2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x xy x +=-的渐近线条数( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数,则(0)f '=( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设2sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π==⎰则有( )(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有(,)(,)0,0,x y x y x y∂∂><∂∂则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是()(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d Dx y x y -=⎰⎰( )(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π(7) 设1100c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,2201c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,3311c ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α ,4411c -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若()123,,P =ααα，()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -=( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202x d y dx== .(10) 22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭ .(11) 设1ln ,z f x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()2d 3d 0y x x y y +-=满足条件11x y ==的解为y = .(13) 曲线()20y x x x =+<上曲率为2的点的坐标是 . (14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，由考研云助手整理( 专注免费考研资料 微信公众号提供更多资讯)则*BA = .三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分)已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=，(I)求a 的值;(II)若0x →时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.(16)(本题满分 10 分)求函数()222,x y f x y xe+-=的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求()f x 的表达式;(II) 求曲线220()()d xy f x f t t =-⎰的拐点.(20)(本题满分10分)证明21ln cos 112x x x x x ++≥+-,(11)x -<<.(21)(本题满分10 分)(I)证明方程1x x x ++=n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限. (22)(本题满分11 分)设100010001001a a A a a⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，1100β⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(I) 计算行列式A ；(II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解. (23)(本题满分11 分)已知1010111001A a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2， (I) 求实数a 的值；(II) 求正交变换x Qy =将f 化为标准形.2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：（C ）【解析】：221lim 1x x xx →+=∞-，所以1x =为垂直渐近线 22lim 11x x xx →∞+=-，所以1y =为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C ）。

2012考研数二真题答案第一题：解析：本题考查的是集合的基本概念和运算。

给出的条件是集合A={2,3,4,5,6}，集合B={1,3,5,7,9}，我们需要求出(A∪B)∩(A-B)的结果。

首先，求并集A∪B，即将A和B中的元素合并，并去除重复的元素。

得到A∪B={1,2,3,4,5,6,7,9}。

其次，求差集A-B，即是在A中去掉与B中重复的元素。

得到A-B={2,4,6}。

最后，求交集(A∪B)∩(A-B)，即将A∪B和A-B的结果中相同的元素找出来。

得到(A∪B)∩(A-B)={2,4,6}。

因此，答案为{2,4,6}。

第二题：解析：本题考查的是概率基本知识。

已知事件A发生的概率P(A)=0.8，事件B发生的概率P(B)=0.5，需要求事件A和B同时发生的概率P(A∩B)。

根据概率的定义，事件A和B同时发生的概率为事件A和B的交集的概率。

即，P(A∩B)=P(A)×P(B)。

代入已知条件，P(A∩B)=0.8×0.5=0.4。

因此，答案为0.4。

第三题：解析：本题考查的是函数的性质和零点的概念。

已知函数f(x)满足f(x+f(x))=1，我们需要求函数f(x)的零点。

零点即是函数在该点的取值为0的点。

即，求解方程f(x)=0。

由已知条件得f(x+f(x))=1，代入f(x)=0，得f(x+0)=1。

因此，f(x+0)=1，即f(x)=1。

所以，函数f(x)的零点为x=1。

第四题：解析：本题考查的是极限的计算。

已知数列{an}的通项公式为an=(n+1)^2/n^2，需要求该数列的极限lim(n→∞)an。

要求数列的极限lim(n→∞)an，即是当n趋于无穷大时，数列的通项an的极限值。

计算：lim(n→∞)an=lim(n→∞)((n+1)^2/n^2)=lim(n→∞)(n^2+2n+1)/n^2=lim(n→∞)(1+2/n+1/n^2)=1+0+0=1因此，数列{an}的极限为1。

2012考研数学二真题及参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：C【解析】：221lim 1x x xx →+=∞-，所以1x =为垂直的 22lim 11x x xx →∞+=-，所以1y =为水平的，没有斜渐近线 故两条选C （2）设函数2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f =（A ）1(1)(1)!n n ---（B ）(1)(1)!nn -- （C ）1(1)!n n --（D ）(1)!nn - 【答案】：C 【解析】：'222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()x x nx x x nx x x nx f x e e e n e e e n e e ne n =--+---+---所以'(0)f =1(1)!n n --（3）设a n >0(n =1,2,…)，S n =a 1+a 2+…a n ，则数列(s n )有界是数列（a n ）收敛的 (A)充分必要条件. (B)充分非必要条件.（C ）必要非充分条件. （D ）即非充分地非必要条件. 【答案】：(A)【解析】：由于0na >，则1n n a ∞=∑为正项级数，S n=a 1+a 2+…a n为正项级数1n n a ∞=∑的前n 项和。

正项级数前n 项和有界与正向级数1nn a∞=∑收敛是充要条件。

故选A（4）设2kx keI e=⎰sin x d x (k=1,2,3),则有D（A ）I 1< I 2 <I 3. (B) I 2< I 2< I 3.(C) I 1< I 3 <I 1,(D) I 1< I 2< I 3. 【答案】：(D) 【解析】：：2sin kx k eI e xdx=⎰看为以k为自变量的函数，则可知()2'sin 0,0,k k I e k k π=≥∈，即可知2sin k x k eI e xdx =⎰关于k 在()0,π上为单调增函数，又由于()1,2,30,π∈，则123I I I <<，故选D（5）设函数f (x,y ) 可微，且对任意x ,y 都 有(,)f x y x∂∂ >0,(,)f x y y ∂∂<0,f (x 1,y 1)<f(x 2,y 2)成立的一个充分条件是(A) x 1> x 2, y 1< y 2. (B) x 1> x 2, y 1>y 1.(C) x 1< x 2, y 1< y 2.(D) x 1< x 2, y 1> y 2.【答案】：(D) 【解析】：(,)0f x y x∂>∂，(,)0f x y y ∂<∂表示函数(,)f x y 关于变量x 是单调递增的，关于变量y 是单调递减的。

2012数二参考答案9、21xx e +； 10、4π； 11、0； 12、2x y =； 13、()1,0-； 14、27- 三、解答题15、解：（I ）()00011sin lim limlim 011sin sin sin x x x x x x xa f x x x x x x→→→+-==-=+=+=（II ）()00011sin sin lim lim 1lim sin sin sin x x x x x x x x f x a x x x xx →→→+--⎛⎫⎛⎫-=--=+⎡⎤⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭ ()()3001sin 16lim lim sin sin x x x x x x x x x x →→-+⎛⎫== ⎪⎝⎭()300161sin lim lim 6x x x f x a x x x x →→-⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以k=1 16、解：()()()()()2222222222222,10,0x yx y x y x y fx y e xex ex xf x y xe y y+++---+-⎧∂=+-=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩得驻点()()121,0,1,0P P -()()()()()()()()22222222222222222222,21,1,1x y x y x y x y f x y xe e x x x f x y e x y x yf x y xe y y++--+-+-⎧∂=-+--⎪∂⎪⎪∂⎪=--⎨∂∂⎪⎪∂⎪=-∂⎪⎩ 根据判断极值的第二充分条件， 把()11,0,P -代入二阶偏导数B=0，A>0，C>0，所以()11,0,P -为极小值点，极小值为()121,0f e --=-把()21,0P 代入二阶偏导数B=0，A<0，C<0，所以()21,0P 为极大值点，极大值为()121,0f e-=（17）解：1y x '=，设切点坐标(),ln o o x x ，切线方程为()1ln o o oy x x x x -=- 又切线过点(0,1)，所以2o x e =，故切线方程为211y x e =+ 切线与x 轴交点为B ()2,0e -所围面积()222011y A e e y dy e ⎡⎤=--=-⎣⎦⎰ 旋转体体积()()2222221122ln 333e V e e xdx e πππ⎡⎤=---=+⎣⎦⎰ （18）解：()()1cos 014401d cos sin 1116cos sin 1cos 14415Dxy d d d t t dt πθπσθρθρθρρθθθθ+-= =+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（19）解：（I ）'''()()2()0f x f x f x +-=对应的特征方程为220r r +-=，r=-2，r=1所以()212xx f x C e C e -=+把()212xx f x C e C e -=+代入''()()2x f x f x e +=，得到()x f x e =（II ）同理，当x<0时，0y ''<可知（0,0）点是曲线唯一的拐点。

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案详解一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）曲线221x xy x +=-的渐近线条数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【答案】应选（C ）.【详解】由2211lim lim 11x x x x xx x →→+==∞--，知曲线有1条垂直渐进线； 由22lim 11x x xx →∞+=-，知曲线有1条水平渐进线；曲线无斜渐近线. （2）设函数2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =---L ，其中n 为正整数，则(0)f '=（ ）（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n -【答案】应选（A ）. 【详解一】由导数定义，200()(0)(1)(2)()(0)lim limx x nx x x f x f e e e n f x x→→----'==L21lim(2)()(1)(1)!x nx n x e e n n -→=--=--L【详解二】由22()(2)()(1)(2)()x x nx x x nxf x e e e n e e e n ''⎡⎤⎡⎤=--+---⎣⎦⎣⎦L L ，得1(0)(1)(1)!n f n -'=--（3）设()01,2,n a n >=L ，12n n S a a a =+++L ，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的（ ）（A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件（C ）必要非充分条件 （D ）既非充分条件又非必要条件 【答案】应选（B ）.【详解】由{}n S 单调递增，若{}n S 有界，则{}n S 收敛，从而()11lim lim lim lim 0n n n n n n n n n a S S S S --→∞→∞→∞→∞=-=-=.反过来若{}n a 收敛，推不出{}n S 有界，例如1n a =. （4）设2sin k x k I e xdx π=⎰，()1,2,3k =，则有（ ）（A ）123I I I << （B ）321I I I << （C ）231I I I << （D ）213I I I << 【答案】应选（D ）.【详解】210sin 0,xI e xdx π=>⎰()222222211sin sin sin sin x x x x I e xdx e xdx e xdx I exdx I ππππππ+==+=-<⎰⎰⎰⎰()()2222332321020sin sin sin sin x x x x I e xdx I e xdx I exdx exdxπππππππ++==+=-+⎰⎰⎰⎰()()222110sin x x I e exdx Iπππ++⎡⎤=+->⎢⎥⎣⎦⎰（5）设函数(,)f x y 可微，且对任意,x y 都有(,)0f x y x∂>∂，(,)0f x y y ∂<∂，则使不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的一个充分条件是（ ）（A ）1212,x x y y ><（B ）1212,x x y y >>（C ）1212,x x y y << （D ）1212,x x y y <> 【答案】应选（D ）. 【详解】由(,)0f x y x∂>∂，若12x x <，则1121(,)(,)f x y f x y <； 由(,)0f x y y∂<∂，若12y y >，则2122(,)(,)f x y f x y <，于是有1122(,)(,)f x y f x y <. （6）设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)Dx y dxdy -=⎰⎰（ ）（A ）π（B ）2（C ）-2（D ）π-【答案】应选（D ）. 【详解】由奇偶性，得1arcsin 1151112(1)(1)(arcsin )22yDDx y dxdy dxdy dy dx y dy dy ππππ-----=-=-=-+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（7）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）（A ） 123,,ααα （B ） 124,,ααα （C ） 134,,ααα （D ） 234,,ααα 【答案】应选（C ）.【详解一】由34500c αα⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭与1α线性相关，知134,,ααα线性相关.【详解二】由13411110c c c --=，知134,,ααα线性相关. （8）设A 为三阶矩阵，P 为三阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若()123,,P ααα=，()1223,,Q αααα=+，则 1Q AQ -=（ ） （A ） 100020001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭（B ）100010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ） 200010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ） 200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】应选（B ）. 【详解】由题设，()()1223123100,,,,110001Q ααααααα⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭从而111100100110110001001Q AQ P AP ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1100100100100110010110010001002001002-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则0x y =''= .【答案】1【详解】代入0x =，得(0)0y =.等式两边同时对x 求导，得2y x y e y ''-=，(0)0y '=求二阶导，得22y y y e y e y '''''-=+，(0)1y ''=（10）2222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭L . 【答案】4π【详解】由积分定义，122222201111111lim lim 12141n n n i n dx n nn n n x i n π→∞→∞=⎛⎫+++===⎪++++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑⎰L （11）设1(ln )z f x y =+，其中函数()f u 可微，则2z zx y x y∂∂+=∂∂ 【答案】0 【详解】()1z f u x x ∂'=⋅∂，()21z f u y y ⎛⎫∂'=- ⎪∂⎝⎭，所以20z zx y x y ∂∂+=∂∂（12）微分方程2(3)0ydx x y dy +-=满足条件11x y ==的解为【答案】y =【详解】方程可整理为13dx x y dy y+=，将x 看作因变量，一阶线性非齐次微分方程的通解为()11313dy dy y y x e ye dy C y C y -⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰.又(1)1y =，得特解y =（13）曲线()20y x x x =+<的点的坐标为 .【答案】（-1，0）【详解】21,2y x y '''=+=，代入曲率公式()3221y K y ''='+32221(21)x =⎡⎤++⎣⎦，解得1x =-或1x =.又0x <，故1,0x y =-=.（14）设A 为三阶矩阵，3A =，*A 为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ，则*BA =_________ 【答案】应填-27. 【详解】设12010100001E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则12B E A =，从而3**1227BA E AA A ==-=-.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）已知函数()11sin x f x x x+=- 记()0lim x a f x →=（1）求a 的值；（2）当0x →时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.【详解】（1）()3222200001sin sin 6lim lim lim 1lim 1sin x x x x xx x x x x x a f x x x x x →→→→+-+-====+=（2）方法一：利用泰勒公式()()3323212000166sin sin lim lim lim 0sin k k k x x x x x x x x x x o x f x x x x x x x x x x++→→→⎛⎫⎛⎫+----+ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭==≠解得1k =.方法二：利用等价无穷小量代换()()()21sin sin sin 1sin sin x x x x x x x x f x x x x x+-+---==当0x →时，()3211616xf x x x -=:，所以1k =.（16）求函数222(,)x y f x y xe +-=的极值.【详解】令()2222222100x y x x y y f e x f xye+-+-⎧'=-=⎪⎪⎨⎪'=-=⎪⎩ 解得1,0,x y =⎧⎨=⎩ 1.0.x y =-⎧⎨=⎩()()22222223222123x y x y x y xxA f xe x xex x e+++---''==---=-()2222x y xyB f x y y e +-''==-()2222x y yyC f xy x e +-''==-代入（1，0），得122A e -=-，0B =，12C e-=-，从而20AC B ->，0A <，所以(,)f x y 在（1，0）取得极大值，极大值为12e -；代入（-1，0），得122A e-=，0B =，12C e-=，从而20AC B ->，0A >，所以(,)f x y 在（-1，0）取得极小值，极小值为12e--.（17）过（0，1）点作曲线:ln L y x =的切线，切点为A ，又L 与x 轴交于B 点，区域D 由L 与直线AB 及x 轴围成，求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 【详解】设切点A 坐标为00(,ln )x x ，则切线斜率为01x ，切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，代入（0，1）点，解得20x e =，从而切线方程为211y x e=+，B 点坐标为2(,0)e -，所以 区域D 的面积2220(1)1y S e e y dy e ⎡⎤=--=-⎣⎦⎰. D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积22222211(1)(ln )e e e V x dx x dxeππ-=+-⎰⎰2222118ln |ln 3e e e x x xdx ππ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰()2228222233e e e ππππ=--=+ （18）计算二重积分Dxyd σ⎰⎰，其中区域D 为曲线1cos (0)r θθπ=+≤≤与极轴围成.【详解】利用极坐标变换，1cos 3401cos sin cos sin (1cos )4Dxyd d r dr d πθπσθθθθθθθ+==+⎰⎰⎰⎰⎰ 144011116cos (1cos )cos (1)4415d t t dt πθθθ-=-+=+=⎰⎰（19）已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e '+=（1）求()f x 的表达式； （2）求曲线220()()xy f x f t dt =-⎰的拐点.【详解】（1）方法一：()()2()0f x f x f x '''+-=的特征方程为220r r +-=，特征根为121,2r r ==-，通解为212x x C e C e -+，代入()()2x f x f x e '+=，解得120,1C C ==，故 ()x f x e =.方法二：()()2()0f x f x f x '''+-=的特征方程为220r r +-=，特征根为121,2r r ==-，通解为212x x C e C e -+.又()()2x f x f x e '+=的通解为2()x x e e C -+，比较得()x f x e =.（2）方法一：()()2222x xx t y f xf t dt e e dt-=-=⎰⎰2212xxt y xe e dt-'=+⎰()2220224xxt y x x e e dt-''=++⎰()2223044128x xt y x x x e e dt-'''=+++⎰当且仅当0x =时，二阶导数等于零.又(0)40y '''=≠，所以（0，0）为曲线的拐点.方法二：()()2222x xx t y f xf t dt e e dt-=-=⎰⎰2212xxt y xe e dt-'=+⎰()2220224xxt y x x e e dt-''=++⎰当且仅当0x =时，二阶导数等于零；当0x >时，()0y x ''>；当0x <时，()0y x ''<； 所以（0，0）为曲线的拐点.（20）证明：21ln cos 1,12x x x x x ++≥+-(11)x -<< 【证明一】令()21ln cos 112x x f x x x x +=+---，则()00f =. 由()f x 为偶函数，只需证当01x <<时，()0f x >.()111lnsin 111x f x x x x x x x +⎛⎫'=++-- ⎪-+-⎝⎭，()00f '= ()()()2211112cos 11111f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫''=++-+-- ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭+-⎝⎭()()222411cos 1111x x x x x ⎛⎫=+-+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭当01x <<时，2441x >-，()()2211011x x x ⎛⎫-+> ⎪ ⎪+-⎝⎭，cos 12x --≥-，从而 ()0f x ''>，于是()f x '单调递增，所以()()00f x f ''>=，因此()f x 单调递增，所以()()21ln cos 10012x x f x x x f x +=+-->=-，得证21lncos 1,(11)12x x x x x x ++≥+-<<- 【证明二】令()21ln cos 112x x f x x x x +=+---，则()00f =. 由()f x 为偶函数，只需证当01x <<时，()0f x >.()2211111ln sin ln sin 11111x x x f x x x x x x x x x x x +++⎛⎫'=++--=+- ⎪-+---⎝⎭g ，()00f '=当01x <<时，2211ln 0,sin sin 011x x x x x x x x ++>->->--g ，从而()0f x '>，于是()f x 单调递增，所以()()21ln cos 10012x x f x x x f x +=+-->=-，得证 21ln cos 1,(11)12x x x x x x ++≥+-<<-（21）（1）证明：方程11n n x x x -+++=L （n 为大于1的整数）在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；（2）记（1）中实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.【详解】（1）令()11nn f x x xx -=+++-L ，则()110f n =->，1111111022222n n n f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L由零点定理，()f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上至少有一个零点. 又()1210n n f x nxx --'=+++>L ，从而()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，即方程11n n x x x -+++=L 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且仅有一个实根.（2）比较11n nnn n x x x -+++=L 及1111111n n n n n n n xx x x -+++++++++=L ，得1n n x x +<，从而数列{}n x 单调递减有下界，所以lim n n x →∞存在.设lim n n x a →∞=，对11n n nn n x x x -+++=L 两边取极限，()1lim111nn n n nx x a x a →∞-==--，解得12a =，即1lim 2n n x →∞=.（22）设10010101,00100010a a A a aβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）计算A ；（2）当实数a 取何值时，Ax β=有无穷多解，并求其通解. 【详解】（1）按照第一列展开，得5441(1)1A a a =+-=-.（2）若Ax β=有无穷多解，则0A =，即410a -=，解得1a =或1a =-. 当1a =时，1100 11100 10110 10110 1001 1 0001 1 0100 1 00000 2A ⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭()()r A r A <，方程组Ax β=无解.当1a =-时，1100 11100 10110 10110 1001 1 0001 1 0100 1 00000 0A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪----⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()()34r A r A ==<，方程组Ax β=有无穷多解，其通解为11110101k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数 （23）已知110111001A a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型123(,,)()T Tf x x x x A A x =的秩为2（1）求实数a 的值；（2）求正交变换x Qy =将f 化为标准形. 【详解】（1）对A 初等行变换，1011010110111000101000A a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=→⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭由()()2,Tr A r A A ==得1a =-.（2）101111120201101010221011010224011T A A ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝⎭由T A A 的特征多项式202202022(2)22224024T E A A λλλλλλλλ-----=--=--------- 102102(2)122(2)024(2)(6)024024λλλλλλλλλ--=----=---=------ 得矩阵T A A 的特征值12λ=，26λ=，30λ=.当12λ=时，解得(2)0T E A A x -=的基础解系1(1,1,0)T α=-；当26λ=时，解得(6)0TE A A x -=的基础解系2(1,1,2)T α=； 当30λ=时，解得(0)0TE A A x -=的基础解系3(1,1,1)T α=-； 由于123,,ααα已是正交向量组，只需单位化，1231111,1,1021γγγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=-==⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎭⎭⎭令()123,,Q γγγ=，经过正交变换Qy x =，二次型123(,,)()T T f x x x x A A x =化成标准形2212312(,,)26f x x x y y =+.。

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1) 曲线渐近线的条数 221
x x y x +=-( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
【答案】C
【考点】函数图形的渐近线
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（i ）当曲线上一点M 沿曲线无限远离原点时，如果M 到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。

（ii ）渐近线分为水平渐近线（，为常数）、垂直渐近线（）和lim ()x f x b →∞=b 0lim ()x x f x →=∞斜渐近线（，为常数）。

lim[()()]0x f x ax b →∞
-+=,a b （iii ）注意：如果
（1）不存在；()lim x f x x
→∞（2），但不存在，可断定不存在斜渐近线。

()lim x f x a x
→∞=lim[()]x f x ax →∞-()f x 在本题中，函数的间断点只有.221
x x y x +=-1x =±由于，故是垂直渐近线.1
lim x y →=∞1x =1。