成才之路人教B高中数学必修习题 综合测试 A 含解析

【成才之路】2021-2021学年高中数学本册综合测试A 新人教B版必修2时刻120分钟，总分值150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知点A(a,3)、B(－1，b＋2)且直线AB的倾斜角为90°，那么a、b的值为( )A．a＝－1，b∈R且b≠1B．a＝－1，b＝1C．a＝3，b＝1 D．a＝3，b＝－1[答案] A[解析] ∵直线AB的倾斜角为90°，∴AB⊥x轴，∴a＝－1，b∈R且b≠1.2．不论m为何值，直线(m－2)x－y＋3m＋2＝0恒过定点( )A．(3,8) B．(8,3)C．(－3,8) D．(－8,3)[答案] C[解析] 直线方程(m－2)x－y＋3m＋2＝0可化为m(x＋3)－2x－y＋2＝0，∴x＝－3时，m∈R，y＝8，应选C.3．(2021·山东东营广饶一中高一期末测试)一梯形的直观图是一个如下图的等腰梯形，且那个等腰梯形的面积为2，那么原梯形的面积为( )A．2 B.2C．2 2 D．4[答案] D[解析] 由平面图形的斜二测画法规那么，得2S原梯形＝24，∴S原梯形＝4.4．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( )A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α[答案] B[解析] 已知两条不相交的空间直线a和b，能够在直线a上任取一点A，使得A∉b.过A作直线c∥b，那么过a 、b 必存在平面α，且使得a ⊂α，b ∥α.5．(2021·福建安溪八中高一期末测试)假设点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝1的外部，那么有直线ax ＋by ＋1＝0与圆C 的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．相交D ．相交或相切 [答案] C[解析] ∵点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝1的外部，∴a 2＋b 2>1.∴圆C 的圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋1＝0的距离d ＝1a 2＋b 2<1， 即直线ax ＋by ＋1＝0与圆C 相交．6．如图，在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的选项是( )[答案] C [解析] 当a >0时，直线y ＝ax 的斜率k ＝a >0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距等于a >0，现在，选项A 、B 、C 、D 都不符合；当a <0时，直线y ＝ax 的斜率k ＝a <0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距等于a <0，只有选项C 符合，应选C.7．(2021·广西南宁高一期末测试)已知平面α外不共线的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，那么正确的结论是( )A ．平面ABC 必平行于αB ．平面ABC 必不垂直于αC ．平面ABC 必与α相交D ．存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内[答案] D[解析] 平面ABC 与平面α可能平行也可能相交，排除A 、B 、C ，应选D.8．过点P (－2,4)作圆(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线l 1ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，那么l 1与l 间的距离是( )A.285B.125C.85D.25[答案] B[解析] 直线l 1的斜率k ＝－a 3，l 1∥l ， 又l 过P (－2,4)，∴l y －4＝－a 3(x ＋2)， 即ax ＋3y ＋2a －12＝0，又直线l 与圆相切，∴|2a ＋3×1＋2a －12|a 2＋9＝5，∴a ＝－4， ∴l 1与l 的距离为d ＝125，∴选B. 9．光线沿着直线y ＝－3x ＋b 射到直线x ＋y ＝0上，经反射后沿着直线y ＝ax ＋2射出，那么有( )A ．a ＝13，b ＝6 B ．a ＝－13，b ＝－6 C ．a ＝3，b ＝－16D ．a ＝－3，b ＝16 [答案] B[解析] 由题意，直线y ＝－3x ＋b 与直线y ＝ax ＋2关于直线y ＝－x 对称，故直线y ＝ax ＋2上点(0,2)关于y ＝－x 的对称点(－2,0)在直线y ＝－3x ＋b 上，∴b ＝－6，y ＝－3x －6上的点(0，－6)，关于直线y ＝－x对称点(6,0)在直线y ＝ax ＋2上，∴a ＝－13选B. 10．圆柱的侧面展开图是一个边长为2πa 的正方形，那么那个圆柱的体积是( )A ．2π2a 3B ．π2a 3 C.π22a 3 D.π23a 3 [答案] A[解析] 因为圆柱的侧面展开图是一个边长为2πa 的正方形，因此圆柱的底面半径是a ，高为2πa ，因此V 圆柱＝πa 2·(2πa )＝2π2a 3，应选A.11．圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0上的动点P 到直线y ＝－x 的最小距离为( )A ．22－1B ．22C. 2 D ．1[答案] A[解析] 圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0可化为(x －2)2＋(y －2)2＝1，故圆心坐标为(2,2)，半径r ＝1.圆心(2,2)到直线y ＝－x 的距离d ＝|2＋2|2＝2 2. 故动点P 到直线y ＝－x 的最小距离为22－1.12．一个几何体的三视图如以下图所示，该几何体的表面积为( )A ．280B ．292C ．360D ．372[答案] C[解析] 该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面的面积之和． S ＝2×(10×8＋10×2＋8×2)＋2×(6×8＋8×2)＝360.二、填空题(本大题共4个小题，每题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．过点P (－2,0)作直线l 交圆x 2＋y 2＝1于A 、B 两点，那么|PA |·|PB |＝________.[答案] 3[解析] 如下图．|PA |·|PB |＝|PC |·|PD |＝1×3＝3.14．一个正四棱柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，那么它的体积为__________．[答案] 4[解析] 由已知得，正四棱柱的底面边长为1，高为4，体积V ＝12×4＝4.15．假设点P 在座标平面xOy 内，点A 的坐标为(0,0,4)且d (P ，A )＝5，那么点P 的轨迹方程为________．[答案] x 2＋y 2＝9[解析] 设P (x ，y,0)，那么d (P ，A )＝x －02＋y －02＋0－42＝5，即x 2＋y 2＝9.16．设m 、n 是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m ∥n ；②m ∥α；③n ∥α.以其中两个为条件，余下的一个为结论，组成三个命题，写出你以为正确的一个命题：__________________.[答案] ①②⇒③或(①③⇒②)三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤)17．(此题总分值12分)设A (1，－2，x )，B (x,3,0)，C (7，x,6)，且A 、B 、C 三点能组成直角三角形，求x 的值．[解析] AB 2＝2x 2－2x ＋26，BC 2＝2x 2－20x ＋94，AC 2＝2x 2－8x ＋76，由(2x 2－2x ＋26)＋(2x 2－20x ＋94)＝2x 2－8x ＋76得x 2－7x ＋22＝0无解；由(2x 2－2x ＋26)＋(2x 2－8x ＋76)＝2x 2－20x ＋94得x 2＋5x ＋4＝0，∴x 1＝－4，x 2＝－1；由(2x 2－20x ＋94)＋(2x 2－8x ＋76)＝2x 2－2x ＋26得x 2－13x ＋72＝0无解，∴x 的值为－4或－1.18．(此题总分值12分)下面三条直线l 1：4x ＋y ＝4，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my ＝4不能组成三角形，求m 的取值集合．[解析] ①三条直线交于一点时，由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝4mx ＋y ＝0知l 1和l 2的交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫44－m ，－4m 4－m ， 由A 在l 3上，可得2×44－m －3m ×－4m 4－m ＝4，得m ＝23或m ＝－1. ②至少两条直线平行或重合时，l 1，l 2，l 3至少两条直线的斜率相等，当m ＝4时，l 1∥l 2；当m ＝－16时，l 1∥l 3， 若l 2∥l 3，那么需有m 2＝1－3m ⇒m 2＝－23，不可能． 综合①、②可知m ＝－1，－16，23，4时，三条直线不能组成三角形，因此m 的取值集合为{－1，－16，23，4}．19．(此题总分值12分)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABCD ，AC ∩BD ＝E ，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6，求证：平面PBD ⊥平面PAC .[解析] ∵PA ⊥平面ABCD ， BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA .又tan ∠ABD ＝AD AB ＝33.tan ∠BAC ＝BC AB ＝ 3.∴∠ABD ＝30°，∠BAC ＝60°，∴∠AED ＝90°，即BD ⊥AC .又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC .∵BD ⊂平面PBD .因此平面PBD ⊥平面PAC .20．(此题总分值12分)在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在的直线方程为y ＝0.假设B 的坐标为(1,2)，求△ABC 三边所在直线方程及点C 坐标．[解析] BC 边上高AD 所在直线方程x －2y ＋1＝0，∴k BC ＝－2，∴BC 边所在直线方程为：y －2＝－2(x －1)即2x ＋y －4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0y ＝0，得A (－1,0)， ∴直线AB ：x －y ＋1＝0，点B (1,2)关于y ＝0的对称点B ′(1，－2)在边AC 上，∴直线AC ：x ＋y ＋1＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋1＝02x ＋y －4＝0，得点C (5，－6)． 21．(此题总分值12分)降水量是指水平地面上单位面积所降雨水的深度，用上口直径为38cm ，底面直径为24cm ，深度为35cm 的圆台形容器(轴截面如图)来测量降水量，假设在一次降水中，此桶盛得的雨水正好是桶深的17，那么本次降雨的降水量是多少？(精准到mm) [解析] 如图，作BE ⊥CD 于点E ，交MN 于点G ，作AH ⊥CD 于H ，交MN 于点P ，那么BG BE ＝17，四边形ABEH 、PGEH 均为矩形．∴BG ＝17·BE ＝17×35＝5(cm)． EH ＝PG ＝AB ＝24cm.又∵四边形ABCD 为等腰梯形，∴MN ＝PG ＋2GN .又∵EC ＝12(CD －AB )＝12(38－24)＝7(cm)， ∴GN ＝17EC ＝1(cm)， ∴MN ＝PG ＋2GN ＝24＋2＝26(cm)．∴这次降雨中雨水的体积为V ＝13π[(MN 2)2＋(AB 2)2＋(MN 2·AB 2)]·BG ＝13π×5×(132＋122＋13×12) ＝23453(cm 3)， 降雨中雨水面的面积S ＝π(CD 2)2＝361π(cm 2)．∴这次降雨的降水量为h ＝V S ＝2345π3×361π≈2.2(cm)＝22(mm)． 即本次降雨的降水量是22mm.22．(此题总分值14分)已知⊙C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0.(1)假设⊙C 的切线在x 轴、y 轴上截距相等，求切线的方程；(2)从圆外一点P (x 0，y 0)向圆引切线PM ，M 为切点，O 为原点，假设|PM |＝|PO |，求使|PM |最小的P 点坐标．[解析] ⊙C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心C (－1,2)，半径r ＝2.(1)假设切线过原点设为y ＝kx ， 则|－k －2|1＋k2＝2，∴k ＝0或43. 假设切线只是原点，设为x ＋y ＝a ，则|－1＋2－a |2＝2，∴a ＝1±22，∴切线方程为：y ＝0，y ＝43x ， x ＋y ＝1＋22和x ＋y ＝1－2 2.(2)x 20＋y 20＋2x 0－4y 0＋1＝x 20＋y 20， ∴2x 0－4y 0＋1＝0，|PM |＝x 20＋y 20＋2x 0－4y 0＋1＝5y 20－2y 0＋14 ∵P 在⊙C 外，∴(x 0＋1)2＋(y 0－2)2>4，将x 0＝2y 0－12代入得5y 20－2y 0＋14>0， ∴|PM |min ＝510.现在P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－110，15.。

第1章 1.1 第4课时基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°[答案] C[解析] 在△ABC 中，由余弦定理，得0<B <π，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝9＋4－712＝12∴B ＝60°.2．△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为( )A ．150°B ．135°C ．120°D ．60° [答案] A[解析] ∵a 2＋b 2＝c 2－3ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32，∴C ＝150°.3．在△ABC 中，a ＝7，b ＝10，c ＝6，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上答案都不对 [答案] B[解析] ∵a ＝7，b ＝10，c ＝6，∴b >a >c ，∴∠B 为最大角． 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝72＋62－1022×7×6<0，∴∠B 为钝角，故选B.4．若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形[答案] B[解析] 解法一：由正弦定理，得 sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C 即tan A ＝tan B ＝tan C ，∵A 、B 、C ∈(0，π)，∴A ＝B ＝C ， ∴△ABC 为等边三角形．解法二：由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，又∵a cos A ＝b cos B ＝ccos C，∴a b 2＋c 2－a 22bc ＝b a 2＋c 2－b 22ac ＝c a 2＋b 2－c 22ab ， ∴2abc b 2＋c 2－a 2＝2abc a 2＋c 2－b 2＝2abca 2＋b 2－c 2，∴b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2＝a 2＋b 2－c 2， ∴a ＝b ＝c ，故选B.5．在△ABC 中，若△ABC 的面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则∠C 为( )A.π4B.π6C.π3D.π2[答案] A[解析] 由S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，得12ab sin C ＝14×2ab cos C ，∴tan C＝1，∴C ＝π4.6．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )A.518B.34C.32D.78 [答案] D[解析] 设三角形的底边长为a ，则周长为5a ，∴等腰三角形腰的长为2a .设顶角为α，由余弦定理，得cos α＝(2a )2＋(2a )2－a 22×2a ×2a＝78.二、填空题7．在△ABC 中，a ＝23，b ＝6，A ＝45°，则边c ＝________. [答案] 3＋ 3[解析] 由余弦定理，得a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ， ∴12＝c 2＋6－26c ×22，∴c 2－23c －6＝0，解得c ＝3＋ 3.8．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为________．[答案] π6[解析] ∵a ＝7，b ＝43，c ＝13， ∴c <b <a ，∴角C 最小．cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝49＋48－132×7×43＝32，又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π6.三、解答题9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3. (1)求△ABC 的面积； (2)若c ＝1，求a 的值． [解析] (1)∵cos A 2＝255，∴cos A ＝2cos 2A2－1＝35，∴sin A ＝45.又由AB →·AC →＝3，得bc cos A ＝3，∴bc ＝5. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝2.(2)由(1)知，bc ＝5，又c ＝1，∴b ＝5， 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋1－2×5×1×35＝20，∴a＝2 5.10．(2011·山东文)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知cos A－2cos Ccos B＝2c－ab.(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B＝14，△ABC的周长为5，求b的长．[解析](1)由正弦定理，得asin A＝bsin B＝csin C＝2R∴cos A－2cos Ccos B＝2·2R sin C－2R sin A2R sin B，即cos A sin B－2cos C sin B＝2cos B sin C－cos B sin A，即sin(A＋B)＝2sin(B＋C)，又由A＋B＋C＝π知，sin C＝2sin A，所以sin Csin A＝2.(2)由(1)知sin Csin A＝2，∴c＝2a，则由余弦定理，得b2＝a2＋(2a)2－2·a·2a cos B＝4a2∴b＝2a，∴a＋2a＋2a＝5，∴a＝1，∴b＝2.能力提升一、选择题1．在△ABC中，lg a－lg b＝lgsin B＝－lg2，∠B为锐角，则∠A的值是()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案] A[解析]由题意得ab＝sin B＝22，又∵∠B为锐角，∴B＝45°，又ab＝sin Asin B＝22，sin A＝sin B×22＝12，∴∠A＝30°.2．(2011·四川理)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin B sin C，则A的取值范围是()A．(0，π6] B．[π6，π)C．(0，π3] D．[π3，π)[答案] C[解析]在△ABC中，由正弦定理，得sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R(其中R为△ABC外接圆的半径)，由sin2A≤sin2B＋sin2C－sin B sin C可得a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，∴cos A＝b2＋c2－a22bc≥12，∴0<A≤π3.二、填空题3．(2010·新课标全国卷文)在△ABC中，D为BC边上一点，BC ＝3BD，AD＝2，∠ADB＝135°.若AC＝2AB，则BD＝________.[答案]2＋ 5[解析]如图，设AB＝k，则AC＝2k.再设BD ＝x ，则DC ＝2x . 在△ABD 中，由余弦定理得k 2＝x 2＋2－2·x ·2·⎝⎛⎭⎪⎫－22＝x 2＋2＋2x .①在△ADC 中，由余弦定理得2k 2＝4x 2＋2－2·2x ·2·22＝4x 2＋2－4x ，∴k 2＝2x 2＋1－2x .②由①②得x 2－4x －1＝0，解得x ＝2＋5(负值舍去)． 4．在△ABC 中，若∠C ＝60°，则a b ＋c ＋ba ＋c ＝________.[答案] 1[解析] a b ＋c ＋ba ＋c ＝a 2＋ac ＋b 2＋bc (b ＋c )(a ＋c )＝a 2＋b 2＋ac ＋bcab ＋ac ＋bc ＋c 2 (1) ∵∠C ＝60°∴a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝ab .∴a 2＋b 2＝ab ＋c 2 (2) (2)代入(1)得ab ＋c 2＋ac ＋bc ab ＋ac ＋bc ＋c 2＝1.三、解答题5．(2011·安徽文)△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.(1)求AB →·AC →；(2)若c －b ＝1，求a 的值． [解析] 由cos A ＝1213，得sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513.又12bc sin A ＝30，∴bc ＝156. (1)AB →·AC →＝bc cos A ＝156×1213＝144.(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(c －b )2＋2bc (1－cos A )＝1＋2×156×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1213＝25.又a >0，∴a ＝5. 6．在△ABC 中，C －A ＝π2，sin B ＝13.(1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积． [解析] (1)由C －A ＝π2和A ＋B ＋C ＝π，得2A ＝π2－B,0<A <π4.∴cos2A ＝sin B ，即1－2sin 2A ＝13，∴sin A ＝33.(2)由(1)得cos A ＝63.又由正弦定理，得BC sin A ＝ACsin B， ∴BC ＝AC sin Asin B ＝6×3313＝3 2.∵C －A ＝π2，∴C ＝π2＋A ，∴sin C ＝sin(π2＋A )＝cos A ＝63，∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12×6×32×63＝3 2.7．在△ABC 中，sin A ＝sin B ＋sin Ccos B ＋cos C ，试判断△ABC 的形状．[解析] 解法一：∵sin A ＝sin B ＋sin Ccos B ＋cos C ，∴sin A cos B ＋sin A cos C ＝sin B ＋sin C . 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， ∴sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B . ∴sin A cos B ＋sin A cos C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，∴cos A (sin C ＋sin B )＝0， ∵sin C ＋sin B ≠0， ∴cos A ＝0，∴A 为直角． 即△ABC 为直角三角形． 解法二：∵sin A ＝sin B ＋sin Ccos B ＋cos C ，∴sin A cos B ＋sin A cos C ＝sin B ＋sin C . 由正、余弦定理，得a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝b ＋c ，∴(a 2＋c 2－b 2)b ＋c (a 2＋b 2－c 2)＝2bc (b ＋c )， ∴a 2b ＋c 2b －b 3＋a 2c ＋b 2c －c 3＝2b 2c ＋2bc 2， ∴a 2b ＋a 2c －b 3－c 3＝b 2c ＋bc 2.∴a 2(b ＋c )－(b ＋c )(b 2－bc ＋c 2)＝bc (b ＋c )，∴(b＋c)(a2－b2＋bc－c2)＝bc(b＋c)，∵b＋c≠0，∴a2－b2＋bc－c2＝bc，即a2＝b2＋c2.故△ABC为直角三角形．。

A＝
2π 3.
1 3．(2014 ·全国新课标Ⅱ理， 4)钝角三角形 ABC 的面积是 2，AB＝1，BC＝ 2，
则 AC＝( )
A．5
B． 5
C． 2 [ 答案 ] B
D．1
[ 解析 ] 本题考查余弦定理及三角形的面积公式．
1
1
1
∵ S△ABC＝2acsinB＝ 2× 2×1×sinB＝2，
∴ sinB＝ 22，
四边形 ABCD 的面积．
[ 解析 ] 如图，连结 AC．
∵ B＋ D＝180°，∴ sinB＝ sinD．
1
1
S 四边形 ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝ 2AB·BC·sinB＋2AD·DC·sinD＝14sinB．
由余弦定理，得 AB2＋BC2－ 2AB·BC·cosB＝AD2＋DC2－2AD·DC·cosD，
a2＋4a2－a× 2a·2a
2a ＝
3Hale Waihona Puke 4.π 6．(2013 ·天津理， 6)在△ ABC 中，∠ ABC＝4，AB＝ 2，BC＝3，则 sin∠ BAC
＝( )
10 A ． 10
10 B． 5
3 10 C． 10
D．
5 5
[ 答案 ] C
[ 解析 ] 本题考查了余弦定理、正弦定理． 由余弦定理，得 AC2＝AB2＋ BC2－2AB× BC·cos4π，
由余弦定理，得
b2＝
a2＋
c2－
2accosB＝
9＋25－2×
3×
5×
1 2＝
19.
∴ b＝ 19. 解法二：在△ ABC 中，∵ A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，
∴ B＝ 60°. 由余弦定理，得 b2＝ a2＋c2－ 2accosB＝(a＋ c)2－2ac－ 2accosB ＝ 82－2×15－ 2× 15×12＝19. ∴ b＝ 19.

1.1 第1课时一、选择题1．与600°角终边相同的角可表示为(k∈Z)()A．k·360°＋220°B．k·360°＋240°C．k·360°＋60°D．k·360°＋260°[答案] B[解析]与600°终边相同的角α＝n·360°＋600°＝n·360°＋360°＋240°＝(n＋1)·360°＋240°＝k·360°＋240°，n∈Z，k∈Z.∴选B.2．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是()A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋α[答案] C[解析]特例法，取α＝30°，可知C正确．[点评]作为选择题，用特例求解更简便些．一般角所在的象限讨论，应学会用旋转的方法找角所在的象限．如，α＋90°，将角α的终边逆时针旋转90°，α－90°，则将α的终边顺时针旋转90°，角180°＋α的终边为角α的终边反向延长线，180°－α，先将角α的终边关于x轴对称，再关于原点对称，即可得到180°－α的终边等等．3．集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}与P＝{x|x＝k·45°，k∈Z}之间的关系是()A．M P B．M PC．M＝P D．M∩P＝∅[答案] A[解析]∵x＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，k∈Z∴M P.[点评]k·45°(k∈Z)是45°的整数倍，(2k＋1)·45°(k∈Z)是45°的奇数倍，故M P.在角的集合中，{α|α＝k·180°＋45°(k∈Z)}＝{α|α＝(k＋2)·180°＋45°，(k∈Z)}．{α|α＝2k·90°＋30°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·90°＋30°，k∈Z}＝{α|α＝k·90°＋30°，k∈Z}．这一部分是最容易出错的地方，应当从集合意义上理解．4．给出下列四个命题，其中正确的命题有()①－75°是第四象限角②225°是第三象限角③475°是第二象限角④－315°是第一象限角A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] D[解析]由终边相同角的概念知：①②③④都正确，故选D.5．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为()A．α＋β＝k·360°，k∈ZB．α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC．α－β＝k·360°＋180°，k∈ZD．α－β＝k·360°，k∈Z[答案] B[解析]解法一：特殊值法：令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.解法二：直接法：∵角α与角β的终边关于y轴对称，∴β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.6．(2009～2010·北京通州高一期末)下列各角中，与60°角终边相同的角是()A．－300°B．－60°C．600°D．1380°[答案] A[解析]与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z，令k＝－1，则α＝－300°，故选A.7．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是()A．A＝B＝C B．A CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C[答案] D[解析]第一象限角可表示为k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z；锐角可表示为0°<β<90°，小于90°的角可表示为γ<90°，由三者之间的关系可知，选D.8．如图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是()A．{α|－45°≤α≤120°}B．{α|120°≤α≤315°}C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}[答案] C9．集合A ＝{α|α＝k ·90°－36°，k ∈Z }，B ＝{β|－180°<β<180°}，则A ∩B 等于( )A ．{－36°，54°}B ．{－126°，144°}C ．{－126°，－36°，54°，144°}D ．{－126°，54°}[答案] C[解析] 由－180°<k ·90°－36°<180°(k ∈Z )得－144°<k ·90°<216°(k ∈Z )，所以－14490<k <21690(k ∈Z )，所以k ＝－1,0,1,2， 所以A ∩B ＝{－126°，－36°，54°，144°}，故选C.10．在(－360°，0°)内与角1250°终边相同的角是( )A ．170°B ．190°C ．－190°D ．－170° [答案] C[解析] 与1250°角的终边相同的角α＝1250°＋k ·360°，∵－360°<α<0°，∴－16136<k <－12536， ∵k ∈Z ，∴k ＝－4，∴α＝－190°.二、填空题11．－1445°是第________象限角．[答案] 四[解析] ∵－1445°＝－5×360°＋355°，∴－1445°是第四象限的角．12．若角α和β的终边满足下列位置关系，试写出α和β的关系式：(1)重合：________________；(2)关于x 轴对称：________________.[答案] α＝k ·360°＋β(k ∈Z ) α＝k ·360°－β(k ∈Z )[解析] 据终边相同角的概念，数形结合可得：(1)α＝k ·360°＋β(k ∈Z )，(2)α＝k ·360°－β(k ∈Z )．13．若集合A ＝{α|k ·180°＋30°<α<k ·180°＋90°，k ∈Z }，集合B ＝{β|k ·360°－45°<β<k ·360°＋45°，k ∈Z }，则A ∩B __________.[答案] {α|30°＋k ·360°<α<45°＋k ·360°，k ∈Z }[解析] 集合A 、B 所在区域如图，显然A ∩B ＝{α|k ·360°＋30°<α<k ·360°＋45°，k ∈Z }．三、解答题14．已知α＝－1910°.(1)把α写成β＋k ·360°(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式，指出它是第几象限的角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.[解析] 在0°到360°的范围里找出与α终边相同的角，可用除以360°求余数的办法来解，也可以考虑把问题转化为求某个不等式的最大整数解问题．解答(1)、(2)的关键都是能正确写出与其角终边相同的角．(1)设α＝β＋k ·360°(k ∈Z )，则β＝－1910°－k ·360°(k ∈Z )．令－1910°－k ·360°≥0，解得k ≤－1910360＝－51136. k 的最大整数解为k ＝－6，求出相应的β＝250°，于是α＝250°－6×360°，它是第三象限的角．(2)令θ＝250°＋k ·360°(k ∈Z )，取k ＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角：250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.故θ＝－110°或－470°.15．已知有锐角α，它的10倍与它本身的终边相同，求角α.[解析] 与角α终边相同的角连同角α在内可表示为{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．∵锐角α的10倍角的终边与其终边相同，∴10α＝α＋k ·360°，α＝k ·40°，k ∈Z .又α为锐角，∴α＝40°或80°.16．若角α的终边和函数y ＝－|x |的图象重合，试写出角α的集合．[解析] 由于y ＝－|x |的图象是三、四象限的平分线，故在0°～360°间所对应的两个角分别为225°及315°，从而角α的集合为S ＝{α|α＝k ·360°＋225°或α＝k ·360°＋315°，k ∈Z }．17．已知角α与2α的终边相同，且α∈[0°，360°)，求角α.[解析] 由条件知，2α＝α＋k ·360°，∴α＝k ·360° (k ∈Z )，∵α∈[0°，360°)，∴α＝0°.。

第三章综合素质检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每小题给出的四个备选答案中，有且仅有一个是符合题目要求的)1．设M ＝2a (a －2)＋7，N ＝(a －2)(a －3)，则有( ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜N D ．M ≤N[答案] A[解析] M －N ＝(2a 2－4a ＋7)－(a 2－5a ＋6)＝a 2＋a ＋1＝(a ＋12)2＋34＞0，∴M ＞N .2．不等式x 2－2x －5＞2x 的解集是( ) A ．{x |x ≥5或x ≤－1} B ．{x |x ＞5或x ＜－1} C ．{x |－1＜x ＜5} D ．{x |－1≤x ≤5} [答案] B[解析] 不等式化为x 2－4x －5＞0， ∴(x －5)(x ＋1)＞0，∴x ＜－1或x ＞5.3．(x －2y ＋1)(x ＋y －3)<0表示的平面区域为( )[答案] C[解析] 将点(0,0)代入不等式中，不等式成立，否定A 、B ，将(0,4)点代入不等式中，不等式成立，否定D ，故选C ．4．设b ＞a ＞0，a ＋b ＝1，则下列四个数12，2ab ，a 2＋b 2，b 中，最大的数是( )A ．12B ．bC ．2abD ．a 2＋b 2[答案] B[解析] 因为b ＞a ＞0，a ＋b ＝1， 所以0＜a ＜12＜b ＜1，a 2＋b 2＞2ab .又因为a 2＋b 2－b ＝a 2＋b (b －1)＝a 2－ab ＝a (a －b )＜0. 所以a 2＋b 2＜b ，故四个数中最大的数是b .5．若a <b ，d <c ，并且(c －a )(c －b )<0，(d －a )(d －b )>0，则a 、b 、c 、d 的大小关系是( ) A ．d <a <c <b B ．a <c <b <d C ．a <d <b <c D ．a <d <c <b[答案] A[解析] ∵a <b ，(c －a )(c －b )<0， ∴c －a >0，c －b <0， ∴a <c <b .又∵d <c ，∴d <b ，∴d －b <0. 又∵(d －a )(d －b )>0，∴d －a <0， ∴d <a . ∴d <a <c <b .6．设M ＝a ＋1a －2(2＜a ＜3)，N ＝log 0.5(x 2＋116)(x ∈R )那么M 、N 的大小关系是( )A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．不能确定 [答案] A[解析] ∵2＜a ＜3，∴a －2>0. M ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2＞4， N ＝log 0.5(x 2＋116)≤log 0.5116＝4，∴M ＞N .7．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥02x ＋y ≤2y ≥0x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0<a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0<a ≤1或a ≥43[答案] D[解析] 由图形知，要使平面区域为三角形，只需直线l ：x ＋y ＝a 在l 1、l 2之间或在l 3上方．∴0<a ≤1或a ≥43.8．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(0，12]成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3[答案] C[解析] ∵x ∈(0，12]，∴a ≥－x 2－1x ＝－x －1x.由于函数y ＝x ＋1x 在(0，12]上单调递减，∴在x ＝12处取得最小值52.∴－(x ＋1x )≤－52.∴a ≥－52.9．已知a ＞0，b ＞0，a 、b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b 则α＋β的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] C[解析] 由题意a ＋b ＝1，则α＋β＝a ＋1a ＋b ＋1b＝1＋1ab ≥1＋1(a ＋b2)2＝5.10．若x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y x ＋y ≤1y ≥－1，则z ＝－2x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．－12C ．2D ．－5[答案] A[解析] 作出可行域如下图，当直线y ＝2x ＋z 平移到经过可行域上点A (－1，－1)时，z 取最大值，∴z max ＝1.11．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，若a ∥b ，则4x ＋8y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 2 C ．22 D ．2[答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴3(y －1)－(－2)x ＝0， ∴2x ＋3y ＝3.故4x ＋8y ＝22x ＋23y ≥222x ＋3y ＝223＝42，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝34，y ＝12时等号成立．12．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )A ．2 000元B ．2 200元C ．2 400元D ．2 800元[答案] B[解析] 设需甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≤4，x ∈N *y ≤8，y ∈N *20x ＋10y ≥100，作出其可行域如图所示．可知目标函数z ＝400x ＋300y 在点A 处取最小值，z ＝400×4＋300×2＝2 200(元)． 二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．不等式x ＋1x ≤3的解集是________．[答案] {x |x ≥12或x <0}[解析] 原不等式等价于x ＋1x －3≤0⇔1－2x x ≤0⇔2x －1x ≥0⇔x (2x －1)≥0，且x ≠0，解得x ≥12或x <0. 14．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m ＝________.[答案] 2[解析] 由题意知a >0且1是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根，∴a ＝2， ∴不等式为2x 2－6x ＋4<0，即x 2－3x ＋2<0， ∴1<x <2，∴m ＝2.15．若a ≥0，b ≥0，a 2＋b 2＝1，则a 1＋b 2的最大值为________． [答案] 1[解析] ∵a ≥0，b ≥0， ∴a1＋b 2≤a 2＋1＋b 22＝1，当且仅当a ＝1＋b 2，即a ＝1，b ＝0时取等号．16．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4，所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是________．[答案] 73[解析] 不等式组⎩⎨⎧x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4，表示的区域如图所示．直线y ＝kx ＋43经过三角形的顶点C ，要想平分面积，只需要经过AB 的中点D 即可．解相应的方程组可得A (1，1)、B (0,4)、C (0，43)，则D (12，52)，k ＝52－4312－0＝73.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2－2kx ＋1－k 2＝0的两个实根，求x 21＋x 22的最小值．[解析] 由题意，得x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝1－k 2.Δ＝4k 2－4(1－k 2)≥0， ∴k 2≥12.∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4k 2－2(1－k 2) ＝6k 2－2≥6×12－2＝1.∴x 21＋x 22的最小值为1.18．(本题满分12分)若a ＜1，解关于x 的不等式ax x －2＜1 .[解析] a ＝0时，x ∈R 且x ≠2； a ≠0时，axx －2＜1⇔(a －1)x ＋2x －2＞0 ⇔[(a －1)x ＋2](x －2)＞0. ∵a ＜1，∴a －1＜0. ∴化为(x －21－a )(x －2)＜0，当0<a <1时，21－a >2，∴不等式的解为2<x <21－a； 当a <0时，1－a >1，∴21－a <2，∴不等式解为21－a<x <2，∴当0＜a ＜1时，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |2＜x ＜21－a ；当a ＜0时，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |21－a ＜x ＜2；当a ＝0时，解集为{x ∈R |x ≠2}．19．(本题满分12分)已知x 、y 都是正数．(1)若3x ＋2y ＝12，求xy 的最大值； (2)若x ＋2y ＝3，求1x ＋1y 的最小值．[解析] (1)xy ＝16·3x ·2y ≤16⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y 22＝6.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＝2y ，3x ＋2y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3时取“＝”号．所以当x ＝2，y ＝3时，xy 取得最大值6. (2)1x ＋1y ＝13(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝13⎝⎛⎭⎫3＋x y ＋2y x ≥13⎝⎛⎭⎫3＋2x y ·2y x ＝1＋223.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x y ＝2y x x ＋2y ＝3即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32y ＝3－322时，取“＝”号． 所以，当x ＝－3＋32，y ＝3－322时，1x ＋1y 取得最小值1＋223. 20．(本题满分12分)不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．[解析] 由m 2－2m －3＝0，得m ＝－1或m ＝3. 当m ＝3时，原不等式化为－1<0恒成立； 当m ＝－1时，原不等式化为4x －1<0， ∴x <14，故m ＝－1不满足题意．当m 2－2m －3≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3<0Δ＝[－(m －3)]2＋4(m 2－2m －3)<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <3－15<m <3，∴－15<m <3.综上可知，实数m 的取值范围是－15<m ≤3.21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 2ax ＋b (a 、b 为常数)，且方程f (x )－x ＋12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设k >1，解关于x 的不等式f (x )<(k ＋1)x －k2－x.[解析] (1)将x 1＝3，x 2＝4分别代入方程x 2ax ＋b－x ＋12＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧93a ＋b＝－9164a ＋b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2.∴f (x )＝x 22－x(x ≠2)．(2)原不等式即为x 22－x <(k ＋1)x －k2－x ，可化为x 2－(k ＋1)x ＋k 2－x <0.即(x －2)(x －1)(x －k )>0. ①当1<k <2时，1<x <k 或x >2; ②当k ＝2时，x >1且x ≠2； ③当k >2时，1<x <2或x >k .综上所述，当1<k <2时，原不等式的解集为{x |1<x <k 或x >2}； 当k ＝2时，原不等式的解集为{x |x >1且x ≠2}； 当k >2时，原不等式的解集为{x |1<x <2或x >k }． 22．(本题满分14分)已知x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋7≥04x －3y －12≤0x ＋2y －3≥0，求z ＝x 2＋y 2的最大值与最小值．[解析] 在同一直角坐标系中，作直线x －2y ＋7＝0,4x －3y －12＝0和x ＋2y －3＝0，再根据不等式组确定可行域为△ABC (如图所示)，把x 2＋y 2看作点(x ，y )到原点(0,0)的距离的平方．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋7＝04x －3y －12＝0，解得点A 的坐标(9,8)．所以(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝92＋82＝145.因为原点O 到直线BC 的距离为|0＋0－3|5＝35，所以(x 2＋y 2)min ＝95.。

第一章 1.1.4一、选择题1．下列命题中正确的是()A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．两条相交直线的投影可能平行D．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点[答案] D[解析]梯形的平行投影是梯形或线段，∴B不对；平行投影把平行直线投射成平行直线或一条直线，把相交直线投射成相交直线或一条直线，把线段中点投射成投影的中点，∴C错，D对，矩形的平行投影可以是线段、矩形或平行四边形，∴A错．2．下列图形中采用中心投影画法的是()[答案] A[解析]由中心投影与平行投影的图形特征及性质可知选A.3．夜晚，人在路灯下的影子是________投影，人在月光下的影子是________投影．() A．平行中心B．中心中心C．平行平行D．中心平行[答案] D[解析]路灯的光是从一点发出的，故影子是中心投影；而月光可以近似看作平行的，月光下的影子是平行投影．4．(2015·广东市重点中学高一期末测试)利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是()A．正三角形的直观图仍然是正三角形B．平行四边形的直观图一定是平行四边形C．正方形的直观图是正方形D．圆的直观图是圆[答案] B[解析]平行四边形的直观图一定是平行四边形．5．水平放置的矩形ABCD长AB＝4，宽BC＝2，以AB、AD为轴作出斜二测直观图A′B′C′D′，则四边形A′B′C′D′的面积为()A．42B．22C ．4D ．2[答案] B[解析] 平行线在斜二测直观图中仍为平行线，∴四边形A ′B ′C ′D ′为平行四边形，∠D ′A ′B ′＝45°，A ′B ′＝4，A ′D ′＝12×2＝1，∴D ′E ＝1×sin45°＝22， ∴S 四边形A ′B ′C ′D ′＝A ′B ′·D ′E ＝4×22＝2 2. 6．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是( ) ①角的水平放置的直观图一定是角． ②相等的角在直观图中仍相等． ③相等的线段在直观图中仍然相等．④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] C[解析] 由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对，而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③错．二、填空题7.如图所示的是水平放置的三角形ABC 在直角坐标系中的直观图，其中D ′是A ′C ′的中点，且∠A ′C ′B ′≠30°，则原图形中与线段BD 的长相等的线段有________条．[答案] 2[解析] △ABC 为直角三角形，由D 为AC 中点，∴BD ＝AD ＝CD . ∴与BD 的长相等的线段有两条．8．如图所示为一个水平放置的正方形ABCO ，在直角坐示系xOy 中，点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为________．[答案]22[解析] 画出该正方形的直观图，则易得点B ′到x ′轴的距离等于点A ′到x ′轴的距离d ，则O ′A ′＝12OA ＝1，∠C ′O ′A ′＝45°，所以d ＝22O ′A ′＝22.三、解答题9.如图所示，有一灯O ，在它前面有一物体AB ，灯所发出的光使物体AB 在离灯O 为10 m的墙上形成了一个放大了3倍的影子A ′B ′，试求灯与物体之间的距离．[解析] 如图所示，作OH ⊥AB 于H ，延长OH 交A ′B ′于H ′，则OH 即为所求． 由平面几何及光线沿直线传播知，△AOB ∽△OA ′B ′， ∴AB A ′B ′＝OH OH ′，∵AB A ′B ′＝13，且OH ′＝10 m.∴OH ＝103 m ，即灯与物体AB 之间的距离为103m.一、选择题1．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m,5m,10m ，四棱锥的高为8m ，若按1500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为( )A ．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB ．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC ．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD ．2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm [答案] C[解析] 由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm,1 cm,2 cm 和1.6 cm ，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.2．太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是103，则皮球的直径是( )A ．53B ．15C ．10D ．83[答案] B[解析] 设皮球的半径为R ，由题意得：DC ＝2R ，DE ＝103，∠CED ＝60°，解得DC ＝DE sin60°＝15.3．如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为a cm(a >0)，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形OABC 的周长是( )A ．8a cmB ．6a cmC ．(2a ＋22a ) cmD ．4a cm [答案] A[解析] 由斜二测画法的规则可知，在原图形中OB ＝22a ，OA ＝a ，且OA ⊥OB ，∴AB ＝3a ， ∴OABC 的周长为2(a ＋3a )＝8a cm.4．已知正△ABC 的边长为a ，以它的一边为x 轴，对应的高线为y 轴，画出它的水平放置的直观图△A ′B ′C ′，则△A ′B ′C ′的面积是( )A.34a 2B.38a 2C.68a 2 D.616a 2 [答案] D[解析] 如图为△ABC 及其直观图A ′B ′C ′.则有A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝12·32a ＝34a ，∠B ′O ′C ′＝45°，∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·O ′C ′·sin45°＝12a ×34a ×22＝616a 2，故选D.二、填空题5．如图所示，梯形A ′B ′C ′D ′是平面图形ABCD 的直观图，若A ′D ′∥O ′y ′，A ′B ′∥C ′D ′，A ′B ′＝23C ′D ′＝2，A ′D ′＝1，则四边形ABCD 的面积是____________．[答案] 5[解析] 原图形ABCD 为直角梯形，AD 为垂直于底边的腰，AD ＝2，AB ＝2，CD ＝3，∴S 四边形ABCD ＝5.6．(2015·山东商河弘德中学高一月考)水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．[答案] 52[解析] 原图中AC ＝3，BC ＝4，且△ABC 为直角三角形，故斜边上的中线长为1232＋42＝52. 三、解答题7．如图所示的平行四边形A ′B ′C ′D ′是一个平面图形的直观图，且∠D ′A ′B ′＝45°，请画出它的实际图形．[解析]①在直观图A′B′C′中建立坐标系x′A′y′，再建立一个直角坐标系xOy，如图所示．②在x轴上截取线段AB＝A′B′，在y轴上截取线段AD，使AD＝2A′D′.③过B作BC∥AD，过D作DC∥AB，使BC与DC交于点C，则四边形ABCD为四边形A′B′C′D′的实际图形．8．小昆和小鹏两人站成一列，背着墙，面朝太阳，小昆靠近墙，在太阳光照射下，小昆的头部影子正好落在墙角处．如果小昆身高为1.6 m，离墙距离为3 m，小鹏的身高1.5 m，离墙的距离为5 m，则小鹏的身影是否在小昆的脚下，请通过计算说明．[解析]如图设小鹏的影长为x m，根据太阳光平行的特征有x1.5＝31.6，x≈2.81,2.81 m＋3 m＝5.81 m>5 m，所以小鹏的身影会在小昆的脚下．。

【成才之路】2021-2021学年高中数学本册综合测试B 新人教B版必修2时刻120分钟，总分值150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知空间两点P(－1,2，－3)，Q(3，－2，－1)，那么P、Q两点间的距离是( )A．6 B．22C．36 D．25[答案] A[解析] 由空间两点间距离公式，得|PQ|＝3＋12＋－2－22＋－1＋32＝6.2．在数轴上从点A(－2)引一线段到B(3)，再延长一样的长度到C，那么点C的坐标为( )A．13 B．0C．8 D．－2[答案] C[解析] 设点C的坐标为x，由题意，得d(A，B)＝3－(－2)＝5；d(B，C)＝x－3＝5，∴x＝8.3．空间中到A、B两点距离相等的点组成的集合是( )A．线段AB的中垂线B．线段AB的中垂面C．过AB中点的一条直线D．一个圆[答案] B[解析] 空间中线段AB的中垂面上的任意一点到A、B两点距离相等．4．假设一个三角形的平行投影仍是三角形，那么以下命题：①三角形的高线的平行投影，必然是那个三角形的平行投影的高线；②三角形的中线的平行投影，必然是那个三角形的平行投影的中线；③三角形的角平分线的平行投影，必然是那个三角形的平行投影的角平分线；④三角形的中位线的平行投影，必然是那个三角形的平行投影的中位线．其中正确的命题有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ [答案] D[解析] 垂直线段的平行投影不必然垂直，故①错；线段的中点的平行投影仍是线段的中点，故②正确；三角形的角平分线的平行投影，不必然是角平分线，故③错；因为线段的中点的平行投影仍然是线段的中点，因其中位线的平行投影仍然是中位线，故④正确．选D.5．在圆柱内有一个内接正三棱锥，过一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )[答案] D[解析] 如下图，由图可知选D.6．已知圆x 2＋y 2－2x ＋my ＝0上任意一点M 关于直线x ＋y ＝0的对称点N 也在圆上，那么m 的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2 [答案] D[解析] 由题可知，直线x ＋y ＝0过圆心(1，－m 2)， ∴1－m 2＝0， ∴m ＝2.7．假设圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，那么圆C 的方程是( ) A ．(x －5)2＋y 2＝5 B ．(x ＋5)2＋y 2＝5 C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝5 [答案] D[解析] 设圆心C (a,0)，由题意r ＝5＝|a |5，∴|a |＝5，∵a <0，∴a ＝－5，∴圆C 的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5. 8．关于直线m 、n 和平面α、β，能得出α⊥β的一个条件是 ( )A ．m ⊥n ，m ∥α，n ∥βB ．m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂αC ．m ∥n ，n ⊥β，m ⊂αD ．m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β[答案] C [解析] 关于选项C ，∵m ∥n ，n ⊥β，∴m ⊥β，又∵m ⊂α，∴α⊥β.9．油槽储油20m 3，假设油从一管道等速流出，那么50min 流完．关于油槽剩余量Q (m 3)和流出时刻t (min)之间的关系可表示为( )[答案] B[解析] 由题意知，油流出的速度为2050＝0.4m 3/min ，故油槽剩余油量Q 和流出时刻t (min)之间的关系式为Q ＝20－0.4t ，应选B.10．假设两圆别离为C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0，C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0，那么两圆的公切线的交点有且只有( )A ．1个B ．3个C ．4个D ．6个 [答案] B[解析] ∵C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，C 2：(x －2)2＋(y －5)2＝16，∴圆C 1的圆心坐标为(－2,2)，半径r 1＝1，圆C 2的圆心坐标为(2,5)，半径r 2＝4，两圆心的距离d ＝|C 1C 2|＝2＋22＋5－22＝5，∵r 1＋r 2＝5，∴d ＝r 1＋r 2，两圆外切，∴有3个交点．11．点P (5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部，那么a 的取值范围是( )A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，113 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－113，113 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，15 [答案] C[解析] ∵点P (5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部，∴(5a ＋1－1)2＋(12a 2)<1，即25a 2＋144a 2<1，∴a 2<1169， ∴－113<a <113. 12．假设直线ax ＋by －3＝0和圆x 2＋y 2＋4x －1＝0切于点P (－1,2)，那么ab 的为( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3[答案] C[解析] 由题意，得点P (－1,2)在直线ax ＋by －3＝0上，∴－a ＋2b －3＝0，即a ＝2b －3.圆x 2＋y 2＋4x －1＝0的圆心为(－2,0)，半径r ＝5，∴|－2a －3|a 2＋b 2＝5， ∴a 2－12a ＋5b 2－9＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b －3a 2－12a ＋5b 2－9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2. 故ab ＝2.二、填空题(本大题共4个小题，每题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．已知两条直线l 1：ax ＋8y ＋b ＝0和l 2：2x ＋ay －1＝0(b <0)，假设l 1⊥l 2且直线l 1的纵截距为1时，a ＝________，b ＝________.[答案] 0 －8[解析] ∵l 1⊥l 2，∴2a ＋8a ＝0，∴a ＝0.又直线l 1：ax ＋8y ＋b ＝0，即8y ＋b ＝0的纵截距为1，∴b ＝－8.14．已知圆M ：x 2＋y 2－2mx －3＝0(m <0)的半径为2，那么其圆心坐标为________．[答案] (－1,0)[解析] 方程x 2＋y 2－2mx －3＝0可化为(x －m )2＋y 2＝3＋m 2，∴3＋m 2＝4，∴m 2＝1，∵m <0，∴m ＝－1.故圆心坐标为(－1,0)．15．正三棱锥的侧面积是27cm 2，底面边长是6cm ，那么它的高是________．[答案] 6cm[解析] 如下图，正三棱锥P －ABC 的底边长为6，过点P 作PO ⊥平面ABC ，O 为垂足，取AB 的中点D ，连接PD 、OD ，由题意，得3×12×AB ×PD ＝27， ∴PD ＝3.又OD ＝36×6＝3， ∴PO ＝PD 2－OD 2＝9－3＝6(cm)．16．一个半球的表面积为Q ，一个圆柱与此半球等底等体积，那么那个圆柱的表面积是________．[答案] 109Q[解析] 设半球的半径为R ，那么圆柱的底面半径也为R ，设圆柱的高为h .由题意得2πR 2＋πR 2＝Q ，∴R 2＝Q3π. 又23πR 3＝πR 2h ，∴h ＝23R . ∴圆柱的表面积S ＝2πRh ＋2πR 2＝43πR 2＋2πR 2＝103πR 2＝103π·Q 3π＝109Q . 三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤)17．(此题总分值12分)直线l 过点P (43，2)，且与x 轴，y 轴的正方向别离交于A ，B 两点，当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．[解析] 当斜率k 不存在时，不合题意．设所求直线的斜率为k ，那么k ≠0，l 的方程为y －2＝k (x －43)． 令x ＝0，得y ＝2－43k >0， 令y ＝0，得x ＝43－2k>0， ∴k <32.由S ＝12(2－43k )(43－2k )＝6，解得k ＝－3或k ＝－34. 故所求直线方程为y －2＝－3(x －43)或y －2＝－34(x －43)， 即3x ＋y －6＝0或3x ＋4y －12＝0.18．(此题总分值12分)一个圆切直线l 1：x －6y －10＝0于点P (4，－1)，且圆心在直线l 2：5x －3y ＝0上，求该圆的方程．[解析] 解法一：过点P (4，－1)且与直线l 1：x －6y －10＝0垂直的直线的方程设为6x ＋y ＋c ＝0. 把点P 的坐标代入上式，得c ＝－23，即6x ＋y －23＝0.设所求圆的圆心为M (a ，b )，那么知足6a ＋b －23＝0. ①又由题设知圆心M 在直线l 2：5x －3y ＝0上，则5a －3b ＝0.② 联立式①②，解得a ＝3，b ＝5，即圆心M (3,5)，因此半径r ＝|PM |＝4－32＋－1－52＝37，故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －5)2＝37.解法二(待定系数法)：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ |a －6b －10|37＝r4－a 2＋－1－b 2＝r 25a －3b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝5r 2＝37.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －5)2＝37.19．(此题总分值12分)已知圆C 与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且通过点A (6,1)，求圆C 的方程．[解析] ∵圆心在直线x －3y ＝0上，∴设圆心坐标为(3a ，a )，又圆C 与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，圆的标准方程为(x －3a )2＋(y －a )2＝9a 2， 又∵过点A (6,1)，∴(6－3a )2＋(1－a )2＝9a 2，即a 2－38a ＋37＝0，∴a ＝1或a ＝37，∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x －111)2＋(y －37)2＝12 321.20．(此题总分值12分)如下图，圆锥的轴截面为等腰直角△SAB ，Q 为底面圆周上一点．(1)假设QB 的中点为C ，OH ⊥SC ，求证：OH ⊥平面SBQ ；(2)若是∠AOQ ＝60°，QB ＝23，求此圆锥的体积．[解析] (1)连接OC ，∵SQ ＝SB ，OQ ＝OB ，QC ＝CB ，∴QB ⊥SC ，QB ⊥OC ，∴QB ⊥平面SOC .∵OH ⊂平面SOC ，∴QB ⊥OH ，又∵OH ⊥SC ，∴OH ⊥平面SQB .(2)连接AQ .∵Q 为底面圆周上的一点，AB 为直径，∴AQ ⊥QB .在Rt △AQB 中，∠QBA ＝30°，QB ＝23， ∴AB ＝23cos60°＝4. ∵△SAB 是等腰直角三角形，∴SO ＝12AB ＝2， ∴V 圆锥＝13π·OA 2·SO ＝83π. 21．(此题总分值12分)如图，已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且∠DAB ＝60°，AD ＝AA 1，F 为棱BB 1的中点，M 为线段AC 1的中点．(1)求证：直线MF ∥平面ABCD ；(2)求证：平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1.[解析] (1)延长C 1F 交CB 的延长线于点N ，连接AN .∵F 是BB 1的中点，∴F 为C 1N 的中点，B 为CN 的中点．又∵M 是线段AC 1的中点，∴MF∥AN.又∵MF⊄平面ABCD，AN⊂平面ABCD，∴MF∥平面ABCD.(2)连接BD，由直四棱柱ABCD－A1B1C1D1可知，A1A⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1.在四边形DANB中，DA∥BN，且DA＝BN，∴四边形DANB为平行四边形，∴NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1.又∵NA⊂平面AFC1，∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.22．(此题总分值14分)如下图，M、N、P别离是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的点．(1)假设BMMA＝BNNC，求证：不管点P在DD1上如何移动，总有BP⊥MN；(2)棱DD1上是不是存在如此的点P，使得平面APC1⊥平面ACC1？证明你的结论．[解析] (1)如下图，连接B1M、B1N、AC、BD，那么BD⊥AC.∵BMMA＝BNNC，∴MN∥AC.∴BD⊥MN.∵DD1⊥平面ABCD，MN⊂面ABCD，∴DD1⊥MN.∴MN⊥平面BDD1.∵不管P在DD1上如何移动，总有BP⊂平面BDD1，故总有MN⊥BP.(2)存在点P，且P为DD1的中点，使得平面APC1⊥平面ACC1.∵BD⊥AC，BD⊥CC1，∴BD⊥平面ACC1.取BD1的中点E，连接PE，则PE∥BD.∴PE⊥面ACC1.又∵PE⊂面APC1，∴面APC1⊥面ACC1.。

第一章综合测试(B)时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，DD1与BB1所在直线是导学号 03310456()A．相交B．平行C．不垂直的异面直线D．垂直的异面直线[答案] A[解析]依据棱台的定义可知，DD1与BB1延长后肯定交于一点，故选A．2．不在同始终线上的五个点，最多能确定平面的个数是导学号 03310457()A．8 B．9C．10 D．12[答案] C[解析]要确定平面个数最多，须任意四点不共面，从A、B、C、D、E五个点中任取三个点确定一个平面，即ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE共10种状况，选C．3．给出四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱肯定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体肯定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱肯定是直棱柱；④长方体肯定是正四棱柱．其中正确的命题个数是导学号 03310458()A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析]反例：①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正方体；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③④明显错误，故选A．4．下列几何体各自的三视图中，只有两个视图相同的是导学号 03310459() A．①③B．②③C．②④D．③④[答案] C[解析]正方体和球体的三个视图都相同，故选C．5．若球的半径扩大到原来的2倍，那么其体积扩大到原来的()倍导学号 03311031()A．64 B．16C．8 D．4[答案] C[解析]设球的半径为R，其体积V＝43πR3，当球半径扩大到原来的2倍时，其体积V′＝43π(2R)3＝8V．6．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为导学号 03310460()A．112B．5C．92D．4[答案] D[解析] 本题考查三视图，棱柱体积公式．由三视图知该几何体为直六棱柱．其底面积为S ＝2×[12(1＋3)×1]＝4，高为1.所以体积V ＝4，由“长对正、宽相等、高平齐”确定几何体的外形及尺寸、角度等．7．已知平面α、β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α；④α⊥β；⑤α∥β，能推出m ∥β的是导学号 03310461( )A ．①④B ．①⑤C ．②⑤D ．③⑤[答案] D [解析]⎭⎬⎫m ⊂αα∥β⇒m ∥β，故选D ．8．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点E 为A 1C 1上的一点，则直线CE 肯定垂直于导学号 03310462( )A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1D 1[答案] B[解析] 由BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1易知BD ⊥平面A 1ACC 1，而CE ⊂平面A 1ACC 1，故BD ⊥CE ． 9．已知圆柱的侧面开放图矩形面积为S ，底面周长为C ，它的体积是导学号 03310463( ) A ．C 34πSB ．4πSC 3C ．CS 2πD ．SC 4π[答案] D[解析] 设圆柱底面半径为r ，高为h ，，则⎩⎪⎨⎪⎧Ch ＝SC ＝2πr，∴r ＝C 2π，h ＝SC，∴V ＝πr 2·h ＝π⎝⎛⎭⎫C 2π2·S C ＝SC 4π． 10．三棱锥P －ABC 三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为22、32、62，则该三棱锥的外接球的表面积为导学号 03310464( )A ．4πB ．6πC ．8πD ．10π[答案] B[解析] 设P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝2ac ＝3bc ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝2c 2＝3．∴外接球的半径R ＝a 2＋b 2＋c 22＝62． ∴外接球的表面积S ＝4πR 2＝6π．11．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是导学号 03310465( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 [答案] D[解析] 由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1得B 1B ⊥面AC ， ∴AC ⊥B 1B ，又∵AC ⊥BD ，BD ∩B 1B ＝B ， ∴AC ⊥面BDD 1B 1，BE ⊂面BDD 1B 1， ∴AC ⊥BE ，故A 正确．由正方体ABCD－A1B1C1D1得B1D1∥BD，B1D1⊄面ABCD，BD⊂面ABCD，∴B1D1∥面ABCD，∴EF∥面ABCD，故B正确．V A－BEF ＝12AC×12BB1×EF＝13×12×12×22＝224．∴三棱锥A－BEF的体积为定值，故C正确．因线段B1D1上两个动点E、F，且EF＝12，当E、F移动时，A到EF的距离与B到EF的距离不相等，∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D不正确．12．已知圆锥的母线长为5 cm，圆锥的侧面开放图如图所示，且∠AOA1＝120°，一只蚂蚁欲从圆锥底面上的点A动身，沿圆锥侧面爬行一周回到点A.则蚂蚁爬行的最短路程为导学号 03310466()A．8 cm B．5 3 cmC．10 cm D．5π cm[答案] B[解析]连接AA1，作OC⊥AA1于C，由于圆锥的母线长为5 cm，∠AOA1＝120°，所以AA1＝2AC＝5 3 cm．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，这个平面图形的面积为________.导学号 03310467[答案]2＋22[解析]S直观图＝[1＋(1＋22)]×222＝(2＋22)24＝22＋14．又S直观图S平面图＝24，∴S平面图＝(22＋14)24＝2＋22．14．已知两个球的表面积之比为19，则这两个球的半径之比为__________. 导学号 03310468[答案]1 3[解析]设两球的半径分别为R1、R2，由题意得4πR214πR22＝19，∴R1R2＝13．15．已知平面α、β和直线m，给出以下条件：①m∥α，②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.要使m⊥β，则所满足的条件是________.导学号 03310469[答案]②④[解析]⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αα∥β⇒m⊥β．16．(2022·浙江文，9)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.导学号 03310470[答案]8040[解析]由三视图可得该几何体是由一个长、宽、高分别为4、4、2的长方体和一个棱长为2的正方体组合而成的，故表面积为S＝4×4×2＋4×2×4＋2×2×4＝80(cm2)，体积为V＝4×4×2＋2×2×2＝40(cm3)．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)一个棱锥的底面是边长为a的正三角形，它的一个侧面也是正三角形，且这个侧面与底面垂直，求这个棱锥的体积和全面积.导学号 03310471[解析] 如图所示，平面ABC ⊥平面BCD ，△ABC 与△BCD 均为边长为a 的正三角形，取BC 中点E ，连接AE ，则AE ⊥平面BCD ，故棱锥A －BCD 的高为AE ，△BCD 的面积为34a 2，AE ＝32a ， ∴V A －BCD ＝13·34a 2·32a ＝18a 3．连接DE ，∵AE ⊥平面BCD ，DE ⊂平面BCD ，∴AE ⊥DE ， 在Rt △AED 中，AE ＝ED ＝32a ，∴AD ＝2·32a ＝62a ．取AD 中点F ，连接CF ，则CF ⊥AD ． 在Rt △CDF 中，DF ＝12·62a ＝64a ，∴CF ＝CD 2－DF 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫64a 2＝104a ． ∴S △ACD ＝12AD ·CF ＝12×62a ×104a ＝158a 2．∵△ABD ≌△ACD ，S △ABD ＝158a 2． 故S 全面积＝34a 2＋34a 2＋2×158a 2＝23＋154a 2．∴棱锥的体积为 18a 3，全面积为23＋154a 2．18．(本题满分12分)如图，矩形AMND 所在平面与直角梯形MBCN 所在的平面垂直，MB ∥NC ，MN ⊥MB .导学号 03310472(1)求证：平面AMB ∥平面DNC ； (2)若MC ⊥CB ，求证：BC ⊥AC ．[解析] (1)∵四边形AMND 是矩形，∴AM ∥DN ，又∵MB ∥NC ， AM ∩MB ＝M ，DN ∩NC ＝N ， ∴平面AMB ∥平面DNC ． (2)∵平面AMND ⊥平面MBCN ，平面AMND ∩平面MBCN ＝MN ，AM ⊥MN ， ∴AM ⊥平面MBCN ，∴AM ⊥BC ．∵BC ⊥MC ，AM ∩MC ＝M ，∴BC ⊥平面AMC ，∴BC ⊥AC ．19．(本题满分12分)(2022·山东文，18)在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF ∥DB .导学号 03310473(1)已知AB ＝BC ，AE ＝EC .求证：AC ⊥FB ；(2)已知G 、H 分别是EC 和FB 的中点．求证：GH ∥平面ABC ． [解析] (1)由于EF ∥DB ，所以EF 与DB 确定平面BDEF .连接DE ．由于AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC．同理可得BD⊥AC．又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF，由于FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB．(2)设FC的中点为I，连接GI、HI．在△CEF中，由于G是CE的中点，所以GI∥EF．又EF∥DB，所以GI∥DB．在△CFB中，由于H是FB的中点，所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC．由于GH⊂平面GHI，所以CH∥平面ABC．20．(本题满分12分)如图，三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.导学号 03310474(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A－MBC的体积．[解析](1)∵AB ⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CD⊥平面ABD．(2)由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD，∵AB＝BD＝1，∴S△ABD＝12．∵M是AD的中点，∴S△ABM＝12S△ABD＝14．由(1)知，CD⊥平面ABD，∴三棱锥C－ABM的高h＝CD＝1，因此三棱锥A－MBC的体积V A－MBC＝V C－ABM＝13S△ABM·h＝112．21．(本题满分12分)如下三个图中，左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，右面是它的主视图和左视图(单位：cm).导学号 03310475(1)画出该多面体的俯视图；(2)依据给出的尺寸，求该多面体的体积；(3)在所给直观图中连接BC ′，证明：BC ′∥平面EFG ．[解析] (1)如图．(2)所求多面体的体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13×(12×2×2)×2＝2843(cm 3)．(3)证明：如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，连接AD ′，则AD ′∥BC ′，由于E 、G 分别为AA ′、A ′D ′中点， 所以AD ′∥EG ， 从而EG ∥BC ′， 又BC ′⊄平面EFG ， 所以BC ′∥平面EFG ．22．(本题满分14分)如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面相互垂直，△ABE 是等腰直角三角形，AB ＝AE ，F A ＝FE ，∠AEF ＝45°.导学号 03310476(1)求证：EF ⊥平面BCE ；(2)设线段CD 的中点为P ，在直线AE 上是否存在一点M ，使得PM ∥平面BCE ？若存在，请指出点M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由于平面ABEF ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB ， 所以BC ⊥平面ABEF .所以BC ⊥EF ．由于△ABE 为等腰直角三角形，AB ＝AE ，所以∠AEB ＝45°． 又由于∠AEF ＝45°，所以∠FEB ＝45°＋45°＝90°， 即EF ⊥BE ．由于BC ⊂平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，BC ∩BE ＝B ，所以EF ⊥平面BCE ．(2)存在点M ，当M 为线段AE 的中点时，PM ∥平面BCE ，取BE 的中点N ，连接CN 、MN ， 则MN 綊12AB 綊PC ，所以四边形PMNC 为平行四边形，所以PM ∥CN ． 由于CN 在平面BCE 内，PM 不在平面BCE 内， 所以PM ∥平面BCE ．。

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第一章
算法初步
下列关于程序框图的说法正确的是 ( A．程序框图是描述算法的语言 B．在框图中，一个判断框最多只能有两个退出点 C．程序框图虽可以描述算法，但不如用自然语言描 述算法直观 D．程序框图和流程图不是一个概念 )
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算法初步
[解析]
由于存在着一种多分支判断，所以一个判断
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算法初步
[例5] 图．
画出计算22＋42＋62＋…＋1002的算法的程序框
[误解] 程序框图如图一所示 [辨析] 所画程序框图中有两处错误：一是判断框中 的内容错误，这样会导致少一次运算；二是处理框i＝i＋1 的错误．这样计算下来的是22＋42＋52＋….
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[答案] D [解析] 由程序框图定义可知，①②③④都正确．
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算法初步
2．在程序框图中，算法中间要处理数据或计算，可分 别写在不同的 ( A．处理框内 C．输入、输出框内 [答案] A [解析] 内，∴选A. 由处理框的意义可知，对变量进行赋值，执 行计算语句，处理数据，结果的传送等都可以放在处理框 B．判断框内 D．循环框内 )
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算法初步
3．在程序框图中，一个算法步骤到另一个算法步骤的 连接用 A．连结点 C．流程线 [答案] C [解析] 流程线的意义是流程进行的方向，一个算法 步骤到另一个算法步骤表示的是流程进行的方向，故选C. 而连结点是当一个框图需要分开来画时，在断开处画上连 结点．判断框是根据给定条件进行判断，处理框是赋值、 计算、数据处理、结果传送，所以A、B、D都不对． B．判断框 D．处理框

D．△ A1B1C1 是锐角三角形，△ A2B2C2 是钝角三角形
[答案 ] D
[解析 ] 由条件知，△ A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 假设△ A2B2C2 是锐角三角形，由
0，则△ A1B1C1 是锐角三角形，
π sin A2＝ cosA1＝ sin 2－A1
π
sin B2 ＝cosB1＝ sin
A ． 一定是锐角三角形
B．一定是钝角三角形
)在△ ABC 中， a、 b、 c 分别为角 A、 B、
C．一定是斜三角形 D ．一定是直角三角形
[答案 ] D
[解析 ] 解法一：∵ ccosA＝ b， ∴sin CcosA＝ sinB＝ sin(A＋C)
＝sin AcosC＋ cosAsinC，
∴sin AcosC＝ 0，
A．2 3
B．2 2
C． 3
D． 2
[答案 ] D [解析 ] ∵ asinAsinB＋ bcos2A＝ 2a， ∴由正弦定理，得 sin2AsinB＋ sinBcos2A＝ 2sinA， ∴sin B(sin2A＋ cos2A)＝ 2sinA， ∴sin B＝ 2sinA，
∴sin B＝ 2. sinA
∵sin A≠0，∴ cosC＝ 0，又 0<c<π，
∴C＝ π，故选 D． 2
解法二：由余弦定理，得
b2＋ c2－ c· 2bc
a
2
＝
b
，
∴ b 2＋ c2－ a 2＝ 2 b 2，
即 a2＋ b2＝ c2，故△ ABC 是直角三角形．
5．从 A 处望 B 处的仰角为 α，从 B 处望 A 处的俯角为 β，则 α、 β的关系为 ( )
第一章综合素质检测

第1章 1.2 第3课时基础巩固一、选择题1．在某测量中，设A 在B 的南偏东34°27′，则B 在A 的( ) A ．北偏西34°27′ B ．北偏东55°33′ C ．北偏西55°32′ D ．南偏西55°33′[答案] A2．如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为34，设α为坡角，那么cos α等于( )A.35B.45 C.34 D.43[答案] B[解析] 由题意，得tan α＝34，∴sin αsin α＝34，∴sin 2αcos 2α＝916，即1－cos 2αcos 2α＝916，∵α为锐角， ∴cos α＝45.3．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°[答案] B[解析]如图，由题意知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，∵AC＝BC，∴∠ABC＝50°，∴α＝60°－50°＝10°.二、填空题4．两个探险小分队于早上8时同时离开营地，两队所行方向的夹角为60°，其速度每小时分别为3.5公里、2.5公里，则中午12时两队之间的距离是________公里．[答案]239[解析]如图所示，设营地所在位置为点A，中午12时两队分别到达B、C两点，由题意，得AB＝3.5×4＝14公里，AC＝2.5×4＝10公里．又∠A＝60°，由余弦定理，得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝142＋102－2×14×10×12＝239(公里)．故中午12时两队之间的距离为239公里．5．从地面上观察一建在山顶上的建筑物，测得其视为α，同时测得建造物顶部仰角为β，则山顶的仰角为________．[答案] β－α 三、解答题6．如图，甲船在A 处，乙船在甲船的南偏东45°方向，距A 9海里的B 处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，应沿什么方向，用多少小时能最快追上乙船？(精确到度)[解析] 假设用t 小时，甲船在C 处追上乙船，在△ABC 中，AC ＝28t ，BC ＝20t ，∠ABC ＝180°－45°－15°＝120°.由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ， (28t )2＝81＋(20t )2－2×9×20t ×(－12)，整理，得128t 2－60t －27＝0，即(4t －3)(32t ＋9)＝0. ∴t ＝34或t ＝－932(舍去)．∴AC ＝28×34＝21，BC ＝20×34＝15.由正弦定理，得sin ∠BAC ＝BC sin ∠ABCAC ＝15×3221＝5314. 又∠ABC ＝120°，∴∠BAC 为锐角，∠BAC ≈38°. ∴45°－38°＝7°.答：甲船应沿南偏东7°方向用34小时最快追上乙船．能力提升一、选择题1．如下图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为( )A.1762海里/小时B ．346海里/小时 C.1722海里/小时D ．342海里/小时[答案] A[解析] 由题意知PM ＝68，∠MPN ＝120°，∠N ＝45° 由正弦定理知PM sin45°＝MN sin120°⇒MN ＝68×32×2＝34 6∴速度为3464＝1762(海里/小时)． 2．当两人共提重为|G |的书包时，夹角为θ，用为|F |，则三者的关系为( )A ．|F |＝|G|2cos θB ．|F |＝|G|2sin θC ．|F |＝|G|2cosθ2 D ．|F |＝|G|2sinθ2 [答案]C[解析] 如图，由平行四边形法则可知，|OA →|＝|G |，在△AOB 中，由余弦定理，得|OA →|2＝|F |2＋|F |2－2|F |·|F |cos(π－θ) ∵|OA →|＝|G |， ∴2|F |2(1＋cos θ)＝|G |2.即|F |2＝|G |24cos2θ2，∴|F |＝|G |2cosθ2. 二、填空题3．一只蚂蚁沿东北方向爬行x cm 后，再向右转105°爬行20cm ，又向右转135°，这样继续爬行可回到出发点处，那么x ＝________.[答案]2063cm [解析] 如图△ABC 中，∠A ＝45°＋15°＝60°，∠B ＝45°＋30°＝75°，∠ACB ＝45°，由正弦定理知x sin ∠ACB ＝20sin A，∴x ＝2063.4．有一长为100米的斜坡，它的倾斜角为45°，现在要把倾斜角改成30°，则坡底要伸长________米．[答案] 50(6－2) [解析] 如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°， AB ＝100，∴AC ＝50 2.又在△ACD 中，∠ADC ＝30°， ∴∠DAB ＝45°－30°＝15°. sin15°＝sin(45°－30°)＝6－24.在△ABD 中，由正弦定理，得BD sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB，∴BD ＝100×sin15°sin30°＝100×6－2412＝50(6－2)(米)．三、解答题5．半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上一点，且OA ＝2.B 为半圆上任意一点，以AB 为边向外作等边△ABC ，则B 点在什么位置时，四边形OACB 的面积最大？求出这个最大面积．[解析] 设AB ＝x ，∠AOB ＝θ，在△AOB 中，由余弦定理，得x 2＝12＋22－2×1×2cos θ＝5－4cos θ. ①又设四边形OACB 的面积是S ，则S ＝S △AOB ＋S △ABC ＝sin θ＋34x 2. ②式①代入式②得S ＝sin θ－3cos θ＋534＝2sin(θ－π3)＋534.∵θ∈(0，π)，∴－π3<θ－π3<2π3.∴当且仅当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，S max ＝8＋534.即以OA 为始边，OB 逆时针方向旋转5π6时，四边形OACB 面积最大，最大值为8＋534.6．国庆节期间一游客在东湖的游船上仰看空中一飞艇的仰角为15°，又俯看飞艇在湖中的映影俯角为45°，已知该游客在船上距湖面的高度为5米，求飞艇距湖面的高度(不考虑水的折射)．[解析] 如图所示，设CF ＝x 米，则飞艇距湖面(x ＋5)米，则ED ＝(x ＋5)米，∴AF ＝BD ＝EF ＝(x ＋10)米， ∴xx ＋10＝tan15°＝2－3，∴x ＝5(3－1)米， ∴CD ＝5＋x ＝53(米)．7．平面内三个力F 1、F 2、F 3作用于同一点且处于平衡状态．已知F 1、F 2的大小分别为1N 、6＋22N ，F 1与F 2的夹角为45°，求F 3的大小及F 3与F 1的夹角的大小．[解析] 如下图，设F 1与F 2的合力为F ，则F 3＝－F . ∵∠BOC ＝45°， ∴∠ABO ＝135°.在△OBA中，由余弦定理，得|F|2＝|F1|2＋|F2|2－2|F1|·|F2|cos135°＝4＋2 3. ∴|F|＝1＋3，即|F3|＝3＋1.又由正弦定理，得sin∠BOA＝|F2|sin∠ABO|F|＝12.∴∠BOA＝30°，∴∠BOD＝150°.故F3的大小为(3＋1)N，F1与F3的夹角为150°.。

第三章 3.1 3.1.2 第1课时一、选择题1．若函数y ＝(2a －1)x ＋a －2为指数函数，则a 的值为( ) A ．0 B ．12C ．1D ．2[答案] D[解析] 要使函数y ＝(2a －1)x＋a －2为指数函数，应满足⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＞02a －1≠1a －2＝0，解得a ＝2.2．函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)对于任意的实数x 、y 都有( ) A ．f (xy )＝f (x )f (y ) B ．f (xy )＝f (x )＋f (y ) C ．f (x ＋y )＝f (x )f (y ) D ．f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )[答案] C[解析] ∵f (x )＝a x ，∴f (x ＋y )＝a x ＋y ，f (x )·f (y )＝a x ·a y ＝a x ＋y ， ∴f (x ＋y )＝f (x )·f (y )．3．(2014～2015学年度山西朔州市一中高一上学期期中测试)函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a ＝( )A ．12B ．2C ．4D ．14[答案] B[解析] 本题主要考查指数函数的单调性在求最值中的应用．因为函数y ＝a x 在R 上单调，所以最大值与最小值的和即为a 0＋a 1＝3，得a ＝2，故选B ．4．(2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ＋2)(x <2)2－x (x ≥2)，则f (－3)的值为( ) A ．2 B ．8 C ．12D ．18[答案] D[解析] f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1) ＝f (－1＋2)＝f (1)＝f (1＋2) ＝f (3)＝2－3＝18.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a 等于( )A ．12B ．45C ．2D ．9[答案] C[解析] ∵f (0)＝20＋1＝2，∴f [f (0)]＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，解得a ＝2.6．若函数y ＝(1－a )x 在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(－∞，1) D ．(－1,1)[答案] B[解析] ∵函数y ＝(1－a )x 在(－∞，＋∞)上是减函数， ∴0<1－a <1，∴0<a <1. 二、填空题7．(2014～2015学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)函数y ＝a x ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过定点________．[答案] (－1,2)[解析] 令x ＋1＝0，得y ＝2， 即x ＝－1，y ＝2.故函数y ＝a x ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过定点(－1,2)． 8．比较大小：2.12 015______2.12 014.(填“>”或“<”) [答案] >[解析] ∵指数函数y ＝2.1x ，x ∈R 单调递增， ∴2.12 015>2.12 014. 三、解答题9．函数f (x )＝12(a x ＋a －x )，(a >0且a ≠1)．(1)讨论f (x )的奇偶性； (2)若函数f (x )的图象过点(2，419)，求f (x )． [解析] (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f (－x )＝12(a －x ＋a x )＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数． (2)∵函数f (x )的图象过点(2，419)， ∴419＝12(a 2＋a －2)＝12(a 2＋1a 2)， 整理得9a 4－82a 2＋9＝0， ∴a 2＝19或a 2＝9.∴a ＝13或a ＝3.故f (x )＝12(3x ＋3－x )．10．设a ＞0, f (x )＝e x a ＋ae x (e ＞1)是R 上的偶函数．(1)求a 的值；(2)证明： f (x )在(0，＋∞)上是增函数．[解析] (1)依题意，对一切x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )， ∴e x a ＋a e x ＝1ae x ＋ae x ，∴(a －1a )(e x －1e x )＝0， ∴a －1a ＝0，即a 2＝1，又a ＞0，∴a ＝1.(2)设任意实数x 1∈R ，x 2∈R ，且x 1＜x 2， ∴Δx ＝x 1－x 2＜0，Δy ＝f (x 1)－f (x 2)＝e x 1－e x 2＋1e x 1－1e x 2＝(ex 2－e x 1)·(1ex 1＋x 2－1)＝e x 1 (e x 2－x 1－1)·1－e x 1＋x 22e x 1＋x 2，∵Δx ＝x 1－x 2＜0，∴x 2－x 1＞0，又x 1＋x 2＞0，e ＞1， ∴e x 2－x 1－1＞0,1－e x 1＋x 2＜0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数.一、选择题1．下图是指数函数：①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是( )A ．a <b <1<c <dB ．b <a <1<d <cC ．1<a <b <c <dD ．a <b <1<d <c[答案] B[解析] 直线x ＝1与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1，a )、(1，b )、(1，c )、(1，d )，由图象可知纵坐标的大小关系．2．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域为R ，则( ) A ．f (x )与g (x )均为偶函数 B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数 C ．f (x )与g (x )均为奇函数 D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数[答案] B[解析] f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数， g (－x )＝3－x －3x ＝－(3x －3－x )＝－g (x )， ∴g (x )为奇函数，故选B ． 3．已知(12)m <(12)n <1，则有( )A ．0<n <mB ．n <m <0C ．0<m <nD ．m <n <0[答案] A[解析] 本题主要考查指数函数单调性的应用．因为指数函数y ＝(12)x 在R 上递减，所以由(12)m <(12)n <1＝(12)0，得m >n >0，故选A ．4．(2014～2015学年度山东烟台高一上学期期中测试)函数y ＝a x －a (a >0，a ≠1)的图象可能是( )[答案] C[解析] 当x ＝1时，y ＝0，排除A 、B 、D ，故选C ． 二、填空题5．已知a ＞b ，ab ≠0，下列不等式① a 2＞b 2；② 2a ＞2b ； ③ 0.2－a ＞0.2－b ；④(13)a ＜(13)b 中恒成立的有__________．[答案] ②③④[解析] ①若0＞a ＞b ，则a 2＜b 2，故①不正确； ②y ＝2x 为增函数，∴2a ＞2b ，②正确； ③y ＝0.2x 为减函数，∴0.2－a ＞0.2－b ，③正确； ④y ＝(13)x 为减函数，∴(13)a ＜(13)b ，④正确．6．指数函数y ＝f (x )的图象经过点(1,3)，则f [f (1)]＝________. [答案] 27[解析] 设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)， 由题意得3＝a 1，∴a ＝3.∴f (x )＝3x . ∴f (1)＝3，∴f [f (1)]＝f (3)＝33＝27. 三、解答题7．(2014～2015学年度西藏拉萨中学高一上学期月考)已知f (x )＝2x ＋m2x ，且f (0)＝2.(1)求m 的值；(2)判断并证明f (x )的奇偶性． [解析] (1)∵f (0)＝2，∴2＝20＋m20，∴m ＝1.(2)由(1)知f (x )＝2x ＋12x ＝2x ＋2－x ，函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．∴f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数．8．已知f (x )＝x (12x －1＋12)(x ≠0)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)求证：f (x )>0.[解析] (1)f (－x )＝－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＋1＋12＝－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x1－2x ＋12＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x2x －1－12 ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1＋12x－1－12＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＝f (x )， ∴f (x )是偶函数． (2)当x >0时，2x －1>0，∴f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12>0，又∵函数f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称， ∴当x ≠0时，总有f (x )>0.。

第一章 1.2 1.2.1一、选择题1．(2014～2015学年度江西临川一中高一上学期期中测试)下列集合中，只有一个子集的集合是()A．{x|x＋3＝3}B．{(x，y)|y2＝－x2，x、y∈R}C．{x|x2≤0} D．{x|x2－x＋1＝0}[答案] D[解析]∵方程x2－x＋1＝0无解，∴{x|x2－x＋1＝0}＝∅，故集合{x|x2－x＋1＝0}只有一个子集．2．集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集个数是()A．16B．8C．7D．4[答案] C[解析]A＝{x|0≤x<3且x∈N}＝{0,1,2}，∴真子集有7个．3．已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且A⊆B，则a＝()A．1 B．0C．－2 D．－3[答案] C[解析]∵A⊆B，∴1∈B，∴a＋3＝1，∴a＝－2.4．设M＝{正方形}，T＝{矩形}，P＝{平行四边形}，H＝{梯形}，则下列包含关系中不正确的是()A．M⊆T B．T⊆PC．P⊆H D．M⊆P[答案] C[解析]设U＝{四边形}，则集合U、M、T、P、H的关系用Venn图表示为5．集合M ＝{x |x 2－1＝0}，T ＝{－1,0,1}，则M 与T 的关系是( ) A ．M T B ．M T C ．M ＝T D ．M ⃘T[答案] A[解析] ∵M ＝{x |x 2－1＝0}＝{－1,1}，T ＝{－1,0,1}，∴M T ，故选A ． 6．满足{a ，b }⊆A {a ，b ，c ，d }的集合A 有________个( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] ∵{a ，b }⊆A ，∴a ∈A ，b ∈A ， 又∵A{a ，b ，c ，d }，∴c ，d 不能同时为集合A 的元素，∴A ＝{a ，b }、{a ，b ，c }、{a ，b ，d }共3个． 二、填空题7．已知A ＝{a,0，－1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ＋b ，1a ＋b ，1，且A ＝B ，则 a ＝________，b ＝________，c ＝________. [答案] 1 －2 2[解析] ∵A ＝{a,0，－1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ＋b ，1a ＋b ，1，A ＝B ，∴a ＝1，b ＋c ＝0，1a ＋b ＝－1，∴b ＝－2，c ＝2.8．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ≥m }，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围为________． [答案] m ≤－2[解析] 将集合A 、B 表示在数轴上，如图所示，∴m≤－2.三、解答题9．已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，求x与y的值．[分析]两个集合相等，说明这两个集合的元素完全相同，因此集合A中必有一个元素为0，所以x，xy，x－y这三个元素中必有一个为0.而每个集合中的元素又应该是互异的，由此出发可以列方程来确定x，y的值．[解析]∵0∈B，A＝B，∴0∈A．∵集合中元素具有互异性，∴x≠xy，∴x≠0.又∵0∈B，y∈B，∴y≠0.从而x－y＝0，即x＝y.这时A＝{x，x2,0}，B＝{0，|x|，x}，∴x2＝|x|，则x＝0(舍去)，或x＝1(舍去)，或x＝－1.经检验，x＝y＝－1.10．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，求实数a的值．[解析]∵B⊆A，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a，当a2－a＋1＝3时，a＝2或a＝－1；当a2－a＋1＝a时，a＝1(舍去)，∴a＝2或a＝－1.一、选择题1．设A＝{0,1}，B＝{x|x∈A}，则集合A与B的关系是()A．A B B．B AC．A＝B D．A∈B[答案] C[解析]B＝{x|x∈A}说明集合B中的元素是集合A中的全部元素，∴A＝B．2．设a 、b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，ba ，b }，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2[答案] C[解析] 由集合{1，a ＋b ，a }＝{0，ba ，b }，知a ≠0，且a ≠1，∴a ＋b ＝0，则a ＝－b ， ∴b a ＝－1，∴a ＝ba ＝－1，∴b ＝1， 则b －a ＝2，故选C ．3．已知A ＝{x |x <－1，或x >2}，B ＝{x |4x ＋p <0}，且A B ，则实数p ( ) A ．p ≥4 B ．p >4 C ．p ≤4 D ．p <4 [答案] A[解析] ∵B ＝{x |4x ＋p <0}，∴B ＝{x |x <－p 4}，将集合A 及点－p4标在数轴上，如图．由图可知，要使A B ，应满足点－p 4在点－1的左侧或与点－1重合，即－p4≤－1，∴p ≥4.4．数集P ＝{x |x ＝(2n ＋1)π，n ∈Z }与数集Q ＝{x |x ＝(4m ±1)π，m ∈Z }之间的关系是( ) A ．P Q B ．P ＝Q C ．Q P D ．P ≠Q[答案] B[解析] 取n ＝…，－1,0,1,2，…，得P ＝{…，－π，π，3π，5π，…}； 取m ＝…，0,1，…，得Q ＝{…，－π，π，3π，5π，…}． ∴P ＝Q . 二、填空题5．若集合A ＝{1,3，x }，B ＝{x 2,1}，且B ⊆A ，则实数x 的值是________． [答案] 0或±3[解析] ∵B ⊆A ，∴x 2＝3，或x 2＝x ， 解得x ＝±3，或x ＝0，或x ＝1， 当x ＝1时，集合B 不满足元素的互异性， ∴x ＝1舍去，故x ＝0或x ＝±3.6．(2014～2015学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且B ⊆A ，则m 的取值集合为__________．[答案] {0，－12，13}[解析] ∵B ⊆A ，∴当B ＝∅时，m ＝0. 当B ≠∅时，B ＝{x |x ＝－1m }．又A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}． ∴－1m ＝－3或－1m ＝2，∴m ＝13或m ＝－12.综上可知，m ＝0或m ＝13或m ＝－12.三、解答题7．设集合A ＝{x ，y }，B ＝{0，x 2}，若A ＝B ，求实数x 、y 的值． [解析] ∵A ＝B ，∴x ＝0或y ＝0.(1)当x ＝0时，x 2＝0，则B 中的元素0重复出现，此时集合B 不满足集合中元素的互异性，舍去．(2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝1或x ＝0(舍去)， 此时A ＝{1,0}＝B ，满足条件． 综上可知，x ＝1，y ＝0.8．设集合A ＝{x |1≤x ≤4}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m ＋3}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围． [解析] ①当m ＋1>2m ＋3，即m <－2时，B ＝∅符合题意； ②当m ＋1≤2m ＋3，即m ≥－2时，B ≠∅.由B ⊆A ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥12m ＋3≤4，解得0≤m ≤12.综合①②可知，m<－2或0≤m≤12.。

本册综合测试题时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．下列描述不是解决问题的算法的是( )导学号67640916 A ．从中山到北京先坐汽车，再坐火车B ．解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1C ．方程x 2－4x ＋3＝0有两个不等的实根D ．解不等式ax ＋3>0时，第一步移项，其次步争辩 [答案] C[解析] 由于算法是用来解决某一问题的程序或步骤，明显C 不是，故选C. 2．(2021·河南柘城四高高一月考)下列赋值语句正确的是( ) 导学号67640917 A ．S ＝a ＋1 B ．a ＋1＝S C ．S －1＝a D ．S －a ＝1[答案] A[解析] 赋值语句只能给某个变量赋值，不能给一个表达式赋值，故选A.3．(2021·湖北理，2)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( ) 导学号67640918A ．134石B ．169石C ．338石D ．1 365石 [答案] B[解析] 设这批米内夹谷约为x 石，则依题意有x 1 534＝28254，解得x ≈169. 故本题正确答案为B.4．(2021·湖南津市一中高一月考)200辆汽车通过某一段大路时，时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[50,70)的汽车大约有( ) 导学号67640919A ．60辆B ．80辆C ．70辆D ．140辆[答案] D[解析] 时速在[50,70)的汽车大约有200×10×(0.03＋0.04)＝140辆．5．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：导学号67640920 [11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3依据样本的频率分布估量，数据落在[31.5,43.5)的概率约是( ) A.16 B ．13C.12 D ．23[答案] B[解析] 由条件可知，落在[31.5,43.5)内的数据有12＋7＋3＝22(个)，故所求的概率为2266＝13.6．将容量为100的样本数据，按从小到大的挨次分为8个组，如下表：导学号67640921组号 1 2 3 4 5 6 7 8 频数101314141513129则第三组的频率为( ) A ．0.14 B ．114C.0.03 D ．314[答案] A[解析] 第三组的频数为14，∴频率为14100＝0.14.7.(2021·山东威海一中高一期末测试)如图程序框图输出的结果为( )导学号67640922A.511 B ．513C.49 D ．613[答案] A[解析] 循环一次，S ＝0＋11×3＝13，k ＝3；循环二次，S ＝13＋13×5＝25，k ＝5；循环三次，S ＝25＋15×7＝37，k ＝7；循环四次，S ＝37＋17×9＝49，k ＝9；循环五次，S ＝49＋19×11＝511，k ＝11，循环结束，输出S 的值是511.8．某校在“创新素养实践行”活动中，组织同学进行社会调查，并对同学的调查报告进行了评比，如图是将某班级60篇同学调查报告的成果进行整理，分成5组画出的频率分布条形图．已知从左往右4个小组的频率分别是0.05,0.15,0.35,0.30，那么在这次评比中被评为优秀的调查报告有(分数大于等于80分为优秀，且分数为整数)( ) 导学号67640923A ．18篇B ．24篇 C.25篇 D ．27篇[答案] D[解析] 由频率分布条形图知从左往右第5个小组的频率为0.15故优秀数为60×(0.3＋0.15)＝27. 9.如图，圆C 内切于扇形AOB ，∠AOB ＝π3，若在扇形AOB 内任取一点，则该点在圆C 内的概率为( )导学号67640924A.16 B ．13C.23 D ．34[答案] C[解析] 设圆O 的半径为1，圆C 的半径为r ，如图所示，∵∠COB ＝π6，∴OC ＝2r ，所以2r ＋r ＝1，所以r ＝13，∴S 圆C ＝π9，又S 扇形OAB ＝12×π3×1＝π6，所以所求概率P ＝π9π6＝23，故选C.10．如图是某次拉丁舞竞赛七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a 1、a 2，则a 1、a 2的大小关系是( ) 导学号67640925甲 乙 0 7 9 54 5 5 1 8 4 4 6 4 7m93A.a 1>a 2 B ．a 2>a 1 C ．a 1＝a 2 D ．无法确定[答案] B[解析] 去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙都有5组数据，此时甲、乙得分的平均数分别为a 1＝1＋4＋5×35＋80＝84，a 2＝6＋7＋4×35＋80＝85，所以a 2>a 1. 11．某人从甲地去乙地共走了500 m ，途经一条宽为x m 的河流，该人不当心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里就能找到．已知该物品能被找到的概率为2425，则河宽为( ) 导学号67640926A ．80 mB ．20 mC ．40 mD ．50 m[答案] B[解析] 这是一个与长度有关的几何概型，依据题意物品能找到的概率为500－x 500＝2425，解得x ＝20，故选B.12．一个袋内装有大小相同的6个白球和5个黑球，从中任凭抽取2个球，抽到白球、黑球各1个的概率为( ) 导学号67640927A.611 B ．15C.211 D ．110[答案] A[解析] 将6个白球编号为白1、白2、白3、白4、白5、白6,5个黑球编号为黑1、黑2、黑3、黑4、黑5.从中任取两球都是白球有基本大事15种，都是黑球有基本大事10种，一白一黑有基本大事30种，故基本大事共有15＋10＋30＝55种，设大事A ＝{抽到白球、黑球各一个}，则P (A )＝3055＝611，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在题中的横线上．)13．一个总体含有100个个体，以简洁随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为________．导学号67640928[答案]120[解析] 简洁随机抽样是等概率抽样，即每个个体在某次被抽到的概率为1N (N 指总体容量)，每个个体在整个抽样过程中被抽到的概率为nN(n 指样本容量)．14．下列程序运行的结果是________．导学号67640929 S ＝1；i ＝1；while i<10 S ＝S*i ； i ＝i ＋2；endprint (%io (2)，2*s )； [答案] 1 890[解析] 程序是计算2S 的值，而S ＝1×3×5×7×9＝945，∴2S ＝1 890.15．某篮球队6名主力队员在最近三场竞赛中投进的三分球个数如下表所示： 导学号67640930队员i 1 2 3 4 5 6 三分球个数a 1a 2a 3a 4a 5a 6如上图是统计该6名队员在最近三场竞赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中推断框应填________，输出的s ＝________.(注：框图中的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”) [答案] i ≤6，a 1＋a 2＋…＋a 6[解析] 考查读表识图力量和程序框图．由于是统计该6名队员在最近三场竞赛中投进的三分球总数的程序框图，所以图中推断框应填i ≤6，输出的s ＝a 1＋a 2＋…＋a 6.16．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：导学号67640931月份x 1 2 3 4 用水量y4.5432.5由其散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－0.7x ＋a ^，则a ^＝______.[答案] 5.25[解析] x －＝1＋2＋3＋44＝52，y －＝4.5＋4＋3＋2.54＝72.由线性回归方程知a ^＝y －－(－0.7)·x －＝72＋710·52＝5.25.三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本题满分12分)某中学高中三班级男子体育训练小组2011年5月测试的50 m 跑的成果(单位：s)如下：6.4、6.5、7.0、6.8、7.1、7.3、6.9、7.4、7.5，设计一个算法，从这些成果中搜寻出小于6.8 s 的成果，并画出程序框图．导学号67640932[解析] 算法步骤如下：S1i＝1；S2输入一个数据a；S3假如a<6.8，则输出a，否则，执行S4；S4i＝i＋1；S5假如i>9，则结束算法，否则执行S2.程序框图如图：18．(本题满分12分)(2021·河北邯郸市高一期末测试)甲、乙两同学的6次考试成果分别为：导学号67640933甲998997859599乙899390899290(1)画出甲、乙两同学6(2)计算甲、乙两同学考试成果的方差，并对甲、乙两同学的考试成果做出合理评价．[解析](1)甲、乙两位同学六次考试成果的茎叶图如图所示.甲乙59899957993020(2)x甲＝99＋89＋97＋85＋95＋996＝94，x乙＝89＋93＋90＋89＋92＋906＝90.5，s2甲＝16[(99－94)2＋(89－94)2＋(97－94)2＋(85－94)2＋(95－94)2＋(99－94)2]＝2723，s2乙＝16[(89－90.5)2＋(93－90.5)2＋(90－90.5)2＋(89－90.5)2＋(92－90.5)2＋(90－90.5)2]＝1312.故甲同学的平均水平要高于乙同学，但是甲同学的方差比乙同学的方差大，说明甲同学的发挥没有乙同学稳定．19．(本题满分12分)(2021·河南南阳市第一期末测试)一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品，现随机抽出2件产品，求：导学号67640934(1)恰好有一件次品的概率；(2)都是正品的概率；(3)抽到次品的概率．[解析]记4件正品分别为A、B、C、D,2件次品分别为e、f，从6件产品中抽取2件，其包含的基本大事有(A，B)、(A，C)、(A，D)、(A，e)、(A，f)、(B，C)、(B，D)、(B，e)、(B，f)、(C，D)、(C，e)、(C，f)、(D，e)、(D，f)、(e，f)，共有15种．(1)记“恰有1件次品”为大事M，大事M包含的基本大事有(A，e)、(A，f)、(B，e)、(B，f)、(C，e)、(C，f)、(D，e)、(D，f)，共有8个，∴P(M)＝815.(2)记“都是正品”为大事N，大事N包含的基本大事有(A，B)、(A，C)、(A，D)、(B，C)、(B，D)、(C，D)，共有6个，∴P(N)＝615＝25.(3)记“抽到次品”为大事R，大事R的对立大事是大事N，∴P(R)＝1－25＝35.20．(本题满分12分)在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据，将数据分组如下表：导学号67640935分组频数[1.30,1.34) 4[1.34,1.38)25[1.38,1.42)30[1.42,1.46)29[1.46,1.50)10[1.50,1.54) 2合计100(1)(2)估量纤度落在[1.38,1.50)中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？[解析] (1)分组 频数 频率 [1.30,1.34) 4 0.04 [1.34,1.38) 25 0.25 [1.38,1.42) 30 0.30 [1.42,1.46) 29 0.29 [1.46,1.50) 10 0.10 [1.50,1.54) 2 0.02 合计1001.00(2)纤度落在[1.38,1.50)中的概率均为0.30＋0.29＋0.10＝0.69，纤度小于1.40的概率约为0.04＋0.25＋12×0.30＝0.44.21.(本题满分12分)一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果：导学号67640936转速x (转/秒)16 14 12 8 每小时生产有缺陷的零件数y (件)11985(1)画出散点图；(2)假如y 与x 有线性相关的关系，求回归直线方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的转运速度应把握在什么范围内？[解析] (1)画出散点图，如图所示：(2)x －＝12.5，y －＝8.25，∑i ＝14x i y i ＝438，∑i ＝14x 2i ＝660，∴b ^＝∑i ＝14x i y i －4x － y－∑i ＝14x 2i －4x －2＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.728 6，a ^＝y －－b ^x －≈8.25－0.728 6×12.5＝－0.857 5. 故回归直线方程为y ^＝0.728 6x －0.857 5.(3)要使y ≤10，则0.728 6x －0.857 4≤10，x ≤14.901 9.故机器的转速应把握在14.9转/秒以下．22.(本题满分14分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，支配一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示. 导学号67640937一次购物量 1至4件5至8件 9至12件13至16件17件及以上顾客数(人) x3025y10结算时间 (min/人)11.522.53(1)确定x ，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间的平均值； (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2 min 的概率． (注：将频率视为概率)[解析] (1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市全部顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简洁随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估量，其估量值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9 (min)．(2)记A 为大事“一位顾客一次购物的结算时间不超过2 min ”，A 1，A 2，A 3分别表示大事“该顾客一次购物的结算时间为1 min ”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5 min ”，“该顾客一次购物的结算时间为2 min ”．将频率视为概率得P (A 1)＝15100＝320，P (A 2)＝30100＝310，P (A 3)＝25100＝14.由于A ＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3是互斥大事， 所以P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝320＋310＋14＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2 min 的概率为710.。

第一章综合测试(A)时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列四个命题：①若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；②若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交；③若a∥b，则a、b与c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确命题的个数为导学号03310436()A．1B．2C．3 D．4[答案] A[解析]①②④中，a、c相交、平行，异面都有可能，只有③是正确．2．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则导学号03310437()A．平面α内所有直线与l异面B．平面α内存在惟一的直线与l平行C．平面α内不存在与l平行的直线D．平面α内的直线都与l相交[答案] C[解析]∵直线l不平行于平面α，且l⊄α，∴l与平面α相交，故平面α内不存在与l 平行的直线．3．一长方体木料，沿图①所示平面EFGH截长方体，若AB⊥CD那么图②四个图形中是截面的是导学号03310438()[答案] A[解析]因为AB、MN两条交线所在平面(侧面)互相平行，故AB、MN无公共点，又AB、MN在平面EFGH内，故AB∥MN，同理易知AN∥BM．又AB⊥CD，∴截面必为矩形．4．圆锥的底面半径为1，母线长为3，则圆锥的表面积为导学号03310439()A ．πB ．2πC ．3πD ．4π[答案] D[解析] S 表＝S 侧＋S 底＝π×1×3＋π×12＝4π．5．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为1，高为2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为导学号 03311029( )A ．2πB ．5π2C ．4πD ．5π[答案] B[解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为12，高为2的圆柱．S 表＝S 侧＋S 底＝2π×12×2＋2π×14＝2π＋π2＝5π2．6．将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为导学号 03310440( )A ．π6B ．2π3 C ．3π2D ．4π3[答案] A[解析] 将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，球的直径应等于正方体的棱长，故球的半径为R ＝12，∴球的体积为V ＝43πR 3＝43π×(12)3＝π6．7．设α表示平面，a 、b 、l 表示直线，给出下列命题，①⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥lb ⊥la ⊂αb ⊂α⇒l ⊥α； ②⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α； ③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊄αb ⊂αa ⊥b ⇒a ⊥α； ④直线l 与平面α内无数条直线垂直，则l ⊥α． 其中正确结论的个数为导学号 03310441( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] A[解析] ①错，缺a 与b 相交的条件；②错，在a ∥α，a ⊥b 条件下，b ⊂α，b ∥α，b 与 α斜交，b ⊥α都有可能；③错，只有当b 是平面α内任意一条直线时，才能得出a ⊥α，对于特定直线b ⊂α，错误；④错，l 只要与α内一条直线m 垂直，则平面内与m 平行的所有直线就都与l 垂直，又l 垂直于平面内的一条直线是得不出l ⊥α的．8．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是导学号03310442( )[答案] B[解析] (可用排除法)由正视图可把A ，C 排除， 而由左视图把D 排除，故选B ．9．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是，这截面把圆锥母线分为两段的比是导学号 03310443( )A ． B．3－1) C ．D ．3[答案] B[解析]如图由题意可知，⊙O1与⊙O2面积之比为，∴半径O1A1与OA之比为3，∴PA1PA＝13，∴PA1AA1＝13－1．10．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E、交CC′于F，则以下结论中错误的是导学号03311030()A．四边形BFD′E一定是平行四边形B．四边形BFD′E有可能是正方形C．四边形BFD′E有可能是菱形D．四边形BFD′E在底面投影一定是正方形[答案] B[解析]平面BFD′E与相互平行的平面BCC′B′及ADD′A′的交线BF∥D′E，同理BE∥D′F，故A正确．特别当E、F分别为棱AA′、CC′中点时，BE＝ED′＝BF＝FD′，则四边形为菱形，其在底面ABCD内的投影为正方形ABCD，∴选B．11．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，∠A＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在导学号03310444()A．直线AC上B．直线AB上C．直线BC上D．△ABC内部[答案] B[解析]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫AC ⊥ABAC ⊥BC 1AB∩BC 1＝B ⇒AC ⊥平面ABC 1 AC ⊂平面ABC⇒平面ABC 1⊥平面ABC ，⎭⎪⎬⎪⎫ 平面ABC 1∩平面ABC ＝AB C 1H ⊥平面ABC ⇒H 在AB 上． 12．(2016·全国卷Ⅱ文，7)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为导学号03310445( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π[答案] C[解析] 该几何体的表面积由圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面圆的面积组成．其中，圆锥的底面半径为2，母线长为32＋22＝4，圆柱的底面半径为2，高为4，故所求表面积S ＝π×2×4＋2π×2×4＋π×22＝28π．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．用斜二测画法，画得正方形的直观图面积为182，则原正方形的面积为________.导学号 03310446[答案] 72 [解析] 由S 直＝24S 原，得S 原＝22S 直＝22×182＝72． 14．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________.导学号 03310447[答案][解析] 设球半径为a ，则圆柱、圆锥、球的体积分别为：πa 2·2a ，13πa 2·2a ，43πa 3.所以体积之比2πa 323πa 343πa 3＝2343＝．15．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件其构成真命题(其中l 、m 为不同直线，α、β为不重合平面)，则此条件为________.导学号 03310448①⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αl ∥m ⇒l ∥α； ②⎭⎪⎬⎪⎫l ∥mm ∥α ⇒l ∥α； ③⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥βα⊥β ⇒l ∥α． [答案] l ⊄α[解析] ①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l 为平面α外的直线”，即“l ⊄α”．它同样适合②③，故填l ⊄α．16．一块正方形薄铁片的边长为4 cm ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于________ cm 3.导学号 03310449[答案]153π [解析] 据已知可得圆锥的母线长为4，设底面半径为r ， 则2πr ＝π2·4⇒r ＝1(cm)，故圆锥的高为h ＝42－1＝15(cm)， 故其体积V ＝13π·1215＝15π3(cm 3)．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm 2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径.导学号 03310450[解析] 圆台轴截面如图，设上、下底半径分别为x 和3x ，截得圆台的圆锥顶点为S ，在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，∴SO ＝AO ＝3x ，∴OO 1＝2x ，又轴截面积为S ＝12(2x ＋6x)·2x ＝392，∴x ＝7，∴高OO 1＝14，母线长l ＝2OO 1＝142，∴圆台高为14 cm ，母线长为14 2 cm ，两底半径分别为7 cm 和21 cm ．18．(本题满分12分)(2015·北京文，18)如图，在三棱锥V －ABC 中，平面V AB ⊥平面ABC ，△V AB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O 、M 分别为AB 、VA 的中点.导学号 03310451(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面V AB ； (3)求三棱锥V －ABC 的体积．[解析] (1)∵O 、M 分别为AB 、V A 的中点， ∴OM ∥VB ．又∵VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ∴VB ∥平面MOC ．(2)∵AC ＝BC ，O 为AB 的中点， ∴OC ⊥AB ．又∵平面V AB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ，平面V AB∩平面ABC ＝AB ∴OC ⊥平面V AB.又∵OC ⊂平面MOC ∴平面MOC ⊥平面V AB ．(3)在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2，∴AB ＝2，OC ＝1．∴等边三角形V AB 的面积S △V AB ＝3． 又∵OC ⊥平面V AB ，∴三棱锥C －V AB 的体积等于13×OC×S △V AB ＝33．又∵三棱锥V －ABC 的体积与三棱锥C －V AB 的体积相等， ∴三棱锥V －ABC 的体积为33． 19．(本题满分12分)(2016·江苏卷，16)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 、E 分别为AB 、BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.导学号 03310452求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F ．[解析] (1)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， A 1C 1∥AC ． 在△ABC 中， 因为D 、E 分别为AB 、BC 的中点， 所以DE ∥AC, 于是DE ∥A 1C 1． 又DE ⊄平面A 1C 1F, A 1C 1⊂平面A 1C 1F ， 所以直线DE ∥平面A 1C 1F ．(2)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， A 1A ⊥平面A 1B 1C 1． 因为A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1, 所以A 1A ⊥A 1C 1．又A 1C 1⊥A 1B 1, A 1A ⊂平面ABB 1A 1, A 1B 1⊂平面ABB 1A 1, A 1A∩A 1B 1＝A 1, 所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1． 因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1，所以A 1C 1⊥B 1D ．又B 1D ⊥A 1F, A 1C 1⊂平面A 1C 1F, A 1F ⊂平面A 1C 1F, A 1C 1∩A 1F ＝A 1, 所以B 1D ⊥平面A 1C 1F ．因为直线B 1D ⊂平面B 1DE, 所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F ．20．(本题满分12分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AA 1、AC 的中点.导学号 03310453(1)求证：MN ∥平面BCD 1A 1； (2)求证：MN ⊥C 1D ； (3)求VD －MNC 1．[解析] (1)连接A 1C ，在△AA 1C 中，M 、N 分别是AA 1、AC 的中点，∴MN ∥A 1C ．又∵MN ⊄平面BCA 1D 1且A 1C ⊂平面BCD 1A 1， ∴MN ∥平面BCD 1A 1．(2)∵BC ⊥平面CDD 1C 1，C 1D ⊂平面CDD 1C 1， ∴BC ⊥C 1D ．又在平面CDD 1C 1中，C 1D ⊥CD 1，BC∩CD 1＝C ， ∴C 1D ⊥平面BCD 1A 1，又∵A 1C ⊂平面BCD 1A 1，∴C 1D ⊥A 1C ， 又∵MN ∥A 1C ，∴MN ⊥C 1D ． (3)∵A 1A ⊥平面ABCD ，∴A 1A ⊥DN ， 又∵DN ⊥AC ，∴DN ⊥平面ACC 1A 1， ∴DN ⊥平面MNC 1．∵DC ＝2，∴DN ＝CN ＝2，∴NC 21＝CC 21＋CN 2＝6， MN 2＝MA 2＋AN 2＝1＋2＝3，MC 21＝A 1C 21＋MA 21＝8＋1＝9， ∴MC 21＝MN 2＋NC 21，∴∠MNC 1＝90°， ∴S △MNC 1＝12MN·NC 1＝12×3×6＝322，∴VD －MNC 1＝13·DN·S △MNC 1＝13·2·322＝1．21．(本题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E 、F 分别为线段AD 、PC 的中点.导学号 03310454(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面PAC ．[解析] (1)证明：如图所示，连接AC 交BE 于点O ，连接OF ．∵E 为AD 中点，BC ＝12AD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCE 为平行四边形． ∴O 为AC 的中点，又F 为PC 中点， ∴OF ∥AP ．又OF ⊂面BEF ，AP ⊄面BEF ， ∴AP ∥面BEF ．(2)由(1)知四边形ABCE 为平行四边形． 又∵AB ＝BC ，∴四边形ABCE 为菱形． ∴BE ⊥AC ．由题意知BC 綊12AD ＝ED ，∴四边形BCDE 为平行四边形． ∴BE ∥CD ． 又∵AP ⊥平面PCD ， ∴AP ⊥CD ． ∴AP ⊥BE ． 又∵AP∩AC ＝A ， ∴BE ⊥面PAC ．22．(本题满分14分)(2016·四川文，17)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥CD ，AD∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD.导学号 03310455(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由；(2)证明：平面PAB ⊥平面PBD ．[解析] (1)取棱AD 的中点M(M ∈平面PAD)，点M 即为所求的一个点．理由如下：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM ， 所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM ∥AB ．又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ，所以CM ∥平面PAB ．(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点)(2)由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交． 所以PA ⊥平面ABCD ．从而PA ⊥BD ．连接BM ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ， 所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ．所以四边形BCDM 是平行四边形． 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB ． 又AB∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB ．又BD ⊂平面PBD ．所以平面PAB⊥平面PBD．。

第二章 2.2 第1课时一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5的值为( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．10[答案] A[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋a 9＝a 1＋a 1＋8d ＝2a 1＋8d ＝2(a 1＋4d )＝2a 5＝10，∴a 5＝5.2．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] B[解析] 设公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋4d ＝10a 1＋3d ＝7，解得d ＝2.3．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 101的值为( ) A ．49 B ．50 C ．51 D ．52[答案] D[解析] 由2a n ＋1＝2a n ＋1得a n ＋1－a n ＝12，∴{a n }是等差数列首项a 1＝2，公差d ＝12，∴a n ＝2＋12(n －1)＝n ＋32，∴a 101＝101＋32＝52.4．等差数列{a n }中，a 5＝33，a 45＝153，则201是该数列的第( )项( ) A ．60 B ．61 C ．62 D ．63 [答案] B[解析] 设公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝33a 1＋44d ＝153，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝21d ＝3.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝21＋3(n －1)＝3n ＋18. 令201＝3n ＋18，∴n ＝61. 5．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为( ) A ．3 B ． 2 C ．13D ．12[答案] A[解析] 设等差中项为x ，由等差中项的定义知，2x ＝a ＋b ＝13＋2＋13－2＝(3－2)＋(3＋2)＝23，∴x ＝3，故选A ．6．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14[答案] C[解析] 设公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7a 1＋d ＋6＝a 1＋4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝2.∴a 6＝a 1＋5d ＝3＋10＝13.二、填空题7．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6＝________. [答案] 42[解析] a 1＋a 2＋a 3＝15，a 2＝5，d ＝3， ∴a 5＝a 2＋3d ＝14，a 4＋a 5＋a 6＝3a 5＝42.8．等差数列{a n }的前三项依次为x,2x ＋1,4x ＋2，则它的第5项为__________． [答案] 4[解析] 2(2x ＋1)＝x ＋(4x ＋2)，∴x ＝0， ∴a 1＝0，a 2＝1，d ＝a 2－a 1＝1，∴a 5＝a 1＋4d ＝4. 三、解答题9．已知等差数列6,3,0，…，试求此数列的第100项． [解析] 设此数列为{a n }，则首项a 1＝6，公差d ＝3－6＝－3， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝6－3(n －1)＝－3n ＋9. ∴a 100＝－3×100＋9＝－291.10．已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？[解析] 设首项为a 1，公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(15－1)d ＝33a 1＋(61－1)d ＝217，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23d ＝4，∴a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，令a n ＝153，即4n －27＝153，得n ＝45∈N *， ∴153是所给数列的第45项．一、选择题1．等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是( )A ．d >875B ．d <325C ．875<d <325D ．875<d ≤325[答案] D[解析] 由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1a 9≤1，∴⎩⎨⎧125＋9d >1125＋8d ≤1，∴875<d ≤325.2．设等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 是( )A ．48B ．49C ．50D ．51[答案] C[解析] a 1＝13，a 2＋a 5＝2a 1＋5d ＝23＋5d ＝4，∴d ＝23，又a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋23(n －1)＝33，∴n ＝50.3．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列{1a n ＋1}是等差数列，则a 11等于( )A ．0B ．12C ．23D ．－1 [答案] B [解析] 令b n ＝1a n ＋1，由题设b 3＝1a 3＋1＝13， b 7＝1a 7＋1＝12且{b n }为等差数列，∴b 7＝b 3＋4d ，∴d ＝124.∴b 11＝b 7＋4d ＝12＋16＝23，又b 11＝1a 11＋1，∴a 11＝12.4．若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1、d 2，则d 1d 2等于( )A ．32B ．23C ．43D ．34[答案] C[解析] 由题意可知：d 1＝b －a 3，d 2＝b －a4，∴d 1d 2＝43，故选C ． 二、填空题5．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．[答案]6766[解析] 设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝33a 1＋21d ＝4，解得⎩⎨⎧a 1＝1322d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.6．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. [答案] 20[解析] 设公差为d ，则a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10， 3a 5＋a 7＝4a 1＋18d ＝2(2a 1＋9d )＝20. 三、解答题7．(2016·银川高二检测)已知无穷等差数列{a n }中，首项a 1＝3，公差d ＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{b n }．(1)求b 1和b 2； (2)求{b n }的通项公式；(3){b n }中的第503项是{a n }中的第几项？ [解析] (1)∵a 1＝3，d ＝－5， ∴a n ＝3＋(n －1)×(－5)＝8－5n .数列{a n }中序号被4除余3的项是{a n }中的第3项，第7项，第11项，…，∴b 1＝a 3＝－7，b 2＝a 7＝－27.(2)∵数列{a n }是等差数列， ∴数列{b n }也是等差数列，首项b 1＝－7，公差d ＝－27－(－7)＝－20， ∴b n ＝a m ＝a 4n －1＝8－5×(4n －1)＝13－20n ， 即{b n }的通项公式为b n ＝13－20n .(3)b 503＝13－20×503＝－10 047，设它是{a n }中的第m 项，则－10 047＝8－5m ，解得m ＝2 011，即{b n }中的第503项是{a n }中的第2 011项．8. 已知函数f (x )＝3x x ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2，且n ∈N *)确定．(1)求证：{1x n }是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 100的值．[分析] 按照等差数列的定义，只需证明1x n －1x n －1是常数，即可说明{1x n }是等差数列．[解析] (1)∵x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， ∴1x n －1x n －1＝13(n ≥2，n ∈N *)． ∴数列{1x n }是等差数列．(2)由(1)知{1x n }的公差为13，又x 1＝12，∴1x n ＝1x 1＋(n －1)·13＝13n ＋53.∴1x 100＝1003＋53＝35，即x 100＝135.。

本册综合测试题(A)(时刻：120分钟 总分值：150分)一、(本大题共12个小题，每题5分，共60分，每题给出的四个备选答案中，有且仅有一个是正确的)1．(2021～2021学年度吉林长春外国语学校高一期中测试)已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝{－3，－1,0,2}，那么A ∩B ＝( )A ．{－1,0,2}B ．{－3，－2，－1,0,1,2}C ．{0,2}D ．{x |－3≤x ≤2} [答案] A[解析] A ∩B ＝{－2，－1,0,1,2}∩{－3，－1,0,2}＝{－1,0,2}．2．(2021～2021学年度江西吉安一中高一期中测试)已知集合A ＝{x |y ＝lg x }，B ＝{x |x <1}，那么A ∪B ＝( )A ．RB ．{x |0<x <1}C ．∅D ．{x |x >1} [答案] A[解析] ∵A ＝{x |y ＝lg x }＝{x |x >0}，∴A ∪B ＝R .3．函数f (x )＝3x 21－x ＋3x ＋1的概念域是( )A ．(－13，＋∞)B ．(－13，1)C ．[－13，1) D ．[0,1) [答案] C[解析] 要使函数成心义，应知足⎩⎪⎨⎪⎧1－x >03x ＋1≥0， ∴－13≤x <1，应选C.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >00，x ＝0－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ∈Q 0，x ∈∁R Q ， 则f [g (π)]的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π[答案] B [解析] g (π)＝0，∴f [g (π)]＝f (0)＝0.5．设(x ，y )在映射f 下的象是(2x ＋y ，x －2y )，那么在f 下，象(2,1)的原象是( )A ．(12，32) B ．(1,0) C ．(1,2)D ．(3,2)[答案] B [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝2x －2y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝0，应选B. 6．用二分法求方程x －2lg1x ＝3的近似解，能够取的一个区间是( ) A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[答案] C [解析] 此题考查用二分法求解函数零点所在区间．设f (x )＝x －2lg 1x －3＝x ＋lg x －3，因为f (2)·f (3)＝(lg2－1)×lg3<0，且函数图象在(2,3)上持续，因此能够取的一个区间是(2,3)，应选C.7．函数y ＝(12)x 的反函数的图象为( ) [答案] D[解析] 函数y ＝(12)x 的反函数为y ＝log 12x ，应选D. 8．假设奇函数f (x )在[1,3]上为增函数且有最小值0，那么它在[－3，－1]上( )A ．是减函数，有最大值0B ．是减函数，有最小值0C ．是增函数，有最大值0D ．是增函数，有最小值0[答案] C[解析] 奇函数在对称区间上单调性相同，且图象关于原点对称，应选C.9．已知偶函数f (x )在(－∞，－2]上是增函数，那么以下关系式中成立的是( )A ．f (－72)<f (－3)<f (4) B ．f (－3)<f (－72)<f (4) C ．f (4)<f (－3)<f (－72) D ．f (4)<f (－72)<f (－3) [答案] D[解析] ∵f (x )在(－∞，－2]上是增函数，又－4<－72<－3， ∴f (4)＝f (－4)<f (－72)<f (－3)． 10．设函数y ＝x 3与y ＝22－x 的图象的交点为(x 0，y 0)，那么x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[答案] B[解析] 令f (x )＝x 3－22－x ，由题意知x 0是函数f (x )的零点，又f (1)＝1－2＝－1<0，f (2)＝8－1＝7>0，应选B.11．设a ＝60.5，b ＝0.56，c ＝log 60.5，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．a >c >b[答案] A[解析] a ＝60.5>60＝1，b ＝0.56<0,50＝1，又0.56>0，∴0<0.56<1， c ＝log 60.5<log 61＝0，∴a >b >c .12．对实数a 和b ，概念运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1b ，a －b >1，设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .假设函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，那么实数c 的取值范围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1] [答案] B [解析] 依题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2，－1≤x ≤2x －1，x <－1或x >2 作出其示用意如下图．由数形结合知，实数c 需有1<c ≤2或－2<c ≤－1.二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．已知函数f (x ＋1)＝3x ＋4，那么f (x )的解析式为________________．[答案] f (x )＝3x ＋1[解析] 设x ＋1＝t ，∴x ＝t －1，∴f (t )＝3(t －1)＋4＝3t ＋1，∴f (x )＝3x ＋1.14．3log 925＋log2－1(2＋1)的值为__________． [答案] 4[解析] 3 log 925＋log 2－1(2＋1)＝3 log 35＋log 2－1(2－1)－1＝5－1＝4.15．概念域为R 的函数y ＝f (x )的值域是[a ，b ]，那么函数y ＝f (x ＋a )的值域是________．[答案] [a ，b ][解析] 函数f (x ＋a )的图象只是由f (x )的图象向左或向右平移取得，函数值y 没有转变．16．关于概念域在R 上的函数f (x )，假设实数x 0知足f (x 0)＝x 0，那么称x 0是函数f (x )的一个不动点．假设函数f (x )＝x 2＋ax ＋1没有不动点，那么实数a 的取值范围是__________．[答案] (－1,3)[解析] 由题意，得方程x 2＋ax ＋1＝x ，即x 2＋(a －1)x ＋1＝0无实根，∴Δ＝(a －1)2－4＝a 2－2a －3＜0，∴－1＜a ＜3.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤)17．(本小题总分值12分)(2021～2021学年度河南信阳市高一期末测试)已知函数f (x )＝log 2x －1的概念域为集合A ，函数g (x )＝(12)x (－1≤x ≤0)的值域为集合B . (1)求A ∩B ；(2)假设C ＝{x |a ≤x ≤2a －1}，且C ⊆B ，求实数a 的取值范围．[解析] (1)要使函数f (x )成心义，应知足log 2(x －1)≥0，∴x －1≥1，∴x ≥2.∴A ＝{x |x ≥2}．∴g (x )＝(12)x (－1≤x ≤0)是减函数， ∴当x ＝－1时，g (x )取最大值2，当x ＝0时，g (x )取最小值1，∴B ＝{x |1≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{2}．(2)∵C ⊆B ，①当C ＝∅时知足题意，即a >2a －1，解得a <1； ②当C ≠∅时，那么有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥12a －1≤2，解得1≤a ≤32.综上实数a 的取值范围是(－∞，32]． 18．(本小题总分值12分)设a ，b ，c 为正数，且知足a 2＋b 2＝c 2.(1)求证：log 2(1＋b ＋ca )＋log 2(1＋a －cb )＝1；(2)假设log 4(1＋b ＋c a )＝1，log 8(a ＋b －c )＝23，求a ，b ，c 的值． [解析] (1)log 2(1＋b ＋ca )＋log 2(1＋a －cb )＝log 2a ＋b ＋c a＋log 2a ＋b －c b＝log 2a ＋b 2－c 2ab＝log 2a 2＋b 2－c 2＋2ab ab＝log 22＝1.(2)由log 4(1＋b ＋c a )＝1，log 8(a ＋b ＋c )＝23， 得1＋b ＋ca ＝4，a ＋b －c ＝4，又a 2＋b 2＝c 2，整理可得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝3a a ＋b －c ＝4a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝6，b ＝8，c ＝10.19．(本小题总分值12分)2020年某个体企业受金融危机和国家政策调整的阻碍，经历了从亏损到盈利的进程，下面的二次函数图象(部份)刻画了该公司年初以来的积存利润S (万元)与时刻t (月)之间的关系(即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系，0≤t ≤12)．请依照图象提供的信息解答以下问题：(1)求积存利润S (万元)与时刻t (月)之间的函数关系式；(2)截止到第几月末公司积存利润可达到9万元？(3)该企业第四季度所获利润是多少？[解析]设S (t )＝at 2＋bt ＋c ，将点(0,0)，(6,0)，(3，－3)代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 36a ＋6b ＝09a ＋3b ＝－3c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝13b ＝－2c ＝0.∴函数关系式S (t )＝13t 2－2t (0≤t ≤12)． (2)令S ＝9即13t 2－2t ＝9， 解得t ＝9或t ＝－3(舍)，∴截止到9月末公司积存利润可达到9万元．(3)S (12)＝13×144－2×12＝24(万元)， S (9)＝13×81－2×9＝9(万元)， ∴第四季度获利S (12)－S (9)＝24－9＝15(万元)．答：第四季度所获利润为15万元．20．(本小题总分值12分)假设关于x 的方程x 2＋mx ＋m －1＝0有一个正根和一个负根，且负根的绝对值较大，求实数m 的取值范围．[解析] 依照题意，画出f (x )＝x 2＋mx ＋m －1的图象，如下图． 图象的对称轴为直线x ＝－m 2. 因为方程x 2＋mx ＋m －1＝0有一个正根和一个负根，那么函数f (x )有两个零点x 1，x 2，由题意不妨设x 1>0，x 2<0，且|x 1|<|x 2|.由题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ f 0<0－m 2<0，故⎩⎪⎨⎪⎧m －1<0m >0. ∴ 0<m <1. 即所求的取值范围为(0,1)．21．(本小题总分值12分)已知概念在R 上的函数f (x )知足f (log 2x )＝x ＋a x，a 为常数． (1)求函数f (x )的表达式；(2)若是f (x )为偶函数，求a 的值；(3)若是f (x )为偶函数，用函数单调性的概念讨论f (x )的单调性．[解析] (1)令log 2x ＝t ，那么x ＝2t .∴f (t )＝2t ＋a 2t . ∴f (x )＝2x ＋a2x (x ∈R )．(2)由f (－x )＝f (x )，那么2－x ＋a2－x ＝2x ＋a2x ， ∴(2x －2－x )(1－a )＝0对x ∈R 均成立．∴1－a ＝0，即a ＝1.(3)当a ＝1时，f (x )＝2x ＋12x ， 设0≤x 1<x 2，那么f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋12x 1－(2 x 2＋12x 2)＝(2 x 1－2 x 2)(1－12 x 1＋x 2)， ∵2 x 1－2 x 2<0,1－12 x 1＋x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0.即f (x 1)<f (x 2)．因此f (x )在区间[0，＋∞)上是增函数．同应当x 1<x 2<0时，f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x )在区间(－∞，0)上是减函数．22．(本小题总分值14分)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3，g (x )＝(6＋a )·2x －1.(1)假设f (1)＝f (3)，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，判定函数F (x )＝21＋g x的单调性，并给出证明； (3)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a (a ∉(－4,4))恒成立，求实数a 的最小值．[解析] (1)∵f (1)＝f (3)，∴函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝2，即－a2＝2，故a ＝－4. (2)由(1)知，g (x )＝(6－4)·2x －1＝2x ， F (x )＝21＋2x (x ∈R ) 函数F (x )在R 上是减函数设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2.∴Δx ＝x 2－x 1>0，Δy ＝F (x 2)－F (x 1)＝21＋2x 2－21＋2x 1＝22 x 1＋1－2 x 2－11＋2 x 11＋2 x 2＝22 x 1－2 x 21＋2 x 11＋2 x 2.依照指数函数性质及x 1<x 2，得2 x 1－2 x 2<0，由上式得Δy <0，因此F (x )在R 上是减函数．(3)f (x )＝x 2＋ax ＋3＝(x ＋a 2)2＋3－a 24，x ∈[－2,2]，又a ∉(－4,4)，故－a 2∉(－2,2)． ①当－a 2≥2，即a ≤－4时， f (x )在[－2,2]上单调递减， f (x )min ＝f (2)＝7＋2a ，故7＋2a ≥a ，即a ≥－7. 因此－7≤a ≤－4.②当－a 2≤－2，即a ≥4时， f (x )在[－2,2]上单调递增，f (x )min ＝f (－2)＝7－2a ，故7－2a ≥a ，即a ≤73， 这与a ≥4矛盾，故此情形不存在． 因此，实数a 的最小值为－7.。