相似三角形应用举例教案

《相似三角形应用举例（1）》教学设计福报学校黄世辉一、教学目标1、进一步巩固相似三角形的判定方法和基本性质.2、能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的高度和宽度等实际问题.3、通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力.二、教学重难点重点：运用三角形相似计算不能直接测量物体的高度和宽度．难点：如何把实际问题抽象为数学问题．三、教学过程（一）知识回顾1、回顾相似三角形的概念及判定方法.2、复习“相似多边形对应角相等、对应边的比相等”性质.（二）提出问题利用三角形的相似，如何解决一些不能直接测量的物体的长度问题？（学生小组讨论）师生归纳：“相似三角形对应边的比相等” 四条对应边中若已知三边则可求第四边.（三）小试牛刀—测量物高1、例题探究：（教材第48页例3）据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．如图1，如果木杆EF 长2 m ，它的影长FD 为3 m ，测得OA 为201m ，求金字塔的高度BO ．（思考如何测出OA 的长？）师生活动：学生小组讨论，师生共同交流，画出示意图，通过观察示意图，使学生建立起相似图形的几何直觉，并能明确表述求OA 的方法中蕴含的数学知识.分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．解：太阳光是平行光线，即B A ∥ED,∴∠BAO =∠EDF.又∠AOB =∠DFE=90°，∴△ABO ∽△DEF. ∴BO OA EF FD=， 20121343OA EF BO FD •⨯===. 因此金字塔的高度为134m.2、换式练习：（教材第50页练习1）在某一时刻，测得一根高为1.8米的竹竿的影长为3米，同时测得一栋高楼的影长为90米，这栋高楼的高度是多少?师生活动：由学生自行画出如图2简图解答，教师巡回观察，并请一个同学上黑板演示，教师点评后强调两点：一是太阳光线平行要同一时刻；二是竹竿放的地方不受限制，包括上面例题亦如此.解：（略）（四）渐入佳境—测量河宽1、例题探究：（教材第49页例4）如图3，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，求河的宽度PQ．师生活动：学生先小组讨论；教师在这一活动中重点关注学生们探究的主动性，特别应关注那些平时学习有一定困难的学生，他们往往在解决实际问题时，显示出创造的能力，这也是树立这些学生自信心的一个契机，然后通过例4进一步完善学生们的想法，让学生体会用数学知识解决实际问题的成就感和快乐．分析：设河宽PQ长为x m ，由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线，故可得到相似三角形，因此有PQ QR PS ST =，即604590x x =+．再解x 的方程可求出河宽．解：(由学生自主完成)∵∠PQR =∠PST=90°,∠P =∠P ，∴△PQ R ∽△PST.∴PQ QR PS ST=， 即PQ QR PQ QS ST =+，604590PQ PQ =+， P Q ×90=(PQ+45)×60.解得 PQ=90.因此河宽大约为90m.2、变式练习：（教材第50页练习2）如图4，测得BD=120m ，DC=60m ，EC=50 m ，求河宽AB.师生活动：学生自主探究；教师巡回观察，因为学校没有多媒体，只能再次请一个同学上黑板演示解题过程.解：（由学生自主完成）∵∠ABD =∠ECD=90°,∠ADB =∠EDC ，∴△AB D ∽△ECD.∴AB BD EC CD =，即1205060AB =， 解得 AB=100.因此河宽AB 大约为100m.（五）备用练习（视时间而定）小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得的树高是多少？（六）课堂小结谈谈你本节课的收获：1、利用三角形的相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题．2、本节课学习了两类测量物体长度的问题：测量物高和测量河宽。

“三部五环”教学模式设计《27.2.2相似三角形的应用举例1》教学设计教材义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》九年级下册第二十七章《相似》第二小节相似三角形的判定第五课时相似三角形的应用举例。

设计理念从学生已有的生活经验和认知基础出发，让学生主动地进行学习。

学生在感知实际问题后，将实际问题转化为数学问题，进一步尝试解决、交流展示，从而培养学生分析、归纳、总结的能力和学生应用相似三角形的判定和性质解决实际问题的能力。

使学生感受数学源于生活又服务于生活，更好地理解数学知识的意义，体现“人人学有价值数学”的新课程理念。

整个教学设计流程突出以学定教，体现“设计问题化，过程活动化，活动练习化，练习要点化，要点目标化，目标课标化”的要求，将教学过程设计为有一定梯次的递进式活动序列。

学情分析教学对象是九年级学生，在学习本节前，学生已经掌握了相似三角形的概念、判定方法及性质；在思维已具备了初步的应用数学的意识；经历了在操作活动中探索性质的过程，获得了初步的数学活动经验和体验，也培养了学生良好的情感态度，具备了一定的主动参与、合作意识和初步的观察、分析、抽象概括的能力，在此基础上通过本节课的学习将进一步综合运用相似三角形的判定方法和性质解决问题的能力，提高学生的数学应用意识，加深对相似三角形的理解与认识。

培养学生在实际问题中建立数学模型的能力，从而提高学生理论联系实际的能力。

在推理论证方面须坚持遵循“特殊——一般——特殊”规律，注重对学生建立数学模型的能力和推理论证的严谨性的培养。

知识分析本节教材选自于人教版九年级下册第二十七章《相似》第二节《相似三角形》，隶属《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）中的“空间与图形”领域。

图形的相似及相似三角形的判定和性质的应用是初中几何中重要的知识，是证明角相等，线段相等和线段成比例常用的解决问题方法。

它是建立在图形的全等和全等三角形、四边形的判定方法和性质及圆的有关知识的基础上学的，是继圆之后的又一章综合性比较强且应用比较广泛的重要章节。

《相似三角形应用举例》教案1★新课标要求一、知识与技能1．了解常见的三角形相似模型．2．会根据具体情景构建恰当的相似模型，解决不能直接测量的物体的测高、河的测宽等问题，培养学生建模能力．3．会用数型结合的方法分析问题，多角度地思考问题，能有条理的表述解题过程．二、过程与方法1．让学生经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力．2．让学生在富有故事性或现实性的数学情景问题中，探究解决问题的方法，培养学生的数学学习兴趣．三、情感、态度与价值观★教学重点将实际问题转化为数学问题，有条理的表述解题过程．★教学难点根据实际情境建立三角形相似模型．★教学方法通过具体实例培养学生的观察﹑归纳﹑建模﹑应用能力，提高分析问题和解决问题的能力．★教学过程一、引入新课一天中午小明和他爸爸在公园里散步，在阳光的照射下地面上留下了两人的影子，小明的身高150cm ，影子长120cm ，他爸爸的影子长144cm ，你能求出他爸爸的身高吗？二、进行新课（一）测高1．利用“同一时刻的两个物体的高与影长”构成相似三角形（ 甲物高乙物高甲物影长乙物影长）． 例1 据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度． 如图，如果木杆EF 长2m ，它的影长FD 为3m ，测得OA 为201m ，求金字塔的高度BO．问：怎样测量OA的长？生2：由平行四边形性质得OH=GK/2，量得GK和HA的长就可得OA的长．学法：师生共同分析，把数字标在图上，应用数形结合的方法分析题意．设计意图：巩固模型1的应用，同时解决了测量OA的长的方法．在分析中采取了数形结合学习方法．2．利用“标杆在测量中的作用”构成相似三角形．例2一位同学想利用电线杆影子测电线杆高，他在BE上取一点C，立2m长的标杆DC垂直BE，这时电线杆影子的顶端正好与标杆DC的影子的顶端重合于点E．他量得DC 的影长CE为1.8m，BC长为7.2m，他求得电线杆高是多少米?学法：教师问你还有测量旗杆高度的方法吗？先由学生设计测量方案，共同归纳相似模型2，然后出示例2，应用相似模型2解题．设计意图：应用模型2解决问题，在学生设计测量方案的过程中，提炼相似模型2，培养解决实际问题的能力和建模能力．3．利用平面镜构造相似三角形例3小强用以下方法来测量教学楼AB的高度．如图所示，在水平地面上放一面平面镜与教学楼的距离EA=20m，当他与镜子的距离CE=2.5m时，他刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B，已知她眼睛距地面的高度DC=1.6m．请你帮助小玲计算出教学楼的高度AB 为多少米?学法：先设置问题，你还有什么方法测量旗杆的高度？由学生设计测量方案，共同归纳相似模型3，然后出示例3，应用相似模型3解题．设计意图：在学生设计测量方案的过程中提炼相似模型3，进一步培养解决实际问题的能力和建模能力．（二）测宽4．利用对顶角构造相似三角形例4如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q、R、C，使点Q、R、C在一直线上，且直线QC⊥PQ，直线DC⊥QC，在直线CD上取一点D，使D、R、P在一直线上．如果测得QR＝60m，RC=30m，DC=45m，求河的宽度PQ．学法：先设置问题，你能测量河的宽度吗？由学生设计测量方案，共同归纳相似模型4，然后出示例4，应用相似模型4解题．设计意图：培养学生在不同的情境中灵活应用相似知识巧妙设计测量方案提炼相似模型4，进一步培养解决实际问题的能力和建模能力．5．利用公共角构造相似三角形例5如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q 和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的宽度PQ．学法：先设置问题，你还有其他测量的方法吗？由学生设计测量方案，共同归纳相似模型5，然后出示例5，应用相似模型5解题．设计意图：培养学生用不同的方法解决相同的问题，用不同的数学模型解决同一个问题，培养学生多角度思考问题的品质．在测量方案设计中提炼相似模型5，进一步培养解决实际问题的能力和建模能力以及表达能力．三、课堂总结、点评1．本节课主要是让学生学会运用两个三角形相似解决实际问题，在解决实际问题中经历从分析实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力．2．数学建模的关键是把生活中的实际问题转化为数学问题，转化的方法之一是画数学示意图，在画图的过程中可以逐渐明确问题中的数量关系与位置关系，进而形成解决问题的思路．因此在教学过程中要突出“审题画示意图明确数量关系解决问题”的数学建模过程，重点培养把生活中的实际问题转化为数学问题的能力．。

相似三角形优秀教案相似三角形教案相似三角形教案(好)一、知识概述(一)相似三角形1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．温馨提示：①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例，其应用广泛．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似．温馨提示：①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似．判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似．温馨提示：①有平行线时，用上节学习的预备定理；②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．温馨提示：①由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似；②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛．③如图，可简单记为：在Rt△ABC中，CD⊥AB，则△ABC∽△CBD∽△ACD．(三)三角形的重心1、三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．2、三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍．二、重点难点疑点突破1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功．通常有以下几种方法：(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；(2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角．2、常见的相似三角形的基本图形：学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于，形成一整套完整的判定方法．如：(1)“平行线型”相似三角形，基本图形见上节图．“见平行，想相似”是解这类题的基本思路；(2)“相交线型”相似三角形，如上图．其中各图中都有一个公共角或对顶角．“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路；(3)“旋转型”相似三角形，如图．若图中∠1=∠2，∠B=∠D(或∠C=∠E)，则△ADE∽△ABC，该图可看成把第一个图中的△ADE绕点A旋转某一角度而形成的．温馨提示：从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法，能帮助我们尽快地找到添加的辅助线．以上“平行线型”是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，“相交线型”识图较困难，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形．三、解题方法技巧点拨1、寻找相似三角形的个数例1、(吉林)将两块完全相同的等腰直角三角形摆成如图的样子，假设图形中所有点、线都在同一平面内，回答下列问题：(1)图中共有多少个三角形？把它们一一写出来；(2)图中有相似(不包括全等)三角形吗？如果有，就把它们一一写出来．分析：(1)在△ABC内，有五个三角形，加上△ABC与△AFG，共有七个三角形．(2)这是依据相似三角形判定定理来解决的计数问题．由于“不包括全等”，图中还剩五个非直角三角形，考虑到题设中两个三角形摆放的随意性，∠1不一定等于∠2，而∠B=∠C=45°，∠3、∠4都为钝角，又排除△ABD与△ACE相似，还剩三个三角形，这三个三角形相似．解：(1)共有七个三角形，它们是△ABD、△ABE、△ADE、△ADC、△AEC、△ABC与△AFG．(2)有相似三角形，它们是△ABE∽△DAE，△DAE∽△DCA，△ABE∽△DCA(或△ABE∽△DAE∽△DCA)．点拨：①解决这类计数问题，一定要依据图形与定理，全面、周密思考，做到不重不漏，这类题有利于发散思维的培养和创新意识的形成；②有兴趣的同学可继续探索一下本题中BD、DE、EC三条线段有何关系？2、画符合要求的相似三角形例2、(上海)在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画出一个△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC(相似比不为1)，且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上．（1）（2）分析：设单位正方形的边长为1，则△ABC的三边为，从而根据相似三角形判定定理2或3可画△A1B1C1，易得点拨：在4×4的正方形方格中，满足题设的△A1B1C1只能画出以上三个，若正方形方格数不加限制，则和△ABC相似且不全等的三角形可以画无数个．3、相似三角形的判定例3、(1)如图，O是△ABC内任一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，求证：△DEF∽△ABC；(2)如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，DF=3CF，写出图中所有相似三角形，并证明．分析：(1)根据题设，观察图形易见，DE、EF、FD分别是△AOB、△BOC、△COA的中位线，利用三角形的中位线性质可证△DEF与△ABC的三边对应成比例；(2)由于正方形的四条边相等，且BE=CE，DF=3CF，设出正方形边长后，图中所有线段都能求出，故可从三边是否成比例判定哪些三角形相似．点拨：①第(1)题，若点O在△ABC外，其他条件不变，结论仍成立；②第(2)题也可用判定定理2，先证△ABE∽△ECF，得出∠AEF=90°后，再证其中任意三角形与△AEF相似，显然，以上证法较简便．4、直角三角形相似的判定例4、求证：若一个直角三角形的一条直角边和斜边上的高与另一个直角三角形的一条直角边和斜边上的高成比例，那么这两个直角三角形相似．已知：如图，Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，CD、C′D′分别是两个三角形斜边上的高，且CD︰C′D′=AC︰A′C′．求证：△ABC∽△A′B′C′．分析：判定直角三角形相似的方法除使用一般三角形的判定方法外，还可使用“斜边和一直角边对应成比例的两直角三角形相似”这一定理．证明△ABC∽△A′B′C′，只要再证一锐角对应相等即可．证明：∵CD、C′D′分别是△ABC、△A′B′C′的高，∴△ACD、△A′C′D′是直角三角形．5、三角形重心问题例5、已知△ABC的重心G到BC边上的距离为5，那么BC边上的高为()A．5 B．12C．10 D．15解析：因为G为△ABC的重心，所以DG︰DA=1︰3，因为GE⊥BC，AF⊥BC，所以GE∥AF，所以GE︰AF=DG︰DA=1︰3，因为GE=5，所以AF=15．6、相似三角形的综合运用例6、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D垂直于AB的直线交BC于E，交AC延长线于F．求证：(1)△ADF∽△EDB；(2)CD2=DE·DF．分析：(1)△ADF与△EDB都是直角三角形，要证它们相似，只要再找一个角对应相等即可；(2)注意到CD是斜边AB的中线，AD=BD=CD，由结论(1)不难得出结论(2)．证明：(1)∵DF⊥AB，∴∠ADF=∠BDE=90°，又∵∠F＋∠A=∠B＋∠A，∴∠F=∠B，∴△ADF∽△EDB．(2)由(1)得，∴AD·BD=DE·DF．又∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，∴AD=BD=CD．故CD2=DE·DF．点拨：本题综合考查了直角三角形的性质与相似三角形的判定等．这是一道阶梯型问题，第(2)题根据(1)得出有关比例式，然后使用“等线代换”使问题简捷获证．其实第(2)题也可这样思考：把它转化为比例式，证明这三条线段所在的△CDE∽△FDC．请同学们完成这一证明．例7、如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．求证：．分析：待证式中的四条线段不是在两个三角形中，无法直接根据两个三角形相似得出，需要插入一个“中间比”，由题设易证△ABE∽△ACF，△BDE∽△CDF，从中不难找到这个中间比．证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1=∠2．∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠3=∠4=90°，∴△ABE∽△ACF，点拨：①当无法直接由两个三角形相似得出结论中的比例式时，一般可寻找“中间比”帮忙；例8、如图，在正方形ABCD中，M、N分别是AB、BC上的点，BM=BN，BP⊥MC于点P．求证：(1)△PBN∽△PCD；(2)PN⊥PD．分析：要证PN⊥PD，即证∠DPN=90°，由已知∠BPC=90°，而∠BPC与∠DPN有公共部分∠CPN，因此只要证明∠4=∠5即可．这就必须先证明出结论(1)．在△PBN与△PCD中，易证∠1=∠3，以下只要证明夹∠1、∠3的两边对应成比例．证明：(1)在正方形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°．∵BP⊥MC，∴△PBM∽△PCB．点拨：要注意观察出图中存在的“母子相似三角形”基本图形，从而充分利用它得出∠1=∠2及△PBM∽△PCB等重要结论相似三角形教案相似三角形教案①回忆两个三角形相似的概念，巩固两个三角形相似的性质与判定。

数学教案三角形相似的判定（优秀3篇）知识结构本文范文为朋友们整理了3篇《数学教案三角形相似的判定》，可以帮助到您，就是本文范文我最大的乐趣哦。

角形相似的判定篇一（第3课时）一、教学目标1.使学生了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用。

2.继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解。

3.通过了解定理的证明方法，培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力。

4.通过学习，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点。

二、教学设计类比学习，探讨发现三、重点及难点1.教学重点：是直角三角形相似定理的应用。

2.教学难点：是了解直角三角形相似判定定理的证题方法与思路。

四、课时安排3课时五、教具学具准备多媒体、常用画图工具、六、教学步骤［复习提问］1.我们学习了几种判定三角形相似的方法？（5种）2.叙述预备定理、判定定理1、2、3（也可用小纸条让学生默写）. 其中判定定理1、2、3的证明思路是什么？（①作相似，证全等；②作全等，证相似）3.什么是“勾股定理”？什么是比例的合比性质？【讲解新课】类比判定直角三角形全等的“HL”方法，让学生试推出：直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

已知：如图，在∽ 中，求证：∽建议让学生自己写出“已知、求征”。

这个定理有多种证法，它同样可以采用判定定理l、2、3那样的证明思路与方法，即“作相似、证全等”或“作全等、证相似”，教材上采用了代数证法，利用代数法证明几何命题的思想方法很重要，今后我们还会遇到。

应让学生对此有所了解。

定理证明过程中的“ 都是正数，，其中都是正数”告诉学生一定不能省略，这是因为命题“若，到”是假命题（可举例说明），而命题“若，且、均为正数，则”是真命题。

例4 已知：如图，，，，当BD与、之间满足怎样的关系时∽ .解（略）教师在讲解例题时，应指出要使∽ .应有点A与C，B与D，C与B 成对应点，对应边分别是斜边和一条直角边。

相似三角形的应用目的：利用相似三角形的性质解决实际问题． 中考基础知识通过证明三角形相似 线段成比例()()⎧⇒⎨⎩方程含有未知数的等式函数求最值等问题备考例题指导例1．如图，P 是△ABC 的BC 边上的一个动点，且四边形ADPE 是平行四边形． （1）求证：△DBP ∽△EPC ； （2）当P 点在什么位置时，S ADPE=12S △ABC ，说明理由． 分析：（1） 证明两个三角形相似，常用方法是证明两个角对应相等，题目中有ADPE ⇒平行线⇒角相等，命题得证．（2）设BP BC =x ，则CPBC=1-x ，ADPE ⇒DP ∥AC ， EP ∥AB ，△BDP ∽△BAC △CPE ∽△CBA ∴FPC ABC S S ∆∆=（CP CB ）2=（1-x ）2，BDP BACS S ∆∆=（BP BC ）2=x2 ∴BDP CPE ABCS S S ∆∆∆+=x 2+（1-x ）2．∵S ADPE=12S △ABC ，即ADPE ABC SS ∆=12． ∴x 2+（1-x ）2=12（转化为含x 的方程） x=12， ∴BP BC =12．即P 应为BC 之中点．例2．已知△ABC中，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于D，且AD=m，BD=n，AC2：BC2=2：1，又关于x的方程14x2-2（n-1）x+m2-12=0的两个实数根的差的平方小于192，求m，n为整数时，•一次函数y=mx+n的解析式．分析：这是一个几何、代数综合题，由条件发现，建立关于m，n的方程或不等式，•求出m，n 再写出一次函数．抓条件：AC2：BC2=2：1做文章（转化到m，n上）．双直角图形⇒有相似形⇒比例式（方程）∠ACB=90°，CD⊥AB Rt△BCD∽Rt△BACBC2=BD·BA，同理有AC2=AD·AB，∴22BCAC=BD BAAD AB⇒=m=2n ①抓条件：x1+x2=8（n-1），x1x2=4（m2-12）．由（x1-x2）2<192 配方（x1+x2）2-4x1x2<192． 64（n-1）2-16（m2-12）<192，4n2-m2-8n+4<0．②①代入②⇒n>12．又由△≥0得4（n-1）2-4×14（m2-12）≥0，①代入上式得n≤2．③由n>12，n≤2得12<n≤2．∵n为整数，∴n=1，2．∴m=2，4∴y=2x+1，或y=4x+2．遇根与系数关系题目则用韦达定理，但必须考虑△≥0．备考巩固练习1．如图，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．关于x•的一元二次方程x2-2b（a+2 2 c b）x+（a+b）2=0的两根之和与两根之积相等，D为AB上一点，DE∥AC•交BC•于E，EF⊥AB，垂足是F．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）若BF=6，FD=4，CE=23CD，求CE的长．2．某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上,种植花木如图1（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD•地带种满花后，共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用．（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择种哪种花木，刚好用完后筹集的资金？（3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图2），请你设计一个花坛图案，•即在梯形内找到一点P，使得△APD≌△BPC且S△APD=S△BPC，并说出你的理由．3．（1）如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=b，CD=a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：①当DEAE=1时，有EF=2a b+；②当DEAE=2时，有EF=23a b+；③当DEAE=3时，有EF=34a b+．当DEAE=k时，参照上述研究结论，•请你猜想用k表示DE的一般结论，并给出证明；（2）现有一块直角梯形田地ABCD（如图2所示），其中AB∥CD，AD⊥AB，AB=310m，• DC=120cm，AD=70m，若要将这块分割成两块，由两位农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等，请你给出具体分割方案．(1) (2)答案:1．（1）由x 1+x 2=x 1x 2得2b （a+22c b）=（a+b ）2 2ab+c 2=a 2+b 2+2ab∴△ABC 是直角三角形． ∴c 2=a 2+b 2（2）易证△EFD ∽△EDB ，∴EF 2=DF ·DB=40． 设CE=x ，则CD=32x ， ∴DE=（32x ）2-x 2=40⇒2．（1）∵四边形ABCD 是梯形（见图）． ∴AD ∥BC ，∴∠MAD=∠MCB ， ∠MDA=∠MBC ， ∴△AMD ∽△CMB ，∴AMDBMCS S ∆∆=（AD BC ）2=14．∵种植△AMD 地带花带160元． ∴16080=2（m 2） ∴S △OMB =80（m 2） ∴△BMC 地带的花费为80×8=640（元）（2）设△AMD 的高为h 1，△BMC 的高为h 2，梯形ABCD 的高为h ∵S △AMD =12×10h 2=20 ∴h 1=4 ∵12h h =12∴h 2=8 ∴S 梯形ABCD =12（AD+BC ）·h=12×30×12=180∴S △AMB + S △DMC =180-20-80=80（m 2） ∴160+160+80×12=1760（元）又：160+640+80×10=1600（元） ∴应种值茉莉花刚好用完所筹集的资金． （3）点P 在AD 、BC 的中垂线上（如图）， 此时，PA=PD ，PB=PC ．∵AB=DC ∴△APB ≌△DPC ．设△APD 的高为x ，则△BPC 高为（12-x ）， ∴S △APD =12×10x=5x ， S △BPC =12×20（12-x ）=10（12-x ）． 当S △APD =S △BPC 即5x=10（12-x ）=8．∴当点P 在AD 、BC 的中垂线上且与AD 的距离为8cm 时，S △APD =S △BPC ． 3．解：（1）猜想得：EF=1a kbk++ 证明：过点E 作BC 的平行线交AB 于G ，交CD 的延长线于H ． ∵AB ∥CD ， ∴△AGE ∽△DHE ， ∴DH DEAG AE=． 又EF ∥AB ∥CD ，∴CH=EF=GB ，∴DH=EF-a ，AG=b-EF ， ∴EF a b EF --=k ，可得EF=1a kbk++．（2）在AD 上取一点EF ∥AB 交BC 于点F ，设DE AB =k ，则EF=1703101k k ++，DE=701kk+， 若S 梯形DCFE =S 梯形ABFE ，则S 梯形ABCD =2S 梯形DCFE ∵梯形ABCD 、DCEF 为直角梯形∴1702102+×70=2×12（170+1703101k k ++）×701kk+， 化简得12k 2-7k-12=0，解得k 1=43，k 2=-34（舍去）∴DP=701kk=40，所以只需在AD上取点E，使DE=40m，作EF∥AB（或EF⊥DA），即可将梯形分成两个直角梯形，且它们的面积相等．。

相似三角形应用举例教学目标1.进一步巩固相似三角形的知识。

2.能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度。

教学重点进一步巩固相似三角形的知识。

教学难点能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度。

一、创设情境，导入新课1、课件出示：①国旗上的☆，②同一底片不同尺寸的照片。

以上图形之间可以通过怎样的图形变换得到？2、经过相似变换后得到的像与原像称为相似图形。

那么将一个三角形作相似变换后所得的像与原像称为相似三角形探究新知1新课讲解（1）、做一做，做出两个三角形来试验是否相似。

（2）、师生共同总结：两角对应相等的两个三角形相似。

2应用新知教学例1：已知：△ABC和△DEF中A=40，B=80，E=80，F=60 求证：△ABC∽△DEF例2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直三角形的与原三角形相似三、练习：1.小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O，准星A，目标B在同一条直线上，如图所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A’，若OA=0.2米，OB=40米，AA’=0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为（）A.3米B.0.3米C.0.03米 D.0.2米2.如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ， AB的长为12cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处（DE∥AB），那么小玻璃管口径DE是（）A.8cmB.10cmC.20cmD.60cm3.如图所示，某同学拿着一把有刻度的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子遮住电线杆时尺子的刻度为12cm，已知臂长60cm，则电线杆的高度为（）A.2.4mB.24mC.0.6mD.6m4.如图所示的测量旗杆的方法，已知AB是标杆，BC表示AB在太阳光下的影子，叙述错误的是（）A.可以利用在同一时刻，不同物体与其影长的比相等来计算旗杆的高B.只需测量出标杆和旗杆的影长就可计算出旗杆的高C.可以利用△ABC∽△EDB ，来计算旗杆的高D.需要测量出AB.BC和DB的长，才能计算出旗杆的高四、教学评价设计1. 本节课教学目的明确、具体，符合课程标准的要求，切合学习实际；能够结合具体实例，通过观察、操作、想象、推理、交流等活动发展空间观念；推理能力和有条理的表达能力，能够密切结合学科特点，注重情感目标的建立。

《相似三角形应用举例》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的题目是《相似三角形应用举例》。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析《相似三角形应用举例》是人教版数学九年级下册第二十七章的内容。

相似三角形是初中数学中的重要知识点，它不仅在数学学科中有着广泛的应用，而且在实际生活中也有着重要的价值。

本节课是在学生已经学习了相似三角形的判定和性质的基础上，进一步研究相似三角形在实际问题中的应用。

通过本节课的学习，学生将学会运用相似三角形的知识解决实际问题，提高学生的数学应用意识和解决问题的能力。

二、学情分析在知识储备方面，学生已经掌握了相似三角形的判定和性质，具备了一定的推理能力和逻辑思维能力。

但是，学生在将实际问题转化为数学问题，以及运用数学知识解决实际问题方面还存在一定的困难。

在学习态度方面，九年级的学生已经具备了一定的自主学习能力和探究精神，但是对于较为复杂的问题，可能会出现畏难情绪。

三、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够运用相似三角形的知识解决实际问题。

（2）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。

2、过程与方法目标（1）通过实际问题的解决，让学生经历观察、分析、推理、计算的过程，提高学生的数学思维能力。

（2）通过小组合作学习，培养学生的合作交流能力和创新意识。

3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。

（2）培养学生的应用意识和创新精神，让学生体会数学的价值。

四、教学重难点1、教学重点（1）能够运用相似三角形的知识解决实际测量问题。

（2）如何将实际问题转化为数学问题，并建立相似三角形模型。

2、教学难点灵活运用相似三角形的知识解决实际问题，特别是在测量无法直接到达的物体高度或距离时。

五、教法与学法1、教法（1）启发式教学法：通过创设问题情境，引导学生思考，激发学生的学习兴趣和求知欲。

相似三角形应用举例（第1课时）【目标导航】1．应用相似三角形的判定、性质等知识去解决不能直接测量物体的长度和高度类问题； 2．培养学生把实际问题转化为数学问题，建立相似三角形模型，解决实际问题的能力．【要点梳理】例1 据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图，如果木杆EF 长2m ，它的影长FD 为3m ，测得OA 为201m ，求金字塔的高度BO ．BODE(F )A答案：由题意得：BO EF OA FD =，即22013BO =，所以BO=134米。

例2 如图，为了估测河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P 、Q 、S 共线且直线PS 与河垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，确定PT 与过点Q 且垂直PS 的直线b 的交点R ．如果测得QS ＝45m ，ST ＝90m ， QR ＝60m ，求河的宽度PQ ．答案：由题意可得：PQR PST ,所以PQ QR PS ST =,即：604590PQ PQ =+,解得：PQ=90米。

例3 已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB ＝8m 和CD ＝12m ，两树的根部的距离BD ＝5m ．一个身高1.6m 的人沿着正对这两棵树的一条水平直路l 从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C ？答案：由题意可得：FAH FCK ，所以FH AH FK CK =,即：8 1.6512 1.6FH FH -=+-,解得：FH=8米,所以当此人与左边较低树的距离小于8米时，就不能看到右边树的顶点C 。

【课堂操练】1．如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2m ，长臂长为8m ，当短臂端点下降0.6m 时，长臂端点 升高（ ）A. 2mB. 4mC. 6mD. 5.8m 答案：B2．小明在打网球时，为使球恰好能过网（网高为0.8m ），且落在对方区域离网5m 的位置上，已知他击球的高度是2.4m ，则她应站在离网的 （） A. 15m 处 B. 10m 处 C. 8m 处 D. 7.5m 处答案：B3．为了测量水塘边A 、B 两点之间的距离，在可以看到A 、B 的E 处，取AE 、BE 延长线上的C 、D 两点，使CD ∥AB ，如果测量得CD ＝5米，AD ＝15米，ED ＝3米，你能求出AB 两点之间的距离吗？答案：因为CD ∥AB ，ABE DCE ,所以AB AE DC ED =,即：15353AB -=,解得：AB=20米。