新高考数学复习专题突破——突破4.1 圆的方程课时训练含答案解析

高考数学复习圆的方程专项练习（附解析）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。

以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。

一、填空题1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.[解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1.又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，解得a=2或a=-(舍).因此该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.[答案] (x-2)2+(y-1)2=12.(2021南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________.[解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解得a=0，因此圆心坐标为(0,1).[答案] (0,1)3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________.[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为(1，-4).半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.[答案] (x-1)2+(y+4)2=84.(2021江苏常州模拟)已知实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y |的最小值为________.[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos ，y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin |=|7-sin (-7-(tan =2).[答案] 7-5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________.[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，因此a+b =2.因此+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b =时取等号.[答案] 96.(2021南京市、盐都市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2 +(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________.[解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，因此kOP==1，kAB=-1，而直线AB过P点，因此直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.[答案] x+y-3=07.(2021泰州质检)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a =________.[解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2 +a-1)0，解得-20)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值.[解] (1)设圆心C(a，b)，由题意得解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q(x，y)，则x2+y2=2，=(x-1，y-1)(x+2，y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos ，y=sin ，=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2，因此的最小值为-4.10.已知圆的圆心为坐标原点，且通过点(-1，).(1)求圆的方程;(2)若直线l1：x-y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值;(3)求直线l2：x-y+2=0被此圆截得的弦长.[解] (1)已知圆心为(0,0)，半径r==2，因此圆的方程为x2+y2=4.(2)由已知得l1与圆相切，则圆心(0,0)到l1的距离等于半径2，即=2，解得b=4.(3)l2与圆x2+y2=4相交，圆心(0,0)到l2的距离d==，所截弦长l=2=2= 2.一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

【优化方案】2013-2014学年高中数学 4.1.1 圆的标准方程能力提升（含解析）新人教A 版必修21．若直线mx ＋2ny －4＝0始终平分圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的周长，则mn 的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(－∞，1)D ．(－∞，1] 解析：选D.可知直线mx ＋2ny －4＝0过圆心(2,1)，有2m ＋2n －4＝0，即n ＝2－m ，则mn ＝m ·(2－m )＝－m 2＋2m ＝－(m －1)2＋1≤1.2．(2013·淮南高一评估)圆心为直线x －y ＋2＝0与直线2x ＋y －8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2＝0，2x ＋y －8＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4.即圆心为(2,4)． r ＝(2－0)2＋(4－0)2＝25，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝20.答案：(x －2)2＋(y －4)2＝203．平面直角坐标系中有A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)，D (－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？解：能．设过A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.将A ，B ，C 三点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋(1－b )2＝r 2，(2－a )2＋(1－b )2＝r 2，(3－a )2＋(4－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3，r ＝ 5.∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.将D (－1,2)的坐标代入上式圆的方程左边，(－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5，即D 点坐标适合此圆的方程．故A ，B ，C ，D 四点在同一圆上．4．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域．已知港口位于台风正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解：以台风中心为原点O ，东西方向为x 轴，南北方向为y 轴，建立如图所示的直角坐标系．这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2＋y 2＝302，① 轮船航线所在直线l 的方程为x 70＋y 40＝1， 即4x ＋7y －280＝0.②如果圆O 与直线l 有公共点，则轮船受影响，需要改变航向；如果圆O 与直线l 无公共点，则轮船不受影响，无需改变航向．由于圆心O (0,0)到直线l 的距离d ＝|4×0＋7×0－280|42＋72＝28065＞30，所以直线l 与圆O 无公共点．这说明轮船将不受台风影响，不用改变航向．。

课时规范练40 圆的方程基础巩固组1.圆心在x+y=0上,且与x 轴交于点A (-3,0),B (1,0)的圆的方程为( ) A.(x+1)2+(y-1)2=5 B.(x-1)2+(y+1)2=√5 C.(x-1)2+(y+1)2=5 D.(x+1)2+(y-1)2=√52.方程|x|-1=√1-(y -1)2所表示的曲线是( ) A.一个圆 B.两个圆 C.半个圆D.两个半圆3.已知圆的方程为x 2+y 2-6x-8y+16=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,那么四边形ABCD 的面积为( ) A.12√2 B.3√2 C.6√2D.4√24.已知P 为圆C :(x-1)2+(y-2)2=4上的一点,点A (0,-6),B (4,0),那么|PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为( ) A.√26+2 B.√26+4 C.2√26+4D.2√26+25.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A (8,0),以OA 为直径的圆与直线y=2x 在第一象限的交点为B ,那么直线AB 的方程为( ) A.x+2y-8=0 B.x-2y-8=0 C.2x+y-16=0 D.2x-y-16=06.(多项选择)已知圆C 关于y 轴对称,经过点(1,0),且被x 轴分成两段,弧长比为1∶2,那么圆C 的方程可能为( ) A.x 2+(y +√33)2=43B.x 2+(y -√33)2=43C.(x-√3)2+y 2=43D.(x+√3)2+y 2=437.(多项选择)已知点A (-1,0),B (0,2),P 是圆(x-1)2+y 2=1上任意一点,假设△PAB 面积的最大值为a ,最小值为b ,那么 ( )A.a=2B.a=2+√52 C.b=2-√52D.b=√52-18.在平面直角坐标系xOy 内,假设曲线C :x 2+y 2+2ax-4ay+5a 2-4=0上所有的点均在第四象限内,那么实数a 的取值范围为 .9.(2020福建厦门一模)在△ABC 中,AB=4,AC=2,A=π3,动点P 在以点A 为圆心,半径为1的圆上,那么PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 . 综合提升组10.设点P 是函数y=-√4-(x -1)2的图象上的任意一点,点Q (2a ,a-3)(a ∈R ),那么|PQ|的最小值为( )A.8√55-2 B.√5C.√5-2D.7√55-211.点M(x,y)在曲线C:x2-4x+y2-21=0上运动,t=x2+y2+12x-12y-150-a,且t的最大值为b,假设a,b均为正实数,那么1a+1+1b的最小值为.12.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)假设圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程;(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且|PM|=|PO|,求使|PM|取得最小值时点P的坐标.创新应用组13.在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:y=x2-mx+2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A,B,曲线Γ与y轴交于点C.(1)是否存在以AB为直径且过点C的圆?假设存在,求出该圆的方程;假设不存在,请说明理由.(2)求证:过A,B,C三点的圆过定点.参考答案课时规范练40 圆的方程1.A 由题意可知圆心在直线x=-1上.又圆心在直线x+y=0上,所以圆心的坐标为(-1,1).所以半径r=√(-1+3)2+(1-0)2=√5.所以圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=5.应选A . 2.D 由题意得{(|x |-1)2+(y -1)2=1,|x |-1≥0,即{(x -1)2+(y -1)2=1,x ≥1或{(x +1)2+(y -1)2=1,x ≤-1.故原方程表示两个半圆. 3.A 圆的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=9,故该圆的圆心坐标为(3,4),半径为3,圆心到点(3,5)的距离为1.根据题意,知最长弦AC 为圆的直径,最短弦BD 与最长弦AC 垂直,故|BD|=2√32-12=4√2,|AC|=6,所以四边形ABCD 的面积为12|AC|·|BD|=12×6×4√2=12√2.应选A .4.C 取AB 的中点D (2,-3),那么PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |. 由已知得C (1,2),半径r=2,所以|CD|=√(1-2)2+(2+3)2=√26.又P 为圆C 上的点,所以|PD|max =|CD|+r=√26+2,所以|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |max =2√26+4.应选C . 5.A如下列图,由题意知OB ⊥AB ,因为直线OB 的方程为y=2x ,所以直线AB 的斜率为-12,所以直线AB 的方程为y-0=-12(x-8),即x+2y-8=0.应选A .6.AB 由已知得圆C 的圆心在y 轴上,且被x 轴所分得的劣弧所对的圆心角为2π3,设圆心的坐标为(0,a ),半径为r ,那么r sin π3=1,r cos π3=|a|,解得r=2√33,即r 2=43,|a|=√33,即a=±√33.故圆C 的方程为x 2+(y +√33)2=43或x 2+(y -√33)2=43.7.BC 由题意知|AB|=√(-1)2+(-2)2=√5,直线l AB 的方程为2x-y+2=0,圆心坐标为(1,0),半径为1,所以圆心到直线l AB 的距离d=|2-0+2|√4+1=4√55.因为P 是圆(x-1)2+y 2=1上任意一点,所以点P 到直线l AB 的距离的最大值为4√55+1,最小值为4√55-1.所以△PAB 面积的最大值为12×√5×(4√55+1)=2+√52,最小值为12×√5×(4√55-1)=2-√52.故a=2+√52,b=2-√52.8.(-∞,-2) 由x 2+y 2+2ax-4ay+5a 2-4=0,得(x+a )2+(y-2a )2=4,所以曲线C 为圆,圆心坐标为(-a ,2a ),半径r=2.由题意知{a <0,|-a |>2,|2a |>2,解得a<-2.故实数a 的取值范围为(-∞,-2).9.5-2√7如下列图,以A 为原点,AB 边所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,那么点A (0,0),B (4,0),C (1,√3).设点P (x ,y ),那么PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4-x ,-y ),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x ,√3-y ),所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4-x )(1-x )-y (√3-y )=x 2-5x+y 2-√3y+4=(x -52)2+(y -√32)2-3.那么(x -52)2+(y -√32)2表示圆A 上的点P 与点M (52,√32)之间的距离|PM|的平方,由几何图形可得|PM|min =|AM|-1=√(52)2+(√32)2-1=√7-1,所以PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为(√7-1)2-3=5-2√7.10.C 由题意可知点P 在半圆C :(x-1)2+y 2=4(y ≤0)上,圆心C (1,0),半径r=2,设点Q 的坐标为(x ,y ),那么{x =2a ,y =a -3,消去a 得x-2y-6=0,即点Q 在直线l :x-2y-6=0上.如下列图,过圆心C 作直线l 的垂线,垂足为A ,那么|CA|=√5.故|PQ|min =|CA|-r=√5-2.应选C .11.1 由x 2-4x+y 2-21=0,得(x-2)2+y 2=25,那么曲线C 表示圆心为(2,0),半径为5的圆.t=x 2+y 2+12x-12y-150-a=(x+6)2+(y-6)2-222-a.设d=√(x +6)2+(y -6)2,那么d 表示圆C 上的点到点(-6,6)的距离,那么d max =√(2+6)2+(0-6)2+5=15,故t max =152-222-a=b ,整理得a+1+b=4,所以1a+1+1b =141a+1+1b (a+1+b )=14×1+ba+1+a+1b+1≥14×(2+2)=1,当且仅当ba+1=a+1b,即a=1,b=2时等号成立.所以1a+1+1b 的最小值为1.12.解(1)将圆C 的方程配方,得(x+1)2+(y-2)2=2.①当切线在两坐标轴上的截距为0时,设切线方程为y=kx. 由|k+2|√1+k 2=√2,得k=2±√6.故切线方程为y=(2+√6)x ,y=(2-√6)x.②当切线在两坐标轴上的截距不为0时,设切线方程为x+y-a=0(a ≠0),由|-1+2-a |√2=√2,得|a-1|=2,即a=-1或a=3.故切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.综上,所求切线方程为y=(2+√6)x 或y=(2-√6)x 或x+y+1=0或x+y-3=0.(2)由|PO|=|PM|,且|PM|2=|PC|2-|CM|2得x 12+y 12=(x 1+1)2+(y 1-2)2-2,整理得2x 1-4y 1+3=0,即点P在直线l :2x-4y+3=0上.当|PM|取最小值时,|PO|取最小值,此时直线PO ⊥l. 故直线PO 的方程为2x+y=0.解方程组{2x +y =0,2x -4y +3=0,得点P 的坐标为(-310,35).13.解令y=0,得x 2-mx+2m=0.设点A (x 1,0),B (x 2,0),那么Δ=m 2-8m>0,即m<0或m>8,x 1+x 2=m ,x 1x 2=2m. 令x=0,得y=2m ,故点C (0,2m ).(1)假设存在以AB 为直径且过点C 的圆,那么AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得x 1x 2+4m 2=0,即2m+4m 2=0,解得m=0或m=-12.因为m<0或m>8,所以m=-12,此时点C (0,-1),所求圆的圆心为线段AB 的中点M (-14,0),半径r=|CM|=√174,故所求圆的方程为(x +14)2+y 2=1716.(2)证明:设过A ,B 两点的圆的方程为x 2+y 2-mx+Ey+2m=0,将点C (0,2m )的坐标代入,可得E=-1-2m ,所以过A ,B ,C 三点的圆的方程为x 2+y 2-mx-(1+2m )y+2m=0, 整理得x 2+y 2-y-m (x+2y-2)=0.令{x 2+y 2-y =0,x +2y -2=0,解得{x =0,y =1或{x =25,y =45.故过A ,B ,C 三点的圆过定点(0,1)和(25,45).。

圆的标准方程基础过关练题组一圆的标准方程的认识1.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心坐标和半径分别是( )A.(-2，3)，1B.(2，-3)，3C.(-2，3)，√2D.(2，-3)，√22.方程(x-a)2+(y-b)2=0表示的是( )A.以(a，b)为圆心的圆B.以(-a，-b)为圆心的圆C.点(a，b)D.点(-a，-b)3.过圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心，且斜率为1的直线l的方程为( )A.x+y-1=0B.x+y+3=0C.x-y+3=0D.x-y-3=04.圆心为(3，1)，半径为5的圆的标准方程为( )A.(x+3)2+(y+1)2=5B.(x+3)2+(y+1)2=25C.(x-3)2+(y-1)2=5D.(x-3)2+(y-1)2=255.方程x=√1-y2表示的图形是( )A.两个半圆B.两个圆C.圆D.半圆题组二圆的标准方程的求法6.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的标准方程是( )A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=17.已知圆C的一条直径的端点坐标分别是(4，1)，(-2，3)，则圆C的标准方程是( )A.(x+1)2+(y+2)2=10B.(x-1)2+(y-2)2=40C.(x-1)2+(y-2)2=10D.(x+1)2+(y+2)2=408.若一圆的圆心坐标为(2，-3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程是( )A.(x-2)2+(y+3)2=13B.(x+2)2+(y-3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=529.圆心为直线x-y+2=0与直线2x+y-8=0的交点，且过原点的圆的标准方程是.10.已知圆过点A(1，-2)，B(-1，4).(1)求周长最小的圆的标准方程;(2)求圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程.11.求以A(2，2)，B(5，3)，C(3，-1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程.题组三点与圆的位置关系12.若圆C的圆心坐标为(0，0)，且圆C经过点M(3，4)，则圆C的半径为( )A.5B.6C.7D.8的位置关系是( )13.点(sin30°，cos30°)与圆x2+y2=12A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不能确定14.已知点P(a，a+1)在圆x2+y2=25内部，那么a的取值范围是( )A.-4<a<3B.-5<a<4C.-5<a<5D.-6<a<415.已知圆C的圆心为C(-3，-4)且过原点O，求圆C的标准方程，并判断点M1(-1，0)，M2(1，-1)，M3(3，-4)与圆C的位置关系.能力提升练题组一圆的标准方程的求法1.(2020北京高考适应性测试，)圆心为(2，1)且和x轴相切的圆的标准方程为( )A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x+2)2+(y+1)2=1C.(x-2)2+(y-1)2=5D.(x+2)2+(y+1)2=52.(2019广东深圳中学高二上期中，)过点A(-1，3)，B(3，-1)，且圆心在直线x-2y-1=0上的圆的标准方程为( )A.(x+1)2+(y+1)2=4B.(x+1)2+(y+1)2=16C.(x-1)2+y2=13D.(x-1)2+y2=53.(2020辽宁大连高二上期中，)若圆C与圆C'(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称，则圆C的标准方程为(深度解析)A.(x+1)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y-1)2=1C.(x-1)2+(y+2)2=1D.(x-2)2+(y+1)2=14.()圆C1:(x-1)2+(y-2)2=1关于直线x-y-2=0对称的圆C2的标准方程为( )A.(x-4)2+(y+1)2=1B.(x+4)2+(y+1)2=1C.(x+2)2+(y+4)2=1D.(x-2)2+(y+1)2=15.()已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且到直线3x+4y+4=0的距离等于半径长，则圆C的标准方程为.6.(2019安徽六安一中高一阶段测试，)已知直线l1经过点A(-3，0)，B(3，2)，直线l2经过点B，且l1⊥l2.(1)分别求直线l1，l2的方程;(2)设直线l2与直线y=8x的交点为C，求△ABC的外接圆的标准方程.题组二点与圆的位置关系7.()若实数x，y满足(x+5)2+(y-12)2=142，则x2+y2的最小值为( )A.√3B.√2C.2D.18.(多选)()设有一组圆C k:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R)，下列命题正确的是( )A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B.所有圆C k均不经过点(3，0)C.经过点(2，2)的圆C k有且只有一个D.所有圆的面积均为4π9.(2020四川成都石室中学高二上期中，)已知实数x，y满足x2+y2=1，则√3x+y的取值范围是( )A.(-2，2)B.(-∞，2]C.[-2，2]D.(-2，+∞)10.()已知三点A(3，2)，B(5，-3)，C(-1，3)，以点P(2，-1)为圆心作一个圆，使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.11.(2019广东汕头一模，)设A(x A，y A)，B(x B，y B)为平面直角坐标系内的两点，其中x A，y A，x B，y B∈Z.令Δx=x B-x A，Δy=y B-y A，若|Δx|+|Δy|=3，且|Δx|·|Δy|≠0，则称点B为点A的“相关点”，记作B=τ(A).(1)求点(0，0)的“相关点”的个数;(2)点(0，0)的所有“相关点”是否在同一个圆上?若在，写出圆的方程;若不在，请说明理由.答案全解全析 基础过关练1.D 由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，-3)，半径为√2.2.C 由(x-a)2+(y-b)2=0，解得{y =y ,y =y ,因此它只表示一个点(a ，b).故选C.3.C 圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心坐标为(-1，2)，因为直线l 的斜率k=1，所以由点斜式得直线l 的方程是y-2=x+1，化简得x-y+3=0，故选C. 4.D ∵所求圆的圆心为(3，1)，半径为5， ∴所求圆的标准方程为(x-3)2+(y-1)2=25.故选D.5.D 根据题意得x≥0，方程两边同时平方并整理得x 2+y 2=1，由此确定图形为半圆，故选D. 6.A 设圆的圆心为C(0，b)，则√(0-1)2+(b -2)2=1，∴b=2，∴圆的标准方程是x 2+(y-2)2=1.7.C 已知圆C 的一条直径的端点坐标分别是(4，1)，(-2，3)，故利用中点坐标公式求得圆心为(1，2)，利用两点间距离公式得半径为12×√(4+2)2+(1-3)2=12√40=√10，故圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=10，故选C.8.A 易知直径两端点的坐标分别为(4，0)，(0，-6)，可得圆的半径为√13，因为圆心坐标为(2，-3)，所以所求圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=13. 9.答案 (x-2)2+(y-4)2=20解析 由{y -y +2=0,2y +y -8=0可得{y =2,y =4,即圆心为(2，4)，又圆过原点，所以圆的半径r=√(2-0)2+(4-0)2=2√5，故圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=20.10.解析 (1)当线段AB 为圆的直径时，过点A ，B 的圆的半径最小，从而周长最小，即所求圆以线段AB 的中点(0，1)为圆心，12|AB|=√10为半径.故所求圆的标准方程为x 2+(y-1)2=10. (2)解法一:直线AB 的斜率k=4-(-2)-1-1=-3，则线段AB 的垂直平分线的方程是y-1=13x ，即x-3y+3=0.由{y -3y +3=0,2y -y -4=0解得{y =3,y =2,即圆心的坐标是(3，2).所以圆的半径r=√(3-1)2+(2+2)2=2√5. 所以所求圆的标准方程是(x-3)2+(y-2)2=20.解法二:设圆心坐标为(a ，b)，半径为R(R>0)，则圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=R 2，由题意得{(1-y )2+(-2-b)2=y 2,(-1-y )2+(4-b)2=y 2,2y -y -4=0,解得{y =3,y =2,y 2=20.所以所求圆的标准方程是(x-3)2+(y-2)2=20.11.解析 设所求圆的圆心为(a ，b)，标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2(r>0)， 则有{(2-y )2+(2-b)2=y 2,(5-y )2+(3-b)2=y 2,(3-y )2+(-1-b)2=y 2,解得{y =4,y =1,y 2=5,所以△ABC 的外接圆的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=5.12.A 圆C 的半径为√32+42=5. 13.C 因为sin 230°+cos 230°=(12)2+(√32)2=1>12，所以点在圆外.14.A 由题意得a 2+(a+1)2<25，即2a 2+2a-24<0，解得-4<a<3.15.解析 因为圆C 过原点O ，圆心为C(-3，-4)，所以圆C 的半径r=|OC|=√(-3-0)2+(-4-0)2=5，因此圆C的标准方程为(x+3)2+(y+4)2=25.因为(-1+3)2+(0+4)2=20<25，所以点M 1(-1，0)在圆C 内;因为(1+3)2+(-1+4)2=25，所以点M 2(1，-1)在圆C 上;因为(3+3)2+(-4+4)2=36>25，所以点M 3(3，-4)在圆C 外.能力提升练1.A 由题意可知，圆心坐标为(2，1)，半径为1，所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1. 2.B 直线AB 的斜率为3-(-1)-1-3=-1，线段AB 的中点坐标为(1，1)，所以线段AB 的垂直平分线为y=x ，解方程组{y =y ,y -2y -1=0,得{y =-1,y =-1.因此圆心坐标为(-1，-1)，半径r=√(-1+1)2+(-1-3)2=4，所以圆的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=16，故选B.3.D 已知圆C 与圆C'关于原点对称，则两圆的圆心关于原点对称，半径相等，因此，圆C 的圆心为(2，-1)，半径为1，从而圆C 的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=1，故选D.解题模板 与圆有关的对称问题，利用对称前后两圆全等，知两圆的半径相等，因此只要利用对称关系求出圆心坐标，就可得到圆的标准方程.4.A 由题意得，圆C 1的圆心坐标为(1，2)，设圆心C 1(1，2)关于直线x-y-2=0的对称点为C 2(a ，b)，则{y -2y -1×1=-1,y +12-y +22-2=0,解得{y =4,y =-1,所以圆C 2的标准方程为(x-4)2+(y+1)2=1.5.答案 (x-2)2+y 2=4解析 设圆心坐标为(a ，0)，且a>0，则点(a ，0)到直线3x+4y+4=0的距离为2，即√22=2，所以3a+4=±10，解得a=2或a=-143(舍去)，则圆C 的标准方程为(x-2)2+y 2=4.6.解析 (1)因为直线l 1经过点A(-3，0)，B(3，2)，所以y -02-0=y +33+3， 所以l 1的方程为x-3y+3=0.因为l 1⊥l 2，所以设直线l 2的方程为3x+y+c=0.因为点B(3，2)在直线l 2上，所以c=-11.所以直线l 2的方程为3x+y-11=0.(2)由{3y +y -11=0,y =8y 得{y =1,y =8,即C(1，8)，所以|AC|=4√5，|BC|=2√10，又|AB|=2√10，所以|AB|2+|BC|2=|AC|2，所以△ABC 是以AC 为斜边的直角三角形.又AC 的中点为(-1，4)，所以Rt△ABC 的外接圆的圆心为(-1，4)，半径为2√5.所以△ABC 的外接圆的标准方程为(x+1)2+(y-4)2=20. 7.D (x+5)2+(y-12)2=142表示以(-5，12)为圆心，14为半径的圆，x 2+y 2表示圆上的动点到原点距离的平方.根据其几何意义，可知x 2+y 2的最小值为14-√(-5)2+122=1.8.ABD 圆心坐标为(k，k)，在直线y=x上，A正确;令(3-k)2+(0-k)2=4，化简得2k2-6k+5=0，∵Δ=36-40=-4<0，∴2k2-6k+5=0，无实数根，∴B正确;由(2-k)2+(2-k)2=4，化简得k2-4k+2=0，∵Δ=16-8=8>0，有两不等实根，∴经过点(2，2)的圆C k有两个，C错误;由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确.故选ABD.)，所以√3x+y的取值范围是[-2，2].故9.C 设x=sinα，y=cosα，则√3x+y=√3sinα+cosα=2sin(y+π6选C.10.解析要使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是|PA|，|PB|，|PC|的中间值.因为|PA|=√10，|PB|=√13，|PC|=5，所以|PA|<|PB|<|PC|，所以圆的半径r=|PB|=√13.故所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=13.11.解析(1)因为|Δx|+|Δy|=3(Δx，Δy为非零整数)，所以|Δx|=1，|Δy|=2或|Δx|=2，|Δy|=1，所以点(0，0)的“相关点”有8个.(2)设点(0，0)的“相关点”的坐标为(x1，y1)，由(1)知|Δx|2+|Δy|2=5，即(x1-0)2+(y1-0)2=5，所以所有“相关点”都在以(0，0)为圆心，√5为半径的圆上，所求圆的方程为x2+y2=5.。

第3讲圆的方程组基础关1．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1，则原点与圆的位置关系是()A．原点在圆上B．原点在圆外C．原点在圆内D．不确定答案 B解析将圆的一般方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0<a<1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2>0，即(0＋a)2＋(0＋1)2>2a，所以原点在圆外．2．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝5 B．(x－2)2＋y2＝5C．x2＋(y＋2)2＝5 D．(x－1)2＋y2＝5答案 B解析因为所求圆的圆心与圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心(－2，0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为5，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.故选B.3．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－43B．－34 C. 3 D．2答案 A解析圆的方程可化为(x－1)2＋(y－4)2＝4，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为|a＋4－1|a2＋1＝1，解得a＝－43.故选A.4．(2019·合肥二模)已知圆C：(x－6)2＋(y－8)2＝4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为( )A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25 答案 C解析 由圆C 的圆心坐标C (6,8)，得OC 的中点坐标为E (3，4)，半径|OE |＝32＋42＝5，则以OC 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.5．(2020·黄冈市高三元月调研)已知圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于直线y ＝x 对称，则k 的值为( )A ．－1B ．1C ．±1D ．0 答案 A解析 化圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0为(x ＋k 2)2＋(y ＋1)2＝k 4－4k ＋1.则圆心坐标为(－k 2，－1)，∵圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于直线y ＝x 对称，∴－k 2＝－1，得k ＝±1.当k ＝1时，k 4－4k ＋1<0，不符合题意，∴k ＝－1.故选A.6．(2019·太原二模)若圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋F ＝0的半径为1，则F ＝________. 答案 1解析 由圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋F ＝0得(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－F ，由半径r ＝2－F ＝1，解得F ＝1.7．已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________．答案 (0，－1)解析 圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1.所以当k ＝0时圆C 的面积最大，此时圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．8．已知实数x ，y 满足(x ＋2)2＋(y －3)2＝1，则|3x ＋4y －26|的最小值为________． 答案 15解析 解法一：|3x ＋4y －26|最小值的几何意义是圆心到直线3x ＋4y －26＝0的距离减去半径后的5倍，|3x ＋4y －26|min ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫|3a ＋4b －26|32＋42－r ，(a ，b )是圆心坐标，r 是圆的半径．圆的圆心坐标为(－2,3)，半径是1，所以圆心到直线的距离为|3×(－2)＋4×3－26|5＝4，所以|3x ＋4y －26|的最小值为5×(4－1)＝15.解法二：令x ＋2＝cos θ，y －3＝sin θ，则x ＝cos θ－2，y ＝sin θ＋3，|3x ＋4y －26|＝|3cos θ－6＋4sin θ＋12－26|＝|5sin(θ＋φ)－20|，其中tan φ＝34，所以其最小值为|5－20|＝15.组 能力关1．(2019·南昌二模)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2＋y 2≤1，若将军从点A (2,0)处出发，河岸线所在直线方程为x ＋y ＝3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( )A.10－1 B ．22－1 C ．2 2 D.10 答案 A解析 设点A 关于直线x ＋y ＝3的对称点为A ′(a ，b )，则AA ′的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22，b 2，k AA ′＝ba －2，故⎩⎪⎨⎪⎧ba －2·(－1)＝－1，a ＋22＋b2＝3，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1，则从点A 到军营的最短总路程，即为点A ′到军营的距离，则“将军饮马”的最短总路程为32＋12－1＝10－1.2．(多选)已知△ABC 的三个顶点为A (－1,2)，B (2,1)，C (3,4)，则下列关于△ABC 的外接圆圆M 的说法正确的是( )A ．圆M 的圆心坐标为(1,3)B ．圆M 的半径为 5C ．圆M 关于直线x ＋y ＝0对称D ．点(2,3)在圆M 内 答案 ABD解析 设△ABC 的外接圆圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋4－D ＋2E ＋F ＝0，4＋1＋2D ＋E ＋F ＝0，9＋16＋3D ＋4E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－6，F ＝5.所以△ABC 的外接圆圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －6y ＋5＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝5.故圆M 的圆心坐标为(1,3)，圆M 的半径为5，因为(2－1)2＋(3－3)2＝1<5，故点(2,3)在圆M 内，故选ABD.3．(2020·安徽安庆高三期末考试)已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)，则|MQ |的最大值为________，最小值为________．答案 62 2 2解析 由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42， ∴点Q 在圆C 外部， ∴|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.4．(2020·柳州摸底)在平面直角坐标系xOy 中，经过函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点的圆记为圆C .(1)求圆C 的方程；(2)求经过圆心C 且在坐标轴上截距相等的直线l 的方程．解 (1)设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.由f (x )＝x 2－x －6得，其图象与两坐标轴的交点为(0，－6)，(－2,0)，(3,0)，将交点坐标代入圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧36－6E ＋F ＝0，4－2D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－1，E ＝5，F ＝－6，所以圆的方程为x 2＋y 2－x ＋5y －6＝0.(2)由(1)知，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－52，若直线经过原点，则直线l 的方程为5x ＋y＝0；若直线不过原点，设直线l 的方程为x ＋y ＝a ，则a ＝12－52＝－2，即直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上，直线l 的方程为5x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.5．(2020·柳州摸底)已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O和点A ，与y 轴交于点O 和点B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程． 解 (1)证明：因为圆C 过原点O ，所以OC 2＝t 2＋4t 2. 设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ； 令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，所以S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×|2t |×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＝4，即△OAB 的面积为定值． (2)因为OM ＝ON ，CM ＝CN ， 所以OC 垂直平分线段MN . 因为k MN ＝－2，所以k OC ＝12. 所以2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2.当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时，圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝55<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．符合题意，此时，圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝5，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝955> 5.圆C与直线y＝－2x＋4不相交，所以t＝－2不符合题意，舍去．所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.。

课后训练千里之行始于足下1．圆心是(4，－1)且过点(5,2)的圆的标准方程是()．A．(x－4)2＋(y＋1)2＝10B．(x－4)2＋(y－1)2＝10C．(x－4)2＋(y＋1)2＝100D．(x－4)2＋(y－1)2＝1002．方程x2＋y2＋2x－4y－6＝0表示的图形是()．A．以(1，－2)为半径的圆B．以(1,2)为半径的圆C．以(－1，－2)为半径的圆D．以(－1,2)为半径的圆3．若点(1,1)在圆(x－a)＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是()．A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1C．a＜－1或a＞1 D．a＝±14．已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是()．A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝165．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝__________.6．若实数x、y满足方程x2＋y2＋8x－6y＋16＝0，则x2＋y2的最大值是__________．7．求过两点C(－1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆的标准方程．8．(1)已知点M与两个定点A(4,2)、B(－2,6)的距离的比值为1，探求点M的轨迹，然后求出它的方程；(2)已知点M与两个定点A(4,2)、B(－2,6)的距离的比值为12时，M点的轨迹又是什么？求出它的方程．百尺竿头更进一步已知方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示一个圆．(1)求实数a的取值范围；(2)求当圆的面积最大时，对应圆的方程．答案与解析1.答案：A解析：∵r=∴所求圆的标准方程为(x－4)＋(y＋1)2＝10.2.答案：D解析：∵方程x2＋y2＋2x－4y－6＝0可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝11，∴它表示的是以(－1,2)为半径的圆，故选择D.3.答案：A解析：由题意可得，(1－a)2＋(1＋a)2＜4，解得－1＜a＜1，故选择A.4.答案：B解析：设M(x，y)，则M整理得x2＋y＝16.5.答案：－2解析：由题意可得圆C 的圆心(－1，2a -)在直线x －y ＋2＝0上，将(－1，2a -)代入直线方程得－1－(2a -)＋2＝0，解得a ＝－2. 6.答案：64解析：x 2＋y 2＋8x －6y ＋16＝0⇒(x ＋4)2＋(y －3)2＝9，表示以(－4,3)为圆心，以3为半径的圆；x 2＋y 2表示点P (x ，y )到原点的距离的平方．由圆心(－4,3)到原点的距离为5知点P (x ，y )到原点距离的最大值为8，故x 2＋y 2的最大值是64.7.解：直线CD 的斜率31111CD k -=+＝，线段CD 中点E 的坐标为(0,2)，故线段CD 的垂直平分线方程为y －2＝－x ，即y ＝－x ＋2，令y ＝0，得x ＝2，即圆心为(2,0)．由两点间的距离公式，得r =所以所求圆的标准方程为(x －2)＋y ＝10.8.解：设M (x ，y )，(1)因为点M 与两个定点A (4,2)、B (－2,6)的距离的比值为1，1=，化简得，3x －2y ＋5＝0.所以M 的轨迹是直线，它的方程是3x －2y ＋5＝0；(2)因为点M 与两个定点A (4,2)、B (－2,6)的距离的比值为12，12=，化简得222(6)(2089)3x y －＋－＝，故此时M 的轨迹是以2(6)3，为圆心，圆， 它的方程是222(6)(2089)3x y －＋－＝ 百尺竿头 更进一步解：(1)∵方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，∴D ＝a ，E ＝2a ，F ＝2a 2＋a －1，D 2＋E 2－4F ＞0，即－3a 2－4a ＋4＞0，解得223a -<<. ∴实数a 的取值范围是(－2，23)．(2)∵半径r =＝=，a ∈(－2，23)，∴0r <≤23a =-时，max r ，此时面积最大．∴当23a=-时，方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0为22247339xx y y--=＋－，即9x2＋9y2－6x－12y－7＝0，∴当圆的面积最大时，对应的方程为9x2＋9y2－6x－12y－7＝0.。

章末复习一、两直线的平行与垂直 1．判断两直线平行、垂直的方法(1)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1＝k 2⇔l 1∥l 2. (2) 若直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1⇔l 1⊥l 2. (讨论两直线平行、垂直不要遗漏直线斜率不存在的情况)2．讨论两直线的平行、垂直关系，可以提升学生的逻辑推理素养． 例1 (1)已知A ⎝⎛⎭⎪⎫1，－a ＋13，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13，C (2－2a ，1)，D (－a ，0)四点，若直线AB 与直线CD 平行，则a ＝________.答案 3解析 k AB ＝－13＋a ＋130－1＝－a3，当2－2a ＝－a ，即a ＝2时，k AB ＝－23，CD 的斜率不存在．∴AB 和CD 不平行；当a ≠2时，k CD ＝0－1－a －2＋2a ＝12－a.由k AB ＝k CD ，得－a 3＝12－a，即a 2－2a －3＝0.∴a ＝3或a ＝－1.当a ＝3时，k AB ＝－1，k BD ＝0＋13－3＝－19≠k AB ，∴AB 与CD 平行．当a ＝－1时，k AB ＝13，k BC ＝1＋134＝13，k CD ＝1－04－1＝13，∴AB 与CD 重合．∴当a ＝3时，直线AB 和直线CD 平行．(2)若点A (4，－1)在直线l 1：ax －y ＋1＝0上，则l 1与l 2：2x －y －3＝0的位置关系是________． 答案 垂直解析 将点A (4，－1)的坐标代入ax －y ＋1＝0， 得a ＝－12，则12·l l k k ＝－12×2＝－1，∴l 1⊥l 2. 反思感悟 一般式方程下两直线的平行与垂直：已知两直线的方程为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为0)，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为0)，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且C 1B 2－C 2B 1≠0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.跟踪训练1 (1)已知直线l 1：ax －3y ＋1＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________． 答案 －3(2)已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，若l 1∥l 2，则m ＝________. 答案 －1解析 因为直线x ＋my ＋6＝0与(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0平行，所以⎩⎪⎨⎪⎧1×3－m m －2＝0，2m ≠6m －2，解得m ＝－1.二、两直线的交点与距离问题1．两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题． 2．两直线的交点与距离问题，培养学生的数学运算的核心素养．例2 (1)若点(1，a )到直线y ＝x ＋1的距离是322，则实数a 的值为( )A ．－1B ．5C ．－1或5D ．－3或3答案 C解析 ∵点(1，a )到直线y ＝x ＋1的距离是322，∴|1－a ＋1|2＝322，即|a －2|＝3，解得a ＝－1或a ＝5，∴实数a 的值为－1或5.(2)过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解 设l 1与l 的交点为A (a ，8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ，2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0， 解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 反思感悟跟踪训练2 (1)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是关于x 的方程x 2＋x －2＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离为( ) A ．2 3 B. 2 C ．2 2 D.322答案 D解析 根据a ，b 是关于x 的方程x 2＋x －2＝0的两个实数根，可得a ＋b ＝－1，ab ＝－2， ∴a ＝1，b ＝－2或a ＝－2，b ＝1，∴|a －b |＝3， 故两条直线之间的距离d ＝|a －b |2＝32＝322.(2)已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0,4)到直线l 的距离为2，则这样的直线l 的条数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即直线l 过点(1,2)．设点Q (1,2)，因为|PQ |＝1－02＋2－42＝5＞2，所以满足条件的直线l 有2条．故选C.方法二 依题意，设经过直线l 1与l 2交点的直线l 的方程为2x ＋3y －8＋λ(x －2y ＋3)＝0(λ∈R )，即(2＋λ)x ＋(3－2λ)y ＋3λ－8＝0.由题意得|12－8λ＋3λ－8|2＋λ2＋3－2λ2＝2，化简得5λ2－8λ－36＝0，解得λ＝－2或185，代入得直线l 的方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0，故选C.三、直线与圆的位置关系 1．直线与圆位置关系的判断方法(1)几何法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径长为r .若d <r ，则直线和圆相交；若d ＝r ，则直线和圆相切；若d >r ，则直线和圆相离．(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离． 2．研究直线与圆的位置关系，集中体现了直观想象和数学运算的核心素养． 例3 已知直线l ：2mx －y －8m －3＝0和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋12y ＋20＝0. (1)m ∈R 时，证明l 与C 总相交；(2)m 取何值时，l 被C 截得的弦长最短？求此弦长． (1)证明 直线的方程可化为y ＋3＝2m (x －4)， 由点斜式可知，直线恒过点P (4，－3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0， 所以点P 在圆内，故直线l 与圆C 总相交． (2)解 圆的方程可化为(x －3)2＋(y ＋6)2＝25.如图，当圆心C (3，－6)到直线l 的距离最大时，线段AB 的长度最短．此时PC ⊥l ，又k PC ＝－3－－64－3＝3，所以直线l 的斜率为－13，则2m ＝－13，所以m ＝－16.在Rt△APC 中，|PC |＝10，|AC |＝r ＝5. 所以|AB |＝2|AC |2－|PC |2＝215.故当m ＝－16时，l 被C 截得的弦长最短，最短弦长为215.反思感悟 直线与圆问题的类型(1)求切线方程：可以利用待定系数法结合图形或代数法求得．(2)弦长问题：常用几何法(垂径定理)，也可用代数法结合弦长公式求解． 跟踪训练3 已知圆C 关于直线x ＋y ＋2＝0对称，且过点P (－2, 2)和原点O . (1)求圆C 的方程；(2)相互垂直的两条直线l 1，l 2都过点A (－1, 0)，若l 1，l 2被圆C 所截得的弦长相等，求此时直线l 1的方程．解 (1)由题意知，直线x ＋y ＋2＝0过圆C 的圆心，设圆心C (a ，－a －2)． 由题意，得(a ＋2)2＋(－a －2－2)2＝a 2＋(－a －2)2， 解得a ＝－2.因为圆心C (－2,0)，半径r ＝2， 所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝4.(2)由题意知，直线l 1，l 2的斜率存在且不为0， 设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k，所以l 1：y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0，l 2：y ＝－1k(x ＋1)，即x ＋ky ＋1＝0.由题意，得圆心C 到直线l 1，l 2的距离相等， 所以|－2k ＋k |k 2＋1＝|－2＋1|k 2＋1，解得k ＝±1， 所以直线l 1的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0. 四、圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系：一般利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系． 2．圆与圆的位置关系的转化，体现直观想象、逻辑推理的数学核心素养． 例4 已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0. (1)证明圆C 1与圆C 2相切，并求过切点的两圆公切线的方程； (2)求过点(2, 3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．解 (1)把圆C 1与圆C 2都化为标准方程形式，得(x ＋2)2＋(y －2)2＝13，(x －4)2＋(y ＋2)2＝13.圆心与半径长分别为C 1(－2,2)，r 1＝13；C 2(4，－2)，r 2＝13.因为|C 1C 2|＝－2－42＋2＋22＝213＝r 1＋r 2，所以圆C 1与圆C 2相切．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0，x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0，得12x －8y －12＝0，即3x －2y －3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程． (2)由圆系方程，可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋λ(3x －2y －3)＝0.点(2, 3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝43.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋43(3x －2y －3)＝0，即x 2＋y 2＋8x －203y －9＝0.反思感悟 两圆的公共弦问题(1)若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0. (2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．跟踪训练4 (1)已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ， B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________． 答案 x ＋y －3＝0解析 AB 的中垂线即为圆C 1、圆C 2的连心线C 1C 2. 又C 1(3,0)，C 2(0,3)， 所以C 1C 2所在直线的方程为x ＋y －3＝0.(2)已知圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2y －4＝0. ①求证：两圆相交；②求两圆公共弦所在直线的方程．①证明 圆C 1的方程可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆C 2的方程可化为x 2＋(y －1)2＝5， ∴C 1(2，－1)，C 2(0,1)，两圆的半径均为5， ∵|C 1C 2|＝2－02＋－1－12＝22∈(0,25)，∴两圆相交．②解 将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程， (x 2＋y 2－4x ＋2y )－(x 2＋y 2－2y －4)＝0，即x －y －1＝0.1．(2019·天津改编)设a ∈R ，直线ax －y ＋2＝0和圆x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0相切，则a 的值为________． 答案 34解析 由已知条件可得圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，其圆心为(2,1)，半径为2，由直线和圆相切可得|2a －1＋2|a 2＋1＝2，解得a ＝34. 2．(2017·北京改编)在平面直角坐标系中，点A 在圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0上，点P 的坐标为(1，0)，则||AP 的最小值为________． 答案 1解析 x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0， 即(x －1)2＋(y －2)2＝1， 圆心坐标为C (1,2)，半径长为1. ∵点P 的坐标为(1,0)，∴点P 在圆C 外． 又∵点A 在圆C 上，∴|AP |min ＝|PC |－1＝2－1＝1.3．(2017·天津改编)已知点C 在直线l ：x ＝－1上，点F (1,0)，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A . 若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________________． 答案 (x ＋1)2＋(y －3)2＝1解析 由圆心C 在l 上，且圆C 与y 轴正半轴相切，可得点C 的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO ＝90°.又因为∠FAC ＝120°， 所以∠OAF ＝30°，所以|OA |＝3， 所以点C 的纵坐标为 3.所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.4．(2019·江苏改编)如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB (AB 是圆O 的直径)．规划在公路l 上选两个点P ，Q ，并修建两段直线型道路PB ，QA .规划要求：线段PB ，QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．已知点A ，B 到直线l 的距离分别为AC 和BD (C ，D 为垂足)，测得AB ＝10，AC ＝6，BD ＝12(单位：百米)．(1)若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；(2)在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由． 解 (1)如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H .以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 因为BD ＝12，AC ＝6，所以OH ＝9，直线l 的方程为y ＝9，点A ，B 的纵坐标分别为3，－3. 因为AB 为圆O 的直径，AB ＝10， 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝25.从而A (4,3)，B (－4，－3)，直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为－43，直线PB 的方程为y ＝－43x －253.所以P (－13,9)，|PB |＝－13＋42＋9＋32＝15.所以道路PB 的长为15(百米)．(2)①若P 在D 处，取线段BD 上一点E (－4,0)，则EO ＝4<5， 所以P 选在D 处不满足规划要求．②若Q 在D 处，连接AD ，由(1)知D (－4,9)，又A (4,3)， 所以线段AD ：y ＝－34x ＋6(－4≤x ≤4)．在线段AD 上取点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，154，因为|OM |＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1542<32＋42＝5，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径． 因此Q 选在D 处也不满足规划要求． 综上，P 和Q 均不能选在D 处．。

课时过关检测(四十八)圆的方程【原卷版】1．圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1C．(x－2)2＋(y－1)2＝5D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝52．设a∈R，则“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若x2＋y2＝8，则2x＋y的最大值为()A．8B．4C．210D．54．已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是()A．(0,2]B．[1,2]C．[2,3]D．[1,3]5．点M为圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1上任意一点，直线(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ过定点P，则|MP|的最大值为()A．23B．13C．23＋1D．13＋16．(多选)已知圆x2＋y2－4x－1＝0，则下列关于该圆说法正确的有()A ．关于点(2,0)对称B ．关于直线y ＝0对称C ．关于直线x ＋3y －2＝0对称D ．关于直线x －y ＋2＝0对称7．(多选)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 可能的方程为()A ．x 2＝43B ．x 2＝43C ．(x －3)2＋y 2＝43D ．(x ＋3)2＋y 2＝438．已知三个点A (0,0)，B (2,0)，C (4，2)，则△ABC 的外接圆的圆心坐标是________．9．已知点P 为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0上任意一点，A ，B 为直线3x ＋4y ＋5＝0上的两动点，且|AB |＝2，则△ABP 的面积的取值范围是________．10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410．(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．11．瑞士数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (0,4)，其欧拉线方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标可以是()A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－2,0)D ．(0，－2)12．写出一个关于直线x ＋y －1＝0对称的圆的方程____________．13．已知A (－2,0)，B (2,0)，动点M 满足|MA |＝2|MB |，则点M 的轨迹方程是____________________；又若MA ―→·MB ―→＝0，此时△MAB 的面积为________．14．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．15．(多选)设有一组圆C k ：(x －k )2＋(y －k )2＝4(k ∈R )，下列命题正确的是()A ．不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上B ．所有圆C k 均不经过点(3,0)C ．经过点(2,2)的圆C k 有且只有一个D ．所有圆的面积均为4π16．已知曲线T ：F (x ，y )＝0，对坐标平面上任意一点P (x ，y )，定义F [P ]＝F (x ，y )，若两点P ，Q 满足F [P ]·F [Q ]>0，称点P ，Q 在曲线T 同侧；F [P ]·F [Q ]<0，称点P ，Q 在曲线T 两侧．(1)直线过l 原点，线段AB 上所有点都在直线l 同侧，其中A (－1,1)，B (2,3)，求直线l 的斜率的取值范围；(2)已知曲线F (x ，y )＝(3x ＋4y －5)4－x 2－y 2＝0，O 为坐标原点，求点集S ＝{P |F [P ]·F [O ]>0}的面积．课时过关检测(四十八)圆的方程【解析版】1．圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆的方程是()A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x －2)2＋(y －1)2＝5D ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5解析：A 圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆，它的半径为1，故它的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选A ．2．设a ∈R ，则“a ＞2”是“方程x 2＋y 2＋ax －2y ＋2＝0的曲线是圆”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A方程x 2＋y 2＋ax －2y ＋2＝0的曲线是圆，则有D 2＋E 2－4F ＝a 2＋4－8＞0，解得a ＞2或a ＜－2，则“a ＞2”是“a ＞2或a ＜－2”的充分不必要条件，所以“a ＞2”是“方程x 2＋y 2＋ax －2y ＋2＝0的曲线是圆”的充分不必要条件．故选A ．3．若x 2＋y 2＝8，则2x ＋y 的最大值为()A ．8B ．4C ．210D ．5解析：C 设2x ＋y ＝t ，则y ＝t －2x ，当直线y ＝t －2x 与x 2＋y 2＝8相切时，t 取到最值，所以|t |5≤22，解得－210≤t ≤210，所以2x ＋y 的最大值为210，故选C ．4．已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A (－t,0)，B (t,0)(t ＞0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则t 的取值范围是()A ．(0,2]B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[1,3]解析：D圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1的圆心C (3，1)，半径为1，因为圆心C 到O (0,0)的距离为2，所以圆C 上的点到O (0,0)的距离最大值为3，最小值为1，又因为∠APB ＝90°，则以AB 为直径的圆和圆C 有交点，可得|PO |＝12|AB |＝t ，所以有1≤t ≤3，故选D ．5．点M 为圆C ：(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1上任意一点，直线(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ过定点P ，则|MP |的最大值为()A ．23B ．13C ．23＋1D ．13＋1解析：D 整理直线方程得：(x ＋y －2)＋(3x ＋2y －5)λ＝0＋y －2＝0，x ＋2y －5＝0得＝1，＝1，∴P (1,1)，由圆的方程知圆心C (－2，－1)，半径r ＝1，∴|MP |max ＝|CP |＋r ＝(－2－1)2＋(－1－1)2＋1＝13＋1．故选D ．6．(多选)已知圆x 2＋y 2－4x －1＝0，则下列关于该圆说法正确的有()A ．关于点(2,0)对称B ．关于直线y ＝0对称C ．关于直线x ＋3y －2＝0对称D ．关于直线x －y ＋2＝0对称解析：ABCx 2＋y 2－4x －1＝0⇒(x －2)2＋y 2＝5，所以圆心的坐标为(2,0)，半径为5．A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，所以本选项正确；B 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y ＝0过圆心，所以本选项正确；C 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x ＋3y －2＝0过圆心，所以本选项正确；D 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x －y ＋2＝0不过圆心，所以本选项不正确．故选A 、B 、C ．7．(多选)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 可能的方程为()A ．x 2＝43B ．x 2＝43C ．(x －3)2＋y 2＝43D ．(x ＋3)2＋y 2＝43解析：AB由题意知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心C (0，a ),半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C的方程为x 2＝43．8．已知三个点A (0,0)，B (2,0)，C (4，2)，则△ABC 的外接圆的圆心坐标是________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则＝0，＋2D ＋F ＝0，＋4D ＋2E ＋F ＝0，解得＝－2，＝－6，＝0，所以圆的方程为x 2－2x ＋y 2－6y ＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝10，所以圆心坐标为(1,3)．答案：(1,3)9．已知点P 为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0上任意一点，A ，B 为直线3x ＋4y ＋5＝0上的两动点，且|AB |＝2，则△ABP 的面积的取值范围是________．解析：圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C (2，1)，半径r ＝2，圆心C 到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离d ＝|6＋4＋5|32＋42＝3，设P 到直线AB 的距离为h ，则S △ABP ＝12·|AB |·h＝h ，∵d －r ≤h ≤d ＋r ，∴1≤h ≤5，∴S △ABP ∈[1,5]，即△ABP 的面积的取值范围为[1,5]．答案：[1,5]10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410．(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)．所以直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0．(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0．①又直径|CD |＝410，所以|PA |＝210．所以(a ＋1)2＋b 2＝40．②＝－3，＝6＝5，＝－2，所以圆心P (－3,6)或P (5，－2)，所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40．11．瑞士数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (0,4)，其欧拉线方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标可以是()A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－2,0)D ．(0，－2)解析：D ∵A (－4,0)，B (0,4)，∴AB 的垂直平分线方程为x ＋y ＝0，又外心在欧拉线x－y ＋2＝0＋y ＝0，－y ＋2＝0，解得三角形ABC 的外心为G (－1,1)，又r ＝|GA |＝(－1＋4)2＋(1－0)2＝10，∴△ABC 外接圆的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝10．设C (x ，y )，则三角形ABC 即x －43－y ＋43＋2＝0．整理得x －y －2＝0．联x ＋1)2＋(y －1)2＝10，－y －2＝0，＝0，＝－2＝2，＝0.∴顶点C 的坐标可以是(0，－2)．故选D ．12．写出一个关于直线x ＋y －1＝0对称的圆的方程____________．解析：设圆心坐标为C (a ，b )，因为圆C 关于x ＋y －1＝0对称，所以C (a ，b )在直线x ＋y －1＝0上，则a ＋b －1＝0，取a ＝1⇒b ＝0，设圆的半径为1，则圆的方程(x －1)2＋y 2＝1．答案：(x －1)2＋y 2＝1(答案不唯一)13．已知A (－2,0)，B (2,0)，动点M 满足|MA |＝2|MB |，则点M 的轨迹方程是____________________；又若MA ―→·MB ―→＝0，此时△MAB 的面积为________．解析：设M (x ，y )，由|MA |＝2|MB |，得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －2)2＋y 2，整理得3x 2＋3y 2－20x ＋12＝0．以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝4，x 2＋3y 2－20x ＋12＝0，2＋y 2＝4，解得|y |＝85．即M 点的纵坐标的绝对值为85．此时△MAB 的面积为S ＝12×4×85＝165．答案：3x 2＋3y 2－20x ＋12＝016514．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：圆C ：x 2＋(y －4)2＝42，故圆心为C (0,4)，半径为4．(1)当C ，M ，P 三点均不重合时，∠CMP ＝90°，所以点M 的轨迹是以线段PC 为直径的圆(除去点P ，C )，线段PC 中点为(1,3)，12|PC |＝12(2－0)2＋(2－4)2＝2，故M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y －3)2＝2(x ≠2，且y ≠2或x ≠0，且y ≠4)．当C ，M ，P 三点中有重合的情形时，易求得点M 的坐标为(2,2)或(0,4)．综上可知，点M 的轨迹是一个圆，轨迹方程为(x －1)2＋(y －3)2＝2．(2)由(1)可知点M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．法一(几何法)：由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上．又P 在圆N 上，从而ON⊥PM．因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－13，故直线l的方程为y＝－13x＋83，即x＋3y－8＝0．又易得|OM|＝|OP|＝22，点O到直线l的距离为812＋32＝4105，|PM|＝＝4105，所以△POM的面积为12×4105×4105＝165．法二(代数法)：设M(x，y)，由|OM|＝|OP|＝22得x2＋y2＝8，2＋y2＝8，①－1)2＋(y－3)2＝2，②①－②得直线l方程为x＋3y－8＝0，将x＝8－3y代入①得5y2－24y＋28＝0，解得y1＝145，y2＝2．从而x1＝－25，x2＝2．所以M－25，|PM|＝＝4105．又点O到l距离d＝812＋32＝4105，所以△POM的面积S＝12|PM|·d＝12×4105×4105＝165．15．(多选)设有一组圆C k：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是()A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B．所有圆C k均不经过点(3,0)C．经过点(2,2)的圆C k有且只有一个D．所有圆的面积均为4π解析：ABD圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有两不等实根，∴经过点(2,2)的圆C k有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．故选A、B、D．16．已知曲线T：F(x，y)＝0，对坐标平面上任意一点P(x，y)，定义F[P]＝F(x，y)，若两点P，Q满足F[P]·F[Q]>0，称点P，Q在曲线T同侧；F[P]·F[Q]<0，称点P，Q在曲线T 两侧．(1)直线过l原点，线段AB上所有点都在直线l同侧，其中A(－1,1)，B(2,3)，求直线l 的斜率的取值范围；(2)已知曲线F(x，y)＝(3x＋4y－5)4－x2－y2＝0，O为坐标原点，求点集S＝{P|F[P]·F[O]>0}的面积．解：(1)由题意，显然直线l斜率存在，设方程为y＝kx，则F(x，y)＝kx－y＝0，因为A(－1,1)，B(2,3)，线段AB上所有点都在直线l同侧，则F[A]·F[B]＝(－k－1)(2k－3)>0，解得－1<k<3 2．(2)因为F[O]<0，所以F[P]＝(3x＋4y－5)·4－x2－y2<0，x＋4y－5<0，2＋y2<4，点集S为圆x2＋y2＝4在直线3x＋4y－5＝0下方内部，如图所示，设直线与圆的交点为A，B，则O到AB的距离为1，故∠AOB＝2π3，因此，所求面积为S＝12·4π3·22＋12·32·22＝8π3＋3．。

课时规范练41 圆的方程基础巩固组1.(2019浙江绍兴模拟,5)已知圆x2+y2+kx+2y+k2=0,当圆的面积最大时,圆心的坐标是()A.(-1,1)B.(1,-1)C.(-1,0)D.(0,-1)2.(2019江西南昌八中、二十三中、十三中联考,7)圆心在x+y=0上,且与x轴交于点A(-3,0)和B(1,0)的圆的方程为()A.(x+1)2+(y-1)2=5B.(x-1)2+(y+1)2=√5C.(x-1)2+(y+1)2=5D.(x+1)2+(y-1)2=√53.(2019福建宁德模拟,6)已知点M(3,1)在圆C:x2+y2-2x+4y+2k+4=0外,则k的取值范围为()A.-6<k<12B.k<-6或k>12C.k>-6D.k<124.(2019河南林州一中模拟,5)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y+16=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为()A.12√2B.3√2C.6√2D.4√25.(2019安徽天长模拟,8)如果圆(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)上总存在点到原点的距离为3,则实数a的取值范围为()A.[√2,2]B.[√2,2√2]C.[1,√2]D.[1,2√2]6.(2019浙江湖州模拟,4)若圆C1:(x+2)2+(y-1)2=1与圆C2关于原点对称,则圆C2的方程是()A.(x+1)2+(y-2)2=1B.(x-1)2+(y+2)2=1C.(x-2)2+(y-1)2=1D.(x-2)2+(y+1)2=17.圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的圆心坐标是,直线l:x-y=0与圆C相交于A,B两点,则|AB|=.8.设点P是函数y=-√4-(x-1)2图象上的任意一点,点Q坐标为(2a,a-3)(a∈R),则|PQ|的最小值为.9.已知等腰三角形ABC,其中顶点A的坐标为(0,0),底边的一个端点B的坐标为(1,1),则另一个端点C的轨迹方程为.x上,并且在x轴上截得的弦长为2√3,则圆M的标准方程10.已知圆M与y轴相切,圆心在直线y=12为.综合提升组),若点P满足OP=1,PA的11.(2019安徽江南十校二联,14)已知在直角坐标系xOy中,A(4,0),B(0,32中点为M,则BM的最大值为.12.(2019河北邢台模拟,18)已知圆M:(x+a)2+(y-a)2=r2的圆心M在直线y=x上,且直线3x+4y-15=0与圆M相切.(1)求圆M的方程;(2)设圆M与x轴交于A,B两点,点P在圆M内,且|PM|2=|PA|·|PB|.记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求k1k2的取值范围.创新应用组13.如图所示,边长为1的正方形PABC沿x轴滚动,点B恰好经过原点.设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则对函数y=f(x)有下列判断:①若-2≤x≤2,则函数y=f(x)是偶函数;②对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x-2);③函数y=f(x)在区间[2,3]上单调递减;④函数y=f(x)在区间[4,6]上是减函数.其中判断正确的序号是.(写出所有正确结论的序号)14.(2019宁夏石嘴山四模,14)点M(x,y)在曲线C:x2-4x+y2-21=0上运动,t=x2+y2+12x-12y-150-a,且t的最大值为b,若a,b∈R+,则1x+1+1x的最小值为.参考答案课时规范练41圆的方程1.D当圆的半径最大时,圆的面积最大,已知圆的一般方程x2+y2+kx+2y+k2=0,其圆心为(-x2,-1),半径为r=√4-3x22,可知当k=0时,r取最大值,即圆的面积最大时,圆心的坐标为(0,-1),故选D. 2.A由题意得,圆心在直线x=-1上,∵圆心在直线x+y=0上,∴圆心M的坐标为(-1,1).又A(-3,0),半径|AM|=√(-1+3)2+(1-0)2=√5,则圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=5.故选A.3.A∵圆C:x2+y2-2x+4y+2k+4=0,∴圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=1-2k ,∴圆心坐标(1,-2),半径r=√1-2x .若M (3,1)在圆C :x 2+y 2-2x+4y+2k+4=0外,则满足√(3-1)2+(1+2)2>√1-2x ,且1-2k>0,即13>1-2k 且k<12,即-6<k<12,故选A .4.A 圆的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=9,故该圆圆心是(3,4),半径是3,圆心到点(3,5)的距离为1,根据题意,知最短弦BD 和最长弦(即圆的直径)AC 垂直,且|BD|=2√32-1=4√2,|AC|=6,所以四边形ABCD 的面积为12|AC|·|BD|=12×6×4√2=12√2,故选A .5.B (x-a )2+(y-a )2=1(a>0),圆心为(a ,a ),半径为1,圆心到原点的距离为√2a ,如果圆(x-a )2+(y-a )2=1(a>0)上总存在点到原点的距离为3,即圆心到原点的距离∈[2,4],即2≤√2a ≤4⇒√2≤a ≤2√2,故选B .6.D 由题意可得圆C 1圆心为(-2,1),半径为1,由对称性,关于原点对称的圆心(2,-1),半径也是1,∴圆C 2的圆心为(2,-1),半径为1,∴圆C 2的方程为(x-2)2+(y+1)2=1.故选D .7.(1,1) 2 ∵圆C :x 2+y 2-2x-2y+1=0,∴(x-1)2+(y-1)2=1,∴圆C :x 2+y 2-2x-2y+1=0的圆心坐标和半径分别为(1,1),1.∵圆心在直线l :x-y=0,∴|AB|=2.8.√5-2 函数y=-√4-(x -1)2的图象表示圆(x-1)2+y 2=4在x 轴上及下方的部分,令点Q 的坐标为(x ,y ),则{x =2x ,x =x -3,得y=x2-3,即x-2y-6=0,作出图象如图所示,由于圆心(1,0)到直线x-2y-6=0的距离d=√12+(-2)2=√5>2,所以直线x-2y-6=0与圆(x-1)2+y 2=4相离,因此|PQ|的最小值是√5-2.9.x 2+y 2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1)) 设C (x ,y ),根据在等腰三角形中|AB|=|AC|,可得(x-0)2+(y-0)2=(1-0)2+(1-0)2,即x 2+y 2=2.考虑到A ,B ,C 三点要构成三角形,因此点C 不能为(1,1)和(-1,-1).所以点C 的轨迹方程为x 2+y 2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1)).10.(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4 设圆M 的标准方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2,由题意可得{12x -x =0,|x |=x ,x 2+3=x 2,解得{x =2,x =1,x =2或{x =-2,x =-1,x =2,所以圆M 的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4.11.3 由A (4,0),B (0,32),OP=1,则P 点轨迹为x 2+y 2=1,设M (x ,y ),则P (2x-4,2y )⇒(2x-4)2+(2y )2=1⇒(x-2)2+y 2=14,M 的轨迹为圆心为D (2,0),半径为12的圆,故BM 的最大值为|BD|+12=52+12=3.12.解(1)因为圆M 的圆心M (-a ,a )在直线y=x 上,所以-a=a ,即a=0,因为直线3x+4y-15=0与圆M 相切,所以r=√22=3,故圆M 的方程为x 2+y 2=9. (2)由(1)知,圆心M (0,0),A (-3,0),B (3,0).设P (x ,y ),因为点P 在圆M 内,所以x 2+y 2<9.因为|PM|2=|PA|·|PB|,所以x 2+y 2=√(x +3)2+x 2·√(x -3)2+x 2,所以2x 2-2y 2=9.因为直线PA ,PB 的斜率分别为k 1,k 2,所以k 1=x x +3,k 2=xx -3,则k 1k 2=x 2x 2-9=2x 2-92x 2-18=1+92x 2-18.因为{2x 2-2x 2=9,x 2+x 2<9,所以92≤x 2<274,所以-29<12x 2-18≤-19, 则-1<1+92x 2-18≤0.故k 1k 2的取值范围为(-1,0].13.①②④ ∵当-2≤x ≤-1,点P 的轨迹是以A 为圆心,半径为1的14圆,当-1≤x ≤1时,点P 的轨迹是以B 为圆心,半径为√2的14圆,当1≤x ≤2时,点P 的轨迹是以C 为圆心,半径为1的14圆,当3≤x ≤4时,点P 的轨迹是以A 为圆心,半径为1的14圆,∴函数y=f (x )的周期是4.画出函数y=f (x )的部分图象如图所示.①根据图象的对称性可知函数y=f (x )是偶函数,∴①正确.②由图象可知函数的周期是4.∴②正确.③函数y=f (x )在区间[2,3]上单调递增,∴③错误.④函数y=f (x )在区间[4,6]上是减函数,∴④正确.故答案为①②④.14.1曲线C可整理为(x-2)2+y2=25,则曲线C表示圆心为(2,0),半径为5的圆,t=x2+y2+12x-12y-150-a=(x+6)2+(y-6)2-222-a,设d=√(x+6)2+(x-6)2,则d表示圆上的点到(-6,6)的距离,则d max=√(2+6)2+(0-6)2+5=15,∴t max=152-222-a=b,整理得a+1+b=4,∴1x+1+1x=141x+1+1x(a+1+b)=14×1+xx+1+x+1x+1.又xx+1+x+1x≥2√xx+1·x+1x=2当且仅当xx+1=x+1x,即a=1,b=2时取等号,∴1x+1+1x≥1 4×4=1,即1x+1+1x的最小值为1.。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 4.1.1 圆的标准方程课时训练新人教版必修2一、选择题1．下面各点在圆(x－1)2＋(y－1)2＝2上的是( )A．(1,1) B．(2,1)C．(0,0) D．(2，2)【解析】经验证点(0,0)满足圆的方程(x－1)2＋(y－1)2＝2.【答案】 C2．(2013·周口高一检测)圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9【解析】由题意可知，圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，故选D.【答案】 D3．(2013·洛阳高一检测)圆心为(0,4)，且过点(3,0)的圆的方程为()A．x2＋(y－4)2＝25 B．x2＋(y＋4)2＝25C．(x－4)2＋y2＝25 D．(x＋4)2＋y2＝25【解析】由题意，圆的半径r＝0－32＋4－02＝5，则圆的方程为x2＋(y－4)2＝25.【答案】 A4．已知点A(3，－2)，B(－5,4)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝100 D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝100【解析】 圆心为AB 的中点(－1,1)，半径为12|AB |＝123＋52＋－2－42＝5，∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝25.【答案】 B5．(2013·绍兴高一检测)已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则圆的方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13 B ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13 C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52【解析】 如图，结合圆的性质可知，圆的半径r ＝2－02＋－3－02＝13.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13. 【答案】 B 二、填空题6．与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16同心且过点P (－1,1)的圆的方程是________． 【解析】 圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16的圆心为(2，－3)，设圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝r 2，由点P (－1,1)在圆上可知(－1－2)2＋(1＋3)2＝r 2，解得r 2＝25.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25. 【答案】 (x －2)2＋(y ＋3)2＝257．点P (1，－1)在圆x 2＋y 2＝r 的外部，则实数r 的取值范围是________． 【解析】 由题意得12＋(－1)2>r ，即r <2，又r >0，故r 的取值范围是(0,2)． 【答案】 (0,2)8．(2013·浏阳高一检测)经过圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心且斜率为1的直线方程为________．【解析】 圆心C 的坐标为(－1,2)，又直线的斜率为1， 故所求直线的方程为：y －2＝x ＋1，即x －y ＋3＝0. 【答案】 x －y ＋3＝0 三、解答题9．(2012·长春高一检测)求经过两点A (－1,4)，B (3,2)且圆心在y 轴上的圆的方程． 【解】 由A (－1,4)，B (3,2)可得直线AB 的斜率k AB ＝4－2－1－3＝－12，AB 的中点M (－1＋32，4＋22)， 即M (1,3)，∴直线AB 的垂直平分线的方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0，令x ＝0得y ＝1，即所求圆的圆心为C (0,1)．圆的半径为r ＝|AC |＝12＋4－12＝10.所以，所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.10．已知点A (1,2)和圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2，试分别求满足下列条件的实数a 的取值范围：(1)点A 在圆的内部； (2)点A 在圆上； (3)点A 在圆的外部． 【解】 (1)∵点A 在圆内部， ∴(1－a )2＋(2＋a )2<2a 2，即2a ＋5<0，解得a <－52.故a 的取值范围是{a |a <－52}．(2)将点A (1,2)坐标代入圆的方程，得(1－a )2＋(2＋a )2＝2a 2，解得a ＝－52，故a 的值为－52.(3)∵点A 在圆的外部，∴(1－a )2＋(2＋a )2>2a 2， 即2a ＋5>0，解得a >－52.故a 的取值范围是{a |a >－52}．11．(思维拓展题)平面直角坐标系中有A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)，D (－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？【解】 能．设过A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 将A ，B ，C 三点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1－b 2＝r 2，2－a 2＋1－b 2＝r 2，3－a 2＋4－b 2＝r 2，解得⎩⎨⎧a＝1，b ＝3，r ＝ 5.∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5. 将D (－1,2)的坐标代入上式圆的方程左边， (－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5， 即D 点坐标适合此圆的方程． 故A ，B ，C ，D 四点在同一圆上.。

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课时跟踪检测（二十三）圆的一般方程一、题组对点训练对点练一圆的一般方程1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的标准方程为（）A．(x－2）2＋(y－3)2＝16 B．（x－2）2＋(y＋3）2＝16C．（x＋2)2＋(y－3）2＝16 D．（x＋2)2＋(y＋3）2＝16解析：选C 将x2＋y2＋4x－6y－3＝0配方,易得（x＋2)2＋（y－3）2＝16.2．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是( ）A．(－∞，－1) B．（3，＋∞)C．(－∞，－1)∪（3，＋∞）D。

错误!解析:选A 方程可化为:(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2〉0，即k<－1时才能表示圆．3．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为错误!，则a的值为（）A．－2或2 B。

错误!或错误!C．2或0 D．－2或0解析:选C 由圆的方程得圆心坐标为（1,2)．再由点到直线的距离公式得错误!＝错误!，解得a＝2或a＝0。

4．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时,圆心坐标为________．解析：∵r＝12错误!＝错误!错误!，∴当k＝0时，r最大，此时圆的面积最大,圆的方程可化为x2＋y2＋2y＝0,即x2＋(y＋1）2＝1，圆心坐标为(0，－1）．答案：（0,－1)5．求过点（－1,1），且圆心与已知圆x2＋y2－6x－8y＋15＝0的圆心相同的圆的方程．解：设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0,又圆x2＋y2－6x－8y＋15＝0的圆心为（3，4），依题意得错误!解此方程组，可得错误!∴所求圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.6．已知圆C： x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上,且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．解：圆心C错误!，∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－错误!－错误!－1＝0,即D＋E＝－2.①又∵半径长r＝错误!＝错误!,∴D2＋E2＝20。

突破4.1 圆的方程课时训练【基础巩固】1．（福建省宁德一中2019届质检）若圆C 与y 轴相切于点P (0,1)，与x 轴的正半轴交于A ，B 两点，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程是( )A ．(x ＋)2＋(y ＋1)2＝2B.(x ＋1)2＋(y ＋)2＝2 22C ．(x －)2＋(y －1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －)2＝2222.（陕西工业大学附中2019届模拟）已知点A (2，－1，－3)，点A 关于x 轴的对称点为点B ，则|AB |的值为( )A ．4B ．6 C. D ．214103．（2020江西赣州三中高二月考）若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)的圆心位于(　)A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（2020全国高二课时练）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（）． (3,4)A ．4 B ．5 C ．6 D ．75.（多选题）（2020·山东临朐高二月考）实数，满足，则下列关于的判断正确x y 2220x y x ++=1y x -的是（）A ．B ．的最小值为1y x -1y x -C ．D ．的最小值为1y x -1y x -6．（2020浙江丽水高二期末）“”是“为圆方程”的（ ） 12m >2222530x y mx m m +---+=A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7.（云南昆明第三中学2019届模拟）已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．8.（湖北武汉二中2019届模拟）根据下列条件，求圆的方程．(1)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上；(2)经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6.【能力提升】9．（2020·浙江温岭中学高二月考）已知，，动点满足，则点的轨()2,0A -()2,0B M 2MA MB =M 迹方程是___________；又若，此时的面积为___________.0MA MB ⋅= MAB △10．（浙江省台州一中2019届期中）已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点．(1)求m ＋2n 的最大值；(2)求的最大值和最小值． n －3m ＋211．（2020·四川省绵阳南山中学高二月考）设三角形的顶点坐标是A （0，a ），B （，0），C （ABC，0），其中a>0，圆M 为的外接圆． ABC （1）求圆M 的方程；（2）当a 变化时，圆M 是否过某一定点?请说明理由．12．（2020全国高二课时练）已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点，AB 边所在直线的方程为20M （，），点在AD 边所在直线上. 360x y --=11T -（，）（1）求AD 边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD 外接圆的方程.【高考真题】13．（2019·北京高考）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．14.（2019·浙江高考）已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点C (0,)m r 230x y -+=，则_____，______.(2,1)A --m =r =15.（2018·天津高考）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．16.（2017·天津高考）设抛物线的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴24y x =的正半轴相切于点A .若，则圆的方程为____________ .120FAC ∠=︒17．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．18. 直线与圆交于两点，则________．1y x =+22230x y y ++-=A B ，AB =19．(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．20．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－B ．－ 4334C ． D ．2321．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方x 216y 24程为2＋y 2＝　. (x －32)254解析附后突破4.1 圆的方程课时训练【基础巩固】1．【答案】C 【解析】设线段AB 的中点为D ，则|AD |＝|CD |＝1，∴r ＝|AC |＝＝|CP |，故C (，1)，故圆C 的标准方22程是(x －)2＋(y －1)2＝2，故选C.22.【答案】D 【解析】由题意可知点A 关于x 轴的对称点B 的坐标为(2,1,3)，所以|AB |＝＝2.故选D. 0＋4＋36103．【答案】B【解析】因为直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，所以，因为圆心，所以圆心位于0,0a b <>(,)a b 第二象限，选B.4．【答案】A【解析】设圆心，化简得， (),C x y 1=()()22341x y -+-=所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，C (3,4)M所以，所以，当且仅当在线段上时取得等号，故||1||OC OM +≥5==||514OC ≥-=C OM 选：A.5.【答案】CD 【解析】由题意可得方程为圆心是，半径为1的圆，由为圆上的点与定点2220x y x ++=(1,0)C -1y x -的斜率的值，设过点的直线为，即，(1,0)P (1,0)P (1)y k x =+0kx y k -+=圆心到到直线的距离，整理可得解得， d r =1=231k =k =所以，即，最小值为. [1y x ∈-1y x -CD 6．【答案】A【解析】方程表示圆需满足或2222530x y mx m m +---+=()()22245+30,3m m m m ---->∴<-，所以“”是“为圆方程”的充分不必要条件，故选：A. 1>2m 12m >2222530x y mx m m +---+=7.【解析】(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知点P 坐标为(2x －2,2y )．因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2 ＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )．在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.8.【解析】(1)由题意知k AB ＝2，AB 中点为(4,0)，设圆心C (a ，b )．因为圆过A (5,2)，B (3，－2)两点，所以圆心一定在线段AB 的垂直平分线上，则Error!解得Error!所以C (2,1)，所以r ＝|CA |＝＝，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.5－2 2＋ 2－1 210(2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将P ，Q 两点的坐标分别代入得Error!又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0. ③设x 1，x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6，得D 2－4F ＝36， ④由①②④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.【能力提升】9．【答案】； . 223320120x y x +-+=165【解析】，，设，由，得， ()2,0A -()2,0B (),M x y 2MA MB ==整理得：；以为直径的圆的方程为，223320120x y x +-+=AB 224x y +=联立，解得.即点的纵坐标的绝对值为. 222233201204x y x x y ⎧+-+=⎨+=⎩85y =M 85此时的面积为. ∴MAB △18164255S =⨯⨯=10．【解析】将圆C 化为标准方程可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C (2，7)，半径r ＝2. 2(1)设m ＋2n ＝b ，则b 可看作是直线n ＝－m ＋在y 轴上截距的2倍，故当直线m ＋2n ＝b 与圆C 相切12b 2时，b 有最大或最小值．所以＝2，所以b ＝16＋2(b ＝16－2舍去)，所以m ＋2n 的最|2＋2×7－b |12＋2221010大值为16＋2.10(2)设＝k ，则k 可看作点(m ，n )与点(－2,3)所在直线的斜率，所以当直线n －3＝k (m ＋2)与圆C 相切n －3m ＋2时，k 有最大或最小值，所以＝2，解得k ＝2＋或k ＝2－.所以的最大值为2＋|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2233n －3m ＋23，最小值为2－.311．【解析】(1)设圆M 的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.∵圆M 过点A (0,a ),B (,0),C ,0),∴解得D=0,E=3-a ,F=-3a.∴圆M 的方程为x 2+y 2+(3-a )y-3a=0.20,30,30,a aE F a F a F ⎧++=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎩(2)圆M 的方程可化为(3+y )a-(x 2+y 2+3y )=0.由 2230,30,y x y y +=⎧⎨++=⎩解得x=0,y=-3.∴圆M 过定点(0,-3).12．【解析】 (1)∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3．又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0．(2)由,得, 360320x y x y --=⎧⎨++=⎩02x y =⎧⎨=-⎩∴点A 的坐标为(0，－2)，∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)，∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM | =∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．【高考真题】13．【答案】(x -1)2+y 2=4.【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.14.【答案】 2m =-r =【解析】可知，把代入得，此时11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+(0,)m 2m =-.||r AC ===15.【答案】2220x y x +-=【解析】设圆的方程为，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：220x y Dx Ey F ++++=，解得：，则圆的方程为.01104020F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪+++=⎩200D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩2220x y x +-=16.【答案】22(1)(1x y ++=【解析】设圆心坐标为，则，焦点，，(1,)C m -(0,)A m (1,0)F (1,0),(1,)AC AF m =-=-，，由于圆与轴得正半轴相切，则取，所1cos 2AC AF CAF AC AF ⋅∠===-⋅m =Cy m =求圆得圆心为，半径为1，所求圆的方程为.(-22(1)(1x y ++=17．【解析】(1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Error!得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝. 2k 2＋4k2所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝. 4k 2＋4k2由题设知＝8， 4k 2＋4k2解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则Error!解得Error!或Error!因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.18.【答案】【解析】根据题意，圆的方程可化为，22(1)4x y ++=所以圆的圆心为，且半径是，(0,1)-2根据点到直线的距离公式可以求得，d ==结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为.AB ==19．【答案】x 2＋y 2－2x ＝0【解析】设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将已知三点的坐标代入方程可得Error!解得Error!所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.20．【答案】A【解析】圆的方程可化为(x －1)2＋(y －4)2＝4，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为＝1，解得a ＝－，故选A ． |a ＋4－1|a 2＋14321．【答案】2＋y 2＝. (x －32)254【解析】由已知可得该圆经过椭圆的三个顶点A (4,0)、B (0,2)、C (0，－2)．易知线段AB 的垂直平分线的方程为2x －y －3＝0，令y ＝0，得x ＝，所以圆心坐标为，则半径r ＝4－＝，所以该圆的标准方程32(32，0)3252为2＋y 2＝. (x －32)254如何学好数学1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k 算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k 过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解的表达式，就ok 了2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差2倍的小的就是答案，体积找到差3倍的小的就是答案，屡试不爽！3.三角函数第二题，如求a(cosB+cosC)/(b+c)coA之类的先边化角然后把第一题算的比如角A等于60度直接假设B和C都等于60°带入求解。

高中数学第4章圆的方程4.1.2圆的一般方程课时作业含解析新人教A 版必修20823326A 级 基础巩固一、选择题1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( D ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2，－3)D ．(2，－3)[解析] 圆的一般程化成标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，可知圆心坐标为(2，－3)． 2．(2018·本溪市高一期中)若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为( A )A ．12，－4 B ．－12，4C ．12，4 D ．－12，－4[解析] 由题意知直线y ＝kx 与2x ＋y ＋b ＝0垂直，且直线2x ＋y ＋b ＝0过圆心，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ·－2＝－1，2×2＋0＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12b ＝－4.3．(2018～2019·长沙高一检测)已知圆C 过点M (1,1)，N (5,1)，且圆心在直线y ＝x －2上，则圆C 的方程为( A )A ．x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0 B ．x 2＋y 2＋6x －2y ＋6＝0 C ．x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋6＝0 D ．x 2＋y 2－2x －6y ＋6＝0[解析] 由条件知，圆心C 在线段MN 的中垂线x ＝3上，又在直线y ＝x －2上，∴圆心C (3,1)，半径r ＝|MC |＝2.方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4，即x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0. 故选A ．4．(2018·大连期末)圆心是C (2，－3)，且经过原点的圆的方程为( D ) A ．x 2＋y 2＋4x －6y ＋1＝0 B ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＋1＝0 C ．x 2＋y 2＋4x －6y ＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0[解析] 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，因为圆C 经过原点，所以F ＝0，又圆心为(2，－3)，所以D ＝－4，E ＝6.因此，所求圆的方程是x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0.5．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( C ) A ．－2或2 B ．12或32 C ．2或0D ．－2或0[解析] 化圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，则由圆心(1,2)到直线x －y ＋a ＝0距离为22，得|1－2＋a |2＝22，∴a ＝2或0. 6．圆x 2＋y 2－2y －1＝0关于直线y ＝x 对称的圆的方程是( A ) A ．(x －1)2＋y 2＝2 B ．(x ＋1)2＋y 2＝2 C ．(x －1)2＋y 2＝4D ．(x ＋1)2＋y 2＝4[解析] 圆x 2＋y 2－2y －1＝0的圆心坐标为(0,1)，半径r ＝2，圆心(0,1)关于直线y ＝x 对称的点的坐标为(1,0)，故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.二、填空题7．(2018·山东省潍坊市期中)若点(1,2)在圆x 2＋y 2－ax －2y ＋2＝0外，则实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(2,3).[解析] 若x 2＋y 2－ax －2y ＋2＝0表示圆，则(－a 2)＋(－2)2－4×2＞0，解得a ＜－2或a ＞2.若点(1,2)在圆x 2＋y 2－ax －2y ＋2＝0外，则12＋22－a －2×2＋2＞0，解得a ＜3，所以实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2,3)．8．圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋39＝0关于直线3x －4y ＋5＝0对称的圆的一般方程是x 2＋y 2－8x ＋4y ＋19＝0.[解析] 圆C 的方程可化为(x ＋2)2＋(y －6)2＝1，易知圆心C (－2,6)，半径r ＝1.设所求的对称圆为圆C ′：(x －a )2＋(y －b )2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧b －6a ＋2＝－43，3×a －22－4×b ＋62＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2，所以圆C ′的方程为(x －4)2＋(y ＋2)2＝1，即x 2＋y 2－8x ＋4y ＋19＝0.三、解答题9．判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．[解析] 解法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0， 可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2，因此，当m ＝2时，D 2＋E 2－4F ＝0，它表示一个点，当m ≠2时，D 2＋E 2－4F >0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|. 解法二：原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2，因此，当m ＝2时，它表示一个点，当m ≠2时，原方程表示圆的方程．此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝5|m －2|. 10．求过点A (－1,0)、B (3,0)和C (0,1)的圆的方程． [解析] 解法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(*)把A 、B 、C 三点坐标代入方程(*)得 ⎩⎪⎨⎪⎧1－D ＋F ＝09＋3D ＋F ＝01＋E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝2F ＝－3.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0解法二：线段AB 的中垂线方程为x ＝1，线段AC 的中垂线方程为x ＋y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x ＋y ＝0，得圆心坐标为M (1，－1)，半径r ＝|MA |＝5，∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝5.B 级 素养提升一、选择题1．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] 圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为(a ，－32b )，则a <0，b >0.直线y ＝－1a x －b a ，其斜率k ＝－1a >0，在y 轴上的截距为－ba>0，所以直线不经过第四象限，故选D ．2．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( B )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2[解析] 圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0化成标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心坐标为M (1,3)，半径长为10.由圆的几何性质可知：过点E 的最长弦AC 为点E 所在的直径，则|AC |＝210.BD 是过点E 的最短弦，则点E 为线段BD 的中点，且AC ⊥BD ，E 为AC 与BD 的交点，则由垂径定理可是|BD |＝2|BM |2－|ME |2＝210－[1－02＋3－12]＝2 5.从而四边形ABCD 的面积为12|AC ||BD |＝12×210×25＝10 2.3．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1过点A (1,0)，则圆C 的圆心的轨迹是( D ) A ．点 B ．直线 C ．线段D ．圆[解析] ∵圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1过点A (1,0)，∴(1－a )2＋(0－b )2＝1，即(a －1)2＋b 2＝1，故圆C 的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆．4．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( B )A ． 5B ．5C ．2 5D ．10[解析] 由题意，得直线l 过圆心M (－2，－1)， 则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5， 所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.二、填空题5．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝－2.[解析] 由题意可知直线l ：x －y ＋2＝0过圆心， ∴－1＋a2＋2＝0，∴a ＝－2. 6．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值是5＋3.[解析] 关键是搞清式子x 2＋y 2的意义．实数x ，y 满足方程x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，所以(x ，y )为方程所表示的曲线上的动点.x 2＋y 2＝x －02＋y －02，表示动点(x ，y )到原点(0,0)的距离．对方程进行配方，得(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，它表示以C (－2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点的圆内．连接CO 交圆于点M ，N ，由圆的几何性质可知，MO 的长即为所求的最大值．7．(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.[解析] 方法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0，即圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.方法二 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2①1－a 2＋1－b 2＝r 2 ②2－a 2＋b 2＝r 2 ③，，由①－③，得a ＝1，代入②，得(1－b )2＝r 2，结合①，得b ＝0，所以r 2＝1，故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.方法三 记A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，连接AB ，由圆过点A (0,0)，B (2,0)，知AB 的垂直平分线x ＝1必过圆心．连接BC ，又圆过点C (1,1)，BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，BC 所在直线的斜率k BC ＝－1，所以BC的垂直平分线为直线y ＝x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，x ＝1，得圆心的坐标为(1,0)，半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.三、解答题8．设圆的方程为x 2＋y 2＝4，过点M (0,1)的直线l 交圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 为AB 的中点，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程．[解析] 设点P 的坐标为(x ，y )、A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． 因为A 、B 在圆上，所以x 21＋y 21＝4，x 22＋y 22＝4， 两式相减得x 21－x 22＋y 21－y 22＝0，所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 当x 1≠x 2时，有x 1＋x 2＋(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0，①并且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，y －1x ＝y 1－y 2x 1－x 2，②将②代入①并整理得x 2＋(y －12)2＝14.③当x 1＝x 2时，点A 、B 的坐标为(0,2)、(0，－2)，这时点P 的坐标为(0,0)也满足③. 所以点P 的轨迹方程为x 2＋(y －12)2＝14.9．已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一个圆． (1)求实数m 的取值范围； (2)求该圆的半径r 的取值范围； (3)求圆心C 的轨迹方程． [解析] (1)要使方程表示圆，则 4(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)＞0， 即4m 2＋24m ＋36＋4－32m 2＋64m 4－64m 4－36＞0， 整理得7m 2－6m －1＜0，解得－17＜m ＜1.(2)r ＝124m ＋32＋41－4m 22－416m 4＋9＝－7m 2＋6m ＋1＝－7m －372＋167. ∴0＜r ≤477.(3)设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋3y ＝4m 2－1.消去m 可得(x －3)2＝14(y ＋1)．∵－17＜m ＜1，∴207＜x ＜4.故圆心C 的轨迹方程为(x －3)2＝14(y ＋1)(207＜x ＜4)．。

课时跟踪检测（四十八) 圆的方程一、题点全面练1．圆(x－3)２+（ｙ-1）2=5关于直线y＝-ｘ对称的圆的方程为( ）A．（x+3)2+（y－1)２=5ﻩ B.（x－1)2+(y－3)2=５Ｃ．（ｘ+1)2＋(y+3)2＝5ﻩ D.（ｘ-1）2＋（ｙ＋３)2=5解析：选 C 由题意知，所求圆的圆心坐标为(-1,-3），半径为错误!未定义书签。

,所以所求圆的方程为(x＋1）2+（ｙ＋3)2＝5，故选C.2．已知三点A(1，0)，Ｂ（０，错误!未定义书签。

)，C(2，错误!未定义书签。

）,则△ＡBC 外接圆的圆心到原点的距离为(）Ａ。

错误!未定义书签。

ﻩ B.＼f(21）３C。

错误!未定义书签。

D。

错误!未定义书签。

解析：选Ｂ设圆的一般方程为x２+y２+Dx＋Eｙ+F＝0(Ｄ2+Ｅ2－４F>0），∴错误!∴错误!未定义书签。

∴△ABC外接圆的圆心为错误!未定义书签。

,故△AＢC外接圆的圆心到原点的距离为错误!＝错误!未定义书签。

3.(2019·成都模拟）若抛物线y＝x2－2x-3与坐标轴的交点在同一个圆上,则由交点确定的圆的方程为(）A．x２+(y-１)2=4ﻩ B.（x-1)2＋（y-1)2＝4C．（x-１）2+y2=4ﻩ D.（ｘ－１)2＋(y＋1)2＝5解析:选 D 抛物线y＝x2－2x－３关于直线x=1对称，与坐标轴的交点为A(－1,0),B（3,0),Ｃ（０,-3),设圆心为M(1,ｂ),半径为r,则|ＭA｜2＝｜MC｜2＝r2，即4＋ｂ２=1＋（b+3)2＝ｒ2,解得b=－1，r＝＼r(5),∴由交点确定的圆的方程为（ｘ-1)2+(y＋1)２=5，故选Ｄ.4.(２０19·银川模拟)若圆C与y轴相切于点P(０,1)，与x轴的正半轴交于A,Ｂ两点,且|AB|=2，则圆C的标准方程是( )A.(ｘ＋2)2＋（ｙ+1)2=2ﻩB。

(x＋１)2＋（ｙ+２)2＝2C．(x-＼r(2))2+(y－1)２＝2ﻩＤ．（x-１）2+（y－错误!未定义书签。