下载文档原格式
第26章《二次函数》小结与复习（3）教学目标：1．使学生掌握二次函数模型的建立，并能运用二次函数的知识解决实际问题。
2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，获得用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型、思想在实际问题中的应用价值。
重点难点：重点：利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思。
难点：将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策。
教学过程：一、例题精析，引导学法，指导建模1．何时获得最大利润问题。
例：重庆市某区地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，区政府对该花木产品每投资x万元，所获利润为P=－150(x－30)2＋10万元，为了响应我国西部大开发的宏伟决策，区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元，若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通，公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x万元可获利润Q=－4950(50－x)2＋1945(50－x)＋308万元。
(1)若不进行开发，求10年所获利润最大值是多少?(2)若按此规划开发，求10年所获利润的最大值是多少?(3)根据(1)、(2)计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法。
学生活动：投影给出题目后，让学生先自主分析，小组进行讨论。
教师活动：在学生分析、讨论过程中，对学生进行学法引导，引导学生先了解二次函数的基本性质，并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型，借助二次函数的性质来解决这类实际应用题。
教师精析：(1)若不开发此产品，按原来的投资方式，由P=－150(x－30)2＋10知道，只需从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获最大利润10万元，则10年的最大利润为M1＝10×10=100万元。
(2)若对该产品开发，在前5年中，当x=25时，每年最大利润是：P＝－150(25－30)2＋10=9.5(万元)则前5年的最大利润为M2=9.5×5=47.5万元设后5年中x万元就是用于本地销售的投资。
26.3实际问题与二次函数（第2课时）
教学流程安排
教学过程设计
教学设计说明
本节课是在学习了二次函数的概念、图象、性质后，进一步应用函数知识解决实际问题的一节应用课．主要内容包括：实际问题转化为数学问题进行解决；掌握数学建模思想在实际问题中的应用；体现数学的实际应用价值．
学习数学的目的就是为现实生活服务．二次函数与现实生活联系紧密，运用函数知识解决生活实际问题是数学的实际应用价值的体现，其中的关键是帮助学生将实际问题转化为数学问题，建立数学模型．本节课的设计就是从现实生活入手，通过对图形的理解和分析，将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，让学生在解题的过程中体会数学的应用价值，培养学生的数学实践能力．
教学从实际问题出发，激发学生的学习兴趣，让学生体会解决现实生活问题的快乐．。
初中数学九年级下册第二十六章《二次函数》中考试题汇总新课标人教版初中数学九年级下册第二十第六章二次函数试题总结一.选择题2y？？3倍？6x？5的图像的顶点坐标是（a）1（2022）二次函数a．（-1，8）b．（1，8）c．（-1，2）d．（1，-4）2.（2022兰州）抛物线y？十、bx？C.图像向右移动2个单位，向下移动3个单位。
获得的图像的解析公式是y？十、2倍？3，那么B和C的值是（B）a.b=2，c=2b.b=2，c=0c.b=-2，c=-1d.b=-3，c=23.（2022河北）如图所示，抛物线y？x2？bx？C的对称轴是x？2.点a和B在抛物线上，ab平行于x轴，其中点a的坐标为（0,3），那么点B的坐标为（d）a．（2，3）b．（3，2）c．（3，3）d．（4，3）4.（2022年陕西）将抛物线C:y=x2+3x-10和抛物线C转换为C/。
如果两条抛物线C，C/关于直线x=1对称，正确的平移方法是（C）a将抛物线C向右平移225个单位b将抛物线c向右平移3个单位2c将抛物线c向右平移5个单位d将抛物线c向右平移6个单位5.（2022遵义）如图所示，两条抛物线Y1？？121x？1、 y2？？x2？1和2分别通过点22？？2,0?,? 2,0? 阴影部分被两条平行于Y轴的平行线包围的面积为（a）ａ．8ｂ．6ｃ．10ｄ．4Yb．第二象限d．第四象限26.（2022年莱芜）二次函数y？斧头？bx？图中显示了C的图像，然后是一阶函数y？bx？a的图像不正确经过(b)a．第一象限c．第三象限公牛7.（2021丽水）如图，四边形abcd中，∠bad=∠acb=90°，ab=ad，ac=4bc，设cd的长为x，四边形abcd的面积为y，则y与x之间的函数关系式是(c)a、是吗？22x25b．y?422xc．y?x2255d．y?42x58.（2022年丽水）在以下四幅功能图中，当x>0时，y随x的增加而增加为（c）9.(2021成都)把抛物线y?x2向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为（d）（a）y?x2?1（b）y?(x?1)2（c）y?x2?1（d）y?(x?1)222岁？斧头？bx？塞？？bx？4ac？b10。
26．3 实际问题与二次函数（一）2014.41.二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的最大值是0，那么代数式|a|+4ac －b 2的化简结果是（ ）A.aB.－aC.0D.1 2.抛物线y=－2x 2－8x+3的顶点关于y 轴对称的点的坐标为____________． 3.两数之和为6，则之积最大为．____________1.抛物线y=x 2+2x+1的顶点是（ ）A.(0,1)B.(－1,0)C. (1,0)D.(－1,1) 2.一名男同学推铅球时，铅球行进中离地的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y=35321212++-x x ,那么铅球推出后最大高度是______m ，落地时距出手地的距离是____m ．3.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，求：（1）若商场平均每天要盈利1 200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，该商场平均每天盈利最多？4.某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．（1）如果增加x 台机器，每天的生产总量为y 件，请你写出y 与x 之间的关系式； （2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？1.已知二次函数y=x 2－6x+m 的最小值为1，那么m=_____________．2.抛物线y=21x 2－6x+21，当x=_________，y 最大=____________． 3.对于物体，在不计空气阻力的情况下，有关系式h=v 0t －21gt 2，其中h 是上升高度，v 0（m/s ）是初速度，g(m/s 2)是重力加速度，t(s)是物体抛出后经过的时间，图26311是上升高度h 与t 的函数图象.（1）求v 0，g ；（2）几秒后，物体在离抛出点25 m 高的地方？图26－3－1－14.某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价0．5元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．5.随着海峡两岸交流日益增强，通过“零关税”进入我市的一种台湾水果，其成本是每吨0．5万元，这种水果市场上的销售量y （吨）是每吨销售价x (万元)的一次函数，且x=0.6时，y=2.4；x=1时，y=2.（1）求出销售量y （吨）与每吨销售价x (万元)之间的函数关系式；（2）若销售利润为W （万元），请写出W 与x 之间的函数关系式，并求出销售价为多少时的销售利润最高？6.某经营商购进一种商品原料7 000千克存在某货场，进价为每千克30元，物价部门最高限价为每千克70元．市场调查发现，单价为70元，日均售60千克，每降一元，日多售2千克．每天需向货场支付500元存货费（不足一天，按一天计）．问：（1）日销售单价为多少时，日均获利最大？（2）如将该种原料全部售完，比较日均获利最大和单价最高这两种销售方式，哪种总获利多？多多少？7.在2010年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：（1）在如图26－3－1－2的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点．连结各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x (元/千克)之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？图26－3－1－28.与同学们合作，调查你周围的销售活动，自拟一道利用二次函数求解何时获得最大利润的实际应用题．参考答案一、课前预习 (5分钟训练)1.二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的最大值是0，那么代数式|a|+4ac －b 2的化简结果是（ ）A.aB.－aC.0D.1 解析：最大值为0，即4ac －b 2=0，且a ＜0；由此得|a|+4ac －b 2=－a ． 答案：B2.抛物线y=－2x 2－8x+3的顶点关于y 轴对称的点的坐标为____________．解析：先求出抛物线的顶点坐标，顶点坐标为（－2，11），所以其关于y 轴对称点的坐标为（2，11）. 答案：（2， 11）3.两数之和为6，则之积最大为．____________解析：设其中一个为x ，积为y,则有y=x(6－x)，可求得最大值是9． 答案：9二、课中强化(10分钟训练)1.抛物线y=x 2+2x+1的顶点是（ ）A.(0,1)B.(－1,0)C.(1,0)D.(－1,1) 解析：用配方法或公式法计算求解，y=（x+1）2． 答案：B2.一名男同学推铅球时，铅球行进中离地的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y=35321212++-x x ,那么铅球推出后最大高度是______m ，落地时距出手地的距离是____m ．解析：运用函数的顶点及与坐标轴的交点来解决本题．顶点为(4，3)； y=0，代入y=121-x 2+32x+35，解得x 1=10,x 2=－2（舍去）．答案：3 103.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，求：（1）若商场平均每天要盈利1 200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，该商场平均每天盈利最多？解：（1）设降价x 元，则(40－x)(20+2x)=1 200，解得x 1=20,x 2=10． ∴为了扩大销售，减少库存，每件衬衫应降价20元．（2）商场平均每天盈利y=(40－x)(20+2x)=－2(x －15)2+1 250， 即当x=15时，商场平均每天盈利最多．4.某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．（1）如果增加x 台机器，每天的生产总量为y 件，请你写出y 与x 之间的关系式； （2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？ 解：y ＝(80+x)(384－4x)＝30 720+64x －4x 2＝－4(x －4)2＋30 784. 当x ＝4（台）时，y 有最大值为30 784件． 答：（1）y ＝30 720+64x －4x 2．（2）增加4台机器，可以使每天的生产总量最大；最大生产总量是30 784件． 三、课后巩固(30分钟训练)1.已知二次函数y=x 2－6x+m 的最小值为1，那么m=_____________．解：∵4364-m =1,∴m=10. 答案：10 2.抛物线y=21x 2－6x+21，当x=_________，y 最大=____________． 解析：由公式求得顶点坐标来解决．y=21x 2－6x+21，得x=aa b -=6，y=ab ac 442-=3.故当x=6时，y 最大=3．答案：6 33.对于物体，在不计空气阻力的情况下，有关系式h=v 0t －21gt 2，其中h 是上升高度，v 0（m/s ）是初速度，g(m/s 2)是重力加速度，t(s)是物体抛出后经过的时间，图26311是上升高度h 与t 的函数图象. （1）求v 0，g ；（2）几秒后，物体在离抛出点25 m 高的地方？图26－3－1－1解：（1）由图象知抛物线顶点为（3，45）且经过（0，0）、（6，0），把（6，0）、（3，45）代入h=v 0t －21gt 2得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯-=⨯-,459213,03621600g v g v解得⎩⎨⎧==.10,300g v∴h=－5t 2+30t ．（2）当h=25时，－5t 2+30t=25， ∴t 2－6t+5=0．∴t 1=1，t 2=5，即经过1秒和5秒后，物体在离抛出点25米高处4.某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价0．5元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润． 解：设应提高售价x 元，利润为y 元．依题意得 y=(10－8+x)(100－10×5.0x)， 即y=－20(x －23)2+245，a=－20<0，所以 y 有最大值． 当x=1.5，即售价为10+1．5=11.5时，y 有最大值为245元．5.随着海峡两岸交流日益增强，通过“零关税”进入我市的一种台湾水果，其成本是每吨0．5万元，这种水果市场上的销售量y （吨）是每吨销售价x (万元)的一次函数，且x=0.6时，y=2.4；x=1时，y=2.（1）求出销售量y （吨）与每吨销售价x (万元)之间的函数关系式；（2）若销售利润为W （万元），请写出W 与x 之间的函数关系式，并求出销售价为多少时的销售利润最高？解：（1）设所求的一次函数为y=kx+b,由题意得⎩⎨⎧=+=+.2,4.26.0b k b k 解之，得k=－1,b=3． 所以y=－x+3．（2）W=（x －0．5）y=－x 2+3.5x －1.5, 当销售价为１.7５元时销售利润是1.56万元．6.某经营商购进一种商品原料7 000千克存在某货场，进价为每千克30元，物价部门最高限价为每千克70元．市场调查发现，单价为70元，日均售60千克，每降一元，日多售2千克．每天需向货场支付500元存货费（不足一天，按一天计）． 问：（1）日销售单价为多少时，日均获利最大？（2）如将该种原料全部售完，比较日均获利最大和单价最高这两种销售方式，哪种总获利多？多多少？解：设日销售单价为x 元，日均获利为y 元，（1）y=(x －30)[60+2(70－x)]－500= －2x 2+260x －6 500= －2(x －65)2+1 950,所以当x=65时，y 最大=1 950．（2）当日获利最大时，单价为65元/千克，日均售60+2（70－65）=70，总获利为 1 950×（7 000÷70）=195 000（元）；单价为70元时，日均售60千克，全部售完需7 000÷60≈117（天），获利为：（70－30）×7 000－117×500=221 500（元），所以该批货物单价最高获利多，多获利221 500－195 000=26 500（元）．7.在2010年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：（1）在如图26－3－1－2的直角坐标系内，作出各组有序数对（x ，y ）所对应的点．连结各点并观察所得的图形，判断y 与x 之间的函数关系，并求出y 与x 之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P （元）与销售价x (元/千克)之间的函数关系式，并求出当x 取何值时，P 的值最大？图26－3－1－2解：（1）正确描点、连线．由图象可知，y 是x 的一次函数． 设 y ＝kx ＋b ，∵点（25，2 000），（24，2 500）在图象上， ∴⎩⎨⎧+=+=.245002,250002b k b k 解之，得⎩⎨⎧=-=.50014,500b k∴ y ＝－500x ＋14 500（x≥0）．（2）P ＝（x －13）·y ＝（x －13）·（－500 x ＋14 500） ＝－500x 2＋21 000 x －188 500＝－500（x －21）2＋32 000． ∴P 与x 的函数关系式为P ＝－500 x 2＋21 000 x －188 500，当销售价为21元/千克时，能获得最大利润．8.与同学们合作，调查你周围的销售活动，自拟一道利用二次函数求解何时获得最大利润的实际应用题． 略．。
初中数学九年级下册第二十六章二次函数知识点总结及(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（初中数学九年级下册第二十六章二次函数知识点总结及(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为初中数学九年级下册第二十六章二次函数知识点总结及(word版可编辑修改)的全部内容。
新课标人教版初中数学九年级下册第二十六章《二次函数》知识点总结及精品试题第一部分 基础知识1。
定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质（1)抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴。
（2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系。
①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.(3）顶点是坐标原点,对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a 。
3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合)y 轴的抛物线。
4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成:()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5。
二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=;④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2。
6。
抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向:当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等,抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =。
2019年中考数学二次函数专题复习一、选择题1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=x的图象如图所示,则方程ax2+(b-)x+c=0(a≠0)的两根之和（）A.大于0B.等于0C.小于0D.不能确定2.已知抛物线y=x2-(2m+1)x+2m不经过第三象限，且当x>2时，函数值y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（）A.0≤m≤1.5B.m≥1.5C.0≤m≤1D.0<m≤1.53.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=5,点P是BC边上的一个动点(点P不与点B、C重合)，现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点C/处；作∠BPC/的角平分线交AB于点E.设BP=x,BE=y,则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）4.已知反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=﹣kx2﹣2x+的图象大致为（）5.在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．6.“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”.请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m<n）是关于x的方程1-(x-a)(x-b)=0的两根，且a < b, 则a、b、m、n 的大小关系是（）A.m<a<b<nB.a<m<n<bC.a<m<b<nD.m<a<n<b7.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个8.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有( )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③2a=b；④4a+2b+c＞0；⑤若点（﹣2，y1）和（﹣，y2）在该图象上，则y1＞y2．其中正确的结论是（填入正确结论的序号）．10.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②abc＞0③2a-b=0；④8a+c＜0；⑤9a+3b+c＜0．其中结论正确的是___________. （填正确结论的序号）11.图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程x2+bc+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3．其中正确的说法有．（请写出所有正确说法的序号）12.对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：①如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m≥1；②如果它的图象与x轴的两交点的距离是4，则m=±1；③如果将它的图象向左平移3个单位后的函数的最小值是-4，则m=－1；④如果当x=1时的函数值与x=2013时的函数值相等，则当x=2014时的函数值为－3．其中正确的说法是．13.如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a(x-3)2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为______.14.已知x=2m＋n＋2和x=m＋2n时，多项式x2＋4x＋6的值相等，且m－n＋2≠0，则当x=3(m＋n＋1)时，多项式x2＋4x＋6的值等于________．三、解答题15.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0）和B（2,3）．过点A的直线与y轴的负半轴相交于点C，且tan∠ACO=3．（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；（2）连接AB、BC，求∠ABC的正切值；（3）若点D在x轴下方的对称轴上，当S△ABC=S△ADC时，求点D的坐标．16.如图,抛物线y=(x-2)2+m与x轴交于点A和B,与y轴交于点C,点D是点C关于抛物线对称1轴的对称点,若点A的坐标为(1,0),直线y2=kx+b经过点A,D．(1)求抛物线的函数解析式；(2)求点D的坐标和直线AD的函数解析式；(3)根据图象指出,当x取何值时,y2>y1．17.用配方法把二次函数y=l+2x-x2化为y=a(x-h)2+k的形式,作出它的草图,回答下列问题．(1)求抛物线的顶点坐标和它与x轴的交点坐标；(2)当x取何值时,y随x的增大而增大?(3)当x取何值时,y的值大于0?18.如图,二次函数的顶点坐标为M(1,-4).(1)求出该二次函数的图象与x轴的交点A,B的坐标；(2)在二次函数的图象上是否存在点P(点P与点M不重合),使,若存在,求出P点的坐标；若不存在,请说明理由．19.利民商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息:请根据以上信息，解答下列问题：（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元?（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元. 在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？20.已知抛物线l：y=﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B（点A在点B左边），与y轴交于点C，抛1物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（4，0），与y轴交于点D（0，﹣2）．（1）求抛物线l2的解析式；（2）点P为线段AB上一动点（不与A、B重合），过点P作y轴的平行线交抛物线l1于点M，交抛物线l2于点N．①当四边形AMBN的面积最大时，求点P的坐标；②当CM=DN≠0时，求点P的坐标．答案1.C2.A3.D4.B5.D6.A7.B8.A9.答案为：②④．10.答案为：①②⑤；11.答案为：①②④．12.答案为：①②④．13.答案为：18.14.答案为：3；15.16. (1)∵点(1,0)在抛物线上,∴,,∴；(2)抛物线的对称轴为,与的交点的坐标为(0,3),∵点是点关于对称轴的对称点,∴点的坐标为(4,3),直线经过点点,,∴,解得,,∴；(3)当时,．17.解：y=-(x-1)2+2,图略．(1)顶点坐标为(1,2),与x轴的两个交点坐标分别为(1-,0),(1+,0)． (2)当x＜1时,y随x的增大而增大. (3)当l-＜x＜1+时,y的值大于0．18.解：(1)∵二次函数的顶点坐标为M(1,-4),∴抛物线的表达式为.令y=0,得.(2)∵A(-1,0), B(3,0), M(1,-4),∴AB=4.∴.∵AB=4,∴点P到AB的距离为5时,.即点P的纵坐标为.∵点P在二次函数的图象上,且顶点坐标为M(1,-4),∴点P的纵坐标为5.∴.∴x1=-2,x2=4.∴点P的坐标为(4,5)或(-2,5).【答案】(1)A(-1,0),B(3,0).(2)(4,5)或(-2,5)19.解：（1）设甲商品的进货单价是x元，乙商品的进货单价是y元．据题意，得解得答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元．（2）设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s元，则s=(1-m)(500+100×)+(5-3-m)(300+100×) 即s=-2000m2+2200m+1100=-2000(m-0.55)2+1705.∴当m=0.55时，s有最大值，最大值为1705.答：当m定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元.20.解：（1）∵令﹣x2+2x+3=0，解得：x=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0）．1设抛物线l2的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）．∵将D（0，﹣2）代入得：﹣4a=﹣2，∴a=．∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；（2）①如图1所示：∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB=4．设P（x，0），则M（x，﹣x2+2x+3），N（x， x2﹣x﹣2）．∵MN⊥AB，∴S AMBN=AB•MN=﹣3x2+7x+10（﹣1＜x＜3）．∴当x=时，S AMBN有最大值．∴此时P的坐标为（，0）．②如图2所示：作CG⊥MN于G，DH⊥MN于H，如果CM与DN不平行．∵DC∥MN，CM=DN，∴四边形CDNM为等腰梯形．∴∠DNH=∠CMG．在△CGM和△DNH中，∴△CGM≌△DNH．∴MG=HN．∴PM﹣PN=1．设P（x，0），则M（x，﹣x2+2x+3），N（x， x2﹣x﹣2）．∴（﹣x2+2x+3）+（x2﹣x﹣2）=1，解得：x1=0（舍去），x2=1．∴P（1，0）．当CM∥DN时，如图3所示：∵DC∥MN，CM∥DN，∴四边形CDNM为平行四边形．∴DC=MN．=5∴﹣x2+2x+3﹣（x2﹣x﹣2）=5，∴x1=0（舍去），x2=，∴P（，0）．总上所述P点坐标为（1，0），或（，0）．。
2009-2012天津中考中的二次函数（2009-10）. 在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）A ．22y x x =--+B ．22y x x =-+- C ．22y x x =-++ D ．22y x x =++（2009-26）．已知函数212y x y x bx c αβ==++，，，为方程120y y -=的两个根，点()1M T ，在函数2y 的图象上．（Ⅰ）若1132αβ==，，求函数2y 的解析式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数1y 与2y 的图象的两个交点为A B ，，当ABM △的面积为112时，求t 的值； （Ⅲ）若01αβ<<<，当01t <<时，试确定T αβ，，三者之间的大小关系，并说明理由．（2010-10）已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->； ②0abc >； ③80a c +>； ④930a b c ++<．其中，正确结论的个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（2010-16）已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)中自变量x 和函数值y 的部分对应值如下表：第（10）题则该二次函数的解析式为 ． （2010-26）（本小题10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为E .（Ⅰ）若2b =，3c =，求此时抛物线顶点E 的坐标；（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足 S △BCE = S △ABC ，求此时直线BC 的解析式；（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足 S △BCE = 2S △AOC ，且顶点E 恰好落在直线43y x =-+上，求此时抛物线的解析式. （2011-24）（本小题8分）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少？设每件商品降价x 元、每天的销售额为y 元．（Ⅱ）（由以上分析，用含x 的式子表示y ，并求出问题的解） （2011-26）（本小题10分） 已知抛物线211112C y x x =-+∶，点()11F ，． （Ⅰ）求抛物线1C 的顶点坐标；（Ⅱ）①若抛物线1C 与y 轴的交点为A ，连接AF ，并延长交抛物线1C 于点B ，求证112AF BF+=； ②取抛物线1C 上任意一点()()01p ppP x y x<<，，连接PF ，并延长交抛物线1C 于点()Q Q Q x y ，，试判断112PF QF+=是否成立？请说明理由； （Ⅲ）将抛物线1C 作适当的平移，得抛物线()22212C y x h =-∶，若2x m <≤时，2y x ≤恒成立，求m 的最大值．（2012-10）．若关于x 的一元二次方程(1)(3)x x m --=有实数根12,x x ，且12x x ≠，有下列结论：①122,3x x ==；②14m >-；③二次函数12()()y x x x x m =--+的图象与x 轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3（2012-26）．已知抛物线2(02)y ax bx c a b =++<<的顶点为00(,)P x y ，点(1,)A A y 、(0,)B B y 、(1,)C C y -在该抛物线上．（Ⅰ）当a=1，b=4，c=10时， ①求顶点P 的坐标； ②求AB Cy y y -的值；（Ⅱ）当00y ≥恒成立时，求AB Cy y y -的最小值．参考答案（2009-10）C（2009-26）解（Ⅰ）212120y x y x bx c y y ==++-=Q ，，，()210x b x c ∴+-+=. ·············································································· 1分将1132αβ==，分别代入()210x b x c +-+=，得 ()()22111110103322b c b c ⎛⎫⎛⎫+-⨯+=+-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 解得1166b c ==，. ∴函数2y 的解析式为2y 25166x x =-+． ······················································ 3分（Ⅱ）由已知，得6AB =，设ABM △的高为h ，311212ABM S AB h ∴===△·1144=.根据题意，t T -=，由21166T t t =++，得251166144t t -+-=. 当251166144t t -+=-时，解得12512t t ==；当251166144t t -+=时，解得34t t ==.t ∴的值为512···································································· 6分 （Ⅲ）由已知，得222b c b c T t bt c αααβββ=++=++=++，，. ()()T t t b ααα∴-=-++， ()()T t t b βββ-=-++，()()22b c b c αβααββ-=++-++，化简得()()10b αβαβ-++-=.01αβ<<<Q ，得0αβ-≠， 10b αβ∴++-=.有1010b b αββα+=->+=->，. 又01t <<，0t b α∴++>，0t b β++>，∴当0t a <≤时，T αβ≤≤；当t αβ<≤时，T αβ<≤； 当1t β<<时，T αβ<<.（2010-10） D（2010-16）22y x x =+- （2010-26）（本小题10分）解：（Ⅰ）当2b =，3c =时，抛物线的解析式为223y x x =-++，即2(1)4y x =--+.∴ 抛物线顶点E 的坐标为（1，4）． ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 （Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点E 在对称轴1x =上，有2b =，∴ 抛物线的解析式为22y x x c =-++（0c >）．∴ 此时，抛物线与y 轴的交点为0( )C c ，，顶点为1( 1)E c +，． ∵ 方程220x x c -++=的两个根为11x =21x =+ ∴ 此时，抛物线与x轴的交点为10()A，10()B ． 如图，过点E 作EF ∥CB 与x 轴交于点F ，连接CF ，则S △BCE = S △BCF ． ∵ S △BCE = S △ABC ， ∴ S △BCF = S △ABC ． ∴BF AB == 设对称轴1x =与x 轴交于点D ，则12DF AB BF =+=由EF ∥CB ，得EFD CBO ∠=∠．x∴ Rt △EDF ∽Rt △COB ．有ED CODF OB=． ∴．结合题意，解得 54c =． ∴ 点54(0 )C ，，52( 0)B ，．（2011-24）、解：（Ⅰ）35x -；502x +．（Ⅱ）根据题意，每天的销售额()()()35502035y x x x =-+<<， 配方，得()2251800y x =--+，∴当5x =时，y 取得最大值1800．答：当每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为1800元． （2011-26）、解：（Ⅰ）()22111111222y x x x =-+=-+Q ， ∴抛物线1C 的顶点坐标为112⎛⎫⎪⎝⎭，．（Ⅱ）①根据题意，可得点()01A ，，()11F Q ，，AB x ∴∥轴，得1AF BF ==，112AF BF∴+=． ②112PF QF+=成立． 理由如下：如图，过点()P P P x y ，作PM AB ⊥于点M ，则()1101P P P FM x PM y x =-=-<<，，Rt PMF ∴△中，由勾股定理，得()()2222211P P PF FM PM x y =+=-+-．又点()P P P x y ，在抛物线1C 上，得()211122P P y x =-+，即()2121P P x y -=-． ()222211P P P PF y y y ∴=-+-=，即P PF y =．过点()Q Q Q x y ，作QN AB ⊥，与AB 的延长线交于点N ， 同理可得Q QF y =．90PMF QNF MFP NFQ ∠=∠=︒∠=∠Q ，， PMF QNF ∴△∽△．有PF PM QF QN=．这里1111P Q PM y PF QN y QF =-=-=-=-，，11PF PFQF QF -∴=-， 即112PF QF+=． （Ⅲ）令3y x =，设其图象与抛物线2C 交点的横坐标为00x x '，，且00x x '<， Q 抛物线2C 可以看作是抛物线212y x =左右平移得到的， 观察图象，随着抛物线2C 向右不断平移，00x x '，的值不断增大， ∴当满足2x m <≤，2y x ≤恒成立时，m 的最大值在0x '处取得． 可得，将02x =代入()212x h x -=， 有()21222h -=，解得4h =或0h =（舍去），()22142y x ∴=-． 此时，由23y y =，得()2142x x -=， 解得0028x x '==，， m ∴的最大值为8．（2012-10） C （2012-26）。
二次函数 专题讲义考点回顾一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
3、二次函数图像的画法 五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
如果没有交点，则不能这样表示。
三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，ab ac y 442-=最值。
如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看ab2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=ab2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。
