【优选整合】人教A版高中数学必修五1.1.1正弦定理学案(含答案)

《正弦定理》教学设计一、教学目标分析1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。

2、过程与方法：让学生从实际问题出发，结合初中学习过的直角三角形中的边角关系，引导学生不断地观察、比较、分析，采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现并证明正弦定理；让学生在应用定理解决问题的过程中更深入地理解定理及其作用。

3、情感、态度与价值观：通过正弦定理的发现与证明过程体验数学的探索性与创造性，让学生体验成功的喜悦，激发学生的好奇心与求知欲并培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学态度和乐于探索、勇于创新的精神。

二、教学重点、难点分析重点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，发现、证明正弦定理并运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。

难点：正弦定理的发现并证明过程以及已知两边以及其中一边的对角解三角形时解的个数的判断。

三、教学基本流程1、引出问题：在三角形中，已知两角以及一边，如何求出另外一边；2、结合初中学习过的直角三角形中的边角关系，引导学生不断地观察、比较、分析，采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现并证明正弦定理；3、分析正弦定理的特征及利用正弦定理可解的三角形的类型；4、应用正弦定理解三角形。

五、教学反思1、新课标倡导积极主动、勇于探索的学习方式，使学生在自主探究的过程中提高数学思维能力。

本设计创设了一系列数学问题情境来引导学生质疑、思考，让学生在“疑问”、“好奇”、“解难”中探究学习，激发了学生的学习兴趣，调动了学生自主学习的积极性，从而有效地培养学生了的数学创新思维。

2、新课标强调数学教学要注重“过程”，要使学生学习数学的过程成为在教师的引导下∠进行“再创造”过程。

本设计展示了一个先从特殊的直角三角形中正弦的定义出发探索A ∠的正弦的关系从而发现正弦定理，再将一般的三角形与直角三角形联系起来的正弦与B（在一般的三角形中构造直角三角形）进而在一般的三角形发现正弦定理的过程，使学生不但体会到探索新知的方法而且体验到了发现的乐趣，起到了良好的教学效果。

第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理必备知识·自主学习1.正弦定理(1)定理的内容.三角形的三个角A,B,C和它们条件的对边a,b,c在一个三角形中,各边和它所文字语言对角的正弦的比相等符号语言==(2)本质:正弦定理反映的是三角形边角之间的数量关系.该比值是此三角形外接圆的直径.(3)作用:①求三角形的边和角;②实现三角形边角之间的互化;③求三角形外接圆的半径.正弦定理==只适用于锐角三角形吗?提示:正弦定理==适用于任意三角形.2.三角形中的元素与解三角形(1)三角形中的元素:指的是三角形的三个角及其对边.(2)解三角形:已知三角形的几个元素求其他元素的过程.已知三角形的哪几个元素,可以用正弦定理解相应三角形?提示:①已知三角形的任意两角和一边,求其他两边和另一角.②已知三角形的任意两边和其中一边的对角,求另一边及另两角.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)在△ABC中,已知C=60°,a=1,b=3,可用正弦定理解此三角形. ( )(2)对于任意△ABC总有bsin A=asin B. ( )(3)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B;反之,若A>B,则sin A>sin B. ( )(4)在△ABC中,若A=30°,a=2,b=2,则B=60°.( )提示:(1)×.已知三角形的两边和这两条边的夹角,无法用正弦定理解此三角形.(2)√.由正弦定理知=,即bsin A=asin B.(3)√.在△ABC中,sin A>sin B⇔a>b⇔A>B.(4)×.由正弦定理知=,即=,所以sin B=,则B=60°或120°,又因为b>a,所以B>A,故B=60°或120°.2.(教材二次开发:练习改编)在△ABC中,a=8,B=60°,C=75°,则b= ( )A.4B.4C.4D.【解析】选C.在△ABC中,A=180°-(B+C)=45°,由正弦定理=得b===4.3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A=,a=3,b=1,则sin B= ( ) A.B.C.D.【解析】选A.由正弦定理得sin B===.关键能力·合作学习类型一已知两角及一边解三角形(数学运算)1.(2020·石家庄高一检测)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,B=45°,C=120°,则边c= ( )A. B. C.2 D.2.在△ABC中,若tan A=,C=150°,BC=1,则AB等于.3.在△ABC中,已知a=2,A=30°,B=45°,解三角形.【解析】1.选D.因为b=2,B=45°,C=120°,由正弦定理=,可得=,解得c=.2.因为tan A=,0°<A<180°,所以sin A=.由正弦定理知=,所以AB===.答案:3.因为==,所以b====4.因为C=180°-(A+B)=180°-(30°+45°)=105°,所以c====2+2.已知两角及一边解三角形的一般步骤【补偿训练】已知一个三角形的两个内角分别是45°,60°,它们所夹边的长是1,求最小边长.【解析】设在△ABC中,A=45°,B=60°,则C=180°-(A+B)=75°.因为C>B>A,所以最小边为a.又因为c=1,由正弦定理得,a===-1,所以最小边长为-1.类型二已知两边及一边的对角解三角形(数学运算)【典例】在△ABC中,已知B=30°,b=,c=2,解三角形.四步内容理解题意条件:B=30°,b=,c=2, 结论:求角A、角C和边a思路根据题目条件及正弦定理可得sin探求C=,求出角C,进而可以计算A,a.书写表达由正弦定理得sin C===,因为c>b,0°<C<180°,所以C=45°或135°.②(1)当C=45°时,A=105°,a===+1,(2)当C=135°时,A=15°,a===-1.注意书写的规范性:①③④处正确应用正弦定理的变形是解题的关键;②处根据三角函数值求角时,要注意结合角的范围.题后反思利用正弦定理求角时,一方面要注意由正弦值求角有可能出现两解的情况,另一方面要注意三角形内角和定理的应用已知两边及一边的对角解三角形的步骤(2020·深圳高一检测)在△ABC中,A=60°,AC=,BC=,则C= ( )A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选D.设A,B,C的对边分别为a,b,c.由正弦定理得=, 所以=,所以sin B=,又因为a>b,所以A>B,且0°<B<180°,所以B=30°,所以C=180°-A-B=90°.【拓展延伸】在△ABC中,已知a,b和A,以点C为圆心,以边长a为半径画弧,此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数.解的个数见下表:A为锐角A为钝角或直角图形关系式①a=bsin A且a<b②a≥bbsinA<a<ba<bsin Aa>b a≤b解的个数一解两解无解一解无解【拓展训练】根据下列条件,判断△ABC有没有解?若有解,判断解的个数.(1)a=5,b=4,A=120°.(2)a=5,b=4,A=90°.(3)a=10,b=20,A=45°.(4)a=20,b=20,A=45°.(5)a=4,b=,A=60°.【解析】(1)(2)中因为a>b,所以只有一解.(3)中bsin A=20sin 45°=10,所以a=bsin A,所以只有一解.(4)中bsin A=20sin 45°=10,所以bsin A<a<b,所以有两解.(5)中bsin A=sin 60°=5,所以a<bsin A,所以无解.【补偿训练】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=,b=2,sin B+cosB=,则角A的大小为.【解析】由sin B+cos B=,得sin =1,由B∈(0,π),得B=,由正弦定理,=,得sin A==,又a<b,所以A=.答案:类型三用正弦定理进行边角互化(逻辑推理、数学运算)角度1 运算求解问题【典例】(2020·驻马店高二检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知4bcos Bsin C=c,则B= ( ) A.或 B.C. D.或【思路导引】利用正弦定理化边为角,建立关于角B的三角方程.【解析】选D.由4bcos Bsin C=c,得4sin Bcos Bsin C=sin C,所以sin 2B=,又因为B为△ABC的内角,所以2B=或,所以B=或. 将本例条件“4bcos Bsin C=c”改为“2asin B=b”,求角A. 【解析】因为2asin B=b,由正弦定理可得,2sin Asin B=sin B,又sin B≠0,所以sin A=,所以A=或π.角度2 化简证明问题【典例】在任意△ABC中,求证:a(sin B-sin C)+b(sin C-sin A)+c(sin A-sin B)=0.【思路导引】方法一:边化角,即由正弦定理,令a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(其中R是△ABC外接圆的半径).代入等式左边进行化简;方法二:角化边,即由正弦定理,令sin A=,sin B=,sin C=.代入等式左边进行化简.【证明】方法一:由正弦定理,令a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.代入得:左边=2R(sin Asin B-sin Asin C+sin Bsin C-sin Bsin A+sin Csin A-sin Csin B)=0=右边,所以等式成立.方法二:由正弦定理,令sin A=,sin B=,sin C=.代入得:左边=a+b+c=(ab-ac+bc-ba+ca-cb)=0=右边,所以等式成立.角度3 判断三角形的形状【典例】(2020·濮阳高二检测)在△ABC中,==,则△ABC一定是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【思路导引】由==,利用正弦定理可得tan A=tan B=tan C,即可得出.【解析】选D.由正弦定理可得:==,又==,所以tan A=tan B=tan C,又A,B,C∈(0,π),所以A=B=C=,所以△ABC是等边三角形.1.用正弦定理进行边角互化的两种方法2.判断三角形形状的两种途径(1)利用正弦定理把已知条件转化为边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.1.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asin AsinB+bcos2A=a,则= ( ) A.2 B.2 C. D.【解析】选D.由正弦定理得sin2Asin B+sin Bcos2A=sin A,即sinB·(sin2A+cos2A)=sin A.所以sin B=sin A.所以==.2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知=absin C.求证tan C=sin Asin B.【证明】因为=absin C,所以c2=absin Ccos C,由正弦定理得,sin 2C=sin Asin Bsin Ccos C,因为C∈,所以sin C>0,所以sin C=sin Asin Bcos C,由题意知cos C≠0,所以tan C=sin Asin B.3.在△ABC中,若acos A=bcos B,试判断△ABC的形状.【解析】由正弦定理得,a=2Rsin A,b=2Rsin B,由acos A=bcos B得,sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B.因为2A,2B∈(0,2π),所以2A=2B或2A+2B=π.即A=B或A+B=,所以△ABC为等腰或直角三角形.【补偿训练】1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若3a=2b,则的值为( ) A. B. C.1 D.【解析】选D.因为=,所以=.因为3a=2b,所以=.所以=.所以=2-1=2×-1=-1=.2.在△ABC中,已知2a=b+c,sin2A=sin Bsin C,试判断△ABC的形状.【解析】由sin2A=sin Bsin C和正弦定理,得a2=bc.因为2a=b+c,所以a=,所以=bc,整理得(b-c)2=0,所以b=c.从而a==b=c,故△ABC是等边三角形.课堂检测·素养达标1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列等式正确的是( )A.a∶b=A∶BB.asin A=bsin BC.a∶b=sin B∶sin AD.a∶b=sin A∶sin B【解析】选D.由=可得,只有D成立.2.一个三角形的两个角分别等于120°和45°,若45°角所对的边长是4,那么120°角所对的边长是( ) A.4 B.12 C.4 D.12【解析】选D.若设120°角所对的边长为x,则由正弦定理可得:=,于是x===12.3.在△ABC中,AB=,AC=1,B=30°,则角A=.【解析】由正弦定理得sin C===,又因为0°<C<180°,AB>AC,所以C=60°或120°,所以A=90°或30°.答案:90°或30°4.在△ABC中,若2asin C=c,则角A=.【解析】设△ABC的外接圆的半径为R,由正弦定理得2×2Rsin Asin C=×2Rsin C,因此sin A=,又因为0°<A<180°,故A=45°或135°.答案:45°或135°5.(教材二次开发:例题改编)在△ABC中,已知a=2,b=6,A=30°,解三角形.【解析】由正弦定理得sin B===,因为b>a,所以B=60°或120°.当B=60°时,C=90°,c==4;当B=120°时,C=30°,c=a=2.所以B=60°,C=90°,c=4或B=120°,C=30°,c=2.。

§1.1.1 正弦定理教学要求：（一）知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

（二）过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

（三）情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用；教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

教学过程： 一、复习准备：1、讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？2、由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形。

已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角）是否可以把边、角关系准确量化？二、讲授新课：1、教学正弦定理的推导：（1）特殊情况：直角三角形中的正弦定理：sin a A c =，sin bB c =，sin 1C =， 即：sin a c A =， sin b c B =，sin c c C =，sin sin sin a b cA B C ==。

（2）推广到斜三角形证明一：（传统证法）在任意斜ABC ∆中：111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆===， 两边同除以abc 21即得：sin sin sin a b c A B C ==，证明二：（外接圆法）如图所示，A D ∠=∠，∴2sin sin a aCD R A D===，同理2sin b R B =，2sin c R C =。

新编人教版精品教学资料1.1.1 正弦定理(二)[学习目标] 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.知识点一 正弦定理及其变形 1.定理内容：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R .2.正弦定理的常见变形： (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ； (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ； (4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .知识点二 对三角形解的个数的判断已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a 、b 和A 解三角形为例，从两个角度予以说明： (1)代数角度由正弦定理得sin B ＝b sin Aa，①若b sin A a >1，则满足条件的三角形个数为0，即无解.②若b sin A a ＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解.③若b sin A a <1，则满足条件的三角形个数为1或2.(2)几何角度知识点三 三角形面积公式 任意三角形的面积公式为：(1)S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半.(2)S △ABC ＝12ah ，其中a 为△ABC 的一边长，而h 为该边上的高的长.(3)S △ABC ＝12r (a ＋b ＋c )＝12rl ，其中r ，l 分别为△ABC 的内切圆半径及△ABC 的周长.(4)S △ABC ＝p (p －a )(p －b )(p －c )(其中p ＝a ＋b ＋c2).题型一 三角形解的个数的判断例1 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答. (1)a ＝10，b ＝20，A ＝80°； (2)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.解 (1)a ＝10，b ＝20，a <b ，A ＝80°<90°，讨论如下：∵b sin A ＝20sin 80°>20sin 60°＝103， ∴a <b sin A ，∴本题无解.(2)a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°， ∵b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ， ∴b sin A <a <b ，∴本题有两解.由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，又∵B ∈(0，π)，∴B 1＝60°，B 2＝120°. 当B 1＝60°时，C 1＝90°，c 1＝a sin C 1sin A ＝23sin 90°sin 30°＝43； 当B 2＝120°时，C 2＝30°，c 2＝a sin C 2sin A ＝23sin 30°sin 30°＝2 3. ∴B 1＝60°时，C 1＝90°，c 1＝43；B 2＝120°时，C 2＝30°，c 2＝2 3.反思与感悟 已知三角形两边和其中一边的对角时，利用正弦定理求出另一边对角的正弦值后，需利用三角形中“大边对大角”来判断此角是锐角、直角还是钝角，从而确定三角形有两解还是只有一解.也可以用几何法来判断，即比较已知角的对边与另一边和该角正弦值乘积的大小来确定解的个数.跟踪训练1 (1)满足a ＝4，b ＝3，A ＝45°的三角形ABC 的个数为________. (2)△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°.若该三角形有两解，则x 的取值范围是________. 答案 (1)1 (2)2<x <2 2解析 (1)因为A ＝45°<90°，a ＝4>3＝b ，所以△ABC 的个数为一个. (2)由a sin B <b <a ，得22x <2<x ，∴2<x <2 2. 题型二 三角形的面积例2 在△ABC 中，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .解 ∵cos B 2＝255，∴cos B ＝2cos 2B 2－1＝35.∴B ∈(0，π2)，∴sin B ＝45.∵C ＝π4，∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝7210.∵a sin A ＝c sin C ，∴c ＝a sin C sin A ＝27210×22＝107. ∴S ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.反思与感悟 求三角形的面积关键在于选择适当的公式，因此，要认真分析题中的条件，结合正弦定理，同时注意三角形内角和定理及三角恒等变换等知识的应用.跟踪训练2 (1)在△ABC 中，若a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.(2)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于________. 答案 (1)23 (2)32或34解析 (1)∵cos C ＝13，∴C ∈(0，π2)，∴sin C ＝1－(13)2＝223，又S △ABC ＝12ab sin C ＝12·32·b ·223＝43，∴b ＝2 3.(2)由正弦定理得sin C ＝AB ·sin BAC＝3×121＝32， 又∵C ∈(0，π)，∴C ＝60°或120°，∴A ＝90°或30°， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝32或34.题型三 正弦定理与三角变换的综合应用例3 在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，若c ＝2＋6，C ＝30°，求a ＋b 的取值范围. 解 由正弦定理得c sin C ＝a sin A ＝bsin B ＝a ＋b sin A ＋sin B ，∵c ＝2＋6，C ＝30°，∴a ＋bsin A ＋sin B ＝2＋6sin 30°，A ＋B ＝180°－30°＝150°.sin(150°－A )＝sin 150°2cos 150°－2A 2＋cos 150°2sin 150°－2A 2，①sin A ＝sin 150°2cos 150°－2A 2－cos 150°2sin 150°－2A 2，②由①②得sin A ＋sin(150°－A )＝2sin 75°cos(75°－A )， ∴a ＋b ＝2(2＋6)[sin A ＋sin(150°－A )] ＝2(2＋6)×2sin 75°cos(75°－A ) ＝2(2＋6)×2×6＋24cos(75°－A ) ＝(2＋6)2cos (75°－A ). 当A ＝75°时，(a ＋b )max ＝8＋4 3. ∵A ＋B ＝150°，∴0°<A <150°，－150°<－A <0°. ∴－75°<75°－A <75°， ∴cos(75°－A )∈(6－24，1]，∴a ＋b >(2＋6)2×6－24＝2＋6， ∴2＋6<a ＋b ≤8＋4 3.综上所述，a ＋b ∈(2＋6，8＋4 3 ].反思与感悟 (1)求某个式子的取值范围，可以将其转化为一个角的三角函数，再求范围.注意不要因为忽略相应自变量的取值范围而导致错误.(2)三角形的内角和等于180°，这一特殊性质为三角变换在三角形中的应用提供了一些特殊的式子，如sin A ＝sin(B ＋C )，cos A ＝－cos (B ＋C )等，解题中应注意应用.跟踪训练3 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＋b a ＝sin B sin B －sin A ，且cos(A －B )＋cos C ＝1－cos 2C .试确定△ABC 的形状. 解 由正弦定理a ＋b a ＝sin B sin B －sin A ＝bb －a，∴b 2－a 2＝ab ，①∵cos(A －B )＋cos C ＝1－cos 2C ，∴cos(A －B )－cos(A ＋B )＝1－(1－2sin 2C )，∴(cos A cos B ＋sin A sin B )－(cos A cos B －sin A sin B )＝1－1＋2sin 2C ， ∴2sin A sin B ＝2sin 2C ， ∴c 2＝ab .②①②结合得b 2－a 2＝c 2，∴△ABC 是以B 为直角的直角三角形.三角形解的个数的判断中考虑不全面致误例4 在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝π4，a ＝2，则b ＝__________.错解 由正弦定理a sin A ＝csin C ，得sin C ＝c sin A a ＝32，∴C ＝π3，∴B ＝5π12，∴b ＝a sin Bsin A ＝3＋1.答案3＋1错因分析 求得sin C ＝32之后，去求角C 的值时，认为C 为锐角，而忽略了C ＝23π的情况，导致漏解.正解 因为6sin π4<2<6，所以本题有两解.因为a sin A ＝c sin C ，所以sin C ＝c sin A a ＝32.所以C ＝π3或2π3.当C ＝π3时，B ＝5π12，b ＝a sin B sin A＝3＋1.当C ＝2π3时，B ＝π12，b ＝a sin B sin A ＝3－1.答案3＋1或3－1误区警示 已知两边和其中一边的对角解三角形时可先由正弦定理求出另一边的对角，该角可能有两解、一解、无解三种情况，故解题时应注意讨论，防止漏解.1.在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则角C 等于( )A.π4或3π4B.3π4 C.π4 D.π6答案 C解析 由正弦定理BC sin A ＝ABsin C 得sin C ＝AB ·sin ABC ＝6×323＝22， ∴C ＝π4或3π4.又∵AB <BC ，∴C <A ，∴C ＝π4.2.已知△ABC 中，b ＝43，c ＝2，C ＝30°，那么此三角形( ) A.有一解 B.有两解C.无解D.解的个数不确定答案 C解析 由正弦定理和已知条件得43sin B ＝2sin 30°，∴sin B ＝3>1，∴此三角形无解.3.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是( ) A.a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 B.a ＝18，b ＝20，A ＝60°，有一解 C.a ＝5，b ＝2，A ＝90°，无解 D.a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 答案 D解析 对A.a ＝b sin A ，故有一解； 对B.b sin A <a <b ，故有两解； 对C.a >b sin A ，故有一解； 对D.A 为钝角，且a >b ，故有一解.4.在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.答案 1解析 由正弦定理b sin B ＝c sin C 得1sin B ＝3sin C .∵sin C ＝sin2π3＝32，∴sin B ＝12. ∵C ＝2π3，∴B 为锐角，∴B ＝π6，A ＝π6，故a ＝b ＝1.故填1.5.在△ABC 中，lg(sin A ＋sin C )＝2lg sin B －lg(sin C －sin A )，则此三角形的形状是________. 答案 直角三角形解析 ∵lg(sin A ＋sin C )＝lg sin 2B sin C －sin A ，∴sin 2C －sin 2A ＝sin 2B ， 结合正弦定理得c 2＝a 2＋b 2， ∴△ABC 为直角三角形.6.在△ABC 中，AB ＝3，D 为BC 的中点，AD ＝1，∠BAD ＝30°，则△ABC 的面积S △ABC ＝________. 答案32解析 ∵AB ＝3，AD ＝1，∠BAD ＝30°， ∴S △ABD ＝12·3·1·sin 30°＝34，又D 是BC 边中点， ∴S △ABC ＝2S △ABD ＝32.1.已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况：可能无解，也可能一解或两解.首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知的两边的大小情况来确定该角有一个值或者两个值.2.判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式.一、选择题1.在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π12B.π6C.π4D.π3 答案 D解析 由正弦定理可得2sin A sin B ＝3sin B ， 又∵B ∈(0，π2)，sin B ≠0，∴sin A ＝32，又A 为锐角，∴A ＝π3.2.在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，由此得三角形最短边的长度为( ) A.63B.62C.12 D.32答案 A解析 B ＝45°，C ＝60°，A ＝75°，故最短边为b ， 由正弦定理得b ＝c sin B sin C ＝132×22＝63.3.在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的两边AC ＋AB 的取值范围是( )A.[33，6]B.(2,43)C.(33，4 3 ]D.(3,6]答案 D解析 ∵A ＝π3，∴B ＋C ＝23π.∴AC ＋AB ＝BCsin A(sin B ＋sin C )＝332[sin B ＋sin(23π－B )]＝23(32sin B ＋32cos B )＝6sin(B ＋π6)，∴B ∈(0，23π)，∴B ＋π6∈(π6，56π)，∴sin(B ＋π6)∈(12，1]，∴AC ＋AB ∈(3,6].4.在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6，b ＝4，则满足条件的△ABC ( ) A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定答案 C解析 由正弦定理得6sin 60°＝4sin B .∴sin B ＝2>1，∴角B 不存在.5.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )，若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( ) A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6 D.π3，π3 答案 C解析 ∵m ⊥n ，∴3cos A －sin A ＝0， ∴tan A ＝3，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，由正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ， ∴sin(A ＋B )＝sin 2C ，即sin C ＝1， ∴C ＝π2，B ＝π6.6.已知方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且A ，B 为△ABC 的两内角，a ，b 为角A ，B 的对边，则此三角形为( ) A.等腰直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 答案 C解析设x1，x2是方程x2－(b cos A)x＋a cos B＝0的两根，则x1＋x2＝b cos A，x1·x2＝a cos B. 由条件知a cos B＝b cos A.由a∶b＝sin A∶sin B得sin A cos B＝sin B cos A，∴sin A cos B－cos A sin B＝0，∴sin(A－B)＝0，∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，∴－π<A－B<π，∴A－B＝0，即A＝B.故△ABC为等腰三角形.7.在△ABC中，∠BAC＝120°，AD为角A的平分线，AC＝3，AB＝6，则AD等于()A.2B.2或4C.1或2D.5答案 A解析设AD＝x，如图，∠DAC＝∠DAB＝60°.∵AC＝3，AB＝6，且S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，∴12×3×6×32＝12×3x×32＋12×6x×32，解得x＝2.二、填空题8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a cos A＝b sin B，则sin A cos A＋cos2B ＝________.答案 1解析∵a cos A＝b sin B，∴sin A cos A＝sin2B，∴sin A cos A＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.9.在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所对的边a，b，c满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是________.答案(1， 2 ]解析 ∵a ＋b ＝cx ，∴x ＝a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C＝sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π4). ∵A ∈(0，π2)，∴A ＋π4∈(π4，34π)， ∴sin(A ＋π4)∈(22，1]，∴x ∈(1， 2 ]. 10.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则a b＝________. 答案 2解析 因为b cos C ＋c cos B ＝2b ，所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，故sin(B ＋C )＝2sin B ，故sin A ＝2sin B ，则a ＝2b ，即a b＝2. 三、解答题11.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若tan A ＝3，cos C ＝55， (1)求角B 的大小；(2)若c ＝4，求△ABC 的面积.解 (1)∵cos C ＝55，∴C ∈(0，π2)， ∴sin C ＝255，tan C ＝2. 又∵tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C ＝－3＋21－3×2＝1，且0<B <π，∴B ＝π4. (2)由正弦定理b sin B ＝c sin C，得 b ＝c sin B sin C ＝4×22255＝10，由sin A ＝sin(B ＋C )＝sin(π4＋C )得sin A ＝31010， ∴△ABC 的面积S △ABC ＝12bc sin A ＝6. 12.在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C. 证明 ∵左边＝sin 2A －sin 2B sin 2C＝1－cos 2A 2－1－cos 2B 2sin 2C＝cos 2B －cos 2A 2sin 2C＝cos[(B ＋A )＋(B －A )]－cos[(B ＋A )－(B －A )]2sin 2C＝－2sin (B ＋A )·sin (B －A )2sin 2C＝2sin C sin (A －B )2sin 2C＝sin (A －B )sin C＝右边， ∴原等式成立.13.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，p ＝(2a,1)，q ＝(2b －c ，cos C )，且p ∥q .(1)求sin A 的值；(2)求三角函数式－2cos 2C 1＋tan C＋1的取值范围. 解 (1)∵p ∥q ，∴2a cos C ＝2b －c .根据正弦定理得2sin A cos C ＝2sin B －sin C ，∴2sin A cos C ＝2sin(A ＋C )－sin C ，∴sin C ＝2cos A sin C ，∴12sin C ＝cos A sin C . ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12.又∵0<A <π，∴A ＝π3，sin A ＝32. (2)－2cos 2C 1＋tan C ＋1＝1－2(cos 2C －sin 2C )1＋sin C cos C ＝1－2cos 2C ＋2sin C cos C＝sin 2C －cos 2C ＝2sin(2C －π4). ∵0<C <23π，∴－π4<2C －π4<1312π， ∴－22<sin(2C －π4)≤1， ∴－1<2sin(2C －π4)≤2， ∴三角函数式－2cos 2C 1＋tan C＋1的取值范围是(－1， 2 ].。

正弦定理 学案【预习达标】在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ， 1.在Rt ΔABC 中，∠C=900, csinA= ,csinB= ，即sin a A= = 。

2. 在锐角ΔABC 中，过C 做CD ⊥AB 于D ，则|CD|= = ，即sin a A= ，同理得 ，故有sin a A=。

3. 在钝角ΔABC 中，∠B 为钝角，过C 做CD ⊥AB 交AB 的延长线D ，则|CD|= = ，即sin a A= ，故有sin a A= 。

【典例解析】例1已知ΔABC ，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小：（1）A=600，B=450，a=10；（2）a=3,b=4,A=300；（3）a=5,b=2,B=1200；（4）b=36,c=6,B=1200.例2 如图，在ΔABC 中，∠A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，求证：B D A B D CA C=【达标练习】1. 已知ΔABC ，根据下列条件，解三角形:(1)A=600，B=300，a=3；（2）A=450，B=750，b=8；（3）a=3，b=3，A=600；ABCD2.求证：在ΔABC 中，sin sin sin A Ba b Cc++=3.应用正弦定理证明：在ΔABC 中,大角对大边，大边对大角.4．在ΔABC 中，sin 2A+sin 2B=sin 2C,求证：ΔABC 是直角三角形。

参考答案【预习达标】1．a,b,sin sin b c BC=. 2.bsinA asinB ,sin b B,s in a A=s in c C,sin b B=sin c C.3. .bsinA asinB ,sin bB,s in b B=sin c C.【典例解析】例1(1)C=750，b=1063,c=152563+(2)B ≈41.80,C ≈108.80,c ≈5.7或B ≈138.20，C ≈11.80，c ≈1.2(3)无解（4）C=450，A=150，a ≈2.2例2证明：如图在ΔABD 和ΔCAD 中，由正弦定理， 得sin sin BD AB βα=，sin sin(180)sin DC AC AC βαα==-，两式相除得B D A B D CA C=【双基达标】1．（1）C=900，b=3,c=23(2)C=1200,a=83-8 ,c=12246-A BCDβ βα 1800- α(3)B=600,C=900,c=23 2．证明：设sin sin sin abck A B C===，则sin ,sin ,sin a k A b k B c k C ===sin sin sin sin sin sin a b k A k BA Bck CC+++∴==3．(1)设A>B ，若A ≤900,由正弦函数的单调性得sinA ≥sinB,又由正弦定理得a ≥b ；若A>900，有A+B<1800,即900>1800-A>B, 由正弦函数的单调性得sin(1800-A)>sinB,即sinA>sinB, 又由正弦定理得a>b.(2)设a>b, 由正弦定理得sinA>sinB,若B ≥900,则在ΔABC 中A<900,有sinA>sin （1800-B ）由正弦函数的单调性得A>1800-B,即A+B>1800,与三角形的内角和为1800相矛盾；若A ≥900,则A>B ；若A<900,B<900, 由正弦函数的单调性得A>B.综上得，在ΔABC 中,大角对大边，大边对大角. 4．略。

第一章解三角形 1.1.1 正弦定理（第一课时）【教学目标】：1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定及其变形2．能初步用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状.(第一种类型)【新课导入】工程师为了测定河岸A点到对岸C点的距离，在岸边选定100米长的基线AB，并测得∠B=120o，∠A=45o，你可以求出A、C两点的距离吗？【预习收获】1．正弦定理定理：在一个三角形中，各边和它所对角的_____的比相等，即在△ABC中，asin A ＝b sin B＝______.2．解三角形一般地，把三角形的三个角和它们的______叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求__________的过程叫做解三角形．【问题解决】对定理的证明，课本给出了锐角三角形的情况．对于钝角三角形，应如何证明？（引导学生证明钝角三角形的情况，并总结归纳正弦定理的适应范围）【几何意义】在Rt△ABC中，若C＝90°，你能借助所学知识导出asin A的具体值吗？在锐角三角形中这个结论成立吗？钝角三角形中呢？【探究结论】设任意△ABC的外接圆的半径为R，都有a sin A ＝bsin B＝csin C＝2R.【定理变形】1．正弦定理(1)定理：在一个三角形中，各边和它所对角的_____的比相等，即在△ABC中，asin A＝bsin B＝______.(2)变形：设△ABC的外接圆的半径为R，则有a sin A ＝bsin B＝csin C＝_____.①a:b:c＝sin A:_____:sin C .②ab＝sin Asin B，ac＝sin Asin C，bc＝______.③asin A＝bsin B＝csin C＝a＋b＋csin A＋sin B＋sin C.④a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝________.【例题讲解】类型一已知两角及一边解三角形[例1] 在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.【探究拓展】[例2] 在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A:B:C＝1:2:3，则a:b:c＝________.【智能训练】今天的概念你清楚了吗？1．有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；④在△ABC中，sin A:sin B:sin C＝a:b:c.其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4结合初中的概念，你的基础牢固吗？2．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是( )A．直角三角形 B．等腰三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形三角形中最重要的定理是什么？3．在△ABC中，sin2A＋sin2B＝sin2C，则C＝________. 今天的知识你可以参加高考了吗？4．(2012·广东卷)在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝( )A．4 3 B．2 3C. 3D.3 2你知道如何判断最小边吗？5．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，c＝1，求此三角形的最小边．【探究发现】可以实际应用了吗？解决开头提出的问题：工程师为了测定河岸A点到对岸C点的距离，在岸边选定100米长的基线AB，并测得∠B=120o，∠A=45o，你可以求出A、C两点的距离吗？【课后作业】1.课本P4.1、（1）（2）2.课本 P10 1、（1）（2）3．配套课时作业1.1.1正选定理（一）精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

最新人教版数学精品教学资料1.1.1 正弦定理(一)[学习目标] 1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题.知识点一 正弦定理 1.正弦定理的表示2.正弦定理的常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，其中R 为△ABC 外接圆的半径. (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R(R 为△ABC 外接圆的半径).(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . (4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝b sin B ＝csin C . (5)a sin B ＝b sin A ，a sin C ＝c sin A ，b sin C ＝c sin B . 3.正弦定理的证明(1)在Rt △ABC 中，设C 为直角，如图，由三角函数的定义：sin A ＝a c ，sin B ＝bc，∴c ＝a sin A ＝b sin B ＝c sin 90°＝csin C ，∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C. (2)在锐角三角形ABC 中，设AB 边上的高为CD ，如图，CD ＝a sin_B ＝b sin_A ， ∴a sin A ＝b sin B， 同理，作AC 边上的高BE ，可得a sin A ＝csin C ，∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C. (3)在钝角三角形ABC 中，C 为钝角，如图，过B 作BD ⊥AC 于D ，则 BD ＝a sin(π－C )＝a sin_C ， BD ＝c sin_A ，故有a sin C ＝c sin_A ， ∴a sin A ＝c sin C， 同理，a sin A ＝b sin B ，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C.思考 下列有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝BC ∶AC ∶AB .其中正确的个数有( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B解析 正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比值也就确定了，所以③正确；由正弦定理可知④正确.故选B. 知识点二 解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 思考 正弦定理能解决哪些问题？答案 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角.题型一 对正弦定理的理解例1 在△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( ) A.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C B.a ＝b ⇔sin 2A ＝sin 2B C.asin A ＝b ＋c sin B ＋sin CD.正弦值较大的角所对的边也较大 答案 B解析 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，故a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，故A 正确. 当A ＝30°，B ＝60°时，sin 2A ＝sin 2B ，此时a ≠b ，故B 错误. 根据比例式的性质易得C 正确. 大边对大角，故D 正确. 反思与感悟 如果a b ＝cd ，那么a ＋b b ＝c ＋dd (b ，d ≠0)(合比定理)； a －b b ＝c －d d (b ，d ≠0)(分比定理)； a ＋b a －b ＝c ＋d c －d(a >b ，c >d )(合分比定理)；可以推广为：如果a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n ，那么a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nb 1＋b 2＋…＋b n .跟踪训练1 在△ABC 中，下列关系一定成立的是( ) A.a >b sin A B.a ＝b sin A C.a <b sin A D.a ≥b sin A答案 D解析 在△ABC 中，B ∈(0，π)，∴sin B ∈(0,1]， ∴1sin B≥1， 由正弦定理a sin A ＝b sin B 得a ＝b sin Asin B ≥b sin A .题型二 用正弦定理解三角形例2 (1)在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形. (2)在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，解这个三角形. 解 (1)∵A ＝45°，C ＝30°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°， 由a sin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. ∵sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64， ∴b ＝c sin B sin C ＝c sin (A ＋C )sin C ＝10×sin 75°sin 30°＝20×2＋64＝52＋5 6.∴B ＝105°，a ＝102，b ＝52＋5 6. (2)∵a sin A ＝c sin C， ∴sin C ＝c sin Aa ＝6×sin 45°2＝32，∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1； 当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°， C ＝120°.反思与感悟 (1)已知两角与任意一边解三角形的方法.如果已知三角形的任意两个角与一边解三角形时，由三角形内角和定理可以计算出三角形的另一角，由正弦定理可计算出三角形的另两边. (2)已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法.首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，则利用三角形中大边对大角看能否判断所求这个角是锐角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两组解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边. 跟踪训练2 (1)在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A.4 2 B.4 3 C.4 6 D.4(2)在△ABC 中，若a ＝2，b ＝2，A ＝30°，则C ＝______. 答案 (1)C (2)105°或15°解析 (1)易知A ＝45°，由a sin A ＝b sin B 得b ＝a sin Bsin A ＝8·3222＝4 6.(2)由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2sin 30°2＝22.∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝45°或135°，∴C ＝180°－45°－30°＝105°或C ＝180°－135°－30°＝15°.题型三 判断三角形的形状例3 在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断三角形的形状. 解 由已知得a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A ，由正弦定理得sin 2A sin B cos B ＝sin 2B sin Acos A .∵sin A 、sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B . 即sin 2A ＝sin 2B . ∴2A ＋2B ＝π或2A ＝2B . ∴A ＋B ＝π2或A ＝B .∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.反思与感悟 (1)判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系.(2)注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如a b ＝sin Asin B等.跟踪训练3 在△ABC 中，b sin B ＝c sin C 且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断三角形的形状. 解 由b sin B ＝c sin C ，得b 2＝c 2， ∴b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形， 由sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 得a 2＝b 2＋c 2， ∴△ABC 为直角三角形， ∴△ABC 为等腰直角三角形.1.在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，下列等式中总能成立的是( ) A.a sin A ＝b sin B B.b sin C ＝c sin A C.ab sin C ＝bc sin B D.a sin C ＝c sin A答案 D解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得a sin C ＝c sin A .2.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么A 等于( )A.135°B.90°C.45°D.30° 答案 C解析 由a sin A ＝b sin B 得sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22， ∴A ＝45°或135°.又∵a <b ，∴A <B ，∴A ＝45°.3.在锐角三角形ABC 中，角A ，B 所对的边分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则A 等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 答案 D解析 在△ABC 中，利用正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B ， 又∵sin B ≠0，∴sin A ＝32. 又A 为锐角，∴A ＝π3.4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A a ＝cos B b ＝cos Cc ，则△ABC是( ) A.等边三角形B.直角三角形，且有一个角是30°C.等腰直角三角形D.等腰三角形，且有一个角是30° 答案 C解析 由题a cos B ＝b sin A ， 又由正弦定理a sin B ＝b sin A ， ∴sin B ＝cos B ，又∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝45°.同理C ＝45°.故△ABC 为等腰直角三角形.5.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝30°，c ＝150，b ＝503，则△ABC 的形状是________. 答案 等腰或直角三角形解析 由b sin B ＝c sin C 得sin C ＝c sin B b ＝150×12503＝32，又∵C ∈(0°，180°)， ∴C ＝60°或120°， ∴A ＝90°或30°，∴△ABC 为等腰或直角三角形.6.在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝______，a ＝________.答案255210 解析 由tan A ＝2，得sin A ＝2cos A ， 由sin 2A ＋cos 2A ＝1，得sin A ＝255，∵b ＝5，B ＝π4，由正弦定理a sin A ＝bsin B，得a ＝b sin A sin B ＝2522＝210.1.正弦定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0). 2.正弦定理的应用：①已知两角和任一边，求其他两边和一角.②已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角.3.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决.一、选择题1.在△ABC 中，BC ＝a ＝5，AC ＝b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( ) A.53B.35 C.37D.57 答案 A 解析sin A sin B ＝a b ＝53. 2.在△ABC 中，A >B ，则下列不等式中不一定正确的是( ) A.sin A >sin B B.cos A <cos B C.sin 2A >sin 2B D.cos 2A <cos 2B答案 C解析 A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，A 正确. 由于(0，π)上，y ＝cos x 单调递减， ∴cos A <cos B ，B 正确. cos 2α＝1－2sin 2α.∵sin A >sin B >0，∴sin 2A >sin 2B ， ∴cos 2A <cos 2B ，D 正确.3.在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1，则a ∶b ∶c 等于( ) A.4∶1∶1 B.2∶1∶1 C.2∶1∶1 D.3∶1∶1 答案 D解析 ∵A ＋B ＋C ＝180°，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1， ∴A ＝120°，B ＝30°，C ＝30°.由正弦定理的变形公式得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝sin 120°∶sin 30°∶sin 30°＝32∶12∶12＝3∶1∶1. 4.在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形答案 B解析 ∵a ＝b sin A ，∴a b ＝sin A ＝sin Asin B ，∴sin B ＝1，又∵B ∈(0，π)，∴B ＝π2，即△ABC 为直角三角形.5.已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，A ＝30°，则B 等于( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120° 答案 D解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin A a ＝43×124＝32，又∵B ∈(0°，180°)，且b >a ，B >A ， ∴B ＝60°或120°.6.在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C 等于( )A.833B.2393C.2833D.2 3 答案 D解析 利用正弦定理及比例性质，得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝3sin 60°＝332＝2 3.7.在△ABC 中，已知B ＝60°，最大边与最小边的比为3＋12，则三角形的最大角为( ) A.60° B.75° C.90° D.115°答案 B解析 不妨设a 为最大边，c 为最小边，由题意有a c ＝sin A sin C ＝3＋12，即sin Asin (120°－A )＝3＋12.整理得(3－3)sin A ＝(3＋3)cos A . ∴tan A ＝2＋3，又∵A ∈(0°，120°)，∴A ＝75°，故选B.8.在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.56π 答案 A解析 由5cos(B ＋C )＋3＝0得cos A ＝35，∴A ∈(0，π2)，∴sin A ＝45，由正弦定理得445＝52sin B ，∴sin B ＝12.又∵a >b ，∴A >B ，且A ∈(0，π2)，∴B 必为锐角，∴B ＝π6.二、填空题9.已知在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C ＝________.答案 2解析 ∵A ∶B ∶C ＝1∶2∶3， ∴A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°. ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝1sin 30°＝2， ∴a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，c ＝2sin C ， ∴a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝2.10.在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则角C ＝______.答案 π4解析 由正弦定理，得sin C ＝sin A ·AB BC ＝22.因为BC >AB ，所以A >C ，则0<C <π3，故C ＝π4. 11.在△ABC 中，BC ＝a ＝15，AC ＝b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________.答案 63解析 由正弦定理得sin B ＝b a sin A ＝1015·sin 60°＝33， 又b <a ，∴0°<B <60°，∴cos B >0，∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－(33)2＝63. 三、解答题12.(1)在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，已知A ＝45°，B ＝30°，c ＝10，解三角形；(2)在△ABC 中，BC ＝a ＝4，AC ＝b ，AB ＝c ＝26，A ＝45°，求b ，B 和C .解 (1)因为A ＋B ＋C ＝180°，所以C ＝105°.所以sin C ＝sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C， 得a ＝sin A sin C·c ＝10(3－1)， b ＝c sin B sin C ＝10sin 30°sin 105°＝5(6－2). 所以C ＝105°，a ＝10(3－1)，b ＝5(6－2).(2)由正弦定理a sin A ＝c sin C得 sin C ＝c sin A a ＝26×224＝32. ∵C ∈(0°，180°)，且c >a ，C >A ，∴C ＝60°或120°，∴B ＝75°或15°，∴sin B ＝6＋24或6－24， ∴b ＝a sin A ·sin B ＝422×6±24＝2(3±1)， ∴b ＝2(3＋1)，B ＝75°，C ＝60°或b ＝2(3－1)，B ＝15°，C ＝120°.13.在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状.解方法一根据正弦定理asin A＝bsin B＝csin C.∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，B＋C＝90°，∴2sin B cos C＝2sin B cos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，∴sin B＝2 2.∵0°<B<90°，∴B＝45°，C＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形.方法二根据正弦定理asin A＝bsin B＝csin C.∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角.∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin B cos C，∴sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝2sin B cos C，∴sin(B－C)＝0.又－90°<B－C<90°，∴B－C＝0，∴B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形.。

1.1.1 正弦定理(二) 课时目标1．熟记正弦定理的有关变形公式；2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R 的常见变形：(1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ；(3)a ＝2Rsin_A ，b ＝2Rsin_B ，c ＝2Rsin_C ；(4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R .2．三角形面积公式：S ＝12absin C ＝12bcsin A ＝12casin B.一、选择题1．在△ABC 中，sin A ＝sin B ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形答案 D2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形答案 B解析 由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C ，∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C.3．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞)C ．(0,10) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，403答案 D解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C.∴0<c≤403.4．在△ABC 中，a ＝2bcos C ，则这个三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形答案 A解析 由a ＝2bcos C 得，sin A ＝2sin Bcos C ，∴sin(B ＋C)＝2sin Bcos C ，∴sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝2sin Bcos C ，∴sin(B －C)＝0，∴B ＝C.5．在△ABC 中，已知(b ＋c)∶(c ＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于() A ．6∶5∶4 B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6答案 B解析 ∵(b ＋c)∶(c ＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6，∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6.令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6＝k (k>0)，则⎩⎨⎧ b ＋c ＝4k c ＋a ＝5k a ＋b ＝6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝72kb ＝52kc ＝32k .∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.6．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2C.12 D ．4答案 A解析 设三角形外接圆半径为R ，则由πR2＝π，得R ＝1，由S △＝12absin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc ＝1.二、填空题7．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.答案 2 3解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223，∴12absin C ＝43，∴b ＝2 3.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c ＝________. 答案 2解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得3sin 60°＝1sin B ，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°.由a>b ，得A>B ，∴B ＝30°，故C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.9．在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C ＝________.答案 7解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2，∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝2，∴a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C ＝2＋1＋4＝7.10．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.答案 12 6解析 a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝6332＝12.∵S △ABC ＝12absin C ＝12×63×12sin C ＝183，∴sin C ＝12，∴c sin C ＝a sin A ＝12，∴c ＝6.三、解答题11．在△ABC 中，求证：a －ccos Bb －ccos A ＝sin B sin A .证明 因为在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，所以左边＝2Rsin A －2Rsin Ccos B2Rsin B －2Rsin Ccos A ＝＋－sin Ccos B ＋－sin Ccos A ＝sin Bcos C sin Acos C ＝sin B sin A ＝右边．所以等式成立，即a －ccos B b －ccos A ＝sin B sin A .12．在△ABC 中，已知a2tan B ＝b2tan A ，试判断△ABC 的形状．解 设三角形外接圆半径为R ，则a2tan B ＝b2tan A⇔a2sin B cos B ＝b2sin A cos A⇔4R2sin2 Asin B cos B ＝4R2sin2 Bsin A cos A⇔sin Acos A ＝sin Bcos B⇔sin 2A ＝sin 2B⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 能力提升13．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为() A ．45° B ．60° C ．75° D ．90°答案 C解析 设C 为最大角，则A 为最小角，则A ＋C ＝120°，∴sin C sin A ＝sin ()120°－A sin A＝sin 120° cos A －cos 120°sin A sin A＝32tan A ＋12＝3＋12＝32＋12，∴tan A ＝1，A ＝45°，C ＝75°.14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S.解 cos B ＝2cos2 B 2－1＝35，故B 为锐角，sin B ＝45.所以sin A ＝sin(π－B －C)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝7210. 由正弦定理得c ＝asin C sin A ＝107，所以S △ABC ＝12acsin B ＝12×2×107×45＝87.1．在△ABC 中，有以下结论：(1)A ＋B ＋C ＝π；(2)sin(A ＋B)＝sin C ，cos(A ＋B)＝－cos C ；(3)A ＋B 2＋C 2＝π2；(4)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2，tan A ＋B 2＝1tan C 2.2．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．。

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错误!正弦定理[提出问题］如图,在Rt△AＢC中,A＝30°,斜边c=2。

问题１：求△AＢＣ的其他边和角．提示：B=60°，C＝90°,a=１,b＝＼r(3）。

问题２：试计算＼f（ａ,siｎA),错误!,错误!的值,三者有何关系？提示:错误!＝２,错误!＝错误!=2，错误!＝2,三者的值相等.问题３:对于任意的直角三角形是否也有类似的结论?提示:是．如图，∵ｓin A=＼f（a，c),∴ａｓin Ａ=c。

∵siｎB＝错误!，∴错误!＝ｃ。

∵sｉn C=1,∴错误!=错误!=错误!.问题４：在钝角△ABＣ中，B＝C=3０°,b=＼r（3），试求其他边和角.提示：如图，△ＡＣD为直角三角形，Ｃ＝30°,ＡＣ=3,则AD＝错误!,CD＝错误!，BＣ=3·AB＝＼ｒ（3），∠BＡC=１２0°．问题５：问题4中所得数字满足问题3中的结论吗?提示:满足.问题6：若是锐角三角形，上述结论还成立吗？提示:成立．［导入新知］1.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即错误!＝错误!＝错误!.2.解三角形一般地,把三角形的三个角Ａ,Ｂ，C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形．[化解疑难]对正弦定理的理解(1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立．(２）结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)揭示规律:正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化.已知两角及一边解三角形［例1] 在△ＡBC［解] Ａ＝１8０°-(Ｂ+C）＝１８0°-(60°＋75°)=45°。

第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1．1.1正弦定理[目标] 1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其基本应用；2.能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状．[重点] 应用正弦定理进行边角转化，解决三角形问题．[难点] 正弦定理的理解及推导．知识点一正弦定理[填一填][答一答]1．在正弦定理中，三角形的各边与其所对角的正弦的比值等于多少？与该三角形外接圆的直径有什么关系？提示：这个比值恰好等于该三角形外接圆的直径2R，即asin A＝b sin B＝csin C＝2R，其中R是该三角形外接圆的半径．2．在△ABC中，a＝4b，则sin Asin B＝4.解析：由正弦定理asin A＝bsin B，得sin Asin B＝ab＝4bb＝4.知识点二解三角形[填一填]1．一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．2．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．[答一答]3．利用正弦定理能解什么条件下的三角形？提示：正弦定理的等式中有四个量，所以知其中三个，可求第四个．因此，知两角及一边可解三角形；知两边及一边的对角也可解三角形．4．在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，判断三角形解的个数．提示：由正弦定理和已知条件，得sin C＝c sin Bb＝32，∴C＝60°或C＝120°且均符合题意．∵①若C＝60°，则A＝90°，于是a＝b2＋c2＝6.②若C＝120°，则A＝30°，于是a＝b＝3.∴C＝60°，A＝90°，a＝6或C＝120°，A＝30°，a＝3. ∴三角形有两个解．知识点三 正弦定理的变形公式[填一填]①a ＝b sin A sin B ＝c sin A sin C ，b ＝c sin B sin C ＝a sin B sin A ，c ＝a sin C sin A ＝b sin C sin B ； ②a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； ③sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ； ④abc ＝sin Asin Bsin C .其中，R 为△ABC 外接圆的半径．这些常见的公式的变形形式应熟练掌握，在解决具体问题时，根据不同的题设条件灵活选用不同的变形公式．[答一答]5．正弦定理的变形公式的作用是什么？正弦定理的适用范围是什么？提示：由正弦定理的变形公式可以实现三角形中边与角之间的相互转化，正弦定理对任意的三角形都成立．6．在△ABC 中，A >B 与sin A >sin B 的关系怎样？提示：在△ABC 中，若A >B ，则a >b .由正弦定理得2R sin A >2R sin B ，即sin A >sin B .若sin A >sin B ，则2R sin A >2R sin B (R 是△ABC 的外接圆半径)．由正弦定理得a >b .综上所述，在△ABC 中，A >B 与sin A >sin B 等价．类型一 已知两角和任意一边，解三角形[例1] 在△ABC 中，已知B ＝30°，C ＝105°，b ＝4，解三角形．[分析] 由三角形的内角和定理可求A 的度数．根据正弦定理可求a ，c .[解] 因为B ＝30°，C ＝105°，所以A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(30°＋105°)＝45°. 由正弦定理，得a sin45°＝4sin30°＝c sin105°， 解得a ＝4sin45°sin30°＝42，c ＝4sin105°sin30°＝2(6＋2)．已知两角及一边解三角形的解题方法,1.若所给边是已知角的对边，可先由正弦定理求另一边，再由三角形的内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.,2.若所给边不是已知角的对边，则先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边.[变式训练1] 在△ABC 中，已知a ＝8，∠B ＝60°，∠C ＝75°，解三角形．解：∠A ＝180°－(∠B ＋∠C ) ＝180°－(60°＋75°)＝45°.由a sin A ＝b sin B 得b ＝a sin B sin A ＝8×sin60°sin45°＝4 6. 由a sin A ＝c sin C 得c ＝a sin C sin A ＝8×sin75°sin45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)．所以∠A ＝45°，b ＝46，c ＝4(3＋1)． 类型二 已知两边及一边的对角，解三角形 [例2] 下列三角形是否有解？有解的作出解答． (1)a ＝7，b ＝8，A ＝105°；(2)b ＝10，c ＝56，C ＝60°； (3)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.[分析] 利用三角形中大边对大角定理以及结合有解无解的图形来考虑．[解] (1)a ＝7，b ＝8，a <b ，A ＝105°>90°，本题无解． (2)b ＝10，c ＝56，b <c ，C ＝60°<90°，本题有一解． ∵sin B ＝b sin C c ＝10·sin60°56＝22，∴B ＝45°，A ＝180°－(B ＋C )＝75°.∴a ＝b sin A sin B ＝10×sin75°sin45°＝10×6＋2422＝5(3＋1)．(3)a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°， 又∵b sin A ＝6sin30°＝3，∴a >b sin A ， ∴本题有两解． 由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin30°23＝32，∴B ＝60°或120°，当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a sin C sin A ＝23sin90°sin30°＝43； 当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a sin C sin A ＝23sin30°sin30°＝2 3. ∴B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.本例属于已知两边及其中一边的对角求解三角形的类型．此类问题解的情况如下：A 为钝角 A 为直角 A 为锐角 a >b 一解 一解 一解 a ＝b无解无解一解＝( C )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝42×sin60°43＝22.∵a >b ，∴A >B ，而A ＝60°，∴B 为锐角，∴B ＝45°.(2)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，则A ＝60°或120°. 解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝32. ∵a >b ，∴A ＝60°或A ＝120°. 类型三 正弦定理的应用 命题视角1：正弦定理中的比例性质[例3] 在△ABC 中，已知A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝________.[分析] 本题所求问题是关于三角形边及角正弦值的比值问题，结构匀称，易于联想正弦定理．[解析] 方法一(等比性质)：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ，可得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝3sin60°＝2 3.方法二(边化角)：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，可得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R (sin A ＋sin B ＋sin C )sin A ＋sin B ＋sin C＝2R .∵a sin A ＝3sin60°＝23＝2R ， ∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2 3. 方法三(角化边)：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，可得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a ＋b ＋c12R (a ＋b ＋c )＝2R .∵a sin A ＝3sin60°＝23＝2R ， ∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2 3. [答案] 2 3由于正弦定理是比例形式的连等式，因此通常与等比性质联系．可设：a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝k (k >0)，得a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ；abc ＝sin Asin Bsin C 等结论，利用它们来解决三角形中的比值问题．[变式训练3] 在△ABC 中，(b ＋c )(c ＋a )(a ＋b )＝456，则sin Asin Bsin C ＝753.解析：(b ＋c )(c ＋a )(a ＋b )＝456，则存在常数k (k >0)，使得b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k ，解得a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k . 则有a bc ＝753，所以sin Asin Bsin C ＝abc ＝753.命题视角2：判断三角形的形状[例4]在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．[分析]注意到a，b在条件式中是齐次的，因此可以考虑利用正弦定理将边化为角，通过角的特征或者关系来判断三角形的形状．[解]因为(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，所以b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，所以2sin A cos B·b2＝2cos A sin B·a2，即a2cos A sin B＝b2sin A cos B.由正弦定理知a＝2R sin A，b＝2R sin B，所以sin2A cos A sin B＝sin2B sin A cos B，又sin A·sin B≠0，所以sin A cos A＝sin B cos B，所以sin2A＝sin2B.在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π，所以2A＝2B或2A＝π－2B.所以A＝B或A＋B＝π2.所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．1.判断三角形的形状，可以从三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断.2.判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.[变式训练4]已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，满足acos A＝bcos B＝ccos C，则△ABC的形状是(C)A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：方法一：由正弦定理得asin A＝bsin B＝csin C，又acos A＝bcos B＝ccos C，得sin Acos A＝sin Bcos B＝sin Ccos C，即tan A＝tan B＝tan C，所以A＝B＝C，即△ABC为等边三角形．方法二：由a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C(R为△ABC外接圆的半径)，得条件等式可化为2R sin Acos A＝2R sin Bcos B＝2R sin Ccos C，得sin A cos B＝cos A sin B，sin B cos C＝cos B sin C⇒sin(A－B)＝0，sin(B－C)＝0⇒A＝B，B＝C⇒A＝B＝C，即△ABC 为等边三角形．1．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝(B) A．4 3 B．2 3C. 3D.3 2解析：由正弦定理得BCsin A＝ACsin B，即32sin60°＝ACsin45°，解得AC＝2 3.2．在△ABC中，若A B C＝237，则a b等于(C) A．1 2 B．2 3C．1 2 D．1 3解析：由A B C＝237及A＋B＋C＝180°，得A＝30°，B＝45°.由正弦定理，得a b＝sin A sin B＝1222＝1 2.3．在△ABC中，a，b分别是△ABC的内角A，B所对的边．若B＝45°，b ＝2a ，则A ＝30°.解析：由正弦定理得a b ＝sin Asin B ， 所以sin A sin45°＝a 2a ，所以sin A ＝12.∵b ＝2a ，∴a <b ，∴A <B ，∴A ＝30°.4．在△ABC 中，a ＝6，b ＝2，B ＝45°，则C ＝75°或15°. 解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝32. ∵a >b ，∴A ＝60°或A ＝120°， ∴C ＝75°或15°.5．在△ABC 中，lg(sin A ＋sin C )＝2lgsin B －lg(sin C －sin A )，判断△ABC 的形状．解：由题意得(sin A ＋sin C )(sin C －sin A )＝sin 2B ， 即－sin 2A ＋sin 2C ＝sin 2B . 由正弦定理得－a 2＋c 2＝b 2， 即a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 是直角三角形．——本课须掌握的两大问题1．对正弦定理的理解 (1)结构形式正弦定理的关系式是分子为边长，分母为该边所对角的正弦的分式连等式，实际上是三个边角关系式：a sin A ＝b sin B ，a sin A ＝c sin C ，bsin B ＝c sin C .(2)定理本质正弦定理指出了任意三角形中三条边与它们所对角的正弦之间的一个关系式．由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．(3)主要功能：实现三角形中边角关系的转化．2．三角形解的个数的确定当三角形的两角和任一边确定时，三角形唯一确定；当三角形中已知两边和其中一边的对角时，三角形不能唯一确定，可能出现一解、两解或无解的情况．判断三角形解的个数可由“三角形中大边对大角”来判定．设A 为锐角，若a ≥b ，则A ≥B ，从而B 为锐角，有一解；若a <b ，则A <B ，由正弦定理得sin B ＝b sin A a ：①sin B >1，无解；②sin B ＝1，一解；③sin B <1，两解．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。