压缩迭代序列的极限及其应用[1]

第26讲:压缩数列 217第26讲:压缩数列压缩映射(函数)是高等数学中的重要函数,它在数学分析、微分方程、积分方程、代数方程的研究中都有重要作用. 压缩函数定义:如果在区间[a,b]上有定义的函数f(x)满足:∀x 1,x 2∈[a,b],∃λ∈(0,1),使得:|f(x 1)-f(x 2)|≤λ|x 1 -x 2|,则称f(x)是区间[a,b]上的压缩函数,λ叫做压缩系数.判定定理:如果在区间[a,b]上有定义的函数f(x)满足:∀x ∈[a,b],|f '(x)|≤k<1,则f(x)是区间[a,b]上的压缩函数,且压缩系数λ=|f '(x)|max .证明:由拉格朗日中值定理:∀x 1,x 2∈[a,b],x 1≠x 2,∃ξ∈[a,b],使得:2121)()(x x x f x f --=f '(ξ)⇒|f(x 1)-f(x 2)|=|f '(ξ)||x 1-x 2|<|x 1-x 2|⇒f(x)是区间[a,b]上的压缩函数,且压缩系数λ=|f '(x)|max . 性质定理:如果f(x)是区间[a,b]上的压缩函数,则f(x)=x 有且只有一个解.证明:存在性:构造函数g(x)=f(x)-x,由|f(x 1)-f(x 2)|≤λ|x 1-x 2|⇒|f(a)-f(b)|<b-a ⇒a-b<f(a)-f(b)<b-a ⇒0< g(a)-g(b)<2(b-a)⇒g(a)>g(b)⇒g(a)≥0,g(b)≤0,由连续函数的介值性定理知必存在一点x 0∈[a,b]满足g(x 0)=0,即f(x 0)=x 0;唯一性:假设存在两点x 1,x 2满足:f(x 1)=x 2,f(x 2)=x 2,则由已知条件有|x 1-x 2|=|f(x 1)-f(x 2)|≤λ|x 1-x 2|<|x 1-x 2|,矛盾. 压缩函数可以用于迭代求方程的根、研究数列的极限等.证明数列的极限存在,常采用两种方法:①利用单调有界原理; ②利用压缩函数原理.压缩数列定义:如果f(x)是区间[a,b]上的压缩函数,数列{x n }满足:初始值x 1∈[a,b],x n+1=f(x n )(n ∈N +),则称数列{x n }是压缩数列.性质定理:如果数列{x n }是压缩数列,则:①|x n+1-x n |≤λn-1|x 2-x 1|;②|x n+k -x n |≤λλ--11n |x 2-x 1|;③∑-=+n i i i x x 11||<λ-11|x 2-x 1|; ④若x 0满足f(x 0)=x 0,则|x n -x 0|≤λn-1|x 1-x 0|;⑤若x 0满足f(x 0)=x 0,则|x n -x 0|≤λλ-1n|x 1-x 0|. 证明:①由|x n+1-x n |=|f(x n )-f(x n-1)|≤λ|x n -x n-1|⇒|x n+1-x n |≤λn-1|x 2-x 1|;②|x n+k -x n |=|(x n+k -x n+k-1)+(x n+k-1-x n+k-2)+…+ (x n+1-x n )|≤|x n+k -x n+k-1|+|x n+k-1-x n+k-2|+…+|x n+1-x n |≤λn+k-2|x 2-x 1|+λn+k-3|x 2-x 1|+…+λn-1|x 2-x 1|=λn-1|x 2-x 1|(1+λ+…+λk-2)<λλ--11n |x 2-x 1|;③∑-=+n i i i x x 11||<|x 2-x 1|(1+λ+…+λk-2)<λ-11|x 2-x 1|;④由|x n -x 0|=|f(x n-1)-f(x 0)|≤λ|x n-1-x 0|⇒|x n -x 0|≤λn-1|x 1-x 0|;⑤由|x n+k -x n |≤λλ--11n |x 2-x 1|⇒|x n+k -x n |≤λλ-1n |x 1-x 0|,令k →+∞,则x n+k →x 0⇒|x n -x 0|≤λλ-1n|x 1-x 0|;例1:压缩数列的初始例子.[始源问题]:(2006年广东高考试题)A 是定义在[2,4]上且满足如下条件的函数f(x)组成的集合:①对任意的x ∈[1,2],都有f(2x)∈(1,2);②存在常数L(0<L<1)使得对任意的x 1,x 2∈[1,2],都有|f(2x 1)-f(2x 2)|≤L|x 1-x 2|. (Ⅰ)设f(x)=31x +,x ∈[2,4],证明:f(x)∈A;(Ⅱ)设f(x)∈A,如果存在x 0∈(1,2),使得x 0=f(2x 0),那么这样的x 0是唯一的;(Ⅲ)设f(x)∈A,任取x 1∈(1,2),令x n+1=f(2x n ),n=1,2,…,证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式|x k+p -x k |≤LL k --11|x 2-x 1|. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=31x +⇒f(2x)=321x +,x ∈[1,2]⇒f(2x)∈[f(2),f(4)]=[33,35]⊂(1,2);当x 1≠x 2时,|||)2()2(|2121x x x f x f --=|||2121|223231x x x x -+-+=2323231231)21(2121)21(2x x x x +++⋅+++<23)3(32<1⇒f(x)∈A; (Ⅱ)反证:假设存在x 1,x 2∈(1,2),x 1≠x 2,使得x 1=f(2x 1),x 2=f(2x 2),则|x 1-x 2|=|f(2x 1)-f(2x 2)|≤L|x 1-x 2|⇒L ≥1,矛盾.故结论成立;218 第26讲:压缩数列(Ⅲ)由f(x)∈A,任取x 1∈(1,2),x n+1=f(2x n )⇒|x n+1-x n |=|f(2x n )-f(2x n-1)|≤L|x n -x n-1|⇒|x n -x n-1|≤L n-2|x 2-x 1|⇒|x k+p -x k |= |(x k+1-x k )+(x k+2-x k+1)+…+(x k+p -x k+p-1)|≤|x k+1-x k |+|x k+2-x k+1|+…+|x k+p -x k+p-1|≤L k-1|x 2-x 1|(1+L+…+L p-1)<LL k --11|x 2-x 1|. 本题是2006年广东高考数学压轴题,高考数学压轴题,总给人一种望而生畏的感觉.很多考生一看这个题目,就被它“复杂”的形式吓倒了,望而却步,乖乖缴“械”;而不少考生压根儿就没去看这道题.本题满分12分,全省仅有3人获得满分,10分以上也才区区几十号人,平均分只有分,得分率(难度)为.[原创问题]:如果在区间[a,b]上有定义的函数f(x)满足:∀x 1,x 2∈[a,b],∃λ∈(0,1),使得:|f(x 1)-f(x 2)|≤λ|x 1-x 2|,则称f(x)是区间[a,b]上的压缩函数.给出函数f(x)=321+x .(Ⅰ)求证:f(x)是区间[1,2]上的压缩函数;(Ⅱ)数列{x n }满足:x 1=3,x n+1=f(x n ),求证:|x k+p -x k |≤(21)k+1. [解析]:(Ⅰ)当x 1≠x 2时,|||)()(|2121x x x f x f --=|||11|22322321x x x x -+-+=2322322321232121)1(11)1(||+++⋅++++x x x x x x <23)2(34<1⇒∀x 1,x 2∈[1,2],|f(x 1)-f(x 2)|≤λ|x 1-x 2|,其中,λ=23)2(34<1⇒f(x)是区间[1,2]上的压缩函数;(Ⅱ)由f(x)=321+x ⇒f '(x)=3)1(2322-+x x >0⇒f ''(x)=92(x 2+1)35-(3-x 2)⇒0<f '(x)≤f '(3)=3231⋅<21⇒|f(x 1)-f(x 2)|≤21|x 1-x 2|⇒|x n+1-x n |=|f(x n )-f(x n-1)|≤21|x n -x n-1|⇒|x n+1-x n |≤(21)n-1|x 2-x 1|⇒|x k+p -x k |=|(x k+1-x k )+(x k+2-x k+1)+… +(x k+p -x k+p-1)|≤|x k+1-x k |+|x k+2-x k+1|+…+|x k+p -x k+p-1|≤(21)k-1|x 2-x 1|[1+21+…+(21)p-1]<(21)k|x 2-x 1|=(21)k|2-3|<(21)k+1.例2:压缩数列的另一例子.[始源问题]:(2011年年广州一模数学试题)已知函数y=f(x)的定义域为R ,且对于任意x 1,x 2∈R ,存在正实数L,使得:|f(x 1)-f(x 2)|≤L|x 1-x 2|都成立. (Ⅰ)若f(x)=21x +,求L 的取值范围;(Ⅱ)当0<L<1时,数列{a n }满足a n+1=f(a n ),n=1,2,…. (i)证明:∑-=+ni i i a a 11||<L-11|a 1-a 2|; (ii)令A k =k a a a k +⋅⋅⋅++21(k=1,2,3,…),证明:∑-=+n i i i A A 11||<L -11|a 1-a 2|.[解析]:(Ⅰ)对任意x 1,x 2∈R ,有|f(x 1)-f(x 2)|=|211x +-221x +|=32212111||x x x x ++++|x 1-x 2|;由|f(x 1)-f(x 2)|≤L|x 1-x 2|⇒32212111||x x x x ++++|x 1-x 2|≤L|x 1-x 2|⇒32212111||x x x x ++++≤L;又由211x +>|x 1|,221x +>|x 2|⇒211x ++221x +>|x 1|+|x 2|≥|x 1+x 2|⇒32212111||x x x x ++++<1⇒L ≥1⇒L 的取值范围是[1,+∞);(Ⅱ)(i)由|a n -a n+1|=|f(a n-1)-f(a n )|≤L|a n-1-a n |⇒|a n -a n+1|≤L n-1|a 1-a 2|⇒∑-=+ni i i a a 11||≤(1+L+…+L n-1)|a 1-a 2|<L-11|a 1-a 2|; 第26讲:压缩数列 219(ii)由A k =k a a a k +⋅⋅⋅++21⇒|A k -A k+1|=|k a a a k +⋅⋅⋅++21-1121+++⋅⋅⋅+++k a a a a k k |=)1(1+k k |(k+1)(a 1+a 2+…+a k )-k(a 1+a 2+…+a k +a k+1)|=)1(1+k k |a 1+a 2+…+a k -ka k+1|=)1(1+k k |(a 1-a 2)+2(a 2-a 3)+3(a 3-a 4)+…+k(a k -a k+1)|≤)1(1+k k (|a 1-a 2|+2|a 2-a 3|+3|a 3-a 4|+…+k|a k -a k+1|)⇒∑-=+ni i i A A 11||=|A 1-A 2|+|A 2-A 3|+…+|A n -A n+1|≤211⋅|a 1-a 2|+321⋅(|a 1-a 2|+2|a 2-a 3|)+…+)1(1+n n (|a 1-a 2|+2|a 2-a 3|+3|a 3-a 4|+…+n|a n -a n+1|)=|a 1-a 2|[211⋅+321⋅+…+)1(1+n n ]+2|a 2-a 3|[321⋅+…+)1(1+n n ]+3|a 3-a 4|[431⋅+…+)1(1+n n ]+…+n|a n -a n+1|⋅)1(1+n n =|a 1-a 2|(1-11+n )+|a 2-a 3|(1-12+n )+|a 3-a 4|(1-13+n )+…+|a n -a n+1|(1-1+n n )<∑-=+n i i i a a 11||<L-11|a 1-a 2|. 本题揭示了压缩函数的根本问题:如何求压缩系数的最小值常采用两种方法:①利用不等式放缩,求|||)()(|2121x x x f x f --的最大值;②利用导数,求|f '(x)|的最大值.本题的亮点是由A k =ka a a k +⋅⋅⋅++21到|A k -A k+1|=)1(1+k k |(a 1-a 2)+2(a 2-a 3)+3(a 3-a 4)+…+k(a k -a k+1)|的变换.由|a n -a n+1|≤L n-1|a 1-a 2|⇒|A k -A k+1|≤)1(1+k k |a 1-a 2|(1+2L+3L 2+…+kL k-1)<)1(1+k k 221)1(||L a a --.[原创问题]:如果在区间D 上有定义的函数f(x)满足:∀x 1,x 2∈D,∃λ∈(0,1),使得:|f(x 1)-f(x 2)|≤λ|x 1-x 2|,则区间D 叫做函数f(x)的压缩区间,λ叫做函数f(x)的压缩系数. (Ⅰ)若f(x)=21+x 的压缩区间为(0,+∞),求f(x)压缩系数λ的最小值; (Ⅱ)若数列{x n }满足x 1=2,x n+1=21+n x ,令a k =k x x x k +⋅⋅⋅++21(k=1,2,3,…),证明:∑-=+n i i i a a 11||<73. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=21+x ⇒|f(x 1)-f(x 2)|=|211+x -212+x |=)2)(2(121++x x |x 1-x 2|;而)2)(2(121++x x <41⇒λ≥41⇒λ的最小值=41; (Ⅱ)由|x n -x n+1|=|f(x n-1)-f(x n )|≤41|x n-1-x n |⇒|x n -x n+1|≤(41)n-1|x 1-x 2|=(41)n-1|2-(1-22)|<3(41)n ;又由a k =k x x x k +⋅⋅⋅++21⇒|a k -a k+1|=|k x x x k +⋅⋅⋅++21-1121+++⋅⋅⋅+++k x x x x k k |=)1(1+k k |(k+1)(x 1+x 2+…+x k )-k(x 1+x 2+…+x k +x k+1)|=)1(1+k k |x 1+x 2+…+x k -kx k+1|=)1(1+k k |(x 1-x 2)+2(x 2-x 3)+3(x 3-x 4)+…+k(x k -x k+1)|≤)1(1+k k (|x 1-x 2|+2|x 2-x 3|+3|x 3-x 4|+…+k|x k -x k+1|)⇒∑-=+ni i i a a 11||=|a 1-a 2|+|a 2-a 3|+…+|a n -a n+1|≤211⋅|x 1-x 2|+321⋅(|x 1-x 2|+2|x 2-x 3|)+…+)1(1+n n (|x 1-x 2|+2|x 2-x 3|+3|x 3-x 4|+…+n|x n -x n+1|)=|x 1-x 2|[211⋅+321⋅+…+)1(1+n n ]+2|x 2-x 3|[321⋅+…+)1(1+n n ]+3|x 3-x 4|[431⋅+…+)1(1+n n ]+…+n|x n -x n+1|⋅)1(1+n n=|x 1-x 2|(1-11+n )+|x 2-x 3|(1-12+n )+|x 3-x 4|(1-13+n )+…+|x n -x n+1|(1-1+n n )<13+n [n(41)1+(n-1)(41)2+…+(41)n ]=nn 4)1(3+ (1+2×4+3×42+…+n ×4n-1)=nn 4)1(3+[(143n+211)4n-211]=7723++n n -n n 4)1(71+<7723++n n <73.例3:压缩数列的应用.220 第26讲:压缩数列 [始源问题]:(2009年陕西高考试题)己知数列{x n }满足:x 1=21,x n+1=nx +11,n ∈N *. (Ⅰ)猜想数列{x 2n }的单调性,并证明你的结论; (Ⅱ)证明:|x n+1-x n |≤61(52)n-1. [解析]:(Ⅰ)数列{x 2n }的单调递减;由x 1=21,x n+1=nx +11⇒x n >0,且x 2n+2=1211++n x =nx 21111++=n n x x 2221++⇒x 2n -x 2n+2=222221--++n n x x -n n x x 2221++=)2)(2(222222n n n n x x x x ++---,由x 2=32>85=x 4,用数学归纳法即证; (Ⅱ)由x n+1=n x +11⇒|x n+1-x n |=|n x +11-111-+n x |=)1)(1(11-++n n x x |x n -x n-1|,而当n ≥2时,0<x n-1<1⇒1+x n-1<2⇒x n =111-+n x >21⇒(1+x n )(1+x n-1)=(1+111-+n x )(1+x n-1)=2+x n-1≥25⇒|x n+1-x n |≤52|x n -x n-1|⇒|x n+1-x n |≤|x 2-x 1|(52)n-1=61(52)n-1.该题脱去了压缩函数的外衣,利用压缩函数在,第(Ⅱ)问还有如下解法:压缩函数f(x)=x +11(x ≥32)⇒f '(x)=-2)1(1x +⇒|f '(x)|=2)1(1x +≤259⇒压缩系数λ=259⇒|x n+1-x n |≤259|x n -x n-1|⇒|x n+1-x n |≤|x 2-x 1|(259)n-1=61(259)n-1<61(52)n-1. [原创问题]:己知数列{x n }满足:x 1=2a(a>0),x n+1=41(3x n +34nx a ),n=1,2,3,….(Ⅰ)求证:对任意的正整数k,|x n+k -x n |<825a (43)n-1; (Ⅱ)求证:|x n -a|≤a(43)n-1. [解析]:(Ⅰ)考察压缩函数f(x)=41(3x+34xa )(x ≥a)⇒f '(x)=43(1-44x a )⇒|f '(x)|=43|1-44xa |<43⇒压缩系数λ= 43;用初等方法证:|f(x 1)-f(x 2)|=41|3(x 1-x 2)+a 4(311x -321x )|=41|x 1-x 2||3-32312221214)(x x x x x x a ++|≤43|x 1-x 2|⇒|x n+1-x n |≤43|x n -x n-1|⇒|x n+1-x n |≤|x 2-x 1|(43)n-1=3225a (43)n-1⇒|x n+k -x n |=|(x n+k -x n+k-1)+(x n+k-1-x n+k-2)+…+(x n+1-x n )|≤|x n+k -x n+k-1|+|x n+k-1-x n+k-2|+…+|x n+1-x n |≤(43)n+k-2|x 2-x 1|+(43)n+k-3|x 2-x 1|+…+(43)n-1|x 2-x 1|=(43)n-1|x 2-x 1|[1+43+…+(43)k-2]<825a (43)n-1;λλ--11n |x 2-x 1|; (Ⅱ)由f(a)=a ⇒|x n -a|=|f(x n-1)-f(a)|≤43|x n-1-a|⇒|x n -a|≤(43)n-1|x 1-a|=a(43)n-1. 例4:压缩数列的解法程序.[始源问题]:(2009年重庆高考试题)已知a 1=1,a 2=4,a n+2=4a n+1+a n ,b n =nn a a1+,n ∈N*.(Ⅰ)求b 1、b 2、b 3的值;(Ⅱ)设c n =b n b n+1,S n 为数列{c n }的前n 项和,求证:S n ≥17n. (Ⅲ)求证:|b 2n -b n |<6412171-⋅n . 第26讲:压缩数列 221 [解析]:(Ⅰ)由a 1=1,a 2=4,b n =nn a a1+⇒b 1=4;又由a n+2=4a n+1+a n ⇒12++n n a a =4+1+n n a a ⇒b n+1=4+n b 1⇒b 2=417,b 3=1772;(Ⅱ)由b n+1=4+nb 1⇒b n ≥4⇒c n =b n b n+1=4b n +1≥17⇒S n =c 1+c 2+…+c n ≥17n; (Ⅲ)因|b n+1-b n |=|(4+n b 1)-(4+11-n b )|=n n b b 11-|b n -b n-1|≤171|b n -b n-1|⇒|b n+1-b n |≤(171)n-1|b 2-b 1|=41(171)n-1⇒|b 2n -b n |=|(b n+1-b n )+(b n+2-b n+1)+…+(b 2n -b 2n-1)|≤|b n+1-b n |+|b n+2-b n+1|+…+|b 2n -b 2n-1|≤41(171)n-1[1+171+…+(171)n-1]<6412171-⋅n . 我们知道,如果数列{x n }是压缩数列,则:①|x n+1-x n |≤λn-1|x 2-x 1|;②|x n+k -x n |≤λλ--11n |x 2-x 1|;③∑-=+n i i i x x 11||<λ-11|x 2-x 1|; ④若x 0满足f(x 0)=x 0,则|x n -x 0|≤λn-1|x 1-x 0|;⑤若x 0满足f(x 0)=x 0,则|x n -x 0|≤λλ-1n|x 1-x 0|.⑥若a k =kx x x k +⋅⋅⋅++21(k=1,2,3,…),则∑-=+ni i i a a 11||<λ-11|x 1-x 0|.其中,①是基本不等式,即其他不等式均由①式导出;不等式①的构造程序是:首先由x 1= a,x n+1=f(x n ),确定x n 的取值范围D,然后确定λ:当x ∈D 时,|f '(x)|≤λ,最后利用不等放缩证明:|f(x 1)-f(x 2)|≤λ|x 1-x 2|,由此即得不等式①.[原创问题]:己知数列{x n }满足:x 1=2a ,a ∈[0,1],x n+1=2a -22nx ,n=1,2,3,…. (Ⅰ)求证:|x n+k -x n |≤a -21(2a )n+1; (Ⅱ)令a k =k x x x k +⋅⋅⋅++21(k=1,2,3,…),证明:∑-=+n i i i a a 11||<a a 482-.[解析]:(Ⅰ)由x 1=2a ,a ∈[0,1],x n+1=2a -22n x ⇒0≤x n ≤2a ;我们在区间[0,2a ]上考虑函数f(x)=2a -22x ⇒|f '(x)|=|-x|=x ∈[0,2a ]⇒λ=2a ;以下用初等方法:|f(x 1)-f(x 2)|=2||21x x +|x 1-x 2|≤2a |x 1-x 2|⇒|x n+1-x n |≤(2a )n-1|x 2-x 1|=21(2a )n+1⇒|x n+k -x n |=|(x n+k -x n+k-1)+(x n+k-1-x n+k-2)+…+(x n+1-x n )|≤|x n+k -x n+k-1|+|x n+k-1-x n+k-2|+…+|x n+1-x n |≤(2a )n+k-2|x 2-x 1|+(2a )n+k-3|x 2- x 1|+…+(2a )n-1|x 2-x 1|=(2a )n-1|x 2-x 1|(1+2a +…+(2a )k-2)<a -21(2a )n+1;(Ⅱ)由a k =kx x x k +⋅⋅⋅++21⇒|a k -a k+1|=|k x x x k +⋅⋅⋅++21-1121+++⋅⋅⋅+++k x x x x k k |=)1(1+k k |(k+1)(x 1+x 2+…+x k )-k(x 1+x 2+…+x k +x k+1)|=)1(1+k k |x 1+x 2+…+x k -kx k+1|=)1(1+k k |(x 1-x 2)+2(x 2-x 3)+3(x 3-x 4)+…+k(x k -x k+1)|≤)1(1+k k (|x 1-x 2|+2|x 2-x 3|+3|x 3-x 4|+…+k|x k -x k+1|)⇒∑-=+ni i i a a 11||=|a 1-a 2|+|a 2-a 3|+…+|a n -a n+1|≤211⋅|x 1-x 2|+321⋅(|x 1-x 2|+2|x 2-x 3|)+…+)1(1+n n (|x 1-x 2|+2|x 2-x 3|+3|x 3-x 4|+…+n|x n -x n+1|)=|x 1-x 2|[211⋅+321⋅+…+)1(1+n n ]+2|x 2-x 3|[321⋅+…+)1(1+n n ]+3|x 3-x 4|[431⋅+…+)1(1+n n ]+…+n|x n-x n+1|⋅)1(1+n n =|x 1-x 2|(1-11+n )+|x 2-x 3|(1-12+n )+|x 3-x 4|(1-13+n )+…+|x n -x n+1|(1-1+n n )<|x 1-x 2|+|x 2-x 3|+|x 3-x 4|+…+|x n -x n+1|<21∑=+n i i a 11)2(<a a 482-. 例5:压缩数列的极限.222 第26讲:压缩数列 [始源问题]:(2005年辽宁高考试题)己知函数f(x)=13++x x (x≠-1).设数列{a n }满足:a 1=1,a n+1=f(a n ),数列{b n }满足:b n =|a n -3|,S n =b 1+b 2+…+b n (n ∈N*).(Ⅰ)证明:b n ≤12)13(--n n; (Ⅱ)证明:S n <332. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=x ⇒13++x x =x ⇒x=±3.所以,b n+1=|a n+1-3|=|13++n n a a -3|=|113+-n a ||a n -3|,又因a n ≥1,所以,|113+-n a |≤213-⇒b n+1<213-b n ⇒b n ≤12)13(--n n ; (Ⅱ)由b n ≤12)13(--n n ⇒S n <2131|31|---=332.数列{a n }满足:a 1=a,a n+1=f(a n ),其函数f(x)的一个不动点为α,要证|a n -α|<|a-α|M n-1.分三步:一是由a n+1=f(a n )得|a n+1-α|=g(a n )|a n -α|;二是证明0<g(a n )<M;三是利用|a n+1-α|<M|a n -α|递推,即得|a n -α|<|a-α|M n-1.[原创问题]:己知数列{x n }满足:x 0=a>0,x n+1=1+nx 1,n=1,2,3,…. (Ⅰ)求证:当n ≥4时,|x n+1-x n |≤32|x n -x n-1|; (Ⅱ)证明:对任意正整数n,存在正常数M,使得:|x n -215+|<M(32)n. [解析]:(Ⅰ)由x 0=a>0,x n+1=1+n x 1⇒当n ≥1时,x n >1⇒x n+1=1+n x 1<2⇒x n+2=1+11+n x ≥1+21=23⇒当n ≥4时,|x n+1-x n |=|(1+n x 1)-(1+11-n x )=n n x x 11-|x n -x n-1|≤(32)2|x n -x n-1|≤32|x n -x n-1|;(Ⅱ)当n=1,2,3时,显然成立;当n ≥4时,|x n -215+|=12151-+n x |x n-1-215+|<)15(34+|x n-1-215+|<32|x n-1-215+| ⇒|x n -215+|<|x 4-215+|(32)n-4;令M=|x 4-215+|(23)4⇒|x n -215+|<M(32)n.例6:压缩数列的变式.[始源问题]:(2009年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知数列{a n }中,a 1>0,且a n+1=23na +. (Ⅰ)试求a 1的取值范围,使得a n+1>a n 对任何正整数n 都成立;(Ⅱ)若a 1=4,设b n =|a n+1-a n |(n=1,2,3,…),并以S n 表示数列{b n }的前n 项的和,证明:S n <25. [解析]:(Ⅰ)研究函数f(x)=23x +(x>0),则f(x)>x ⇔0<x<23.且当0<x<23时,0<f(x)<23.由a n+1>a n ⇒a 2>a 1⇒0<a 1< 23,以下用数学归纳法证; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a 1=4时,a n+1<a n ⇒b n =|a n+1-a n |=a n -a n+1⇒S 4=a 1-a n+1,(a n+1>23)<4-23=25. [原创问题]:已知函数f(x)=44716++x x ,数列{a n },{b n }满足a 1>0,b 1>0,a n =f(a n-1),b n =f(b n-1),n=2,3,….(Ⅰ)求a 1的取值范围,使得对任意的正整数n,都有a n+1>a n ; (Ⅱ)若a 1=3,b 1=4,求证:0<b n -a n ≤181-n ,n=1,2,3,….[解析]:(Ⅰ)f(x)>x ⇔0<x<27.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a 1=3时,3≤a n <27;当b 1=4时,4≥b n >27⇒0<b n -a n ;b n+1-a n+1=49)1)(1(1++n n b a (b n -a n )<81(b n -a n ).。

序列与极限在数学分析中的应用序列与极限是数学分析中非常重要的概念，它们在解决数学问题、推导理论和应用实际问题中起着关键的作用。

在本文中，我们将探讨序列与极限的定义、性质及其在数学分析中的应用。

首先，我们来介绍序列的概念。

在数学中，序列是指按照一定规则排列的一系列数的集合。

我们可以将序列表示为{a₁, a₂, a₃, ...}，其中的a₁, a₂, a₃是序列中的第一、第二、第三个数，以此类推。

序列可以是有限的，也可以是无限的。

序列的极限是序列中的数趋向于某个确定值的概念。

设有序列{a₁, a₂, a₃, ...}，如果对于给定的ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，|aₙ-L|<ε，那么称数L为序列的极限，记为limᵣaₙ=L。

极限的存在性是序列理论的一个重要问题。

当一个序列存在极限时，我们称其为收敛序列；当一个序列不存在极限时，我们称其为发散序列。

收敛序列通常具有很多有趣的性质，而发散序列则具有特殊的行为。

在数学分析中，序列与极限的应用非常广泛。

下面我们将介绍几个典型的应用领域。

1. 无穷级数求和无穷级数是指由序列的和构成的级数，其中每一项的值是序列的各个数的和。

通过对序列的极限进行求和，我们可以计算出无穷级数的和。

这在金融数学、物理学等领域中有着广泛的应用。

2. 极限在函数连续性中的应用在函数连续性的研究中，序列与极限的概念是必不可少的。

通过判断函数在某个点上的极限是否存在，我们可以确定函数在该点上的连续性。

这在微积分学中有着重要的应用。

3. 极限在微分学中的应用微分学研究的是函数的导数与变化率。

通过定义导数为某点的极限，我们可以求取函数的导数，并进一步应用于曲线的切线、最值以及解方程等问题。

4. 极限在数学推导中的应用在数学推导中，序列与极限的性质常常被用来证明定理和推导公式。

通过处理序列的极限，我们可以得到很多重要的数学结论。

除了上述应用之外，序列与极限还在其他数学领域中发挥重要作用。

序列极限和数列极限的基本概念及其应用作为数学学科的重要分支，更新迭代的发展让人们在了解自然世界和现实生活中问题的本质时有了更为清晰的认识。

数列是数学中一个非常重要的概念，而其中的两个重要概念——序列极限和数列极限——则在很多领域都有着广泛的应用，接下来让我们一起来探讨一下它们的基本概念以及应用。

一、序列极限与数列极限的定义1. 序列极限序列，是指按照一定规律排列成的一些数的集合。

比如说，一个序列可以由某个公式给出：$a_n=\dfrac{n+2}{2n+3}$，其中$n$为一个大于等于$1$的整数。

这个序列为：$a_1=\dfrac{3}{5}$，$a_2=\dfrac{4}{7}$，$a_3=\dfrac{5}{9}$……等等。

那么，序列极限就是指当$n$趋近于正无穷时，$a_n$的极限值，记作$\lim\limits_{n \to \infty} a_n$。

在上述序列中，$\lim\limits_{n \to \infty} a_n$等于$\dfrac{1}{2}$，也就是说，当$n$趋近于正无穷时，序列$a_n$越来越靠近$\dfrac{1}{2}$。

2. 数列极限数列，指的是按照一定规律排列成的数字的集合。

比如，$1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{4},\dots$就是一个数列。

数列极限就是指当$n$趋近于正无穷时，数列的某一项的极限值。

与序列不同，数列极限只考虑数列中某一项的极限值，而不是整个数列在极限情况下的值。

比如，数列$\{a_1=\dfrac{1}{2},a_2=\dfrac{1}{4},a_3=\dfrac{1}{8},\dots,a_n=\d frac{1}{2^n},\dots\}$的第$n$项就是$a_n=\dfrac{1}{2^n}$。

那么，该序列的数列极限为$0$。

二、序列极限与数列极限的性质序列极限和数列极限都有以下几个基本性质：1. 极限唯一序列极限和数列极限都是唯一的。

Banach压缩映射原理的应用杨海鹏【摘要】Banach压缩映射原理保证了完备的度量空间中压缩映射的不动点的存在性和唯一性.主要研究了Banach压缩映射原理在分析和各种方程解的存在唯一性的一些应用,所得结果拓宽和丰富了压缩映射原理的应用.【期刊名称】《湖南工程学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(028)001【总页数】4页(P53-56)【关键词】压缩映射;不动点;应用【作者】杨海鹏【作者单位】运城师范高等专科学校数学与计算机系,运城 044000【正文语种】中文【中图分类】O174.40 引言Banach压缩映射原理是波兰数学家巴拿赫1922年在完备度量空间中将压缩映射逐次迭代所获得的结果. 该原理证明了完备的度量空间中压缩映射的不动点的存在性和唯一性.由于理论和实际需要的推动，Banach压缩映射原理已被越来越多的数学工作者研究，并已经取得重要的进展. 2008年，肖翔等人[4]研究了压缩映射原理在求一些特殊迭代数列极限中的应用；2011年，张玲[5]讨论了压缩映射原理在数列求极限、矩阵的可逆性判断及微分方程的解的应用；2012年，徐丽君等人[6]探讨了压缩映射原理在隐函数存在定理、微分方程和积分方程解的存在唯一性以及整式方程的解等方面的某些应用. 本文在前人的研究成果基础上进一步研究了压缩映射原理在数学分析、泛函分析和一般抽象方程、多项式方程、积分方程等解的存在唯一性的一些应用，所得结果拓宽和丰富了压缩映射原理的应用.1 预备知识定义1 设X是一个非空集合，如果存在一个从X×X={(x,y)|x,y∈X}到实数集R的二元函数d满足：对∀x,y,z∈X，有(1)d(x,y)≥0，而且d(x,y)=0当且仅当x=y(非负性)；(2)d(x,y)=d(y,x)(对称性)；(3)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)(三角不等式)；则称d是X上的距离函数，d(x,y)称为x与y之间的距离. 配备了距离d的集合X称为距离空间(也称度量空间)，简记作(X,d).在不至引起混淆的情形下可记作X.定义2[1] 如果度量空间X中的每个基本点列(Cauchy点列){xn}都收敛，则称(X,d)为完备的度量空间.定义3[2] 设X是度量空间，映射T:X→X，如果存在非负常数α∈[0,1)，使得对∀x,y∈X有d(Tx,Ty)≤αd(x,y)，则称T是X上的一个压缩映射，并称α是T的压缩常数.定义4[2] 设X为一集合，T是X到自身的映射，如果∃x*∈X，使得Tx*=x*，则称x*是T的一个不动点.引理1[3](Banach压缩映射原理) 设(X,d)是完备的度量空间，若T:X→X是压缩映射，则T存在唯一的不动点.引理2[4] 设f(x)是[a,b]上的一个压缩映射，且xn=f(xn-1),n=1,2,3…,x0∈[a,b]，若对于任意的n∈N，有xn∈[a,b]，则f(x)在[a,b]上存在唯一的不动点c，且2 压缩映射原理的应用2.1 在分析中的应用在处理数学分析和泛函分析中一些序列求极限和证明的问题时，通过构造映射，然后利用微分中值定理证明所构造的映射为压缩映射，再利用压缩映射原理来解决这类问题.定理1 设(X,d)是完备的度量空间，T为X→X的映射，(1)若T为压缩映射，则Tn(n∈N+)为压缩映射；(2)若对∀n∈N+且n>1，Tn为压缩映射，则T不一定为压缩映射.证明(1)因为T为压缩映射，则∃α∈[0,1)，使得对∀x,y∈X有d(Tx,Ty)≤αd(x,y)，从而有d(Tnx,Tny)=d(T(Tn-1x),T(Tn-1)y)≤αd(Tn-1x,Tn-1y)≤…≤αnd(Tx,Ty),0≤α<1，所以Tn为压缩映射.(2)设T:R2→R2，且Tx=(0,x1)(∀x=(x1,x2)∈R2)，则对∀x,y∈R2有d(Tx,Ty)=d((0,x1),(0,y1))=|x1-y1|≤故T不是压缩映射，又T2:(x1,x2)→(0,0)，则对∀x,y∈R2，∀α∈[0,1)有d(T2x,T2y)=d((0,0),(0,0))=0≤αd(x,y)，此时T2为压缩映射.定理2 设(X,d)是完备的度量空间，T为X→X的映射，且满足：在开球内有且T 在闭球上连续且求证：T在开球内存在唯一的不动点.证明先证明存在性：因为所以又d(x0,T2x0)≤d(x0,Tx0)+d(Tx0,T2x0)<所以⊂又对∀n∈N+，有d(x0,Tnx0)≤d(x0,Tx0)+d(Tx0,T2x0)+…+d(Tn-1x0,Tnx0)<d(x0,Tx0)+所以⊂又对∀m,n∈N+(不妨设n>m)有d(Tmx0,Tnx0)≤d(Tmx0,Tm+1x0)+d(Tm+1x0,Tm+2x0)+…+所以{Tnx0}是中的一个基本点列，又因为为X的完备子空间，所以∃x*⊂使得从而点列{x0,Tx0,…,Tnx0}为中有界闭集，且此点列在T的作用下仍为此点列本身，因此Tx0=x0.下证唯一性：假设∃且则有d(x*,矛盾. 故T在开球内存在唯一的不动点.定理3 设数列证明：数列{xn}收敛并求极限.证明由数列迭代公式构造函数其中x∈[0,3]，因为f(x)在[0,3]上连续且单调递增，则f(x)∈[0,3]，∀x∈[0,3]. 又因为<1，对f(x)由微分中值定理有∀x,y∈[0,3]，ξ=αx+(1-α)y,α∈(0,1).所以f是[0,3]→[0,3]的一个压缩映射. 由引理1.6有数列{xn}收敛，且故有解得c=3，即数列{xn}的极限为3.定理4 设X是赋范线性空间，D⊂X是有界闭凸集，F:D→D满足(∀x,y∈D)，则∃xn∈D，使得xn-Fxn→0(n→∞).证明任取x0∈D，令因为D为凸集，所以Fnx∈D. 又(∀x,y∈D).所以Fn是D上的一个压缩映射，又因D是X上的有界闭集，所以D 完备，由引理1得∃xn∈D，使得Fnxn=xn，即所以又因为D有界，所以即xn-Fxn→0(n→∞).2.2 在方程中的应用在处理一些抽象方程、多项式方程和积分方程等方程问题时，主要通过构造函数，然后利用微分中值定理和相关定义等方法来证明函数为压缩映射，再利用压缩映射原理来证明方程存在解甚至求出方程的解.2.2.1 在一般抽象方程中的应用定理5 设f:R1→R1，而且f′(x)≤α<1(∀x∈R1)，证明：方程f(x)=x在R1中有唯一解.证明对f(x)由微分中值定理有f(x)-f(y)=f′(ξ)x-y≤αx-y，∀x,y∈R1，ξ=λx+(1-λ)y,λ∈(0,1). 所以f是R1→R1的一个压缩映射，又因为R1完备，由引理1有存在唯一x∈R1，使得f(x)=x，即方程f(x)=x在R1中有唯一解.2.2.2 在多项式方程中的应用定理6 求证：方程x3+6x-4=0在[0,1]上有实根，并用迭代法求出方程在[0,1]上的近似解.证明由x3+6x-4=0，得作映射则∀x,y∈[0,1]，有从而T是的一个压缩映射，又因为[0,1]是完备空间，所以由引理1有T在[0,1]上存在唯一的不动点，即存在唯一的ξ∈[0,1]，使得Tξ=ξ，故ξ是方程x3+6x-4=0在[0,1]上的唯一解.令x0=0，取解得原方程在[0,1]上的近似解，且有误差估计2.2.3 在积分方程中的应用定理7 设函数K(x,s)定义为K(x,s)则存在唯一的φ∈C[0,1]适合方程φ(x)证明在C[0,1]上定义映射F：Fφ(x)则∀φ1,φ2∈C[0,1]有则F为C[0,1]上的压缩映射，又因为C[0,1]是完备空间，由引理1.5有存在唯一的φ∈C[0,1]，使得Fφ=φ，即方程φ(x)(s)ds存在唯一的解φ∈C[0,1].3 结论压缩映射原理在解决数学分析中迭代数列的收敛与极限、泛函分析中的不动点以及一些抽象方程、多项式方程和积分方程甚至微分方程和矩阵方程等方程解的问题时，是一个非常重要的工具，已经被越来越多的学者运用，其应用已经渗透到数学的各个分支，为解决许多数学问题带来了方便.参考文献【相关文献】[1] 赵焕光. 泛函分析入门[M]. 四川：四川大学出版社，2005.[2] 夏道行. 实变函数论与泛函分析(下)[M]. 北京：高等教育出版社，2010.[3] 胡适耕. 实变函数与泛函分析[M]. 北京：高等教育出版社，2003.[4] 肖翔，许伯生. 不动点在求迭代数列极限中的应用[J]. 上海工程技术大学学报，2008,22(3): 265-267.[5] 张玲. 关于压缩映射原理的某些应用[J]. 科技通报，2011,27(4): 474-478.[6] 徐丽君，林宗兵. 压缩映射原理的几个应用 [J]. 攀枝花学院学报，2012,29(1): 97-101.。

压缩映射法求数列极限压缩映射法的概念是一种数学工具，它常常被应用于求解数列的极限问题。

通过不断压缩并映射数列中的元素，我们能够找到数列的极限值。

在数学中，数列是一串按照特定规律排列的数字。

求解数列的极限，则是要找到这个数列在无限项情况下的趋势或终极结果。

压缩映射法就是一种帮助我们求解数列极限的工具。

压缩映射法的基本思想是，将数列中的元素通过一个函数映射到另一个数列中，并通过不断迭代这个过程，逐步逼近数列的极限值。

具体步骤如下：1. 第一步是选择一个合适的映射函数。

这个函数应该能够将数列中的每个元素映射到另一个数列中，并且能够保持数列的递增或递减特性。

2. 接下来，我们需要对数列中的元素进行压缩。

这就是将选择的映射函数应用到数列的每个元素上，得到一个新的数列。

3. 然后，我们需要分析这个新的数列的特性。

我们可以观察数列的增减情况、极限值的趋势等等。

4. 根据前一步的分析，我们可以调整映射函数的选择或者调整压缩步骤的策略。

目的是逼近数列的极限值。

5. 通过不断迭代上述过程，我们可以逐渐接近数列的极限值。

举个例子来说明压缩映射法的应用。

考虑数列 {an} = {1/n}，我们希望求解这个数列的极限值。

首先，我们选择映射函数 f(x) = 1/(x+1)，然后将数列中的每个元素映射到新的数列 {bn} = {f(an)} = {1/(n+1)} 上。

接下来，我们观察新数列的特性。

可以发现新数列 {bn} 也是递减的，并且极限值为 0。

然后，我们可以进一步调整映射函数的选择，比如选择 f(x) = 1/(2x+1)，再次将数列中的每个元素映射到新的数列上。

通过不断迭代上述过程，我们可以逐渐逼近数列的极限值。

在这个例子中，我们发现数列的极限值是 0。

压缩映射法在数列极限的求解中具有广泛的应用。

通过选择合适的映射函数和采取适当的压缩步骤，我们能够更好地理解数列的性质，并找到数列的极限值。

这种方法在数学领域中的数列问题求解中是非常有用的，同时也提供了一种思路和工具，用于解决其他相关的数学问题。

压缩映射原理在求数列极限中的应用1 压缩映射原理在求数列极限中的应用压缩映射原理是一种以压缩方式在数值模拟和分析方面发挥巨大作用的原理。

它是基于数学中的积分和微分方法，采用简易压缩运算，综合得到极限值。

压缩映射原理在求数列极限中应用比较广泛，因为数列极限是数学中常用的概念。

压缩映射原理在求数列极限中是一种高效率的方法，它能够实现快速求解数列极限的操作，且求解结果更准确、有效，从而节约时间。

2 压缩映射原理的基本原理压缩映射原理的基本原理就是运用积分和微分的基本概念，以简单的压缩操作获得极限值。

压缩映射原理中，积分求出极限点的数值，而微分则比较两个极限点之间的变化，以此来达到求解数列极限的目的。

3 压缩映射原理在求解数列极限中的应用压缩映射原理在求解数列极限中，其应用是很重要的。

因为这可以避免计算量大、精度低的误差而能够快速求出数列极限，也可以较好地发挥微分计算和积分估算的作用。

这可以将求解难度减轻，从而达到数学计算上的最优效果。

4 压缩映射原理的几大优点压缩映射原理在求数列极限中应用十分广泛，它的几大优点也是因此而产生的。

其几大优点有：1、准确性高：压缩映射原理能够准确求出数列极限，这也是它应用非常广泛的主要原因之一。

2、快速性高：压缩映射原理的特点是快速求解，它能够将求解过程快速地完成，从而节省计算量和工作量。

3、方便性高：使用压缩映射原理进行数列极限的求解，计算速度迅速，而且工作量也不大。

5 结论压缩映射原理在求数列极限中的应用非常重要，它的应用可以显著提高数列极限求解的效率。

其优点是准确性高、快速性高、方便性高，值得广泛应用。

压缩映射原理的性质和应用摘要本文较有系统的研究了压缩映射原理及其一些应用，由于压缩映射原理是属于不动点理论中的一类原理，所以有许多不同的形式，本文主要利用在常规度量空间中讨论压缩映射原理的方法，在概率度量空间中讨论压缩映射原理。

主要内容如下：第一章，是绪论部分，首先讲了我之所以写这篇文章的原因，然后是本文所研究问题的历史背景和发展情况。

第二章，介绍压缩映射原理的最基本的形式，即Banach压缩映射原理，通过对其定理内容和证明方法的分析，深刻认识了Picard迭代方法在证明中起到的重要作用，总结出了一套通用的方法证明这类定理，还找了一个例子，用总结出的方法进行了证明。

第三章，用第一章总结出的方法研究了压缩映射原理更复杂的形式，随着研究问题的复杂，也使第一章总结出的方法变得更加完善。

第四章，把前几章得到的结论和方法应用到了微分方程和微分方程组的解的存在唯一性上。

虽然只有两个例子，但是获得方法和思想可以用到许多其他的例子上。

第五章，引入概率度量空间的概念，和其中一系列与压缩映射原理有关的概念，结合概率度量空间的一些特殊性质，用前几章的讨论方法，在概率度量空间上讨论压缩映射原理，依次讨论了含随机数的压缩映射原理，在概率度量空间上添加一些条件后的基本压缩映射原理，非线性的压缩映射原理及应用等。

关键词：压缩映射；不动点；概率度量空间；非线性微分方程ABSTRACTIn this paper, a systematic study of the compression mapping principle and some applications, because of the contraction mapping theory is one of the principle in belong to the theory of fixed point, so there are many different forms, this paper mainly discussed used in conventional metric space compression mapping principle, the method of contractive mapping principle in probabilistic metric space. The main contents are as follows:The first chapter is the introduction part, first of all tell the reason why I write this article, and then this paper studies the historical background and development of the problem.The second chapter, this paper introduces the basic form of compression mapping principle, namely the contraction mapping theory, through the analysis of its proof content and methods, understanding the iteration method plays an important role in proof, summarizes a set of generic methods to prove this theorem, still looking for an example, summarizes the way has carried on the proof.The third chapter, in the first chapter summarizes the method of compression mapping principle is studied in the form of more complex, as the research problem of complex, also made the first chapter summarizes the methods become more perfect.The fourth chapter, in the previous chapter conclusion and method is applied to the existence and uniqueness of solution of differential equation and differential equations. Although only two examples, methods and thoughts can be used on many other examples.The fifth chapter, the introduction of the concept of probabilistic metric Spaces, and a series of concepts related to the contraction mapping theory, combined with some special properties of the probabilistic metric Spaces, the use of the previous chapters discuss method, compression mappings in probabilistic metric space principle, in order to discuss the compression mapping principle, containing the random number after adding some conditions in probabilistic metric space basic compression mapping principle, the principle and application of the compression of nonlinear mapping, etc.Key words: compression mapping; The fixed point. Probabilistic metric space; The nonlinear differential equation目录摘要 (I)ABSTRACT.................................................................................................................. I I第一章绪论 (1)1.1写作动机 (1)1.2不动点理论背景知识，历史渊源 (2)1.3压缩映射原理的简介 (3)第二章Banach压缩映射定理的证明思路探究 (6)2.1定理内容和证明 (6)2.2一个例子 (6)2.3本章总结 (8)第三章Banach压缩映射原理的推广 (10)3.1推广的背景： (10)3.2压缩映射原理的一种推广形式及其证明 (10)3.3本章总结 (12)第四章压缩映射原理的应用举例 (13)4.1一类简单积分方程的解的存在与唯一性的证明 (13)4.2积分方程组的解的存在与唯一性证明 (14)4.3本章总结 (16)第五章概率度量空间中的压缩映射原理 (17)5.1基本概念的构造 (17)5.2随机压缩映射原理的构造 (17)5.3概率度量空间的背景知识 (19)5.4概率度量空间中的基本概念 (19)5.5：t 范数的概念及其性质 (21)5.6概率度量空间上的压缩映射原理 (21)5.7概率度量空间上非线性的压缩映射原理 (24)5.8概率度量空间上的压缩映射原理的应用 (26)5.9本章总结 (26)结论 (28)参考文献 (29)第一章绪论1.1写作动机我第一次接触压缩映射原理是在张庆恭和林渠源老师所编写的泛函分析的书上，当时书中应用压缩映射原理瞬间证明出了常微分方程中当时分五步证明的解的存在唯一性定理和数学分析中的隐函数存在定理，这使当时的我感到非常吃惊，在常微分方程和数学分析书中对这两个定理的证明中似乎看不到这两个定理有什么联系，但是一旦应用上了压缩映射原理，就找到了它们的共同点。

2007年 3 月 Journal of Science of Teachers′College and University Mar． 2007文章编号：1007-9831（2007）02-0019-03压缩映像原理在递推数列极限中的应用吴秉会1，魏连锁2（1. 齐齐哈尔大学 教务处，黑龙江 齐齐哈尔 161006； 2. 齐齐哈尔大学 理学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006）摘要：结合递推数列的特点，将压缩映像原理运用到数列极限问题中去，使关于数列极限存在性和求解问题得到更快、更简易的解决． 关键词：不动点；递推数列；压缩映像原理中图分类号：O177.91 文献标识码：A波兰数学家Banach 在1922年提出的压缩映像原理是对前人用逐次逼近法求解各类方程的方法的概括，在方程解的存在性、希尔伯特空间规范正交系存在性、隐函数存在定理等诸多方面有着广泛的应用．在此，我们将压缩映像原理应用到数列极限中，利用不动点来求得数列的极限．１ 概念和定理Banach 不动点原理——压缩映像原理[1]是建立在完备的度量空间基础上的，由实数集R 的完备性及闭集F 的完备性，有如下的定义和定理： 定义1 f 为R R →（或闭集F F →）的的映像，如果∃10<<k 使得|| |)()(|y x k y f x f −<−，x ，R ∈y （或x ，F y ∈）则称f 是一个压缩映像．定理1 f 为R R →（或闭集F F →）的压缩映像，则对R 0∈∀x （或F x ∈∀0），迭代数列)(1n n x f x =+" ,2 ,1 ,0=n 必收敛于)(x f 的唯一不动点∗x ，即∗∞→=x x n n lim 且)(∗∗=x f x ．定义2f 是→] ,[b a ] ,[b a 的映像，若满足|| |)()(|y x y f x f −<−，y x ≠∀，x ，] ,[b a y ∈，则称f为] ,[b a 到] ,[b a 的广义压缩映像．定理2[2]f 是→] ,[b a ] ,[b a 的广义压缩映像，则对] ,[0b a x ∈∀，迭代数列)(1n n x f x =+，" ,2 ,1 ,0=n ，必收敛于)(x f 的唯一不动点∗x ，即∗∞→=x x n n lim 且)(∗∗=x f x ．在实际应用中可通过如下定理来确定f 是否为（广义）压缩映射． 定理3)(x f 是一元可微函数，则有：i）若)(x f 在R 上可微，且当∃10<<k 使得1|)('|<≤k x f ，则f 是一个压缩映像．ii）若)(x f 在] ,[b a 上可微，且当∀) ,(b a x ∈，有1|)('|<x f ，则f 是一个广义压缩映像．证明 i ）因为)(x f 是一元可微函数，)(x f 在R ] ,[⊂y x 满足拉格朗日中值定理条件，则有=−)()(y f x f ))(('y x f −ξ，又∃10<<k 使得1|)('|<≤k x f ，所以|| |)()(|y x k y f x f −<−，则由定义1可得f 是一个压缩映像．ii）同理，)(x f 在] ,[] ,[b a y x ⊂上亦满足拉格朗日中值定理条件，于是有=−)()(y f x f ))(('y x f −ξ，又∀) ,(b a x ∈，有1|)('|<x f ，所以|| |)()(|y x y f x f −<−，则由定义2，可得f 是一个广义压缩映像．２ 应用收稿日期：2006-12-16作者简介：吴秉会（1978-），男，黑龙江齐齐哈尔人，助教．E-mail：wbh760776@以下各例均取材于部分高校研究生入学试题，并进行了一定的推广，使其更具一般性．例1[3]给定常数1>k ，设k u =1，1−+=n n u k u ，=n 2，3，… ，证明|}{|n u 有极限，并求出极限．证明 令x k x f +=)(，0≥x ，显然)(1−=n n u f u ，2≥n ．又1)2/(1|)2/(1||)(|'<≤+=k x k x f ，故依定理3 i）知)(x f 为) ,0[) ,0[∞+→∞+的压缩映射，由定理1，}{n u 必收敛于)(x f 在) ,0[∞+中的唯一不动点，即A u n n =∞→lim ，满足A k A +=，解得2/)411(k A +±=，由于0>n u ，" ,2 ,1=n ，有0lim >=∞→A u n n ，从而2/)411(lim k u n n ++=∞→．由以上例题可以看出，在解决递推数列的极限问题时，可先依题意构造出一个（广义）压缩映射f ，应用（广义）压缩映射原理判定其是否有极限A ，若存在则由)(A f A =得到A ，即为所求数列极限．但在构造函数f 时，需注意x 的定义域X 的选取，要使X u n ⊂}{，" ,2 ,1=n ．并且，由于数列的前有限项的值对数列极限无影响，从而对X 的要求可以减弱为X u n ⊂}{，" ,1 ,+=m m n ，N ∈m 为一有限数．在压缩映像条件常数r （1|)(|'≤≤r x f ）难以寻求时，用广义压缩映像原理．例2 a a =1，2/)/(1n n n a A a a +=+)0 , ; ,2 ,1(>=A a n "，证明}{n a 收敛，并求n n a ∞→lim ．证明 令2/)/()(x A x x f +=，0>≥a x ，则)(1n n a f a =+（" ,2 ,1=n ），A x A x x f +−=2/)/()(2A ≥，可视)(x f 为) ,[) ,[∞+→∞+A A 的映像，因为2/1|2/)/1(||)(|2'<−=x A x f ，) ,[∞+∈A x ，则由定理3 i）知)(x f 为压缩映像，再由定理1数列}{n a 收敛，设C a n n =∞→lim ，由0>n a 有0>C ，则2/)/(C A C C +=，解得A C =．例3 给定Z ,π ,00∈≠k k a a ，设 n n a a sin 1=+（" ,2 ,1 ,0=n ），求n n a ∞→lim ．解 令x x f sin )(=，]1 ,0(∈x ，则)(1n n a f a =+（πk a ≠），]1 ,0(sin 01∈=a a ，从而)1 ,0(∈i a （,2=i " ,3 ），又 1|cos ||)(|'<=x x f ，)1 ,0(∈∀x ，则由定理3 ii）知f 为广义压缩映像，由定理2知n a 必收敛于f 在]1 ,0[中唯一不动点，设A a n n =∞→lim ，有A A sin =，]1 ,0[∈A ，所以0=A ，即0lim =∞→n n a ．在例2中，有限项a a =1是否在) ,[∞+A 内对极限问题无影响，故可视)(x f 为) ,[) ,(∞+→∞+A A 的映像，进而运用定理3，同样情况出现在例３中的0a ，0a 是否在]1 ,0[内对极限问题及区间]1 ,0[的选取无影响．众所周知，单调有界定理是研究序列极限存在性的有力工具，但对于某些问题应用单调有界定理证明较繁琐，此时，不妨用压缩映像原理一试．例4 给定1≥k 常数，设11=x ，)1/(2+=k k x ，)/(1n n x k k x +=+，求n n x ∞→lim ．分析 假设极限存在，值为A ，则)/(A k k A +=，2/)4(2k k k A +±−=（舍去负值）．再研究n x 与A 的大小关系：若A x n <，则A A k k x k k x n n =+>+=+)/()/(1；若A x n >，则A A k k x k k x n n =+<+=+)/()/(1， 即n x 在A 左右来回跳动，又由于)42/(22/)42(2/)4(11222k k k k k k k k k A +++=+−+=++−−=− 0>，即A x >=11，从而得到A x x x x n >+"" , , , , ,12531，, ,42x x A x x n <+"" , , ,226．至此可看出此问题应用单调有界原理比较繁琐，若用压缩映射原理将很容易解得此题．解 令)/()(x k k x f +=，]1 ,0[∈x ，则)(1n n x f x =+，" ,2 ,1=n ，1|/||)/(||)(|22'≤<+=k k x k k x f ，)1 ,0(∈x ，即1|)(|'<x f ，从而由定理3得到)(x f 是]1 ,0[]1 ,0[→的广义压缩映像，再由定理2可得}{n x 收敛于f 在]1 ,0[中的唯一不动点，设A x n n =∞→lim ，则)/()(A k k A f A +==，由0>n x 解得，)4(2k k k A ++−=/2． 参考文献：[1] 张恭庆，林源渠．泛函分析讲义（上册）[M]．北京：北京大学出版社，1998． [2] 宋国柱．分析中的基本定理和典型方法[M]．北京：科学出版社，2004． [3] 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]．北京：高等教育出版社，1993．第2期 吴秉会等：压缩映像原理在递推数列极限中的应用 21 Application of contraction mapping principle to recursion sequence of numberWU Bing-hui 1，WEI Lian-suo 2（1. Office of Dean，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China； 2. School of Science，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China） Abstract：Combining the features of recursion sequence of number, applied the contraction mapping principle to the limit of sequence of number, arriving at a more prompt and easier approach to existence of limit of sequence of number and its solution.Key words：fixed point；recursion sequence of number；contraction mapping principle管式炉在粗苯生产系统的应用杜红宝1 粗苯工艺流程简介黑化集团公司焦化厂现有2座半焦炉（型号58－Ⅱ一座，JN43-80一座半），年设计能力为75万t焦炭及与其配套的化产回收系统．粗苯系统是化产回收的重要生产系统，年设计生产粗苯一万t．粗苯系统分洗涤和蒸馏2部分． （1）洗涤部分：从硫铵系统来的 45～55℃的煤气进入终冷塔，用循环水直接冷却到20～30℃，煤气中 的萘同时被水洗下来，然后煤气再进入洗苯塔，用洗油与煤气逆流喷洒，吸收煤气中的苯，使煤气中的苯含量达到2 g/Nm3以下后送往化肥厂及焦炉回炉加热．（2）蒸馏部分：洗油在洗苯塔内洗苯后变成富油，再用富油泵送经苯分缩器、贫富油换热器后，经管式炉加热到160～180℃再送到脱苯塔，富油在脱苯塔内被直接蒸汽蒸吹，从脱苯塔顶蒸出的苯汽经分缩器、苯冷凝冷却器后得到液态粗苯产品，脱苯塔底的热贫油经贫富油换热器、贫油冷却器回到循环油槽，供洗苯塔洗苯用．2 粗苯管式炉蒸馏工艺的优点（1）提高粗苯回收率 在粗苯蒸馏系统中，由于富油在管式炉内被加热的温度高，可达160～180℃（蒸汽预热富油一般只有145℃），进入脱苯塔后，则塔底贫油温度也相应提高，贫油中各组分的蒸汽压增大，从而使粗苯的蒸出率也增加，贫油含苯降低，粗苯管式炉蒸馏工艺可使贫油含苯降到0.5％以下（蒸汽预热富油蒸馏工艺贫油含苯一般在0.8％左右）．在粗苯洗涤系统中，用洗 油吸收煤气中的苯族烃是物理吸收过程，服从亨利定律和道尔顿定律，贫油含苯量越低，则洗苯塔后含苯量也越低，苯的回收率越高．（2）不受蒸汽压力波动影响，生产稳定．（3）降低蒸汽耗量．（4）减少酚水量．3 粗苯管式炉加热富油脱苯工艺生产运行情况经过管式炉热负荷计算，得知管式炉需提供热量为1608万kJ/h，又根据对国内济南钢铁厂等8个厂家考察，选择1 674万kJ/h 型号为5.815 mw-245 mpa-φ140/φ114．粗苯管式炉2003年12月29日投产，同蒸汽加热富油脱苯工艺比，近几年主要技术指标情况如表1．由表可以看出，粗苯管式炉投产后，运行稳定，主要技术指标完成的很好，但由于我厂入管式炉的蒸汽本身就是过热蒸汽温度200℃左右，致使出管式炉的过热蒸汽超出规定范围，解决办法是进一步计算后，减少管式炉内蒸汽管根数（换热面积）．表1 主要技术指标同期 富油流量t/h富油出管式炉温度/℃过热蒸汽温度/℃贫油含苯/（％）洗苯塔前煤气含苯g/Nm3洗苯塔后煤气含苯g/Nm3苯回收率/（%）煤气耗量Nm3/t粗苯蒸汽耗量t/t粗苯2003 60 富油出预热器温度 145—— 0.8 38.58 2.0 94.8 — 5.52004 60 165 480 0.5 38.38 1.64 95.7 590 1.52005 60 168 485 0.45 41.55 1.16 97.2 595 1.52006上半年60 168 484 0.46 40.15 1.17 97.1 593 1.54 经济效益焦炉结焦时间按18 h计算，洗苯塔后含苯降低按0.5 g/Nm3计算，则全年可增收粗苯154 t粗苯，增收77万元；年节约蒸汽4.4万t，节约费用308万元；年消耗煤气660万Nm3， 消耗费用330万元．则每年综合增效为55万元． 黑化集团公司焦化厂于2003年12月将粗苯蒸汽加热富油脱苯工艺改为管式炉加热富油脱苯工艺，经过几年的生产实践检验，此装置运行稳定、良好，达到了改造的目的——富油温度由原来的145℃提高到168℃，贫油含苯由原来的0.8％降到0.5％，塔后含苯由原来的2.0 kg/Nm3降到1.5 kg/Nm3，蒸汽单耗1.5 t/t粗苯．问题是过热蒸汽温度偏高些，需进一步改进． 参考文献：[1] 库咸熙．炼焦化学产品回收与加工[M]．北京：冶金工业出版社，1983．[2] 焦化设计参考资料编写组．焦化设计参考资料[M]．北京：冶金工业出版社，1982．（作者单位：黑化集团公司 焦化厂技术科，黑龙江 齐齐哈尔161041）。

压缩映射原理及其应用压缩映射原理被普遍应用于处理判别极限存在性和唯一解的问题上。

他的定义为： 设X 是距离空间，:T X X →为一映射，如果存在01α<<，对,x y X ∀∈都有()(),,Tx Ty x y ραρ≤，则称T 是X 上的一个压缩映射。

而如果一个映射是压缩映射，他必有唯一解，称为不动点。

定义为：设X 是距离空间，:T X X →为一映射，如果存在x X ∈使得x Tx =，则称x 是T 上的一个不动点。

利用压缩映射的方法可以简便的求解出级数的极限，下面引入一道例题加以说明。

例1 设10a >，131,1,2,34n n n a a n a +=+=+，证明数列{}n a 有极限，并求其值。

在高等数学中我们解决级数极限存在与否的问题时一般用两种方法，一是递推法求出通项公式进而求极限；二是利用单调有界数列收敛定理判别。

如例1，递推法要写处递推公式并找到1n a +与n a 之间的关系，这种方法不一定适用于所有题型；而单调有界定理需要写非常多的解析式。

利用压缩映射原理可以更快速的证明其存在极限且求出极限值。

首先构造映射x Tx =，将131,1,2,34n n n a a n a +=+=+构建成映射形式即：n a x =，()1n a f x +=，显然()0,x ∈+∞()314x f x x =++，()()21214f x r x '=<<+， 根据拉格朗日中值定理可以得出：()()()()1111n n n n n n n n a a f a f a f a a r a a ξ+---'-=-≤-≤-， 推广到一般性可以得到：1212121111n n p n n p k n p n k n r r r a a r a a a a a a r r++-+-+--≤-=-≤---∑， 应用柯西准则可以知{}n a 收敛，设lim n n a A →∞=，显然0A >，在()1n n a f a +=两边令n →∞，得到()314A A f A A==++，解得2A =±，因为0A >，所以2A =，，从而lim 2n n a →∞=。

压缩映像原理数列极限考研首先，数列是数学中的一种有序数的排列，通常用 {an} 表示，其中的每个数 an 称为该数列的第 n 项。

数列的极限是指当 n 趋近于无穷时，数列的项逐渐趋于一些常数 L。

即 lim(n->∞) an = L。

如果一个数列存在极限，那么该数列称为收敛数列；否则，称为发散数列。

压缩映像原理数列极限是通过映像原理的基本思想进行证明的，该原理的表述如下：设 {an} 和 {bn} 是两个数列，满足an ≤ bn，且两者的极限都存在，即 lim(n->∞) an = L，lim(n->∞) bn = M。

如果对于任意的 n，都有a(n+1) ≤ b(n+1)，那么有L ≤ M。

基于压缩映像原理，可以推出以下结论：1. 如果一个数列 {an} 满足a(n+1) ≤ k * an，其中 k 是一个小于 1 的正数，那么该数列是收敛数列。

证明：设 bn = k^n * a0，其中 a0 是数列 {an} 的首项。

根据压缩映像原理，a(n+1) ≤ k * an 可以得到bn ≤ k^(n+1) * a0。

即 bn 是一个递减且有下界的数列，根据单调有界原理，它存在极限。

而 bn 的极限也即数列 {an} 的极限。

2. 如果一个数列 {an} 满足a(n+1) ≥ k * an，其中 k 是一个大于 1 的正数，那么该数列是发散数列。

证明：设 bn = k^n * a0，其中 a0 是数列 {an} 的首项。

根据压缩映像原理，a(n+1) ≥ k * an 可以得到bn ≥ k^(n+1) * a0。

即 bn 是一个递增且无上界的数列，根据单调有界原理，它发散。

3. 如果 {an} 是一个数列，且存在 a、b 和 c 三个常数，使得 aₙ ≤ aₙ₊₁ ≤ bₙ₊₁ ≤ bₙ ≤ cₙ，对于任意的 n，那么如果 aₙ 的极限存在（记为 A），cₙ 的极限存在（记为 C），那么 bₙ 的极限也存在且等于 A = C。

迭代法在数列求极限中的应用迭代法是一种在数学中常用的方法，用于求解方程、函数、数列等数学问题。

在数列求极限的问题中，迭代法也发挥着重要的作用。

以下是迭代法在数列求极限中的应用的相关知识点：1.迭代法的定义：迭代法是一种按照一定规律重复进行计算的方法，通过每次计算得到新的数值，逐步逼近问题的解。

2.数列极限的定义：数列极限是指当数列的项数趋向于无穷大时，数列的某一单项趋向于某一确定的数值。

3.迭代法求数列极限的基本思想：通过迭代计算，得到数列的前几项，然后观察数列的变化趋势，判断数列的极限是否存在以及极限的值。

4.迭代法求数列极限的步骤：a.确定迭代公式：根据数列的定义，选取合适的迭代公式。

b.初始化：给定初始值，开始迭代计算。

c.迭代计算：根据迭代公式，重复进行计算，得到数列的后续项。

d.判断极限：观察数列的变化趋势，判断数列的极限是否存在以及极限的值。

5.迭代法求数列极限的注意事项：a.确保迭代公式的正确性：迭代公式应符合数列的定义，能够正确地反映数列的变化。

b.注意迭代的精度：在实际计算中，迭代的精度对结果的准确性有很大影响，需要根据实际情况调整迭代的精度。

c.避免迭代过程中的错误：在迭代过程中，可能会出现不收敛或发散的情况，需要及时判断并处理。

d.求解等比数列的极限：利用迭代法，可以通过计算数列的前几项，判断等比数列的极限是否存在以及极限的值。

e.求解等差数列的极限：利用迭代法，可以通过计算数列的前几项，判断等差数列的极限是否存在以及极限的值。

以上是关于迭代法在数列求极限中的应用的知识点介绍，希望对您的学习有所帮助。

习题及方法：1.习题：求等比数列 {a_n}，其中 a_1 = 2，q = 1/2 的极限。

解题方法：利用迭代法，计算数列的前几项，观察数列的变化趋势。

解答：通过迭代计算，得到数列的前几项为：a_1 = 2, a_2 = 1, a_3 = 0.5, a_4 = 0.25, …观察数列的变化趋势，可以发现随着项数的增加，数列的值逐渐减小，且趋向于0。

不动点和压缩影射的原理及其应用（5篇）第一篇：不动点和压缩影射的原理及其应用不动点和压缩影射的原理及其应用摘要：学习了数学分析中一些不动点问题的解题方法和递推数列的极限，将不动点和压缩映像原理运用到求一些极限问题中，使我们更容易去解决关于数列极限存在性和如何快速求出极限的值。

关键词：不动点压缩影射递推数列应用自从波兰数学家巴拿赫在1992年提出了有关压缩映像在完备的度量空间必然存在唯一的不动点的一些理论。

而后，许多数学工作者投入的大量的时间来研究，并取得了一些丰硕的成果。

今天，不动点和压缩映像原理在我们日常生活中运用十分广泛。

不动点原理在数学分析，常微方程，积分方程等很多地方都有它的应用。

而压缩映像可以用于证明一些简单的隐函数存在定理，特别是在求一些递推数列中。

然而在不少数学分析教材中一般不介绍它，这给我们带来许多问题的困扰。

建议老师将它放在微分中值定理和数列柯西收敛准则后学习，这样可以让学生更进一步了解泛函分析。

1不动点和压缩映像定义及原理定义1设X为一个非空集合，映射T是X到X的一个映射，如果存在x*X使得Tx*=x*则称x *是T的一个不动点。

定义2设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数c，0第二篇：管理学原理简答精华压缩1、计划工作程序：①估量机会②确定目标③确定前提条件④确定可供选择的方案⑤评价各种方案⑥选择方案⑦制订派生计划⑧用预算形式使计划数字化。

2、内部提升制优缺点：优点：1.由于对机构中的人员有较充实可靠的资料，可了解候选人的优缺点，以判断是否适合新的工作。

2.组织内成员对组织的历史和现状比较了解，能较快地胜任工作。

3.可激励组织成员的进取心，努力充实提高本身的知识和技能。

4.工作有变换机会，可提高组织成员的兴趣和士气，使其有一个良好的工作情绪。

5.可使过去对组织成员的训练投资获得回收，并判断其效益如何。

缺点：1.所能提供的人员有限，尤其是关键的管理者，当组织内有大量空缺职位时，往往会发生“表黄不接”的情况。

压缩映射原理：从数列极限看未来压缩映射原理是数学中的一项重要原理，是求解数列极限的一种
有效工具。

那么，在生活中，我们又该如何应用这个原理呢？
首先，让我们来理解一下什么是压缩映射原理。

在简单的说法就是，一个函数在一定条件下能够使原本无穷的数列收敛到一个有限的值。

这个原理的应用极为广泛，从传统的数学分析到现代的计算机程
序都有着重要意义。

这里我们可以以一个生动的例子来解释压缩映射原理的应用。

假
设某个人每天随机选择一只股票买入，无论是涨还是跌他都会坚持买
入100元。

显然，这个人的投资风险极大。

但是，如果我们将每次买
入的金额进行适当的缩小，那么这个人的投资风险就可以得到一定的
降低。

这个过程中，我们可以将每次的投资结果映射到0-1之间的数列中。

如果这个数列始终显示趋势下跌，那么买入金额就必须减少；反
之则可以适当加大投资金额。

通过不断的缩放和调整，这个人的投资
风险就可以得到有效的控制，同时也可以在投资市场上获得更好的收益。

从这个例子中，我们可以看出，压缩映射原理可以有效地控制风险，同时也可以使得收益最大化。

在现代社会中，面对不断变化的市场，这个原理的应用也越来越广泛。

无论是金融投资，还是科技创新，压缩映射原理都是我们掌握未来的一个有效工具。

从数列极限的角度看，压缩映射原理可以提供一种简单且有效的
求解方法。

在现实生活中，我们可以将这个原理应用到不同的领域中，探索出更多的创新点和发展机遇。

压缩映像原理在求序列极限上的应用孙一丹;孙永涛【摘要】对压缩映像原理进行探讨,发现压缩映像原理在研究递推形式序列的极限时是一个很有力的工具.因此,利用压缩的数列一定收敛,并且它的极限值是一个压缩映射的不动点,给出利用压缩映像原理求递推形式序列极限的求法.【期刊名称】《商丘职业技术学院学报》【年(卷),期】2012(011)002【总页数】3页(P5-7)【关键词】压缩映射;不动点;极限【作者】孙一丹;孙永涛【作者单位】商丘职业技术学院,河南商丘476000;商丘职业技术学院,河南商丘476000【正文语种】中文【中图分类】O159定义给定实R上的一个区间I，设f是从I到I的映射，若∃r∈（0，1），使∀x，y∈I，有则称f是从I到I的压缩映射.由定义知压缩映射f在区间I上一定连续.定理1 设f是定义在［a，b］上的函数，且f（［a，b］）⊂［a，b］，若存在常数0＜q≤1，使对任意的x，y∈［a，b］，x≠y，都有｜f（x）-f（y）｜＜q｜x-y｜，则f在［a，b］上存在唯一的不动点.定理2［1］56-58 以下三个条件都是函数f在其定义域上存在不动点的充分条件：（1）f是R上的连续函数，且f（R）为有界集；（2）（a，b）为有限区间，f在（a，b）上连续且f［（a，b）］＝R；（3）f是［a，b］上的连续函数且f（［a，b］）⊂［a，b］.定理3 若f是从I到I的压缩映射，则∃x＊∈I，使f（x＊）＝x＊.证明任意取定x 0∈I，令x n＝f（x n-1），n＝1，2，…，由定义知∃r∈（0，1），对于任意自然数n，从而∀ε＞0，任意自然数p，有当n充分大时，有，于是由柯西收敛准则知数列｛x n｝收敛.令即：x＊＝f（x＊），x∈I.x＊称为f的不动点，故上述定理也称为不动点定理.注：由上述定理证明过程可知，若数列｛x n｝满足：∃r∈（0，1），对于任意自然数n，有则数列｛x n｝必收敛，此时称数列｛x n｝为压缩的，于是压缩的数列一定收敛，并且它的极限值应是一个压缩映射的不动点［2］.若数列｛x n｝由递推公式：x n＋1＝f（x n）（n＝1，2，…）确定，可通过验证f是否为压缩映射，再利用压缩映像原理即可求得此数列的极限，以下举例说明. 例1 设解由已知得取再由x n＋1＝f（x n）可得到：｜x n＋1-x n｜＝｜f（x n）-f（x n-1）｜＝｜f′（ε）｜｜x n-x n-1｜＜r｜x n-x n-1｜（ε为中值点）.于是得f为压缩映射，数列｛x n｝是压缩的，令，解之得：x＊注1 证明数列收敛的方法多种多样，而利用压缩的数列一定收敛是一种非常重要的方法.利用此方法的关键就是构造函数f并证明f为压缩映射；注2 应用微分中值定理验证｛x n｝是否满足压缩映像的条件时，这时必须验证｛x n｝是否保持在｜f′（x）｜≤r成立的范围之内.例2解设f（x取r＜1，则r∈（0，1）且｜f′（x）｜＜r.又由x n＋1＝f（x n）得：于是得f为压缩映射，数列｛x n｝是压缩的解例3 证明：若f（x）在区间I＝［a-r，a＋r］上可微，｜f′（x）｜≤α＜1且｜f （a）-a｜≤（1-α）r，x＊为f的不动点）.分析即可.如果我们能证明x n＝f（x n-1）是压缩映像两边取极限，又f由可微则一定连续，可得即为方程x＝f（x）的根.因此本题的关键是证明x n＝f（x n-1）是压缩映像.证明由题知x 0∈I，设x n∈I，则即x n-1∈I.这就证明了：∀n∈z，x n∈I.应用微分中值定理，∃ε∈（x n，x n＋1），从而ε∈I有这说明了x n＝f（x n-1）是压缩映像，所以｛x n｝收敛.又由f连续，故对x n＝f （x n-1）两边取极限得：，则有x＊＝f（x＊），即x＊为方程x＝f（x）的根. 注若递推数列由x n＝f（x n-1）给出，并已证明中取极限，便得到了A应满足的方程A＝f（A），此方程表明A是f的不动点.但此方程的根是否存在，以及存在时能否求出，一般来说还有待于讨论.【相关文献】［1］华东师范大学数学系.数学分析（上册）［M］.北京：高等师范教育出版社，2000. ［2］姜文英.压缩映像原理的应用［J］.衡水师专学报，2004，2（4）：78-79.。

迭代数列的极限
噫，今儿咱来摆摆龙门阵，说说这迭代数列的极限是个啥玩意儿。

咱先用咱四川话来开个头儿，说起这迭代数列，就好比咱们四川的串串香，一串接一串，一环扣一环，你说它哪儿是个头儿呢？嘿，那就得说到这极限了。

这极限啊，就像咱四川的麻辣烫，你吃得再辣，也有个尽头，舌头辣得受不了了，自然就得停口。

这迭代数列也是一样，它再怎么迭代，也得有个收束的时候，这就是咱说的极限了。

再来说说陕西方言，咱们陕西人说话直来直去，就像这迭代数列一样，一步一步往前走，不拐弯抹角。

这极限嘛，就像咱陕西的羊肉泡馍，看着是一碗热气腾腾的，其实底下有个底儿，那就是极限所在。

你说这羊肉泡馍能一直加肉加馍吗？那不得撑死啊，总有个吃饱的时候，这就是极限了。

最后咱再来用北京话儿说说这迭代数列的极限。

说起来啊，这迭代数列就像咱北京的四合院，一环套一环，层层叠叠。

你说这四合院能一直盖下去吗？那不得盖成个迷宫啊！总有个边儿，那就是极限了。

这极限啊，就像咱北京的炸酱面，看着是一碗接着一碗，其实心里有个数儿，知道啥时候该停口。

所以啊，这迭代数列的极限，不管是用哪儿的方言来说，都是一个道理。

它就像咱们生活中的各种事物一样，都有一个尽头，一个界限。

咱们得明白这个道理，才能更好地理解这个世界。