小升初必学 立体图形的巩固

小升初数学复习第14讲立体几何综合在小升初的数学复习中，立体几何是一个重要的板块。

这一讲，我们将对立体几何进行综合复习，帮助同学们巩固知识，提升解题能力。

首先，让我们来回顾一下常见的立体图形。

长方体是我们非常熟悉的立体图形，它有六个面，每个面都是长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形），相对的面面积相等。

长方体有 12 条棱，相对的棱长度相等，有 8 个顶点。

正方体则是特殊的长方体，它的六个面都是完全相同的正方形，12 条棱长度都相等，也有 8 个顶点。

圆柱体由两个底面和一个侧面组成，底面是完全相同的圆，侧面展开是一个长方形。

圆锥体有一个底面是圆，侧面展开是一个扇形。

接下来，我们看看如何计算这些立体图形的表面积和体积。

长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 ，体积＝长×宽×高。

正方体的表面积＝棱长×棱长×6 ，体积＝棱长×棱长×棱长。

圆柱体的表面积＝侧面积＋两个底面积，侧面积＝底面周长×高，底面积＝π×半径²，体积＝底面积×高。

圆锥体的体积＝ 1/3×底面积×高。

在解题时，我们常常会遇到一些需要灵活运用这些公式的情况。

例如，有一个长方体的盒子，长、宽、高分别是 5 厘米、4 厘米、3 厘米。

要在这个盒子的外面包一层彩纸，需要多少平方厘米的彩纸？这就是求长方体的表面积，我们按照公式（5×4 ＋ 5×3 ＋ 4×3）×2 来计算，就能得出答案。

再比如，有一个圆柱形的水桶，底面半径是 2 分米，高是 5 分米，这个水桶能装多少升水？这就是求圆柱体的体积，我们先算出底面积π×2² ，再乘以高 5 分米，最后将结果转换成升。

除了直接运用公式计算，还会有一些综合的题型。

比如，把一个棱长为 6 厘米的正方体木块削成一个最大的圆柱体，这个圆柱体的体积是多少？这就需要我们先分析，在正方体中削出最大的圆柱体，圆柱体的底面直径和高都等于正方体的棱长。

精讲小升初考试数学立体图形知识点学习可以这样来看，它是一个潜移默化、厚积薄发的过程。

查字典数学网编辑了数学立体图形知识点，希望对您有所帮助!(一)长方体1特征六个面都是长方形(有时有两个相对的面是正方形)。

相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等。

有8个顶点。

相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。

两个面相交的边叫做棱。

三条棱相交的点叫做顶点。

把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。

长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。

2计算公式s=2(ab+ah+bh)V=shV=abh(二)正方体1特征六个面都是正方形六个面的面积相等12条棱，棱长都相等有8个顶点正方体可以看作特殊的长方体2计算公式S表=6a2v=a3(三)圆柱1圆柱的认识圆柱的上下两个面叫做底面。

圆柱有一个曲面叫做侧面。

圆柱两个底面之间的距离叫做高。

进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些，因此，要保留数的时候，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位进1。

这种取近似值的方法叫做进一法。

2计算公式s侧=chs表=s侧+s底2v=sh/3(四)圆锥1圆锥的认识圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。

从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。

测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。

把圆锥的侧面展开得到一个扇形。

2计算公式v=sh/3(五)球1认识球的表面是一个曲面，这个曲面叫做球面。

球和圆类似，也有一个球心，用O表示。

从球心到球面上任意一点的线段叫做球的半径，用r表示，每条半径都相等。

通过球心并且两端都在球面上的线段，叫做球的直径，用d 表示，每条直径都相等，直径的长度等于半径的2倍，即d=2r。

“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。

其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。

《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。

“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。

1、在一只底面半径是10厘米，高是20厘米的圆柱形瓶中，水深是8厘米，要在瓶中放入长和宽都是8厘米，高是15厘米的一块铁块．把铁块竖着放在水中，使底面与容器底面接触，这时水深几厘米？2、一个从里面量底面半径是9cm、高50cm的圆柱体容器内装有20cm高的水，当把一个底面直径是2cm、高30cm 的圆柱形铁棒垂直放入容器中时，并没有完全浸没，现在水深多少cm？3、把一个棱长6cm的正方体铁块放入一个圆柱形容器中，完全浸没后水面上升了4cm。

如果把一个圆锥形铁块放入其中，完全浸没后水面上升了1.5cm。

求圆锥形铁块的体积？巩固要点三：两个对象之间的比较1、有甲、乙两个底面半径相等的圆柱，甲的高是乙的高的．甲圆柱的体积是175立方厘米，乙圆柱的体积比甲圆柱多多少立方厘米？2、两个底面半径相等的圆锥体和圆柱体，它们的体积比是1：4，已知圆柱高8厘米，圆锥高多少厘米？3、两个圆柱，甲的高为5cm，甲的底面半径是乙底面半径的，它们的侧面积相等，则乙圆柱高为多少？巩固要点四：展开图问题1、将一块长方形铁皮，利用图中阴影的部分，刚好制成一个油桶，求这个油桶的体积。

2、在下面的长方形纸中，剪出两个圆和一个长方形恰好可以围成一个圆柱，求这个圆柱的体积．3、有一张长方形铁皮，如图剪下阴影部分制成铁桶，求这个铁桶的容积．（单位：分米，π取3.14）巩固要点五：容器内注水，时间引起水位变化的问题1、一个长方体的容器内，放着一个圆柱体铁块，里面打开一个水龙头往容器里注水，2分钟后，水恰好没过圆柱体铁块的顶面，又过了24分钟，水灌满容器，已知容器的高是100厘米，圆柱体的高是20厘米，求圆柱底面积与容器底面积的比。

2、一个圆柱体容器，里面放着一个长方体铁块，现在打开一个水龙头往容器里注水，3分钟时，水恰好没过长方体顶面，又过了18分钟，水灌满了容器，已知容器的高度是50厘米，长方体的高度是20厘米，求长方体的底面积与容器底面积的比是多少？巩固要点六：表面积变化问题1、把一个圆柱的底面平均分成相等的若干小扇形，然后把圆柱切开，拼成一个近似的长方体（如图），拼成后的近似长方体的表面积比原来圆柱体的表面积增加了200平方厘米，已知圆柱的高是10cm，求圆柱的体积．2、把一个圆柱体切开，拼成一个与它等底等高的长方体，这个长方体的表面积比圆柱体多20平方厘米，若圆柱的底面周长是15厘米，圆柱的体积是多少立方厘米？3、把一根圆柱形木材沿底面直径切开成两个半圆柱体，已知一个剖面的面积是960平方厘米，半圆柱的体积是3014．4立方厘米，求原来圆柱形木材的体积和侧面积。

济南小升初备考立体图形知识点总结一、长方体、正方体都有6个面，12条棱，8个顶点。

正方体是非常的长方体。

二、圆柱的特征：一个侧面、两个底面、很多条高。

三、圆锥的特征：一个侧面、一个底面、一个顶点、一条高。

四、表面积：立体图形全部面的面积的和，叫做这个立体图形的表面积。

五、体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。

容器所能容纳其它物体的体积叫做容器的容积。

六、圆柱和圆锥三种关系：①等底等高：体积1︰3②等底等体积：高1︰3③等高等体积：底面积1︰3七、等底等高的.圆柱和圆锥：①圆锥体积是圆柱的1/3，②圆柱体积是圆锥的3倍，③圆锥体积比圆柱少2/3，④圆柱体积比圆锥多2倍。

八、等底等高的圆柱和圆锥：锥1、差2、柱3、和4。

九、立体图形公式推导：【1】圆柱的侧面开展后得到一个什么图形？这个图形的各部分与圆柱有何关系？〔圆柱侧面积公式的推导过程〕①圆柱的侧面开展后一般得到一个长方形。

②长方形的长相当于圆柱的底面周长，长方形的宽相当于圆柱的高。

③由于：长方形面积=长宽，所以：圆柱侧面积=底面周长高。

④圆柱的侧面开展后还可能得到一个正方形。

⑤正方形的边长=圆柱的底面周长=圆柱的高。

【2】我们在学习圆柱体积的计算公式时，是把圆柱转化成以前学过的一种立体图形〔近似的〕进行推导的，请你说出这种立体图形的名称以及它与圆柱体有关部分之间的关系？①把圆柱分成假设干等份，切开后拼成了一个近似的长方体。

②长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。

③由于：长方体体积=底面积高，所以：圆柱体积=底面积高。

即：V=Sh。

【3】请画图说明圆锥体积公式的推导过程？①找来等底等高的空圆锥和空圆柱各一只。

②将圆锥装满沙子，倒入圆柱中，发觉三次正好装满，将圆柱里的沙子倒入圆锥中，发觉三次正好倒完。

③通过试验发觉：圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一；圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥体积的三倍。

即：V=1/3Sh。

十、立体图形的棱长总和、表面积、体积计算公式：〔二〕图形与变换一、变换图形位置的方法有平移、旋转等，在变换位置时，每个图形的相应顶点、线段、曲线应同步平移，旋转相同的角度。

小升初数学复习重点：平面立体图形2019年小升初数学复习重点：平面立体图形随着小升初考试时间的越来越紧凑，很多考生都出现了盲目复习的现象，复习无重点。

查字典数学网小升初频道为大家提供2019年小升初数学复习重点，希望对大家有帮助! 2019年小升初数学复习重点：平面立体图形1长方形(1)特征对边相等，4个角都是直角的四边形。

有两条对称轴。

(2)计算公式c=2(a+b)s=ab2正方形(1)特征：四条边都相等，四个角都是直角的四边形。

有4条对称轴。

(2)计算公式c=4as=a23三角形(1)特征由三条线段围成的图形。

内角和是180度。

三角形具有稳定性。

三角形有三条高。

(2)计算公式只有一组对边平行的四边形。

中位线等于上下底和的一半。

等腰梯形有一条对称轴。

(2) 公式s=(a+b)h/2=mh6 圆(1) 圆的认识平面上的一种曲线图形。

圆中心的一点叫做圆心。

一般用字母o表示。

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。

一般用r 表示。

在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。

通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。

一般用d表示。

同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。

同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r。

圆的大小由半径决定。

圆有无数条对称轴。

(2)圆的画法把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离(即半径);把有针尖的一只脚固定在一点(即圆心)上;把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。

(3) 圆的周长围成圆的曲线的长叫做圆的周长。

把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。

用字母表示。

(4) 圆的面积圆所占平面的大小叫做圆的面积。

(5)计算公式d=2rr=d/2c=dc=2rs=r27扇形(1) 扇形的认识一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。

圆上AB两点之间的部分叫做弧，读作弧AB。

顶点在圆心的角叫做圆心角。

在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。

扇形有一条对称轴。

《立体几何初步》全章复习与巩固编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】1．了解柱，锥，台，球及简单组合体的结构特征.2.能画出简单空间图形的三视图，由三视图能够还原成空间立体图形，并会用斜二测法画出它们的直观图.3.通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.4.理解柱，锥，台，球的表面积及体积公式.5.理解平面的基本性质及确定平面的条件.6.掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质.7.掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质.【知识网络】【要点梳理】要点一：空间几何体的结构与特征本章出现的几何体有：①棱柱与圆柱统称为柱体；②棱锥与圆锥统称为锥体；③棱台与圆台统称为台体；④球体．柱体常以直三棱柱、正三棱柱、正四棱柱、正六棱柱、圆柱等为载体，锥体一般以正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥、圆锥等为载体，计算高、斜高、边心距、底面半径、侧面积和体积等．在研究正棱锥和圆锥、正棱台和圆台时要充分利用其中的直角三角形：高线，边心距，斜高组成的直角三角形；高线，侧棱(母线)，外接圆半径(底面半径)组成的直角三角形．空间几何体的三视图：主视图：它能反映物体的高度和长度；左视图：它能反映物体的高度和宽度；俯视图：它能反映物体的长度和宽度．先会读懂三视图，并还原为直观图，再研究其性质和进行计算．侧面展开图问题是经常出现的一个问题．平面图形的翻折与空间图形的展开问题，要对照翻折(或展开)前后两个图形，分清哪些元素的位置(或数量)关系改变了，哪些没有改变，哪些元素是同一个元素．与几何体的侧面积和体积有关的计算问题，基本概念和公式要熟练，计算要准确，重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用，等积转换可使体积计算变得简单化．要点二：平面基本性质刻画平面的公理(或基本性质)是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题、进行逻辑推理的基础．公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．作用：是判定直线是否在平面内的依据．公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．作用：提供确定平面最基本的依据．公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．作用：是判定两个平面交线位置的依据．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．作用：是判定空间直线之间平行的依据．要点三：空间的平行与垂直关系理解和熟练应用空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理，是解决有关计算和证明的金钥匙．归纳出以下判定定理：(1)空间中的平行关系如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．(2)空间中的垂直关系如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．解决空间问题的重要思想方法：等价转化——化空间问题为平面问题．空间平行、垂直关系证明的基本思想方法——转化与联系，如图所示．【典型例题】类型一：空间几何体的三视图例1．某几何体的三视图如图1所示,它的体积为（）A．12πB．45πC．57πD．81π【答案】C【解析】该几何体下部分是半径为3,高为5的圆柱,体积为23545V ππ=⨯⨯=,上部分是半径为3,高为4的圆锥,体积为2134123V ππ=⨯⨯⨯=,所以体积为57π.【总结升华】根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何体的表（侧/底）面积或体积，是高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N 棱锥（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N 棱柱（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N 棱柱（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台．举一反三：【变式1】某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是_____.【答案】92【解析】由三视图可知,原几何体是一个底面是直角梯形,高为4的直四棱柱,其底面积为(25)42282+⨯=,侧面积为(4255)464+++⨯=,故表面积为92.例2．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）.（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结'BC ，证明：'BC ∥面EFG.正视图【思路点拨】（1）按照三视图的要求直接在正视图下面，画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，利用转化思想V=V 长方体-V 正三棱锥，求该多面体的体积；（3）在长方体ABCD-A′B′C′D′中，连接AD′，在所给直观图中连接BC′，证明EG∥BC′，即可证明BC′∥面EFG．【解析】（1）如图4642224622（俯视图）（正视图）（侧视图）（2）所求多面体体积V V V =-长方体正三棱锥1144622232⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭2284(cm )3=．（3）证明：在长方体ABCD A B C D ''''-中，连结AD '，则AD BC ''∥．因为E G ，分别为AA '，A D ''中点，所以AD EG '∥，从而EG BC '∥．又BC '⊄平面EFG ，所以BC '∥面EFG ．【总结升华】长方体的有关知识、体积计算及三视图的相关知识，对三视图的相关知识掌握不到位，求不出有关数据．三视图是新教材中的新内容，故应该是新高考的热点之一，要予以足够的重视．类型二：几何体的表面积和体积例3．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为()ABC DE FGA 'B 'C 'D 'A ．280B ．292C ．360D ．372【答案】C 【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的侧面积S ＝2×(10×8+10×2+8×2)+2×(6×8+8×2)＝360．【总结升华】把三视图转化为直观图是解决问题的关键．又根据三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各条棱的长度．把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的侧面积．举一反三：【变式1】某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是（）A ．285+B ．305+C ．565+D ．60125+【答案】B【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和.利用垂直关系和三角形面积公式,可得:10,10,10,5S S S S ====后右左底,因此该几何体表面积305S =+,故选B.例4．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A ．2aπB ．273a πC ．2113a πD ．25aπ【答案】B【解析】设三棱柱底面所在圆的半径为r ，球的半径为R ，易知233323r a =⨯=，所以球的半径R 满足：22223173212R a a a ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22743S R a ππ==球．【总结升华】这是一个球内接三棱柱，球心是三棱柱两底中心连线的中点，这是本题的关键之处．举一反三：【变式1】如图,在长方体1111ABCD A BC D -中,3cm AB AD ==,12cm AA=,则四棱锥11A BB D D -的体积为cm 3.【答案】6.【解析】∵长方体底面ABCD 是正方形,∴△ABD 中BD cm,BD cm(它也是11A BB D D -中11BB D D 上的高).∴四棱锥11A BB D D -的体积为123⨯⨯.类型三：直线、平面的平行与垂直例5.如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C 1=A 1C 1，AC 1⊥A 1B ，M 、N 分别是A 1B 1、AB 的中点.（1）求证：C 1M⊥平面A 1ABB 1；（2）求证：A 1B⊥AM；（3）求证：平面AMC 1∥平面NB 1C；（1）【证明】方法一由直棱柱性质可得AA 1⊥平面A 1B 1C 1，又∵C 1M ⊂平面A 1B 1C 1，∴AA 1⊥MC 1.又∵C 1A 1=C 1B 1，M 为A 1B 1中点，∴C 1M⊥A 1B 1.又A 1B 1∩A 1A=A 1，∴C 1M⊥平面AA 1B 1B.方法二由直棱柱性质得：平面AA 1B 1B⊥平面A 1B 1C 1，交线为A 1B 1，又∵C 1A 1=C 1B 1，M 为A 1B 1的中点，∴C 1M⊥A 1B 1于M.由面面垂直的性质定理可得C 1M⊥平面AA 1B 1B.（2）【证明】由（1）知C 1M⊥平面A 1ABB 1，∴C 1A 在侧面AA 1B 1B 上的射影为MA.∵AC1⊥A 1B，MC 1⊥A 1B，MC 1∩AC 1=C 1，∴A 1B⊥平面AMC 1，又AM ⊂平面AMC 1，∴A 1B⊥AM.（3）【证明】方法一由棱柱性质知四边形AA 1B 1B 是矩形，M、N 分别是A 1B 1、AB 的中点，∴AN //B 1M.∴四边形AMB 1N 是平行四边形.∴AM∥B 1N.连接MN，在矩形AA 1B 1B 中有A 1B 1//AB.∴MB 1//BN，∴四边形BB 1MN 是平行四边形.∴BB 1MN.又由BB 1//CC 1，知MN //CC 1.∴四边形MNCC 1是平行四边形.∴C 1M //CN.又C 1M∩AM=M，CN∩NB 1=N，∴平面AMC 1∥平面NB 1C.方法二由（1）知C 1M⊥平面AA 1B 1B，A 1B ⊂平面AA 1B 1B，∴C 1M⊥A 1B.又∵A 1B⊥AC 1，而AC 1∩C 1M=C 1，∴A 1B⊥平面AMC 1.同理可证，A 1B⊥平面B 1NC.∴平面AMC 1∥平面B 1NC.【总结升华】证明线面之间的垂直关系，要注意在各个阶段以某一直线为主线进行推理，以使推理过程清晰、明朗.举一反三：【变式1】如图所示，PA ^平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，30CBA Ð=°，2PA AB ==，点E 为线段PB 的中点，点M 在 AB 上，且OM ∥AC ．（Ⅰ）求证：平面MOE ∥平面PAC ；（Ⅱ）求证：平面P AC ^平面PCB ；【解析】（Ⅰ）证明：因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点，所以OE ∥PA .因为PA Ì平面PAC ，OE Ë平面PAC ，所以OE ∥平面PAC .因为OM ∥AC ，因为AC Ì平面PAC ，OM Ë平面PAC ，所以OM ∥平面P AC .因为OE Ì平面MOE ，OM Ì平面MOE ，OE OM O = ，所以平面MOE ∥平面PAC .（Ⅱ）证明：因为点C 在以AB 为直径的⊙O 上，所以90ACB Ð=°，即BC AC ⊥.因为PA ^平面ABC ，BC Ì平面ABC ，所以PA BC ⊥.因为AC Ì平面PAC ，PA Ì平面PAC ，PA AC A = ，所以BC ^平面PAC .因为BC Ì平面PBC ，所以平面PAC ^平面PCB .【总结升华】（1）当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线.把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线段线线垂直，构造二面角的平面角或得到点到面的距离相等.（2）已知面面垂直时，通过作辅助线可转化为线面垂直，从而有更多的线线垂直的条件可用，必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系，通过证线面垂直来证线线垂直是空间中两直线垂直证明的最常用方法.例6．如图所示，在五棱锥P -ABCDE ，PA ⊥平面ABCDE ，AB ∥CD ，AC ∥ED ，AE ∥BC ，∠ABC＝45°，AB ＝，BC ＝2AE ＝4，三角形PAB 是等腰三角形．(1)求证：平面PCD ⊥平面PAC ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的大小；(3)求四棱锥P -ACDE 的体积．【解析】(1)证明：因为∠ABC ＝45°，AB ＝BC ＝4，所以在△ABC 中，由余弦定理得：AC 2＝22424cos 458+-⨯=°，解得AC =．所以AB 2+AC 2＝8+8＝16＝BC 2，所以AB ⊥AC ．又PA ⊥平面ABCDE ，所以PA ⊥AB ．又PA∩AC ＝A ，所以AB ⊥平面PAC ．又AB ∥CD ，所以CD ⊥平面PAC ．又因为CDC 平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAC ．(2)由(1)知平面PCD ⊥平面PAC ，所以在平面PAC 内，过点A 作AH ⊥PC 于H ，则AH ⊥平面PCD ．又AB ∥CD ，AB ⊄平面PCD ，所以AB ∥平面PCD ，所以点A 到平面PCD 的距离等于点B 到平面PCD 的距离．过点B 作BO ⊥平面PCD 于点O ，连接PO ，则∠BPO 为所求角，且AH ＝BO ，又容易求得AH ＝2，所以sin ∠BPO ＝12，即∠BPO ＝30°，所以直线PB 与平面PCD 所成角的大小为30°．(3)由(1)知CD ⊥平面PAC ，所以CD ⊥AC ．又AC ∥ED ，所以四边形ACDE 是直角梯形．又容易求得DE ，所以四边形ACDE 的面积为132⨯+⨯=，所以四棱锥P -AC -DE 的体积为133⨯=【总结升华】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的体积，考查了同学们的空间想象能力．举一反三：【变式1】如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//DC，ΔPAD 是等边三角形，已知BD=2AD=8，（1）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（2）求四棱锥P-ABCD 的体积.【证明】（1）在ΔABD 中，因为所以222AD BD AB +=，所以AD BD ⊥.又因为面PAD ⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，BD ⊂面ABCD 所以BD⊥面PAD.又BD ⊂面BDM，所以面MBD⊥面PAD.（2）过P 作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，即PO 为四棱锥P-ABCD 的高.又ΔPAD 是边长为4的等边三角形，∴PO=在底面四边形ABCD 中，AB//DC，AB=2DC，∴四边形ABCD 为梯形.在Rt ADB ∆中，斜边AB855=，此即为梯形的高.∴S 四边形ABCD =2545852425+⨯=，∴1243P ABCD V -=⨯⨯=类型四：折叠问题例7．在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝BC ＝CD ，∠ABC ＝90°，∠BCD ＝135°，沿AC 将四边形折成直二面角B -C -D ．求证：平面ABC ⊥平面BCD ．证明：如下图，其中图(1)是平面四边形，图(2)是折后的立体图形．∵平面ABC ⊥平面ACD ，交线为AC ，又AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，∠BCD ＝135°(在图(1)中)，∴∠ACD ＝90°，CD ⊥AC ．∴CD ABC CD BCD ⊥⎫⇒⎬⎭平面平面Þ平面ABC ⊥平面BCD ．举一反三：【变式1】如图1，在边长为3的正三角形ABC 中，E ，F ，P 分别为AB ，AC ，BC 上的点，且满足1AE FC CP ===.将△AEF 沿EF 折起到△1A EF 的位置，使平面1A EF ⊥平面EFB ，连结1A B ，1A P .（如图2）（Ⅰ）若Q 为1A B 中点，求证：PQ ∥平面1A EF ；PP（Ⅱ）求证：1A E ⊥EP .图1图2【解析】证明：（Ⅰ）取1A E 中点M ，连结,QM MF ．在△1A BE 中，,Q M 分别为11,A B A E 的中点，所以QM ∥BE ，且12QM BE =．因为12CF CP FA PB ==，所以PF ∥BE ,且12PF BE =，所以QM ∥PF ，且QM PF =．所以四边形PQMF 为平行四边形．所以PQ ∥FM ．又因为FM ⊂平面1A EF ，且PQ ⊄平面1A EF ，所以PQ ∥平面1A EF ．（Ⅱ）取BE 中点D ，连结DF .因为1AE CF ==，1DE =，所以2AF AD ==，而60A ∠=，即△ADF 是正三角形.又因为1AE ED ==,所以EF AD ⊥.所以在图2中有1A E EF ⊥.因为平面1A EF ⊥平面EFB ，平面1A EF 平面EFB EF =，所以1A E⊥平面BEF.又EP 平面BEF，所以1A E⊥EP.。

⼩升初平⾯图形与⽴体图形专项复习⼩升初平⾯图形与⽴体图形专项复习1、常⽤公式长⽅形/正⽅形的周长，⾯积公式平⾏四边形，三⾓形，梯形的⾯积公式长⽅体/正⽅体的表⾯积，体积圆，半圆，圆的⼀半的周长与⾯积公式圆柱的侧⾯积，表⾯积，体积公式圆锥的体积公式2、常见考点周长：不管求什么图形的周长，永远只算围在图形最外⾯的所有线段（直线/曲线）的总长度。

长⽅体或正⽅体的表⾯积：要分清楚算⼏个⾯，例如房间，鱼缸，抽屉，通风管圆柱的侧⾯积与展开图（正⽅形或长⽅形，长与宽和⾼与直径的对应关系）的⾯积关系3、常见技巧长⽅体，正⽅体，圆柱体的体积都可以⽤底⾯积 * ⾼来解决等底等⾼时，长⽅体，正⽅体，圆柱体的体积都是相等的。

在什么情况下，圆柱体的体积与圆锥体的体积之间的倍数对应关系利⽤体积相等来解决由⼀个⽴体图形到其他⽴体图形的转变，从⽽求出相应的⾼，或半径之类4、典型考题A、单位换算长度单位相邻进率为10，⾯积单位相邻进率为100，体积单位相邻进率为 1000，升，毫升与哪些单位的对应4.07⽴⽅⽶=（）⽴⽅⽶（）⽴⽅分⽶ 9.08⽴⽅分⽶=（）升=（）亳升B、倍数关系正⽅体的棱长扩⼤2倍，表⾯积扩⼤（）倍，体积扩⼤（）倍。

圆柱体的半径扩⼤3倍，体积扩⼤（）倍。

圆的直径扩⼤3倍，周长扩⼤（）倍，⾯积扩⼤（）倍。

⼀个圆锥与⼀个圆柱的底⾯积相等，已知圆锥与圆柱的体积⽐是1：9，圆锥的⾼是4.8厘⽶，则圆柱的⾼是（）厘⽶。

⼀个圆柱体和⼀个圆锥体等底等⾼，他们的体积和是72⽴⽅分⽶，圆锥的体积是（）⽴⽅分⽶，圆柱体的体积是（）⽴⽅分⽶。

把⼀个棱长6厘⽶的正⽅体⽊料加⼯成⼀个最⼤的圆锥体，这个圆锥体的体积是（）⽴⽅厘⽶。

1C、棱长总和的计算⽤⼀根长48CM的铁丝，围成⼀个正⽅体，它的体积是（），表⾯积是（）。

⽤⼀根长96CM的铁丝，围成⼀个长⽅体，与它顶点相连的三条边之和是（）。

D、表⾯积的变形把⼀个长⽅体的长平均分成4段，每段长6厘⽶，表⾯积增加24平⽅厘⽶，求原来长⽅体的体积是多少⽴⽅厘⽶？⼀个长⽅体，前⾯和上⾯的⾯积之和是209平⽅厘⽶，这个长⽅体的长，宽，⾼都是以厘⽶为单位的质数，这个长⽅体的体积和表⾯积各是多少？⼀个正⽅体的表⾯积是96平⽅厘⽶，把它切成两个相等的长⽅体后，每个长⽅体的表⾯积是多少平⽅厘⽶？⼀个圆柱的侧⾯积是37.68平⽅分⽶，它的底⾯半径是3分⽶，它的⾼是多少分⽶？它的表⾯积是多少平⽅分⽶？把⼀段40厘⽶长的圆柱形⽊头沿其底⾯直径劈开，测得剖⾯⾯积是800平⽅厘⽶，求原来这段⽊头的表⾯积。

专题七立体图形考点扫描1.长方体正方体的意义及联系（1）长方体定义：由六个长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫作长方体。

（2）正方体定义：由六个完全相同的正方形围成的立体图形叫作正方体；它是特殊的长方体，是长、宽、高都相等的长方体。

（3）长方体与正方体特征的相同点和不同点:名称长方体正方体相同点面6个棱12条顶点8个不同点面的形状6个面都是长方形，也可能有2个相对的面是正方形6个面都是相同的正方形面的大小相对的面面积相等6个面的面积相等棱的长度每组互相平行的4条棱的长度都相等12条棱的长度都相等2.圆柱、圆锥的定义及特征（1）圆柱的定义：以长方形的一条边所在的直线为轴旋转一周所得到的几何体叫作圆柱。

（2）圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周所得到的几何体叫作圆锥。

（3）圆柱圆锥的特征：名称比较面高圆柱有三个面，两个底面是面积相等的圆，侧面沿高展开是一个长方形或正方形。

这个长方形长就是底面周长，宽就是圆柱的高圆柱两底面的垂直距离叫作圆柱的高，高垂直于上下两个底面；圆柱有无数条高圆锥有两个面，地面是圆，侧面展开是一个扇形圆锥有一个顶点，从圆锥的顶点到底面圆心的垂直距离就是圆锥的高；圆锥只有一条高3.观察物体（1）站在不同位置，看到物体的形状可能是不同的；（2）在生活实际中，常用三视图法来画立体图形；分别从正面、上面和侧面三个不同的方向看同一个物体，然后用三张图来描述所看到的图形。

4.体积和容积（1）体积：物体所占空间的大小叫作物体的体积；体积通常用V表示，常用的体积单位是立方米、立方分米、立方厘米。

（2）容积：容器所能容纳物体的体积叫作容积或容量，常用容积单位是升、毫升。

体积与容积单位之间换算为：1立方分米=1升，1立方厘米=1毫升。

5.立体图形的侧面积、表面积、体积的计算公式名称图形字母意义侧面积表面积体积长方体a-----长b-----宽h-----高S侧=2(a+b)hS=2(ab+ah+bh) V=abh正方体a-----棱长S侧=4a2S=6a2V=a3圆柱S----底面积r--底面半径h----高C---底面周长S侧=Ch=2πrh S表面积=Ch+2πr2V=πr3圆锥S---底面积r---底面半径h----高R----扇形半径n----扇形圆心角S侧=360n RπS表面积=360n Rπ+S底面积V=31πr2 h抛砖引玉【例1】判断：（1）有6个面、12条棱、8个顶点的物体就是长方形。

小升初立体图形篇1、立体图形的分类：长方体、正方体、圆柱、圆锥2、棱长公式：长方体棱长之和＝正方体棱长之和＝3、表面积公式：长方体表面积＝S=(a×b+a×c+b×c)×2正方体表面积＝S=a×a×6＝6a²圆柱表面积＝S=πr²×2+2πr 圆柱体的侧面积=S=2πRh圆柱底面积=侧面积=4、体积公式：长方体体积＝长×宽×高V＝a×b×h=Sh 正方体体积＝棱长×棱长×棱长V＝a×a×a＝a³圆柱体积＝底面积×高V＝Sh=πr²h 圆锥体积＝31×底面积×高V＝31×Sh 常见的题型：一、圆柱压路机：1.前进的路程：底面周长2.压路的面积：圆柱侧面积二、底面是正方形的长方体知识索引：画出底面是正方形的长方体的侧面展开图，写出这四个侧面的特点，写出这个长方形长、宽、高的特点。

底面是正方形的长方体，四个侧面：长方体的长=宽=正方形周长÷4三、、把一个圆柱的底面平均分成相等的若干小扇形，然后把圆柱切开，拼成一个近似的长方体（如图）特性：（1）长方体的长相当于圆柱的；（2）长方体的宽相当于圆柱的；（3）长方体的高相当于圆柱的；（4）长方体比圆柱增加了部分的表面积。

四、立体图形表面积的增加问题(1)圆柱切割后增加的面积：1刀2段：增加个面2刀3段：增加个面(2)长方体、正方体切割后增加的面积：1刀2段：增加个面2刀3段：增加个面(3)一个立体图形底面大小不变，高增加,则会跟着增加。

五、圆柱与圆锥之间的比较，可以用比的方法解决（1）底面圆：周长之比等于半径之比；面积之比等于半径的平方之比。

（2）体积之比：锥锥柱柱锥柱：：h s V V 31h s =（3）高之比：)3()S V (h 锥锥柱柱锥柱：：S V h ÷÷=（4）面积之比：)3()h V (S 锥锥柱柱锥柱：：h V S ÷÷=六、往水中放入物体，使水面上升专题解析：抓住浸没问题的关键：水面上升（下降）的体积=物体浸没部分的体积即：容器底面积×水面上升（下降）的高度=物体底面积×高情形一：往容器里放物体（淹没或半淹没），水面上升，浸末增加V V =情形二：从容器里取出物体（淹没或半淹没），水面下降，浸末减少V V =七、展开图问题例题讲解1、将一块长方形铁皮，利用图中阴影的部分，刚好制成一个油桶，求这个油桶的体积。