二体问题

第三章 两体问题教学目的和基本要求：正确理解两体问题的物理意义，掌握将两体问题化为单粒子问题的方法；能够运用有效势分析并熟练掌握单粒子在中心势场中的运动规律，了解中心势场中粒子运动轨道的稳定性、弹性碰撞、散射截面等物理规律和概念。

教学重点：在理解两体问题意义的基础上，熟练掌握单粒子在中心势场中的运动规律。

教学难点：在中心势场中单粒子的运动规律的分析讨论。

§3.1 两体问题化为单粒子问题一：两体问题：1.定义：两个相互作用着的粒子所组成的力学体系的力学问题为两体问题，可分为三类。

2.分类：两体问题可分为三类。

（1）束缚态问题：两体之间保持有限的距离。

入电子绕原子核运动，行星绕太阳运动。

（2）散射或碰撞问题：两粒子从无穷远处逐渐接近，经过短暂的相互作用后各自改变运动状态后相互分离至无穷远处。

（3）俘获或衰变问题：作用前后粒子数从2变为1或从1变为2。

二：两体问题的处理方法1.一般过程：两体问题中粒子的运动可分为随质心的运动和两粒子相对于质心的运动。

每个粒子的绝对运动可看成是两种运动的合成。

2.将两体问题分解为质心的运动和单粒子的运动：○1分解过程：首先约定用)z ,y ,x (r表示两粒子间相对位置矢量，用)z ,y ,x (r 0000 表示粒子在惯性系中位置，如图3.1所示。

r ,r ,r 0201中的位矢和相对位矢。

则有：20222011r m 21r m 21T +=（1.1），V )r (V V c 0)e ( +=（1.4），)r (V c 0)e ( 是两粒子处在外场中的势能，仅与c 0r )r (V )i (是两粒子相互作用的势能，仅与0201r r r -= （1.3）有关。

因两粒子的自由度为6，可取c 0r 、r为广义坐标，则有：r m m m r r 212c 001 ++=，r m m m r r 211c 002+-= （1.5）。

将两式代入动能T 的表达式后再代入拉格朗日函数L=T-V ，化简后可得：21)i (2r c 0)e (2C 021L L )r (V r m 21)r (V r )m m (21L +=-+-+= （1.6） 其中2121rm m m m m +=，称为折合质量；)()(210)(20211c e C r V r m m L -+=， （1.7） )(21)(22r V r m L i r -= （1.8）○2结论：从21L L L +=可看出，两体问题中两粒子的运动可分解为反映质心运动的)r ,r (L c0C 01 及反映两粒子间相对运动的)r ,r (L 2 两个相互独立的部分。

二体问题与行星的运动轨迹在天文学中，二体问题是指两个物体之间的相互作用。

这两个物体可以是恒星、行星、卫星等。

而行星的运动轨迹是由二体问题所决定的。

二体问题最早由牛顿在17世纪提出。

他的万有引力定律为我们解决了二体问题提供了基础。

根据牛顿的定律，两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。

这个引力的方向始终指向两个物体之间的连线上。

当我们考虑一个行星绕着太阳运动时，可以将太阳看作是一个质量非常大的物体，而行星则是一个质量相对较小的物体。

根据牛顿的定律，太阳对行星的引力将使其绕太阳运动。

行星的运动轨迹可以是椭圆、抛物线或者双曲线。

这取决于行星的初始速度。

如果行星的初始速度足够大，它将离开太阳，形成一个双曲线轨道。

如果初始速度恰好等于逃逸速度，行星将运动到无穷远处，形成一个抛物线轨道。

而如果初始速度小于逃逸速度，行星将绕太阳运动，并形成一个椭圆轨道。

椭圆轨道是最常见的行星轨道。

地球绕太阳运动的轨道就是一个椭圆。

椭圆轨道有两个焦点，太阳位于其中一个焦点上。

行星在椭圆轨道上运动时，距离太阳的距离是不断变化的。

当行星离太阳较远时，它的速度较慢；当行星离太阳较近时，它的速度较快。

这就是著名的开普勒第二定律，也被称为面积定律。

根据这个定律，行星在相同时间内扫过的面积是相等的。

另一个重要的定律是开普勒第一定律，也被称为椭圆定律。

根据这个定律，行星的轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。

这就解释了为什么行星绕太阳运动而不是绕其他物体运动。

除了椭圆轨道，行星也可以有其他类型的轨道。

例如，哈雷彗星的轨道是一个椭圆，但它的轨道非常扁平，接近于一个抛物线。

这意味着哈雷彗星只会经过太阳一次，然后再离开太阳系。

总的来说，二体问题和行星的运动轨迹是天文学中非常重要的研究课题。

通过研究二体问题，我们可以了解行星的运动规律，揭示宇宙中的奥秘。

而行星的运动轨迹也是天文学家们观测和研究行星的重要依据。

通过观测行星的轨道，我们可以了解行星的运动速度、轨道周期等信息，进一步研究行星的性质和演化过程。

二体问题运动的六个轨道参数
在二体问题中，六个轨道参数被用来描述物体的运动轨迹。

这六个参数包括：半长轴、偏心率、倾角、真近点角、升交点赤经和近心点幅角。

1. 半长轴（Semi-major axis）：这是椭圆轨道的一半长度，用于描述轨道的大小。

2. 偏心率（Eccentricity）：这是一个衡量轨道形状的参数，值为0表示完美的圆形轨道，值越大，椭圆形状越明显。

3. 倾角（Inclination）：这是指从地球中心到椭圆平面的夹角，也就是轨道面与地球赤道面的夹角。

4. 真近点角（True anomaly）：这是描述天体在轨道上位置的一个参数，可理解为从某一特定起始点开始沿着轨道移动的角度。

5. 升交点赤经（Ascending node longitude）：这是连接地心与升交点的直线与黄道的夹角。

6. 近心点幅角（Perigee argument）：这是连接地心与近心点的直线与黄道的夹角。

在这六个参数中，只有真近点角可以用来描述特定时刻行星在轨道上的位置，已知时间求位置或者已知位置求时间就需要用到开普勒方程。

二体问题解法
二体问题是指研究两个物体在引力作用下的运动问题。

其解法可以分为几个步骤：
1. 确定问题的初始条件：包括两个物体的质量、位置和速度等信息。

2. 应用牛顿定律：根据牛顿第二定律F = ma，计算每个物体
受到的引力和惯性力。

3. 计算引力：根据万有引力定律F = G * (m1 * m2) / r^2，计算两个物体之间的引力。

4. 分析力的方向：根据引力的方向和两个物体之间的距离，确定每个物体受到的引力的方向。

5. 计算加速度：利用牛顿第二定律F = ma，计算每个物体的
加速度。

6. 计算速度和位置：利用加速度和初始条件，通过积分计算每个物体的速度和位置随时间的变化。

7. 分析运动轨迹：根据速度和位置的变化，分析两个物体的运动轨迹。

8. 进一步讨论：根据具体的问题，进一步讨论两个物体的碰撞、合并或者分离等情况。

以上是解决二体问题的一般步骤，具体的问题可能还需要根据实际情况进行适当的调整和计算。

一．两体问题，质量约化1．两体问题中的拉格朗日函数体系的动能：221012021122T m r m r=+质心坐标：10120212ocm r m rrm m+=+相对坐标：0102r r r=-体系的势能：()()()()e iocV V r V r =+两个粒子6个自由度，取;ocr r为广义坐标，拉格朗日函数：其中：约化质量上式中()11,oc ocL L r r=是关于质心的拉格朗日函数，()22,L L r r=是两个粒子间相对运动的拉格朗日函数。

rm为约化质量（折合质量）。

0oc r =， 拉格朗日函数：2()()21()()2e i oc mr V r V r mr U++=+2m 时，1010212;oc ocm r r rr r r m m m =≈=-≈）角动量守恒，等面积定律：在有心立场中，角动量J r P =⨯守恒，运动中，位矢r 与角动量J 始终垂直，质点始终在垂直J 德平面上运动，选取极坐标，拉格朗日函数为：()()2221r r U r θ+-为循环变量，对应的广义动量：2L mr θθ= ()r t ，经过∆()r t t +∆，该过程2P mθθ=()r t 扫过的面积为常数！即在有心力场中，位置矢经在相同时间内扫过的面等面积定律。

)222()r r V r θ++=2L mr θθ=代入上式：222222111()()222P E mr mr V r mr V r const mrθθ=++=++=r，类似于一维运动的情况，其中：：22mr2θθ转动的坐标运动的分类：等效势能()effV r随r的变化有两种，一种是单调下降的（能量0E>），另一种如图：（1）r→∞时，()0;()0effV r V r→→（2）0r→时，()V r可能趋于正无穷（相斥）也可能趋于负无穷（相吸）假定，即使两质点相吸，使得()V r趋于负无穷，但是也不能和离心势能相抵消，也就是说，假定吸引力不是太强，因而，当0r→时，()V r的绝对值仍然这一条件限制了质点的运动区域。

关于二体问题经相对论修正后的解释
二体问题是物理学中描述两个物体之间的相互作用的一个经典问题。

在相对论的帮助下，它得以有效地解释。

根据相对论，空间时间是不独立的，而是相互结合在一起的，受到物体的质量和运动影响，因此，两个物体之间的相互作用也会受到这些影响。

通过相对论修正后，二体问题的解释主要集中在两方面：一是引入新的力学参数——引力波，使得两个物体之间的相互作用可以有效地描述；二是将物体的质量和运动影响考虑在内，从而改变一般相对论的力学表达式，使得在多物体情况下可以更准确地计算力度和作用范围。