(完整版)2018考研数学二真题.docx

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2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共32 分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.

1

( 1)若lim( e x ax2bx) x21,则()

x 0

(A) a 1

, b1(B) a

1

,b1(C) a

11

, b 1 (D) a,b 1 2222

( 2)下列函数中,在x 0 处不可导的是()

(A) f x x sin x(B)f x x sin x (C)f x cos x(D)f x cos x

1,x02ax, x1

( 3)设函数

f (x)x,1x 0 ,

f ( x)g(x)

在上连续,则

()1,x0, g ( x)R

x b, x0

(A) a 3,b1(B)a3,b2 (C)a3, b1(D)a3,b2

( 4)设函数f (x)在[0,1]上二阶可导,且

1

0,则()f ( x)dx

(A) 当f( x)0时 , f (1

0(B)当 f(x)0时 , f (

1

0 ))

22

(C)当 f( x)0时 , f

(

1

0(D)当 f(x)0时 , f (

1

0 ))

22

1x

2

1x

x

dx, K

( 5)设M22dx, N2 2 1cos x dx, 则()21x2e2

(A) M N K(B) M K N

(C) K M N(D) K N M

02x2

xy)dy12x2

xy)dy

( 6)dx(1

0dx(1()

1x x

5

(B)5

(C)

77

(A)

363(D)

6

110

( 7)下列矩阵中与矩阵01 1 相似的为()

001

111101

(A)011(B)011

001001

1 1

1 1 0 1

(C) 0

1 0

(D) 0

1 0

0 0 1 0 0 1

( 8)设 A, B 为n 阶矩阵,记 r

X 为矩阵 X 的秩, X ,Y 表示分块矩阵,

则(

(A) r A, AB r A

(B)

r A, BA

r A

(C)

r A, B

max r A ,r B

(D) r

A, B

r A T B T

二、填空题: 9~14 题,每小题 4 分,共 24 分 .

( 9) lim x 2 [arctan(x

1) arctanx]

x

( 10) 曲线 y x 2 2ln x 在其拐点处的切线方程是 ( 11)

1

dx

2

5

x 4x

3

( 12) 曲线

x

cos 3 t ,在t 对应点处的曲率为

y sin 3 t

4

( 13) 设函数 z

x, y 由方程 ln z e z 1

xy 确定 ,则

z

x (2, 1 )

2

( 14) 设 A 为3阶矩阵 ,

1,

2 , 3是线性无关的向量组 , 若 A 1 2 12

则 A 的实特征值为

.

三、解答题: 15~23 小题,共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤( 15)(本题满分 10 分)

求不定积分

e 2 x arctan e x 1dx.

( 16)(本题满分 10 分)

已知连续函数 f ( x)满足

x x 2

f (t) dt

tf ( x t)dt ax

3, A

2 2

2 3

, A

3 2 3 ,

.

( I ) 求 f ( x);

( II ) 若f (x)在区间 [0,1]上的平均值为 1,求

a 的值.

( 17)(本题满分 10 分)

设平面区域 由曲线

x

t sin t, (0 t 2 ) 与 轴围成 计算二重积分

( x 2y)d .

1 cost

y

D

( 18)(本题满分10 分)

已知常数 k ln 2 1. 证明:( x1)( x ln 2 x 2k ln x 1)0.

( 19)(本题满分10 分)

将长为 2m的铁丝分成三段,依次围成圆、正方形与正三角形. 三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在,求出最小值.

( 20)(本题满分 11分)

已知曲线L : y4x2 ( x 0),点 O 0,0, 点 A 0,1 .设 P是 L上的动点, S是直线 OA与直线 AP及曲线L

9

所围成图形的面积,若 P运动到点3,4 时沿 x轴正向的速度是 4,求此时 S关于时间 t的变化率 .

( 21)(本题满分11 分)

设数列 x n满足: x1 0, x n e x n 1e x n 1(n 1,2,L ), 证明 x n收敛,并求 lim x n .

n

( 22)(本题满分 11 分)

设实二次型 f (x1, x2 , x3 ) ( x1 , x2x3 ) 2( x2 x3 ) 2(x1 ax3)2 ,其中 a是参数 .

(I) 求f ( x1, x2, x3)0的解;

(II)求 f (x1, x2 , x3 )的规范形 .

(23)(本题满分 11 分)

12a1a2

已知是常数,且矩阵

A= 130可经初等列变换化为矩阵

B= 01 1 .

a

27a111 (I)求a;

(II)求满足AP B的可逆矩阵 P.

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