不定积分的基本公式和直接积分法(教学内容)

不定积分的基本公式和运算法则直接积分法一、不定积分的基本公式和运算法则1.基本公式：- 常数公式：$\int c\,dx = cx + C$，其中c为常数，C为常数。

- 幂函数公式：$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，其中n为非零常数，C为常数。

- 指数函数公式：$\int e^x\,dx = e^x + C$，其中C为常数。

- 对数函数公式：$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln，x， + C$，其中C为常数。

2.基本运算法则：- 常数倍法则：$\int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$，其中k为常数。

- 和差法则：$\int (f(x) \pm g(x))\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$。

- 乘法法则：$\int u \cdot v\,dx = \int u\,dv + \int v\,du$。

- 除法法则：$\int \frac{u}{v}\,dx=i\ln，v，+j\int\frac{dv}{v}$。

直接积分法是指根据不定积分的基本公式和运算法则，直接进行积分计算的方法。

下面介绍一些常见的直接积分法：1.用代换法进行积分：-根据被积函数的形式，选择一个合适的代换，使得原函数的形式更简单。

-对原函数进行代换，将积分转化为新的变量的积分。

- 对新的变量进行求导，计算出dx或du。

-将上述结果带入到原函数中，得到最终的积分结果。

2.用分部积分法进行积分：-对于被积函数的乘积形式，选择一个函数进行求导，选择另一个函数进行积分。

- 根据分部积分公式$\int u \,dv = uv - \int v \,du$，进行积分计算。

3.用换元法进行积分：-对于被积函数的形式，选择一个新的变量代替原来的变量，使得积分变得更简单。

-对原函数进行换元，将积分转化为新的变量的积分。

- 对新的变量进行求导，计算出dx或du。

微积分不定积分教案一、教学目标1. 理解不定积分的概念和物理意义。

2. 掌握基本积分公式和积分方法。

3. 能够运用不定积分解决实际问题。

二、教学内容1. 不定积分的定义和性质。

2. 基本积分公式：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的积分。

3. 换元积分法：代数换元、三角换元。

4. 分部积分法。

5. 积分在物理、经济学等领域的应用。

三、教学重点与难点1. 重点：不定积分的概念、性质和基本积分公式。

2. 难点：换元积分法、分部积分法的运用。

四、教学方法与手段1. 采用讲授法，讲解不定积分的概念、性质和积分方法。

2. 利用多媒体课件，展示积分过程和应用实例。

3. 引导学生通过讨论、练习，巩固所学知识。

五、教学安排1. 第一课时：介绍不定积分的定义、性质和基本积分公式。

2. 第二课时：讲解换元积分法。

3. 第三课时：讲解分部积分法。

4. 第四课时：举例分析不定积分在实际问题中的应用。

5. 第五课时：课堂练习和总结。

六、教学评估1. 课堂练习：布置相关的不定积分题目，检查学生对基本积分公式和积分方法的掌握程度。

2. 课后作业：布置综合性的不定积分题目，要求学生在课后完成，以检验学生对课堂内容的理解和应用能力。

3. 课堂讨论：鼓励学生积极参与课堂讨论，提问和解答问题，评估学生对不定积分概念的理解和分析问题的能力。

七、教学资源1. 教材：选用权威的微积分教材，提供系统的理论知识。

2. 多媒体课件：制作精美的多媒体课件，通过图像、动画等形式展示积分过程，增强学生的直观理解。

3. 练习题库：整理一套丰富的练习题库，包括不同难度层次的题目，以满足不同学生的学习需求。

4. 应用案例：收集一些实际问题，用于讲解不定积分在实际中的应用。

八、教学建议1. 强化基础知识：在学习不定积分之前，确保学生掌握了函数、极限、导数等基本概念，以便能够顺利理解不定积分的性质和计算方法。

2. 逐步引导：从简单的积分公式开始，逐步引导学生掌握更复杂的积分方法，避免一开始就给出复杂的公式和方法，让学生能够逐步建立信心。

第二节不定积分旳基本公式和直接积分法（ＢasiｃＦoｒｍula of UndefiｎｅdInteｇral ａnｄDirecｔＩnteｇral）课题：1.不定积分旳基本公式2．不定积分旳直接积分法课堂类型：讲授教学目旳：纯熟掌握不定积分旳基本公式,对简朴旳函数能用直接积分法进行积分。

教学重点:不定积分旳基本公式教学难点: 直接积分法教具:多媒体课件教学措施:教学内容：一、不定积分旳基本公式由于不定积分是求导旳逆运算，因此由导数旳基本公式相应地可以得到不定积分旳基本公式。

二、不定积分旳直接积分法运用不定积分旳性质和基本公式，可以求出某些简朴函数旳不定积分,一般把这种求不定积分旳措施叫做直接积分法。

例1 求32x dx ⎰导数旳基本公式()1222()01()1()()ln 1(ln )(sin )cos (cos )sin (tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot (arcsin )1(arctan )1(arccos )1(cot )1x xx x C x x x e e a a ax xx x x x x x x x x x x x x x x x x x arc x ααα+'='='=+'='='='='=-'='=-'='=-'='=+'='=-+21(log )ln a x x x a'=不定积分旳基本公式()1222011ln ln ||cos sin sin cos sec tan csc cot sec tan sec csc cot csc arcsin arctan 1x xxxdx C dx x Cx x dx C a e dx eCa a dx C a dxx Cx xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C x xdx x C x xdx x Cx Cdxx C xααα+==+=+≠-+=+=+=+=+=-+=+=-+=+=-+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2arccos arc cot 11log ln a x C dxx C x dx x Cx a =-+=-++=+⎰⎰⎰解 31333412222312x x dx x dx x dx C x C +===⨯+=++⎰⎰⎰例2求(23cos x x dx -+⎰解(32322233233cos 3cos 3sin 5310sin 3xx dx x dx xdx x x x Cx x x C -+=-+=⨯-++=-++⎰⎰⎰⎰例3 求dx x x ⎰-23)1(解Cx x x x Cx x dxxx x dx xx x x dx x x +++-=+-=-+-=-+-=-⎰⎰⎰1||ln 332 31072 )133( 133)1(22327222323 例４ 求221sin cos dx x x⎰ 解22222222221sin cos 11sin cos sin cos cos sin sec csc tan cot x x dx dx dx dx x x x x x x xdx xdx x x C+==+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰例5 求2x x e dx ⎰ 解()()()2222ln 21ln 2xxxx x e e e dx e dx C C e==+=++⎰⎰例6 求2sin 2x dx ⎰解 21cos sin 22x x-=21cos 11sin sin 2222x x dx dx x x C -==-+⎰⎰ 例7 求()221dxx x +⎰解()222211111x xx x =-++ ()222222111111111arctan dx dx dx dx x x x x x x x Cx⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭=--+⎰⎰⎰⎰例8 已知物体以速度()221/v t m s =+沿Ox 轴作直线运动，当1t s =时,物体通过旳路程为3m ，求物体旳运动方程。

不定积分直接积分法一、不定积分的概念和基本性质1.1 不定积分的定义不定积分是导数的逆运算，即对于函数f(x)，如果存在一个函数F(x)，使得F'(x)=f(x)，则称F(x)为f(x)的一个原函数，记作∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为任意常数。

1.2 不定积分的基本性质（1）线性性：若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则有∫[a,b]αF(x)+βG(x)dx=α∫[a,b]F(x)dx+β∫[a,b]G(x)dx，其中α、β为任意常数。

（2）换元法：若u=u(x)可导且具有连续导数，则有∫f(u)du=∫f(u(x))u'(x)dx。

（3）分部积分法：若u=u(x)和v=v(x)都可导且具有连续导数，则有∫u'vdx=uv-∫uv'dx。

二、直接求解不定积分的方法2.1 一般（初等）函数的不定积分对于一些常见的初等函数，可以通过直接求解来得到它们的不定积分。

例如：（1）幂函数：对于n≠-1，有∫x^n dx=(x^(n+1))/(n+1)+C。

（2）指数函数：有∫e^x dx=e^x+C。

（3）三角函数：有∫s in(x)dx=-cos(x)+C，∫cos(x)dx=sin(x)+C，∫tan(x)dx=-ln|cos(x)|+C，等等。

2.2 有理函数的不定积分对于有理函数，即多项式除以多项式的形式，可以通过分式分解来将其化为一些基本的初等函数之和的形式。

例如：（1）若f(x)=(x^2+1)/(x-1)，则可以进行部分分式分解得到f(x)=x+1+(2/(x-1))，因此有∫f(x)dx=∫(x+1+(2/(x-1)))dx=(1/2)x^2+x+2ln|x-1|+C。

（2）若f(x)=(3x^3+x)/(x^4+x^2+1)，则可以进行部分分式分解得到f(x)=(3/4)(1/(x^2-x+1))+(5/4)(1/(x^2+1))，因此有∫f(x)dx=(3/4)∫(1/(x^2-x+1))dx+(5/4)∫(1/(x^2+1))dx=(3/8)ln|x^2-x+1|+(5/4)arctan x+C。