新课标人教B版高中数学(必修3期末测试题

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人教版数学高一B版必修3章末综合测评2

章末综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是()A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本A[5 000名居民的阅读时间的全体是总体，每位居民的阅读时间是个体，200是样本容量．]2．小波一星期的总开支分布如图1①所示，一星期的食品开支如图1②所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为()图1A．1%B．2%C．3%D．5%C[由题图②知，小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元，占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%.]3．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，则由此求出的平均数与实际平均数的差是( )A ．3.5B ．－3C ．3D ．－0.5B [少输入90，9030＝3，平均数少3，求出的平均数减去实际平均数等于－3.]4．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取n 个学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7人，那么从高三学生中抽取的人数应为( )A ．10B ．9C ．8D ．7A [由题意知抽取的比例为7210＝130，故从高三中抽取的人数为300×130＝10.]5．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：A ．0.13B ．0.39C ．0.52D ．0.64C [频率为13＋24＋15100＝0.52.] 6．如图2是一容量为100的样本的质量的频率分布直方图，则由图可估计样本质量的中位数为( )【导学号：31892015】图2A．11 B．11.5 C．12 D．12.5C[由频率分布直方图得组距为5，故样本质量在[5,10)，[10,15)内的频率分别为0.3和0.5，从而中位数为10＋0.20.5×5＝12，故选C.]7．甲、乙两支女子曲棍球队在某年的国际联赛中，甲队平均每场进球数是3.2，全年进球数的标准差为3；乙队平均每场进球数是1.8，全年进球数的标准差为0.3.下列说法中，正确的个数为()①甲队的技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定；③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏．A．1 B．2 C．3 D．4D[因为甲队的平均进球数比乙队多，所以甲队技术较好，①正确；乙队的标准差比甲队小，标准差越小越稳定，所以乙队发挥稳定，②也正确；乙队平均每场进球数为1.8，所以乙队几乎每场都进球，③正确；由于s甲＝3，s乙＝0.3，所以甲队与乙队相比，不稳定，所以甲队的表现时好时坏，④正确．]8．在某次测量中得到的A样本数据如下：52,54,54,56,56,56,55,55,55,55.若B样本数据恰好是A样本数据都加6后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是()A．众数B．平均数C．中位数D．标准差D[由题意可知B样本的数据为58,60,60,62,62,62,61,61,61,61，将A样本中的数据由小到大依次排列为52,54,54,55,55,55,55,56,56,56，将B样本中的数据由小到大依次排列为58,60,60,61,61,61,61,62,62,62，因此A样本的众数为55，B样本的众数为61，A选项错误；A样本的平均数为54.8，B样本的平均数为60.8，B选项错误；A样本的中位数为55，B样本的中位数为61，C选项错误；事实上，在A样本的每个数据上加上6后形成B样本，样本的稳定性不变，因此两个样本的标准差相等，故选D.]9．如图3茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩．(单位：分)图3已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x，y的值分别为() A．2,6 B．2,7C．3,6 D．3,7D[依题意得9＋10×2＋2＋x＋20×2＋7＋4＝17×5，即x＝3，y＝7，故选D.] 10．在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为()A．32 B．0.2 C．40 D．0.25A[由频率分布直方图的性质，可设中间一组的频率为x，则x＋4x＝1，所以x＝0.2，故中间一组的频数为160×0.2＝32，选A.]11．如图4所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A和x B，样本标准差分别为s A和s B，则()图4A.x A ＞x B ，s A ＞s BB.x A ＜x B ，s A ＞s BC.x A ＞x B ，s A ＜s BD.x A ＜x B ，s A ＜s BB [A 中的数据都不大于B 中的数据，所以x A ＜x B ，但A 中的数据比B 中的数据波动幅度大，所以s A ＞s B .]12．已知样本数据由小到大依次为2,3,3,7，a ，b,12,13.7,18.3,20，且样本的中位数为10.5，若使该样本的方差最小，则a ，b 的值分别为( )A ．10,11B ．10.5,9.5C ．10.4,10.6D ．10.5,10.5D [由于样本共有10个值，且中间两个数为a ，b ，依题意，得a ＋b 2＝10.5，即b ＝21－a .因为平均数为(2＋3＋3＋7＋a ＋b ＋12＋13.7＋18.3＋20)÷10＝10，所以要使该样本的方差最小，只需(a －10)2＋(b －10)2最小．又(a －10)2＋(b －10)2＝(a －10)2＋(21－a －10)2＝2a 2－42a ＋221，所以当a ＝－－422×2＝10.5时，(a －10)2＋(b －10)2最小，此时b ＝10.5.] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生.【导学号：31892016】60 [根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为44＋5＋5＋6×300＝60.] 14．某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取50辆汽车进行测试分析，得到如图5所示的时速的频率分布直方图，则时速在70 km/h 以下的汽车有________辆．图520 [由频率分布直方图可得时速在70 km/h 以下的频率是(0.01＋0.03)×10＝0.4，所以频数是0.4×50＝20.]15．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表如下：气温(℃)18 13 10 －1 用电量(度) 24 34 38 64由表中数据得回归直线方程y ＝bx ＋a 中的b＝－2，预测当气温为－4 ℃，用电量为________．68度 [回归直线方程过(x ，y )，根据题意得x ＝18＋13＋10＋(－1)4＝10，y ＝24＋34＋38＋644＝40，将(10,40)代入y ^＝－2x ＋a ，解得a ^＝60，y ^＝－2x ＋60，当x ＝－4时，y ^＝(－2)×(－4)＋60＝68，即当气温为－4 ℃时用电量约为68度．]16．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图6)．由图中数据可知a ＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为________．图60．0303[∵0.005×10＋0.035×10＋a×10＋0.020×10＋0.010×10＝1，∴a＝0.030.设身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生分别有x，y，z人，则x＝0.030×10，解得x＝30.同理，y＝20，z＝10.100故从[140,150]的学生中选取的人数为10×18＝3.]30＋20＋10三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．[解]因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法．具体过程如下：(1)将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层．(2)按照样本容量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人、40人、100人、40人、60人．(3)按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本．(4)将300人合到一起，即得到一个样本．18．(本小题满分12分)某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如下表所示：(1)(2)在这10天中，该公司每天用水量的中位数是多少？(3)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个数来描述该公司每天的用水量更合适？并说明理由．[解] (1)x －＝110(22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×95)＝51(吨)．(2)中位数为41＋442＝42.5(吨)．(3)平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述每天的用水量更合适．19．(本小题满分12分)两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天的次品数如下：甲：1,0,2,0,2,3,0,4,1,2.乙：1,3,2,1,0,2,1,1,0,1.(1)哪台机床次品数的平均数较小？(2)哪台机床的生产状况比较稳定？[解] (1)x －甲＝(1＋0＋2＋0＋2＋3＋0＋4＋1＋2)×110＝1.5，x －乙＝(1＋3＋2＋1＋0＋2＋1＋1＋0＋1)×110＝1.2.∵x －甲>x －乙，∴乙车床次品数的平均数较小．(2)s 2甲＝110×[(1－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(3－1.5)2＋(0－1.5)2＋(4－1.5)2＋(1－1.5)2＋(2－1.5)2]＝1.65，同理s 2乙＝0.76，∵s 2甲>s 2乙，∴乙车床的生产状况比较稳定．20．(本小题满分12分)农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取6株麦苗测量麦苗的株高，数据如下：(单位：cm)甲：9,10,11,12,10,20乙：8,14,13,10,12,21.图7(1)在如图7给出的方框内绘出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图；(2)分别计算所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差，并由此判断甲、乙两种麦苗的长势情况．[解] (1)茎叶图如图所示：(2)x 甲＝9＋10＋11＋12＋10＋206＝12， x 乙＝8＋14＋13＋10＋12＋216＝13， s 2甲≈13.67，s 2乙≈16.67.因为x 甲＜x 乙，所以乙种麦苗平均株高较高，又因为s 2甲＜s 2乙，所以甲种麦苗长得较为整齐．21．(本小题满分12分)某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(mg/L)与消光系数如下表：尿汞含量x2 4 6 8 10 消光系数y 64 134 205 285 360(1)(2)估计尿汞含量为9 mg/L 时的消光系数.【导学号：31892017】[解] (1)设回归直线方程为y ^＝bx ＋a .∵x ＝6，y ＝209.6，∴∑i ＝15x 2i ＝220，∑i ＝15x i y i ＝7 774，∴b ^＝7 774－5×6×209.6220－5×62＝1 48640＝37.15. ∴a^＝209.6－37.15×6＝－13.3. ∴回归方程为y ^＝37.15x －13.3.(2)∵当x ＝9时，y ^＝37.15×9－13.3≈321，∴估计尿汞含量为9 mg/L 时消光系数为321.22．(本小题满分12分)某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图8所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．图8(1)求图中a 的值；高中数学打印版校对完成版本 (2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．[解] (1)由频率分布直方图知(2a ＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a ＝0.005.(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5；0.04×10×100＝40；0.03×10×100＝30；0.02×10×100＝20.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5；40×12＝20；30×43＝40；20×54＝25.故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.。

人教b版数学必修三测试题及答案

人教b版数学必修三测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = x^2 - 6x + 8，则f(3)的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 已知等差数列{a_n}的首项为2，公差为3，则a_5等于：A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A3. 函数y = 2^(-x) + 1的反函数为：A. y = log_2(x-1)B. y = log_2(x+1)C. y = -log_2(x-1)D. y = -log_2(x+1)答案：A4. 若圆x^2 + y^2 = 9与直线y = 2x相切，则圆心到直线的距离为：A. 3B. √5C. √3D. √2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (-4, 3)，则向量a与向量b的点积为______。

答案：-256. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2在x = 1处的导数为______。

答案：-47. 已知复数z = 2 + 3i，则|z| = ______。

答案：√138. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∩B = ______。

答案：{2, 3}三、解答题（每题10分，共20分）9. 已知等比数列{a_n}的前三项分别为2，6，18，求该数列的通项公式。

答案：a_n = 2 * 3^(n-1)10. 求函数y = x^2 - 4x + 4在区间[0, 3]上的最值。

答案：函数y = x^2 - 4x + 4在区间[0, 3]上的最大值为4，最小值为0。

四、综合题（每题15分，共40分）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x，求函数的单调区间。

答案：函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x的单调增区间为(-∞, 1)和(2,+∞)，单调减区间为(1, 2)。

12. 已知圆心在原点，半径为5的圆与直线y = 3x + 2相交于点A和点B，求弦AB的长度。

2020-2021学年高二数学下学期期末测试卷01(人教B版2019选择性必修第三册)(全解全析)

2020–2021学年高二下学期期末测试卷01数学·全解全析1．B 【解析】求出函数的导数，然后可得答案.2sin cos =x x xy x --'所以曲线cos x y x =在点(2π，0)处的切线的斜率为2222πππ-=-⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B 2．B 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得出关于1a 、d 的方程组，解出两个量的值，利用等差数列的求和公式可求得7S 的值.因为4516127053a a a d a a d +=+=⎧⎨=+=⎩，所以172a d =-⎧⎨=⎩，因此，()7176767772722S a d ⨯⨯=+=-⨯+⨯=-. 故选：B. 3．C 【解析】利用等比数列的性质可得424685a a a a a =，从而可得答案由等比数列的性质有42468516a a a a a ==，可得52a =±.故选：C 4．A 【解析】根据导数大于0时函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减，确定函数()f x 的单调性解：由题意可知，求函数的单调减区间，根据图象，()0f x '≤解集为1,1[2,3)3⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦，故选：A ． 5．D 【解析】由等差数列求和公式整理可得1n n a a +<，确定{}n a 为递增数列；根据871a a <-可判断数列前7项为负，由此得到结果.由()11n n n S nS ++<得：()()()()1111122n n n n a a n n a a +++++<，整理可得：1nn aa +<，∴等差数列{}n a 为递增数列，又871a a <-，80a ∴>，70a <，∴当7n ≤且n *∈N 时，0n a <；当8n ≥且n *∈N 时，0n a >；n S ∴有最小值，最小值为7S .故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列前n 项和的最值问题，解题关键是能够确定等差数列中由负变正或由正变负的项. 6．D 【解析】令()()2g x x f x =，利用导数说明其单调性，即可得到不等式()0f x <的解集；解：令()()2g x x f x =，则()()()()()()222g x xf x f x f x f x x x x '+=''=+，因为()()20f x xf x +'<，所以当0x >时()0g x '<，当0x <时()0g x '>，所以()g x 在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递减，所以()g x 在0x =处取得极大值也就是最大值，()()max 00g x g ==，所以()20x f x ≤恒成立，又当0x =时()()20f x xf x +'<，所以()00f <，所以()0f x <恒成立，即()0f x <的解集是(),-∞+∞故选：D 7．C 【解析】A. 根据()()()f x f y f xy +=，用赋值法判断.B. 利用单调性定义判断.C. 根据B 知()y f x =在()0,∞+为增函数，再由()()()*121n n f a f a n N+=+∈，得到121n n aa +=+，求通项n a 判断.D. 与C 的判断方法一致.A. 由()()()f x f y f xy +=，令1x y == 得()10f = 故A 不正确. B. 任取()12,0,x x ∈+∞且12x x <，则()()2211x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为当1x >时，()0f x >，所以()()22110x f x f x f x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，所以()y f x =在()0,∞+为增函数，故B 错误.C. 由B 知()y f x =在()0,∞+为增函数且()()()*121n n f a f a n N +=+∈，所以121n n a a +=+，即112(1)n n a a ++=+，又()110a f ==，所以111a +=，所以{}1n a +是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以121n n a -=-所以2018201921a =-，故C 正确.D. 由C 知D 不正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查了抽象函数的求值，单调性及其应用以及数列问题，还考查了推理辨析论证的能力，属于中档题. 8．A 【解析】原不等式恒成立可转化为()ln(2)0l x ax b x =+-≤恒成立，求导分析求出()l x 的最大值，求出22ln 2b a a a ≤-，构造函数22()22ln 2,t a a a a =-利用导数求最大值即可求解.令()ln(2)l x ax b x =+-，则()f x x ≤恒成立即为()0l x ≤恒成立，因为0a >，所以()l x 的定义域为(,)2ba-+∞第 4 页共 19 页22()22()1,,222a ba x ab a l x x ax b ax b a ---'=-=>-++ 当222b b x a a α--<<时()0,l x '>当22a b x a ->时，()0l x '< 在2(,)22b a b a a --上单调递增，在2(,)2a b a-+∞上单调递减，所以max 2()()2a bl x l a-=，由22()ln 2022a b a bl a a a--=-≤ 所以22ln 2b a a a ≤-，则2222ln 2.ab a a a ≤- 令22()22ln 2,t a a a a =- 则()24ln 2t a a a a '=-，令()0,t a '=则1212a e =，当12102a e <<时，()0t a '>，当1212a e >时，()0t a '<，所以()t a 在121(0,)2e 上递增，在121(,)2e +∞上递减，故12max1()()24et a t e ==，所以ab 的最大值为4e. 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据不等式恒成立转化为求函数的最大值得出22ln 2b a a a ≤-，构造函数22()22ln 2,t a a a a =-转化为求函数的最大值是解题的关键，属于难题.9．ABC 【解析】计算可得2q，故选项A 正确；8510S =，122n n S ++=，所以数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确；lg lg2n a n =⋅，所以数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误.{}n a 为递增的等比数列，由142332,12,a a a a =⎧⎨+=⎩得23142332,12,a a a a a a ==⎧⎨+=⎩解得234,8a a =⎧⎨=⎩或238,4a a =⎧⎨=⎩，∵{}n a 为递增数列，∴234,8a a =⎧⎨=⎩∴322a q a ==，212a a q ==，故选项A 正确； ∴2n n a =，()12122212nn nS +⨯-==--，∴9822510S =-=，122n n S ++=，∴数列{}2n S +是等比数列，故选项B 正确；所以122n n S +=-,则9822510S =-=，故选项C 正确.又lg2lg2lg nn n a ==⋅，∴数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：证明数列为等差（等比）数列常用的方法有：（1）定义法；（2）通项公式法（3）等差（等比）中项法（4）等差（等比）的前n 项和的公式法.要根据已知灵活选择方法证明. 10．AD 【解析】求出函数的导数，根据导数的符号判断函数的单调性，从而可判断AB 的正误，根据零点存在定理和最值的符号可判断CD 的正误.()1x xf x e-'=，令()0f x '=可得1x =，当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<，故1x =为()f x 的极大值点，故A 正确.又()f x 在(),1-∞上为增函数，()f x 在()1,+∞上为减函数，故当1x =时，函数()f x 取得最大值，故B 错误. 当10e a <<时，()()max 110f x f a e==->，又()00f a =-<，而1e a >，故2211e a >>且2212ln 221ln1l 1112ln 2l n n af a a a a a a e a a a ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()2ln ,g t t t t e =->，则()2210t g t t t-'=-=<，故()2ln g t t t =-在(),e +∞上为减函数，故112ln 20e a a-<-<，由零点存在定理及()f x 的单调性可得()f x 有两个不同的零点，故D 正确. 而当0a ≤时，当1≥x 时，()0f x >恒成立，故()f x 在R 最多有一个零点，故C 错误. 故选：AD 【点睛】方法点睛：导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明，注意需选择特殊点的函数值，使得其函数值的符号符合预期的性质，选择特殊点的依据有2个方面：（1）与极值点有明确的大小关系；（2）特殊点的函数值较易.与零点有关的不等式问题，可依据零点的性质及函数的单调性构建新函数来证明. 11．BC 【解析】先求得第一年年底剩余资金1a ，第二年底剩余资金2a ，即可判断A 的正误；分析总结，可得1n a +与n a 的关系，即可判断B 的正误；根据题意，求得n a 的表达式，利用作差法即可比较1n a +与n a 的大小，即可判断C 的正误，代入400t =，即可求得3a ，即可判断D 的正误，即可得答案.第一年年底剩余资金12000(140%)2800a t t =⨯+-=-，第二年底剩余资金211712(140%)392055a a t a t t =⨯+-=-=-，故A 错误；第三年底剩余资金3227109(140%)5488525ta a t a t =⨯+-=-=-，⋅⋅⋅所以第n +1年年底剩余资金为17(140%)5n n n a a t a t +=⨯+-=-，故B 正确；因为212277777()()55555n n n n a a t a t t a t t ---=-=--=--12217777()[1()()]5555n n a t --=-+++⋅⋅⋅+117[1()]75()(2800)7515n n t t ---=---=11757()(2800)[()1]525n n t t -----=1775()(2800)522n t t --+，所以111722775277[()(2800)]()(2800)555522552n n n n n n n t t ta a a t a a t t --+-=--=-=-+-=-，因为800t <，所以7280002t->，所以11277()(2800)0552n n n ta a -+-=->，即1n n a a +>，故C 正确；当400t =时，310910940054885488374438002525t a ⨯=-=-=<，故D 错误；故选：BC 【点睛】解题的关键是根据123,,a a a ，总结出n a ，并利用求和公式，求得n a 的表达式，综合性较强，考查计算化简的能力，属中档题. 12．ACD 【解析】利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为()y f x =与y k =有两个不同的交点，即可判断A 选项；易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，将条件等价于y k =和ln xy x=只有一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B 选项；当120x x >>时，将条件等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出m 的范围，即可判断C 选项；2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D 选项.解：对于A ，()f x 的定义域(0,)+∞，()ln 1f x x '=+，令()0f x '>，有ln 1x >-，即1x e>，可知()f x 在1(0,)e 单调递减，在1+e ∞（，）单调递增，所以极小值等于最小值， min11()()f x f e e∴==-，且当0x →时()0f x →，又(1)0f =，从而要使得方程()f x k =有两个不同的实根，即()y f x =与y k =有两个不同的交点，所以1(,0)k e∈-，故A 正确；对于B ，易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，()0f x ≠，方程2()kf x x =有且只有一个实数根，等价于y k =和ln xy x=只有一个交点， 2ln 1(ln )-'=x y x ，又0x >且1x ≠，令0y '>，即ln 1x >，有x e >，知ln xy x=在0,1（）和1e （，）单减，在+e ∞（，）上单增， 1x =是一条渐近线，极小值为e ,由ln xy x=大致图像可知0k <或=k e ，故B 错误；对于C ，当120x x >>时，[]1212()()()()m g x g x f x f x ->-恒成立，等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，即()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥恒成立，即ln 1+≥x m x在(0,)+∞上恒成立，令ln 1()x r x x +=，则2ln ()xr x x-'=，令()0r x '>得ln 0x <，有01x <<，从而()r x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，则max ()(1)1r x r ==，于是m 1≥，故C 正确；对于D ，2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点，等价于()ln120F x x ax+-'==有两个不同的正根，即方程ln12xax+=有两个不同的正根，由C可知，021a<<，即12a<<，则D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力．13．1013【解析】由1n na S+=，推得11(2)2nnana-=≥，得到数列{}na表示首项为12，公比为12的等比数列，求得na和nS，进而得到21nnnSa=-，再结合等比数列求和公式，即可求解.由数列{}na的前n项和nS，且满足1n na S+=，当2n≥时，111n na S--+=，两式相减，可得()11120n n n n n na a S S a a----+-=-=，即11(2)2nnana-=≥，令1n=，可得11121a S a+==，解得112a=，所以数列{}n a表示首项为12，公比为12的等比数列，所以12nna⎛⎫= ⎪⎝⎭，则11122111212nn nS ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-，所以1122112nn n n n S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()2939121239222(111)S S S S a a a a ++++=+++-+++()9102129211101312-=-=-=-.故答案为：1013. 【点睛】关键点睛：由1n n a S +=，利用1,1=,2n n n n S n a S S n -=⎧⎨-≥⎩，推得11(2)2n n a n a -=≥从而证得数列{}n a 为等比数列是解答本题的关键. 14．133,4⎫⎪⎭【解析】()2321f x x ax '=-+，设0x 是函数()f x 的极小值点，由0∆>和()00f x >可得032x >>用001132a x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求得答案.()2321f x x ax '=-+，由题可得，函数()f x 有极值，故24120a ∆=->，解得：3a >设0x 是函数()f x 的极小值点，故()2000032103f x x ax ax ⎧'=-+=⎪⎨>⎪⎩，解得：00011332a x x x ⎛⎛⎫=+> ⎪ ⎝⎭⎝⎭又因为函数()f x 的极小值大于零，所以()()()323200000000011332230222x f x x ax x x x x x =-++=-++=-+++>，解得：02x <所以：0001133223a x x x ⎛⎫⎛⎫=+>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由双勾函数的知识可得001132a x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在323⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以133,4a ⎫∈⎪⎭ 故答案为：133,4⎫⎪⎭15．17 【解析】利用n S 求出n a ，则可得9a .因为2n S n =，当2n ≥时，21(1)n S n -=-，所以221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，又1n =时，111a S ==也适合上式，所以21n a n =-，所以929117a =⨯-=. 故答案为：17 【点睛】关键点点睛：利用n S 求出n a 是解题关键. 16．12ln 2a ≥- 【解析】先判断()g x 的单调性，求出()max g x ，再转化已知条件得到min 1(ln )2a x x x ≥-，最后构建新函数1()ln 2h x x x x =-，并求最小值min ()h x 即可解题解：因为()322332g x x x x =-+-，所以()2231g x x x '=-+-，令()0g x '=，即22310x x -+-=，解得12x =或1x =，则()g x 在11(,)32上单调递减，在1(,1)2上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以()max 231(1)1326g x g ==-+-=- 对任意的1,23m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在1,23n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()g m f n ≤成立，则存在1,23n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()max ()f n g x ≥成立，则存在1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得21ln 36a x x +-≥-成立，则存在1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得1ln 2a x x x ≥-成立，则min 1(ln )2a x x x ≥-，1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令1()ln 2h x x x x =-，则()1ln 2h x x -'=-令()0h x '=，1ln 02x --=解得：12x e -= 所以1()ln 2h x x x x =-在121(,)3e -上单调递增，在12(,2)e -上单调递减，所以min 1()(2)22ln 212ln 22h x h ==⨯-=-，所以12ln 2a ≥-故答案为：12ln 2a ≥- 【点睛】本题考查利用导数求函数的最值、利用导函数解决不等式的恒成立与能成立问题，是偏难题. 17．（1）12n n a ；（2）2n T n =.【解析】（1）利用等比数列的求和公式进行基本量运算，可得数列{}n a 的通项公式；（2）利用等差数列的求和公式可得数列{}n b 的前n 项和n T ．（1）由题意可知()()()416311115111911a q q a qa q q q ⎧-⎪=-⎪⎨--⎪=⎪--⎩解得112a q =⎧⎨=⎩所以数列{}n a 的通项公式为12n n a .（2）2log 21n an b a n ==- 数列{}n b 的前n 项和()21212n n n T n +-==.18．（Ⅰ）11,2a b ==；（Ⅱ）()f x 的最大值为12-，最小值为212e-.【解析】（Ⅰ）由导数的几何意义以及切点在切线上也在曲线上联立方程可解. （Ⅱ）利用导数求出单调区间，再根据单调性可求最值.解：（Ⅰ）()2ln f x a x bx =-，()2af x bx x'∴=-，由题意，有()()120112f a b f b ⎧=-=⎪⎨=-=-'⎪⎩，解得112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩. （Ⅱ）由（Ⅰ）知()2ln 2x f x x =-，()211x f x x x x -'=-=，1x e e≤≤， ∴令()0f x '>，得11x e<<；令()0f x '<，得1x e <<.()f x ∴在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()1,e 上单调递减.()()221111,1,1222e f f f e e e⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭，()()()()2maxmin 11,122e f x f f x f e ∴==-==-.19．（1）a ≤5（2）最小值是f (3)＝－9，最大值是f (5)＝15. 【解析】（1）转化为()0f x '≥在[3)+∞，恒成立，即31()2a x x≤+在[1)+∞，恒成立，利用单调性求出1x x +在[3)+∞，上的最小值即可得解；（2）根据3x =是()f x 的极值点求出5a =，分析单调性即可求出最值.（1）因为()f x 在[3,)+∞上是增函数，令f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3≥0在[3,)+∞上恒成立， ∴312a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭min 1y x x=+在[1,)+∞上为增函数， ∴当3x =时，min 313105223x x ⎛⎫+=⨯= ⎪⎝⎭，∴a ≤5.（2）f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0，∴a ＝5，f (x )＝x 3－5x 2＋3x ，f ′(x )＝3x 2－10x ＋3. 令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝13(舍去). 当1＜x ＜3时，f ′(x )＜0，当3＜x ＜5时，f ′(x )＞0，即当x ＝3时，f (x )的极小值f (3)＝－9. 又f (1)＝－1，f (5)＝15，∴f (x )在[1,5]上的最小值是f (3)＝－9，最大值是f (5)＝15. 【点睛】关键点点睛：第（1）问转化为()0f x '≥在[3)+∞，恒成立是解题关键，第（2）问根据3x =是()f x 的极值点求出5a =是解题关键. 20．（1）证明见解析；（2）()1112nn -+⋅．【解析】（1）由已知得2212k k b --=，根据等差中项的性质有3232k k b -=⋅，由等比数列的定义即可证{}2k b 是等比数列；（2）由（1）得32212n n n b b ---=，写出{}n c 通项，根据裂项相消法求n S .（1）证明：由数列{}n a ，{}n b ，满足22n n a -=，()*21k k b a k N-=∈，∴2212k k b --=，由21k b -，2k b ，21k b +成等差数列，则有3232k k b -=⋅，整理得2222kk b b -=（常数）， ∴数列{}2k b ：以34为首项，公比为2的等比数列．（2）由（1）知：()323*2213222n n n n n b b n N -----=⋅-=∈， ∴()()()()()()()12212122111811212212n n n n n n n n n n n c n n n b b n n n n n n --+-++====-≥+-+⋅+⋅⋅+⋅， ∴()()0112111111111222223221212n n n nS n n n -=-+=++-=-⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅．21．（1）12a =；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】（1）当1n =时，1121a a =-，即可求得12a =；（2）因为1221n n a a a a =+++-…，化简得到11112n n n a a a ++=-，得到212211114n n n a a a ++-=-，进而得到()2222312112211111(1)(1)(1)4444n n n a a a n T a a a +++-=-+-++-=--，即可求解；（3）由（2）得到1121n n S a ++=+，由（2）得到122n n a +≤再由121n a a +≤=，12312n n n a ++≤≤即可作出证明.（1）由题意，正项数列{}n a 满足：()1221n n a n N a a a *=∈++⋅⋅⋅⋅⋅+-，当1n =时，1121a a =-，结合10a >得12a =. （2）因为1221n n a a a a =+++-…，所以12112n n a a a a +++-=…，所以11112n n n a a a ++-=，可得11112n n n a a a ++=-，所以212211114n n n a a a ++=+-，所以212211114n n n a a a ++-=-，所以22222222112132111111111()()()n n na a a a a a a a ++-=-+-++-()2222312111(1)(1)(1)4444n n a a a n T a ++=-+-++-=--即121445n n T n a ++=+-. （3）由（2）知11112n n n a a a ++-=，所以31221321111111()()()222n n na a a a a a a a a +++++=-+-++-， ()11111112n n S a a a ++-=-，即1121n n S a ++=+. 一方面，由（2）知22112214455n n T n a a a ++=+-≥+=，所以122n n a +≤另一方面，由10n a +>，所以111n n a a +<，于是1n n a a +< 121n a a +≤=，所以22211214n n T a a a n ++=++≤++…，所以12114245431n n n T n n n a a +++=+-≤+⇒≥+12312n n n a ++≤≤131121n n S n +++≤≤，所以当2n ≥321211n n S n +≤-≤-. 【点睛】数列与函数、不等式综合问题的求解策略：1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前n 项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性；2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决. 22．（1）()1f x x =+；（2）极大值为()01g =，无极小值；（3）()1,323,2e e ⎛⎫-∞--+∞⎪⎝⎭【解析】（1）先根据题意得()1,0P m -，进而得切线斜率1k =，故()1f x x m =-+，再根据()12f =求得m ，进而得解析式；（2）由（1）()1xx g x e +=，求导得()'x xg x e -=，进而根据导数与极值的关系即可得答案；（3）将不等式整理变形得：存在实数[]21,11,x e x ∈使()1212h x h x ⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，进而转化为()()min max 2h x h x <，再研究函数()h x 的单调性得()0,a x e ∈时，函数()h x 为减函数，(),+a x e ∈∞时，函数()h x 为增函数，再分0a ≤，01a <<，1a ≥三种情况讨论求解即可得答案.解：（1）令()ln 0y x m =+=解得1x m =-，故点()1,0P m -，对函数()ln y x m =+求导得1'y x m=+，所以曲线()ln y x m =+在点P 处的切线斜率为111k m m==-+，所以曲线()ln y x m =+在点P 处的切线方程为：1y x m =-+，即：()1y f x x m ==-+，又因为()12f =，故2m =，所以()y f x =的解析式()1f x x =+. （2）由（1）知()()1xx f x x g x e e+==，函数定义域为R ，所以()'xxg x e -=，故当()0,x ∈+∞时，()'0g x <，()g x 单调递减，当(),0x ∈-∞时，()'0g x >，()g x 单调递增，所以函数()g x 在0x =处取得极大值，极大值为()01g =，无极小值.（3）因为()()222222222222ln 1ln 1ln 1ln x x a x x x x x a x x x +-++-+=()()2222222211ln 1ln 1ln 1ln 111a x a x x x x x ⎛⎫+-+ ⎪+-+⎝⎭==，故不等式()()21222222ln 1ln h x x x a x x x <+-+等价于()1212h x h x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因为[]211,e x ∈ ，故存在实数[]21,11,x e x ∈使()1212h x h x ⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，所以只需()()min max 2h x h x <成立即可.所以()()()()222ln 1ln ln 1ln 'x a x a x a x h x x x-++---==，因为[]1,x e ∈时，[]ln 0,1x ∈，故[]ln 11,0x -∈-所以当()0,ax e∈时，()'0h x <，函数()h x 为减函数，(),+a x e ∈∞时，()'0h x >，函数()h x 为增函数所以（i ）当0a ≤时，()'0h x >在[]1,e 恒成立，故函数()h x 在[]1,e 单调递增，故()()()()min max 311,a h x h h x h e e -====，所以32ae-<，解得32a e <-；（ii ）当01a <<时，()1,a x e ∈时，()'0h x <，函数()h x 为减函数，(),a x e e ∈时，()'0h x >，函数()h x 为增函数，故()()min 1a a a h x h e e+==，()()(){}max3,033max 1,max 1,1,31aa e a h x h h e ee e a -⎧<<--⎪⎧⎫===⎨⎬⎨⎩⎭⎪-≤<⎩，所以，当03a e <<-时，132a a a e e+-<，即()()1213a a a e -+<-，令()()()1213a m a a a e-=+--，()11'22a a m a e ae --=-+，()()111''10a a a m a e ae a e ---=-+=-<，故()'m a 在()0,1单调递减，()()()''3'10m a m e m a >->=>，故()m a 在()0,1单调递增，所以()m a 在()0,3e -上也单调递增，()()3020m a m e>=->，与()()()12130a m a a a e -=+--<矛盾，无解当31e a -≤<时，121aa e+<，即()21a a e +<，所以()210aa e +-<，令()()21ak a a e =+-，()'2ak a e =-，令()'20ak a e =-=得ln 2a =，故当0ln 2a <<时，()'0k a >，函数()k a 单调递增，当ln 21a <<时，()'0k a <，函数()k a 单调递减，由于()()()()01,140k a k k a k e >=>=->，故函数()k a 在()0,1的函数值恒大于0，故当31e a -≤<时，()0k a >，与()210aa e +-<矛盾，无解；（iii ）当1a ≥时，[]1,x e ∈时，()'0h x <，函数()h x 为减函数，故()()()()max min 311,a h x h h x h e e -====，所以()231a e-<，解得132a e >-；综上，实数a 的取值范围是()1,323,2e e ⎛⎫-∞--+∞⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查导数的几何意义，极值，不等式能成立问题，考查运算求解能力，分类讨论思想，综合分析问题与解决问题的能力，是难题.本题第三问解题的关键在于对已知不等式变形转化为存在实数[]21,11,x e x ∈使()1212h x h x ⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，进而只需()()min max 2h x h x <成立即可，再分类讨论求函数的最值即可.。

2024-2025学年高中数学人教B版必修三综合测试卷

2024-2025学年高中数学人教B 版必修三综合测试卷(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．sin 480°等于()A ．－12B ．12C ．－32D ．322．若a ＝(3，4)，b ＝(5，12)，则a 与b 的夹角的余弦值为()A ．6365B ．3365C ．－3365D ．－63653．若|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝7，则a 与b 的夹角θ的余弦值为()A ．－12B ．12C ．13D ．－134．设向量a α的模为22，则cos 2α等于()A ．－14B ．－12C ．12D ．325．化简式子2－sin 22＋cos4的值是()A ．sin 2B ．－cos 2C ．3cos 2D ．－3cos 26．函数f (x )＝tan (x 2－π6)的单调递增区间是()A ．[2k π－2π3，2k π＋4π3]，k ∈Z B ．(2k π－2π3，2k π＋4π3)，k ∈Z C ．[4k π－2π3，4k π＋4π3]，k ∈ZD ．(4k π－2π3，4k π＋4π3)，k ∈Z 7.如图，某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝4sin (πx6＋φ)＋k ，据此图象可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A ．10B ．8C ．6D ．58.如图，向量OA →＝a ，OB →＝b ，且BC →⊥OA →，C 为垂足，设向量OC →＝λa (λ>0)，则λ的值为()A ．a ·b |a |2B ．a ·b |a ||b |C ．a ·b |b |D ．|a ||b |a ·b二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．下列函数中，周期不为π2的是()A ．y ＝cos 4xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝cosx 4D ．y ＝sinx 210．已知函数f (x )＝2sin x cos x －2sin 2x ，给出下列四个选项，正确的有()A ．函数f (x )的最小正周期是πB ．函数f (x )在区间[π8，5π8]上是减函数C ．函数f (x )的图象关于点(－π8，0)对称D ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin2x 的图象向右平移π8个单位，再向下平移1个单位得到11．若函数f (x )＝cos ωx (ω>0)在开区间(2π，3π)内既没有最大值1，也没有最小值－1，则下列ω的取值中，可能的有()A ．13B ．12C ．34D ．112．已知向量a 与向量b 满足如下条件，其中a 与b 的夹角是π3的有()A ．|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2B ．|a |＝|b |＝1，a 2＋a ·b ＝32C ．a ＝(3，－1)，b ＝(23，2)D ．a ＝(2，23)，b ＝(－3，0)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．)13．将函数y ＝sinx 的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，则所得的函数的解析式是________．14．若扇形的周长是16cm ，圆心角是2rad ，则扇形的面积是________cm 2.15．设α为锐角，若cos (α＋π6)＝45，则sin (2α＋π12)的值为________.16．关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x有如下四个命题：①f (x )的图象关于y 轴对称．②f (x )的图象关于原点对称．③f (x )的图象关于直线x ＝π2对称．④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(10分)如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α、β(β>α)的终边分别与单位圆交于A，B两点，点A(45，3 5 ).(1)若点B(513，1213)，求cos(α＋β)的值；(2)若OA→·OB→＝31010，求sinβ.18．(12分)设向量a ＝(cos (α＋β)，sin (α＋β))，b ＝(cos (α－β)，sin (α－β))，且a ＋b ＝.(1)求tan α的值；(2)求2cos 2α2－3sin α－12sin （α＋π4）的值．19．(12分)已知sin α＝35，α∈(0，π2).(1)求sin (α＋π4)的值；(2)若tan β＝13，求tan (2α－β)的值．20．(12分)已知函数y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1，x ∈R .(1)求它的振幅、周期和初相；(2)用“五点法”作出它的简图；(3)该函数的图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？21．(12分)函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ>0，ω>0，|φ的一段图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？22．(12分)已知向量m ＝(sin x ，－12)，n ＝(3cos x ，cos 2x )，函数f (x )＝m ·n .(1)求函数f (x )的最小正周期及单调增区间；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在[0，π2]上的值域．答案解析1．解析：sin 480°＝sin (360°＋120°)＝sin 120°＝sin (180°－60°)＝sin 60°＝32.答案：D2．解析：由题意得cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝3×5＋4×125×13＝6365.答案：A3．解析：由|a ＋b |＝7，得7＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝1＋4＋2×1×2cos θ，所以cos θ＝12.答案：B4．解析：由题意，知＝22.∴cos 2α＝14.∴cos2α＝2cos 2α－1＝12－1＝－12.答案：B5．解析：将cos4运用倍角公式变形为1－2sin 22，从而原式化为3－3sin 22，再开方即得结果．答案：D6．解析：由题意，函数f (x )＝tan ，令－π2＋k π<x 2－π6<π2＋k π，k ∈Z ，解得2k π－2π3<x <2k π＋4π3，k ∈Z ，即函数f (x )k π－2π3，2k π，k ∈Z .答案：B7．解析：某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝4sin (πx6＋φ)＋k ，据此图象可知，这段时间水深最小值为－4＋k ＝2，所以k ＝6，故这段时间水深(单位：m )的最大值为4＋k ＝10.答案：A8．解析：OC →为OB →在OA →上的投影．故|OC →|＝a ·b|a |，∴OC →＝a ·b |a |·a |a |＝a ·b |a |2·a .答案：A9．解析：对于选项A ，周期为T ＝2π4＝π2；对于选项B ，周期为T ＝2π2＝π；对于选项C ，周期为T ＝2π14＝8π；对于选项D ，周期为T ＝2π12＝4π.故选BCD.答案：BCD10．解析：因为f (x )＝2sin x cos x －2sin 2x ＋1－1＝sin2x ＋cos 2x －1＝2sin (2x ＋π4)－1，对A ，因为ω＝2，所以f (x )的最小正周期T ＝π，结论正确；对B ，当x ∈[π8，5π8]时，2x ＋π4∈[π2，3π2]；则f (x )在[π8，5π8]上是减函数，结论正确．对C ，因为f (－π8)＝－1，得到函数f (x )－π8，－，结论不正确；对D ，函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π8个单位，再向下平移1个单位得到，结论不正确．答案：AB11．解析：因为函数f (x )＝cos ωx (ω>0)在开区间(2π，3π)内既没有最大值，也没有最小值，所以f (x )＝cos ωx (ω>0)的周期大于等于2π，即2πω≥2π，所以ω≤1.当ω＝13时，f (x )＝cos 13x ，x ∈(2π，3π)时，x 3∈(2π3，π)，无最大值1和最小值－1，ω＝13成立，A 正确；当ω＝12时，f (x )＝cos 12x ，x ∈(2π，3π)时，x 2∈(π，3π2)，无最大值1和最小值－1，ω＝12成立，B 正确；当ω＝34时，f (x )＝cos 3x 4，x ∈(2π，3π)时，3x 4∈(3π2，9π4)，有最大值1，不成立，C 不正确；当ω＝1时，f (x )＝cos x ，x ∈(2π，3π)时，无最大值1和最小值－1，ω＝1成立，D 正确．故选ABD.答案：ABD12．解析：由a ·(b －a )＝2，得a ·b －a 2＝2，则a ·b ＝3，设向量a 与向量b 的夹角为α，则a ·b ＝|a |·|b |cos α＝3，则cos α＝12，那么α＝π3，则A 正确；由a 2＋a ·b ＝32，得a ·b ＝12，设向量a 与向量b 的夹角为α，则a ·b ＝|a |·|b |cos α＝12，则cos α＝12，那么α＝π3，则B 正确；由a ＝(3，－1)，b ＝(23，2)，则|a |＝2，|b |＝4，a ·b ＝4，则cos α＝12，那么α＝π3，则C 正确；由a ＝(2，23)，b ＝(－3，0)，则|a |＝4，|b |＝3，a ·b ＝－6，则cos α＝－12，那么α＝2π3，则D 不正确．答案：ABC13．解析：图象向右平移π8个单位，解析式应变为y ＝sin 3＋π4，即y ＝sinx ，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍，得y ＝sin .答案：y ＝sin 14．解析：设扇形半径为r cm ，弧长为l cm ，则l ＝2r,16＝2r ＋2r ，所以r ＝4，则扇形面积为S ＝12×2×r 2＝16(cm 2).答案：1615．解析：设β＝α＋π6，所以sin β＝35，sin 2β＝2sin βcos β＝2425，cos 2β＝2cos 2β－1＝725，所以sin(2α＋π12)＝sin (2α＋π3－π4)＝sin (2β－π4)＝sin2βcosπ4－cos 2βsinπ4＝17250.答案：1725016．解析：要使函数f (x )＝sin x ＋1sin x有意义，则有sin x ≠0，∴x ≠k π，k ∈Z ，∴定义域为{x |x ≠kπ，k ∈Z }，定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝sin (－x )＋1sin （－x ）＝－sin x －1sin x x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．∴f (x )的图象关于原点对称，∴①是假命题，②是真命题．对于③，要证f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，只需证＝.∵＝sin ＋1sin ＝cos x ＋1cos x ，＝sin ＋1sin ＝cos x ＋1cos x ，∴＝，∴③是真命题．令sin x ＝t ，－1≤t ≤1且t ≠0，∴g (t )＝t ＋1t，－1≤t ≤1且t ≠0，此函数图象如图所示(对勾函数图象的一部分)，∴函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴函数的最小值不为2，即f (x )的最小值不为2.∴④是假命题．综上所述，所有真命题的序号是②③.答案：②③17．解析：(1)因为α，β是锐角，且A (45，35)，B (513，1213)在单位圆上，所以sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1213，cosβ＝513，所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×513－35×1213＝－1665.(2)因为OA →·OB →＝31010，所以|OA →|·|OB →|cos (β－α)＝31010，且|OA →|＝|OB →|＝1，所以，cos (β－α)＝31010，可得sin (β－α)＝1010(β>α)，且cos α＝45，sin α＝35，所以sin β＝sin [α＋(β－α)]＝sin αcos (β－α)＋cos αsin (β－α)＝35×31010＋45×1010＝131050.18．解析：(1)a ＋b ＝(cos αcos β－sin αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β，sin αcos β＋cos αsin β＋sin αcos β－cos αsin β)＝(2cos αcos β，2sin αcos β).∴2cos αcos β＝45，2sin αcos β＝35，∴tan α＝34.(2)2cos 2α2－3sin α－12sin＝cos α－3sin αsin α＋cos α＝1－3tan α1＋tan α＝－57.19．解析：(1)因为sin α＝35，α∈(0，π2)，所以cos α＝1－sin 2α＝1－（35）2＝45，所以sin (α＋π4)＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝35×22＋45×22＝7210.(2)由(1)tan α＝34得tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝321－916＝247，所以tan (2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝247－131＋247×13＝139.20．解析：y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1＝14cos 2x ＋34sin 2x ＋54＝12sin (2x ＋π6)＋54.(1)y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1的振幅为A ＝12，周期为T ＝2π2＝π，初相为φ＝π6.(2)令x 1＝2x ＋π6，则y ＝12sin (2x ＋π6)＋54＝12sin x 1＋54，列出下表，并描点得出的图象如图所示：x －π12π65π122π311π12x 10π2π3π22πy ＝sinx 110－10y ＝12sin (2x ＋π6)＋545474543454(3)将函数图象依次经过如下变换：函数y ＝sin x 的图象．函数y ＝sin (2x ＋π6)的图象函数y ＝12sin (2x ＋π6)的图象函数y ＝12sin (2x ＋π6)＋54的图象，即得函数y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1的图象．21．解析：(1)由题图，得A ＝3，2πω＝43＝5π，故ω＝25.由f (x )＝3sin ，得sin ＝0.又|φ|<π2，∴φ＝－π10，∴f (x )＝3sin .(2)设把f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度，能使得到的图象对应的函数为偶函数．由f (x ＋m )＝3sin 25（x ＋m ）－π10＝3sin (2x 5＋2m 5－π10)为偶函数，知2m 5－π10＝k π＋π2(k ∈Z )，解得m ＝5k π2＋3π2(k ∈Z ).∵m >0，∴m min ＝3π2.故至少把f (x )的图象向左平移3π2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．22．解析：(1)f (x )＝m ·n ＝3sin x cos x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin (2x －π6)，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，所以增区间为[－π6＋k π，π3＋k π]，k ∈Z .(2)由(1)得f (x )＝sin (2x －π6)，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位得到y ＝sin [2(x ＋π6)－π6]＝sin (2x ＋π6)的图象，因此g (x )＝sin (2x ＋π6)，又x ∈[0，π2]，所以2x ＋π6∈[π6，7π6]，sin (2x ＋π6)∈[－12，1]，故g (x )在[0，π2]上的值域为[－12，1].。

高中数学人教B版必修第三册《7.1.2 弧度制及其与角度制的换算》练习题(3)

人教B 版必修第三册《7.1.2 弧度制及其与角度制的换算》练习题(3)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.半径为3cm 的圆中，有一条弧AB 长度为π2cm ，则此弧AB 所对的圆心角为( )A. 30°B. 15°C. 40°D. 20°2.若弧度为2α(0<α<π2)的圆心角所对弦长为m ，则该圆心角所对的弧长为( )A. amsinαB. amcosαC. am2sinαD. αm2cosα3.平面区域{y ≥xy ≥−√3x x 2+y 2≤2的面积是( )A. 5π12B. 5π6C. 7π12D. 7π64.若θ为第二象限角，则下列结论一定成立的是( )A. sin θ2>0B. cos θ2>0C. tan θ2>0D. sin θ2cos θ2<05.下列说法正确的是( )A. 小于90°的角是锐角B. 锐角是第一象限角，反之亦然C. 角α的三角函数值与终边上点P 的位置无关D. 若α∈R ，则tan α=sinαcosα恒成立6.将23弧度化为角度的结果为( )A. (120π)° B. 120°C. (π270)°D. 270°7.−120°的弧度数是( )A. −5π6B. −4π3C. −2π3D. −3π48.如图所示，扇形OPQ 的半径为2，圆心角为π3，C 是扇形弧上的动点，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，则S ABCD 的最大值是( )A. 2√33B. 2√3C. √3D. 23二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）9.如图，三棱锥A−BCD的顶点B、C、D在平面α内，CA=AB=BC=CD=DB=4，AD=2√6，若将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内为止，则A、D两点所经过的路程之和是 ______．10.圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为．11.已知一个扇形的周长是，面积为，则这个扇形的圆心角的弧度数为___________三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）12.用弧度制表示终边在x轴上的角的集合．13.若分针走过2小时30分，则分针转过的角是______．14.时间经过4h，时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？15.已知弧长50cm的弧所对圆心角为200°，求这条弧所在的圆的半径(可用计算工具，精确到1cm)．16.已知一个扇形的周长为l，当扇形的半径和中心角分别为多大时，扇形的面积最大？【答案与解析】1.答案：A解析：解：l=nπ×3180°=π2，解得：n=30°，故选：A．本题主要考查了弧长公式，属于基础题．利用弧长公式计算即可．2.答案：A解析：解：设圆的半径为r，由弧度为2α(0<α<π2)的圆心角所对弦长为m，则sinα=m2r=m2r，r=m2sinα；该圆心角所对的弧长为l=2αr=mαsinα．故选：A．根据三角函数定义求出圆的半径，再计算圆心角所对的弧长．本题考查了三角函数的定义与弧长计算问题，是基础题．3.答案：A解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图，则区域是圆心角是5π12是扇形，故面积是5π24×π×2=5π12．故选：A．作出不等式组对应的平面区域，结合相应的面积公式即可得到结论．本题主要考查平面区域的应用，以及扇形的面积公式，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．4.答案：C解析：解：∵θ为第二象限角，∴π2+2kπ<θ<π+2kπ，k∈Z．则π4+kπ<θ2<π2+kπ，k∈Z，∴θ为一或三象限角，得tanθ2>0．故选：C．由θ的范围求得θ2的范围，再由三角函数的象限符号得答案．本题考查三角函数的象限符号，是基础题．5.答案：C解析：解：对于A，小于90°的角不一定是锐角，也可能是零度的角或负角，∴A错误；对于B，锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角，∴B错误；对于C，角α的三角函数值，与α的终边有关系，但与终边上点P的位置无关，C正确；对于D，α∈R时，tan α=sinαcosα不一定成立，如α=π2+kπ，k∈Z时，∴D错误．故选：C．A中，小于90°的角不一定是锐角；B中，锐角是第一象限角，反之不成立；C中，角α的三角函数值，与α的终边有关系，与终边上点P的位置无关；D中，α=π2+kπ，k∈Z时，tanα不存在．本题考查了任意角的概念与应用问题，也考查了三角函数的概念与应用问题，是基础题．6.答案：A解析：解：∵1rad=(180π)°，∴23=23×(180π)°=(120π)°．故选：A．把1弧度=(180π)°代入即可化为角度制．本题考查弧度与角度的互化，关键在于掌握二者的互化公式，属于基础题．7.答案：C解析：解：−120°的弧度数−120×π180=−2π3故应选C．考查角度制与弧度制的转化，属于基本知识型题．8.答案：A解析：解：如图，记∠COP=α，在Rt△OBC中，OB=2cosα，BC=2sinα，在Rt△OAD中，OA=√33DA=√33BC=√33×2sinα．所以AB=OB−OA=2cosα−2√33sinα．设矩形ABCD的面积为S，则S=AB⋅BC=(2cosα2√33sinα)⋅2sinα=4sinαcosα4√33sin2α=2sin2α+2√33cos2α−2√33=4√3sin(2α+π6)−2√33．由于0<α<α3，所以当2α+π6=π2，即α=π6时，S最大=√3−2√33=2√33．因此，当α=π6时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为2√33．故选：A．如图先用所给的角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型，再根据所建立的模型利用三角函数的性质求最值．本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简．9.答案：2√3π解析：解：如图，取BC中点O，在△ABC和△BCD中，∵CA=AB=BC=CD=DB=2，∴AO=DO=2√3，在△AOD中，AO=DO=2√3，又AD=2√6，∴cos∠AOD=AO2+DO2−AD22⋅AO⋅DO =√3)2√3)2√6)22×2√3×2√3=0，则∠AOD=π2，∴将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内时，A、D两点所经过的路程都是以O为圆心，以OA为半径的14圆周，∴A、D两点所经过的路程之和是12×2π×OA=2√3π．故答案为：2√3π．由题意画出图形，可得∠AOD为直角，求出OA的长度，然后利用圆的周长公式求解．本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查了空间想象能力和理解能力，训练了圆的周长公式的应用，是中档题．10.答案：解析：解析：试题分析：扇形面积公式，即(必须为弧度制)．考点：扇形面积公式．11.答案：解析：12.答案：解：终边在x轴上的角的集合为{α|α=kπ,k∈Z}．解析：直接写出终边在x轴上的角的集合即可．本题考查轴线角，是基础题．13.答案：−900°解析：解：分针走过2小时30分，是2.5周角，角度数是2.5×360°=900°；又分针是顺时针旋转，转过的角是−900°．故答案为：−900°．根据分针走过2小时30分，是2.5周角，结合分针是顺时针旋转，转过的角是负角，求出即可．本题考查了角度制的推广与应用问题，是基础题．14.答案：解：时针经过1小时旋转了30°，则经过4h，时针旋转了120°，为2π；3分针经过1小时，旋转了360°，则经过4h，分针旋转了1440°，为8π．解析：分别求出经过1小时时针与分针各转的度数，乘以4得到经过4h时针、分针各转的度数，进一步转化为弧度制．本题考查象限角与轴线角，考查实际问题中时针、分针的旋转大小问题，是基础题．15.答案：解：设这条弧所在圆的半径为r，则50=200×π180r，解得r=45π．解析：直接利用弧长公式即可本题考查了利用弧长公式求圆半径，属于基础题．16.答案：解：设扇形面积为s，半径为r，圆心角为α，则扇形弧长为l−2r，所以S=12(l−2r)r=−(r−l4)2+l216．故当r=l4，且α=2时，扇形面积最大．解析：设扇形的弧长，然后，建立关系式，结合二次函数的图象与性质求解最值即可．本题重点考查了扇形的面积公式、弧长公式、二次函数的最值等知识，属于基础题．。

(word完整版)高中数学必修三期末测试题(2021年整理)

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必修三期末测试题考试时间：90分钟试卷满分:100分一、选择题：本大题共14小题，每小题4分,共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．如果输入n ＝3，那么执行右图中算法的结果是( ). A ．输出3B ．输出4C ．输出5D ．程序出错，输不出任何结果2．一个容量为1 000的样本分成若干组，已知某组的频率为0。

4，则该组的频数是（ ). A ．400B ．40C ．4D ．6003．从1,2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数,两个数都是奇数的概率是（ ). A ．61B ．41C ．31D ．214．用样本估计总体,下列说法正确的是（）. A ．样本的结果就是总体的结果 B ．样本容量越大,估计就越精确C ．样本的标准差可以近似地反映总体的平均状态D ．数据的方差越大，说明数据越稳定 5．把11化为二进制数为（）. A ．1 011（2）B ．11 011(2）C ．10 110(2)D ．0 110(2）6．已知x 可以在区间[－t ，4t ］(t ＞0)上任意取值,则x ∈［－21t ，t ］的概率是( ）.(word 完整版)高中数学必修三期末测试题(word 版可编辑修改)A ．61 B ．103C ．31D ．217．执行右图中的程序，如果输出的结果是4,那么输入的只可能是( )。

2020-2021学年高二数学下学期期末测试卷03(人教B版2019选择性必修第三册)(全解全析)

2020–2021学年高二下学期期末测试卷03数学·全解全析1．C 【解析】根据等比数列的性质得5123453a a a a a a ⋅⋅⋅⋅=，由对数运算化简即可．解：因为等比数列{}n a 的各项均为正数，且39a =所以3132333435log log log log log a a a a a ++++()()()()55103123453333log log log 9log 310a a a a a a =⋅⋅⋅⋅====.故选：C ．【点睛】对数运算的一般思路：（1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；（2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 2．D 【解析】首先对函数()f x 求导，令2x =，得到关于()2f '的方程，即可求出()2f '，再利用二次函数的图象和性质，即可确定m 的取值范围．依题可得，()()222f x x f ''=+，令2x =，得()()2422f f ''=+，解得()24f '=-，所以()22()81244f x x x x =-+=--，因为()012f =，()44f =-，而由二次函数的对称性可知，()812f =，故48m ≤≤．故选：D ．【点睛】本题主要考查导数的四则运算法则和基本初等函数导数公式的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，属于中档题．3．D 【解析】由等差数列求和公式整理可得1n n a a +<，确定{}n a 为递增数列；根据871a a <-可判断数列前7项为负，由此得到结果.由()11n n n S nS ++<得：()()()()1111122n n n n a a n n a a +++++<，整理可得：1nn aa +<，∴等差数列{}n a 为递增数列，又871a a <-，80a ∴>，70a <， ∴当7n ≤且n *∈N 时，0n a <；当8n ≥且n *∈N 时，0n a >；n S ∴有最小值，最小值为7S .故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列前n 项和的最值问题，解题关键是能够确定等差数列中由负变正或由正变负的项. 4．A 【解析】令()()cos f x F x x=，根据题设条件，求得()F'0x <，得到函数()()cos f x F x x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调递减函数，再把不等式化为()3cos cos 3f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，结合单调性和定义域，即可求解.由题意，函数()f x 满足()()'cos sin 0f x x f x x +<，令()()cos f x F x x=，则()()()2'cos sin '0cos f x x f x xF x x+=< 函数()()cos f x F x x=是定义域,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调递减函数，由于cos 0x >，关于x 的不等式()2cos 3f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()3cos cos 3f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，即()3F x F π⎛⎫<⎪⎝⎭，所以22x ππ-<<且3x π<，解得23x ππ>>，不等式()2cos 3f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】构造法求解()f x 与()f x '共存问题的求解策略：对于不给出具体函数的解析式，只给出函数()f x 和()f x '满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，常见类型：（1）()()()()f x g x f x g x ''±型；（2）()()xf x nf x '+型；（3）()()(f x f x λλ±为常数)型. 5．D 【解析】分析得出0a <，利用导数分析函数()f x 的单调性，可得知1x 为函数()f x 的极大值点，2x 为函数()f x 的极小值点，再由()()1f x f n =、()()2f x f m =结合因式分解可得出结论.当0a ≥时，()230f x x a '=+≥，此时，函数()f x 在R 上为增函数，当1x 、()2,x m n ∈时，()()1f x f n <，()()2f x f m >，不合乎题意，所以，0a <. 由()0f x '=可得3ax =±-当3a x或3ax 时，()0f x '>；当33a ax时，()0f x '<. 所以，函数()f x 的单调递增区间为,3a ⎛-∞-- ⎝，,3a ⎫-+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为,33a a ⎛--- ⎝. 对任意的[],x m n ∈恒有()()()f m f x f n ≤≤，()()min f x f m =，()()max f x f n =，又当1x 、()2,x m n ∈且满足()()1f x f n =，()()2f x f m =，所以，1x 为函数()f x 的极大值点，2x 为函数()f x 的极小值点，则13a x =--，23a x =-，由()()1f x f n =可得3311x ax b n an b ++=++，可得()()33110x n a x n -+-=，即()()221110x n x nx n a -+++=，因为1x n ≠，则22110x nx n a +++=，13a x =--213a x =-，所以，221120n nx x +-=，即()()1120n x n x -+=，所以，120n x +=，同理可得220m x +=，故选：D. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）利用已知条件分析出1x 、2x 为函数()f x 的极值点；（2）利用等式()()1f x f n =，()()2f x f m =结合因式化简得出结果. 6．A 【解析】先利用单调性依次写出前几项，再根据规律求和即可.数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，故从2a 起单调递增，且1231,0,3a a a ===，所以11112101b A B a a =-=-=-=，22213b A B a a =-=-，33334b A B a a =-=-，44445b A B a a =-=-，…，1010101011b A B a a =-=-，又2112117116171a =⨯-⨯+=，所以数列{}n b 的前10项和为()()()()12101334451011...1...b b b a a a a a a a a +++=+-+-+-++-111111171169a a =+-=+-=-.故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于发现数列从2a 起单调递增，才能依次确定{}n b 的项，找到规律，突破难点. 7．B 【解析】分析：由题意首先求得{}n a 的通项公式，然后结合等差数列的性质得到关于k 的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果. 详解：由题意,11222n nn a a a A n-+++=12n +=，则1112222n n n a a a n -++++=⋅，很明显14a =n ⩾2时,()21212212n n n a a a n --+++=-，两式作差可得：()()11221212n n n n n a n n n -+=--=+，则a n =2(n +1),对a 1也成立，故a n =2(n +1)，则a n −kn =(2−k )n +2，则数列{a n −kn }为等差数列，故S n ⩽S 6对任意的*n N ∈恒成立可化为： a 6−6k ⩾0,a 7−7k ⩽0；即()()62207220k k ⎧-+≥⎪⎨-+≤⎪⎩，解得：16773k ≤≤.实数k 的取值范围为16773⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.本题选择B 选项.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 8．B 【解析】先求得函数()f x 的零点,表示出()g x 的零点,根据“n 距零点函数”的定义,求得()g x 的零点取值范围.通过分离参数,用()g x 的零点表示出a .构造函数,利用导函数研究函数的单调性和最值,即可求得a 的取值范围.因为()f x 与()g x 互为“1距零点函数”. 且当()()2020log 10f x x =-=时,2x =设()20xg x x ae =-=的解为0x 由定义n αβ-<可知, 021x -<解得013x <<而当()20xg x x ae =-=时, 020x x a e =令()()020001,3,x x h x x e =∈则()()020000,2'1,3x x x h x x e-=∈ 令()0'0h x =,解得02x =或00x =（舍）所以当012x <<时,()0'0h x >, ()0200x x h x e =单调递增且()11h e =当023x <<时, ()0'0h x <,()0200x x h x e =单调递减,且()393h e =所以()()02max 42h x h e ==即()0214,hx e e ⎛⎤∈⎥⎝⎦则214,a e e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选:B 【点睛】本题考查了函数新定义的应用,利用导数分析函数的单调性与最值,利用分离参数和构造函数法求参数的取值范围,属于难题. 9．BCD 【解析】根据周期函数的定义判定选项A ；根据奇偶性的定义判断选项B ；根据导函数取得正负的区间判断C ；根据导函数取得零点的值判断D 选项.对于A 选项：()()()+2+2+2sin +2sin x x f x e x ex f x ππππ==≠，所以函数()f x 不是周期为2π的函数，故选项A 错误；对于B 选项：()f x 的定义域为R ，()()()sin sin xxf x e x e x f x --=-=-=-，所以函数()f x 是奇函数，故B 正确；对于C 选项：当,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()sin x f x e x -=，()()'cos sin >0x f x e x x -=-，所以函数()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，当30,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin xf x e x =，()()'sin +cos >0x f x e x x =，所以函数()f x 在30,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以函数()f x 在3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数，故C 正确；对于D 选项：当[)0,10x π∈时，()sin xf x e x =，()()'sin +cos x fx e x x =，令()()'sin +cos 0x f x e x x ==，得()+1,2,3,4,5,6,7,8,9,104x k k ππ=-=，当()100x π∈-，时，()sin xf x e x -=，()()'cos sin x f x e x x -=-，令()()'cos sin 0x f x e x x -=-=，得()+1,2,3,4,5,6,7,8,9,104x k k ππ==----------，所以在()10,10ππ-，使导函数'0f x的点有20个，且这20个点是变号零点，所以函数()f x 在()10,10ππ-内有20个极值点，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查了奇函数、周期函数定义，三角函数的几何性质，函数的极值，利用导数研究单调性，考查综合分析求解与论证能力，属于较难题. 10．ACD 【解析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案.对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确；对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-++-=，故C 正确.对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018aa a a a =-，可得22212201920202019201920202019a a a a a a a a+++==，故D 正确；故选：ACD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题. 11．ACD 【解析】化简函数()f x ，对A 选项，利用轴对称的意义验证并判断；对B ，C 选项，换元借助导数求解并判断；对D 选项，利用对称性、周期性计算并判断.依题意有222[2)]2()(sin cos )44()sin cos 22)2sin()244x x x x f x x x x x ππππ+++===+++++ 对于A 选项：22222()2()2cos 2cos 22()()44cos 2cos 2sin()2sin()222x x x x f x f x x x x x ππππππ+-+==-==++++-即()()44f x f x ππ+=-，()f x 的图像关于直线4x π=对称，A 正确；对于B 选项：,0,sin()24x t x ππ⎛⎫∈-=+ ⎪⎝⎭在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，22t <<，22()2t g t t =+， 2222)()(2)t g t t '=+202t -<<时()0g t '<，202t <<时()0g t '>，即()g t 在22(22-不单调，由复合函数单调性知，()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，即B 错误；对于C 选项：令sin(),4t x x R π=+∈，则22()[1,1]2t g t t t =∈-+，2222)()(2)t g t t '=+， ()g t 在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，min ()(0)0g t g ==，2(1)2221g -==+-2(1)2221g ==+ max ()(1)22g t g =-=()g t 的值域是[0,22]，()f x 的值域是[0,22]，C 正确；对于D 选项：由已知得2222()843sin ()42)2)0344sin()24x x x x ππππ+=⇔+-+-=+，解得22sin()43x π+=-或sin()224x π+=舍去)，由()424x k x k k Z πππππ+=+⇒=+∈得函数sin()4y x π=+图象在区间450,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦且确保22sin()4x π+=成立的，对称轴为(,10)4x k k N k ππ*=+∈≤，22sin()43x π+=-在450,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有11个根1211,,,x x x ，数列1{}(,10)i i x x i N i *++∈≤构成以1255242x x ππ+=⋅=为首项，2π为公差的等差数列， 1231101101151(222)10910221125i i i x x x x x x x πππ+=++++=+=⋅+⋅⋅=⋅+∑，D 正确. 故选：ACD 【点睛】关键点睛：涉及关于正(余)弦的三角方程的根的和，合理利用对应函数的对称性是解决问题的关键. 12．BD 【解析】根据取整函数的性质可得数列{}n a 为递增数列，根据整数的性质可得131n n a a +=-，从而可求数列{}n a 的通项，从而可判断AB 的正误，利用二项式定理可判断C 的正误，从而可判断D 的正误.211515222a +-+===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，31104142554a +-⎡==+=⎢⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 由题可得n a 为正整数，故211552222n nn n n n n a a a a a a a ++-⎡⎤⎡⎤=≥=+>⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦，所以数列{}n a 为递增数列，故当2n ≥时，22n a a ≥=．又当2n ≥时，()2221924022n n n a a a ---=-<即2122n n a a -<-，故22115222310n n n n n a a a a a +-----=<即215231n n na a a +--<2155232n n n n na a a a a +-+<=，结合31n a -、3n a 均为正整数可得2115231n n n na a a a ++-==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中2n ≥，而2131a a =-，故131n n a a +=-，其中1n ≥. 故111322n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又111022a -=≠，故102n a -≠，故112312n n a a +-=-，故数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，3为公比的等比数列，因此111322n n a --=⨯，()11312n n a -=+，因此A 错误，B 正确．又()10092019201820203101131331222a⋅-++⋅+===()01009110081007210081009100910091009310101010112C C C C ⋅-+-+-+=()010091100810072100910091009310101010093022C C C ⋅-+-+⨯-=()010091100810072100910091009310101010003013042C C C ⋅-+-+⨯=++，因为()01009110081007210091009100931010101000302C C C ⋅-+-+⨯为10的倍数，故2020a 的个位数为4，因此C 错误．设2020104a k =+，则()202131041301130101a k k k =+-=+=++，故2021a 的个位数为1，因此D 正确. 故选：BD ．【点睛】思路点睛：以取整函数为背景的数列的递推关系，需结合递推关系的形式和整数的性质挖掘新的隐含的递推关系，从而把问题转化为常见的递推关系，与个位数或余数有关的问题，多从二项式定理去考虑. 13．60【解析】根据数列的规律，先将数列分组，第一组1个数，第二组3个数，⋅⋅⋅，第n 组21n -个数，分别计算出各组数的和，计算出n 组数的项数和，令这个项数和为120列方程，解方程求出组数为6，然后求前6组数的和即可.将此数列分组，第一组：112，共121-项；第二组：2222123321++==22222-，共221-项的和；第三组：333333333123456728721=2222222222-++++++==，共321-项的和;⋅⋅⋅第n 组：()2121234562121=2222222222n n n n n n n n n n n n -⨯--++++++⋅⋅⋅+=⨯，共21n -项的和；由()()()()()12321+21+21++21221120n nn ---⋅⋅⋅-=⨯--=，解得n=6,因此前120项之和正好等于前6组之和，()66212161+++22621212122260226222⨯-⋅⋅⋅-----++⋯+===，故答案为：60. 【点睛】本题考查数列求和问题，考查观察能力，考查化归与转化的思想，属于中档题. 14．9 【解析】由题设得2n n a =，可得n S ，进而写出12nn n S S +的通项，应用裂项相消法求212231222...n n n S S S S S S ++++，最后由不等式成立，找到使不等式成立的边界值n ，即可确定其最小正整数值.由题设知：2log (1)2nn n a F =-=∴12(12)2212n n n S +⨯-==--，而1212122111()(22)(22)22222n n n n n n n n S S +++++==-----， ∴2233412122312221111111...(...)2222222222222n n n n n S S S S S S ++++++=-+-++-------22111()22222n +=---，即221112()222221200n n +-<--， ∴112121300n n +-<-，当n =8时，左边510511=，右边256300=，显然不等式不成立；当n =9时，左边10221023=，右边512300=，显然不等式成立，故最小正整n 数的值9. 故答案为：9. 【点睛】关键点点睛：应用裂项相消法求不等式左边的和，利用特殊值找到使不等式成立的边界值，即可求最小正整数n 的值. 15．①②③⑤ 【解析】利用导数的单调性和极值，逐个讨论每个命题即可22ln '(),0xf x x x-=>，令'()0f x =，有2x e =， 20x e <<时，'()0f x >，2x e >时，'()0f x <，()220f e e -=>，又x e >时，()0f x >，而()0f e =，故()f x 有且只有一个零点，①正确；导数为0的点附近的导数值符号不同，故2e 为极值点，从而②正确；令21()()2h x f x e -=-，由上面分析知，()h x 在()2,e e 上必有一个零点，()33402e h e e -=>， ()244602e h e ρ-=<，故必有一个零点，所以，12,(0,)x x ∃∈+∞，()()120h x h x ==，即()()21212f x f x e -==，所以，③正确；取21x e =，为极大值也为最大值，不存在2x 使得()()12f x f x <，④错误；令2ln 1ln 1()11x x g x x x x-+=--=-， 2ln '()0,01xg x x x=<<<，所以，()(1)0g x g >=，所以，⑤正确；故答案为：①②③⑤【点睛】本题考查导数单调性和极值问题，主要考查学生的数形结合能力，属于难题16．122,236⎡+⎢⎣⎦【解析】通过换元，3()()(33)1f x g m m t m ==+-+，用导数探究得{}()max (1),(1)M t g t g =--，进而可得不等式的解集.因为323()3333(1)(33)(1)1f x x x tx t x t x =-+-+=-+--+，令[]11,1m x =-∈-，则3()()(33)1f x g m m t m ==+-+，()22()3(33)31g m m t m t '=+-=+-，因为(0,1)t ∈，令()0g m '=得1m t =--，或1m t =- 列表m1-(1,1)t --- 1t -- (1,1)t t ---1t - (1,1)t -1()g m '+-+()g m 33t -极大值极小值31t -因为函数()g m 的图象关于点(0,1)对称，且(1)330g t -=->，所以(1)0g t -->，结合表格和简图可知，{}()max (1),(1)M t g t g =--，所以()(()()3201012221221112111232211311t t M t g t t t g t ⎧⎧⎪⎪<<<<⎪⎪⎪⎪≤+⇔-≤⇔-+≤+⇔≤≤+⎨⎨⎪⎪⎪⎪≤+-≤+⎪⎪⎩⎩，故2()12M t ≤+122,236⎡+⎢⎣⎦. 故答案为：122,23⎡+⎢⎣⎦.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：用导数探究得{}()max (1),(1)M t g t g =--. 17．（1）y x =；（2）存在；1a y e x -=或1y x a -=-．【解析】（1）当1a =时，()1x f x e-=，()1x f x e-'=，故()11k f ='=，再根据点斜式方程求解即可；（2）设直线与曲线()y f x =相切于点()11,A x y ，与曲线()y g x =相切于点()22,B x y ，则根据切点在切线上，也在曲线上得()11122211ln x a x a x a e x x b e e x x ---⎧=---⎪⎨⎪--=----⎩①②，整理得()()12110x x --=，再分当11x =时和21x =时两种情况求解即可.（1）当1a =时，()1x f x e-'=，()11f =，()11f '=曲线()y f x =在点()1,1处的切线方程为：()()()111y f f x -='-，代入整理得：y x =.（2）设直线与曲线()y f x =相切于点()11,A x y ，与曲线()y g x =相切于点()22,B x y ，()x af x e-'=，()1g x x'=曲线()y f x =在点A 处的切线为：()111x ax a y e e x x ---=-与曲线()y g x =相切于点B ，则()11122211ln x a x a x a e x x b e e x x ---⎧=---⎪⎨⎪--=----⎩①②由①得：1221lnln x a x x -==-，则21ln x a x =- 将121x aex -=、21ln x a x =-代入②得：()1212211a x b x x x x ---=-，当11x =时，()111aa y ee x ---=-，即1a y e x -=当21x =时，12ln 0a x x -==，1x a =，因此1y x a -=-，即1y x a -=- 存在这样的直线，直线为1a y e x -=或1y x a -=- 【点睛】本题考查导数的几何意义，解题的关键在于把握切点即在曲线上又在切线上且切点处的导数值为切线的斜率这三个方面列方程求解，考查运算求解能力，是中档题. 18．（1）证明见解析；（2）最大自然数6n =. 【解析】（1）根据题中条件，可得1112n a +--的表达式，根据等比数列的定义，即可得证；（2）由（1）可得1122n n a -=-，则可得2n n b =，根据错位相减求和法，可求得n S 的表达式，根据n S 的单调性，代入数值，分析即可得答案.解：（1）∵()1621*44n n n n a a n N a a +-=-=∈--， ∴()()1116323346312311122162262822224n n n nn n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a +++----⎛⎫----+--======- ⎪-----+----⎝⎭--即11122112n n a a +--=--， ∴112n a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为113132212a a --==--，公比为2的等比数列. （2）由（1）知，1122n n a -=-，即321112222n n n n n n n a a b a a a ---==-==---，()123123252212n n S n =⋅+⋅+⋅++-⋅，① ()23412123252212n n S n +=⋅+⋅+⋅++-⋅，②①减②得()()()112311421222222122221212n nn n n S n n +++--=⋅++++--⋅=+⋅--⋅-()13226n n +=-⋅-.∴()12326n n S n +=-⋅+.∴()()()21112122322210++++-=-⋅--⋅=+>n n n n n S S n n n ，∴n S .单调递增.∵7692611582021S =⨯+=<，87112628222021S =⨯+=>.故使2021n S <成立的最大自然数6n =. 【点睛】解题的关键是根据所给形式，进行配凑和整理，根据等比数列定义，即可得证，求和常用的方法有：①公式法，②倒序相加法，③裂项相消法，④错位相减法等，需熟练掌握. 19．（1）314a =，11b =；（2）12n n b -=；（3）见详解. 【解析】（1）根据题中条件，得到312232653a a a b a a +=⎧⎨=-⎩，求出3a ，2a ，进而可得1b ；（2）根据题中条件，得到()211323n n n n a a a a +++=--，推出数列{}n b 是以2为公比的等比数列，进而可求出通项公式；（3）由（2）先得()()222121nn n n c +=--，利用裂项相消的方法求出n S ，进而可得结论成立.（1）因为2165n n n a a a +++=，()*13n n n b a a n +=-∈N ，所以312232653a a a b a a +=⎧⎨=-⎩，又11a =，22b =，所以32326532a a a a +=⎧⎨-=⎩，解得23414a a =⎧⎨=⎩，所以12131b a a =-=；（2）由2165n n n a a a +++=可得211263n n n n a a a a +++=--，即()211323n n n n a a a a +++=--，又()*13n n n b a a n +=-∈N ，所以12n n bb +=，则数列{}n b 是以2为公比的等比数列，又11b =，所以12n nb -=；（3）由（2）可得()()()()()()()()21221321212111321212121n nn n n n n n n n n b c b b ++++++---===⨯------211132121n n +⎛⎫=⨯- ⎪--⎝⎭，因此{}n c 的前n 项和为32435211111111132121321213212111321211n n n S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=-+-+-+⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪--⎝--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭23234511111111132121121321212121n n +⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭121212211111111144113213239121212121321n n n n n n +++++++-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=--=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝-⎝⎭⎭因为*n ∈N ，所以121102121n n +++>--，则12112124493911n n n S ++⎛⎫=-< ⎪⎝⎭+--，又121121211493n n n S ++⎛⎫=-+- ⎝-⎪⎭显然单调递增，所以127n S S ≥=，综上2479n S ≤<. 【点睛】结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列；（2n k nn n k+-=++（3）指数型()11nn n a a a a +-=-；（4）对数型11log log log n aa n a n na a a a ++=-. 20．（1）()1f x x =+；（2）极大值为()01g =，无极小值；（3）()1,323,2e e ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭【解析】（1）先根据题意得()1,0P m -，进而得切线斜率1k =，故()1f x x m =-+，再根据()12f =求得m ，进而得解析式；（2）由（1）()1xx g x e +=，求导得()'x xg x e -=，进而根据导数与极值的关系即可得答案；（3）将不等式整理变形得：存在实数[]21,11,x e x ∈使()1212h x h x ⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，进而转化为()()min max 2h x h x <，再研究函数()h x 的单调性得()0,a x e ∈时，函数()h x 为减函数，(),+a x e ∈∞时，函数()h x 为增函数，再分0a ≤，01a <<，1a ≥三种情况讨论求解即可得答案.解：（1）令()ln 0y x m =+=解得1x m =-，故点()1,0P m -，对函数()ln y x m =+求导得1'y x m=+，所以曲线()ln y x m =+在点P 处的切线斜率为111k m m==-+，所以曲线()ln y x m =+在点P 处的切线方程为：1y x m =-+，即：()1y f x x m ==-+，又因为()12f =，故2m =，所以()y f x =的解析式()1f x x =+. （2）由（1）知()()1x x f x x g x e e+==，函数定义域为R ，所以()'xxg x e -=，故当()0,x ∈+∞时，()'0g x <，()g x 单调递减，当(),0x ∈-∞时，()'0g x >，()g x 单调递增，所以函数()g x 在0x =处取得极大值，极大值为()01g =，无极小值.（3）因为()()222222222222ln 1ln 1ln 1ln x x a x x x x x a x x x +-++-+=()()2222222211ln 1ln 1ln 1ln 111a x a x x x x x ⎛⎫+-+ ⎪+-+⎝⎭==，故不等式()()21222222ln 1ln h x x x a x x x <+-+等价于()1212h x h x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因为[]211,e x ∈ ，故存在实数[]21,11,x e x ∈使()1212h x h x ⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，所以只需()()min max 2h x h x <成立即可.所以()()()()222ln 1ln ln 1ln 'x a x a x a x h x x x -++---==，因为[]1,x e ∈时，[]ln 0,1x ∈，故[]ln 11,0x -∈-所以当()0,ax e∈时，()'0h x <，函数()h x 为减函数，(),+a x e ∈∞时，()'0h x >，函数()h x 为增函数所以（i ）当0a ≤时，()'0h x >在[]1,e 恒成立，故函数()h x 在[]1,e 单调递增，故()()()()min max 311,a h x h h x h e e -====，所以32ae-<，解得32a e <-；（ii ）当01a <<时，()1,a x e ∈时，()'0h x <，函数()h x 为减函数，(),a x e e ∈时，()'0h x >，函数()h x 为增函数，故()()min 1a a a h x h e e+==，()()(){}max3,033max 1,max 1,1,31aa e a h x h h e ee e a -⎧<<--⎪⎧⎫===⎨⎬⎨⎩⎭⎪-≤<⎩，所以，当03a e <<-时，132a a a e e+-<，即()()1213a a a e -+<-，令()()()1213a m a a a e-=+--，()11'22a a m a e ae --=-+，()()111''10a a a m a e ae a e ---=-+=-<，故()'m a 在()0,1单调递减，()()()''3'10m a m e m a >->=>，故()m a 在()0,1单调递增，所以()m a 在()0,3e -上也单调递增，()()3020m a m e>=->，与()()()12130a m a a a e -=+--<矛盾，无解当31e a -≤<时，121a a e+<，即()21a a e +<，所以()210a a e +-<，令()()21ak a a e =+-，()'2ak a e =-，令()'20ak a e =-=得ln 2a =，故当0ln 2a <<时，()'0k a >，函数()k a 单调递增，当ln 21a <<时，()'0k a <，函数()k a 单调递减，由于()()()()01,140k a k k a k e >=>=->，故函数()k a 在()0,1的函数值恒大于0，故当31e a -≤<时，()0k a >，与()210aa e +-<矛盾，无解；（iii ）当1a ≥时，[]1,x e ∈时，()'0h x <，函数()h x 为减函数，故()()()()max min 311,a h x h h x h e e -====，所以()231a e-<，解得132a e >-；综上，实数a 的取值范围是()1,323,2e e ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查导数的几何意义，极值，不等式能成立问题，考查运算求解能力，分类讨论思想，综合分析问题与解决问题的能力，是难题.本题第三问解题的关键在于对已知不等式变形转化为存在实数[]21,11,x e x ∈使()1212h x h x ⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，进而只需()()min max 2h x h x <成立即可，再分类讨论求函数的最值即可.21．（1）3a =；（2）15,33a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）由解析式得到导函数()f x '，结合3x =是函数()f x 的一个极值点，()30f '=即可求a 的值；（2）由题设分析知，在[]0,2x ∈内有()()max min 23f x f x -≤，结合已知2a <，讨论0a ≤、01a <<、1a =、12a <<分别求a 的范围，然后求并集即可.解：（1）由函数解析式知：()()21f x x a x a =-++'，由题意，得()()39310f a a '=-++=，故3a =. 经检验，3a =满足题意.（2）由已知，当2a <时，只需[]0,2x ∈，()()max min 23f x f x -≤. ()()()()211f x x a x a x x a =-++=--'.①当0a ≤时，()f x 在[]0,1单减，在[]1,2单增. 所以()()min 5162a f x f ==+，而()01f =，()523f =，故()max 53f x =. 所以()()maxmin 5523623a f x f x -=--≤，解得13a ≥（舍去）.②当01a <<时，()f x 在[]0,a 单增，在[],1a 单减，在[]1,2单增. 由于()()2203f f -=，所以只需()()()()210fa f ff ⎧≤⎪⎨≥⎪⎩，即()()2144013a a a a ⎧+-+≥⎪⎨≥⎪⎩，所以113a ≤<. ③当1a =时，()()2'10f x x =-≥，()f x 在[]0,2单增，所以()()()()max min 2203f x f x f f -=-=，满足题意. ④当12a <<时，()f x 在[]0,1单增，在[]1,a 单减，在[],2a 单增. 由于()()2203f f -=，所以只需()()()()120f f f a f ⎧≤⎪⎨≥⎪⎩，即533a a ⎧≤⎪⎨⎪≤⎩，所以513a <≤. 综上，知：15,33a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.思路点睛：已知函数极值点求参数时，一般应用极值点处的导数为0列方程；函数在闭区间内任意两个函数值的差小于定值转化为最值间的距离小于该定值，（1）当0x x =有极值则0()0f x '=，即可得有关参数的方程；（2）[]12,,x x a b ∀∈，()()12f x f x λ-≤恒成立转化为[],x a b ∈，()()max min f x f x λ-≤； 22．（1）2m >；（2）不存在，理由见解析；（3）答案见解析. 【解析】（1）根据题意得到()111m +->，()211m m -+>，再解不等式组即可；（2）首先假设存在等差数列{}n a 符合要求，从而得到()1n d n -<成立，再分类讨论1n =和1n >的情况，即可得到答案.（3）首先设数列{}n a 的公比为q ，则11n n a a q -=，根据题意得到()1110n n n n n a a a q a a q +-=-=->>，从而得到211122a a -为最小项，同理得到211122a a -为最小项，再利用“K 数列”的定义得到11a =，3q =或12a =，2q，再分类讨论即可得到答案.（1）由题意得()111m +->，()211m m -+>，解得2m >，所以实数m 的取值范围是2m >.（2）假设存在等差数列{}n a 符合要求，设公差为d ，则1d >，由11a =-，得()12n n n S n d -=-+，由题意，得()21122--+<-n n n d n n 对*N n ∈均成立，即()1n d n -<. ①当1n =时，d R ∈； ②当1n >时，1n d n <-，因为11111n n n =+>--，所以1d ≤，与1d >矛盾，所以这样的等差数列不存在. （3）设数列{}n a 的公比为q ，则11n n a a q-=，因为{}n a 的每一项均为正整数，且()1110n n n n n a a a q a a q +-=-=->>，所以在{}1n n a a --中，21a a -为最小项. 同理，11122n n a a -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中，211122a a -为最小项. 由{}n a 为“K 数列”，只需211a a ->，即()111a q ->，又因为12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”，且211122a a -为最小项，所以2111122a a -≤，即()112a q -≤，由数列{}n a 的每一项均为正整数，可得()112a q -=，所以11a =，3q =或12a =，2q.①当11a =，3q =时，13-=n n a ，则31nn b n =+，令()*1N n n n c b b n +=-∈，则()()1332132112n n n n n c n n n n ++=-=⋅++++，又()()()()()()21232134863302312213n n nn n n n n n n n n n n +++++⋅-⋅=⋅>+++++++，所以{}n c 为递增数列，即121n n n c c c c -->>>>，所以21333122b b -=-=>，所以对于任意的*N n ∈，都有11n n b b +->，即数列{}n b 为“K 数列”. ②当12a =，2q时，2nn a =，则121n n b n +=+.因为21213b b -=≤，所以数列{}n b 不是“K 数列”.综上：当11a =，3q =时，13-=n n a ，数列{}n b 为“K 数列”，当12a=，2q时，2nna=，数列{}n b不是“K数列”.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式，同时考查了分类讨论的思想，属于难题.。

【人教版】高中数学必修三期末试卷带答案

一、选择题1．已知点(,)P x y 满足||||2x y +≤，则到坐标原点O 的距离1d ≤的点P 的概率为（） A ．16π B ．8π C ．4π D ．2π 2．如图的折线图是某公司2018年1月至12月份的收入与支出数据，若从6月至11月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，则这2个月的利润（利润＝收入﹣支出）都不高于40万的概率为（）A ．15B ．25C ．35D ．453．素数指整数在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。

我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。

哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如1037=+。

在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，其和小于18的概率是（） A ．15B ．1115C ．35D ．134．赵爽是三国时期吴国的数学家，他创制了一幅“勾股圆方图”，也称“赵爽弦图”，如图，若在大正方形内随机取-点，这一点落在小正方形内的概率为15，则勾与股的比为（）A ．13B ．12C 3D ．225．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是（）A．63 B．15 C．31 D．32 6．执行如图的程序框图，若输入1t=-，则输出t的值等于( )A．3 B．5 C．7 D．15 7．执行如图所示的程序框图,若输入的6n=，则输出S=A．514B．13C．2756D．3108．执行如图所示的程序框图，输出的结果为()A ．201921-B ．201922-C ．202022-D ．202021- 9．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（） A ．y a bx =+ B ．2y a bx =+ C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+10．某班有50名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名学生的成绩统计有误，学生甲实际得分是80分却误记为60分，学生乙实际得分是70分却误记为90分，更正后的平均分数和方差分别是（） A ．70和50B ．70和67C ．75和50D ．75和6711．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（）A ．2，5B ．5，5C ．5，8D ．8，812．设有一个直线回归方程为2 1.5y x =-，则变量x 增加一个单位时（） A ．y 平均增加1.5个单位 B ．y 平均增加2个单位 C ．y 平均减少1.5个单位D ．y 平均减少2个单位二、填空题13．在区间[2,4]-上随机地取一个实数x ，若实数x 满足||x m ≤的概率为23，则m =_______.14．现有编号为1，2，3，…，100的100把锁，利用中国剩余定理的原理设置开锁密码，规则为：将锁的编号依次除以3，5，7所得的三个余数作为该锁的开锁密码，这样，每把锁都有一个三位数字的开锁密码.例如，编号为52的锁所对应的开锁密码是123，开锁密码为232所对应的锁的编号是23.若一把锁的开锁密码为203，则这把锁的编号是__________．15．如图，在平放的边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有380粒落到红心阴影部分上，据此估计红心阴影部分的面积为____．16．如果执行如图的程序框图，那么输出的S =__________．17．执行如图所示的程序框图，若1ln2a=，22be=，ln22c=（其中e是自然对数的底），则输出的结果是__________．18．一个算法的程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果是．19．某社会爱心组织面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45)，得到的频率分布直方图如图所示．若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，应从第3组抽取__________名志愿者．20．已知一组数据126,,,x x x ⋅⋅⋅的方差是2，并且()()()22212611118x x x -+-+⋅⋅⋅+-=，0x ≠，则x =______.三、解答题21．某校从高三年级期末考试的学生中抽出60名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示：（1）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（2）按分层抽样从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选取6人，再从这6人中选取两人作为代表参加交流活动，求他们在不同分数段的概率.22．手机运动计步已经成为一种新时尚.某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（1）求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数；（2）若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数；（3）在（2）的条件下，该单位从行走步数大于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间150,(170]的概率.23．某算法框图如图所示.(1)求函数()y f x =的解析式及7[()]6f f -的值；(2)若在区间[2,2]-内随机输入一个x 值，求输出y 的值小于0的概率.24．某城市规定，在法定工作时间内每小时的工资是8元，在法定工作时间外每小时的加班工资为16元，某人在一周内工作60小时，其中加班20小时．编写程序，计算这个人这一周所得的工资.25．某县畜牧技术员张三和李四9年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查，张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量y (单位：万只)与相应年份x (序号)的数据表和散点图(如图所示)，根据散点图，发现y 与x 有较强的线性相关关系，李四提供了该县山羊养殖场的个数z (单位：个)关于x 的回归方程ˆ230z x =-+.年份序号x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 年养殖山羊y /万只1.21.51.61.61.82.52.52.62.7y x （2）试估计：①该县第一年养殖山羊多少万只？ ②到第几年，该县养殖山羊的数量与第1年相比减少了？参考统计量：()92160ii x x =⋅-=∑，()()9112i i i x x y y =⋅--=∑.附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u βα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆnii i ni i uu v v u u β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-. 26．学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：古文迷非古文迷合计男生 26 24 50 女生 30 20 50 合计5644100（Ⅰ）根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？（Ⅱ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；（Ⅲ）现从（Ⅱ）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】作出图象，得到点P 的坐标围成的图形是以原点为中心的边长为O 的距离1d ≤的点P 围成的图形是以原点为圆心，半径为1的圆，由此利用几何概型能求出到坐标原点O 的距离1d ≤的点P 的概率．【详解】点(),P x y 满足2x y +≤，∴当0x ≥，0y ≥时，2x y +≤；当0x ≥，0y ≤时，2x y -≤；当0x ≤，0y ≥时，2x y -+≤；当0x ≤，0y ≤时，2x y --≤．作出图象，得到点P 的坐标围成的图形是以原点为中心的边长为2正方形，到坐标原点O 的距离1d ≤的点P 围成的图形是以原点为圆心，半径为1的圆，∴到坐标原点O 的距离1d ≤的点P 的概率为：282222S p S π===⨯圆正方形．故选：B . 【点睛】本题考查概率的求法，几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．2．B解析：B 【分析】从7月至12月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，基本事件总数2615n C ==，由折线图得6月至11月这6个月中利润（利润=收入-支出）低于40万的有6月，9月，10月，由此即可得到所求．【详解】如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据，从6月至11月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，基本事件总数2615n C ==，由折线图得6月至11月这6个月中利润（利润=收入-支出）不高于40万的有6月，8月，9月，10月，∴这2个月的利润（利润=收入-支出）都不高于40万包含的基本事件个数246m C ==，∴这2个月的利润（利润=收入-支出）都低于40万的概率为62155m P n ===，故选：B 【点睛】本题主要考查了古典概型，考查了运算求解能力，属于中档题．3．B解析：B 【分析】找出不超过15的素数，从其中任取2个共有多少种取法，找到取出的两个和小于18的个数，根据古典概型求解即可. 【详解】不超过15的素数为2,3,5,7,11,13，共6个，任取2个分别为2,3（），2,5（），2,7（），2,11（），2,13（），3,5（），3,7（），3,11（），3,13（），5,7（），5,11（），5,13（），7,11（），7,13（），11,13（），共15个基本事件，其中两个和小于18的共有11个基本事件，根据古典概型概率公式知1115P=. 【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于中档题. 4．B解析：B【分析】分别求解出小正方形和大正方形的面积，可知面积比为15，从而构造方程可求得结果. 【详解】由图形可知，小正方形边长为b a - ∴小正方形面积为：()2b a -，又大正方形面积为：2c()()2222222221115b a b a ab a b c a b a b b a --∴==-=-=+++，即：25a b b a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 解得：12a b = 本题正确选项：B【点睛】本题考查几何概型中的面积型的应用，关键是能够利用概率构造出关于所求量的方程.5．C解析：C【分析】根据程序框图模拟程序计算即可求解.【详解】模拟程序的运行，可得1S =，1i =；满足条件5i <，执行循环体，3S =，2i =；满足条件5i <，执行循环体，7=S ，3i =；满足条件5i <，执行循环体，15S =，4i =；满足条件5i <，执行循环体，31S =，5i =；此时，不满足条件5i <，退出循环，输出S 的值为31.故选：C【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.6．C【分析】直接根据程序框图依次计算得到答案.【详解】模拟执行程序，可得1t =-，不满足条件0t >，0t =，满足条件()()250t t +-<，不满足条件0t >，1t =，满足条件()()250t t +-<，满足条件0t >，3t =，满足条件()()250t t +-<，满足条件0t >，7t =，不满足条件()()250t t +-<，退出循环，输出t 的值为7.故选：C.【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.7．B解析：B【解析】【分析】首先确定流程图所实现的功能，然后利用裂项求和的方法即可确定输出的数值.【详解】由流程图可知，程序输出的值为：1111023344556S =++++⨯⨯⨯⨯，即1111111123344556S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111263=-=. 故选B .【点睛】本题主要考查流程图功能的识别，裂项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．C解析：C【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，由于()2019232019202021222222212S -=+++⋯+==--．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9．D解析：D【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+.故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.10．B解析：B【解析】【分析】根据平均数、方差的概念表示出更正前的平均数、方差和更正后的平均数、方差，比较其异同，然后整体代入即可求解．【详解】设更正前甲，乙，…的成绩依次为a 1，a 2，…，a 50，则a 1+a 2+…+a 50＝50×70，即60+90+a 3+…+a 50＝50×70，（a 1﹣70）2+（a 2﹣70）2+…+（a 50﹣70）2＝50×75，即102+202+（a 3﹣70）2+…+（a 50﹣70）2＝50×75．更正后平均分为x ＝150×（80+70+a 3+…+a 50）＝70；方差为s 2＝150×[（80﹣70）2+（70﹣70）2+（a 3﹣70）2+…+（a 50﹣70）2] ＝150×[100+（a 3﹣70）2+…+（a 50﹣70）2] ＝150×[100+50×75﹣102﹣202]＝67．故选B ．【点睛】本题考查平均数与方差的概念与应用问题，是基础题．11．C解析：C【解析】试题分析：由题意得5x =，116.8(915101824)85y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图 12．C解析：C【解析】【分析】细查题意，根据回归直线方程中x 的系数是 1.5-，得到变量x 增加一个单位时，函数值要平均增加 1.5-个单位，结合回归方程的知识，根据增加和减少的关系，即可得出本题的结论.【详解】因为回归直线方程是2 1.5ˆyx =-，当变量x 增加一个单位时，函数值平均增加 1.5-个单位，即减少1.5个单位，故选C.【点睛】本题是一道关于回归方程的题目，掌握回归方程的分析时解题的关键，属于简单题目.二、填空题13．2【分析】画出数轴利用满足的概率可以求出的值即可【详解】如图所示区间的长度是6在区间上随机地取一个数若满足的概率为则有解得故答案是：2【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题涉及到的知识点有长度解析：2【分析】画出数轴，利用x 满足||x m ≤的概率，可以求出m 的值即可.【详解】如图所示，区间[2,4]-的长度是6，在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为23，则有2263m =，解得2m =，故答案是：2.【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题，涉及到的知识点有长度型几何概型的概率公式，属于简单题目.14．80【分析】本道题一一列举把满足条件的编号一一排除即可【详解】该数可以表示为故该数一定是5的倍数所以5的倍数有5101520253035404550556065707580859095100该数满足解析：80【分析】本道题一一列举，把满足条件的编号一一排除，即可．【详解】该数可以表示为32,5,73k m n ++，故该数一定是5的倍数，所以5的倍数有5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90,95,100，该数满足减去3能够被7整除，只有10,45,80，而同时要满足减去2被3整除，所以只有80.【点睛】本道题考查了列举法计算锁编号问题，难度一般．15．38【解析】【分析】根据几何槪型的概率意义即可得到结论【详解】正方形的面积S ＝1设阴影部分的面积为S ∵随机撒1000粒豆子有380粒落到阴影部分∴由几何槪型的概率公式进行估计得即S ＝038故答案为：解析：38【解析】【分析】根据几何槪型的概率意义，即可得到结论．【详解】正方形的面积S ＝1，设阴影部分的面积为S ，∵随机撒1000粒豆子，有380粒落到阴影部分，∴由几何槪型的概率公式进行估计得38011000S =，即S ＝0.38，故答案为：0.38．【点睛】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用豆子之间的关系建立比例关系是解决本题的关键，比较基础． 16．42【分析】输入由循环语句依次执行即可计算出结果【详解】当时当时当时当时当时当时故答案为42【点睛】本题主要考查了程序框图中的循环语句的运算求出输出值较为基础解析：42【分析】输入1k =，由循环语句，依次执行，即可计算出结果【详解】当1k =时，0212S =+⨯=当2k =时，021226S =+⨯+⨯=当3k =时，021222312S =+⨯+⨯+⨯=当4k =时，021********S =+⨯+⨯+⨯+⨯=当5k =时，0212223242530S =+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=当6k =时，021222324252642S =+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故答案为42【点睛】本题主要考查了程序框图中的循环语句的运算，求出输出值，较为基础17．（注：填也得分）【解析】分析：执行如图所示的程序框图可知该程序的功能是输出三个数的大小之中位于中间的数的数值再根据指数函数与对数函数的性质得到即可得到输出结果详解：由题意执行如图所示的程序框图可知该解析：ln 22（注：填c 也得分）. 【解析】分析：执行如图所示的程序框图可知，该程序的功能是输出,,a b c 三个数的大小之中，位于中间的数的数值，再根据指数函数与对数函数的性质，得到b c a <<，即可得到输出结果.详解：由题意，执行如图所示的程序框图可知，该程序的功能是输出,,a b c 三个数的大小之中，位于中间的数的数值，因为212ln 2,,ln 22a b c e ===，则221ln 21132ln 2e <<<<，即b c a <<，所以此时输出ln 22c =. 点睛：识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．18．4【分析】执行程序当时循环结束即可得出【详解】因为第一次进入循环后；第二次进入循环后；第三次进入循环后；第四次进入循环后循环结束所以输出的结果为4【点睛】本题主要考查了程序框图求输出的值做题时要仔细解析：4【分析】执行程序，当4K =时循环结束，即可得出【详解】因为第一次进入循环后1,1S K ==；第二次进入循环后3,2S K ==；第三次进入循环后11,3S K ==；第四次进入循环后2059,4S K ==，循环结束，所以输出的结果为4【点睛】本题主要考查了程序框图求输出的值，做题时要仔细点，属于基础题．19．【分析】先分别求出这3组的人数再利用分层抽样的方法即可得出答案【详解】第3组的人数为第4组的人数为第5组的人数为所以这三组共有60名志愿者所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者第三组应解析：3【分析】先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案.【详解】第3组的人数为10050.0630⨯⨯=，第4组的人数为10050.0420⨯⨯=，第5组的人数为1000.02510⨯⨯=，所以这三组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，第三组应抽取306360⨯=名，故答案为：3.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关频率分布直方图的识别以及分层抽样某层抽取个数的问题，正确解题的关键是掌握在抽取过程中每个个题被抽到的机会均等. 20．2【解析】【分析】由题意结合方差的定义整理计算即可求得最终结果【详解】由题意结合方差的定义有：①而②①-②有：③注意到将其代入③式整理可得：又故故答案为2【点睛】本题主要考查方差的计算公式整体的数学解析：2【解析】【分析】由题意结合方差的定义整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意结合方差的定义有：()()()22212612x x x x x x -+-++-= ①，而()()()22212611118x x x -+-+⋅⋅⋅+-=， ②，①-②有：()()212612666226x x x x x x x x --+++++++=-， ③，注意到1266x x x x +++=，将其代入③式整理可得：26120x x -+=，又0x ≠，故2x =.故答案为2．【点睛】本题主要考查方差的计算公式，整体的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题21．（1）及格率是80%；平均分是72分（2）13【分析】（1）由频率分布直方图直接可计算得及格率以及平均分；（2）按分层抽样知[80,90)5人A ，B ，C ，D ，E ，[90,100]”1人F ，写出基本事件，事件“不同分数段”所包含的基本事件数5种，利用古典概型即可得到结论.【详解】（1）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为(0.0200.0300.0250.005)100.80+++⨯=，所以抽样学生成绩的合格率是80%.-利用组中值估算抽样学生的平均分：123456455565758595f f f f f f ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅450.05550.15650.2750.3850.25950.05=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯72=.估计这次考试的平均分是72分（2）按分层抽样抽取[80,90)5人A ，B ，C ，D ，E ，[90,100]”1人F .，则基本事件(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种，事件“不同分数段”所包含的基本事件数5种，故所求概率为：51153p ==. 【点睛】本题考查利用频率分布直方图求平均数，考查分层抽样的定义，古典概型，属于基础题. 22．（1）0.012a =，125；（2）112人；（3）25 【分析】（1）根据频率分布直方图中矩形的面积和为1求出0.012a =，再求中位数得解；（2）直接利用频率分布直方图估计职工一天行走步数不大于13000的人数；（3）先求出在区间(]150,170中有32人，在区间(]170,190中有8人，在区间(]190,210中有8人，再利用古典概型的概率公式求出这两人均来自区间150,(170]的概率.【详解】（1）由题意得0.002200.006200.00820200.010200.008200.002200.002201a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=解得0.012a = .设中位数为110x +，则0.002200.006200.008200.0120.5x ⨯+⨯+⨯+=解得15x = .∴中位数是125.（2）由()2000.002200.006200.008200.01220112⨯⨯+⨯+⨯+⨯=∴估计职工一天步行数不大于13000步的人数为112人（3）在区间(]150,170中有2000.0082032⨯⨯=人在区间(]170,190中有2000.002208⨯⨯=人在区间(]190,210中有2000.002208⨯⨯=人按分层抽样抽取6人，则从(]150,170抽取4人，(]170,190抽取1人，(]190,210抽取1人设从(]150,170抽取职工为1A ，2A ，3A ，4A ，从(]170,190抽取职工为B ，从(]190,210抽取职工为C ，则从6人中抽取2人的情况有12A A ，13A A ，41A A ，1A B ，1A C ，23A A ，24A A ，2A B ，2A C ，34A A ，3A B ，3A C ，4A B ，4A C ，BC 共15种情况，它们是等可能的，其中满足两人均来自区间(]150,170的有12A A ，13A A ，41A A ，23A A ，24A A ，34A A 共有6种情况， ∴62155P == ∴两人均来自区间(]150,170的概率为25. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，考查频率分布直方图中中位数的计算，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力》23．（1）24；（2）14 【分析】 (1)从程序框图可提炼出分段函数的函数表达式，从而计算得到76f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值; (2)此题为几何概型，分类讨论得到满足条件下的函数x 值，从而求得结果.【详解】(1)由算法框图得：当0x >时，2πcos 2x y =，当0x =时，0y =，当0x <时，1y x =--，()2πcos ,020,01,0x xy f xx x x ⎧>⎪⎪∴===⎨⎪--<⎪⎩7711666f ⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2π1cos 71π236cos 66122f f f +⎡⎤+⎛⎫⎛⎫∴-==== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ (2)当02x ≤≤时，()[]0,1f x ∈，当20x -≤<时，由0y <得10x -<< 故所求概率为()()011224P --==-- 【点睛】本题主要考查分段函数的应用，算法框图的理解,意在考查学生分析问题的能力. 24．见解析；【解析】试题分析: 先利用INPUT 语句输入法定工作时间以及加班工作时间，再分别赋值法定工作时间工资,加班工作时间工资以及总工资，最后输出一周所得的工资.试题程序如下：点睛：25．（1）ˆ0.21yx =+；（2）①33.6万只；②到第10年该县养殖山羊的数量相比第1年减少了.【分析】（1）由已知求得,x y ，进一步套公式求出ˆb 和ˆa 的值，就求出线性回归方程；（2）由题意求得()()2ˆˆ0.212300.4430z y x x x x ⋅=+⋅-+=-++，在①中，令x =1求解，在②中，令20.443033.6x x -++<，解不等式即可.【详解】解：（1）设y 关于x 的线性回归方程为y bx a =+，12345678959x ++++++++==， 1.2 1.5 1.6 1.6 1.8 2.5 2.5 2.6 2.729y ++++++++==， ()()()9192112ˆ0.260i ii i i x x y y b x x ==--===-∑∑， ˆ20.251a=-⨯=. 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.21yx =+. （2）估计第x 年山羊养殖的只数为()()2ˆˆ0.212300.4430z y x x x x ⋅=+⋅-+=-++ 令1x =，则0.443033.6-++=，故该县第一年养殖山羊约33.6万只.由题意，得20.443033.6x x -++<，整理得()()910x x -->，解得9x >或1x <(舍去)，所以到第10年该县养殖山羊的数量相比第1年减少了.【点睛】方法点睛：求线性回归方程的步骤：（1）先求 x 、y 的平均数,x y ；（2）套公式求出ˆb和ˆa 的值：()()()91921ˆi i i i i x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆa y b x =-⨯；（3）写出回归直线的方程.26．（I ）没有的把握认为“古文迷”与性别有关；（II ）“古文迷”的人数为3，“非古文迷”有2；（III ）分布列见解析，期望为95. 【详解】（I）由列联表得所以没有的把握认为“古文迷”与性别有关．（II）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为人，“非古文迷”有人．即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人（III）因为为所抽取的3人中“古文迷”的人数，所以的所有取值为1，2,3．，，．所以随机变量ξ的分布列为123于是．。

人教B版高中数学必修3同步练习题及答案全册汇编

人B版高中数学必修3同步习题目录第1章1.1.1同步练习第1章1.1.2同步练习第1章1.1.3同步练习第1章1.2.1同步练习第1章1.2.2同步练习第1章1.2.3同步练习第1章§1.3同步练习第1章章末综合检测第2章2.1.1同步练习第2章2.1.2同步练习第2章2.1.3同步练习第2章2.1.4同步练习第2章2.2.1同步练习第2章2.2.2同步练习第2章2.3.1同步练习第2章2.3.2同步练习第2章章末综合检测第3章3.1.2同步练习第3章3.1.3同步练习第3章3.1.4同步练习第3章3.3.1同步练习第3章3.3.2同步练习第3章§3.2同步练习第3章§3.4同步练习第3章章末综合检测人教B 版必修3同步练习1．有关辗转相除法下列说法正确的是( )A ．它和更相减损之术一样是求多项式值的一种方法B ．基本步骤是用较大的数m 除以较小的数n 得到除式m ＝n q ＋r ，直至r ＜n 为止C ．基本步骤是用较大的数m 除以较小的数n 得到除式m ＝q n ＋r(0≤r ＜n )反复进行，直到r ＝0为止D ．以上说法皆错答案：C2．在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：(16,12)→(4,12)→(4,8)→(4,4)，由此可以看出12和16的最大公约数是( ) A ．4 B ．12 C ．16 D ．8 答案：A3．用“等值算法”可求得204与85的最大公约数是( ) A ．15 B ．17 C ．51 D ．85 解析：选B.由更相减损之术可得．4．秦九韶的算法中有几个一次式，若令v 0＝a n ，我们可以得到⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a nv k ＝v k －1x ＋ (k ＝1,2，…，n )．答案：a n －k5．用秦九韶算法求多项式f (x )＝2＋0.35x ＋1.8x 2－3.66x 3＋6x 4－5.2x 5＋x 6在x ＝－1.3的值时，令v 0＝a 6；v 1＝v 0x ＋a 5；…；v 6＝v 5x ＋a 0时，v 3的值为________．答案：－22.445一、选择题1．在等值算法(“更相减损术”)的方法中，其理论依据是( ) A ．每次操作所得的两数和前两数具有相同的最小公倍数 B ．每次操作所得的两数和前两数具有相同的最大公约数 C ．每次操作所得的两数和前两数的最小公倍数不同 D ．每次操作所得的两数和前两数的最大公约数不同答案：B2．我国数学家刘徽采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的计算方法来求圆周率π，其算法的特点为( )A ．运算速率快B ．能计算出π的精确值C ．“内外夹逼”D ．无限次地分割解析：选C .割圆术用正多边形面积代替圆面积的方法是内外夹逼，能得到π的不足和过剩近似值，其分割次数是有限的．3．使用秦九韶算法求p (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0在x ＝x 0时的值时，做加法与乘法的次数分别为( )A ．n ，nB ．n ，n (n ＋1)2C ．n ,2n ＋1D ．2n ＋1，n (n ＋1)2答案：A4．用辗转相除法计算60与48的最大公约数时，需要做的除法次数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B.∵60＝48×1＋12,48＝12×4＋0，故只需要两步计算．5．用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4时，v4的值为()A．－57 B．220C．－845 D．3392解析：选B.v0＝3，v1＝3×(－4)＋5＝－7，v2＝－7×(－4)＋6＝34，v3＝34×(－4)＋79＝－57，v4＝－57×(－4)－8＝220.6．若int(x)是不超过x的最大整数(如int(4.3)＝4，int(4)＝4)，则下列程序的目的是() x＝input(“x＝”)；y＝input(“y＝”)；m＝x；n＝y；w hile m/n＜＞int(m/n)c＝m－int(m/n)*n；m＝n；n＝c；enddisp(n)A．求x，y的最小公倍数B．求x，y的最大公约数C．求x被y整除的商D．求y除以x的余数答案：B二、填空题7．168,56,264的最大公约数为________．解析：法一：采用更相减损之术求解．先求168与56的最大公约数：168－56＝112,112－56＝56，因此168与56的最大公约数是56.再求56与264的最大公约数：264－56＝208，208－56＝152，152－56＝96, 96－56＝40，56－40＝16, 40－16＝24，24－16＝8, 16－8＝8，故8是56与264的最大公约数，也就是三个数的最大公约数．法二：采用辗转相除法.先求168与56的最大公约数，∵168＝56×3，故168与56的最大公约数是56.再求56与264的最大公约数，∵264＝56×4＋40，56＝40×1＋16，40＝16×2＋8，16＝8×2，故56与264的最大公约数是8.因此168,56,264的最大公约数是8.答案：88．用秦九韶算法求f(x)＝x3－3x2＋2x－11的值时，应把f(x)变形为________．解析：f(x)＝x3－3x2＋2x－11＝(x2－3x＋2)x－11＝((x－3)x＋2)x－11.答案：((x－3)x＋2)x－119．已知n次多项式P n(x)＝a0x n＋a1x n－1＋…＋a n－1x＋a n.如果在一种算法中，计算x k0(k＝2,3,4，…，n)的值需要k－1次乘法，计算P3(x0)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算P10(x0)的值共需要________次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：P0(x)＝a0，P k＋1(x)＝xP k(x)＋a k＋1(k＝0,1,2，…，n－1)．利用该算法，计算P3(x0)的值共需要6次运算，计算P10(x0)的值共需要________次运算．解析：计算3(x0)时为P3(x0)＝a0x30＋a1x20＋a2x0＋a3，其中x k0需k－1次乘法，∴a n－k·x k0共需k次乘法．上式中运算为3＋2＋1＝6次，另外还有3次加法，共9次．由此产生规律：当计算P10(x0)时有P10(x0)＝a0x100＋a1x90＋…＋a10.计算次数为10＋9＋8＋…＋1＋10＝10×(10＋1)2＋10＝65.第2个空中需注意P3(x0)＝x0·P2(x0)＋a3，P2(x0)＝x0·P1(x0)＋a2，P1(x0)＝x0·P0(x0)＋a1.显然P0(x0)为常数不需要计算．∴计算为每次一个乘法运算和一个加法运算，共需3×2＝6次．由此运用不完全归纳法知P10(x0)＝x0·P9(x0)＋a10，P9(x0)＝x0·P8(x0)＋a9，…，P1(x0)＝x0·P0(x0)＋a1.其中共有10×2＝20个运算过程．答案：6520三、解答题10．用秦九韶算法求多项式函数f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．解：f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，所以v0＝7，v1＝7×3＋6＝27，v2＝27×3＋5＝86，v3＝86×3＋4＝262，v4＝262×3＋3＝789，v5＝789×3＋2＝2369，v6＝2369×3＋1＝7108，v7＝7108×3＝21324，故x＝3时，多项式函数f(x)的值为21324.11．求两正整数m，n(m＞n)的最大公约数．写出算法、画出程序框图，并写出程序．解：算法如下：S1输入两个正整数m，n(m＞n)；S2如果m≠n，则执行S3，否则转到S6；S3将m－n的差赋予r；S4如果r≠n，则执行S5，否则转到S6；S5若n＞r，则把n赋予m，把r赋予n，否则把r赋予m，重新执行S2；S6输出最大公约数n.程序框图如图所示．程序如下：才能保证正方体体积最大，且不浪费材料？解：要焊接正方体，就是将两种规格的钢筋裁成长度相等的钢筋条．为了保证不浪费材料，应使每一种规格的钢筋裁剪后无剩余，因此裁剪的长度应是2.4和5.6的公约数；要使正方体的体积最大，亦即棱长最长，就要使正方体的棱长为2.4和5.6的最大公约数．用“等值算法”求得 2.4和 5.6的最大公约数：(2.4，5.6)→(2.4,3.2)→(0.8,2.4)→(0.8,1.6)→(0.8,0.8)．因此将正方体的棱长设计为0.8 m时，体积最大且不浪费材料．人教B版必修3同步练习1．下列对算法的理解不正确的是()A．算法有一个共同特点就是对一类问题都有效(而不是个别问题)B．算法要求是一步步执行，每一步都能得到唯一的结果C．算法一般是机械的，有时要进行大量重复的计算，它的优点是一种通法D．任何问题都可以用算法来解决解析：选D.算法是解决问题的精确的描述，但是并不是所有问题都有算法，有些问题使用形式化、程序化的刻画是最恰当的．2．算法的有限性是指()A．算法的步骤必须有限B．算法的最后必须包括输出C．算法中每个操作步骤都是可执行的D．以上说法都不正确答案：A3．早上起床到出门需洗脸刷牙(5 min)，刷水壶(2 min)，烧水(8 min)，泡面(3 min)，吃饭(10 min)，听广播(8 min)几个步骤．下列选项中最好的一种算法为()A．S1洗脸刷牙、S2刷水壶、S3烧水、S4泡面、S5吃饭、S6听广播B．S1刷水壶、S2烧水的同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5听广播C．S1刷水壶、S2烧水的同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭的同时听广播D．S1吃饭的同时听广播、S2泡面、S3浇水的同时洗脸刷牙、S4刷水壶解析：选C.经比较可知C最省时，效率最高．4．以下有六个步骤：①拨号；②等拨号音；③提起话筒(或免提功能)；④开始通话或挂机(线路不通)；⑤等复话方信号；⑥结束通话．试写出打一个本地电话的算法________．(只写编号)答案：③②①⑤④⑥5．求1＋3＋5＋7＋9的算法的第一步是1＋3得4，第二步是将第一步中运算结果4与5相加得9，第三步是__________________________．答案：将第二步中运算结果9与7相加得16一、选择题1．下列说法正确的是()A．算法就是某个问题的解题过程B．算法执行后可以产生不同的结论C．解决某一个具体问题，算法不同所得的结果不同D．算法执行步骤的次数不可以很大，否则无法实施解析：选B.B项，如判断一个整数是否为偶数，结果为“是偶数”和“不是偶数”两种；而A项，算法不能等同于解法；C项，解决某一个具体问题算法不同所得的结果应该相同，否则算法不正确；D项，算法可以为很多次，但不可以无限次．2．阅读下列算法．S1输入n；S2判断n是否是2，若n＝2，则n满足条件；若n＞2，则执行S3；S3依次检验从2到n－1的整数能不能整除n，若不能整除n，满足条件．满足上述条件的数是()A．质数B．奇数C．偶数D．4的倍数解析：选A.由质数的定义知A 正确．3．对于一般的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0.在写此方程组解的算法时，需要我们注意的是( ) A ．a 1≠0 B ．a 2≠0 C ．a 1b 1－a 2b 2≠0 D ．a 1b 2－a 2b 1≠0解析：选D.由高斯消去法知，方程组是否有解，解的个数是否有限，在于a 1b 2－a 2b 1是否为零．故选D.4．指出下列哪个不是算法( )A ．解方程2x －6＝0的过程是移项和系数化为1B ．从济南到温哥华要先乘火车到北京，再转乘飞机C ．解方程2x 2＋x －1＝0D ．利用公式S ＝πr 2计算半径为3的圆的面积时，计算π×32 答案：C5．下列语句表达中是算法的有( )①利用公式S ＝12ah 计算底为1，高为2的三角形的面积；②12x >2x ＋4； ③求M (1,2)与N (－3，－5)两点连线的方程，可先求MN 的斜率，再利用点斜式方程求得． A ．①③ B ．②③ C ．①② D ．③解析：选A.算法是解决问题的步骤与过程，这个问题并不仅仅限于数学问题，①③都各表达了一种算法．判断算法的标准是“解决问题的有效步骤或程序”．②只是一个纯数学问题，没有解决问题的步骤，不属于算法的范畴．6．有一堆形状大小相同的珠子，其中只有一粒重量比其他的轻，某同学利用科学的算法，最多两次利用天平找出了这颗最轻的珠子，则这堆珠子最多的粒数是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7解析：选D.最多是7粒，第一次是天平每边3粒，若平衡，则剩余的为最轻的珠子；若不平衡，则在轻的一边选出两粒，再放在天平的两边，同样就可以得到最轻的珠子，故选D. 二、填空题7．写出解方程2x ＋3＝0的算法步骤： S1____________________________； S2____________________________； S3____________________________. 答案：移项得2x ＝－3未知数系数化为1，得x ＝－32输出x ＝－328．一个算法步骤如下： S1 S 取0，i 取1；S2 如果i ≤10，则执行S3，否则执行S6； S3 计算S ＋i 并将结果代替S ； S4 用i ＋2的值代替i ； S5 执行S2； S6 输出S .运行以上步骤输出的结果为S ＝________.解析：由以上算法可知S ＝1＋3＋5＋7＋9＝25. 答案：259．已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99，求他的总成绩和平均成绩的一个算法如下，在①②处应填写________、________. S1 取A ＝89，B ＝96，C ＝99； S2 __①__； S3 __②__；S4 输出计算的结果．答案：计算总分D ＝A ＋B ＋C 计算平均成绩E ＝D3三、解答题10．设一个球的半径为r (r ＞0)，请写出求以r 为半径的球的表面积的算法．解：算法如下： S1 输入半径r ；S2 计算表面积S ＝4πr 2； S3 输出S .11．写出求过点M (－2，－1)、N (2,3)的直线与坐标轴围成的三角形面积的一个算法．解：算法步骤如下：S1 取x 1＝－2，y 1＝－1，x 2＝2，y 2＝3；S2 得直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1；S3 令x ＝0得y 的值m ，从而得直线与y 轴交点的坐标(0，m )； S4 令y ＝0得x 的值n ，从而得直线与x 轴交点的坐标(n,0)；S5 根据三角形面积公式求S ＝12·|m |·|n |；S6 输出运算结果．12．某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下面的方法计算： f ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.53ω， ω≤5050×0.53＋(ω－50)×0.85， ω＞50 其中f (单位：元)为托运费，ω为托运物品的重量(单位：千克)，试写出计算费用f 的算法．解：S1 输入物品重量ω；S2 如果ω≤50，那么f ＝0.53ω，否则f ＝50×0.53＋(ω－50)×0.85； S3 输出物品重量ω和托运费f .人教B版必修3同步练习1．程序框图中的判断框，有一个入口几个出口()A．1B．2C．3 D．4解析：选B.一般有两个出口：“是”与“否”．2．下面的功能中，属于处理框的是()①赋值；②计算；③判断；④输入，输出．A．①②③B．①②C．②③D．①②④解析：选B.处理框的功能是赋值，计算和传送结果．3．下列关于程序框图的说法正确的有()①程序框图只有一个入口，也只有一个出口；②程序框图中的每一部分都应有一条从入口到出口的路径通过它；③程序框图中的循环可以是无尽循环；④连接点是用来连接两个程序框图的．A．①②③B．②③C．①D．①②解析：选D.由框图符号及作用的说明可知③④错误，程序框图中的循环必须是有限循环；连接点是连接同一个程序框图的不同部分.4．如图算法的功能是________．答案：求两个实数a、b的和5．如图算法的功能是(a＞0，b＞0)________．答案：求以a、b为直角边的直角三角形斜边c的长一、选择题1．在程序框图中，一个算法步骤到另一个算法步骤的连接用()A．连接点B．流程线C．判断框D．处理框答案：B2．符号表示的意义是()A．流程图的开始或结束B．数据的输入或输出C．根据给定条件判断D．赋值执行语句结果的传递解析：选C.掌握每一种框图的功能，能准确地画出框图符号．3．画程序框图需要遵循的规则中，下列说法中错误的是()A．使用标准的框图的符号B．除判断框外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是具有超过一个退出点的符号之一C．一种判断框是“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一种是多分支判断，有几种不同的结果D．在图形符号内描述的语言要非常简练清楚答案：B4．下列关于程序框图的理解中正确的有()①用程序框图表示算法直观、形象，容易理解；②程序框图能够清楚地展现算法的逻辑结构，也就是通常所说的一图胜万言；③在程序框图中，起、止框是任何流程必不可少的；④输入和输出框可用在算法中任何需要输入、输出的位置．A．1个B．2个C．3个D．4个答案：D5．如图程序框图能判断任意输入的数x的奇偶性．其中判断框内的条件是()A．m＝0 B．x＝0C．x＝1 D．m＝1答案：D6．如图，写出程序框图描述的算法的运行结果()A ．－5B ．5C ．－1D ．－2 解析：选A.该算法的功能是求x ＝－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1， x ≥03x －2， x ＜0的函数值，由分段函数的性质知f (－1)＝－5. 二、填空题7．如图所示是某一问题的算法的程序框图．此框图反映的算法功能是________．解析：输入x ，x ≥0时输出x ；x ＜0时输出－x ， ∴是计算|x |.答案：计算任意实数x 的绝对值|x | 8．观察程序框图如图所示．若a ＝5，则输出b ＝________.解析：因为a ＝5，所以程序执行“否”，b ＝52＋1＝26. 答案：269．(2011年高考陕西卷改编)如图框图，当x 1＝6，x 2＝9，p ＝8.5时，x 3等于________．解析：由程序框图可知p ＝8.5≠6＋92， ∴p ＝x 2＋x 32＝8.5，∴x 3＝8.5×2－9＝8. 答案：8 三、解答题10．如图是为解决某个问题而绘制的程序框图，根据该图和下列各小题的条件回答问题．(1)该程序框图解决的问题是什么？ (2)框图中x ＝3的含义是什么？(3)若输出的最终结果是y 1＝4，y 2＝－3，当x ＝10时，输出的结果是多少？ (4)在(3)的前提下，当输入的x 值为多大时，输出ax ＋b ＝0?解：(1)该程序框图解决的是求函数f (x )＝ax ＋b 的函数值的问题，其中输入的是自变量x 的值，输出的是x 对应的函数值．(2)框图中x ＝3的含义是将3的值赋给变量x . (3)y 1＝4，即3a ＋b ＝4，① y 2＝－3，即－4a ＋b ＝－3.② 由①②得a ＝1，b ＝1，∴f (x )＝x ＋1.∴当x ＝10时，10a ＋b ＝f (10)＝11. (4)令f (x )＝x ＋1＝0，知x ＝－1.∴当输入的值为－1时，输出ax ＋b ＝0.11．画出判断两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2是否垂直的程序框图．解：算法如下：S1 输入k 1、k 2的值． S2 计算u ＝k 1×k 2.S3 若u ＝－1，则直线l 1与l 2垂直；否则，l 1与l 2不垂直． S4 输出信息“垂直”或“不垂直”．程序框图如图：12．假设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有公共点，设计一个算法，对多项式ax2＋bx ＋c因式分解并画出程序框图．解：算法如下．S1利用求根公式求得方程ax2＋bx＋c＝0的两个根x1，x2；S2对ax2＋bx＋c因式分解：ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)．程序框图如图所示．人教B版必修3同步练习1．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件分支结构和循环结构，下列说法中正确的是()A．一个算法只能含有一种逻辑结构B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构C．一个算法必须含有上述三种逻辑结构D．一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合答案：D2．若一个算法的程序框图中有，则表示该算法中一定有下列逻辑结构中的() A．循环结构和条件分支结构B．条件分支结构C．循环结构D．顺序结构和循环结构解析：选B.当有判断框时，一定有条件分支结构．3．下列说法中不正确的是()A．顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成，每一个算法都离不开顺序结构B．循环结构是在一些算法中从某处开始，按照一定条件，反复执行某些步骤，故循环结构中一定包含条件分支结构C．循环结构中不一定包含条件分支结构D．用程序框图表示算法，使之更加直观形象，容易理解答案：C4．如图程序框图的运算结果为________．解析：∵a的初值为5，每循环一次，a的值减1，故循环2次．答案：205．已知函数f(x)＝|x－3|，程序框图表示的是给定x值，求其相应函数值的算法．请将该程序框图补充完整．其中①处应填________，②处应填________．答案：x＜3y＝x－3一、选择题1．任何一个算法都离不开的基本结构为()A．逻辑结构B．条件分支结构C．循环结构D．顺序结构解析：选D.任何一个算法都要由开始到结束，故应当都有顺序结构．2.如图的程序框图表示的算法的功能是()A．计算小于100的奇数的连乘积B．计算从1开始的连续奇数的连乘积C．从1开始的连续奇数的连乘积，当乘积大于100时，计算奇数的个数D．计算1×3×5×…×n≥100时的最小的n值答案：D3．图中所示的是一个算法的框图，S的表达式为()A.11＋2＋3＋…＋99B.11＋2＋3＋…＋100C.199 D.1100答案：A4．下列问题的算法适宜用条件结构表示的是()A．求点P(2,5)到直线l：3x－2y＋1＝0的距离B．由直角三角形的两条直角边求斜边C．解不等式ax＋b＞0(a≠0)D．计算100个数的平均数解析：选C.条件结构是处理逻辑判断并根据判断进行不同处理的结构．只有C中含判断a 的符号，其余选择项中都不含逻辑判断，故选C.5．下列程序框图中，是循环结构的是()A．①②B．②③C．③④D．②④解析：选C.循环结构需要重复执行同一操作，故只有③④符合．6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是()A．4 B．5C．6 D．7解析：选A.当k＝0时，S＝0⇒S＝1⇒k＝1，当S＝1时⇒S＝1＋21＝3⇒k＝2，当S＝3时⇒S＝3＋23＝11＜100⇒k＝3，当S＝11时⇒S＝11＋211＞100，故k＝4.二、填空题7．程序框图如图所示，其输出结果是________．解析：根据程序框图可得，a的取值依次为1,3,7,15,31,63,127.答案：1278．有如图所示的框图．则该框图输出的结果是________．答案：20119．如图程序框图的输出结果为S ＝132，则判断框中应填________．解析：∵132＝11×12，而S ＝S ×i ，输出结果S ＝(12－1)×12＝11×12，∴判断条件为i ≥11. 答案：i ≥11 三、解答题10．画出求1×2×3×4×5×6×7的程序框图．解：本题可用顺序结构和循环结构来完成，循环结构流程图如图所示．11．设计一个算法，输入x 的值，输出y 的值，其中y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1， x ＜0x 2＋1， 0≤x ＜1x 3＋2x ， x ≥1，画出该算法的程序框图．解：程序框图如图所示．最早哪一年生产的轿车超过300万辆？试设计算法并画出相应的程序框图．解：算法如下S1n＝2010；S2a＝200；S3T＝0.05a；S4a＝a＋T；S5n＝n＋1；S6若a＞300，输出n.否则执行S3.程序框图如图所示．人教B 版必修3同步练习1．在我们写程序时，对于“//”号的说法正确的是( ) A ．“//”后面是注释内容，对程序运行起着重要作用B ．“//”后面是程序执行的指令，对程序运行起着重要作用C ．“//”后面是注释内容，对程序运行不起作用D ．“//”后面是程序执行的指令，对程序运行不起作用答案：C2．下列给出的赋值语句正确的有( ) ①赋值语句3＝B ；②赋值语句x ＋y ＝0； ③赋值语句A ＝B ＝－2；④赋值语句T ＝T *T . A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：选B.①赋值语句中“＝”号左右两边不能互换，即不能给常量赋值．左边必须是变量，右边必须是表达式，应改为B ＝3；②赋值语句不能给一个表达式赋值；③一个赋值语句只能给一个变量赋值，不能出现两个或多个“＝”；④该语句的功能是将当前的T 平方后再赋给变量T.故选B .3．下列给出的输入、输出语句正确的是( ) ①输入语句input a ；b ；c ②输入语句input x ＝3 ③输出语句p r int A ＝4 ④输出语句p r int 20,3*2 A. ①② B.②③ C ．③④ D ．④解析：选D.①input 语句可以给多个变量赋值，变量之间用“，”隔开；②input 语句中只能是变量，而不能是表达式，③p r int 语句中不用赋值号“＝”；④p r int 语句可以输出常量、表达式的值．4．下列程序的运行结果是________． x ＝0；x ＝x ＋1；x ＝x ＋2；x ＝x ＋3；print (%io (2)，x )；解析：由赋值语句的作用知x ＝6. 答案：65．读程序Ⅰ、Ⅱ，若两程序输入值与执行结果均分别相同，则两程序的输入值为________，执行结果为________．程序Ⅰ：程序Ⅱ： x ＝input(“x ＝”); x ＝input(“x ＝”)； y ＝x ＋2; y ＝2*x+2 p rint(%io(2)，y)； p r int(%io(2)，y)； end end解析：两程序执行结果相同，即求y ＝x ＋2与y ＝2x ＋2的交点．答案：0 2一、选择题1．某一程序中先后相邻的两个语句是：x=3*5；x=x+1；那么下列说法中正确的是（）①x=3*5的意思是x=3×5=15，此式与算术中的式子是一样的；②x=3*5是将数值15赋给x；③x=3*5也可以写为3*5=x；④该语句程序执行后x的值是16.A. ①③B.②④C．①④D．②③答案：B2．已知变量a，b已被赋值，要交换a，b的值，下列方法正确的是()A．a＝b，b＝a B．a＝c，b＝a，c＝bC．a＝c，b＝a，c＝a D．c＝a，a＝b，b＝c解析：选D.利用赋值语句交换a，b的值需引入第三个量c.3．在Sci l ab的文本编辑器中有如下程序：a＝input(“chinese”)；b＝input(“math”)；c＝input(“fo r eign l anguage”)；ave r＝(a＋b＋c)/3其中第一步程序语句的作用为()A．请求将语文成绩的变量输入给aB．请求输入语文成绩，并将它赋值给aC．将表达式input(“chinese”)的值赋给aD．将变量input(“chinese”)的值赋值给表达式a解析：选B.这里应注意输入语句与赋值语句的作用．4．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是()a＝1；b＝3；a＝a＋b；b＝a－b；p r int(%io(2)，a，b)；A．1,4 B．4,1C．0,0 D．6,0解析：选A.第一步，a＝1＋3＝4；第二步，b＝a－b＝4－3＝1，p r int(%io(2)，a，b)输出的顺序为b，a，所以输出b，a应分别为1,4.5．下面程序运行时输出的结果是()A＝10；B＝－5；C＝A＋B；A＝B＋C；B＝A＋C；C＝C＋A＋B；print(%io(2)，A，B，C)；A．5,0,10 B．10,5,0C．5,10,0 D．0,10,5解析：选B.执行顺序为C＝A＋B＝10－5＝5，A＝B＋C＝－5＋5＝0，B＝A＋C＝0＋5＝5，C＝C＋A＋B＝5＋0＋5＝10.故最后的结果为A＝0，B＝5，C＝10.6．关于输入语句、输出语句和赋值语句，下列说法中正确的是()A．input语句只能给一个变量赋值B．p r int语句可以在计算机屏幕上输出常量、变量的值和系统信息C．赋值语句就是将赋值号左边的值赋给赋值号右边的变量D．赋值语句不能给变量重复赋值，只能赋一次值答案：B二、填空题7．已知如下程序a＝input(“a＝”)；b＝input(“b＝”)；c＝input(“c＝”)；a＝b；b＝c；c＝a；abc若输入10,20,30，则输出结果为________．解析：由赋值语句的功能知b的值20赋给了a，c的值30赋给了b，赋值后的a＝20，又赋给了c.答案：20,30,208．请写出下面运算输出的结果________．a＝5；b＝3；c＝(a＋b)/2；d＝c*c；print(%io(2)，d)；解析：语句c＝a＋b2是将a，b和的一半赋值给变量c，c得4；语句d＝c*c是将c的平方赋值给d，最后输出d的值．答案：169．下面程序是输出A(x1，y1)，B(x2，y2)中点的程序，添上空白部分缺省的语句．x1＝input(“x1＝”)；y1＝input(“y1＝”)；x2＝input(“x2＝”)；y2＝input(“y2＝”)；①________②________解析：利用中点坐标公式来解决．答案：①x＝(x1＋x2)/2②y＝(y1＋y2)/2三、解答题10．设计程序，用公式法解一元二次方程2x2＋3x－1＝0.解：根据一元二次方程的求根公式x＝－b±b2－4ac2a，结合赋值语句便可以设计出这个运算程序．程序如下：11．编写一个程序，求分别用长度为l的细铁丝围成的一个正方形和一个圆的面积，要求输入l的值，输出正方形和圆的面积(π取3.14)．解：设围成的正方形的边长为a，依题意得4a＝l，a＝l4，所以正方形的面积为S1＝(l4)2＝l216；同理若设围成的圆的半径为R，则2πR＝l，R＝l2π，所以圆的面积为S2＝πR2＝π(l2π)2＝l24π，因此可以用顺序结构实现这一算法，采用input语句输入l的值，利用print语句输出得到的面积．程序如下：12．我国土地沙漠化问题非常严重，2000年全国沙漠化土地总面积达到1.6×105km2，并以每年约3.4×103km2的速度扩张．请你设计一个程序，计算以后某年的全国沙漠化土地总面积．解：程序如下：人教B版必修3同步练习1．条件语句表达的算法的结构为()A．顺序结构B．条件分支结构C．循环结构D．以上都不对解析：选B.条件语句主要用来实现算法中的条件分支结构，故选B. 2．若输入4，则下面程序执行后输出的结果为()A．4B．0.2C．0.1 D．0.3答案：B3．程序框图：该程序框图的功能是()A．输入一个数x，判断其是否大于或等于2，然后输出符合条件的x的值B．输入一个数x值，输出x－2的值C．任给一个实数x，求|x－2|的值D．任给一个实数x，同时输出x－2的值和2－x的值答案：C4．求函数y＝|x－4|＋1的函数值，则③为________．解析：else 暗含的条件为x ＜4，此时y ＝5－x . 答案：y ＝5－x5．输入两个数，输出其中较大的一个数，试将其程序补充完整．答案：b一、选择题1．下列关于条件语句的功能的叙述，正确的是( ) A ．条件语句主要是给变量赋值的功能B ．条件语句可以在计算机屏幕上输出表达式的值及系统信息C ．条件语句必须嵌套才能使用D ．条件语句主要用来实现算法中的条件分支结构解析：选D .分清条件语句在功能上与输入、输出语句、赋值语句的区别． 2．给出以下四个问题：①输入一个数x ，输出它的绝对值；②求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1， x ≥0x ＋2， x ＜0的函数值；③求面积为6的正方形的周长； ④求三个数a ，b ，c 中的最大数．其中不需要用条件语句来描述的有( ) A ．1个 B ．2个C．3个D．4个解析：选A.只有③不需要用条件语句来描述．3．下列程序的功能是：判断任意输入的数x是否是正数，若是，输出它的平方值；若不是，输出它的相反数．则填入的条件应该是()A．x＞0 B．x＜0C．x＞＝0 D．x＜＝0解析：选D.因为条件真则执行y＝－x，条件假则执行y＝x*x，由程序功能知条件应为x＜＝0.4．当a＝3时，下面的程序段输出的结果是()A．9 B．3C．10 D．6解析：选D.据条件3＜10，故y＝2×3＝6.5．下列程序运行的结果是()A．10.5 B．11.5C．16 D．25答案：D6．为了在运行下面的程序之后能输出y＝9，则应从键盘输入()A ．－4B ．－2C ．4或－4D ．2或－2 解析：选C.该程序功能是求函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2x ＜0(x －1)2x ≥0的函数值，y ＝9时有两种情况，若x ＜0，则由(x ＋1)2＝9，得x ＝－4(x ＝2舍去)；若x ≥0，则由(x －1)2＝9，得x ＝4(x ＝－2舍去)，从而答案为－4或4. 二、填空题7．写出下面程序运行后的结果．x ＝6，p ＝________；x ＝20，p ＝________. 解析：该程序是求分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ×0.35， x ≤1010×0.35＋(x －10)×0.7， x ＞10的函数值，当x ＝6时，f (6)＝2.1；当x ＝20时，f (20)＝10.5. 答案：2.1 10.58．下面程序是求分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1， x ≥4x 2－2x ＋3， x ＜4的函数值，则①为________．解析：由条件语句的特点知①处应为x ＞＝4. 答案：x ＞＝49．读程序完成下列题目： x ＝input (“x ＝”)if x ＞1y ＝x ＋1；else y ＝2x ＋1；endprint (%io (2)，y )；(1)若执行程序时没有执行语句y ＝x ＋1，则输入x 的范围是________；(2)若执行结果y 的值为5，则执行的赋值语句是________，输入的x 值为________．解析：(1)由题意，该程序是求f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， x ＞12x ＋1， x ≤1的函数值的程序，因此x ≤1时没有执行y ＝x ＋1；(2)又当x ＞1时，x ＋1＞2；当x ≤1时，2x ＋1≤3，从而输出的y 的值为5，则执行了语句y ＝x ＋1，得x ＝4.答案：(1)x ≤1 (2)y＝x ＋1 4 三、解答题10．编写一个程序，对于函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1， x ≤2.5x 2－1， x ＞2.5，输入x 的值，输出相应的函数值．解：程序如下：11．根据下面给出的程序画出相应的程序框图．解：程序框图如图．12．我国是水资源相对匮乏的国家，为鼓励节约用水，某市打算出台一项水费政策措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.3元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分水费收200%；若超过6吨而不超过7吨，超过部分的水费收400%.如果某人本季度实际用水量为x (x ≤7)吨，试设计一个某人本季度缴纳水费的程序．解：某人本季度缴纳水费的计算公式： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1.3x ， x ≤56.5＋2.6(x －5)， 5＜x ≤69.1＋5.2(x －6)， 6＜x ≤7. 程序如下：。

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吉林省实验中学2010—2011学年度高二上学期期末质量检测数学文试题命题人：赵晓玲审题人：李盘喜王凯一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合01x A x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}03B x x =<<，那么“m ∈A”是“m ∈B”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.已知复数i a z 21+=，i z 432-=，若21z z 为实数，则实数a 的值为 A ．38B ．38-C ．23 D ．23-3.对于两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：),(11y x ，),(22y x ，…，),(n n y x ，下列说法中错误的是A.由样本数据得到的回归方程a bx y+=ˆ必过样本中心点),(y x B.残差的平方和越小的模型，拟合的效果越好 C.用2R 来刻画回归效果，2R 越小，说明拟合效果越好D.若样本点呈条状分布，则变量y 和x 之间具有比较好的线性相关关系 4.已知命题041,:2<+-∈∀x x R x p ，命题2cos sin ,:=+∈∃x x R x q ，则下列判断正确的是A. p 是真命题B. q 是假命题C. p ⌝是假命题D. q ⌝是假命题5.一个路口的信号灯，绿灯亮40秒后，黄灯亮5秒，然后红灯亮30秒，那么一辆车到达这个路口时，遇到红灯的概率为A. B. C. D.6.某重点高中高二历史会考前，进行了五次历史会考模拟考试，某同学在这五次考试中成绩如下：90 ，90 ，93 ，94 ，93 ，则该同学的这五次成绩的平均值和方差分别为 , 2 B. 92 , C. 93 , 2 ,7.在吸烟与患肺癌这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是①若2K 的观测值满足635.62≥K ，我们有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺癌；（参考数据：()01.0635.62=≥K P ）②从独立性检验可知，如果有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关系时，那么我们就认为：每个吸烟的人有99%的可能性会患肺癌；③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺癌有关系时，是指有5%的可能性使推断出现错误。

A.①B.①③C.③D.②8.曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为 ° °°D. 120°9.设()y f x '=是函数()y f x =的导函数，()y f x '=的图象如右图所示，则()y f x =的图象最有可能的是A B C D10.过点(2,4)M 作直线l ，与抛物线28y x =只有一个公共点，满足条件的直线有 A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条11.设21,F F 是双曲线12222=-by a x （a>0，b>0）的两个焦点，点P 在双曲线上，若021=⋅PF PF )(22221b a c ac PF PF +==，则双曲线的离心率为A ．251+ B ．231+ C ．2 D ．221+ 12．已知两点M （－5，0），N （5，0），若直线上存在点P ，使6=-PN PM ，则称该直线为“B 型直线”。

给出下列直线 :①1+=x y , ②2=y , ③x y 34=, ④x y 2=, 其中为“B 型直线”的是A ．①③B ．①②C ．③④D ．①④二、填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分。

13.抛物线x y 82-=的焦点坐标为 .14. 已知i 为虚数单位，复数z =a +1+( a -1) i 对应的点位于第四象限，则实数a 的取值范围是 . xy O 1 2x y y x y xy x O 1 2 O 1 2 O 1 21 2 O15.如果执行如图所示的程序框图，那么输出的值k = .16.若函数()322f x x x ax =-+-在区间1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内是增函数，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．(本小题满分10分）已知a>0，设命题p ：函数1()xy a=为增函数，命题q ：当1[,2]2x ∈时，函数11()f x x x a=+>恒成立，如果命题“p ∨q”为真命题，命题“p ∧q”为假命题，求实数a 的取值范围。

18．(本小题满分12分）为了让学生更多地了解“数学史”知识，某中学高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛。

为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计。

请你根据下面的频率分布表，解答下列问题：序号（i ）分组（分数）本组中间值 ()i G 频数（人数）频率 ()i F 1[)60,70 65 ① 12.0 2 [)70,80 75 20 ② 3 [)80,90 85 ③ 24.0 4 []90,100 95 ④ ⑤ 合计 50 1（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（2）为鼓励更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于85分的同学能获奖，请估计在参赛的800名学生中大概有多少同学获奖？（3）请根据频率分布表估计该校高二年级参赛的800名同学的平均成绩。

19．(本小题满分12分）初一年级初二年级初三年级女生 373 x y 男生377370z如果在全校学生中随机抽取1名学生，抽到初二年级女生的概率是。

（1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全校学生中抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？（3）已知,245,245≥≥z y 求初三年级中女生比男生多的概率。

20．(本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，一个顶点坐标为()0,2，离心率为23. （1）求这个椭圆的方程；（2）若这个椭圆左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 且斜率为1的直线交椭圆于A 、B 两点，求2ABF ∆的面积.21.(本小题满分12分）已知函数3211()(1)()32f x x a x ax a R =+-+∈ （1）若()f x 在2x =处取得极值，求()f x 的单调递增区间；（2）若()f x 在区间(0,1)内有极大值和极小值，求实数a 的取值范围.22.(本小题满分12分）已知点(3,0)P ，点A 、B 分别在x 轴负半轴和y 轴上，且0=•，点C 满足2AC BA =，当点B 在y 轴上移动时，记点C 的轨迹为E 。

（1）求曲线E 的方程；（2）过点Q （1，0）且斜率为k 的直线l 交曲线E 于不同的两点M 、N ，若D(1-,0),且DM ·DN ＞0，求k 的取值范围。

参考答案2D 3C 4D 5B 6B 7C 8B 9C 10C 11A 12B 13.()0,2- 14 .11<<-a 15.4 16．13a ≥17．解：若q p ∨为真，q p ∧为假，则p 、q 一真一假；-----2分若p 为真，则11>a，10<<∴a ------3分若p 为假，则1≥a ------------4分若q 为真，则()21≥+=x x x f ，2121><∴a a 即------5分若q 为假，则210≤<a ------6分若p 真q 假，则210≤<a ------7分若p 假q 真，则1≥a ---------8分a ∴的取值范围是：[)+∞⎥⎦⎤⎝⎛,121,0 ------------------10分18. 解：（1）①为6，②为4.0，③为12，④为12⑤为24.0．------5分（2）28880024.024.021=⨯+⨯）（，即在参加的800名学生中大概有288名同学获奖．--------9分（3）8124.09524.0854.07512.065=⨯+⨯+⨯+⨯ 估计平均成绩为81分。

------------12分19. （1）38019.02000=⨯=x （名）---------4分（2）由题意和（1）可知，初一、初二年级各有学生750名，初三年级学生为2000-750-750=500（名），故采取分层抽样方法在全校抽取48名学生，应在初三年级级抽取12482000500=⨯（名）-----------8分（3）当,245,245≥≥z y 时，初三年级中男、女生人数的所有可能组合为：男生245246247248249250251252253254255女生255254253252251250249248247246245所在可能组合有11种，其中女生比男生多的组合有5组，故初三年级中女生比男生多的概率为.115-----------12分 20.（1）设椭圆的方程为()012222>>=+b a by a x ， ………………………1分由题意，1,3,23,2222=-==∴==c a b c a c a ………………………3分 ∴椭圆的方程为2214x y += …………………………………………4分（2）()()0,3,0,321F F -，设()()2211,,,y x B y x A ，则直线AB 的方程为3+=x y ．……………5分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14322y x x y ，消x 得013252=--y y …6分 ∴()25324,51,532212212212121=--=--==+y y y y y y y y y y ∴52421=-y y ………………………10分 ∴212122112122121211211y y F F y F F y F F S S S F BF F AF ABF -⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆ =5645243221=⨯⨯ ………………………………………12分 21．解：()()21f x x a x a '=+-+--------2分（1）∵()f x 在2x =处取得极值 ∴()20f '=∴()4210a a +-+= ∴23a =--------4分∴()25233f x x x '=-- ()123x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭令()0f x '> 则()1203x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭ ∴2x >或13x <----5分 y F 2BAOF 1第20题图∴函数()f x 的单调递增区间为()1,,2,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭-------6分（2） ∵()f x 在()0,1内有极大值和极小值 ∴()0f x '=在()0,1内有两不等根对称轴12a x -=-∴()()010120010a f f >⎧⎪-⎪<-<⎪⎨⎪'>⎪'>⎪⎩ 即()2140110110a a a a a a ⎧=-->⎪⎪-<<⎨>⎪⎪+-+>⎩ --------10分∴0322a <<---------12分22.解：（1）设()()()(),00,0,,,A a a B b C x y <-------1分则()()(),,,,3,AC x a y BA a b BP b =-=-=- ∵0.BP BA = 2AC BA =∴23022a b x a a y b ⎧+=⎪-=⎨⎪=-⎩-----------4分消去,a b 得24y x =- ∵0a < ∴30x a =< 故曲线E 的方程为()240y x x =-<-------6分（2）设直线l 方程为()1y k x =--------7分由()214y k x y x⎧=-⎪⎨=-⎪⎩得()2222220k x k x k --+=--------8分 ∵直线l 交曲线E 于不同的两点M 、N ∴0> 即()22224240k k k =--> ∴21k < ①----------9分设M ()11,x y ，N ()22,x y 则()()11221,,1,DM x y DN x y =+=+∴ ()212212221k x x k x x ⎧-⎪+=⎨⎪=⎩ ∴()()121211DM DN x x y y =+++-------10分()()()121212111x x x x k x k x =++++-- ()()()2221212111k x x k x x k =++-+++22840k k -=> 解得212k > ② ----------11分由①②联立解得：1212<<k ∴ 212k -<<-或212k <<----------12分。