初一数学几道较难的几何题

初一数学几何图形练习题及答案20题1. 填空题：a. 正方形的对角线长度是________（1词）。

b. 两个互相垂直的角的和为________度（1词）。

2. 判断题（正确为T，错误为F）：a. 直角三角形的两个直角边可以相等。

（）b. 一个平行四边形的对角线相等。

（）c. 所有的矩形都是正方形。

（）d. 一个凸四边形的内角和为360度。

（）3. 简答题：a. 请解释平行四边形的定义及性质。

（至少2句）b. 解释锐角、钝角和直角分别是什么角度范围。

（至少1句）4. 计算题：在下图中，ΔABC是个等边三角形，边长为4cm。

a. 请计算三角形ABC的周长。

（2词）b. 请计算三角形ABC的面积。

（2词）5. 应用题：桌子的形状为长方形，长为120cm，宽为80cm。

在桌子的边上画出一个同样形状的长方形，使得它的宽比原来的桌子短一半，长比原来的桌子长一半。

请计算这个新长方形的面积。

（2词）答案：1. a. 简答题b. 902. a. Fb. Tc. Fd. T3. a. 平行四边形是一个有四个边的四边形，且相对的两边是平行的。

其性质包括：对角线互相平分；相邻角互补；相对角相等。

b. 锐角是指小于90度的角；钝角是指大于90度小于180度的角；直角是指等于90度的角。

4. a. 12cmb. 4√3 cm²5. 1800 cm²通过以上20道初一数学几何图形练习题及答案的训练，可以帮助学生巩固和加深对于几何图形的理解和应用能力。

请同学们认真学习，并通过解答这些问题来提高自己的数学技能。

初一上册数学的难题涉及以下几个方面：
1. 代数部分：
•解一元一次方程组，例如：求解两个未知数的线性方程组。

•简单的一次不等式的解法及其在实际问题中的应用。

示例题目：已知方程组2x + 3y = 7 和4x - y = 5，求解x 和y 的值。

2. 几何部分：
•计算平面图形的周长和面积，如矩形、三角形、平行四边形等，并可能涉及到复杂组合图形的面积计算。

•探究直角三角形的勾股定理及其应用。

示例题目：一个直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求斜边长度以及该三角形的面积。

3. 数论初步：
•最大公约数与最小公倍数的计算方法，如辗转相除法（欧几里得算法）。

•整除性判断和带余除法定理。

示例题目：求180和288的最大公约数和最小公倍数。

4. 应用题：
•时间、速度、路程问题，包括相遇问题和追及问题。

•工作效率问题，比如甲乙两人合作完成一项工作需要的时间计算。

示例题目：一辆车以每小时60公里的速度从A地出发前往B地，
若另一辆车以每小时40公里的速度同时从B地出发前往A地，两车相向而行，问经过多长时间两车相遇？
以上是一些初一上册数学中可能遇到的难题类型，具体题目难度会根据教材版本和地区教育要求有所不同。

对于学生来说，掌握好基础知识并加强逻辑思维训练是解决这类问题的关键。

绝对值的几何意义【真题精选】1．数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题：①数轴上表示2和6两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是．②数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为．数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为．③若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+4|的最小值＝．④若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣3|＝4，则满足条件的所有整数x的是．⑤若x表示一个有理数，当x为，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值为．2．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝3，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝．3．阅读材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点．如图1．|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|；当A，B 两点都不在原点时，①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|；综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．请你仿照上例，回答下列问题：①数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是；数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x为；③当﹣3＜x＜2时，|x+3|+|x+2|＝；④当代数式|x﹣2|+|x+1|取最小值时，相应的x的取值范围是；⑤|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2010|最小值是．4．式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣4|+|x﹣8|的最小值是（）A．2B．4C．6D．85．当式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣1999|取得最小值时，实数x的值是（）A．1B．999C．1000D．19996．代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2002|的最小值是．7．|x+1|+|x﹣2|+|x﹣2012|的最小值为．8．|x+1|+|x+2|+|x+3|+…+|x+2014|的最小值为．9．若x为整数，且满足|x﹣2|+|x+4|＝6，则满足条件的x的值有（）A．4个B．5个C．6个D．7个10．我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离．进一步地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离就表示为|a﹣b|；反过来，|a﹣b|也就表示A，B两点之间的距离．下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题．例，若|x+5|＝2，那么x为：①|x+5|＝2，即|x﹣（﹣5）|＝2．文字语言：数轴上什么数到﹣5的距离等于2．②图形语言：③答案：x为﹣7和﹣3．请你模仿上题的①②③，完成下列各题：（1）若|x+4|＝|x﹣2|，求x的值；①文字语言：②图形语言：③答案：（2）|x﹣3|﹣|x|＝2时，求x的值：①文字语言：②图形语言：③答案：（3）|x﹣1|+|x﹣3|＞4．求x的取值范围：①文字语言：②图形语言：③答案：（4）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值．①文字语言：②图形语言：③答案：【挑战来袭】11．如果|x﹣a|+|x|＜2没有实数解，则a的取值范围是．12．若不等式|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|≥a对一切数x都成立，则a的取值范围是．13．对于全体实数x，不等式|x﹣1|+2|x﹣9|+|x﹣2|+|x﹣10|+|x﹣11|≥m恒成立，求m的最大值．绝对值的几何意义参考答案与试题解析1．数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题：①数轴上表示2和6两点之间的距离是4，数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是5．②数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为|x+3|．数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为|x﹣6|．③若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+4|的最小值＝5．④若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣3|＝4，则满足条件的所有整数x的是﹣1或0或1或2或3．⑤若x表示一个有理数，当x为3，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值为6．【分析】①数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值；②数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值；③根据绝对值几何意义即可得出结论．④分情况讨论计算即可得出结论；⑤|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|表示数轴上某点到表示﹣2、3、4三点的距离之和，【解答】解：①数轴上表示2和6两点之间的距离是|6﹣2|＝4，数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是|1﹣（﹣4）|＝5；故答案为：4，5；②数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为|x﹣（﹣3）|＝|x+3|，数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为|x﹣6|；故答案为：|x+3|，|x﹣6|；③根据绝对值的定义有：|x﹣1|+|x+4|可表示为点x到1与﹣4两点距离之和，根据几何意义分析可知：当x在﹣4与1之间时，|x﹣1|+|x+4|有最小值5，故答案为：5；④当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣3|＝﹣x﹣1+3﹣x＝﹣2x+2＝4，解得：x＝﹣1，此时不符合x＜﹣1，舍去；当﹣1≤x≤3时，|x+1|+|x﹣3|＝x+1+3﹣x＝4，此时x＝﹣1或x＝0，x＝1，x＝2，x＝3；当x＞3时，|x+1|+|x﹣3|＝x+1+x﹣3＝2x﹣2＝4，解得：x＝3，此时不符合x＞3，舍去；故答案为：﹣1或0或1或2或3；⑤：∵可看作是数轴上表示x的点到﹣2、3、4三点的距离之和，∴当x＝3时，|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值．∴|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|的最小值＝|3+2|+|3﹣3|+|3﹣4|＝6．故答案为3，6．【点评】此题是绝对值题目，主要考查的是绝对值的应用，明确|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|的几何意义是解题的关键．2．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是3；表示﹣3和2两点之间的距离是5；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝3，那么x＝2或﹣4；（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是8，最小距离是2．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝6．【分析】（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；（2）根据绝对值可得：x+1＝±3，即可解答；（3）根据绝对值分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答；（4）根据|a+4|+|a﹣2|表示数a的点到﹣4与2两点的距离的和即可求解．【解答】解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是：4﹣1＝3；表示﹣3和2两点之间的距离是：2﹣（﹣3）＝5，故答案为：3，5；（2）|x+1|＝3，x+1＝3或x+1＝﹣3，x＝2或x＝﹣4．故答案为：2或﹣4；（3）∵|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，∴a＝5或1，b＝﹣1或b＝﹣3，当a＝5，b＝﹣3时，则A、B两点间的最大距离是8，当a＝1，b＝﹣1时，则A、B两点间的最小距离是2，则A、B两点间的最大距离是8，最小距离是2；故答案为：8，2；（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+（2﹣a）＝6．故答案为：6．【点评】此题考查数轴上两点之间的距离的算法：数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，应牢记且会灵活应用．3．阅读材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点．如图1．|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|；当A，B 两点都不在原点时，①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|；综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．请你仿照上例，回答下列问题：①数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是3；数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是4；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x+1|，如果|AB|＝2，那么x为1或﹣3；③当﹣3＜x＜2时，|x+3|+|x+2|＝1或2x+5；④当代数式|x﹣2|+|x+1|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣1≤x≤2；⑤|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2010|最小值是1010025．【分析】①根据（1）中的知识可以得到两点之间的距离就是较大的数与较小的数的差，据此即可求解；②根据（1），即可直接写出结果；③利用﹣3＜x＜﹣2时，当﹣2≤x＜2时，分别求出即可；④代数式|x﹣1|+|x+2|表示数轴上一点到1、﹣2两点的距离的和，根据两点之间线段最短，进而得出答案；⑤利用y＝|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2010|是数轴上点x与1、2、3、…2010的距离和，进而得出当1005≤x≤1006 时，y最小求出即可．【解答】解：①数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是﹣2﹣（﹣5）＝3，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是1﹣（﹣3）＝4；故答案为：3；②数轴上表示x和﹣1的两点之间的距离是|x+1|，|AB|＝2，则|x+1|＝2，故x＝1或﹣3；故答案为：|x+1|，1或﹣3；③当﹣3＜x＜﹣2时，|x+3|+|x+2|＝x+3﹣x﹣2＝1，当﹣2≤x＜2时，|x+3|+|x+2|＝x+3+x+2＝2x+5，故答案为：1或2x+5；④若|x+1|+|x﹣2|取最小值，那么表示x的点M在﹣1和2之间的线段上，所以﹣1≤x≤2；故答案为：﹣1≤x≤2；⑤由题意可得：y＝|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2010|是数轴上点x与1、2、3、…2010的距离和．所以，当1005≤x≤1006 时，y最小＝（2010﹣1）+（2009﹣2）+（2008﹣3）+…+（1006﹣1005）＝2009+2007+2005+…+3+1＝10052＝1010025．故答案为：1010025．【点评】此题主要考查了绝对值、数轴等知识，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．4．式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣4|+|x﹣8|的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【分析】分x≤2、2＜x≤4、4＜x≤8以及x＞8四种情况考虑，消去绝对值符号，根据一次函数的性质找出每段|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣4|+|x﹣8|的取值范围，由此即可得出结论．【解答】解：当x≤2时，原式＝（2﹣x）+（4﹣x）+（4﹣x）+（8﹣x）＝18﹣4x，∵﹣4＜0，∴此时|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣4|+|x﹣8|≥10；当2＜x≤4时，原式＝（x﹣2）+（4﹣x）+（4﹣x）+（8﹣x）＝14﹣2x，∵﹣2＜0，∴此时6≤|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣4|+|x﹣8|＜10；当4＜x≤8时，原式＝（x﹣2）+（x﹣4）+（x﹣4）+（8﹣x）＝2x﹣2，∵2＞0，∴此时6＜|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣4|+|x﹣8|≤14；当x＞8时，原式＝（x﹣2）+（x﹣4）+（x﹣4）+（x﹣8）＝4x﹣18，∵4＞0，∴此时|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣4|+|x﹣8|＞14．综上可知：|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣4|+|x﹣8|的最小值为6．故选：C．【点评】本题考查了绝对值，解题的关键是根据（x﹣2）（x﹣4）（x﹣8）＝0确定将x分四段来考虑．5．当式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣1999|取得最小值时，实数x的值是（）A．1B．999C．1000D．1999【分析】观察已知条件可以发现，|x﹣a|表示x到a的距离．要使题中式子取得最小值，则应该找出与最小数和最大数距离相等的x的值，此时式子得出的值则为最小值．【解答】解：由已知条件可知，|x﹣a|表示x到a的距离，只有当x到1的距离等于x到1999的距离时，式子取得最小值．所以当x＝＝1000时，式子取得最小值．故选：C．【点评】本题考查了绝对值，做此题需要一定的技巧，要结合绝对值的定义来考虑．另外还要知道，当x与最小数和最大数距离相等时，式子才能取得最小值．6．代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2002|的最小值是1002001．【分析】可以用数形结合来解题：x为数轴上的一点，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣2002|表示：点x到数轴上的2002个点（1、2、3、…、2002）的距离之和，进而分析得出最小值．【解答】解：在数轴上，要使点x到两定点的距离和最小，则x在两点之间，最小值为两定点为端点的线段长度（否则距离和大于该线段）；所以：当1≤x≤2002时，|x﹣1|+|x﹣2002|有最小值2001；当2≤x≤2002时，|x﹣2|+|x﹣2002|有最小值2000；…当x＝1001时，|x﹣1001|有最小值0．综上，当1001＜x＜1002时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣2002|能够取到最小值，最小值为：x﹣1+x﹣2+x﹣3+…+2001﹣x+2002﹣x＝﹣1﹣2﹣3﹣…﹣1001+1002+1003+…+2002＝1001×1001＝1002001．故答案为：1002001．【点评】此题主要考查了绝对值的性质以及利用数形结合求最值问题，利用已知得出1001＜x＜1002时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣2002|能够取到最小值是解题关键．7．|x+1|+|x﹣2|+|x﹣2012|的最小值为2013．【分析】根据x的取值范围结合绝对值的意义分情况进行计算．【解答】方法一：解：当x≤﹣1时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣2012|＝﹣x﹣1﹣x+2﹣x+2012＝﹣3x+2013，则﹣3x+2013≥2016；当﹣1＜x≤2时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣2012|＝x+1﹣x+2﹣x+2012＝﹣x+2015，则2013≤﹣x+2015＜2014；当2＜x≤2012时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣2012|＝x+1+x﹣2﹣x+2013＝x+2012，则2014＜x+2012≤4024；当x＞2012时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣2012|＝x+1+x﹣2+x﹣2012＝3x﹣2013，则3x﹣2013＞4023．综上所述|x+1|+|x﹣2|+|x﹣2012|的最小值为2013．方法二：x为数轴上任意一点，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣2012|表示数轴上表示x的点到表示数﹣1，2，2012三点的距离和，当x＝2是，距离和最小，为3+2010＝2013．故答案为：2013．【点评】本题重点考查了绝对值的知识，化简绝对值是数学的重点也是难点，先明确x的取值范围，才能求得|x+1|+|x﹣2|+|x﹣2012|的最小值．8．|x+1|+|x+2|+|x+3|+…+|x+2014|的最小值为1014049．【分析】研究|x+1|+|x+2|+|x+3|+…+|x+2014|的最小值，利用当绝对值的个数为奇数时，取得最小值x是其中间项，而当绝对值的个数为偶数时，则x取中间两项结果一样．从而得出对于|x+1|+|x+2|+|x+3|+…+|x+2014|，当x＝﹣1007或﹣1008时取得最小值．【解答】解：由绝对值的几何意义可知，当绝对值的个数为奇数时，取得最小值x是其中间项，而当绝对值的个数为偶数时，则x取中间两项结果一样．因此，对于函数|x+1|+|x+2|+|x+3|+…+|x+2014|，当x＝﹣1007或﹣1008时，取得最小值为：1006+1005+…+0+1+2+1007＝1006×（1+1006）+1007＝1014049．故答案为：1014049．【点评】本小题主要考查带绝对值的函数、函数的最值等基础知识，考查运算求解能力，归纳能力．属于基础题．9．若x为整数，且满足|x﹣2|+|x+4|＝6，则满足条件的x的值有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【分析】依据|x﹣2|+|x+4|＝6，分类讨论即可得到所有整数x即可．【解答】解：①当x＜﹣4时，|x﹣2|+|x+4|＞6（不合题意）；②当﹣4≤x≤2时，|x﹣2|+|x+4|＝6，符合题意的所有整数x的值为﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，③当x＞2时，|x﹣2|+|x+4|＞6（不合题意）；综上所述，满足|x﹣2|+|x+4|＝6的所有整数x的个数是7．故选：D．【点评】此题考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．10．我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离．进一步地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离就表示为|a﹣b|；反过来，|a﹣b|也就表示A，B两点之间的距离．下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题．例，若|x+5|＝2，那么x为：①|x+5|＝2，即|x﹣（﹣5）|＝2．文字语言：数轴上什么数到﹣5的距离等于2．②图形语言：③答案：x为﹣7和﹣3．请你模仿上题的①②③，完成下列各题：（1）若|x+4|＝|x﹣2|，求x的值；①文字语言：②图形语言：③答案：（2）|x﹣3|﹣|x|＝2时，求x的值：①文字语言：②图形语言：③答案：（3）|x﹣1|+|x﹣3|＞4．求x的取值范围：①文字语言：②图形语言：③答案：（4）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值．①文字语言：②图形语言：③答案：【分析】运用数形结合思想：图一图二图三图四【解答】解：（1）文字语言：数轴上什么数到﹣4的距离等于到2的距离．图形语言：答案：x＝﹣1．（2）文字语言：数轴上什么数到3的距离比到原点（0）的距离大2．图形语言：答案：x＝．（3）文字语言：数轴上什么数到1的距离和它到3的距离大于4．图形语言：答案：x＞4，x＜0．（4）文字语言：数轴上什么数到1，2，3，4，5距离之和最小值．图形语言：答案：6．【点评】本题主要考查了绝对值的性质以及利用数形结合求解问题．11．如果|x﹣a|+|x|＜2没有实数解，则a的取值范围是a≥2或a≤﹣2．【分析】先将绝对值不等式转化成y1＝和y2＝，要使|x﹣a|+|x|＜2没有实数解，则有y2＞y1没有实数解，借助图象，即可得出结论．【解答】解：∵|x﹣a|+|x|＜2，∴|x﹣a|＜2﹣|x|，设y1＝|x﹣a|，y2＝2﹣|x|，∴y1＝，y2＝，如图，函数y2＝的图象是定的，当y＝0时，x＝2或x＝﹣2，∴A（2，0），B（﹣2，0），∵|x﹣a|+|x|＜2没有实数解，∴y2＞y1没有实数解，即函数y1的图象不在函数y2的图象的上方，∴a≥2或a≤﹣2，故答案为：a≥2或a≤﹣2．【点评】此题主要考查了绝对值不等式，绝对值函数图象的画法，利用数形结合是解本题的关键．12．若不等式|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|≥a对一切数x都成立，则a的取值范围是a≤5．【分析】先判断出|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|表示x到﹣3，1，2这三个点的距离之和，而x＝1时，距离之和最小，即可得出结论．【解答】解：如图，由数轴知，|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|表示x到﹣3，1，2这三个点的距离之和．当x＝1时，距离之和最小，此时|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|＝1+4＝5，即不等式|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|≥5对一切数x都成立，∴a≤5，故答案为：a≤5．【点评】本题考查绝对值，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．13．对于全体实数x，不等式|x﹣1|+2|x﹣9|+|x﹣2|+|x﹣10|+|x﹣11|≥m恒成立，求m的最大值．【分析】先找出零点，再判断出x＝9时，|x﹣1|+|x﹣9|+|x﹣9|+|x﹣2|+|x﹣10|+|x﹣11|取最小值，即可得出结论．【解答】解：按顺序排列零点：1，2，9，9，10，11，共六个，∴当x＝9时，|x﹣1|+|x﹣9|+|x﹣9|+|x﹣2|+|x﹣10|+|x﹣11|取最小值，最小值为8+0+0+7+1+2＝18，故m的最大值为18．【点评】此题主要考查了绝对值不等式，解决此题问题的关键是找到零点，对于含绝对值的问题一般可采用零点分段法，若有偶数个零点，则最小值在中间两点之间（含端点）取到；若有奇数个零点，则最小值在中间点取到．。

（七下）--几何压轴题1．（1）如图1，AC平分∠DAB，∠1＝∠2，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；（2）如图2，AB∥CD，AB的下方两点E，F满足：BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠DFB＝20°，∠CDE＝70°，求∠ABE的度数（3）在前面的条件下，若P是BE上一点；G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列结论：①∠DGP﹣∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值．2．已知：如左图，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如右图，在左图的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在左图中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）在右图中，若∠D＝50°，∠B＝40°，试求∠P的度数；（写出解答过程）（3）如果右图中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间数量关系．（直接写出结论）3．已知：如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别相交于C、D两点，直线d与直线a、b分别相交于A、B两点，点P在直线AB上运动（不与A、B两点重合）．（1）如图1，当点P在线段AB上运动时，总有：∠CPD＝∠PCA+∠PDB，请说明理由；（2）如图2，当点P在线段AB的延长线上运动时，∠CPD、∠PCA、∠PDB之间有怎样的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上运动时，∠CPD、∠PCA、∠PDB之间又有怎样的数量关系（只需直接给出结论）？（七下）--几何压轴题解析1.【解答】（1）答：AB∥CD．证明：∵AC平分∠DAB，∴∠1＝∠CAB，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠CAB，∴AB∥CD；（2）解：如图2，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴＝35°，∠ABE＝2∠ABF，∵CD∥AB，∴∠2＝∠CDF＝35°，∵∠2＝∠DFB+∠ABF，∠DFB＝20°，∴∠ABF＝15°，∴∠ABE＝2∠ABF＝30°；（3）解：如图3，根据三角形的外角性质，∠1＝∠BPG+∠B，∵PQ平分∠BPG，GM平分∠DGP，∴∠GPQ＝∠BPG，∠MGP＝∠DGP，∵AB∥CD，∴∠1＝∠DGP，∴∠MGP＝（∠BPG+∠B），∵PQ∥GN，∴∠NGP＝∠GPQ＝∠BPG，∴∠MGN＝∠MGP﹣∠NGP＝（∠BPG+∠B）﹣∠BPG＝∠B，根据前面的条件，∠B＝30°，∴∠MGN＝×30°＝15°，∴①∠DGP﹣∠MGN的值随∠DGP的变化而变化；②∠MGN的度数为15°不变．2．【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠B+∠C+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠B+∠C，故答案为∠A+∠D＝∠B+∠C．（2）由（1）得，∠1+∠D＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠B，∴∠1﹣∠3＝∠P﹣∠D，∠2﹣∠4＝∠B﹣∠P，又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠P﹣∠D＝∠B﹣∠P，即2∠P＝∠B+∠D，∴∠P＝（50°+40°）÷2＝45°．（3）由（2）可知：2∠P＝∠B+∠D．3．【解答】解：（1）证明：如图1，过点P作PE∥a，则∠1＝∠CPE．∵a∥b，PE∥a，∴PE∥b，∴∠2＝∠DPE，∴∠3＝∠1+∠2，即∠CPD＝∠PCA+∠PDB；（2）∠CPD＝∠PCA﹣∠PDB．理由：如图2，过点P作PE∥b，则∠2＝∠EPD，∵直线a∥b，∴a∥PE，∴∠1＝∠EPC，∵∠3＝∠EPC﹣∠EPD，∴∠3＝∠1﹣∠2，即∠CPD＝∠PCA﹣∠PDB；（3）∠CPD＝∠PDB﹣∠PCA．证明：如图3，设直线AC与DP交于点F，∵∠PF A是△PCF的外角，∴∠PF A＝∠1+∠3，∵a∥b，∴∠2＝∠PF A，∴∠2＝∠1+∠3，∴∠3＝∠2﹣∠1，即∠CPD＝∠PDB﹣∠PCA．。

史上最难的最复杂的几何数学题
这道数学题是由数学界著名学者们共同设计出来的，被誉为史上最难、最复杂的几何数学题。

题目描述：
给定一个正方形 ABCD 和一个起点 P，P 可以在正方形内部或外部，但不能在正方形上。

从 P 出发，沿着直线走到另一个点 Q，使得 PQ 与正方形任意一条边相交于不同的点，并且 PQ 的长度是正方形的边长的正整数倍。

假设 PQ 的长度最小是多少？
这道题需要运用到几何学、数学分析等多种高深的数学知识，包括但不限于向量、角度、三角函数、二次方程等等。

许多数学家和研究者们都尝试过解决这道题目，但至今仍未有人成功破解。

这也成为了许多数学爱好者们追求的目标，希望有一天能够解开这个谜题。

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初⼀数学⼏何⼤题⼀、填空题：1. 在直⾓三⾓形中，已知⼀直⾓边为8 cm，另⼀直⾓边为6 cm，则斜边的⻓度是______ cm。

2. 在平⾏四边形中，对⾓线分别为10 cm和16 cm，这个平⾏四边形的⾯积是______ 平⽅厘⽶。

3. ⼀条直线穿过两个平⾏线，若与⼀个平⾏线的交点⾓为75°，则它与另⼀个平⾏线的交点⾓为______ 度。

⼆、选择题：1. 在梯形ABCD中，AB ∥ CD，AB = 6 cm，CD = 10 cm，AD = BC = 8 cm，则梯形的⾯积是下列哪个选项？A) 32 平⽅厘⽶B) 48 平⽅厘⽶C) 64 平⽅厘⽶D) 80 平⽅厘⽶2. 已知三⾓形的三个内⾓分别为30°、60°和90°，则这个三⾓形是下列哪个选项？A) 等边三⾓形B) 直⾓三⾓形C) 等腰三⾓形D) 钝⾓三⾓形三、解答题：1. 如图所⽰，在⻓⽅形ABCD中，对⾓线AC交BD于点E。

若AB = 12 cm，BC = 9 cm，求出三⾓形AEC的⾯积。

（题图：⻓⽅形ABCD，AC交BD于点E，AB = 12 cm，BC = 9 cm）2. 已知正⽅形的外边⻓为10 cm，⼀条边上有⼀个点P，连接点P与正⽅形的两个不相邻顶点，形成三⾓形。

求出三⾓形的周⻓。

四、综合应⽤题：1. ⼩明想要建造⼀个形状为梯形的花坛，已知上底⻓为6 m，下底⻓为10 m，⾼为4m。

若梯形花坛四周都铺上⽯⼦，每平⽅⽶需要5 kg的⽯⼦，⼩明需要准备多少公⽄的⽯⼦？2. 某校操场是⼀个⻓为80 m，宽为60 m的矩形，现在在操场的四个⾓上各建了⼀个相同的圆形花坛，且使得每个圆形花坛都刚好与其他两个圆形花坛的边界相切。

求这四个圆形花坛的直径⻓度。

根据任务要求，以上为初⼀数学⼏何⼤题的⽂档内容，排版整洁美观，符合语句通顺、⽆影响阅读体验的要求。

截长补短练习1直角三角形ABC 中，∠∠A2在△ABC 中, AB+BD=CD ， AD 是高。

求证∠B=2 ∠C3如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，求证：EO=OD4如图，在△ABC 中，EO=OD ，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，且AB 不等于BC 求 ∠ABC ，求证AE+CD=AC5：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，E 在BC 上且CT=BE. 求证：DE//ABDABCMTE6如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，CE=DE，CE=DE。

连结EC、ED，求证：AE=BD7三角形ABC中，I为形内一点，AI平分∠BAC，满意ID⊥AB于D,IE⊥AC于E，连BI,IC∠BIC=90+12∠BAC求证：BD+CE=BC8等边三角形ABC中，P在三角形外假设BP+CP=AP那么∠BPC=120°9三角形ABC中，I为形外一点，AI平分∠BAC，满意ID⊥AB于D,IE⊥AC于E，连BI,IC∠BIC=90—12∠BAC求证：BD+CE=BC面积法及传统几何1如图2-82所示．在△ABC 中，AD 是∠BAC 的外角∠CAE 的平分线．求证：AB ∶AC=BD ∶DC ．2在三角形ABC 中，D 在线段BC 上满意AB ∶AC=BD ∶DC 。

.求证：AD 平分∠BAC3 O 为正三角形ABC 内随意一点，过O 向AB,BC,CA 作垂线段OD,OE,OF 求证0D+0E+0F 的值是定值4平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 及CF 相交于P ，且 ∠DPA ＝∠DPC ．求证：AE ＝CF ．F PDE C B A5在△ABC 中，DF=EF 。

在AB 边上取点D ，在AC 延长线上了取点E ，使CE=BD ， 连接DE 交BC 于点F ，求证：AB=AC ，6：如图6所示在∆ABC 中，∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于O 。

初一数学几何图形试题1.如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种平面展开图，那么在原正方体中和“国”字相对的面是（）A．中B．钓C．鱼D．岛【答案】C【解析】易得“中”相对的面是“的”，“钓”相对的面是“岛”，从而可得“国”相对的面是“鱼”选C．2.把右图中的三棱柱展开，所得到的展开图是（）【答案】B【解析】上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧的只有B，故选B．3.如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色．下列图形中，是该几何体的表面展开图的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】选项A和C带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；选项B能折叠成原几何体的形式；选项D折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同．故选B．4.如图，圆柱体的表面展开后得到的平面图形是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】圆柱体的侧面展开后得到的平面图形是矩形，上下两底是两个圆，故选B．5.小丽制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒（如图所示），则这个正方体礼品盒的平面展开图可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】本题考查了正方体的展开与折叠．可以动手折叠看看，充分发挥空间想象能力解决也可以.故选A.6.下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方体包装盒的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】A、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；B、剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意；C、剪去阴影部分后，能组成长方体，故此选项正确；D、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；故选C．7.一个矩形绕着它的一边旋转一周，所得到的立体图形是__________．【答案】圆柱【解析】以矩形的一边所在直线为旋转轴，形成的旋转体叫做圆柱体．8.直角三角形的两直角边长分别为4cm，3cm，以其中一条直角边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体的底面积是_______．【答案】9πcm2或16πcm2【解析】由题意知，以其中一条直角边所在直线为轴旋转一周所得几何体为圆锥，底面是圆，底面的半径为3或4cm，所以，底面面积为9πcm2或16πcm2．9.如图，观察图形，填空：包围着体的是________；面与面相交的地方形成________；线与线相交的地方是________．【答案】面；线；点【解析】根据图形可得：包围着体的是面；面与面相交的地方形成线；线与线相交的地方是点．10.如图所示的四幅平面图中，是三棱柱的表面展开图的有________．（只填序号）【答案】②③【解析】三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个矩形，故答案为②③．。

初一最难数学题竞赛题
初一的数学竞赛题通常会涉及到代数、几何、数论和组合数学等方面的知识。

以下是一些可能会被认为是初一最难的数学题竞赛题：
1.代数问题：
例如，分解因式：(x^2+3x+2)(x^2+7x+12)+x^2+4x-5。

2.几何问题：
例如，给定一个三角形ABC，P是三角形内部任意一点，求三
角形ABC与P之间的面积比。

3.数论问题：
例如，求出所有三位数的数字之和等于36的三位数。

4.组合数学问题：
例如，将10个苹果分给3个人，每个人至少得到2个苹果，问有多少种分法。

这些题目都需要一定的数学技巧和思维能力来解决。

如果您想要更具体的题目，可以查阅一些数学竞赛的资料或者咨询数学老师。

1、证明线段相等或角相等
两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。

很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。

证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

说明：利用三角形全等证明线段求角相等。

常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：
（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量；（2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。

说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。

我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。

说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。

证明二：如图5所示，延长ED到M，使DM＝ED，连结FE，FM，BM
说明：证明两直线垂直的方法如下：
（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。

（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。

（3）证明二直线的夹角等于90°。

2. 分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手
法。

“截长”即将长的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。

七年级下册数学几何解析题以及练习题（附答案）宇文皓月9．(2011·扬州)如图，C 岛在A 岛的北偏东60°方向，在B 岛的北偏西45°方向，则从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB ＝________.答案 105°解析 如图，∵(60°＋∠CAB )＋(45°＋∠ABC )＝180°，∴∠CAB ＋∠ABC ＝75°，在△ABC 中，得∠C ＝105°.12．如图所示，在△ABC 中，∠A ＝80°，∠B ＝30°，CD 平分∠ACB ，DE ∥AC .(1)求∠DEB 的度数；(2)求∠EDC 的度数．解 (1)在△ABC 中，∠A ＝80°，∠B ＝30°，∴∠ACB ＝180°－∠A －∠B ＝70°.∵DE ∥AC ，∴∠DEB ＝∠ACB ＝70°.(2)∵CD 平分∠ACB ，∴∠DCE ＝12∠ACB ＝35°. ∵∠DEB ＝∠DCE ＋∠EDC ，∴∠EDC ＝70°－35°＝35°.13．已知，如图，∠1＝∠2，CF ⊥AB 于F ，DE ⊥AB 于E ，求证：FG ∥BC .(请将证明弥补完整)证明 ∵CF ⊥AB ，DE ⊥AB (已知)，∴ED∥FC( )．∴∠1＝∠BCF( )．又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠2＝∠BCF(等量代换)，∴FG∥BC( )．解在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．14．如图，已知三角形ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.分析：通过画平行线，将∠A、∠B、∠C作等角代换，使各角之和恰为一平角，依辅助线分歧而得多种证法，如下：证法1：如图甲，延长BC到D，过C画CE∥BA.∵BA∥CE(作图所知)，∴∠B＝∠1，∠A＝∠2(两直线平行，同位角、内错角相等)．又∵∠BCD＝∠BCA＋∠2＋∠1＝180°(平角的定义)，∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(等量代换)．如图乙，过BC上任一点F，画FH∥AC，FG∥AB，这种添加辅助线的方法能证明∠A＋∠B＋∠C＝180°吗？请你试一试．解∵FH∥AC，∴∠BHF＝∠A，∠1＝∠C.∵FG∥AB，∴∠BHF＝∠2，∠3＝∠B，∴∠2＝∠A.∵∠BFC＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°，即∠A＋∠B＋∠C＝180°.15．(2010·玉溪)平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．(1)如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD.又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD＋∠D，得∠BPD＝∠B－∠D.将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；(2)在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？(不需证明)(3)根据(2)的结论求图d中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．解(1)不成立，结论是∠BPD＝∠B＋∠D.延长BP交CD于点E，∵AB∥CD，∴∠B＝∠BED.又∠BPD＝∠BED＋∠D，∴∠BPD＝∠B＋∠D.(2)结论：∠BPD＝∠BQD＋∠B＋∠D.(3)设AC与BF交于点G.由(2)的结论得：∠AGB＝∠A＋∠B＋∠E.又∵∠AGB ＝∠CGF ，∠CGF ＋∠C ＋∠D ＋∠F ＝360°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝360°. 14．把一副经常使用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠ADE 是度． 2．如图，在△ABC 和△ABD 中，现给出如下三个论断：①AD ＝BC ；②∠C ＝∠D ；③∠1＝∠2。

初一数学几何初步题目大全
以下是一些初一数学几何初步题目的示例：
1. 题目：已知∠AOB = 45°，点P在∠AOB内部，P₁与P关于OB对称，P₂与P关于OA对称，则P₁，O，P₂三点构成的三角形是( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
答案：D
2. 题目：下列说法中正确的是( )
A.射线AB与射线BA是同一条射线
B.两条射线组成的图形叫做角
C.各边都相等的多边形是正多边形
D.连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离
答案：D
3. 题目：下列说法中正确的是( )
A.连接两点之间的线段叫做两点之间的距离
B.两点之间，直线最短
C.若$AB > AC$，则$BC < AB$
D.若$A$、$B$、$C$为直线上的三点，且$AB = BC$，则$B$为线段$AC$的中点
答案：D
4. 题目：已知∠α = 36°32′，则∠α的余角等于 _______．
答案：53°28′
5. 题目：下列说法中正确的是( )
A.若AP = BP，则点P是线段AB的中点
B.连接两点间的线段叫做这两点间的距离
C.同位角相等
D.两点之间，线段最短
答案：D。

初一必考的十道复杂简便计算摘要：一、简便计算的重要性二、初一必考的十道复杂简便计算题目1.有理数的加减混合运算2.合并同类项3.完全平方公式4.平方根与立方根的计算5.因式分解6.分式的简化与计算7.比的性质与计算8.解一元一次方程9.几何图形的面积与周长计算10.代数式的化简与计算三、简便计算的技巧和方法1.观察数据特点，选择合适的方法2.熟练掌握基本运算法则3.运用代数恒等式简化计算4.合理利用换元法5.细心审题，注意运算顺序和符号四、简便计算在实际生活中的应用五、如何提高简便计算能力1.多做练习，积累经验2.分析错题，查漏补缺3.培养数学思维能力4.养成良好的学习习惯正文：简便计算在数学学习中占据着重要地位，尤其在初一阶段，掌握简便计算技巧和方法对于提高数学成绩具有重要意义。

本文将为您介绍初一必考的十道复杂简便计算题目，并提供一些实用的技巧和方法。

首先，我们来看一下这十道题目：1.有理数的加减混合运算：掌握有理数加减法的运算律和结合律，灵活运用。

2.合并同类项：注意找出同类项，系数相加减，字母部分不变。

3.完全平方公式：熟练掌握完全平方公式，注意判断数据特点，选择合适的方法。

4.平方根与立方根的计算：掌握平方根和立方根的定义，熟练运用计算公式。

5.因式分解：通过提公因式、运用公式法、十字相乘法等方法进行因式分解。

6.分式的简化与计算：熟练掌握分式的性质和运算法则，注意约分和通分。

7.比的性质与计算：理解比的基本性质，熟练进行比的前后项计算。

8.解一元一次方程：运用代入法、加减消元法等解一元一次方程。

9.几何图形的面积与周长计算：熟练掌握各种几何图形的面积和周长计算公式。

10.代数式的化简与计算：注意代数式中的运算顺序和符号，灵活运用代数恒等式。

在进行简便计算时，我们需要注意以下几点技巧和方法：1.观察数据特点，选择合适的方法：根据题目数据特点，灵活选用合适的计算方法。

2.熟练掌握基本运算法则：熟练掌握加减乘除、乘方、开方等基本运算法则。

1．如图1，在△ABC中，∠B=90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E．（1）∠E=°；（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F．①依题意在图1中补全图形；②求∠AFC的度数；（3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM=∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN=∠AHC，射线HN与FM交于点P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，请直接写出m，n的值．2．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM 上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F，则∠EAF=°；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．3．已知，在△ABC中，∠A=∠C，点F和E分别为射线CA和射线BC上一点，连接BF和FE，且∠BFE=∠FEB．（1）如图1，当点F在线段AC上时，若∠FBE=2∠ABF，则∠EFC与∠FBE的数量关系为．（2）如图2，当点F在CA延长线上时，探究∠EFC与∠FBA的数量关系，并说明理由．（3）如图3在（2）的条件下，过C作CH⊥AB于点H，CN平分∠BCH，CN交AB于N，由N作NM⊥NC交CF于M，若∠BFE=5∠FBA，MN∥FB时，求∠ABC 的度数．4．（Ⅰ）（1）问题引入如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A=α，则∠BOC=（用α表示）；（2）拓展研究如图②，∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=α，试求∠BOC的度数（用α表示）（3）归纳猜想若BO、CO分别是△ABC的∠ABC、∠ACB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=α，则∠BOC=（用α表示）．（Ⅱ）类比探索（1）特例思考如图③，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，求∠BOC的度数（用α表示）．（2）一般猜想若BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，请猜想∠BOC=（用α表示）．5．（1）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内部点A′的位置．试写出∠A与∠1+∠2之间的关系，并说明理由；（2）如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED外部点A′的位置，如图②所示．此时∠A与∠1、∠2之间存在什么样的关系？直接写出．（3）如果把四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在四边形BCFE内部点A′、D′的位置，如图③所示．直接写出∠A′、∠D′、∠1与∠2之间的关系．6．已知BM、CN分别是△A1BC的两个外角的角平分线，BA2、CA2分别是∠A1BC 和∠A1CB的角平分线，如图①；BA3、CA3分别是∠A1BC和∠A1CB的三等分线（即∠A3BC=∠A1BC，∠A3CB=∠A1CB），如图②；依此画图，BA n、CA n分别是∠A1BC和∠A1CB的n等分线（即∠A n BC=∠A1BC，∠A n CB=∠A1CB），n≥2，且n为整数．（1）若∠A1=70°，求∠A2的度数；（2）设∠A1=α，请用α和n的代数式表示∠A n的大小，并写出表示的过程；（3）当n≥3时，请直接写出∠MBA n+∠NCA n与∠A n的数量关系．7．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC，且∠ABC＞∠C．求证：∠DAE=（∠ABC﹣∠C）．8．如图，在△ABC中，AD，BD分别平分∠CAB和∠CBA，相交于点D．（1）如图1，过点D作DE∥AC，DF∥BC分别交AB于点E、F．①若∠EDF=80°，则∠C=；②若∠EDF=x°，证明：∠ADB=（90+）°．（2）如图2，若DE，BE分别平分∠ADB和∠ABD，且EF，BF分别平分∠BED和∠EBD，若∠BFE的度数是整数，求∠BFE至少是多少度？9．已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC=α．（1）当α=40°时，∠BPC=°，∠BQC=°；（2）当α＝°时，BM∥CN；（3）如图②，当α=120°时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数；（4）在α＞60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：．10．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2=°；（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？（3）若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．11．（1）如图①，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB∥CD，∠ADC=40°，∠ABC=30°，求∠AEC的大小；（2）如图②，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=m°，∠ABC=n°，求∠AEC的大小；（3）如图③，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，则∠AEC与∠ADC、∠ABC之间是否仍存在某种等量关系？若存在，请写出你得结论，并给出证明；若不存在，请说明理由．12．（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别为x轴正半轴和y轴正半轴上的两个定点，点C为x轴上的一个动点（与点O，A不重合），分别作∠OBC和∠ACB的角平分线，两角平分线所在直线交于点E，直接问答∠BEC的度数及点C所在的相应位置．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，△FGH的一个顶点F在y轴的负半轴上，射线FO平分∠GFH，过点H的直线MN交x轴于点M，满足∠MHF=∠GHN，过点H作HP⊥MN交x轴于点P，请探究∠MPH与∠G的数量关系，并写出简要证明思路．13．在△ABC中，点D为△ABC的三条内角平分线的交点，BE⊥AD于点E，（1）当∠BAC=80°，∠ACB=60°时，∠BDC=．∠DBE=．（2）当∠BAC=α，∠ACB=β时，用含有α的代数式表示∠BDC的度数，用含有β的代数式表示∠DBE的度数．（3）如图2，若AD平分∠BAC，CD和BD分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BE⊥AD于点E，（2）中的两个结论是否发生变化？14．如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=40°，∠C=60°（1）求∠DAE的度数；（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其他条件不变，求∠DFE的度数；（3）如图③，若把“AE⊥BC”变成“AE平分∠BEC”，其他条件不变，∠DAE的大小是否变化，并请说明理由．15．如图，AF平分∠BAC，DF平分∠BDC，求证：∠AFD=（∠H+∠BGC）．16．如图，已知CD是△ABC的角平分线，E是BC上的点，∠B=60°，∠ACE=∠CAE=20°．求∠CDE的度数．17．如图，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，CE平分∠ACB交AB于E，CE 与BD交于F，连接AF并延长交BC于H，过F作FG⊥BC于G．（1）若∠ABC=45°，∠ACB=65°，求∠HFG的度数；（2）根据（1）中的规律探索∠ABC、∠ACB与∠HFG之间的关系；（3）试探究∠BFH与∠CFG的大小关系，并说明理由．18．如图1，在△ABC中，∠A=60°，∠CBM，∠BCN是△ABC的外角，∠CBM，∠BCN的平分线BD，CD交于点D．（1）求∠BDC的度数；（2）在图1中，过点D作DE⊥BD，垂足为点D，过点B作BF∥DE交DC的延长线于点F（如图2），求证：BF是∠ABC的平分线．19．老师给了小胖同学这样一个问题：如图1，△ABC中，BE是∠ABC的平分线，点D是BC延长线上一点，2∠D=∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BED小胖通过探究发现，过点C作CM∥AD（如图2），交BE于点M，将∠BED转移至∠BMC处，结合题目已知条件进而得到CM为∠ACB的平分线，在△ABC中求出∠BMC，从而得出∠BED．（1）请按照小胖的分析，完成此题的解答：（2）参考小胖同学思考问题的方法，解决下面问题：如图3，在△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G，若∠A=m°，求∠G的度数（用含m的式子表示）20．△ABC的三条角平分线相交于点I，过点I作DI⊥IC，交AC于点D．（1）如图1，求证：∠AIB=∠ADI；（2）如图2，延长BI，交外角∠ACE的平分线于点F．①判断DI与CF的位置关系，并说明理由；②若∠BAC=70°，求∠F的度数．21．如图1，已知△ABC，射线CM∥AB，点D是射线CM上的动点，连接AD．（1）如图2，若∠ACB=∠ABC，∠CAD的平分线与BC的延长线交于点E．①若∠BAC=40°，AD∥BC，则∠AEC的度数为；②在点D运动的过程中，探索∠AEC和∠ADC之间的数量关系；（2）若∠ACB=n∠ABC，∠CAD内部的射线AE与BC的延长线交于点E，∠CAE=n ∠EAD，那么∠AEC和∠ADC之间的数量关系为．22．如图，在△ABC中，点D为∠ABC的平分线BD上一点，连接AD，过点D 作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．（1）如图1，若AD⊥BD于点D，∠BEF=130°，求∠BAD的度数；（2）如图2，若∠ABC=α，∠BDA=β，求∠FAD+∠C的度数（用含α和β的代数式表示）．23．如图，直线m与直线n互相垂直，垂足为O，A、B两点同时从点O出发，点A沿直线m向左运动，点B沿直线n向上运动．（1）若∠BAO和∠ABO的平分线相交于点P，在点A、B的运动过程中，∠APB 的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；（2）若△ABO的两个外角的平分线AQ、BQ相交于点Q，AP的延长线交QB的延长线于点C，在点A、B的运动过程中，∠Q和∠C的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出∠Q和∠C的度数；若发生变化，请说明理由．24．如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点D．我们可以得到一个一般性的结论∠BDC=90°+∠A．请应用这一结论，解决下面的问题．（1）如图2，过点D任意作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，求∠MDB+∠NDC的度数（用含∠A的代数式表示）．（2）如图3，当过点D直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，∠MDB、∠NDC、∠A三者之间存在怎样的数量关系？说明你的理由．（3）如图4，当过点D直线MN与AB的交点在线段AB的延长线上，而与AC 的交点在线段AC上时，（2）问中∠MDB、∠NDC、∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明你的理由；若不成立，请给出∠MDB、∠NDC、∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由．25．△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D．（1）如图1，猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由；（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．①求证：BF∥OD；②若∠F=35°，求∠BAC的度数．一．解答题（共25小题）1．如图1，在△ABC中，∠B=90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E．（1）∠E=45°；（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F．①依题意在图1中补全图形；②求∠AFC的度数；（3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM=∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN=∠AHC，射线HN与FM交于点P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，请直接写出m，n的值．【解答】解：（1）如图1，∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，∴∠CAF=∠DAC，∠ACE=∠ACB，设∠CAF=x，∠ACE=y，∵∠B=90°，∴∠ACB+∠BAC=90°，∴2y+180﹣2x=90，x﹣y=45，∵∠CAF=∠E+∠ACE，∴∠E=∠CAF﹣∠ACE=x﹣y=45°，故答案为：45；（2）①如图2所示，②如图2，∵CF平分∠ECB，∴∠ECF=y，∵∠E+∠EAF=∠F+∠ECF，∴45°+∠EAF=∠F+y ①，同理可得：∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，∴45°+2∠EAF=90°+y，∴∠EAF=②，把②代入①得：45°+=∠F+y，∴∠F=67.5°，即∠AFC=67.5°；（3）如图3，设∠FAH=α，∵AF平分∠EAB，∴∠FAH=∠EAF=α，∵∠AFM=∠AFC=×67.5°=22.5°，∵∠E+∠EAF=∠AFC+∠FCH，∴45+α=67.4+∠FCH，∴∠FCH=α﹣22.5①，∵∠AHN=∠AHC=（∠B+∠BCH）=（90+2∠FCH）=30+∠FCH，∵∠FAH+∠AFM=∠AHN+∠FPH，∴α+22.5=30+∠FCH+∠FPH，②把①代入②得：∠FPH=，∵∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，α﹣22.5=mα+n，解得：m=2，n=﹣3．2．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM 上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F，则∠EAF=90°；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．【解答】解：（1）∠AEB的大小不变，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，∴∠BAE+∠ABE=（∠OAB+∠ABO）=×90°=45°，∴∠AEB=135°；（2）∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，∴∠EAO=∠BAO，∠FAO=∠GAO，∴∠EAF=（∠BAO+∠GAO）=×180°=90°．故答案为：90；∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，∴∠E=∠EOQ﹣∠EAO=（∠BOQ﹣∠BAO）=∠ABO，即∠ABO=2∠E，在△AEF中，∵有一个角是另一个角的3倍，故分四种情况讨论：①∠EAF=3∠E，∠E=30°，则∠ABO=60°；②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°（舍去）；③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍去）．∴∠ABO为60°或45°．3．已知，在△ABC中，∠A=∠C，点F和E分别为射线CA和射线BC上一点，连接BF和FE，且∠BFE=∠FEB．（1）如图1，当点F在线段AC上时，若∠FBE=2∠ABF，则∠EFC与∠FBE的数量关系为∠ABF=2∠EFC．（2）如图2，当点F在CA延长线上时，探究∠EFC与∠FBA的数量关系，并说明理由．（3）如图3在（2）的条件下，过C作CH⊥AB于点H，CN平分∠BCH，CN交AB于N，由N作NM⊥NC交CF于M，若∠BFE=5∠FBA，MN∥FB时，求∠ABC 的度数．【解答】解：（1）如图1中，设∠EFC=z，∠ABF=x，∠A=∠C=y，∵BE=BF，∵∠BEF=∠BFE，∠BEF=y+z，∴∠BFE=y+z，∵∠BFC=∠A+∠ABF，∴y+z+z=x+y，∴x=2z，∴∠ABF=2∠EFC．故答案为∠ABF=2∠EFC．（2）结论：∠ABF=2∠EFC．理由；如图2中，设∠EFC=z，∠ABF=x，∠BAC=∠BCA=y，∵∠BAC=∠ABF+∠BFA，∠ACB=∠EFC+∠E，∴∠BFA=y﹣x，∠E=y﹣z，∵∠E=∠BFE，∴y﹣x+z=y﹣z，∴x=2z，∴∠ABF=2∠EFC．（3）如图3中，设∠EFC=x，则∠ABF=2x，∵∠BFE=5∠ABF，∴∠E=∠BFE=10x，∵MN∥BF，∴∠MNA=∠ABF=2x，∵∠ANM+∠ANC=90°，∠ANC+∠NCH=90°，∴∠HCN=∠ANM=∠BCN=2x，∴∠BCH=4x，∠CBH=90°﹣4x，在△BEF中，∵∠EBF+∠E+∠BFE=180°，∴2x+90°﹣4x+10x+10x=180°，∴x=5，∴∠ABC=90°﹣4x=70°．4．（Ⅰ）（1）问题引入如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A=α，则∠BOC=90°+∠α（用α表示）；（2）拓展研究如图②，∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=α，试求∠BOC的度数120°+∠α（用α表示）（3）归纳猜想若BO、CO分别是△ABC的∠ABC、∠ACB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=α，则∠BOC=（用α表示）．（Ⅱ）类比探索（1）特例思考如图③，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，求∠BOC的度数（用α表示）．（2）一般猜想若BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，请猜想∠BOC=（用α表示）．【解答】解：（Ⅰ）（1）如图①，∵点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，∴∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，而∠A=α，∴∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=180°﹣（180°﹣∠α）=180°﹣90°+∠α=90°+∠α，故答案为：90°+∠α；（2）如图②，∵∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=α，∴∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=180°﹣（180°﹣∠α）=180°﹣60°+∠α=120°+∠α，故答案为：120°+∠α；（3）∵∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=α，∴∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=180°﹣（180°﹣∠α）=180°﹣×180°+∠α=，故答案为：；（Ⅱ）（1）如图③，∵∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，∴∠BOC=180°﹣（∠DBC+∠ECB）=180°﹣[360°﹣（∠ABC+∠ACB）]=180°﹣[360°﹣（180°﹣∠A）]=180°﹣（180°+∠α）=180°﹣60°﹣∠α=120°﹣∠α；（2）∵∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，∴∠BOC=180°﹣（∠DBC+∠ECB）=180°﹣[360°﹣（∠ABC+∠ACB）]=180°﹣[360°﹣（180°﹣∠A）]=180°﹣（180°+∠α）=，故答案为：．5．（1）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内部点A′的位置．试写出∠A与∠1+∠2之间的关系，并说明理由；（2）如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED外部点A′的位置，如图②所示．此时∠A与∠1、∠2之间存在什么样的关系？直接写出2∠A=∠1﹣∠2．（3）如果把四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在四边形BCFE内部点A′、D′的位置，如图③所示．直接写出∠A′、∠D′、∠1与∠2之间的关系2（∠A'+∠D'）=∠1+∠2+360°．【解答】解：（1）如图，根据翻折的性质，∠3=（180﹣∠1），∠4=（180﹣∠2），∵∠A+∠3+∠4=180°，∴∠A+（180﹣∠1）+（180﹣∠2）=180°，整理得，2∠A=∠1+∠2；（2）根据翻折的性质，∠3=（180﹣∠1），∠4=（180+∠2），∵∠A+∠3+∠4=180°，∴∠A+（180﹣∠1）+（180+∠2）=180°，整理得，2∠A=∠1﹣∠2；（3）根据翻折的性质，∠3=（180﹣∠1），∠4=（180﹣∠2），∵∠A+∠D+∠3+∠4=360°，∴∠A+∠D+（180﹣∠1）+（180﹣∠2）=360°，整理得，2（∠A+∠D）=∠1+∠2+360°，即2（∠A'+∠D'）=∠1+∠2+360°．6．已知BM、CN分别是△A1BC的两个外角的角平分线，BA2、CA2分别是∠A1BC和∠A1CB的角平分线，如图①；BA3、CA3分别是∠A1BC和∠A1CB的三等分线（即∠A3BC=∠A1BC，∠A3CB=∠A1CB），如图②；依此画图，BA n、CA n分别是∠A1BC和∠A1CB的n等分线（即∠A n BC=∠A1BC，∠A n CB=∠A1CB），n≥2，且n为整数．（1）若∠A1=70°，求∠A2的度数；（2）设∠A1=α，请用α和n的代数式表示∠A n的大小，并写出表示的过程；（3）当n≥3时，请直接写出∠MBA n+∠NCA n与∠A n的数量关系．【解答】解：（1）∵∠A1=70°，∴∠A1BC+∠A1CB=180°﹣70°=110°，∵BA2、CA2分别是∠A1BC和∠A1CB的角平分线，∴∠A2BC+∠A2CB=×110°=55°，∴∠A2=180°﹣55°=125°．（2）在△A1BC中，∠A1BC+∠A1CB=180°﹣α，∵∠A n BC=∠A1BC，∠A n CB=∠A1CB，∴∠A n BC+∠A n CB=（∠A1BC+∠A1CB）=（180°﹣α），∴∠A n=180°﹣（∠A n BC+∠A n CB）=180°﹣（180°﹣α）；（3）2（∠MBA n+∠NCA n）+（n﹣2）∠A n=180°n．理由：如图②，∵BM、CN分别是△A1BC的两个外角的角平分线，∴∠MBE=∠A1BE=（180°﹣∠A1BC），∠NCF=∠A1CF=（180°﹣∠A1CB），∴∠MBA n+∠NCA n=360°﹣（∠MBE+∠NCF）﹣（∠A n BC+∠A n CB）=360°﹣（180°﹣∠A1BC）﹣（180°﹣∠A1CB）﹣（180°﹣∠A n）=（∠A1BC+∠A1CB）+∠A n=（180°﹣∠A1）+∠A n由（2）可得，∠A n=180°﹣（180°﹣∠A1），∴∠A1=n∠A n﹣180°n+180°，∴∠MBA n+∠NCA n=（180°﹣n∠A n+180°n﹣180°）+∠A n=90°n﹣∠A n∴2（∠MBA n+∠NCA n）+（n﹣2）∠A n=180°n．7．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC，且∠ABC＞∠C．求证：∠DAE=（∠ABC﹣∠C）．【解答】证明：∵AD⊥BC，∴∠D=90°，∵∠ABC是△ABD的外角，∴∠DAB=∠ABC﹣∠D=∠ABC﹣90°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠BAC，在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠C，∴∠BAE=90°﹣∠ABC﹣∠C，∵∠DAE=∠DAB+∠BAE，∴∠DAE=∠ABC﹣90°+90°﹣∠ABC﹣∠C=∠ABC﹣∠C，即：∠DAE=（∠ABC﹣∠C）．8．如图，在△ABC中，AD，BD分别平分∠CAB和∠CBA，相交于点D．（1）如图1，过点D作DE∥AC，DF∥BC分别交AB于点E、F．①若∠EDF=80°，则∠C=80°；②若∠EDF=x°，证明：∠ADB=（90+）°．（2）如图2，若DE，BE分别平分∠ADB和∠ABD，且EF，BF分别平分∠BED和∠EBD，若∠BFE的度数是整数，求∠BFE至少是多少度？【解答】解：（1）∵∠EDF=80°，∴∠DEF+∠EDF=180°﹣80°=100°，∵DE∥AC，∴∠BED=∠BAC，同理得：∠EFD=∠ABC，∴∠ABC+∠BAC=∠DEF+∠EDF=100°，∴∠C=80°故答案为：80°；②∵∠EDF=x°，∴∠DEF+∠EFD=180°﹣x°，∵DE∥AC，∴∠BED=∠BAC，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD，∴∠DEF=2∠BAD，同理得：∠EFD=2∠ABD，∴∠BAD+∠ABD=，∴∠ADB=180°﹣∠ABD﹣∠BAD=180°﹣=90°+=（90+）°；（2）∵∠BED+∠EBD=180°﹣∠BDE，∵EF，BF分别平分∠BED和∠EBD，∴∠BEF=∠BED，∠EBF=∠EBD，∴∠BEF+∠EBF=（∠BED+∠EBD）=（180°﹣∠BDE），∴（180°﹣∠BDE）=180°﹣∠BFE，∠BFE=90°+∠BDE①，同理得：∠ADB=90°+∠C，∵DE平分∠ADB，∴∠BDE=∠ADB=45°+∠C②，把②代入①得：∠BFE=90°+∠BDE=90°+（45°+∠C），=112.5°+，∵∠BFE的度数是整数，当∠C=4°时，∠BFE=113°．答：∠BFE至少是113度．9．已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC=α．（1）当α=40°时，∠BPC=70°，∠BQC=125°；（2）当α＝60°时，BM∥CN；（3）如图②，当α=120°时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数；（4）在α＞60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：∠BPC+∠BQC+∠BOC=180°．【解答】解：（1）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A=220°，∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，∴∠CBP+∠BCP=（∠DBC+∠BCE）=110°，∴∠BPC=180°﹣110°=70°，∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，∴∠QBC=∠PBC，∠QCB=∠PCB，∴∠QBC+∠QCB=55°，∴∠BQC=180°﹣55°=125°；（2）∵BM∥CN，∴∠MBC+∠NCB=180°，∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC=α，∴（∠DBC+∠BCE）=180°，即（180°+α）=180°，解得α=60°；（3）∵α=120°，∴∠MBC+∠NCB=（∠DBC+∠BCE）=（180°+α）=225°，∴∠BOC=225°﹣180°=45°；（4）∵α＞60°，∠BPC=90°﹣α、∠BQC=135°﹣α、∠BOC=α﹣45°．∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：∠BPC+∠BQC+∠BOC=（90°﹣α）+（135°﹣α）+（α﹣45°）=180°．故答案为：70，125；60；∠BPC+∠BQC+∠BOC=180°．10．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2=140°；（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？（3）若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．【解答】解：（1）如图，连接PC，由三角形的外角性质，∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C，∵∠DPE=∠α=50°，∠C=90°，∴∠1+∠2=50°+90°=140°，故答案为：140°；（2）连接PC，由三角形的外角性质，∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C，∵∠C=90°，∠DPE=∠α，∴∠1+∠2=90°+∠α；（3）如图1，由三角形的外角性质，∠2=∠C+∠1+∠α，∴∠2﹣∠1=90°+∠α；如图2，∠α=0°，∠2=∠1+90°；如图3，∠2=∠1﹣∠α+∠C，∴∠1﹣∠2=∠α﹣90°．11．（1）如图①，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB∥CD，∠ADC=40°，∠ABC=30°，求∠AEC的大小；（2）如图②，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=m°，∠ABC=n°，求∠AEC的大小；（3）如图③，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，则∠AEC与∠ADC、∠ABC之间是否仍存在某种等量关系？若存在，请写出你得结论，并给出证明；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD∴∠ECD=∠ECB=∠BCD，∠EAD=∠EAB=∠BAD，∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB∴∠D+∠B=2∠E，∴∠E=（∠D+∠B），∵∠ADC=40°，∠ABC=30°，∴∠AEC=×（40°+30°）=35°；（2）∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD∴∠ECD=∠ECB=∠BCD，∠EAD=∠EAB=∠BAD，∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB∴∠D+∠B=2∠E，∴∠E=（∠D+∠B），∵∠ADC=m°，∠ABC=n°，∴∠AEC=；（3）延长BC交AD于点F，∵∠BFD=∠B+∠BAD，∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D，∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD∴∠ECD=∠ECB=∠BCD，∠EAD=∠EAB=∠BAD，∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB，∴∠E=∠B+∠EAB﹣∠ECB=∠B+∠BAE﹣∠BCD=∠B+∠BAE﹣（∠B+∠BAD+∠D）=（∠B﹣∠D），即∠AEC=．12．（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别为x轴正半轴和y轴正半轴上的两个定点，点C为x轴上的一个动点（与点O，A不重合），分别作∠OBC和∠ACB的角平分线，两角平分线所在直线交于点E，直接问答∠BEC的度数及点C所在的相应位置．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，△FGH的一个顶点F在y轴的负半轴上，射线FO平分∠GFH，过点H的直线MN交x轴于点M，满足∠MHF=∠GHN，过点H作HP⊥MN交x轴于点P，请探究∠MPH与∠G的数量关系，并写出简要证明思路．【解答】解：（1）分三种情况：①如图①，当点C在x轴负半轴上时，由题意可知：∠1+∠2+∠3+∠4=90°，∵BE、CE分别平分∠OBC与∠ACB，∴∠2∠1+2∠3=90°，∴∠1+∠3=45°，∴∠BEC=135°，即当点C在x轴负半轴上时，∠BEC=135°；②如图②所示，当点C在OA的延长线上时，与情况（1）同法可得：∠BEC=135°；③如图③所示，当点C在线段OA上（且与点O，A不重合）时，∵∠1+∠2=∠3+∠4+90°，∴2∠1=2∠4+90°，∴∠1=∠4+45°，∠1﹣∠4=45°，即∠BEC=45°，故当点C在线段OA上（且与点O，A不重合）时，∠BEC=45°；（2）∠MPH与∠G的数量关系为：∠MPH=∠G．如图2，∵∠MHF=∠GHN，HP⊥MN，∴∠FHE=∠GHE，即EH平分∠GHF，又∵FE平分∠GFH，∴△FEH中，∠FEF=180°﹣∠EHF﹣∠EFH=180°﹣（∠GHF﹣∠GFH）=180°﹣（180°﹣∠G）=90°+∠G，∵∠FEH是△EOP的外角，∴∠FEH=∠EOP+∠MPH=90°+∠MPH，∴90°+∠G=90°+∠MPH，即∠MPH=∠G．13．在△ABC中，点D为△ABC的三条内角平分线的交点，BE⊥AD于点E，（1）当∠BAC=80°，∠ACB=60°时，∠BDC=130°．∠DBE=30°．（2）当∠BAC=α，∠ACB=β时，用含有α的代数式表示∠BDC的度数，用含有β的代数式表示∠DBE的度数．（3）如图2，若AD平分∠BAC，CD和BD分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BE⊥AD于点E，（2）中的两个结论是否发生变化？【解答】解：（1）∵∠BAC=80°，∠ACB=60°，∴∠ABC=40°，∵点D为△ABC的三条内角平分线的交点，∴∠ABD=20°，∠BAD=∠CAD=40°，∠ACD=30°，∴∠BDC=∠BDE+∠CDE=（∠ABD+∠BAD）+（∠ACD+∠CAD）=（20°+40°）+（30°+40°）=130°，∵∠BDE=60°，BE⊥AD，∴∠DBE=90°﹣60°=30°；故答案为：130°，30°；（2）∵∠BAC+∠CBA+∠ACB=180°，∠BAC=α∴∠CBA+∠ACB=180°﹣∠BAC=180°﹣α∵DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，∴∠DBC+∠DCB=（∠CBA+∠ACB）=（180°﹣α），∴△BCD中，∠BDC=180°﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣（180°﹣α）=90°+α；∵∠BAC=α，∠ACB=β，∴∠ABC=180°﹣α﹣β，∵DB平分∠ABC，AD平分∠BAC，∴∠ABD=∠ABC=（180°﹣α﹣β），∠BAD=α，∵∠BDE是△ABD的外角，∴∠BDE=∠ABD+∠BAD=（180°﹣α﹣β）+α=90°﹣β，∵BE⊥AD，∴∠DBE=90°﹣∠BDE=90°﹣（90°﹣β）=β；（3）若AD平分∠BAC，CD分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BE⊥AD于点E，则（2）中的两个结论发生变化．理由：∵∠BAC+∠CBA+∠ACB=180°，∠BAC=α，∴∠CBA+∠ACB=180°﹣∠BAC=180°﹣α，∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NCB+∠ACB=180°，∴∠MBC+∠NGB=360°﹣∠ABC﹣∠ACB=360°﹣（180°﹣α）=180°+α，∵BD，CD分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，∴∠DBC=∠MBC，∠DCB=∠NCB，∴∠DBC+∠DCB=∠MBC+∠NCB=（180°+α）=90°+α，∵∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°，∴∠BDC=180°﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣（90°+α）=90°﹣α，∵∠BAC=α，∠ACB=β，∵∠MBC是△ABC的外角，∴∠MBC=α+β，∵BD平分∠MBC，∴∠MBD=∠MBC=（α+β），∵∠MBD是△ABD的外角，AD平分∠BAC，∴∠BAD=α，∠MBD=∠BAD+∠ADB，∵BE⊥AD，∴Rt△BDE中，∠DBE=90°﹣∠ADB=90°﹣（∠MBD﹣∠BAD）=90°﹣∠MBD+∠BAD=90°﹣（α+β）+α=90°﹣β．故结论发生变化．14．如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=40°，∠C=60°（1）求∠DAE的度数；（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其他条件不变，求∠DFE的度数；（3）如图③，若把“AE⊥BC”变成“AE平分∠BEC”，其他条件不变，∠DAE的大小是否变化，并请说明理由．【解答】解：（1）∵∠B=40°，∠C=60°，∴∠BAC=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=40°，∴∠ADE=∠B+∠BAD=80°，∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°，∴∠DAE=90°﹣∠ADE=10°；（2）∵∠B=40°，∠C=60°，∴∠BAC=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=40°，∴∠ADE=∠B+∠BAD=80°，∵FE⊥BC，∴∠FEB=90°，∴∠DFE=90°﹣∠ADE=10°；（3）结论：∠DAE的度数大小不变．理由：∵AE平分∠BEC，∴∠AEB=∠AEC，∴∠C+∠CAE=∠B+∠BAE，∵∠CAE=∠CAD﹣∠DAE，∠BAE=∠BAD+∠DAE，∴∠C+∠CAD﹣∠DAE=∠B+∠BAD+∠DAE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴2∠DAE=∠C﹣∠B=20°，∴∠DAE=10°．15．如图，AF平分∠BAC，DF平分∠BDC，求证：∠AFD=（∠H+∠BGC）．【解答】证明：延长AF交DH于E点．由三角形外角定理得：∠AFD=∠FDE+∠FED=∠FDE+∠H+∠HAE，∵AF平分∠BAC，DF平分∠BDC，∴∠AFD=∠BDC+∠BAC+∠H，∵∠BGC=∠BDC+∠ACD=∠BDC+∠BAC+∠H，∴（∠BGC+∠H）=（∠BDC+∠BAC+∠H+∠H）=∠BDC+∠BAC+∠H=∠AFD．16．如图，已知CD是△ABC的角平分线，E是BC上的点，∠B=60°，∠ACE=∠CAE=20°．求∠CDE的度数．【解答】解：∵∠B=60°，∠ACE=∠CAE=20°，∴∠BAC=100°，∠BAE=80°，AE=CE，设为1，在△ABE中，由正弦定理得BE=，∵CD是△ABC的角平分线，∴====，∴∠CDE=∠ACD=10°．17．如图，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，CE平分∠ACB交AB于E，CE 与BD交于F，连接AF并延长交BC于H，过F作FG⊥BC于G．（1）若∠ABC=45°，∠ACB=65°，求∠HFG的度数；（2）根据（1）中的规律探索∠ABC、∠ACB与∠HFG之间的关系；（3）试探究∠BFH与∠CFG的大小关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴AH平分∠BAC，∵∠ABC=45°，∠ACB=65°，∴∠BAC=180°﹣45°﹣65°=70°，∠BAH=∠BAC=35°，∴∠AHG=∠ABC+∠BAH=45°+35°=80°，∵FG⊥BC，∴∠FGH=90°，∴∠HFG=90°﹣80°=10°；（2）∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴AH平分∠BAC，∵∠BAC=180°﹣（∠ABC+∠ACB），∠BAH=∠BAC=90°﹣（∠ABC+∠ACB），∴∠AHG=∠ABC+∠BAH=∠ABC+90°﹣（∠ABC+∠ACB）=90°+（∠ABC﹣∠ACB），∴∠FGH=90°，∴∠HFG=90°﹣[90°+（∠ABC﹣∠ACB）]=∠ACB﹣∠ABC；（3）∠BFH=∠CFG，理由是：∵∠BFH=∠BAC+∠ABC=（180°﹣∠ABC﹣∠ACB）+∠ABC=90°﹣∠ACB；∠CFG=180°﹣90°﹣∠ACB=90°﹣∠ACB，∴∠BFH=∠CFG18．如图1，在△ABC中，∠A=60°，∠CBM，∠BCN是△ABC的外角，∠CBM，∠BCN的平分线BD，CD交于点D．（1）求∠BDC的度数；（2）在图1中，过点D作DE⊥BD，垂足为点D，过点B作BF∥DE交DC的延长线于点F（如图2），求证：BF是∠ABC的平分线．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，又∵∠ABM=∠ACN=180°，∴∠CBM+∠BCN=360°﹣120°=240°，又∵∠CBM，∠BCN的平分线BD，CD交于点D，∴∠CBD=∠CBM，∠BCD=∠BCN，∴△BCD中，∠DBC+∠BCD=（∠CBM+∠BCN）=×240°=120°，∴∠D=180°﹣120°=60°；（2）如图2，∵DE⊥BD，BF∥DE，∴∠DBF=180°﹣90°=90°，即∠2+∠3=90°，∴∠1+∠4=90°，又∵∠3=∠4，∴∠1=∠2，∴BF是∠ABC的平分线．19．老师给了小胖同学这样一个问题：如图1，△ABC中，BE是∠ABC的平分线，点D是BC延长线上一点，2∠D=∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BED小胖通过探究发现，过点C作CM∥AD（如图2），交BE于点M，将∠BED转移至∠BMC处，结合题目已知条件进而得到CM为∠ACB的平分线，在△ABC中求出∠BMC，从而得出∠BED．（1）请按照小胖的分析，完成此题的解答：（2）参考小胖同学思考问题的方法，解决下面问题：如图3，在△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G，若∠A=m°，求∠G的度数（用含m的式子表示）【解答】（1）证明：如图1，过点C作CM∥AD，交BE于点M，∴∠BED=∠BMC，∠DAC=∠ACM，∠BCM=∠D，∵∠ACB=2∠D，∴∠BCM=∠ACM=∠ACB∵BE是∠ABC的平分线∴∠MBC=∠ABC∴∠BED=∠BMC=180°﹣（∠MBC+∠MCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠BAC）=180°﹣×（180°﹣60）=120°；（2）如图2，延长BC交DG于点M∵BG平分∠ABC，DG平分∠ADE∴∠GBM=∠ABC，∠GDE=∠ADE∵DE∥BC∴∠ACM=∠ADE∠BMD=∠GDE=∠ADE=∠ACM=（∠A+∠ABC）=∠A+∠GBM在△BGM中，∠G=∠BMD﹣∠GBM=∠A+∠GBM﹣∠GBM=∠A=m．20．△ABC的三条角平分线相交于点I，过点I作DI⊥IC，交AC于点D．（1）如图1，求证：∠AIB=∠ADI；（2）如图2，延长BI，交外角∠ACE的平分线于点F．①判断DI与CF的位置关系，并说明理由；②若∠BAC=70°，求∠F的度数．【解答】（1）证明：∵AI、BI分别平分∠BAC，∠ABC，∴∠BAI=∠BAC，∠ABI=∠ABC，∴∠BAI+∠ABI=（∠BAC+∠ABC）=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠ACB，∴在△ABI中，∠AIB=180°﹣（∠BAI+∠ABI）=180°﹣（90°﹣∠ACB）=90°+∠ACB，∵CI平分∠ACB，∴∠DCI=∠ACB，∵DI⊥IC，∴∠DIC=90°，∴∠ADI=∠DIC+∠DCI=90°+∠ACB，∴∠AIB=∠ADI．（2）①解：结论：DI∥CF．理由：∵∠IDC=90°﹣∠DCI=90°﹣∠ACB，∵CF平分∠ACE，∴∠ACF=∠ACE=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠ACB，∴∠IDC=∠ACF，∴DI∥CF．②解：∵∠ACE=∠ABC+∠BAC，∴∠ACE﹣∠ABC=∠BAC=70°，∵∠FCE=∠FBC+∠F，∴∠F=∠FCE﹣∠FBC，∵∠FCE=∠ACE，∠FBC=∠ABC，∴∠F=∠ACE﹣∠ABC=（∠ACE﹣∠ABC）=35°21．如图1，已知△ABC，射线CM∥AB，点D是射线CM上的动点，连接AD．（1）如图2，若∠ACB=∠ABC，∠CAD的平分线与BC的延长线交于点E．①若∠BAC=40°，AD∥BC，则∠AEC的度数为35°；②在点D运动的过程中，探索∠AEC和∠ADC之间的数量关系；（2）若∠ACB=n∠ABC，∠CAD内部的射线AE与BC的延长线交于点E，∠CAE=n ∠EAD，那么∠AEC和∠ADC之间的数量关系为∠AEC=∠ADC．【解答】解：（1）①如图2，∵∠BAC=40°，∴∠ACB+∠ABC=180°﹣40°=140°，∵∠ACB=∠ABC，∴∠ACB=70°，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=70°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=∠DAC=×70°=35°，∵AD∥BC，∴∠AEC=∠DAE=35°，故答案为：35°；②∠ADC=2∠AEC，理由是：设∠CAE=x，∠BAC=y，则∠EAD=x，∠ABC=，∵AB∥CM，∴∠ACM=∠BAC=y，∴∠ADC=180﹣2x﹣y，△ABE中，∠AEC=180﹣x﹣y﹣=90﹣x﹣，∴∠ADC=2∠AEC；（2）∠AEC=∠ADC，理由是：如图3，设∠ABC=x，∠EAD=y，则∠ACB=nx，∠CAE=ny，△ACE中，∠AEC=nx﹣ny=n（x﹣y），∴x﹣y=，△ABC中，∠BAC=180﹣nx﹣x，∵AB∥CM，∴∠ACD=∠BAC=180﹣nx﹣x，△ADC中，∠ADC=180﹣ny﹣y﹣（180﹣nx﹣x）=﹣ny﹣y+nx+x=n（x﹣y）+（x ﹣y）=（x﹣y）（n+1），∴x﹣y=∠ADC，∴∠AEC=∠ADC，∴∠AEC=∠ADC．故答案为：∠AEC=∠ADC．22．如图，在△ABC中，点D为∠ABC的平分线BD上一点，连接AD，过点D 作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．（1）如图1，若AD⊥BD于点D，∠BEF=130°，求∠BAD的度数；（2）如图2，若∠ABC=α，∠BDA=β，求∠FAD+∠C的度数（用含α和β的代数式表示）．【解答】解：（1）∵EF∥BC，∠BEF=130°，∴∠EBC=50°，∠AEF=50°，又∵BD平分∠EBC，∴∠EBD=∠BDE=∠DBC=25°，又∵∠BDA=90°，∴∠EDA=65°，∴∠BAD=65°；（2）如图2，过点A作AG∥BC，则∠BDA=∠DBC+∠DAG=∠DBC+∠FAD+∠FAG=∠DBC+∠FAD+∠C=β，则∠FAD+∠C=β﹣∠DBC=β﹣∠ABC=β﹣α．23．如图，直线m与直线n互相垂直，垂足为O，A、B两点同时从点O出发，点A沿直线m向左运动，点B沿直线n向上运动．（1）若∠BAO和∠ABO的平分线相交于点P，在点A、B的运动过程中，∠APB 的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；（2）若△ABO的两个外角的平分线AQ、BQ相交于点Q，AP的延长线交QB的延长线于点C，在点A、B的运动过程中，∠Q和∠C的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出∠Q和∠C的度数；若发生变化，请说明理由．【解答】解：（1）不变化．理由：∵AP和BP分别是∠BAO和∠ABO的平分线，∠AOB=90°，∴∠APB=180°﹣（∠OAB+∠ABO）=180°﹣×90°=135°；（2）都不变．理由：∵AQ和BQ分别是∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线，AP和BP分别是∠BAO和∠ABO的平分线，∴∠CAQ=∠QBP=90°，又∠APB=135°，∴∠Q=45°，∴∠C=45°．24．如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点D．我们可以得到一个一般性的结论∠BDC=90°+∠A．请应用这一结论，解决下面的问题．（1）如图2，过点D任意作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，求∠MDB+∠NDC的度数（用含∠A的代数式表示）．（2）如图3，当过点D直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，∠MDB、∠NDC、∠A三者之间存在怎样的数量关系？说明你的理由．（3）如图4，当过点D直线MN与AB的交点在线段AB的延长线上，而与AC 的交点在线段AC上时，（2）问中∠MDB、∠NDC、∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明你的理由；若不成立，请给出∠MDB、∠NDC、∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由．【解答】解：（1）∵∠MDB+∠NDC+∠BDC=180°，∴∠MDB+∠NDC=180°﹣∠BDC．∵∠BDC=90°+∠A，∴∠MDB+∠NDC=180°﹣（90°+∠A）=90°﹣∠A．（2）∠MDB﹣∠NDC=90°﹣∠A，理由如下：∵∠MDB+∠BDN=180°，∠BDN=∠BDC+∠NDC，∴∠MDB+∠BDC﹣∠NDC=180°．∴∠MDB+90°+∠A﹣∠NDC=180°，∴∠MDB﹣∠NDC=90°﹣∠A．（3）∠NDC﹣∠BDM=90°﹣∠A，理由如下：∵∠MDC+∠NDC=180°，∠BDC=∠BDM+∠MDC，∴∠BDC﹣∠BDM+∠NDC=180°．∵∠BDC=90°+∠A，∴90°+∠A﹣∠BDM+∠NDC=180°，∴∠NDC﹣∠BDM=90°﹣∠A．25．△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D．（1）如图1，猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由；（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．①求证：BF∥OD；②若∠F=35°，求∠BAC的度数．【解答】解：（1）∠AOC=∠ODC，理由：∵三个内角的平分线交于点O，∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）=（180°﹣∠ABC），∴∠AOC=180°﹣（∠OAC+∠OCA）=90°+∠ABC=90°+∠OBC，∵OD⊥OB，∴∠BOD=90°，∴∠ODC=90°+∠OBD，∴∠AOC=∠ODC；（2）①∵BF平分∠ABE，∴∠EBF=∠ABE=（180°﹣∠ABC）=90°﹣∠DBO，∵∠ODB=90°﹣∠OBD，∴∠FBE=∠ODB，∴BF∥OD；②∵BF平分∠ABE，∴∠FBE=∠ABE=（∠BAC+∠ACB），∵三个内角的平分线交于点O，∴∠FCB=∠ACB，∵∠F=∠FBE﹣∠BCF=（∠BAC+∠ACB）﹣∠ACB=∠BAC，∵∠F=35°，∴∠BAC=2∠F=70°．。

一、背景介绍初中数学是学生学习数学的重要阶段，期末考试作为对一学期学习成果的检验，难度较高的题目往往能够锻炼学生的思维能力，提高解题技巧。

以下是几道适合初一期末考试的难题推荐，供同学们参考。

二、推荐难题1. 难题一：一元二次方程的解法题目：已知一元二次方程ax² + bx + c = 0（a≠0）有两个实数根，且两根之和为2，两根之积为3。

求该方程的解。

解题思路：根据题意，设方程的两根为x₁和x₂，则有：x₁ + x₂ = -b/a = 2x₁ x₂ = c/a = 3根据上述两个等式，列出方程组：-b/a = 2c/a = 3解得 a = -3/2，b = 3，c = -9/2。

将a、b、c的值代入原方程，得到：-3/2x² + 3x - 9/2 = 0解得 x₁ = 1，x₂ = 3/2。

答案：该方程的解为 x₁ = 1，x₂ = 3/2。

2. 难题二：平面几何问题题目：在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于直线y=x的对称点为B，点B关于y轴的对称点为C。

求直线BC的方程。

解题思路：首先求出点B的坐标，由于点A关于直线y=x的对称点B在直线y=x上，因此点B的坐标为（3，2）。

然后求出点C的坐标，由于点B关于y轴的对称点C在y轴上，因此点C的坐标为（-3，2）。

最后求出直线BC的方程。

直线BC的斜率为（2-2）/（-3-3）= 0，因此直线BC的方程为y=2。

答案：直线BC的方程为y=2。

3. 难题三：数列问题题目：已知数列{aₙ}的前三项分别为2，3，5，且满足an+1 = an + 2^n（n≥1）。

求该数列的前10项。

解题思路：根据题意，可得数列的递推关系为：a₃ = a₂ + 2^2a₄ = a₃ + 2^3...a₁₀ = a₉ + 2^9根据递推关系，依次计算数列的前10项：a₄ = 3 + 2^2 = 7a₅ = 7 + 2^3 = 15a₆ = 15 + 2^4 = 31a₇ = 31 + 2^5 = 63a₈ = 63 + 2^6 = 127a₉ = 127 + 2^7 = 255a₁₀ = 255 + 2^8 = 511答案：该数列的前10项为2，3，5，7，15，31，63，127，255，511。

几何图形（较难）1、用一些大小相同的小正方体搭成一个几何体，从上面看这个几何体时看到的图形如图，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么从左面看这个几何体时，看到的图形是（）A． B． C． D．2、如图，用平面去截圆锥，所得截面的形状是（）A．A B．B C．C D．D3、由若干个相同的小正方体组合而成的一个几何体从不同方向看到的图形如图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．64、明明用纸（如图）折成了一个正方体的盒子，里面装了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中。

（）A． B． C． D．5、如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去三个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是( )A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm26、用一个平面去截正方体，所得截面的形状可能是___________________（所有可能的形状）7、一块方形蛋糕，一刀切成相等的两块，两刀最多切成4块，试问：五刀最多可切成__块相等体积的蛋糕，十刀最多可切成____块（要求：竖切，不移动蛋糕）．8、一个正方体被一个平面所截，所得边数最多的多边形是_______．9、如图，5个棱长为1 cm的正方体摆在桌子上，则裸露在表面的部分的面积为___.10、由一些大小相同的小正方体搭成的几何体从正面和从左面看到的图形如图，则搭成这个几何体的小正方体的个数最多为___，最少为_____.11、如上图，一个正方体的每个面分别标有数字1，2，3，4，5，6．根据图•中该正方体三种状态所显示的数据，可推出“？”处的数字是_____________.12、如图，矩形纸片ABCD中，AD=1，AB=2．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E 重合，折痕FG分别与AB、CD交于点G、F，AE与FG交于点O．当△AED的外接圆与BC相切于BC的中点N．则折痕FG的长为______．13、如图，长方形ABCD中(AD>AB)，M为CD上一点，若沿着AM折叠，点N恰落在BC 上，则∠ANB+∠MNC=___________14、如图，若要使得图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为5，求x+y+z的值.15、如图，从一个多边形的某一条边上的一点（不与端点重合）出发，分别连接这个点与其他所有顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形，由三角形、四边形、五边形为例，你能总结出什么规律？n边形呢？16、用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是正方形，你能想象出这个几何体原来的形状吗？17、用一个平面去截一个圆柱，（1）所得截面可能是三角形吗？（2）如果能得到正方形的截面，那么圆柱的底面半径和高有什么关系？18、用平面去截一个正方体，能得到一个等边三角形吗？能截到一个直角三角形或钝角三角形截面吗？（画出示意图）19、观察下列多面体，把下表补充完整，并回答问题.（1）根据上表中的规律推断，十四棱柱共有___个面，共有___个顶点，共有____条棱. （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为____棱柱.（3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有____个侧面，共有___个面，共有____个顶点，共有_____条棱.（4）观察表中的结果，你能发现a，b，c之间有什么关系吗？请写出关系式．20、一个表面涂满色的正方体，现将棱三等分，再把它切开变成若干个小正方体.问：其中三面都涂色的小正方体有多少个？两面都涂色的小正方体有多少个？只有一面涂色的小正方体有多少个？各面都没有涂色的小正方体有多少个？21、仔细观察下面的正四面体、正六面体、正八面体，解决下列问题：⑴填空：①正四面体的顶点数V＝，面数F＝，棱数E＝ .②正六面体的顶点数V＝，面数F＝，棱数E＝ .③正八面体的顶点数V＝，面数F＝，棱数E＝ .⑵若将多面体的顶点数用V表示，面数用F表示，棱数用E表示，则V、F、E之间的数量关系可用一个公式来表示，这就是著名的欧拉公式，请写出欧拉公式：⑶如果一个多面体的棱数为30，顶点数为20，那么它有多少个面？22、把一个正方体用刀切去一块，能否还得到正方体？长方体、三棱柱、三棱锥、四棱柱、五棱柱呢？23、用小立方块搭成的几何体，主视图和俯视图如下，问：（1）它最多要多少小立方块，最少要多少小立方块.（2）画出最多、最少时的左视图．24、如图是一张铁皮.（1）计算该铁皮的面积.（2）它能否做成一个长方体盒子？若能，画出它的几何图形，并计算它的体积；若不能，说明理由.25、用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码.A（）；B（）；C（）；D（）；E（）.26、如图,是某几何体从三个方向分别看到的图形.(1)说出这个几何体的名称;(2)画出它的一种表面展开图;(3)若图①的长为15 cm,宽为4 cm;图②的宽为3 cm;图③直角三角形的斜边长为5 cm,试求这个几何体的所有棱长的和是多少?它的侧面积多大?27、如图是由7个相同的小立方体组成的几何体，（1）请画出从正面看、从左面看、从上面看的平面图形．（2）现量得小立方体的棱长为2cm，现要给该几何体表面涂色（不含底面），求涂上颜色部分的总面积．28、由一些大小相同的小正方形搭成的几何体的俯视图，如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方形的个数，请画出该几何体的主视图和左视图．29、如图,是某几何体从三个方向分别看到的图形.(1)说出这个几何体的名称;(2)画出它的一种表面展开图;(3)若图①的长为15 cm,宽为4 cm;图②的宽为3 cm;图③直角三角形的斜边长为5 cm,试求这个几何体的所有棱长的和是多少?它的侧面积多大?30、如图是由7个相同的小立方体组成的几何体，（1）请画出从正面看、从左面看、从上面看的平面图形．（2）现量得小立方体的棱长为2cm，现要给该几何体表面涂色（不含底面），求涂上颜色部分的总面积．31、一个几何体由大小相同的小立方块所搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数。