2015揭阳一模文科数学试题及答案

广东省揭阳三中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（）A．1 B．3 C．4 D．82．（5分）设集合A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，则下述对应法则f中，不能构成A到B 的映射的是（）A．f：x→y=x2B．f：x→y=3x﹣2 C．f：x→y=﹣x+4 D．f：x→y=4﹣x23．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”的否定为（）A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0B．∃x∈R，x2﹣2x+4＞0C．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0D．∃x∉R，x2﹣2x+4＞04．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3} 5．（5分）设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为假D．p∨q为真6．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=﹣x3，x∈R B．y=sinx，x∈R C．y=x，x∈R D．7．（5分）当0＜a＜b＜1时，下列不等式中正确的是（）A．＞（1﹣a）b B．（1+a）a＞（1+b）b C．（1﹣a）b＞D．（1﹣a）a＞（1﹣b）b8．（5分）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d．例如明文1，2，3，4对应加密文5，7，18，16，当接受方收到密文14，9，23，28时，则解密得明文为（）A．7，6，1，4 B．6，4，1，7 C．4，6，1，7 D．1，6，4，79．（5分）函数f（x）=2x2﹣mx+3，当x∈D．（﹣∞，8]10．（5分）己知x∈，则方程2﹣|x|=cos2πx所有实数根的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.11．（5分）函数y=log2（x﹣1）的定义域是．12．（5分）函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=﹣5，则f （5）=．13．（5分）计算：=．14．（5分）设g（x）=，则g（g（））=．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（12分）已知U=R，A={x||x﹣3|＜2}，B={x|＞0}，求A∩B，C U（A∪B）．16．（12分）已知函数f（x）=，x∈R，（1）求f（x）+f（）的值；（2）计算f（1）+f（2）+…+f+f（）+f（）+…+f（）．17．（14分）设函数y=f（x）且lg（lgy）=lg（3x）+lg（3﹣x）．（Ⅰ）求f（x）的解析式及定义域．（Ⅱ）求f（x）的值域．18．（14分）已知函数f（x）=是奇函数．（1）求实数m的值；（2）若函数f（x）在区间上单调递增，求实数a的取值范围．19．（14分）函数的定义域为（0，1]（a为实数）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数y=f（x）的值域；（Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围；（Ⅲ）求函数y=f（x）在x∈（0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．20．（14分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？广东省揭阳三中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（）A．1 B．3 C．4 D．8考点：并集及其运算．分析：根据题意，分析可得，该问题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，再由集合的元素数目与子集数目的关系可得答案．解答：解：A={1，2}，A∪B={1，2，3}，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有22=4个．故选择答案C．点评：本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想．2．（5分）设集合A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，则下述对应法则f中，不能构成A到B 的映射的是（）A．f：x→y=x2B．f：x→y=3x﹣2 C．f：x→y=﹣x+4 D．f：x→y=4﹣x2考点：映射．专题：应用题．分析：按照映射的定义，一个对应能构成映射的条件是，A中的每个元素在集合B中都有唯一的确定的一个元素与之对应．判断题中各个对应是否满足映射的定义，从而得到结论．解答：解：对于对应f：x→y=x2，当1≤x≤2 时，1≤x2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故A中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=3x﹣2，当1≤x≤2 时，1≤3x﹣2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=﹣x+4，当1≤x≤2时，2≤﹣x+4≤3，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=4﹣x2 ，当x=2 时，y=0，显然y=0不在集合B中，不满足映射的定义，故D中的对应不能构成A到B的映射．故选D．点评：本题考查映射的定义，一个对应能构成映射时，必须使A中的每个元素在集合B中都有唯一的确定的一个元素与之对应．3．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”的否定为（）A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0 B．∃x∈R，x2﹣2x+4＞0C．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0D．∃x∉R，x2﹣2x+4＞0考点：全称命题；命题的否定．专题：计算题．分析：本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式写出命题的否定即可．解答：解：∵命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”，∴命题的否定是“∃x∈R，x2﹣2x+4＞0”故选B．点评：本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化．4．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3}考点：交集及其运算．分析：解出集合N，结合数轴求交集．解答：解：N={x|log2x＞1}={x|x＞2}，用数轴表示可得答案D故选D．点评：考查知识点有对数函数的单调性，集合的交集，本题比较容易5．（5分）设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为假D．p∨q为真考点：复合命题的真假；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质；简易逻辑．分析：由题设条件可先判断出两个命题的真假，再根据复合命题真假的判断规则判断出选项中复合命题的真假即可得出正确选项．解答：解：由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题p是假命题；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题．结合复合命题的判断规则知：￢q为真命题，p∧q 为假命题，p∨q为是假命题．故选C．点评：本题考查复合命题的真假判断，解题的关键是正确判断所涉及命题的真假及熟练掌握复合命题的真假判断规则，本题属于2015届高考常考题型也是对命题考查的常规题型，知识性强，难度不大．6．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=﹣x3，x∈R B．y=sinx，x∈R C．y=x，x∈R D．考点：函数的图象与图象变化；奇函数．分析：根据基本函数的性质逐一对各个答案进行分析．解答：解：A在其定义域内既是奇函数又是减函数；B在其定义域内是奇函数但不是减函数；C在其定义域内既是奇函数又是增函数；D在其定义域内是非奇非偶函数，是减函数；故选A．点评：处理这种题目的关键是熟练掌握各种基本函数的图象和性质，其处理的方法是逐一分析各个函数，排除掉错误的答案．7．（5分）当0＜a＜b＜1时，下列不等式中正确的是（）A．＞（1﹣a）b B．（1+a）a＞（1+b）b C．（1﹣a）b＞D．（1﹣a）a＞（1﹣b）b考点：指数函数的单调性与特殊点．分析：根据指数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到答案．解答：解析：∵0＜a＜1，∴0＜1﹣a＜1，y=（1﹣a）x为减函数，又∵0＜b＜1，∴＞b，b＞，∴＜（1﹣a）b，（1﹣a）b＜，∴A、C均错，又∵1＜1+a＜1+b，∴（1+a）a＜（1+b）a＜（1+b）b，∴B错．对于D，（1﹣a）a＞（1﹣a）b，而（1﹣a）b＞（1﹣b）b，∴（1﹣a）a＞（1﹣b）b．故选D点评：本题主要考查指数函数的单调性．属基础题．8．（5分）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d．例如明文1，2，3，4对应加密文5，7，18，16，当接受方收到密文14，9，23，28时，则解密得明文为（）A．7，6，1，4 B．6，4，1，7 C．4，6，1，7 D．1，6，4，7考点：加密和数字签名的方法．专题：计算题．分析：利用接收方收到密文14，9，23，28及题目提供的加密规则，建立关于a，b，c，d 的方程组，从而可解得解密得到的明文．解答：解：设明文为a，b，c，d，∴4d=28，2c+3d=23，2b+c=9，a+2b=14，∴d=7，c=1，b=4，a=6，则解密得明文为6，4，1，7．故选B．点评：本题主要考查了加密和数字签名的方法，同时考查实际应用能力等数学基本能力，要加强新的信息与创新题，是个基础题．9．（5分）函数f（x）=2x2﹣mx+3，当x∈D．（﹣∞，8]考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：先求出函数f（x）=2x2﹣mx+3对应抛物线的对称轴，再由函数在上单调递增，则对称轴在区间的左侧求解．解答：解：函数f（x）=2x2﹣mx+3，∴其对称轴为：x=又∵函数在上单调递增∴≤﹣2，∴m≤﹣8．故选C．点评：本题主要考查二次函数的性质，涉及了二次函数的对称性和单调性，在研究二次函数单调性时，一定要明确开口方向和对称轴．10．（5分）己知x∈，则方程2﹣|x|=cos2πx所有实数根的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5考点：根的存在性及根的个数判断．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：在同一坐标系内作出函数f（x）=2﹣|x|，g（x）=cos2πx的图象，根据图象交点的个数，可得方程解的个数．解答：解：在同一坐标系内作出函数f（x）=2﹣|x|，g（x）=cos2πx的图象根据函数图象可知，图象交点的个数为5个∴方程2﹣|x|=cos2πx所有实数根的个数为5个故选D．点评：本题考查方程解的个数，考查函数图象的作法，考查数形结合的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.11．（5分）函数y=log2（x﹣1）的定义域是（1，+∞）．考点：对数函数的定义域．专题：计算题．分析：由函数的解析式知，令真数x﹣1＞0即可解出函数的定义域．解答：解：∵y=log2（x﹣1），∴x﹣1＞0，x＞1函数y=log2（x﹣1）的定义域是（1，+∞）故答案为（1，+∞）点评：本题考查求对数函数的定义域，熟练掌握对数函数的定义及性质是正确解答本题的关键．12．（5分）函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=﹣5，则f （5）=﹣5．考点：函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：根据条件可得函数是周期为4的周期函数，然后利用函数的周期性即可得到结论．解答：解：∵f（x+2）=，∴f（x）≠0，且f（x+4）=f（x+2+2）=，即函数的周期为4．∵f（1）=﹣5，∴f（5）=f（1+4）=f（1）=﹣5．故答案为：﹣5；点评：本题主要考查函数值的计算，利用条件推出函数的周期性是解决本题的关键，要求熟练掌握函数周期性的应用．13．（5分）计算：=12．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：规律型．分析：利用有理数指数幂的性质进行运算．解答：解：=．故答案为：12．点评：本题主要考查有理数指数幂的化简和求值，比较基础．14．（5分）设g（x）=，则g（g（））=．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数的解析式，先求出g（）的值，再求g（g（））的值．解答：解：∵g（x）=，∴g（）=ln=﹣ln2＜0，∴g（g（））=g（﹣ln2）=e﹣ln2==2﹣1=．故答案为：．点评：本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（12分）已知U=R，A={x||x﹣3|＜2}，B={x|＞0}，求A∩B，C U（A∪B）．考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：根据绝对值的性质和不等式的解法分别解出集合A，B，再根据交集和并集、补集的定义进行求解；解答：解：∵U=R，A={x||x﹣3|＜2}，B={x|＞0}，∴A={x||x﹣3|＜2}={x|1＜x＜5}，∴A∩B={x|1＜x＜2或4＜x＜5}，∵A∪B=R，∴C U（A∪B）=∅；点评：此题主要考查不等式的解法，以及集合交、并、补的运算法则，是一道基础题；16．（12分）已知函数f（x）=，x∈R，（1）求f（x）+f（）的值；（2）计算f（1）+f（2）+…+f+f（）+f（）+…+f（）．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由函数f（x）=，x∈R，能求出f（x）+f（）=+=1．（2）由f（x）+f（）=1，能求出f（1）+f（2）+…+f+f（）+f（）+…+f（）的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=，x∈R，∴f（x）+f（）=+=1．（2）由（1）得：f（1）+f（2）+…+f+f（）+f（）+…+f（）==．点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．17．（14分）设函数y=f（x）且lg（lgy）=lg（3x）+lg（3﹣x）．（Ⅰ）求f（x）的解析式及定义域．（Ⅱ）求f（x）的值域．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）利用对数的运算法则，结合对数式与指数式的互化，可得函数的解析式，利用真数大于0，可得函数的定义域；（Ⅱ）根据定义域，确定指数的范围，再利用指数函数的单调性，可求f（x）的值域．解答：解：（Ⅰ）∵lg（lgy）=lg（3x）+lg（3﹣x）．∴lg（lgy）=lg∴lgy=3x（3﹣x）∴y=103x（3﹣x）∵，∴0＜x＜3，即函数的定义域为（0，3）；（Ⅱ）令t=3x（3﹣x）=﹣3∵x∈（0，3），∴t∈（0，]∴10t∈∴函数的值域为．点评：本题考查对数的运算法则，考查函数的解析式与值域，正确运用对数的运算法则是关键．18．（14分）已知函数f（x）=是奇函数．（1）求实数m的值；（2）若函数f（x）在区间上单调递增，求实数a的取值范围．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：综合题．分析：（1）根据函数f（x）为奇函数，设x＜0得到f（﹣x）=﹣f（x），进而的f（x）的解析式，求得m的值．（2）根据（1）中的解析式，可画出f（x）的图象，根据图象可知要使f（x）在上单调递增，则需a﹣2＞﹣1且a﹣2≤1，进而求得a的范围．解答：解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，所以f（﹣x）=﹣（﹣x）2+2（﹣x）=﹣x2﹣2x，又f（x）为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），于是x＜0时，f（x）=x2+2x=x2+mx，所以m=2．（2）要使f（x）在上单调递增，结合f（x）的图象知所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是（1，3]．点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用．属基础题．19．（14分）函数的定义域为（0，1]（a为实数）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数y=f（x）的值域；（Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围；（Ⅲ）求函数y=f（x）在x∈（0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的值域；函数的单调性与导数的关系．专题：综合题．分析：（I）将a的值代入函数解析式，利用基本不等式求出函数的值域．（II）求出导函数，令导函数大于等于0在定义域上恒成立，分离出a，构造函数，通过求函数的最小值，求出a的范围．（III）通过对a的讨论，判断出函数在（0，1）上的单调性，求出函数的最值．解答：解：（Ⅰ）显然函数y=f（x）的值域为；（Ⅱ）∵在定义域上恒成立而﹣2x2∈（﹣2，0）∴a≤﹣2（II）当a≥0时，函数y=f（x）在（0.1]上单调增，无最小值，当x=1时取得最大值2﹣a；由（2）得当a≤﹣2时，函数y=f（x）在（0.1]上单调减，无最大值，当x=1时取得最小值2﹣a；当﹣2＜a＜0时，函数y=f（x）在上单调减，在上单调增，无最大值，当时取得最小值．点评：求函数的单调性常借助导数，当导函数大于0对应的区间是函数的单调递增区间；当导函数小于0对应的区间是函数的单调递减区间．求含参数的函数的性质问题时，一般要对参数讨论．20．（14分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？考点：二次函数的性质．专题：综合题；压轴题．分析：（1）f（﹣1）=0⇒a﹣b+1=0，又值域为点评：本题是对二次函数性质的综合考查．其中（1）考查了二次函数解析式的求法．二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移，对称，函数的周期性，奇偶性等知识有机的结合在一起．。

揭阳市2015年高中毕业班第二次高考模拟考试数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，则下列表示正确的是A.1A -∉B.11A -∈C. 231k A -∈D.34A -∉2．已知复数1z i =+，则2(1)z z -=A. 2B. －2C. 22i -D. 22i --3．命题P ：“对2,12x R x x ∀∈+≥”的否定P ⌝为A. 2,12x R x x ∃∈+>B.2,12x R x x ∃∈+≥C. 2,12x R x x ∀∈+<D.2,12x R x x ∃∈+<4．已知1sin()3πα+=，则cos 2α=A. 79B.89C. 79- 5. 若01x y <<<，则下列不等式正确的是A ．44y x <B ．33>x yC ．44log log x y <D ．11()()44x y< 6．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ-a b 与向量(56)=--，c 共线，则λ的值为 A ．43 B ．413 C ．49- D ．4侧视图7．图1中的三个直角三角形是一个体积为330cm 的几何体的三视图，则侧视图中的h 为A. 5 cmB.6 cmC.7 cmD.8 cm 8．已知变量,x y 满足约束条件⎪⎪⎨⎧≤+-≤-+01205y x y x ，则y x 的最小值是 图1 10．已知{1,2,3,4},{1,2,3}a b ∈∈，则关于x 的不等式222(1)0x a x b --+≥的解集为R 的概率为A.14B.12C. 23D. 34二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11－13题）11．已知幂函数()y f x =的图象过点1(3,)3，则2log (2)f 的值为 ．12．以点(2,1)-为圆心且与直线3470x y +-=相切的圆的标准方程是 ．13．在△ABC 中，已知角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且2(cos cos )c a B b A b -=，则sin sin A B= ． （二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系(,)ρθ (02)θπ≤<中，曲线(2cos sin )3ρθθ-=与(cos 2sin )1ρθθ+=-的交点的极坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图3，点P 在圆O 的直径AB 的延长线上，且PB=OB=3,PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD 的长为 ． 图3。

2015年广东省揭阳市登岗中学高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x∈Z|1＜x＜4}，则A∩B＝（）A．{2，3}B．{1，4}C．{1，2，3，4}D．∅2．（5分）i为虚数单位，则复数i•（1﹣i）的虚部为（）A．i B．﹣i C．1D．﹣13．（5分）若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．（5分）若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．￢p是真命题D．￢q是真命题5．（5分）在数列{a n}中，a1＝1，公比q＝2，则a4的值为（）A．7B．8C．9D．166．（5分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y＝lnx B．y＝x2C．y＝cos x D．y＝2﹣|x|7．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．3B．11C．38D．1238．（5分）已知平面向量，的夹角为，且•＝3，||＝3，则||＝（）A．B．C．D．29．（5分）设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9π+42B．36π+18C．D．10．（5分）对实数a与b，定义新运算“⊗”：a⊗b＝．设函数f（x）＝（x2﹣2）⊗（x﹣1），x∈R．若函数y＝f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．（﹣1，1]∪（2，+∞）B．（﹣2，﹣1]∪（1，2]C．（﹣∞，﹣2）∪（1，2]D．[﹣2，﹣1]二、填空题（本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分.）（一）必做题（第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．）11．（5分）在△ABC中，若b＝3，c＝1，cos A＝，则a＝．12．（5分）已知函数则f（f（2））＝．13．（5分）设x、y满足条件，则z＝x+y的最小值是．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第14题的分．）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）已知圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，则圆C上点到直线l：ρcosθ﹣2ρsinθ+4＝0的最短距离为．【几何证明选讲选做题】15．如图，P AB、PCD为⊙O的两条割线，若P A＝5，AB＝7，CD＝11，AC＝2，则BD等于．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（12分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，周期为2π．（1）求f（x）的解析式；（2）若，求的值．17．（12分）为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表的第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A＝AB＝2，BC＝3．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）求四棱锥B﹣AA1C1D的体积．19．（14分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a3＝6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若S k＝110，求k的值；（3）设数列{}的前n项和为T n，求T2013的值．20．（14分）已知椭圆的离心率为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P（0，2）的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB（O为原点）面积的最大值．21．（14分）已知函数x2+bx+a（a，b∈R），且其导函数f′（x）的图象过原点．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的图象在x＝3处的切线方程；（Ⅱ）若存在x＜0，使得f′（x）＝﹣9，求a的最大值；（Ⅲ）当a＞0时，求函数f（x）的零点个数．2015年广东省揭阳市登岗中学高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x∈Z|1＜x＜4}，则A∩B＝（）A．{2，3}B．{1，4}C．{1，2，3，4}D．∅【解答】解：B＝{x∈Z|1＜x＜4}＝{2，3}，则A∩B＝{2，3}，故选：A．2．（5分）i为虚数单位，则复数i•（1﹣i）的虚部为（）A．i B．﹣i C．1D．﹣1【解答】解：∵复数i•（1﹣i）＝1+i，故复数i•（1﹣i）的虚部为1，故选：C．3．（5分）若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：当“a＝1”时，“|a|＝1”成立即“a＝1”⇒“|a|＝1”为真命题但“|a|＝1”时，“a＝1”不一定成立即“|a|＝1”时，“a＝1”为假命题故“a＝1”是“|a|＝1”的充分不必要条件故选：A．4．（5分）若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．￢p是真命题D．￢q是真命题【解答】解：∵p是真命题，q是假命题，∴p∧q是假命题，选项A错误；p∨q是真命题，选项B错误；￢p是假命题，选项C错误；￢q是真命题，选项D正确．故选：D．5．（5分）在数列{a n}中，a1＝1，公比q＝2，则a4的值为（）A．7B．8C．9D．16【解答】解：由等比数列的通项公式可得：a4＝a1•q3＝1×23＝8故选：B．6．（5分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y＝lnx B．y＝x2C．y＝cos x D．y＝2﹣|x|【解答】解：y＝lnx不是偶函数，排除A；y＝cos x是周期函数，在区间（0，+∞）上不单调递减，排除C；y＝x2在区间（0，+∞）上单调递增，排除B；故选：D．7．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．3B．11C．38D．123【解答】解；经过第一次循环得到a＝12+2＝3经过第一次循环得到a＝32+2＝11不满足判断框的条件，执行输出11故选：B．8．（5分）已知平面向量，的夹角为，且•＝3，||＝3，则||＝（）A．B．C．D．2【解答】解：平面向量，的夹角为，且•＝3，||＝3，即有•＝||•||•cos＝3||＝3，则有||＝．故选：C．9．（5分）设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9π+42B．36π+18C．D．【解答】解：由三视图可知，几何体是一个简单的组合体，下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是3，该几何体的体积是两个体积之和，四棱柱的体积3×3×2＝18，球的体积是，∴几何体的体积是18+，故选：D．10．（5分）对实数a与b，定义新运算“⊗”：a⊗b＝．设函数f（x）＝（x2﹣2）⊗（x﹣1），x∈R．若函数y＝f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．（﹣1，1]∪（2，+∞）B．（﹣2，﹣1]∪（1，2]C．（﹣∞，﹣2）∪（1，2]D．[﹣2，﹣1]【解答】解：∵，∴函数f（x）＝（x2﹣2）⊗（x﹣1）＝，由图可知，当c∈（﹣2，﹣1]∪（1，2]函数f（x）与y＝c的图象有两个公共点，∴c的取值范围是（﹣2，﹣1]∪（1，2]，故选：B．二、填空题（本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分.）（一）必做题（第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．）11．（5分）在△ABC中，若b＝3，c＝1，cos A＝，则a＝2．【解答】解：在△ABC中，若b＝3，c＝1，cos A＝，则由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc•cos A＝9+1﹣6×＝8，故a＝2，故答案为2．12．（5分）已知函数则f（f（2））＝﹣1．【解答】解：因函数所以f（2）＝﹣1则f（f（2））＝f（﹣1）＝﹣1故答案为：﹣113．（5分）设x、y满足条件，则z＝x+y的最小值是1．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图示：由图可知，画直线x+y＝0，平移直线过点A（1，0）∴x+y有最小值1．故答案为：1．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第14题的分．）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）已知圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，则圆C上点到直线l：ρcosθ﹣2ρsinθ+4＝0的最短距离为﹣1．【解答】解：由ρ＝2cosθ⇒ρ2＝2ρcosθ⇒x2+y2﹣2x＝0⇒（x﹣1）2+y2＝1，ρcosθ﹣2ρsinθ+4＝0⇒x﹣2y+4＝0，∴圆心到直线距离为：d＝＝．则圆C上点到直线l：ρcosθ﹣2ρsinθ+4＝0的最短距离为﹣1故答案为：﹣1．【几何证明选讲选做题】15．如图，P AB、PCD为⊙O的两条割线，若P A＝5，AB＝7，CD＝11，AC＝2，则BD等于6．【解答】解：设PC＝x，则根据割线定理得P A×PB＝PC×PD，即5（5+7）＝x（x+11），解之得x＝4（舍去﹣15）∴PC＝4，PD＝15∵四边形ABDC是圆内接四边形∴∠B＝∠ACP，∠D＝∠CAP，可得△P AC∽△PDB∴，即，可得BD＝6故答案为：6三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（12分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，周期为2π．（1）求f（x）的解析式；（2）若，求的值．【解答】解：（1）由题意可得＝2π，解得ω＝1，故函数f（x）＝sin（x+φ）．再由此函数为偶函数，可得φ＝kπ+，k∈z，结合0≤φ≤π可得φ＝，故f （x）＝cos x．（2）∵，∴cos（α+）＝．根据α+∈（0，），∴sin（α+）＝．∴＝2sin（α+）cos（α+）＝2××＝．17．（12分）为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表的第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．【解答】解：（1）由频率分布表可知：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于60×＝32人．…（4分）（2）设第三组的乘客为a，b，c，d，第四组的乘客为1，2；“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件A．…（5分）所得基本事件共有15种，即：ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12…（8分）其中事件A包含基本事件a1，a2，b1，b2，c1，c2，d1，d2，共8种，…（10分）由古典概型可得P（A）＝…（12分）18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A＝AB＝2，BC＝3．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）求四棱锥B﹣AA1C1D的体积．【解答】解：（1）证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1．（3分）∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．（6分）（2）∵AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面AA1C1C，∴平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C＝AC．作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C，（8分）∵AB＝BB1＝2，BC＝3，在Rt△ABC中，，，（10分）∴四棱锥B﹣AA1C1D的体积（12分）＝＝3．∴四棱锥B﹣AA1C1D的体积为3．（14分）19．（14分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a3＝6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若S k＝110，求k的值；（3）设数列{}的前n项和为T n，求T2013的值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵，∴d＝2，∴数列{a n}的通项公式a n＝2+2（n﹣1）＝2n；（2）∵．解得k＝10或k＝﹣11（舍去）；（3）∵，∴，∴＝1﹣．20．（14分）已知椭圆的离心率为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P（0，2）的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB（O为原点）面积的最大值．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由，得．①…（2分）由椭圆C经过点，得．②…（3分）联立①②，解得b＝1，．…（4分）所以椭圆C的方程是．…（5分）（Ⅱ）解：易知直线AB的斜率存在，设其方程为y＝kx+2．将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去y得（1+3k2）x2+12kx+9＝0．…（7分）令△＝144k2﹣36（1+3k2）＞0，得k2＞1．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．…（9分）所以．…（10分）因为，设k2﹣1＝t（t＞0），则．…（13分）当且仅当，即时等号成立，此时△AOB面积取得最大值．…（14分）21．（14分）已知函数x2+bx+a（a，b∈R），且其导函数f′（x）的图象过原点．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的图象在x＝3处的切线方程；（Ⅱ）若存在x＜0，使得f′（x）＝﹣9，求a的最大值；（Ⅲ）当a＞0时，求函数f（x）的零点个数．【解答】解：，f'（x）＝x2﹣（a+1）x+b由f'（0）＝0得b＝0，f'（x）＝x（x﹣a﹣1）．（Ⅰ）当a＝1时，，f'（x）＝x（x﹣2），f（3）＝1，f'（3）＝3所以函数f（x）的图象在x＝3处的切线方程为y﹣1＝3（x﹣3），即3x﹣y﹣8＝0；（Ⅱ）存在x＜0，使得f'（x）＝x（x﹣a﹣1）＝﹣9，，a≤﹣7，当且仅当x＝﹣3时，a＝﹣7，所以a的最大值为﹣7；（Ⅲ）当a＞0时，x，f'（x），f（x）的变化情况如下表：f（x）的极大值f（0）＝a＞0，f（x）的极小值又，，．所以函数f（x）在区间内各有一个零点，故函数f（x）共有三个零点．。

2015年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}，则A∪B中元素的个数为（）A．5B．6C．7D．82．（5分）已知复数z＝（﹣8﹣7i）（﹣3i），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0）的离心率为（）A．B．C．2D．5．（5分）已知＝（sinα，cosα），＝（﹣2，1），若⊥，则tanα的值为（）A．﹣2B．2C．D．6．（5分）已知函数y＝log a x（a＞0，a≠1）的图象经过点（2，），则其反函数的解析式为（）A．y＝4x B．y＝log4x C．y＝2x D．y＝（）x 7．（5分）某单位200名职工的年龄分布情况如图示，该单位为了解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取40名职工进行调查．则应从40﹣50岁的职工中抽取的人数为（）A．8B．12C．20D．308．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为（）A．14B．5C．3D．79．（5分）设l、m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A．若m∥l，m∥α，则l∥αB．若m⊥α，l⊥m，则l∥αC．若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥mD．若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β10．（5分）对任意的a、b∈R，定义：min{a，b}＝；max{a，b}＝．则下列各式中恒成立的个数为（）①min{a，b}+max{a，b}＝a+b②min{a，b}﹣max{a，b}＝a﹣b③（min{a，b}）•（max{a，b}）＝a•b④（min{a，b}）÷（max{a，b}）＝a÷b．A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11-13题）11．（5分）不等式x2﹣3x﹣10＜0的解集为．12．（5分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a＝3，∠B＝2∠A，cos A＝，则b＝．13．（5分）已知函数f（x）＝x3对应的曲线在点（a k，f（a k））（k∈N*）处的切线与x轴的交点为（a k+1，0），若a1＝1，则＝．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）在极坐标系中，直线ρsin（θ+）＝2被圆ρ＝4截得的弦长为．【几何证明选讲选做题】15．如图，BE、CF分别为钝角△ABC的两条高，已知AE＝1，AB＝3，CF＝4，则BC边的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）若f（α）＝，α∈（0，），求cos2α的值．17．（12分）如图是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI）的趋势图．（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图；（2）当空气质量指数（AQI）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？（图中纵坐标1/300即，以此类推）18．（14分）如图5，已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB＝，AB⊥平面BCD，E、F分别是AC、AD的中点．（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；（2）设平面BEF∩平面BCD＝l，求证CD∥l；（3）求四棱锥B﹣CDFE的体积V．19．（14分）已知S n为数列{a n}的前n项和，S n＝na n﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2＝12．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求证：++…+．20．（14分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P是直线y＝x与抛物线C在第一象限的交点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点M，且直线l与抛物线的准线交于点Q，试探究，在坐标平面内是否存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．21．（14分）已知函数f（x）＝ax，g（x）＝lnx，其中a∈R．（1）若函数F（x）＝f（x）﹣g（x），当a＝1时，求函数F（x）的极值；（2）若函数G（x）＝f（sin（x﹣1））﹣g（x）在区间（0，1）上为减函数，求a的取值范围；（3）证明：＜ln（n+1）．2015年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}，则A∪B中元素的个数为（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：∵A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}，∴A∪B＝{3，4，5，6，7，8}，故则A∪B中元素的个数为6个，故选：B．2．（5分）已知复数z＝（﹣8﹣7i）（﹣3i），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数z＝（﹣8﹣7i）（﹣3i）＝24i﹣21，则z在复平面内对应的点（﹣21，24）位于第二象限．故选：B．3．（5分）“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，但a2＞b2不成立，若a＝﹣1，b＝0，满足a2＞b2，但a＞b不成立，故“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，故选：D．4．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0）的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0）的b＝2a，c＝＝a，即有e＝＝．故选：A．5．（5分）已知＝（sinα，cosα），＝（﹣2，1），若⊥，则tanα的值为（）A．﹣2B．2C．D．【解答】解：∵＝（sinα，cosα），＝（﹣2，1），⊥，∴＝﹣2sinα+cosα＝0，∴cosα＝2sinα，∴tanα＝＝．故选：C．6．（5分）已知函数y＝log a x（a＞0，a≠1）的图象经过点（2，），则其反函数的解析式为（）A．y＝4x B．y＝log4x C．y＝2x D．y＝（）x 【解答】解：∵y＝log a x（a＞0，a≠1）的图象经过点（2，），∴，解得a＝4．∴y＝log4x，则x＝4y，把x，y互换得到函数y＝log4x的反函数为y＝4x．故选：A．7．（5分）某单位200名职工的年龄分布情况如图示，该单位为了解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取40名职工进行调查．则应从40﹣50岁的职工中抽取的人数为（）A．8B．12C．20D．30【解答】解：由图表关系知，若抽取40名职工，则应从40﹣50岁的职工中抽取的人数为40×30%＝12，故选：B．8．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为（）A．14B．5C．3D．7【解答】解：画出满足条件表示的平面区域，如图示：∴平面区域的面积是×4×＝7，故选：D．9．（5分）设l、m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A．若m∥l，m∥α，则l∥αB．若m⊥α，l⊥m，则l∥αC．若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥mD．若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β【解答】解：对于A，若m∥l，m∥α，则l可能在α内，故A错误；对于B，若m⊥α，l⊥m，则l可能在α内，故B错误；对于C，若α∥β，l⊥α，得到l⊥β，结合m∥β，得到l⊥m；故C正确；对于D，若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α与β可能相交；故D错误；故选：C．10．（5分）对任意的a、b∈R，定义：min{a，b}＝；max{a，b}＝．则下列各式中恒成立的个数为（）①min{a，b}+max{a，b}＝a+b②min{a，b}﹣max{a，b}＝a﹣b③（min{a，b}）•（max{a，b}）＝a•b④（min{a，b}）÷（max{a，b}）＝a÷b．A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵对任意的a、b∈R，定义：min{a，b}＝；max{a，b}＝，∴min{a，b}取a，b中的最小值，max{a，b}取a，b的最大值．∴min{a，b}，max{a，b}分别取出a，b中的一个最大值与一个最小值，∴min{a，b}+max{a，b}＝a+b，（min{a，b}）•（max{a，b}）＝a•b，故①③成立；若a≤b，则有：min{a，b}﹣max{a，b}＝a﹣b，若a＞b，则min{a，b}﹣max{a，b}＝b﹣a≠a﹣b，故③不一定成立；若a≤b，且b≠0，则有：（min{a，b}）÷（max{a，b}）＝a÷b，若a＞b，且a≠0，（min{a，b}）÷（max{a，b}）＝b÷a≠a÷b．故④不一定成立．故选：B．二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11-13题）11．（5分）不等式x2﹣3x﹣10＜0的解集为{x|﹣2＜x＜5}．【解答】解：不等式x2﹣3x﹣10＜0可化为（x﹣5）（x+2）＜0，解得﹣2＜x＜5；∴该不等式的解集为{x|﹣2＜x＜5}．故答案为：{x|﹣2＜x＜5}．12．（5分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a＝3，∠B＝2∠A，cos A＝，则b＝2．【解答】解：△ABC中，由cos A＝，∠B＝2∠A，可得sin A＝，sin B＝sin2A ＝2sin A cos A＝2××＝．再由正弦定理可得＝，即＝，求得b＝2，故答案为：．13．（5分）已知函数f（x）＝x3对应的曲线在点（a k，f（a k））（k∈N*）处的切线与x轴的交点为（a k+1，0），若a1＝1，则＝3．【解答】解：由f'（x）＝3x2得曲线的切线的斜率，故切线方程为，令y＝0得，故数列{a n}是首项a1＝1，公比的等比数列，又＝，所以．故答案为：3．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）在极坐标系中，直线ρsin（θ+）＝2被圆ρ＝4截得的弦长为4．【解答】解：∵ρsin（θ+）＝2，∴ρsinθ+ρcosθ＝2，化成直角坐标方程为：x+y﹣2＝0，圆ρ＝4化成直角坐标方程为x2+y2＝16，圆心到直线的距离为：∴截得的弦长为：2×＝．故答案为：．【几何证明选讲选做题】15．如图，BE、CF分别为钝角△ABC的两条高，已知AE＝1，AB＝3，CF＝4，则BC边的长为．【解答】解：依题意，AE＝1，AB＝3，得，因△BEA∽△CF A得，所以AF＝2，AC＝6，所以EC＝7，所以．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）若f（α）＝，α∈（0，），求cos2α的值．【解答】解：（1）函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π，由得ω＝2；（2）由：得∵，∴，∴∴＝＝∴．17．（12分）如图是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI）的趋势图．（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图；（2）当空气质量指数（AQI）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？（图中纵坐标1/300即，以此类推）【解答】解：（1）根据图中数据，列出频率分布表如下；根据频率分布表，画出频率分布直方图，如下；（2）由频率分布表知，该市本月前30天中空气质量优良的天数为2+5+7+5＝19，﹣﹣﹣（9分）∴此人到达当天空气质量优良的概率：；﹣﹣﹣（11分）∴可以认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%．﹣﹣﹣（12分）18．（14分）如图5，已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB＝，AB⊥平面BCD，E、F分别是AC、AD的中点．（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；（2）设平面BEF∩平面BCD＝l，求证CD∥l；（3）求四棱锥B﹣CDFE的体积V．【解答】（1）证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，又BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC，又E、F分别是AC、AD的中点，∴EF∥CD．∴EF⊥平面ABC又EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面ABC．（2）证明：∵CD∥EF，CD⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，∴CD∥平面BEF，又CD⊂平面BCD，且平面BEF∩平面BCD＝l，∴CD∥l．（2）解法1：由（1）知EF∥CD，∴△AEF～△ACD．∴，∴，∴＝．解法2：取BD中点G，连接FC和FG，则FG∥AB，∵AB⊥平面BCD，∴FG⊥平面BCD，由（1）知EF⊥平面ABC，∴V＝V F+V F﹣BCD＝＝﹣EBC．19．（14分）已知S n为数列{a n}的前n项和，S n＝na n﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2＝12．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求证：++…+．【解答】（1）解：由S n＝na n﹣3n（n﹣1），得a1+a2＝2a2﹣3×2×（2﹣1），即a1＝a2﹣6，∵a2＝12，∴a1＝12﹣6＝6；（2）解：由S n＝na n﹣3n（n﹣1），得S n﹣1＝（n﹣1）a n﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2）（n≥2），两式作差得：a n＝na n﹣（n﹣1）a n﹣1﹣6n+6，即a n﹣a n﹣1＝6（n≥2）．∴数列{a n}是以6为首项，以6为公差的等差数列，∴a n＝6+6（n﹣1）＝6n；（3）证明：，则，∴++…+＝＝．20．（14分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P是直线y＝x与抛物线C在第一象限的交点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点M，且直线l与抛物线的准线交于点Q，试探究，在坐标平面内是否存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）解法1：∵点P是直线y＝x与抛物线C在第一象限的交点，∴设点P（m，m）（m＞0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵抛物线C的准线为，由|PF|＝5结合抛物线的定义得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又点P在抛物线C上，∴m2＝2pm（m＞0）⇒m＝2p．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②﹣﹣﹣﹣﹣（3分）由①②联立解得p＝2，∴所求抛物线C的方程式为x2＝4y．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）[解法2：∵点P是直线y＝x与抛物线C在第一象限的交点，∴设点P（m，m）（m＞0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵抛物线C的焦点为，由|PF|＝5得，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又点P在抛物线C上，∴m2＝2pm（m＞0）⇒m＝2p．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）由①②联立解得p＝2，∴所求抛物线C的方程式为x2＝4y．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）]（2）解法1：由抛物线C关于y轴对称可知，若存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，则点N必在y轴上，设N（0，n），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）又设点，由直线l：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点M知，直线l 与抛物线C相切，由得，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴直线l的方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）令y＝﹣1得，∴Q点的坐标为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∵点N在以MQ为直径的圆上，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）要使方程（*）对x0恒成立，必须有解得n＝1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∴在坐标平面内存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，其坐标为（0，1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）[解法2：设点M（x0，y0），由l：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点M知，直线l与抛物线相切，由得，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴直线l的方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）令y＝﹣1得，∴Q点的坐标为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴以MQ为直径的圆方程为：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③﹣﹣﹣﹣（10分）分别令x0＝2和x0＝﹣2，由点M在抛物线C上得y0＝1，将x0，y0的值分别代入③得：（y﹣1）（y+1）+（x﹣2）x＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣④（y﹣1）（y+1）+（x+2）x＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣⑤④⑤联立解得或，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴在坐标平面内若存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，则点N必为（0，1）或（0，﹣1），将（0，1）的坐标代入③式得，左边＝＝2（1﹣y0）+2（y0﹣1）＝0＝右边，将（0，﹣1）的坐标代入③式得，左边＝不恒等于0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∴在坐标平面内是存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，点N坐标为为（0，1）．﹣﹣（14分）21．（14分）已知函数f（x）＝ax，g（x）＝lnx，其中a∈R．（1）若函数F（x）＝f（x）﹣g（x），当a＝1时，求函数F（x）的极值；（2）若函数G（x）＝f（sin（x﹣1））﹣g（x）在区间（0，1）上为减函数，求a的取值范围；（3）证明：＜ln（n+1）．【解答】解：（1）∵当a＝1时，函数F（x）＝x﹣lnx，（x＞0）∴，令F'（x）＝0得x＝1，当x∈（0，1）时F'（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，F'（x）＞0，即函数F（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，∴函数F（x）在x＝1处有极小值，＝1﹣ln1＝1．∴F（x）极小（2）解法1：∵函数G（x）＝f（sin（x﹣1））﹣g（x）＝a sin（x﹣1）﹣lnx在区间（0，1）上为减函数∴在（0，1）上恒成立在（0，1）上恒成立，设，则，当x∈（0，1）时，sin（x﹣1）＜0，cos（x﹣1）＞0∴H'（x）＜0在（0，1）上恒成立，即函数H（x）在（0，1）上单调递减，∴当x∈（0，1）时，H（x）＞H（1）＝1，∴a≤1．解法2：∵函数G（x）＝f（sin（x﹣1））﹣g（x）＝a sin（x﹣1）﹣lnx在区间（0，1）上为减函数∴对∀x∈（0，1），（*）恒成立，∵x∈（0，1），∴cos（x﹣1）＞0，当a≤0时，（*）式显然成立；当a＞0时，（*）式⇔在（0，1）上恒成立，设h（x）＝x cos（x﹣1），易知h（x）在（0，1）上单调递增，∴h（x）＜h（1）＝1，∴⇒0＜a≤1，综上得a∈（﹣∞，1]．（3）由（2）知，当a＝1时，G（x）＝sin（x﹣1）﹣lnx＞G（1）＝0，⇒sin（x ﹣1）＞lnx，（**）∵对∀k∈N*有，在（**）式中令得，∴＝，即．第21页（共21页）。

广东省揭阳市第一中学2014-2015学年高二下学期第一次阶段考试文科数学试题一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．1．设全集U 是实数集R ，集合A ＝{y |y ＝3x ，x >0}，B ＝{x |y ＝2x －x 2}，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{x |0≤x ＜1}B ．{x |0≤x ≤1}C ．{x | 1＜x ＜2}D ．{x | 1＜x ≤2}2．命题：“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是（ ）A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1B ．若－1<x <1，则x 2<1C ．若x >1或x <－1，则x 2>1D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1 3．如图所示的框图输出结果为（ ）A ．1023B ．1024C ．511D ．2047 4．函数f (x )=(x 2–2x )e x 的图像大致是（ ）A. B. C. D.5．设222,2,2x yx yM N P ++===0x y <<），则,,M N P 的大小关系为（ ） A ．M N P << B ．N P M << C ．P M N << D ．P N M <<6．观察各式：211=，22343++=，2345675++++=，2456789107++++++=，……，可以得出的一般结论是（ ）A ．2)23()2()1(n n n n n =-+⋅⋅⋅+++++ B ．2)12()23()2()1(-=-+⋅⋅⋅+++++n n n n n C ．2)13()2()1(n n n n n =-+⋅⋅⋅+++++ D ．2)12()13()2()1(-=-+⋅⋅⋅+++++n n n n nA ．B ．C ．D ．9．若关于x 的方程330x x m -+=在[02]，上有实根，则实数m 的取值范围是（ ）Ａ．[22]-， Ｂ．[02]， Ｃ．[20]-， Ｄ．(2)(2)-∞-+∞，，10．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，()f x ''是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数3231()122f x x x x =-++，则)20142013()20142()20141(f f f +⋅⋅⋅++＝（ ） A ．1 B ．2 C ．2013 D ．2014二、填空题:(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上). 11．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i )·(1＋i )＝bi ，则a ＋bi ＝________. 12．若函数在处取极值，则__________13．已知双曲线2213y x -=与抛物线22(0)y px p =>有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为M ，若||5MF =，则点M 的横坐标为 .14．记等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，利用倒序求和的方法得：1()2n n n a a S +=；类似地，记等比数列{}n b 的前n 项的积为n T ，且*0()n b n N >∈，试类比等差数列求和的方法，将n T 表示成首项1b 、末项n b 与项数n 的一个关系式，即n T = .三、解答题 (本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．（本小题满分12分）已知函数(x)f 22cos 2sin 4cos x x x =+-。

能性超过60%？
（图中纵坐标1/300即
，以此类推）1
300
通过管线不仅可以解决吊顶层配置不规范高中资对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行
高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行
的中点．
图5
17．解：（1）
---4分
----
8分
通过管线不仅可以解决吊顶层配置不规范高中资料试卷问题，而且可保障各类管路习题到位。

在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行
高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理。

揭阳市2016年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：BBCDBA CADBDA解析：12解法一：设(,)M x y ，由||2||AM BM ≤得22222()()33x y +-≥，即点M 恒在圆22222()()33x y +-=的外部（含圆周）上，故当线段AD 与圆相切时，t 取最小值，∵:12x yAD t +=2|2|23t t t -=⇒=答案A. 解法二：由||2||AM BM ≤可得sin ||2,sin ||ABM AM BAD BM ∠=≤∠sin 2sin 24ABM BAD t ∴∠≤∠=+恒成立，故12≤，解得3t ≥解法三：设,(,12),AM AD BM AM AB t λλλ=∴=-=-由||2||AM BM ≤恒成立可得2222||4||,(4)4[A MB M t t λλλ≤∴+≤+-化简得22(312)1640t λλ+-+≥221616(312)0t ∴∆=-+≤，解得3t ≥二、填空题：13.6；14.934x ≤<；15.48；16.2. 解析：16.∵A 、B 、C 成等差数列，∴2A C B +=，又A B C π++=，∴3B π=，由1sin 2ABC S ac B ∆==4ac =，∵2222cos b a c ac B =+-22a c ac =+-，及222a c ac +≥，∴24b ac ≥=，2b ≥，∴b 的最小值为2.三、解答题：17．解：（1）当1n =时，111232S a =-，即111232a a =-，112a =；------------------1分当2n ≥时，由1232n n S a =-，得111232n n S a --=-，两式相减， 得1233n n n a a a -=-，即13nn a a -=，-------------------------------------------------4分 数列{}n a 是以112a =为首项，3为公比的等比数列，1132n n a -=⋅；---------------------6分（2）证明：∵312log 221n n b a n =+=-，-----------------------------------------8分 ∴()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴12231111111111123352121n n b b b b b b n n +⎛⎫+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭-------------------10分11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭．----------------------------------12分 18．解：（Ⅰ）-----------------------------2分∵23.7781K ≈<3.84 1，∴在犯错的概率不超过5%的前提下，不能认为“满意与否”与“性别”有关。

2015年广东省揭阳市揭西县中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2的倒数是（）A．2B．﹣2C．D．﹣2．（3分）据国家统计局发布的数据显示，2015年一季度我国国内生产总值约为14060000000000元，这个数字用科学记数法表示为（）A．1.406×1013B．14.06×1012C．1.406×1012D．140.6×1011 3．（3分）一组数据是4，x，5，10，11共五个数，其平均数为7，则这组数据的众数是（）A．4B．5C．10D．114．（3分）把化为最简二次根式是（）A．B．C．D．5．（3分）下列运算正确的是（）A．a3+a＝2a4B．a6÷a﹣3＝a3C．a3•a3＝2a3D．（﹣2a2）3＝﹣8a66．（3分）计算+＝（）A．1B．C．D．7．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．8．（3分）如图是某几何体的三视图，则该几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．三棱柱D．三棱锥9．（3分）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）A．2B．3C．D．1+10．（3分）如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E 分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE重叠压平，A与A′重合，若∠A＝70°，则∠1+∠2＝（）A．140°B．130°C．110°D．70°二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）分解因式：2x2﹣4x+2＝．12．（4分）如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y＝过点A，则k的值是．13．（4分）不等式组的解集是．14．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC中点，若DE＝2，则AB的长为．15．（4分）在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE＝2，则tan∠DBE的值是．16．（4分）如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D、E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，过F作FH⊥BC，垂足为H．若AB＝8，则FH的长为．三．解答题（一）（每小题6分，共18分）17．（6分）计算：﹣|﹣2|+（﹣3）0﹣（）﹣1．18．（6分）先化简再求值：（﹣）÷（x﹣1），其中x＝．19．（6分）如图，已知线段a和b，a＞b，求作直角三角形ABC，使直角三角形的斜边AB＝a，直角边AC＝b．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）四．解答题（二）（每小题7分，共21分）20．（7分）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在A处，距离大路（BC）为30米，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处到C处所用的时间为5秒，∠BAC＝60°．（1）求B、C两点间的距离．（2）请判断此车是否超过了BC路段限速40千米/小时的速度．（参考数据：≈1.732，≈1.414）21．（7分）儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折优惠，能比标价省14元，已知书包标价比文具盒标价的3倍少6元，那么书包和文具盒的标价各是多少元．22．（7分）准备两组相同的牌，每组三张大小一样，三张牌的牌面数字分别为﹣1，0，1．从每组中各模出一张牌．（1）两张牌的牌面数字和等于1的概率是多？（2）两张牌的牌面数字和等于几的概率最大？（3）两张牌的牌面数字和大于0的概率是多少？五、解答题（三）（每小题9分，共27分）23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，﹣2），tan∠BOC＝．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式．（2）求△BOC的面积．（3）P是x轴上的点，且△P AC的面积与△BOC的面积相等，求P点的坐标．24．（9分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，过D点作PF∥AC交⊙O于F，交AB于点E，∠BPF＝∠ADC．（1）求证：BP是⊙O的切线；（2）求证：AE•EB＝DE•EF；（3）当⊙O的半径为，AC＝2，BE＝1时，求BP的长．25．（9分）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数y＝x2+bx+c 的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b、c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？2015年广东省揭阳市揭西县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2的倒数是（）A．2B．﹣2C．D．﹣【解答】解：∵﹣2×（）＝1，∴﹣2的倒数是﹣．故选：D．2．（3分）据国家统计局发布的数据显示，2015年一季度我国国内生产总值约为14060000000000元，这个数字用科学记数法表示为（）A．1.406×1013B．14.06×1012C．1.406×1012D．140.6×1011【解答】解：将14060000000000用科学记数法表示为1.406××1013．故选：A．3．（3分）一组数据是4，x，5，10，11共五个数，其平均数为7，则这组数据的众数是（）A．4B．5C．10D．11【解答】解：（4+x+5+10+11）÷5＝7，解得：x＝5，根据众数的定义可得这组数据的众数是5．故选：B．4．（3分）把化为最简二次根式是（）A．B．C．D．【解答】解：＝＝．故选：D．5．（3分）下列运算正确的是（）A．a3+a＝2a4B．a6÷a﹣3＝a3C．a3•a3＝2a3D．（﹣2a2）3＝﹣8a6【解答】解：A、a3与a不是同类项，不能合并，故错误；B、a6÷a﹣3＝a6﹣（﹣3）＝a9，故错误；C、a3•a3＝a6，故错误；D、正确；故选：D．6．（3分）计算+＝（）A．1B．C．D．【解答】解：原式＝＝＝1．故选：A．7．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．故选：A．8．（3分）如图是某几何体的三视图，则该几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．三棱柱D．三棱锥【解答】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥．故选：A．9．（3分）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）A．2B．3C．D．1+【解答】解：连接B′C，∵旋转角∠BAB′＝45°，∠BAC＝45°，∴B′在对角线AC上，∵AB＝AB′＝1，用勾股定理得AC＝，∴B′C＝﹣1，在等腰Rt△OB′C中，OB′＝B′C＝﹣1，在直角三角形OB′C中，由勾股定理得OC＝（﹣1）＝2﹣，∴OD＝1﹣OC＝﹣1∴四边形AB′OD的周长是：2AD+OB′+OD＝2+﹣1+﹣1＝2．故选：A．10．（3分）如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E 分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE重叠压平，A与A′重合，若∠A＝70°，则∠1+∠2＝（）A．140°B．130°C．110°D．70°【解答】解：∵四边形ADA′E的内角和为（4﹣2）•180°＝360°，而由折叠可知∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′，∴∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE＝360°﹣∠A﹣∠A′＝360°﹣2×70°＝220°，∴∠1+∠2＝180°×2﹣（∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE）＝140°．故选：A．二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）分解因式：2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2．【解答】解：2x2﹣4x+2，＝2（x2﹣2x+1），＝2（x﹣1）2．12．（4分）如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y＝过点A，则k的值是﹣4．【解答】解：根据题意，知|k|＝22＝4，k＝±4，又∵k＜0，∴k＝﹣4．故答案为：﹣4．13．（4分）不等式组的解集是x＞2．【解答】解：，解不等式①得，x＞﹣3，解不等式②得，x＞2，所以，不等式组的解集是x＞2．故答案为：x＞2．14．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC中点，若DE＝2，则AB的长为4．【解答】解：∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∴△ADC是直角三角形；∵E是AC的中点．∴DE＝AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）；又∵DE＝2，AB＝AC，∴AB＝4．故答案为：4．15．（4分）在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE＝2，则tan∠DBE的值是2．【解答】解：设菱形ABCD边长为t，∵BE＝2，∴AE＝t﹣2，∵cos A＝，∴，∴＝，∴t＝5，∴AE＝5﹣2＝3，∴DE＝＝4，∴tan∠DBE＝＝＝2．故答案为：2．16．（4分）如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D、E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，过F作FH⊥BC，垂足为H．若AB＝8，则FH的长为3．【解答】解：连接BE，∵BC为直径，∴∠BEC＝90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝60°，AE＝EC＝AC＝×8＝4，∵EF⊥AB，∴AF＝AE•cos60°＝4×＝2，∴BF＝AB﹣AF＝6，∵FH⊥BC，∴FH＝BF•sin60°＝6×＝3．故答案为：3．三．解答题（一）（每小题6分，共18分）17．（6分）计算：﹣|﹣2|+（﹣3）0﹣（）﹣1．【解答】解：原式＝5﹣2+1﹣5＝﹣1．18．（6分）先化简再求值：（﹣）÷（x﹣1），其中x＝．【解答】解：原式＝•＝•＝，当x＝，原式＝．19．（6分）如图，已知线段a和b，a＞b，求作直角三角形ABC，使直角三角形的斜边AB＝a，直角边AC＝b．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）【解答】解：如图，△ABC为所求作的直角三角形．四．解答题（二）（每小题7分，共21分）20．（7分）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在A处，距离大路（BC）为30米，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处到C处所用的时间为5秒，∠BAC＝60°．（1）求B、C两点间的距离．（2）请判断此车是否超过了BC路段限速40千米/小时的速度．（参考数据：≈1.732，≈1.414）【解答】解：（1）∵AC＝30米，∠BAC＝60°，∴在Rt△ABC中，BC＝AC•tan60°＝30（米），（2）∵此车从B处到C处所用的时间为5秒，∴小车在BC路段的速度为30÷≈37.4（千米/小时）∵37.4＜40∴此车在BC路段没有超速．21．（7分）儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折优惠，能比标价省14元，已知书包标价比文具盒标价的3倍少6元，那么书包和文具盒的标价各是多少元．【解答】解：设书包和文具盒的标价分别为x元、y元，依题意得：，解这个方程组，得；答：书包和文具盒的标价分别为51元、19元．22．（7分）准备两组相同的牌，每组三张大小一样，三张牌的牌面数字分别为﹣1，0，1．从每组中各模出一张牌．（1）两张牌的牌面数字和等于1的概率是多？（2）两张牌的牌面数字和等于几的概率最大？（3）两张牌的牌面数字和大于0的概率是多少？【解答】解：（1）画树状图得：则摸出的牌的所有可能的情况有：（﹣1，﹣1）（﹣1，0）（﹣1，1）（0，﹣1）（0，0）（0，1）（1，﹣1）（1，0）（1，1）；∵两张牌的牌面数字和等于1的有2种情况，∴两张牌的牌面数字和等于1的概率是：；（2）∵两张牌的牌面数字和等于﹣2的只有1种情况，两张牌的牌面数字和等于﹣1的有2种情况，两张牌的牌面数字和等于0的有3种情况，两张牌的牌面数字和等于1的有2种情况，两张牌的牌面数字和等于2的只有1种情况；∴两张牌的牌面数字和等于0的概率最大，是；（3）∵两张牌的牌面数字和大于0的有3种情况，∴两张牌的牌面数字和大于0的概率是：．五、解答题（三）（每小题9分，共27分）23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，﹣2），tan∠BOC＝．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式．（2）求△BOC的面积．（3）P是x轴上的点，且△P AC的面积与△BOC的面积相等，求P点的坐标．【解答】解：（1）过B作x轴的垂线，垂足为D，∵B的坐标为（n，﹣2），∴BD＝2，∵tan∠BOC＝，∴OD＝4，∴B的坐标为（﹣4，﹣2）把B（﹣4，﹣2）代入y＝得：k＝8，∴反比例函数为y＝，把A（2，m）代入y＝得：m＝4，∴A（2，4），把A（2，4）和B（﹣4，﹣2）代入y＝ax+b得：解得：a＝1，b＝2，∴一次函数的解析式为：y＝x+2；（2）在y＝x+2中，令y＝0，得x＝﹣2，∴CO＝2，∴S△BOC＝CO•BD＝×2×2＝2；（3）设P点的坐标为P（a，0）则由S△P AC＝S△BOC得：PC×4＝2，∴PC＝1，即||a+2|＝1，解得：a＝﹣3或a＝﹣1，即P的坐标为（﹣3，0）或（﹣1，0）．24．（9分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，过D点作PF∥AC交⊙O于F，交AB于点E，∠BPF＝∠ADC．（1）求证：BP是⊙O的切线；（2）求证：AE•EB＝DE•EF；（3）当⊙O的半径为，AC＝2，BE＝1时，求BP的长．【解答】（1）证明：连结BC，∵AB是ʘO的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°，又∵∠ABC＝∠ADC，∠ADC＝∠BPF，∵PF∥AC，∴∠CAB＝∠PEB，∴∠PEB+∠BPF＝90°，∴PB⊥AB，∴PB是ʘO的切线；（2）连结AF、BD．在△AEF和△DEB中，∠AEF＝∠DEB．∠AFE＝∠DBE，∴△AEF∽△DEB，∴＝，即AE•EB＝DE•EF；（3）在Rt△ABC中，BC2＝（2）2﹣22∴BC＝4，在Rt△ABC和Rt△EPB中，∠ABC＝∠ADC＝∠BPF，∴△ABC∽△EPB，∴＝，∴BP＝＝2．25．（9分）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数y＝x2+bx+c 的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b、c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？【解答】解：（1）由y＝﹣x+3，令x＝0，得y＝3，所以点A（0，3）；令y＝0，得x＝4，所以点C（4，0），∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴B点坐标为（﹣4，0），又∵四边形ABCD是平行四边形，∴D点坐标为（8，3），将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y＝x2+bx+c，可得，解得：，故该二次函数解析式为：y＝x2﹣x﹣3．（2）∵OA＝3，OB＝4，∴AC＝5．①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP＝t，CQ＝t，AQ＝5﹣t，∵PQ⊥AC，∴∠AQP＝∠AOC＝90°，∠P AQ＝∠ACO，∴△APQ∽△CAO，∴＝，即＝，解得：t＝．即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC．②∵S四边形PDCQ+S△APQ＝S△ACD，且S△ACD＝×8×3＝12，∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，当动点P运动t秒时，AP＝t，CQ＝t，AQ＝5﹣t，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽△CAO可得：＝，解得：h＝（5﹣t），∴S△APQ＝t×（5﹣t）＝（﹣t2+5t）＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，S△APQ 达到最大值，此时S四边形PDCQ＝12﹣＝，故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为．。

1揭阳市2015年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 导数公式：若()sin(1)f x x =-，则'()cos(1)f x x =-； 若()cos(1)f x x =-，则'()sin(1)f x x =--．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．1．设集合{4,5,6,8},{3,5,7,8}A B ==，则A B 中元素的个数为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 2．已知复数(87)(3)z i i =---，则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“a b >”是 “22a b >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．双曲线222214x y a a -=(0)a >的离心率为A.C.2D.5．已知(sin ,cos ),2,1a b αα==（-），若a b ⊥，则tan α的值为 A. 2- B. 2 C.12 D. 12- 6．已知函数log a y x =(0,1)a a >≠的图象经过点1(2,)2，则其反函数的解析式为A. 4x y =B.4log y x =C.2xy = D. 1()2x y =7．某单位200名职工的年龄分布情况如图示，该单位为了 解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取 40名职工进行调查.则应从40-50岁的职工中抽取的人数为 A.8 B.12 C.20 D.30 8．不等式组5315+15 3.x y y x x y +≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，，表示的平面区域的面积为A. 14B.5C. 3D. 72FEACB9．设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是 A.若//,//,//m l m l αα则； B.若,,//m l m l αα⊥⊥则；C.若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则；D.若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则.10. 对任意的a 、b R ∈，定义：min{,}a b =,().()a a b b a b <⎧⎨≥⎩；max{,}a b =,().()a ab b a b ≥⎧⎨<⎩.则下列各式中恒成立的个数为①min{,}max{,}a b a b a b =++ ②min{,}max{,}a b a b a b =--③(min{,})(max{,})a b a b a b =⋅⋅ ④(min{,})(max{,})a b a b a b =÷÷ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11－13题）11．不等式23100x x --<的解集为 ．12．在△ABC 中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，若3a =，2B A ∠=∠，cos A ，则b = ． 13．已知函数3()f x x =对应的曲线在点(,())()k k a f a k N *∈处的切线与x 轴的交点为1(,0)k a +，若11a =31010(1()3f a ++=- ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线sin()24πρθ+=被圆=4ρ截得的弦长为 .15．（几何证明选讲选做题）如图，BE 、CF 分别为钝角△ABC 的两条高，已知1,AE =3,AB CF ==则BC 边的长为 ．33648788451162139496612413415910288757145699398109977546196183120703612601 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3080日期（AQI ）指数40120160200三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.(本小题满分12分)已知函数()2sin()(0,)6f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π. （1）求ω的值； （2）若2()3f α=，(0,)8πα∈，求cos 2α的值.17.(本小题满分12分)图3是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI ）的趋势图.图3（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图； （2）当空气质量指数（AQI ）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？（图中纵坐标1/300即1300，以此类推）图4418．（本小题满分14分）如图5，已知BCD ∆中，90,1BCD BC CD ∠===，AB =AB ⊥平面BCD ，E 、F 分别是AC 、AD 的中点．（1）求证：平面BEF ⊥平面ABC ；（2）设平面BEF 平面BCD l =，求证//CD l ； （3）求四棱锥B-CDFE 的体积V ．图519. (本小题满分14分)已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--（*n N ∈），且212a =．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）求证：1211113n S S S +++<．520. (本小题满分14分)已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，且||5PF =. （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M ，且直线l 与抛物线的准线交于点Q , 试探究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出 点N 的坐标，若不存在，说明理由.21. (本小题满分14分)已知函数()f x ax =，()ln g x x =，其中a R ∈．（1）若函数()()()F x f x g x =-，当1a =时，求函数()F x 的极值；（2）若函数()(sin(1))()G x f x g x =--在区间(0,1)上为减函数，求a 的取值范围；（3）证明：11sinln(1)1nk n k =<++∑．6揭阳市2015年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：BBDAC ABDCB解析：10. 由定义知⑴、⑶恒成立，⑵⑷不恒成立，正确答案B.二、填空题： 11. {|25}x x -<<；12.13. 3；14..解析：13.由2'()3f x x =得曲线的切线的斜率23k k a =，故切线方程为323()k k k y a a x a -=-，令0y =得123k k a a +=123k k a a +⇒=，故数列{}n a 是首项11a =，公比23q =的等比数列，又310(f f f a +++101011210(1)3(1)1a q a a a q q-=+++==--，所以31010(31()3f a ++=-.15．依题意得BE =BEA ∽△CFA得AE BE ABAF FC AC==,所以2,AF =6,AC = BC =三、解答题： 16．解：（1）由2ππω=得=2ω----------------------------------------------------2分（2）解法1：由π2()2sin(2)63f αα=+=得π1sin(2)63α+= -----------------------3分∵(0,)8πα∈，∴5π2(,)6612ππα+∈， --------------------------------------------4分7∴πcos(2)6α+==-----------------------------------------6分 ∴cos 2cos[(2)]66ππαα=+-----------------------------------------------------8分 cos(2)cos sin(2)sin 6666ππππαα=+++ ----------------------------------------10分11132326=+⋅=----------------------------------------------------12分 [解法2：由π2()2sin(2)63f αα=+= 得π1sin(2)63α+=，--------------------------3分即1sin 2coscos 2sin663ππαα+=-------------------------------------------------5分⇒2cos 2sin 2αα-=①---------------------------------6分 将①代入22sin 2cos 21αα+=并整理得24cos 212cos 2230αα--=，---------------8分解得：cos 2α==--------------------②---------------------10分 ∵(0,)8πα∈ ∴024πα<<，∴cos 20α>，故②中负值不合舍去，----------------11分∴cos 2α=.-----------------------------------------------------------12分] 17．解：（1）---4分 ----8分8(2) 由频率分布表知，该市本月前30天中空气质量优良的天数为19，------------------9分 故此人到达当天空气质量优良的概率：190.63>0.630P =≈-------------------------------------------------------------11分 故可以认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60% ----------------------------12分18.解：（1）证明：AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD A B C D ∴⊥，----------------1分 又BC CD ⊥， AB BC B =， CD ∴⊥平面ABC ，------------------------------2分 又E 、F 分别是AC 、AD 的中点，∴//.EF CD ---------------------------------------3分 ∴EF ⊥平面ABC 又EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ABC -----------------------------------------4分 （2） CD // EF ，CD ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ∴//CD 平面BEF ，----------------------------6分 又CD ⊂平面BCD ，且平面BEF 平面BCD l = ∴//CD l ．------------------------------------8分 （3）解法1：由（1）知EF //CD∴AEF ACD ∆∆------------------------------9分1,4AEF ACD S S ∆∆∴= ∴14B AEF B ACD V V --=------------------11分 331444B ACD A BCD BCD V V V S AB --∆∴===⋅111142=⨯⨯⨯=------------------14分[解法2：取BD 中点G ，连结FC 和FG ，则FG//AB ，-----9分∵AB ⊥平面BCD ，∴FG ⊥平面BCD ，-----------------10分 由（1）知EF ⊥平面ABC ， ∴F EBC F BCD V V V --=+1133EBC BCD S EF S FG ∆∆=⋅+⋅------12分1111113423228=⨯+⨯⨯⨯⨯=.----------------14分]19.解：（1）由2122232(21)S a a a =+=-⨯-和212.a =可得16a =，------------------2分 （2）解法1：当2n ≥时，由1n n n a S S -=-得13(1)(1)3(1)(2)n n n a na n n n a n n -=-------，---------------------------------4分9⇒1(1)(1)6(1)n n n a n a n ----=-16(2,)n n a a n n N *-⇒-=≥∈---------------------6分∴数列{}n a 是首项16a =，公差为6的等差数列，∴16(1)6n a a n n =+-=-------------8分 [解法2：当2n ≥时，由13(1)()3(1)n n n n S na n n n S S n n -=--=---------------------4分 可得1(1)3(1)n n n S nS n n ---=- 131n n S S n n -∴-=-,---------------------------------6分 ∴数列{}n S n 为首项161S=,公差为3的等差数列， 63(1)33nS n n n∴=+-=+，即233n S n n =+. ∴6n a n =---------------------------------------------------------------------8分] （3）证明：由（2）知1()3(1)2n n n a a S n n +==+-----------------------------------10分 11111()3(1)31n S n n n n ==-++--------------------------------------------------12分 12111111111[(1)()()]32231n S S S n n ∴+++<-+-++-+111(1)313n =-<+， 命题得证．---------------------------------------------------------------------14分20.解：(1)解法1： ∵点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，∴设点(,)(0)P m m m >,----------------------------------------------------------1分 ∵抛物线C 的准线为2p y =-，由||5PF =结合抛物线的定义得52pm +=-------①-----2分 又点P 在抛物线C 上，∴22m pm =(0)m >⇒2m p =.----------------------②-----3分由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为24x y =.-------------------------5分[解法2：∵点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，∴设点(,)(0)P m m m >,----------------------------------------------------------1分10∵抛物线C 的焦点为(0,)2p F ，由||5PF =5=, 即22()252p m m +-=，-------------------------------------------①-------------2分 又点P 在抛物线C 上，∴22m pm =(0)m >⇒2m p =.--------------②-------------3分 由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为24x y =.-------------------------5分] （2）解法1：由抛物线C 关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ， 则点N 必在y 轴上，设(0,)N n ，--------------------------------------------------6分又设点200(,)4x M x ，由直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线C 相切，由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，---------------------------------------7分 ∴直线l 的方程为2000()42x xy x x -=-，--------------------------------------------8分 令1y =-得2022x x x -=，∴Q 点的坐标为002(,1)2x x --，-----------------------------9分200002(,),(,1)42x x NM x n NQ n x ∴=-=-----------------------------------------10分∵点N 在以MQ 为直径的圆上，∴22220002(1)()(1)20(*)244x x x NM NQ n n n n n ⋅=--+-=-++-=--------------12分要使方程(*)对0x 恒成立，必须有21020n n n -=⎧⎨+-=⎩解得1n =，-------------------------13分∴在坐标平面内存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1)．--------14分 [解法2：设点00(,)M x y ，由:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线相11 切，由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，-----------------------------------6分 ∴直线l 的方程为000()2x y y x x -=-，---------------------------------------------7分 令1y =-得002(1)y x x -=，∴Q 点的坐标为002(1)(,1)y x --，-------------------------8分 ∴以MQ 为直径的圆方程为：00002(1)()(1)()[]0y y y y x x x x --++--=--------③----10分 分别令02x =和02x =-，由点M 在抛物线C 上得01y =，将00,x y 的值分别代入③得：(1)(1)(2)0y y x x -++-=-------------------------------④ (1)(1)(2)0y y x x -+++=--------------------------------------------------------⑤④⑤联立解得0,1.x y =⎧⎨=⎩或0,1.x y =⎧⎨=-⎩，-----------------------------------------------12分 ∴在坐标平面内若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必为(0,1)或(0,1)-， 将(0,1)的坐标代入③式得，左边=00002(1)2(1)()[]y y x x --+--002(1)2(1)0y y =-+-==右边， 将(0,1)-的坐标代入③式得，左边=00002(1)()[]2(1)y x y x ---=-不恒等于0，------------------------------------13分 ∴在坐标平面内是存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，点N 坐标为为(0,1)．--14分]21.解：（1）∵当1a =时， 函数()ln F x x x =-，(0)x > ∴11'()1x F x x x-=-=，---------------------------------------------------------1分 令'()0F x =得1x =，12当(0,1)x ∈时'()0F x <，当(1,)x ∈+∞时，'()0F x >，即函数()F x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，---------------------------------------------------------------3分 ∴函数()F x 在1x =处有极小值，∴()F x 极小1ln11=-=.----------------------------------------------------------4分（2）解法1：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数 ∴1'()cos(1)0G x a x x =--≤在(0,1)上恒成立1cos(1)a x x ⇔≤-在(0,1)上恒成立，----5分 设1()cos(1)H x x x =-，则()()()()()2222c o s 1s i n 1s i n 1c o s 1'()c o s (1)c o s (1)x x x x x x H x x x x x -------==-- ---7分 当()0,1x ∈时，()sin 10x -<，()cos 10x ->所以'()0H x <在()0,1上恒成立，即函数()H x 在()0,1上单调递减，-------------------8分∴当()0,1x ∈时，()(1)1H x H >=， ∴1a ≤.-----------------------------------------------------------------------9分[解法2：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数 ∴对(0,1)x ∀∈ ，1'()cos(1)0G x a x x=--≤-----------（*）恒成立，--------------5分 ∵(0,1)x ∈，∴cos(1)0x ->，当0a ≤时，（*）式显然成立；----------------------------------------------------6分 当0a >时，（*）式⇔1cos(1)x x a≥-在(0,1)上恒成立， 设()cos(1)h x x x =-，易知()h x 在(0,1)上单调递增，-------------------------------7分 ∴()(1)1h x h <=， ∴11a≥01a ⇒<≤，------------------------------------------------------------8分 综上得(,1]a ∈-∞.-------------------------------------------------------------9分]（3）由（2）知，当1a =时，()sin(1)ln G x x x =--(1)0G >=,sin(1)ln x x ⇒->1sin(1)ln x x⇒-<，------------------------②----------------10分 ∵对k N *∀∈有(0,1)1k k ∈+， 在②式中令1k x k =+得11sin(1)sin ln 11k k k k k+-=<++，--------------------------12分 ∴11131sin sin sin ln 2ln ln 2312n n n ++++<++++13 341ln(2)ln(1)23n n n +=⋅⋅⋅=+， 即11sinln(1)1n k n k =<++∑．-------------------------------------------------------14分。

2014-2015学年广东省揭阳一中高一（下）期末数学试卷（文科） 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={2，3，5}，那么集合A（?UB）等于（ ） A． {1，2，3，4，5} B． {3，4} C． {1，3，4} D． {2，3，4，5} 2．若向量，向量，则=（ ） A．（﹣2，﹣4）B．（3，4）C．（6，10）D．（﹣6，﹣10） 3．已知α∈（﹣，0），cosα=，则tanα等于（ ） A．﹣B．﹣C． D． 4．已知点A（1，﹣2），B（m，2），若线段AB的垂直平分线的方程是x+2y﹣2=0，则实数m 的值是（ ） A．﹣2 B．﹣7 C． 3 D． 1 5．在△ABC中，已知a2﹣b2+c2=ac则角B为（ ） A．或B．或C． D． 6．如果下述程序运行的结果为S=40，那么判断框中应填入（ ） A． k≤6 B． k≤5 C． k≥6 D． k≥5 7．已知函数，则f（2+log23）的值为（ ） A．B． C． D． 8．长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，这个球的表面积为（ ） A． 50πB． 25πC． 200πD． 20π 9．将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ） A． y=sin（2x﹣）B． y=sin（2x﹣）C． y=sin（x﹣）D． y=sin（x﹣） 10．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（ ） A． f（x1）＜0，f（x2）＜0 B． f（x1）＜0，f（x2）＞0 C． f（x1）＞0，f （x2）＜0 D． f（x1）＞0，f（x2）＞0 二.填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分． 11．函数f（x）=的定义域是 ． 12．一个几何体的三视图如图所示，其侧视图是等腰直角三角形，则该几何体的表面积是 ． 13．经过点P（0，﹣1）作圆C：x2+y2﹣6x+7=0的切线，切点为A，则切线PA的长为 ． 14．给出下列命题： ①若2+2=0，则==； ②已知、、是三个非零向量，若+=，则|?|=|?|， ③在△ABC中，a=5，b=8，c=7，则?=20； ④与是共线向量=||||． 其中真命题的序号是 ．（请把你认为是真命题的序号都填上） 三.解答题：本大题共6小题，共80分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知角α是第三象限角，且f（α）=． （1）化简f（α）； （2）若cos（α+）=，求f（α）的值． 16．已知直线l：y=k（x+2）（k≠0）与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的面积为S． （1）当k=时，求S的值； （2）求S的最大值，并求出此时的k值． 17．已知函数f（x）=2sin?cos+cos． （1）求函数f（x）的最小正周期及最值； （2）令g（x）=f，判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由． 18．如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图（其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示）． （1）求四棱锥P﹣ABCD的体积； （2）求证：BD平面PEC； （3）求证：AE平面PBC． 19．已知A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且0＜α＜π （1）若|+|=，求与的夹角； （2）若，求tanα的值． 20．对于函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），若存在实数x0，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点． （1）当a=2，b=﹣2时，求f（x）的不动点； （2）若对于任何实数b，函数f（x）恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若y=f（x）的图象上A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且直线是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围． 201-2015学年广东省揭阳一中高一（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={2，3，5}，那么集合A（?UB）等于（ ） A． {1，2，3，4，5} B． {3，4} C． {1，3，4} D． {2，3，4，5} 考点：交、并、补集的混合运算． 分析：由题意全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={2，3，5}，根据补集的定义可得CB={1，4}，再根据并集的定义计算A（CB）． 解答：解：U={1，2，3，4，5}，B={2，3，5}， C∪B={1，4}， 集合A={3，4}， A∪（CB）={1，3，4}， 故选C． 点评：此题考查集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真掌握，计算要仔细． 2．若向量，向量，则=（ ） A．（﹣2，﹣4）B．（3，4）C．（6，10）D．（﹣6，﹣10） 考点：平面向量的坐标运算． 专题：平面向量及应用． 分析：由向量，向量，知，再由，能求出结果． 解答：解：向量，向量， ，=（﹣4，﹣7）﹣（﹣2，﹣3）=（﹣2，﹣4）． 故选A． 点评：本题考查平面向量的坐标运算，是基础题．解题时要认真解答，仔细运算． 3．已知α∈（﹣，0），cosα=，则tanα等于（ ） A．﹣B．﹣C． D． 考点：同角三角函数基本关系的运用． 专题：三角函数的求值． 分析：利用同角三角函数间的关系式可求得sinα的值，继而可得tanα的值． 解答：解：α∈（﹣，0），cosα=， sinα=﹣=﹣， tanα==﹣． 故选：A． 点评：本题考查同角三角函数间的关系式，考查运算求解能力，属于基础题． 4．已知点A（1，﹣2），B（m，2），若线段AB的垂直平分线的方程是x+2y﹣2=0，则实数m 的值是（ ） A．﹣2 B．﹣7 C． 3 D． 1 考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系． 专题：计算题；待定系数法． 分析：先利用线段的中点公式求出线段AB的终点坐标，再把中点坐标代入直线x+2y﹣2=0求得实数m的值． 解答：解：A（1，﹣2）和B（m，2）的中点在直线x+2y﹣2=0上， ． m=3， 故选 C． 点评：本题考查求线段的中点坐标的方法，用待定系数法求参数的值． 5．在△ABC中，已知a2﹣b2+c2=ac则角B为（ ） A．或B．或C． D． 考点：余弦定理． 专题：计算题；解三角形． 分析：根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB的式子，代入题中数据可得关于B余弦值，结合三角形内角的范围即可得到角B大小． 解答：解：根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得 cosB==B∈（0，π），B=故选：D 点评：题给出三角形的边之间的平方关系，求角B的大小．着重考查了利用余弦定理解三角形、特殊角的三角函数值等知识，属于基础题． 6．如果下述程序运行的结果为S=40，那么判断框中应填入（ ） A． k≤6 B． k≤5 C． k≥6 D． k≥5 考点：程序框图． 专题：图表型． 分析：根据所给的程序运行结果为S=40，执行循环语句，当计算结果S为40时，不满足判断框的条件，从而到结论． 解答：解：由题意可知输出结果为S=40， 第1次循环，S=10，K=9， 第2次循环，S=19，K=8， 第3次循环，S=27，K=7， 第4次循环，S=34，K=6， 第5次循环，S=40，K=5， 此时S满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为k≤5． 故选B． 点评：本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题． 7．已知函数，则f（2+log23）的值为（ ） A．B． C． D． 考点：函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法． 专题：计算题． 分析：先判断出2+log23＜4，代入f（x+1）=f（3+log23），又因3+log23＞4代入f （x）=，利用指数幂的运算性质求解． 解答：解：1＜log23＜2，3＜2+log23＜4， f（2+log23）=f（2+log23+1）=f（3+log23）， 4＜3+log23＜5，f（3+log23）==×=， 故选A． 点评：本题的考点是分段函数求函数值，先判断自变量的范围，再代入对应的关系式，根据指数幂的运算性质进行化简求值． 8．长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，这个球的表面积为（ ） A． 50πB． 25πC． 200πD． 20π 考点：球的体积和表面积． 专题：计算题；空间位置关系与距离． 分析：设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积． 解答：解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线的长， 则（2R）2=32+42+52=50， R=． S球=4π×R2=50π． 故选：A． 点评：本题考查球的表面积，球的内接体，考查计算能力，是基础题． 9．将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ） A． y=sin（2x﹣）B． y=sin（2x﹣）C． y=sin（x﹣）D． y=sin（x﹣） 考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题：分析法． 分析：先根据左加右减进行左右平移，然后根据横坐标伸长到原来的2倍时w变为原来的倍进行横向变换． 解答：解：将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y=sin（x﹣） 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是y=sin （x﹣）． 故选C． 点评：本题主要考查三角函数的平移变换．平移的原则是左加右减、上加下减． 10．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（ ） A． f（x1）＜0，f（x2）＜0 B． f（x1）＜0，f（x2）＞0 C． f（x1）＞0，f （x2）＜0 D． f（x1）＞0，f（x2）＞0 考点：函数零点的判定定理． 专题：函数的性质及应用． 分析：因为x0是函数f（x）=2x+的一个零点可得到f（x0）=0，再由函数f（x）的单调性可得到答案． 解答：解：x0是函数f（x）=2x+的一个零点f（x0）=0 f（x）=2x+是单调递增函数，且x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞）， f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2） 故选B． 点评：本题考查了函数零点的概念和函数单调性的问题，属中档题． 二.填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分． 11．函数f（x）=的定义域是　（，1]　． 考点：函数的定义域及其求法． 专题：函数的性质及应用． 分析：根据函数成立的条件，即可得到结论． 解答：解：要使函数f（x）有意义，则， 即， 则0＜3x﹣2≤1， 解得＜x≤1， 故函数的定义域的（，1]， 故答案为：（，1] 点评：本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件． 12．一个几何体的三视图如图所示，其侧视图是等腰直角三角形，则该几何体的表面积是　6+4　． 考点：由三视图求面积、体积． 专题：计算题． 分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，其高已知，底面是等腰直角三角形，且其高为1，故先求出底面积，求解其表面积即可． 解答：解：此几何体是一个三棱柱， 由于其底面是一个等腰直角三角形， 且其高为1，斜边长为2，直角边长为， 所以其面积为×2×1=1， 又此三棱柱的高为2， 故其侧面积为，（2++）×2=4+4， 表面积为：2×1+4+4=6+4． 故答案为：6+4． 点评：本题考查空间几何体的三视图，表面积的计算，考查空间想象、运算求解能力，中等题． 13．经过点P（0，﹣1）作圆C：x2+y2﹣6x+7=0的切线，切点为A，则切线PA的长为 ． 考点：直线与圆的位置关系． 专题：直线与圆． 分析：把圆C的方程化为标准方程，求出圆心和半径，求出 PC 的值，可得切线PA的长的值． 解答：解：圆C：x2+y2﹣6x+7=0 即（x﹣3）2+y2=2，表示以C（3，0）为圆心，以r=为半径的圆． 由于 PC=，故切线PA的长为=2， 故答案为 2． 点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，求圆的切线长度的方法，属于中档题． 14．给出下列命题： ①若2+2=0，则==； ②已知、、是三个非零向量，若+=，则|?|=|?|， ③在△ABC中，a=5，b=8，c=7，则?=20； ④与是共线向量=||||． 其中真命题的序号是　①②　．（请把你认为是真命题的序号都填上） 考点：四种命题的真假关系；平行向量与共线向量；平面向量数量积的运算． 专题：计算题． 分析：①由2+2=0，可得||=||=0，从而可得出答案；②+=0，=﹣，|?|=|||||cos＜，＞|，|?|=|||||cos＜，＞|=|||||cos＜﹣，＞|=|||||cos（π﹣＜，＞）|=|||||cos＜，＞|．即可判断；③由cosC===.?=||||cos（π﹣C）=5×8×（﹣）=﹣20即可判断；④与是共线向量?=λ（≠0）=λ2，而||||=|λ|||=|λ|||2即可判断对错． 解答：解：根据向量的有关性质，依次分析可得： ①由2+2=0，可得||=||=0，==．①正确． ②+=0，=﹣，|?|=|||||cos＜，＞|，|?|=|||||cos＜，＞|=|||||cos＜﹣，＞|=|||||cos（π﹣＜，＞）|=|||||cos＜，＞|．②正确． ③cosC===.?=||||cos（π﹣C）=5×8×（﹣）=﹣20．③不正确． ④与是共线向量?=λ（≠0）=λ2，而||||=|λ|||=|λ|||2． ④不正确． 故答案为：①②． 点评：本题考查了四种命题的真假及平面向量数量积的运算，属于基础题，关键是注意细心运算． 三.解答题：本大题共6小题，共80分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知角α是第三象限角，且f（α）=． （1）化简f（α）； （2）若cos（α+）=，求f（α）的值． 考点：三角函数的化简求值． 专题：三角函数的求值． 分析：（1）由条件应用诱导公式化简三角函数式，可得结果． （2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+）的值，再利用两角差的余弦公式求得f（α）=﹣cosα=﹣cos[（α+）﹣]的值． 解答：解：（1）f（α）===﹣cosα， （2）α是第三象限角，α+∈（2kπ+，2kπ+），k∈Z， 又cos（α+）=，sin（α+）=﹣，f（α）=﹣cosα=﹣cos[（α+）﹣]=﹣[cos（α+）cos+sin （α+）sin]=﹣（﹣）=． 点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，应用诱导公式化简三角函数式，两角差的余弦公式的应用，属于基础题． 16．已知直线l：y=k（x+2）（k≠0）与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的面积为S． （1）当k=时，求S的值； （2）求S的最大值，并求出此时的k值． 考点：直线与圆相交的性质． 专题：计算题；直线与圆． 分析：（1）作ODAB于D，当k=时，直线l：y=x+2，求出|AB|，|OD|，即可求出S的值； （2）设AOB=θ（0θ＜180°），则S=|OA||OB|sinθ=2sinθ，即可求S的最大值，从而求出此时的k值． 解答：解：（1）作ODAB于D，当k=时，直线l：y=x+2，则|OD|==，…（2分） |AB|=2=，…（4分） S=|AB||OD|=；…（6分） （2）设AOB=θ（0θ＜180°） 则S=|OA||OB|sinθ=2sinθ，…（8分） 当θ=90°时，S（θ）max=2，此时|OD|=，…（10分） 即=， k=±．…（12分） 点评：本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离，三角形面积公式的应用，考查计算能力． 17．已知函数f（x）=2sin?cos+cos． （1）求函数f（x）的最小正周期及最值； （2）令g（x）=f，判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由． 考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性；三角函数的最值． 专题：计算题． 分析：利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数f（x）=2sin?cos+cos，为y=2sin， （1）直接利用周期公式求出周期，求出最值． （2）求出g（x）=f的表达式，g（x）=2cos．然后判断出奇偶性即可． 解答：解：（1）f（x）=sin+cos=2sin， f（x）的最小正周期T==4π． 当sin=﹣1时，f（x）取得最小值﹣2； 当sin=1时，f（x）取得最大值2． （2）g（x）是偶函数．理由如下： 由（1）知f（x）=2sin， 又g（x）=f， g（x）=2sin=2sin=2cos． g（﹣x）=2cos=2cos=g（x）， 函数g（x）是偶函数． 点评：本题是基础题，考查三角函数的化简与求值，考查三角函数的基本性质，常考题型． 18．如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图（其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示）． （1）求四棱锥P﹣ABCD的体积； （2）求证：BD平面PEC； （3）求证：AE平面PBC． 考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 专题：空间位置关系与距离． 分析：（1）结合三视图，得到几何体的相关棱长，求四棱锥P﹣ABCD的底面面积和高，然后求出体积； （2）连接AC交BD于O点，取PC中点F，连接OF，要证明BD平面PEC，只需证明BD平行平面PEC内的直线EF即可； （3）要证AE平面PBG，只需证明PBAE，BCAE即可得证． 解答：（本题满分14分） 解：（1）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA平面ABCD，PAEB， 且PA=4，BE=2，AB=AD=CD=CB=4， VP﹣ABCD=PA×SABCD=×4×4×4=．…（4分） （2）证明：连结AC交BD于O点，取PC中点F，连结OF， EB∥PA，且EB=PA，又OFPA，且OF=PA， EB∥OF，且EB=OF， 四边形EBOF为平行四边形， EF∥BD．又EF?平面PEC，BD?平面PEC，所以BD平面PEC．…（9分） （3），EBA=∠BAP=90°， EBA∽△BAP， PBA=∠BEA，PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90°， PB⊥AE． 又BC⊥平面APEB， BC⊥AE， AE⊥平面PBG，…（14分） 点评：本题考查三视图，几何体的条件，直线与平面垂直和平行的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题． 19．已知A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且0＜α＜π （1）若|+|=，求与的夹角； （2）若，求tanα的值． 考点：数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系． 专题：计算题． 分析：（1）利用向量的坐标运算求出；利用向量模的坐标公式得到三角函数方程，求出α；求出两个向量的夹角． （2）利用向量的坐标公式求出两个向量的坐标；利用向量垂直的充要条件列出方程求出；利用三角函数的平方关系将此等式平方求出cosα﹣sinα；求出sinα，cosα；利用三角函数的商数关系求出tanα． 解答：解：（1）=（2+cosα，sinα），||=（2+cosα）2+sin2a=7， cosα=又α∈（0，π）， α=，即AOC=又AOB=，OB与OC的夹角为； （2）=（cosα﹣2，sinα），=（cosα，sinα﹣2）， AC⊥BC，=0，cosα+sinα=① （cosα+sinα）2=，2sinαcosα=﹣ α∈（0，π），α∈（，π）， 又由（cosα﹣sinα）2=1﹣2sinαcosα=，cosα﹣sinα＜0， cosα﹣sinα=﹣②由①、②得cosα=，sinα=， 从而tanα=﹣． 点评：本题考查向量模的坐标公式、考查向量垂直的充要条件、考查三角函数的平方关系、商数关系、 考查cosα+sinα、cosα﹣sinα、2sinαcosα三者知二求一． 20．对于函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），若存在实数x0，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点． （1）当a=2，b=﹣2时，求f（x）的不动点； （2）若对于任何实数b，函数f（x）恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若y=f（x）的图象上A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且直线是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围． 考点：函数与方程的综合运用． 专题：计算题． 分析：（1）设x为不动点，则有2x2﹣x﹣4=x，变形为2x2﹣2x﹣4=0，解方程即可． （2）将f（x）=x转化为ax2+bx+b﹣2=0．由已知，此方程有相异二实根，则有△x＞0恒成立求解； （3）由垂直平分线的定义解决，由A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，则有kAB=1，再由直线是线段AB的垂直平分线，得到k=﹣1，再由中点在直线上求解． 解答：解f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）， （1）当a=2，b=﹣2时，f（x）=2x2﹣x﹣4． 设x为其不动点，即2x2﹣x﹣4=x． 则2x2﹣2x﹣4=0．x1=﹣1，x2=2．即f（x）的不动点是﹣1，2． （2）由f（x）=x得：ax2+bx+b﹣2=0．由已知，此方程有相异二实根，△x＞0恒成立，即b2﹣4a（b﹣2）＞0．即b2﹣4ab+8a＞0对任意b∈R恒成立．b＜0．，16a2﹣32a＜0，0＜a＜2． （3）设A（x1，x1），B（x2，x2）， 直线是线段AB的垂直平分线，k=﹣1 记AB的中点M（x0，x0）．由（2）知，，． 化简得：时，等号成立）． 即0＞．即[﹣）． 点评：本题主要考查方程的解法，方程根的情况以及垂直平分线定义的应用．。