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2016_2017学年高中数学第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.3绝对值不等式的解法课件

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高一数学不等式的基本性质的知识点

高一数学不等式的基本性质的知识点

高一数学不等式的基本性质的知识点高一数学不等式的基本性质的知识点在我们的学习时代，不管我们学什么，都需要掌握一些知识点，知识点在教育实践中，是指对某一个知识的泛称。

掌握知识点有助于大家更好的学习。

以下是店铺为大家收集的高一数学不等式的基本性质的知识点，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

高一数学不等式的基本性质的知识点11.不等式的定义：a-bb，a-b=0a=b，a-b0a①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。

它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。

②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。

作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。

2.不等式的性质：①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。

不等式基本性质有：(1)abb(2)acac(传递性)(3)ab+c(cR)(4)c0时，abcc0时，abac运算性质有：(1)ada+cb+d。

(2)a0，c0acbd。

(3)a0anbn(nN，n1)。

(4)a0N，n1)。

应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：和即推出关系和等价关系。

一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。

解不等式就是施行一系列的等价变换。

因此，要正确理解和应用不等式性质。

②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。

(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。

(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。

高一数学不等式的基本性质的知识点2一、目标与要求1.感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义，通过解决简单的实际问题，使学生自发地寻找不等式的解，会把不等式的解集正确地表示到数轴上;2.经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想;3.通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识;让学生充分体会到生活中处处有数学，并能将它们应用到生活的各个领域。

高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.2基本不等式课件新人教B版选修4_5

高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.2基本不等式课件新人教B版选修4_5

求下列函数的值域. (1)y＝x22＋x1；(2)y＝x22＋x1.
【精彩点拨】
把函数转化为y＝ax＋
b x
或y＝
1 ax＋bx
的形式，再利用基本不
等式求解.
【自主解答】
(1)y＝x22 ＋ x 1＝1 2 x＋1 x ，当x＞0时，
x＋
1 x
≥2，∴y≥1；当x＜0时，－x＞0，－x＋
1 －x
元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为
年平均每件产品成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不
包括促销费用).
(1)将该产品的年利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家的年促销费用投入为多少万元时，厂家的年利润最大？最大年利
润是多少万元？
【精彩点拨】 (1)可先通过m＝0时，x＝1求出常数k，再根据条件列出y关 于m的函数；(2)在(1)的函数关系式下，利用基本不等式求最值.
阶1.2 基本不等式
阶1.2 基本不等式
段
段
一
三
阶1.2 基本不等式
段 二
学业分1.2 基本不等式
层 测
评
1.理解两个正数的基本不等式. 2.了解三个正数和一般形式的基本不等式. 3.会用基本不等式求一些函数的最值及实际应用题.
2.定理 2
如果 a，b 为 数，则a＋ 2 b
ab，当且仅当 a b 时，等号成立.这个不等式
≥2
x－1·x－ 9 1＋2＝8，
当且仅当x－1＝x－ 9 1，
即x＝4时，等号成立. 所以当x＝4时，ymin＝8.
[构建·体系]
【解析】
原式变形为y＝x－ 1 3＋x－3＋3.

2016_2017学年高中数学第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1.1不等式的基本性质课件

2016_2017学年高中数学第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1.1不等式的基本性质课件
1
������
������
③若 a>b,ab≠0,则 ������ < ������ ; ④若 a>b,c>d,则 ac>bd; ⑤若 ������ > ������ , 则 ad>bc.
解析 :对于①,当 c2=0 时不成立 ; 对于 ②,∵c >0,∴
2
1
������
������
对于 ③,a>0>b 时不成立; 对于 ④,当 a=1,b=0,c=-1,d=-2 时 ,ac>bd 不成立 ; ⑤中 cd 不一定大于 0,故不正确.
题型一
题型二
题型三
题型四
(5)真命题.理由:因为 0 > a > ������ , 所以 n 必为奇数. ������ ������ 故 0>( ������)n>( ������ )n,即 0>a>b. ������ ������ 故 0 > ������ > ������⇒a>b(n∈N*,n>1), 故(5)为真命题.
【做一做2-1】 若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是(
)
A. < C.
������ ������ > D.a|c|>b|c| ������2 +1 ������2 +1
1 ������
1 ������
B.a2>b2
解析:对于选项A,还需有ab>0这个前提条件;对于选项B,当a,b都 为负数时不成立,或一正一负时可能不成立,如2>-3,但22>(-3)2不正
(2)假命题.理由 :令 a=1,b=-1,有 故(2)为假命题 ; 故(3)为假命题 ;

2016_2017学年高中数学第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.5.2综合法和分析法课件

2016_2017学年高中数学第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.5.2综合法和分析法课件

������2 +������2 -1 − ≤0 2
− 1-a2b2≤ 0
综合法在应用中的有关问题是什么? 剖析:用综合法证明不等式时,主要利用基本不等式,函数的单调 性以及不等式的性质,在严密的演绎推理下推导出结论. 综合法证明问题的“入手处”是题设中的已知条件或某些基本不 等式.比如下面的几个,是经常用到的:
题型一
题型二
题型三
用分析法证明不等式
【例 2】
(������-������) 已知 a>b>0,求证: 8������
2
<
������+������ − 2
������������
(������-������) < 8������
2
.
分析:本题要证明的不等式显得较为复杂,不易观察出怎样由 a>b>0得到要证明的不等式,因而可以用分析法先变形要证明的不 等式,从中找到证题的线索.
������
题型一
题型二
题型三
易错辨析 易错点:因不注意分析法的证题格式而致错.
【例 3】 用分析法证明: 3 + 6 < 4 + 5. 错解 :证明: 由 3 + 6 < 4 + 5, 知 ( 3 + 6)2<( 4 + 5)2,即 9+ 2 18 < 9+2 20, 即 2 18 < 2 20, 即18<20. 因为 18<20 显然成立 ,所以原不等式成立. 错因分析:分析法是“执果索因”,即由待证的不等式出发,逐步寻 求它要成立的充分条件,所以书写时必须按照分析法的固有格式进 行.本题的错误就在于未按分析法的格式证明.

2016_2017学年高中数学第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.2基本不等式课件

2016_2017学年高中数学第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.2基本不等式课件

解析:对于选项 A,当 ab>0 时,有 + ≥2; 对于选项 B,当 x>1,y>1 时 ,有 lg x+lg y≥2 lg������· lg������ ; 对于选项 C,当 x<0 时,有 x+ = − -������故可排除选项 A,B,C,故选 D.
答案:D
4 ������ 4 ������
=
������ 2 +������ 2 2
,
≤
������ 2 +������ 2 2������������ ������ +������
(当且仅当a=b 时等号成立 ).
������ +������ 2
综上所述 ,
≤ ������������ ≤
≤
������ 2 +������ 2 2
(当且仅当a=b 时等号成立 ).
1
2 ������������
= =
2
2������������ ������ +������
������
������
,
(当且仅当a=b 时等号成立 ).
4
������ 2 +������ 2 +2������������
≤
������ 2 +������ 2 +������ 2+������ 2 4
(3)定理3可用语言叙述为三个正数的算术平均值不小于它们的 几何平均值.
【做一做3】 已知x,y,z是正数,且x+y+z=6,则lg x+lg y+lg z的取 值范围是( ) A.(-∞,lg 6] B.(-∞,3lg 2] C.[lg 6,+∞) D.[3lg 2,+∞) 解析:∵x,y,z是正数,

不等式基本性质和证明

不等式基本性质和证明

第一讲 不等式的基本性质与证明一、 知识点分析不等式概念：我们把含有不等号的式子叫做不等式。

不等式的基本性质：（1）a b b a <⇔>（对称性） （2）c a c b b a >⇒>>,（传递性） （3）c b c a b a ±>±⇒>（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向相加性） （5）bc ac c b a >⇒>>0,.，bc ac c b a <⇒<>0,（6）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向相乘性） （7）a ﹥b ，ab ﹥0，a 1⇒﹤b1(倒数变向性) （8）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则），)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）注：1、无同向相减性和同向相除性，且同向相乘性须正数2、性质（8）中，若n 为正奇数，则无须b a ,都大于零两个实数大小的比较：作差法 b a b a >⇔>-0；b a b a =⇔=-0；b a b a <⇔<-0作商法 若b a ,﹥0，则b a ﹥1a ⇔﹥b ；b a ﹤1a ⇔﹤b ；ba=1a ⇔=b不等式的证明方法： ①作差法②作商法③综合法：由因到果 ④分析法：执果索因 ⑤放缩法：常见类型有⑴nn n n n n n n n111)1(11)1(11112--=-<<+=+- （放缩程度较大）;⑵)1111(2111122+--=-<n n n n （放缩程度较小）;⑶1(212221--=-+<=n n n n nn⑥数学归纳法：常用于数列类的不等式 ⑦利用函数单调性法二、 例题精选例1.⑴比较a 与b 的大小：a =m 3－m 2n －3mn 2 与 b =2m 2n －6mn 2＋n 3⑵设21x x <，比较1211x x -+与2221x x -+的大小⑶设0,0>>b a ，试比较a b b a b a b a 与的大小 例2．⑴已知y x x yx y x y x ---≤≤≤≤5,,2,51,322求的取值范围 ⑵已知y x y x y -≤-≤≤+≤2,51,3x 2求的取值范围例3. 判断下列命题A 是命题B 的什么条件 ⑴ A ：x >3 B:x 1<31 ⑵ A ：x <3 B ：x 1>31 ⑶ A ：x >y B ：yx 11< ⑷ A ：32>>y x 且 B:65>>+xy y x 且例4. 甲乙两人从A 地同时出发沿同一条路线步行到B 地，甲在前一半时间行走的速度为x ，后一半时间行走的速度为y ，乙用速度x 走完前半段路程，用速度y 走完后半段路程，若x ≠y ，试指出谁先到达B 地，并说明理由。

高中数学 第1章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.3 绝对值不等式的解法学业分层测评 新人教

2016-2017学年高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.3 绝对值不等式的解法学业分层测评新人教B版选修4-5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.3 绝对值不等式的解法学业分层测评新人教B版选修4-5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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第1章不等式的基本性质和证明的基本方法 1.3 绝对值不等式的解法学业分层测评新人教B版选修4-5(建议用时：45分钟)［学业达标]一、选择题1.集合{x|0＜｜x－3|＜3，x∈Z｝的真子集个数为( ）A。

16 B.15C.8D.7【解析】不等式的解集为x＝1,2，4，5,共4个元素，所以真子集个数为24－1＝15.【答案】B2.不等式｜x－1｜＋|x－2｜≥5的解集为( )A.{x｜x≤－1或x≥4}B。

｛x｜x≤1或x≥2｝C.{x|x≤1}D。

{x｜x≥2｝【解析】画数轴可得当x＝－1或x＝4时，有｜x－1|＋|x－2｜＝5。

由绝对值的几何意义可得，当x≤－1或x≥4时，|x－1|＋|x－2｜≥5。

【答案】A3。

如果关于x的不等式|x－a｜＋｜x＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是（）【导学号：38000011】A.（－∞,3]∪［5，＋∞）B.［－5,－3]C。

[3，5］D.(－∞,－5]∪［－3,＋∞）【解析】在数轴(略）上，结合绝对值的几何意义可知a≤－5或a≥－3。

高中数学不等式 PPT课件 图文

性质8 如果a＞b＞0，那么 n a n b（n∈N，n≥2）
绝对值不等式的基本性质
a 0
绝对 值不 等式

a

b
a

b

a b
a

b
基本 性质

a
n

an
a b ab a b

a1

a2


an

a1

a2

an
不等式的解法
(1)一元一次不等式：ax


x

a, (a

0)
x

a, 或x

a
公式法
f(x) g(x) f(x) g(x),或f(x) f(x) g(x) g(x) f(x) g(x)
a b ab a b
g(x)

a1 a2 an a1 a2 an
平方法f(x) g(x) f 2 (x) g2 (x) 划分区域讨论法：适合于两个或两个以上绝对值号的不等式
利用绝对值的几何意义:
(6)指数不等式：
af(x)ag(x) f(fx()x ) g(g x()x(),0(, a a 1)1)
(7)对数不等式：
f(x) 0

g(x) 0
(a 1)
loga f (x)

logag(x)

fg((fxx())x)
0 0
g(x) (0

a 1)
f(x) g(x)
不等式的证明方法
证明不等式的主要方法
（1） 比较法

高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.4绝对值的三角不等式b45b高二45数学


第二页，共四十三页。
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自主预习 探新知
12/12/2021
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教材整理 绝对值的三角不等式 1．定理 1 若 a，b 为实数，则|a＋b|≤ |a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时，等 号成立． 2．定理 2 设 a，b，c 为实数，则|a－c|≤ |a－b|＋|b－c| ，等号成立⇔ (_a_－__b_)(_b_－__c)_≥_0____，即 b 落在 a，c 之间．
A．|a|<|b|＋|c|
B．|c|<|a|＋|b|
C．b>||c|－|a||
D．b<|a|－|c|
[解析] 由|a－c|<b 可知 b>0，∴b＝|b|.
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若|a＋b|＝|a|＋|b|成立，a，b∈R，则有( )
A．ab<0
B．ab>0
C．ab≥0
D．以上都不对
[解析] 由定理 1 易知答案选 C. [答案] C
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合作探究 提素养
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12/12/2021
第二十二页，共四十三页。
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2．绝对值的三角不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|的结构特点是什
么？ [提示] 对|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|的诠释：
定理的构成部分 特征 大小关系
等号成立的条件
左端 |a|－|b|
可能 是
负的
中间部分为|a＋b|时，ab≤0， ≤中间 且|a|≥|b|时，左边的等号成立； 部分 中间部分为|a－b|时，ab≥0，

高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.3 绝对值不等式的解法课件 新人教B版选修45


基础自测
1.已知全集 U＝R，且 A＝{x||x－1|>2}，B＝{x|x2－6x＋8<0}，则
(∁UA)∩B 等于 A.[－1，4)
B.(2，3)
()
C.(2，3]
D.(－1，4)
解析 A＝{x||x－1|>2}＝{x|x<－1 或 x>3}，
B＝{x|x2－6x＋8<0}＝{x|2<x<4}，
自学导引
1.设 x，a 为实数，|x－a|表示数轴上的点 x 与点 a 之间的距离；|x|
表示数轴上的 点 x 与原点 之间的距离.当 x≥0 时，|x|＝ x ；当
x<0 时，|x|＝－x. 2.|x|>a (a>0)⇔ x>a 或 x<－a . 3.|x|<a (a>0)⇔ －a<x<a .
4.a<0 时，|x|≤a 的解集为 ∅ ；|x|≥a 的解集为 R . 5.|f(x)|<a (a>0)⇔ －a<f(x)<a . 6.|f(x)|>a (a>0)⇔ f(x)>a 或 f(x)<－a . 7.|f(x)|<g(x)⇔ －g(x)<f(x)<g(x) . 8.|f(x)|>g(x)⇔ f(x)>g(x)或 f(x)<－g(x). 9.|f(x)|<|g(x)|⇔ f2(x)<g2(x) . 10.|f(x)|>|g(x)|⇔ f2(x)>g2(x) .
知识点 2 解|f(x)|<|g(x)|型不等式 【例 2】 解不等式|x－a|<|x－b| (a≠b).
解 由|x－a|<|x－b|两边平方得：(x－a)2<(x－b)2. 整理得：2(a－b)x>a2－b2.因 a≠b，当 a>b 时，x>a＋2 b； 当 a<b 时，x<a＋2 b.∴不等式的解集为： 当 a>b 时，x|x>12（a＋b）； 当 a<b 时，x|x<12（a＋b）.
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3 3 函数的零点是 − , . 2 2 3 3 从图象可知,当 x≤− 或x≥ 时,y≥0,即|x+1|+|x-1|≥3. 2 2 3 3 故原不等式的解集为 -∞,- ∪ , + ∞ . 2 2
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)解法一:|x+2|=0和|x-1|=0的根-2,1把实数轴分为三个区间(-∞,2],(-2,1),[1,+∞).在这三个区间上|x+2|+|x-1|有不同的解析表达式, 它们构成了三个不等式组.
a>0 {x|-a<x<a} {x|x>a 或 x<-a}
a=0 ⌀
a<0 ⌀
{x|x∈R,且 x ≠0} R
【做一做1-1】 不等式|x|≥3的解集为 . 答案:{x|x≤-3或x≥3} 【做一做1-2】 对任意实数x,不等式|x|>a恒成立,则实数a的取值 范围是 . 解析:∵|x|≥0,∴要使|x|>a恒成立,则a<0. 答案:(-∞,0)
题型一
题型二
题型三
题型四
简单的绝对值不等式的解法 【例1】 解下列不等式: (1)|4x+5|≥25; (2)|3-2x|<9; (3)1<|x-2|≤3. 分析:根据绝对值的几何意义去掉绝对值符号求解. 解:(1)∵|4x+5|≥25, ∴4x+5≥25或4x+5≤-25. ∴4x≥20或4x≤-30.
题型一
题型二
题型三
题型四
含多个绝对值的不等式的解法 【例2】 解下列不等式: (1)|x+1|+|x-1|≥3; (2)|x+2|+|x-1|<6. 分析:(1)本题可以用分区间讨论法或数形结合法求解,对于形如 |x+a|+|x+b|的代数式,可以认为是分段函数.(2)可用分区间讨论法, 也可以利用绝对值的几何意义去绝对值符号求解或应用图象法求 解.
∴x≥5 或
15 x≤ − . 2
∴原不等式的解集为 ������ ������ ≥ 5 或������ ≤
15 2
.
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)∵|3-2x|<9,∴|2x-3|<9, ∴-9<2x-3<9,即-6<2x<12. ∴-3<x<6. ∴原不等式的解集为{x|-3<x<6}. |������-2| > 1, (3)解法一 :1<|x-2|≤3⇔ |������-2| ≤ 3 ⇔ ������-2 < -1 或 ������-2 > 1, -3 ≤ ������-2 ≤ 3. ������ < 1 或������ > 3, ⇔ ⇔-1≤x<1 或 3<x≤ 5. -1 ≤ ������ ≤ 5, 故原不等式的解集为{x|-1≤x<1或3<x≤5}. 解法二:1<|x-2|≤3⇔1<x-2≤3或-3≤x-2<-1⇔3<x≤5或-1≤x<1, 故原不等式的解集为{x|3<x≤5或-1≤x<1}.
题型一
题型二
题型三
题型四
(3)形如|f(x)|<g(x),|f(x)|>g(x)型不等式 此类问题的简单解法是等价命题法,即 ①|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x). ②|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(其中g(x)可正也可负). 若此类问题用分类讨论法来解决,则显得较复杂. (4)形如a<|f(x)|<b(b>a>0)型不等式 此类问题的简单解法是利用等价命题法,即 a<|f(x)|<b(0<a<b) ⇔a<f(x)<b或-b<f(x)<-a. (5)形如|f(x)|<f(x),|f(x)|>f(x)型不等式 此类问题的简单解法是利用绝对值的定义,即 |f(x)|<f(x)⇔x∈⌀, |f(x)|>f(x)⇔f(x)<0.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)解法一:(几何法)如图,设数轴上与-1,1对应的点分别为A,B, 那么A,B两点间的距离为2,因此区间[-1,1]上的数都不是不等式的 解.设在点A左侧有一点A1,到A,B两点的距离之和为3,A1对应数轴上 3 的x,则-1-x+1-x=3,得x= − 2.
同理设点B右侧有一点B1到A,B两点的距离之和为3,B1对应数轴 3 上的x,则x-1+x-(-1)=3,得x = 2. 从数轴上可看到,点A1,B1之间的点到A,B的距离之和都小于3;点 A1的左边或点B1的右边的任意点到A,B的距离之和都大于3.
【做一做3】 不等式|x+3|+|x-3|>8的解集为 . 解析:|xБайду номын сангаас3|+|x-3|>8 ������ ≥ 3, ������ < -3, -3 ≤ ������ < 3, ⇔ 或 或 ������ + 3 + ������-3 > 8, -������-3-������ + 3 > 8 ������ + 3-������ + 3 > 8 ������ ≥ 3, ������ < -3, -3 ≤ ������ < 3, ⇔ 或 或 ������ > 4, ������ < -4 6>8 ⇔x<-4 或 x>4. 答案:(-∞,-4)∪(4,+∞)
题型一
题型二
题型三
题型四
反思绝对值不等式的常见类型及其解法: (1)形如|f(x)|<a,|f(x)|>a(a∈R)型不等式 此类问题的简单解法是等价命题法,即 ①当a>0时,|f(x)|<a⇒-a<f(x)<a. |f(x)|>a⇔f(x)>a或f(x)<-a. ②当a=0时,|f(x)|<a无解. |f(x)|>a⇔f(x)≠0. ③当a<0时,|f(x)|<a无解. |f(x)|>a⇔f(x)有意义. (2)形如|f(x)|<|g(x)|型不等式 此类问题的简单解法是利用平方法,即 |f(x)|<|g(x)|⇔[f(x)]2<[g(x)]2 ⇔[f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]<0.
3 3 所以原不等式的解集是 -∞,- 2 ∪ 2 , + ∞ .
题型一
题型二
题型三
题型四
解法二:(分区间讨论法或分段法)当x≤-1时,原不等式可以化为3 (x+1)-(x-1)≥3,解得x≤ − 2. 当-1<x<1时,原不等式可以化为 x+1-(x-1)≥3,即2≥3,不成立,无解. 当x≥1时,原不等式可以化为x+1+x-1≥3, 3 解得x≥ 2. 3 3 ∞ ,∪ ,+∞ . 综上可知,原不等式的解集为 2 2
在分区间讨论的过程中,每一个区间的讨论都有一个“x”的范围 (或值)作为本区间讨论的前提,这与解含参数的不等式有些类似,但 本质上又不同,每一区间的讨论结果,都是“x”的前提范围与本区间 含绝对值不等式去掉绝对值符号的不等式解集的交集,而最后的不 等式的解集应是每一区间结果的并集.解含参数的不等式讨论时, 每一步的前提条件是参数所取的范围(或值),每一步间的结果各自 独立,不存在“交、并”集的说法,因此最后的结果也必须在参数的不 同限制范围下叙述结论.所以解含绝对值不等式与解含参数不等式, 虽然都用的分区间讨论法,但实质上是不同的.这就要求准确理解 和把握各自不同的解题思路及解题过程,以免出错.
������-4 < 3
������ <
������+4 . 3
答案:(5,7)
3.|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法 (1)解法一:分区间讨论法.一般步骤是:①令每个绝对值符号里的 一次式为0,求出相应的根;②把这些根由小到大排序,它们把实数轴 分为若干个区间;③在所分区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值 符号,讨论所得的不等式在这个区间上的解集;④这些解集的并集 就是原不等式的解集. (2)解法二:几何法.几何解法的关键是对绝对值几何意义的理解. 例如:|x-a|+|x-b|<c(c>0)的解集为与A(a),B(b)距离之和小于c的点的 全体. (3)解法三:图象法.图象法的关键是构造函数,正确画出函数的图 象,求出函数的零点,利用函数的图象得到不等式的解集. 知识拓展关于|x-a|<|x-b|(a≠b)的解法可以利用解不等式 |x|<a(a>0)⇔x2<a2的解法去掉绝对值符号来解:|x-a|<|x-b|⇔(xa)2<(x-b)2.
2.几个特殊的含绝对值的不等式的区别是什么? 剖析:(1)若|x-4|-|x-3|>a有解,则a的取值范围是 ; (2)若|x-4|-|x-3|>a的解集为R,则a的取值范围是 ; (3)若|x-4|+|x-3|<a的解集为⌀,则a的取值范围是 ; (4)若|x-4|+|x-3|>a的解集为R,则a的取值范围是 . 处理以上这种问题,我们可以与函数y=|x-4|-|x-3|,y=|x-4|+|x-3|的 最值(值域)等联系起来,第一个函数的值域为[-1,1],而第二个函数只 有最小值1,即|x-4|+|x-3|≥1,所以(1)|x-4|-|x-3|>a要有解,只需 a<1;(2)|x-4|-|x-3|>a的解集要是R,则说明是恒成立问题,所以a<[|x4|-|x-3|]min=-1,即a<-1;(3)|x-4|+|x-3|<a的解集为⌀,说明a≤[|x-4|+|x3|]min=1,即a≤1;(4)|x-4|+|x-3|>a的解集为R,说明a<[|x-4|+|x3|]min=1,即a<1.以上这几种不等式问题,实质是与两种函数的值域 或最值相联系的问题,当然也可以借助函数的图象,用数形结合来 解得a的取值范围.而理解这几种表述方式对掌握本节知识有很好 的帮助.