3n 1) 3••• $ b 2 L"(I 5) L严分 1)11、3n 1)]13b n 的公比，然后做差求解；（4）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论:【解析】 试题分析：（1）利用数列和项与通项关系， 求数列递推关系：Qmax ,( 2) af x 恒成立a f x min.试题解析：（1）由题意可知:2(S 3a s )(S ia i )(S 2a 2)i 时, 不符合题意;1时, 32(^2(1(1) a f x 恒成a 1(2)a n 1q2,a n (2)n2 / 1 \ a n b n1(2)，1 （2）（2）a nb n2'b nT n 22(1)2T n1 2 2 22 3 23 n 2n(2)(2)得：T n 12 222nn1 2 nn “n 2(1 n)211 2T n 1 (n 1)2n T nm 恒成立，只需（T n ） minT n 1T nn 1nn 2 (n 1) 2(n 1) 2n｛「｝为递增数列,当n 1时,(T n ) min1，11m 1 ， m 的最大值为1.考点：1、等比数列的前n 项和公式;122、错位相减求数列的和;分3、恒成立的问题.a n5. ( 1)2,n 1 2n 1,n 2b n 32 n+1=4S n +4 n 3，当 n 2(Cn )maxC「k 227 ，27 .试题解析 :(1)Q 2a n+1 =4S n +4 n 3当I 2时，2a n =4 S n 1 + 4 n 1 32 an + 12 / an=4S nS n 1 4=4 a n 42 2a n+1a n4a n 42a nQ a n 0恒成立,a n+1 a n 2,n2当I 2时，an是公差d 2的等差数列.3分Q a 2, a 5,a 14构成等比数列， 2 a5a 2 a 〔4a 2 28a 2 a 2 24解得比3,5 分当 n 2 时，a n 3 2 n 2 2n 1由条件可知，2a 2 =4a 1+43 a 126 分数列9na n的通项公式为2,n 1 2n 1,n 28分，时a n 2=4§1+4 n 1 3a n+12a n 2 =4 S S . 14=4a n 42 a n + 12 2a n 4a n 4 a n 22，n 2，利用递推关系求数列通项公式:Qa n a n恒成立，an+1an是2时,公差 d 2的等差数列.32 n 2 2n 1，由条件可知，比2=4&+4a i 2因此2,n 12n 1，n 2，最后根据等比数列通项公式，利用待定系数法求解:b nT nb i (1 q n ) 3(1 3n ) 1 33n13決3nN恒成立，2n 42n 4N恒成立,再研究数列的最值，这首先需研究其单调性:C n2n2n 6 2(2n 7) 3n，当n3 时，cn01 1，当n 4 时，cnc n 1b 3,b2 9 数列｛b n｝的通项公式为b n3nT n (2)d(1 q n)1 q3(1 3n)1 3—?)k2 2 3n恒成立, 2n 4N恒成立, 11令C n2n 4 2nn2nn3n12(2 n 7)3n3 时，C n c n 1 当n 4时, 13 分(c n ) m ax C3 227 . 16 分考点：由数列和项求通项，等比数列通项及和项6. （1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）证明数列为等差数列只需按数列定义证明即证：当2时, —为a n 1常数即可；（2）根据（1 ）可知数列1的通项公式，可得到:a na n2n 12 a n122n 114n2——利用裂项相消法证明4n2a2 2a n试题解析: (1) Q a n 1 a n 2a n a n 1 n 22 n 2a n 1是以3为首项, 2为公差的等差数列.(2 )由(1)知: 1 2 2na n 2n2a n2n 4n214n 4n2a1 2a2 2a n12考点: 7.( D a n1.等差数列的定义; 1尹 【解析】 试题分析: (1) 由题意a 1 2.数列求和. 由a nS 1 S n S na n 2 n=1可求数列a n 的通项公式1 2 a .a n 1 1 2n 2 12n12n 2 1 ~2* 1 ~ 2n 1 1 2n 2n2求和即可得到结论 试题解析：（1 ） Q a n S n 2n 1 Q a n S! 2n 1 a n 1 S! 12 n 1 1, n 2, n N 整理 1a n 1a n2 2n两式相减，得2a n a n 1 2a 〔 3,32,1 21 a n2 2(a n 1 2)，n 数列a n 2是首项为 a 1 公比为丄的等比数列2a n 2 a n (2) n 2 a .a n1 n 12n ——11 2n2 1 2* 2*12n12n1 1 2n2 11 1 122&a2 2 a2 a3 n 2 a n Q n 11 1 1 1 1 1221 23 1 231 241 2n 11 2n 211 1 13 2n 2 1 3考点：数列的通项公式，裂项求和法。

2 用放缩法处理数列和不等问题(教师版)•先求和后放缩(主要是先裂项求和，再放缩处理) 例1 •正数数列 a n 的前n 项的和S n ，满足2.. S ； a n 1,试求: (1)数列a n 的通项公式；5 1 1 (2 )设b n，数列b n 的前n 项的和为B n ,求证：B ；a n a n 122 2 2 2解：(〔)由已知得 4S n (a *1) , n 2时，4S n 1 (a * 11)，作差得：4a *a * 2a * a *12a * 1，所以(a * a * 1)(a *a n 1a 12) 0 1，所以 ，又因为 a * 1为正数数列，所以 a * a * 12，即a *是公差为2的等差数列，由2 S 1 a 11,得a *2n111 1 1(2 ) b n-()，所以a n a n1(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1c1一 1 1 1 111 1 1 B n (1-)23 3 5 2n 12n 1 2 2(2n 1) 24 1“ 2真题演练1: (06全国1卷理科22题)设数列a n 的前n 项的和，S n —a n — 2n 1 -，n 1,2,3,ggg 3 3 32**3(1)求首项 a 1 与通项 a * ； (n)设 T n—，n1,2,3,ggg ，证明： T i-.Si 124 1 d 2 412解：(I )由 S n =3a *— 3X 2 +3, n=1,2,3 ，…，① 得 a 1=S= ~a 1 — -x 4+3 所以 &=23 3 3 3 3 3 ,亠4 1 n2再由①有 S n — 1=-a n — 1— -X 2 +3, n=2,3 ，4,…3 3 34 1 +1将①和②相减得:a n =S — S n -1= §(a n — a n —1) — — x (2 — 2 ),n=2,3, …整理得：a n +2n =4(a n —1+2n —1),n=2,3,…，因而数列｛ a n +2n ｝是首项为 4n , n=1,2,3, …,因而 a *=4n — 2n , n=1,2,3,…,2n+1n-X (2 — 1)(2 — 1)a1+2=4,公比为4的等比数列,即:a n +2n =4X 4n —1=(n )将a *=4—2代入①得S *=nn1(4 — 2)—尹n+1 22 +-n+1 .... (2 — 1)(2 — 2)n+12nT n= §2nn+1— 1)(2 n —3 1 2X (2—7所以, 3 T = _ i i 2 i 1n1 ______________ _____________ (2i — 1 — 2i+1 — 1) =2 X (21— 1 i 1i+1•先放缩再求和21 •放缩后成等比数列，再求和11，前n 项的和为S n ，且S 7,S g ,S 8成等差数列.2（皿）证明:n 2 1 a 〔 a ? 3 a ?a 3a na n 1n尹N).（I ）解： Qa n 1 2a n 1(n N*),a n 1 1 2(a r> 1), a n 1是以a 11 2为首项，2为公比的等比数列a n12n.即 2a n 21(n*N ).(II )证法一：Q 4k1 14k2 1...4kl 1(an1)kn .4(k 1 k 2--k n ) n2nkn .2[Q b 2... b n ) n] nb n ,①2[(b 1 b 2...b n b n 1) (n1)] (n 1)b n 1.②②—①，得2(b n 11) (n 1)b n1nbn,设b n2 a n1，数列b n a n 前n 项的和为T n ,证明:解：•••A 7 38a 9， A 8 A 9a 9，a a9a g ，二公比a g a 8…a nb n11 1 ( 1)n22)n1 32^（利用等比数列前n 项和的模拟公式S nAq n A 猜想）…B n b 1 b 2 b n 1 13 2 3 2213 2n1 1(1 2 2 221 2真题演练2 : （06福建卷理科22题）已知数列 a n满足 a i1,a n(I ) 求数列 a n 的通项公式; (II ) 若数列b n 滿足4b11L 4b(a n1)bl (n1(12a n 1(n).），证明：数列 b n 是等差数列;即(n 1)b n 1nb n 2 0, nb n 2 (n 1)b n12 0.例2 •等比数列 a n 中,a i③—④，得nb n 2 2nb n 1 nb n 0,即b n 2 2b n 1 b n 0, b n 2 b n 1 b n 1 g (n N* ), b n是等差数列(III )证明:Q皀a k 1k .2 11 T2 1k .2 12(2k -)11,2,…,n,a1 a2 a2a3a n na n 1 2_ a kQ丄a k 12k12k 111 1 12 2(2k 11) 2 3.2k2k2111,2 3.尹k1,2,...,n,a?a2 a3n 1 a1a2 2 3 a? a3 a na n 1n *2(n N).2 •放缩后为“差比”数列，再求和例3•已知数列｛a n｝满足：a1 1，a n 1（1歩曲门1,2,3 ）•求证：am a n n 1 2* 1证明: 因为a n 1 (1 步）a n，所以a n1与a n同号，又因为a1 1 0,所以a n即a n1ann-an，即a n 1 2n即a n 1ann■a nn-，累加得:2"2n12n1令S n2n〒，所以2221 c1111S n2222歹2n11故得a 1a n31a n •所以数列｛a n｝为递增数列，所以a na n a1222n 12* 13 •放缩后成等差数列，再求和例4 •已知各项均为正数的数列a1 12S n，两式相减得:S n 所以a n 32{a n}的前n项和为S n,且a n a n 2S n.解： (1)在条件中，令 n1，得 a 2a 1 232a 1，a 1 02a 1 1 ，又由条件a n a n 2S n 有2 a n 1a n1 2S n 1，上述两式相减，注意到a n 1 S n 1S n 得(a n 1a n )(an 1a n1) 0a na n 1a n 0…a n 1a n 1所以,a n11(n1)n，S nn(n 1)2n(n 1)1?n2,八222所以S n(n 1) a nan 12 224(2)因为 n E n 1，所以 n 2；(n 21)n 21，所以1C n 的前n 项和为T n ，试比较T n 和的大小并证明之61解：(I ) b -(利用函数值域夹逼性)；(II ) a n 2 n 1；2(1)求证：S n 2 2a n a n 15n 11n(n 1)23 2 2 2n 2 3n 2、22 .2n n(n 1) S n .2 2.2 . 2练习:1. ( 08南京一模22题)设函数f(x)—x bx —，已知不论 4 4f (2 sin ) 0 .对于正数列a n ，其前n 项和S n f(a n )， (n为何实数，恒有 f(cos ) 0且*N ).(I ) 求实数b 的值;II )求数列 a n 的通项公式;N ，且数列(皿)1(2n 2)2 1 1 1丁，…T n C| 2 2n 1 2n 3C 2 C 3（3）证明：对任意的整数 m 分析：⑴由递推公式易求:⑵由已知得: a n S n 化简得:a n2 a n 1a n(1)n2 (1)n1故数列｛a na 4 a 5a ma i =i, a 2=o, a 3=2 ；S n 1 2a n2(1)n 2｝是以 31)n2a n 1n 1(1)(n>1)1)n1 a n(1)n••数列 { a n (1)n a i2[ (1)n-为首项， 3公比为2的等比数列.1 (?(2)n ｝的通项公式为: …a n 2 3[2 1)n ] a n2( 1)n ]. ⑶观察要证的不等式，左边很复杂, 1 先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。

专题05 数列放缩【命题规律】数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度.此类问题往往从通项公式入手，若需要放缩也是考虑对通项公式进行变形；在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向可裂项相消的数列与等比数列进行靠拢．【核心考点目录】核心考点一：先求和后放缩核心考点二：裂项放缩核心考点三：等比放缩核心考点四：1()()ni i a f n =<>∑型不等式的证明核心考点五：1()()n i i a f n =<>∏型不等式的证明核心考点六：1()ni i a b =<>∑型不等式的证明核心考点七：1()ni i a b =<>∏型不等式的证明【真题回归】1、（2022·全国·()e e ax x f x x =-．(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；(3)设n *∈N ln(1)n >+ ．【解析】（1）当1a =时，()()1e xf x x =-，则()e xf x x '=，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为(),0∞-，增区间为()0,∞+.（2）设()e e 1ax x h x x =-+，则()00h =，又()()1e e ax x h x ax '=+-，设()()1e e ax xg x ax =+-，则()()22e e ax xg x a a x '=+-，若12a >，则()0210g a '=->，因为()g x '为连续不间断函数，故存在()00,x ∈+∞，使得()00,x x ∀∈，总有()0g x '>，故()g x 在()00,x 为增函数，故()()00g x g >=，故()h x 在()00,x 为增函数，故()()01h x h >=-，与题设矛盾.若102a <≤，则()()()ln 11e e ee ax ax ax xx h x ax ++'=+-=-，下证：对任意0x >，总有()ln 1x x +<成立，证明：设()()ln 1S x x x =+-，故()11011x S x x x-'=-=<++，故()S x 在()0,∞+上为减函数，故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立.由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++-<-=-≤，故()0h x '≤总成立，即()h x 在()0,∞+上为减函数，所以()()00h x h <=.当0a ≤时，有()e e e 1100ax x axh x ax '=-+<-+=，所以()h x 在()0,∞+上为减函数，所以()()00h x h <=.综上，12a ≤.（3）取12a =，则0x ∀>，总有12e e 10xx x -+<成立，令12e x t =，则21,e ,2ln x t t x t >==故22ln 1t t t <-即12ln t t t<-对任意的1t >恒成立.所以对任意的*n ∈N，有<整理得到：()ln 1ln n n +-<()ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n n>-+-+++- ()ln 1n =+，故不等式成立.2、（2022·全国·高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：121112na a a +++< ．【解析】（1）∵11a =，∴111S a ==,∴111S a =,又∵n n S a ⎧⎫⎨⎩⎭是公差为13的等差数列，∴()121133n n S n n a +=+-=,∴()23n n n a S +=,∴当2n ≥时，()1113n n n a S --+=，∴()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,整理得：()()111n n n a n a --=+,即111n n a n a n -+=-,∴31211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⨯⨯⨯⋯⨯⨯()1341112212n n n n n n ++=⨯⨯⨯⋯⨯⨯=--，显然对于1n =也成立，∴{}n a 的通项公式()12n n n a +=；（2）()12112,11n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭∴12111n a a a +++ 1111112121222311n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3、（2021·天津·高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=．（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22n n c c -是等比数列；（ii）证明)*nk n N =<∈【解析】（I ）因为{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．所以12818782642a a a a ⨯++⋅⋅⋅+=+⨯=，所以11a =，所以()12121,n n n n N a a *=+-=-∈；设等比数列{}n b 的公比为(),0q q >，所以()221321484q b b b q q b q ==-=--，解得4q =（负值舍去），所以114,n n n b q n N b -*==∈；（II ）（i ）由题意，221441n n nn n b c b =++=，所以22224211442444n n nn nn n c c ⎛⎫⎛⎫=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以220nn c c ≠-，且212222124424n n n n nn c c c c +++⋅==⋅--，所以数列{}22n n c c -是等比数列；（ii ）由题意知，()()22122222121414242222n n n n n n n n n a n n c c a +-+-==<-⋅⋅⋅，12n n -==，所以112nn k k k -==<，设10121112322222nn k n k k n T --===+++⋅⋅⋅+∑，则123112322222n n n T =+++⋅⋅⋅+，两式相减得21111111122121222222212nn n n n nn n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--，所以1242n n n T -+=-，所以1112422nn k n k k n --==+⎫<=-<⎪⎭4、（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <．【解析】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11(3n n a -=，所以33n n n na nb ==.（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333n n n n nT --=++++ ，012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ n n S ，230121123111112333323333n n nn S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 012111012222333---++++ 111233---+n nn n ．设0121111101212222Γ3333------=++++ n n n ， ⑧则1231111012112222Γ33333-----=++++ n nn ． ⑨由⑧-⑨得1121113312111113322Γ132********--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭- n n n n n n n ．所以21312Γ4323---=--=⨯⨯n n n n 因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n n S n n nT ．故2nn S T <．[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--，211213333n n n n nT --=++++ ，①231112133333n n n n nT +-=++++ ，②①-②得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---，所以31(14323n n nn T =--⋅，所以2n n S T -=3131(1)(1043234323n n n n n n ----=-<⋅⋅，所以2nn S T <.[方法三]：构造裂项法由（Ⅰ）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，且1+=-n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭nnn n n n ，通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243nn c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二．[方法四]：导函数法设()231()1-=++++=- n nx x f x x x x x x，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n nx x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦，则21()123-=++++=' n f x x x nx又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭'13113311(1)4334423n nnn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二．【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n n S T ,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，使1+=-n n n b c c ，求得n T 的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.【方法技巧与总结】常见放缩公式：（1）()()21111211<=-≥--n n n n n n ；（2）()2111111>=-++n n n n n ；（3）2221441124412121⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭n n n n n ；（4）()()()11!111112!!!11+=⋅=⋅<<=-≥---rr n r r n T C r n r n r n r r r r r；（5）()1111111312231⎛⎫+<+++++< ⎪⨯⨯-⎝⎭nn n n ；（6(()22<=≥n ；（7(2=>=；（8=<==+；（9）()()()()()()()1211222211212121212122212121---=<==----------nn n n n n n n n n n n n()2≥n ；（10=<=2=-=-()22<≥n；（11=<=()2n==-≥；（12）()()01211122221111111nnn n nC C C n n n n=<==--++-+++-；（13）()()()111121122121212121nn n nn nn---<=-≥-----．（14）=<<=．（15）二项式定理①由于()0112(1)21(11)11(3)2n n nn n n n nn nC C C C C n+-=+-=+++->+=≥，于是12112(3)21(1)1nnn n n n⎛⎫<=-≥⎪-++⎝⎭②221(3)n n n>+≥，011012(11)221n n n nn n n n n nC C C C C C n-=+=++++>+=+；222(5)n n n n≥++≥，0122101222(11)2222n n n n nn n n n n n n n nC C C C C C C C C n n--=+=++++++≥++=++（16）糖水不等式若>>>0,0b a m，则+>+a m ab m b；若>>>0b a m，则-<-a m ab m b．【核心考点】核心考点一：先求和后放缩例1．（2022·全国·模拟预测）己知n S为等比数列{}n a的前n项和，若24a，32a，4a成等差数列，且4282S a=-.(1)求数列{}n a的通项公式；(2)若()()122nnn naba a+=++，且数列{}nb的前n项和为nT，证明：11124nT≤<.【解析】（1）设数列{}n a的公比为q，由24a，32a，4a成等差数列可得24344a a a+=，故244q q+=，解得2q=，由4282S a=-可得()4111216212aa-=--，解得12a=，故2nna=，即数列{}n a的通项公式为2,Nnna n*=∈.（2）由（1）可得()()()()1112112222222222n n n n n n n n n a b a a +++===-++++++，故1111111111114661010182222422n n n n T ++=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-+++.当1n =时，1122n ++取得最大值16，当n →+∞时，11022n +→+1110226n +∴<≤+，故11124n T ≤<.例2．（2022·江苏南京·模拟预测）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =-，()1122n n n S S +++=-.(1)求{}n a 的通项公式；(2)记数列{}n a 的前n 项和为n T ，证明：3n n n S T S ≤<.【解析】（1）由()1122n n n S S ++=-+-，两边同时除以()12n +-可得：()()11122n nn nS S ++=+--，故数列()2n n S ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭为以1为公差的等差数列，则()()()111111222n n S S a n n n =+-⨯=+-=---，即()2n n S n =⋅-，当2n ≥时，()()()()()111212231n n n n n n a S S n n n ---=-=⋅----=--+，将1n =代入上式，可得()()1112312a -=--+=-，则1a 满足上式，故数列{}n a 的通项公式()()1231n n a n -=--+.（2）由*N n ∈，则310n -+<，即()()()11231231n n n a n n --=--+=-，()0121222528231n n T n -=⨯+⨯+⨯++- ，()1232222528231n n T n =⨯+⨯+⨯++- ，两式相减可得，()1212232323231n nn T n --=+⨯+⨯++⨯-- ()()231232222231n n n -=+⨯++++-- ()()12122323112n n n -⨯-=+⨯---()()12621231n n n -=+⨯---()2326231n n n =+⨯---()4243n n =-+-，则()4234nn T n =+-，由（1）可得()22nnn S n n =⋅-=⋅，()()423424224n n n n n T S n n n -=+--⋅=+-，令()4224n n b n =+-，()()11142224422420n n n n n b b n n n +++-=++----=⋅>，则数列{}n b 为递增数列，()1142240b =+⨯-=，则0n b ≥，即n n T S ≥；()2342343242n n n n n T S n n +-=+--⋅=-，令242n n c +=-，易知数列{}n c 为递减数列，1214240c +=-=-<，则0n c <，即3n n S T >.综上，不等式3n n n S T S ≤<恒成立.例3．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知数列{}n a 满足11a =，{}n a 的前n 项和为n S ，且()*122n n a S n +=-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设4n n nb a =⋅，记12n n T b b b =+++ ，证明：1n T <.【解析】（1）依题意()*122n n a S n +=-∈N ，()1122,22n n n n n S S S S S ++-=-=+，()11111,2222n n n n S S S S ++=+-=-，所以数列{}2n S -是首项为11221S a -=-=-，公比为12的等比数列，所以11112,222n n n n S S ---==-，当2n ≥时，由1122n n S -=-得12122n n S --=-，两式相减并化简得()2111111211222222n n n n n n a n -----=-=-=≥，1a 也符合上式，所以112n n a -=.（2）111242n n n n n b -+==⋅，23112222n n n T +=+++ ，3421122222n n n T +=+++ ，两式相减得2312111122222n n n n T ++=+++- ，所以1211112222n n n n T +=+++-11111112221111222212n n n n n n n n +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=--=-<-.例4．（2022·黑龙江·海伦市第一中学高三期中）在各项均为正数的数列{}n a 中，13a =，且()2116n n n n a a a a ++=+．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()()()121111n n n n n a b a a +--=++，数列{}n b 的前n 项和为nT，证明：14n T <．【解析】（1）因为{}n a 各项为正数，()2116n n n n a a a a ++=+，所以上式两边同时除以2na ，得1126n n n n a aa a ++⎛⎫= ⎝⎭+⎪，令()10n na x a x +=>，则26x x =+，即260x x --=，解得3x =（负值舍去），所以13n na a +=，又13a =，所以{}n a 是以13a =，3q =的等比数列，故1333n nn a -=⨯=.（2）由（1）得()()()121111333n n n n n b +--==++()()()()()11111133331111313n n n n n n n n n n ++++-+++==-++++，所以223111111111223131313133343n n n n T nn n ++++-+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+=- ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭+ ，因为*N n ∈，则11031n n ++>+，所以14nT <.例5．（2022·山西临汾·高三阶段练习）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，11a =，3a ，22S ，4a 成等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()2log 1n nb S =+，数列122n n n n b b b a ++⎧⎫+⎨⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：3182n T ≤<．【解析】（1）设数列{}n a 的公比为q ，由题意知2344S a a =+，即()()2321244(1)1a a q q q q q +=+=+=+，因为*n ∀∈N ，0n a >，所以0q >，所以2q =，所以12n n a -=．（2）证明：由（1）得122112n n n S -==--，所以2log 2nn b n ==，所以()()1112221112212n n n n n n n b n b b a n n n n ++++++==-+⋅⋅+⋅，所以()()1223111111111112222232212212n n n n T n n n ++=-+-+⋅⋅⋅+-=-⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯．显然{}n T 单调递增，所以138n T T ≥=，因为()11012n n +>+⨯，所以12nT <，所以3182n T ≤<．例6．（2022·浙江·慈溪中学高三期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23123452n S S S S n n n ++++=++ ，(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明：123111138n S S S S ++++< .【解析】（1）当2n ≥时，23123452n S S S S n n n ++++=++ ()()23112113451n S S S S n n n -++++=-+-+ 相减得()()22222nn S n S n n n n =⇒=+≥+当1n =时，16=S 符合上式所以()()*22N n S n n n =+∈.当2n ≥时，()()()12221142n n n a S S n n n n n -=-=+--+=+当1n =时，116a S ==符合上式.故()*42N n a n n =+∈（2）由（1）知：()111112242n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以1231111nS S S S ++++ 111111111111143243546112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111113113111314212421284128n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=--=-+< ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭核心考点二：裂项放缩例7．（2022·天津市新华中学高三阶段练习）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且(1)2n n n S +=，数列{}n b 前n 项和为n T ，且12b =，12n n b T +=+.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设2(1)n n n c a =-，设数列{}n c 的前n 项和为n P ，求2n P ；(3)证明：()22211121ni i i i a a b =++<-∑.【解析】（1）由(1)2n n n S +=，当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()1+11===22n n n n n n n a S S n ----，检验1n =时，111a S ==，所以=n a n ；因为12n n b T +=+，1=+2n n b T -（2n ≥），所以+11==n n n n n b b T T b ---，即12n nb b +=（2n ≥），而12112,224b b T b ==+=+=，故212b b =满足上式，所以{}n b 是以12b =，公比等于2的等比数列，即2nn b =；（2）因为22=(1)=(1)n n n n c a n --，所以()()22212+=21+2=41n n c c n n ---，所以21234212=++++++n n n P c c c c c c - ()23+41=3+7++41==2+2n n n n n --⋅⋅⋅；（3）因为()()2222+12+1+1+1+1+1=<(1)1212n n n n n a n n a b n n n ---，()()()()22+1+1+1+1+1+1+1++11+1111==+=+12122122122n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ---⋅-⋅-⋅-⋅⋅.所以()22222+1111(1)1nni i i i i i i i i a a a a b a b -==+++-∑∑ ，()2+1+122+11111=+(1)2122nn i i i i i i i i i a a a b i i ---⋅⋅==⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑()34+12334+1111111111=+++++++2222222232122n n n n n ⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-⨯⨯⨯-⋅⋅1+1+1+11111111182=+=14222212n n n n n n -----⋅⋅-⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为1102n +>，+11>02n n ⋅，所以+1+11111<2222n n n --⋅，即22+111(1)2ni i i i i a a a b -=+∑，即证：()22211121ni i i i a a b =++<-∑；综上，=n a n ，2nn b =，222n P n n =+ .例8．（2022·山东·济宁市育才中学高三开学考试）已知数列{an }的前n 项和为Sn ，且()14211n n S n a +=-+，a 1＝1．(1)求数列{an }的通项公式；(2)设n b =，数列{bn }的前n 项和为Tn ，证明32n T <．【解析】（1）因为()14211n n S n a +=-+，所以()()142312n n S n a n -=-+≥.两式相减，得()()()1421232n n n a n a n a n +=---≥，即()()12121n n n a n a ++=-所以当2n ≥时，12121n na n a n ++=-，在()14211n n S n a +=-+中，令1n =，得23a =，所以123211232121232553121(2)23252731n n n n n n n a a a a a n n n a n n a a a a a n n n --------=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-≥--- ，又11a =满足，所以21n a n =-所以()()()1212322n n a a n n n --=---=≥，故数列{an }是首项为1，公差为2的等差数列，且21n a n =-.（2）()2122n n n S n n -=+⨯=，所以()()()12211=21221222222n b n n n n n n n n <=-----，当1n =时，1312T ==<，当2n ≥时，11111131312446222222n T n n n ⎛⎫<+-+-++-=-< ⎪-⎝⎭ ，所以32n T <.例9．（2022·天津一中高三阶段练习）已知数列{}n a 满足111,2,22,n n n a n a a a n +-⎧==⎨+⎩为奇数为偶数记21n n b a -=.(1)证明：数列{}n b 为等比数列，并求出数列{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .(3)设()2111log n n c n b +=+，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：34n T <.【解析】（1）证明：因为21n n b a -=，所以()121221212221222n n n n n n b a a a a b ++--==+=-+==，又112b a ==，所以数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，所以2nn b =.（2）()()21321242n n n S a a a a a a -=++⋯++++⋯+()()()()1321132111n n a a a a a a -⎡⎤=++⋯++-+-+⋯+-⎣⎦()13212n a a a n-=++⋯+-()122n b b b n=++⋯+-()221222412n n n n +-=⋅-=---（3）222111111(1)21222n c n n n n n n n ⎛⎫==<=- ⎪+++++⎝⎭1111111112324352n T n n ⎛⎫∴<-+-+-++- ⎪+⎝⎭ 11113122124n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭例10．（2022·全国·成都七中高三开学考试（理））记数列{}n a 前n 项和为n S ，222n n S n na n +=+.(1)证明：{}n a 为等差数列；(2)若11a =，记n T 为数列{}n a 的前n 项积，证明：112nk kT =∑<.【解析】（1）由题意，得222n n S na n n =+-.则()()21122111n n S n a n n --=-+---.两式相减，得()()*12222222n n n a n a n n n ----=-≥∈N ，，，即*112n n a a n n --=≥∈N ，，，{}n a ∴是等差数列.（2）因为11a =，由（1）知*112n n a a n n --=≥∈N ，，（11a =也符合此式）故数列{}n a 的通项公式为n a n =则123!n n T a a a a n =⋅⋅=L 所以1111111!2!3!!nk k T n =∑=++++L ()111112231n n ≤++++⨯⨯-L 11111112231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 122n=-<故112nk kT =∑<，得证.例11．（2022·河南·模拟预测（理））若数列{}n a 满足11a =，12n n a a n +-=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：121112na a a +++< ．【解析】（1）因为12n n a a n +-=，11a =，所以()()()1122112(1)2(2)21n n n n n a a a a a a a a n n ---=-+-++-+=-+-+++ 2222(1)112n n n n -+⋅-+=-+=，故21n a n n =-+；（2）证明：当n ＝1时，1112a =<；当2n ≥时，2111111(1)1n a n n n n n n=<=--+--，则12231111111111111112231n n a a a a a a n n ⎛⎫+++=++++<+-+-++- ⎪-⎝⎭ 122n =-<，故121112na a a +++< ；综上，21n a n n =-+.核心考点三：等比放缩例12．（2022·重庆八中高三阶段练习）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知1=2a ，{}32n n a S -是公差为2的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：121111na a a ++⋅⋅⋅+<.【解析】（1）111322a S a -== ，()322212n n a S n n ∴-=+-=，即32n n S a n =-；当2n ≥且n *∈N 时，()1133122n n n n n a S S a n a n --=-=--+-，即132n n a a -=+，()1131n n a a -∴+=+，又113a +=，∴数列{}1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列，13n n a ∴+=，则31n n a =-.（2）由（1）得：1131nn a =-，()()212323320331331331n n n n n n n n n ⋅----==>--- ，123n n a ∴<，2121111112221332111333313n n n n a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+=⨯=-<-.例13．（2022·广东·高三阶段练习）已知数列{}n a 的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+，其中0,q n N *>∈．(1)若2322,,2a a a +成等差数列，求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b满足n b =，且253b =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：()1433n nn n T n N *-->∈．【解析】（1）由11n n S qS +=+得211n n S qS ++=+，两式相减得21(1)n n a qa n ++=≥，由211S qS =+可得21a qa =，故1n n a qa +=对所有n N *∈都成立，所以数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列，从而1n n a q -=，由2322,,2a a a +成等差数列可得32232a a =+，化简得22320q q --=，又0q >，解得12,2q q ==-（舍去），所以()12n n a n -*=∈N ．（2）由题意可知n b ==由253b =53=，解得44,33q q ==-（舍去），又222(1)1144411333n n n ---⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+>⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦143n -⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()143n n b n N -*⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭，则11241443143313nn n b b b -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭+++>+++= ⎪⎝⎭-，即()1433n nn n T n N *-->∈．例14．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，已知3453a a S +=，154a a S =，数列{}n b 满足()11322n n n b b n --=+≥，且111b a =-.(1)求{}n a 的通项公式，并证明数列12n nb ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；(2)若数列{}n c 满足()()()114111n n n n nc a a -+=---，求{}n c 的前n 项和的最大值、最小值.(3)求证：对于任意正整数n ，1211132n b b b +++< .【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为()d d≠0，由3451543a a S a a S +=⎧⎨=⎩，可得1111115423(3)5243(4)42a d a d a d a a d a d ⨯⎧+++=+⎪⎪⎨⨯⎪+=+⎪⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩或100a d =⎧⎨=⎩（舍去），22(1)2n a n n =+-=∴．又1111b a =-=，则113122b +=，由()11322n n n b b n --=+≥，可得11312222n n n n b b --=⋅+，∴11311222n n n n b b --⎛⎫+=+⎪⎝⎭，∴数列12n nb ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32为首项，32为公比的等比数列；（2）由（1）可得()()()()()()()()()111144411111212212121n n n n n n n n n c a a n n n n ---+=-=-=----+--+()()()()()()112121122111121121n n n n n n n n --⎛⎫=-+ ⎪++-=+-⎝-+-⎭，设{}n c 的前n 项和为n W ，则()11231111111111335572121n n n W c c c c n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+=+-++++⋯+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111(1)21n n -=+-+，当n 为奇数时，1121n W n =++随着n 的增大而减小，可得413n W <≤，当n 为偶数时，1121n W n =-+随着n 的增大而增大，可得415n W ≤<，n W ∴的最大值为43，最小值为45．（3）证明：因为数列12n nb ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32为首项，32为公比的等比数列，∴3122nn n b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴32n nn b =-．所以1111323n n n n b -=≤-，所以1231111nb b b b ++++ 211111333n -≤++++ 11133131123213n n⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，所以1211132n b b b +++< ．例15．（2022·浙江大学附属中学高三期中）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，{}32n n a S -是公差为2的等差数列.(1)求证{}1n a +为等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)证明：121111na a a +++< .【解析】（1）因为{}32n n a S -是公差为2的等差数列，1111123232a S a a a --===，所以()232122n n n n a S =-⨯-+=，当2n ≥时，112322n n a n S --=--，两式相减得，12332n n n a a a ---=，即132n n a a -=+，故()1131n n a a -+=+，又113a +=，所以{}1n a +是首项为3，公比为3的等比数列，故11333n n n a -+=⨯=，则31n n a =-.（2）因为*N n ∈，所以()2313323323n n n n n->+->+->，则211331n n n a >=-，即123nn a <，所以2121113311122212111333313nn nn a a a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦+++<+++=⨯=-< ⎪⎝⎭- .例16．（2022·浙江·模拟预测）已知正项数列{}n a 满足11a =，当2n ≥时，22121n n a a n --=-，{}n a 的前n 项和为n S .(1)求数列{}n a 的通项公式及n S ；(2)数列{}n b 是等比数列，q 为数列{}n b 的公比，且13b q a ==，记21n n n nS a c b -+=，证明：122733n c c c ≤++⋅⋅⋅+<【解析】（1）当2n ≥时，22121n n a a n --=-累加可得22,0,,n n n a n a a n =>\= 且当1n =时，11a =符合，n a n ∴=.由等差数列前n 项和的公式可得：(1)2n n n S +=（2）由（1）得213n n n c +=，对于左边，123c =，又120,3n n k k c c =>>å ，对于右边，212(1)12132213122121122,(1)(11)313133n nn n n ncn n n n c n n ++++++++³==×=+£+=++,1211213255252257527239939339333313n n n nk k c ---=éùæöêú-ç÷ç÷êúæöæöèøëûç÷ç÷\£++´++´=+´=-´<ç÷ç÷èøèø-å .综上：122733n c c c £+++< 成立.例17．（2022·江苏·泗洪县洪翔中学高三开学考试）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，12n n S a +=+．(1)证明：数列{}2n S -为等比数列；(2)记数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：2n T <．【解析】（1）因为()1122n n n n S a S S ++=+=+-，所以122n n S S +=+，所以()1222n n S S +-=-，因为120S -≠，所以10n S -≠，1222n n S S +-=-，故数列{}2n S -为等比数列，首项为121S -=，公比为2；（2）由（1）可知122n n S --=，所以11111222n n n S --=<+，所以21111111212121222212n n n nT -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭<+++⋅⋅⋅+==-< ⎪⎝⎭-．核心考点四：1()()ni i a f n =<>∑型不等式的证明例18．（2022·山东省实验中学模拟预测）已知函数1ln ()xf x x+=．(1)求函数()y f x =的最大值；(2)若关于x 的方程2ln e e 1x x x x kx =-+-有实数根，求实数k 的取值范围；(3)证明：()2*222ln 2ln 3ln 21N ,2234(1)n n n n n n n --+++<∈≥+ ．【解析】（1）2ln ()xf x x -'=，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减所以max ()(1)1f x f ==，即当1x =时，()f x 取最大值1．（2）依题意，21ln ln e e 1(e e )x x x x x x kx k x x +=-+-⇔=+-，令1ln ()(e e )x xg x x x +=+-，2ln ()(e e )x xg x x -'=+-，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，即max ()(1)1g x g ==，因此()g x 的值域是(,1]-∞，方程1ln )(e e x xk x x+=+-有解，有1k ≤，所以实数k 的取值范围是1k ≤.（3）由（1）知()1f x ≤，当且仅当1x =时取等号，因此当1x >时，ln 1x x <-，即当2n ≥时，22ln 1n n <-，222222ln 1ln 111111()(1)[1]2222(1)n n n n n n n n n -=⋅<=-<-+111[1()]21n n =--+， 所以222ln 2ln 3ln 1111111[1()1()1(23223341n n n n +++<--+--++--+ 211121[(1)(2214(1)n n n n n --=---=++．例19．（2022·全国·高三专题练习）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()()222*330,n n S n n S n n n N -+--+=∈.(1)求1a 的值：(2)求数列{}n a 的通项公式：(3)证明：对一切正整数n≤ .【解析】（1）令1n =，()()1121133101-+--+=S S ，则13a =-舍去，所以12a =.（2）()()()()2222330,30n n n n S n n S n n S S n n -+--+=∴+--= ，因为数列{}n a 各项均为正数，3≠-n S 舍去，2∴=+n S n n ，当2n ≥时，()()21111,2--∴===-+-∴-n n n n S n n a S S n ，12,12.2,2-=⎧∴=∴=⎨-=≥⎩n n n n n a a n S S n n （3）令n b ===≤=()2n==≥，所以1211n n S b b b b =+++≤11.4==+例20．（2022·上海·模拟预测）在数列{}n a 中，115,342n n a a a n +==-+，其中N n *∈．(1)设2n n b a n =-，证明数列{}n b 是等比数列；(2)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，试比较n S 与22022n +的大小．【解析】（1）N n *∈，由2n n b a n =-得：2n n a b n =+，而1342+=-+n n a a n ，则12(1)3(2)42n n b n b n n +++=+-+，整理得13n n b b +=，而1123b a =-=，所以数列{}n b 是首项为3，公比为3的等比数列.（2）由（1）知，1333n nn b -=⨯=，于是得32nn a n =+，123(13)223313222n n n n n n n S +-+=+⋅=++--，因此，2112233324047(202022222)22n n n n n n n S n +++--++---=+=，令1324047n n c n +=+-，显然数列{}n c 是递增数列，而671848,2528c c =-=，即{1,2,3,4,5,6}n ∈时，0n c <，2202)(20n S n -+<，当7,N n n *≥∈时，2202)(20n S n -+>，所以，当6,N n n *≤∈时，22022n S n +<，当7,N n n *≥∈时，22022n S n +>.例21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()e e ax x f x x =-．(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；(3)设n *∈N ln(1)n >+ ．【解析】（1）当1a =时，()()1e x f x x =-，则()e xf x x '=，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为(),0∞-，增区间为()0,∞+.（2）设()e e 1ax x h x x =-+，则()00h =，又()()1e e ax x h x ax '=+-，设()()1e e ax xg x ax =+-，则()()22e e ax xg x a a x '=+-，若12a >，则()0210g a '=->，因为()g x '为连续不间断函数，故存在()00,x ∈+∞，使得()00,x x ∀∈，总有()0g x '>，故()g x 在()00,x 为增函数，故()()00g x g >=，故()h x 在()00,x 为增函数，故()()01h x h >=-，与题设矛盾.若102a <≤，则()()()ln 11e e ee ax ax ax xx h x ax ++'=+-=-，下证：对任意0x >，总有()ln 1x x +<成立，证明：设()()ln 1S x x x =+-，故()11011x S x x x-'=-=<++，故()S x 在()0,∞+上为减函数，故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立.由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++-<-=-≤，故()0h x '≤总成立，即()h x 在()0,∞+上为减函数，所以()()00h x h <=.当0a ≤时，有()e e e 1100ax x axh x ax '=-+<-+=，所以()h x 在()0,∞+上为减函数，所以()()00h x h <=.综上，12a ≤.（3）取12a =，则0x ∀>，总有12e e 10xx x -+<成立，令12e x t =，则21,e ,2ln x t t x t >==，故22ln 1t t t <-即12ln t t t<-对任意的1t >恒成立.所以对任意的*n ∈N ，有<整理得到：()ln 1ln n n +-<()ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n n>-+-+++- ()ln 1n =+，故不等式成立.例22．（2022·湖南·周南中学高三阶段练习）已知函数()1ln xf x x+=．(1)求函数()y f x =的最大值；(2)证明：()()2222ln 2ln 3ln 21N ,22341n n n n n n n *--+++<∈≥+ 【解析】（1）因为()1ln x f x x +=定义域为()0,∞+，所以()2ln xf x x -'=，当()0,1x ∈时，()0f x ¢>，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()max 1)1(f x f ==，即当1x =时，()f x 取最大值1．（2）证明：由（1）知()1f x ≤，当且仅当1x =时取等号，因此当1x >时，ln 1x x <-，即当2n ≥时，22ln 1n n <-，所以()222222ln 1ln 1111111111112222121n n n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅<=-<-=--⎢ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦，所以222ln 2ln 3ln 111111111123223341n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<--+--++-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()211121122141n n n n n ⎡⎤--⎛⎫=---= ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦．例23．（2022·全国·高三专题练习）已知单调递减的正项数列{}n a ，2n ≥时满足()()()22111111210n n n n n n n n n a a a a a a a a a ----+++-++=． 112n a S =，为{}n a 前n 项和．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：1n S >【解析】（1）由()()()22111111210n n n n n n n n n a a a a a a a a a ----+++-++=，得()2221111()20n n n n n n n n a a a a a a a a --------=，即()()111120n n n n n n n n a a a a a a a a -----+--=，由{}n a 是单调递减的正项数列，得1120n n n n a a a a ----<，则110n n n n a a a a ---+=，即1111n n a a --=，故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以112a =为首项，1为公差的等差数列，则11n n a =+，即11n a n =+.（2）要证：1n S >只需证：11n a n =>+即证：2111(1)1n n n >+++21111(1)n n n >+-++，22221(1)n n n n ++>+，即证：3224(1)(221)n n n n +>++，即证：324410n n +->，而此不等式显然成立，所以1n S >.例24．（2022·广东·铁一中学高三阶段练习）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知1n S n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为3，公差为1的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：当2n ≥时，231111112n n n a S S S a -+++<-+ .【解析】（1）∵1n S n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为3，公差为1的等差数列，∴3()11n n n S =+--，∴2221(1)n S n n n ++=+=.∴当2n ≥时，12n S n -=，121n n n a S S n -=-=+.又114S a ==不满足21n a n =+，∴{}n a 的通项公式*41212N n n a n n n =⎧=⎨+≥∈⎩，，且.（2）当2n ≥时，21111(1)1(1)1n S n n n n n =<=-+++，112111222212n n a n n a n n --=-=-+++，∴23111111111111233412112nn S S S n n n n +++<-+-++-=-=-+++ ，∴231111112n n n a S S S a -+++<-+ .例25．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 和{}n b 满足11a b =，且对任意*N n ∈都有1n n a b +=，121n n n na ba a +=-．(1)求数列{}n a 和{}nb 的通项公式；(2)证明：31324122341123ln(1)n n n n a a a a a a a a n b b b b b b b b +++++⋯+<+<+++⋯+．【解析】（1） 对任意*N n ∈都有1n n a b +=，121n n n n a b a a +=-，∴12211111n n n n n n n a b a a a a a +-===--+．∴1111n n a a +=+，即1111n n a a +-=．∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公差为1的等差数列．11a b = ，且111a b +=，1112a b ∴==．∴12(1)1n n n a =+-=+．∴11n a n =+，11n n n b a n =-=+，（2） 11n a n =+，1n nb n =+，∴1n n a b n =．∴所证不等式31324122341123ln(1)n n n n a a a a a a a a n b b b b b b b b +++++⋯+<+<+++⋯+，即1111111ln(1)1234123n n n +++⋯+<+<++⋯++．①先证右边不等式：111ln(1)123n n+<+++⋯+．令()(1)f x ln x x =+-，则1()111xf x x x'=-=-++．当0x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在[0,)+∞上单调递减．∴当0x >时，()(0)0f x f <=，即ln(1)x x +<．分别取1111,,,23x n=．得111111ln(11)ln(1)ln(1)ln(1)12323n n ++++++⋯++<+++⋯+．即111111ln[(11)(1)(1)(1)]12323n n+⋅+⋅+⋯+<+++⋯+．也即341111ln(212323n n n +⨯⨯⨯⋯⨯<+++⋯+．即111ln(1)123n n+<+++⋯+．②再证左边不等式：1111ln(1)2341n n +++⋯+<++．令()ln(1)1xf x x x=+-+，则2211()1(1)(1)x f x x x x '=-=+++．当0x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在[0,)+∞上单调递增．∴当0x >时，()(0)0f x f >=，即ln(1)1xx x+>+．分别取1111,,,23x n =．得111111ln(11)ln(1)ln(1)ln(123231n n++++++⋯++>++⋯++．即111111ln[(11)(1(1(1)]23231n n +⋅+⋅+⋅⋅+>++⋯++．也即341111ln(2)23231n n n+⨯⨯⨯⋯⨯>++⋯++．即。

用放缩法处理数列和不等问题（教师版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例1．正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列的前项的和,，（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：. 解: (Ⅰ)由 Sn=an－×2n+1+, n=1,2,3，… , ①得 a1=S1= a1－×4+ 所以a1=2再由①有 Sn－1=an－1－×2n+, n=2,3，4,…将①和②相减得: an=Sn－Sn－1= (an－an－1)－×(2n+1－2n),n=2,3, …整理得: an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3, … , 因而数列{ an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=4×4n－1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n－2n, n=1,2,3, …,(Ⅱ)将an=4n－2n代入①得 Sn= ×(4n－2n)－×2n+1 + = ×(2n+1－1)(2n+1－2) = ×(2n+1－1)(2n－1)Tn= = × = ×( － )所以, = － ) = ×( －) <二．先放缩再求和1．放缩后成等比数列，再求和例2．等比数列中，，前n项的和为，且成等差数列．设，数列前项的和为，证明：．解：∵，，，∴公比．∴．．（利用等比数列前n项和的模拟公式猜想）∴．真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列滿足，证明：数列是等差数列；（Ⅲ）证明：.（I）解：是以为首项，2为公比的等比数列即（II）证法一：①②②－①，得即③－④，得即是等差数列（III）证明：2．放缩后为“差比”数列，再求和例3．已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．3．放缩后成等差数列，再求和例4．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1) 求证：；(2) 求证：解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得∴所以，，所以（2）因为，所以，所以；练习：1.（08南京一模22题）设函数，已知不论为何实数，恒有且.对于正数列，其前n项和，.(Ⅰ) 求实数b的值；（II）求数列的通项公式；（Ⅲ）若，且数列的前n项和为，试比较和的大小并证明之.解：(Ⅰ) （利用函数值域夹逼性）；（II）；（Ⅲ）∵，∴2.（04全国）已知数列的前项和满足：，（1）写出数列的前三项，，；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对任意的整数，有分析：⑴由递推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；⑵由已知得：（n>1）化简得：,故数列{}是以为首项, 公比为的等比数列.故∴∴数列{}的通项公式为：.⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。

高三数学必做题数列放缩法典型试题Prepared on 22 November 2020数列综合题1、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()11n n aS a a =--，a 为常数，且0a ≠，1a ≠．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若13a =，设1111n n n n n a a b a a ++=-+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <．2、已知数列{}n a 的前n 项和()12n n n a S +=，且11a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令ln n n b a =，是否存在k (2,)k k N ≥∈，使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．3、已知{}n a 是等差数列，32=a ，53=a ．⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵对一切正整数n ，设1)1(+⋅-=n n n n a a nb ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．4、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21=a ,221+=+n n S a ()1,2,3n =． （1）求2a ；（2）数列{}n a 的通项公式；（3）设n n n n S S a b 11++=,求证：2121<+++n b b b ．5、对于任意的n ∈N *，数列{a n }满足1212121212121n n a n a a n ---+++=++++. (Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ) 求证：对于n≥2，231222112n n a a a ++++<-6、已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S 满足242n n n S a a =+．（1）求1a 的值；（2）求{}n a 的通项公式；（3）求证：*222121111,2n n N a a a ++⋅⋅⋅+<∈。

用放缩法处理数列和不等问题（教师版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n（2）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ，所以21)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=n n n B n 真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列{}n a 的前n 项的和,14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n = （Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2n n n T S =，1,2,3,n = ，证明：132ni i T =<∑.解: (Ⅰ)由 S n =43a n －13×2n+1+23, n=1,2,3，… , ① 得 a 1=S 1= 43a 1－13×4+23所以a 1=2再由①有 S n －1=43a n －1－13×2n +23, n=2,3，4,…将①和②相减得: a n =S n －S n －1= 43(a n －a n －1)－13×(2n+1－2n ),n=2,3, …整理得: a n +2n =4(a n －1+2n －1),n=2,3, … , 因而数列{ a n +2n }是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : a n +2n =4×4n －1= 4n , n=1,2,3, …, 因而a n =4n －2n , n=1,2,3, …,(Ⅱ)将a n =4n －2n 代入①得 S n = 43×(4n －2n )－13×2n+1 + 23 = 13×(2n+1－1)(2n+1－2)= 23×(2n+1－1)(2n －1)T n = 2n S n = 32×2n (2n+1－1)(2n －1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1)所以, 1ni i T =∑= 321(ni =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 1121n +-) < 32二．先放缩再求和1．放缩后成等比数列，再求和例2．等比数列{}n a 中，112a =-，前n 项的和为n S ，且798,,S S S 成等差数列．设nn n a a b -=12，数列{}n b 前n 项的和为n T ，证明：13n T <．解：∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比9812a q a ==-． ∴n n a )21(-=． nn n nn n b 231)2(41)21(141⋅≤--=--=． （利用等比数列前n 项和的模拟公式n n S Aq A =-猜想）∴n n b b b B ++=2131)211(31211)211(213123123123122<-=--⋅=⋅++⋅+⋅≤n n ． 真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 滿足12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---=+∈ ，证明：数列{}n b 是等差数列； （Ⅲ）证明：*122311...()232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈. （I ）解：*121(),n n a a n N +=+∈112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列12.n n a ∴+=即 2*21().n a n N =-∈（II ）证法一：1211144...4(1).n n k k k k n a ---=+12(...)42.n n k k k n nk +++-∴=122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ②②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-即1(1)20,n n n b nb +--+= ③21(1)20.n n nb n b ++-++= ④③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+=即 2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列（III ）证明：1121211,1,2,...,,12122(2)2k k k k k k a k n a ++--==<=-- 12231 (2)n n a a a na a a +∴+++<111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k kk k a k n a +++-==-=-≥-=--+-1222311111111...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->-*122311...().232n n a a a n nn N a a a +∴-<+++<∈ 2．放缩后为“差比”数列，再求和例3．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1 =+=+n a n a n n n ．求证：11213-++-≥>n n n n a a 证明：因为n nn a na )21(1+=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ， 即021>=-+n n n n a na a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ， 即n n n n n n a n a a 221≥=-+，累加得：121212221--+++≥-n n n a a ． 令12212221--+++=n n n S ，所以n n n S 2122212132-+++= ，两式相减得： n n n n S 212121212121132--++++=- ，所以1212-+-=n n n S ，所以1213-+-≥n n n a ， 故得11213-++-≥>n n n n a a ．3．放缩后成等差数列，再求和例4．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.(1) 求证：2214n n n a a S ++<；(2)<⋅⋅⋅+<解：（1）在条件中，令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a ，又由条件n n n S a a 22=+有11212+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-=所以， n n a n =-⨯+=)1(11，(1)2n n n S +=所以42)1(212)1(21222++=++∙<+=n n n a a n n n n S （2）因为1)1(+<+<n n n n ，所以212)1(2+<+<n n n n ，所以 2)1(23222121+++⨯+⨯=++n n S S S n 212322++++<n 2122312-=+=+n S n n ；222)1(2222121n n S n n n S S S =+=+++>++练习：1.（08南京一模22题）设函数213()44f x x bx =+-，已知不论,αβ为何实数，恒有(cos )0f α≤且(2sin )0f β-≥.对于正数列{}n a ，其前n 项和()n n S f a =，*()n N ∈.(Ⅰ) 求实数b 的值；（II ）求数列{}n a 的通项公式；1,1nn N a +=∈+，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，试比较n T 和16的大小并证明之.解：(Ⅰ) 12b =（利用函数值域夹逼性）；（II ）21n a n =+； （Ⅲ）∵21111(22)22123nc n n n ⎛⎫=<- ⎪+++⎝⎭，∴1231111+23236n n T c c c c n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅<-< ⎪+⎝⎭…2.（04全国）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：n n n a S )1(2-+=， 1≥n （1）写出数列}{n a 的前三项1a ，2a ，3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式； （3）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++m a a a 分析：⑴由递推公式易求：a 1=1,a 2=0,a 3=2；⑵由已知得：1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+----（n>1） 化简得：1122(1)n n n a a --=+-2)1(2)1(11---=---n n n n a a ,]32)1([232)1(11+--=+---n n n n a a故数列{32)1(+-nn a }是以321+-a 为首项, 公比为2-的等比数列. 故1)2)(31(32)1(---=+-n nn a ∴22[2(1)]3n n n a -=-- ∴数列{n a }的通项公式为：22[2(1)]3n n n a -=--. ⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。

用放缩法处理数列和不等问题（教师版）之邯郸勺丸创作一．先求和后放缩（主要是先裂项求和,再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ,满足12+=n n a S ,试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ,数列{}n b 的前n 项的和为n B ,求证：21<n B 解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ,2≥n 时,211)1(4+=--n n a S ,作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ,所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ,又因为{}n a 为正数数列,所以21=--n n a a ,即{}n a 是公役为2的等差数列,由1211+=a S ,得11=a ,所以12-=n a n （2）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ,所以真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列{}n a 的前n 项的和,14122333n n n S a +=-⨯+,1,2,3,n =（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2nn nT S =,1,2,3,n =,证明：132nii T =<∑. 解: (Ⅰ)由 Sn=43an －13×2n+1+23, n=1,2,3,… , ① 得 a1=S1=43a1－13×4+23所以a1=2 再由①有 Sn －1=43an －1－13×2n+23, n=2,3,4,…将①和②相减得: an=Sn －Sn －1= 43(an －an －1)－13×(2n+1－2n),n=2,3, …整理得: an+2n=4(an －1+2n －1),n=2,3, … , 因而数列{ an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=4×4n－1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n －2n, n=1,2,3, …,(Ⅱ)将an=4n －2n 代入①得 Sn= 43×(4n－2n)－13×2n+1 + 23 =13×(2n+1－1)(2n+1－2)= 23×(2n+1－1)(2n －1)Tn= 2n Sn = 32×2n (2n+1－1)(2n －1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1)所以, 1ni i T =∑= 321(n i =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 1121n +-)< 32二．先放缩再求和1．放缩后成等比数列,再求和例2．等比数列{}n a 中,112a =-,前n 项的和为n S ,且798,,S S S 成等差数列．设nn n a a b -=12,数列{}n b 前n 项的和为n T ,证明：13n T <．解：∵9789A A a a -=+,899A A a -=-,899a a a +=-,∴公比9812a q a ==-．∴n n a )21(-=． nn n nn n b 231)2(41)21(141⋅≤--=--=．（利用等比数列前n 项和的模拟公式n n S Aq A =-猜测）∴n n b b b B ++=2131)211(31211)211(213123123123122<-=--⋅=⋅++⋅+⋅≤n n ． 真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 滿足12111*444(1)()nnb b b b n a n N ---=+∈,证明：数列{}n b 是等差数列；（Ⅲ）证明：*122311...()232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈. （I ）解：*121(),n n a a n N +=+∈112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项,2为公比的等比数列12.n n a ∴+=即 2*21().n a n N =-∈（II ）证法一：1211144...4(1).nnk k k k n a ---=+122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-=①12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+②②－①,得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-即1(1)20,n n n b nb +--+=21(1)20.n n nb n b ++-++= ③－④,得 2120,n n n nb nb nb ++-+=即 2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列（III ）证明：1121211,1,2,...,,12122(2)2k k k k k k a k n a ++--==<=-- 2．放缩后为“差比”数列,再求和例3．已知数列{}n a 满足：11=a ,)3,2,1()21(1 =+=+n a na n nn ．求证：11213-++-≥>n n n n a a 证明：因为n nn a na )21(1+=+,所以1+n a 与n a 同号,又因为011>=a ,所以0>n a ,即021>=-+n nn n a na a ,即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列,所以11=≥a a n ,即nn n n n n a n a a 221≥=-+,累加得：121212221--+++≥-n n n a a ． 令12212221--+++=n n n S ,所以nn n S 2122212132-+++= ,两式相减得： n n n n S 212121212121132--++++=- ,所以1212-+-=n n n S ,所以1213-+-≥n n n a , 故得11213-++-≥>n n n n a a ． 3．放缩后成等差数列,再求和例4．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.(1) 求证：2214n n n a a S ++<；(2)<⋅⋅⋅+解：（1）在条件中,令1=n ,得1112122a S a a ==+,1011=∴>a a ,又由条件n n n S a a 22=+有11212+++=+n n n S a a ,上述两式相减,注意到n n n S S a -=++11得0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-=所以, n n a n =-⨯+=)1(11,(1)2n n n S +=所以42)1(212)1(21222++=++•<+=n n n a a n n n n S（2）因为1)1(+<+<n n n n ,所以212)1(2+<+<n n n n ,所以 2122312-=+=+n S n n ；222)1(2222121n n S n n n S S S =+=+++>++练习：1.（08南京一模22题）设函数213()44f x x bx =+-,已知不管,αβ为何实数,恒有(cos )0f α≤且(2sin )0f β-≥.对于正数列{}n a ,其前n 项和()n n S f a =,*()n N ∈.(Ⅰ) 求实数b 的值；（II ）求数列{}n a 的通项公式； 1,1nn N a +=∈+,且数列{}n c 的前n 项和为n T ,试比较n T 和16的大小并证明之.解：(Ⅰ) 12b =（利用函数值域夹逼性）；（II ）21n a n =+； （Ⅲ）∵21111(22)22123n c n n n ⎛⎫=<- ⎪+++⎝⎭,∴1231111+23236n n T c c c c n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅<-< ⎪+⎝⎭…2.（04全国）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：n n n a S )1(2-+=,1≥n （1）写出数列}{n a 的前三项1a ,2a ,3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式；（3）证明：对任意的整数4>m ,有8711154<+++m a a a 阐发：⑴由递推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；⑵由已知得：1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+----（n>1） 化简得：1122(1)n n n a a --=+-2)1(2)1(11---=---n n n n a a ,]32)1([232)1(11+--=+---n n n n a a故数列{32)1(+-nn a }是以321+-a 为首项, 公比为2-的等比数列.故1)2)(31(32)1(---=+-n nn a ∴22[2(1)]3n n n a -=-- ∴数列{n a }的通项公式为：22[2(1)]3n n n a -=--.⑶不雅察要证的不等式,左边很庞杂,先要设法对左边的项进行适当的放缩,使之能够求和.而左边=232451113111[]221212(1)m mm a a a -+++=+++-+--,如果我们把上式中的分母中的1±去掉,就可利用等比数列的前n 项公式求和,由于-1与1交错出现,容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩,测验考试知：32322121121121+>++-,43432121121121+<-++,因此,可将1212-保存,再将后面的项两两组合后放缩,即可求和.这里需要对m 进行分类讨论,（1）当m 为偶数)4(>m 时,（2）当m 是奇数)4(>m 时,1+m 为偶数, 所以对任意整数4>m ,有m a a a 11154+++ 87<. 本题的关头是并项后进行适当的放缩.3.（07武汉市模拟）定义数列如下：*+∈+-==N n a a a a n n n ,1,2211 求证：（1）对于*∈N n 恒有n n a a >+1成立； （2）当*∈>N n n 且2,有11211+=-+a a a a a n n n 成立； （3）11112112006212006<+++<-a a a 阐发：（1）用数学归纳法易证. （2）由121+-=+n n n a a a 得：)1(11-=-+n n n a a a )1(111-=-∴--n n n a a a……)1(1112-=-a a a以上各式两边辨别相乘得： )1(111211-=--+a a a a a a n n n ,又21=a（3）要证不等式11112112006212006<+++<-a a a , 可先设法求和：200621111a a a +++ ,再进行适当的放缩.111120071---=a a 20062111a a a -=1<又2006200612006212=>a a a a 200620062121111->-∴a a a ∴原不等式得证.本题的关头是按照题设条件裂项求和.用放缩法处理数列和不等问题（学生版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和,再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ,满足12+=n n a S ,试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ,数列{}n b 的前n 项的和为n B ,求证：21<n B 真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列{}n a 的前n 项的和,14122333n n n S a +=-⨯+,1,2,3,n =（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2nn nT S =,1,2,3,n =,证明：132nii T =<∑. 二．先放缩再求和1．放缩后成等比数列,再求和例2．等比数列{}n a 中,112a =-,前n 项的和为n S ,且798,,S S S 成等差数列．设nn n a a b -=12,数列{}n b 前n 项的和为n T ,证明：13n T <．真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 滿足12111*444(1)()nnb b b b n a n N ---=+∈,证明：数列{}n b 是等差数列；（Ⅲ）证明：*122311...()232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈. 2．放缩后为“差比”数列,再求和 例3．已知数列{}n a 满足：11=a ,)3,2,1()21(1 =+=+n a na n n n ．求证：11213-++-≥>n n n n a a 3．放缩后成等差数列,再求和例4．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.(1) 求证：2214n n n a a S ++<；(2)<⋅⋅⋅+练习：1.（08南京一模22题）设函数213()44f x x bx =+-,已知不管,αβ为何实数,恒有(cos )0f α≤且(2sin )0f β-≥.对于正数列{}n a ,其前n 项和()n n S f a =,*()n N ∈.(Ⅰ) 求实数b 的值；（II ）求数列{}n a 的通项公式；1,1nn N a +=∈+,且数列{}n c 的前n 项和为n T ,试比较n T 和16的大小并证明之.2.（04全国）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：n n n a S )1(2-+=,1≥n（1）写出数列}{n a 的前三项1a ,2a ,3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式；（3）证明：对任意的整数4>m ,有8711154<+++m a a a 3.（07武汉市模拟）定义数列如下：*+∈+-==N n a a a a n n n ,1,2211 求证：（1）对于*∈N n 恒有n n a a >+1成立； （2）当*∈>N n n 且2,有11211+=-+a a a a a n n n 成立； （3）11112112006212006<+++<-a a a。

2023届高考数学专项练习放缩法证明数列不等式之常数型与函数型◆题型一:放缩法证明数列不等式之常数型方法解密:放缩法证明数列不等式属于数列大题中较有难度的一种题型.大部分是以证明某个数列和大于或小于一个常数类型,小部分是证明某个数列前n项和或者积大于或小于一个函数(下一专题详解).本专题我们来介绍最常见的常数类型.放缩的目的有两个:一是通过放缩使数列的和变换成比如裂项相消等可以简单求和的形式,这样可以方便比较大小.二是两者之间无法直接比较大小,这样我们需要通过寻找一个媒介,来间接比较大小.放缩的原则:放缩必然会导致数变大或者变小的情况,我们的原则是越精确越好.在证明过程中,为了使放缩更精确,往往会第一项不变,从第二项或者第三项开始放缩(例题会有讲解).放缩的方法:(1)当我们要证明多项式M<A时,我们无法直接证明两者的大小,这时我们可以将多项式M放大为N1,当我们能够证明N1<A,也间接证明了M<A.切不可将M缩小为N2,即使能够证明N2<A,M与A的关系无法得证.(2)当我们要证明多项式M>A时,这时我们可以将多项式M缩小为N1,当我们能够证明N1>A,也间接证明了M>A.需要放缩的多项式多以分式形式出现,要使得分式的值变大,就是将分母变小,常见是将分母减去一个正数,比如1.常见的放缩形式:(1)1n2<1n-1n=1n-1-1n n≥2；(2)1n2>1n n+1=1n-1n+1；(3)1n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1；(5)1n =2n+n<2n-1+n=2-n-1+nn≥2；(6)1n =2n+n>2n+n+1=2-n+n+1；(7)1n =2n+n<2n-12+n+12=222n-1+2n+1=2-2n-1+2n+1；(8)2n2n-12=2n2n-12n-1<2n2n-12n-2=2n-12n-12n-1-1=12n-1-1-12n-1n≥2；(12)12n-1<2n-12n-1-12n-1=12n-1-1-12n-1n≥2.类型一:裂项放缩【经典例题1】求证112+122+132+.....+1n2<2【变式1】求证112+122+132+.....+1n2<74【变式2】求证112+122+132+.....+1n2<53【经典例题2】已知a n=n2,b n=n2,设c n=1a n+b n,求证:c1+c2+⋯+c n<43.【经典例题3】已知数列a n满足a1=1，a n-1=n-1n a n(n≥2,n∈N*)，(1)求a n;(2)若数列b n满足b1=13，b n+1=b n+1a2n(n∈N*)，求证：b n<2512．类型二:等比放缩所谓等比放缩就是数列本身并非为标准的等比数列,我们将数列的通项经过一定的放缩使之成为一个等比数列,然后再求和,我们通过例题进行观察了解.【经典例题4】证明:121-1+122-1+123-1+...+12n -1<53【经典例题5】已知数列a n 满足：a 1=2，a n +1=2a n +2n +1，n ∈N *.(1)求证a n 2n 是等差数列并求a n ；(2)求数列a n 的前n 项和S n ；(3)求证：1a 2-a 1+1a 3-a 2+1a 4-a 3+⋅⋅⋅+1a n +1-a n <12.【练习1】已知数列{a n }中，a 1=1，其前n 项的和为S n ，且当n ≥2时，满足a n =S 2n S n -1．(1)求证：数列1S n 是等差数列；(2)证明：S 21+S 22+⋯+S 2n <74．【练习2】已知数列a n 的前n 项和为S n ，且S n =12na n +a n -1．(1)求数列a n 的通项公式；(2)若数列2a 2n 的前n 项和为T n ，证明：T n <32．【练习3】已知函数f (x )=x 3-2x ，数列a n 中，若a n +1=f (a n )，且a 1=14.(1)求证：数列1a n -1 是等比数列；(2)设数列a n 的前n 项和为S n ，求证：S n <12.【练习4】已知函数f (x )=x 2-2x ，数列a n 的前n 项和为S n ，点P n n ,S n 均在函数y =f x 的图象上．若b n=12a n +3 (1)当n ≥2时，试比较b n +1与2b n的大小；(2)记c n =1b n n ∈N *试证c 1+c 2+⋯+c 400<39.◆题型二:放缩法证明数列不等式之函数型方法解密:数列放缩较难的的两类便是形如数列的前n 项和与函数f (n )的不等关系,即a 1+a 2+⋯+a n <f (n )或者数列前n 项积与函数f (n )的不等关系,即a 1⋅a 2⋅⋯⋅a n <f (n )的问题,其中,这里的前n 项和与前n 项积难求或者是根本无法求.面对这类题时,首先,我们可以将f (n )看成某个数列的和或者积,然后通过比较通项的大小来解决;其次,我们也可以对a n 进行变形,使之能求和或者求积.往往第二种方法难以把握,对学生综合素质要求较高.而第一种方法相对简单易行,所以本专题以“拆项”为主线详细讲解.【经典例题1】已知数列a 1=32,a n +1=3a n -1,n ∈N *(1)若数列b n 满足b n =a n -12,求证:数列b n 是等比数列。

数列综合题1、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()11n n a S a a =--，a 为常数，且0a ≠，1a ≠． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若13a =，设1111n n n n n a a b a a ++=-+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <．2、已知数列{}n a 的前n 项和()12n n n a S +=，且11a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令ln n n b a =，是否存在k (2,)k k N ≥∈，使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．3、已知{}n a 是等差数列，32=a ，53=a ．⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵对一切正整数n ，设1)1(+⋅-=n n n n a a n b ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．4、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21=a ,221+=+n n S a ()1,2,3n =． （1）求2a ；（2）数列{}n a 的通项公式；（3）设n n n n S S a b 11++=,求证：2121<+++n b b b ．5、对于任意的n ∈N *，数列{a n }满足1212121212121n n a n a a n ---+++=++++. (Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ) 求证：对于n≥2，231222112n n a a a ++++<-6、已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S 满足242n n n S a a =+．（1）求1a 的值；（2）求{}n a 的通项公式；（3）求证：*222121111,2n n N a a a ++⋅⋅⋅+<∈。

7、已知数列{}n a 满足112a =，11210n n n a a a ++-+=，*n N ∈． （1）求证：数列1{}1n a -是等差数列； （2）求证：231223411n n a a a a n n n a a a a +<+++<+.8、已知首项大于0的等差数列{}n a 的公差1d =，且12231123a a a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}nb 满足：11b =-，2b λ=，111(1)n n n n n b b n a -+--=+，其中2n ≥． ①求数列{}n b 的通项n b ； ②是否存在实数λ，使得数列}{n b 为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．9、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11,2n n S n a n N *+=⋅∈，其中11a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1132n n a b +=-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：14n T <。

数列中的放缩法题型示例【例题1】（2015浙江理科样卷.19）设数列122015,,...a a a 满足性质P :1232015...0a a a a ++++=，1232015|||||...||1a a a a +++++=.（I ）（i 若122015,,...,a a a 是等差数列，求n a ；（ii ）是否存在具有性质P 的等比数列122015,,...a a a ？ （II ）求证12320151111007 (2320152015)a a a a ++++≤. 【解析】（I ）（i ）设等差数列的公差d ，根据性质P ，0d ≠，前n 项和为n S .1232015...0a a a a ++++=12015()201502a a +⇒⋅=10080a ⇒=. 若0d >，123201512100710082015|||||...||......a a a a a a a a a +++++=----+++ =201510072S S -=11210071 (2)a a a ⇒+++=-⇒504121007a =-⨯110071008d ⇒=⨯，100810071008n n a -=⨯；若0d <，同理可得50411,2100710081007a d ==⨯⨯，100810071008n n a -=⨯.(ii)若1q =，则12320151232015|||||...||||...|1a a a a a a a a +++++=+++=，与1232015...0a a a a ++++=矛盾；若1q ≠，则201511232015(1)...01a q a a a a q-++++=≠-，与1232015...0a a a a ++++=矛盾.所以不存在满足性质P 的等比数列.（II ）由已知条件，必有0i a >，也必有0j a <（,{1,2,...2015}i j ∈，且i j ≠）.设12,,...,l i i i a a a 是所有n a 中大于0的数，12,,...,m j j j a a a 是所有n a 中小于0的数，由条件得121...2l i i i a a a +++=，121 (2)m j j j a a a +++=-， 121212121211...(...)(...)2l m i j i i j j n l ma a a a a a a a a n i i i j j j +++=+++++++12121(...)(...)2015l m i i i j j j a a a a a a ≤+++++++ 111007*********=-=.【例题2】（2015浙江省六校联考.理科19）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，3,(*)2n n S a n n N =-∈. (I ）求证{1}n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （II ）证明：31223411 (38)n n a a a a n a a a a +++++>-. 【解析】（I ）1n =时，12a =.1n >时，1133(1)22n n n n n a S S a n a n --⎛⎫⎛⎫=-=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113122n n a a -⇒=+113213(1)n n n n a a a a --⇒=+⇒+=+，{1}n a +是以3为首项，3为公比的等比数列，13n n a +=，31n n a =-；（II ）111113113312(1)31331331n n n n n n n a a +++++--===----=123933n -⋅-1238333n n =-⋅+-111343n ≥-⋅ 所以312234111(1)11133...()(1)13438313n n n n a a a a n n a a a a +-++++≥-=---138n >-. 【同步练习1】(2014年广东文科19.）设各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足222(3)3()0n n S n n S n n -+--+=，*n N ∈.（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对于一切正整数n ，都有11221111...(1)(1)(1)3n n a a a a a a +++<+++.【例题3】（2015年015年杭州市第一次高考科目教学质量检测高三数学检测试卷（理科.19）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n S +n a =n （*N n ∈）.（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）求证：221...21212133221＜nn a a a a ++++. 【解析】（I ）1n =时，112a =. 1n >时，（n S +n a ）-（11n n S a --+）=(1)n n --11(1)2n n a a -⇒=+111(1)2n n a a --=-， 所以{1}n a -是以12-为首项，12为公比的等比数列，1111()22n n a --=-⨯，112n n a =-；（II ）11112212(1)2n n n n n a ==--11112122112(21)(21)(21)(21)2121n n n n n n n n ++++-⋅⎛⎫=<=- ⎪------⎝⎭. 231231111...2222n n a a a a ++++＜22311111112 (1212121)2121n n +⎛⎫-+-++- ⎪-----⎝⎭ =1121221n +⎛⎫-< ⎪-⎝⎭【同步练习2】已知数列}{n a 满足31=a ，且121n n a a n +=-+. （1）求通项公式n a ； （2）设11--=n a c n n ，证明：32...32<+++n c c c 。

用放缩法处理数列和不等问题（教师版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n（2）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ，所以21)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=n n n B n Λ 真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列{}n a 的前n 项的和,14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =gg g （Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2nn n T S =，1,2,3,n =g g g ，证明：132ni i T =<∑.解: (Ⅰ)由 S n =43a n －13×2n+1+23, n=1,2,3，… , ① 得 a 1=S 1= 43a 1－13×4+23所以a 1=2 再由①有 S n －1=43a n －1－13×2n +23, n=2,3，4,…将①和②相减得: a n =S n －S n －1= 43(a n －a n －1)－13×(2n+1－2n ),n=2,3, …整理得: a n +2n =4(a n －1+2n －1),n=2,3, … , 因而数列{ a n +2n }是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : a n +2n =4×4n －1= 4n , n=1,2,3, …, 因而a n =4n －2n , n=1,2,3, …,(Ⅱ)将a n =4n －2n 代入①得 S n =43×(4n －2n )－13×2n+1 +23 = 13×(2n+1－1)(2n+1－2) = 23×(2n+1－1)(2n －1)T n = 2n S n = 32×2n (2n+1－1)(2n －1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1)所以, 1ni i T =∑= 321(ni =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 1121n +-) < 32二．先放缩再求和1．放缩后成等比数列，再求和例2．等比数列{}n a 中，112a=-，前n 项的和为n S ，且798,,S S S 成等差数列．设nn n a a b -=12，数列{}n b 前n 项的和为n T ，证明：13n T <．解：∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比9812a q a ==-． ∴n na )21(-=． nn n nn n b 231)2(41)21(141⋅≤--=--=． （利用等比数列前n 项和的模拟公式nn S Aq A =-猜想）∴n n b b b B Λ++=2131)211(31211)211(213123123123122<-=--⋅=⋅++⋅+⋅≤n n Λ． 真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 滿足12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---=+∈L ，证明：数列{}n b 是等差数列；（Ⅲ）证明：*122311...()232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈. （I ）解：*121(),n n a a n N +=+∈Q112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列12.n n a ∴+=即 2*21().n a n N =-∈（II ）证法一：1211144...4(1).n n k k k k n a ---=+Q12(...)42.n n k k k n nk +++-∴=122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-即1(1)20,n n n b nb +--+=21(1)20.n n nb n b ++-++=③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+=即 2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列（III ）证明：Q1121211,1,2,...,,12122(2)2k k k k k k a k n a ++--==<=--12231 (2)n n a a a na a a +∴+++<111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k kk k a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q1222311111111...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->-*122311...().232n n a a a n nn N a a a +∴-<+++<∈ 2．放缩后为“差比”数列，再求和 例3．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1Λ=+=+n a n a n n n ．求证：11213-++-≥>n n n n a a 证明：因为n n n a na )21(1+=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ， 即021>=-+n nn n a na a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ， 即n n n n n n a n a a 221≥=-+，累加得：121212221--+++≥-n n n a a Λ． 令12212221--+++=n nn S Λ，所以n n n S 2122212132-+++=Λ，两式相减得： n n n n S 212121212121132--++++=-Λ，所以1212-+-=n n n S ，所以1213-+-≥n n n a ， 故得11213-++-≥>n n n n a a ．3．放缩后成等差数列，再求和例4．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.(1) 求证：2214n n n a a S ++<；(2)<⋅⋅⋅+< 解：（1）在条件中，令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a Θ ，又由条件n n nS a a 22=+有11212+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a Θ ∴11n n a a +-=所以， n n a n =-⨯+=)1(11，(1)2nn n S +=所以42)1(212)1(21222++=++•<+=n n n a a n n n n S （2）因为1)1(+<+<n n n n ，所以212)1(2+<+<n n n n ，所以 2)1(23222121+++⨯+⨯=++n n S S S n ΛΛ212322++++<n Λ 2122312-=+=+n S n n ；222)1(2222121n n S n n n S S S =+=+++>++ΛΛ练习：1.（08南京一模22题）设函数213()44f x x bx =+-，已知不论,αβ为何实数，恒有(cos )0f α≤且(2sin )0f β-≥.对于正数列{}n a ，其前n 项和()n n S f a =，*()n N ∈.(Ⅰ) 求实数b 的值；（II ）求数列{}n a 的通项公式；1,1n n N a +=∈+，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，试比较n T 和16的大小并证明之. 解：(Ⅰ) 12b =（利用函数值域夹逼性）；（II ）21n a n =+； （Ⅲ）∵21111(22)22123n c n n n ⎛⎫=<- ⎪+++⎝⎭，∴1231111+23236n n T c c c c n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅<-< ⎪+⎝⎭…2.（04全国）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：nn n a S )1(2-+=， 1≥n（1）写出数列}{n a 的前三项1a ，2a ，3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式； （3）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++m a a a Λ 分析：⑴由递推公式易求：a 1=1,a 2=0,a 3=2；⑵由已知得：1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+----（n>1）化简得：1122(1)n n n a a --=+-2)1(2)1(11---=---n n n n a a ,]32)1([232)1(11+--=+---n n n n a a 故数列{32)1(+-nn a }是以321+-a 为首项, 公比为2-的等比数列. 故1)2)(31(32)1(---=+-n nn a ∴22[2(1)]3n nn a -=-- ∴数列{n a }的通项公式为：22[2(1)]3n n na -=--. ⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。

用放缩法处理数列和不等问题（教师版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n（2）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ，所以 真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列{}n a 的前n 项的和,14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =g g g（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2nn n T S =，1,2,3,n =g g g ，证明：132ni i T =<∑.解: (Ⅰ)由 S n =43a n －13×2n+1+23, n=1,2,3，… , ① 得 a 1=S 1= 43a 1－13×4+23所以a 1=2再由①有 S n －1=43a n －1－13×2n +23, n=2,3，4,…将①和②相减得: a n =S n －S n －1= 43(a n －a n －1)－13×(2n+1－2n),n=2,3, …整理得: a n +2n=4(a n －1+2n －1),n=2,3, … , 因而数列{ a n +2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 :a n +2n =4×4n －1= 4n , n=1,2,3, …, 因而a n =4n －2n, n=1,2,3, …,(Ⅱ)将a n =4n －2n 代入①得 S n = 43×(4n －2n )－13×2n+1 + 23 = 13×(2n+1－1)(2n+1－2)= 23×(2n+1－1)(2n－1)T n = 2nS n = 32×2n(2n+1－1)(2n－1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1) 所以,1ni i T =∑=321(ni =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 1121n +-) < 32 二．先放缩再求和1．放缩后成等比数列，再求和例2．等比数列{}n a 中，112a=-，前n 项的和为n S ，且798,,S S S 成等差数列． 设nn n a a b -=12，数列{}n b 前n 项的和为n T ，证明：13n T <．解：∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比9812a q a ==-．∴n na )21(-=． nn n nn n b 231)2(41)21(141⋅≤--=--=． （利用等比数列前n 项和的模拟公式nn S Aq A =-猜想）∴n n b b b B Λ++=2131)211(31211)211(213123123123122<-=--⋅=⋅++⋅+⋅≤n n Λ． 真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---=+∈L，证明：数列{}n b 是等差数列； （Ⅲ）证明：*122311...()232n n a a a n n n N a a a +-<+++<∈.（I ）解：*121(),n n a a n N +=+∈Q112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列12.n n a ∴+=即 2*21().n a n N =-∈（II ）证法一：1211144...4(1).n n k k k k n a ---=+Q122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-即1(1)20,n n n b nb +--+=21(1)20.n n nb n b ++-++= ③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+=即 2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列（III ）证明：Q1121211,1,2,...,,12122(2)2k k k k k k a k n a ++--==<=-- 2．放缩后为“差比”数列，再求和 例3．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1Λ=+=+n a n a n n n ．求证：11213-++-≥>n n n n a a 证明：因为n nn a na )21(1+=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ， 即021>=-+n n n n a na a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ， 即n n n n n n a n a a 221≥=-+，累加得：121212221--+++≥-n n n a a Λ．令12212221--+++=n n n S Λ，所以n n n S 2122212132-+++=Λ，两式相减得：n n n n S 212121212121132--++++=-Λ，所以1212-+-=n n n S ，所以1213-+-≥n n n a ，故得11213-++-≥>n n n n a a ． 3．放缩后成等差数列，再求和例4．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.(1) 求证：2214n n n a a S ++<；(2)<⋅⋅⋅解：（1）在条件中，令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a Θ ，又由条件n n n S a a 22=+有11212+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a Θ ∴11n n a a +-=所以， n n a n =-⨯+=)1(11，(1)2n n n S +=所以42)1(212)1(21222++=++•<+=n n n a a n n n n S （2）因为1)1(+<+<n n n n ，所以212)1(2+<+<n n n n ，所以 2122312-=+=+n S n n ；222)1(2222121n n S n n n S S S =+=+++>++ΛΛ练习：1.（08南京一模22题）设函数213()44f x x bx =+-，已知不论,αβ为何实数，恒有(cos )0f α≤且(2sin )0f β-≥.对于正数列{}n a ，其前n 项和()n n S f a =，*()n N ∈.(Ⅰ) 求实数b 的值；（II ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）若1,1n n N a +=∈+，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，试比较n T 和16的大小并证明之. 解：(Ⅰ) 12b =（利用函数值域夹逼性）；（II ）21n a n =+； （Ⅲ）∵21111(22)22123n c n n n ⎛⎫=<- ⎪+++⎝⎭，∴1231111+23236n n T c c c c n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅<-< ⎪+⎝⎭…2.（04全国）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：nn n a S )1(2-+=， 1≥n （1）写出数列}{n a 的前三项1a ，2a ，3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式；（3）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++m a a a Λ 分析：⑴由递推公式易求：a 1=1,a 2=0,a 3=2；⑵由已知得：1112(1)2(1)nn n n n n n a S S a a ---=-=+----（n>1）化简得：1122(1)n n n a a --=+-2)1(2)1(11---=---n n n n a a ,]32)1([232)1(11+--=+---n n n n a a 故数列{32)1(+-n n a }是以321+-a 为首项, 公比为2-的等比数列. 故1)2)(31(32)1(---=+-n nn a ∴22[2(1)]3n n n a -=-- ∴数列{n a }的通项公式为：22[2(1)]3n n n a -=--.⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。