第一章 气体的一维流动

V2 k k RT RT0 2 k 1 k 1 ( k 1) 两边乘以 ，得 kRT
～
T0 k 1 2 1 M T 2
1.2 状态参数关系式
由等熵关系式
p0 0 k T0 kk1 ( ) ( ) p T
得
0 k 1 2 k1 1 (1 M ) 2 p0 k 1 (1 M ) p 2
p02 1k p02 S cv ln( ) cv (k 1) ln( ) p01 p01
p02 在增熵绝能流中，△S>0，则必定 p 1 ，即p02<p01,总 01
压下降。同理ρ02<ρ01，滞止密度下降。
1.2 状态参数关系式
设σ为两总压的比值即总压恢复系数，所以有
式中 a0 kRT0 ，T0称之为绝能滞止温度或滞止温度。 由上式可以看出，滞止温度沿流线保持不变。只要 知道滞止温度，则沿流线任意点处单位质量的气体 总能量就已确定。
1.2 状态参数关系式
在流线上任意点，如图所示的 测温计所测得的温度，就是T0。 单位质量气体微团的熵值为
在滞止状态的流线上取两点1和2，对于等熵流动 dS=S2-S1=0,则有 k 1 p02 01 01 p02 p01 k 1 ) 0 S2 S1 cv [ln( k ) ln( k )] cv ln(
在增熵流中σ<1，在等熵流中σ=1。在增熵流中说明有机 械能损失，而在等熵流中无机械能损失。σ越小机械能损 失越大。 2.临界状态：速度等于音速的状态。
p02 ， p01
临界状态的气流参数T*、P*、ρ*、V* 、a*分别称为 临界温度、临界压强、临界密度、临界速度和临界音速。
在临界状态V*=a，能量方程可写为 V2 a2 k 1 2 k 1 a kRT* C 2 k 1 2(k 1) 2(k 1) 其中T* 、a*均为常数。
(1)管道是通畅的，管横截面积A的相对变化率很小； (2)管中心线的曲率半径R很大；
(3)管子直径比较大；
(4)在同一个截面上取流动参数的平均值来代替它的实 际分布。
1.1 扰动传播速度和音速
一、基本概念 1.扰动：气流绕物体流动或物体在空气中运动时气体的物 理参数(ρ、p、v、t）等，会发生变化，这种现 象称之为气体受到物体的扰动。 2.弱扰动：气体受到扰动后其物理参数相对原来的数值变 化不大，叫弱扰动。 3.强扰动：气体受到扰动后其物理参数相对原来的数值变 化很大，叫强扰动。 4.扰动的传播：气体受到扰动后除其扰动点周围气体的参 数发生变化外会引起由近及远处气体参数的变化， 这种现象称之为扰动的传播。 5.波阵面：扰动总是从已被扰动区向未被扰动区传播、扰 动区与被扰动区的界面称之为波阵面。
p01 01 因为绝能即T01=T02，由状态方程有 p02 02
02
01
02 p01 02
01 02 , p01 p02
即在定常等熵流动中，滞止参数p0和ρ0沿流线保持不变。
1.2 状态参数关系式
在增熵绝能流中，假定气流从状态1到状态2是增熵绝 能过程，即ds>0，所以熵的增量为 p02 01 k S S2 S1 cv ln( )( ) p01 02 p02 p01 利用状态方程和绝能条件（T01=T02),以及关系式 02 01 代入上式得
由上式可以看出，随着λ数增大(也就是V增大)，T、 ρ、p都下降，当λ=λmax时,T、ρ、p都为零。气流参 数随速度系数λ的变化曲线如图所示。
1.2 状态参数关系式
3.用无量纲速度 V 表示气流状态参数关系式 定义 V 因为
～
～

V Vm
称之为无量纲速度。
V V a k 1 2 2 2 Vm a* V k 1
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1.1 扰动传播速度和音速
二、扰动传播速度 设静止气体的压强、密度和温度分别具有常值p、ρ 和T，速度为零。现有一固定的扰动源位于o点，如图所 示。扰动源再连续不断地向四周发出扰动，受扰动后气 体的物理参数分别为p+△p 、ρ+△ρ和T+△T。 若受扰动区域是球形 空间，则在球形空间内气 体除了压强、密度和温度 变化外，还出现了由原来 静止状态产生的径向速度 △V。未受扰动气体与受 扰动气体之间的分界面向 四周以速度VB传播。
1.1 扰动传播速度和音速
在扰动分界面上取元素面积△S，在瞬时t，扰动分界 面在位置1，在瞬时t+△t扰动分界面到达位置2。对1-2 空间使用质量守恒和动量守恒定理，就可以推导出扰动传 播速度VB。 由于质量守恒，该空间内质量的增量应等于从左方流 入的质量，即 化简后得
VB ( )V
1.2 状态参数关系式
由一维定常绝能流动能量方程为 V2 k 或写为 RT C 2 k 1
V2 i C 2
可以看出，在定常绝能流中，沿流线气流的热焓随速度 而变化。其物理意义是非常明显的，沿流线若速度越来 越大，则它的温度将越来越低，说明它的热焓转化为动 能了。反之，速度越来越小，则温度越来越高，说明动 能转化为热焓了。考虑到 a kRT
（1）
由于动量守恒，该空间内动量的增加应等于压力冲 量加上从左方流进该空间的动量，即
1.1 扰动传播速度和音速
简化得 将式(1)代入式(2),得 （2）
此式就是任意强度的扰动传播速度。 三、音速
若扰动是微弱的，则气体受扰动后物理参数的变化 很微弱，即△p和△ρ都可作为无限小量来处理。在极限 情况下，上式可以写成
空气动力学基本概念
第一章
一维定常流
1.迹线：流场中每一个流体微团都有一个运动轨迹。那 么流体微团的运动轨迹就称为迹线。迹线只随流体微团 不同而异，所以迹线是一族曲线。 2.流线：在同一瞬间，流场中不同位置流体微团的流动 方向称之为流线。 3.流管：在流场中取任意封闭 曲线c(不与流线重合)，过其上 各点作瞬时t的流线。这些流线 围成的管子叫做瞬时t通过曲线 c的流管。如图所示。 c 在所考虑的那一瞬时，流管中的流体就好象在一个固体 管中流动一样，因为流线上的流体微团总是沿着流线的切 向流动，它是不会穿过由流线形成的管壁的。在定常流动 情况下，流管不随时间而变，在非定常流动情况下，流管 随时间而变。
a kRT
对于空气k=1.4，R=287J/Kg· K ，于是有
a 20.05 T
1.1 扰动传播速度和音速
四、马赫数 1.定义：流场中某点的相对速度和该点的当地音速之比 称为马赫数，用M表示。其表达式为
V M a
2.根据马赫数的大小，流动问题可划分为五个区域： (1)不可压缩流动(低亚音速)，即气流速度比当地音速小得 多时(通常确定为M<0.3)，可以忽略气流压缩性的影响； (2)亚音速可压缩流动(M<1)，从马赫数M等于0.3起，要计 入压缩性的影响； (3)跨音速流动(M≈1)； (4)超音速流动(M>1)； (5)高超音速流动(M>>1)。一般指来流马赫数M≥5。
4.一维定常流的定义：是指沿着流管或管道所有流动参 数(如速度V、压强p、密度ρ、温度T）只与一个空间 坐标(如沿流管中心线的坐标s)有关，而不随时间变 化的流动，这就意味着在垂直于中心轴线的每一个横 截面上所有流体的物理状态参数都是均匀一致的。而 且各点的速度均沿s轴方向。
5.流动可作为一维定常流的条件：
dp a lim VB p 0 d 0
1.1 扰动传播速度和音速
这是微弱扰动的传播速度，称之为音速。换句话说， 音速就是在气体中微弱扰动的传播速度。 微弱扰动的传播过程，可以认为是等熵过程。所以应 用等熵关系式p/ρk=C及状态方程p=ρRT得 dp p 2 a k kRT d 故
1.2 状态参数关系式
在等熵过程中气体气流单位质量气体微团的熵值为 p* S cv ln k C
k k 1 在等熵流中，S沿流线保持不变，则 p* / * ( p* / * )(1/ * ) 亦为常数，而 T* p* / R* 为常数，所以ρ*沿流线保持不 变，P*也不变。而在增熵过程中，由于S增大，ρ*减小， P*也亦减小。 3.极限状态 极限状态就是温度等于零，速度达到最大值的状态。 在此状态全部热焓转变成了动能，由能量方程
2 2 2 * 2 m
～ T ( ) 1 V 2 T0
即
2 k 1 2 V k 1
～
得
1 ～ 2 k 1 ( ) (1 V ) 0 k ～ p ( ) (1 V 2 ) k 1 p0
k 2 k 1
在临界状态(M=1)下的参数 比(k=1.4)
T* a* 2 2 ( ) 0.8333 T0 a0 k 1 * 2 k1 1 ( ) 0.6340 0 k 1 p* 2 kk ( ) 1 0.5283 p0 k 1
2 2 a* a0 RT0 k 1 k 1 2 T* T0 k 1
Vm 2 2 a0 RT0 k 1 k 1
（2）临界音速a*
（3）极限速度Vm
k 1 Vm a* k 1
1.2 状态参数关系式
二、状态参数关系式 用马赫数M、比速λ、无量纲速度 V 来表示气流状态 参数关系。 1.用马赫数M表示气流状态参数关系 在定常绝能条件下，气流参数所满足的变化关系由 能量方程得到
2 Vm k RT0 k 1 2
*
所以
Vm
2k 2 RT0 a0 k 1 k 1
1.2 状态参数关系式
4.定常绝能椭圆方程 由上述讨论可知，在定常绝能流动中，沿流线单位质 量气体的总能量不变。即
2 2 a0 Vm V2 a2 k 1 2 a* 2 k 1 2(k 1) k 1 2