限时规范检测(二十三) 简单的三角恒等变换

简单的三角恒等变换xx年xx月xx日•三角函数基本概念•三角恒等变换的基本法则•三角恒等变换的应用目录•常见三角恒等变换技巧•三角恒等变换的注意事项•练习题与解答01三角函数基本概念$\sin x = \frac{y}{r}$正弦函数$\cos x = \frac{x}{r}$余弦函数$\tan x = \frac{y}{x}$正切函数三角函数的定义周期性$2k\pi, k\in Z$振幅$|\sin x| \leq 1, |\cos x| \leq 1$相位$\sin(x+2k\pi) = \sin x$；$\cos(x+2k\pi) = \cos x$；$\tan(x+k\pi) = \tan x$正弦函数$y=|\sin x|$，波动曲线余弦函数$y=|\cos x|$，波动曲线正切函数$y=\tan x$，曲线不连续，无界01020302三角恒等变换的基本法则和差角公式公式二$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$应用用于解决角度和的问题，如求两角和的正弦、余弦等。

公式一$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$$\sin x\cosy=\frac{1}{2}(\sin(x+y)+\sin(x-y))$积化和差公式公式一$\cos x\siny=\frac{1}{2}(\sin(x+y)-\sin(x-y))$公式二用于将两角和的正弦与余弦变换成和差角的形式，方便后续计算。

应用公式一$\sin\frac{x}{2}=\pm\frac{1}{\s qrt{2}}(\cos x+1)^{1/2}$公式二$\cos\frac{x}{2}=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos x-1)^{1/2}$应用用于计算半角的角度，适用于解三角形等问题。

半角公式03三角恒等变换的应用利用三角函数解直角三角形，得到直角三角形的三个边长。

第六节简单的三角恒等变换[知识能否忆起]半角公式(不要求记忆)1．用cos α表示sin 2α2，cos 2α2，tan 2α2.sin 2α2＝1－cos α2；cos 2α2＝1＋cos α2；tan 2α2＝1－cos α1＋cos α. 2．用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.sin α2＝± 1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tan α2＝± 1－cos α1＋cos α.3．用sin α，cos α表示tan α2.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. [小题能否全取]1．(教材习题改编)已知cos α＝13，α∈(π，2π)，则cos α2等于( )A.63 B ．－63 C.33D ．－33解析：选B ∵cos α＝13，α∈(π，2π)，∴α2∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α2＝－1＋cos α2＝－ 1＋132＝－63.2．已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π12等于( ) A.12B ．－12C.32D ．－32解析：选B f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－sin 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝－sin π6＝－12. 3．已知tan α＝12，则cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α等于( )A ．3B ．6C ．12D.32解析：选A cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α＝2cos 2α＋2sin α·cos αcos 2α＝2＋2tan α＝3. 4.sin 20°cos 20°cos 50°＝________.解析：sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.答案：125．若1＋tan α1－tan α＝2 013，则1cos 2α＋tan 2α＝________.解析：1cos 2α＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝(cos α＋sin α)2cos2α－sin2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 013.答案：2 013三角恒等变换的常见形式三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明．(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．典题导入[例1] 化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x .[自主解答] 原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x＝12(1－sin 22x )2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x＝12cos 2x . 由题悟法三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．以题试法1．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝⎛⎭⎫1＋tan α·tan α2. 解：法一：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2sin α2－sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α·sin α2cos α2＝cos 2α2－sin 2α2sin α2·cos α2·cos αcos α2＋sin αsinα2cos αcos α2＝2cos αsin α·cos ⎝⎛⎭⎫α－α2cos αcosα2 ＝2cos αsin α·cosα2cos αcosα2＝2sin α. 法二：原式＝1－tan 2α2tan α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αsin α2cos αcos α2＝2tan α·cos αcos α2＋sin αsinα2cos αcosα2 ＝2cos αsin α·cos α2cos α·cosα2＝2sin α.典题导入[例2] (1)(2012·重庆高考)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32 B ．－12C.12D.32. (2)已知α、β为锐角，sin α＝35，cos ()α＋β＝－45，则2α＋β＝________.[自主解答] (1)原式＝sin (30°＋17°)－sin17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.(2)∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＝45，∵cos(α＋β)＝－45，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝35，∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝35×⎝⎛⎭⎫－45＋45×35＝0. 又2α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，3π2. ∴2α＋β＝π. [答案] (1)C (2)π由题悟法三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．以题试法2．(2012·广州一测)已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π9的值；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，若f ⎝⎛⎭⎫α3＋π4＝2，求cos ⎝⎛⎭⎫α－π4的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫π9＝tan ⎝⎛⎭⎫π3＋π4＝tan π3＋tanπ41－tan π3tanπ4＝3＋11－3＝－2－ 3. (2)因为f ⎝⎛⎭⎫α3＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋3π4＋π4＝tan(α＋π)＝tan α＝2， 所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α.①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②解得cos 2α＝15.因为α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，所以cos α＝－55，sin α＝－255. 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝－55×22＋⎝⎛⎭⎫－255×22＝－31010.典题导入[例3] (2011·四川高考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.[自主解答] (1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45.两式相加得2cos βcos α＝0.∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2.∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.在本例条件不变情况下，求函数f (x )的零点的集合． 解：由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝0，∴x －π4＝k π(k ∈Z )， ∴x ＝k π＋π4(k ∈Z )．故函数f (x )的零点的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π4，k ∈Z .由题悟法三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．以题试法3．已知函数f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当α∈[0，π]时，若f (α)＝1，求α的值．解：(1)因为f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos 2 x ＋sin x cos x －3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以最小正周期T ＝π.(2)由f (α)＝1，得2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝1， 又α∈[0，π]，所以2α＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，7π3， 所以2α＋π3＝5π6或2α＋π3＝13π6，故α＝π4或α＝11π12.1．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A 等于( )A.π4 B.3π4 C.π3D.π6解析：选A tan A ＝tan [π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C＝－－2＋131－(－2)×13＝1.故A ＝π4.2.sin (180°＋2α)1＋cos 2α·cos 2αcos (90°＋α)等于( )A ．－sin αB ．－cos αC ．sin αD ．cos α解析：选D 原式＝(－sin 2α)·cos 2α(1＋cos 2α)·(－sin α)＝2sin α·cos α·cos 2α2cos 2α·sin α＝cos α.3．(2013·深圳调研)已知直线l: x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝( )A ．－73B.73C.57D ．1解析：选D 依题意得，tan α＝2，－3tan β＝1， 即tan β＝－13，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1.4．(2012·山东高考)若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) A.35B.45C.74D.34解析：选D 因为θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π， 所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.5．(2012·河北质检)计算tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α ＝cos 2αcos 2α＝1. 6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( )A.π12 B.π6 C.π4D.π3解析：选D 依题意有sin αcos β－cos αsin β ＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32. 故β＝π3.7．若tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝3，则cos 2θ1＋sin 2θ＝________. 解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝3， ∴tan θ＝－12.∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1－tan 2θtan 2θ＋2tan θ＋1＝1－1414－1＋1＝3.答案：38．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.答案：π39．计算：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝________.解析：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝2(sin 30°cos 10°＋cos 30°sin 10°)2sin 240°＝2sin 40°2sin 40°＝ 2.答案： 210．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)求f ′(x )及函数y ＝f ′(x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )的值域． 解：(1)由题意可知，f ′(x )＝cos x －sin x ＝－2·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，所以y ＝f ′(x )的最小正周期为T ＝2π. (2)F (x )＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1. ∴函数F (x )的值域为[0,1＋ 2 ]．11．已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值； (2)求β的值． 解：(1)∵tan α2＝12，∴tan α＝2tanα21－tan 2α2＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，由⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1， 解得sin α＝45⎝⎛⎭⎫sin α＝－45舍去. (2)由(1)知cos α＝1－sin 2α ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，又0<α<π2<β<π，∴β－α∈(0，π)，而cos(β－α)＝210， ∴sin(β－α)＝1－cos 2(β－α)＝ 1－⎝⎛⎭⎫2102＝7210， 于是sin β＝sin[α＋(β－α)] ＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝45×210＋35×7210＝22. 又β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴β＝3π4.12．已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )． (1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f (x )的解析式．解：(1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β， 得sin [(α＋β)＋α]＝3sin [(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α.(2)由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y1－xy ＝2x ，∴y ＝x 1＋2x 2，即f (x )＝x1＋2x 2.1．(2012·郑州质检)已知曲线y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 与直线y ＝12相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|15P P |等于( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解析：选B 注意到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋sin 2x ，又函数y ＝1＋sin 2x 的最小正周期是2π2＝π，结合函数y ＝1＋sin 2x 的图象(如图所示)可知，|15P P |＝2π.2.3－sin 70°2－cos 210°等于( )A.12B.22 C ．2D.32解析：选C3－sin 70°2－cos 2 10°＝3－cos 20°2－cos 210°＝3－(2cos 210°－1)2－cos 210°＝2(2－cos 210°)2－cos 210°＝2.3．(2012·江西重点高中模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3cos 2x －m ，若f (x )的最大值为1.(1)求m 的值，并求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若f (B )＝3－1，且3a ＝b ＋c ，试判断三角形的形状．解：(1)f (x )＝2sin 2x ·cos π3＋3cos 2x －m ＝sin 2x ＋3cos 2x －m ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－m . 又f (x )max ＝2－m ，所以2－m ＝1，得m ＝1. 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得到k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． (2)由f (B )＝3－1，得2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3－1＝3－1，所以B ＝π6.又3a ＝b ＋c ，则3sin A ＝sin B ＋sin C ， 3sin A ＝12＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－A ，即sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12， 所以A ＝π3，C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．1．求证：tan α＋1tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝1cos α.证明：左边＝sin αcos α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝sin αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＋cos αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α2cos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α2－αcos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α2cos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2cos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝1cos α＝右边． 故原式得证．2．已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．解：(1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12＋12(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45.cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.所以f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤54π. 故－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1，则0≤f (x )≤2＋12， 所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12.。

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课时分层作业二十三简单的三角恒等变换一、选择题(每小题5分,共35分)1.化简:= ( )A.sin2αB.tan2αC.sin2D.tan2【解析】选D.原式==tan2.2.(2018·沈阳模拟)化简= ( )A.1B.C.D.2【解析】选C.原式====.【一题多解】本题还可以采用如下解法:选C.原式====.3.(2016·浙江高考)设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期( )A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关【解题指南】先利用倍角公式进行化简,再求最小正周期.【解析】选 B.f(x)=sin2x+bsin x+c=+bsinx+c=-+bsin x+c+,其中当b=0时,f(x)=-+c+,此时周期为π;当b≠0时,周期为2π,而c不影响周期.4.已知锐角α,β满足sin α-cos α=,tan α+tan β+·tan αtan β=,则α,β的大小关系是( )A.α<<βB.β<<αC.<α<βD.<β<α【解析】选B.因为α是锐角且sin α-cos α=>0,所以sin α>cos α,即tan α>1,故α>,又因为tan α+tan β=(1-tan αtan β),所以tan(α+β)==,故α+β=,所以α=-β>,故β<,所以β<<α.5.计算:= ()A. B.- C. D.-【解析】选D.原式=-·=·tan =-. 6.(2018·大连模拟)已知f(x)=sin2x+sin xcos x,则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为 ( )A.π,[0,π]B.2π,C.π,D.2π,【解析】选C.因为f(x)=sin2x+sin x·cos x=+sin 2x=sin+.所以函数的最小正周期为T==π,由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).取k=0得-≤x≤,故是f(x)的一个单调递增区间.7.(2018·烟台模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ) (0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数y=f(x)的图象的两相邻对称轴的距离为,则f=A. B. C. D.【解析】选A.因为f(x)=2sin为偶函数,所以φ-=kπ+,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=.又因为f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为,所以T=π,故ω=2.所以f(x)=2sin=2sin=2cos 2x.故f=2cos =.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2017·全国卷Ⅱ）函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为__________ .【解析】根据辅助角公式,可以得到f(x)=2cos x+sin x=sin(x+φ),由于sin(x+φ)的最大值为1,故f(x)的最大值为.答案:9.已知f(x)=2tan x-,则f=________.【解析】因为f(x)=2tan x-=2tan x+2·=+==,所以f===8.答案:810.计算:cos 20°cos40°cos60°cos80°＝________.【解析】原式=cos 20°cos 40°cos 80°=·=.答案:【变式备选】计算:cos ·cos · cos=________. 【解析】原式=-cos cos cos==-.答案:-1.(5分)已知f(x)=,当α∈时,式子f(sin 2α)-f(-sin 2α)可化简为( )A.2sin αB.-2cos αC.-2sin αD.2cos α【解析】选D.f(sin 2α)-f(-sin 2α)=-=-=|sin α-cos α|-|sin α+cos α|.由于α∈时,sin α<cos α<0,所以原式=cos α-sin α+sin α+cos α =2cos α.【误区警示】解答本题容易忽视根据α∈,判断sin α-cos α和sin α+cos α的符号,导致解题错误.2.(5分)函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)的图象关于点对称,则f(x)的单调递增区间为( )A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z【解析】选C.因为f(x)=2sin的图象关于点对称,所以2×+θ+=kπ(k∈Z),故θ=kπ-(k∈Z),又因为|θ|<,所以θ=,即f(x)=2sin,由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k ∈Z),得-+kπ≤x≤-+kπ,故函数f(x)的增区间为(k∈Z).3.(5分)已知13sin α+5cos β=9,13cos α+5sin β=15,那么sin(α+β)的值为________.【解析】将两等式的两边分别平方再相加得169+130sin(α+β)+25=306,所以sin(α+β)=.答案:4.(12分)已知函数f(x)=sin 2x+a·cos 2x(a∈R).(1)若f=2,求a的值.(2)若f(x)在上单调递减,求f(x)的最大值.【解析】(1)因为f=sin +a·cos =2,所以+a·=2.故得:a=1.(2)由题意:f(x)=sin(2x+θ),其中tan θ=,所以函数的周期T=π,且-=,所以当x=时,函数f(x)取得最大值,即f(x)max=f=sin=,所以sin=1,所以θ=+2kπ,k∈Z.所以tan θ==,所以a=3.故得f(x)=2sin.因此f(x)的最大值为2.5.(13分)(2018·青岛模拟)如图,在等腰直角△OPQ中,∠POQ =90°,OP=2,点M在线段PQ上.若点N在线段MQ上,且∠MON =30°,问:当∠POM取何值时,△OMN的面积最小?并求出面积的最小值.【解析】设∠POM=α,0°≤α≤60°,在△OMP中,由正弦定理,得=,所以OM=,同理ON=.故S△OMN=·OM·ON·sin∠MON=×======.因为0°≤α≤60°,所以30°≤2α+30°≤150°,所以当α=30°时,sin(2α+30°)取得最大值为1,此时△OMN的面积取到最小值,即∠POM=30°时,△OMN的面积的最小值为8-4.关闭Word文档返回原板块。

课时跟踪检测(二十三) 简单的三角恒等变换(分A 、B 卷，共2页) A 卷：夯基保分一、选择题1．(2015·洛阳统考)已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B ．－23C.13D.232．(2015·青岛二模)设tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－4D ．43．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点P (2,3)，则tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝( ) A ．－125B.512C.177D ．－7174．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A.118 B ．－118C.1718D ．－17185．cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9＝( ) A ．－18B ．－116C.116D.186．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3二、填空题7．(2014·山东高考)函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 8．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 9.tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为________．10.3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________. 三、解答题11．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π6的值；(2)若sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求f ⎝⎛⎭⎫α2＋π24.12．已知，0<α<π2<β<π，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45. (1)求sin 2β的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值．B 卷：增分提能1．已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值； (2)求β的值．2．已知向量a ＝(sin ωx ，cos ωx )，b ＝(cos φ，sin φ)，函数f (x )＝a ·b ⎝⎛⎭⎫ω＞0，π3＜φ＜π的最小正周期为2π，其图象经过点M ⎝⎛⎭⎫π6，32.(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f (α)＝35，f (β)＝1213，求f (2α－β)的值．3．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)． (1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的取值范围．答案A 卷：夯基保分1．选D ∵cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝1＋sin 2α2，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝23.2．选C 因为tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝14，所以tan α＝53，故tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－4.故选C.3．选D 依题意，角α的终边经过点P (2,3)， 则tan α＝32，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－125， 于是tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝1＋tan 2α1－tan 2α＝－717. 4．选D cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α 代入原式，得6sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α， ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16， ∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝－1718. 5．选A cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9 ＝cos 20°·cos 40°·cos 100° ＝－cos 20°·cos 40°·cos 80° ＝－sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－12sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－14sin 80°·cos 80°sin 20°＝－18sin 160°sin 20°＝－18sin 20°sin 20°＝－18.6．选D 依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32. 故β＝π3.7．解析：y ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12， 所以其最小正周期为2π2＝π.答案：π8．解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.答案：π39．解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1. 答案：110．解析：原式＝3· sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12°＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin (－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3.答案：－4 311．解：(1)f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 2π6＋sin π6cos π6 ＝⎝⎛⎭⎫322＋12×32＝3＋34.(2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x ＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x ) ＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以f ⎝⎛⎭⎫α2＋π24＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π4 ＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3 ＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎫12sin α＋32cos α. 又因为 sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－45，所以f ⎝⎛⎭⎫α2＋π24＝12＋22⎝⎛⎭⎫12×35－32×45 ＝10＋32－4620.12．解：(1)∵cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos π4cos β＋sin π4sin β＝22cos β＋22sin β＝13， ∴cos β＋sin β＝23，∴1＋sin 2β＝29， ∴sin 2β＝－79.(2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β－π4<34π，π2<α＋β<3π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫β－π4>0，cos(α＋β)<0. ∵cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝223，cos(α＋β)＝－35. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)·sin ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝－35×13＋45×223＝82－315.B 卷：增分提能 1．解：(1)∵tan α2＝12，∴tan α＝2tanα21－tan 2α2＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，由⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45⎝⎛⎭⎫sin α＝－45舍去. (2)由(1)知cos α＝1－sin 2α ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，又0<α<π2<β<π，∴β－α∈(0，π)，而cos(β－α)＝210， ∴sin(β－α)＝1－cos 2(β－α) ＝1－⎝⎛⎭⎫2102＝7210， 于是sin β＝sin[α＋(β－α)] ＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝45×210＋35×7210＝22. 又β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴β＝3π4. 2．解：(1)依题意有f (x )＝a·b ＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ＝sin(ωx ＋φ)． ∵函数f (x )的最小正周期为2π， ∴2π＝T ＝2πω，解得ω＝1.将点M ⎝⎛⎭⎫π6，32代入函数f (x )的解析式，得sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝32. ∵π3＜φ＜π，∴π2＜π6＋φ＜7π6， ∴π6＋φ＝2π3，∴φ＝π2. 故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x . (2)依题意有cos α＝35，cos β＝1213，而α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝ 1－⎝⎛⎭⎫352 ＝45， sin β＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝925－1625＝－725，∴f (2α－β)＝cos(2α－β) ＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝⎝⎛⎭⎫－725×1213＋2425×513＝36325. 3．解：(1)∵角α的终边经过点P (－3，3)， ∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α ＝－32＋33＝－36. (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ，∴g (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1， ∵0≤x ≤2π3，∴－π6≤2x －π6≤7π6.∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1， ∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1≤1， 故函数g (x )＝3f ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的取值范围是[－2,1]．。

简单的三角恒等变换测试卷学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ） 1. 若cos (2α−π)sin (α+π4)=√22，则sin α−cos α的值为（ ）A.−√72B.−12C.12D.√722. （中诱导公式）sin 60∘cos (−45∘)−sin (−420∘)cos (−570∘)的值等于（ ） A.√6+√24B.√6−√34C.√6+34D.√6−343. 已知tan α=2，则3sin α−4cos αsin α+2cos α=( ) A.13B.−13C.12D.−124. 在△ABC 中，已知tan A+B 2=sin C ，则（ ）A.tan A cot B =1B.12<sin A ⋅sin B ≤1C.sin 2A +cos 2B =1D.cos 2A +cos 2B =sin 2C5. 已知sin α−3cos αsin α+cos α=2，则tan 2α=( ) A.512 B.43C.34D.−5126. 已知函数f(x)=a sin (πx +α)+b cos (πx +β)，且f(2009)=3，则f(2010)的值是（ ） A.−1 B.−2 C.−3 D.17. 已知复平面内复数z =sin α−i cos α(0<α<π)对应的点P 在直线y =√3x 上，则实数α的值为（ ） A.5π6B.2π3C.π3D.π68. 已知f(x)=sinπ3x，A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}现从集合A中任取两个不同元素s、t，则使得f(s)⋅f(t)=0的可能情况为（）A.12种B.13种C.14种D.15种9. 设A为实数，则下列算式一定正确的是（）A.(cos A+i sin A)2=cos2A+i sin2AB.(cos A+i sin A)2=2cos2A+i sin2AC.(cos A+i sin A)2=cos2A+i sin2AD.(cos A+i sin A)2=cos A+i sin A10. 若sinα−cosαsinα+cosα=12，则tan2α的值为( )A.3 4B. 35C. −34D.311. 已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是()A. B. C. D.12. 设α，β，γ∈(0, π2)，且sinα=sinβ+sinγ，cosβ=cosα+cosγ，则α−β等于（）A.π6B.−π6C.π3D.−π3二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分，）13. 已知tanα=12，则sinαcosα−2sin2α=________．14. 已知函数f(x)=cos2x−4a cos2x2cos2x2的最小值为g(a)，则g(a)=________．15. 若tan θ=12则sin 2θ−cos 2θ2cos 2θ=________．16. 若α,β∈(0,π2)，cos (α+β)=35，sin (α−β)=−513，则cos 2α=________． 三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ， ）17. （10分） 已知sin x =√55，角x 终边在第一象限，求tan x 2的值．18. （12分） 已知cos α=−1517，α∈(π,32π)，求sin 2α，cos α2的值．19.(12分) 计算： (1)sin 5π6cos (−π4)+sin 1π6cos 5π4tan 15∘+√331−√33tan 15∘20.(12分) 阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有 sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β−−−−−−① sin (α−β)=sin αcos β−cos αsin β−−−−−−②由①+②得sin (α+β)+sin (α−β)=2sin αcos β−−−−−−③ 令α+β=A ，α−β=β 有α=A+B 2，β=A−B 2代入③得 sin A +sin B =2sinA+B 2cosA−B 2．（1） 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cos A −cos B =−2sin A+B 2sinA−B 2；（2）求值：sin 220∘+cos 250∘+sin 20∘cos 50∘（提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（1）中的结论）21. （12分） 已知：cos α+β2=45，cos αcos β=cos α+cos β，求：cosα−β2的值．22. （12分）求值：cos10∘⋅tan70∘(√3tan20∘−1)参考答案与试题解析 简单的三角恒等变换测试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） 1.【答案】 C【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】已知等式左边利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理即可求出所求式子的值． 【解答】 解：∵ cos (2α−π)sin (α+π4)=√22(=(sin α+cos α)(sin α−cos α)√22(sin α+cos α)=√2(sin α−cos α)=√22， 则sin α−cos α=12， 故选C ． 2.【答案】 D【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】利用诱导公式把sin (−420∘)和cos (−570∘)转化成−sin 60∘和−cos 30∘，利用特殊角的三角函数值求得问题的答案． 【解答】 解：sin 60∘=√32，cos (−45∘)=cos 45∘=√22，sin (−420∘)=sin (−1×360∘−60∘)=−sin 60∘=−√32，cos (−570∘)=cos (−1×360∘−210∘)=cos 210∘=cos (180∘+30∘)=−cos 30∘=−√32， ∴ 原式=√32×√22−(−√32)(−√32)=√6−34， 故选D ． 3.【答案】 C【考点】三角函数的化简求值将所求式子的分子分母同时除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanα的值代入即可求出值．【解答】解：∵tanα=2，∴3sinα−4cosαsinα+2cosα=3tanα−4tanα+2=3×2−42+2=12．故选C.4.【答案】D【考点】半角公式的运用运用诱导公式化简求值【解析】由于tan A+B2=tanπ−C2=cot C2，结合tan A+B2=sin C可求得cos C=0，从而可从选项中得到答案．【解答】解：∵tan A+B2=tanπ−C2=cot C2=cosC2sin C2=sin C=2sin C2cos C2，cos C2≠0，∴1−2sin2C2=0，即cos C=0，又0<C<π，∴C=π2．∴tan A cot B=tan A⋅tan A，不一定为1，故A不正确；sin A⋅sin B=sin A⋅cos A=12sin2A ≤12故排除B；sin2A+cos2B=sin2A+sin2A不一定为1，排除C，cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1=sin2C，D正确；故选D．5.【答案】A【考点】三角函数的化简求值【解析】切化弦求出tanα=−5，再由正切函数二倍角公式能求出tan2α．【解答】解：∵sinα−3cosαsinα+cosα=2，∴切化弦得sinα−3cosαsinα+cosα=tanα−3tanα+1=2，解得tanα=−5，∴tan2α=2tanα1−tan2α=512．6.【答案】C【考点】三角函数的化简求值【解析】利用f(2009)=3，以及诱导公式化简f(2009)=a sin(2009π+α)+b cos(2009π+β)，求出a sinα+b cosβ=−3，然后化简整理f(2010)，即可求出结果．【解答】解：f(2009)=a sin(2009π+α)+b cos(2009π+β)=a sin(π+α)+b cos(π+β)=−a sinα−b cosβ=3．∴a sinα+b cosβ=−3．∴f(2010)=a sin(2010π+α)+b cos(2010π+β)=a sinα+b cosβ=−3．故选C7.【答案】A【考点】复数的基本概念弦切互化【解析】求出复数对应的点，代入直线y=√3x，化简，利用0<α<π求出实数α的值．【解答】解：由点P在上直线y=√3x上得−cosα=√3sinα可得tanα=−√3，3∵0<α<π∴α=5π，6故选A．8.【答案】B【考点】三角函数的化简求值【解析】对于s值，求出函数的值，然后用排列组合求出满足f(s)⋅f(t)=0的个数．【解答】x，A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，解：已知函数f(x)=sinπ3现从A中任取两个不同的元素s、t，则使得f(s)⋅f(t)=0，=0，满足f(s)⋅f(t)=0的个数为s=3时7个s=3时f(s)=sinπs3t=3时7个，重复1个，共有13个．故选B．9.【答案】 A【考点】三角函数恒等式的证明 【解析】利用复数的运算性质与三角函数的二倍角公式即可求得答案． 【解答】解：∵ (cos A +i sin A)2 =cos 2A +2i sin A cos A +i 2sin 2A =cos 2A −sin 2A +2i sin A cos A =cos 2A +i sin 2A ， 故选A ． 10.【答案】 C【考点】三角函数的化简求值 弦切互化【解析】本题需熟练掌握二倍角公式，根据弦切互化化简求值即可. 【解答】解：sin α−cos αsin α+cos α=tan α−1tan α+1=12， 解得tan α=−3， 则tan2α=2tanα1−tan 2α=61−9=−34，故选C. 11.【答案】 D【考点】三角函数中的恒等变换应用 【解析】将函数f (x )用三角恒等变换化简成正弦型函数，根据整体代换与正弦函数的性质，结合已知建立《的不等量关系，即可求解 【解答】f (x )=2sin ωx ⋅cos 2(ωx 2−π4)−sin 2ωx=sin ωx ⋅[1+cos (ωx −π2)]−sin 2ωx =sin ωx：f (x )在区间[−2π5,5π6]上是增函数，ω>0,−25πω≤56πω∴ 56πa ≤π2,∴ ωω≤35当而时，f(x)取得最大值，解得12≤ω<52综上，12≤ω≤35故选：D．12.【答案】C【考点】三角函数中的恒等变换应用【解析】首先，根据已知条件，得到sinα−sinβ=sinγ，①，cosβ−cosα=cosγ，②然后，两式平方相加，得到cos(α−β)=12，然后，结合角度的范围确定所求的角．【解答】解：∵sinα=sinβ+sinγ，cosβ=cosα+cosγ，∴sinα−sinβ=sinγ，①cosβ−cosα=cosγ，②根据①2+②2，得2−2cos(α−β)=1，∴cos(α−β)=12，∵α，β∈(0, π2)，∴−π2<α−β<π2，结合②知，β<α，∴α−β>0，∴0<α−β<π2，∴α−β=π3，故选：C．二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】【考点】弦切互化【解析】先给sinαcosα−2sin2α加上分母1，即sinαcosα−2sin2αsin2α+cos2α，然后分子分母同时除以cos2α即可得到关于tanα的关系式，进而得到答案．【解答】解：∵tanα=12,∴ sin αcos α−2sin 2α =sin αcos α−2sin 2αsin 2α+cos 2α=tan α−2tan 2αtan 2α+1=12−2×1414+1=0.故答案为：0. 14. 【答案】 {1−4a(a >1)a +2a −2(a ≤1)【考点】三角函数中的恒等变换应用 【解析】利用二倍角的余弦公式吧原函数化为关于cos x 的函数，然后分函数是二次函数及一次函数分类讨论求得最小值，整合后得答案． 【解答】解：f(x)=cos 2x −4a cos 2x2cos 2x2=cos 2x −a(2cos 2x2)2=cos 2x −a(1+cos x)2=2cos 2x −1−a −2a cos x −a cos 2x =(2−a)cos 2x −2a cos x −1−a ． 当a =2时，f min (x)=−7．当1<a <2时，f min (x)=1−4a ． 当a ≤1时，f min (x)=a+2a−2．当a >2时，f min (x)=1−4a ．综上，g(a)={1−4a(a >1)a+2a−2(a ≤1)．故答案为：{1−4a(a >1)a+2a−2(a ≤1)．15.【答案】【考点】三角函数中的恒等变换应用 【解析】根据同角三角函数的基本关系，要求的式子即tan θ−12，再把tan θ=12代入运算求得结果． 【解答】解：若tan θ=12，则sin 2θ−cos 2θ2cos 2θ=2sin θcos θ−cos 2θ2cos 2θ=tan θ−12=0，故答案为 0．16. 【答案】5665【考点】 角的变换求两角和与差的正弦 【解析】由于(α+β)+(α−β)=2α，结合α,β∈(0,π2)，cos (α+β)=35，sin (α−β)=−&513α−βα可利用两角和的余弦公式解决． 【解答】解：∵ α,β∈(0,π2)，∴ −π2<α−β<π2，0<α+β<π，又cos (α+β)=35，sin (α−β)=−513，∴ sin (α+β)=45，cos (α−β)=1213，∴ cos 2α=cos [(α+β)+(α−β)]=cos (α+β)⋅cos (α−β)−sin (α+β)⋅sin (α−β)=35⋅1213−45⋅(−513)=5665． 故答案为：5665．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ） 17. 【答案】 ∵ sin x =√55，角x 终边在第一象限，∴ cos x =2√55∴ tan x 2=1+cos x sin x=2+√5．【考点】任意角的三角函数 半角公式 【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos x 的值，再利用半角公式求得tan x x2的值． 【解答】 ∵ sin x =√55，角x 终边在第一象限，∴ cos x =2√55∴ tan x 2=1+cos x sin x=2+√5．18. 【答案】解：∵ cos α=−1517，α∈(π,32π)， ∴ sin α=−√1−cos 2α=−817， ∴ sin 2α=2sin αcos α=240289；由α∈(π,32π)可得α2∈(π2, 3π4)，∴ cos α2<0，再由cos α=2cos 2α2−1=−1517可解得cos α2=√1717【考点】求二倍角的正弦 半角公式的运用【解析】由同角三角函数基本关系和角的范围可得sin α，由二倍角正弦可得sin 2α，又可得cos α2<0，由半角公式可得． 【解答】解：∵ cos α=−1517，α∈(π,32π)， ∴ sin α=−√1−cos 2α=−817， ∴ sin 2α=2sin αcos α=240289； 由α∈(π,32π)可得α2∈(π2, 3π4)， ∴ cos α2<0，再由cos α=2cos 2α2−1=−1517可解得cos α2=√171719.【答案】 【考点】三角函数的积化和差公式 三角函数的和差化积公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 20.【答案】解 （1）证明：因为cos (α+β)=cos αcos β−sin αsin β，------① cos (α−β)=cos αcos β+sin αsin β，------②…①-②得cos (α+β)−cos (α−β)=−2sin αsin β．------③… 令α+β=A ，α−β=B ，有 α=A+B 2，β=A−B 2，代入③得 cos A −cos B =−2sinA+B 2sinA−B 2．…（2）sin 220∘+cos 250∘+sin 20∘cos 50∘=1+12(cos 100∘−cos 40∘)+12(sin 70∘−sin30∘)…=1−sin70∘sin30∘+12sin70∘−12sin30∘=34．…【考点】三角函数的积化和差公式三角函数的和差化积公式【解析】（1）把两角和的余项公式减去两角差的余项公式，再把α+β=A，α−β=B代入化简可得结论．（2）利用半角公式以及积化和差公式化简要求的式子，即可求得结果．【解答】解（1）证明：因为cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ，------①cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ，------②…①-②得cos(α+β)−cos(α−β)=−2sinαsinβ．------③…令α+β=A，α−β=B，有α=A+B2，β=A−B2，代入③得cos A−cos B=−2sin A+B2sin A−B2．…（2）sin220∘+cos250∘+sin20∘cos50∘=1+12(cos100∘−cos40∘)+12(sin70∘−sin30∘)…=1−sin70∘sin30∘+12sin70∘−12sin30∘=34．…21.【答案】解：cosαcosβ=cosα+cosβ，可得12[cos(α+β)+cos(α−β)]=2cosα+β2cosα−β2即：12[2cos2α+β2−1+2cos2α−β2−1]=85cosα−β2令cosα−β2=t上式化为：t2−85t−925=0 t=−15．所以cosα−β2=−15．【考点】三角函数的化简求值三角函数的和差化积公式【解析】通过积化和差与和差化积化简cosαcosβ=cosα+cosβ，利用二倍角公式求出cosα+β2与cosα−β2的关系式，然后求出cosα−β2的值．【解答】解：cosαcosβ=cosα+cosβ，可得12[cos(α+β)+cos(α−β)]=2cosα+β2cosα−β2即：12[2cos 2α+β2−1+2cos 2α−β2−1]=85cosα−β2令cosα−β2=t 上式化为：t 2−85t −925=0 t =−15．所以cos α−β2=−15．22.【答案】 −1【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】先把切转化成弦，进而利用诱导公式，两角和公式和二倍角公式对原式进行化简整理，求得答案． 【解答】解：tan 70∘cos 10∘(√3tan 20∘−1) =2cot 20∘cos 10∘(√3sin 20∘cos 20∘−1)=2cot 20∘cos 10∘(√32sin 20∘−12cos 20∘)1cos 20∘=2cos 20∘sin 20∘cos 10∘(sin 20∘cos 30∘−cos 20∘sin 30∘)1cos 20∘=−2sin 10∘cos 10∘sin 20∘=−1。