最大公因数例3

36的最大公因数首先，我们需要明确什么是最大公因数。

最大公因数，也称为最大公约数，是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个。

例如，36和54的公因数有1、2、3、6，而36和54的最大公因数就是6。

接下来，我们可以通过多种方法来求解36的最大公因数。

下面是其中一些常用的方法：方法一：列出因数法首先，我们可以列举36的因数，包括1、2、3、4、6、9、12、18、及36本身。

接着，我们可以进一步列举另一个数的因数，例如我们可以列举出54的因数为1、2、3、6、9、18、27、及54本身。

然后，我们可以找到36和54所共有的因数，包括1、2、3、6、9、18，而最大的共有因数则是18，因此36和54的最大公因数为18。

方法二：质因数分解法第二种方法是运用质因数分解法。

首先，我们将36进行质因数分解，即36=2²×3²。

接着，我们将另一个数54进行质因数分解，即54=2×3³。

然后，我们将36和54的共同质因数取出来，包括2和3，而2和3的乘积等于6，因此36和54的最大公因数为6。

方法三：欧几里得算法欧几里得算法，又叫辗转相除法。

它是求最大公因数最常用的方法之一。

欧几里得算法的基本思想就是：用较大的数去除以较小的数，再用余数去除刚才的较小的数，再用余数去除刚才得到的余数…如此反复，直到余数为零为止。

这时，较小的数就是所求的最大公因数。

以36和54为例，我们可以用欧几里得算法来计算它们的最大公因数。

具体过程如下：54÷36=1 (18)36÷18=2 0因为余数为零，所以最终的结果为18，即36和54的最大公因数为18。

这个方法比起其他方法来说，有一个优点：它可以用于求解多个数的最大公因数。

除了以上几种方法，还有其他的方法可以求解36的最大公因数，例如通过连分数逼近来求解，或者利用辗转相减法来求解，但是这些方法相对来说比较复杂，需要一定的数学基础和技能才能运用。

第三节最大公因数与最小公倍数一、基本概念和知识1、公因数和最大公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。

例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12；18的约数有：1，2，3，6，9，18。

12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作（12，18）=6。

2.公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，…18的倍数有：18，36，54，72，90，…12和18的公倍数有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。

3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。

4.最大公因数与最小公倍数的计算方法求最大公因数与最小公倍数的常用方法：（1）列举法（2）分解质因数（3）短除法（4）辗转相除法简单的应用例1、求28和70的最大公因数与最小公倍数。

例2：求437和323的最大公因数。

例3：用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？例4：用长16厘米、宽14厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用这样的木板多少块？例5：有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米。

现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？例6：把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共有多少个小朋友？例7：加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？例8：一次会议人数在200～300之间，若3人一组余1人，若5人一组余3人，若7人一组余5人，该次会议参加人数是多少？练习1、求（357，231）与[36，48]2、求（70，98，112）与[28，42，108]3、一个数去除31、61和76都余1，则这个数最大是多少？4、铺地用的砖，每块长45厘米，宽30厘米，至少要用多少块这样的砖才能铺成正方形的地？5、一个数去除31、61和76都余1，则这个数最大是多少？6、有一个两位数它被9除余7，被8除余6，被4除余2，求这个两位数。

最大公因数和最小公倍数应用的典型例题和专题练习（三）[典型例题]例1、有三根铁丝，一根长18米，一根长24米，一根长30米。

现在要把它们截成同样长的小段。

每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？分析与解：截成的小段一定是18、24、30的最大公因数。

先求这三个数的最大公因数，再求一共可以截成多少段。

解答：（18、24、30）＝6（18+24+30）÷6＝12段答：每段最长可以有6米，一共可以截成12段。

例2、一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少个正方形？分析与解：要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形边长一定是60和36的最大公因数。

解答：（36、60）＝12（60÷12）×（36÷12）＝15个答：正方形的边长可以是12厘米，能截15个正方形。

例3、用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。

若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？分析与解：要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做成花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的个数一定是96和72的公因数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96和72的最大公因数。

解答：（1）最多可以做多少个花束（96、72）＝24（2）每个花束里有几朵红玫瑰花96÷24＝4朵（3）每个花束里有几朵白玫瑰花72÷24＝3朵（4）每个花束里最少有几朵花4+3＝7朵例4、公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。

第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。

三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？分析与解：这个时间一定是5的倍数、10的倍数、6的倍数，也就是说是5、10和6的公倍数，“最少多少时间”，那么，一定是5、10、6的最小公倍数。

最大公因数与最小公倍数（一）【教案】一、教学目标1、认识最小公倍数与最大公因数，掌握其表示方法2、会用短除法和分解质因数求解最大公因数和最小公倍数3、理解辗转相除法求最大公因数4、能够利用最大公因数与最小公倍数的求法，解决生活中的一些应用二、概念（一）概念1、最大公因数：几个数共同的因数中最大的记做：（a，b）2、最小公倍数：几个数共同的倍数中最大的记做：[a，b]3、互质：（a，b）=1组内互质vs两两互质（二）求法1、短除法（1）最大公因数：除数相乘（乘半边）多个数时，除到组内互质（2）最小公倍数：除数乘商（乘一圈）多个数时，除到两两互质2、分解质因数（1）最大公因数：大家都有（2）最小公倍数：谁有都算3、辗转相除法用于求较大的两数的最大公因数（三）应用平均分时，（1）求总数：找公倍数（2）求每份数/份数：找公因数三、流程设计1、认识因数倍数举例：15÷3=5，15÷4=15/4我们称第一种情况叫做15能被3整除，第二种情况叫做15不能被4整除。

在第一种情况下，15叫做3的倍数，3叫做15的因数。

2、认识最大公因数和最小公倍数通过例1认识，并总结最大公因数一定是所有公因数的倍数，所有公倍数一定是最小公倍数的倍数3、分解质因数法求最大公因数由于枚举法较麻烦，故想个稍微简单的方法。

实际上，一个数任何一个因数都是由这个数的质因数或质因数相乘所得到的，故只要能找到相同的质因数即可，故可以将两数的质因数都找到，即将两数全部都分解质因数。

举例：（36，24），（78，52），（45，18，27），“大家有才是真的有”4、短除法求最大公因数将每个数都分解质因数有时候较麻烦，实际上只需要除以共同的质因数即可，故可以三个数一起除，画长短除号。

举例：（160，96），介绍互质，总结（1）除到两数互质为止；（2）两数除以最大公因数后一定互质*技巧：1、相邻两数互质2、有倍数关系的，最大公因数就是小的那个3、有质数且没有倍数关系的，最大公因数为15、辗转相除法求最大公因数通过例2最后一题，由于分解质因数与短除都比较麻烦，介绍辗转相除法，通过整除的可加、可减性简单解释辗转相除法。

3.6 公因数与最大公因数第一部分知识清单➢1、2、3和6既是12的因数，又是18的因数，它们是12和18的公因数。

➢8和12的公因数有1，2，4，其中最大的是4。

4就是8和12的最大公因数。

➢两个数中，如果较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的最大公因数；➢如果两个数只有公因数1，那么这两个数的最大公因数就是1，我们也说这两个数互质。

➢几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。

➢几个数的公因数中最大的一个，叫作这几个数的最大公因数。

第二部分典型例题例1：把40块水果糖和35块巧克力分别平均分给一个组的同学，结果水果糖少2块，巧克力少1块。

这个组最多有（）位同学。

A．5B．6C．7D．8答案：B分析：根据题意可知，如果水果糖有40＋2＝42块，巧克力有35＋1＝36块，正好分完，由此可知，求这个组最多有几名同学，就是求42和36的最大公因数，最大公因数：两个数的公有质因数的连乘积，就是这两个数的最大公因数，据此解答。

详解：40＋2＝42（块）35＋1＝36（块）42＝2×3×736＝2×3×2×342和36的最大公因数是2×3＝6；最多有6位同学。

把40块水果糖和35块巧克力分别平均分给一个组的同学，结果水果糖少2块，巧克力少1块。

这个组最多有6位同学。

故答案为：B例2：4和12的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。

答案： 4 12分析：如果两个数中大数是小数的倍数，那么小数就是这两个数的最大公因数，大数就是这两个数的最小公倍数。

详解：3412⨯=，12是4的倍数，所以4和12的最大公因数是4，最小公倍数是12。

例3：13和26的最大公因数是26。

( )答案：×分析：两个数的最大公因数是两个数的公有质因数的连乘积；如果两个数为倍数关系，较小的那个数为两个数的最大公因数；如果两个数为互质数，两个数的最大公因数是1，据此解答。

最大公因数和最小公倍数讲解最大公因数和最小公倍数讲解在数学中，最大公因数和最小公倍数是两个重要的概念。

它们可以帮助我们在解决一系列数学问题时找到共同的因素或倍数。

最大公因数是指两个或多个数中的最大的能够整除它们的公因数，而最小公倍数是指两个或多个数中的最小的能够整除它们的公倍数。

最大公因数（Greatest Common Divisor）最大公因数（Greatest Common Divisor，简称GCD）是指两个或多个数中的最大的能够整除它们的公因数。

可以使用多种方法来找到两个数的最大公因数，常用的有质因数分解法和欧几里得算法。

质因数分解法是一种基本的方法，它将一个数按照质因数分解为若干个质数的乘积，然后找出两个数相同的质因数，并将这些质因数相乘得到最大公因数。

例如，对于数120和72，它们的质因数分解分别为120=2^3 × 3 × 5和72=2^3 × 3^2，可以看出它们的最大公因数是2^3 × 3=24。

欧几里得算法是一种更为高效的方法，它基于以下原理：两个数的最大公因数等于其中较小数与两数相除的余数的最大公因数。

首先，将较大的数除以较小的数，得到商和余数。

然后，再将较小的数除以余数，再得到商和余数。

重复这个过程，直到余数为0为止。

此时，最后一次得到的余数即为两个数的最大公因数。

例如，对于数120和72，将120除以72得到商1余48，再将72除以48得到商1余24，最后将48除以24得到商2余0，可以得出最大公因数为24。

最小公倍数（Least Common Multiple）最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是指两个或多个数中的最小的能够整除它们的公倍数。

最小公倍数可以通过多种方法来计算，常用的有质因数分解法和公式法。

质因数分解法同样适用于计算最小公倍数。

首先，将每个数按照质因数分解为若干个质数的乘积，然后将这些质数按照出现的最高次数相乘，得到最小公倍数。