2013年全国大学生数学建模竞赛创意折叠桌完整版论文

B 题 创意平板折叠桌摘 要本文针对折叠桌的特点，将其抽象成简单的数学模型，按题目中的要求，应用立体几何图形和运筹学的方法建立数学模型并求解.对问题一，依据题目中的数据应用Ｍatlab 和Soli ｄW ｏrks 软件，对折叠桌的运动过程进行动态模拟和分析,然后将该折叠桌抽象成立体几何图形建立模型,应用几何图解法和向量法，对折叠桌的桌腿长和桌腿木条开槽的长度进行求解得到开槽长度为：对问题二，折叠桌放置在地面，不考虑木条的形变时，只有四个边缘桌腿受力,钢筋对各个桌腿的力为零.假设折叠桌与木地面有一定的摩擦力，对桌腿进行受力分析,桌腿只在两个端点处受力,是二力杆，根据木头间的摩擦因数即可得到桌腿发生自锁时桌腿与竖直方向的最大角度21.8。

给折叠桌一个稳定安全因数 1.2s n =，便可得到折叠桌的安全角度=18.44α.根据α大小，桌面高度和圆形桌面直径，可以得到各个桌腿长度。

加工程度考虑木条槽长的总长，因此得到优化目标为加工的木条槽长最短,当桌高7０ ｃm,桌面直径80 cm 时，解得木板长a =16７.４16ｃm 钢筋距边缘桌腿末端的距离为()11=31.1322aL x -+cm 针对问题三，我们在问题一的基础上将其模型进行一般化处理，从桌面边缘线的形状，大小出发,给出软件设计的模型。

在该模型设计的基础上，我们根据自己设定的参数，相应地应用Sol ｉdWorks 设计新型的平板折叠桌,其中有菱形桌面和椭圆型桌面,见图6~图１２。

关键字:立体几何图形 动态模拟 自锁 Sol ｉdW ｏrks一、问题的重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1－2所示）。

桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上,并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度(见图3)。

桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。

附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。

四、问题分析
对于问题 1，首先，我们先求出如何裁剪桌腿，再使用 MATLAB 求出桌腿的 木条长， 进而求出桌腿一组木条的开槽长度，其余桌腿木条的开槽长度与之分别 对称相等。然后，我们根据桌腿木条长，木条宽度等数据求出桌脚边缘每根木条 的坐标，使用 MATLAB 绘出桌脚边缘线的空间坐标图，以及折叠桌的动态变化过 程图。 对于问题 2，我们先对折叠桌的稳定性以及用材最少进行分析，得出使折叠 桌较稳定， 较省材料时桌腿最外侧木条的位置及长度，我们算出制作折叠桌的长 方形平板的尺寸。然后，我们再对加工方便进行分析，得出最佳的开槽位置使开
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可 得 外 面 四 根 木 条 的 长 度 l10 50, 60 。 我 们 取
l10 55cm 。 又折叠桌是中心对称图形， 我们只要求出其中 10 根木条的长度即可。
截取其他 18 根木条如图 2：
图2 图中红色线段为桌腿与桌面的分割点，设 li (i 1, 2,3...9) 为桌腿木条的长度，
li 随 i 的增大而增大。 li 60 22.52 i 1 2.5
故，
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x1 37.5, x2 37.6393, x3 38.0626, x4 38.7868, x5 39.8444, x6 41.2917, x7 43.2295, x8 45.8579, x9 49.6922
二、模型假设
1.假设桌子的四条最长腿两两对称，且桌子由这四条腿支撑。 2.假设桌腿木条的长度可以随意取。
2
3.假设不考虑人为因素对对桌子稳定性的影响。 4.假设在生产过程中的损耗忽略不计。 5.假设所有木材的厚度恒为 3cm。
三、符号说明
a : 长方形平板的宽（单位：cm） a0 : 每根木条的宽度（单位：cm） n : 桌腿的木条根数（单位：根） li : 桌腿木条的长度，其中i =1,2,3...10(单位：cm) Li : 空槽长，即桌腿木条开槽的长度，其中i 1, 2,3...10 （单位：cm） b : 长方形平板的长 单位：cm r : 圆形桌面的半径 单位：cm

65511 数学论文构建创意平板折叠桌的数学模型一、模型假设折叠后的桌面为理想圆，光滑平整，且桌面上的木条间无间隙钢筋与开槽内壁之间无摩擦将木条抽象为线段，不计木条的厚度二、符号说明序号符号符号意义1r桌面半径2h桌子高度3N桌腿的根数4b每根木条的宽度5p铺平时木条的铰链到x轴的距离6q桌子长度的一半7α第一根木条与桌面间的夹角8y（r）第一根木条的铰链之间的距离的一半9y（t）不忽略y（r）时木条的铰链对应的纵坐标10legL（t）桌腿长度三、模型的建立与求解3.1几何分析模型考虑桌面折叠后最边缘的木条长度，建立空间直角坐标系，取每根木条的中心线作为取值点，y轴的取值范围为[-r+d/2，r-d/2]，取值间隔为d，桌面圆的参数方程为：y（t）=tx（t）=r2-t2腿长度为：legL（t）=q-x（t）图1XOZ平面图如图所示，B点为钢筋轴在XOZ平面投影的位置，A点为t0=-r+d/2时所对应的x轴函数值，即此时有：x（t0）=r2-（-r+d/2）2。

在ΔABD中，BD=ABsinα，即可得钢筋轴竖坐标z1（t）=-gsinα同理，由AD=ABcosα，得钢筋轴横坐标x1（t）=x（t0）+gcosα在ΔCBD中，tanβt=BDCD，故βt=arctan-z1（t）x1（t）-x（t）在ΔCEQ中，EQ=CEcosβt，QE=CEsinβt故桌脚边缘线的横坐标为x2（t）=x（t）+legL（t）cosβt桌脚边缘线的竖坐标为z2（t）=-legL（t）sinβt使用MATLABR2012b绘制折叠桌在折叠过程中的动态变化示意图，如下：图2折叠桌在折叠过程中的动态示意图3.2参数方程的建立3.2.1木条铰链参数方程设计的木条宽度不一样，那么折叠桌的桌腿数目也会随之改变。

将桌面近似为一个半径为r的圆。

那么将每根木条铰链处对应横坐标视为一个关于参数t的渐变连续的函数。

设N为桌腿的根数，b为每根木条的宽度，则有关系式：N=rb即，b=rN由勾股定理知，铰链的纵坐标满足关系式y（t）2+（i-1Nr）2=r2由此化简可得出铰链的参数方程为x（t）=ty（t）=r2-[（i-1）b]23.2.2桌角边缘线参数方程的建立上述几何模型中求的桌角边缘线参数方程，忽略了将平板折叠后，最长木条铰链间的距离。

B 题 创意平板折叠桌摘 要本文针对折叠桌的特点，将其抽象成简单的数学模型，按题目中的要求，应用立体几何图形和运筹学的方法建立数学模型并求解。

对问题一，依据题目中的数据应用Matlab 和SolidWorks 软件，对折叠桌的运动过程进行动态模拟和分析，然后将该折叠桌抽象成立体几何图形建立模型，应用几何图解法和向量法，对折叠桌的桌腿长和桌腿木条开槽的长度进行求解得到开槽长度为：对问题二，折叠桌放置在地面，不考虑木条的形变时，只有四个边缘桌腿受力，钢筋对各个桌腿的力为零。

假设折叠桌与木地面有一定的摩擦力，对桌腿进行受力分析，桌腿只在两个端点处受力，是二力杆，根据木头间的摩擦因数即可得到桌腿发生自锁时桌腿与竖直方向的最大角度21.8。

给折叠桌一个稳定安全因数 1.2s n =，便可得到折叠桌的安全角度=18.44α。

根据α大小，桌面高度和圆形桌面直径，可以得到各个桌腿长度。

加工程度考虑木条槽长的总长，因此得到优化目标为加工的木条槽长最短，当桌高70 cm ，桌面直径80 cm 时，解得木板长a =167.416cm 钢筋距边缘桌腿末端的距离为()11=31.1322aL x -+cm 针对问题三，我们在问题一的基础上将其模型进行一般化处理，从桌面边缘线的形状，大小出发，给出软件设计的模型。

在该模型设计的基础上，我们根据自己设定的参数，相应地应用SolidWorks 设计新型的平板折叠桌，其中有菱形桌面和椭圆型桌面，见图6～图12。

关键字：立体几何图形 动态模拟 自锁 SolidWorks一、问题的重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1-2所示）。

桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度（见图3）。

桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。

附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。

碎纸片的拼接复原摘要本文主要解决碎纸片拼接复原问题。

利用附件所给碎纸片的数据，运用蚁群优化算法、Adaboost算法、Harris角点检测算法，利用Matlab软件编程求解，得到碎纸片拼接复原结果。

针对问题一，依据文字所在行的几何特征，先将文字进行二值化处理，得到文字的数据信息。

运用蚁群优化全局匹配方案完成整体匹配，利用回溯的Best-First搜索算法，得到最佳候选匹配对，由于碎纸片形状相似，Best-First搜索算法会大大降低拼接效率，最后建立蚁群优化算法模型对复原结果进行优化，得到中、英文拼接复原图（见附录一）及顺序表（见表2、表3）。

针对问题二，先对附件3、附件4中的碎纸片进行像素特征分析，将每一个矩形像素特征区域的白色区域设为0、黑色区域设为1，利用Adaboost算法对碎纸片进行分类处理，再依据矩形像素特征进行匹配，得到拼接复原中文、英文图片。

对每次匹配循环进行人工干预得出碎纸片的拼接复原顺序图（见附录二）及顺序表（见表4、表6）。

针对问题三，在对比经典角点检测算法的基础上，利用附件5中图片的信息，运用Harris角点检测的多层匹配图像拼接算法，得到图片的角点信息。

采用标准互相关联法和互信息法对Harris角点进行粗匹配，之后根据特征点周围的边缘信息过滤为匹配点，再用RANSAC进行精确匹配，得到一幅完整的拼接复原图像。

最后，运用神经网络边缘检测算法进行优化，快速的获取准确的碎纸片的拼接复原顺序图（见附录三）及顺序表（见表8、表9）。

关键词：蚁群优化算法 Adaboost算法 Harris角点检测神经网络1 问题重述破碎文件的拼接在司法物证复原、历史文献修复以及军事情报获取等领域都有着重要的应用。

传统上，拼接复原工作需由人工完成，准确率较高，但效率很低。

特别是当碎片数量巨大，人工拼接很难在短时间内完成任务。

随着计算机技术的发展，人们试图开发碎纸片的自动拼接技术，以提高拼接复原效率。

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图 1 三维空间坐标平面 为了描述折叠的动态效果，将第一条桌腿与 Z 轴的夹角定义为 ，表示折叠的程度， 的变化范围 为 ， [900,00] 如图 3 所示。
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4.3 问题分析 4.3.1 桌脚直纹曲面
根据折叠桌的动态变化过程的视频材料分析，给 定长方形平板尺寸、高度和钢筋位置时，当折叠角度 变化的情况下，桌腿桌脚边缘线的变换规律，最外最 长的桌脚作为支撑点着地，其余桌脚悬空，距离中心 越近的桌脚悬空和旋转的角度越大；由于连接桌腿木 条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置固定 （30cm 处），为了能够形成折叠角度，只要设计合适

创意平板折叠桌摘要本文针对给出创意平板折叠桌的桌子高度和桌面直径，为得出最优设计加工参数以及最优选材等问题建立数学模型并求解。

针对问题一，定义圆的弦长方向与木板的长度方向平行，利用弦长公式计算出除最外围木条其余圆周内木条的长度，将所求的木条长度导入到Matlab软件中使用cubic方式拟合曲线，求出最外围木条的长度。

为描述动态变化过程，引用等效替代的思想，建立模型，用桌腿与桌子高度间的夹角变换客观明确的表现出折叠过程中的动态变化。

根据以上数据求出折叠桌的设计加工参数以及桌脚边缘线。

针对问题二，在不影响到外形美观度的基础上，先以用材最少为目标函数，用稳定性好和加工方便为约束条件，建立优化模型，使用Lingo软件编程求出部分参数最优解，根据求出的最优解系统计算汇总得出所求创意平板折叠桌的最优设计加工参数。

针对问题三，此问是要建立设计加工参数的通解，需要考虑不同的桌面形状，建立不同的模型，在输入数据时先判断属于哪个桌面形状，任意给出折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，利用建立的模型求解其设计加工参数，绘制动态变化过程示意图。

关键词：创意平板折叠桌；拟合；最优化模型；空间几何一、问题重述创意平板折叠桌在外型新颖、造型美观的基础上，还要全面考虑折叠桌制作的稳固性、加工时长以及用材量。

在已知桌高和桌面直径的条件下，建立数学模型，快速且精确的算出最优的设计加工参数。

就已知折叠桌桌高以及桌面直径的情况下，建立数学模型分析研究下面的问题：（1）根据所给的已知条件，建立数学模型，来描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。

（2）在造型美观的前提下，考虑稳固性，加工方便，用材等影响因素，在已知桌高和桌面直径的情况下，建立数学模型，确定最优设计加工方案。

（3）根据任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近所期望的形状。

创意平板折叠桌的建模与分析孙发军;张猛;杜月浩;曾良如【摘要】为解决目前市面上出现的一种创意折叠桌的自动设计问题,先讨论了简单常用圆形折叠桌的建模问题,用微元法通过桌面边缘点及桌面与桌脚夹角的关系建模得到折叠桌桌脚的动态变化模型.由此可求出圆形折叠桌的开槽位置及长度等加工参数.随后从稳固性、加工便利性、耗材等方面讨论了加工参数的优化设计.发现对于桌面形状任意的创意折叠桌,只要用户给出桌面边缘曲线,都可以建模计算出一组稳固性、耗材和耗工优化的加工参数,并以椭圆形折叠桌为例讨论了给定高度和宽度的椭圆折叠桌的建模计算.最后,讨论了折叠桌的建模仿真并给出了关键仿真代码.【期刊名称】《怀化学院学报》【年(卷),期】2015(034)011【总页数】7页(P24-30)【关键词】折叠桌;优化模型;加工参数;Matlab仿真【作者】孙发军;张猛;杜月浩;曾良如【作者单位】怀化学院数学与计算科学学院, 湖南怀化418008;怀化学院数学与计算科学学院, 湖南怀化418008;怀化学院数学与计算科学学院, 湖南怀化418008;怀化学院数学与计算科学学院, 湖南怀化418008【正文语种】中文【中图分类】O242.1目前市场上出现一种创意平板折叠桌［1］，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板.桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度.桌子外形由直纹曲面［2］构成，造型美观.为实现其批量和定制生产，我们需要为其建立求解加工参数的数学模型，以便可据给定板材的长宽设计出满足用户需求的各种创意桌来.目前已有众多建模爱好者对其展开研究，如安徽财经大学的朱家明、西安航空学院的刘睿等人的研究［3，4］，但现有这些研究建立的模型多为连续模型不利于数值计算，计算速度较慢，且桌腿多为2D仿真，仿真效果不够逼真.为了建立求解速度更快的离散模型及得到高逼真的3D仿真，我们分成以下三方面来建模求解：1）根据给定的长方形平板尺寸的相关数据来建立给定高度圆型折叠桌的数学模型，并求解计算出折叠桌的设计加工参数（例如桌腿木条开槽的长度）和桌脚边缘线的数学描述.2）从产品稳固性好、加工便利、用材少等方面对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等.3）根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状.2.1 特定圆形折叠桌的分析为方便问题的分析讨论，我们以桌底面中心为原点，xoy平面与桌底面重合，且x 轴垂直木条指向桌面外侧，y轴平行桌面指向桌子左侧，z轴指向桌子下方，建立三维坐标.首先需要建立模型描述该折叠桌的动态变化过程，即需要给出桌脚所在直纹曲面在折叠过程中的变化，为了简化问题的求解，我们采用微元法，外侧桌角与桌面的夹角α为参考，用桌角底边缘点Li的变化来描述变动的过程，首先假定桌面圆形恰好切中桌面两侧的短木条，且通过每根木条的中心点，如图1所示.则由圆桌面半径r及木条的宽度ws，可计算出最短木条一半的长度，从而确定图1中最下边木条右底端中心点D0的坐标；按同样的方法确定D0，D1…Dn（问题中n＝19）的坐标，事实上不只是圆，对于能给出极坐标的曲线，都是很容易确定出D0，D1…Dn的坐标，即便是任意绘制的曲线，只要用木条去微分，使桌缘边线过木条两端中心，也很方便求出端点坐标，这样更利于我们第三问的求解.求得D0后可由之得出最外边的桌腿的长度lf0，即为平板长的一半减去D0的y坐标，从而根据桌腿侧面图（如图2），计算出外边桌腿与桌面夹角α的值.为了确定桌脚的边缘线，可先求出桌脚顶端点Di和钢筋连接点Si的坐标，由之再根据桌腿长lf求出桌腿边缘点的坐标，由这些点的坐标即拟合出桌脚边缘线的数学描述.而桌脚顶端与桌面边缘点坐标相同，只需求钢筋所在点坐标即可.又由于钢筋是平行于xoy平面且与x轴平行，与y轴、z轴垂直的直线，由题意钢筋固定在桌腿前外侧木条的中心位置，故由图2可知能求出该直线的方程，进而由木条的x 坐标求出相应的y坐标获得钢筋与各木条中点的交点坐标，此后，因桌脚边缘的点都在Di和Si点组成的直线上，因此容易由之利用腿长求得Li的坐标.再利用平铺时钢筋的起始位置和支起时钢筋所在位置的差值即可求出木条开槽长度、起始开槽位置、桌缘切割位置.最后由Li的坐标可以拟合出桌脚底端边缘线.同时据所求数据即可用Matlab模拟出所设计的桌子.2.2 圆形折叠桌的优化设计分析然后我们从产品稳固性、加工便利性、耗材等方面讨论折叠桌的最优设计模型，具体分析如下.2.2.1 稳固性分析稳固性好主要可以从往桌上搁置重物时桌子的稳固性来考虑，主要可以考虑桌子是否侧翻和坍塌.对于侧翻主要考虑往脚折叠的两侧侧翻（即图1中的y轴方向），坍塌则是指折叠脚向两侧收回成平板的情况.而考虑通过调整桌脚与桌面的夹角来确保不会坍塌，或坍塌可能性要小些，很明显当α＝90°，即桌脚与桌面垂直时，受力最大，不易坍塌，但侧翻可能性大，而当α较小时则容易因受重坍塌.故为简化模型，我们考虑两侧桌脚长度比桌面直径2r大时，我们认为桌子底盘稳固，不易侧翻，本文中取相等来计算.2.2.2 加工便利性分析因桌面锯腿每种设计方式都是必须工序，所以加工方便也就是考虑桌腿开槽的长度，槽越长愈费工，愈短愈省工.但要注意的是槽长影响到角度α，进而影响到桌子底盘大小，槽开的愈短，愈可能坍塌，愈长时则可能侧翻，所以也应适中为好.2.2.3 耗材分析对于指定桌面宽度的桌子，其用材就只决定于平板长度了，而用材需要根据桌高和角度及槽长来确定.桌越高，平板需要越长，角度α越小则要达到相同高度时需要的平板也越长.2.3 折叠桌设计软件的建模分析由题意要求设计出的软件数学模型能根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状可以计算出桌缘各木头的截断点，再由钢筋直线可求出桌脚下缘线，进而可以求出开槽的长度等设计加工参数［5］.事实上，我们问题一中的分析表明，该题中建立的模型可适用于本问题的解决，只是要把圆曲线替换成客户任意设定的桌面边缘线即可.3.1 模型假设（1）假设桌子立起后有锁栓等将中间桌脚锁定；（2）假设桌子的木条为无缝对接.3.2 符号和相关术语说明4.1 特定圆形折叠桌的建模及求解4.1.1 圆形折叠桌的建模设平板长度为lD，钢筋位置在Si，则可由迭代式（1）可求出桌面边缘点的坐标：由桌脚顶点和桌面边缘点重合有：钢筋直线方程为：则由Di和Si的坐标可求出Li的坐标，首先由式（4）、（5）计算出如图2.4所示的l1，l2：假设Di，Si，Li的坐标分别为（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），（x3，y3，z3），为方便计算，不妨令l1＝｜DiSi｜，l2＝｜SiLi｜同理可求出y3，z3.由上式可计算出折叠桌的动态变化过程Li的坐标如下：4.1.2 圆形折叠桌的模型求解不妨设长方形平板尺寸为120×50×3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm.依据式（1）－（7），可以求得开槽长度、位置及桌缘切割位置等设计加工如表1所示.求得折叠桌的动态变化过程如图3所示.并用Matlab拟合［6］可求出桌脚边缘线的数学描述为：其图形如图4所示.4.2 圆形折叠桌的优化设计建模与求解4.2.1 优化设计建模问题二优化模型的建立主要从稳固性、加工便利性、耗材等方面考虑：1）考虑稳固性由问题分析可知，取两脚外缘边距离为桌面宽度，使得下边四脚位于正方形的四个顶点上，此时最稳固且不占空间，所以有：如图2所示，减2*ws是因为wD包括两脚木方的厚度，从而确保四脚处于完全的正方形.2）考虑加工便利性即要使得槽长lg尽可能小，设η为钢筋分桌脚的位置，，如η＝0.3时，即钢筋分脚下边的长度lp＝0.3 lf，由、有：3）考虑耗材最少也即要使得lD达到最少：但若确定了稳固性，lD可由式求出.4.2.2 优化设计求解对于桌高70 cm、桌面直径80 cm的情形，利用式－可以求解得到最优设计加工参数，我们解得的最优方案是四边桌脚呈正方形且相距80 cm时为最优，此时解得平板长度为：则平板尺寸为：163.37×80×3 cm钢筋位置为：距平板两端29.3 cm开槽长度、位置及桌缘切割位置如表2所示.4.3 任意创意折叠桌的建模与求解4.3.1 创意折叠桌的建模实际上，对于任意设定折叠桌高度在4.1、4.2节中的模型即可解决，而对于任意桌面边缘线只需要把半径r替换成相关的曲线方程，利用微分即可求出桌面边缘为任意曲线的折叠桌，并可利用Matlab软件仿真出真实折叠桌，我们设计的仿真部分程序如第5部分所示.4.3.2 创意折叠桌的求解利用我们建立的创意折叠桌模型对客户要求的椭圆桌进行建模计算可得到加工参数如表3所示，并可模拟得如图5所示的仿真结果.为方便读者进行类似研究，本文给出桌腿位置参数计算及绘制关键Matlab［6］代码.为了解决创意折叠桌的优化设计问题，本文首先从简单常用的圆形折叠桌出发探讨折叠桌脚动态变化的模型建立，通过使用微元法将桌脚直纹曲面的变化巧妙的转换成每个脚独立的桌脚面离散变化模型，该模型简单易行，便于用Matlab编程仿真实现和求解，故对于给定的桌高和板材长度我们可以轻易求出该桌子的加工参数，并对该加工参数分析了优化设计方案.分析中发现只要用户能给出桌面边缘的曲线方程，我们即可利用圆形折叠桌的加工参数求法计算出任意用户指定的折叠桌的加工参数.并在最后给出了该折叠桌的仿真代码，方便了创意折叠桌的自动化设计和生产.但该模型假设桌子撑起后以铰链固定，省略了受力分析，实际情况中受各种因素的限制和影响，该模型的假设不一定成立，这将是我们下一步工作.【相关文献】［1］韩佳成，Robert Van Embricqs.平板折叠边桌［J］.设计，2012（8）：24.［2］蔡国梁，李玉秀，王世环.直纹曲面的性质及其在工程中的应用［J］.数学的实践与认识，2008，38（8）：100－102.［3］侍冰雪，朱家明，朱韶东，等.创意平板折叠桌优化设计方案［J］.浙江科技学院学报，2014：26（6）：429－435.［4］刘睿，张蒙，张政.创意平板折叠桌优化设计［J］.西安航空学院学报，2015，33（3）：65－71.［5］赵洪斌，吴知丰，谢礼立.自锁式平板折叠网架折展过程参数设计［J］.哈尔滨工业大学学报，2007，39（8）：1202－1204.［6］胡守信，李柏年.基于MATLAB的数学实验［D］.北京：科学出版社，2005.。

创意平板桌摘要本题目中提供了若干折叠桌的图片，需要利用数学软件进行创意设计。

对本文中的三个问题，利用MATLAB软件(由美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分，详细介绍请见附录1)，对图片进行灰度分析，转化为数据分析，并通过对matlab编程，在matlab中选出最优解，最后利用3dmax绘图，实现平板桌的设计。

本文根据题目所给知识，利用运筹学基础理论、相关的数学建模知识以及相应的计算机软件，解决了如下问题：问题1：由对每根木条长度的精确计算，建立折叠桌的动态模型，并计算出桌腿木条开槽的长度和桌脚边缘线等折叠桌的设计参数。

针对图中创意折叠桌：利用MATLAB对图片进行处理，转变为具体的空间直角坐标系，其中蓝色代表木条，棕色代表桌面，红色代表桌角边缘线（详细介绍请见附录2），空间直角坐标系中由最后数字的确立，即为视频中最后一张图片的演示结果。

利用勾股定理法，使用CAD语言程序统计出剩下第一张图片和最后一张图片的所有木条个数，使其折叠桌的设计原理更加鲜明。

建立由MATLAB进行编辑的的数学模型，木条分别为L1，L2，……，L20，再重复利用上述算法，找出折叠桌的各项参数。

问题2：先对桌子进行与问题1相同的参数计算。

但由于要在70 cm，桌面直径80 cm 的情形，确定最优设计加工参数。

在计算的时候应考虑更多的稳固性、加工方面、用材的信息。

这里除了计算参数外，另外引用折叠结构设计基本几何参数这个概念进行再次验证，以减小误差。

最后再对得到的桌子参数进行人工验证(人工干预)，最大程度减小误差。

问题3：在问题二的理论分析验证的基础上，已经建立起最优化的数学模型，为了满足客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，应用MATLAB进行不断更新换算程序，得出八个时刻八张动态折叠桌折叠过程，（详细介绍请见附录3），使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。

创意平板折叠桌摘要本文围绕着平板折叠桌的最优加工参数问题，设计了不同的模型和算法。

主要利用几何分析和空间向量运算，运用MATLAB软件，模拟了折叠桌的动态变化过程，求解出了给定条件下的加工参数，并给出了桌脚边缘线的数学描述。

问题一，折叠桌的圆形桌面存在外截和内截两种不同的截法。

经计算得到：圆形桌面的最外侧桌腿长度150()l h cm>=，因此排出外截法，并记录了内截法下桌面内各木条的长度。

分析了桌腿木条开槽产生的机理（见图5），并由勾股定理求出了桌子在收纳和展开两种状态下，钢筋所处的位置（槽线纵坐标），得出了桌腿木条开槽长度等于两个状态下钢筋的位置之差。

利用MATLAB软件求解出了桌腿长度、桌腿倾角、斜边等各加工参数（见表1）及桌腿末端点的空间坐标（见表2），模拟出了折叠桌的动态变化过程（见图7，程序见附录1）。

问题二，从稳固性、加工方便、用材最少三个方面考虑。

首先分析切割与和开槽的总费用，求出当其最小时，木条的最优宽度。

然后对桌子受力分析得到：当桌腿水平方向总的合力为零时，折叠桌的稳固性最好。

设比例系数k为钢筋位于在最外侧桌腿处的长度与最外侧桌腿长度之比，求解k与各加工参数的关系。

根据木板长度与k的关系，求出当0.65k=时，木板长度最小，木板尺寸为168.58803cm cm cm⨯⨯，此时桌子的耗材最少。

最后利用MATLAB软件模拟此桌子从平铺状态运动到稳定状态的变化过程。

问题三，在空间坐标系中，首先根据用户要求，建立了最接近客户所期望形状的数学描述模型，求出了任意尺寸平板的桌腿木条长度与平板长度和钢筋到圆心距离的函数关系。

根据空间三维向量的运算关系，推出了桌角边缘线与钢筋到桌面的距离和钢筋到桌腿末端距离的参数方程，并以该参数方程为桥梁，在满足客户的要求前提下，以产品的稳固性、加工方便、用材最少为目的，求出平板折叠桌的尺寸。

在该模型下，本文设计出了心形的折叠桌，并给出了10张动态变化示意图。

数学模型的创意平板折叠桌优化设计研究随着的和进步，能够有效节省空间的创意平板折叠桌应运而生，它不仅可以满足人们对空间的需求,而且能够有效节省空间.那么,如何进行创意平板折叠桌数学模型的优化设计呢？XX数学模型的创意平板折叠桌优化设计研究篇一：XXXX本文针对创意平板折叠桌的设计问题，应用几何思想,通过建立桌面半径和长度、钢筋位置相应的数学模型，描述了折叠桌的动态变化过程。

同时，对折叠桌的设计加工参数等进行了数学描述。

最后通过Lingo和Maｔlab软件编程给出了最优加工参数。

折叠桌；非线性规划模型;几何思想；Lingo和Matlaｂ软件XX随着的不断进步,城市化进程的,高楼大厦密集,城市道路八达，但是与此同时，用地紧张、生存空间拥挤等问题也接踵而来,**行**业都开始广泛关注空间的有效利用,尽可能地节省空间。

空间对于人们的生活环境在功能性和实用性上有着举足轻重的作用,它是蕴含丰富、用之不竭的宝贵**。

当然，一块木板变成一张桌子,通过对折叠桌的动态变化过程的分析与研究（如图１所示），我们需要解决以下三个问题:问题1:建立模型描述此折叠桌的动态变化过程,在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述.问题2:对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数:平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。

问题3：根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数。

XX1模型准备XX1．1问题分析通过观察折叠桌的动态变化过程，我们发现折叠桌的变化是一个复杂的过程,由平板到立体折叠桌的过程中主要与折叠桌的条数、木条的长度、桌面距离地面的高度、**木条折叠的角度、开槽长度、**木条折叠角度变化的范围、钢筋位置等有关。

同时,又要考虑到加工过程所造成的误差，模型建立过程理想化部分对折叠过程中的影响,以及折叠桌轻巧方便、美观**、加工方便、用材最少、稳固性好、功能性强的特点.分析折叠桌结构可以发现:在折叠桌打开的过程中，随着最外侧的桌腿与地面夹角的不断变化,每根桌腿与地面之间的角度也都发生了改变，通过它们之间的变化关系,可以写出相关方程式并建立非线性规划数学模型对折叠桌的动态变化过程加以描述。

２01４高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》(以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载)。

我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为,我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示(包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等)。

我们参赛选择的题号是(从Ａ/B/C/Ｄ中选择一项填写)：B我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）:所属学校（请填写完整的全名)：参赛队员(打印并签名) :1.2．3．指导教师或指导教师组负责人(打印并签名):ﻩ（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致,只是电子版中无需签名。

以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。

如填写错误，论文可能被取消评奖资格。

)日期： 20１4 年 9 月15日赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号）:２０14高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号): 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）:创意平板折叠桌摘要目前住宅空间的紧张导致越来越多的折叠家具的出现。

某公司设计制作了一款折叠桌以满足市场需要。

以此折叠桌为背景提出了三个问题,本文运用几何知识、非线性约束优化模型等方法成功解决了这三个问题，得到了折叠桌动态过程的描述方程以及在给定条件下怎样选择最优设计加工参数，并针对任意形状的桌面边缘线等给出了我们的设计。

创意平板折叠桌论文摘要随着科技的发展，平板电脑成为了许多人的首选电子设备。

为了提高平板电脑的使用便利性，我们设计了一款创意平板折叠桌。

该桌子可以方便地将平板电脑与桌面结合，提供了更加舒适的使用体验。

本文将介绍该平板折叠桌的设计原理、结构和功能，并讨论了其应用前景和市场潜力。

一、引言随着移动互联网的快速发展，平板电脑在近年来迅速普及。

平板电脑具有轻便、便携、功能强大等特点，使得它成为了许多人的首选电子设备。

然而，使用平板电脑时，人们常常会面临一个问题：没有合适的桌面。

在使用平板电脑时，往往需要将它靠在其他物品上，如书籍或枕头，这样容易导致整体不稳固、高度不合适等问题。

因此，设计一种能够方便地将平板电脑与桌面结合的平板折叠桌成为了迫切的需求。

二、设计原理基于以上需求，我们设计了一款创意平板折叠桌。

该桌子的设计原理是通过折叠结构实现平板电脑与桌面的结合，从而提供更加舒适的使用体验。

该桌子可以根据用户的需求自由调节高度和角度，使得用户可以根据自己的身体结构和使用习惯来调整桌面的角度和高度，以获得最佳的视觉和使用体验。

三、结构和功能该平板折叠桌由以下几个部分组成：桌面、支撑架和折叠连接件。

桌面可以通过折叠方式来固定平板电脑，支撑架可以调节桌面的高度和角度，折叠连接件则用于连接桌面和支撑架。

具体来说，桌面采用轻量化材料制作，如铝合金或塑料。

它具有平坦且稳固的表面，能够轻松放置平板电脑并固定住。

支撑架则由调节杆和支架组成，调节杆可以通过拉伸或扭转来调节桌面高度和角度，支架则用于支持桌面。

折叠连接件通常采用特殊的接头设计，使得桌面和支撑架可以在需要时轻松连接和分离。

该平板折叠桌的主要功能包括以下方面：1.提供稳定的桌面支撑，避免平板电脑在使用时滑动或翻倒。

2.可调节的高度和角度，使得用户可以根据自身需要和习惯来调整桌面的角度和高度。

3.折叠结构，便于携带和存储，方便用户在不同场合使用。

4.扩展功能，如增加键盘支架、充电口等，使得用户能够更加便捷地使用平板电脑。

基于三维建模的创意桌设计与实现黄东栋;程莉;胡文雅【摘要】本文提出了一套基于三维建模的圆形折叠桌设计方案。

折叠桌撑起的时候桌面为圆形,将桌脚及桌面摊平的时候为实心矩形。

该设计方案首先在设定矩形长宽及桌高的前提下,通过建立数学模型,分析折叠桌实现的具体方案,包括设计加工参数、桌脚边缘线数学描述,并用MATLAB仿真折叠桌的动态变化过程。

然后对任意矩形长宽和桌高的情况建立数学模型,给出满足稳固性好、用材节约条件的最优设计方案。

最终达到可折叠桌更加实用、更加美观、更加创新的设计效果。

【期刊名称】《应用数学进展》【年(卷),期】2018(007)006【总页数】10页(P699-708)【关键词】数学建模;MATLAB动态仿真;折叠桌【作者】黄东栋;程莉;胡文雅【作者单位】[1]武汉工程大学,湖北武汉;[1]武汉工程大学,湖北武汉;[1]武汉工程大学,湖北武汉;【正文语种】中文【中图分类】TP391.引言随着经济的快速发展，创新变得越发重要，可谓是社会进步不可或缺的一股力量。

现今，人们的物质生活变得越来越多元化，也日趋高雅，比如家里桌椅、家具、电器等，不仅需要健全的功能，而且也需要独具创意的设计。

早些年前，市场上就出现了比如折叠沙发、折叠桌椅、折叠床等产品，但大都只是名字上的噱头，并没有充分地体现出实用性、美观性以及创意性。

就折叠桌而言，市面上大多数的折叠桌都只有简单的桌脚折叠、桌面对折等，太过单调且没任何创意，本文提出的一套基于三维建模[1]-[6]的创意折叠桌设计方案，摆脱了现有折叠桌椅的一贯诟病，达到了更好的实用性和创意效果。

2.折叠桌总方案本文设计的折叠桌桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板，如图1所示。

桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条中心位置上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度如图2所示，桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。

5
1 0 −1 50 0 y 0 −50 −100 x
0 −20 z
z
−40 100 50 0 0 y −50 −100 0 y −50 −50 0 x 50
0 −20 −40 −60 50 0 y −50 −50 0 x 50
图 3: 折叠桌的动态变化过程 效横坐标的不同将导致相同位置木条的在展开后的最终位置不同。 设一共有 n = 2r/d 根木条，第 i 根木条的等效横坐标为 xi , i = 1, 2, · · · , n，长 √ 度为 ai = l − r2 − xi2 , i = 1, 2, · · · , n。这时，最外的木条的长度就不能认为是平板 长度的一半，如图5所示，设铰接线为 WZ ，则该最外木条的等效横坐标就与点 S √ 相同，所以长度应该为 a1 = l − WT = l − 于图5中的线段 WT= √ wi =
开槽长度 (cm)
3.5.2 桌脚边缘线的数学描述 由式 (4) 和式 (5) 就能够得到桌脚边缘线的参数方程 x(t) = t √ √ √ l sin θ l 2 − t2 − (l − 2 − t2 ) cos arcsin cos θ < r r r2 − t2 2 2 w ( t ) y(t) = √ √ √ l l sin θ 2 − t2 − (l − 2 − t2 ) cos(π − arcsin θ ) cos ⩾ r r r2 − t2 2 2w(t) z(t) = −(l − √ l sin θ r2 − t2 ) √ √ 2 r2 − t2 + l2 /4 − r2 − t2 l cos θ √ w(t) = r2 − t2 +
显然，各木条的开槽长度就等于桌子在展开过程中 si 的最大值。由式 (8) 可以看 出，对确定的 i，后三项都是常数，只有 wi 随 θ 的变化而变化。而 wi 对 θ 是单调 增函数，所以 si 对 θ 是单调增函数，θ 越大，si 越大。所以只需要确定出桌子展开 后的 θ，就能得到每一根木条的开槽长度。

全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

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我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。

以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。

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）赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：基于多目标规划的创意平板折叠桌设计摘要有创意的平板折叠桌相对于传统的桌子来说更加美观、方便以及节省空间。

本文针对已经设计好的折叠圆桌建立模型描述折叠桌的动态变化过程，首先在此基础上确定出折叠圆桌的数学描述模型，然后通过改变敏感性参数优化该模型，最后根据优化后的参数构建新的折叠桌。

创意折叠桌的设计
蔡志杰
【期刊名称】《数学建模及其应用》
【年(卷),期】2015(004)001
【摘要】对一类创意折叠桌建立数学模型,给出生产这种折叠桌的可行条件.对于任意给定的折叠桌直径和高度,确定最优设计参数.对于客户给出的折叠桌高度、桌面边缘曲线和桌脚边缘曲线,提供设计方案,使折叠桌尽可能满足给定的形状.最后对2014年"高教社杯"全国大学生数学建模竞赛B题的论文予以评述.
【总页数】9页(P66-74)
【作者】蔡志杰
【作者单位】复旦大学数学科学学院,上海200433;上海市现代应用数学重点实验室,上海200433
【正文语种】中文
【中图分类】O176
【相关文献】
1.创意平板折叠桌参数化设计 [J], 高云璐;牛哲浩;赫俊辉
2.创意平板折叠桌数学模型的设计与研究 [J], 李婉婷
3.创意平板折叠桌的建模设计 [J], 鲁晓晓;王子延
4.一种创意折叠桌参数设计的数学模型及仿真 [J], 祁令姿
5.基于数学模型下平板折叠桌的创意设计 [J], 覃雪清;翁世有
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