Abaqus材料用户子程序UMAT基础知识及手册例子全面解释

ABAQUS/Standard 用户材料子程序实例－Johnson-Cook 金属本构模型卢剑锋 庄茁* 张帆清华大学工程力学系 北京 100084摘要：用户材料子程序是ABAQUS 提供给用户定义自己的材料属性的Fortran 程序接口，使用户能使用ABAQUS 材料库中没有定义的材料模型。

ABAQUS 中自有的Johnson-Cook 模型只能应用于显式ABAQUS/Explicit 程序中，而我们希望能在隐式ABAQUS/Standard 程序中更精确的实现本构积分，而且应用Johnson-Cook 模型的修正形式。

这就需要通过ABAQUS/Standard 的用户材料子程序UMAT 编程实现。

在UMAT 编程中使用了率相关塑性理论以及完全隐式的应力更新算法。

1 Johnson-Cook 强化模型简介Johnson-Cook （JC ）模型用来模拟高应变率下的金属材料。

JC 强化模型表示为三项的乘积，分别反映了应变硬化，应变率硬化和温度软化。

这里使用JC 模型的修正形式：()()*01ln 11n m A B C T εσεε =+++−&& 并使参考应变率01ε=&，这样公式中的A 即为材料的静态屈服应力。

公式中包含,,,,A B n C m 五个参数，需要通过实验来确定。

2 ABAQUS 用户材料子程序用户材料子程序（User-defined Material Mechanical Behavior ，简称UMAT ）通过与ABAQUS 主求解程序的接口实现与ABAQUS 的数据交流。

在输入文件中，使用关键字“*USER MATERIAL”表示定义用户材料属性。

子程序概况与接口UMAT 子程序具有强大的功能，使用UMAT 子程序：(1) 可以定义材料的本构关系，使用ABAQUS 材料库中没有包含的材料进行计算，扩充程序功能。

(2)几乎可以用于力学行为分析的任何分析过程，几乎可以把用户材料属性赋予ABAQUS中的任何单元；(3)必须在UMAT中提供材料本构模型的雅可比（Jacobian）矩阵，即应力增量对应变增量的变化率。

19 ABAQUS用户材料子程序(UMAT)虽然ABAQUS为用户提供了大量的单元库和求解模型，使用户能够利用这些模型处理绝大多数的问题；但是现实世界毕竟十分复杂，ABAQUS不可能把所有可能出现的问题都包含进去。

所以ABAQUS提供了大量的用户子程序（User Subroutine）。

用户子程序允许用户在找不到合适模型的情况下自行定义符合自己问题的模型。

这些用户子程序涵盖了建模从载荷到单元的几乎各个部分。

ABAQUS为用户提供的这个接口，允许用户通过自定义的子程序定制ABAQUS，以实现特定的功能。

用户子程序具有以下的功能和特点：（1）如果ABAQUS的一些固有选项模型功能有限；用户子程序可以提高ABAQUS中这些选项的功能；（2）通常用户子程序是用FORTRAN语言的代码写成；（3）它可以以几种不同的方式包含在模型中；（4）由于它们没有存储在restart文件中，如果需要的话，可以在重新开始运行时修改它；（5）在某些情况下它可以利用ABAQUS允许的已有程序。

要在模型中包含用户子程序，可以利用ABAQUS执行程序，在abaqus执行程序中应用user选项指明包含这些子程序的FORTRAN源程序或者目标程序的名字。

提示：ABAQUS的输入文件除了可以通过ABAQUS/CAE的作业模块中提交运行外，还可以在ABAQUS Command窗口中输入ABAQUS执行程序直接运行：ABAQUS job=输入文件名 user=用户子程序的Fortran文件名ABAQUS/Standard和ABAQUS/Explicit都支持用户子程序功能，但是他们所支持的用户子程序种类不尽相同，读者在需要使用时请注意查询手册。

在接下来的最后两章里，我们将讨论两种常用的用户子程序——用户材料子程序和用户单元子程序。

本章将通过在ABAQUS/Standard中创建Johnson-Cook的材料模型，对编写Standard 的用户材料子程序UMAT进行一个简单介绍。

A B A Q U S子程序U M A T的应用This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020目录摘要ABAQUS软件功能强大，特别是能够模拟复杂的非线性问题，它包括了多种材料本构关系及失效准则模型，并具有良好的开放性，提供了若干个用户子程序接口，允许用户以代码的形式来扩展主程序的功能。

本文主要研究了ABAQUS用户子程序UMAT的开发方法，采用FORTRAN语言编制了各向同性硬化材料模型的接口程序，研究该类材料的弹塑性本构关系极其实现方法。

本文紧紧围绕UMAT的二次开发技术，首先对其接口原理做了详细介绍，然后针对非线性有限元增量理论中的常刚度法和切线刚度法的算法理论做了深入的剖析，推导出了常刚度法和切线刚度法的算法理论的具体表达式，然后分别编制了两种算法的UMAT程序，最后建立了一个具体的验算模型，通过与ABAQUS自带弹塑性本构关系的计算结果相比较，验证两者的正确性。

本文还对常刚度法和切线刚度法得算法效率做了对比，得出了在非线性程度较高时切线刚度法效率高于常刚度法的结论。

关键字： ABAQUS、UMAT、有限元、材料非线性、FORTRAN、切线刚度ABSTRACTABAQUS software powerful, especially to simulate complex non-linear problem, which includes a wide range of material constitutive model and failure criteria, and has a good open, providing a number of user subroutine interface that allows users to code form to expand the functions of the main program.This paper studies the user subroutine UMAT of ABAQUS development methods, the use of FORTRAN language isotropic hardening material model of the interface program, studied the effects of such material is extremely elastic-plastic constitutive relation method.This article UMAT tightly around the secondary development of technology, the first principle of its interface detail, and then for the theory of nonlinear finite element incremental stiffness of the regular tangent stiffness method and the theory of algorithms to do an in-depth analysis of deduced a regular tangent stiffness and rigidity of the law of the specific expression of algorithm theory, and then the preparation of the two algorithms, respectively, of the UMAT program, and finally the establishment of a specific model checking, bringing with ABAQUS elasto-plastic constitutive relation of the calculated results compared to verify the correctness of the two.This article also often stiffness and tangent stiffness method was to do a comparison of algorithm efficiency is obtained when a higher degreein the non-linear tangent stiffness method more efficient than the conclusions of law often stiffness.KEY WORDS：ABAQUS、UMAT、Finite element、Material nonlinearity、FORTRAN、Tangent stiffness1.绪论1.1.课题的研究背景有限单元法基本思想的提出，可以追溯到克劳夫在1943年的工作[1]，他第一次尝试应用定义在三角形区域上的分片连续函数和最小位能原理相结合，来求解St. Venant扭转问题。

目录摘要 .......................................................................................................................................... ABSTRACT ...............................................................................................................................1.绪论 .....................................................................................................................................1.1.课题的研究背景.......................................................................................................1.2.本文的研究内容和方法...........................................................................................2.基于ABAQUS软件的二次开发.......................................................................................2.1.ABAQUS介绍 .........................................................................................................2.2.ABAQUS各模块简介 .............................................................................................2.3.ABAQUS的二次开发平台......................................................................................2.4.ABAQUS的二次开发语言......................................................................................3.用户材料子程序UMAT.....................................................................................................3.1.UMAT开发环境设置 ..............................................................................................3.2.UMAT注意事项 ......................................................................................................3.3.UMAT接口的原理...................................................................................................3.4.UMAT的使用方法...................................................................................................4.材料非线性问题 (14)4.1.材料的弹塑性本构关系...........................................................................................4.2.非线性有限元算法理论...........................................................................................4.3.增量理论常刚度法公式推导............................................... 错误！未指定书签。

各个楼层及内容索引2-------------------------------------什么是UMAT3-------------------------------------UMAT功能简介4-------------------------------------UMAT开始的变量声明5-------------------------------------UMAT中各个变量的详细解释6-------------------------------------关于沙漏和横向剪切刚度7-------------------------------------UMAT流程和参数表格实例展示8-------------------------------------FORTRAN语言中的接口程序Interface9-------------------------------------关于UMAT是否可以用Fortran90编写的问题10-17--------------------------------Fortran77的一些有用的知识简介20-25\30-32-----------------------弹塑性力学相关知识简介34-37--------------------------------用户材料子程序实例JOhn-cook模型压缩包下载38-------------------------------------JOhn-cook模型本构简介图40-------------------------------------用户材料子程序实例JOhn-cook模型完整程序+david详细注解[欢迎大家来看看,并提供意见,完全是自己的diy的,不保证完全正确,希望共同探讨,以便更正,带""部分,还望各位大师\同仁指教]1什么是UMAT1.1UMAT功能简介!!![-摘自庄茁老师的书UMAT子程序具有强大的功能，使用UMAT子程序：(1)可以定义材料的本构关系，使用ABAQUS材料库中没有包含的材料进行计算，扩充程序功能。

abaqus 子程序简单案例1. 案例一：ABAQUS子程序在计算机辅助工程中的应用在计算机辅助工程中，ABAQUS子程序是一种被广泛应用的工具，用于求解各种复杂的物理问题。

它可以在ABAQUS有限元软件中调用，通过编写用户自定义的子程序来实现特定的功能。

下面将介绍一些常见的ABAQUS子程序案例。

2. 案例二：ABAQUS子程序在材料力学中的应用ABAQUS子程序在材料力学中的应用非常广泛。

例如，可以通过自定义的子程序来模拟材料的非线性行为、塑性变形、断裂行为等。

通过在子程序中编写相应的材料本构模型和损伤模型，可以准确地预测材料的力学性能。

3. 案例三：ABAQUS子程序在流体力学中的应用ABAQUS子程序在流体力学中也有重要的应用。

例如，可以通过自定义的子程序来模拟流体的非牛顿性、多相流动、湍流等现象。

通过在子程序中编写相应的流体本构模型和湍流模型，可以准确地模拟流体的流动行为。

4. 案例四：ABAQUS子程序在结构力学中的应用ABAQUS子程序在结构力学中也非常有用。

例如，可以通过自定义的子程序来模拟结构的非线性行为、接触和摩擦、动力响应等。

通过在子程序中编写相应的结构本构模型和接触模型，可以准确地预测结构的力学性能。

5. 案例五：ABAQUS子程序在热传导中的应用ABAQUS子程序在热传导中的应用也非常广泛。

例如，可以通过自定义的子程序来模拟材料的热传导行为、热辐射、相变等。

通过在子程序中编写相应的热传导模型和相变模型，可以准确地预测材料的热学性能。

6. 案例六：ABAQUS子程序在电磁场中的应用ABAQUS子程序在电磁场中的应用也有一定的研究价值。

例如，可以通过自定义的子程序来模拟电磁场的非线性行为、磁饱和、电磁感应等。

通过在子程序中编写相应的电磁场模型和电磁感应模型，可以准确地模拟电磁场的行为。

7. 案例七：ABAQUS子程序在声学中的应用ABAQUS子程序在声学领域中也有一定的应用。

1、为何需要使用用户材料子程序（User-Defined Material, UMAT ）？很简单，当ABAQUS 没有提供我们需要的材料模型时。

所以，在决定自己定义一种新的材料模型之前，最好对ABAQUS 已经提供的模型心中有数，并且尽量使用现有的模型，因为这些模型已经经过详细的验证，并被广泛接受。

UMAT 子程序具有强大的功能，使用UMAT 子程序：(1)可以定义材料的本构关系，使用ABAQUS 材料库中没有包含的材料进行计算，扩充程序功能。

(2) 几乎可以用于力学行为分析的任何分析过程，几乎可以把用户材料属性赋予ABAQU S 中的任何单元。

(3) 必须在UMAT 中提供材料本构模型的雅可比（Jacobian ）矩阵，即应力增量对应变增量的变化率。

(4) 可以和用户子程序“USDFLD ”联合使用，通过“USDFLD ”重新定义单元每一物质点上传递到UMAT 中场变量的数值。

2、需要哪些基础知识？先看一下ABAQUS 手册（ABAQUS Analysis User's Manual ）里的一段话：Warning: The use of this option generally requires considerable expertise(一定的专业知识). The user is cautioned that the implementation （实现） of any realistic constitutive （基本） model requires extensive （广泛的） development and testing. Initial testing on a single eleme nt model with prescribed traction loading （指定拉伸载荷） is strongly recommended. 但这并不意味着非力学专业，或者力学基础知识不很丰富者就只能望洋兴叹，因为我们的任务不是开发一套完整的有限元软件，而只是提供一个描述材料力学性能的本构方程（Constitutive equation ）而已。

ABAQUS用户子程序UMAT的设置在property模块进行。

Creat material→General→User Material，输入Mechanical Constants，即为子程序中需要输入的参数，如下图所示。

Creat material→General→Depvar，在这里面设置状态变量的个数，与子程序中变量STATEV(NSTATEV)有关，如下图所示。

而用户子程序的格式可以通过搜索ABAQUS Documentation，在该文档中可以找到子程序UMAT的书写方法以及相关变量的含义。

SUBROUTINE UMAT(STRESS,STATEV,DDSDDE,SSE,SPD,SCD,1 RPL,DDSDDT,DRPLDE,DRPLDT,2 STRAN,DSTRAN,TIME,DTIME,TEMP,DTEMP,PREDEF,DPRED,CMNAME,3 NDI,NSHR,NTENS,NSTATV,PROPS,NPROPS,COORDS,DROT,PNEWDT,4 CELENT,DFGRD0,DFGRD1,NOEL,NPT,LAYER,KSPT,JSTEP,KINC)CINCLUDE 'ABA_PARAM.INC'CCHARACTER*80 CMNAMEDIMENSION STRESS(NTENS),STATEV(NSTATV),1 DDSDDE(NTENS,NTENS),DDSDDT(NTENS),DRPLDE(NTENS),2 STRAN(NTENS),DSTRAN(NTENS),TIME(2),PREDEF(1),DPRED(1),3 PROPS(NPROPS),COORDS(3),DROT(3,3),DFGRD0(3,3),DFGRD1(3,3),4 JSTEP(4)user coding to define DDSDDE, STRESS, STATEV, SSE, SPD, SCDand, if necessary, RPL, DDSDDT, DRPLDE, DRPLDT, PNEWDTRETURNEND必须在子程序UMAT中提供材料本构的雅可比（Jacobian）矩阵（即变量DDSDDE），即应力增量对应变增量的变化率。

各个楼层及内容索引2-------------------------------------什么是UMAT3-------------------------------------UMAT功能简介4-------------------------------------UMAT开始的变量声明5-------------------------------------UMAT中各个变量的详细解释6-------------------------------------关于沙漏和横向剪切刚度7-------------------------------------UMAT流程和参数表格实例展示8-------------------------------------FORTRAN语言中的接口程序Interface 9-------------------------------------关于UMAT是否可以用Fortran90编写的问题10-17--------------------------------Fortran77的一些有用的知识简介20-25\30-32-----------------------弹塑性力学相关知识简介34-37--------------------------------用户材料子程序实例JOhn-cook模型压缩包下载38-------------------------------------JOhn-cook模型本构简介图40-------------------------------------用户材料子程序实例JOhn-cook模型完整程序+david详细注解[欢迎大家来看看,并提供意见,完全是自己的diy的,不保证完全正确,希望共同探讨,以便更正,带"?"部分,还望各位大师\同仁指教]什么是UMAT程序,真正的定义材料的力学行为即属性,是用户自己编译的FORTRAN 程序来实现的!UMAT通过与ABAQUS主求解程序的接口实现与ABAQUS的数据交流UMAT功能简介[-摘自庄茁老师的书]UMAT子程序具有强大的功能，使用UMAT子程序：(1)可以定义材料的本构关系，使用ABAQUS材料库中没有包含的材料进行计算，扩充程序功能。

一起学习UMATZHANG chunyu1、什么时候用用户定义材料（User-defined material, UMAT ）？很简单，当ABAQUS 没有提供我们需要的材料模型时。

所以，在决定自己定义一种新的材料模型之前，最好对ABAQUS 已经提供的模型心中有数，并且尽量使用现有的模型，因为这些模型已经经过详细的验证，并被广泛接受。

2、好学吗？需要哪些基础知识？先看一下ABAQUS 手册（ABAQUS Analysis User's Manual ）里的一段话： Warning: The use of this option generally requires considerable expertise. The user is cautioned that the implementation of any realistic constitutive model requires extensive development and testing. Initial testing on a single element model with prescribed traction loading is strongly recommended.但这并不意味着非力学专业，或者力学基础知识不很丰富者就只能望洋兴叹，因为我们的任务不是开发一套完整的有限元软件，而只是提供一个描述材料力学性能的本构方程（Constitutive equation ）而已。

当然，最基本的一些概念和知识还是要具备的，比如应力(stress),应变（strain ）及其分量； volumetric part 和deviatoric part ；模量（modulus ）、泊松比(Poisson ’s ratio)、拉美常数(Lame constant)；矩阵的加减乘除甚至求逆；还有一些高等数学知识如积分、微分等。

各个楼层及内容索引2-------------------------------------什么是UMAT3-------------------------------------UMAT功能简介4-------------------------------------UMAT开始的变量声明5-------------------------------------UMAT中各个变量的详细解释6-------------------------------------关于沙漏和横向剪切刚度7-------------------------------------UMAT流程和参数表格实例展示8-------------------------------------FORTRAN语言中的接口程序Interface9-------------------------------------关于UMAT是否可以用Fortran90编写的问题10-17--------------------------------Fortran77的一些有用的知识简介20-25\30-32-----------------------弹塑性力学相关知识简介34-37--------------------------------用户材料子程序实例JOhn-cook模型压缩包下载38-------------------------------------JOhn-cook模型本构简介图40-------------------------------------用户材料子程序实例JOhn-cook模型完整程序+david详细注解[欢迎大家来看看,并提供意见,完全是自己的diy的,不保证完全正确,希望共同探讨,以便更正,带"?"部分,还望各位大师\同仁指教]1 什么是UMAT???1.1 UMAT功能简介!!![-摘自庄茁老师的书UMAT子程序具有强大的功能，使用UMAT子程序：(1)可以定义材料的本构关系，使用ABAQUS材料库中没有包含的材料进行计算，扩充程序功能。

1、为何需要使用用户材料子程序（User-Defined Material, UMAT ）？很简单，当ABAQUS 没有提供我们需要的材料模型时。

所以，在决定自己定义一种新的材料模型之前，最好对ABAQUS 已经提供的模型心中有数，并且尽量使用现有的模型，因为这些模型已经经过详细的验证，并被广泛接受。

UMAT 子程序具有强大的功能，使用UMAT 子程序：(1)可以定义材料的本构关系，使用ABAQUS 材料库中没有包含的材料进行计算，扩充程序功能。

(2) 几乎可以用于力学行为分析的任何分析过程，几乎可以把用户材料属性赋予ABAQU S 中的任何单元。

(3) 必须在UMAT 中提供材料本构模型的雅可比（Jacobian ）矩阵，即应力增量对应变增量的变化率。

(4) 可以和用户子程序“USDFLD ”联合使用，通过“USDFLD ”重新定义单元每一物质点上传递到UMAT 中场变量的数值。

2、需要哪些基础知识？先看一下ABAQUS 手册（ABAQUS Analysis User's Manual ）里的一段话：Warning: The use of this option generally requires considerable expertise(一定的专业知识). The user is cautioned that the implementation （实现） of any realistic constitutive （基本） model requires extensive （广泛的） development and testing. Initial testing on a single eleme nt model with prescribed traction loading （指定拉伸载荷） is strongly recommended. 但这并不意味着非力学专业，或者力学基础知识不很丰富者就只能望洋兴叹，因为我们的任务不是开发一套完整的有限元软件，而只是提供一个描述材料力学性能的本构方程（Constitutive equation ）而已。

21 ABAQUS用户材料子程序(UMAT)虽然ABAQUS为用户提供了大量的单元库和求解模型，使用户能够利用这些模型处理绝大多数的问题；但是实际问题毕竟非常复杂，ABAQUS不可能直接求解所有可能出现的问题。

所以ABAQUS提供了大量的用户自定义子程序（User Subroutine），允许用户在找不到合适模型的情况下自行定义符合自己问题的模型。

这些用户子程序涵盖了建模、载荷到单元的几乎各个部分。

用户子程序具有以下的功能和特点：（1）如果ABAQUS的一些固有选项模型功能有限，用户子程序可以提高ABAQUS中这些选项的功能；（2）通常用户子程序是用FORTRAN语言的代码写成；（3）它可以以几种不同的方式包含在模型中；（4）由于它们没有存储在restart文件中，如果需要的话，可以在重新开始运行时修改它；（5）在某些情况下它可以利用ABAQUS允许的已有程序。

要在模型中包含用户子程序，可以利用ABAQUS执行程序，在执行程序中应用user 选项指明包含这些子程序的FORTRAN源程序或者目标程序的名字。

提示：ABAQUS的输入文件除了可以通过ABAQUS/CAE的作业模块中提交运行外，还可以在ABAQUS Command窗口中输入ABAQUS执行程序直接运行：ABAQUS job=输入文件名 user=用户子程序的Fortran文件名ABAQUS/Standard和ABAQUS/Explicit都支持用户子程序功能，但是他们所支持的用户子程序种类不尽相同，读者在需要使用时请注意查询手册。

在接下来的两章里，我们将讨论两种常用的用户子程序——用户材料子程序和用户单元子程序。

本章将通过在ABAQUS/Standard中创建Johnson-Cook的材料模型，介绍编写ABAQUS/Standard的用户材料子程序UMAT。

在ABAQUS/Explicit中编写用户材料子程序VUMAT与之相似，但是由于隐式和显式两种方法本身的差异，它们之间也有一些不同，请读者在具体使用前仔细查阅ABAQUS手册中的相关内容。

ABAQUS-⼆次开发资料-UMAT各个楼层及内容索引2-------------------------------------什么是UMAT3-------------------------------------UMAT功能简介4-------------------------------------UMAT开始的变量声明5-------------------------------------UMAT中各个变量的详细解释6-------------------------------------关于沙漏和横向剪切刚度7-------------------------------------UMAT流程和参数表格实例展⽰8-------------------------------------FORTRAN语⾔中的接⼝程序Interface9-------------------------------------关于UMAT是否可以⽤Fortran90编写的问题10-17--------------------------------Fortran77的⼀些有⽤的知识简介20-25\30-32-----------------------弹塑性⼒学相关知识简介34-37--------------------------------⽤户材料⼦程序实例JOhn-cook模型压缩包下载38-------------------------------------JOhn-cook模型本构简介图40-------------------------------------⽤户材料⼦程序实例JOhn-cook模型完整程序+david详细注解[欢迎⼤家来看看,并提供意见,完全是⾃⼰的diy的,不保证完全正确,希望共同探讨,以便更正,带"?"部分,还望各位⼤师\同仁指教]1什么是UMAT1.1 UMAT功能简介[-摘⾃庄茁⽼师的书UMAT⼦程序具有强⼤的功能，使⽤UMAT⼦程序：(1)可以定义材料的本构关系，使⽤ABAQUS材料库中没有包含的材料进⾏计算，扩充程序功能。

一起学习UMAT的一些公式注释ZHANG chunyuherrliubs comments in formulas知识积累和储备在进行ABAQUS子程序UMAT的编写前，要弄清楚：ABAQUS调用UMAT子程序流程；要建立的材料模型的本构关系和屈服准则等；UMAT子程序中相关参数、以及矩阵的表达。

主要求解过程：每一个增量步开始，ABAQUS主程序在单元积分点上调用UMAT 子程序，并转入应变增量、时间步长及荷载增量，同时也传入当前已知的状态的应力、应变及其他求解过程相关的变量；UMAT子程序根据本构方程求解应力增量及其他相关的变量，提供Jacobian矩阵给ABAQUS主程序以形成整体刚度矩阵；主程序结合当前荷载增量求解位移增量，继而进行平衡校核；如果不满足指定的误差，ABAQUS将进行迭代直到收敛，然后进行下一增量步的求解。

弹性力学相关知识（基本）仿真论坛（/forum.php ... &highlight=UMAT）ABAQUS二次开发版块这个人帖子结合例子，列出了弹性力学的基本公式。

UMAT变量含义UMAT中可以得到的量增量步开始时刻的，应力（Stress），应变（Strain）, 状态变量（Solution-dependent state variables (SDVs)）增量步开始时刻的，应变增量（Strain increment），转角增量（Rotation increment），变形梯度（Deformation gradient）时间总值及增量（Total and incremental values of time），温度（Temperature），用户定义场变量材料常数，材料点的位置，特征单元长度当前分析步，增量步必须定义的变量应力，状态变量，材料Jacobian矩阵（本构关系）可以定义的变量应变能，塑性耗能，蠕变耗能新建议的时间增量变量分类UMAT中可以直接调用（Call ……）的子程序或子函数SINV（STRESS,SINV1,SINV2,NDI,NSHR）——用于计算应力不变量。