北京市宣武区七年级第二学期数学易错易混填空题精粹含解析

七年级下册易错知识点及例题详解作为初中数学的入门课程，七年级下册的数学知识内容丰富，涵盖面广。

但是，学生在学习过程中会遇到一些易错知识点，这些知识点在考试中往往是错题的重灾区。

本文将详细介绍七年级下册数学易错知识点及例题分析，供学生参考。

一、分式的四则运算分式是初中阶段的数学重点之一，但是在四则运算中，学生容易出现错误。

以下是易错知识点及其解决办法：1.分式的乘法例如：$\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}$解决办法：根据乘法原理，将分子相乘，分母相乘，再将结果化简即可，即：$\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{2\times3}{5\times4}=\frac{3} {10}$2.分式的除法例如：$\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{6}}$解决办法：将除法转换为乘法，即：$\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{6}}=\frac{3}{4}\cdot\frac{6}{5}=\fr ac{9}{10}$3.分式的加减法例如：$\frac{2}{5}+\frac{3}{4}$解决办法：将两个分式通分，再将分子相加，即：$\frac{2}{5}+\frac{3}{4}=\frac{8}{20}+\frac{15}{20}=\frac{23} {20}$二、平方根的计算平方根的计算也是初中数学的难点之一，以下是易错知识点及其解决办法：1.分解因数例如：$\sqrt{72}$解决办法：将72分解质因数 $72=2^3\times3^2$，然后提取平方因子，即：$\sqrt{72}=\sqrt{2^2\times2\times3^2}=\sqrt{2^2}\times\sqrt{2}\ti mes\sqrt{3^2}=2\sqrt{2}\sqrt{3}=2\sqrt{6}$2.约分例如：$\sqrt{300}$解决办法：提取平方因子，将300分解质因数$300=2^2\times3\times5^2$，然后将平方因子和非平方因子分别写在一起，再将平方因子相乘并提出来，再约分即可，即：$\sqrt{300}=\sqrt{2^2\times3\times5^2}=2\times5\sqrt{3}=10\sqrt {3}$三、直角三角形的三边关系直角三角形中，三边关系是初中数学的重要知识点之一，以下是易错知识点及其解决办法：1.勾股定理例如：已知直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求斜边长。

七年级下册数学 期末试卷易错题（Word 版 含答案）一、选择题1．9的算术平方根是（）A ．81B ．3C ．3-D ．42．如图所示的车标，可以看作由平移得到的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．在平面直角坐标系中有四个点()2,3A ，()2,3B -，()2,3C --，()2,3D -．其中在第一象限的点是（ ）．A ．AB ．BC ．CD ．D 4．下列命题是假命题的是（ ）A ．对顶角相等B ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行D ．在同一平面内，过直线外一一点有且只有一条直线与已知直线平行5．将一张边沿互相平行的纸条如图折叠后，若边//AD BC ，则翻折角1∠与2∠一定满足的关系是（ ）A ．122∠=∠B ．1290∠+∠=︒C ．1230∠-∠=︒D ．213230∠-∠=︒ 6．下列等式正确的是（ ） A ．93-=- B ．49714412=± C ．23(8)4-= D ．327382--=- 7．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝15°，那么∠2的度数是（ ）A ．15°B ．60°C ．30°D ．75°8．如图，在平面直角坐标系上有点1,0A ，点A 第一次向左跳动至()11,1A -，第二次向右跳动至()22,1A ，第三次向左跳动至()32,2A -，第四次向右跳动至()43,2A …依照此规律跳动下去，点A 第124次跳动至124A 的坐标为（ ）A ．()63,62B ．()62,63C ．()62,62-D ．()124,123二、填空题9．如果1x +和2y -互为相反数，那么xy =________．10．若过点()()3,7,5M a N --、的直线与x 轴平行，则点M 关于y 轴的对称点的坐标是_________．11．如图，已知在四边形ABCD 中，∠A =α，∠C =β，BF ，DP 为四边形ABCD 的∠ABC 、∠ADC 相邻外角的角平分线．当α、β满足条件____________时，BF ∥DP ．12．如图，将三角板与两边平行的直尺（//EF HG ）贴在一起，使三角板的直角顶点C （90ACB ∠︒＝）在直尺的一边上，若255∠︒＝，则1∠的度数等于________．13．如图，在ABC 中，1841B C ∠=︒∠=︒，，点D 是BC 的中点，点E 在AB 上，将BDE 沿DE 折叠，若点B 的落点B '在射线CA 上，则BA 与B D '所夹锐角的度数是________．14．如图，将面积为5的正方形放在数轴上，以表示-1的点为圆心，以正方形的边长为半径作圆，交数轴于点A ，B 两点，则点A ，B 表示的数分别为__________．15．下列四个命题：①直角坐标系中的点与有序实数对一一对应；②若a 大于0，b 不小于0，则点(),P a b --在第三象限；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④若()214=--+y x ，则x y的算术平方根是12．其中，是真命题的有______．（写出所有真命题的序号） 16．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中的箭头所示方向运动，第一次从原点运动到点(2,2)，第2次运动到点(4,0)A ，第3次接着运动到点(6,1)按这样的运动规律，经过第2021次运动后动点P 的坐标是________．三、解答题17．计算．（1）()()1278---＋； （2）()202231127162⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭18．（1）已知a m ＝3，a n ＝5，求a 3m ﹣2n 的值．（2）已知x ﹣y ＝35，xy ＝1825，求下列各式的值： ①x 2y ﹣xy 2；②x 2＋y 2.19．如图，C 、E 分别在AB 、DF 上，小华想知道∠ACE 和∠DEC 是否互补，但是他又没有带量角器，只带了一副三角尺，于是他想了这样一个办法：首先连接CF ，再找出CF 的中点O ，然后连接EO 并延长EO 和直线AB 相交于点B ，经过测量，他发现EO =BO ，因此他得出结论：∠ACE 和∠DEC 互补．请将小华的想法补充完整：∵CF 和BE 交于点O ．∴COB EOF ∠=∠；（ ）而O 是CF 的中点，那么CO FO =，又已知EO BO =，∴COB FOE △≌△（ ），∴BC EF =，（全等三角形对应边相等）∴BCO F ∠=∠，（ ）∴//AB DF ，（ ）∴ACE ∠和DEC ∠互补．（ ）20．在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O 及△ABC 的顶点都在格点上．（1）将△ ABC 先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到△ A 1B 1C 1，画出△ A 1B 1C 1．（2）求△ A 1B 1C 1的面积．21．已知21a -的平方根是3,31a b ±+-的立方根是2,c -462a b c ++的算术平方根．二十二、解答题22．如图，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．（1）拼成的正方形的面积与边长分别是多少？（2）如图所示，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴的-1点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是多少？点A表示的数的相反数是多少？（3）你能把十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，请画出示意图，并求它的边长二十三、解答题23．已知：如图，直线AB//CD，直线EF交AB，CD于P，Q两点，点M，点N分别是直线CD，EF上一点（不与P，Q重合），连接PM，MN．（1）点M，N分别在射线QC，QF上（不与点Q重合），当∠APM+∠QMN=90°时，①试判断PM与MN的位置关系，并说明理由；②若PA平分∠EPM，∠MNQ=20°，求∠EPB的度数．（提示：过N点作AB的平行线）（2）点M，N分别在直线CD，EF上时，请你在备用图中画出满足PM⊥MN条件的图形，并直接写出此时∠APM与∠QMN的关系．（注：此题说理时不能使用没有学过的定理）24．如图，AB⊥AK，点A在直线MN上，AB、AK分别与直线EF交于点B、C，∠MAB+∠KCF=90°．（1）求证：EF ∥MN ；（2）如图2，∠NAB 与∠ECK 的角平分线交于点G ，求∠G 的度数；（3）如图3，在∠MAB 内作射线AQ ，使∠MAQ =2∠QAB ，以点C 为端点作射线CP ，交直．线．AQ 于点T ，当∠CTA =60°时，直接写出∠FCP 与∠ACP 的关系式．25．如图，已知直线a ∥b ，∠ABC ＝100°，BD 平分∠ABC 交直线a 于点D ，线段EF 在线段AB 的左侧，线段EF 沿射线AD 的方向平移，在平移的过程中BD 所在的直线与EF 所在的直线交于点P ．问∠1的度数与∠EPB 的度数又怎样的关系？（特殊化）（1）当∠1＝40°，交点P 在直线a 、直线b 之间，求∠EPB 的度数；（2）当∠1＝70°，求∠EPB 的度数；（一般化）（3）当∠1＝n°，求∠EPB 的度数（直接用含n 的代数式表示）．26．在ABC 中，100BAC ∠=︒，A ABC CB =∠∠，点D 在直线BC 上运动（不与点B 、C 重合），点E 在射线AC 上运动，且ADE AED ∠=∠，设DAC n ∠=︒．（1）如图①，当点D 在边BC 上，且40n =︒时，则BAD ∠=__________︒，CDE ∠=__________︒；（2）如图②，当点D 运动到点B 的左侧时，其他条件不变，请猜想BAD ∠和CDE ∠的数量关系，并说明理由；（3）当点D 运动到点C 的右侧时，其他条件不变，BAD ∠和CDE ∠还满足（2）中的数量关系吗？请在图③中画出图形，并给予证明．（画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑）【参考答案】一、选择题1．B解析：B【分析】如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫做a a【详解】 9，故选：B ．【点睛】本题考查了算术平方根的定义，解题时注意算术平方根与平方根的区别．2．B【分析】根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿着某一方向移动，这种图形的平行移动叫做平移变换，简称平移，由此即可求解.【详解】解：A 、不能经过平移得到的，故不符合题意；B 、可以经过平解析：B【分析】根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿着某一方向移动，这种图形的平行移动叫做平移变换，简称平移，由此即可求解.【详解】解：A 、不能经过平移得到的，故不符合题意；B 、可以经过平移得到的，故符合题意；C 、不能经过平移得到的，故不符合题意；D 、不能经过平移得到的，故不符合题意；故选B.【点睛】本题主要考查了图形的平移，解题的关键在于能够熟练掌握图形平移的概念.3．A【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．【详解】解：(2,3)A 在第一象限；(2,3)B -在第二象限；(2,3)C --在第三象限；(2,3)D -在第四象限；故选：A ．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(,)++；第二象限(,)-+；第三象限(,)--；第四象限(,)+-．4．B【分析】根据对顶角的性质、直线的性质、平行线的性质进行判断，即可得出答案．【详解】A 、对顶角相等；真命题；B 、两条直线被第三条直线所截，同位角相等；假命题；只有两直线平行时同位角才相等；C 、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行真命题；D 、在同一平面内，过直线外一一点有且只有一条直线与已知直线平行；真命题； 故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题．5．B【分析】根据平行可得出∠DAB +∠CBA =180°，再根据折叠和平角定义可求出1290∠+∠=︒．【详解】解：由翻折可知，∠DAE =21∠，∠CBF =22∠，∵//AD BC ,∴∠DAB +∠CBA =180°，∴∠DAE +∠CBF =180°，即2122180∠+∠=°，∴1290∠+∠=︒，【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，解题关键是熟练运用平行线的性质进行推理计算．6．C【分析】根据算术平方根、立方根的定义计算即可【详解】A、负数没有平方根，故错误B、49144表示计算算术平方根，所以49714412=，故错误C、233(8)64=4-=，故正确D、32733 822⎛⎫--=--=⎪⎝⎭，故错误故选：C【点睛】本题考查算术平方根、立方根的计算，熟知任何数都有立方根、负数没有平方根是关键7．C【分析】直接利用平行线的性质结合等腰直角三角形的性质得出答案．【详解】解：如图所示：由题意可得：∠1＝∠3＝15°，则∠2＝45°﹣∠3＝30°．故选：C．【点睛】本题主要考查了两直线平行，内错角相等的性质，需要注意隐含条件，直尺的对边平行，等腰直角三角板的锐角是45°的利用．8．A根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，然后写出即可．【详解】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），第4次跳动至点的坐标解析：A【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，然后写出即可．【详解】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），第4次跳动至点的坐标是（3，2），第6次跳动至点的坐标是（4，3），第8次跳动至点的坐标是（5，4），…第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），∴第124次跳动至点的坐标是（63，62）．故选：A．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．二、填空题9．-2【分析】利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x与y的值，进而得出答案．【详解】解：∵和|y-2|互为相反数，∴，∴x+1=0，y-2=0，解得：x=-1，y=2，∴xy解析：-2【分析】利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x与y的值，进而得出答案．【详解】解：∵|y-2|互为相反数， ∴20y +=，∴x+1=0，y-2=0，解得：x=-1，y=2，∴xy=-1×2=-2故答案为：-2．【点睛】本题考查了绝对值和平方数的非负性．互为相反数的两个数相加等于0和|y-2|都是非负数，所以这个数都是0．10．【分析】根据MN 与x 轴平行可以求得M 点坐标，进一步可以求得点M 关于y 轴的对称点的坐标．【详解】解：∵MN 与x 轴平行，∴两点纵坐标相同，∴a=-5，即M 为（-3，-5） ∴点M 关于y 轴的对解析：()3,5-【分析】根据MN 与x 轴平行可以求得M 点坐标，进一步可以求得点M 关于y 轴的对称点的坐标．【详解】解：∵MN 与x 轴平行，∴两点纵坐标相同，∴a=-5，即M 为（-3，-5）∴点M 关于y 轴的对称点的坐标为：（3，-5）故答案为（3，-5）．【点睛】本题考查图形及图形变化的坐标表示，熟练掌握各种图形及图形变化的坐标特征是解题关键．11．α=β【详解】试题解析：当BF ∥DP 时，即：整理得：故答案为解析：α=β【详解】试题解析：360.ABC ADC A C ∠+∠+∠+∠=360.ABC ADC CBM CDN ∠+∠+∠+∠=.CBM CDN A C αβ∴∠+∠=∠+∠=+当BF ∥DP 时，()1,2C PDC FBC CDN CBM ∠=∠+∠=∠+∠ 即：()1,2βαβ=+ 整理得：.αβ=故答案为.αβ=12．35【分析】根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余即可求得【详解】故答案为：35°．【点睛】本题考查了平行线的性质和直角三角形两锐角互余，熟练以上知识是解题的关键．解析：35【分析】根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余即可求得【详解】//EF HG ,255∠︒＝255FCD ∴∠=∠=︒190FCD ACB ∠+∠=∠=︒1905535∴∠=︒-︒=︒故答案为：35°．【点睛】本题考查了平行线的性质和直角三角形两锐角互余，熟练以上知识是解题的关键． 13．．【分析】根据折叠可得三角形全等，根据全等三角形的性质以及中点的性质可得， ，由等腰三角形性质以及三角形外角定理求得度数，在中根据内角和即可求得与所夹锐角的度数．【详解】如下图，连接DE ，与解析：80︒．【分析】根据折叠可得三角形全等，根据全等三角形的性质以及中点的性质可得BD B D '=， DC DB '=，由等腰三角形性质以及三角形外角定理求得BDB '∠度数，在BOD 中根据内角和即可求得BA 与B D '所夹锐角的度数．【详解】如下图，连接DE ，BA 与B D '相交于点O ，将 △BDE 沿 DE 折叠，BDE B DE '∴△≌△，BD B D '∴=,又∵D 为BC 的中点，BD DC =，BD B D '∴=，41DB C C '∴==︒∠∠,BDB DB C C =''∴=+︒∠∠∠82,18080BOD B BDB '∴=︒--=︒∠∠∠,即BA 与B D '所夹锐角的度数是80︒．故答案为：80︒．【点睛】本题考察了轴对称的性质、全等三角形的性质、中点的性质、三角形的外角以及内角和定理，综合运用以上性质定理是解题的关键．14．，【分析】根据算术平方根的定义以及数轴的定义解答即可．【详解】解：∵正方形的面积为5，∴圆的半径为，∴点A 表示的数为，点Ｂ表示的数为．故答案为：，．【点睛】本题考查了实数与数轴，熟 解析：15-，15-【分析】根据算术平方根的定义以及数轴的定义解答即可．【详解】解：∵正方形的面积为5，∴∴点A 表示的数为1-1-+．故答案为：1-1-【点睛】本题考查了实数与数轴，熟记算术平方根的定义是解答本题的关键．15．①④【分析】根据平面直角坐标系，平行线，算术平方根的概念进行判断【详解】解：①直角坐标系中的点与有序实数对一一对应；正确；故此命题是真命题； ②若大于0，不小于0，则＞0，≥0，点在第三象限解析：①④【分析】根据平面直角坐标系，平行线，算术平方根的概念进行判断【详解】解：①直角坐标系中的点与有序实数对一一对应；正确；故此命题是真命题； ②若a 大于0，b 不小于0，则a ＞0，b ≥0，点(),P a b --在第三象限或x 轴的负半轴上；故此命题是假命题；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故此命题是假命题；④若4=y ，则x =1，y =4，则x y的算术平方根是12，正确，故此命题是真命题．故答案为：①④【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确掌握相关定义是解题关键． 16．【分析】根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数的2倍，纵坐标为2，0，1，0，每4次一轮这一规律，进而求出即可．【详解】解：根据动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动解析：(4042,2)【分析】根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数的2倍，纵坐标为2，0，1，0，每4次一轮这一规律，进而求出即可．【详解】解：根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(2,2)，第2次接着运动到点(4,0)，第3次接着运动到点(6,1)，∴第4次运动到点(8,0)，第5次接着运动到点(10,2)，⋯，∴横坐标为运动次数的2倍，经过第2021次运动后，动点P的横坐标为4042，纵坐标为2，0，1，0，每4次一轮，∴经过第2021次运动后，202145051÷=⋅⋅⋅，故动点P的纵坐标为2，∴经过第2021次运动后，动点P的坐标是(4042,2)．故答案为：(4042,2)．【点睛】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．三、解答题17．（1）3；（2）【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则求解即可；（2）根据平方根与立方根的定义先化简，然后合并求解即可．【详解】解：（1）原式（2）原式【点睛】本题考查有理数解析：（1）3；（2）3 2 -【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则求解即可；（2）根据平方根与立方根的定义先化简，然后合并求解即可．【详解】解：（1）原式12783=-++=（2）原式11342⎛⎫=-⨯+- ⎪⎝⎭1342=-+-542=-32=- 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，以及实数的混合运算等，掌握基本的运算法则，注意运算顺序是解题关键．18．（1）；（2）①；②【分析】（1）逆向运用同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可； （2）①利用提公因式法因式分解解答即可；②根据完全平方公式计算即可．【详解】解：（1），，解析：（1）2725；（2）①54125；②95 【分析】（1）逆向运用同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可；（2）①利用提公因式法因式分解解答即可；②根据完全平方公式计算即可．【详解】解：（1）3m a =，5n a =，32m n a -∴ 32m n a a =÷32()()m n a a =÷3235=÷2725=； （2）①35x y -=，1825xy =， 22x y xy ∴-183()255xy x y =-=⨯ 54125=； ②35x y -=，1825xy =， 22x y ∴+2()2x y xy =-+23182525⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭9362525=+95=．【点睛】本题考查了完全平方公式，同底数幂的除法，提公因式法因式分解以及幂的乘方，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．19．对顶角相等；SAS；全等三角形的对应角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补【分析】由“SAS”可证△COB≌△FOE，可得∠BCO=∠F，可证AB∥DF，可得结论．【详解】解析：对顶角相等；SAS；全等三角形的对应角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补【分析】由“SAS”可证△COB≌△FOE，可得∠BCO=∠F，可证AB∥DF，可得结论．【详解】解：∵CF和BE相交于点O，∴∠COB=∠EOF；（对顶角相等），而O是CF的中点，那么CO=FO，又已知EO=BO，∴△COB≌△FOE（SAS），∴BC=EF，（全等三角形对应边相等），∴∠BCO=∠F，（全等三角形的对应角相等），∴AB∥DF，（内错角相等，两直线平行），∴∠ACE和∠DEC互补．（两直线平行，同旁内角互补），故答案为：对顶角相等；SAS；全等三角形的对应角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．20．（1）见解析；（2）【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）依据割补法进行计算，即可得到三角形ABC的面积．【详解】解：（1）如图所示，三角形A1B1C1即为所求解析：（1）见解析；（2）11 2【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）依据割补法进行计算，即可得到三角形ABC的面积．【详解】解：（1）如图所示，三角形A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A1B1C1的面积=11134132314222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=112．【点睛】本题考查了根据平移变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．21．【分析】首先根据平方根与立方根的概念可得2a−1与a＋3b−1的值，进而可得a、b的值；接着估计的大小，可得c的值；进而可得a＋2b＋c，根据算术平方根的求法可得答案．【详解】解：根据题意，3【分析】首先根据平方根与立方根的概念可得2a−1与a＋3b−1的值，进而可得a、b的值；接着估46c的值；进而可得a＋2b＋c，根据算术平方根的求法可得答案．【详解】解：根据题意，可得2a−1＝9，a＋3b−1＝-8；解得：a＝5，b＝-4；又∵6467，可得c＝6；∴a＋2b＋c＝3；∴a＋2b＋c3【点睛】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．二十二、解答题22．（1）5；；（2）；；（3）能，．【分析】（1）易得5个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积的算术平方根即可为大正方形的边长．（2）求出斜边长即可．（3）一共有10个小正解析：（1）5；5；（2）51-；（3）能，10．-；15【分析】（1）易得5个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积的算术平方根即可为大正方形的边长．（2）求出斜边长即可．（3）一共有10个小正方形，那么组成的大正方形的面积为10，边长为10的算术平方根，画图．【详解】试题分析：解：（1）拼成的正方形的面积与原面积相等1×1×5=5，边长为5，如图（1）（2）斜边长=22+=，2222故点A表示的数为：222-；点A表示的相反数为：222-（3）能，如图拼成的正方形的面积与原面积相等1×1×10=1010考点：1．作图—应用与设计作图；2．图形的剪拼．二十三、解答题23．（1）①PM⊥MN，理由见解析；②∠EPB的度数为125°；（2）∠APM+∠QMN=90°或∠APM -∠QMN=90°．【分析】（1）①利用平行线的性质得到∠APM=∠PMQ，再根据已知条解析：（1）①PM⊥MN，理由见解析；②∠EPB的度数为125°；（2）∠APM+∠QMN=90°或∠APM -∠QMN=90°．【分析】（1）①利用平行线的性质得到∠APM=∠PMQ，再根据已知条件可得到PM⊥MN；②过点N作NH∥CD，利用角平分线的定义以及平行线的性质求得∠MNH=35°，即可求解；（2）分三种情况讨论，利用平行线的性质即可解决．【详解】解：（1）①PM⊥MN，理由见解析：∵AB//CD，∴∠APM=∠PMQ，∵∠APM+∠QMN=90°，∴∠PMQ +∠QMN=90°，∴PM⊥MN；②过点N作NH∥CD，∵AB//CD，∴AB// NH∥CD，∴∠QMN=∠MNH，∠EPA=∠ENH，∵PA平分∠EPM，∴∠EPA=∠MPA，∵∠APM+∠QMN=90°，∴∠EPA +∠MNH=90°，即∠ENH +∠MNH=90°，∴∠MNQ +∠MNH +∠MNH=90°，∵∠MNQ=20°，∴∠MNH=35°，∴∠EPA=∠ENH=∠MNQ +∠MNH=55°，∴∠EPB=180°-55°=125°，∴∠EPB的度数为125°；（2）当点M，N分别在射线QC，QF上时，如图：∵PM⊥MN，AB//CD，∴∠PMQ +∠QMN=90°，∠APM=∠PMQ，∴∠APM +∠QMN=90°；当点M，N分别在射线QC，线段PQ上时，如图：∵PM⊥MN，AB//CD，∴∠PMN=90°，∠APM=∠PMQ，∴∠PMQ -∠QMN=90°，∴∠APM -∠QMN=90°；当点M，N分别在射线QD，QF上时，如图：∵PM⊥MN，AB//CD，∴∠PMQ +∠QMN=90°，∠APM+∠PMQ=180°，∴∠APM+90°-∠QMN=180°，∴∠APM -∠QMN=90°；综上，∠APM +∠QMN=90°或∠APM -∠QMN=90°．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等等知识是解题的关键．24．（1）见解析；（2）∠CGA=45°；（3）∠FCP=2∠ACP或∠FCP+2∠ACP=180°．【分析】（1）有垂直定义可得∠MAB+∠KCN=90°，然后根据同角的余角相等可得∠KAN=∠K解析：（1）见解析；（2）∠CGA=45°；（3）∠FCP=2∠ACP或∠FCP+2∠ACP=180°．【分析】（1）有垂直定义可得∠MAB+∠KCN=90°，然后根据同角的余角相等可得∠KAN=∠KCF，从而判断两直线平行；（2）设∠KAN=∠KCF=α，过点G作GH∥EF，结合角平分线的定义和平行线的判定及性质求解；（3）分CP交射线AQ及射线AQ的反向延长线两种情况结合角的和差关系分类讨论求解．【详解】解：（1）∵AB⊥AK∴∠BAC=90°∴∠MAB+∠KAN=90°∵∠MAB+∠KCF=90°∴∠KAN=∠KCF∴EF∥MN（2）设∠KAN=∠KCF=α则∠BAN=∠BAC+∠KAN=90°＋α∠KCB=180°－∠KCF=180°－α∵AG平分∠NAB，CG平分∠ECK∴∠GAN=12∠BAN=45°＋12α，∠KCG=12∠KCB=90°－12α∴∠FCG=∠KCG+∠KCF=90°＋12α过点G作GH∥EF∴∠HGC=∠FCG=90°＋12α又∵MN∥EF∴MN∥GH∴∠HGA=∠GAN=45°＋12α∴∠CGA=∠HGC－∠HGA=（90°＋12α）－（45°＋12α）=45°（3）①当CP交射线AQ于点T∵180CTA TAC ACP ∠+∠+∠=︒∴180CTA QAB BAC ACP ∠+∠+∠+∠=︒又∵=60,90CTA BAC ∠︒∠=︒∴30QAB ACP ∠+∠=︒由（1）可得：EF ∥MN∴FCA MAC ∠=∠∵FCP FCA ACP ∠=∠+∠∴FCP MAC ACP ∠=∠+∠∵MAC MAQ QAB BAC ∠=∠+∠+∠，2MAQ QAB ∠=∠∴()390=330901803MAC QAB ACP ACP ∠=∠+︒︒-∠+︒=︒-∠∴1803FCP ACP ACP ∠=︒-∠+∠即∠FCP +2∠ACP=180°②当CP 交射线AQ 的反向延长线于点T ，延长BA 交CP 于点GFCP FCA ACP ∠=∠-∠，由EF ∥MN 得MAC FCA ∠=∠∴FCP MAC ACP ∠=∠-∠又∵TAG QAB ∠=∠，180BAC CAG ∠+∠=︒，90BAC ∠=︒∴18090CAG BAC ∠=︒-∠=︒90CAT CAG TAG QAB ∠=∠-∠=︒-∠∵180CAT CTA ACP ∠+∠+∠=︒，60CTA ∠=︒∴120CAT ACP ∠+∠=︒∴90120QAB ACP ︒-∠+∠=︒∴30QAB ACP ∠=∠-︒由①可得390MAC QAB ∠=∠+︒∴()=330903MAC ACP ACP ∠∠-︒+︒=∠∴32FCP MAC ACP ACP ACP ACP ∠=∠-∠=∠-∠=∠综上，∠FCP=2∠ACP或∠FCP+2∠ACP=180°．【点睛】本题考查平行线的判定和性质以及角的和差关系，准确理解题意，正确推理计算是解题关键．25．（1）∠EPB＝170°；（2）①当交点P在直线b的下方时：∠EPB＝20°，②当交点P在直线a，b之间时：∠EPB＝160°，③当交点P在直线a的上方时：∠EPB＝∠1﹣50°＝20°；（3）①当解析：（1）∠EPB＝170°；（2）①当交点P在直线b的下方时：∠EPB＝20°，②当交点P在直线a，b之间时：∠EPB＝160°，③当交点P在直线a的上方时：∠EPB＝∠1﹣50°＝20°；（3）①当交点P在直线a，b之间时：∠EPB＝180°﹣|n°﹣50°|；②当交点P在直线a上方或直线b下方时：∠EPB＝|n°﹣50°|.【分析】（1）利用外角和角平分线的性质直接可求解；（2）分三种情况讨论：①当交点P在直线b的下方时；②当交点P在直线a，b之间时；③当交点P在直线a的上方时；分别画出图形求解；（3）结合（2）的探究，分两种情况得到结论：①当交点P在直线a，b之间时；②当交点P在直线a上方或直线b下方时；【详解】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABC＝50°，∴∠ABD＝∠DBC＝12∵∠EPB是△PFB的外角，∴∠EPB＝∠PFB+∠PBF＝∠1+（180°﹣50°）＝170°；（2）①当交点P在直线b的下方时：∠EPB＝∠1﹣50°＝20°；②当交点P在直线a，b之间时：∠EPB＝50°+（180°﹣∠1）＝160°；③当交点P在直线a的上方时：∠EPB＝∠1﹣50°＝20°；（3）①当交点P在直线a，b之间时：∠EPB＝180°﹣|n°﹣50°|；②当交点P在直线a上方或直线b下方时：∠EPB＝|n°﹣50°|；【点睛】考查知识点：平行线的性质；三角形外角性质．根据动点P的位置，分类画图，结合图形求解是解决本题的关键．数形结合思想的运用是解题的突破口．26．（1）60，30；（2）∠BAD=2∠CDE，证明见解析；（3）成立，∠BAD=2∠CDE，证明见解析【分析】（1）如图①，将∠BAC=100°，∠DAC=40°代入∠BAD=∠BAC-∠DAC解析：（1）60，30；（2）∠BAD=2∠CDE，证明见解析；（3）成立，∠BAD=2∠CDE，证明见解析【分析】（1）如图①，将∠BAC=100°，∠DAC=40°代入∠BAD=∠BAC-∠DAC，求出∠BAD．在△ABC 中利用三角形内角和定理求出∠ABC=∠ACB=40°，根据三角形外角的性质得出∠ADC=∠ABC+∠BAD=100°，在△ADE中利用三角形内角和定理求出∠ADE=∠AED=70°，那么∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°；（2）如图②，在△ABC和△ADE中利用三角形内角和定理求出∠ABC=∠ACB=40°，∠ADE=∠AED=1802n︒-．根据三角形外角的性质得出∠CDE=∠ACB-∠AED=1002n-︒，再由∠BAD=∠DAC-∠BAC得到∠BAD=n-100°，从而得出结论∠BAD=2∠CDE；（3）如图③，在△ABC和△ADE中利用三角形内角和定理求出∠ABC=∠ACB=40°，∠ADE=∠AED=1802n︒-．根据三角形外角的性质得出∠CDE=∠ACD-∠AED=1002n︒+，再由∠BAD=∠BAC+∠DAC得到∠BAD=100°+n，从而得出结论∠BAD=2∠CDE．【详解】解：（1）∠BAD=∠BAC-∠DAC=100°-40°=60°．∵在△ABC中，∠BAC=100°，∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB=40°，∴∠ADC=∠ABC+∠BAD=40°+60°=100°．∵∠DAC=40°，∠ADE=∠AED，∴∠ADE=∠AED=70°，∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=100°-70°=30°．故答案为60，30．（2）∠BAD=2∠CDE，理由如下：如图②，在△ABC中，∠BAC=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°．在△ADE中，∠DAC=n，∴∠ADE=∠AED=1802n︒-，∵∠ACB=∠CDE+∠AED，∴∠CDE=∠ACB-∠AED=40°-1802n︒-=1002n-︒，∵∠BAC=100°，∠DAC=n，∴∠BAD=n-100°，∴∠BAD=2∠CDE．（3）成立，∠BAD=2∠CDE，理由如下：如图③，在△ABC中，∠BAC=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°，∴∠ACD=140°．在△ADE中，∠DAC=n，∴∠ADE=∠AED=1802n︒-，∵∠ACD=∠CDE+∠AED，∴∠CDE=∠ACD-∠AED=140°-1802n︒-=1002n︒+，∵∠BAC=100°，∠DAC=n，∴∠BAD=100°+n，∴∠BAD=2∠CDE．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，从图形中得出相关角度之间的关系是解题的关键．。

北师版七年级数学下册易错题综合训练一、易错填空题1，已知△DEF≌△ABC，AB=AC，且△ABC的周长为23cm，BC=4 cm，则△DEF 的边中必有一条边等于；2，已知△ABC与△DEF全等，∠A=∠D=90°，∠B=37°，则∠E的度数是；3，如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C= 度；4，如图，△ABC≌△EFC，CF=3cm，CE=4cm，∠F=36°，则BC= cm，∠B= 度；5，一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x + y= ；6，如图，已知△ACF≌△DBE，∠E=∠F，AD=9cm，BC=5cm，AB的长为cm；（第3题图）（第4题图）（第5题图）7．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是．（7题图）（8题图）8．如图，△ABC中，∠CAB=120°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，则∠EAF=．一．易错选择题1.如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）A.（）n•75°B．（）n﹣1•65° C．（）n﹣1•75° D．（）n•85°（1题）（2题）（3题）2.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（）A．B．C．D．3.如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，作CM⊥AD，垂足为M，下列结论不正确的是（）A．AD=CE B．MF=CF C．∠BEC=∠CDA D．AM=CM4.长为3cm，4cm，6cm，8cm的木条各两根，小明与小刚分别取了3cm和4cm的两根，要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为（）A、一个人取6cm的木条，一个人取8cm的木条;B、两人都取6cm的木条;C、两人都取8cm的木条;D、B, C 两种取法都可以5.下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③6.如图所示，∠1=∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，交点为C，则图中全等三角形共有（）A. 2对B. 2对C. 4对D. 5对7.下列说法中，正确的有（）①三角对应相等的2个三角形全等；②三边对应相等的2个三角形全等；③两角、一边相等的2个三角形全等；④两边、一角对应相等的2个三角形全等．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.11，如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，则在下列条件：①AB=AC；②AD=AE；③BE=CD．其中能判定△ABE≌△ACD的有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个9. △ABC中，AB=AC，三条高AD，BE，CF相交于O那么图中全等的三角形有（）A. 5对B. 6对C. 7对D. 8对10.如图，已知AB=AC，D是BC的中点，E是AD上的一点，图中全等三角形有几对（）A.1B.2C.3D.411. 不能判断△ABC≌△DEF的条件是（）A．∠A=∠F，BA=EF，AC=FDB．∠B=∠E，BC=EF，高AH=DGC．∠C=∠F=90°,∠A=60°，∠E=30°，AC=DFD．∠A=∠D，AB=DE，AC=DF12.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAD=∠CAE，BC=DE，且点C在DE上，若添加一个条件，能判定△ABC≌△ADE，这个条件是（）A．∠BAC=∠DAE B．∠B=∠DC．AB=AD D．AC=AE13. 如图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件：①OF是∠AOB的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=OFE．其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个14.如图，AB=AC，AD=AE，∠B=50°，∠AEC=120°则∠DAC的度数等于（）A．120° B．70° C．60° D．50°15.如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（）A．相等 B．互余 C．互补或相等 D．不相等16. 七（7）班徐同学想利用下列长度的木棒制成一个三角形工具，下列各组你认为可行的是（）A．5，2，2 B．2，3，6 C．5，3，4 D．7，13，617.在△ABC中，∠A=47°，高BE、CF所在直线交于点O，且点E、F不与点B、 C重合，则∠BOC= ;18.下列说法中:①只有两个三角形才能完全重合；②如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同；③两个正方形一定是全等图形；④边数相同的图形一定能互相重合; 错误的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个19.对于条件：①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一直角边对应相等；④直角边和一锐角对应相等；以上能断定两直角三角形全等的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个20. 下列说法中，正确的个数是（）○1斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；○2有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；○3一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；○4两个锐角对应相等的两个直角三角形全等;A．1个B．2个C．3个D．4个21. 如图，∠1=70°，若m ∥n，则∠2= 度22. 如图，AB∥CD，∠B=28°，∠D=47°，则∠BED= 度（第21题图）（第22题图）（第23题图）23. 如图，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为O，BC与l2相交于点E，若∠1=43°，则∠2= 度；24. 下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（）A．②③ B．①②③ C．①②④ C．①②④25. 在图中，∠1与∠2是同位角的有（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④26.已知：x+y=-1，xy=-6，求：x2+y2及x-y的值；27.解方程：（2x+3）（x-4）-（x+2）（x-3）= x2+6推理填空：1，已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB．证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）∴∠DGB=∠ACB=90°（垂直定义）∴DG∥AC（）∴∠2= （）∵∠1=∠2（已知）∴∠1=∠（等量代换）∴EF∥CD（）∴EF∥CD（）∴∠AEF=∠（）∵EF⊥AB（已知）∴∠AEF=90°（）∴∠ADC=90°（）∴CD⊥AB（）2，如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE；解：∵∠A=∠F（）∴AC∥DF（）∴∠D=∠1（）又∵∠C=∠D（）∴∠1=∠C（）∴BD∥CE（）3．如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，且∠EAC+∠ACE=90°．（1）请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，当∠E=90°且AB与CD的位置关系保持不变，当直角顶点E点移动时，写出∠BAE与∠ECD的数量关系，并说明理由；（3）如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，且AB与CD的位置关系保持不变，当点Q在射线CD上运动时（点C除外），∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？写出结论，并加以证明．4．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F（1）如图1，若∠ACD=60゜，则∠AFB=；（2）如图2，若∠ACD=α，则∠AFB=（用含α的式子表示）；（3）将图2中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），如图3．试探究∠AFB与α的数量关系，并予以证明．5．在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与点B、点C重合），以AD 为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上时，如果∠BAC=90°，则∠BCE=；（2）如图2，当点D在线段BC上时，如果∠BAC=50°，请你求出∠BCE的度数．（写出求解过程）；（3）探索发现，设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论：．②当点D在线段CB的延长线上时，则α，β之间有怎样的数量关系？请在图3中画出完整图形并请直接写出你的结论：．6．如图，△ABC是等边三角形，点E、F分别在边AB和AC上，且AE=BF．（1）求证：△ABE≌△BCF；（2）若∠ABE=20°，求∠ACF的度数；（3）猜测∠BOC的度数并证明你的猜想．7．如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形纸片，其长方形的面积显然为4ab，现将此长方形纸片沿图中虚线剪开，分成4个小长方形，然后拼成一个如图②的一个长方形．（1）图②中阴影正方形EFGH的边长为；（2）观察图②，代数式（a﹣b）2表示哪个图形的面积？代数式（a+b）2呢？（3）用两种不同方法表示图②中的阴影正方形EFGH的面积，并写出关于代数式（a+b）2、（a﹣b）2和4ab之间的等量关系．（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．8．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A 重合），如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．（无需写证明过程）（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．9．如图，点E是△ABC的边AC的反向延长线上一点，AD⊥BC于点D，EG⊥BC 于点G，∠E=∠3．请问：AD平分∠BAC吗？请说明理由．（9题图）10．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE ⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，△ADC和△CEB全等吗？请说明理由；（2）聪明的小亮发现，当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，可得DE=AD+BE，请你说明其中的理由；（3）小亮将直线MN绕点C旋转到图2的位置，发现DE、AD、BE之间存在着一个新的数量关系，请直接写出这一数量关系．11．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=°，∠DEC=°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．（11题图）（12题图）12．如图，△ABC中，D是BC的中点，AC∥BG，直线FG过点D交AC于F，交BG于G点，DE⊥GF，交AB于点E，连结GE、EF．（1）求证：BG=CF；（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．13．如图，A为x轴负半轴上一点，C（0，﹣2），D（﹣3，﹣2）．（1）求△BCD的面积；（2）若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交CO于P，交CA于Q，判断∠CPQ与∠CQP 的大小关系，并说明你的结论．（3）若∠ADC=∠DAC，点B在x轴正半轴上任意运动，∠ACB的平分线CE交DA的延长线于点E，在B点的运动过程中，∠E与∠ABC的比值是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由．14．以点A为顶点作等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，其中∠BAC=∠DAE=90°，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD、CE．（1）试判断BD、CE的数量关系，并说明理由；（2）延长BD交CE于点F试求∠BFC的度数；（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．相交线与平行线1.未正确理解垂线的定义1．下列判断错误的是（）.A.一条线段有无数条垂线；B.过线段AB中点有且只有一条直线与线段AB垂直；C.两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直；D.若两条直线相交，则它们互相垂直.错解：A或B或C.解析：本题应在正确理解垂直的有关概念下解题，知道垂直是两直线相交时有一角为90°的特殊情况，反之，若两直线相交则不一定垂直.正解：D.2.未正确理解垂线段、点到直线的距离2．下列判断正确的是（）.A.从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离；B.过直线外一点画已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离；C.画出已知直线外一点到已知直线的距离；D.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短.错解：A或B或C.解析：本题错误原因是不能正确理解垂线段的概念及垂线段的意义.A.这种说法是错误的，从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离. 仅仅有垂线段，没有指明这条垂线段的长度是错误的.B.这种说法是错误的，因为垂线是直线，直线没有长短，它可以无限延伸，所以说“垂线的长度”就是错误的；C.这种说法是错误的，“画”是画图形，画图不能得到数量，只有“量”才能得到数量，这句话应该说成：画出已知直线外一点到已知直线的垂线段，量出垂线段的长度.正解：D.3.未准确辨认同位角、内错角、同旁内角3．如图所示，图中共有内错角（）.A.2组；B.3组；C.4组；D.5组.错解：A.解析：图中的内错角有∠AGF与∠GFD，∠BGF与∠GFC，∠HGF与∠GFC三组.其中∠HGF 与∠GFC易漏掉。

北京市名校七年级第二学期数学精选填空题汇总填空题有答案含解析1．某校对七、八、九三个年级学生开展的四项社团活动活动进行了一次抽样调查（每人只参加其中的一项活动），调查结果如图所示。

根据图示所提供的样本数据，可得学生参加体育活动的频率是______.2．如图，在直角三角形ABC 中，90ACB ︒∠=，30A ︒∠=，先以点C 为旋转中心，将ABC ∆按逆时针方向旋转45︒得11A B C ∆，然后以直线1A C 为对称轴，将11A B C ∆轴对称变换，得12A B C ∆，则12A B 与AB 所成的α∠度数为__________度．3．0.000106用科学记数法可以表示为__________．4．定义：在平面直角坐标系xOy 中，把从点P 出发沿纵或横方向到达点Q （至多拐一次弯）的路径长称为P ，Q 的“实际距离”．如图，若P （﹣1，1），Q （2，3），则P ，Q 的“实际距离”为1，即PS+SQ=1或PT+TQ=1．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A ，B ，C 三个小区的坐标分别为A （3，1），B （1，﹣3），C （﹣1，﹣1），若点M 表示单车停放点，且满足M 到A ，B ，C 的“实际距离”相等，则点M 的坐标为_____．5．如图，C 岛在A 岛的北偏东45°方向，在B 岛的北偏西25°方向，则从C 岛看A ，B 两岛的视角∠ACB ＝________.6．甲、乙两班各有45人，某次数学考试成绩的中位数分别是88分和90分，若90分及90分以上为优秀，则优秀人数多的班级是________.7． “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084可以用科学记数法表示为________.8．长方形的周长为18，一边长x 由小到大变化，则长方形的面积y 与这个边长x 的关系式为_____． 9．分别写有数字1,23、﹣1、0、π的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是_____．10．若x m =3，x n =2，则x m+n =_____.11．已知//AB x 轴，点A 的坐标为()2,5，并且4AB =，则点B 的坐标为__________.12．如果多项式29mx x ++是完全平方式，那么m =________． 13．132的五次方根是__________________； 14．一个角的余角是它的 23，则这个角的补角等于____. 15．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图．则点A 22的坐标为__．16．已知关于 x 、y 的方程组3326x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解是21x y =⎧⎨=⎩则 a ＋b ＝_____． 17．()()2020*********π-⎛⎫---+-= ⎪⎝⎭______. 18．已知x a y b =⎧⎨=⎩是方程组2025y x y -=⎧⎨+=⎩的解，则3a b -=_______． 19．（6分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：作图：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线l 及其外一点A ．求作：l的平行线，使它经过点A．小天利用直尺和三角板进行如下操作：如图所示：①用三角板的斜边与已知直线l重合；②用直尺紧靠三角板一条直角边；③沿着直尺平移三角板，使三角板的斜边通过已知点A；④沿着这条斜边画一条直线，所画直线与已知直线平行.老师说：“小天的作法正确．”请回答：小天的作图依据是___________．20．（6分）把方程2x-3y=x+2y改写成用含x的式子表示y的形式：_________．21．（6分）李老师带领x名学生到某动物园参观，已知成人票每张20元，学生票每张10元．设门票的总费用为y元，则y＝________.22．（8分）两个角的两条边分别平行，则这两个角的大小关系是_________.23．（8分）如图，在四边形ABCD 中，AC 是对角线，AB=CD，∠DAC+∠BCA=180°，∠BAC+∠ACD=90°，四边形ABCD 的面积是18，则CD 的长是__________.24．（10分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为________．25．（10分）两人练习跑步，如果乙先跑16米，甲8秒可追上乙，如果乙先跑2秒钟，则甲4秒可追上乙，求甲乙二人每秒各跑多少米.设甲每秒跑x米，乙每秒跑y米，依题意，可列方程组为________________.26．（12分）已知等腰三角形一个角是100︒，则它的底角等于________________．27．（12分）对于实数x ，y ，定义新运算x ※y=ax+by+1，其中a ，b 为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若1※3=15，2※7=28，则3※1=______．28．如图，点E 、F 是四边形ABCD 的边AD 、BC 上的点，连接EF ，将四边形ABFE 沿直线EF 折叠，若点A ，点B 都落在四边形ABCD 内部，记∠C+∠D=α，则∠1+∠2＝______°．29．如图，将一个宽度相等的纸条沿AB 折叠一下，如果∠1=130º，那么∠2= ．30．如果x 2+kx+1是一个完全平方式，那么k 的值是___________.31．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()2,5.-若线段//AB x 轴，且AB 的长为4，则点B 的坐标为______． 32．甲数x 的23与乙数y 的14差可以表示为_________ 33．如图，直线a ∥b ，Rt △ABC 的直角顶点C 在直线b 上，∠2＝70°，∠1＝_____．34．如图，//// ,//AB EP DC EG BD ， 则图中2,3,4,5,A ∠∠∠∠∠与1∠相等的有__________．35．小明抛掷一枚均匀的硬币，抛掷一百次硬币，结果中有55次正面朝上，那么朝上的频率为__________． 36．已知x =23y =23，计算代数式2211()()x y x y x y x y x y+----+的值_____ 37．请写出一个．．含有字母a 的同底数幂相乘的运算式子__________，运算结果为_________． 38．计算()10112-⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭_____．39．如图，正五边形和正六边形有一条公共边AB ，并且正五边形在正六边形内部，连接AC 并延长，交正六边形于点D ，则ADE ∠=______.40．如果点P （﹣5，m ）在第三象限，则m 的取值范围是_____．41．若a 2+（k ﹣3）a+9是一个完全平方式，则k 的值是_____．42．将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知125∠=︒，则2∠=________．43．若当17x =时，代数式3235685x x x -+的结果为0，那么将3235585x x x -+分解因式的结果为______44．如图，是一个测量工件内槽宽的工具，点既是的中点，也是的中点，若测得，则该内槽的宽为__________．45．4x a+2b ﹣5﹣2y 3a ﹣b ﹣3＝8是二元一次方程，那么a ＝_____，b ＝_____．46．如图直线a ∥b ，直线c 分别交直线a ，b 于点A 、B 两点，CB ⊥a 于B ，若∠1=40°，则∠2=___________.47．如图，将长方形ABCD 折叠，折痕为EF ，且∠1=70°，则∠AEF 的度数是_____．48．如图，在ABC ∆中，B 与C ∠的平分线交于点P .若130BPC ∠=︒，则A ∠=______．49．小明同学在百度搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，引擎搜索耗时0.00175秒，将这个数用科学记数法表示为____．50．若2236x ax ++是完全平方式，则a =_________.参考答案填空题有答案含解析1．0.3【解析】【分析】根据条形图计算数据总数，再找出学生参加体育活动的频数，根据频率=频数数据总和计算即可． 【详解】数据总数=15+30+20+35=100，参加体育活动的频数为30， 参加体育活动的频率为：30100=0.3. 故答案为：0.3.【点睛】本题考查频数与频率、条形统计图，解题的关键是掌握频数与频率的求法.2．75【解析】【分析】由旋转、轴对称的性质及三角形的内角与外角的性质作答．【详解】解：∵△ABC按逆时针方向旋转45°，得△A1B1C，∴∠BCB1＝45°，∴∠ACB2＝180°−∠ACB−∠BCB1＝45°．而∠B2＝∠B1＝∠B＝90°−∠A＝60°．又∵∠α＋∠A＝∠B2＋∠ACB2，∴∠α＝75°．【点睛】本题主要考查旋转与轴对称的性质：旋转前后，轴对称前后的对应角相等．3．1.06×10−4.【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】0.000106=1.06×10−4；故答案是：1.06×10−4.【点睛】此题考查科学记数法，解题关键在于掌握其一般形式.4．（1，﹣2）．【解析】【详解】若设M（x，y），则由题目中对“实际距离”的定义可得方程组：3-x+1-y=y+1+x+1=1-x+3+y，解得：x=1，y=-2，则M（1，-2）．故答案为（1，-2）．5．70°【解析】【分析】【详解】连接AB．∵C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏25°方向，∴∠CAB+∠ABC=180°-（45°+25°）=110°，∵三角形内角和是180°，∴∠ACB=180°-（∠CAB+∠ABC）=180°-110°=70°．6．乙班【解析】试题分析：根据中位数的定义：将甲、乙两班的45人的数学成绩，从小到大排列后，第23人的成绩就是中位数．甲班为88分，乙班为90分．若90分及90分以上为优秀，则优秀人数多的班级是乙班，至少是23人．故答案为：乙班．点睛：本题考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，中间的那个数（或中间两个数的平均数）．7．8.4×10﹣1【解析】【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.0000084＝8.4×10﹣1．故答案为8.4×10﹣1．【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．8．y=9x ﹣x 1．【解析】【分析】直接利用已知结合矩形面积求法进而得出答案．【详解】∵长方形的周长为18，一边长x ，∴另一边长为：9﹣x ，故长方形的面积y 与这个边长x 的关系式为：y=x （9﹣x ）=9x ﹣x 1．故答案为：y=9x ﹣x 1．【点睛】此题主要考查了函数关系式，正确表示出矩形的边长是解题关键．9．0.4【解析】【分析】直接利用无理数的定义结合概率求法得出答案.【详解】解：∵写有数字11,0,3π-π是无理数，∴从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是：0.4，故答案为：0.4.【点睛】此题主要考查了概率公式以及无理数的定义，正确把握相关定义是解题关键.10．6【解析】【分析】先逆用同底数幂相乘运算法则，然后代入求值即可；【详解】解：x m+n = x m ×x n =3×2=6故答案为：6【点睛】本题考查了同底数幂乘法的运算法则，逆用该法则是解题的关键.11．()6,5或()2,5-【解析】【分析】根据平行于x 轴上的点的纵坐标相等可得点B 的纵坐标为5，再分情况讨论求出点B 的横坐标，即可得解．【详解】AB//x 轴，点A 的坐标为()2,5，∴点B 的纵坐标为5，AB 4=，∴点B 的横坐标为242-=-，或246+=，∴点B 的坐标为()6,5或()2,5-故答案为()6,5或()2,5)-．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于x 轴上的点的纵坐标相等的性质，难点在于要分情况讨论． 12．6±.【解析】【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m 的值．【详解】∵9-mx+x 2是一个完全平方式，∴m=±1．故答案为：±1．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．13．12【解析】【分析】根据五次方根的概念求解.【详解】因为511()232=， 所以132的五次方根是12. 故答案是：12. 【点睛】考查了分数指数幂，用到的知识点是开方的知识，属于基础题，注意掌握开方的运算．14．126°【解析】【分析】设未知数，根据余角的定义列方程，解方程求得这个角，再求它的补角即可.【详解】设这个角为x o ,依题意得：2390x x =- 解得x=54，所以这个角的补角为(180-54)o =126°.故答案是：126°.【点睛】考查了余角和补角的定义，熟记其定义是解题的关键.15．（11，1）．【解析】【分析】观察图形可知，A 4，A 8都在x 轴上，求出OA 4、OA 8以及OA 20的长度，然后写出坐标即可；根据以上规律写出点A 4n 的坐标即可．【详解】由图可知，A 4，A 8都在x 轴上，∵小蚂蚁每次移动1个单位，∴OA 4=2，OA 8=4，则OA 20=10，∴A 22(11，1)，故答案为：(11，1)．【点睛】本题主要考查了点的变化规律，比较简单，仔细观察图形，确定出A 4n 都在x 轴上是解题的关键． 16．5【解析】【分析】将x=2和y=1代入方程组求出a 和b 的值，然后进行计算.【详解】解：将x=2和y=1代入方程组得6-a=34+b=6⎧⎨⎩ 解得：a=3b=2⎧⎨⎩325a b ∴+=+=【点睛】掌握二元一次方程组的解是解题的关键。

2022届北京市宣武区七年级第二学期期末调研数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题只有一个答案正确）1．若方程组21322x y k x y +=-⎧⎨+=⎩的解满足0x y +=，则k 的值为（ ） A ．0B ．1-C ．1D ．不能确定【答案】C【解析】【分析】根据等式的性质，可得答案．【详解】 21322x y k x y +=-⎧⎨+=⎩①② ①+②，得3(x+y)=3−3k ，由x+y=0，得3−3k=0，解得k=1，故选C【点睛】此题考查二元一次方程组的解，掌握运算法则是解题关键2．如果0a b <<，下列不等式中错误的是（ ）A ．0ab >B ．1a b <C ．0a b +<D ．0a b -< 【答案】B【解析】【分析】根据a ＜b ＜0，可得ab ＞0，a+b ＜0，b a＞0，a-b ＜0，从而得出答案．B、ab＞1，故本选项符合题意；C、a+b＜0，故本选项不符合题意；D、a-b＜0，故本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了不等式的性质，是基础知识比较简单．3．用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据高线的定义即可得出结论．【详解】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，故选：A．【点睛】本题考查的是作图−基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．4．多项式12ab3c＋8a3b的公因式是( )A．4ab2B．4abc C．2ab2D．4ab 【答案】D【解析】【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．【详解】故答案选：D ．【点睛】本题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“−1”． 5．已知'C'B'ABC A ∆≅∆，C ∠与B'∠，B 与'C ∠是对应角，有下列四个结论：①BC C'B'=；②AC A'B'=；③''AB A B =；④ACB A'B'C'∠=∠，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】判断各选项的正误要根据“全等三角形的对应边相等，对应角相等”对选项逐个验证可得出答案．【详解】解：∵△ABC ≌△A′C′B′，∠B 与∠C′，∠C 与∠B′是对应角，∴BC ＝C′B′，AC ＝A′B′，∠ACB ＝∠A′B′C′，AB 与A′B′不是对应边，不正确．∴①②④共3个正确的结论．故选：C ．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等．是需要熟练掌握的内容，找对应边，对应角是解决本题的关键．6．下列调查中，适合用抽样调查的是（ ）A ．了解某班学生的身高情况B ．调查我市市民对2019年武汉军运动会的知晓率C ．搭乘地铁时，进行安全检查D ．选出某校短跑最快的学生参加区运动会【答案】B【解析】【分析】根据抽样调查的要求，逐个判断是否适合抽样调查.【详解】A 选项适合于全面调查;D 选项适合于全面调查.故选B.【点睛】本题主要考查抽样调查的要求，注意和全面调查区分开.7．如图，a∥b,点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC＝90°，AB＝AC,若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．25°B．65°C．70°D．75°【答案】B【解析】试题分析：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵∠1=20°，∴∠ACE=20°+45°=65°，∵a∥b，∴∠2=∠ACE=65°，故选B．考点: 1.等腰直角三角形；2.平行线的性质.8．下列成语中，表示必然事件的是（）A．旭日东升B．守株待兔C．水中捞月D．刻舟求剑【答案】A【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．【详解】解：A，旭日东升是必然事件；B、守株待兔是随机事件；C、水中捞月是不可能事件；D、刻舟求剑是不可能事件；本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．9．如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若干张，如果要拼一个长为()3a b +，宽为()2a b +的大长方形，则需要A 类、B 类和C 类卡片的张数分别为（ ）A ．2，5，3B ．3，7，2C ．2，3，7D ．2，5，7【答案】C【解析】【分析】根据长方形的面积=长×宽，求出长为a+3b ，宽为2a+b 的大长方形的面积是多少，判断出需要A 类、B 类、C 类卡片各多少张即可．【详解】解：长为a+3b ，宽为2a+b 的长方形的面积为：（a+3b ）（2a+b ）=2a 2+7ab+3b 2，∵A 类卡片的面积为a 2，B 类卡片的面积为b 2，C 类卡片的面积为ab ，∴需要A 类卡片2张，B 类卡片3张，C 类卡片7张．故选：C ．【点睛】此题主要考查了多项式乘多项式的运算方法，熟练掌握运算法则是解题的关键．10．在平面直角坐标系中，点P （-1，1）所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】根据平面直角坐标系的特点，由P 点的横纵坐标的符号判断所在的象限即可.【详解】因为x =-1＜0，y=1＞0所以P （-1，1）所在的象限是第二象限.本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．二、填空题11．当x __________时，代数式53x -的值是正数. 【答案】35x > 【解析】试题解析：∵代数式53x -的值是正数.∴5x-3>0解得： 35x > 12．如图1，将边长为a 的大正方形剪去一个边长为b 的小正方形，并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，请根据图形的面积写出一个含字母a ，b 的等式_______________．【答案】()()22a b a b a b -=+- 【解析】【分析】根据左图中的面积=大正方形的面积-剪去的小正方形的面积,右图中的面积=长×宽,由面积不变可得含字母a ，b 的等式.【详解】左图中部分的面积=a 2-b 2,右图中的面积=(a+b)(a-b),由图中的面积不变,得()()22a b a b a b -=+-. 故答案为：()()22a b a b a b -=+-. 【点睛】本题考查了利用图形的面积验证平方差公式，根据两个图形的面积相等列出等式是解题的关键. 13．已如等腰ABC ∆的两边长a ，b 满足420a b --=，则第三边长c 的值为____【答案】1根据非负数的意义列出关于a、b的方程并求出a、b的值，再根据b是腰长和底边长两种情况讨论求解．【详解】a-+=解：40∴a=1，b=2，（1）若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、1，不能组成三角形；（2）若2是底边长，则三角形的三边长为：2、1、1，能组成三角形，故第三边长为1，故答案为：1．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程式正确解答本题的关键．14．若关于x的不等式－x＞a+2的解集是x＜3，则a=_________．【答案】-5【解析】【分析】首先根据不等式的性质求出不等式的解集x＞2+a，得出方程2+a=1，求出a的值即可.【详解】∵－x＞a+2，∴x<-a-2，∵解集是x＜3，∴-a-2=3，∴a=-5.故答案为-5.【点睛】此题主要考查了不等式的解集，不等式的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集得出方程-2-a=3是解此题的关键．BC=，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB 15．如图：在△ABC中，AB AC==4交AE的延长线于点F，则DF的长为____．【答案】1 【解析】分析：由已知条件易得BD=12BC=2，∠ADB=90°，结合AB=5由勾股定理可得AD=1，由DF∥AB，AF平分∠BAD可得∠BAF=∠DAF=∠F，从而可得DF=AD=1.详解：∵在△ABC中，AB=AC=5，AD是△ABC的中线，∴BD=12BC=2，∠ADB=90°，∴AD=2222(5)21AB BD-=-=，∵DF∥AB，AE平分∠BAD，∴∠BAF=∠F，∠BAF=∠DAF，∴∠F=∠DAF，∴DF=AD=1.故答案为：1.点睛：熟知“等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的中线、高线和顶角的平分线互相重合，并由此得到BD=2，∠ADB=90°，进而利用勾股定理求得AD=1”是解答本题的关键.16．如图,直线y=- 43x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,点C是线段AB上一点,四边形OADC是菱形,则OD的长为____.分析：先根据解析式求出A 、B 的坐标，然后根据勾股定理求出AB 的长，再根据菱形的性质和三角形的面积求解即可.详解：∵直线y=-43x+4与x 轴、y 轴分别交于点A,B, ∴A(3,0),B(0,4),∴OA=3,OB=4,∴∵四边形OADC 是菱形,∴OE ⊥AB,OE=DE,∴OA·OB=OE·AB,即3×4=5×OE,解得OE=2.4,∴OD=2OE=4.8.点睛：本题考查了一次函数的交点坐标的求法以及勾股定理的运用，利用等面积法求解是解题关键. 17．互为邻补角的两个角的大小相差60︒，这两个角的大小分别为_____________【答案】60,120︒︒ 【解析】【分析】设其中一个角为x ，则根据邻补角的定义得另一个角为180x ︒-，再根据两个角的大小相差60︒，列出方程，解方程即可【详解】解：设其中一个角为x ，则另一个角为180x ︒-，∵两个角的大小相差60︒，∴()18060x x ︒︒--=或()18060x x ︒︒--= ∴120x ︒=或60x ︒=∴18060x ︒︒-=或120︒故答案为：60,120︒︒【点睛】本题考查了邻补角的定义和解一元一次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键三、解答题 314x +≤⎧⎪【答案】−2＜x≤1；在数轴上表示解集见解析.【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，确定不等式组的解集，然后表示在数轴上即可．【详解】解：解不等式3x＋1≤4，得：x≤1，解不等式1342x-<，得：x＞−2，所以不等式组的解集为：−2＜x≤1，将解集表示在数轴上如下：【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．长方形地砖排成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少?【答案】长方形地砖的长为45cm，宽为15cm.【解析】【分析】设每块地砖的长为xcm，宽为ycm，根据题意可得方程组，解这个方程组即可求得x、y的值．【详解】解：没每抉长方形地砖的长为xcm，宽为ycm.依题意得46060xx y=⎧⎨+=⎩，解得4515xy=⎧⎨=⎩答：长方形地砖的长为45cm，宽为15cm. 【点睛】20．某商店欲购进一批跳绳，若购进A 种跳绳8根和B 种跳绳7根，则共需351元；若购进A 种跳绳4根和B 种跳绳3根，则共需163元．（1）求A 、B 两种跳绳的单价各是多少？（2）若该商店准备购进这两种跳绳共140根，且A 种跳绳的数量不少于跳绳总数量的25．若每根A 种、B 种跳绳的售价分别为27元、33元，问：该商店应如何进货才可获取最大利润，并求出最大利润．【答案】（1）A 种跳绳的单价为22元，B 种跳绳的单价为25元.（2）该商店应购进A 种跳绳56根，B 种跳绳84根，可获取最大利润，最大利润是952元.【解析】【分析】（1）设A 种跳绳的单价为x 元，B 种跳绳的单价为y 元. 构建方程组即可解决问题；（2）设购进A 种跳绳a 根，则B 种跳绳(140-a)根，该商店的利润为w 元，根据题意得出一次函数，再利用一次函数的性质即可解决问题.【详解】解：（1）设A 种跳绳的单价为x 元，B 种跳绳的单价为y 元. 由题意，得8735143163x y x y +=⎧⎨+=⎩解得 2225x y =⎧⎨=⎩答：A 种跳绳的单价为22元，B 种跳绳的单价为25元.（2）设购进A 种跳绳a 根，则B 种跳绳(140-a)根，该商店的利润为w 元，根据题意得w=(27-22)a+(33-25)(140-a)=-3a+1120∵-3＜0∴a 取最小值时，w 取最大值∵a ≥140×25即a ≥56，且a 为整数∴当a=56时，w 最大=-3×56+1120=952此时，140-56=84（根）答：该商店应购进A 种跳绳56根，B 种跳绳84根，可获取最大利润，最大利润是952元.故答案为（1）A 种跳绳的单价为22元，B 种跳绳的单价为25元.（2）该商店应购进A 种跳绳56根，B 种跳绳84根，可获取最大利润，最大利润是952元.【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题，二元一次方程组的解法及一次函数的应用. 在解答过程中寻找能够反映整个题意的等量关系是解答本题的关键.21．先化简，再求值：[（1x+y）（1x﹣y）﹣5x（x+1y）+（x+1y）1]÷（﹣3y），其中x＝1，y＝1．【答案】2．【解析】【分析】先根据完全平方式和平方差公式进行去括号化简，再进行除法运算，即可得到答案.【详解】原式＝（4x1﹣y1﹣5x1﹣12xy+x1+4xy+4y1）÷（﹣3y），＝（3y1﹣6xy）÷（﹣3y），＝﹣y+1x，当x＝1，y＝1时，原式＝﹣1+1＝2．【点睛】本题考查完全平方式和平方差公式，解题的关键是掌握完全平方式和平方差公式.22．如图，网格中有△ABC和点D，请你找出另外两点E、F，在图中画出△DEF，使△ABC≌△DEF，且顶点A、B、C分别与D、E、F对应．【答案】见解析【解析】【分析】三边对应相等的两个三角形互为全等三角形，据此可画出图．【详解】如图所示：从图中可得到两个三角形的三条边对应相等．【点睛】考查全等三角形的性质，三边对应相等，以及在表格中如何画出全等的三角形．23．某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：(1)若工厂计划获利14万元，问A 、B 两种产品应分别生产多少件？(2)若工厂投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？(3)在(2)条件下，哪种方案获利最大？并求最大利润．【答案】（1）A 产品生产1件，B 产品生产4件．（2）所以方案一：A 生产3件B 生产7件；方案二：A 生产4件，B 生产1件；方案三：A 生产5件，B 生产5件．（3）第一种方案获利最大，17万元.【解析】分析：（1）设A 种产品x 件，B 种为（10﹣x ）件，根据共获利14万元，列方程求解．（2）设A 种产品x 件，B 种为（10﹣x ）件，根据若工厂投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，列不等式组求解．（3）设A 种产品x 件，所获利润为y 万元，求出利润的表达式，利用一次函数的性质求解即可．详解：（1）设A 种产品x 件，B 种为（10﹣x ）件，x +2（10﹣x ）=14，解得：x =1．答：A 生产1件，B 生产4件．（2）设A 种产品x 件，B 种为（10﹣x ）件，根据题意得：35104421014x x x x +-≤⎧⎨+-⎩（）（）＞， 解得：3≤x ＜1．∵x 为正整数，∴有三种方案，具体如下：方案一：A 生产3件 B 生产7件；方案二：A 生产4件，B 生产1件；方案三：A 生产5件，B 生产5件．（3）第一种方案获利最大．设A 种产品x 件，所获利润为y 万元，∴y =x +2（10﹣x ）=﹣x +2．∵k =﹣1＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x =3时，获利最大，∴3×1+7×2=17，最大利润是17万元．点睛：本题考查了理解题意的能力，关键从表格种获得成本价和利润，然后根据利润这个等量关系列方程，根据第二问中的利润和成本做为不等量关系列不等式组分别求出解，然后求出哪种方案获利最大从而求出来．24．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC（1）若∠B=70°，∠C=30°，求；①∠BAE的度数．②∠DAE的度数．（2）探究：如果只知道∠B=∠C+40°，那么能求岀∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．【答案】（1）①∠BAE=40°；②∠DAE=20°；（2）∠DAE=20°．【解析】【分析】（1）①利用三角形的内角和定理求出∠BAC，再利用角平分线定义求∠BAE．②先求出∠BAD，就可知道∠DAE的度数．（2）用∠B，∠C表示∠DAE，即可求岀∠DAE的度数．【详解】解：（1）①∵∠B=70°，∠C=30°，∴∠BAC=180°-70°-30°=80°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=40°；②∵AD⊥BC，∠B=70°，∴∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°，而∠BAE=40°，∴∠DAE=20°；（2）∵AE为角平分线，∴∠BAE=12（180°-∠B-∠C），∵∠BAD=90°-∠B，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=12（180°-∠B-∠C）-（90°-∠B）=12（∠B-∠C），又∵∠B=∠C+40°，∴∠B-∠C=40°，∴∠DAE=20°．【点睛】此题考查了三角形内角和定理，熟练运用角平分线定义和三角形的内角和定理是解题的关键．25．李师傅要为某单位修建正多边形花台，已知正多边形花台的一个外角的度数比一个内角度数的15多12，请你帮李师傅求出这个正多边形的一个内角的度数和它的边数. 【答案】这个多边形的一个内角的度数是140°，正多边形的边数是9. 【解析】【分析】设这个多边形的一个内角的度数是x︒，则相邻的外角度数是1125x︒+︒，得出方程1121805x x++=，求出x，再根据多边形的外角和等于360︒求出边数即可．【详解】解：设这个多边形的一个内角的度数是x︒，则相邻的外角度数是1125x︒+︒，则1121805x x++=，解得：140x=，所以这个正多边形的边数是3609 18040︒=︒-︒．答：这个多边形的一个内角的度数是140°，正多边形的边数是9.【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，能求出多边形的一个内角的度数是解此题的关键，注意：多边形的外角和等于360︒．。

北师大版七年级下数学一、二、三单元易错点（第一章）易错点一 混淆同底数幂的乘法与合并同类项法则1．下列运算，正确的是( )A ．a 2＋a 2＝a 4B ．a 2·a 3＝a 6C ．a 4·a 6＝a 10D ．a 5·a 5＝2a 5易错点二 当底数互为相反数时，化简符号出错2．计算：(1)(－y )·y 2·(－y )3； (2)(x －2y )2·(2y －x )3.易错点三 忽视指数1 易错点四 忽视分类讨论3．计算：a n ＋2·a n ＋1·a n ·a . 4．计算：(－m )2n －1·(－m )n ＋2.易错点五 混淆同底数幂的乘法与幂的乘方 易错点六 漏将系数连同符号一起乘方5．计算：(x 3)4. 6．计算：(1)a3b 12； (2)(－x 3y 2)5.易错点七 用科学记数法表示小于1的数时易出错 易错点八 底数为同一数的幂时易出错7．用科学记数法表示0.000 000 080 2. 8．计算：94×272÷313.易错点九 易遗漏只在一个单项式中出现的字母 易错点十 易漏乘常数项9．计算：(4ab ＋5a 2bc )·(－3ab 2)． 10．计算：(1－x ＋y )(x ＋y )．易错点十一 多项式展开后不含某项，求未知字母的值时易出错11．已知多项式(x 2＋mx ＋n )(x 2－3x ＋4)展开后不含x 3项和x 2项，试求m ，n 的值．易错点十二 忘记合并同类项12．计算：5a 3b ·(－3b )2＋(－6ab )2·(－ab )－ab 3·(－4a )2.易错点十三 混淆平方差公式中的相同项和相反项13．下列各式可以运用平方差公式的是( )A ．(x ＋y )(－x －y )B ．(2a －b )(2a ＋b )C ．(－m ＋2n )(m －2n )D ．(4x ＋3y )(4y －3x ) 易错点十四 对完全平方公式理解不透彻14．下列等式能够成立的是( )A ．(2x －y )2＝4x 2－2xy ＋y 2B ．(x ＋y )2＝x 2＋y 2C ．a －b 12＝41a 2－ab ＋b 2D ．＋x 12＝x21＋x 2 易错点十五 遗漏只在被除式里出现的字母15．计算： (1)(－12x 2y 3z ＋3xy 2)÷(－3xy 2)； (2)－9a 2b 3c 2÷(－3ab )2.易错点十六 遗漏只在除式里出现的字母 易错点十七 易漏常数项16．计算：(x 5y 2－6x 3y 4＋x 2)÷x 2yz . 17．计算：(4x 5－3x 3＋2x 2)÷2x 2.易错点十八整式混合运算顺序易出错18．计算：(－ab)3＋7(a2)2÷(－a)·(－b3)．（第二章）易错点一对对顶角相等的性质及角平分线的定义理解不透彻1．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD．若∠BOE＝36°，则∠AOC的度数为() A．36°B．60°C．72°D．80°易错点二对互为补角的概念理解不透彻2．如图是一把剪刀，若∠AOB＋∠COD＝60°，则∠BOD的度数是()A．30°B．150°C．60°D．120°易错点三不能灵活运用垂线段最短3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5.点P在边BC上运动，则线段AP的长不可能是()A．2.5 B．3.5 C．4 D．5易错点四不能结合图形分析两角的位置关系而出错4．如图，点E在AD的延长线上，下列条件能判定BC∥AD的是()A．∠1＝∠2 B．∠A＝∠5 C．∠A＋∠ADC＝180°D．∠3＝∠4易错点五不能灵活运用平行线的判定与角平分线的定义而出错5．如图，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠1＋∠2＝90°.试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．易错点六易忽视两角之间的互补关系而出错6．如图，在∠AOB内有一点P.(1)过点P画l1∥OA．(2)过点P画l2∥OB．(3)用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样的关系？易错点七没有掌握平行线的性质而出错7．如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上．若∠1＝60°，则下列结论错误的是()A．∠5＝40°B．∠2＝60°C．∠3＝60°D．∠4＝120°易错点八对作图语句理解不准确8．有下列作图语句：①作直线AB，使AB＝a；②延长射线CD到点E，使CD＝DE；③作∠AOB，使∠AOB＝3∠β；④以点O为圆心作弧；⑤过直线MN外一点，作直线a∥MN.其中正确的是________(填序号)．易错点九易忽视分类讨论9．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是4 cm，到直线b的距离是2 cm，那么直线a和直线b之间的距离为______________．变式训练1．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠FOD＝90°.若∠BOD∶∠BOE＝1∶2，则∠AOF的度数为()A．70°B．75°C．60°D．54°2．如图，在一块直角三角板ABC中，AB＞AC的根据是______________．3．如图，直线a，b与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠3；②∠3＝∠6；③∠4＋∠6＝180°；④∠5＋∠3＝180°.其中能判定a∥b的是________(填序号)．4．如图是一张长条形纸片，其中AB∥CD．将纸片沿EF折叠，A，D两点分别与A′，D′对应．若∠1＝∠2，则∠D′FC的度数为()A．72°B．36°C．60°D．65°5．如图，∠1＝100°，∠3＝110°，∠2＝100°，则∠4的度数为________．6.若P为直线l外一定点，A为直线l上一定点，且PA＝2，点P到直线l的距离为d，则d的取值范围为()A．0＜d＜2 B．d＝2或d＞2 C．0≤d＜2 D．0＜d≤27如图，有下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2＋∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠2.其中能判定直线l1∥l2的是()A．②③④B．②③⑤C．②④⑤D．②④8. 已知∠AOB＝46°，过点O分别作射线OC，OD，使OC⊥OA，OD⊥OB，求∠COD的度数．9. 将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起(提示：∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°)．当∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方，且这两块角尺有一组边互相平行时，求∠ACE的度数所有可能的值．（第三章）易错点一用图象表示变量间关系时易出错1．如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿O→A→B→O的路径运动一周．设OP＝s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是()A B C D易错点二混淆自变量与因变量2.在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中，因变量是()A．太阳光的强弱B．水的温度C．所晒的时间D．热水量易错点五混淆速度—时间图象与路程—时间图象5.实践证明1分钟跳绳测验的最佳状态是前20 s速度匀速增加，后10 s冲刺，中间速度保持不变，则跳绳速度v(个/s)与时间t(s)之间关系的图象大致为()A B C D易错点三对分段图象各段表示的含义理解不透彻6. 甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶．已知甲先出发6 min后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y(km)与甲出发的时间x(min)之间的关系如图．当乙到达终点A时，甲到达终点B还需()A．78 min B．76 min C．16 min D．12 min变式训练1．如图是某市某天的气温T(℃)随时间t(h)变化的图象，则由图象可知，该天最高气温与最低气温之差为________ ℃.2．汽车油箱中有油50 L，平均耗油量为0.1 L/km.如果不再加油，那么反映油箱中的油量y(L)与行驶路程x(km)之间的关系的图象为()A B C D3．甲、乙两同学骑自行车从A地沿同一条路到B地，已知乙比甲先出发，他们离出发地的距离s(km)和骑行时间t(h)之间的关系如图．根据图象信息，下列说法正确的是()A．甲和乙两人同时到达目的地B．甲在途中停留了0.5 hC．相遇后，甲的速度小于乙的速度D．他们都骑了20 km4．如图，小明在操场上匀速散步，某一段时间内先从点M出发到点A，再从点A沿半圆弧到点B，最后从点B回到点M.下列能近似刻画小明离出发点M的距离与时间之间关系的图象是()A B C D答案：一：1.C2.（1）解：原式＝y·y2·y3＝y6. （2）解：原式＝(2y－x)2·(2y－x)3＝(2y－x)5.3.解：原式＝a n＋2＋n＋1＋n＋1＝a3n＋4.4.解：原式＝(－m )3n ＋1＝－m3n ＋1，n 为偶数.m3n ＋1，n 为奇数，5.解：原式＝x 3×4＝x 12.6.（1）解：原式＝212·(a 3)2·b 2＝41a 6b 2.（2）解：原式＝(－1)5·(x 3)5·(y 2)5＝－x 15y 10.7.解：0.000 000 080 2＝8.02×10－8.8.解：原式＝(32)4×(33)2÷3－3＝38＋6－(－3)＝317.9.解：原式＝－12a 2b 3－15a 3b 3c .10.解：原式＝x ＋y －x 2－xy ＋xy ＋y 2＝x ＋y －x 2＋y 2.11.解：原式＝x 4＋(m －3)x 3＋(n －3m ＋4)x 2＋(4m －3n )x ＋4n . 因为展开式不含x 3项，所以m －3＝0，解得m ＝3.因为展开式不含x 2项，所以n －3m ＋4＝0，解得n ＝5.所以m 的值为3，n 的值为5.12.解：原式＝5a 3b ·9b 2－36a 2b 2·ab －ab 3·16a 2＝45a 3b 3－36a 3b 3－16a 3b 3＝－7a 3b 3.13.B14.C15.（1）解：原式＝4xyz －1.（2）解：原式＝－9a 2b 3c 2÷9a 2b 2＝－bc 2.16.解：原式＝x 5y 2÷x 2yz －6x 3y 4÷x 2yz ＋x 2÷x 2yz ＝z x3y －z 6xy3＋yz 1.17.解：原式＝4x 5÷2x 2＋(－3x 3)÷2x 2＋2x 2÷2x 2＝2x 3－23x ＋1.18.解：原式＝－a 3b 3－7a 4÷a ·(－b 3)＝－a 3b 3＋7a 3b 3＝6a 3b 3. 二、1.C 2.B 3.A 4.A5.解：AD ∥BC .理由如下：因为DE 平分∠ADC ，CE 平分∠BCD ，所以∠ADC ＝2∠1，∠BCD ＝2∠2.因为∠1＋∠2＝90°，所以∠ADC ＋∠BCD ＝180°，所以AD ∥BC .6.解：(1)(2)如图．（3）解：l 1与l 2相交的角有两个：∠1，∠2.∠1＝∠O ，∠2＋∠O ＝180°， 所以l 1和l 2相交的角与∠O 相等或互补．7. A 8. ③⑤ 9. 2 cm 或6 cm训练1.D2.垂线段最短3.①④4.C5.70°6.D7.D8.解：①当∠AOB在∠COD内部时，易知∠AOB＋∠COD＝180°，所以∠COD＝180°－∠AOB＝134°.②当∠AOB与∠COD没有重叠部分时，易知∠COD＝∠AOB＝46°.综上所述，∠COD的度数为134°或46°.9.解：∠ACE的度数为30°或45°.理由如下：①当BC∥AD时，∠AEC＝∠BCE＝90°，所以∠ACE＝90°－∠A＝30°；②当BE∥AC时，∠ACE＝∠E＝45°.三、1.D 2.B 3.C 4.A训练 1.12 2.B 3.D 4.C。

初中数学七年级下册易错题汇总⼤全附答案带解析初中数学七年级下册易错题相交线与平⾏线1.未正确理解垂线的定义1．下列判断错误的是（）.A.⼀条线段有⽆数条垂线；B.过线段AB中点有且只有⼀条直线与线段AB垂直；C.两直线相交所成的四个⾓中，若有⼀个⾓为90°，则这两条直线互相垂直；D.若两条直线相交，则它们互相垂直.错解：A或B或C.解析：本题应在正确理解垂直的有关概念下解题，知道垂直是两直线相交时有⼀⾓为90°的特殊情况，反之，若两直线相交则不⼀定垂直.正解：D.2.未正确理解垂线段、点到直线的距离2．下列判断正确的是（）.A.从直线外⼀点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离；B.过直线外⼀点画已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离；C.画出已知直线外⼀点到已知直线的距离；D.连接直线外⼀点与直线上各点的所有线段中垂线段最短.错解：A或B或C.解析：本题错误原因是不能正确理解垂线段的概念及垂线段的意义.A.这种说法是错误的，从直线外⼀点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离. 仅仅有垂线段，没有指明这条垂线段的长度是错误的.B.这种说法是错误的，因为垂线是直线，直线没有长短，它可以⽆限延伸，所以说“垂线的长度”就是错误的；C.这种说法是错误的，“画”是画图形，画图不能得到数量，只有“量”才能得到数量，这句话应该说成：画出已知直线外⼀点到已知直线的垂线段，量出垂线段的长度.正解：D.3.未准确辨认同位⾓、内错⾓、同旁内⾓3．如图所⽰，图中共有内错⾓（）.A.2组；B.3组；C.4组；D.5组.错解：A.解析：图中的内错⾓有∠AGF与∠GFD，∠BGF与∠GFC，∠HGF与∠GFC三组.其中∠HGF与∠GFC易漏掉。

正解：B.4.对平⾏线的概念、平⾏公理理解有误4．下列说法：①过两点有且只有⼀条直线；②两条直线不平⾏必相交；③过⼀点有且只有⼀条直线与已知直线垂直；④过⼀点有且只有⼀条直线与已知直线平⾏. 其中正确的有（）.A.1个；B.2个；C.3个；D.4个.错解：C或D.解析：平⾏线的定义必须强调“在同⼀平⾯内”的前提条件，所以②是错误的，平⾏公理中的“过⼀点”必须强调“过直线外⼀点”，所以④是错误的，①③是正确的.正解：B.5.不能准确识别截线与被截直线，从⽽误判直线平⾏5．如图所⽰，下列推理中正确的有（）.①因为∠1＝∠4，所以BC∥AD；②因为∠2＝∠3，所以AB∥CD；③因为∠BCD＋∠ADC＝180°，所以AD∥BC；④因为∠1＋∠2＋∠C＝180°，所以BC ∥AD.A.1个；B.2个；C.3个；D.4个.错解：D.解析：解与平⾏线有关的问题时，对以下基本图形要熟悉：“”“”“”，只有③推理正确.正解：A.6.混淆平⾏线的判定和性质、忽略平⾏线的性质成⽴的前提条件6．如图所⽰，直线，∠1＝70°，求∠2的度数.错解：由于，根据内错⾓相等，两直线平⾏，可得∠1＝∠2，⼜因为∠1＝70°，所以∠2＝70°.解析：造成这种错误的原因主要是对平⾏线的判定和性质混淆. 在运⽤的时候要注意：（1）判定是不知道直线平⾏，是根据某些条件来判定两条直线是否平⾏；（2）性质是知道两直线平⾏，是根据两直线平⾏得到其他关系.正解：因为（已知），所以∠1＝∠2（两直线平⾏，内错⾓相等），⼜因为∠1＝70°（已知），所以∠2＝70°.7.对命题这⼀概念的理解不透彻7．判断下列语句是否是命题. 如果是，请写出它的题设和结论.（1）内错⾓相等；（2）对顶⾓相等；（3）画⼀个60°的⾓.错解：（1）（2）不是命题，（3）是命题.解析：对于命题的概念理解不透彻，往往认为只有存在因果关系的关联词才是命题，正确认识命题这⼀概念，关键要注意两点，其⼀必须是⼀个语句，是⼀句话；其⼆必须存在判断关系，即“是”或“不是”.正解：（1）是命题. 这个命题的题设是：两条直线被第三条直线所截；结论是：内错⾓相等. 这个命题是⼀个错误的命题，即假命题.（2）是命题. 这个命题的题设是：两个⾓是对顶⾓；结论是：这两个⾓相等. 这个命题是⼀个正确的命题，即真命题.（3）不是命题，它不是判断⼀件事情的语句.8.忽视平移的距离的概念8．“如图所⽰，△A′B′C′是△ABC平移得到的，在这个平移中，平移的距离是线段AA′”这句话对吗？错解：正确.解析：平移的距离是指两个图形中对应点连线的长度，⽽不是线段，所以在这个平移过程中，平移的距离应该是线段AA′的长度.正解：错误.第六章平⾯直⾓坐标系1.不能确定点所在的象限1．点A的坐标满⾜，试确定点A所在的象限.错解：因为，所以，，所以点A在第⼀象限.解析：本题出错的原因在于漏掉了当，时，的情况，此时点A在第三象限.正解：因为，所以为同号，即，或，. 当，时，点A在第⼀象限；当，时，点A在第三象限.2.点到x轴、y轴的距离易混淆2．求点A（-3，-4）到坐标轴的距离.错解：点A（-3，-4）到轴的距离为3，到轴的距离为4.解析：错误的原因是误以为点A（）到轴的距离等于，到轴的距离等于，⽽事实上，点A（）到轴的距离等于，到轴的距离等于，不熟练时，可结合图形进⾏分析.正解：点A（-3，-4）到轴的距离为4，到轴的距离为3.第⼋章⼆元⼀次⽅程组1.不能正确理解⼆元⼀次⽅程组的定义1．已知⽅程组：①，②，③，④，正确的说法是（）.A.只有①③是⼆元⼀次⽅程组；B.只有③④是⼆元⼀次⽅程组；C.只有①④是⼆元⼀次⽅程组；D.只有②不是⼆元⼀次⽅程组.错解：A或C.解析：⽅程组①④是⼆元⼀次⽅程组，符合定义，⽅程组③是⼆元⼀次⽅程组，符合定义，⽽且是最简单、最特殊的⼆元⼀次⽅程组.正解：D.2.将⽅程相加减时弄错符号2．⽤加减法解⽅程组 .错解：①－②得，所以，把代⼊①，得，解得.所以原⽅程组的解是 .错解解析：在加减消元时弄错了符号⽽导致错误.正解：①－②得，所以，把代⼊①，得，解得.所以原⽅程组的解是 .3.将⽅程变形时忽略常数项3．利⽤加减法解⽅程组 .错解：①×2＋②得，解得. 把代⼊①得，解得. 所以原⽅程组的解是 .错解解析：在①×2＋②这⼀过程中只把①左边各项都分别与2相乘了，⽽忽略了等号右边的常数项4.正解：①×2＋②得，解得. 把代⼊①得，解得. 所以原⽅程组的解是 .4.不能正确找出实际问题中的等量关系4．两个车间，按计划每⽉⼯⽣产微型电机680台，由于改进技术，上个⽉第⼀车间完成计划的120％，第⼆车间完成计划的115％，结果两个车间⼀共⽣产微型电机798台，则上个⽉两个车间各⽣产微型电机多少台？若设两车间上个⽉各⽣产微型电机台和台，则列⽅程组为（）.A.；B.；C. .D. .错解：B或D.解析：错误的原因是等量关系错误，本题中的等量关系为：（1）第⼀车间实际⽣产台数＋第⼆车间实际⽣产台数＝798台；（2）第⼀车间计划⽣产台数＋第⼆车间计划⽣产台数＝680台.正解：C.第九章不等式与不等式组1.在运⽤不等式性质3时，未改变符号⽅向1．利⽤不等式的性质解不等式：.错解：根据不等式性质1得，即. 根据不等式的性质3，在两边同除以-5，得.解析：在此解答过程中，由于对性质3的内容没记牢，没有将“＜”变为“＞”，从⽽得出错误结果.正解：根据不等式的性质1，在不等式的两边同时减去5，得，根据不等式的性质3，在不等式的两边同时除以-5，得.2.利⽤不等式解决实际问题时，忽视问题的实际意义，取值时出现错误2．某⼩店每天需⽔1m3，⽽⾃来⽔⼚每天只供⼀次⽔，故需要做⼀个⽔箱来存⽔. 要求⽔箱是长⽅体，底⾯积为0.81㎡，那么⾼⾄少为多少⽶时才够⽤？（精确到0.1m）错解：设⾼为m时才够⽤，根据题意得. 由. 要精确到0.1，所以.答：⾼⾄少为1.2m时才够⽤.解析：最后取解时，没有考虑到问题的实际意义，⽔箱存⽔量不得⼩于1m3，如果⽔箱的⾼为时正好够，少⼀点就不够了. 故最后取近似值⼀定要⼤于，即取近似值时只能⼊⽽不能舍.正解：设⾼为m时才够⽤，根据题意得. 由于，⽽要精确到0.1，所以.答：⽔箱的⾼⾄少为1.3m时才够⽤.3.解不等式组时，弄不清“公共部分”的含义3．解不等式组 .错解：由①得，由②得，所以不等式组的解集为.错解解析：此题错在对“公共部分”的理解上，误认为两个数之间的部分为“公共部分”（即解集）. 实质上，和没有“公共部分”，也就是说此不等式组⽆解. 注意：“公共部分”就是在数轴上两线重叠的部分.正解：由①得，由②得，所以不等式组⽆解.第⼗章数据的收集、整理与描述1.全⾯调查与抽样调查选择不当1．调查⼀批药物的药效持续时间，⽤哪种调查⽅式？错解：全⾯调查.解析：此调查若⽤全⾯调查具有破坏性，不宜采⽤全⾯调查.正解：抽样调查.2.未正确理解定义2．2006年4⽉11⽇《⽂汇报》报道：据不完全统计，⾄今上海⾃愿报名去西部地区⼯作的专业技术⼈员和管理⼈员已达3600多⼈，其中硕⼠、博⼠占4％，本科⽣占79％，⼤专⽣占13％. 根据上述数据绘制扇形统计图表⽰这些⼈员的学历分布情况.错解：如下图所⽰：解析：漏掉其他⼈员4％，扇形表⽰的百分⽐之和不等于1，正确的扇形统计图表⽰的百分⽐之和为1.正解：如下图所⽰：3.对频数与频率的意义的理解错误3．某班组织25名团员为灾区捐款，其中捐款数额前三名的是10元5⼈，5元10⼈，2元5⼈，其余每⼈捐1元，那么捐10元的学⽣出现的频率是__________.错解：捐10元的5⼈，.解析：该题的错误是因为将5＋10＋5作为总次数，实际上应是25为总次数，这其实是对频率概念错误理解的结果.正解：0.2⼆元⼀次⽅程组应⽤探索⼆元⼀次⽅程组是最简单的⽅程组，其应⽤⼴泛，尤其是⽣活、⽣产实践中的许多问题，⼤多需要通过设元、布列⼆元⼀次⽅程组来加以解决，现将常见的⼏种题型归纳如下：⼀、数字问题例1 ⼀个两位数，⽐它⼗位上的数与个位上的数的和⼤9；如果交换⼗位上的数与个位上的数，所得两位数⽐原两位数⼤27，求这个两位数．分析：设这个两位数⼗位上的数为x ，个位上的数为y ，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可⽤下表表⽰：解⽅程组1010x y y x +??+?，得14x y =??=?，因此，所求的两位数是14．点评：由于受⼀元⼀次⽅程先⼊为主的影响，不少同学习惯于只设⼀元，然后列⼀元⼀次⽅程求解，虽然这种⽅法⼗有⼋九可以奏效，但对有些问题是⽆能为⼒的，象本题，如果直接设这个两位数为x ，或只设⼗位上的数为x ，那将很难或根本就想象不出关于x 的⽅程．⼀般地，与数位上的数字有关的求数问题，⼀般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元⽅程组解之．⼆、利润问题例2⼀件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打⼋折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x元，进价为y元，则打九折时的卖出价为0.9x元，获利(0.9x-y)元，因此得⽅程0.9x-y=20%y；打⼋折时的卖出价为0.8x元，获利(0.8x-y)元，可得⽅程0.8x-y=10.解⽅程组0.920%0.810x y yx y-=-=，解得200150xy==，因此，此商品定价为200元．点评：商品销售盈利百分数是相对于进价⽽⾔的，不要误为是相对于定价或卖出价．利润的计算⼀般有两种⽅法，⼀是：利润=卖出价-进价；⼆是：利润=进价×利润率（盈利百分数）．特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念．三、配套问题例3 某⼚共有120名⽣产⼯⼈，每个⼯⼈每天可⽣产螺栓25个或螺母20个，如果⼀个螺栓与两个螺母配成⼀套，那么每天安排多名⼯⼈⽣产螺栓，多少名⼯⼈⽣产螺母，才能使每天⽣产出来的产品配成最多套？分析：要使⽣产出来的产品配成最多套，只须⽣产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天⽣产的螺栓与螺母应满⾜关系式：每天⽣产的螺栓数×2=每天⽣产的螺母数×1．因此，设安排ｘ⼈⽣产螺栓，ｙ⼈⽣产螺母，则每天可⽣产螺栓25ｘ个，螺母20ｙ个，依题意，得120502201x y x y +==??，解之，得20100x y =??=?．故应安排20⼈⽣产螺栓，100⼈⽣产螺母．点评：产品配套是⼯⼚⽣产中基本原则之⼀，如何分配⽣产⼒，使⽣产出来的产品恰好配套成为主管⽣产⼈员常见的问题，解决配套问题的关键是利⽤配套本⾝所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：（1）“⼆合⼀”问题：如果ａ件甲产品和ｂ件⼄产品配成⼀套，那么甲产品数的ｂ倍等于⼄产品数的ａ倍，即a b=甲产品数⼄产品数；（2）“三合⼀”问题：如果甲产品ａ件，⼄产品ｂ件，丙产品ｃ件配成⼀套，那么各种产品数应满⾜的相等关系式是：a b c==甲产品数⼄产品数丙产品数．四、⾏程问题例4 在某条⾼速公路上依次排列着A 、B 、C 三个加油站，A 到B 的距离为120千⽶，B 到C 的距离也是120千⽶．分别在A 、C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿⾼速公路逃离现场，正在B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中⼼的命令后⽴即以相同的速度分别往A 、C 两个加油站驶去，结果往B 站驶来的团伙在1⼩时后就被其中⼀辆迎⾯⽽上的巡逻车堵截住，⽽另⼀团伙经过3⼩时后才被另⼀辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x 、y 千⽶/时，则()3120120x y x y -=+=??，整理，得40120x y x y -=??+=?，解得8040x y =??=?，因此，巡逻车的速度是80千⽶/时，犯罪团伙的车的速度是40千⽶/时．点评：“相向⽽遇”和“同向追及”是⾏程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着⼀个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及⾏⾛的时间，具体表现在：“相向⽽遇”时，两者所⾛的路程之和等于它们原来的距离；“同向追及”时，快者所⾛的路程减去慢者所⾛的路程等于它们原来的距离．五、货运问题典例5 某船的载重量为300吨，容积为1200⽴⽅⽶，现有甲、⼄两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6⽴⽅⽶，⼄种货物每吨的体积为2⽴⽅⽶，要充分利⽤这艘船的载重和容积，甲、⼄两重货物应各装多少吨？分析：“充分利⽤这艘船的载重和容积”的意思是“货物的总重量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积”．设甲种货物装x 吨，⼄种货物装y 吨，则300621200x y x y +=??+=?，整理，得3003600x y x y +=??+=?，解得150150x y =??=?，因此，甲、⼄两重货物应各装150吨．点评：由实际问题列出的⽅程组⼀般都可以再化简，因此，解实际问题的⽅程组时要注意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度．化简时⼀般是去分母或两边同时除以各项系数的最⼤公约数或移项、合并同类项等．六、⼯程问题例6 某服装⼚接到⽣产⼀种⼯作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装⼚原来的⽣产能⼒，每天可⽣产这种服装150套，按这样的⽣产进度在客户要求的期限内只能完成订货的45；现在⼯⼚改进了⼈员组织结构和⽣产流程，每天可⽣产这种⼯作服200套，这样不仅⽐规定时间少⽤1天，⽽且⽐订货量多⽣产25套，求订做的⼯作服是⼏套？要求的期限是⼏天？分析：设订做的⼯作服是x 套，要求的期限是y 天，依题意，得()41505200125y x y x ?=-=+?，解得337518x y =??=?. 点评：⼯程问题与⾏程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“⼯作量=⼯作时间×⼯作效率”以及它们的变式“⼯作时间=⼯作量÷⼯作效率，⼯作效率=⼯作量÷⼯作时间”．其次注意当题⽬与⼯作量⼤⼩、多少⽆关时，通常⽤“1”表⽰总⼯作量．。

七年级（下）期中复习———填空题(最新经典）1．若x 2+kx+16是完全平方式，则k 的值为 ．2．如果2x 2a ﹣b ﹣1﹣3y 3a+2b ﹣16=10是一个二元一次方程，那么数a= ，b= ． 3．多项式x 2－4与x 2－4x ＋4有相同的因式是．4．若32+=n m ，则的值是.5．若二项式m 2＋9加上一个单项式后是一个多项式的完全平方，请写出一个这样的单项式.6．若a+b=﹣3，ab=2，则a 2+b 2= ，（a ﹣b ）2= ． 7．若a ﹣=3，则a 2﹢﹦．8．若一个多边形的每个内角都为135°，则它的边数为 ． 9．若（x ﹣y ）2=（x+y ）2+M ，则M 等于 ．10．如果x 2+（2m ﹣1）x+9是一个关于x 的完全平方式，则m= ． 11．若4x =2，4y =3，则4x+y = ． 12．如果，那么a ，b ，c 的大小关系为 ．13．如图所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别是BC ，AD ，CE 中点，且S △ABC =4平方厘米，则S △BEF 的值为 ．14．多项式2a 2b 3+6ab 2的公因式是 ．15．一个多边形的内角和等于1440°，则此多边形是 边形，它的外角和是 ．16．若x 2－（m+1）x ＋36是—个完全平方式，则m 的值为_______． 17．已知2x y -=，则224x y y --＝．18．如图，在五边形ABCDE 中，点M 、N 分别在AB 、AE 的边上．∠1+∠2=100°，则∠B+∠C+∠D+∠E= ．2244m mn n -+绿化19．如图，D 为△ABC 的BC 边上的任意一点，E 为AD 的中点，△BEC 的面积为5，则△ABC 的面积为 ．20.如右图，一块六边形绿化园地，六角都做有半径为R 的圆形喷水池，则这六个喷水池占去的绿化园地的面积为.（结果保留π）21．如图，已知AB ∥EF ，∠C ＝90°，则α、β与γ的关系是.22．写出二元一次方程3x+y ﹣6=0的正整数解为 ． 23.若1,2a b ab +==-，则(1)(1)a b ++的值为______________.24.等腰三角形两边长分别为4，9，则它的周长为_________. 25.计算：2201520142016-⨯=__________.26．如图，△ABC 中， DE ∥BC ，将△ADE 沿DE 翻折，使得点A 落在平面内的A ′处，若∠B ＝50°，则∠BDA ′的度数是．第16题27．现有若干张卡片，分别是正方形卡片A 、B 和长方形卡片C ，卡片大小如图所示．如果要拼一个长为)3(b a +，宽为)2(b a +的大长方形，则需要C 类卡片张.28．计算：（-s ）7÷=-s 5．29．若2-3n m =，则2296n mn m +-的值是.30．若三项式4a 2-2a +1加上一个单项式后是一个多项式的完全平方，请写出一个这 样的单项式.31.(－0.25)2014×42013=32. 3×9m ×27m ÷81=313,则m 的值为33. 已知x +y =4，x －y =－2，则x 2－y 2=__________．34．如图，在△ABC 中，∠C ＝70°，若沿图中虚线截去∠C ，则∠1＋∠2等于度.35．如图，直线a ∥直线b ，将一个等腰三角板的直角顶点放在直线b 上，若∠2=34°，则∠1= °．36．若054222=++-+b a b a ,则=+b a 2.37．若a ﹣b=﹣2，则（a 2+b 2）﹣ab=．10.已知二元一次方程2x ﹣3y ﹣1=0，请用含x 的代数式表示y 得： ． 38.如图，小亮从A 点出发前进10m ，向右转15°，再前进10m ，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A 时，一共走了 m ．第34题图39. 已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个多边形是边形.40. 如果∠A 的两边与∠B 的两边相互平行，∠A 比∠B 的三倍小20°，则∠B=_______。

北师版七年级数学第二学期（下学期）期中考试重点知识点集锦
（易错易混题目）
1、乘法公式的探究及应用.
（1）如左图，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；
（2）如右图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是，长是，面积是（写成多项式乘法的形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式（用式子表达）
2、如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN=100°．
（1）若∠ADQ=130°，求∠BED的度数；
（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．
b
b。

北师大版七年级下册数学 期末试卷易错题（Word 版 含答案）一、解答题1．如图1，已知直线CD ∥EF ，点A ，B 分别在直线CD 与EF 上．P 为两平行线间一点．（1）若∠DAP ＝40°，∠FBP ＝70°，则∠APB ＝（2）猜想∠DAP ，∠FBP ，∠APB 之间有什么关系？并说明理由； （3）利用（2）的结论解答：①如图2，AP 1，BP 1分别平分∠DAP ，∠FBP ，请你写出∠P 与∠P 1的数量关系，并说明理由；②如图3，AP 2，BP 2分别平分∠CAP ，∠EBP ，若∠APB ＝β，求∠AP 2B ．（用含β的代数式表示）2．如图1，点E 在直线AB 、DC 之间，且180DEB ABE CDE ∠+∠-∠=︒． （1）求证：//AB DC ；（2）若点F 是直线BA 上的一点，且BEF BFE ∠=∠，EG 平分DEB ∠交直线AB 于点G ，若20D ∠=︒，求FEG ∠的度数；（3）如图3，点N 是直线AB 、DC 外一点，且满足14CDM CDE ∠=∠，14ABN ABE ∠=∠，ND 与BE 交于点M ．已知()012CDM αα∠=︒<<︒，且//BN DE ，则NMB ∠的度数为______（请直接写出答案，用含α的式子表示）．3．如图，已知直线12//l l ，点A B 、在直线1l 上，点C D 、在直线2l 上，点C 在点D 的右侧，()80,2,ADC ABC n BE ∠=︒∠=︒平分,ABC DE ∠平分ADC ∠，直线BE DE 、交于点E ．（1）若20n =时，则BED ∠=___________；（2）试求出BED ∠的度数（用含n 的代数式表示）；（3）将线段BC 向右平行移动，其他条件不变，请画出相应图形，并直接写出BED ∠的度数．（用含n 的代数式表示）4．已知AB ∥CD ，∠ABE 与∠CDE 的角分线相交于点F ．（1）如图1，若BM 、DM 分别是∠ABF 和∠CDF 的角平分线，且∠BED ＝100°，求∠M 的度数；（2）如图2，若∠ABM ＝13∠ABF ，∠CDM ＝13∠CDF ，∠BED ＝α°，求∠M 的度数；（3）若∠ABM ＝1n ∠ABF ，∠CDM ＝1n∠CDF ，请直接写出∠M 与∠BED 之间的数量关系5．已知，如图：射线PE 分别与直线AB 、CD 相交于E 、F 两点，PFD ∠的角平分线与直线AB 相交于点M ，射线PM 交CD 于点N ，设PFM α∠=︒，EMF β∠=︒且()2350αβα-+-=．（1）α=________，β=________；直线AB 与CD 的位置关系是______；（2）如图，若点G 是射线MA 上任意一点，且MGH PNF ∠=∠，试找出FMN ∠与GHF ∠之间存在一个什么确定的数量关系？并证明你的结论．（3）若将图中的射线PM 绕着端点P 逆时针方向旋转（如图）分别与AB 、CD 相交于点1M 和点1N 时，作1PM B ∠的角平分线1M Q 与射线FM 相交于点Q ，问在旋转的过程中1FPN Q∠∠的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．二、解答题6．已知//AM CN ，点B 为平面内一点，AB BC ⊥于B ．（1）如图1，点B 在两条平行线外，则A ∠与C ∠之间的数量关系为______； （2）点B 在两条平行线之间，过点B 作BD AM ⊥于点D ． ①如图2，说明ABD C ∠=∠成立的理由；②如图3，BF 平分DBC ∠交DM 于点,F BE 平分ABD ∠交DM 于点E ．若180,3FCB NCF BFC DBE ∠∠∠∠+=︒=，求EBC ∠的度数．7．已知直线//AB CD ，M ，N 分别为直线AB ，CD 上的两点且70MND ∠=︒，P 为直线CD 上的一个动点．类似于平面镜成像，点N 关于镜面MP 所成的镜像为点Q ，此时,,NMP QMP NPM QPM MNP MQP ∠=∠∠=∠∠=∠．（1）当点P 在N 右侧时：①若镜像Q 点刚好落在直线AB 上（如图1），判断直线MN 与直线PQ 的位置关系，并说明理由；②若镜像Q 点落在直线AB 与CD 之间（如图2），直接写出BMQ ∠与DPQ ∠之间的数量关系；（2）若镜像PQ CD ⊥，求BMQ ∠的度数． 8．阅读下面材料：小颖遇到这样一个问题：已知：如图甲，//,AB CD E 为,AB CD 之间一点，连接,,35,37BE DE B D ∠=︒∠=︒，求BED ∠的度数．她是这样做的： 过点E 作//,EF AB 则有,BEF B ∠=∠ 因为//,AB CD 所以//.EF CD ①所以,FED D ∠=∠所以,BEF FED B D ∠+∠=∠+∠ 即BED ∠=_ ； 1．小颖求得BED ∠的度数为__ ； 2．上述思路中的①的理由是__ ； 3．请你参考她的思考问题的方法，解决问题：已知：直线//,a b 点,A B 在直线a 上，点,C D 在直线b 上，连接,,AD BC BE 平分,ABC DE ∠平分,ADC ∠且,BE DE 所在的直线交于点E ．（1）如图1，当点B 在点A 的左侧时，若,ABC ADC αβ∠=∠=，则BED ∠的度数为 ；(用含有,αβ的式子表示)．（2）如图2，当点B 在点A 的右侧时，设,ABC ADC αβ∠=∠=，直接写出BED ∠的度数(用含有,αβ的式子表示)．9．已知：如图1，//AB CD ，点E ，F 分别为AB ，CD 上一点．（1）在AB ，CD 之间有一点M （点M 不在线段EF 上），连接ME ，MF ，探究AEM ∠，EMF ∠，∠MFC 之间有怎样的数量关系，请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明．（2）如图2，在AB ，CD 之两点M ，N ，连接ME ，MN ，NF ，请选择一个图形写出AEM ∠，EMN ∠，MNF ∠，NFC ∠存在的数量关系（不需证明）．10．已知两条直线l 1，l 2，l 1∥l 2，点A ，B 在直线l 1上，点A 在点B 的左边，点C ，D 在直线l 2上，且满足115ADC ABC ∠=∠=o ．（1）如图①，求证：AD ∥BC ；（2）点M ，N 在线段CD 上，点M 在点N 的左边且满足MAC BAC ∠=∠，且AN 平分∠CAD ；（Ⅰ）如图②，当30ACD ∠=o 时，求∠DAM 的度数； （Ⅱ）如图③，当8CAD MAN ∠=∠时，求∠ACD 的度数．三、解答题11．阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是120°，40°，20°，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． （1）如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为__________（2）如图1，已知∠MON ＝60°，在射线OM 上取一点A ，过点A 作AB ⊥OM 交ON 于点B ，以A 为端点作射线AD ，交线段OB 于点C （点C 不与O 、B 重合），若∠ACB =80°．判定△AOB 、△AOC 是否是“梦想三角形”，为什么？（3）如图2，点D 在△ABC 的边上，连接DC ，作∠ADC 的平分线交AC 于点E ，在DC 上取一点F ，使得∠EFC +∠BDC ＝180°，∠DEF ＝∠B ．若△BCD 是“梦想三角形”，求∠B 的度数．12．（1）如图1所示，△ABC 中，∠ACB 的角平分线CF 与∠EAC 的角平分线AD 的反向延长线交于点F ；①若∠B ＝90°则∠F ＝ ；②若∠B ＝a ，求∠F 的度数（用a 表示）；（2）如图2所示，若点G是CB延长线上任意一动点，连接AG，∠AGB与∠GAB的角平分线交于点H，随着点G的运动，∠F+∠H的值是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．13．【问题探究】如图1，DF∥CE，∠PCE=∠α，∠PDF=∠β，猜想∠DPC与α、β之间有何数量关系？并说明理由；【问题迁移】如图2，DF∥CE，点P在三角板AB边上滑动，∠PCE=∠α，∠PDF=∠β.（1）当点P在E、F两点之间运动时，如果α=30°，β=40°，则∠DPC= °.（2）如果点P在E、F两点外侧运动时（点P与点A、B、E、F四点不重合），写出∠DPC 与α、β之间的数量关系，并说明理由．（图1）（图2）14．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动,A、B不与点O重合，如图1，已知AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，（1）点A、B在运动的过程中，∠ACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB的大小.（2）如图2，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，则∠ABO＝________,如图3，将△ABC 沿直线AB 折叠，若点C 落在直线MN 上，则∠ABO ＝________ （3）如图4，延长BA 至G ，已知∠BAO 、∠OAG 的角平分线与∠BOQ 的角平分线及其反向延长线交于E 、F ，则∠EAF ＝ ；在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的32倍，求∠ABO的度数.15．已知//,MN GH 在Rt ABC 中，90,30ACB BAC ∠=︒∠=︒，点A 在MN 上，边BC 在GH 上，在Rt DEF △中，90,DFE ∠=︒边DE 在直线AB 上，45EDF ∠=︒；（1）如图1，求BAN ∠的度数；（2）如图2，将Rt DEF △沿射线BA 的方向平移，当点F 在M 上时，求AFE ∠度数； （3）将Rt DEF △在直线AB 上平移，当以A D F 、、为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出FAN ∠度数．【参考答案】一、解答题1．（1）110°；（2）猜想：∠APB=∠DAP+∠FBP ，理由见解析；（3）①∠P=2∠P1，理由见解析；②∠AP2B=． 【分析】（1）过P 作PM ∥CD ，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM=解析：（1）110°；（2）猜想：∠APB=∠DAP +∠FBP ，理由见解析；（3）①∠P =2∠P 1，理由见解析；②∠AP 2B=11802β︒-．【分析】（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM=∠DAP，再根据平行公理求出CD∥EF然后根据两直线平行，内错角相等可得∠MPB=∠FBP，最后根据∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP等量代换即可得证；（2）结论：∠APB=∠DAP+∠FBP．（3）①根据（2）的规律和角平分线定义解答；②根据①的规律可得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，然后根据角平分线的定义和平角等于180°列式整理即可得解．【详解】（1）证明：过P作PM∥CD，∴∠APM=∠DAP．（两直线平行，内错角相等），∵CD∥EF（已知），∴PM∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），∴∠MPB=∠FBP．（两直线平行，内错角相等），∴∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP．（等式性质）即∠APB=∠DAP+∠FBP=40°+70°=110°．（2）结论：∠APB=∠DAP+∠FBP．理由：见（1）中证明．（3）①结论：∠P=2∠P1；理由：由（2）可知：∠P=∠DAP+∠FBP，∠P1=∠DAP1+∠FBP1，∵∠DAP=2∠DAP1，∠FBP=2∠FBP1，∴∠P=2∠P1．②由①得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，∵AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，∴∠CAP2=12∠CAP，∠EBP2=12∠EBP，∴∠AP2B=12∠CAP+12∠EBP，= 12（180°-∠DAP）+ 12（180°-∠FBP），=180°- 12（∠DAP+∠FBP），=180°- 12∠APB，=180°- 12β．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键，此类题目，难点在于过拐点作平行线．2．（1）见解析；（2）10°；（3） 【分析】（1）过点E 作EF ∥CD ，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，得出结合已知条件，得出即可证明；（2）过点E 作HE ∥CD ，设 由（1）得AB ∥CD解析：（1）见解析；（2）10°；（3）18015α︒- 【分析】（1）过点E 作EF ∥CD ，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，得出,CDE DEF ∠=∠结合已知条件180DEB ABE CDE ∠+∠-∠=︒，得出180,FEB ABE ∠+∠=︒即可证明；（2）过点E 作HE ∥CD ，设,,GEF x FEB EFB y ∠=∠=∠= 由（1）得AB ∥CD ，则AB ∥CD ∥HE ，由平行线的性质，得出20,DEF D EFB y ∠=∠+∠=︒+再由EG 平分DEB ∠，得出,DEG GEB GEF FEB x y ∠=∠=∠+∠=+则2DEF DEG GEF x y ∠=∠+∠=+，则可列出关于x 和y 的方程，即可求得x ，即GEF ∠的度数；（3）过点N 作NP ∥CD ，过点M 作QM ∥CD ，由（1）得AB ∥CD ，则NP ∥CD ∥AB ∥QM ，根据14CDM CDE ∠=∠和CDM α∠=，得出3,MDE α∠=根据CD ∥PN ∥QM ,DE ∥NB ,得出,PND CDM DMQ α∠=∠=∠=3,EDM BNM α∠=∠=即4,BNP α∠=根据NP ∥AB ，得出4,PNB ABN α∠=∠=再由14ABN ABE ∠=∠，得出16,ABM α∠=由AB ∥QM ,得出18016,QMB α∠=︒-因为NMB NMQ QMB ∠=∠+∠，代入α的式子即可求出BMN ∠． 【详解】（1）过点E 作EF ∥CD ，如图，∵EF ∥CD , ∴,CDE DEF ∠=∠∴,DEB CDE DEB DEF FEB ∠-∠=∠-∠=∠ ∵180DEB ABE CDE ∠+∠-∠=︒, ∴180,FEB ABE ∠+∠=︒ ∴EF ∥AB ， ∴CD ∥AB ；（2）过点E 作HE ∥CD ，如图，设,,GEF x FEB EFB y ∠=∠=∠= 由（1）得AB ∥CD ，则AB ∥CD ∥HE ， ∴20,,D DEH HEF EFB y ∠=∠=︒∠=∠= ∴20,DEF DEH HEF D EFB y ∠=∠+∠=∠+∠=︒+ 又∵EG 平分DEB ∠，∴,DEG GEB GEF FEB x y ∠=∠=∠+∠=+ ∴2,DEF DEG GEF x y x x y ∠=∠+∠=++=+ 即220,x y y +=︒+解得：10,x =︒即10GEF ∠=︒；（3）过点N 作NP ∥CD ，过点M 作QM ∥CD ，如图， 由（1）得AB ∥CD ，则NP ∥CD ∥AB ∥QM ，∵NP ∥CD ，CD ∥QM ，,CDM α∠= ∴PND CDM DMQ α∠=∠=∠=, 又∵14CDM CDE ∠=∠，∴33,MDE CDM α∠=∠= ∵//BN DE ,∴3,MDE BNM α∠=∠=∴34,PNB PND BNM ααα∠=∠+∠=+= 又∵PN ∥AB ， ∴4,PNB NBA α∠=∠=∵14ABN ABE ∠=∠,∴44416,ABM ABN αα∠=∠=⨯= 又∵AB ∥QM ， ∴180,ABM QMB ∠+∠=︒∴18018016,QMB ABM α∠=︒-∠=︒-∴1801618015NMB NMQ QMB ααα∠=∠+∠=+︒-=-．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解决问题的关键是作平行线构造相等的角，利用两直线平行，内错角相等，同位角相等来计算和推导角之间的关系．3．（1）60°；（2）n°+40°；（3）n°+40°或n°-40°或220°-n°【分析】（1）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数；（2）同（1）中方法求解解析：（1）60°；（2）n°+40°；（3）n°+40°或n°-40°或220°-n°【分析】（1）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数；（2）同（1）中方法求解即可；（3）分当点B在点A左侧和当点B在点A右侧，再分三种情况，讨论，分别过点E作EF∥AB，由角平分线的定义，平行线的性质，以及角的和差计算即可．【详解】解：（1）当n=20时，∠ABC=40°，过E作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠BEF=∠ABE，∠DEF=∠CDE，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠BEF=∠ABE=20°，∠DEF=∠CDE=40°，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=60°；（2）同（1）可知：∠BEF=∠ABE=n°，∠DEF=∠CDE=40°，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=n°+40°；（3）当点B在点A左侧时，由（2）可知：∠BED=n°+40°；当点B在点A右侧时，如图所示，过点E作EF∥AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=2n°，∠ADC=80°，∴∠ABE=12∠ABC=n°，∠CDG=12∠ADC=40°，∵AB∥CD∥EF，∴∠BEF=∠ABE=n°，∠CDG=∠DEF=40°，∴∠BED=∠BEF-∠DEF=n°-40°；如图所示，过点E作EF∥AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=2n°，∠ADC=80°，∴∠ABE=12∠ABC=n°，∠CDG=12∠ADC=40°，∵AB∥CD∥EF，∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-n°，∠CDE=∠DEF=40°，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180°-n°+40°=220°-n°；如图所示，过点E作EF∥AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=70°，∴∠ABG=12∠ABC=n°，∠CDE=12∠ADC=40°，∵AB∥CD∥EF，∴∠BEF=∠ABG=n°，∠CDE=∠DEF=40°，∴∠BED=∠BEF-∠DEF=n°-40°；综上所述，∠BED的度数为n°+40°或n°-40°或220°-n°．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，以及角平分线的定义，正确应用平行线的性质得出各角之间关系是解题关键．4．（1）65°；（2）；（3）2n∠M+∠BED=360°【分析】（1）首先作EG ∥AB ，FH ∥AB ，连结MF ，利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=260°，再利用角平分线的定义得到∠ABF+解析：（1）65°；（2）3606α︒-︒；（3）2n ∠M +∠BED =360° 【分析】（1）首先作EG ∥AB ，FH ∥AB ，连结MF ，利用平行线的性质可得∠ABE +∠CDE =260°，再利用角平分线的定义得到∠ABF +∠CDF =130°，从而得到∠BFD 的度数，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质可求∠M 的度数；（2）先由已知得到∠ABE =6∠ABM ，∠CDE =6∠CDM ，由（1）得∠ABE +∠CDE =360°-∠BED ，∠M =∠ABM +∠CDM ，等量代换即可求解；（3）由（2）的方法可得到2n ∠M +∠BED =360°．【详解】解：（1）如图1，作//EG AB ，//FH AB ，连结MF ，//AB CD ，//////EG AB FH CD ∴，ABF BFH ∴∠=∠，CDF DFH ∠=∠，180ABE BEG ∠+∠=︒，180GED CDE ∠+∠=︒， 360ABE BEG GED CDE ∴∠+∠+∠+∠=︒，100BED BEG DEG ∠=∠+∠=︒，260ABE CDE ∴∠+∠=︒， ABE ∠和CDE ∠的角平分线相交于E ，130ABF CDF ∴∠+∠=︒，130BFD BFH DFH ∴∠=∠+∠=︒，BM 、DM 分别是ABF ∠和CDF ∠的角平分线， 12MBF ABF ∴∠=∠，12MDF CDF ∠=∠， 65MBF MDF ∴∠+∠=︒，1306565BMD ∴∠=︒-︒=︒；（2）如图1，13ABM ABF ∠=∠，13CDM CDF ∠=∠， 3ABF ABM ∴∠=∠，3CDF CDM ∠=∠，ABE ∠与CDE ∠两个角的角平分线相交于点F ，6ABE ABM ∴∠=∠，6CDE CDM ∠=∠，66360ABM CDM BED ∴∠+∠+∠=︒，BMD ABM CDM ∠=∠+∠，6360BMD BED ∴∠+∠=︒，3606BMD α︒-︒∴∠=； （3）由（2）结论可得，22360n ABM n CDM E ∠+∠+∠=︒，M ABM CDM ∠=∠+∠， 则2360n M BED ∠+∠=︒．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和四边形的内角和，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质．5．（1）35，35，平行；（2）∠FMN+∠GHF=180°，证明见解析；（3）不变，2【分析】（1）根据（α-35）2+|β-α|=0，即可计算α和β的值，再根据内错角相等可证AB ∥CD ；（2解析：（1）35，35，平行；（2）∠FMN +∠GHF =180°，证明见解析；（3）不变，2【分析】（1）根据（α-35）2+|β-α|=0，即可计算α和β的值，再根据内错角相等可证AB ∥CD ； （2）先根据内错角相等证GH ∥PN ，再根据同旁内角互补和等量代换得出∠FMN +∠GHF =180°；（3）作∠PEM 1的平分线交M 1Q 的延长线于R ，先根据同位角相等证ER ∥FQ ，得∠FQM 1=∠R ，设∠PER =∠REB =x ，∠PM 1R =∠RM 1B =y ，得出∠EPM 1=2∠R ，即可得1FPN Q∠∠=2． 【详解】解：（1）∵（α-35）2+|β-α|=0，∴α=β=35，∴∠PFM =∠MFN =35°，∠EMF =35°，∴∠EMF =∠MFN ，∴AB ∥CD ；（2）∠FMN +∠GHF =180°；理由：由（1）得AB ∥CD ，∴∠MNF =∠PME ，∵∠MGH =∠MNF ，∴∠PME =∠MGH ，∴GH ∥PN ，∴∠GHM =∠FMN ，∵∠GHF +∠GHM =180°，∴∠FMN +∠GHF =180°；（3）1FPN Q∠∠的值不变，为2，理由：如图3中，作∠PEM 1的平分线交M 1Q 的延长线于R ，∵AB ∥CD ，∴∠PEM 1=∠PFN ，∵∠PER =12∠PEM 1，∠PFQ =12∠PFN ，∴∠PER =∠PFQ ，∴ER ∥FQ ，∴∠FQM 1=∠R ，设∠PER =∠REB =x ，∠PM 1R =∠RM 1B =y ，则有：122y x R y x EPM ⎧⎨⎩=+∠=+∠， 可得∠EPM 1=2∠R ，∴∠EPM 1=2∠FQM 1，∴11EPM FQM ∠∠=1FPN Q∠∠=2． 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等知识是解题的关键．二、解答题6．（1）∠A+∠C=90°；（2）①见解析；②105°【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）①过点B 作BG ∥DM ，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B 作BG ∥解析：（1）∠A +∠C =90°；（2）①见解析；②105°【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）①过点B 作BG ∥DM ，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B 作BG ∥DM ，根据角平分线的定义，得出∠ABF =∠GBF ，再设∠DBE =α，∠ABF =β，根据∠CBF +∠BFC +∠BCF =180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根据AB ⊥BC ，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE =15°，进而得出∠EBC =∠ABE +∠ABC =15°+90°=105°．【详解】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB=90°，∴∠A+∠C=90°；（2）①如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，BG∥DM，//,BG CN∴∠C=∠CBG，∠ABD=∠C；②如图3，过点B作BG∥DM，∵BF 平分∠DBC ，BE 平分∠ABD ，∴∠DBF =∠CBF ，∠DBE =∠ABE ，由（2）知∠ABD =∠CBG ，∴∠ABF =∠GBF ，设∠DBE =α，∠ABF =β，则∠ABE =α，∠ABD =2α=∠CBG ，∠GBF =∠AFB =β，∠BFC =3∠DBE =3α，∴∠AFC =3α+β，∵∠AFC +∠NCF =180°，∠FCB +∠NCF =180°，∴∠FCB =∠AFC =3α+β，△BCF 中，由∠CBF +∠BFC +∠BCF =180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB ⊥BC ，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE =15°，∴∠EBC =∠ABE +∠ABC =15°+90°=105°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．7．（1）①，证明见解析，②，（2）或．【分析】(1) ①根据和镜像证出，即可判断直线与直线的位置关系，②过点Q 作QF ∥CD ，根据平行线的性质证即可；(2)过点Q 作QF ∥CD ，根据点P 的位置不同，解析：（1）①//MN PQ ，证明见解析，②70DPQ BMQ ∠∠+=︒，（2）160︒或20︒．【分析】(1) ①根据//AB CD 和镜像证出NMP QPM ∠=∠，即可判断直线MN 与直线PQ 的位置关系，②过点Q 作QF ∥CD ，根据平行线的性质证DPQ BM MQP Q ∠=∠∠+即可；(2)过点Q 作QF ∥CD ，根据点P 的位置不同，分类讨论，依据平行线的性质求解即可．【详解】（1）①//MN PQ ，证明：∵//AB CD ，∴NPM QMP ∠=∠，∵,NMP QMP NPM QPM ∠=∠∠=∠，∴NMP QPM ∠=∠，②过点Q 作QF ∥CD ，∵//AB CD ，∴////AB CD QF ，∴1BMQ ∠=∠，2QPD ∠=∠，∴DPQ BM MQP Q ∠=∠∠+，∵70MNP MQP ∠=∠=︒，∴70DPQ BMQ ∠∠+=︒；（2）如图，当点P 在N 右侧时，过点Q 作QF ∥CD ，同（1）得，////AB CD QF ，∴180NP FQP Q ∠=∠+︒，FQM BMQ ∠=∠，∵PQ CD ⊥，∴90NPQ ∠=︒，∴90FQP ∠=︒，∵70MND PQM ∠=∠=︒，∴20FQM ∠=︒，∴20BMQ ∠=︒，如图，当点P 在N 左侧时，过点Q 作QF ∥CD ，同（1）得，////AB CD QF ， 同理可得，90FQP ∠=︒，∵70MND ∠=︒，∴110MNP PQM ∠=∠=︒，∴20FQM ∠=︒，∴180BM FQM Q ∠=∠+︒，∴160BMQ ∠=︒；综上，BMQ ∠的度数为160︒或20︒．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，解题关键是恰当的作辅助线，熟练利用平行线的性质推导角之间的关系．8．；2．平行于同一条直线的两条直线平行；3．（1）；（2）．【分析】1、根据角度和计算得到答案；2、根据平行线的推论解答；3、（1）根据角平分线的性质及1的结论证明即可得到答案；（2）根据B解析：1.72；2．平行于同一条直线的两条直线平行；3．（1）1122αβ+；（2）1118022αβ-+． 【分析】1、根据角度和计算得到答案；2、根据平行线的推论解答；3、（1）根据角平分线的性质及1的结论证明即可得到答案；（2）根据BE 平分,ABC DE ∠平分,ADC ∠求出11,22ABE CDE αβ∠=∠=，过点E 作EF ∥AB ，根据平行线的性质求出∠BEF =12α，11801802DEF CDE β∠=︒-∠=︒-，再利用周角求出答案．【详解】1、过点E 作//,EF AB则有,BEF B ∠=∠因为//,AB CD所以//.EF CD ①所以,FED D ∠=∠所以,BEF FED B D ∠+∠=∠+∠即BED ∠=72；故答案为：72；2、过点E 作//,EF AB则有,BEF B ∠=∠因为//,AB CD所以EF ∥CD （平行于同一条直线的两条直线平行），故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；3、（1）∵BE 平分,ABC DE ∠平分,ADC ∠ ∴1111,2222ABE ABC CDE ADC αβ∠=∠=∠=∠=， 过点E 作EF ∥AB ，由1可得∠BED =BEF FED ABE CDE ∠+∠=∠+∠，∴∠BED =1122αβ+， 故答案为：1122αβ+；（2）∵BE 平分,ABC DE ∠平分,ADC ∠∴1111,2222ABE ABC CDE ADC αβ∠=∠=∠=∠=， 过点E 作EF ∥AB ，则∠ABE =∠BEF =12α， ∵//,AB CD ∴EF ∥CD ，∴180CDE DEF ∠+∠=︒，∴11801802DEF CDE β∠=︒-∠=︒-， ∴11360360(180)22BED DEF BEF βα∠=︒-∠-∠=︒-︒--=1118022αβ-+．【点睛】此题考查平行线的性质：两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，平行线的推论，正确引出辅助线是解题的关键．9．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）过点M作MP∥AB．根据平行线的性质即可得到结论；（2）根据平行线的性质即可得到结论．【详解】解：（1）∠EMF=∠AEM+∠MFC．∠AEM+∠E解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）过点M作MP∥AB．根据平行线的性质即可得到结论；（2）根据平行线的性质即可得到结论．【详解】解：（1）∠EMF=∠AEM+∠MFC．∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°．证明：过点M作MP∥AB．∵AB∥CD，∴MP∥CD．∴∠4=∠3．∵MP∥AB，∴∠1=∠2．∵∠EMF=∠2+∠3，∴∠EMF=∠1+∠4．∴∠EMF=∠AEM+∠MFC；证明：过点M作MQ∥AB．∵AB∥CD，∴MQ∥CD．∴∠CFM+∠1=180°；∵MQ∥AB，∴∠AEM+∠2=180°．∴∠CFM+∠1+∠AEM+∠2=360°．∵∠EMF=∠1+∠2，∴∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°；（2）如图2第一个图：∠EMN+∠MNF-∠AEM-∠NFC=180°；过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，∴∠AEM=∠1，∠CFN=∠4，MP∥NQ，∴∠2+∠3=180°，∵∠EMN=∠1+∠2，∠MNF=∠3+∠4，∴∠EMN+∠MNF=∠1+∠2+∠3+∠4，∠AEM+∠CFN=∠1+∠4，∴∠EMN+∠MNF-∠AEM-∠NFC=∠1+∠2+∠3+∠4-∠1-∠4=∠2+∠3=180°；如图2第二个图：∠EMN-∠MNF+∠AEM+∠NFC=180°．过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，∴∠AEM+∠1=180°，∠CFN=∠4，MP∥NQ，∴∠2=∠3，∵∠EMN=∠1+∠2，∠MNF=∠3+∠4，∴∠EMN-∠MNF=∠1+∠2-∠3-∠4，∠AEM+∠CFN=180°-∠1+∠4，∴∠EMN-∠MNF+∠AEM+∠NFC=∠1+∠2-∠3-∠4+180°-∠1+∠4=180°．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．10．（1）证明见解析；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据角的和差可得，然后根据平行线的判定即可得证；（2）（Ⅰ）先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据角的和差可得解析：（1）证明见解析；（2）（Ⅰ）5DAM ∠=︒；（Ⅱ）25ACD ∠=︒．【分析】（1）先根据平行线的性质可得65BAD ∠=︒，再根据角的和差可得180BAD ABC ∠+∠=︒，然后根据平行线的判定即可得证；（2）（Ⅰ）先根据平行线的性质可得30BAC ACD ∠=∠=︒，从而可得30MAC ∠=︒，再根据角的和差可得35DAC ∠=︒，然后根据DAM DAC MAC ∠=∠-∠即可得；（Ⅱ）设MAN x ∠=，从而可得8CAD x ∠=，先根据角平分线的定义可得142CAN CAD x ∠=∠=，再根据角的和差可得5BAC MAC x ∠=∠=，然后根据65CAD BAC BAD ∠+∠=∠=︒建立方程可求出x 的值，从而可得BAC ∠的度数，最后根据平行线的性质即可得．【详解】（1）12//,115l l ADC ∠=︒，18065BAD ADC ∴∠=︒-∠=︒，又115ABC ∠=︒，180BAD ABC ∴∠+∠=︒，//AD BC ∴；（2）（Ⅰ）12//,30l l ACD ∠=︒，30BAC ACD ∴∠=∠=︒，MAC BAC ∠=∠，30MAC ∴∠=︒，由（1）已得：65BAD ∠=︒，35DAC BAD BAC ∴∠=∠-∠=︒，35305DAM DAC MAC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；（Ⅱ）设MAN x ∠=，则8CAD x ∠=， AN 平分CAD ∠，142CAN CAD x ∴∠=∠=， 5MAC CAN MAN x ∴∠=∠+∠=，MAC BAC ∠=∠，5BAC x ∴∠=，由（1）已得：65BAD ∠=︒，65CAD BAC BAD ∴∠+∠=∠=︒，即8565x x +=︒，解得5x =︒，525BAC x ∴∠==︒，又12//l l ，25ACD BAC ∴∠=∠=︒．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角的和差、角平分线的定义、一元一次方程的几何应用等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．三、解答题11．（1）36°或18°；（2）△AOB、△AOC都是“梦想三角形”，证明详见解析；（3）∠B＝36°或∠B＝．【分析】（1）根据三角形内角和等于180°，如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，解析：（1）36°或18°；（2）△AOB、△AOC都是“梦想三角形”，证明详见解析；（3）∠B＝36°或∠B＝5407（）．【分析】（1）根据三角形内角和等于180°，如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，可得另两个角的和为72°，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，72°÷（1＋3）＝18°，由此比较得出答案即可；（2）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO、∠OAC的度数，根据“梦想三角形”的定义判断即可；（3）根据同角的补角相等得到∠EFC＝∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝∠BCD，根据“梦想三角形”的定义求解即可．【详解】解：当108°的角是另一个内角的3倍时，最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，当180°﹣108°＝72°的角是另一个内角的3倍时，最小角为72°÷（1＋3）＝18°，因此，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为36°或18°．故答案为：18°或36°．（2）△AOB、△AOC都是“梦想三角形”证明：∵AB⊥OM，∴∠OAB＝90°，∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，∴∠OAB＝3∠ABO，∴△AOB为“梦想三角形”，∵∠MON＝60°，∠ACB＝80°，∠ACB＝∠OAC＋∠MON，∴∠OAC＝80°﹣60°＝20°，∴∠AOB＝3∠OAC，∴△AOC是“梦想三角形”．（3）解：∵∠EFC＋∠BDC＝180°，∠ADC＋∠BDC＝180°，∴∠EFC＝∠ADC，∴AD∥EF，∴∠DEF＝∠ADE，∵∠DEF＝∠B，∴∠B＝∠ADE，∴DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD，∵AE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠B＝∠BCD，∵△BCD是“梦想三角形”，∴∠BDC＝3∠B，或∠B＝3∠BDC，∵∠BDC＋∠BCD＋∠B＝180°，∴∠B＝36°或∠B＝5407（）．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、“梦想三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．12．（1）①45°；②∠F＝a；（2）∠F+∠H的值不变，是定值180°．【分析】（1）①②依据AD平分∠CAE，CF平分∠ACB，可得∠CAD=∠CAE，∠ACF=∠ACB，依据∠CAE是△ABC解析：（1）①45°；②∠F＝12a；（2）∠F+∠H的值不变，是定值180°．【分析】（1）①②依据AD平分∠CAE，CF平分∠ACB，可得∠CAD=12∠CAE，∠ACF=12∠ACB，依据∠CAE是△ABC的外角，可得∠B=∠CAE-∠ACB，再根据∠CAD是△ACF的外角，即可得到∠F=∠CAD-∠ACF=12∠CAE-12∠ACB=12（∠CAE-∠ACB）=12∠B；（2）由（1）可得，∠F=12∠ABC，根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，即可得到∠H=90°+12∠ABG，进而得到∠F+∠H=90°+12∠CBG=180°．【详解】解：（1）①∵AD平分∠CAE，CF平分∠ACB，∴∠CAD＝12∠CAE，∠ACF＝12∠ACB，∵∠CAE是△ABC的外角，∴∠B＝∠CAE﹣∠ACB，∵∠CAD是△ACF的外角，∴∠F＝∠CAD﹣∠ACF＝12∠CAE﹣12∠ACB＝12（∠CAE﹣∠ACB）＝12∠B＝45°，故答案为45°；②∵AD平分∠CAE，CF平分∠ACB，∴∠CAD＝12∠CAE，∠ACF＝12∠ACB，∵∠CAE是△ABC的外角，∴∠B＝∠CAE﹣∠ACB，∵∠CAD是△ACF的外角，∴∠F＝∠CAD﹣∠ACF＝12∠CAE﹣12∠ACB＝12（∠CAE﹣∠ACB）＝12∠B＝12a；（2）由（1）可得，∠F＝12∠ABC，∵∠AGB与∠GAB的角平分线交于点H，∴∠AGH＝12∠AGB，∠GAH＝12∠GAB，∴∠H＝180°﹣（∠AGH+∠GAH）＝180°﹣12（∠AGB+∠GAB）＝180°﹣12（180°﹣∠ABG）＝90°+12∠ABG，∴∠F+∠H＝12∠ABC+90°+12∠ABG＝90°+12∠CBG＝180°，∴∠F+∠H的值不变，是定值180°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角性质的综合运用，熟练运用定理是解题的关键．13．∠DPC=α+β，理由见解析；（1）70 ；(2) ∠DPC=α –β，理由见解析.【解析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠C解析：∠DPC=α+β，理由见解析；（1）70 ；(2) ∠DPC=α –β，理由见解析.【解析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（2）化成图形，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【问题探究】解：∠DPC=α+β如图，过P作PH∥DF∵DF∥CE,∴∠PCE=∠1=α，∠PDF=∠2∵∠DPC=∠2+∠1=α+β【问题迁移】（1）70（图1）（图2）(2) 如图1，∠DPC=β -α∵DF∥CE,∴∠PCE=∠1=β，∵∠DPC=∠1-∠FDP=∠1-α．∴∠DPC=β -α如图2，∠DPC= α -β∵DF∥CE,∴∠PDF=∠1=α∵∠DPC=∠1-∠ACE=∠1-β．∴∠DPC=α - β14．（1）∠AEB的大小不会发生变化，∠ACB=45°；（2）30°，60°；（3）60°或72°．【分析】（1）由直线MN与直线PQ垂直相交于O，得到∠AOB＝90°，根据三角形的外角的性质得到∠解析：（1）∠AEB的大小不会发生变化，∠ACB=45°；（2）30°，60°；（3）60°或72°．【分析】（1）由直线MN与直线PQ垂直相交于O，得到∠AOB＝90°，根据三角形的外角的性质得到∠PAB+∠ABM＝270°，根据角平分线的定义得到∠BAC＝12∠PAB，∠ABC＝12∠ABM，于是得到结论；（2）由于将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，得到∠CAB＝∠BAQ，由角平分线的定义得到∠PAC＝∠CAB，即可得到结论；根据将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，得到∠ABC＝∠ABN，由于BC平分∠ABM，得到∠ABC＝∠MBC，于是得到结论；（3）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可得出∠E与∠ABO的关系，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF＝90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的32倍分情况进行分类讨论即可．【详解】解：（1）∠ACB的大小不变，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠PAB+∠ABM＝270°，∵AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，∴∠BAC＝12∠PAB，∠ABC＝12∠ABM，∴∠BAC+∠ABC＝12（∠PAB+∠ABM）＝135°，∴∠ACB＝45°；（2）∵将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，∴∠CAB＝∠BAQ，∵AC平分∠PAB，∴∠PAC＝∠CAB，∴∠PAC＝∠CAB＝∠BAO＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠ABO＝30°，∵将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，∴∠ABC＝∠ABN，∵BC平分∠ABM，∴∠ABC＝∠MBC，∴∠MBC＝∠ABC＝∠ABN，∴∠ABO ＝60°，故答案为：30°，60°；（3）∵AE 、AF 分别是∠BAO 与∠GAO 的平分线，∴∠EAO ＝12∠BAO ，∠FAO ＝12∠GAO ，∴∠E ＝∠EOQ ﹣∠EAO ＝12（∠BOQ ﹣∠BAO ）＝12∠ABO ，∵AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线，∴∠EAF ＝∠EAO +∠FAO ＝12（∠BAO +∠GAO ）＝90°．在△AEF 中，∵∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E ,∴∠EAO = 12∠BAO ，∠EOQ =12∠BOQ ，∴∠E =∠EOQ -∠EAO =12（∠BOQ -∠BAO ）=12∠ABO ， ∵有一个角是另一个角的32倍，故有： ①∠EAF ＝32∠F ，∠E ＝30°，∠ABO ＝60°； ②∠F ＝32∠E ，∠E ＝36°，∠ABO ＝72°； ③∠EAF ＝32∠E ，∠E ＝60°，∠ABO ＝120°（舍去）； ④∠E ＝32∠F ，∠E ＝54°，∠ABO ＝108°（舍去）； ∴∠ABO 为60°或72°．【点睛】本题主要考查的是角平分线的性质以及三角形内角和定理的应用.解决这个问题的关键就是要能根据角平分线的性质将外角的度数与三角形的内角联系起来，然后再根据内角和定理进行求解.另外需要分类讨论的时候一定要注意分类讨论的思想．15．（1）60°；（2）15°；（3）30°或15°【分析】（1）利用两直线平行，同旁内角互补，得出，即可得出结论；（2）先利用三角形的内角和定理求出，即可得出结论；（3）分和两种情况求解即可得解析：（1）60°；（2）15°；（3）30°或15°【分析】（1）利用两直线平行，同旁内角互补，得出90CAN ∠=︒，即可得出结论；（2）先利用三角形的内角和定理求出AFD ∠，即可得出结论；（3）分90DAF ∠=︒和90AFD ∠=︒两种情况求解即可得出结论．【详解】解：（1）//MN GH ，180ACB NAC ∴∠+∠=︒，90ACB ∠=︒，90CAN ∴∠=︒，30BAC ∠=︒，9060BAN BAC ∴∠=︒-∠=︒；（2）由（1）知，60BAN ∠=︒，45EDF ∠=︒，18075AFD BAN EDF ∴∠=︒-∠-∠=︒，90DFE ∠=︒，15AFE DFE AFD ∴∠=∠-∠=︒；（3）当90DAF ∠=︒时，如图3，由（1）知，60BAN ∠=︒，30FAN DAF BAN ∴∠=∠-∠=︒；当90AFD ∠=︒时，如图4，90DFE ∠=︒，∴点A ，E 重合，45EDF ∠=︒，45DAF ∴∠=︒，由（1）知，60BAN ∠=︒，15FAN BAN DAF ∴∠=∠-∠=︒，即当以A 、D 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，FAN ∠度数为30或15︒．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角的和差的计算，求出60BAN ∠=︒是解本题的关键．。

七下数学单元梳理及10道易错题一、整式的运算同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

积的乘方，把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

同底数幂的除法，底数不变，指数相减。

整式乘法：单项式×单项式，系数相乘，同底数幂相乘，其余不变。

单项式×多项式，用单项式多项式的每一项，再把所得的积相加。

（化归思想）多项式×多项式，用第一个多项式的每一项去乘第二个多项式的第一项，在把所得结果相加。

（化归思想）易错题1.下列算式能用平方差公式计算的是（）A．(2a + b)(2b - a) B.（1/2x+1）（-1/2x-1）C．(3x - y)(-3x + y) D．(-m-n)(-m+ n)一、平行线与相交线三线八角：直线和截线形成的八个角同位角：两条直线被第三条直线所截，在两条直线同旁，在第三条直线同侧。

同位“F”内错角：两条直线被第三条直线所截，在两条直线之间，在第三条直线两侧，内错“Z”同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在两直线之间，在第三条直线同侧，同旁内角“C”公理。

两条直线被第三条直线所截，如果同位角度数相等，那么这两条直线平行。

几何语言。

∵∠1=∠2（已知）∴AB // CD（同位角/内错角度数相同，两直线平行。

同旁内角互补，两直线平行）对顶角相等。

直线公理：两点确定一条直线。

线段公理：两点之间线段最短。

同位角的角平分线平行，内错角的角平分线平行，同旁内角的角平分线互相垂直。

平行线、相交线：1.余角和补角（对顶角）2.判断两直线平行的条件（一公两定）3.平行线的特征（一公两定）4.尺规作图（线段、角）尺规作图：无刻度的尺子和圆规作图。

步骤：1.已知 2.求作 3.作法、画图（保留痕迹） 4.指出所求（写答案）易错题2.已知：如图，∠1=35º，AB⊥CD，垂足为O，EF 经过点O．求∠2、∠3、∠4 的度数。

3.下列语句正确的是（）A. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．B. 互为邻补角的两个角的平分线互相垂直．C. 相等的角是平行线的内错角．D. 从直线外一点作这条直线的垂直线段叫点到直线的距离．二、生活中的数据平方换算，百万进制。

北京市七年级数学试卷一元一次不等式易错压轴解答题精选附答案一、一元一次不等式易错压轴解答题1．某商场第1次用39万元购进A、B两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如下表：总利润单件利润销售量商品价格A B进价元件12001000售价元件13501200B两种商品各多少件？（2）商场第2次以原进价购进A、B两种商品，购进A商品的件数不变，而购进B商品的件数是第1次的2倍，A商品按原售价销售，而B商品按原售价打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于54000元，则B种商品是打几折销售的？2．某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是60cm×30cm，B型板材规格是40cm×30cm.现只能购得规格是150cm×30cm的标准板材.一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图）裁法一裁法二裁法三A型板材块数120B型板材块数2m nx张、按裁法二裁y张、按裁法三裁z张，且所裁出的A、B两种型号的板材刚好够用.（1）上表中，m= ________，n= ________；（2）分别求出y与x和z与x的函数关系式；（3）若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式，并指出当x取何值时Q 最小，此时按三种裁法各裁标准板材多少张？3．先阅读理解下面的例题，再按要求解答：例题：解不等式（x+5）（x-5）>0解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①或②解不等式组①得x>5，解不等式组②得x<-5，所以不等式的解集为x>5或x<-5。

（1）求不等式x²-2x-3<0的解集。

（2）求不等式的解集。

4．某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价400元，领带每条定价50元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：方案①：买一套西装送一条领带；方案②：西装和领带都按定价的90%付款．现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条（x＞20）（1）若该客户按方案①购买，需付款________元（用含x的代数式表示）；若该客户按方案②购买，需付款________元（用含x的代数式表示）；（2）若x=30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？（3）若两种优惠方案可同时使用，当x=30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法并计算出此种方案的付款金额．5．某校七年级为了表彰“数学素养水平测试”中表现优秀的同学，准备用480元钱购进笔记本作为奖品．若A种笔记本买20本，8本笔记本买30本，则钱还缺40元；若A种笔记本买30本，B种笔记本买20本，则钱恰好用完．（1）求A，B两种笔记本的单价．（2）由于实际需要，需要增加购买单价为6元的C种笔记本若干本．若购买A，B，C三种笔记本共60本，钱恰好全部用完．任意两种笔记本之间的数量相差小于15本，则C种笔记本购买了________本．(直接写出答案)6．为了响应“绿水青山就是金山银山”的环保建设，提高企业的治污能力某大型企业准备购买A，B两种型号的污水处理设备共8台，若购买A型设备2台，B型设备3台需34万元；购买A型设备4台，B型设备2台需44万元．（1）求A，B两种型号的污水处理设备的单价各是多少？（2）已知一台A型设备一个月可处理污水220吨，B型设备一个月可处理污水190吨，若该企业每月处理的污水不低于1700吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案．7．在一次知识竞赛中，甲、乙两人进入了“必答题”环节.规则是：两人轮流答题，每人都要回答20个题，每个题回答正确得a分，回答错误或放弃回答扣b分.当甲、乙两人恰好都答完12个题时，甲答对了8个题，得分为64分；乙答对了9个题，得分为78分. （1）求a和b的值；（2）规定此环节得分不低于120分能晋级，甲在剩下的比赛中至少还要答对多少个题才能顺利晋级？8．为了让孩子们了解更多的海洋文化知识，市海洋局购买了一批有关海洋文化知识的科普书籍和绘本故事书籍捐赠给市里的几所中小学校.经了解，以两类书的平均单价计算，30本科普书籍和50本绘本故事书籍共需2100元；20本科普书籍比10本绘本故事书籍多100元.（1）求平均每本科普书籍和绘本故事书籍各是多少元.（2）计划每所学校捐赠书籍数目和总费用相同.其中每所学校的科普书籍大于115本，科普书籍比绘本故事书籍多30本，总费用不超过5000元，请求出所有符合条件的购书方案. 9．某风景区票价如下表所示：人数/人1～4041～8080以上价格/元/人150130120有甲、乙两个旅行团队共计100人，计划到该景点游玩.已知乙队多于甲队人数的，但不超过甲队人数的，且甲、乙两队分别购票共需13600元（1）试通过计算判断，甲、乙两队购票的单价分别是多少？（2）求甲、乙两队分别有多少人？（3）暑期将至，该风景区计划对门票价格做如下调整：人数不超过40人时，门票价格不变；人数超过40人但不超过80人时，每张门票降价a元；人数超过80人时，每张门票降价2a元，其中a＞0.若甲、乙两队联合购票比分别购票最多可节约2250元，直接写出a 的取值范围10．定义：对于实数a，符号表示不大于a的最大整数，例如：.（1）如果，求a的取值范围;（2）如果，求满足条件的所有整数x.11．如果A，B都是由几个不同整数构成的集合，由属于A又属于B的所有整数构成的集合叫做A，B的交集，记作A∩B．例如：若A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则A∩B＝{3}；若A＝{0，﹣62，37，2}，B＝{2，﹣1，37，﹣5，0，19}，则A∩B＝{37，0，2}．（1）已知C＝{4，3}，D＝{4，5，6}，则C∩D＝{________}；（2）已知E＝{1，m， 2}，F＝{6，7}，且E∩F＝{m}，则m＝________；（3）已知P＝{2m+1，2m﹣1}，Q＝{n，n+2，n+4}，且P∩Q＝{m，n}，如果关于x的不等式组，恰好有2019个整数解，求a的取值范围．12．某公司有A、B两种型号的客车，它们的载客量、每天的租金如表所示：A型号客车B型号客车载客量(人/辆)4530租金(元/辆)60045010辆，同时送七年级师生到沙家参加社会实践活动，已知该中学租车的总费用不超过5600元．（1）求最多能租用多少辆A型号客车？（2）若七年级的师生共有380人，请写出所有可能的租车方案．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、一元一次不等式易错压轴解答题1．（1）解：设第1次购进A商品x件，B商品y件.根据题意得：，解得： {x=200y=150 .答：商场第1次购进A商品200件，B商品150件.（2）解：设B商品打m折出售.解析：（1）解：设第1次购进A商品x件，B商品y件.根据题意得：，解得： .答：商场第1次购进A商品200件，B商品150件.（2）解：设B商品打m折出售.根据题意得：200×（1350﹣1200）+150×2×（1200× ﹣1000）＝54000，解得：m＝9.答：B种商品打九折销售的.【解析】【分析】（1）设第1次购进A商品x件，B商品y件，根据该商场第1次用39万元购进A、B两种商品且销售完后获得利润6万元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设B商品打m折出售，根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论.2．（1）0；3（2）解：由题意得：共需用A型板材240块、B型板材180块，又∵满足x+2y=240，2x+3z=180，∴整理得：y=120﹣ 12 x，z=60﹣ 23 x；（3）解：解析：（1）0；3（2）解：由题意得：共需用A型板材240块、B型板材180块，又∵满足x+2y=240，2x+3z=180，∴整理得：y=120﹣ x，z=60﹣ x；（3）解：由题意，得Q=x+y+z=x+120﹣ x+60﹣ x.整理，得Q=180﹣ x.由题意，得，解得x≤90.[注：0≤x≤90且x是6的整数倍]由一次函数的性质可知，当x=90时，Q最小.由（2）知，y=120﹣ x=120﹣ ×90=75，z=60﹣ x=60﹣ ×90=0；故此时按三种裁法分别裁90张、75张、0张【解析】【解答】解：（1）按裁法二裁剪时，2块A型板材块的长为120cm，150﹣120=30，所以无法裁出B型板，按裁法三裁剪时，3块B型板材块的长为120cm，120＜150，而4块B型板材块的长为160cm＞150cm，所以无法裁出4块B型板；∴m=0，n=3；【分析】（1）按裁法二裁剪时，2块A型板材块的长为120cm，150−120＝30，所以无法裁出B型板，按裁法三裁剪时，3块B型板材块的长为120cm，120＜150，而4块块B型板材块的长为160cm＞150所以无法裁出4块B型板；（2）由题意得：共需用A型板材240块、B型板材180块，又因为满足x＋2y＝240，2x ＋3z＝180，然后整理即可求出解析式；（3）根据Q=x+y+z ，利用（2）的结论即可求出函数关系式，进而根据x的取值范围：0≤x≤90且x是6的整数倍，结合函数的性质即可解决问题.3．（1）解：x2﹣2x﹣3＜0，即（x﹣3）（x+1）＜0，则 {x-3<0x+1>0 或 {x-3>0x+1<0 ，解得﹣1＜x＜3或无解故一元二次不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为﹣1＜x解析：（1）解：x2﹣2x﹣3＜0，即（x﹣3）（x+1）＜0，则或，解得﹣1＜x＜3或无解故一元二次不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为﹣1＜x＜3.（2）解：由＜0可得：① 或② ，解不等式组①，得不等式组①无解；解不等式组②，得﹣2＜x＜，所以不等式＜0的解集为﹣2＜x＜ .【解析】【分析】(1)首先要理解例题给出的有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”得到两组不同的不等式组，然后再解不等式组得到不等式的解集，所以x²-2x-3对这个式子因式分解即（x﹣3）（x+1），从而得到两个不等式组或，求出不等式组的解集.(2)跟(1)同理可以得到①或②，这两个不等式组，求出这两个不等式组的解集.4．（1）（50x+7000）；（45x+7200）（2）解：当 x=30 时方案①：方案②：答：此时按方案①购买较为合算.（3）解：用方案①买20套西装送20条领带解析：（1）（50x+7000）；（45x+7200）（2）解：当时方案①：方案②：答：此时按方案①购买较为合算.（3）解：用方案①买20套西装送20条领带，再用方案②买10条领带.总价钱为所以可以【解析】【解答】解：（1）按方案①购买，需付款：400×20+（x-20）×50= 元；按方案②购买，需付款：400×90%×20+50×90%×x= （元）【分析】（1）根据题意分别列出代数式，并整理；（2）把x=30代入（1）中两个代数式，计算结果得结论；（3）抓住省钱想方案．两种方案都选用．5．（1）解：设A笔记本的单价为每本x元，B笔记本的单价为每本y元，根据题意得20x+30y=480+4030x+20y=480整理得解之：x=8y=12答：A笔记本的单价为8元，B笔记本解析：（1）解：设A笔记本的单价为每本x元，B笔记本的单价为每本y元，根据题意得整理得解之：答：A笔记本的单价为8元，B笔记本的单价为12元.（2）24本或26本或28本【解析】【解答】解：（2）设购买A笔记本a本，B笔记本b本，则C笔记本（60-a-b）本，8a+12b+6（60-a-b）=480整理得：a+3b=60∴a=60-3b则60-a-b=60-（60-3b）-b=2b，∵任意两种笔记本之间的数量相差小于15本，∴即解之：∵b为整数∴b=12，13，14∴A笔记本24本，B笔记本12本，C笔记本24本；或A笔记本21本，B笔记本13本，C笔记本26本；或A笔记本18本，B笔记本14本，C笔记本28本；∴C种笔记本购买了24本或26本或28本故答案为：24本或26本或28本.【分析】（1）由题意可知等量关系为：20×A笔记本的单价+30×B笔记本的单价=480+40；30×A笔记本的单价+20×B笔记本的单价=480，设未知数，列方程组求解即可。

北京市宣武区七年级第二学期数学易错易混解答题精粹解答题有答案含解析1．解不等式组：23102724x x x --⎧+<⎪⎪⎨-⎪+>⎪⎩.(1)并把解集在数轴上标出来．(2)解不等式组，并写出它的所有整数解．3(3)15132x x x x ①②-<-⎧⎪⎨--≥⎪⎩. 2．某车站在春运期间为改进服务,抽查了100名旅客从开始在窗口排队到购到车票所用时间t(以下简称购票用时,单位:分),得到如下表所示的频数分布表. 分组 频数一组 0≤t<5 0 二组 5≤t<10 10 三组 10≤t<15 10 四组 15≤t<20 五组 20≤t<25 30 合计100 (1)在表中填写缺失的数据; (2)画出频数分布直方图;(3)旅客购票用时的平均数可能落在哪一小组内?(4)若每增加一个购票窗口可以使平均购票用时降低5分,要使平均购票用时不超过10分,那么请你决策一下至少要增加几个窗口? 3． (1)解方程:241111x x x -+=-+(2)解不等式组:273(1)15(4)2x x x x --⎧⎪⎨-+≥⎪⎩＜①② 4．如图，//AD EC．(1) 若40C ∠=︒，AB 平分DAC ∠，求DAB ∠的度数．(2) 若AE 平分DAB ∠，BF 平分ABC ∠，试说明//AE BF 的理由．5．在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为（a ，0），（2，﹣4），（c ，0），且a ，c 满足方程2c 4a 3(2a 4)xy0---+=为二元一次方程．（1）求A ，C 的坐标．（2）若点D 为y 轴正半轴上的一个动点．①如图1，∠AOD+∠ADO+∠DAO ＝180°，当AD ∥BC 时，∠ADO 与∠ACB 的平分线交于点P，求∠P 的度数；②如图2，连接BD ，交x 轴于点E ．若S △ADE ≤S △BCE 成立．设动点D 的坐标为（0，d ），求d 的取值范围．67的有理近似值. 方法介绍：经过k 步操作(k 为正整数)不断寻找有理数k a ，k b ，使得7k k a b <<，并且让k k b a -的值越来越小,同时利用数轴工具将任务几何化,7对应的点P 所在线段的长度(二分法) 思路分析：在数轴上记k a ，k b 对应的点分别为,k k A B ，k a 和k b 的平均数2k kk a b c +=对应线段k k A B 的中点（记为k C ）.7k c <7k c >，得到点P 是在二等分后的“左线段k k A C ”上还是“右线段k k C B ”上，重复上述步骤，不断得到k c 7.具体操作步骤及填写“阅读活动任务单”： （1）当1k =时，①寻找左右界值：先寻找两个连续正整数11,a b，使得11a b <<.23<<，那么12a =，13b =，线段11A B 的中点1C 对应的数111232.522a b c ++===. ②二分定位：判断点P 在“左线段k k A C ”上还是在“右线段k k C B ”上. 比较7与21c与1c 的大小；1（填 “>”或“<”），得到点P 在线段11C B 上（填“11A C ”或“11C B ”）. （2）当2k =时，在（1）中所得2.53<<的基础上，仿照以上步骤，继续进行下去，得到表中2k =时的相应内容.请继续仿照以上步骤操作下去，补全“阅读活动任务单”：7．已知，//AB CD ，M N 、分别在直线AB CD 、上，E 是平面内一点，BME ∠和DNE ∠的平分线所在直线相交于点F .（1）如图1，当E F 、都在直线AB CD 、之间，且090MEN ∠=时，MFN ∠的度数为_________； （2）如图2，当E F 、都在直线AB 上方时，探究MEN ∠和MFN ∠之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，当E F 、在直线AB 两侧时，直接写出MEN ∠和MFN ∠之间的数量关系是_____.8．某公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨，已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2600元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2500元，且同一型号汽车每辆租车费用相同.(1)求租用辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元?(2)若这个公司计划此次租车费用不超过5200元，通过计算求出该公司有几种租车方案?请你设计出来，并求出最低的租车费用，9．某中学举办了绿色阅读节活动，为了表彰优秀，陈老师负责购买奖品，在购买时他发现身上所带的钱：若以2支钢笔和3个笔记本为一份奖品，则可买50份奖品；若以2支钢笔和6本笔记本为一份奖品，则可以买40份奖品，设钢笔单价为x元/支，笔记本单价为y元/支．（1）请用含x的代数式表示y；（2）若用这笔钱全部购买笔记本，总共可以买几本？10．完成下面的证明：如图，∠C=50°，E是BA延长线上的一点，过点A作//BC﹒若AD平分∠CAE，求∠B的度数．解：∵//BC，∠C=50°（已知），∴∠2= = °（）.又∵AD平分∠CAE（已知），∴=∠2=50°（）.又∵//BC（已知），∴∠B= = °（）.11．如图，AB交CD于O，OE⊥AB．（1）若∠EOD=20°，求∠AOC的度数；（2）若∠AOC ：∠BOC=1：2，求∠EOD 的度数．12．已知：如图，是的角平分线，点在上，点在的延长线上，，交于点.求证: .证明：∵ ， （已知） ∴ （ ） ∵ （已知）∴ （ ） （ ） ∴（ ）13．将多顶式232x x -+分解因式()()23221x x x x -+=--，说明多顶式232x x -+有一个因式为1x -，还可知：当10x -=时2320x x -+=．利用上述阅读材料解答以下两个问题：（1）若多项式28x kx +-有一个因式为2x -，求k 的值；（2）若2x +，1x -是多项式3227x ax x b +++的两个因式，求a 、b 的值． 14．解下列不等式和不等式组，并用数轴表示解集.(1) 104(3)2(1)x x --≤-；(2) 3(2)01213x x x x --<⎧⎪+⎨≥-⎪⎩15．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将△ABC 经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B 的对应点B′． （1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′； （2）画出AB 边上的中线CD （3）画出BC 边上的高线AE（4）点F 为方格纸上的格点(异于点B )，若ACB ACF S S ∆∆=，则图中的格点F 共有 个．16．9岁的小芳身高1．36米，她的表姐明年想报考北京的大学．表姐的父母打算今年暑假带着小芳及其表姐先去北京旅游一趟，对北京有所了解．他们四人7月31日下午从无锡出发，1日到4日在北京旅游，8月5日上午返回无锡．无锡与北京之间的火车票和飞机票价如下：火车 (高铁二等座) 全票524元，身高1．1～1．5米的儿童享受半价票；飞机 (普通舱) 全票1240元，已满2周岁未满12周岁的儿童享受半价票．他们往北京的开支预计如下：假设他们四人在北京的住宿费刚好等于上表所示其他三项费用之和，7月31日和8月5日合计按一天计算，不参观景点，但产生住宿、伙食、市内交通三项费用．（1）他们往返都坐火车，结算下来本次旅游总共开支了13668元，求x ，y 的值；（2）若去时坐火车，回来坐飞机，且飞机成人票打五五折，其他开支不变，他们准备了14000元，是否够用? 如果不够，他们准备不再增加开支，而是压缩住宿的费用，请问他们预定的标准间房价每天不能超过多少元?17．已知如图，直线EF 与AB 、CD 分别相交于点E 、F ． （1）如图1，若∠1=120°，∠2=60°，求证AB ∥CD ；（2）在（1）的情况下，若点P 是平面内的一个动点，连结PE 、PF ，探索∠EPF 、∠PEB 、∠PFD 三个角之间的关系；①当点P 在图2的位置时，可得∠EPF=∠PEB +∠PFD ； 请阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式） 解：如图2，过点P 作MN ∥AB ， 则∠EPM=∠PEB_____．∵AB∥CD（已知），MN∥AB（作图）∴MN∥CD_____．∴∠MPF=∠PFD∴∠_____+∠_____=∠PEB+∠PFD（等式的性质）即∠EPF=∠PEB+∠PFD②当点P在图3的位置时，∠EPF、∠PEB、∠PFD三个角之间有何关系并证明．③当点P在图4的位置时，请直接写出∠EPF、∠PEB、∠PFD三个角之间的关系：_____．18．如图1，已知∠ABC=90 ,D是直线AB上的一点，AD=BC，连结DC.以DC为边，在∠CDB的同侧作∠CDE，使得∠CDE=∠ABC，并截取DE=CD，连结AE.(1)求证:BDC AED∆≅∆;并判断AE和BC的位置关系，说明理由；(2)若将题目中的条件“∠ABC=900”改成“∠ABC=x0(0<x<180)”,①结论“BDC AED∆≅∆”还成立吗?请说明理由；②试探索:当x的值为多少时，直线AE⊥BC.19．（6分）求不等式组() 21421123xx x⎧+≤⎪⎨--⎪⎩，＜的非负整数解．20．（6分）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色.现在要从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．在下面每个网格中画出一种符合要求的图形．21．（6分）如图，∠CDH+∠EBG=180°，∠DAE=∠BCF，DA平分∠BDF（1）AD与BC的位置关系如何？为什么？（2）BC平分∠DBE吗？为什么？22．（8分）统计七年级部分同学的跳高测试成绩，得到如下频率直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．（1）参加测试的总人数是多少人？ （2）组距为多少？（3）跳高成绩在1.34m （含1.34m ）以上的有多少人？占总人数的百分之几？ 23．（8分）如图，BD 平分∠ABC ．∠ABD=∠ADB ． （1）求证：AD ∥BC ；（2）若BD ⊥CD ，∠BAD=α，求∠DCB 的度数（用含α的代数式表示）．24．（10分）已知a x =2, b x =4,求3a b x +以及3a b x -的值.25．（10分） (1)计算：12cos603-+--(2)解不等式组351? {51812? x x ->-≤①②26．（12分）解方程组或不等式组： （1）313527x y x y -=⎧⎨+=⎩（2）解不等式组：2312136x xx x -⎧⎪+⎨-≤⎪⎩＜27．（12分）（10.00分）解下列二元一次方程组或不等式组：（1）131222x yx y⎧-=⎪⎨⎪+=⎩（2）43(2)2113x xxx-<-⎧⎪+⎨+>⎪⎩28．解不等式组：4364732x xxx-≥-⎧⎪⎨-->⎪⎩.29．填空：如图，已知DG⊥BC，BC⊥AC，EF⊥AB，∠1＝∠2，试判断CD与AB的位置关系：解：CD⊥AB∵DG⊥BC,BC⊥AC(已知）∴∠DGB＝∠_____＝90°(垂直定义)∴DG∥AC,(____________________)∴∠2＝∠_________.（两直线平行，内错角相等)∵∠1＝∠2(已知）∴∠1＝∠________(等量代换）∴EF∥______(同位角相等，两直线平行)∴∠AEF＝∠ADC,(________________)∵EF⊥AB,∴∠AEF＝90°∴∠ADC＝90°即：CD⊥AB.30．如图，已知ABC∆，画出ABC∆的高AD和CE．参考答案解答题有答案含解析1．(1)﹣12＜x＜1；数轴表示见解析；(2)138≤x＜4；整数解为2、1．【解析】【分析】（1）分别求出每个不等式的解集，再数轴上表示两个不等式的解集，据此找到公共部分即可得；（2）分别求出每个不等式的解集，根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集，从而得出其整数解．【详解】(1)解不等式232x--+1＜0，得：x＞﹣12，解不等式2+74x-＞x，得：x＜1，则不等式组的解集为﹣12＜x＜1；解不等式的解集表示在数轴上如下：(2)解不等式①，得：x＜4，解不等式②，得：x≥138，则不等式组的解集为138≤x＜4，所以该不等式组的整数解为2、1．【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（1）50；（2）详见解析；（3）15≤t<20；（4）至少要增加两个窗口【解析】【分析】（1）用总人数减去各组人数即可求解；（2）根据相关数据作图即可；（3）根据题意求出平均数即可判断；（4）设需要增加x个窗口，根据题意列出不等式即可求解.【详解】解:(1)第四组的频数为100-10-10-30=50. (2)频数分布直方图如图5所示.图5 (3)平均数为107.5+1012.5+5017.5+3022.5100⨯⨯⨯⨯=17.5∴在15≤t<20小组.(4)设需要增加x 个窗口,则可得20-5x≤10,即x≥2, 所以至少要增加两个窗口. 【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是频数直方图的应用. 3．经检验x ＝−1是增根，分式方程无解；（1）-4<x≤1. 【解析】 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解； （1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分即可． 【详解】解：（1）去分母得：224121x x x +--+＝， 解得：x ＝−1，经检验x ＝−1是增根，分式方程无解； （1）由①得：x ＞−4， 由②得：x ≤1，则不等式组的解集为−4＜x ≤1． 【点睛】此题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．（1）70DAB ∠=︒；（2）理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出∠C+∠DAC=180°，代入求出∠DAC=140°，根据角平分线定义求出即可； （2）根据平行线的性质得出∠DAB=∠ABC ，根据角平分线定义得1122EAB DAB ABF ABC ∠=∠∠=∠，，求出∠EAB=∠ABF ，根据平行线的判定得出即可． 【详解】 （1）//AD EC ，180C DAC ∴∠+∠=︒， 40C ∠=︒， 140DAC ∴∠=︒，AB 平分DAC ∠，1702DAB DAC ∴∠=∠=︒；（2）理由是：AD//EC ，DAB ABC ∴∠=∠，AE 平分DAB ∠，BF 平分ABC ∠， 1122EAB DAB ABF ABC ∴∠=∠∠=∠，，EAB ABF ∴∠=∠，AE //BF ∴．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定和角平分线定义，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键． 5．（1）A （﹣2，0），C （1，0）；（2）①41°；②0＜d≤1． 【解析】 【分析】（1）根据二元一次方程的定义列式计算；（2）①作PH ∥AD ，根据角平分线的定义、平行线的性质计算，得到答案；②连接AB ，交y 轴于F ，根据点的坐标特征分别求出S △ABC 、S △ABD ，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：（1）由题意得，2a ﹣4≠0，c ﹣4＝1，a 2﹣3＝1， 解得，a ＝﹣2，c ＝1，则点A 的坐标为（﹣2，0），点C 的坐标为（1，0）； （2）①作PH ∥AD ， ∵AD ∥BC ， ∴PH ∥BC ， ∵∠AOD ＝90°， ∴∠ADO+∠OAD ＝90°， ∵AD ∥BC ，∴∠BCA＝∠OAD，∴∠ADO+∠BCA＝90°，∵∠ADO与∠BCA的平分线交于P点，∴∠ADP＝12∠ADO，∠BCP＝12∠BCA，∴∠ADP+∠BCP＝41°，∵PH∥AD，PH∥B C，∴∠HPD＝∠ADP，∠HPC＝∠BCP，∴∠DPC＝∠HPD+∠HPC＝∠ADP+∠BCP＝41°；②连接AB，交y轴于F，∵S△ADE≤S△BCE，∴S△ADE+S△ABE≤S△BCE+S△ABE，即S△ABD≤S△ABC，∵A（﹣2，0），B（2，﹣4），C（1，0），∴S△ABC＝12×（2+1）×4＝14，点F的坐标为（0，﹣2），则S△ABD＝12×（2+d）×2+12×（2+d）×2＝4+2d，由题意得，4+2d≤14，解得，d≤1，∵点D为y轴正半轴上的一个动点，∴0＜d≤1．【点睛】本题考查的是二元一次方程的定义、平行线的性质、坐标与图形性质、三角形的面积计算，掌握平行线的性质、三角形面积公式是解题的关键．6．见解析；【解析】【分析】仿照以上步骤操作下去，补全“阅读活动任务单”即可. 【详解】【点睛】此题是阅读理解型问题，读懂题意是解题的关键.7．（1）45°；（2）证明见解析；（3）1180 2E MFN∠+∠=︒.【解析】【分析】（1）过E作EH∥AB，FG∥AB，根据平行线的性质得到∠BME=∠MEH，∠DNE=∠NEH，根据角平分线的定义得到∠BMF+∠DNF=12（∠BME+∠DNE）=45°，于是得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=∠EGB-∠EMB，根据平行线的性质得到∠EGB=∠END，∠FHB=∠FND，根据角平分线的定义得到∠EMB=2∠FMB，∠END=2∠FND，于是得到结论；（3）根据平行线的性质得到∠5=∠END，根据角平分线的定义得到∠5=∠END=2∠4，∠BME=2∠1=∠E+∠5=∠E+2∠4，根据三角形的外角的性质和四边形的内角和即可得到结论．【详解】解：（1）过E作EH∥AB，过点F作FG∥AB，∵AB∥CD，∴EH∥CD，FG∥CD，∴∠BME=∠MEH，∠DNE=∠NEH，∴∠BME+∠DNE=∠MEH+∠NEH=∠MEN=90°，同理∠MFN=∠BMF+∠DNF，∵MF平分∠BME，FN平分∠DNE，∴∠BMF+∠DNF=12（∠BME+∠DNE）=45°，∴∠MFN的度数为45°；故答案为45°；（2）∵∠EGB=∠EMB+∠E，∴∠E=∠EGB-∠EMB，∵AB∥CD，∴∠EGB=∠END，∠FHB=∠FND，∴∠E=∠END-∠EMB，∵MF、NF分别平分∠BME和∠DNE，∴∠EMB=2∠FMB，∠END=2∠FND，∴∠E=2∠FND-2∠FMB=2（∠FND-∠FMB），∵∠FHB=∠FMB+∠F，∴∠F=∠FHB-∠FMB，=∠FND-∠FMB，∴∠E=2∠F；（3）12∠E+∠MFN=180°，证明：∵AB∥CD，∴∠5=∠END，∵NF平分∠END，∴∠5=∠END=2∠4，∵MF平分∠BME，∴∠BME=2∠1=∠E+∠5=∠E+2∠4，∴∠3=∠1=12∠E+∠4，∵∠E+∠MFN=360°-∠4-∠2-∠3=360°-∠4-（180°-∠E-2∠4）-（12∠E+∠4）=180°+12∠E，∴∠MFN+12∠E=180°．故答案为12∠E+∠MFN=180°．【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是：过过E作EH∥AB，过点F作FG∥AB.8．(1)设租用一辆甲型汽车的费用是800元，租用一辆乙型汽车的费用是900元；(2) 分别是：方案一:租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆；方案二:租用甲型汽车3辆，租用乙型汽车3辆；方案三:租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆. 三个方案的费用依次为5200元，5100元，5000元，所用最低费用为5000元.【解析】【分析】（1）首先设租用一辆甲型汽车的费用是x元，租用一辆乙型汽车的费用是y元，由题意，列出二元一次方程组，即可求解；（2）首先设租用甲型汽车z辆，由题意，得出不等式组，解得2≤z≤4,又由z是整数，所以共有3种方案，最后分别求出三种方案的费用，得出最低费用为5000元.【详解】解：(1)设租用一辆甲型汽车的费用是x 元，租用一辆乙型汽车的费用是y 元，由题意，得:2260022500x y x y +=⎧⎨+=⎩解得:800900x y =⎧⎨=⎩(2)设租用甲型汽车z 辆，由题意，得:1618(6)100800900(6)5200z z z z +-≥⎧⎨+-≤⎩解得：2≤z≤4, 因为z 是整数，所以z=2或3或4.所以共有3种方案，分别是 方案一:租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆； 方案二:租用甲型汽车3辆，租用乙型汽车3辆； 方案三:租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆.三个方案的费用依次为5200元，5100元，5000元，所用最低费用为5000元. 【点睛】此题主要考查二元一次方程组的实际运用问题，根据题意找出关系式即可得解. 9．（1）29xy =；（2）可购买600本笔记本． 【解析】 【分析】（1）本题中的相等关系是“以2支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品”和“以2支钢笔和6本笔记本为一份奖品，则可以买40份奖品”，列二元一次方程求解即可；（2）在（1）的基础上，根据题意可把这笔钱用含x 、y 的代数式表示，再除以y 即可得解． 【详解】解：（1）∵由题意可知，()()50234026x y x y +=+ ∴29x y = ∴29xy =； （2）∵根据题意可知，这笔钱为：()5023x y +元∴用这笔钱全部购买笔记本，总共可以买：()5023x yy +本∴将29x y =代入得25023960029x x x ⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭=（本）∴可购买600本笔记本．故答案是：（1）29xy ；（2）可购买600本笔记本【点睛】此题考查的是二元一次方程的应用、列代数式、分式的化简，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．10．∠C，50，两直线平行，内错角相等，∠1，角平分线的意义，∠1，50，两直线平行，同位角相等【解析】【分析】根据平行线的性质，角平分线的意义，即可解答.【详解】解：∵//BC，∠C=50°，（已知）∴∠2= ∠C = 50 °（两直线平行，内错角相等）又∵AD平分∠CAE，（已知）∴∠1 =∠2=50°（角平分线的意义）∵//BC，（已知）∴∠B= ∠1 = 50 °（两直线平行，同位角相等）【点睛】此题考查平行线的性质，角平分线的意义，解题关键在于掌握其定义性质.11．(1)、70°；(2)、30°【解析】试题分析：(1)、首先根据垂直得出∠AOE=90°，根据∠AOC=180°－∠AOE－∠EOD得出答案；(2)、首先设∠AOC=x，则∠BOC=2x，根据平角的性质得出x的值，根据∠EOD=180°－AOE－∠AOC得出答案.试题解析：(1)、∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，∵∠EOD=20°，∴∠AOC=180°﹣90°﹣20°=70°；(2)、设∠AOC=x，则∠BOC=2x，∵∠AOC+∠BOC=180°，∴x+2x=180°，解得：x=60°，∴∠AOC=60°，∴∠EOD=180°﹣90°﹣60°=30°．考点：角度的计算12．见解析【解析】【分析】根据角平分线的定义、平行线的性质与判定、等量代换等进行性质、判定进行填写.【详解】证明：∵AD 是△ABC 的角平分线．（已知） ∴∠BAD=∠CAD （角平分线的定义） ∵EF ∥AD （已知）∴∠FGA=∠BAD （两直线平行，内错角相等） ∠F=∠CAD （两直线平行，同位角相等） ∴∠AGF=∠F （等量代换）. 【点睛】考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识. 13．（1）2k =；（2）1322a b =⎧⎨=-⎩【解析】 【分析】把2x =代入280x kx +-=得到22280k +-=，即可求得k 的取值；（2）分别将2x =-，1x =代入32270x ax x b +++=，即可到关于a 、b 的方程组，解之即可得解． 【详解】解：（1）∵令20x -=，即当2x =时280x kx +-= ∴22280k +-= ∴2k =；（2）∵当2x =-，1x =时，32270x ax x b +++=∴()()()3232222720211710a b a b ⎧⨯-+-+⨯-+=⎪⎨⨯+⨯+⨯+=⎪⎩∴1322a b =⎧⎨=-⎩．故答案是：（1）2k =；（2）1322a b =⎧⎨=-⎩【点睛】本题考查了代入消元法的应用、解一元一次方程以及解二元一次方程组，熟练掌握各相关知识点是解决问题的关键．14．（1）4x ≥；（2）34x <≤ 【解析】分析: （1）首先去括号,然后移项、合并同类项、系数化成1即可求解；（2）首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组组的解集. 详解: (1) ()()104321x x --≤- 去括号10-4x+12≤2x -2 移项-4x-2x≤-2-10-12 合并-6x≤-24 系数化为1得4x ≥ 在数轴上表示为：（2） ()3201213x x xx ①②⎧--<⎪⎨+≥-⎪⎩解：解不等式①得x≤1， 解不等式②得x ＜4， 在数轴上表示为：所以不等式组的解集为x≤1.点睛: 本题考查了不等式组的解法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示.15．（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析；（4）2. 【解析】 【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A′B′C′即可； （2）画出AB 边上的中线CD 即可；（3）过点A 向BC 的延长线作垂线，垂足为点E 即可；（4）过点B 作BF ∥AC ，直线BF 与格点的交点即为所求，还有AC 下方的一个点． 【详解】（1）如图，△A′B′C′即为所求；（2）如图，线段CD即为所求；（3）如图，线段AE即为所求；（4）如图，共有2个格点．故答案为：2．【点睛】本题考查的是作图-平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．16．（1）；（2）标准间房价每日每间不能超过450元．【解析】【分析】（1）结合旅游总共开支了13668元，以及他们四个人在北京的住宿费刚好等于表中所示其他三项费用之和分别得出等式，列出方程组，解得答案即可；（2）结合他们往返都坐飞机（成人票五五折），求出总费用，进而求出答案.【详解】（1）往返高铁费：（524×3+524÷2）×2=3668元依题意列方程组：解得：；（2）往返交通费：524×3+524÷2+1240×0.55×3+1240÷2=45004500+5000+2000+1080+1920=14500＞14000，不够；设预定的房间房价每天a元则4500+2000+1080+1920+10a≤14000，解得a≤450，答：标准间房价每日每间不能超过450元．点睛：本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，能正确地根据题意找出等量关系、不等关系，从而列出方程组、不等式是解题的关键.17．两直线平行，内错角相等如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行∠EPM∠MPF∠EPF+∠PFD=∠PEB【解析】【分析】（1）根据对顶角相等可得∠BEF的度数，根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出结论；（2）①过点P作MN∥AB，根据平行线的性质得∠EPM=∠PEB，且有MN∥CD，所以∠MPF=∠PFD，然后利用等式性质易得∠EPF=∠PEB+∠PFD．②③的解题方法与①一样，分别过点P作MN∥AB，然后利用平行线的性质得到三个角之间的关系．【详解】（1）∵∠1=120°，∴∠BEF=120°，又∵∠2=60°，∴∠2+∠BEF=180°，∴AB∥CD；（2）①如图2，过点P作MN∥AB，则∠EPM=∠PEB（两直线平行，内错角相等）．∵AB∥CD（已知），MN∥AB（作图），∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．∴∠MPF=∠PFD，∴∠EPM+∠FPM=∠PEB+∠PFD（等式的性质），即∠EPF=∠PEB+∠PFD，故答案为两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；∠EPM，∠MPF；②∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°；证明：如图3，过作PM∥AB，∵AB∥CD，MP∥AB，∴MP∥CD，∴∠BEP+∠EPM=180°，∠DFP+∠FPM=180°，∴∠BEP+∠EPM+∠FPM+∠PFD=360°，即∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°；③∠EPF+∠PFD=∠PEB ．理由：如图4，过作PM ∥AB ，∵AB ∥CD ，MP ∥AB ，∴MP ∥CD ，∴∠PEB=∠MPE ，∠PFD=∠MPF ，∵∠EPF+∠FPM=∠MPE ，∴∠EPF+∠PFD=∠PEB ．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．18．（1）见解析，AE ∥BC ，见解析；（2）①成立，见解析；②x=45°或135°时，AE ⊥BC ．【解析】【分析】(1)根据已知条件得到∠CBD=90°，根据全等三角形的判定定理得到Rt △BDC ≌Rt △ADE ，由全等三角形的性质得到∠A=∠CBD=90°，即可得到结论；(2)①根据三角形外角的性质得∠C=∠ADE ，根据全等三角形的判定定理即可得到△BDC ≌△AED ；②如图2，延长EA 交BC 于F ，根据全等三角形的性质得到∠DBC=∠EAD 然后根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；如图3时，同理得到∠ABC=135°，由此即可得答案.【详解】(1)AE ∥BC ，理由：∵∠CDE=∠ABC=90°，∴∠CBD=90°，在Rt △BDC 与Rt △AED 中，AD BC DE DC=⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDC ≌Rt △AED ，∴∠A=∠CBD=90°，∴∠A=∠ABC=90°，∴AE ∥BC ；(2)①成立，∵∠CDE=∠ABC=x °，∴∠C+∠CDB=∠ADE+∠CDB=x °，∴∠C=∠ADE ，在△BDC 与△AED 中，BC AD C ADE DC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDC ≌△AED ；②如图2，延长EA 交BC 于F ，∵△BDC ≌△AED ，∴∠DBC=∠EAD ，∴∠FAB=∠ABF ，∴当AE ⊥BC 时，即∠AFB=90°，∴∠FAB+∠ABF=90°，∴∠ABC=45°，如图3，同理得到∠ABC=135°，∴当x=45或135°时，AE ⊥BC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，等腰直角三角形的性质熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．19．-2＜x≤1，非负整数解为：0，1【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出答案即可．【详解】()214?21123xx x⎧+≤⎪⎨--⎪⎩①＜②解不等式①，得x≤1．解不等式②，得x＞-2．所以不等式组的解集为：-2＜x≤1．所以不等式组的非负整数解为：0，1 ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键．20．见解析.【解析】【分析】利用轴对称的性质设计出图案即可．【详解】如图．【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．21．（1）AD∥BC；（2）BC平分∠DBE【解析】【分析】（1）利用平行线的判定（2）利用平行线的性质【详解】（1）AD∥BC∵∠CDH+∠EBG=1800，∠CDH+∠CDB=1800∴∠CDB=∠EBG∴AE∥FC∴∠DAE+∠ADC=1800又∵∠DAE=∠BCF∴∠BCF+∠ADC=1800∴AD ∥BC（2）BC 平分∠DBE理由：由（1）知：∵AD ∥BC∴∠FDA=∠C ， ∠BDA=∠CBD又∵AE ∥FC∴∠CBE=∠C又∵DA 平分∠BDF∴∠FDA=∠BDA∴∠CBD=∠CBE∴BC 平分∠DBE【点睛】（1）判定平行线的方法包括1、同位角相等，两直线平行2、内错角相等，两直线平行3、同旁内角互补，两直线平行．（2）平行线的性质1、两平行直线被第三条直线所截，同位角相等；2、两平行直线被第三条直线所截，内错角相等；3、两平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补．22．（1）50；（2）0.1；（3）30，60%.【解析】【分析】（1）各部分人数相加即可得到总人数；（2）根据频数分布直方图中的横轴即可求出组距；（3）找出跳高成绩在1.34m （含1.34m ）有多少人，求出所占的百分比即可．【详解】(1)根据题意得：8+12+18+12=50(人)，则参加测试的总人数是50人；(2)18人组的组边界值分别为1.34与1.44，则组距为1.44−1.34=0.1；(3)跳高成绩在1.34m 以上的有18+12=30人，约占总人数的3050 =60%. 【点睛】此题考查频数（率）分布直方图，解题关键在于看懂图中数据23．（1）见解析；（2）DCB ∠=12α. 【解析】【分析】（1）想办法证明∠ADB=∠DBC 即可推出AD ∥BC ；（2）利用平行线的性质，三角形的内角和定理即可解决问题．【详解】（1）证明：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD∵∠ABD=∠ADB ，∴∠ADB=∠DBC ，∴AD ∥BC ．（2）解：∵AD ∥BC ，且∠BAD=α，∴∠ABC=180°-α， 11DBC ABC 9022α︒∴∠=∠=-， ∵BD ⊥CD ，∴∠BDC=90°，1DCB 90902α︒︒⎛⎫∴∠=-- ⎪⎝⎭ =12α.【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．32，132． 【解析】【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及结合幂的乘方运算法则化简求出答案．【详解】解：∵x a =2，x b =4，∴x 3a+b =（x a ）3×x b=23×4=32；x a-3b =x a ÷（x b ）3=2÷64=132． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则，熟悉掌握是关键.25． (1) -2 ; (2)26x <≤【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）12cos603-+-- =113222+-=- （2）由①解得x>2;由②解得6x ≤；所以不等式组35151812x x ->⎧⎨-≤⎩①②的解为26x <≤ 考点：数的运算及解不等式组 点评：本题考数的运算及解不等式组；数的运算较简单，记住即可，解本题的关键是会利用不等式的解法求出不等式组的解26．（1）4y =-；（2）23x -≤<【解析】【分析】（1）通过观察可知，利用加减消元法先消去y 求得x ，再代入①式解出y 即可得解；（2）根据不等式的性质解出每个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集即可．【详解】解：（1）313527x y x y -=⎧⎨+=⎩①② 将①2⨯得：6226x y -=③②+③得：1133x =3x =将3x =代入①得4y =-∴34x y =⎧⎨=-⎩（2）2312136x x x x -<⎧⎪⎨+-≤⎪⎩①②由①得：3x <由②得：6212x x -≤+36x ≥-2x ≥-∴不等式组的解集为23x -≤<．故答案是：（1）4y =-；（2）23x -≤<【点睛】本题主要考查用消元法将二元方程转化为一元一次方程解二元一次方程组、利用不等式基本性质解一元一次不等式以及利用数轴确定不等式组的解集．27． (1)121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ;(2)1<x<1.【解析】【分析】（1）把①×2+②，消去y ，求出x 的值，再把求得的x 的值代入②求出y 的值即可；（2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，然后求出这两个不等式解集的公共部分即可.【详解】(1)解：①×2+②得到x=，把x=代入②得到y=1，∴．（2）由①得到x ＞1，由②得到x ＜1，∴1＜x ＜1．【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的解法，熟练掌握二元一次方程组和一元一次不等式组的解题步骤是解答本题的关键.28．112x -≤＜. 【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】 436,4x 73.2x x x -≥-⎧⎪⎨--⎪⎩①＞② 解不等式①，得x 1≥-. 解不等式②，得1x 2＜. ∴原不等式组的解集为11x 2-≤＜.【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.29．∠ACB ；同位角相等，两直线平行；∠ACD ；∠ACD ；CD ；两直线平行，同位角相等.【解析】【分析】根据垂直于同一直线的两条直线平行，证出DG∥AC，再根据DG∥AC，∠1＝∠2，证出∠1＝∠ACD，所以EF∥CD，因此∠AEF＝∠ADC=90°，即CD⊥AB.【详解】解：CD⊥AB∵DG⊥BC,BC⊥AC(已知）∴∠DGB＝∠_ACB__＝90°(垂直定义)∴DG∥AC,(同位角相等，两直线平行_____)∴∠2＝∠ACD__.（两直线平行，内错角相等)∵∠1＝∠2(已知）∴∠1＝∠ACD_(等量代换）∴EF∥__CD__(同位角相等，两直线平行)∴∠AEF＝∠ADC,(_两直线平行，同位角相等__)。

一、解答题1．对于平面直角坐标系xOy 中的图形G 和图形G 上的任意点P （x ，y ），给出如下定义： 将点P （x ，y ）平移到P '（x +t ，y ﹣t ）称为将点P 进行“t 型平移”，点P '称为将点P 进行“t 型平移”的对应点；将图形G 上的所有点进行“t 型平移”称为将图形G 进行“t 型平移”．例如，将点P （x ，y ）平移到P '（x +1，y ﹣1）称为将点P 进行“l 型平移”，将点P （x ，y ）平移到P '（x ﹣1，y +1）称为将点P 进行“﹣l 型平移”．已知点A （2，1）和点B （4，1）．（1）将点A （2，1）进行“l 型平移”后的对应点A '的坐标为 ．（2）①将线段AB 进行“﹣l 型平移”后得到线段A 'B '，点P 1（1.5，2），P 2（2，3），P 3（3，0）中，在线段A ′B ′上的点是 ．②若线段AB 进行“t 型平移”后与坐标轴有公共点，则t 的取值范围是 ．（3）已知点C （6，1），D （8，﹣1），点M 是线段CD 上的一个动点，将点B 进行“t 型平移”后得到的对应点为B '，当t 的取值范围是 时，B 'M 的最小值保持不变．解析：（1）（3，0）；（2）①P 1；②42-≤≤-t 或1t =；（3）13t ≤≤【分析】（1）根据“l 型平移”的定义解决问题即可．（2）①画出线段A 1B 1即可判断．②根据定义求出t 最大值，最小值即可判断．（3）如图2中，观察图象可知，当B ′在线段B ′B ″上时，B 'M 的最小值保持不变，最小值为2．【详解】（1）将点A （2，1）进行“l 型平移”后的对应点A '的坐标为（3，0），故答案为：（3，0）；（2）①如图1中，观察图象可知，将线段AB 进行“﹣l 型平移”后得到线段A 'B '，点P 1（1.5，2），P 2（2，3），P 3（3，0）中，在线段A ′B ′上的点是P 1，故答案为：P1；②若线段AB进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是﹣4≤t≤﹣2或t=1．故答案为：﹣4≤t≤﹣2或t=1．（3）如图2中，观察图象可知，当B′在线段B′B″上时，B'M的最小值保持不变，最小值为2，此时1≤t≤3．故答案为：1≤t≤3．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，“t型平移”的定义等知识，解题的关键理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考创新题型．2．已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．（1）如图1，求证：HG⊥HE；（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数．解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）40°【分析】（1）根据平行线的性质和判定解答即可；（2）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可；（3）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可．【详解】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠FED，∵∠AGH＝∠FED，∴∠AFE＝∠AGH，∴EF∥GH，∴∠FEH+∠H＝180°，∵FE⊥HE，∴∠FEH＝90°，∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，∴HG⊥HE；（2）过点M作MQ∥AB，∵AB∥CD，∴MQ∥CD，过点H作HP∥AB，∵AB∥CD，∴HP∥CD，∵GM平分∠HGB，∠BGH，∴∠BGM＝∠HGM＝12∵EM平分∠HED，∴∠HEM ＝∠DEM ＝12∠HED ，∵MQ ∥AB ，∴∠BGM ＝∠GMQ ，∵MQ ∥CD ，∴∠QME ＝∠MED ，∴∠GME ＝∠GMQ +∠QME ＝∠BGM +∠MED ，∵HP ∥AB ，∴∠BGH ＝∠GHP ＝2∠BGM ，∵HP ∥CD ，∴∠PHE ＝∠HED ＝2∠MED ，∴∠GHE ＝∠GHP +∠PHE ＝2∠BGM +2∠MED ＝2（∠BGM +∠MED ），∴∠GHE ＝∠2GME ；（3）过点M 作MQ ∥AB ，过点H 作HP ∥AB ，由∠KFE ：∠MGH ＝13：5，设∠KFE ＝13x ，∠MGH ＝5x ，由（2）可知：∠BGH ＝2∠MGH ＝10x ，∵∠AFE +∠BFE ＝180°，∴∠AFE ＝180°﹣10x ，∵FK 平分∠AFE ，∴∠AFK ＝∠KFE ＝12 ∠AFE ， 即1(18010)132x x ︒-=， 解得：x ＝5°，∴∠BGH ＝10x ＝50°，∵HP ∥AB ，HP ∥CD ，∴∠BGH ＝∠GHP ＝50°，∠PHE ＝∠HED ，∵∠GHE ＝90°，∴∠PHE ＝∠GHE ﹣∠GHP ＝90°﹣50°＝40°，∴∠HED ＝40°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理以及灵活构造平行线是解题的关键．3．如图1，点E 在直线AB 、DC 之间，且180DEB ABE CDE ∠+∠-∠=︒．（1）求证：//AB DC ；（2）若点F 是直线BA 上的一点，且BEF BFE ∠=∠，EG 平分DEB ∠交直线AB 于点G ，若20D ∠=︒，求FEG ∠的度数；（3）如图3，点N 是直线AB 、DC 外一点，且满足14CDM CDE ∠=∠，14ABN ABE ∠=∠，ND 与BE 交于点M ．已知()012CDM αα∠=︒<<︒，且//BN DE ，则NMB ∠的度数为______（请直接写出答案，用含α的式子表示）．解析：（1）见解析；（2）10°；（3）18015α︒-【分析】（1）过点E 作EF ∥CD ，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，得出,CDE DEF ∠=∠结合已知条件180DEB ABE CDE ∠+∠-∠=︒，得出180,FEB ABE ∠+∠=︒即可证明；（2）过点E 作HE ∥CD ，设,,GEF x FEB EFB y ∠=∠=∠= 由（1）得AB ∥CD ，则AB ∥CD ∥HE ，由平行线的性质，得出20,DEF D EFB y ∠=∠+∠=︒+再由EG 平分DEB ∠，得出,DEG GEB GEF FEB x y ∠=∠=∠+∠=+则2DEF DEG GEF x y ∠=∠+∠=+，则可列出关于x 和y 的方程，即可求得x ，即GEF ∠的度数；（3）过点N 作NP ∥CD ，过点M 作QM ∥CD ，由（1）得AB ∥CD ，则NP ∥CD ∥AB ∥QM ，根据14CDM CDE ∠=∠和CDM α∠=，得出3,MDE α∠=根据CD ∥PN ∥QM ,DE ∥NB ,得出,PND CDM DMQ α∠=∠=∠=3,EDM BNM α∠=∠=即4,BNP α∠=根据NP ∥AB ，得出4,PNB ABN α∠=∠=再由14ABN ABE ∠=∠，得出16,ABM α∠=由AB ∥QM ,得出18016,QMB α∠=︒-因为NMB NMQ QMB ∠=∠+∠，代入α的式子即可求出BMN ∠．【详解】（1）过点E 作EF ∥CD ，如图，∵EF ∥CD ,∴,CDE DEF ∠=∠∴,DEB CDE DEB DEF FEB ∠-∠=∠-∠=∠∵180DEB ABE CDE ∠+∠-∠=︒,∴180,FEB ABE ∠+∠=︒∴EF ∥AB ，∴CD ∥AB ；（2）过点E 作HE ∥CD ，如图，设,,GEF x FEB EFB y ∠=∠=∠=由（1）得AB ∥CD ，则AB ∥CD ∥HE ，∴20,,D DEH HEF EFB y ∠=∠=︒∠=∠=∴20,DEF DEH HEF D EFB y ∠=∠+∠=∠+∠=︒+又∵EG 平分DEB ∠，∴,DEG GEB GEF FEB x y ∠=∠=∠+∠=+∴2,DEF DEG GEF x y x x y ∠=∠+∠=++=+即220,x y y +=︒+解得：10,x =︒即10GEF ∠=︒；（3）过点N 作NP ∥CD ，过点M 作QM ∥CD ，如图，由（1）得AB ∥CD ，则NP ∥CD ∥AB ∥QM ，∵NP ∥CD ，CD ∥QM ，,CDM α∠=∴PND CDM DMQ α∠=∠=∠=,又∵14CDM CDE ∠=∠， ∴33,MDE CDM α∠=∠=∵//BN DE ,∴3,MDE BNM α∠=∠=∴34,PNB PND BNM ααα∠=∠+∠=+=又∵PN ∥AB ，∴4,PNB NBA α∠=∠= ∵14ABN ABE ∠=∠,∴44416,ABM ABN αα∠=∠=⨯=又∵AB ∥QM ，∴180,ABM QMB ∠+∠=︒∴18018016,QMB ABM α∠=︒-∠=︒-∴1801618015NMB NMQ QMB ααα∠=∠+∠=+︒-=-．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解决问题的关键是作平行线构造相等的角，利用两直线平行，内错角相等，同位角相等来计算和推导角之间的关系．4．阅读下面材料：小亮同学遇到这样一个问题：已知：如图甲，AB //CD ，E 为AB ，CD 之间一点，连接BE ，DE ，得到∠BED ．求证：∠BED ＝∠B +∠D ．（1）小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整．证明：过点E 作EF //AB ，则有∠BEF ＝ ．∵AB //CD ，∴ // ，∴∠FED ＝ ．∴∠BED ＝∠BEF +∠FED ＝∠B +∠D ．（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，已知：直线a //b ，点A ，B 在直线a 上，点C ，D 在直线b 上，连接AD ，BC ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，且BE ，DE 所在的直线交于点E ．①如图1，当点B 在点A 的左侧时，若∠ABC ＝60°，∠ADC ＝70°，求∠BED 的度数； ②如图2，当点B 在点A 的右侧时，设∠ABC ＝α，∠ADC ＝β，请你求出∠BED 的度数（用含有α，β的式子表示）．解析：（1）∠B ，EF ，CD ，∠D ；（2）①65°；②180°﹣1122a β+ 【分析】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；（2）①如图1，过点E 作EF ∥AB ，当点B 在点A 的左侧时，根据∠ABC ＝60°，∠ADC ＝70°，参考小亮思考问题的方法即可求∠BED 的度数；②如图2，过点E 作EF ∥AB ，当点B 在点A 的右侧时，∠ABC ＝α，∠ADC ＝β，参考小亮思考问题的方法即可求出∠BED 的度数．【详解】解：（1）过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D；故答案为：∠B；EF；CD；∠D；（2）①如图1，过点E作EF∥AB，有∠BEF＝∠EBA．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠EDC．∴∠BEF+∠FED＝∠EBA+∠EDC．即∠BED＝∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA＝12∠ABC＝30°，∠EDC＝12∠ADC＝35°，∴∠BED＝∠EBA+∠EDC＝65°．答：∠BED的度数为65°；②如图2，过点E作EF∥AB，有∠BEF+∠EBA＝180°．∴∠BEF＝180°﹣∠EBA，∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠EDC．∴∠BEF+∠FED＝180°﹣∠EBA+∠EDC．即∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA＝12∠ABC＝12α，∠EDC＝12∠ADC＝12β，∴∠BED ＝180°﹣∠EBA +∠EDC ＝180°﹣1122a β+． 答：∠BED 的度数为180°﹣1122a β+． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质． 5．问题情境：如图1，AB ∥CD ，∠PAB ＝130°，∠PCD ＝120°．求∠APC 的度数．小明的思路是：过P 作PE ∥AB ，通过平行线性质，可得∠APC ＝∠APE +∠CPE ＝50°+60°＝110°．问题解决：（1）如图2，AB ∥CD ，直线l 分别与AB 、CD 交于点M 、N ，点P 在直线I 上运动，当点P 在线段MN 上运动时（不与点M 、N 重合），∠PAB ＝α，∠PCD ＝β，判断∠APC 、α、β之间的数量关系并说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P 在线段MN 或NM 的延长线上运动时．请直接写出∠APC 、α、B 之间的数量关系；（3）如图3，AB ∥CD ，点P 是AB 、CD 之间的一点（点P 在点A 、C 右侧），连接PA 、PC ，∠BAP 和∠DCP 的平分线交于点Q ．若∠APC ＝116°，请结合（2）中的规律，求∠AQC 的度数．解析：（1）∠APC =α+β，理由见解析；（2）∠APC =α-β或∠APC =β-α；（3）58°【分析】（1）过点P 作PE ∥AB ，根据平行线的判定与性质即可求解；（2）分点P 在线段MN 或NM 的延长线上运动两种情况，根据平行线的判定与性质及角的和差即可求解；（3）过点P ，Q 分别作PE ∥AB ，QF ∥AB ，根据平行线的判定与性质及角的和差即可求解．【详解】解：（1）如图2，过点P 作PE ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE=α，∠CPE=β，∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β．（2）如图，在（1）的条件下，如果点P在线段MN的延长线上运动时，∵AB∥CD，∠PAB=α，∴∠1=∠PAB=α，∵∠1=∠APC+∠PCD，∠PCD=β，∴α=∠APC+β，∴∠APC=α-β；如图，在（1）的条件下，如果点P在线段NM的延长线上运动时，∵AB∥CD，∠PCD=β，∴∠2=∠PCD=β，∵∠2=∠PAB+∠APC，∠PAB=α，∴β=α+∠APC，∴∠APC=β-α；（3）如图3，过点P，Q分别作PE∥AB，QF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥QF∥PE∥CD，∴∠BAP=∠APE，∠PCD=∠EPC，∵∠APC=116°，∴∠BAP+∠PCD=116°，∵AQ平分∠BAP，CQ平分∠PCD，∴∠BAQ=12∠BAP，∠DCQ=12∠PCD，∴∠BAQ+∠DCQ=12（∠BAP+∠PCD）=58°，∵AB∥QF∥CD，∴∠BAQ=∠AQF，∠DCQ=∠CQF，∴∠AQF+∠CQF=∠BAQ+∠DCQ=58°，∴∠AQC=58°．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线将两条平行线相关的角联系到一起是解题的关键．6．点A，C，E在直线l上，点B不在直线l上，把线段AB沿直线l向右平移得到线段CD．（1）如图1，若点E在线段AC上，求证：∠B+∠D=∠BED；（2）若点E不在线段AC上，试猜想并证明∠B，∠D，∠BED之间的等量关系；（3）在（1）的条件下，如图2所示，过点B作PB//ED，在直线BP，ED之间有点M，使得∠ABE=∠EBM，∠CDE=∠EDM，同时点F使得∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，其中n≥1，设∠BMD=m，利用（1)中的结论求∠BFD的度数（用含m，n的代数式表示）．解析：（1）见解析；（2）当点E在CA的延长线上时，∠BED=∠D-∠B；当点E在AC的延长线上时，∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D；（3）()12m nn-【分析】（1）如图1中，过点E作ET∥A B．利用平行线的性质解决问题．（2）分两种情形：如图2-1中，当点E在CA的延长线上时，如图2-2中，当点E在AC的延长线上时，构造平行线，利用平行线的性质求解即可．（3）利用（1）中结论，可得∠BMD=∠ABM+∠CDM，∠BFD=∠ABF+∠CDF，由此解决问题即可．【详解】解：（1）证明：如图1中，过点E作ET∥A B．由平移可得AB∥CD，∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠BET+∠DET=∠B+∠D．（2）如图2-1中，当点E在CA的延长线上时，过点E作ET∥A B．∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠DET-∠BET=∠D-∠B．如图2-2中，当点E在AC的延长线上时，过点E作ET∥A B．∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D．（3）如图，设∠ABE=∠EBM=x，∠CDE=∠EDM=y，∵AB∥CD，∴∠BMD=∠ABM+∠CDM，∴m =2x +2y ，∴x +y =12m ， ∵∠BFD =∠ABF +∠CDF ，∠ABE =n ∠EBF ，∠CDE =n ∠EDF ，∴∠BFD =()111n n n x y x y n n n ---+=+=112n m n -⨯=()12m n n -． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会条件常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．7．已知直线AB //CD ，点P 、Q 分别在AB 、CD 上，如图所示，射线PB 按逆时针方向以每秒12°的速度旋转至PA 便立即回转，并不断往返旋转；射线QC 按逆时针方向每秒3°旋转至QD 停止，此时射线PB 也停止旋转．（1）若射线PB 、QC 同时开始旋转，当旋转时间10秒时，PB '与QC '的位置关系为 ； （2）若射线QC 先转15秒，射线PB 才开始转动，当射线PB 旋转的时间为多少秒时，PB ′//QC ′．解析：（1）PB ′⊥QC ′；（2）当射线PB 旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB ′∥QC ′【分析】（1）求出旋转10秒时，∠BPB ′和∠CQC ′的度数，设PB ′与QC ′交于O ，过O 作OE ∥AB ，根据平行线的性质求得∠POE 和∠QOE 的度数，进而得结论；（2）分三种情况：①当0＜t ≤15时，②当15＜t ≤30时，③当30＜t ＜45时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出t 的方程便可求得旋转时间．【详解】解：（1）如图1，当旋转时间30秒时，由已知得∠BPB ′＝10°×12＝120°，∠CQC ′＝3°×10=30°，过O 作OE ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥OE ∥CD ，∴∠POE ＝180°﹣∠BPB ′＝60°，∠QOE ＝∠CQC ′＝30°，∴∠POQ ＝90°，∴PB ′⊥QC ′，故答案为：PB ′⊥QC ′；（2）①当0＜t≤15时，如图，则∠BPB′＝12t°，∠CQC′＝45°+3t°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，即12t＝45+3t，解得，t＝5；②当15＜t≤30时，如图，则∠APB′＝12t﹣180°，∠CQC'＝3t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠BEQ＝∠CQC′，即12t﹣180＝45+3t，解得，t＝25；③当30＜t≤45时，如图，则∠BPB′＝12t﹣360°，∠CQC′＝3t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠BEQ＝∠CQC′，即12t﹣360＝45+3t，解得，t＝45；综上，当射线PB旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB′∥QC′．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．8．如图1在平面直角坐标系中，大正方形OABC的边长为m厘米，小正方形ODEF的边长为n厘米，且|m﹣4|+2n-＝0．（1）求点B、点D的坐标．（2）起始状态如图1所示，将大正方形固定不动，小正方形以1厘米/秒的速度沿x轴向右平移，如图2．设平移的时间为t秒，在平移过程中两个正方形重叠部分的面积为S平方厘米．①当t＝1.5时，S＝平方厘米；②在2≤t≤4这段时间内，小正方形的一条对角线扫过的图形的面积为平方厘米；③在小正方形平移过程中，若S＝2，则小正方形平移的时间t为秒．（3）将大正方形固定不动，小正方形从图1中起始状态沿x轴向右平移，在平移过程中，连接AD，过D点作DM⊥AD交直线BC于M，∠DAx的角平分线所在直线和∠CMD的角平分线所在直线交于N（不考虑N点与A点重合的情形），求∠ANM的大小并说明理由．B D；（2）①3，②4，③1或5；（3）45︒，理由见解析解析：（1）(4,4),(0,2)【分析】（1）由非负性的性质以及算数平方根的性质可得出,m n 的值，可答案可求出； （2）①1.5秒时，小正方形向右移动1.5厘米，即可计算出重叠部分的面积； ②画出图形，计算所得图形面积即可；③小正方形的高不变，根据面积即可求出小正方形平移的距离和时间；（3）过D 作//DQ x 轴，过N 作NP //x 轴，设CMG DMG y ∠=∠=，则,2PNM NMB y MDQ CMD y ∠=∠=∠=∠=，得出902ADQ OAD y ∠=∠=︒-，得出902DAx y ∠=︒+，得出1452NAx DAx y PNA ∠=∠=︒+=∠， 45ANM PNA PNM ∠=∠-∠=︒．【详解】解（1）()2420m n -+--=， 2,4n m ∴==，(4,4),(0,2)B D ∴；（2）①当 1.5t =秒时，小正方形向右移动1.5厘米，2 1.53S ∴=⨯=（平方厘米）；②如图1所示，小正方形的一条对角线扫过的面积为红色平行四边形，面积为：224⨯=（平方厘米）；③如图2，小正方形平移距离为415+=（厘米），∴小正方形平移的距离为1厘米或5厘米，1t ∴=或5t =，综上所述，小正方形平移的时间为1或5秒；（3）如图3，过D 作//DQ x 轴，过N 作NP //x 轴，MN 平分CMD ∠,设CMG DMG y ∠=∠=，则,2PNM NMB y MDQ CMD y ∠=∠=∠=∠=，DM AD ⊥，902ADQ OAD y ∴∠=∠=︒-，180180(902)902DAx AOD y y ∴∠=︒-∠=︒-︒-=︒+， AN 平分DAx ∠， 1452NAx DAx y PNA ∴∠=∠=︒+=∠， 4545ANM PNA PNM y y ∴∠=∠-∠=︒+-=︒．【点睛】本题考查了非负数的性质、坐标与图形的性质、平移的性质、平行线的性质、角平分线的性质、解题的关键是熟练掌握平行线的性质及平移的性质．9．如图，已知()0,A a ，(),0B b ，且满足|4|60a b -++=.（1）求A 、B 两点的坐标；（2）点(),C m n 在线段AB 上，m 、n 满足5n m -=，点D 在y 轴负半轴上，连CD 交x 轴的负半轴于点M ，且MBC MOD S S ∆∆=，求点D 的坐标；（3）平移直线AB ，交x 轴正半轴于E ，交y 轴于F ，P 为直线EF 上第三象限内的点，过P 作PG x ⊥轴于G ，若20PAB A ∆=，且12GE =，求点P 的坐标.解析：（1）(0,4)A ，0()6,B -； （2）4(0,)D -；（3）()8,8P --【解析】【分析】（1）利用非负数的性质即可解决问题；（2）利用三角形面积求法，由ABO ACO BCO S S S ∆∆∆=+列方程组，求出点C 坐标，进而由△ACD 面积求出D 点坐标.（3）由平行线间距离相等得到20PAB EAB S S ∆∆==，继而求出E 点坐标，同理求出F 点坐标，再由GE=12求出G 点坐标，根据PGE OEF GPFO S S S ∆∆=+梯形求出PG 的长即可求P 点坐标.【详解】解：（1）40a -≥ 60b +≥， ∴460a b -++=，40a ∴-=，60b +=，4a ∴=，6b =-，()0,4A ∴，()6,0B -，（2）由BCM DOM S S ∆∆=∴ABO DOM S S ∆∆=，ABO ACD S S ∆∆∴=，1122ABO S AO BO ∆=⨯⨯=， 如图1，连CO ，作CE y ⊥轴，CF x ⊥轴，ABO ACO BCO S S S ∆∆∆=+，即()11641222m m ⨯⨯+⨯⨯-= 53212n m n m -=⎧∴⎨-=⎩， 32m n =-⎧∴⎨=⎩， ()3,2C ∴-，而12ACD S CE AD ∆=⨯⨯， ()134122OD =⨯⨯+=， 4OD ∴=，()0,4D ∴-，（3）如图2：∵EF ∥AB ，∴20PAB EAB S S ∆∆==，∴1202AO BE ⨯=，即()4640OE ⨯+=， 4OE ∴=，()4,0E ∴，12GE =，8GO ∴=，()8,0G ∴-，20ABF PBA S S ∆∆==，()11642022ABF S BO AF OF ∆∴=⨯⨯=⨯⨯+=， 83OF ∴=， 80,3F ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭， PGE OEF GPFO S S S ∆∆=+梯形，11818128422323PG PG ⎛⎫∴⨯⨯=⨯+⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭， 8PG ∴=，()8,8P ∴--，【点睛】本题考查的是二元一次方程的应用、三角形的面积公式、坐标与图形的性质、平移的性质，灵活运用分情况讨论思想、掌握平移规律是解题的关键．10．如图，在平面直角坐标系中，点()26A ，，()4,3B ，将线段AB 进行平移，使点A 刚好落在x 轴的负半轴上，点B 刚好落在y 轴的负半轴上，A ，B 的对应点分别为A '，B '，连接AA '交y 轴于点C ，BB '交x 轴于点D ．（1）线段A B ''可以由线段AB 经过怎样的平移得到？并写出A '，B '的坐标； （2）求四边形AA BB ''的面积；（3）P 为y 轴上的一动点（不与点C 重合），请探究PCA '∠与A DB ''∠的数量关系，给出结论并说明理由．解析：（1）向左平移4个单位，再向下平移6个单位，(2,0)A '-，(0,3)B '-；（2）24；（3）见解析【分析】（1）利用平移变换的性质解决问题即可．（2）利用分割法确定四边形的面积即可．（3）分两种情形：点P 在点C 的上方，点P 在点C 的下方，分别求解即可．【详解】解：（1）点(2,6)A ，(4,3)B ， 又将线段AB 进行平移，使点A 刚好落在x 轴的负半轴上，点B 刚好落在y 轴的负半轴上，∴线段A B ''是由线段AB 向左平移4个单位，再向下平移6个单位得到，(2,0)A ，(0,3)B '-．（2）11692232642422ABB A S ''=⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=四边形．（3）连接AD ．(4,3)B ，(0,3)B '-，BB ∴'的中点坐标为(2,0)在x 轴上， (2,0)D ∴．)6(2,A ，//AD y ∴轴，同法可证(0,3)C ，OC OB ∴='，AO CB '⊥'，AC A B ∴'=''，同法可证，B A B D ''='，A DB DA B ∴∠'=∠''，ACBA B C ∠''=∠''， 当点P 在点C 的下方时，180PCA ACB ∠'+∠''=︒，90A B C DA B ∠''+∠''=︒，90180PCA A DB ∴∠'+︒-∠''=︒，'''90PCA A DB ∴∠-∠=︒，当点P 在点C 的上方时，'''90PCA A DB ∠+∠=︒．【点睛】本题考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是理解题意，学会有分割法求四边形的面积，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型．11．我们定义，关于同一个未知数的不等式A 和B ，若A 的解都是B 的解，则称A 与B 存在“雅含”关系，且A 不等式称为B 不等式的“子式”．如:0A x <，:1B x <，满足A 的解都是B 的解，所以A 与B 存在“雅含”关系，A 是B 的“子式”．（1）若关于x 的不等式:21A x +>，:3B x >，请问A 与B 是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”； （2）已知关于x 的不等式11:23x a C -+<，():233D x x --<，若C 与D 存在“雅含”关系，且C 是D 的“子式”，求a 的取值范围； （3）已知2m n k +=，3m n -=，12m ≥，1n <-，且k 为整数，关于x 的不等式:64P kx x +>+，():62142Q x x -≤+，请分析是否存在k ，使得P 与Q 存在“雅含”关系，且Q 是P 的“子式”，若存在，请求出k 的值，若不存在，请说明理由． 解析：（1）A 与B 存在“雅含”关系，B 是A 的“子式”；（2）12a ≤；（3）存在，0k =． 【分析】（1）根据“雅含”关系的定义即可判断；（2）先求出C D ，解集，根据“雅含”关系的定义得出2423a +≤，解不等式即可； （3）首先解关于m n ，的方程组即可求得m n ，的值，然后根据12m ≥，1n <-，且k 为整数即可得到一个关于k 的范围，从而求得k 的整数值． 【详解】解：（1）不等式A ：x +2＞1的解集为1x >-，∵:3B x >∴A 与B 存在“雅含”关系，B 是A 的“子式”； （2）不等式:C 1123x a -+<，解得：253a x +<， 不等式D ：()233x x --<，解得：2x <， ∵C 与D 存在“雅含”关系，且C 是D 的“子式”， ∴2523a +≤，解得：12a ≤，（3）存在；由23m n k m n +=⎧⎨-=⎩解得：3363k m k n +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ∵12m ≥，1n <-，即：3132613k k +⎧≥⎪⎪⎨-⎪<-⎪⎩，解得：332k -≤<，∵k 为整数，∴k 的值为10,1,2-，， 解不等式:64P kx x +>+得：()12k x ->-， 解不等式():62142Q x x -≤+得：1x ≤， ∵P 与Q 存在“雅含”关系，且Q 是P 的“子式”， ∴不等式:64P kx x +>+的解集为：21x k -<-， ∴10k -<，且211k ->-， 解得：11k -<<， ∴0k =． 【点睛】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小无解．12．题目：满足方程组3512332x y k x y k +=+⎧⎨+=-⎩的x 与y 的值的和是2，求k 的值．按照常规方法，顺着题目思路解关于x ，y 的二元一次方程组，分别求出xy 的值（含有字母k ），再由x ＋y ＝2，构造关于k 的方程求解，从而得出k 值．（1）某数学兴趣小组对本题的解法又进行了探究利用整体思想，对于方程组中每个方程变形得到“x ＋y ”这个整体，或者对方程组的两个方程进行加减变形得到“x ＋y ”整体值，从而求出k 值请你运用这种整体思想的方法，完成题目的解答过程． （2）小勇同学的解答是：观察方程①，令3x ＝k ，5y ＝1解得y ＝15，3x ＋y ＝2，∴x ＝95∴k ＝3×95＝275把x ＝95，y ＝15代入方程②得k ＝﹣35所以k 的值为275或﹣35． 请诊断分析并评价“小勇同学的解答”．解析：（1）35；（2）“小勇同学的解答”错误，诊断分析和评价见解析【分析】（1）由两种方法分别得出2=5-5k ，求解即可；（2）从二元一次方程的解和二元一次方程组的解的概念进行诊断分析，再从创新的角度进行评价即可． 【详解】解：（1）方法一：②×2得：4x +6y =6-4k ③， 由③-①得：x +y =5-5k ， ∵x +y =2， ∴2=5-5k ，解得：k =35，方法二：由①-②得：x +2y =3k -2③， 由②-③得：x +y =5-5k ， ∵x +y =2， ∴2=5-5k ，解得：k =35；（2）“小勇同学的解答”错误，理由如下：∵令3x =k ，5y =1，求出的x 、y 的值只是方程①的一个解，而方程①有无数个解，根据方程组的解的概念，仅有方程①或方程②的某一个解中的x 、y 求出的k 值不一定适合方程组中的另一个方程；只有当方程①、②取公共解时，k 和x 、y 之间对应的数量关系才能成立，这时，求得的k =35才是正确答案；另一方面，小勇的解答虽然错误，但他的思维给我们有创新的感觉，也让我们巩固加深了对方程组解的概念的连接，同时启发我们平时在学习中，要善于多角度去探索问题，寻求新颖的解题方法． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的解、一元一次方程的解法以及整体思想的应用等知识；熟练掌握二元一次方程组的解法，由整体思想得出2=5-5k 是解题的关键．13．如图，//CD EF ，AE 是CAB ∠的平分线，α∠和β∠的度数满足方程组2250(1)3100(2)αβαβ∠+∠=︒⎧⎨∠-∠=︒⎩，（1）求α∠和β∠的度数； （2）求证：//AB CD . （3）求C ∠的度数.解析：（1）α∠和β∠的度数分别为70︒和110︒；（2）见解析；（3）40C ∠=︒ 【分析】根据2250(1)3100(2)αβαβ∠+∠=︒⎧⎨∠-∠=︒⎩，解二元一次方程组，求出α∠和β∠的度数；根据平行线判定定理，判定//AB CD ；由“AE 是CAB ∠的平分线”：2CAB α∴∠=∠，再根据平行线判定定理，求出C ∠的度数. 【详解】解：（1）①+②，得5350α∠=︒，70α∴∠=︒，代入①得110β∠=︒α∴∠和β∠的度数分别为70︒和110︒.（2）180αβ∠+∠=︒//AB EF ∴//CD EF ，//AB CD ∴（3）AE ∵是CAB ∠的平分线2140CAB α∴∠=∠=︒//AB CD ，180C CAB ∴∠+∠=︒ 40C ∴∠=︒【点睛】本题运用二元一次方程组给出已知条件，熟练掌握二元一次方程组的解法以及平行线相关定理是解题的关键.14．甲从A地出发步行到B地，乙同时从B地步行出发至A地，2小时后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小时．若设甲刚出发时的速度为a千米/小时，乙刚出发的速度为b千米/小时．（1）A、B两地的距离可以表示为千米（用含a，b的代数式表示）；（2）甲从A到B所用的时间是：小时（用含a，b的代数式表示）；乙从B到A所用的时间是：小时（用含a，b的代数式表示）．（3）若当甲到达B地后立刻按原路向A返行，当乙到达A地后也立刻按原路向B地返行．甲乙二人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇，请问AB两地的距离为多少？解析：（1）2（a+b）；（2）（2+21ba+）；（2+21ab+）；（3）36.【分析】（1）根据两地间的距离=两人的速度之和×第一次相遇所需时间，即可得出结论；（2）利用时间=路程÷速度结合2小时后第一次相遇，即可得出结论；（3）设AB两地的距离为S千米，根据路程=速度×时间，即可得出关于（a+b），S的二元一次方程组（此处将a+b当成一个整体），解之即可得出结论．【详解】（1）A、B两地的距离可以表示为2（a+b）千米．故答案为：2（a+b）．（2）甲乙相遇时，甲已经走了2a千米，乙已经走了2b千米，根据相遇后他们的速度都提高了1千米/小时，得甲还需21ba+小时到达B地，乙还需21ab+小时到达A地，所以甲从A到B所用的时间为（2+21ba+）小时，乙从B到A所用的时间为（2+21ab+）小时．故答案为：（2+21ba+）；（2+21ab+）．（3）设AB两地的距离为S千米，3小时36分钟＝185小时．依题意，得：2()182(11)5S a bS a b=+⎧⎪⎨=+++⎪⎩，令x＝a+b，则原方程变形为2182(2)5S xS x=⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：1836xS=⎧⎨=⎩．答：AB两地的距离为36千米．【点睛】本题考查了列代数式以及二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．15．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想．（1）解方程组321327x y x y -=-⎧⎨+=⎩，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 ；（2）如何解方程组()()()()3523135237m n m n ⎧+-+=-⎪⎨+++=⎪⎩呢？我们可以把m +5，n +3看成一个整体，设m +5＝x ，n +3＝y ，很快可以求出原方程组的解为 ； （3）由此请你解决下列问题：若关于m ，n 的方程组722am bn m bn +=⎧⎨-=-⎩与351m n am bn +=⎧⎨-=-⎩有相同的解，求a 、b 的值．解析：（1）12x y =⎧⎨=⎩；（2）41m n =-⎧⎨=-⎩；（3）a ＝3，b ＝2．【分析】（1）利用加减消元法，可以求得；（2）利用换元法，设m+5=x ，n+3=y ，则方程组化为（1）中的方程组，可求得x ，y 的值进一步可求出原方程组的解；（3）把am 和bn 当成一个整体利用已知条件可求出am 和bn ，再把bn 代入2m-bn=-2中求出m 的值，然后把m 的值代入3m+n=5可求出n 的值，继而可求出a 、b 的值． 【详解】解：（1）两个方程相加得66x =， ∴1x =，把1x =代入321x y -=-得2y =，∴方程组的解为：12x y =⎧⎨=⎩；故答案是：12x y =⎧⎨=⎩；（2）设m +5＝x ，n +3＝y ，则原方程组可化为321327x y x y -=-⎧⎨+=⎩，由（1）可得：12x y =⎧⎨=⎩，∴m+5＝1，n+3＝2， ∴m ＝-4，n ＝-1，∴41m n =-⎧⎨=-⎩， 故答案是：41m n =-⎧⎨=-⎩；(3)由方程组722am bn m bn +=⎧⎨-=-⎩与351m n am bn +=⎧⎨-=-⎩有相同的解可得方程组71am bn am bn +=⎧⎨-=-⎩，解得34am bn =⎧⎨=⎩，把bn ＝4代入方程2m ﹣bn ＝﹣2得2m ＝2， 解得m ＝1，再把m ＝1代入3m +n ＝5得3+n ＝5， 解得n ＝2，把m ＝1代入am ＝3得：a ＝3， 把n ＝2代入bn ＝4得：b ＝2， 所以a ＝3，b ＝2． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，重点是考查整体思想及换元法的应用，解题的关键是理解好整体思想．16．一个四位正整数，若其千位上与百位上的数字之和等于十位上与个位上的数字之和，都等于k ，那么称这个四位正整数为“k 类诚勤数”，例如：2534，因为25347+=+=，所以2534 是“7类诚勤数”．（1）请判断7441和5436是否为“诚勤数”并说明理由；（2）若一个四位正整数A 为“5类诚勤数”且能被13整除，请求出的所有可能取值． 解析：（1）7441不是“诚勤数”； 5463是“诚勤数”；（2）满足条件的A 为：2314或5005或3250． 【分析】（1）直接利用定义进行验证，即可得到答案；（2）由题意，设这个四位数的十位数是a ，千位数是b ，则个位数为（5-a ），百位数为（5-b ），然后根据13的倍数关系，以及“5类诚勤数”的定义，利用分类讨论的进行分析，即可得到答案． 【详解】解：（1）在7441中，7+4=11，4+1=5， ∵11≠5，∴7441不是“诚勤数”； 在5436中， ∵5+4=6+3=9， ∴5463是“诚勤数”；（2）根据题意，设这个四位数的十位数是a ，千位数是b ，则个位数为（5-a ），百位数为（5-b ），且05a ≤≤，15b ≤≤， ∴这个四位数为：1000100(5)10(5)9009505b b a a b a +-++-=++，∵90013693=⨯，505133811=⨯，∴9009505(13693)9133811b a b a ++=⨯+++⨯+ 13(6938)3911b b a =⨯++++，∵这个四位数是13的倍数，∴3911b a ++必须是13的倍数； ∵05a ≤≤，15b ≤≤，∴39b a +在5a b ==时，取到最大值60， ∴39b a +可以为：2、15、28、41、54， ∵393(3)b a b a +=+，则39b a +是3的倍数， ∴3915b a +=或3954b a +=， ∴35b a +=或318b a +=； ①当35b a +=时，53ba -=， ∵15b ≤≤，且a 为非负整数， ∴50b -=或53b -=， ∴5b =或2b =， 若5b =，则0a =， 此时90095055005b a ++=； 若2b =，则1a =， 此时90095052314b a ++=； ②当318b a +=时，183ba -=， ∵15b ≤≤，且a 为非负整数， ∴18b -是3的倍数，且131817b ≤-≤， ∴1815b -=， ∴3b =，则5a =， ∴90095053250b a ++=；综合上述，满足条件的A 为：2314或5005或3250． 【点睛】本题考查了二元一次方程，新定义的运算法则，解题的关键是熟练掌握题意，正确列出二元一次方程，结合新定义，利用分类讨论的思想进行解题． 17．阅读材料：如果x 是一个有理数，我们把不超过x 的最大整数记作[x ] ． 例如，[3.2]=3，[5]=5，[－2.1]=－3． 那么，x =[x ]+a ，其中0≤a ＜1．例如，3.2=[3.2]+0.2，5=[5]+0，－2.1=[－2.1]+0.9． 请你解决下列问题： （1）[4.8]= ，[－6.5]= ；（2）如果[x ]=3，那么x 的取值范围是 ； （3）如果[5x －2]=3x +1，那么x 的值是 ；（4）如果x =[x ]+a ，其中0≤a ＜1，且4a = [x ]+1，求x 的值．解析：（1）4，﹣7；（2）3≤x ＜4；（3）53；（4）1-或14或32或114【分析】（1）根据题目中的定义，[x ]表示不超过x 的最大整数，求出结果即可； （2）根据定义，x 是大于等于3小于4的数；（3）由[]5231x x -=+得到315232x x x +≤-<+，求出x 的取值范围，再由31x +是整数即可得到x 的值；（4）由[]x x a =+和[]41a x =+得51x a =-，设[]41x a k =-=是整数，即可求出k 的取值范围，然后分类讨论求出x 的值即可． 【详解】解：（1）∵不超过4.8的最大整数是4， ∴[]4.84=，∵不超过 6.5-的最大整数是7-， ∴[]6.57-=- 故答案是：4，7-； （2）∵[]3x =，∴x 是大于等于3小于4的数，即34x ≤<； （3）∵[]5231x x -=+，∴315232x x x +≤-<+，解得322x ≤<，∵31x +是整数， ∴53x =；（4）∵[]x x a =+， ∴[]x x a =-， ∵[]41a x =+，∴41a x a =-+，即51x a =-， ∵[]41x a k =-=（k 是整数）， ∴14k a +=， ∵01a ≤<， ∴1014k +≤<，解得13k -≤<， 当1k =-时，0a =，1x =-， 当0k =时，14a =，14x =， 当1k =时，12a =，32x =， 当2k =时，34a =，114x =， 综上：x 的值为1-或14或32或114．【点睛】本题考查新定义问题，不等式组的运用，解题的关键是理解题目中[]x 的意义，列出不等式组进行求解．18．某地葡萄丰收，准备将已经采摘下来的11400公斤葡萄运送杭州，现有甲、乙、丙三种车型共选择，每辆车运载能力和运费如表表示（假设每辆车均满载）辆？（2）为了节省运费，现打算用甲、乙、丙三种车型都参与运送，已知它们的总辆数为15辆，你能分别求出这三种车型的辆数吗？怎样安排运费最省？解析：（1）甲3辆，乙12辆；（2）有三种方案，具体见解析，甲4辆，乙9辆，丙2辆最省钱． 【分析】（1）设需要甲x 辆，乙y 辆，根据运送11400公斤和需运费8700元，可列出方程组求解．（2）设需要甲x 辆，乙y 辆，则丙（15﹣x ﹣y ）辆，根据甲汽车运载量+乙汽车运载量+丙汽车运载量=11400，列方程，化简后，根据甲、乙、丙三种车型都参与运送，即x ＞0，y ＞0，15﹣x ﹣y ＞0，解不等式即可求出x 的范围，进而得出方案．计算出每种方案需要的运费，比较即可得出运费最省的方案． 【详解】（1）设需要甲x 辆，乙y 辆，根据题意得：600800114005006008700x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：312x y =⎧⎨=⎩．答：甲3辆，乙12辆；（2）设需要甲x 辆，乙y 辆，则丙（15﹣x ﹣y ）辆，根据题意得： 600x +800y +900（15﹣x ﹣y ）=11400 化简得：y =21﹣3x ．∵x ＞0，y =21﹣3x ＞0，15﹣x ﹣y =2x －6＞0，解得：3＜x ＜7．∵x 为整数，∴x =4，5，6． 因此方案有三种：方案①：甲4辆，乙9辆，丙2辆； 方案②：甲5辆，乙6辆，丙4辆； 方案③：甲6辆，乙3辆，丙6辆；。