成才之路人教B高中数学必修习题 综合测试 A 含解析

【成才之路】2021-2021学年高中数学本册综合测试A 新人教B版必修2时刻120分钟，总分值150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知点A(a,3)、B(－1，b＋2)且直线AB的倾斜角为90°，那么a、b的值为( )A．a＝－1，b∈R且b≠1B．a＝－1，b＝1C．a＝3，b＝1 D．a＝3，b＝－1[答案] A[解析] ∵直线AB的倾斜角为90°，∴AB⊥x轴，∴a＝－1，b∈R且b≠1.2．不论m为何值，直线(m－2)x－y＋3m＋2＝0恒过定点( )A．(3,8) B．(8,3)C．(－3,8) D．(－8,3)[答案] C[解析] 直线方程(m－2)x－y＋3m＋2＝0可化为m(x＋3)－2x－y＋2＝0，∴x＝－3时，m∈R，y＝8，应选C.3．(2021·山东东营广饶一中高一期末测试)一梯形的直观图是一个如下图的等腰梯形，且那个等腰梯形的面积为2，那么原梯形的面积为( )A．2 B.2C．2 2 D．4[答案] D[解析] 由平面图形的斜二测画法规那么，得2S原梯形＝24，∴S原梯形＝4.4．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( )A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α[答案] B[解析] 已知两条不相交的空间直线a和b，能够在直线a上任取一点A，使得A∉b.过A作直线c∥b，那么过a 、b 必存在平面α，且使得a ⊂α，b ∥α.5．(2021·福建安溪八中高一期末测试)假设点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝1的外部，那么有直线ax ＋by ＋1＝0与圆C 的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．相交D ．相交或相切 [答案] C[解析] ∵点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝1的外部，∴a 2＋b 2>1.∴圆C 的圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋1＝0的距离d ＝1a 2＋b 2<1， 即直线ax ＋by ＋1＝0与圆C 相交．6．如图，在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的选项是( )[答案] C [解析] 当a >0时，直线y ＝ax 的斜率k ＝a >0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距等于a >0，现在，选项A 、B 、C 、D 都不符合；当a <0时，直线y ＝ax 的斜率k ＝a <0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距等于a <0，只有选项C 符合，应选C.7．(2021·广西南宁高一期末测试)已知平面α外不共线的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，那么正确的结论是( )A ．平面ABC 必平行于αB ．平面ABC 必不垂直于αC ．平面ABC 必与α相交D ．存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内[答案] D[解析] 平面ABC 与平面α可能平行也可能相交，排除A 、B 、C ，应选D.8．过点P (－2,4)作圆(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线l 1ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，那么l 1与l 间的距离是( )A.285B.125C.85D.25[答案] B[解析] 直线l 1的斜率k ＝－a 3，l 1∥l ， 又l 过P (－2,4)，∴l y －4＝－a 3(x ＋2)， 即ax ＋3y ＋2a －12＝0，又直线l 与圆相切，∴|2a ＋3×1＋2a －12|a 2＋9＝5，∴a ＝－4， ∴l 1与l 的距离为d ＝125，∴选B. 9．光线沿着直线y ＝－3x ＋b 射到直线x ＋y ＝0上，经反射后沿着直线y ＝ax ＋2射出，那么有( )A ．a ＝13，b ＝6 B ．a ＝－13，b ＝－6 C ．a ＝3，b ＝－16D ．a ＝－3，b ＝16 [答案] B[解析] 由题意，直线y ＝－3x ＋b 与直线y ＝ax ＋2关于直线y ＝－x 对称，故直线y ＝ax ＋2上点(0,2)关于y ＝－x 的对称点(－2,0)在直线y ＝－3x ＋b 上，∴b ＝－6，y ＝－3x －6上的点(0，－6)，关于直线y ＝－x对称点(6,0)在直线y ＝ax ＋2上，∴a ＝－13选B. 10．圆柱的侧面展开图是一个边长为2πa 的正方形，那么那个圆柱的体积是( )A ．2π2a 3B ．π2a 3 C.π22a 3 D.π23a 3 [答案] A[解析] 因为圆柱的侧面展开图是一个边长为2πa 的正方形，因此圆柱的底面半径是a ，高为2πa ，因此V 圆柱＝πa 2·(2πa )＝2π2a 3，应选A.11．圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0上的动点P 到直线y ＝－x 的最小距离为( )A ．22－1B ．22C. 2 D ．1[答案] A[解析] 圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0可化为(x －2)2＋(y －2)2＝1，故圆心坐标为(2,2)，半径r ＝1.圆心(2,2)到直线y ＝－x 的距离d ＝|2＋2|2＝2 2. 故动点P 到直线y ＝－x 的最小距离为22－1.12．一个几何体的三视图如以下图所示，该几何体的表面积为( )A ．280B ．292C ．360D ．372[答案] C[解析] 该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面的面积之和． S ＝2×(10×8＋10×2＋8×2)＋2×(6×8＋8×2)＝360.二、填空题(本大题共4个小题，每题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．过点P (－2,0)作直线l 交圆x 2＋y 2＝1于A 、B 两点，那么|PA |·|PB |＝________.[答案] 3[解析] 如下图．|PA |·|PB |＝|PC |·|PD |＝1×3＝3.14．一个正四棱柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，那么它的体积为__________．[答案] 4[解析] 由已知得，正四棱柱的底面边长为1，高为4，体积V ＝12×4＝4.15．假设点P 在座标平面xOy 内，点A 的坐标为(0,0,4)且d (P ，A )＝5，那么点P 的轨迹方程为________．[答案] x 2＋y 2＝9[解析] 设P (x ，y,0)，那么d (P ，A )＝x －02＋y －02＋0－42＝5，即x 2＋y 2＝9.16．设m 、n 是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m ∥n ；②m ∥α；③n ∥α.以其中两个为条件，余下的一个为结论，组成三个命题，写出你以为正确的一个命题：__________________.[答案] ①②⇒③或(①③⇒②)三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤)17．(此题总分值12分)设A (1，－2，x )，B (x,3,0)，C (7，x,6)，且A 、B 、C 三点能组成直角三角形，求x 的值．[解析] AB 2＝2x 2－2x ＋26，BC 2＝2x 2－20x ＋94，AC 2＝2x 2－8x ＋76，由(2x 2－2x ＋26)＋(2x 2－20x ＋94)＝2x 2－8x ＋76得x 2－7x ＋22＝0无解；由(2x 2－2x ＋26)＋(2x 2－8x ＋76)＝2x 2－20x ＋94得x 2＋5x ＋4＝0，∴x 1＝－4，x 2＝－1；由(2x 2－20x ＋94)＋(2x 2－8x ＋76)＝2x 2－2x ＋26得x 2－13x ＋72＝0无解，∴x 的值为－4或－1.18．(此题总分值12分)下面三条直线l 1：4x ＋y ＝4，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my ＝4不能组成三角形，求m 的取值集合．[解析] ①三条直线交于一点时，由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝4mx ＋y ＝0知l 1和l 2的交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫44－m ，－4m 4－m ， 由A 在l 3上，可得2×44－m －3m ×－4m 4－m ＝4，得m ＝23或m ＝－1. ②至少两条直线平行或重合时，l 1，l 2，l 3至少两条直线的斜率相等，当m ＝4时，l 1∥l 2；当m ＝－16时，l 1∥l 3， 若l 2∥l 3，那么需有m 2＝1－3m ⇒m 2＝－23，不可能． 综合①、②可知m ＝－1，－16，23，4时，三条直线不能组成三角形，因此m 的取值集合为{－1，－16，23，4}．19．(此题总分值12分)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABCD ，AC ∩BD ＝E ，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6，求证：平面PBD ⊥平面PAC .[解析] ∵PA ⊥平面ABCD ， BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA .又tan ∠ABD ＝AD AB ＝33.tan ∠BAC ＝BC AB ＝ 3.∴∠ABD ＝30°，∠BAC ＝60°，∴∠AED ＝90°，即BD ⊥AC .又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC .∵BD ⊂平面PBD .因此平面PBD ⊥平面PAC .20．(此题总分值12分)在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在的直线方程为y ＝0.假设B 的坐标为(1,2)，求△ABC 三边所在直线方程及点C 坐标．[解析] BC 边上高AD 所在直线方程x －2y ＋1＝0，∴k BC ＝－2，∴BC 边所在直线方程为：y －2＝－2(x －1)即2x ＋y －4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0y ＝0，得A (－1,0)， ∴直线AB ：x －y ＋1＝0，点B (1,2)关于y ＝0的对称点B ′(1，－2)在边AC 上，∴直线AC ：x ＋y ＋1＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋1＝02x ＋y －4＝0，得点C (5，－6)． 21．(此题总分值12分)降水量是指水平地面上单位面积所降雨水的深度，用上口直径为38cm ，底面直径为24cm ，深度为35cm 的圆台形容器(轴截面如图)来测量降水量，假设在一次降水中，此桶盛得的雨水正好是桶深的17，那么本次降雨的降水量是多少？(精准到mm) [解析] 如图，作BE ⊥CD 于点E ，交MN 于点G ，作AH ⊥CD 于H ，交MN 于点P ，那么BG BE ＝17，四边形ABEH 、PGEH 均为矩形．∴BG ＝17·BE ＝17×35＝5(cm)． EH ＝PG ＝AB ＝24cm.又∵四边形ABCD 为等腰梯形，∴MN ＝PG ＋2GN .又∵EC ＝12(CD －AB )＝12(38－24)＝7(cm)， ∴GN ＝17EC ＝1(cm)， ∴MN ＝PG ＋2GN ＝24＋2＝26(cm)．∴这次降雨中雨水的体积为V ＝13π[(MN 2)2＋(AB 2)2＋(MN 2·AB 2)]·BG ＝13π×5×(132＋122＋13×12) ＝23453(cm 3)， 降雨中雨水面的面积S ＝π(CD 2)2＝361π(cm 2)．∴这次降雨的降水量为h ＝V S ＝2345π3×361π≈2.2(cm)＝22(mm)． 即本次降雨的降水量是22mm.22．(此题总分值14分)已知⊙C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0.(1)假设⊙C 的切线在x 轴、y 轴上截距相等，求切线的方程；(2)从圆外一点P (x 0，y 0)向圆引切线PM ，M 为切点，O 为原点，假设|PM |＝|PO |，求使|PM |最小的P 点坐标．[解析] ⊙C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心C (－1,2)，半径r ＝2.(1)假设切线过原点设为y ＝kx ， 则|－k －2|1＋k2＝2，∴k ＝0或43. 假设切线只是原点，设为x ＋y ＝a ，则|－1＋2－a |2＝2，∴a ＝1±22，∴切线方程为：y ＝0，y ＝43x ， x ＋y ＝1＋22和x ＋y ＝1－2 2.(2)x 20＋y 20＋2x 0－4y 0＋1＝x 20＋y 20， ∴2x 0－4y 0＋1＝0，|PM |＝x 20＋y 20＋2x 0－4y 0＋1＝5y 20－2y 0＋14 ∵P 在⊙C 外，∴(x 0＋1)2＋(y 0－2)2>4，将x 0＝2y 0－12代入得5y 20－2y 0＋14>0， ∴|PM |min ＝510.现在P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－110，15.。

第1章 1.1 第4课时基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°[答案] C[解析] 在△ABC 中，由余弦定理，得0<B <π，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝9＋4－712＝12∴B ＝60°.2．△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为( )A ．150°B ．135°C ．120°D ．60° [答案] A[解析] ∵a 2＋b 2＝c 2－3ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32，∴C ＝150°.3．在△ABC 中，a ＝7，b ＝10，c ＝6，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上答案都不对 [答案] B[解析] ∵a ＝7，b ＝10，c ＝6，∴b >a >c ，∴∠B 为最大角． 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝72＋62－1022×7×6<0，∴∠B 为钝角，故选B.4．若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形[答案] B[解析] 解法一：由正弦定理，得 sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C 即tan A ＝tan B ＝tan C ，∵A 、B 、C ∈(0，π)，∴A ＝B ＝C ， ∴△ABC 为等边三角形．解法二：由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，又∵a cos A ＝b cos B ＝ccos C，∴a b 2＋c 2－a 22bc ＝b a 2＋c 2－b 22ac ＝c a 2＋b 2－c 22ab ， ∴2abc b 2＋c 2－a 2＝2abc a 2＋c 2－b 2＝2abca 2＋b 2－c 2，∴b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2＝a 2＋b 2－c 2， ∴a ＝b ＝c ，故选B.5．在△ABC 中，若△ABC 的面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则∠C 为( )A.π4B.π6C.π3D.π2[答案] A[解析] 由S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，得12ab sin C ＝14×2ab cos C ，∴tan C＝1，∴C ＝π4.6．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )A.518B.34C.32D.78 [答案] D[解析] 设三角形的底边长为a ，则周长为5a ，∴等腰三角形腰的长为2a .设顶角为α，由余弦定理，得cos α＝(2a )2＋(2a )2－a 22×2a ×2a＝78.二、填空题7．在△ABC 中，a ＝23，b ＝6，A ＝45°，则边c ＝________. [答案] 3＋ 3[解析] 由余弦定理，得a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ， ∴12＝c 2＋6－26c ×22，∴c 2－23c －6＝0，解得c ＝3＋ 3.8．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为________．[答案] π6[解析] ∵a ＝7，b ＝43，c ＝13， ∴c <b <a ，∴角C 最小．cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝49＋48－132×7×43＝32，又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π6.三、解答题9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3. (1)求△ABC 的面积； (2)若c ＝1，求a 的值． [解析] (1)∵cos A 2＝255，∴cos A ＝2cos 2A2－1＝35，∴sin A ＝45.又由AB →·AC →＝3，得bc cos A ＝3，∴bc ＝5. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝2.(2)由(1)知，bc ＝5，又c ＝1，∴b ＝5， 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋1－2×5×1×35＝20，∴a＝2 5.10．(2011·山东文)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知cos A－2cos Ccos B＝2c－ab.(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B＝14，△ABC的周长为5，求b的长．[解析](1)由正弦定理，得asin A＝bsin B＝csin C＝2R∴cos A－2cos Ccos B＝2·2R sin C－2R sin A2R sin B，即cos A sin B－2cos C sin B＝2cos B sin C－cos B sin A，即sin(A＋B)＝2sin(B＋C)，又由A＋B＋C＝π知，sin C＝2sin A，所以sin Csin A＝2.(2)由(1)知sin Csin A＝2，∴c＝2a，则由余弦定理，得b2＝a2＋(2a)2－2·a·2a cos B＝4a2∴b＝2a，∴a＋2a＋2a＝5，∴a＝1，∴b＝2.能力提升一、选择题1．在△ABC中，lg a－lg b＝lgsin B＝－lg2，∠B为锐角，则∠A的值是()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案] A[解析]由题意得ab＝sin B＝22，又∵∠B为锐角，∴B＝45°，又ab＝sin Asin B＝22，sin A＝sin B×22＝12，∴∠A＝30°.2．(2011·四川理)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin B sin C，则A的取值范围是()A．(0，π6] B．[π6，π)C．(0，π3] D．[π3，π)[答案] C[解析]在△ABC中，由正弦定理，得sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R(其中R为△ABC外接圆的半径)，由sin2A≤sin2B＋sin2C－sin B sin C可得a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，∴cos A＝b2＋c2－a22bc≥12，∴0<A≤π3.二、填空题3．(2010·新课标全国卷文)在△ABC中，D为BC边上一点，BC ＝3BD，AD＝2，∠ADB＝135°.若AC＝2AB，则BD＝________.[答案]2＋ 5[解析]如图，设AB＝k，则AC＝2k.再设BD ＝x ，则DC ＝2x . 在△ABD 中，由余弦定理得k 2＝x 2＋2－2·x ·2·⎝⎛⎭⎪⎫－22＝x 2＋2＋2x .①在△ADC 中，由余弦定理得2k 2＝4x 2＋2－2·2x ·2·22＝4x 2＋2－4x ，∴k 2＝2x 2＋1－2x .②由①②得x 2－4x －1＝0，解得x ＝2＋5(负值舍去)． 4．在△ABC 中，若∠C ＝60°，则a b ＋c ＋ba ＋c ＝________.[答案] 1[解析] a b ＋c ＋ba ＋c ＝a 2＋ac ＋b 2＋bc (b ＋c )(a ＋c )＝a 2＋b 2＋ac ＋bcab ＋ac ＋bc ＋c 2 (1) ∵∠C ＝60°∴a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝ab .∴a 2＋b 2＝ab ＋c 2 (2) (2)代入(1)得ab ＋c 2＋ac ＋bc ab ＋ac ＋bc ＋c 2＝1.三、解答题5．(2011·安徽文)△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.(1)求AB →·AC →；(2)若c －b ＝1，求a 的值． [解析] 由cos A ＝1213，得sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513.又12bc sin A ＝30，∴bc ＝156. (1)AB →·AC →＝bc cos A ＝156×1213＝144.(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(c －b )2＋2bc (1－cos A )＝1＋2×156×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1213＝25.又a >0，∴a ＝5. 6．在△ABC 中，C －A ＝π2，sin B ＝13.(1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积． [解析] (1)由C －A ＝π2和A ＋B ＋C ＝π，得2A ＝π2－B,0<A <π4.∴cos2A ＝sin B ，即1－2sin 2A ＝13，∴sin A ＝33.(2)由(1)得cos A ＝63.又由正弦定理，得BC sin A ＝ACsin B， ∴BC ＝AC sin Asin B ＝6×3313＝3 2.∵C －A ＝π2，∴C ＝π2＋A ，∴sin C ＝sin(π2＋A )＝cos A ＝63，∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12×6×32×63＝3 2.7．在△ABC 中，sin A ＝sin B ＋sin Ccos B ＋cos C ，试判断△ABC 的形状．[解析] 解法一：∵sin A ＝sin B ＋sin Ccos B ＋cos C ，∴sin A cos B ＋sin A cos C ＝sin B ＋sin C . 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， ∴sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B . ∴sin A cos B ＋sin A cos C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，∴cos A (sin C ＋sin B )＝0， ∵sin C ＋sin B ≠0， ∴cos A ＝0，∴A 为直角． 即△ABC 为直角三角形． 解法二：∵sin A ＝sin B ＋sin Ccos B ＋cos C ，∴sin A cos B ＋sin A cos C ＝sin B ＋sin C . 由正、余弦定理，得a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝b ＋c ，∴(a 2＋c 2－b 2)b ＋c (a 2＋b 2－c 2)＝2bc (b ＋c )， ∴a 2b ＋c 2b －b 3＋a 2c ＋b 2c －c 3＝2b 2c ＋2bc 2， ∴a 2b ＋a 2c －b 3－c 3＝b 2c ＋bc 2.∴a 2(b ＋c )－(b ＋c )(b 2－bc ＋c 2)＝bc (b ＋c )，∴(b＋c)(a2－b2＋bc－c2)＝bc(b＋c)，∵b＋c≠0，∴a2－b2＋bc－c2＝bc，即a2＝b2＋c2.故△ABC为直角三角形．。

1.1 第1课时一、选择题1．与600°角终边相同的角可表示为(k∈Z)()A．k·360°＋220°B．k·360°＋240°C．k·360°＋60°D．k·360°＋260°[答案] B[解析]与600°终边相同的角α＝n·360°＋600°＝n·360°＋360°＋240°＝(n＋1)·360°＋240°＝k·360°＋240°，n∈Z，k∈Z.∴选B.2．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是()A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋α[答案] C[解析]特例法，取α＝30°，可知C正确．[点评]作为选择题，用特例求解更简便些．一般角所在的象限讨论，应学会用旋转的方法找角所在的象限．如，α＋90°，将角α的终边逆时针旋转90°，α－90°，则将α的终边顺时针旋转90°，角180°＋α的终边为角α的终边反向延长线，180°－α，先将角α的终边关于x轴对称，再关于原点对称，即可得到180°－α的终边等等．3．集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}与P＝{x|x＝k·45°，k∈Z}之间的关系是()A．M P B．M PC．M＝P D．M∩P＝∅[答案] A[解析]∵x＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，k∈Z∴M P.[点评]k·45°(k∈Z)是45°的整数倍，(2k＋1)·45°(k∈Z)是45°的奇数倍，故M P.在角的集合中，{α|α＝k·180°＋45°(k∈Z)}＝{α|α＝(k＋2)·180°＋45°，(k∈Z)}．{α|α＝2k·90°＋30°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·90°＋30°，k∈Z}＝{α|α＝k·90°＋30°，k∈Z}．这一部分是最容易出错的地方，应当从集合意义上理解．4．给出下列四个命题，其中正确的命题有()①－75°是第四象限角②225°是第三象限角③475°是第二象限角④－315°是第一象限角A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] D[解析]由终边相同角的概念知：①②③④都正确，故选D.5．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为()A．α＋β＝k·360°，k∈ZB．α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC．α－β＝k·360°＋180°，k∈ZD．α－β＝k·360°，k∈Z[答案] B[解析]解法一：特殊值法：令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.解法二：直接法：∵角α与角β的终边关于y轴对称，∴β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.6．(2009～2010·北京通州高一期末)下列各角中，与60°角终边相同的角是()A．－300°B．－60°C．600°D．1380°[答案] A[解析]与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z，令k＝－1，则α＝－300°，故选A.7．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是()A．A＝B＝C B．A CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C[答案] D[解析]第一象限角可表示为k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z；锐角可表示为0°<β<90°，小于90°的角可表示为γ<90°，由三者之间的关系可知，选D.8．如图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是()A．{α|－45°≤α≤120°}B．{α|120°≤α≤315°}C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}[答案] C9．集合A ＝{α|α＝k ·90°－36°，k ∈Z }，B ＝{β|－180°<β<180°}，则A ∩B 等于( )A ．{－36°，54°}B ．{－126°，144°}C ．{－126°，－36°，54°，144°}D ．{－126°，54°}[答案] C[解析] 由－180°<k ·90°－36°<180°(k ∈Z )得－144°<k ·90°<216°(k ∈Z )，所以－14490<k <21690(k ∈Z )，所以k ＝－1,0,1,2， 所以A ∩B ＝{－126°，－36°，54°，144°}，故选C.10．在(－360°，0°)内与角1250°终边相同的角是( )A ．170°B ．190°C ．－190°D ．－170° [答案] C[解析] 与1250°角的终边相同的角α＝1250°＋k ·360°，∵－360°<α<0°，∴－16136<k <－12536， ∵k ∈Z ，∴k ＝－4，∴α＝－190°.二、填空题11．－1445°是第________象限角．[答案] 四[解析] ∵－1445°＝－5×360°＋355°，∴－1445°是第四象限的角．12．若角α和β的终边满足下列位置关系，试写出α和β的关系式：(1)重合：________________；(2)关于x 轴对称：________________.[答案] α＝k ·360°＋β(k ∈Z ) α＝k ·360°－β(k ∈Z )[解析] 据终边相同角的概念，数形结合可得：(1)α＝k ·360°＋β(k ∈Z )，(2)α＝k ·360°－β(k ∈Z )．13．若集合A ＝{α|k ·180°＋30°<α<k ·180°＋90°，k ∈Z }，集合B ＝{β|k ·360°－45°<β<k ·360°＋45°，k ∈Z }，则A ∩B __________.[答案] {α|30°＋k ·360°<α<45°＋k ·360°，k ∈Z }[解析] 集合A 、B 所在区域如图，显然A ∩B ＝{α|k ·360°＋30°<α<k ·360°＋45°，k ∈Z }．三、解答题14．已知α＝－1910°.(1)把α写成β＋k ·360°(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式，指出它是第几象限的角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.[解析] 在0°到360°的范围里找出与α终边相同的角，可用除以360°求余数的办法来解，也可以考虑把问题转化为求某个不等式的最大整数解问题．解答(1)、(2)的关键都是能正确写出与其角终边相同的角．(1)设α＝β＋k ·360°(k ∈Z )，则β＝－1910°－k ·360°(k ∈Z )．令－1910°－k ·360°≥0，解得k ≤－1910360＝－51136. k 的最大整数解为k ＝－6，求出相应的β＝250°，于是α＝250°－6×360°，它是第三象限的角．(2)令θ＝250°＋k ·360°(k ∈Z )，取k ＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角：250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.故θ＝－110°或－470°.15．已知有锐角α，它的10倍与它本身的终边相同，求角α.[解析] 与角α终边相同的角连同角α在内可表示为{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．∵锐角α的10倍角的终边与其终边相同，∴10α＝α＋k ·360°，α＝k ·40°，k ∈Z .又α为锐角，∴α＝40°或80°.16．若角α的终边和函数y ＝－|x |的图象重合，试写出角α的集合．[解析] 由于y ＝－|x |的图象是三、四象限的平分线，故在0°～360°间所对应的两个角分别为225°及315°，从而角α的集合为S ＝{α|α＝k ·360°＋225°或α＝k ·360°＋315°，k ∈Z }．17．已知角α与2α的终边相同，且α∈[0°，360°)，求角α.[解析] 由条件知，2α＝α＋k ·360°，∴α＝k ·360° (k ∈Z )，∵α∈[0°，360°)，∴α＝0°.。

第三章综合素质检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每小题给出的四个备选答案中，有且仅有一个是符合题目要求的)1．设M ＝2a (a －2)＋7，N ＝(a －2)(a －3)，则有( ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜N D ．M ≤N[答案] A[解析] M －N ＝(2a 2－4a ＋7)－(a 2－5a ＋6)＝a 2＋a ＋1＝(a ＋12)2＋34＞0，∴M ＞N .2．不等式x 2－2x －5＞2x 的解集是( ) A ．{x |x ≥5或x ≤－1} B ．{x |x ＞5或x ＜－1} C ．{x |－1＜x ＜5} D ．{x |－1≤x ≤5} [答案] B[解析] 不等式化为x 2－4x －5＞0， ∴(x －5)(x ＋1)＞0，∴x ＜－1或x ＞5.3．(x －2y ＋1)(x ＋y －3)<0表示的平面区域为( )[答案] C[解析] 将点(0,0)代入不等式中，不等式成立，否定A 、B ，将(0,4)点代入不等式中，不等式成立，否定D ，故选C ．4．设b ＞a ＞0，a ＋b ＝1，则下列四个数12，2ab ，a 2＋b 2，b 中，最大的数是( )A ．12B ．bC ．2abD ．a 2＋b 2[答案] B[解析] 因为b ＞a ＞0，a ＋b ＝1， 所以0＜a ＜12＜b ＜1，a 2＋b 2＞2ab .又因为a 2＋b 2－b ＝a 2＋b (b －1)＝a 2－ab ＝a (a －b )＜0. 所以a 2＋b 2＜b ，故四个数中最大的数是b .5．若a <b ，d <c ，并且(c －a )(c －b )<0，(d －a )(d －b )>0，则a 、b 、c 、d 的大小关系是( ) A ．d <a <c <b B ．a <c <b <d C ．a <d <b <c D ．a <d <c <b[答案] A[解析] ∵a <b ，(c －a )(c －b )<0， ∴c －a >0，c －b <0， ∴a <c <b .又∵d <c ，∴d <b ，∴d －b <0. 又∵(d －a )(d －b )>0，∴d －a <0， ∴d <a . ∴d <a <c <b .6．设M ＝a ＋1a －2(2＜a ＜3)，N ＝log 0.5(x 2＋116)(x ∈R )那么M 、N 的大小关系是( )A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．不能确定 [答案] A[解析] ∵2＜a ＜3，∴a －2>0. M ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2＞4， N ＝log 0.5(x 2＋116)≤log 0.5116＝4，∴M ＞N .7．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥02x ＋y ≤2y ≥0x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0<a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0<a ≤1或a ≥43[答案] D[解析] 由图形知，要使平面区域为三角形，只需直线l ：x ＋y ＝a 在l 1、l 2之间或在l 3上方．∴0<a ≤1或a ≥43.8．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(0，12]成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3[答案] C[解析] ∵x ∈(0，12]，∴a ≥－x 2－1x ＝－x －1x.由于函数y ＝x ＋1x 在(0，12]上单调递减，∴在x ＝12处取得最小值52.∴－(x ＋1x )≤－52.∴a ≥－52.9．已知a ＞0，b ＞0，a 、b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b 则α＋β的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] C[解析] 由题意a ＋b ＝1，则α＋β＝a ＋1a ＋b ＋1b＝1＋1ab ≥1＋1(a ＋b2)2＝5.10．若x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y x ＋y ≤1y ≥－1，则z ＝－2x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．－12C ．2D ．－5[答案] A[解析] 作出可行域如下图，当直线y ＝2x ＋z 平移到经过可行域上点A (－1，－1)时，z 取最大值，∴z max ＝1.11．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，若a ∥b ，则4x ＋8y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 2 C ．22 D ．2[答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴3(y －1)－(－2)x ＝0， ∴2x ＋3y ＝3.故4x ＋8y ＝22x ＋23y ≥222x ＋3y ＝223＝42，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝34，y ＝12时等号成立．12．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )A ．2 000元B ．2 200元C ．2 400元D ．2 800元[答案] B[解析] 设需甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≤4，x ∈N *y ≤8，y ∈N *20x ＋10y ≥100，作出其可行域如图所示．可知目标函数z ＝400x ＋300y 在点A 处取最小值，z ＝400×4＋300×2＝2 200(元)． 二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．不等式x ＋1x ≤3的解集是________．[答案] {x |x ≥12或x <0}[解析] 原不等式等价于x ＋1x －3≤0⇔1－2x x ≤0⇔2x －1x ≥0⇔x (2x －1)≥0，且x ≠0，解得x ≥12或x <0. 14．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m ＝________.[答案] 2[解析] 由题意知a >0且1是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根，∴a ＝2， ∴不等式为2x 2－6x ＋4<0，即x 2－3x ＋2<0， ∴1<x <2，∴m ＝2.15．若a ≥0，b ≥0，a 2＋b 2＝1，则a 1＋b 2的最大值为________． [答案] 1[解析] ∵a ≥0，b ≥0， ∴a1＋b 2≤a 2＋1＋b 22＝1，当且仅当a ＝1＋b 2，即a ＝1，b ＝0时取等号．16．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4，所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是________．[答案] 73[解析] 不等式组⎩⎨⎧x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4，表示的区域如图所示．直线y ＝kx ＋43经过三角形的顶点C ，要想平分面积，只需要经过AB 的中点D 即可．解相应的方程组可得A (1，1)、B (0,4)、C (0，43)，则D (12，52)，k ＝52－4312－0＝73.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2－2kx ＋1－k 2＝0的两个实根，求x 21＋x 22的最小值．[解析] 由题意，得x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝1－k 2.Δ＝4k 2－4(1－k 2)≥0， ∴k 2≥12.∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4k 2－2(1－k 2) ＝6k 2－2≥6×12－2＝1.∴x 21＋x 22的最小值为1.18．(本题满分12分)若a ＜1，解关于x 的不等式ax x －2＜1 .[解析] a ＝0时，x ∈R 且x ≠2； a ≠0时，axx －2＜1⇔(a －1)x ＋2x －2＞0 ⇔[(a －1)x ＋2](x －2)＞0. ∵a ＜1，∴a －1＜0. ∴化为(x －21－a )(x －2)＜0，当0<a <1时，21－a >2，∴不等式的解为2<x <21－a； 当a <0时，1－a >1，∴21－a <2，∴不等式解为21－a<x <2，∴当0＜a ＜1时，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |2＜x ＜21－a ；当a ＜0时，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |21－a ＜x ＜2；当a ＝0时，解集为{x ∈R |x ≠2}．19．(本题满分12分)已知x 、y 都是正数．(1)若3x ＋2y ＝12，求xy 的最大值； (2)若x ＋2y ＝3，求1x ＋1y 的最小值．[解析] (1)xy ＝16·3x ·2y ≤16⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y 22＝6.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＝2y ，3x ＋2y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3时取“＝”号．所以当x ＝2，y ＝3时，xy 取得最大值6. (2)1x ＋1y ＝13(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝13⎝⎛⎭⎫3＋x y ＋2y x ≥13⎝⎛⎭⎫3＋2x y ·2y x ＝1＋223.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x y ＝2y x x ＋2y ＝3即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32y ＝3－322时，取“＝”号． 所以，当x ＝－3＋32，y ＝3－322时，1x ＋1y 取得最小值1＋223. 20．(本题满分12分)不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．[解析] 由m 2－2m －3＝0，得m ＝－1或m ＝3. 当m ＝3时，原不等式化为－1<0恒成立； 当m ＝－1时，原不等式化为4x －1<0， ∴x <14，故m ＝－1不满足题意．当m 2－2m －3≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3<0Δ＝[－(m －3)]2＋4(m 2－2m －3)<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <3－15<m <3，∴－15<m <3.综上可知，实数m 的取值范围是－15<m ≤3.21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 2ax ＋b (a 、b 为常数)，且方程f (x )－x ＋12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设k >1，解关于x 的不等式f (x )<(k ＋1)x －k2－x.[解析] (1)将x 1＝3，x 2＝4分别代入方程x 2ax ＋b－x ＋12＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧93a ＋b＝－9164a ＋b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2.∴f (x )＝x 22－x(x ≠2)．(2)原不等式即为x 22－x <(k ＋1)x －k2－x ，可化为x 2－(k ＋1)x ＋k 2－x <0.即(x －2)(x －1)(x －k )>0. ①当1<k <2时，1<x <k 或x >2; ②当k ＝2时，x >1且x ≠2； ③当k >2时，1<x <2或x >k .综上所述，当1<k <2时，原不等式的解集为{x |1<x <k 或x >2}； 当k ＝2时，原不等式的解集为{x |x >1且x ≠2}； 当k >2时，原不等式的解集为{x |1<x <2或x >k }． 22．(本题满分14分)已知x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋7≥04x －3y －12≤0x ＋2y －3≥0，求z ＝x 2＋y 2的最大值与最小值．[解析] 在同一直角坐标系中，作直线x －2y ＋7＝0,4x －3y －12＝0和x ＋2y －3＝0，再根据不等式组确定可行域为△ABC (如图所示)，把x 2＋y 2看作点(x ，y )到原点(0,0)的距离的平方．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋7＝04x －3y －12＝0，解得点A 的坐标(9,8)．所以(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝92＋82＝145.因为原点O 到直线BC 的距离为|0＋0－3|5＝35，所以(x 2＋y 2)min ＝95.。

第一章 1.1.4一、选择题1．下列命题中正确的是()A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．两条相交直线的投影可能平行D．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点[答案] D[解析]梯形的平行投影是梯形或线段，∴B不对；平行投影把平行直线投射成平行直线或一条直线，把相交直线投射成相交直线或一条直线，把线段中点投射成投影的中点，∴C错，D对，矩形的平行投影可以是线段、矩形或平行四边形，∴A错．2．下列图形中采用中心投影画法的是()[答案] A[解析]由中心投影与平行投影的图形特征及性质可知选A.3．夜晚，人在路灯下的影子是________投影，人在月光下的影子是________投影．() A．平行中心B．中心中心C．平行平行D．中心平行[答案] D[解析]路灯的光是从一点发出的，故影子是中心投影；而月光可以近似看作平行的，月光下的影子是平行投影．4．(2015·广东市重点中学高一期末测试)利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是()A．正三角形的直观图仍然是正三角形B．平行四边形的直观图一定是平行四边形C．正方形的直观图是正方形D．圆的直观图是圆[答案] B[解析]平行四边形的直观图一定是平行四边形．5．水平放置的矩形ABCD长AB＝4，宽BC＝2，以AB、AD为轴作出斜二测直观图A′B′C′D′，则四边形A′B′C′D′的面积为()A．42B．22C ．4D ．2[答案] B[解析] 平行线在斜二测直观图中仍为平行线，∴四边形A ′B ′C ′D ′为平行四边形，∠D ′A ′B ′＝45°，A ′B ′＝4，A ′D ′＝12×2＝1，∴D ′E ＝1×sin45°＝22， ∴S 四边形A ′B ′C ′D ′＝A ′B ′·D ′E ＝4×22＝2 2. 6．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是( ) ①角的水平放置的直观图一定是角． ②相等的角在直观图中仍相等． ③相等的线段在直观图中仍然相等．④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] C[解析] 由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对，而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③错．二、填空题7.如图所示的是水平放置的三角形ABC 在直角坐标系中的直观图，其中D ′是A ′C ′的中点，且∠A ′C ′B ′≠30°，则原图形中与线段BD 的长相等的线段有________条．[答案] 2[解析] △ABC 为直角三角形，由D 为AC 中点，∴BD ＝AD ＝CD . ∴与BD 的长相等的线段有两条．8．如图所示为一个水平放置的正方形ABCO ，在直角坐示系xOy 中，点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为________．[答案]22[解析] 画出该正方形的直观图，则易得点B ′到x ′轴的距离等于点A ′到x ′轴的距离d ，则O ′A ′＝12OA ＝1，∠C ′O ′A ′＝45°，所以d ＝22O ′A ′＝22.三、解答题9.如图所示，有一灯O ，在它前面有一物体AB ，灯所发出的光使物体AB 在离灯O 为10 m的墙上形成了一个放大了3倍的影子A ′B ′，试求灯与物体之间的距离．[解析] 如图所示，作OH ⊥AB 于H ，延长OH 交A ′B ′于H ′，则OH 即为所求． 由平面几何及光线沿直线传播知，△AOB ∽△OA ′B ′， ∴AB A ′B ′＝OH OH ′，∵AB A ′B ′＝13，且OH ′＝10 m.∴OH ＝103 m ，即灯与物体AB 之间的距离为103m.一、选择题1．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m,5m,10m ，四棱锥的高为8m ，若按1500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为( )A ．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB ．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC ．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD ．2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm [答案] C[解析] 由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm,1 cm,2 cm 和1.6 cm ，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.2．太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是103，则皮球的直径是( )A ．53B ．15C ．10D ．83[答案] B[解析] 设皮球的半径为R ，由题意得：DC ＝2R ，DE ＝103，∠CED ＝60°，解得DC ＝DE sin60°＝15.3．如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为a cm(a >0)，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形OABC 的周长是( )A ．8a cmB ．6a cmC ．(2a ＋22a ) cmD ．4a cm [答案] A[解析] 由斜二测画法的规则可知，在原图形中OB ＝22a ，OA ＝a ，且OA ⊥OB ，∴AB ＝3a ， ∴OABC 的周长为2(a ＋3a )＝8a cm.4．已知正△ABC 的边长为a ，以它的一边为x 轴，对应的高线为y 轴，画出它的水平放置的直观图△A ′B ′C ′，则△A ′B ′C ′的面积是( )A.34a 2B.38a 2C.68a 2 D.616a 2 [答案] D[解析] 如图为△ABC 及其直观图A ′B ′C ′.则有A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝12·32a ＝34a ，∠B ′O ′C ′＝45°，∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·O ′C ′·sin45°＝12a ×34a ×22＝616a 2，故选D.二、填空题5．如图所示，梯形A ′B ′C ′D ′是平面图形ABCD 的直观图，若A ′D ′∥O ′y ′，A ′B ′∥C ′D ′，A ′B ′＝23C ′D ′＝2，A ′D ′＝1，则四边形ABCD 的面积是____________．[答案] 5[解析] 原图形ABCD 为直角梯形，AD 为垂直于底边的腰，AD ＝2，AB ＝2，CD ＝3，∴S 四边形ABCD ＝5.6．(2015·山东商河弘德中学高一月考)水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．[答案] 52[解析] 原图中AC ＝3，BC ＝4，且△ABC 为直角三角形，故斜边上的中线长为1232＋42＝52. 三、解答题7．如图所示的平行四边形A ′B ′C ′D ′是一个平面图形的直观图，且∠D ′A ′B ′＝45°，请画出它的实际图形．[解析]①在直观图A′B′C′中建立坐标系x′A′y′，再建立一个直角坐标系xOy，如图所示．②在x轴上截取线段AB＝A′B′，在y轴上截取线段AD，使AD＝2A′D′.③过B作BC∥AD，过D作DC∥AB，使BC与DC交于点C，则四边形ABCD为四边形A′B′C′D′的实际图形．8．小昆和小鹏两人站成一列，背着墙，面朝太阳，小昆靠近墙，在太阳光照射下，小昆的头部影子正好落在墙角处．如果小昆身高为1.6 m，离墙距离为3 m，小鹏的身高1.5 m，离墙的距离为5 m，则小鹏的身影是否在小昆的脚下，请通过计算说明．[解析]如图设小鹏的影长为x m，根据太阳光平行的特征有x1.5＝31.6，x≈2.81,2.81 m＋3 m＝5.81 m>5 m，所以小鹏的身影会在小昆的脚下．。

【成才之路】2021-2021学年高中数学本册综合测试B 新人教B版必修2时刻120分钟，总分值150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知空间两点P(－1,2，－3)，Q(3，－2，－1)，那么P、Q两点间的距离是( )A．6 B．22C．36 D．25[答案] A[解析] 由空间两点间距离公式，得|PQ|＝3＋12＋－2－22＋－1＋32＝6.2．在数轴上从点A(－2)引一线段到B(3)，再延长一样的长度到C，那么点C的坐标为( )A．13 B．0C．8 D．－2[答案] C[解析] 设点C的坐标为x，由题意，得d(A，B)＝3－(－2)＝5；d(B，C)＝x－3＝5，∴x＝8.3．空间中到A、B两点距离相等的点组成的集合是( )A．线段AB的中垂线B．线段AB的中垂面C．过AB中点的一条直线D．一个圆[答案] B[解析] 空间中线段AB的中垂面上的任意一点到A、B两点距离相等．4．假设一个三角形的平行投影仍是三角形，那么以下命题：①三角形的高线的平行投影，必然是那个三角形的平行投影的高线；②三角形的中线的平行投影，必然是那个三角形的平行投影的中线；③三角形的角平分线的平行投影，必然是那个三角形的平行投影的角平分线；④三角形的中位线的平行投影，必然是那个三角形的平行投影的中位线．其中正确的命题有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ [答案] D[解析] 垂直线段的平行投影不必然垂直，故①错；线段的中点的平行投影仍是线段的中点，故②正确；三角形的角平分线的平行投影，不必然是角平分线，故③错；因为线段的中点的平行投影仍然是线段的中点，因其中位线的平行投影仍然是中位线，故④正确．选D.5．在圆柱内有一个内接正三棱锥，过一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )[答案] D[解析] 如下图，由图可知选D.6．已知圆x 2＋y 2－2x ＋my ＝0上任意一点M 关于直线x ＋y ＝0的对称点N 也在圆上，那么m 的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2 [答案] D[解析] 由题可知，直线x ＋y ＝0过圆心(1，－m 2)， ∴1－m 2＝0， ∴m ＝2.7．假设圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，那么圆C 的方程是( ) A ．(x －5)2＋y 2＝5 B ．(x ＋5)2＋y 2＝5 C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝5 [答案] D[解析] 设圆心C (a,0)，由题意r ＝5＝|a |5，∴|a |＝5，∵a <0，∴a ＝－5，∴圆C 的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5. 8．关于直线m 、n 和平面α、β，能得出α⊥β的一个条件是 ( )A ．m ⊥n ，m ∥α，n ∥βB ．m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂αC ．m ∥n ，n ⊥β，m ⊂αD ．m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β[答案] C [解析] 关于选项C ，∵m ∥n ，n ⊥β，∴m ⊥β，又∵m ⊂α，∴α⊥β.9．油槽储油20m 3，假设油从一管道等速流出，那么50min 流完．关于油槽剩余量Q (m 3)和流出时刻t (min)之间的关系可表示为( )[答案] B[解析] 由题意知，油流出的速度为2050＝0.4m 3/min ，故油槽剩余油量Q 和流出时刻t (min)之间的关系式为Q ＝20－0.4t ，应选B.10．假设两圆别离为C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0，C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0，那么两圆的公切线的交点有且只有( )A ．1个B ．3个C ．4个D ．6个 [答案] B[解析] ∵C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，C 2：(x －2)2＋(y －5)2＝16，∴圆C 1的圆心坐标为(－2,2)，半径r 1＝1，圆C 2的圆心坐标为(2,5)，半径r 2＝4，两圆心的距离d ＝|C 1C 2|＝2＋22＋5－22＝5，∵r 1＋r 2＝5，∴d ＝r 1＋r 2，两圆外切，∴有3个交点．11．点P (5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部，那么a 的取值范围是( )A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，113 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－113，113 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，15 [答案] C[解析] ∵点P (5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部，∴(5a ＋1－1)2＋(12a 2)<1，即25a 2＋144a 2<1，∴a 2<1169， ∴－113<a <113. 12．假设直线ax ＋by －3＝0和圆x 2＋y 2＋4x －1＝0切于点P (－1,2)，那么ab 的为( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3[答案] C[解析] 由题意，得点P (－1,2)在直线ax ＋by －3＝0上，∴－a ＋2b －3＝0，即a ＝2b －3.圆x 2＋y 2＋4x －1＝0的圆心为(－2,0)，半径r ＝5，∴|－2a －3|a 2＋b 2＝5， ∴a 2－12a ＋5b 2－9＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b －3a 2－12a ＋5b 2－9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2. 故ab ＝2.二、填空题(本大题共4个小题，每题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．已知两条直线l 1：ax ＋8y ＋b ＝0和l 2：2x ＋ay －1＝0(b <0)，假设l 1⊥l 2且直线l 1的纵截距为1时，a ＝________，b ＝________.[答案] 0 －8[解析] ∵l 1⊥l 2，∴2a ＋8a ＝0，∴a ＝0.又直线l 1：ax ＋8y ＋b ＝0，即8y ＋b ＝0的纵截距为1，∴b ＝－8.14．已知圆M ：x 2＋y 2－2mx －3＝0(m <0)的半径为2，那么其圆心坐标为________．[答案] (－1,0)[解析] 方程x 2＋y 2－2mx －3＝0可化为(x －m )2＋y 2＝3＋m 2，∴3＋m 2＝4，∴m 2＝1，∵m <0，∴m ＝－1.故圆心坐标为(－1,0)．15．正三棱锥的侧面积是27cm 2，底面边长是6cm ，那么它的高是________．[答案] 6cm[解析] 如下图，正三棱锥P －ABC 的底边长为6，过点P 作PO ⊥平面ABC ，O 为垂足，取AB 的中点D ，连接PD 、OD ，由题意，得3×12×AB ×PD ＝27， ∴PD ＝3.又OD ＝36×6＝3， ∴PO ＝PD 2－OD 2＝9－3＝6(cm)．16．一个半球的表面积为Q ，一个圆柱与此半球等底等体积，那么那个圆柱的表面积是________．[答案] 109Q[解析] 设半球的半径为R ，那么圆柱的底面半径也为R ，设圆柱的高为h .由题意得2πR 2＋πR 2＝Q ，∴R 2＝Q3π. 又23πR 3＝πR 2h ，∴h ＝23R . ∴圆柱的表面积S ＝2πRh ＋2πR 2＝43πR 2＋2πR 2＝103πR 2＝103π·Q 3π＝109Q . 三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤)17．(此题总分值12分)直线l 过点P (43，2)，且与x 轴，y 轴的正方向别离交于A ，B 两点，当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．[解析] 当斜率k 不存在时，不合题意．设所求直线的斜率为k ，那么k ≠0，l 的方程为y －2＝k (x －43)． 令x ＝0，得y ＝2－43k >0， 令y ＝0，得x ＝43－2k>0， ∴k <32.由S ＝12(2－43k )(43－2k )＝6，解得k ＝－3或k ＝－34. 故所求直线方程为y －2＝－3(x －43)或y －2＝－34(x －43)， 即3x ＋y －6＝0或3x ＋4y －12＝0.18．(此题总分值12分)一个圆切直线l 1：x －6y －10＝0于点P (4，－1)，且圆心在直线l 2：5x －3y ＝0上，求该圆的方程．[解析] 解法一：过点P (4，－1)且与直线l 1：x －6y －10＝0垂直的直线的方程设为6x ＋y ＋c ＝0. 把点P 的坐标代入上式，得c ＝－23，即6x ＋y －23＝0.设所求圆的圆心为M (a ，b )，那么知足6a ＋b －23＝0. ①又由题设知圆心M 在直线l 2：5x －3y ＝0上，则5a －3b ＝0.② 联立式①②，解得a ＝3，b ＝5，即圆心M (3,5)，因此半径r ＝|PM |＝4－32＋－1－52＝37，故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －5)2＝37.解法二(待定系数法)：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ |a －6b －10|37＝r4－a 2＋－1－b 2＝r 25a －3b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝5r 2＝37.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －5)2＝37.19．(此题总分值12分)已知圆C 与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且通过点A (6,1)，求圆C 的方程．[解析] ∵圆心在直线x －3y ＝0上，∴设圆心坐标为(3a ，a )，又圆C 与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，圆的标准方程为(x －3a )2＋(y －a )2＝9a 2， 又∵过点A (6,1)，∴(6－3a )2＋(1－a )2＝9a 2，即a 2－38a ＋37＝0，∴a ＝1或a ＝37，∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x －111)2＋(y －37)2＝12 321.20．(此题总分值12分)如下图，圆锥的轴截面为等腰直角△SAB ，Q 为底面圆周上一点．(1)假设QB 的中点为C ，OH ⊥SC ，求证：OH ⊥平面SBQ ；(2)若是∠AOQ ＝60°，QB ＝23，求此圆锥的体积．[解析] (1)连接OC ，∵SQ ＝SB ，OQ ＝OB ，QC ＝CB ，∴QB ⊥SC ，QB ⊥OC ，∴QB ⊥平面SOC .∵OH ⊂平面SOC ，∴QB ⊥OH ，又∵OH ⊥SC ，∴OH ⊥平面SQB .(2)连接AQ .∵Q 为底面圆周上的一点，AB 为直径，∴AQ ⊥QB .在Rt △AQB 中，∠QBA ＝30°，QB ＝23， ∴AB ＝23cos60°＝4. ∵△SAB 是等腰直角三角形，∴SO ＝12AB ＝2， ∴V 圆锥＝13π·OA 2·SO ＝83π. 21．(此题总分值12分)如图，已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且∠DAB ＝60°，AD ＝AA 1，F 为棱BB 1的中点，M 为线段AC 1的中点．(1)求证：直线MF ∥平面ABCD ；(2)求证：平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1.[解析] (1)延长C 1F 交CB 的延长线于点N ，连接AN .∵F 是BB 1的中点，∴F 为C 1N 的中点，B 为CN 的中点．又∵M 是线段AC 1的中点，∴MF∥AN.又∵MF⊄平面ABCD，AN⊂平面ABCD，∴MF∥平面ABCD.(2)连接BD，由直四棱柱ABCD－A1B1C1D1可知，A1A⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1.在四边形DANB中，DA∥BN，且DA＝BN，∴四边形DANB为平行四边形，∴NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1.又∵NA⊂平面AFC1，∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.22．(此题总分值14分)如下图，M、N、P别离是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的点．(1)假设BMMA＝BNNC，求证：不管点P在DD1上如何移动，总有BP⊥MN；(2)棱DD1上是不是存在如此的点P，使得平面APC1⊥平面ACC1？证明你的结论．[解析] (1)如下图，连接B1M、B1N、AC、BD，那么BD⊥AC.∵BMMA＝BNNC，∴MN∥AC.∴BD⊥MN.∵DD1⊥平面ABCD，MN⊂面ABCD，∴DD1⊥MN.∴MN⊥平面BDD1.∵不管P在DD1上如何移动，总有BP⊂平面BDD1，故总有MN⊥BP.(2)存在点P，且P为DD1的中点，使得平面APC1⊥平面ACC1.∵BD⊥AC，BD⊥CC1，∴BD⊥平面ACC1.取BD1的中点E，连接PE，则PE∥BD.∴PE⊥面ACC1.又∵PE⊂面APC1，∴面APC1⊥面ACC1.。

第一章综合测试(B)时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，DD1与BB1所在直线是导学号 03310456()A．相交B．平行C．不垂直的异面直线D．垂直的异面直线[答案] A[解析]依据棱台的定义可知，DD1与BB1延长后肯定交于一点，故选A．2．不在同始终线上的五个点，最多能确定平面的个数是导学号 03310457()A．8 B．9C．10 D．12[答案] C[解析]要确定平面个数最多，须任意四点不共面，从A、B、C、D、E五个点中任取三个点确定一个平面，即ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE共10种状况，选C．3．给出四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱肯定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体肯定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱肯定是直棱柱；④长方体肯定是正四棱柱．其中正确的命题个数是导学号 03310458()A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析]反例：①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正方体；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③④明显错误，故选A．4．下列几何体各自的三视图中，只有两个视图相同的是导学号 03310459() A．①③B．②③C．②④D．③④[答案] C[解析]正方体和球体的三个视图都相同，故选C．5．若球的半径扩大到原来的2倍，那么其体积扩大到原来的()倍导学号 03311031()A．64 B．16C．8 D．4[答案] C[解析]设球的半径为R，其体积V＝43πR3，当球半径扩大到原来的2倍时，其体积V′＝43π(2R)3＝8V．6．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为导学号 03310460()A．112B．5C．92D．4[答案] D[解析] 本题考查三视图，棱柱体积公式．由三视图知该几何体为直六棱柱．其底面积为S ＝2×[12(1＋3)×1]＝4，高为1.所以体积V ＝4，由“长对正、宽相等、高平齐”确定几何体的外形及尺寸、角度等．7．已知平面α、β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α；④α⊥β；⑤α∥β，能推出m ∥β的是导学号 03310461( )A ．①④B ．①⑤C ．②⑤D ．③⑤[答案] D [解析]⎭⎬⎫m ⊂αα∥β⇒m ∥β，故选D ．8．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点E 为A 1C 1上的一点，则直线CE 肯定垂直于导学号 03310462( )A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1D 1[答案] B[解析] 由BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1易知BD ⊥平面A 1ACC 1，而CE ⊂平面A 1ACC 1，故BD ⊥CE ． 9．已知圆柱的侧面开放图矩形面积为S ，底面周长为C ，它的体积是导学号 03310463( ) A ．C 34πSB ．4πSC 3C ．CS 2πD ．SC 4π[答案] D[解析] 设圆柱底面半径为r ，高为h ，，则⎩⎪⎨⎪⎧Ch ＝SC ＝2πr，∴r ＝C 2π，h ＝SC，∴V ＝πr 2·h ＝π⎝⎛⎭⎫C 2π2·S C ＝SC 4π． 10．三棱锥P －ABC 三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为22、32、62，则该三棱锥的外接球的表面积为导学号 03310464( )A ．4πB ．6πC ．8πD ．10π[答案] B[解析] 设P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝2ac ＝3bc ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝2c 2＝3．∴外接球的半径R ＝a 2＋b 2＋c 22＝62． ∴外接球的表面积S ＝4πR 2＝6π．11．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是导学号 03310465( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 [答案] D[解析] 由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1得B 1B ⊥面AC ， ∴AC ⊥B 1B ，又∵AC ⊥BD ，BD ∩B 1B ＝B ， ∴AC ⊥面BDD 1B 1，BE ⊂面BDD 1B 1， ∴AC ⊥BE ，故A 正确．由正方体ABCD－A1B1C1D1得B1D1∥BD，B1D1⊄面ABCD，BD⊂面ABCD，∴B1D1∥面ABCD，∴EF∥面ABCD，故B正确．V A－BEF ＝12AC×12BB1×EF＝13×12×12×22＝224．∴三棱锥A－BEF的体积为定值，故C正确．因线段B1D1上两个动点E、F，且EF＝12，当E、F移动时，A到EF的距离与B到EF的距离不相等，∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D不正确．12．已知圆锥的母线长为5 cm，圆锥的侧面开放图如图所示，且∠AOA1＝120°，一只蚂蚁欲从圆锥底面上的点A动身，沿圆锥侧面爬行一周回到点A.则蚂蚁爬行的最短路程为导学号 03310466()A．8 cm B．5 3 cmC．10 cm D．5π cm[答案] B[解析]连接AA1，作OC⊥AA1于C，由于圆锥的母线长为5 cm，∠AOA1＝120°，所以AA1＝2AC＝5 3 cm．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，这个平面图形的面积为________.导学号 03310467[答案]2＋22[解析]S直观图＝[1＋(1＋22)]×222＝(2＋22)24＝22＋14．又S直观图S平面图＝24，∴S平面图＝(22＋14)24＝2＋22．14．已知两个球的表面积之比为19，则这两个球的半径之比为__________. 导学号 03310468[答案]1 3[解析]设两球的半径分别为R1、R2，由题意得4πR214πR22＝19，∴R1R2＝13．15．已知平面α、β和直线m，给出以下条件：①m∥α，②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.要使m⊥β，则所满足的条件是________.导学号 03310469[答案]②④[解析]⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αα∥β⇒m⊥β．16．(2022·浙江文，9)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.导学号 03310470[答案]8040[解析]由三视图可得该几何体是由一个长、宽、高分别为4、4、2的长方体和一个棱长为2的正方体组合而成的，故表面积为S＝4×4×2＋4×2×4＋2×2×4＝80(cm2)，体积为V＝4×4×2＋2×2×2＝40(cm3)．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)一个棱锥的底面是边长为a的正三角形，它的一个侧面也是正三角形，且这个侧面与底面垂直，求这个棱锥的体积和全面积.导学号 03310471[解析] 如图所示，平面ABC ⊥平面BCD ，△ABC 与△BCD 均为边长为a 的正三角形，取BC 中点E ，连接AE ，则AE ⊥平面BCD ，故棱锥A －BCD 的高为AE ，△BCD 的面积为34a 2，AE ＝32a ， ∴V A －BCD ＝13·34a 2·32a ＝18a 3．连接DE ，∵AE ⊥平面BCD ，DE ⊂平面BCD ，∴AE ⊥DE ， 在Rt △AED 中，AE ＝ED ＝32a ，∴AD ＝2·32a ＝62a ．取AD 中点F ，连接CF ，则CF ⊥AD ． 在Rt △CDF 中，DF ＝12·62a ＝64a ，∴CF ＝CD 2－DF 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫64a 2＝104a ． ∴S △ACD ＝12AD ·CF ＝12×62a ×104a ＝158a 2．∵△ABD ≌△ACD ，S △ABD ＝158a 2． 故S 全面积＝34a 2＋34a 2＋2×158a 2＝23＋154a 2．∴棱锥的体积为 18a 3，全面积为23＋154a 2．18．(本题满分12分)如图，矩形AMND 所在平面与直角梯形MBCN 所在的平面垂直，MB ∥NC ，MN ⊥MB .导学号 03310472(1)求证：平面AMB ∥平面DNC ； (2)若MC ⊥CB ，求证：BC ⊥AC ．[解析] (1)∵四边形AMND 是矩形，∴AM ∥DN ，又∵MB ∥NC ， AM ∩MB ＝M ，DN ∩NC ＝N ， ∴平面AMB ∥平面DNC ． (2)∵平面AMND ⊥平面MBCN ，平面AMND ∩平面MBCN ＝MN ，AM ⊥MN ， ∴AM ⊥平面MBCN ，∴AM ⊥BC ．∵BC ⊥MC ，AM ∩MC ＝M ，∴BC ⊥平面AMC ，∴BC ⊥AC ．19．(本题满分12分)(2022·山东文，18)在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF ∥DB .导学号 03310473(1)已知AB ＝BC ，AE ＝EC .求证：AC ⊥FB ；(2)已知G 、H 分别是EC 和FB 的中点．求证：GH ∥平面ABC ． [解析] (1)由于EF ∥DB ，所以EF 与DB 确定平面BDEF .连接DE ．由于AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC．同理可得BD⊥AC．又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF，由于FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB．(2)设FC的中点为I，连接GI、HI．在△CEF中，由于G是CE的中点，所以GI∥EF．又EF∥DB，所以GI∥DB．在△CFB中，由于H是FB的中点，所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC．由于GH⊂平面GHI，所以CH∥平面ABC．20．(本题满分12分)如图，三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.导学号 03310474(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A－MBC的体积．[解析](1)∵AB ⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CD⊥平面ABD．(2)由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD，∵AB＝BD＝1，∴S△ABD＝12．∵M是AD的中点，∴S△ABM＝12S△ABD＝14．由(1)知，CD⊥平面ABD，∴三棱锥C－ABM的高h＝CD＝1，因此三棱锥A－MBC的体积V A－MBC＝V C－ABM＝13S△ABM·h＝112．21．(本题满分12分)如下三个图中，左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，右面是它的主视图和左视图(单位：cm).导学号 03310475(1)画出该多面体的俯视图；(2)依据给出的尺寸，求该多面体的体积；(3)在所给直观图中连接BC ′，证明：BC ′∥平面EFG ．[解析] (1)如图．(2)所求多面体的体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13×(12×2×2)×2＝2843(cm 3)．(3)证明：如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，连接AD ′，则AD ′∥BC ′，由于E 、G 分别为AA ′、A ′D ′中点， 所以AD ′∥EG ， 从而EG ∥BC ′， 又BC ′⊄平面EFG ， 所以BC ′∥平面EFG ．22．(本题满分14分)如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面相互垂直，△ABE 是等腰直角三角形，AB ＝AE ，F A ＝FE ，∠AEF ＝45°.导学号 03310476(1)求证：EF ⊥平面BCE ；(2)设线段CD 的中点为P ，在直线AE 上是否存在一点M ，使得PM ∥平面BCE ？若存在，请指出点M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由于平面ABEF ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB ， 所以BC ⊥平面ABEF .所以BC ⊥EF ．由于△ABE 为等腰直角三角形，AB ＝AE ，所以∠AEB ＝45°． 又由于∠AEF ＝45°，所以∠FEB ＝45°＋45°＝90°， 即EF ⊥BE ．由于BC ⊂平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，BC ∩BE ＝B ，所以EF ⊥平面BCE ．(2)存在点M ，当M 为线段AE 的中点时，PM ∥平面BCE ，取BE 的中点N ，连接CN 、MN ， 则MN 綊12AB 綊PC ，所以四边形PMNC 为平行四边形，所以PM ∥CN ． 由于CN 在平面BCE 内，PM 不在平面BCE 内， 所以PM ∥平面BCE ．。