人教新课标版数学高一-2016人教版高中数学必修三导学案 .1顺序结构、条件结构

1.1.2 第一课时程序框图顺序结构
学习目标 1.了解流程图的概念及常用图框符号的意义;
2.掌握画流程图的基本规则，能正确画出流程图;
3.能用流程图表示顺序结构的算法．
预习篇
1.流程图是由一些和组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的和表示操作的内容，表示操作的先后次序．
2．常见的图框、流程线及功能
图形符号名称功能
起止框表示算法的或，
一般画成
输入、输出框
表示操作，一般画成
处理框
表示或，一般画成矩形
判断框根据条件决定执行两条路径中的，一般画成
流程线表示的路径，可用
表示
3．流程图有、、三种结构．
4．什么是顺序结构？顺序结构有何特点？
课堂篇
探究一：对程序框图的认识和理解
1.关于流程图的图形符号的理解正确的是______． (填序号)
①流程图是描述算法的图形语言．
②输入框可以在起始框后，也可以在判断框后．
③判断框是唯一一个具有超过一个出口的图形符号
探究二：用顺序结构设计程序框图
2.利用梯形的面积公式计算上底长为2、下底长为4、高为5的梯形的面积，设计解决该问题的
一个算法，并画出流程图
3设计算法：求函数53)(2
+-=x x x f 当1-=x 时的值，并画流程图 探究三：顺序结构的读图问题
4.下列流程图输出S 的值为________ ．
巩固篇
1.程序框图中不可缺少的是（ ）
A:输入框 B 处理框 C 判断狂 D 起止框 2.程序框图中具有超过一个退出点的程序框是（ ）
A: 终端框 B ：输入框 C ：判断框 D ：处理框。

1.1.2程序框图与算法的基本逻辑结构第1课时程序框图、顺序结构周；使用时间17 年月日；使用班级；姓名【学习目标】1.熟悉各种程序框及流程线的功能和作用；2.能够读懂简单的程序框图；3.能用程序框图表示顺序结构的算法.重点：能够读懂简单的程序框图难点：能用程序框图表示顺序结构的算法【检查预习】预习课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答.【自主学习】知识点一程序框图思考许多办事机构都有工作流程图，你觉得要向来办事的人员解释工作流程，是用自然语言好，还是用流程图好？程序框图的概念：(1)程序框图又称，是一种用、及来表示算法的图形.(2)常见的程序框、流程线及各自表示的功能图形符号名称功能终端框(起止框)输入、输出框处理框(执行框)判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”流程线○连接程序框图的两部分一个或几个的组合表示算法中的一个步骤；带有的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的知识点二顺序结构(1)顺序结构的定义由若干个组成，这是任何一个算法都离不开的基本结构.(2)结构形式【合作探究】类型一 把自然语言描述的算法翻译成程序框图例1 已知一个算法如下：第一步，输入x .第二步，计算y ＝2x ＋3.第三步，计算d ＝x 2＋y 2.第四步，输出d .把上述算法用程序框图表示.跟踪训练1 算法如下，画出程序框图.第一步，输入a ，b ，c 的值－1，－2,3.第二步，计算max ＝4ac －b 24a. 第三步，输出max .类型二 顺序结构例2 一个笼子里装有鸡和兔共m 只，且鸡和兔共n 只脚，设计一个计算鸡和兔各有多少只的算法，并画出程序框图.跟踪训练2 已知一个三角形三条边的边长分别为a ，b ，c ，利用海伦－秦九韶公式(令p ＝a ＋b ＋c 2，则三角形的面积S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )，设计一个计算三角形面积的算法，并画出程序框图.类型三 读懂程序框图例3 一个算法如图，它的功能是什么？跟踪训练3写出下列算法的功能：(1)图①中算法的功能是(a>0，b>0) __________________________________________；(2)图②中算法的功能是________________.【学生展示】探究点一、二【教师点评】探究点三及【学生展示】出现的问题【当堂检测】1.一个完整的程序框图至少包含()A.终端框和输入、输出框B.终端框和处理框C.终端框和判断框D.终端框、处理框和输入、输出框2.下列图形符号属于判断框的是()3.任何一种算法都离不开的基本结构为()A.逻辑结构B.条件结构C.循环结构D.顺序结构4.程序框图符号“”可用于()A.输出a＝10B.赋值a＝10C.判断a＝10D.输入a＝15.下面程序框图表示的算法的运行结果是________.A.6B.9C.6 6D.9 6【小结作业】小结：作业：对应限时练。

8.1.1向量数量积的概念(教师独具内容)课程标准：1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．教学重点：平面向量数量积的含义及几何意义．教学难点：向量的投影及数量积的几何意义.知识点一两个向量的夹角(1)定义：给定两个01非零向量a，b(如图所示)，在平面内任选一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则称02[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作03〈a，b〉.(2)根据向量夹角的定义可知，两个非零向量的夹角是唯一确定的，而且040≤〈a，b〉≤π，〈a，b〉＝05〈b，a〉.时，称向量a与向量b垂直，记作07a⊥b.在(3)垂直：当〈a，b〉＝06π2讨论垂直问题时，规定08零向量与任意向量垂直．知识点二向量数量积(内积)的定义一般地，当a与b都是非零向量时，称01|a||b|cos〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝02|a||b|cos〈a，b〉.由定义可知，两个非零向量a与b的数量积是一个实数．知识点三平面向量的数量积的性质(1)当e是单位向量时，因为|e|＝1，所以a·e＝01|a|·cos〈a，e〉.(2)a⊥b⇔02a·b＝0.(3)a·a＝03|a|2，即04|a|＝a·a.(4)cos〈a，b〉＝05a·b(|a||b|≠0).|a||b|(5)|a·b|06≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．知识点四向量的投影如图1，设非零向量AB→＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′，则称向量为向量a在直线l上的01投影向量或投影．类似地，给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l 上的投影称为a在向量b上的02投影.如图2中，向量a在向量b上的投影为03.可以看出，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量04共线，但它们的方向既有可能05相同，也有可能06相反.知识点五向量数量积的几何意义如图(1)(2)(3)所示．当〈a ，b 〉<π2时，A ′B ′→的方向与b 的方向01相同，而且||＝02|a |cos〈a ，b 〉；当〈a ，b 〉＝π2时，为零向量，即||＝030；当〈a ，b 〉>π2时，的方向与b 的方向04相反，而且||＝05－|a |cos 〈a ，b 〉.一般地，如果a ，b 都是非零向量，则称06|a |cos 〈a ，b 〉为向量a 在向量b 上的投影的数量．投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是07非负数，也可能是08负数.两个非零向量a ，b 的数量积a ·b ，等于a 在向量b 上的投影的数量与b 的模的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义．1．a 在b 方向上的投影的数量也可以写成a ·b|b |，它的符号取决于角θ的余弦值．2．在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.3．a ·b 的符号与a 与b 的夹角θ的关系设两个非零向量a与b的夹角为θ，则(1)若a·b>0⇔θ为锐角或零角．当θ＝0°时，a与b共线同向，a·b>0.或a与b中至少有一个为0.(2)a·b＝0⇔θ＝π2(3)a·b<0⇔θ为钝角或平角，当θ＝180°时，a与b共线反向，a·b<0.特别注意a，b共线同向与共线反向的特殊情况，即a·b>0(<0)，向量夹角不一定为锐角(钝角)．4．向量的数量积a·b＝|a||b|cosθ的主要应用(1)利用公式求数量积，应先求向量的模，正确求出向量的夹角(向量的夹角由向量的方向确定)．求夹角，应正确求出两个整体：数量积a·b与模(2)利用公式变式cosθ＝a·b|a||b|积|a||b|，同时注意θ∈[0，π]．(3)利用a·b＝0证明垂直问题．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a·b＝0，则a⊥b.()(2)两个向量的数量积是一个向量．()(3)当a∥b时，|a·b|＝|a||b|.()答案(1)√(2)×(3)√2．做一做(1)已知向量a与向量b的夹角为30°且|a|＝3，则a在b上的投影的数量为____.(2)已知|a|＝4，|b|＝22，且a与b的夹角为135°，则a·b＝____.(3)在直角坐标系xOy内，已知向量AB→与x轴和y轴正向的夹角分别为120°和30°，则BA→在x轴、y轴上的投影的数量分别为____和____.答案(1)32(2)－8(3)12|AB→|－32|AB→|题型一两个向量夹角的定义例1已知向量a，b的夹角为60°，试求下列向量的夹角：(1)－a，b；(2)2a，23b.[解]如图，由向量夹角的定义可知：(1)向量－a，b的夹角为120°.(2)向量2a，23b的夹角为60°.(1)向量的夹角是针对非零向量定义的．(2)注意向量的夹角是[0°，180°]．(3)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量CA→与AB→的夹角，作AD→＝CA→，则∠BAD才是向量CA→与AB→的夹角．|a|，求a－b与a的夹角．[跟踪训练1]已知向量a与b的夹角为60°且|b|＝12解如图，作OA→＝a，OB→＝b，则∠BOA＝60°，连接BA，则BA→＝a－b.取OA的中点D，连接BD，∵|b|＝1|a|，∴OD＝OB＝BD＝DA，2∴∠BDO＝60°＝2∠BAO，∴∠BAO＝30°.∴a－b与a的夹角为30°.题型二向量数量积的定义例2(1)已知|a|＝5，|b|＝2，若①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°，分别求a·b.(2)已知|a|＝4，|b|＝2，b2－a2＝3a·b，求向量a与向量b的夹角．[解](1)①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°，∴a·b＝|a||b|cos0°＝5×2×1＝10；若a与b反向，则它们的夹角为180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝5×2×(－1)＝－10.②当a⊥b时，则它们的夹角为90°，∴a ·b ＝|a ||b |cos90°＝5×2×0＝0.③当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a ||b |cos30°＝5×2×32＝53.(2)由题意，得4－16＝3a ·b ，∴a ·b ＝－4，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，向量a 与向量b 的夹角为120°.1．求向量数量积的一般步骤及注意事项(1)确定向量的模和夹角，根据定义求出数量积．(2)a 与b 垂直当且仅当a ·b ＝0.(3)非零向量a 与b 共线当且仅当a ·b ＝±|a ||b |.2．求向量夹角的一般步骤及注意事项(1)确定向量的模和数量积，根据夹角公式求出向量夹角的余弦值．(2)注意向量夹角的范围为[0，π]，从而确定夹角的大小．[跟踪训练2](1)已知|a |＝4，|b |＝5，向量a 与b 的夹角θ＝π3，求a ·b .(2)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，求a 与b 的夹角．解(1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×5×12＝10.(2)设a 与b 的夹角为θ，cos θ＝a ·b |a ||b |＝21×4＝12，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.题型三向量的投影例3已知直线l ，(1)|OA →|＝4，〈OA→，l 〉＝60°，求OA →在l 上的投影的数量OA 1；(2)|OB →|＝4，〈OB →，l 〉＝90°，求OB →在l 上的投影的数量OB 1；(3)|OC→|＝4，〈OC→，l〉＝120°，求OC→在l上的投影的数量OC1.＝2.[解](1)OA1＝4cos60°＝4×12(2)OB1＝4cos90°＝4×0＝0.(3)OC1＝4cos120°＝4 2.对向量投影的理解从定义上看，向量b在直线(或非零向量)上的投影是一个向量，投影的数量可正、可负、可为零．(1)当θ(2)当θ(3)当θ＝0时，该数量为|b|.(4)当θ＝π时，该数量为－|b|.注意：此处b为非零向量．时，该数量为0.(5)当θ＝π2时，a在e方向[跟踪训练3]已知|a|＝8，e为单位向量，当它们的夹角为π3上的投影的数量为()A．43B．4C．42D．8＋32答案B解析因为a在e方向上的投影的数量为|a|cosπ＝4，故选B.3题型四向量数量积的几何意义及应用例4(1)已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影的数量是32，则a ·b 为()A ．3 B.92C ．2D.12(2)如图，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，且AB ＝2DC ＝4.E 为腰BC 上的动点．求AE→·AB →的取值范围．[解析](1)设a 与b 的夹角为θ，a ·b ＝|a ||b |cos θ＝|b ||a |cos θ＝3×32＝92.(2)如图，过E 作EE ′⊥AB ，垂足为E ′，过C 作CC ′⊥AB ，垂足为C ′.则AE →在AB →上的投影为AE ′→，∴AE →在AB →上的投影的数量为|AE ′→|，由向量数量积的几何意义知AE →·AB →＝|AE ′→||AB →|＝4|AE ′→|.∵E 在腰BC 上运动，∴点E ′在线段C ′B 上运动，∴|AC ′→|≤|AE ′→|≤|AB→|，∴2≤|AE ′→|≤4，∴8≤4|AE ′→|≤16，∴AE→·AB→的取值范围是[8,16]．[答案](1)B(2)见解析利用向量数量积的几何意义求两向量的数量积需明确两个关键点：相关向量的模和一个向量在另一向量方向上的投影的数量，代入向量数量积的公式即可．利用向量数量积判断几何图形形状或解决最值范围问题时，常结合图形直观分析得到结果．[跟踪训练4](1)若E，F，G，H分别为四边形ABCD所在边的中点，且(AB→＋BC→)·(BC→＋CD→)＝0，则四边形EFGH是()A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形(2)已知a·b＝16，若a在b方向上的投影的数量为4，则|b|＝____.答案(1)C(2)4解析(1)因为(AB→＋BC→)·(BC→＋CD→)＝0，所以AC→·BD→＝0，所以AC→⊥BD→.又因为E，F，G，H分别为四边形ABCD所在边的中点，所以四边形EFGH的两组对边分别与AC，BD平行，且EF⊥EH，所以四边形EFGH为矩形．(2)设a与b的夹角为θ，因为a·b＝16，所以|a||b|cosθ＝16.又a在b方向上的投影的数量为4，所以|a|cosθ＝4，所以|b|＝4.1．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影的数量为()A.125B．3C．4D．5答案A解析设a与b的夹角为θ，则向量a在b上的投影的数量为|a|cosθ＝a·b|b|＝12 5.2．已知|a|＝4，|b|＝2，当它们之间的夹角为π3时，a·b＝() A．43B．4C．83D．8答案B解析根据向量数量积的定义得a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝4×2×cosπ3＝4.3．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角θ的取值范围是()A.0，π6 B.π3，πC.π3，2π3 D.π6，π答案B解析由题意可得，Δ＝|a|2－4a·b≥0，∵|a|＝2|b|，∴cosθ≤12θ∈π3，π.故选B.4．(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是() A．e1在e2上的投影的数量为sinθB．e21＝e22C．任给θ∈[0，π]，(e1＋e2)⊥(e1－e2)D．不存在θ，使e1·e2＝2答案BCD解析对于A，因为e1，e2为单位向量，所以e1在e2上的投影的数量为|e1|cosθ＝cosθ，A错误；对于B，e21＝e22＝1，B正确；对于C，如图，设AB→＝e1，AD→＝e2，则易知四边形ABCD是菱形，AC⊥BD，即(e1＋e2)⊥(e1－e2)，C正确；对于D，e1·e2＝1×1×cosθ＝cosθ≤1，所以D正确．5．在△ABC中，已知|AB→|＝|AC→|＝6，且AB→·AC→＝18，则△ABC的形状是____.答案等边三角形解析∵AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos∠BAC，∴cos∠BAC＝12，∴∠BAC＝60°.又|AB→|＝|AC→|，∴△ABC为等边三角形．一、选择题1．若|a|＝2，|b|＝12，〈a，b〉＝60°，则a·b等于()A.1 2B.1 4C．1D．2答案A解析a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×12×12＝12.2．在Rt△ABC中，角C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→等于()A．－16B．－8C．8D．16答案D解析解法一：∵AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos A，△ACB为直角三角形，∴AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|·|AC→||AB→|＝|AC→|2＝16.故选D.解法二：∵△ACB为直角三角形，∴AB→在AC→上的投影为AC→，∴AB→·AC→＝AC→2＝16.故选D.3．向量a的模为10，它与x轴正方向的夹角为150°，则它在x轴正方向上的投影的数量为()A．－53B．5C．－5D．53答案A解析a在x轴正方向上的投影的数量为|a|cos150°＝－53.4．已知向量a，b满足|a|＝4，|a·b|≥10，则|a－2b|的最小值是()A．1B．2C．3D．4答案A解析设a，b的夹角为θ，因为|a·b|＝4|b||cosθ|≥10，所以|b|≥104|cosθ|≥52，由向量形式的三角不等式得，|a－2b|≥||a|－|2b||＝|2|b|－4|≥|2×52－4|＝1.5．(多选)关于菱形ABCD的下列说法中，正确的是()A.AB→∥CD→B．(AB→＋BC→)⊥(BC→＋CD→)C．(AB→－AD→)·(BA→－BC→)＝0D.AB→·AD→＝BC→·CD→答案ABC解析∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，∴AB→∥CD→，A正确；∵对角线AC 与BD互相垂直，且AB→＋BC→＝AC→，BC→＋CD→＝BD→，∴AC→⊥BD→，即(AB→＋BC→)⊥(BC→＋CD→)，B正确；∵AB→－AD→＝DB→，BA→－BC→＝CA→，∵DB→⊥CA→，即DB→·CA→＝0，∴(AB→－AD→)·(BA→－BC→)＝0，C正确；易知〈AB→，AD→〉＝180°－〈BC→，CD→〉，且|AB→|＝|AD→|＝|BC→|＝|CD→|，∴AB→·AD→＝－BC→·CD→，D错误．故选ABC.二、填空题6．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，a＝3，b＝1，∠C＝30°，则BC→·CA→等于____.答案－332解析BC→·CA→＝|BC→||CA→|cos(180°－30°)＝ab cos150°＝－332.7．若|a|＝2，b＝－2a，则a·b＝____.答案－8解析|b|＝2|a|＝4，且b与a反向，∴〈a，b〉＝180°.∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×4×(－1)＝－8.8．给出下列命题：①若a＝0，则对任一向量b，有a·b＝0；②若a≠0，则对任意一个非零向量b，有a·b≠0；③若a≠0，a·b＝0，则b＝0；④若a·b＝0，则a，b至少有一个为0；⑤若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；⑥若a·b＝a·c，且b≠c，当且仅当a＝0时成立．其中真命题为____.答案①解析由数量积的定义逐一判断可知，只有①正确．三、解答题9．已知正方形ABCD的边长为1，分别求：(1)AB→·CD→；(2)AB→·AD→；(3)AC→·DA→.解如图，(1)〈AB→，CD→〉＝π，∴AB→·CD→＝－1.(2)〈AB →，AD→〉＝π2，∴AB →·AD →＝0.(3)〈AC →，DA →〉＝3π4，∴AC →·DA →＝2×1×cos 3π4＝－1.10．已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3，且AB →·BC →＝6，AB →与BC →的夹角为θ.求θ的取值范围．解∵AB→·BC →＝|AB →||BC →|cos θ＝6>0，∴cos θ>0，∴θ为锐角，如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则|CD |＝|BC |sin θ.由题意，知AB→·BC →＝|AB →||BC →|cos θ＝6，①S ＝12|AB ||CD |＝12|AB →||BC →|sin θ.②由②÷①得S 6＝12tan θ，即3tan θ＝S .∵3≤S ≤3，∴3≤3tan θ≤3，即33≤tan θ≤1.又θ为AB →与BC →的夹角，θ∈[0，π]，∴θ∈π6，π4.1．(多选)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AH 为BC 边上的高，给出以下结论，其中正确的是()A.AH→·(AC→－AB→)＝0B.AB→·BC→<0⇒△ABC为钝角三角形C.AC→·AH→|AH→|＝c sin BD.BC→·(AC→－AB→)＝a2答案ACD解析因为AC→－AB→＝BC→，且AH⊥BC，所以AH→·(AC→－AB→)＝0，故A正确；在△ABC中，由AB→·BC→<0，只能得出角B为锐角，不能判断出△ABC的形状，故B不正确；AH→|AH→|是AH→的单位向量，依据数量积的几何意义可知AC→·AH→|AH→|为AC→在AH→方向上的投影，为b sin C＝c sin B，故C正确；因为AC→－AB→＝BC→，所以BC→·(AC→－AB→)＝|BC→|2＝a2，故D正确．2．已知a，b是两个非零向量．(1)若|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求a与b的夹角；(2)若|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．解(1)∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，∴|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|＝|a||b||cos〈a，b〉|＝6.又|a|＝3，|b|＝4，∴|cos〈a，b〉|＝6|a||b|＝63×4＝12，∴cos〈a，b〉＝±12.∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π3或2π3.(2)如图所示，在平面内取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，使|OA →|＝|OB →|，所以四边形OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ，这时OC→＝a ＋b ，BA →＝a －b .由于|a |＝|b |＝|a －b |，即|OA→|＝|OB →|＝|AB →|，所以∠AOC ＝π6，即a 与a ＋b 的夹角为π6.8.1.2向量数量积的运算律(教师独具内容)课程标准：理解掌握数量积的性质和运算律．教学重点：向量数量积的性质与运算律及其应用．教学难点：平面向量数量积的运算律的证明.知识点平面向量数量积的运算律已知向量a ，b ，c 与实数λ，则交换律a ·b ＝01b ·a结合律(λa)·b＝02λ(a·b)＝03a·(λb)分配律(a＋b)·c＝04a·c＋b·c对向量数量积的运算律的几点说明(1)向量数量积不满足消去律：设a，b，c均为非零向量且a·c＝b·c，不能得到a＝b.事实上，如右图所示，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，AB⊥OC于D，可以看出，a，b在向量c上的投影分别为|a|cos∠AOD，|b|cos∠BOD，此时|b|cos∠BOD＝|a|cos∠AOD＝OD.即a·c＝b·c.但很显然b≠a.(2)向量的数量积不满足乘法结合律：一般地，向量的数量积(a·b)c≠a(b·c)，这是由于a·b，b·c都是实数，(a·b)c表示与c方向相同或相反的向量，a(b·c)表示与a方向相同或相反的向量，而a与c不一定共线．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于向量a，b，c等式(a·b)·c＝a·(b·c)恒成立．()(2)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.()(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)已知|a|＝2，b在a上的投影的数量为－2，则a·(a－b)＝____.(2)已知|a|＝3，|b|＝4，则(a＋b)·(a－b)＝____.(3)已知|a|＝6，|b|＝8，〈a，b〉＝120°，则|a2－b2|＝____，|a－b|＝____，|a2＋b2|＝____.答案(1)8(2)－7(3)28237100题型一求向量的数量积例1已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)．[解](1)a·b＝|a||b|cos120°＝2×3 3.(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|cos120°－3|b|2＝8－15－27＝－34.求向量的数量积的两个关键点求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简．[跟踪训练1]在边长为1的正三角形ABC中，设BC→＝2BD→，CA→＝3CE→，则AD→·BE→＝____.答案－14解析由已知得AD→＝12(AB→＋AC→)，AE→＝23AC→，BE→＝BA→＋AE→＝23AC→－AB→，所以AD→·BE→＝12(AB→＋AC→)·－＝12×→|2－|AB→|2－13AB→·＝1 2×1－13cos60°＝－14.题型二求向量的夹角例2已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角．[解]设a，b的夹角为θ，∵单位向量e1，e2的夹角为60°，∴e1·e2＝|e1||e2|cos60°＝12.∴a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)＝e1·e2＋e22－2e21－2e1·e2＝e22－2e21－e1·e2＝1－2－12＝－32，|a|＝a2＝(e1＋e2)2＝|e1|2＋|e2|2＋2e1·e2＝1＋1＋1＝3.|b|＝b2＝(e2－2e1)2＝|e2|2－4e1·e2＋4|e1|2＝1＋4－4×12＝3.∴cosθ＝a·b|a||b|＝－323×3＝－12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝120°.求向量a，b夹角θ的思路(1)解题流程求|a|，|b|→计算a·b→计算cosθ＝a·b|a||b|→结合θ∈[0，π]，求出θ(2)解题思想：由于|a|，|b|及a·b都是实数，因此在涉及有关|a|，|b|及a·b的相应等式中，可用方程的思想求解(或表示)未知量．[跟踪训练2]已知|a|＝3，|b|＝5，|a＋b|＝7，求a·b及a与b的夹角．解∵|a＋b|＝7，∴(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝34＋2a·b＝49，∴a·b＝152.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝1523×5＝12又θ∈[0，π]，故a与b的夹角θ＝60°.题型三求向量的模例3已知x＝1是方程x2＋|a|x＋a·b＝0的根，且a2＝4，〈a，b〉＝120°.求：(1)向量b的模；(2)向量2b＋a的模．[解](1)∵a2＝4，∴|a|2＝4，即|a|＝2.把x＝1代入方程x2＋|a|x＋a·b＝0，得1＋|a|＋a·b＝0，∴a·b＝－3，则a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2|b|cos120°＝－3，∴|b|＝3.(2)(2b＋a)2＝4b2＋a2＋4a·b＝4×9＋4＋4×(－3)＝28，∴|2b＋a|＝27.极化恒等式求模长(1)两个结论①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：①(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.②(a＋b)·(a－b)＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝a2－b2.说明：下列结论也是成立的：(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，(a＋b)·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d.(2)由上述结论，我们不难得到4a·b＝(a＋b)2－(a－b)2，即a·b＝1[(a＋b)2－(a－b)2]．4我们把该恒等式称为“极化恒等式”．(3)应用向量数量积的运算律求向量的模的方法①求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．②一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)(a－b)＝a2－b2等．提醒：向量的模是非负实数；一个向量与自身的数量积等于它的模的平方．，求|a－b|，|a＋b|.[跟踪训练3]已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为π3解解法一：|a＋b|＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos〈a，b〉＝53.＝52＋52＋2×5×5×cosπ3|a－b|＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos〈a，b〉＝5.＝52＋52－2×5×5×cosπ3解法二：以a，b为邻边作▱ABCD，设AC，BD相交于点E，如图所示．∵|a|＝|b|且∠DAB＝π3，∴△ABD为正三角形，∴|a－b|＝|DB→|＝5，|a＋b|＝|AC→|＝2|AE→|＝2|AB→|2－|BE→|2＝252－5 2253.题型四用向量数量积解决垂直问题例4已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°，求证：(a－b)⊥c.[证明]证法一：∵|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c之间的夹角均为120°，∴(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|·cos120°－|b||c|cos120°＝0.∴(a－b)⊥c.证法二：如图，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，连接AB，AC，BC，三条线段围成正三角形ABC，O为△ABC的中心，∴OC ⊥AB.又BA→＝a－b，∴(a－b)⊥c.要解决的问题是用向量表示，它往往对应一个几何图形；如果是几何的形式表示，它往往对应一个向量关系式．要善于发现这二者之间的关系，从一种形式转化为另一种形式，用哪种形式解决问题方便就选用哪种形式．[跟踪训练4]如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE .证明设AD→＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a ·b ＝0，又DE→＝DA →＋AE →＝－a ＋b 2，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋a 2，所以AF →·DE →a 12a 2－34a ·b ＋b 22＝－12|a |2＋12|b |2＝0.故AF →⊥DE→，即AF ⊥DE .1．若向量a 的方向是正北方向，向量b 的方向是西偏南30°方向，且|a |＝|b |＝1，则(－3a )·(a ＋b )等于()A.32B ．－32C.23D ．－23答案B解析由题意知a 与b 的夹角为120°，∴a ·b ＝－12.∴(－3a )·(a ＋b )＝－3a 2－3a ·b ＝－32.2．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a －b |等于()A．1 B.2C.3D．2答案A解析|a－b|＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝12＋12－2·1·cos〈a，b〉＝2－2cos60°＝1.3．若O为△ABC所在平面内一点，且满足(OB→－OC→)·(OB→＋OC→－2OA→)＝0，则△ABC的形状为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．以上均不正确答案C解析由(OB→－OC→)·(OB→＋OC→－2OA→)＝0，得CB→·(AB→＋AC→)＝0，又CB→＝AB→－AC→，∴(AB→－AC→)·(AB→＋AC→)＝0，即|AB→|2－|AC→|2＝0.∴|AB→|＝|AC→|.∴△ABC为等腰三角形．，则4．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为π3实数λ＝____.答案－8或5解析由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，则49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b.，即λ2＋3λ－40由a，b，c为单位向量，得a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcosπ3＝0，解得λ＝－8或λ＝5.5．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|和|a－b|.解(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4a2－4a·b－3b2＝61，，所以4×42－4×4×3cosθ－3×32＝61，cosθ＝－12又因为θ∈[0，π]，所以θ＝120°.(2)因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×4×3cos120°＋9＝13，所以|a＋b|＝13，同理可求得|a－b|＝37.一、选择题1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，(a－b)·b＝0，那么向量a与b的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C，解析由题意可得a·b－b2＝0，设a与b的夹角为θ，则2cosθ＝1，cosθ＝12又θ∈[0，π]，∴θ为60°.2．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝()A．1 B.7C．4＋3D．27答案B解析根据题意，得|a＋2b|＝a2＋4a·b＋4b2＝7.3．若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 为()A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形答案A解析∵0＝AB→·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →，∴AB →⊥AC →，∴∠BAC ＝90°.故选A.4.如图，O ，A ，B 是平面上的三点，C 为线段AB 的中点，向量OA→＝a ，OB →＝b ，设P 为线段AB 的垂直平分线上任意一点，向量OP →＝p .若|a |＝4，|b |＝2，则p ·(a －b )＝()A ．1B ．3C ．5D ．6答案D解析由题图知CP →⊥BA →，则CP →·BA →＝0，p ＝OP→＝OC →＋CP →＝12(OA →＋OB →)＋CP →，则p ·(a －b )＝12(a ＋b )＋CP →·(a －b )＝12(a ＋b )·(a －b )＋CP→·(a －b )＝12(a 2－b 2)＋CP →·BA →＝12(|a |2－|b |2)＋0＝12×(42－22)＝6.5．(多选)设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论正确的是()A ．a ·c －b ·c ＝(a －b )·cB ．(b ·c )·a －(c ·a )·b 不与c 垂直C ．|a |－|b |＜|a －b |D ．(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2答案ACD解析因为a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，则由向量数量积的运算律，知A ，D 正确；由向量减法的三角形法则，知C 正确；因为[(b ·c )·a －(c ·a )·b ]·c ＝(b ·c )·(a ·c )－(c ·a )·(b ·c )＝0.所以(b ·c )·a －(c ·a )·b 与c 垂直，B 错误．故选ACD.二、填空题6．若a ⊥b ，c 与a 及与b 的夹角均为60°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则(a ＋2b －c )2＝____.答案11解析原式展开，得|a |2＋4|b |2＋|c |2＋4|a ||b |cos90°－2|a ||c |cos60°－4|b ||c |cos60°＝11.7．若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 的夹角的余弦值为____.答案－13解析由|a |＝3|b |，得|b ||a |＝13.由|a |＝|a ＋2b |，两边平方得|a |2＝|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ，整理得a ·b ＝－|b |2.设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－|b |2|a ||b |＝－|b ||a |＝－13.8．已知向量AB→与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP→⊥BC →，则实数λ的值为____.答案712解析因为向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|＝3，|AC→|＝2，所以AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos120°＝3×2 3.由AP→⊥BC→，得AP→·BC→＝0，即AP→·BC→＝(λAB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝0，所以AC→2－λAB→2＋(λ－1)AB→·AC→＝0，即4－9λ－3(λ－1)＝0，解得λ＝7.12三、解答题9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算|4a－2b|；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(k a－b)．解由已知，得a·b＝4×816.(1)∵(4a－2b)2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝3×162，∴|4a－2b|＝16 3.(2)若(a＋2b)⊥(k a－b)，则(a＋2b)·(k a－b)＝0.∴k a2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.10.如图，在△OAB中，点P为线段AB上的一个动点(不包含端点)，且满足AP→＝λPB→.(1)若λ＝12，用向量OA →，OB →表示OP →；(2)若|OA→|＝4，|OB →|＝3，且∠AOB ＝60°，求OP →·AB →的取值范围．解(1)∵AP →＝12PB →，∴OP →－OA →＝12(OB →－OP →)．∴32OP →＝OA →＋12OB →，即OP →＝23OA →＋13OB →.(2)OA→·OB →＝|OA →||OB →|cos60°＝6.∵AP→＝λPB →，∴OP→－OA →＝λ(OB →－OP →)，(1＋λ)OP →＝OA →＋λOB →，∴OP →＝11＋λOA →＋λ1＋λOB →.∵AB→＝OB →－OA →，∴OP →·AB →＋λ1＋λOB OB →－OA →)＝－11＋λOA →2＋λ1＋λOB →2·OB →＝－16＋9λ＋6－6λ1＋λ＝3λ－101＋λ＝3－131＋λ.∵λ＞0，∴3－131＋λ∈(－10,3)．∴OP→·AB →的取值范围是(－10,3)．1．已知向量OA→与OB→的夹角为θ，|OA→|＝2，|OB→|＝1，OP→＝tOA→，OQ→＝(1－t)OB→，t∈R，|PQ→|在t＝t0时取得最小值，当0<t0<15时，夹角θ的取值范围是()A.0，π3π3，π2C.π2，2π30，2π3答案C解析因为向量OA→与OB→的夹角为θ，|OA→|＝2，|OB→|＝1，所以OA→·OB→＝2cosθ，由PQ→＝OQ→－OP→＝(1－t)OB→－tOA→，得|PQ→|2＝PQ→2＝(1－t)2OB→2－2t(1－t)·OA→·OB→＋t2OA→2＝(5＋4cosθ)t2－(2＋4cosθ)t＋1，所以t0＝1＋2cosθ5＋4cosθ，由0<1＋2cosθ5＋4cosθ<15，解得－1 2<cosθ<0，因为0≤θ≤π，所以π2<θ<2π3.故选C.2．平面四边形ABCD中，AB→＝a，BC→＝b，CD→＝c，DA→＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD的形状．解∵AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0，即a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－(c＋d)，由上式可得(a＋b)2＝(c＋d)2，即a2＋2a·b＋b2＝c2＋2c·d＋d2.又a·b＝c·d，故a2＋b2＝c2＋d2.①同理可得a2＋d2＝b2＋c2②由①②，得a2＝c2，且b2＝d2，即|a|＝|c|，且|b|＝|d|，也即AB＝CD，且BC＝DA.∴四边形ABCD为平行四边形．故AB→＝－CD→，即a＝－c，∴a·b＝b·c＝－a·b，即a·b＝0，∴a⊥b，即AB→⊥BC→.综上知，四边形ABCD为矩形．8.1.3向量数量积的坐标运算(教师独具内容)课程标准：1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.2.能用坐标表示平面向量垂直的条件．教学重点：平面向量数量积的坐标表示以及模、角度、垂直关系的坐标表示．教学难点：用坐标法处理模、角度、垂直问题.知识点一向量数量积的坐标运算已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝01x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于02它们对应坐标乘积的和.知识点二向量的长度已知a＝(x1，y1)，则|a|＝01x21＋y21，即向量的长度等于02它的坐标平方和的算术平方根.知识点三两向量夹角的余弦设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝01x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.知识点四两点间的距离如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝01(x2－x1)2＋(y2－y1)2.知识点五用坐标表示两向量垂直设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔01x1x2＋y1y2＝0.1．两个向量垂直的条件已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；反之，如果x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.运用向量垂直的条件，既可以判定两向量是否垂直，又可以由垂直关系去求参数．如果a⊥b，则向量(x1，y1)与(－y2，x2)平行．这是因为a⊥b，有x1x2＋y1y2＝0(*)，当x2y2≠0时，(*)式可以表示为x1－y2＝y1x2，即向量(x1，y1)与向量(－y2，x2)平行．对任意的实数k，向量k(－y2，x2)与向量(x2，y2)垂直．2．不等式|a·b|≤|a||b|的代数形式若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，|a |＝x 21＋y 21，|b |＝x 22＋y 22.由|a·b |≤|a ||b |得|x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21·x 22＋y 22，当且仅当a ∥b ，即x 1y 2－x 2y 1＝0时取等号，即不等式(x 1x 2＋y 1y 2)2≤(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)成立．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a ＝(1,1)，b ＝(－2,2)，则a·b ＝0.()(2)若a ＝(4,2)，b ＝(6，m )且a ⊥b ，则m ＝－12.()(3)若a·b ＞0(a ，b 均为非零向量)，则〈a ，b 〉为锐角．()答案(1)√(2)√(3)×2．做一做(1)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为____.(2)已知a ＝(1，3)，b ＝(－2,0)，则|a ＋b |＝____.(3)设a ＝(2,0)，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则a·b ＝____.(4)已知a ＝(3,4)，则与a 垂直的单位向量有________，与a 共线的单位向量有________.答案(1)π6(2)2(3)1－45，－35，－题型一向量数量积的坐标运算例1已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10，求：(1)向量a 的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.[解](1)∵a与b同向，且b＝(1,2)，∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)．又a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．(2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，∴(a·c)b＝0.(1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系．(2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充．[跟踪训练1]已知a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，求(3a－b)·(a－2b)．解解法一：(3a－b)·(a－2b)＝3a2－7a·b＋2b2.∵a·b＝2×3＋(－1)×(－2)＝8，a2＝22＋(－1)2＝5，b2＝32＋(－2)2＝13，∴(3a－b)·(a－2b)＝3×5－7×8＋2×13＝－15.解法二：∵a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，∴3a－b＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)，a－2b＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)，∴(3a－b)·(a－2b)＝3×(－4)＋(－1)×3＝－15.题型二向量的夹角问题例2已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，求a与b的数量积及a与b的夹角的余弦值．[解]＋b ＝(2，－8)，－b ＝(－8，16)，＝(－3，4)，＝(5，－12).∴a ·b ＝(－3,4)·(5，－12)＝(－3)×5＋4×(－12)＝－63.cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－63(－3)2＋42×52＋(－12)2＝－635×13＝－6365.∴a 与b 的夹角的余弦值为－6365.利用数量积求两向量夹角的步骤特别提醒：已知两个非零向量的坐标，就可以利用该公式求得两个向量的夹角，因为向量的夹角范围为[0，π]，故不存在讨论角的终边所在象限的问题．[跟踪训练2]设向量a ＝(－2sin α，2cos α)(0≤α≤π)，b ＝(－25，0)，则a 与b 的夹角为____.答案|π2－α|解析设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22＝45sin α2×25＝sin α，∵α∈[0，π]，∴θ＝|π2－α|.题型三向量的长度、距离问题例3已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|3a－2b|＝3.求|3a＋b|的值．[解]设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．∵|a|＝|b|＝1，∴x21＋y21＝1，x22＋y22＝1，3a－2b＝3(x1，y1)－2(x2，y2)＝(3x1－2x2,3y1－2y2)，∵|3a－2b|＝(3x1－2x2)2＋(3y1－2y2)2＝3，∴9x21－12x1x2＋4x22＋9y21－12y1y2＋4y22＝9，∴13－12(x1x2＋y1y2)＝9.∴x1x2＋y1y2＝13.∵3a＋b＝3(x1，y1)＋(x2，y2)＝(3x1＋x2,3y1＋y2)，∴|3a＋b|＝(3x1＋x2)2＋(3y1＋y2)2＝9x21＋6x1x2＋x22＋9y21＋6y1y2＋y22＝10＋6(x1x2＋y1y2)＝10＋6×13＝23.(1)在上述解题过程中，根据|a|＝|b|＝1，可以设a＝(cosβ，sinβ)，b＝(cosα，sinα)．(2)利用本题的解法可解决下面的一般性问题：若向量a，b满足|a|＝|b|＝r1，及|λ1a＋μ1b|＝r2求|λ2a＋μ2b|的值．(3)注意区别m＝n与|m|＝|n|，其中m＝n表示的是向量关系，即(x1，y1)＝(x2，y2)，而|m|＝|n|表示的是数量关系，即x21＋y21＝x22＋y22.[跟踪训练3]若向量OA→＝(1，－3)，|OA→|＝|OB→|，OA→·OB→＝0，则|AB→|＝____.答案25解析解法一：设OB→＝(x，y)，由|OA→|＝|OB→|，知x2＋y2＝10.①由题意知OA→·OB→＝x－3y＝0.②＝3，＝1＝－3，＝－1.当x＝3，y＝1时，AB→＝OB→－OA→＝(2,4)，则|AB→|＝25；当x＝－3，y＝－1时，AB→＝(－4,2)，则|AB→|＝25.故|AB→|＝25.解法二：由题意知，|AB→|就是以OA→，OB→对应线段为邻边的正方形的对角线长，因为|OA→|＝10，所以|AB→|＝2×10＝25.题型四两向量垂直条件的应用例4如图所示，以原点O和点A(5,2)为两个顶点作等腰直角三角形AOB，使∠B＝90°，求点B的坐标．[解]设点B(x，y)，则OB→＝(x，y)，AB→＝(x－5，y－2)．因为∠B＝90°，所以x(x－5)＋y(y－2)＝0，又|AB→|＝|OB→|，所以x2＋y2＝(x－5)2＋(y－2)2，2＋y 2－5x －2y ＝0，x ＋4y ＝29，1＝72，1＝－322＝32，2＝72.即点B利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，解题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．常用方法是建立平面直角坐标系，借助向量的坐标运算再将向量问题转化为代数问题来解决．[跟踪训练4]在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB 是直角，AC ＝BC ，D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，且AE ＝2EB .求证：AD ⊥CE .证明建立如图所示的平面直角坐标系，设CA ＝CB ＝2，则A (2,0)，B (0,2)，C (0,0)，设E (x ，y )．∵D 为BC 的中点，∴D (0,1)．∵AE ＝2EB ，∴AE →＝23AB →，∴(x －2，y )＝23(－2,2)，－2＝－43，＝43，＝23，＝43，∴∴AD→·CE→＝(－＝－43＋43＝0，∴AD→⊥CE→，∴AD⊥CE.题型五向量数量积的综合应用例5若函数f(x)＝－2<x<10)的图像与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图像交于B，C两点，O为坐标原点，则(OB→＋OC→)·OA→＝() A．－32B．－16C．16D．32[解析]令f(x)＝0，得π6x＋π3kπ，k∈Z，∴x＝6k－2，k∈Z.∵－2<x<10，∴x＝4，即A(4,0)．设B(x1，y1)，C(x2，y2)，∵过点A的直线l与函数的图像交于B，C两点，∴B，C两点关于点A对称，即x1＋x2＝8，y1＋y2＝0.故(OB→＋OC→)·OA→＝(x1＋x2，y1＋y2)·(4,0)＝4(x1＋x2)＝32.[答案]D与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点问题．解此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角函数的图像和性质等知识．[跟踪训练5]设O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，点P是线段AB上的一个动点，AP→＝λAB→.若OP→·AB→≥P A→·PB→，则实数λ的取值范围是()A.12≤λ≤1B．1－22≤λ≤1C.12≤λ≤1＋22D．1－22≤λ≤1＋22答案B解析设P(x，y)，则由AP→＝λAB→，得(x－1，y)＝λ(－1,1)，－1＝－λ，＝λ，∴x－1＋y＝0.①又OP→·AB→≥PA→·PB→，∴(x，y)·(－1,1)≥(1－x，－y)·(－x,1－y)．整理，得x2＋y2－2y≤0，即x2＋(y －1)2≤1.②将①整理，得x＝1－y，代入②中，得(y－1)2≤12.即－22≤y－1≤22.∴1－22≤y≤1＋22.结合题意，得1－22≤y≤1，即1－22≤λ≤1.故选B.1．若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且3a·b＝4，则x等于()A．3 B.13C．－13D．－3答案C解析∵3a·b＝(6，－9)·(x,2x)＝－12x＝4，∴x＝－13.2．已知A(1,2)，B(4,0)，C(8,6)，D(5,8)四点，则四边形ABCD是() A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形答案B解析∵AB→＝(3，－2)，DC →＝(3，－2)，∴AB →＝DC →，又AD→＝(4,6)，∴AB →·AD →＝0，∴AB →⊥AD →.∵|AB→|≠|AD →|，∴选B.3．正三角形ABC 的边长为1，设AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，那么a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值是____.答案－32解析解法一：如图，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，∴a －12，b －12，－c ＝(1,0)，∴a ·b ＋32×＝－12，同理b ·c ＝c ·a ＝－12，∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－32.解法二：a·b ＋b·c ＋c·a ＝1×1×cos120°＋1×1×cos120°＋1×1×cos120°＝3＝－32.4．设向量a 与b 的夹角为α，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，则cos α＝____.答案31010解析∵a ＝(3,3)，由2b －a ＝(－1,1)可得b ＝(1,2)，∴cos α＝a ·b |a ||b |＝918×5＝31010.5.如图，已知△ABC 的面积为32，AB ＝2，AB→·BC →＝1，求边AC 的长．解以点A 为坐标原点，AB →为x 轴正方向建立平面直角坐标系，设点C 的坐标为(x ，y )(y >0)，因为AB ＝2，∴点B 的坐标是(2,0)，∴AB→＝(2,0)，BC →＝(x －2，y )．∵AB →·BC →＝1，∴2(x －2)＝1，解得x ＝52.又S △ABC ＝32，∴12·|AB |·y ＝32，∴y ＝32，∴C AC →∴|AC→|＝＝342，故边AC 的长为342.一、选择题1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b＝()A．23B．7C．－23D．－7答案D解析a·b＝(－3)×5＋4×2＝－7.2．已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形答案A解析∵AB→＝(1,1)，AC→＝(－3,3)，∴AB→·AC→＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB→⊥AC→，∴A＝90°，故选A.3．已知a＝(2，－3)，b＝(1，－2)，且c⊥a，b·c＝1，则c的坐标为() A．(3，－2)B．(3,2)C．(－3，－2)D．(－3,2)答案C解析设c＝(x，y)2x－3y＝0，x－2y＝1，x＝－3，y＝－2.4．与已知向量a 72，12，b12，－72的夹角相等，且模为1的向量是()－45，－223，答案B解析设与向量ab1的向量为(x，y)＋y2＝1，＋12y＝12x－72y，＝45，＝－35＝－45，＝35，故选B.5．(多选)设A(a,1)，B(2，b)，C(4,5)为坐标平面上的三点，O为坐标原点．若OA→与OB→在OC→方向上的投影相同，则a，b的取值可能为()A．a＝2，b＝1B．a＝7，b＝5C．a＝9，b＝6D．a＝12，b＝9答案ABD解析由图知，要使OA→与OB→在OC→方向上的投影相同，只需使AB→⊥OC→，即(2－a，b－1)·(4,5)＝0，得4a－5b－3＝0，则a，b需满足关系式4a－5b＝3，结合选项可知，A，B，D中a，b的取值满足条件．故选ABD.二、填空题6．若a＝(x,2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则实数x的取值范围是____.答案103，＋∞解析x应满足(x,2)·(－3,5)<0且a，b不共线．解得x>103且x≠－65，∴x>103.7．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，若(a＋b)·c＝52，则a与c的夹角为____.答案120°解析由已知，得a＋b＝－a，∴a与c的夹角与c与a＋b的夹角互补．又cos〈a＋b，c〉＝(a＋b)·c|a＋b||c|＝12.∴〈a＋b，c〉＝60°.∴a与c的夹角是120°.8．已知向量a＝(cos2θ，sin2θ)，向量b＝(2,0)，则|2a－b|的最大值是____.答案22解析令t＝cos2θ(0≤t≤1)，则a＝(t,1－t)，所以|2a－b|2＝(2t－2)2＋(2－2t)2＝8(t－1)2.所以|2a－b|＝22|t－1|＝22(1－t)，故当t＝0时，|2a－b|取得最大值22.三、解答题9．在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD是BC边上的高，求。

打印版高中数学编写人：校队：庄河市高级中学高一数学备课组班级姓名学习目标：1、理解程序框图的含义，能读懂程序框图，熟悉各种程序框及流程线的功能和作用；2、通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的算法的过程，学习程序框图的画法；3、在具体问题解决过程中，理解程序框图的三种基本逻辑结构——顺序结构、条件结构和循环结构。

知识清单：1、程序框图又称，是一种用、及来表示算法的图形。

画出与下列名称对应的程序框：终端框（起至框）输入、输出框处理框（执行框）判断框流程线连接点2、任何一种算法都是由三种基本逻辑结构构成的，它们是、、。

3、顺序结构是任何一个算法都离不开的基本结构，它由组成。

可用程序框图表示为：4、条件结构是指而选择不同流向的算法结构。

可用程序框图表示为：5、循环结构中反复执行的步骤称为，教材分析：1、你能说出三种基本逻辑结构的特点吗？条件结构与循环结构有什么区别和联系？2、用程序框图表示两种形式的条件结构，并指出它们的区别和联系。

3、归纳设计一个算法的程序框图的步骤。

例题分析：例1、设计一个求任意数的绝对值的算法，并画出程序框图。

例2、给定一个正整数ｎ，若ｎ为奇数，则把ｎ乘3加1；若ｎ为偶数，则把ｎ除以2，写出算法，并画出程序框图。

例3、设计求1×2×3×4×…×2014的算法，并画出程序框图。

知能达标：1、关于程序框图的图形符号的理解，正确的有（）①任何一个程序框图都必须有起、止框；②输入框只能放在开始框后，输出框只能放在结束框前；③判断框是唯一具有超过一个退出点的图形符号；④对于一个程序来说，判断框内的条件是唯一的。

A、1个B、2个C、3个D、4个2、下列关于条件结构的说法中正确的是（）A、条件结构的程序框图有一个出口和两个出口；B、无论条件结构中的条件是否满足，都只能执行两条路径之一；C、条件结构中的两条路径可以同时执行；D、菱形框中的条件是唯一的。

1.2.1 输入语句、输出语句和赋值语句（第1课时）导学案一、教学目标：1.理解输入语句、输出语句和赋值语句；2.能运用输入语句、输出语句和赋值语句表达解决具体问题的过程；3.培养学生逻辑思维能力与表达能力.【教学重点】输入语句、输出语句和赋值语句的表示方法、结构和用法【教学难点】将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，赋值语句的逻辑关系二、问题导学：1、 顺序结构及其框图三、问题探究：1、输入语句、输出语句和赋值语句例1：（课本第13页例1）分析：首先画出解决该问题算法的程序框图，并解析BASIC 语言中的数学运算符号表示.如：32⨯写成2*3，35写成5^3，35÷写成5/3，5除以3的余数为“5 MOD 3”，5除以3的商为“5\3”，2写成“SQR （2）”，x 写成“ABS （x ）”等等. （1）. 输入语句的一般格式INPUT “提示内容”；变量说明：①输入语句的作用是实现算法的输入信息功能.②“提示内容”提示用户输入什么样的信息，用双引号.③提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开，如“INPUT “a=,b=,c=”；a ，b ，c ”.④变量是指程序在运行是其值是可以变化的量，如③中的a ，b ，c 都是变量，通俗把一个变量比喻成一个盒子，盒子内可以存放数据，可随时更新盒子内的数据.⑤如③中当依次输入了1，2，3程序在运行时把输入的值依次赋给a ，b ，c ，即a=1，b=2，c=3.例如，输入一个学生数学、语文、英语三门课的成绩：INPUT “Maths ，Chines ，English ”；a ，b ，c输入任意整数n ：INPUT “n=”；n（2）. 输出语句的一般格式PRINT “提示内容”；表达式说明：①输出语句的作用是实现算法的输出结果的功能，可以在计算机的屏幕上输出常量、变量的值和系统信息.②“提示内容”提示用户输出什么样的信息，用双引号.③提示内容与表达式之间用分号“；”隔开. ④要输出表达式中的字符，需要用双引号“”，如：PRINT “提示内容：”；“a+2”，这时屏幕上将显示：提示内容：a+2.例如，下面的语句可以输出斐波那契数列：PRINT “The Fibonacci Progression is:”；1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 “…”这时屏幕上将显示：The Fibonacci Progression is: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 …例2：（课本第14页例2）分析：补充写出屏幕上显示的结果.（3）.赋值语句的一般格式 变量=表达式说明：①赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量.②赋值语句中的“=”叫做赋值号，它和数学中的等号不完全一样；赋值号的左右两边不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，如a=b 表示用b 的值代替变量a 原先的值.③格式中右边“表达式”可以是一个数据、常量和算式，如果“表达式”是一个算式时，赋值语句的作用是先计算出“=”右边表达式的值，然后将该值赋给“=”左边的变量，如若a=1，b=2，c=a+b 是指先计算a+b 的值3赋给c ，而不是将a+b 赋给c.例3：（课本第14页例3）分析：先画出程序框图，重点分析“A=A+15”.例4：（课本第15页例4）分析：先画出程序框图.（4）. 输入语句、输出语句和赋值语句之间的区别（1）输入语句和赋值语句的区别：输入语句是外部直接给程序中变量赋值；赋值语句是程序内部运行时给变量赋值，先计算右边的表达式，得到的值赋给左边的变量.（2）输入语句和输出语句的区别：输入语句是外部直接给程序中变量赋值；输出语句是程序运行的结果输出到外部，先计算表达式，得到结果输出.四、课堂练习1. （课本第15页练习1、2、3、4） （要求：先画出程序框图）2、（课本第23页习题1.2A 组第1题）五、自主小结六、作业1.（课本第23页习题1.2A 组第2题）2. 编写一个程序，给任意三个变量a 、b 、c 赋值，求ac b42-的值. 3. 已知直线方程为0=++C By Ax )0(≠AB ，试编写一个程序，要求输入符合条件的A 、B 、C 的值，输出该直线在x 轴、y 轴上的截距和斜率.4. 编写一个程序，任意输入五个数，并在每加一个数时输出当时的累加和.。

《必修3》第一章《算法初步》
第11课时 程序框图与算法的基本逻辑结构
）班 第 小组 姓名： 评价：
1.掌握程序框图的概念及其基本程序框图的功能；
2.会用通用的图形符号表示算法，掌握算法的三个基本逻辑结构；
教学重点：程序框图的顺序结构的画法；程序框图的概念及其基本程序框图的功能； 一、思考学习算法的意义并自学课本第6-8页，完成以下问题： 1. 问题情境：
如果你向全班同学介绍一下你心中偶像的形象，你认为用语言描述好还是拿出偶像的 照片给同学们看好？说明一下你的理由。

2．新课探究
(1).右边的程序框图（如图所示），能判断任意输入的数x 的 奇偶性，请大家参考书本第六页的表格，完成下表：
(2).你能用语言描述一下框图的基本结构特征吗？
(3).通过以上算法与上一节课比较，你觉得用框图来表达算法有哪些特点？
m=0?
（1）顺序结构：；（2）条件结构：；（3）循环结构：；
例1：预习书本第9页例3，仿照其程序框图画出“输入矩形的边长求它的面积”的程序框图。

例2：预习书本第10页例4，仿照完成“求x的绝对值”的程序框图。

例3：预习书本第13页例6，仿照其程序框图设计一个计算222
12+100
++…的值的算法，并出程序框图。

设计算法求12+23+34+99100
……的值.要求画出程序框图
⨯⨯⨯⨯。

新人教版高中数学必修三教案（全册）第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1 算法与程序框图（共3课时）1.1.1算法的概念（第1课时）【课程标准】通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义.【教学目标】1.理解算法的概念与特点；2.学会用自然语言描述算法，体会算法思想；3.培养学生逻辑思维能力与表达能力.【教学重点】算法概念以及用自然语言描述算法【教学难点】用自然语言描述算法【教学过程】一、序言算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始. 同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力.在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想.二、实例分析例1：写出你在家里烧开水过程的一个算法.解：第一步：把水注入电锅；第二步：打开电源把水烧开；第三步：把烧开的水注入热水瓶.（以上算法是解决某一问题的程序或步骤）例2：给出求1+2+3+4+5的一个算法.解：算法1 按照逐一相加的程序进行第一步：计算1+2，得到3；第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6； 第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10； 第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，得到15.算法2 可以运用公式1+2+3+…+错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

直接计算 第一步：取错误!未找到引用源。

=5；第二步：计算错误!未找到引用源。

； 第三步：输出运算结果.（说明算法不唯一）例3：（课本第2页，解二元一次方程组的步骤）（可推广到解一般的二元一次方程组，说明算法的普遍性） 例4：用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： 第一步：根据题意，选择标准方程或一般方程；第二步：根据条件列出关于错误!未找到引用源。

§1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构（1）----顺序结构课前预习案教材助读:一.复习回顾：了解了算法的概念及处理某些问题的算法后，你觉得用自然语言表述的算法有什么不方便之处？谈谈自己的感想.二．认真自学课本P6-9, 完成下列问题.：1.算法的概念如何理解？2.1＋2＋3＋4＋…＋100＝？如何设计它的算法？你能使它更简洁吗？引入：从上面例子看，算法步骤是有明确的顺序性的，有些步骤在一定条件下才能执行，有些步骤在一定条件下才能重复执行，用算法步骤写出它们很麻烦，所以我们有必要探究使算法表达得更直观、简洁。

课内探究案一、新课导学：（一）程序框图的定义（二）程序框图的基本符号及功能（三）算法的基本逻辑结构二、合作探究:知识探究（一）：算法的程序框图问题1:“判断整数n（n>2）是否为质数”的算法步骤如何？第一步，给定一个大于2的整数n；第二步，第三步，第四步，第五步，问题2:我们将上述算法用下面的图形表示：上述表示算法的图形称为算法的程序框图又称 ，其中的多边形叫做 ，带方向箭头的线叫做 ，你能指出程序框图的含义吗？程序框图是用 、 及 来表示算法的图形.问题3:在上述程序框图中，有4种程序框，2种流程线，它们分别有何特定的名称和功能？否是 是 开始输入 n i = 2 求 n 除以 i 的余 数 i 的值增加 1 ，仍用 i 表 开始 i > n - 1 或 r=0 ？ r=0 ？ 输出 “n 不是质数 ” 结束 否 输出“n “是质数 示 结束 开始试分别说明。

图形符号 名称功能问题4:在逻辑结构上，“判断整数n （n>2）是否为质数”的程序框图由几部分组成？知识探究（二）：算法的顺序结构问题1:任何一个算法各步骤之间都有明确的顺序性，在算法的程序框图中，由若干个 的步骤组成的逻辑结构，称为顺序结构，用程序框图可以表示为：在顺序结构中可能会用到哪几种程序框和流程线？问题2:若一个三角形的三条边长分别为c b a ,,， 令 ， 则三角形的面积你能利用这个公式设计一个计算三角形面积的算法步骤吗？第一步，输入三角形三条边的边长c b a ,,第二步，第三步，第四步，输出S.问题3:上述算法的程序框图如何表示？2a b c p ++=()()()S p p a p b p c =---三、当堂检测：1.下列程序框图表示的算法功能是（ ）A.计算小于100的奇数的连乘积.B.计算从1开始的连续奇数的连乘积.C.计算从1开始的连续奇数的连乘积， 当乘积大于100时，计算奇数的个数.D.计算100321≥⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯n 成立时n 的最小值.四、课后反思课后训练案1.利用梯形的面积公式计算上底为a ，下底为b ，高为h 的梯形的面积．设计出该问题的算法及程序框图．。

1.1.2程序框图与算法的逻辑结构（一）【学习目标】1、熟练掌握程序框图的画法、意义和作用，并规范使用；2、通过实例，了解程序算法的三个基本逻辑结构，基本掌握顺序结构、条件结构. 【课前导学】阅读课本P6~12后填空：1、程序框图：（1）程序框图又称___________，是一种用__________、_____________及____________来表示算法的图形； （2）基本的程序框和它们各自表示的功能：2、算法的三种基本逻辑结构是____________、__________、___________. 用程序框图分别表示顺序、条件结构:【课内探究】例1、已知一个三角形三条边的边长分别为a 、b 、c ，利用海伦—秦九韶公式（即三角形面积 S =))()((c p b p a p p ---，其中p =2cb a ++）设计一个计算三角形面积的算法，并画出程序框图。

解：算法步骤如下： 画出程序框图：第一步，输入三角形三条边的边长a 、b 、c ；第二步，计算 ；第三步，计算；第四步，输出。

变式1：已知两个变量A和B的值，试设计一个交换这两个变量的值的算法，并画出程序框图。

例2、任意给定3个正实数a、b、c，设计一个算法，判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在，并画出这个算法的程序框图。

画程序框图如下：解：算法步骤如下：第一步，；第二步，判断是否同时成立。

若是，则存在这样的三角形；否则，不存在这样的三角形。

变式2：某居民区的物业部门每月向居民收取卫生费，计费方法是：3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元。

（1）写出应收的卫生费y关于人数x的函数关系式；（2）设计一个算法，据输入的人数，计算应收取的卫生费，并画出程序框图。

【课后作业】1、给出以下一个算法的程序框图(如图所示)，该程序框图的功能是(A ．求输出a 、b 、c 三数的最大数B ．求输出a 、b 、c 三数的最小数C ．将a 、b 、c 按从小到大排列D ．将a 、b 、c 按从大到小排列()()102 .10x x y x x -<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩、画出求分段函数的函数值的程序框图。

武威十六中教学导学案学案课题：§循环结构学科：数学年级：高一年级课时： 1 课时主备人：使用学生：使用时间：年月日学习目标：1、知道程序框图的含义，会读程序框图，知道各种程序框及流程线的功能和作用；2、通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的算法的过程，学习程序框图的画法；3、在具体问题解决过程中，知道程序框图的循环结构。

学习活动内容一、自主学习复习回忆1、什么叫做顺序结构，它有什么特点？2、什么叫做条件结构，它有什么特点？预习〔1〕请大家举出一些常见的需要反复计算的例子.〔2〕什么是循环结构、循环体？〔3〕试用程序框图表示循环结构.〔4〕指出两种循环结构的相同点和不同点.二、合作探究例1设计一个计算1+2++100的值的算法，并画出程序框图.从1加到100你知道结果是多少吗？怎么计算的结果？能写出它的算法和程序框图吗？i有什么作用?S呢？如何使程序结束？用当型结构和直到型结构表示循环体？画出程序框图？思考:将两步交换位置，结果会怎样？能到达预期结果吗？为什么？要到达预期结果，还需要做怎样的修改？三、变式训练设计一算法，求积:1×2×3××100，画出流程图【课堂训练】由相应的程序框图如右图，补充完整一个计算1+2+3++100的值的算法.〔用循环结构〕第一步，设i的值为_____________.第二步，设S的值为_____________.第三步，如果i≤100执行第_____________步,否那么，转去执行第_____________步.第四步，计算S＋i并将结果代替_____________.第五步，计算_____________并将结果代替i.第六步，转去执行第三步.第七步，输出S的值并结束算法.2、设计1×3×5×7×9×11的算法，并画出程序框图.3、P20课本习题组第二题。

1．1算法与程序框图1．1.1算法的概念1．问题导航(1)我国古代盛行一时的计算工具是什么？(2)求解一般的二元一次方程组分几个步骤？(3)请同学们总结算法的特征是什么？(4)怎样判断整数n(n＞2)是否为质数？2．例题导读通过对例1的学习，学会写判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法；通过对例2的学习，学会写求任意一个方程的近似解的算法．通过以上两例，体会到算法具有以下特性：①有穷性；②确定性；③有序性；④不唯一性；⑤普遍性．1．算法的概念12世纪的算法指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程．数学中的算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.现代算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.2.设计算法的目的计算机解决任何问题都要依赖于算法，只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题．1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”)(1)算法就是某个问题的解决过程；()(2)算法执行后可以不产生确定的结果；()(3)解决某类问题的算法是唯一的．()解析：算法是某一类问题的解决步骤，不是某个问题的解决过程，它的每一步是确定的，产生的结果也是确定的．答案：(1)×(2)×(3)×2．下列语句表达的是算法的有()①拨本地电话的过程为：1提起话筒；2拨号；3等复话信号；4开始通话或挂机；5结束通话；②利用公式V＝Sh计算底面积为3，高为4的三棱柱的体积；③x2－2x－3＝0；④求所有能被3整除的正数，即3，6，9，12，….A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④解析：选A.算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．①②都各表达了一种算法；③只是一个纯数学问题，不是一个明确步骤；④的步骤是无穷的，与算法的有穷性矛盾．3．输入一个x值，利用y＝|x－1|求函数值的算法如下，请将所缺部分补充完整：第一步：输入x；第二步：________；第三步：当x<1时，计算y＝1－x；第四步：输出y.解析：以x－1与0的大小关系为分类准则知第二步应填当x≥1时，计算y＝x－1.答案：当x≥1时，计算y＝x－14．任意给定一个正实数，设计一个算法求以这个数为半径的圆的面积．(链接教材P5练习1)解：算法步骤：第一步，给定一个正实数r；第二步，计算以r为半径的圆的面积S＝πr2；第三步，得到圆的面积S.算法就是解决问题的步骤，平时无论我们做什么事都离不开算法，算法的描述可以用自然语言，也可以用数学语言．写算法应注意以下几点：1．写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数n(n>1)是否为质数；求任意一个方程的近似解；…)，并且能够重复使用．2．要使算法尽量简单、步骤尽量少．3．要保证算法正确，且计算机能够执行，如：让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的．算法的概念以下关于算法的说法正确的是()A．描述算法可以有不同的方式，可用自然语言也可用其他语言B．算法可以看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列只能解决当前问题C．算法过程要一步一步执行，每一步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且经过有限步或无限步后能得出结果D．算法要求按部就班地做，每一步可以有不同的结果[解析]算法可以看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或计算序列能够解决一类问题，故B不正确．算法过程要一步一步执行，每一步执行操作，必须确切，只能有唯一结果，而且经过有限步后，必须有结果输出后终止，故C、D都不正确．描述算法可以有不同的语言形式，如自然语言、框图语言等，故A正确．[答案] A方法归纳(1)算法有如下特点：确定性、有序性、有穷性、普遍性、不唯一性．(2)算法实际上就是解决问题的一种程序化方法，它通常是指解决某一类问题，而解决的过程是程序性和构造性的，正确理解算法的概念和特点是解决此类问题的关键．扫一扫进入91导学网(91daoxue.)算法的概念1．下列语句表述为算法的是()①从济南到巴黎，可以先乘火车到北京，再坐飞机抵达；②利用公式S＝12ah计算底为1，高为2的三角形面积；③12x>2x＋4；④求M(1，2)与N(－3，－5)两点连线的方程，可先求MN的斜率，再利用点斜式方程求得．A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④解析：选C.算法是解决问题的步骤与过程，这个问题并不仅仅限于数学问题，①②④都表达了一种算法．计算类问题的算法设计写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法．[解]法一：算法如下．第一步 将方程左边因式分解，得(x －3)(x ＋1)＝0；① 第二步 由①得x －3＝0，②或x ＋1＝0；③ 第三步 解②得x ＝3，解③得x ＝－1. 法二：算法如下．第一步 移项，得x 2－2x ＝3；①第二步 ①式两边同时加1并配方，得(x －1)2＝4；② 第三步 ②式两边开方，得x －1＝±2；③ 第四步 解③得x ＝3或x ＝－1. 法三：算法如下．第一步 计算方程的判别式并判断其符号Δ＝(－2)2＋4×3＝16＞0；第二步 将a ＝1，b ＝－2，c ＝－3，代入求根公式x 1，x 2＝－b ±b 2－4ac 2a，得x 1＝3，x 2＝－1.方法归纳本题体现了算法的不唯一性，比较以上三个算法，可以看出法三中的算法最简单、步骤最少，并且具有通用性．因此，在设计算法时，首先考虑是否有公式可用，利用公式解决问题是最理想的方法；其次要综合各方面的因素，选择一种较好的算法．2．(1)已知平面直角坐标系中点A (－2，0)，B (3，1)，写出求直线AB 方程的一个算法． 解：法一：算法如下．第一步 求出直线AB 的斜率k ＝1－03－（－2）＝15；第二步 选定A (－2，0)，用点斜式写出直线AB 的方程y －0＝15[x －(－2)]；第三步 将第二步的运算结果化简，得到方程x －5y ＋2＝0. 法二：算法如下．第一步 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ；第二步 将A (－2，0)，B (3，1)代入第一步设出的方程，得到⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝0，3k ＋b ＝1；第三步 解第二步所得的方程组，得到k ＝15，b ＝25；第四步 把第三步得到的结果代入第一步所设的方程中，得到y ＝15x ＋25；第五步 将第四步所得的结果整理，得到方程x －5y ＋2＝0. (2)已知球的表面积为16π，写出求球的体积的一个算法． 解：法一：第一步，取S ＝16π. 第二步，计算R ＝S4π(由于S ＝4πR 2)． 第三步，计算V ＝43πR 3.第四步，输出运算结果． 法二：第一步，取S ＝16π. 第二步，计算V ＝43π(S 4π)3. 第三步，输出运算结果．非计算类问题的算法设计请你设计一个算法，找出a ，b ，c ，d 四个互不相同的数中的最小值． [解] 算法如下：第一步，定义最后求得的最小数为 min ，使 min ＝a .第二步，如果b ＜min ，则min ＝b ；如果b ＞min ，则 min ＝原 min. 第三步，如果c ＜min ，则 min ＝c ；如果c ＞min ，则 min ＝原 min. 第四步，如果d ＜min ，则 min ＝d ；如果d ＞min ，则 min ＝原 min.第五步，输出min，则min就是a、b、c、d中的最小值．[互动探究]本例若改为求a、b、c、d四个互不相同的数中的最大值，设计一个算法．解：算法如下：第一步，定义最后求得的最大数为max，使max＝a.第二步，如果b＞max，则max＝b；如果b＜max，则max＝原max.第三步，如果c＞max，则max＝c；如果c＜max，则max＝原max.第四步，如果d＞max，则max＝d；如果d＜max，则max＝原max.第五步，输出max，则max就是a、b、c、d中的最大者．方法归纳算法原理与平时的解题原理不能等同，要注意两者之间的区别．在设计此题算法时，每一步都必须是比较两个数的大小，直至找到众多数中的最小(大)者为止．3．(1)早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个过程．则下列选项中最好的一种算法是()A．S1洗脸刷牙；S2刷水壶；S3烧水；S4泡面；S5吃饭；S6听广播B．S1刷水壶；S2烧水同时洗脸刷牙；S3泡面；S4吃饭；S5听广播C．S1刷水壶；S2烧水同时洗脸刷牙；S3泡面；S4吃饭同时听广播D．S1吃饭同时听广播；S2泡面；S3烧水同时洗脸刷牙；S4刷水壶解析：选C.因为A选项共用时间36 min，B选项共用时间31 min，C选项共用时间23 min，D 选项的算法步骤不符合常理．(2)假如你要乘火车去外地办事，请写出从自己房间出发到坐在车厢内的主要三步：第一步：________；第二步：________；第三步：________．答案：去火车站买火车票凭票上车、对号入座规范解答求分段函数的函数值(本题满分12分)已知函数 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1（x ≤－1）log 3（x ＋1）（－1<x <2），x 4（x ≥2）试设计一个算法，输入x 的值，求对应的函数值． [解] 算法如下： 第一步，输入x ；2分第二步，当x ≤－1时，计算y ＝2x －1，否则执行第三步；5分第三步，当x ＜2时，计算y ＝log 3(x ＋1)，否则执行第四步；8分 第四步，计算y ＝x 4；10分 第五步，输出y .12分 [规范与警示]在解题过程中注意输入及输出语句．分段函数求函数值的算法要注意运用分类讨论的思想，本步是整个解题的关键所在． (1)算法步骤一定要完整、清晰．对算法的特征理解不全面，认为直接判断x 的值即可，从而缺少输入语句；或求出y 的值就算完成了算法．实际上，任何一个算法必须有输入、输出语句，才能得到所需的数据或结果．(2)分段函数求函数值的算法要运用分类讨论思想进行设计，一定要对算法中可能遇到的情况考虑周全，满足与不满足都要有相应的步骤．1．在用二分法求方程零点的算法中，下列说法正确的是( ) A ．这个算法可以求方程所有的零点 B ．这个算法可以求任何方程的零点 C ．这个算法能求方程所有的近似零点D ．这个算法并不一定能求方程所有的近似零点解析：选D.二分法求方程零点的算法中，仅能求方程的一些特殊的近似零点(满足函数零点存在性定理的条件)，则D 正确．2．已知一个学生的语文成绩为89分，数学成绩为96分，外语成绩为99分，求他的总分和平均成绩的一个算法为：第一步，取A ＝89，B ＝96，C ＝99. 第二步，________． 第三步，________． 第四步，输出计算结果．解析：要计算平均分，应先计算出三科的总分．第二步应为：计算总分D ＝A ＋B ＋C .第三步应为：计算平均成绩E ＝D3.答案：计算总分D ＝A ＋B ＋C 计算平均成绩E ＝D33．下面给出一个问题的算法： 第一步，输入a .第二步，若a ≥4，则执行第三步；否则，执行第四步． 第三步，输出2a －1； 第四步，输出a 2－2a ＋3.则这个算法解决的问题是________，当输入的a ＝________时，输出的数值最小． 解析：这个算法解决的问题是求分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥4x 2－2x ＋3，x ＜4的函数值的问题．当x ≥4时， f (x )＝2x －1≥7；当x <4时， f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2. ∴f (x )min ＝2，此时x ＝1.∴当输入的a 的值为1时，输出的数值最小．答案：求分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥4x 2－2x ＋3，x ＜4的函数值 1[A.基础达标]1.下列关于算法的说法错误的是()A．一个算法的步骤是可逆的B．描述算法可以有不同的方式C．设计算法要本着简单方便的原则D．一个算法不可以无止境地运算下去解析：选A.由算法定义可知B、C、D对，A错．2.下列可以看成算法的是()A．学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当的练习题B．今天餐厅的饭真好吃C．这道数学题难做D．方程2x2－x＋1＝0无实数根解析：选A.A是学习数学的一个步骤，所以是算法．3．阅读下面的四段话，其中不是算法的是()A．求1×2×3的值，先计算1×2＝2，再计算2×3＝6，最终结果为6B．解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1C．方程x2－1＝0有两个实数根D．求1＋2＋3＋4＋5的值，先计算1＋2＝3，再计算3＋3＝6，6＋4＝10，10＋5＝15，最终结果为15解析：选C.A、B、D中，都是解决问题的步骤，则A、B、D是算法．4．(2015·东营高一检测)一个算法步骤如下：S1，S取值0，i取值1；S2，如果i≤10，则执行S3，否则执行S6；S3，计算S＋i并将结果代替S；S4，用i＋2的值代替i；S 5，转去执行S 2；S 6，输出S .运行以上步骤后输出的结果S ＝( )A ．16B ．25C ．36D ．以上均不对解析：选B.由以上计算可知：S ＝1＋3＋5＋7＋9＝25，答案为B.5．有如下算法：第一步，输入不小于2的正整数n .第二步，判断n 是否为2.若n ＝2，则n 满足条件；若n >2，则执行第三步．第三步，依次从2到n －1检验能不能整除n ，若不能整除，则n 满足条件．则上述算法满足条件的n 是( )A ．质数B ．奇数C ．偶数D ．约数解析：选A.根据质数、奇数、偶数、约数的定义可知，满足条件的n 是质数．6．下列各式中S 的值不能用算法求解的是________．①S ＝12＋22＋32＋42＋ (1002)②S ＝12＋13＋14＋15＋…＋150； ③S ＝1＋2＋3＋4＋5＋…；④S ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋99－100.解析：根据算法的有限性知③不能用算法求解．答案：③7.写出作y ＝|x |图象的算法．第一步，当x ＞0时，作出第一象限的角平分线．第二步，当x ＝0时，即为原点．第三步，________________________．解析：依据算法解决的问题知，第三步应为“当x ＜0时，作出第二象限的角平分线”．答案：当x ＜0时，作出第二象限的角平分线8.如下算法：第一步，输入x 的值；第二步，若x ≥0，则y ＝x ；第三步，否则，y ＝x 2；第四步，输出y 的值．若输出的y 值为9，则x ＝________．解析：根据题意可知，此为求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x ≥0x 2，x ＜0函数值的算法，当x ≥0时，x ＝9；当x ＜0时，x 2＝9，所以x ＝－3.答案：9或－39.写出求方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝14 ①x ＋2y ＝－2 ②的解的算法． 解：法一：第一步，①－②得：2x ＝14＋2； ③第二步，解方程③得：x ＝8; ④第三步，将④代入②得：8＋2y ＝－2; ⑤第四步，解⑤得：y ＝－5；第五步，得到方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝－5. 法二：第一步，由②式移项可得：x ＝－2－2y ; ③第二步，把③代入①得：y ＝－5; ④第三步，把④代入③得：x ＝8；第四步，得到方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝－5. 10.试设计一个判断圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2和直线Ax ＋By ＋C ＝0位置关系的算法．解：第一步，输入圆心的坐标(a ，b )、直线方程的系数A 、B 、C 和半径r .第二步，计算z 1＝Aa ＋Bb ＋C .第三步，计算z 2＝A 2＋B 2.第四步，计算d＝|z1|.z2第五步，如果d>r，则输出“相离”；如果d＝r，则输出“相切”；如果d<r，则输出“相交”．[B.能力提升]1.(2015·青岛质检)结合下面的算法：第一步，输入x.第二步，判断x是否小于0，若是，则输出x＋2，否则执行第三步．第三步，输出x－1.当输入的x的值为－1，0，1时，输出的结果分别为()A．－1，0，1B．－1，1，0C．1，－1，0 D．0，－1，1解析：选C.根据x值与0的关系选择执行不同的步骤．2．对于求18的正因数，给出下面的两种算法：算法1：第一步，1是18的正因数，将1列出．第二步，2是18的正因数，将2列出．第三步，3是18的正因数，将3列出．第四步，4不是18的正因数，将4剔除．…第十八步，18是18的正因数，将18列出．算法2：第一步，18＝2×9.第二步，18＝2×32.第三步，列出所有的正因数1，2，3，32，2×3，2×32.则这两个算法()A．都正确B．算法1正确，算法2不正确C．算法1不正确，算法2正确D．都不正确解析：选A.算法1是用1～18的整数逐一验证，得出的正因数．算法2利用因数分解得到18的正因数．两种算法都正确．故选A.3．求过P (a 1，b 1)、Q (a 2，b 2)两点的直线斜率有如下的算法，请将算法补充完整：S 1 取x 1＝a 1，y 1＝b 1，x 2＝a 2，y 2＝b 2.S 2 若x 1＝x 2，则输出斜率不存在；否则，________．S 3 输出计算结果k 或者无法求解信息．解析：根据直线斜率公式可得此步骤．答案：k ＝y 2－y 1x 2－x 14.一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，该船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊．该人将动物转移过河的算法如下．请在横线上填上适当的步骤：第一步，人带两只狼过河，并自己返回．第二步，人带一只狼过河，自己返回．第三步，________________________________________________________________________. 第四步，人带一只羚羊过河，自己返回．第五步，人带两只狼过河．解析：因为没有人在的时候，狼的数量应少于羚羊的数量，因此第三步人应带两只羚羊过河，且再带回两只狼．答案：人带两只羚羊过河，并带两只狼返回5．国际奥委会宣布2020年夏季奥运会主办城市为日本的东京；据《中国体育报》报道：对参与竞选的5个夏季奥林匹克运动会申办城市进行表决的操作程序是：首先进行第一轮投票，如果有一个城市得票数超过总票数的一半，那么该城市将获得举办权；如果所有申办城市得票数都不超过总票数的一半，则将得票最少的城市淘汰，然后进行第二轮投票；如果第二轮投票仍没选出主办城市，将进行第三轮投票，如此重复投票，直到选出一个主办城市为止，写出投票过程的算法．解：算法如下：第一步，投票．第二步，统计票数，如果一个城市得票数超过总票数的一半，那么该城市就获得主办权，否则淘汰得票数最少的城市转第一步．第三步，宣布主办城市．6.(选做题)“韩信点兵”问题：韩信是汉高祖手下的大将，他英勇善战，谋略超群，为汉朝的建立立下了不朽功勋．据说他在一次点兵的时候，为保住军事秘密，不让敌人知道自己部队的军事实力，采用下述点兵方法：①先令士兵从1～3报数，结果最后一个士兵报2；②又令士兵从1～5报数，结果最后一个士兵报3；③又令士兵从1～7报数，结果最后一个士兵报4.这样韩信很快算出自己部队里士兵的总数．请设计一个算法，求出士兵至少有多少人．解：第一步，首先确定最小的满足除以3余2的正整数：2.第二步，依次加3就得到所有除以3余2的正整数：2，5，8，11，14，17，20，….第三步，在上列数中确定最小的满足除以5余3的正整数：8.第四步，然后在自然数内在8的基础上依次加上15，得到8，23，38，53，….第五步，在上列数中确定最小的满足除以7余4的正整数：53.即士兵至少有53人．。

武威十六中教学导学案学案课题：§条件结构学科：数学年级：高一年级课时： 1 课时主备人：使用学生：使用时间：年月日学习目标：〔1分钟〕1.理解并掌握条件结构程序框图的常见形式及特点；2.会用条件结构的程序框图描述具体问题；3.会根据程序框图进行计算。

学习活动内容一、自主学习一.复习回忆，导入新课顺序结构的程序框图的形式为特点为顺序结构的程序框图能解决一切算法问题吗？思考以下问题：1〕举例说明什么是分类讨论思想？2〕什么是条件结构？3〕试用程序框图表示条件结构.4〕指出条件结构的两种形式的区别.二、合作探究〔20分钟〕1.理解概念：在某些问题的算法中，有些步骤只有在一定条件下才会被执行，算法的流程因条件是否成立而变化.在算法的程序框图中，由假设干个在一定条件下才会被执行的步骤组成的逻辑结构，称为。

条件结构用程序框图可以表示为下面两种形式：你如何理解这两种程序框图的共性和个性？牛刀小试例1.判断“以任意给定的3个正实数为三条边边长的三角形是否存在〞的算法步骤如何设计？第一步，第二步，探究:你能画出这个算法的程序框图吗？三．稳固提高【课内合作交流】例2．如下列图的程序框图,输入x=2,那么输出的结果是( )0,(x 0)例3.画出一个计算分段函数y1,(0 x1)函数值的算法，x,(x1)并画出程序框图。

【课后稳固练习】2.以下函数求值算法中需要用到条件结构的是2 1 x 2x1x2 1x 2xC.f(x)x213.函数f(x)=|x-3|, 以下程序框图表示的是给定x值,求其相应函数值的算法.请将该程序框图补充完整.其中①处应填______,②处应填______.第3题图第4题图如下列图的程序框图,其功能是()A.输入a,b的值,按从小到大的顺序输出它们的值B.输入a,b的值,按从大到小的顺序输出它们的值C.求a,b的最大值D.求a,b的最小值5.为了加强居民的节水意识，某市制定了以下生活用水收费标准：每户每月用水未超过7时，每立方米收费元，并加收元的城市污水处理费；超过7的局部，每立方米收费元，并加收元的城市污水处理费.设某户每月用水量为x，应交纳水费y元。

第一章算法初步1.1 算法与程序框图1．算法的概念算法通常是指按照一定规则解决___________的明确和有限的步骤．算法具有确定性、有效性、有限性的特征．2．程序框图程序框图又称流程图，是一种用___________、___________及___________来表示算法的图形．程序框图是人们用来描述算法步骤的形象化的方法．在程序框图中，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序．另外，程序框内还要有必要的文字说明．构成程序框图的图形符号、名称及其功能如下表：说明：一个完整的程序框图一定会包含终端框（用于表示一个算法的开始和结束），处理框（赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等）和流程线．3．算法的三种基本逻辑结构通常一个算法只能由三种基本逻辑结构构成，这三种基本逻辑结构分别是：顺序结构、条件结构和循环结构．（1）顺序结构顺序结构是由若干个___________的步骤组成的．这是任何一个算法都离不开的基本结构．顺序结构可以用程序框图表示为（2）条件结构在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据___________有不同的流向．条件结构就是处理这种过程的结构．条件结构对应的程序框图如图所示：（1）（2）注意：①无论条件是否成立，图（1）中只能执行“步骤A”框或“步骤B”框，但不可以既执行“步骤A”又执行“步骤B”，也不可以“步骤A”和“步骤B”都不执行；“步骤A”和“步骤B”中可以有一个是空的，如图（2）所示．②在利用条件结构画程序框图时，必须清楚判断的条件是什么，条件判断后分别对应着什么样的结果．（3）循环结构在一些算法中，要求___________同一操作的结构称为循环结构．即从算法某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤．反复执行的步骤称为循环体．循环结构有两种形式：直到型循环结构和当型循环结构．①直到型循环结构直到型循环结构可以用程序框图表示为：这个循环结构有如下特征：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环．②当型循环结构当型循环结构可以用程序框图表示为：这个循环结构有如下特征：在每次执行循环体前，先对控制循环的条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环．4．程序框图的画法在用自然语言表述一个算法后，可以画出程序框图，用顺序结构、条件结构和循环结构来表示这个算法．这样表示的算法清楚、简练，便于阅读和交流．设计一个算法的程序框图通常要经过以下步骤：第一步，用自然语言表述算法步骤．第二步，确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构，并用相应的程序框图表示，得到该步骤的程序框图．第三步，将所有步骤的程序框图用流程线连接起来，并加上终端框，得到表示整个算法的程序框图．注意：流程线不要忘记画箭头，因为它是反映流程执行先后次序的，若不画出箭头，则难以判断各框的执行顺序．参考答案：1．某一类问题2．程序框流程线文字说明3．（1）依次执行（2）条件是否成立（3）反复执行重难点分析1．算法的概念常见的设计算法的问题有解方程（组）问题、直接应用数学公式求解的问题、筛选问题、实际生活问题等，设计算法时要注意：（1）认真分析问题，联系解决此问题的一般数学方法；（2）综合考虑此类问题中可能涉及的各种情况；（3）将解决问题的过程划分为若干个步骤．【例1】已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：①计算c；②输入直角三角形两直角边长a，b的值；③输出斜边长c的值；其中正确的顺序是A．①②③B．②③①C．①③②D．②①③【答案】D【解析】由算法规则得：第一步：输入直角三角形两直角边长a，b的值，第二步：计算c=三步：输出斜边长c的值；这样，就是求斜边长c的一个算法．故选D．【名师点睛】算法是解决某一类问题的精确描述，这就要求我们在写算法时应简练、清晰，并善于分析任何可能出现的情况，体现出思维的严密性和完整性．【例2】下列关于算法的理解正确的是A．算法等同于解法B．任何问题都可以运用算法解决C．按照算法一步步执行，在有限步之后，总能得出结果D．解决某一个具体问题时，算法不同，结果也不同【答案】C2．顺序结构与顺序结构相关的问题一般是利用公式求解问题．在使用顺序结构书写程序框图时，（1）要注意各种框图符号的正确使用；（2）要先赋值，再运算，最后输出结果．【例3】将两个数a=2017，b=2018交换，使得a=2018，b=2017，下面语句正确一组是A．B．C．D．【答案】B【解析】先把b的值赋给中间变量c，这样c=2018，再把a的值赋给变量b，这样b=2017，把c的值赋给变量a，这样a=2018．故选B．【例4】已知函数f（x）=x2–3x+2，请设计一个算法，画出算法的程序框图，求f（3）+f（–1）的值．【答案】答案详见解析．【解析】算法如下：第一步：x=3；第二步：y1=x2–3x+2；第三步：x=–1；第四步：y2=x2–3x+2；第五步：y=y1+y2；第六步：输出y1，y2，y．程序框图如图：【名师点睛】画顺序结构的程序框图问题，不仅要遵循程序框图的画图原则，而且要看要求的量需要根据哪些条件求解，需要的条件必须先输入，或将已知的条件全部输入，求出未知的量．3．条件结构凡是需要先根据条件作出判断，然后再决定进行哪一个步骤的问题，在画程序框图时，必须引入判断框，采用条件结构，有时会需要多个判断框，至于判断框内的内容是没有固定顺序的．【例5】一算法的程序框图如图所示，若输出的12y ，则输入的x可能为A．–1 B．1 C．1或5 D．–1或1 【答案】B【名师点睛】（1）对于求分段函数的函数值的程序框图画法：如果是分两段的函数，只需引入一个判断框；如果是分三段的函数，需要引入两个判断框；依此类推．至于判断框内的内容是没有顺序的．（2）判断框内的内容可以不唯一，但判断框内的内容一经改变，其相应的处理框等内容均要有所改变．【例6】阅读程序框图，如果输出的函数值在区间1142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内，则输入的实数x的取值范围是A．（–∞，–2] B．[–2，–1]C．[–1，2] D．[2，+∞）【答案】B【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=[]()()222222x xx⎧∈-⎪⎨∈-∞-+∞⎪⎩，，，，，的函数值．又∵输出的函数值在区间1142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内，∴11242x<<，解得x∈[–2，–1]．故选B．4．循环结构如果算法问题中涉及的运算进行了许多次重复的操作，且先后参与运算的数之间有相同的变化规律，就可以引入变量(我们称之为循环变量)，构成循环结构．循环结构中常用的几个变量：①计数变量：即计数器，用来记录执行循环体的次数，如1n n=+．=+，1i i②累加变量：即累加器，用来计算数据之和，如S S i=+．③累乘变量：即累乘器，用来计算数据之积，如P P i=*．在程序框图中，一般要根据实际情况先给这些变量赋初始值．一般情况下，计数变量的初始值为1，累加变量的初始值为0，累乘变量的初始值为1．【例7】阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为A．2 B．3C．4 D．5【答案】B【解析】经过第一次循环得到的结果为n=16，k=1，经过第二次循环得到的结果为n=49，k=2，经过第三次循环得到的结果为n=148，k=3，经过第四次循环得到的结果为n=445，满足判断框中的条件，退出循环，执行“是”，输出的k为3．故选B．【例8】已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B基础题：1．算法的计算规则以及相应的计算步骤必须是唯一确定的，既不能含糊其辞，也不能有多种可能．这里指的是算法的A．有序性B．明确性C．可行性D．不确定性2．程序框图中，表示处理框的是A．B．C．D．3．下面对算法描述正确的一项是A．同一问题的算法不同，结果必然不同B．算法只能用图形方式来表示C．同一问题可以有不同的算法D．算法只能用自然语言来描述4．下列各式中S的值不可以用算法求解的是A．S=1+2+3+4 B．S=1+2+3+4+…C．S=1+12+13+…+1100D．S=12+22+32+…+10025．“=”在基本算法语句中叫A．赋值号B．等号C．输入语句D．输出语句6．下列程序框中，出口可以有两个流向的是A．终止框B．输入输出框C．处理框D．判断框7．如果输入n=2，那么执行如图中算法的结果是A．输出3 B．输出4C．输出5 D．程序出错，输不出任何结果能力题：8．关于下面两个程序框图，说法正确的是A．（1）和（2）都是顺序结构B．（1）和（2）都是条件分支结构C．（1）是当型循环结构，（2）是直到型循环结构D．（1）是直到型循环结构，（2）是当型循环结构9．阅读程序框图，如果输出的函数值在区间[1，3]上，则输入的实数x的取值范围是A．{x∈R|0≤x≤log23} B．{x∈R|–2≤x≤2}C．{x∈R|0≤x≤log23，或x=2} D．{x∈R|–2≤x≤log23，或x=2}10．给出30个数：1，2，4，7，11，…，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入A．i≤30？；p=p+i–1 B．i≤31？；p=p+i+1C．i≤31？；p=p+i D．i≤30？；p=p+i11．若执行如图所示的程序框图，输出S的值为3，则判断框中应填入的条件是A．k<6？B．k<7？C．k<8？D．k<9？12．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为A．3 B．1C．0 D．–1高考真题：13．（2017新课标Ⅰ卷文科、理科）下面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A>1000和n=n+1 B．A>1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+214．（2017新课标Ⅱ卷文科、理科）执行下面的程序框图，如果输入的1a=-，则输出的S=A．2 B．3C．4 D．515．（2017新课标Ⅲ卷文科、理科）执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为A．5 B．4C．3 D．216．（2017北京卷文科、理科）执行如图所示的程序框图，输出的s值为A．2 B．3 2C．53D．8517．（2017山东卷文科）执行下面的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为A．3x>B．4x>C．4x≤D．5x≤18．（2017天津卷理科）阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为A．0 B．1C．2 D．319．（2017江苏卷）下图是一个算法流程图，若输入x的值为116，则输出y的值是__________．参考答案：1．【答案】B【解析】算法的计算规则以及相应的计算步骤必须是唯一确定的，既不能含糊其辞，也不能有多种可能，这里指的是算法的明确性．故选B．2．【答案】A【解析】A，是处理框，B是输入、输出框，C是判断框，D是终端框，故选A．5．【答案】A【解析】“=”在基本算法语句中叫赋值号．功能是先计算出赋值号右边表达式的值，然后把这个值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值．故选A．6．【答案】D【解析】终止框表示程序结束，故没有出口，输入输出框，处理框均有一个出口，判断框出口可以有两个流向．故选D．7．【答案】C【解析】第一步：输入n=2，第二步：n=2+1=3，第三步：n=3+2=5，第四步：输出5．故选C．10．【答案】D【解析】由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为30．即①中应填写i≤30；又由第1个数是1；第2个数比第1个数大1即1+1=2；第3个数比第2个数大2即2+2=4；第4个数比第3个数大3即4+3=7；…故②中应填写p=p+i．故选D．11．【答案】C【解析】根据程序框图，运行结果如下：k=2，S=1，第一次循环：S=log23，k=3；第二次循环：S=log23•log34，k=4；第三次循环：S=log23•log34•log45，k=5；第四次循环：S=log23•log34•log45•log56，k=6；第五次循环：S=log23•log34•log45•log56•log67，k=7；第六次循环：S=log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=38，k=8．故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是：“k<8？”．故选C．12．【答案】C【解析】s=1×（3–1）+1=3，i=2，不满足i>4，执行循环，s=3×（3–2）+1=4，i=3，不满足i>4，执行循环，s=4×（3–3）+1=1，i=4，不满足i>4，执行循环，s =1×（3–4）+1=0，i =5，满足i >4，退出循环，所以输出s 为0．故选C ． 13．【答案】D【解析】由题意，因为321000n n ->，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入1000A >，故填1000A ≤，又要求n 为偶数且初始值为0，所以矩形框内填2n n =+，故选D ．15．【答案】D【解析】阅读程序框图，程序运行如下：首先初始化数值：1,100,0t M S ===，然后进入循环体： 此时应满足t N ≤，执行循环语句：100,10,1210MS S M M t t =+==-=-=+=； 此时应满足t N ≤，执行循环语句：90,1,1310MS S M M t t =+==-==+=； 此时满足91S <，可以跳出循环，则输入的正整数N 的最小值为2． 16．【答案】C【解析】0k =时，03<成立，第一次进入循环：111,21k s +===； 13<成立，第二次进入循环：2132,22k s +===；23<成立，第三次进入循环：3k=，3152332s+==；33<不成立，输出53s=．故选C．19．【答案】2-【解析】由题意得212log216y=+=-，故答案为：2-．。