一元一次方程的应用讲义(经典讲义)

《一元一次方程的应用》讲义一元一次方程是数学中的重要基础知识，在我们的日常生活和实际问题中有着广泛的应用。

通过建立一元一次方程，可以将一些看似复杂的问题转化为数学语言，从而找到解决问题的方法。

一、行程问题行程问题是一元一次方程常见的应用场景之一。

比如，甲乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲的速度为每小时 5 千米，乙的速度为每小时 4 千米，经过 3 小时两人相遇，求 A、B 两地的距离。

我们设 A、B 两地的距离为 x 千米。

甲走的路程为 5×3 ＝ 15 千米，乙走的路程为 4×3 ＝ 12 千米。

由于两人是相向而行，所以他们走过的路程之和等于两地的距离，即 15 ＋ 12 ＝ x，解得 x ＝ 27 千米。

再比如，一辆汽车以每小时 60 千米的速度从甲地开往乙地，4 小时后到达。

返回时由于路况不好，速度变为每小时 48 千米，求返回时需要的时间。

设返回时需要的时间为 x 小时。

根据路程相等，去时的路程为 60×4 ＝ 240 千米，返回的路程为 48x 千米，所以 48x ＝ 240，解得 x ＝ 5 小时。

二、工程问题工程问题也是经常用到一元一次方程的领域。

例如，一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成，两人合作需要多少天完成？设两人合作需要 x 天完成。

把这项工程的工作量看作单位“1”，甲每天的工作效率为 1/10，乙每天的工作效率为 1/15，两人合作每天的工作效率为 1/10 ＋ 1/15。

根据工作量＝工作效率×工作时间，可得（1/10 ＋ 1/15)x ＝ 1，解得 x ＝ 6 天。

又如，一个水池，有甲、乙两个进水管，单开甲管8 小时可以注满，单开乙管 12 小时可以注满，现在两管同时打开，多少小时可以注满水池？设 x 小时可以注满水池。

甲管每小时的注水量为 1/8，乙管每小时的注水量为 1/12，两管同时开每小时的注水量为 1/8 ＋ 1/12，所以（1/8 ＋ 1/12)x ＝ 1，解得 x ＝ 48 小时。

《一元一次方程》讲义一、什么是一元一次方程在数学的世界里，一元一次方程是我们解决许多实际问题的有力工具。

那到底什么是一元一次方程呢？一元一次方程指的是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1 的整式方程。

举个简单的例子，像 3x ＋ 5 ＝ 14 就是一个一元一次方程。

在这个方程中，只有一个未知数 x，而且 x 的最高次数是 1。

为了更清楚地理解一元一次方程，我们需要明白几个关键的概念。

首先是“元”，它表示未知数的个数；“次”则表示未知数的最高次数。

所以，“一元”就是一个未知数，“一次”就是未知数的最高次数是 1。

二、一元一次方程的形式一元一次方程的一般形式是：ax ＋ b ＝ 0（其中 a、b 是常数，且 a ≠ 0）。

在这个一般形式中，a 被称为方程的系数，x 是未知数，b 则是常数项。

例如，在方程 2x 7 ＝ 0 中，2 是系数，－7 是常数项。

需要注意的是，当 a ＝ 0 时，方程就不再是一元一次方程了。

比如0x ＋ 5 ＝ 0，因为 0x 等于 0，这个方程实际上就变成了 5 ＝ 0，这显然是不成立的。

三、一元一次方程的解法接下来，我们来学习如何解一元一次方程。

解一元一次方程的基本步骤可以概括为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。

（一）去分母如果方程中各项的分母不同，我们需要先找到分母的最小公倍数，然后将方程两边同时乘以这个最小公倍数，把分母去掉。

例如，方程（x ＋ 1) ／ 2 ＋（x 1) ／ 3 ＝ 6 ，分母 2 和 3 的最小公倍数是 6 ，方程两边同时乘以 6 ，得到 3(x ＋ 1) ＋ 2(x 1) ＝ 36 。

（二）去括号如果方程中有括号，我们需要运用乘法分配律把括号去掉。

比如，在方程 3(x ＋ 5) 2(2x 1) ＝ 10 中，去括号得到 3x ＋ 15 4x ＋ 2 ＝ 10 。

（三）移项把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边。

《一元一次方程的应用》讲义一元一次方程是数学中的基础内容，也是解决实际问题的有力工具。

通过建立一元一次方程模型，我们能够将生活中的各种情境转化为数学语言，从而找到问题的答案。

接下来，让我们一起深入探讨一元一次方程的应用。

一、行程问题行程问题是一元一次方程常见的应用场景之一。

比如，甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲的速度是每小时 x 千米，乙的速度是每小时 y 千米，经过 t 小时两人相遇。

那么 A、B 两地的距离就可以用方程（x ＋ y）× t 来表示。

再比如，某人骑自行车以每小时 15 千米的速度从 A 地前往 B 地，返回时速度变为每小时 10 千米。

已知 A、B 两地相距 30 千米，求此人往返的平均速度。

我们可以设往返的平均速度为 v 千米/小时，根据“总路程÷总时间＝平均速度”，总路程为 2×30 ＝ 60 千米，去时所用时间为 30÷15 ＝ 2 小时，回时所用时间为 30÷10 ＝ 3 小时，总时间为 2 ＋ 3 ＝ 5 小时，可列出方程 60÷5 ＝ v ，解得 v ＝ 12 千米/小时。

二、工程问题工程问题中也常常需要用到一元一次方程。

假设一项工程，甲单独完成需要 x 天，乙单独完成需要 y 天，两人合作需要 z 天完成。

那么根据“工作总量＝工作时间×工作效率”，工作总量通常看作单位“1”，甲的工作效率为 1/x ，乙的工作效率为 1/y ，两人合作的工作效率为1/z ，可列出方程（1/x ＋ 1/y）× z ＝ 1 。

例如，一项工程，甲单独做 10 天完成，乙单独做 15 天完成，两人合作 4 天后，剩下的部分由乙单独完成，还需要几天？设还需要 t 天完成，可先算出两人合作 4 天完成的工作量为（1/10 ＋ 1/15）× 4 ＝ 2/3 ，那么乙单独完成的工作量为 1 2/3 ＝ 1/3 ，因为乙的工作效率为 1/15 ，所以可列出方程 1/15 × t ＝ 1/3 ，解得 t ＝ 5 天。

第12讲一元一次方程的实际应用概述适用学科初中数学适用年级初一适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点1、解一元一次方程2、一元一次方程的实际应用3、根据实际问题找到等量关系教学目标通过列方程解决实际问题，逐步建立方程的思想教学重点自主分析题意的过程中能够使已设未知数参与其中。

教学难点找到问题中的数量关系,将未知数参与其中的代数式用“=”连接起来，使之构成方程【教学建议】一元一次方程的实际应用是这一章的重点和难点，也是学生最容易出现问题以及最怕的内容，因此在教学过程中要由易到难，慢慢递进，慢慢引导学生读题，再用自己的语言表述问题，分析问题、理解问题、进而找出等量关系，最后根据问题列出方程。

找等量关系是比较困难的，因此要多次引导学生对问题的思考和解决过程。

行船问题工程问题【知识导图】1.知识链接：根据实际问题列方程。

（1）、世界上最大的动物是蓝鲸，一只鲸重124吨。

比一头大象体重的25倍少一吨，这头大象重几吨？若已知大象的重量（如X 吨）如何求蓝鲸的重量？（2）顾客用540卢布买了两种布料共138尺，其中蓝布料每俄尺3卢布，黑布料每俄尺3卢布，黑布料每俄尺5卢布。

两种布料各买了多少？（设蓝布料买了X 尺）2.复习与预习：（1）方程的解的概念使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.注：①方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.②方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.（2）移项法则教学过程一、导入一元一次方程的实际应用利润问题几何问题行程问题把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.（3）去括号法则（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同.（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变.（4）解方程的一般步骤1)去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数).2)去括号(按去括号法则和分配律).3)移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号).4)合并(把方程化成(0)a xb a 形式).5)系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解b x a).二、知识讲解考点1利润问题（1）计算盈利和亏损问题与那些量有关.商品利润=商品售价－商品进价商品利润率商品进价商品利润打x 折的售价=原售价×10x （2）如何计算盈亏问题，公式是什么？盈利=售价－进价亏损=进价－售价盈利=利润率×进价考点2行程问题（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间。

一元一次方程的应用讲义（经典讲义）一元一次方程的应用讲义用一元一次方程解决实际问题的一般步骤（1）审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；（2）找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；（3）设：设未知数（一般求什么，就设什么）；（4）列：根据相等关系列出需要的代数式，从而列出方程；（5）解：解所列的方程，求出未知数的值；（6）检：检查所求解是否符合题意；（7）答：写出答案（包括单位名称）.水箱变高了长方形的周长=_________，面积=__________ ．长方体的体积=_________，正方体的体积=__________．圆的周长=___________；面积=_______________．圆柱的体积=_______________．例：把直径6cm ，长16cm的圆钢锻造成半径为4cm的圆钢，求锻造后的圆钢的长？这个问题中的等量关系是：解：设锻造后圆钢的高为x 厘米，填写下表：随堂检测：将一个底面直径是10厘米，高为36厘米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径是20厘米的“矮胖”形圆柱，高变成了多少？这个问题中的等量关系是：设锻压后圆柱的高为x 厘米，填写下表：例：用一根250cm 长的铁丝恰好能围成一个长方形，且长方形的长比宽多25cm,求长方形的宽？等量关系：随堂练习：用一根长为60cm 的铁丝围成一个长方形，若长方形的宽是长的3 2，求这个长方形的长和宽？打折销售（1）进价：购进商品时的价格（有时也叫成本价）（2）售价：在销售商品时的售出价（有时称成交价，卖出价）（3）标价：在销售时标出的价（有时称原价，定价）（4）利润：在销售商品的过程中纯收入即：利润=售价－进价（5）利润率：利润占进价的百分率，即：利润率=利润÷进价×100%（6）打折：卖货时，按照标价乘以十分之几或百分之几十，则称打了几折，或理解为：销售价占标价的百分率。

例如某种服装打8 折即按标价的百分之八十出售。

《一元一次方程的应用》讲义一元一次方程是数学中的重要基础知识，它在解决实际问题中有着广泛的应用。

掌握一元一次方程的应用，不仅能够提高我们的数学解题能力，还能培养我们用数学思维解决生活中各种问题的能力。

一、一元一次方程的基本概念在深入探讨一元一次方程的应用之前，我们先来回顾一下一元一次方程的基本概念。

一元一次方程指的是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1 的整式方程。

其一般形式为：＄ax ＋ b ＝ 0$（其中$a$，＄b$为常数，且$a ≠ 0$）。

例如：＄3x ＋5 ＝14$就是一个一元一次方程，其中$x$是未知数，＄3$是$x$的系数，＄5$是常数项。

二、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤为：1、去分母（如果方程中有分母）：在方程两边同时乘以各分母的最小公倍数，去掉分母。

2、去括号：运用乘法分配律去掉括号。

3、移项：将含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边，注意移项要变号。

4、合并同类项：将方程化为$ax ＝ b$的形式。

5、系数化为 1：在方程两边同时除以未知数的系数$a$，得到方程的解$x ＝＼frac{b}｛a}＄。

例如，解方程$2(x 3) ＋ 3 ＝ 5 （x ＋ 1)＄：首先去括号：＄2x 6 ＋ 3 ＝ 5 x 1$然后移项：＄2x ＋ x ＝ 5 1 ＋ 6 3$合并同类项：＄3x ＝ 7$系数化为 1：＄x ＝＼frac{7}｛3}＄三、一元一次方程在行程问题中的应用行程问题是一元一次方程常见的应用场景之一。

基本公式：路程＝速度×时间例如，甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。

甲的速度为每小时5 千米，乙的速度为每小时4 千米，经过3 小时两人相遇。

问 A、B 两地的距离是多少？设 A、B 两地的距离为$x$千米。

甲行驶的路程为$5×3 ＝ 15$千米，乙行驶的路程为$4×3 ＝ 12$千米。

由于两人相向而行，所以他们行驶的路程之和等于 A、B 两地的距离，即$15 ＋ 12 ＝ x$解得$x ＝ 27$千米。

初一（上）数学第五章一元一次方程一、知识网络二、目标认知重点：一元一次方程的解法，列方程解应用题难点：列方程解应用题三、知识要点梳理知识点一：一元一次方程及解的概念1、一元一次方程：一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。

要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的次数是1次；（3）整式方程．2、方程的解：判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等．知识点二：一元一次方程的解法1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

如果，那么；(c为一个数或一个式子)。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

如果，那么；如果，那么cb c a = 要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。

即：mb ma bm amb a ÷÷==（其中m≠0） 特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：6.12.045.03=+--x x ，将其化为：6.12401053010=+--x x 方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。

2、解一元一次方程的一般步骤：解一元一次方程的一般步骤常用步骤 具体做法依据注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数等式基本性质2防止漏乘（尤其整数项），注意添括号；去括号一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号去括号法则、分配律 注意变号，防止漏乘；移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)等式基本性质1 移项要变号，不移不变号；合并同类项 把方程化成ax ＝b(a≠0)的形式合并同类项法则 计算要仔细，不要出差错；系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程等式基本性质2 计算要仔细，分子分母勿颠倒b的解x ＝要点诠释：理解方程ax=b 在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用: ①a≠0时，方程有唯一解ab x； ②a=0，b=0时，方程有无数个解； ③a=0，b≠0时，方程无解。

《一元一次方程的应用》讲义一、一元一次方程的基本概念在数学的世界里，一元一次方程就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们解决许多实际问题。

那么，什么是一元一次方程呢？一元一次方程指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 1 的整式方程。

一般形式为：ax ＋ b ＝ 0（其中 a、b 为常数，a ≠ 0）。

例如：3x ＋ 5 ＝ 11 就是一个一元一次方程，其中 x 是未知数，3是 x 的系数，5 是常数项。

二、一元一次方程的解法解一元一次方程的主要步骤包括：1、去分母：如果方程中有分母，要乘以分母的最小公倍数，将分数化为整数。

2、去括号：运用乘法分配律去掉括号。

3、移项：将含有未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边，注意移项要变号。

4、合并同类项：将同类项进行合并。

5、系数化为1：等号两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。

例如，解方程：（2x ＋ 1) ／ 3 （5x 1) ／ 6 ＝ 1首先，去分母，两边同时乘以 6，得到：2(2x ＋ 1) （5x 1) ＝ 6然后，去括号：4x ＋ 2 5x ＋ 1 ＝ 6接着，移项：4x 5x ＝ 6 2 1合并同类项：x ＝ 3最后，系数化为 1，两边同时除以－1：x ＝－3三、一元一次方程在实际问题中的应用1、行程问题行程问题中，速度、时间和路程之间有着密切的关系。

基本公式为：路程＝速度×时间。

例如：小明骑自行车以每小时 15 千米的速度从 A 地到 B 地，用了3 小时。

返回时速度变为每小时 10 千米，问返回时用了多长时间？设返回时用了 x 小时，根据路程相等，可列出方程：10x ＝ 15×3解得 x ＝ 45所以返回时用了 45 小时。

2、工程问题工程问题中，工作效率、工作时间和工作量之间的关系是：工作量＝工作效率×工作时间。

例如：一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成。

两人合作需要多少天完成？设两人合作需要 x 天完成，将工作总量看作单位“1”，则甲的工作效率为 1/10，乙的工作效率为 1/15。

龙文教育学科教师辅导讲义课 题 一元一次方程的应用教学目标一元一次方程解法步骤 一元一次方程的应用重点、难点一元一次方程的应用考点及考试要求灵活运用一元一次方程的方法教学内容分母含有小数。

例：知识纵横1、若3x 3y m －1与－21x n+1y 3是同类项，请求出 m,n 的值。

2、已知x=21是关于x 的方程3m+8x=21+x 的解，求关于x 的方程，m+2x=2m －3x 的解。

分母含有小数。

怎样转化为整数呢？可以利用分数的基本性质，分子、分母同乘以一个数（10）即可化为整数。

常数项不用乘例1 5位教师和一群学生一起去公园，教师按全票的票价是每人7元，学生只收半价.如果买门票共花费206.50元，那么学生有多少人？分析 题中哪些量是已知的？哪些量是未知的？这些量之间有什么关系？能用表格去表示吗？设哪个未知数为x ？题中的相等关系是什么？从上面的例子我们可以看到，运用方程解决实际问题的一般过程是： 1. 审题：分析题意，找出题中的数量关系及其关系； 2. 设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x ）； 3. 列方程：根据相等关系列出方程； 4. 解方程：求出未知数的值；步 骤 根 据 注 意 事 项去分母 等式性质2①不漏乘不含分母的项； ②注意给分子添括号。

去括号 分配律、去括号法则①不漏乘括号里的项；②括号前是“－”号，要变号。

移项 移项法则 移项要变号 合并同类项 合并同类项法则 系数相加，不漏项 两边同除以未知数的系数 等式性质2乘以系数的倒数5. 检验：检验求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案.练习 甲、乙两人从相距为180千米的A ，B 两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶.已知甲的速度为15千米/时，乙的速度为45千米/时.经过多少时间两人相遇？变题一 相遇后经过多少时间乙到达A 地？变题二 如果甲先行1时后乙才出发，问甲再行多少时间与乙相遇？例2 甲、乙两人从A 、B 两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶.出发后经3时两人相遇.已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇后经1时乙到达A 地.问甲、乙行驶的速度分别是多少？变题 相遇后经过多少时间甲到达B 地？设甲的速度为x 千米/时，题目中所涉及的有关数量及其关系可以用下表表示：相遇前 相遇后速度 时间 路程 速度 时间 路程甲 x3 3x x3903x x+ 3x +90 乙3903x +33x +903903x +13x相遇前甲行驶的路程+90=相遇前乙行驶的路程；相遇后乙行驶的路程=相遇前甲行驶的路程.解 设甲行驶的速度为x 千米/时，则相遇前甲行驶的路程为3x 千米，乙行驶的路程为（3x +90）千米，乙行驶的速度为3903x +千米/时，由题意，得390133x x+⨯=.解这个方程，得x =15.检验：x =15适合方程，且符合题意. 将x =15代入3903x +，得3903x +=315903⨯+=45.答：甲行驶的速度为15千米/时，乙行驶的速度为45千米/时.想一想 如果设乙行驶的速度为x 千米/时，你能列出有关的方程并解答吗？在分析应用题中的数量关系时，常用列表分析法与线段图示法，使题目中的条件和结论变得直观明显，因而容易找到它们之间的相等关系.例 学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人.现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍多2人，应调往甲、乙两处各多少人？利息税是对个人储蓄存款利息所得征收个人所得税本金、利息、年利率、利息税、实得利息和实得本利和，它们之间有如下的相等关系：⨯⨯=本金利率期数利息；⨯=利息税率利息税；=利息-利息税实得利息.头3天甲生产零件的个数 后5天生产零件的个数 乙生产零件的个数甲生产零件的个数 940个甲、乙合做4天的工作量乙单独做 的工作量全部工作量1=本金+利息-利息税实得本利和.例5 小明把压岁钱按定期一年存入银行.年利率为1.98℅,利息税率为0.396℅,到期支取时，扣除利息税后小明实得本利和为507.92元.问小明存入银行的压岁钱有多少元？对于数量关系较复杂的应用题，有时可先画出示意图，使题目中的条件和结论变得直观明显，因而容易找到它们之间的相等关系，这种方法通常称为图示法.应用方程解实际问题时，我们经常用示意图来分析数量关系，并建立方程.例6 甲每天生产某种零件80个，甲生产3天后，乙也加入生产同一种零件，再经过5天，两人 共生产这种零件940个.问乙每天生产这种零件多少个？分析 可以用示意图来分析本题中的数量关系：从图得到如下的相等关系：头3天甲生产零件的个数+后5天甲生产零件的个数+后5天乙生产零件的个数=940. 根据这一相等关系，设乙每天生产零件x 个，就可以列出方程. 解 设乙每天生产零件x 个.根据题意，得3805805940x ⨯+⨯+=.解这个方程，得x =60.答：乙每天生产零件60个.例7某装潢公司接到一项业务，如果由甲组需10天完成，由乙组做需15天完成.为了早日完工，现由甲、乙两组一起做，4天后甲组因另有任务，余下部分由乙组单独做，问还需几天才能完成？分析 1）用示意图来分析数量关系.2）总工作量怎样表示？甲、乙两人的工作效率如何表示？3）如何设未知数？甲、乙合作的工作效率如何表示？乙单独做的工作量如何表示？ 4）根据怎样的相等关系列方程？。